关于抛物线的几个“定值”
知识解读：抛物线
抛物线知识解读一、知识梳理1抛物线的定义平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
抛物线定义可以从以下几个方面理解、掌握。
（1）抛物线定义还可叙述为“平面内与一定点F和一条定直线l的距离的比等于1的轨迹叫做抛物线。
”（2）定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F，叫做抛物线的焦点；一条定直线l，叫做抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1（3）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线，如：到点()F和到直线1,0x y--=，轨迹是一条+-=的距离相等的点的轨迹方程为10:10l x y直线。
2抛物线的四种标准方程和几何性质对于抛物线的标准方程和性质理解时注意以下几点：（1）p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，所以p 恒为正数；（2）准线与坐标轴的交点与抛物线焦点关于原点对称。
（3）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径。
（4）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线。
二、知识深度分析1解读抛物线标准方程的结构特征由于抛物线的焦点与其准线存在着四种不同的位置关系，故其标准方程有四种形式：22(0)y px p =±>、22(0)x py p =±>。
相同点：①抛物线都过原点；②准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上，且关于原点对称。
它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即242p p =。
不同点：①图形关于x 轴对称时，x 为一次项，y 为二次项；图形关于y 轴对称时，y 为一次项，x 为二次项。
②开口方向在x 轴（或y 轴）正向时，焦点在x 轴（或y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在x 轴（或y 轴）负向时，焦点在x 轴（或y 轴）负半轴时，方程右端取负号。
2关于抛物线的几个结论设AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的弦，过点()()1122,,,A x y B x y 的直线的倾斜角为θ，()00,P x y 是抛物线上任意一点，则（1）以AB 为直径的圆必与准线l 相切；（2）,A B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值。
最全总结之抛物线曲线定值问题
最全总结之抛物线曲线定值问题
抛物线曲线定值问题是高等数学中重要的一节内容。
下面将从以下四个方面对此问题进行全面总结：
抛物线的基本概念
抛物线是一条平面曲线，其形状如同一个开口朝上或朝下的弯弓。
它可以用方程 $y=ax^2+bx+c$ 来表示。
抛物线的定点问题
当抛物线经过给定的点 $(x_0,y_0)$ 时，可以通过对抛物线方程进行替换和求导等计算得到关于曲线参数 $a,b,c$ 的表达式，进而解出曲线的定值。
抛物线切线问题
抛物线上任一点的切线斜率为该点横坐标下的导数值
$y'=2ax+b$。
因此可以根据给定的点求出曲线斜率，并结合该点坐标得到切线方程。
特别地，当点为顶点时，切线是水平的。
抛物线焦点问题
抛物线焦点是指到该曲线上任意一点距离等于该点到直线 $y=-\infty$ 的垂线距离的点。
使用 $F(x_F,y_F)$ 表示焦点，通过对抛物线方程进行平移和旋转后，可以求得焦距 $FV=\frac{1}{4a}$ 和焦点坐标。
总之，只要掌握了抛物线的基本概念和相关计算方法，抛物线曲线定值问题就不是难题。
抛物线中点弦的几个定值问题(已改) 2
浅议抛物线 “焦点弦”中的几个定值问题苏军（陇西县通安中学 甘肃陇西 748102）抛物线是圆锥曲线中的一类，在历年的高考中都会重点考查。
纵观近几年的高考题，对抛物线的考查主要有两类，一是对定义的考查，这类题通常出现在选择或填空题中，难度不是太大，重在考查对基础知识和基本技能的运用；二是对抛物线与直线的综合考查，尤其是直线过抛物线焦点时的情况，我们不妨将过抛物线焦点的直线被抛物线所截得的弦简称为焦点弦，这类问题中的定值问题比较多，笔者将做一归纳总结，分类举例说明。
由于抛物线的标准方程有四种形式，我们这里只以)0(22>=p px y的形式进行说明。
设直线l 是过抛物线)0(22>=p px y 焦点的直线，且),(),,(2221y x y x B A 为直线l 与抛物线的两交点，该直线的倾斜角为α，点F 为抛物线的焦点。
一、 =y y 21定值，=x x 21 定值。
证明：设抛物线焦点)0,2(p F ,①当直线AB 与 x 轴不垂直，即直线的斜率存在时，可设直线的方程式为)0)(2(≠-=k px k y ，联立直线与抛物线方程可得到关于y 的二次方程)0(0222≠=--k kpy kpy，根据二次方程根与系数的关系及直线的方程可知其两纵坐标和两横坐标之积分别为422,2222121221pyy x x pyy pp =∙=-= ；② 当轴X AB ⊥时，直线l 方程为2px =，则4,,,22122121pxx p yyy yp p =-=-==；综上所述，无论直线绕着焦点F 怎么旋转（保证与抛物线有两个交点），与曲线两交点的横坐标之积和纵坐标之积均为定值。
即4,221221px x pyy =-=。
二、若O 为坐标原点，则 =OA 定值。
同理可知 y 2=2px(p>0)时的情况与上面相同，当x 2=2py(p ≠0)时，p xx 221-=，4221pyy=证明：根据向量的数量积知识， =∙OB OA yy x x 2121+,由上面可知x x 21与y y 21均为定值，不难得到 =OA p 243-也为定值。
抛物线中的定值、定点问题资料讲解
抛物线中的定值、定点问题抛物线中的定值、定点问题 例1 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的一条直线和此抛物线交于),(11y x A ，),(22y x B 两点，求证：221p y y -=.【规范解答】证法一：因直线AB 过焦点)0,2(p F ，可设其方程为2p my x +=，代入px y 22= 得)2(22p my p y +=，即.0222=--p pmy y 该方程的两根就2p my x +=是两个交点B A ,的纵坐标21,y y ，由韦达定理：221p y y -=.证法二：因B A ,在抛物线上，故可设).,2(),,2(222121y py B y p y A 又)0,2(p F ，故),,22(121y p p y FA -=),,22(222y p p y FB -=因B F A ,,三点共线，所以 122221)22()22(y p p y y p p y ⋅-=⋅- 移项分解因式得：0))((21221=-+y y p y y ，其中,21y y ≠故221p y y -=.证法三：如图1，过点F B A ,,分别作准线的垂线，垂足为.,,111F B A 要证明221p y y -=，只要证明.211111F F F B F A =⋅ 21,1∠=∠∴=AA AF ；同理.43∠=∠而011180=∠+∠BF B AF A （A A 1∥B B 1），故01804321=∠+∠+∠+∠，所以.90310=∠+∠01190=∠FB A .由直角三角形的性质得：.211111F F F B F A =⋅【回顾】（1）从解题方法来看，对于直线与圆锥曲线相交的问题，一般有“设线”（证法一）和“设点”（证法二）两种选择，但也可考虑通过定义用“几何方法”来解答（证法三）（特别是与焦点有关的问题）；（2）从解题细节来看，证法一选择设直线方程为2p my x +=而非)2(p x k y -=，为什么？首先，这样代入可消去x 直达目标221p y y -=，运算便捷；其次，本题中直线可能与y 轴平行而斜率不存在，但不可能与y 轴垂直，设2p my x +=省去了讨论的麻烦；证法二中用向量表达三点共线而没有使用斜率也有同样的考虑；（3）从知识内容来看，抛物线的方程和定义是解题的依据，韦达定理及三角形和向量的有关知识是解析几何的常用工具，而所证明的结论表明：对于抛物线而言，虽然过焦点的弦有无数条，但每一条焦点弦的两端到对称轴的距离之积总等于.2p “寓定于变”展示了几何图形的美妙和谐！借题发挥在证法一中若改变AB 直线的预设并在联立方程中消去y 后,观察21,x x 之积得：变式1 条件同例1，则4221p x x ==定值。
第15讲 抛物线(七大题型)(教师版)-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义
③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的 4 倍. ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时， 首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型(一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型)，然后求 一次项的系数，否则，应展开相应的讨论. ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程 的形式，再求参数 p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一
解得 p 1 或 p 4 ， 2
故抛物线的标准方程为 y2 x 或 x2 = -8 y ，
故选：C
例 10．(2023·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期中)若抛物线 y2 2 px p 0 上一点 P 2, y0 到其准线的距离
为 3，则抛物线的标准方程为( )
A． y2 4x
B． y2 6x
x p 2
|
MF
|
p 2
x0
e=1
y p 2
|
MF
|
y0
p 2
y p 2
|
MF
|
p 2
y0
知识点诠释： (1)与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；
(2)标准方程中的参数 p 的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0 恰恰说明定义中的焦点 F 不在准线 l 上
这一隐含条件；参数 p 的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于 p 的值，才
所以点 P 到抛物线焦点的距离为 y0 2 3.
故选：B
专题——抛物线定值问题
专题——抛物线定值问题引言抛物线定值问题是一个常见的数学问题，它涉及到在一个给定的抛物线上确定一个点的坐标。
这个问题可以应用于很多实际情景，比如物体的抛射运动、抛物线型轨道的设计等。
本文将讨论抛物线定值问题的基本原理和解决方法。
基本原理抛物线的基本方程为 `y = ax^2 + bx + c`，其中a、b、c是抛物线的参数。
给定一个点的坐标(x0, y0)，我们可以通过解方程组来确定抛物线的参数。
解决方法方法一：代入法在抛物线方程中将已知点的坐标代入，然后解方程组，得到抛物线的参数。
例如，已知点(-2, 1)在抛物线上，代入方程 `y = ax^2 + bx + c`，我们得到以下方程组：-2^2 * a + (-2) * b + c = 1解方程组可以得到抛物线的参数。
方法二：坐标法我们可以通过已知点的坐标绘制抛物线，并确定抛物线与坐标轴的交点。
通过交点的坐标，可以得到抛物线的参数。
例如，对于一个抛物线，如果已知三个不共线的点在抛物线上，我们可以通过求解这三个点的交点坐标来确定抛物线的参数。
应用案例抛物线定值问题可以应用于很多实际情景。
以下是一些应用案例：1. 物体的抛射运动：通过已知的时间和位置点坐标，可以确定抛物线的参数，进而预测物体的运动轨迹。
2. 抛物线型轨道设计：在某些工程领域，比如建筑和交通规划，需要设计抛物线型轨道。
通过抛物线定值问题，可以确定合适的抛物线参数，以满足特定工程要求。
3. 图形设计：抛物线形状常常被用于图形设计中，通过抛物线定值问题，可以确定合适的抛物线参数来绘制想要的图案或图形。
结论抛物线定值问题涉及到确定抛物线上一个点的坐标。
通过代入法或坐标法，我们可以解决这个问题。
这个问题在物理学、工程学以及图形设计中有广泛的应用。
理解和掌握抛物线定值问题的解决方法有助于我们更好地应用数学知识解决实际问题。
抛物线的有关结论
圆锥曲线中抛物线的有关结论山东省德州市实验中学 肖成荣由于抛物线的离心率是常数，导致了许多自身具有的规律性，再加上抛物线的方程比较简单，所以灵活性就更加显现，了解了抛物线的规律性后在处理抛物线的相关问题时会起到事半功倍的效果。
下面就抛物线的结论作以归整，供参考！ 一、焦点)0,2(pF 处的结论 1、焦半径长：),(11y x A ，)0,2(p F ，2||1p x AF +=；2、焦点弦长：),(11y x A 、),(22y x B 在抛物线上，且AB 过焦点F ，则p x x AB ++=21||，或θ2sin 2||pAB =（θ为直线l 与抛物线对称轴的夹角）；3、过焦点的直线与抛物线相交于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂足分别为M 、N ，MN 的中点为G 。
（1）两相切：①以焦半径AF 为直径的圆与y 轴相切；②以焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.（2）三直角：①∠AGB ②090=∠MFN ③GF （3）六定值：),(11y x A 、),(22y x B 的乘积是定值：21x x =243p OB OA -=⋅；②n BF m AF ==,mn GF =||.③22sin AOBp S θ∆= 二、点)0,(p D 处的结论例：抛物线px y 22=上的点到)0,(a A 的最近距离是多少？结论：)0,(p D 是抛物线px y 22=上到点)0,(a A 的距离最近的点为顶点的分界点，)0,(a A 在)0,(p D 左边顶点到点)0,(a A 的距离最近，右边横坐标为p a -的那两个抛物线上的点到点)0,(a A 的距离最近. 三、点)0,2(p E 处的结论B A ,是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，OB OA ⊥，),(11y x A ，),(22y x B ，则ⅰ.2214p x x =，2214p y y -=；ⅱ.直线AB 过定点)0,2(p ；ⅲ.求AB 中点的轨迹方程；ⅳ.过O 向AB 引垂线，求垂足T 的轨迹方程；ⅴ.求AOB ∆面积的最小值.结论：),(11y x A 、),(22y x B 是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，O 为抛物线的顶点，（1）090=∠AOB ⇔直线AB 过点)0,2(p E .（2）2214p x x =，2214p y y -=.四、准线上的有关结论过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点B A ,，再以B A ,为切点作抛物线的切线，其交点在抛物线的准线上，且两切线垂直。
第2章2.4.1 抛物线及其标准方程
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 抛物线的焦点 F 的坐标为(p2，0)，线段 FA 的中
点 B 的坐标为(4p，1)，代入抛物线方程，得 1＝2p×p4，解得 p＝ 2，
故点
B
的坐标为(
42，1)，故点
B
到该抛物线准线的距离为
42＋
2 2
＝3
4
2 .
【答案】
32 4
第15页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
第18页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
②下图，当圆 P 与圆 A 内切时，有
||PPAB||＝＝rr－1⇒|PA|－|PB|＝－1， 即 （x－3）2＋y2－(x＋2)＝－1. 即 y2＝8(x－1)．
第19页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
题型二 求抛物线的标准方程 例 2 根据下列条件，求出抛物线的标准方程． (1)过点(－3，2)； (2)焦点在 x 轴上，且抛物线上一点 A(3，m)到焦点的距离为 5.
第24页
高考调研 ·新课标 ·数学选2-1
(2)直线 x－y＋2＝0 与两坐标轴的交点为(－2，0)，(0，2)． 若抛物线的焦点为(－2，0)，设其方程 y2＝－2px. 由－p2＝－2，得－2p＝－8，所求方程为 y2＝－8x； 若抛物线的焦点为(0，2)，设其方程为 x2＝2py. 由p2＝2，得 2p＝8，所求方程为 x2＝8y.
第23页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 (1)设抛物线方程为 x2＝2py 或 y2＝－2px(p＞0)． 将点(－2，3)代入抛物线方程 x2＝2py，得 2p＝34.∴x2＝34y. 将点(－2，3)代入抛物线方程 y2＝－2px，得 2p＝92. ∴y2＝－29x. ∴满足条件的抛物线的标准方程为 x2＝43y 或 y2＝－29x.
抛物线有关的定点定值问题
为定点？
问题4：已知抛物线y2 x,点P(m, 0)m 0，过点P
作不重合的两条直线l1,l2，分别交抛物线于点A, B,C, D， 直线AC交BD于点E，直线AD与CB交于点F，探究点E，点F
问题1.已知抛物线 y2 x 的焦点为F，过点F作
直线 l交抛物线于A,B两点，证明：yA yB为定值。yAo
B
F
1 4
,
0
x
问题2.已知抛物线 y2 x 和 x 轴上点p(m, 0)
过点P作直线 l交抛物线于A,B两点， 试探究：yA yB 是否为定值？
y
A
o
P(m, 0)
x
B
已知抛物线 y2 x 和 x 轴上点p(m, 0)
是否为定点？
y
( y22 , y2 )
C
( y12 , y1)
o
B
m2 y12
,
m y1
x
m2 m
y22
,
y2
证明：OP OE与OP OF的值是定值。
课后作业（一）
（2010年全国Ⅰ卷文22）
已知抛物线C：y2 4x 的焦点为F，过点
K（-1,0）的直线 l与C相交于A,B两点，点
A关于 x 轴的对称点为D，
（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；
（Ⅱ）设 FA FB= 8 ，求 BDK 的内切圆M的方程.
9
课后作业（二）
1. 若直线 l与抛物线 y2 2x 相交于A,B两点，
且 OA OB（O为坐标原点）,证明：直线
AB过定点。 要求：证明此题并对此题进行变式，并作解答。
抛物线到焦点的距离公式
抛物线到焦点的距离公式首先，我们来定义什么是抛物线。
抛物线是一个平面曲线，它的点到一个定点（焦点）的距离与点到直线（准线）的距离之比是个定值。
这个定值被称为离心率，常用字母e表示。
抛物线的标准方程是，y^2 = 4ax，其中a是焦点到准线的距离（也称为焦距）。
抛物线的准线是一个与y轴平行的直线，它的方程是x = -a。
现在我们来推导抛物线到焦点的距离公式。
设抛物线上的一点为P(x,y)。
焦点为F(a,0)。
我们需要求解FP的距离。
根据勾股定理，我们有：FP^2=(x-a)^2+y^2我们可以利用抛物线的方程消掉y^2，将其替换为4ax：FP^2 = (x - a)^2 + 4ax展开方程，得到：FP^2 = x^2 - 2ax + a^2 + 4axFP^2 = x^2 + 2ax + a^2可以看出，FP^2的系数分别是1、2a和a^2、这三个系数符合一个重要的性质，即二次多项式的系数可以对应抛物线的焦点的坐标。
因此，我们可以得到抛物线到焦点的距离公式：FP = √(x^2 + 2ax + a^2)这个公式可以更为简洁地写为：FP=，x+a其中，x+a，表示x+a的绝对值。
这个公式是抛物线到焦点的距离公式，它可以用于计算抛物线上任意一点到焦点的距离。
在实际应用中，这个公式可以用于确定抛物线的形状和位置，还可以用于构造抛物线的焦点和准线。
此外，抛物线到焦点的距离公式还在物理学和工程学中发挥重要作用。
例如，在天体力学中，抛物线到焦点的距离公式可以用于分析天体运动的轨迹。
在电磁学中，抛物线到焦点的距离公式可以用于计算电磁场的分布。
在工程学中，抛物线到焦点的距离公式可以用于设计光学系统和天线的形状。
总结起来，抛物线到焦点的距离公式是一个非常重要的数学公式，在几何学、物理学和工程学等领域中都有广泛应用。
它不仅可以用于计算抛物线上任意一点到焦点的距离，还可以用于确定抛物线的形状和位置，以及分析物体的运动轨迹。
抛物线的有关结论
抛物线的有关结论由于抛物线具有常数离心率，因此具有许多自身规律性。
加上抛物线方程相对简单，使得其灵活性更加突出。
了解这些规律性可以在处理相关问题时事半功倍。
下面整理了抛物线的结论以供参考。
一、焦点F(p22sin二、点D(p,)处的结论对于抛物线y2=2px，点D(p,)是到点A(a,)距离最近的点，其中A为抛物线上的一点，且A为顶点的分界点。
当A(a,)在D(p,)左侧时，右侧横坐标为a-p的两个点到点A(a,)的距离最近。
三、点E(2p,)处的结论设A(x1,y1)和B(x2,y2)是抛物线y2=2px上的两点，且OA 垂直于OB。
则有以下结论：1.焦半径长：AF为直线FB上的点到焦点F的距离。
2.焦点弦长：AB为过点A和B的直线，且过焦点F。
|AB|=x1+x2+p或2psinθ。
3.过焦点F的直线与抛物线相交于A和B两点，分别过A和B两点作准线的垂线，垂足分别为M和N，MN的中点为G。
1) 两相切：以焦半径AF为直径的圆与y轴相切。
以焦点弦AB为直径的圆与抛物线准线相切。
2) 三直角：①∠AGB=90°；②直线AB过定点(2p,)；③求AB中点的轨迹方程。
3) 六定值：焦点弦两端点MA和RA；直线AB与抛物线的交点C；过O向AB引垂线，垂足T的轨迹方程；求ΔAOB 面积的最小值。
四、准线上的有关结论对于抛物线y2=2px，点P(x,y)在准线上，其横坐标为p2/x，纵坐标为-py/2x+p。
其中x和y的乘积为定值：x1x2=4p2.过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点A、B，以A、B 为切点作抛物线的切线，交点在抛物线的准线上，并且两条切线垂直。
反过来，准线上任意一点做抛物线的切线有两条，且两条切线垂直，两切点连线过抛物线的焦点。
下面对上述结论进行证明。
一、焦点F(p/2,0)处的结论1.焦半径长：设点A(x1,y1)，则|AF|=x1+ p/2.证明：根据抛物线的定义，|AF|=AM=x1+ p/2.2.焦点弦长：设点A(x1,y1)、B(x2,y2)在抛物线上，且AB 过焦点F，则|AB|=x1+x2+p，或|AB|=2p*sinθ（θ为直线l与抛物线对称轴的夹角）。
专题8.8 抛物线及其几何性质-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(原卷版)
第八篇 平面解析几何 专题8.08 抛物线及其几何性质【考试要求】1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 【知识梳理】 1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M ||MF |＝d }(d 为点M 到准线l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质【微点提醒】1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( )【教材衍化】2.(选修2－1P72A1改编)顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________.3. (选修2－1P67A3改编)抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________.【真题体验】4.(2019·黄冈联考)已知方程y 2＝4x 表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线x ＝m 的距离为4，则m 的值为( ) A.5 B.－3或5 C.－2或6 D.65.(2019·北京海淀区检测)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A.4 B.6 C.8 D.126.(2019·宁波调研)已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2，0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________.【考点聚焦】考点一 抛物线的定义及应用【例1】 (1)(2019·厦门外国语模拟)已知抛物线x 2＝2y 的焦点为F ，其上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)满足|AF |－|BF |＝2，则y 1＋x 21－y 2－x 22＝( )A.4B.6C.8D.10(2)若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( ) A.2 B.135C.145D.3【规律方法】 应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p 2或|PF |＝|y 0|＋p2.【训练1】 (1)动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.考点二 抛物线的标准方程及其性质【例2】 (1)(2018·晋城模拟)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当|MA ||MF |＝2时，△AMF 的面积为( ) A.1B. 2C.2D.2 2(2)已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝855，则抛物线C 2的方程为( ) A.y 2＝85xB.y 2＝165xC.y 2＝325xD.y 2＝645x【规律方法】 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【训练2】 (1)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为________.(2)(2019·济宁调研)已知点A (3，0)，过抛物线y 2＝4x 上一点P 的直线与直线x ＝－1垂直相交于点B ，若|PB |＝|PA |，则P 的横坐标为( ) A.1 B.32C.2D.52考点三 直线与抛物线的综合问题【例3】(2019·武汉调研)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若△ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程.【规律方法】 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.【提醒】：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【训练3】(2017·全国Ⅰ卷)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10【反思与感悟】1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率).2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ；|AB |＝x 1＋x 2＋p ； (3)若F 为抛物线焦点，则有1|AF |＋1|BF |＝2p .【易错防范】1.认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2(a ≠0)与y 2＝2px (p ＞0)，前者不是抛物线的标准方程.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0). 2.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式. 【核心素养提升】【数学抽象】——活用抛物线焦点弦的四个结论1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.2.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24.(2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角).(4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点).【例1】 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A.4 B.92C.5D.6【一般解法】【应用结论】【例2】 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334B.938C.6332D.94【一般解法】【应用结论】【例3】 (2019·益阳、湘潭调研)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A.5B.6C.163D.203【一般解法】【应用结论】【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.1C.14D.182.(2019·抚顺模拟)已知点F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，M ，N 是该抛物线上的两点，若|MF |＋|NF |＝4，则线段MN 的中点的横坐标为( ) A.32 B.2C.52D.33.设抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，点A 为C 上一点，若|FA |＝3，则直线FA 的倾斜角为( ) A.π3 B.π4 C.π3或2π3D.π4或3π44.(2019·德州调研)已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－12，则抛物线C 的方程为( )A.x 2＝8yB.x 2＝4yC.y 2＝8xD.y 2＝4x5.(2019·河南中原联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，且l 过点(－2，3)，M 在抛物线C 上，若点N (1，2)，则|MN |＋|MF |的最小值为( )A.2B.3C.4D.5二、填空题6.如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.7.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足.若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________.8.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________.三、解答题9.(2019·天津耀华中学模拟)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值.10.(2017·全国Ⅰ卷)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A ，B 是抛物线上的两个动点，|AF |＋|BF |＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为( )A.π3B.3π4C.5π6D.2π312.(2019·武汉模拟)过点P (2，－1)作抛物线x 2＝4y 的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则△PEF 与△OAB 的面积之比为( )A.32 B.33 C.12 D.3413.已知抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________.14.(2019·泉州一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点A在C上，若|AO|＝|AF|＝3 2.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l与C交于P，Q，若线段PQ的中点的纵坐标为1，求△OPQ的面积的最大值.【新高考创新预测】15.(思维创新)已知点A(0，2)，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM||MN|＝55，则p的值等于()1A.4 B.2 C.4 D.8。
抛物线的几个常见结论及其应用
抛物线的几个常见结论及其应用抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。
结论一：若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124p x x =，212y y p =-。
例：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF+为定值。
结论二：（1）若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α=（α≠0）。
（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。
例：已知过抛物线29y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为 。
AB 倾斜角为3π或23π。
结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。
（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
例：已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。
(2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN 为直径的圆与直线AB结论四：若抛物线方程为22(0)y px p =>，过（2p ，0）的直线与之交于A 、B 两点，则OA⊥OB 。
反之也成立。
结论五：对于抛物线22(0)x py p =>，其参数方程为222x pt y pt =⎧⎨=⎩，，设抛物线22x py =上动点P坐标为2(22)pt pt ，，O 为抛物线的顶点，显然222OP pt k t pt==，即t 的几何意义为过抛物线顶点O 的动弦OP 的斜率．例 直线2y x =与抛物线22(0)y px p =>相交于原点和A 点，B 为抛物线上一点，OB 和OA 垂直，且线段AB 长为P 的值．解析：设点AB ，分别为22(22)(22)A A B B pt pt pt pt ，，，，则112A OA t k ==，12B OA OBt k k ==-=-． A B，的坐标分别为(84)2p p p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，．AB =∴==2p =∴．练习：1.过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P Q ，两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p q ，，则11p q += 故114a p q+=】 2.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A B ，两点．点C 在抛物线的准线上，且BC x ∥轴．证明直线AC 经过原点O ．【证明：抛物线焦点为02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，．设直线AB 的方程为2p x my =+，代入抛物线方程，得2220y pmy p --=．若设1122()()A x y B x y ，，，，则212y y p =-． BC x ∵∥轴，且点C 在准线12CO pk y =； 又由2112y px =，得1112AO y pk x y ==， 故CO AO k k =，即直线AC 经过原点O ．】3.已知抛物线的焦点是(11)F ，，准线方程是20x y ++=，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程．【解：设()P x y ，=．整理，得222880x y xy x y +---=，此即为所求抛物线的方程．抛物线的对称轴应是过焦点(11)F ，且与准线20x y ++=垂直的直线，因此有对称轴方程y x =．设对称轴与准线的交点为M ，可求得(11)M --，，于是线段MF 的中点就是抛物线的顶点，坐标是(00)，】备选1.抛物线的顶点坐标是(10)A ，，准线l 的方程是220x y --=，试求该抛物线的焦点坐标和方程．解：依题意，抛物线的对称轴方程为220x y +-=．设对称轴和准线的交点是M ，可以求得6255M ⎛⎫-⎪⎝⎭，．设焦点为F ，则FM 的中点是A ，故得焦点坐标为4255F ⎛⎫⎪⎝⎭，． 再设()P x y ，是抛物线上的任一点，根据抛物线的定义得22444120x y xy x y ++--=，即为所求抛物线的方程．例2 已知A B ，为抛物线24x y =上两点，且OA OB ⊥，求线段AB 中点的轨迹方程． 解析：设OA k t =，1OB OB OA k t ⊥⇒=-，据t 的几何意义，可得2244(44)A t t B t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，．设线段中点()P x y ，，则222214142214142.2x t t t t y t t t t ⎧⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪=+=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，。
高考数学复习点拨 抛物线要点知识解读
抛物线要点知识解读一、要点知识精析1．深刻理解抛物线的定义（１）抛物线的定义还可以叙述为：平面内与一个定点Ｆ和一条直线l 的距离的比等于１的点的轨迹叫做抛物线．（２）定义的实质可归结为“一动三定”，即：一个动点抛物线上的任意一点M ）；一个定点（抛物线的焦点Ｆ）；一条直线（抛物线的准线l ）；一个定值（抛物线上的点到焦点和准线的距离的之比等于常数１，这个常数又叫抛物线的离心率）．（３）定点Ｆ不在定直线l 上，这是一个重要的隐含条件，否则动点Ｍ的轨迹不是抛物线，而是过点Ｆ垂直于直线l 的一条直线，比如，到点F(1,0)和直线l ：10x y +-=的距离相等的点的轨迹方程为10x y --=，轨迹是一条直线．（４）抛物线的定义是与椭圆、双曲线的第二定义统称为圆锥曲线的统一定义，从定义中揭示出了这三种曲线的内在联系——动点到定点的距离与到定直线的距离的比值都是常数e ．当０＜e ＜１时，曲线为椭圆；当e ＝１时，曲线为抛物线；当e ＞１时，曲线为双曲线．２．掌握抛物线标准方程的特点抛物线标准方程22(0)y px p =±>或22(0)x py p =±>的特点在于：等号一边是某变元的完全平方，等号另一边是另一变元的一次项，这个形式与位置特征相对应．若对称轴为x 轴时，方程中的一次项就是x 的一次项，且符号指出了抛物线的开口方向，即：开口向左时，该项取正号；开口向右时，该项取负号．若对称轴为y 轴时，方程中的一次项就是y 的一次项，且符号指出了抛物线的开口方向，即：开口向上时，该项取正号；开口向下时，该项取负号．抛物线标准方程中的p 表示焦点到准线的距离，若不做说明，p 一般取正值． ３．抛物线的焦半径、焦点弦的性质（１）设抛物线上有一点Ｐ，Ｆ是抛物线的焦点，那么线段ＰF 叫做抛物线的焦半径．根据抛物线定义，可以得到：抛物线22(0)y px p =±>上一点Ｐ(,)x y 的焦半径的长是2p PF x =±+； 抛物线22(0)x py p =±>上一点Ｐ(,)x y 的焦半径的长是2p PF y =±+． （２）设PQ 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线PQ 的倾斜角为α，则： ①弦长1222sin p PQ p x x α=++=；其最短弦长为2p ,此时,090α=,即PQ x ⊥轴， 2p 称为抛物线的通径． ②221212,4p x x y y p ∙=∙=-； ③以PQ 为直径的圆与准线相切； ④设,PF m QF n ==，则有112m n p +=． 二、方法技巧归纳１．抛物线方程的求解策略（１）．求抛物线方程时，若由已知条件可确定曲线是抛物线，此时一般用待定系数法求解；由已知条件可确定曲线的动点规律，一般采用轨迹法求解．（２）．对于抛物线22(0)y px p =≠上的点的坐标可设为200(,)2y y p ，以简化运算． ２．直线与抛物线位置关系的求解策略（１）将直线方程与抛物线方程联立得方程组，消元后可得到一个关于x （或y ）的方程20ax bx c ++=，方程组解的组数，即方程20ax by c ++=的解的个数就是交点的个数． 当0a =时，方程解惟一，但直线与抛物线不是相切，而是直线与抛物线对称轴平行或重合；当0a ≠时，∆＝０，此时直线与抛物线相切；∆＜０，直线与抛物线相离；∆＞０，直线与抛物线相交于两点．（２）合理的选择设点或设线是解决直线与抛物线位置关系的常用策略．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时，要注意利用韦达定理，这样能避免求交点坐标的复杂运算．。
数学高二选修抛物线知识点
数学高二选修抛物线知识点抛物线是数学中的一个重要概念，它在高中数学的选修课程中占有重要地位。
在高二学年，学生将进一步深入研究和应用抛物线的相关知识。
本文将重点介绍高二选修课程中涉及的抛物线知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识。
一、抛物线的定义和性质1. 抛物线的定义：抛物线是平面上动点到定点和到定直线的距离之差恒等于定值的轨迹。
2. 抛物线的标准方程：y = ax² + bx + c （a ≠ 0）3. 抛物线的顶点坐标：顶点的横坐标为 -b/2a，纵坐标为 c -b²/4a。
4. 抛物线的对称轴：对称轴的方程为 x = -b/2a。
5. 抛物线的焦点坐标：焦点的横坐标为 -b/2a，纵坐标为 c -b²/4a + 1/4a。
6. 抛物线的准线：准线的方程为 y = c - b²/4a - 1/4a。
二、抛物线的平移和缩放1. 抛物线的平移：若抛物线的标准方程为 y = ax² + bx + c，将其向右平移 h 个单位，新的方程为 y = a(x-h)² + b(x-h) + c。
2. 抛物线的缩放：若抛物线的标准方程为 y = ax² + bx + c，将其纵坐标扩大 k 倍，新的方程为 y = kax² + bx + c。
三、抛物线的图像和性质1. 抛物线的开口方向：当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的对称性：抛物线相对于其顶点具有对称性。
3. 抛物线的最值点：当 a > 0 时，抛物线的最小值为顶点的纵坐标；当 a < 0 时，抛物线的最大值为顶点的纵坐标。
4. 抛物线与坐标轴的交点：抛物线与 x 轴交点称为零点，与 y 轴交点称为截距。
四、抛物线的应用1. 抛物线在物理学中的应用：通过抛物线的运动轨迹，我们能够计算出抛物线在不同时间点的速度和加速度，从而研究物体受到的力和运动规律。
抛物线的定值问题
抛物线中的定值问题 我们经常会遇到一些定值问题。
下面是汇总的题型：1.过抛物线焦px y 22=点的直线与F 此抛物线交于),,(),,(2211y x B y x A 两点，则 （1）4221p x x =，（2）221p y y -=，（3）243p OB OA -=∙。
2.已知AB 是过抛物线焦px y 22=)0(>p 点F 的动弦。
求证：pFB FA 211=+。
例如：（2000年全国高考）过抛物线m ：2y ax =（a ＞0）的焦点作直F 线交抛物线l 于,P Q 两点，若线段与的PF FQ 长分别为,p q ，则的值必等11p q --+于（ ）．A ．2a B ．12aC ．4aD ．4a3 过抛物线焦px y 22=)0(>p 点F 的两条相互垂直的弦A B 和C D ,则CD AB 11+=p21。
方法一：设A (11,y x )、B (22,y x )、C (33,y x )、D 44,(y x )，由上题得22212kppk x x +=+（1） ABCD 由⊥∴kk CD 1-=（1）可得2243)1(2)1(kpk p x x -+-=+=22pk p +（2） FB AF AB +==2221px p x +++=p x x ++21=p k p pk ++222=22)1(2k k p +同理p x x CD ++=43=2)1(2+k p .∴CD AB 11+=)1(21)1(2222+++k p k p k =p21。
方法二：用焦半径公式方法三：利用极值思想4.设MN 是过抛物线焦点px y 22=)0(>p F 的动弦。
由M 、N 分别向抛物线的准线作垂线MA 、N B ,其中A 、B 是垂足。
求证：∠AFB = 2π 方法一：设),(11y x M ,N (22,y x ),则A 1,2(y p-),B ),2(2y P -,F )0,2(p .),(1y p FA -=,),(2y p FB -=212)(y y p FB FA +-=∙=22p p -=0. F AFBA⊥∴∠FB = 2π。
抛物线中的定点定值
抛物线中的定点定值上海中学数学·2012年第12期47抛物线中的定点定值214031江苏省⽆锡市第⼀中学刘峰最近笔者在教学过程中发现了抛物线的⼀些性质，现将其中关于定点定值的部分性质整理如下．为⾏⽂⽅便，约定⽂中抛物线⽅程都为Y。
⼀2p,r(>0)，0表⽰坐标原点，⽂中所有直线斜率都存在．性质1：过P(⼀t，O)，(f>0)任作⼀直线交抛物线于点A、B，点C为B关于轴对称点，则直线AC恒过定点(t，0)．证明：设A(易，)，B(券，)，c(券，⼀)，因为置线AB过点P，所以是⼀是，即⼆旦⼀⼀⼆旦⼀，整理得r⼀，由AI、，，，正q，、⼀(券⼀(c坐标可得直线Ac⽅程为⼀⼆2p’⼀Y⼆lYz，即⼀(—f)，则直线AC恒过定点(￡，0)．性质2：A为抛物线上异于原点的任意⼀点，连接AO交直线⼀⼀2p于点C，过C作I，轴的平⾏线，交抛物线于点B，则弦AB恒过点(2p，0)．证明：设A(．Yo，Y。
)，则直线OA的⽅程为⼀可得C(--2等)''贝0可得B(等，．4⼀4P。
2)，所以⾛⼀⼆专⼀蚕，从⽽可2pY得直线AB的⽅程为⼀竺⼀2p)，则弦AB恒过点(2P，0)．的过程，同学们报以热烈的掌声．笔者⼜借此追问：由此你能得到等腰三⾓形的什么特点?⼀学⽣站起来⼝答：“等腰三⾓形的顶⾓平分线，底边上的中线，底边上的⾼线互相重合．”笔者对学⽣回答很满意，这正是等腰三⾓形的重要性质．通过⼀题多变学⽣对全等的应⽤得到了巩固，⼜对等腰三⾓形有了深刻的认识．学⽣的思维在题⽬的不断变化中打开，达到了思维的性质3：过抛物线的焦点F任作弦AB，分别过A、B作轴的平⾏线，分别交抛物线的准线于C、D，则AD、BC交于原点0．证明：设A(2，)，B(，3，)，则c(⼀鲁，)，D(⼀等，)，因为AB过焦点F，所以是m墨⼀⾯0--yz，整理可z—p，则是⼀五Yl--Y22p‘2—2p(y⼀z)Y+P，从⽽可设直线AD的⽅程为Y⼀是AD+6，将A(ffl，Y)带⼈可得b⼀0，从⽽直线AD过原点，同理直线BC过原点，从⽽结论成⽴．性质4：已知A(_f。