一元二次方程章末复习

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第八章章末复习

∴x1+x2=6,x1x2=2m-1.
∵x1=1,∴1+x2=6,x2=2m-1.
∴x2=5,m=3.
(2)是否存在实数 m,满足(x1-1)(x2-1)=

?若存在,求出实数 m 的值;若不存在,请说明理由.
-
解:(2)存在.理由如下:
∵(x1-1)(x2-1)=

,∴x1x2-(x1+x2)+1=
明看错了一次项系数 p,得到方程的两个根是 5,-4,则原来的方程是( B )
2
B.x +2x-20=0
2
D.x -2x-3=0
A.x +2x-3=0
C.x -2x-20=0
2
2
2
12.(2021 绵阳)关于 x 的方程 ax +bx+c=0 有两个不相等的实根 x1,x2,若 x2=2x1,则 4b-9ac 的最大值是
D.-3
-3
3.(2022武侯模拟)若(a-1)x|a+1|-3x+4=0(其中a是常数)是关于x的一元二次方程,则.(2021赤峰)一元二次方程x2-8x-2=0,配方后可变形为( A)
A.(x-4)2=18
B.(x-4)2=14
C.(x-8)2=64
D.(x-4)2=1
C.第三象限
D.第四象限
7.用适当的方法解下列方程:
(1)(2021齐齐哈尔)x(x-7)=8(7-x);
解:(1)方程可化为x(x-7)+8(x-7)=0.
因式分解,得(x-7)(x+8)=0.
解得x1=7,x2=-8.
(2)(2021兰州)x2-6x-1=0;
(3)(2021无锡)2x(x-2)=1.

第21章+一元二次方程+章末复习题+2024-2025学年人教版九年级数学上册++

一元二次方程章末复习题一、单选题1．下列各式是一元二次方程一般形式的是（）． A ．2210x -= B ．22x x +=C ．2562x x =-D ．(2)0x x -=2．若方程()210m x x m -+-=是关于x 的一元二次方程，则（）A ．0m ≠B ．1m ≠C ．0m >D ．1m >3．如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程213360x x -+=的两个实数根，那么这个三角形的周长可能是（） A ．13B ．18C ．22D ．264．方程2450x x -+=的根的情况是（） A ．只有一个实数根 B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根5．用因式分解法解方程x 2+px ﹣6＝0，若将左边分解后有一个因式是x +3，则p 的值是（） A ．﹣1B ．1C ．﹣5D ．56．共享单车的投放，方便了市民的出行．某公司一期投放A 型号的单车，二期又投放了B 型号的单车．已知B 型号的单车的单价比A 型号的单价提高的百分率是B 型号的投放数量比A 型号投放数量的增长率的2倍，这样二期总投入是一期总投入的2倍，设B 型号的投放数量比A 型号投放数量的增长率为x ，则下列方程正确的是（） A ．132x +=B ．(1)(12)2x x ++=C ．(1)(12)3x x ++=D ．(1)(1)22xx ++=7．我国古代数学著作《增减算法统宗〉记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一”，其大意为：有一块正方形水池，测量出除水池外图内可耕地的面积垥好是72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x 步，则列出的方程是（）A ．223722x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭B ．223722x x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭C ．22(3)72x x π+-=D ．22(6)72x x π+-=8．已知两个关于x 的一元二次方程M ：20ax bx c ++=；N ：20cx bx a ++=，其中0ac a c ≠≠，，有下列三个结论：①若方程M 有两个相等的实数根，则方程N 也有两个相等的实数根； ①若6是方程M 的一个根，则15是方程N 的一个根；①若方程M 和方程N 有一个相同的根，则这个根一定是 1.x =其中正确结论的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．39．设一元二次方程（1x +）（3x -）=m （m ＞0）的两实数根分别为α、β且α＜β，则α、β满足（） A ．-1＜α＜β＜3 B ．α＜-1且β＞3C ．α＜-1＜β＜3D ．-1＜α＜3＜β10．若四个互不相等的正实数a ，b ，c ，d 满足()()20122012201220122012a ca d --=，()()20122012201220122012bc bd --=，则20122012()()ab cd -的值为（）A ．2012-B ．2011-C ．2012D ．2011二、填空题11．若x =1是关于x 的方程2230x ax +-=的一个根，则a = ；12．把一元二次方程（x ﹣2）2﹣x ＝7x +6化为一般形式是，二次项系数是，一次项是，常数项是．13．已知关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2﹣（2m +1）x +m +2＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是．14．已知关于x 的方程()()2385210mm m x m x m ---++-=是一元二次方程，则m = ．15．某商店1月份的利润是2500元，3月份的利润达到3025元，这两个月的利润月增长的百分率相同，则这个百分率为．16．如图，在一幅长为60dm 宽为40dm 的庆祝中华人民共和国成立70周年的矩形宣传海报四周，镶上宽度相同的金色纸边，制成幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积为22709dm ，设纸边的宽为,xdm 则可列出方程为．17．已知正整数,x y 满足：2271,880xy x y x y xy ++=+=，则22x y +值为． 18．如图，将图1的正方形的纸片剪成四块，再用这四块小纸片进行拼接，恰好拼成一个如图2无缝隙、不重叠的矩形，则ba＝．三、解答题 19．解方程：（1）22430y y --= （2）()()3260x x x +-+=．20．已知关于x 的一元二次方程()230x a x a ---=．（1）求证：无论a 取何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程两根的平方和为21，求a 的值．21．如果31m x =+，29m y =+，那么用x 的代数式表示y ，当228=0x x --时，求y 的值．22．提出问题：为解方程42340x x --=，我们可以令2x y =，于是原方程可转化为2340y y --=，解此方程，得124,1y y ==-（不符合要求，舍去）．当14y =时，24,2x x ==±． ∴原方程的解为122,2x x ==-．以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．解决问题：运用上述换元法解方程：()()2222132420x x ---+=．23．强强为了激励自己学好数学，在白色宣纸上写了两幅书法作品，准备装裱后挂在书房．其中一幅长方形书法作品长80cm，宽20cm，正方形书法作品边长为40cm，现在给两幅作品x．（粘贴连接处忽略不计）四周装裱上宽度相等的彩纸（如图1，图2），设彩纸的宽为cm(1)装裱后长方形书法作品的长为______cm；正方形书法作品的面积cm．（用含x．．为______2的代数式表示）(2)若装裱长方形书法作品所用彩纸的面积为21100cm，求装裱正方形书法作品所用彩纸的面积．24．如图，将边长为4 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把△ABC沿着AD 方向平移，得到△A'B'C'．（1）当两个三角形重叠部分的面积为3 时，求移动的距离AA'；（2）当移动的距离AA'是何值时，重叠部分是菱形．。

人教版九年级数学-一元二次方程全章知识点专题复习(含答案)

一元二次方程全章知识点专题复习【课标要点】1. 理解一元二次方程定义；2. 会解一元二次方程；3. 会根据根的判别式24b ac -判断一元二次方程的根的情况； 4. 会列一元二次方程解决实际问题.⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩解法根的判别式一元二次方程二次三项式的分解因式根与系数的关系实际应用问题第1讲一元二次方程的概念【知识要点】1、一元二次方程的一般形式：200),,,ax bx c a a b c ++=≠（其中是常数. 2、在一般式中，当b ＝0时，则有220c 00ax c ax bx +=+=或当＝时，则有，这两种情况都是一元二次方程.【典型例题】例1判断下列关于x 的方程是不是一元二次方程.22222222213;(2)50;(3)235;(5)2(3)21;511(6)33;(7)2;(8)()10;(9)40:1(10)0.(0)x x x xy x x x x x x x x abx a b x x x x px qx m p =-=--==-=+++=-=+++=-+=+++=≠（）分析：一元二次方程，必须满足：（1）整式方程；（2）含有一个未知数，并且最高次数是2.解：方程（1）、（6）、（7）的左边是分式，不属于整式方程，方程（3）含有两个未知数，方程（4）的左边不是整式，方程（5）经整理候，得－6x ＝1，方程（8）中未确定ab≠0，因此，只有（2）、（9）、（10）是一元二次方程.例2方程25)(3)(3)50.m m m x m x ---+-+=（（1） m 为何值时，此方程为一元二次方程？（2） m 为何值时，此方程为一元一次方程？分析：形如0nax bx c ++=的方程，当n ＝2且a≠0时为一元二次方程；当a ＝0时且b≠0时为一元二次方程.解：（1）当m －2＝2时，m ＝4，这时5)(3)0.m m --≠（当m ＝4时，此方程为一元二次方程.（2）5)(3)0,20,2m 30m m m m --=->-≠当（为自然数，且－时，方程为一元一次方程.由5)(3)0m 5m 3m m m --=≠（得＝或＝，又因为3，∴当m ＝5时，此方程为一元一次方程.例3 为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用了新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2填，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还应再增加多少米？（只需列出方程，并整理成一般一元二次方程形式.）分析：根据题意本题有两个关系式：一是计划每天加固的长度比原计划增加了20米，而是实际完成工程任务所需时间比原计划缩短2天，由时间关系列出方程.解：设现在计划每天加固河堤x 米，则原来计划每天加固河堤（x －20）米.根据题意德22402240220x x-=-，整理，得 22022400x x --=【知识运用】一、选择题1．一元二次方程得一般形式是（）A.20x bx c ++= `B.20ax bx c ++=C. 20()ax bx c a o ++== D.以上都不对 2．下列方程为一元二次方程的有（）A.21102x x-+= B. 252ax bx c +=C.()219x -=D.x+y=03.关于x 的方程232232(m n m x mx m x nx px q +=+-+≠其中），经化简整理，化为200)ax bx c a ++=≠（的形式后，二次项系数、一次项系数及常数项分别是（）A.m －n ，p ，qB. m －n ，－p ，qC.m －n ，－p ，－qD.m －n ，p ，－q4．将一元二次方程21x 2x 302-+=－的二次项系数变为正整数，且使方程的根不变的是（）A. 2x 2x 30+=－ B. 2x x 60+=－4C 2x x 60=－4－D 2x x 60-=+4二、填空题5．方程24x 0=是_____元______次方程，二次项系数是______，一次项系数是____，常数项是_______.6.当m__________时，方程2m-1)x 21)x 0m m -+=（－(不是关于x 的一元二次方程；当m___________时，上述方程才是关于x 的一元二次方程；7.若方程22x 3x 1k x +=+是一元二次方程，则k 的取值范围是_________; 三、解答题 8．若方程1(3)x230k k x --+-=是关于x 的一元二次方程，求k 的值.9．若关于x 的一元二次方程22(a-1)x +x+a 10-=的一个根是0，求a 的值.10．某大学改善校园环境，计划在一块长80米，宽60米的矩形场地中央建一矩形网球场，网球场占地面积为3500平方米，四周为宽度相等的步行道，求步行道的宽度，根据题意列出泛称，并将其化为一般形式.第2讲配方法【知识要点】1、直接开平方法解一元二次方程：将方程化成()2b(0)x a b +=≥的形式，则x＝0)a b -±≥.2、配方法解一元二次方程：利用公式222a 2()ab b a b ±+=±，把一元二次方程转化为2()(0)x a b b +=≥，再利用直接开平方法解方程.【典型例题】例1 用配方法解关于x 的一元二次方程： x 0px q ++=2分析：配方法解一元二次方程，关键要搞清配方的目的是什么，即配方要使方程能运用直接开平方法解决，该题是一种字母系数的一元二次方程，故可按上述步骤进行求解，先将其整理成一般形式，二次项系数化为1.因二次项系数为1，所以移项得2x x p q +=-，方程两边配方，然后利用完全平方公式，直接开平方法解出方程.解：22221212x ,x (),244qx ,244q p 400,4x (2)p 40x 23p 40px q p p px q p p p q x pq x q +=-++=-+--->>---<222222移项，得配方，得整理，得（+）＝（1）当时，方程两边直接开平方，得当＝时，＝＝；（）当时,原方程无实数解.例2 用配方法解方程（1）2x 6x 50+-=；（2）24x 7x 20-+=分析：方程经过移项，配方后变为形如2().ax b c +=的方程解：（1）（2）移项，得24x 7x 2-=-化二次项系数为1，例3 试证：不论x 为何实数，多项式424224124x x x x ----的值总大于的值. 分析：比较两个代数式大小通常用做差的方法. 解：∴多项式424224124x x x x ----的值总大于的值. 【知识运用】一、选择题1．已知代数式2224x 228x 5x x +-+-的值为3，则代数式的值为（） A.5B. －5C. 5或－5D.02．将二次三项式22x 4x 6-+进行配方，正确的结果是（）A.24-2（x-1） B.24+2（x-1）C.22-2（x-2）D. 22+2（x-2） 3．方程2(1)9x +=的解是（） A.2x =B. 4x =-C. 122,4x x ==-D. 122,4x x =-=221265,6959,314333x x x x x x x +=++=+=∴+=∴=-+=--2移项，得配方，得即（x ＋）2222127717x ()()48287177x x 864877x x 88x x x -+=-+-∴-∴--∴得即（）＝，＝＝＝4242424222224242(241)(24)23(21)2(1)2x (1)20(241)(24)0x x x x x x x x x x x x x x -----=-+=-++=-+-+>----->对于任何实数，总有即4.已知11120,19,21202020a xb xc x =+=+=+，则代数式222a b c ab bc ac ++---的值是（） A.4 B.3C. 2D. 1二、填空题5．224___9(___3)x -+=-6．将二次三项式2x 2x 2--进行配方，其结果等于__________.7.已知m 是方程2x x 20--=的一个根，则代数式2m m -的值等于______. 三、解答题8．用配方法解下列方程2(1)2360;x x --= 221(2)20;33y y --=2(3)0.40.81;x x -= 2(4)1)0;y y ++=9.用配方法证明21074x x -+-的值恒小于0.10.来自信息产业部的统计数字显示，2019年1月至4月份我国手机产量为4000万台，相当于2018年全年手机产量的80％，预计到2020年年底收机产量将达到9800万台，试求这两年手机产量平均每年的增长率.第3讲公式法【知识要点】1．公式法：一般地，对于一元二次方程221200),b 4ac 0x ax bx c a ++=≠≥，（当－时， 2．2b 4ac 0≥V 当=－，方程可用公式法求解；当2b 4ac 0<V 当=－时，方程无解.【典型例题】例1 用公式法解下列方程21x 100-+=（） 2(2)221x x +=(3)(1)(1)x x +-=分析：首先把每个方程化成一般式，确定a 、b 、c 的值，在2b 4ac 0≥－的前提下，代入求根公式求出方程的根.解：2221222212(2)2210,2,2,1,424?2?(1122(3)10,1,2,1,44?1?(2(4)x x a b c b ac x x x a b c b ac x x +-====--=-±∴=⨯-+-∴===--===-=--=-±∴==⨯∴==Q 移项，得-1)=12>0,-2x=22原方程可化为（-1)=12>0,-（x=222221210,1,1,1,414?1?(x x a b c b ac x x +-====--=-∴=∴===Q 将原方程可化为-1)=5>0,x例2 阅读下面一段材料，并解答问题.22(1)1,4,10,4(411080,(212x x a b c b ac x ==-=-=-⨯⨯>--∴===⨯∴=Q 1=2－＝22220(0)40,4200(0,,,)ax bx c a x b ac b ac b x aa ax bx c a abc ++=≠=-≥--∆=≠∆≥++=≠ 我们知道由一元二次方程运用配方法得其求根公式由平方根的意义知:当时即负数,没有平方根,故代数式就决定了方程根的情况,称它为一元二次方程根的判别式,用记号“”表示,故公式符合条件且0,方可用于求实数根.此外,若均为整数应当222121242,(1)10,:4,?,,?:,b ac b a k x x k x k x x x x k ∆=-∆--+++==∆≥注意当是完全平方时,方程根为有理根;当是完全平方且(是的整数倍时方程的根为整数根. 根据上面得出的结论,请你解答下列问题: 已知关于的方程试求 ⑴为何值时方程有两个实数根 ⑵若方程的两个实数根满足则为何值分析根据上面材料分析当0时方程有实数根,从而确定k 的取值,对[]1222121121212121.:(1),1)4(1)043230.2(2)0,,0,2k-3=0,35k=,0,240,010,10,,x x k k k k x x x x x x x x x x x k k x =∆≥+-+≥-≥∴≥=≥=∆===><-=+=∴+==-∆≥Q 1于⑵中需分类讨论解方程有实数根故0,即-( 化简得时方程有两个实数根由①当时此时即符合要求.②当x 时即与相矛盾故舍去k=-13综上可知:当k=时有22x = 例3 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(平面图如右图),由于地形限制,三级水库处理池的长、宽都不能超过16米,如果池的外围墙建造单价为每米 400元,中间两条间隔墙单价为每米300元,池底建造单价为每平方米80元.(池墙的厚度忽略不计)(1) 当三级污水处理池的总造价为47200元时,求池长x;(2) 如果规定总造价越低就越合算那么根据题目提供的信息以47200元为总造价来修建三级污水处理池是否最合算?请说明理由.分析：可根据三级污水处理池的总造价为47200元列方程.ADBC隔墙隔墙x21212400400:(1)400(2)3002008047200,4007008002008047200,393500,14,25,,14,25,2516(,)10014,16.7x x xx xx x x x x x ⨯++⨯+⨯=⨯++⨯=-+=====><∴ 解由题意得即有化简得解得经检验都是原方程的根但米米不符合题意舍去当池长为米时池宽为米米符合题意当三级污水处理池的总造价为47200(2)1612.5164007008001620080463004720016<⨯⨯++⨯=<∴元时,池长为14米.当以47200元为总造价修建三级污水处理池时,不是最合算. 当池长为米时,池宽为米米,故池长为16米符合题意,这时总造价为当以47200元为总造价修建三级污水处理池时,不是最合算.【知识应用】一、选择题22222401)53200,0,0,x x k k m x x m m m n x mx n n m n --=-++-+=++=≠+1.方程2有两个相等的实数根,则的值为( )A.-1 B.-2 C.1 D.22.若一元二次方程(的常数项为则为( )A.1 B.2 C.1或2 D.53.若是方程的根则的值为( )1A. B.1 C.222235020,______.6.610_______.7.x x x mx m x x x --=++=--=1- D.-124.不解方程,判断方程2的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定二、填空题5.已知的一个根则方程的另一个根是_____,的值是方程3的两根之和是方程22230530______.x x x --=++=与方程2的公共解是三、解答题,28.已知直角三角形的一条直角边比另一条直角边长2cm,且面积为24cm 求直角三角形的周长.21)(4)240,10,.k x k x k k k +++-+=+≠9.已知方程(有零根其中求的值2210.2)0,a a x ax b x a --++=要使(是关于的一元二次方程求的取值范围.第4讲分解因式法【知识要点】112212121212a xb a x b b b a a x x a a ++≠=-=- 1. 分解因式法:把一个一元一次方:程整理为:()()=0的(0)的形式，方程的解为：；；. 2.注意(1)方程一边一定化为0；（2）常用的方法：①提公因式法；②运用公式法③十字相乘法.【典型例题】260;x x -=例1 用因式分解法解下列方程. (1):(1),,(2),(5)(5),,.x x --分析方程的右边是零左边可以用提公因式法分解方程不要去掉括号更不要两边同时除以或要先移项使方程右边为零212212:60,(6)0,060,0, 6.(2)3(5)2(5)0,(5)[3(5)2]0,(5)(133)0,501330,135,.3x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-=∴=-=∴==---=---=--=∴-=-=∴==解(1)即或原方程可变形为即或 2(2)3(5)2(5)x x -=-例2 用公式法因式分解式解下列方程.2222(4)(43)(2)49(3)16(6)x x x x -=--=+ (1)3221222(1)(2)(1)(4)(43)0[(4)(43)][(4)(43)]0(77)(1)0,770101, 1.(2)7(3)][4(6)]0,7(3)4(6)][7(3)4(x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=∴-+----=∴---=∴-=--=∴==---+=-++--分析:方程先移项再利用因式分解法来解,方程移项后也能因式分解.解:移项,得333或原方程化为[ [126)]0,(113)(345)0,3,15.11x x x x +=+-=∴=-=化简为,1).x x x x +-例3 为解决新疆农牧民出行难的问题今年是新疆投资公路建设力度最大、最多的一年，某公路修筑队接受了改建农村公路96千米的任务，为了尽量减少施工带来的交通不便，实际施工时每天比计划多修1千米，结果提前16天完成任务，问原计划每天修多少千米？分析：如果把修路队原来计划每天修（千米），则实际每天修路是(千米,工作任务可根据工作时间=列方程工作效率解:设原计划每天修路千米,由题意得962129616160(3)(2)03(),2:x x x x x x x =++-=∴+-=∴=-= 化简整理得舍去答原计划每天修2千米.【知识运用】1212121212121200550505244552A. B.4C.,4D.,4225(1)(2)034,A B x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -======-==--======+-===-一、选择题1.一元二次方（5）＝0的两个根为（）A.，B.，C.，D.，2.方程（）＝5（）的根为（）3.方程的根是，则这个方程为（）.-1,2 .12C D 34,A.(3)(4)0B.(3)(4)0C.(3)(4)0D.(3)(4)0x x x x x x x x x x ==--+=+-=++=--=1,-2 .0,-1,2 .0,1,-24.已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程为（）22225123,_____.4_____,.5147.235(23)201(21);(2)(5)59.,3,x x x x x x x x x x y x x x +-+=-=+-++++=-=-=2二、填空题:5.若与的值相等则6.当时代数式的值为零用分解因式法解方程:2()的解是_____.三、解答题8.用适当的方法解方程.1(1)2有一个直角三角形它的边长恰是个连续整数这个三角形的三边长是多少?10.有一个两位数,它的十位数字和个位数字的和是5,把这个两位数的十位数字和个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为736,求原来的两位数.第5讲一元二次方程【知识要点】 1、黄金分割：如,图若点C 把线段分成两条线段AB 和BC ，且满足AC BCAB AC=则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.2、列方程解应用题的基本步骤可归纳为：审（审题）；设（设未知数）；列（列方程）解（解方程）；答（答案）.3、列方程解应用题的关键是找出存在的相等关系【典型例题】例1 某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10％，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到五月份营业额的平均增长率.分析：本题属于平均增长率问题，由已知可设月平均增长率为x ，那么3月份的营业额为400（1＋10％）（1＋x ），5月份营业额为400（1＋10％）（1＋x ）2.解：设平均月增长率为x ，由题意得400（1＋10％）（1＋x ）2＝633.6 整理得：（1＋x ）2＝633.61 1.2440x ∴+=± 0.2x ∴= 所以平均月增长率为20％.例2 一块矩形耕地大小尺寸如图所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为9600米2，那么水渠应挖多宽？分析：这类问题的特点是挖蕖所占用土地面积只与挖蕖的条数、渠道的宽度有关，而与渠道的位置无关，为了研究问题方便可分别把沿东西和南北方向挖的渠道移动到一起，那ABC么剩余可耕的长方形土地的长为（162－2x ）米，宽为（64－4x ）米.解：设水渠应挖x 米宽，以题意，得（162－2x ）（64－4x ）＝9600化简，297960x x -+=解得11x =,296x =（舍去）答：水渠应挖1米宽. 【知识运用】一、选择题1．某商店十月份营业额为5000元，十二月份上升到7200元，平均每月增长的百分率是( ) A ．20% B ．.12％ C ．22％ D.10％2．从正方形的铁皮上，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2,则原来的正方形铁皮的面积是（）A. 9cm 2B.68cm 2C. 8cm 2D. 64cm 23．有一个两位数，它的数字和等于14，交换数字位置后，得到新的两位数比原来的两位数大18，则原来的两位数是（）A ．68 B.86 C.－68 D.－864．随着通讯市场竞争日益激烈，某通讯公司的收集市话收费标准按原标准每分钟降低了a 院后，再次下降25％，现在的收费标准是每分钟b 元，则原收费标准是每分钟（） A. 5(1)4b -元 B. 5()4b a +元 C. 3()4b a +元 D 4()3b a +元. 二、填空题5．三个连续偶数，较小的两个数的平方和等于较大的数的平方，则这三个数为________. 6．一个两位数，它的数字之和为9，如果十位数字为a ，那么这个两位数是________;b 把这个两位数的个位数字与十位数字对调组成一个新数，则这个数与原数的差为________. 7.某种手表的成本在两年内以100元降低到81元，那么平均每年降低成本的百分率是_____. 三、解答题8．某工厂计划用两个月把产量提高21％，如果每月比上个月提高的百分数相同，求这个百分数.9．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支出1000元用来购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行.若存款的利率不变，到期后得本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率.10．某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件.现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件.问售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出最大利润.第1讲一、1．C 2.C 3.D 4.D 二、5．一、二，4，0，0 6.m=1,m ≠1 7.222a ab b --三、8.根据题意的1230k k ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩①②由①得k －1=－2解得k=3或k=－1,由②得k ≠3,所以k=－19.由于方程的解使方程的左右两边相等，故将方程的解代入原方程后得到关于a 得方程，求出a 得值，但是需要满足原一元二次方程的二次项系数不为零，故只取a=－1. 10．设步行道的宽度为x 米，根据题意得（80－2x ）.(60－2x)=3500整理，得方程的一般形式为703250x -+=2x 第2讲一、1．A 2.B 3.C 4.B二、5．12x,2x ；6.2(1)3x --；7.22m m -=三、8．121233(1)(2)2,31342x y y y y ±±==-==-=--2（）x=29．2711110)002040x --<原式配方得－（ 2210740,10740x x x x +-=+-即－故－的值恒小于 10．设这两年手机产量平均每年的增长率为x ，根据题意得2124000212(1)980040%,8055x x x +====-解得％（舍去）第3讲一、1．B 2..B 3.D 4.A 二、5．24-- 6.2 7.x=－1三、8．设直角三角形的较短的直角边长为xcm ，则较长的直角边长为（x+2）cm.根据题意得：2001)0(4)02402x x k k k k =∴=+⨯++⨯-+=∴=Q 方程有零根即将代入方程得，（2121(2)24248026,8()2810x x x x x x x +=∴+-===-∴+=∴∴解得不符合题意舍去较长直角边为直角三角形的周长为6＋8＋10＝24（cm ）9． 10．要使方程是x 的一元二次方程，则由一元二次方程的定义.有220,2,1a a a a x --≠∴≠≠-且时该方程时关于的一元二次方程第4讲一、1．C 2.A 3.C 4.C 二、5.－ 1或4 6.x ＝－27.260,y y x +-==三、8.（1）y＝12±（2）121x x 5==- 9. 3，4，5 10. 32，23第5讲一、1．C 2.A 3.B 4.D 二、5. 7,6,8 6.9a+9,81－18a 7.10%三、8.设每月提高的百分率为x,原产量为a ，以题意得a(1+x)2=a(1+21%)220(1) 1.210.110% 2.1(10a x x ≠∴+====-∴Q 1解得x 舍去）为％9.设此种存款的年利率为x ，由题意得：【2000（1＋x ）－1000】(1+x)=1320 所以年利率为10％10．设此种商品的售价为x 元，商品所赚利润s 最大.2210.(20010)2040020(10)20000.5102000.x s x x x s x x s -=-⨯=-+∴=--+∴=当时，取最大值。

初中数学一元二次方程全章复习与巩固(基础)

《一元二次方程》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法 1．基本思想一元二次方程⎯⎯⎯→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42−叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42−=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根. （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根. （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x −=+21，a cx x =21.注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 要点诠释：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况. (2)根据参系数的性质确定根的范围. (3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数.(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数. (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题. 二是把握问题中的等量关系. 三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等). 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量). 列 (根据题目中的等量关系，列出方程).解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰). 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）. 答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. 要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A ．2210x x+=B ．20ax bx c ++= C ．(1)(2)1x x −+=D ．223250x xy y −−=【答案】C【解析】A ：不是整式方程，故本选项错误.B ：当a =0时，即ax 2+bx +c =0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程，故本选项错误.C ：由原方程，得x 2+x-3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确.D ：方程3x 2-2xy -5y 2=0中含有两个未知数；故本选项错误．故选C ．【总结升华】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2 （2）二次项系数不为0 （3）是整式方程（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．举一反三：【变式】关于x 的方程22(28)(2)10a a x a x −−++−=,当a 时为一元一次方程；当a 时为一元二次方程.【答案】a =4；a ≠4且a ≠-2.类型二、一元二次方程的解法2．用适当的方法解一元二次方程 (1) 0.5x 2-=0 (2) (x+a)2=(3) 2x 2-4x-1=0 (4) (1-)x 2=(1+)x【答案与解析】 (1)原方程可化为0.5x 2=∴x 2=用直接开平方法，得方程的根为 ∴x 1=，x 2=-(2)原方程可化为x 2+2ax+a 2=4x 2+2ax+∴x 2=a 2用直接开平方法，得原方程的根为 ∴ x 1=a ，x 2=-a ．(3) a=2，b=-4，c=-1b 2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=∴x1=，x2=.(4)将方程整理，得(1-)x2-(1+)x=0用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0∴ x1=0，x2=-3-2．【总结升华】在以上归纳的几种解法中，因式分解法是最简便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以运用这种方法，所以要善于及时观察标准的二次三项式在有理数范围内是否能直接因式分解，凡能直接因式分解的，应首先采取这种方法．公式法是可以解任何类型的一元二次方程，但是计算过程较繁琐，所以只有选择其他解法不顺利时，才考虑用这种解法．虽然先配方，再开平方的方法也适用于任何类型的一元二次方程，但是对系数复杂的一元二次方程，配方的过程比运用公式更繁琐，所以，配方法适用于系数简单的一元二次方程的求解．举一反三：【变式】解方程． (1)(3x-2)2+(2-3x)＝0 (2)2(t-1)2+t＝1【答案】(1)原方程可化为：(3x-2)2-(3x-2)＝0，∴ (3x-2)(3x-2-1)＝0∴ 3x-2＝0或3x-3＝0，∴12 3x=，21x= (2)原方程可化为：2(t-1)2+(t-1)＝0∴ (t-1)[2(t-1)+1]＝0∴ (t-1)(2t-1)＝0，∴ t-1＝0或2t-1＝0∴11t=，21 2t=类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．（2020•荆门）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a＞1 C．a≤1 D．a＜1【答案】A【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根∴△=（﹣4）2﹣4（5﹣a ）≥0 ∴a ≥1 故选A ．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于零，求出a 的取值范围．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4．已知x 1、x 2是关于x 的方程2220x x t −++=的两个不相等的实数根，（1）求t 的取值范围；（2）设2212s x x =+，求s 关于t 的函数关系式．【答案与解析】(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即t ＜-1． (2)由一元二次方程根与系数的关系知：122x x +=,122x x t =+，从而2212s x x =+21212()2x x x x =+−222(2)2t t =−+=−，即2(1)s t t =−<−．【总结升华】利用根与系数关系求函数解析式综合题. 举一反三：【变式】已知关于x 的一元二次方程222(1)x m x m =−−的两实数根为1x ，2x ．（1）求m 的取值范围；（2）设12y x x =+，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为222(1)0x m x m +−+=． ∵ 原方程有两个实数根．∴ 22[2(1)]4840m m m =−−=−+≥△，∴ 12m ≤．（2） 1222y x x m =+=−+，且12m ≤．因为y 随m 的增大而减小，故当12m =时，取得最小值1．类型五、一元二次方程的应用5．如图所示，在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长．【答案与解析】设小正方形的边长为xcm，由题意得4x2＝10×8×(1-80%)．解得x1＝2，x2＝-2．经检验，x1＝2符合题意，x2＝-2不符合题意舍去．∴ x＝2．答：截去的小正方形的边长为2cm．【总结升华】设小正方形的边长为x cm，因为图中阴影部分面积是原矩形面积的80%，所以4个小正方形面积是原矩形面积的20%．举一反三：【变式】（2020春•启东市月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在欲砌50m长的墙，砌成一个面积300m2的矩形花园，则BC的长为多少m?【答案】解：设AB=x米，则BC=（50﹣2x）米．根据题意可得，x（50﹣2x）=300解得：x1=10，x2=15当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25故x1=10（不合题意舍去）50﹣2x=50﹣30=20答:BC的长为20m．6．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案与解析】设每床每晚提高x个2元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得x2-5x+6＝0解得，x1＝2，x2＝3∴当x＝2时，2x＝4当x＝3时，2x＝6答：每床每晚提高4元或6元均可．【总结升华】这是商品经营问题，总利润＝每张床费×床数．可设每床每晚提高x个2元，则床费为(10+2x)元，由于每晚每床提高2元，出租出去的床位减少10张，则出租出去的总床位为(100-10x)张，据此可列方程．【巩固练习】一、选择题1.已知1是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1=0的一个根，则m 的值是（）A.1B.﹣1C.0D.无法确定2．若一元二次方程式ax （x ＋1）＋（x ＋1）（x ＋2）＋bx （x ＋2）＝2的两根为0．2，则|3a ＋4b |之值为何（）A ．2B ．5C ．7D ．83．（2020•濠江区一模）某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为（） A ．2%B ． 5%C ． 10%D ． 20%4．将代数式x 2+4x-1化成（x+p ）2+q 的形式（）A.（x-2）2+3 B.（x+2）2-4 C.（x+2）2-5 D.（x+2）2+45．若关于x 的一元二次方程2210kx x ++=有实数根，则k 的取值范围是（）． A ．k ＜0 B ．k ≤0 C ．k ≠1且k ≠0 D ．k ≤1且k ≠06．从一块正方形的铁片上剪掉2 cm 宽的长方形铁片，剩下的面积是48 cm 2，则原来铁片的面积是( )A.64 cm 2B.100 cm 2C.121 cm 2D.144 cm 27．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定 8．如果关于x 的方程ax 2+x-1=0有实数根，则a 的取值范围是( ) A ． B ． C ．且 D ．且二、填空题9．已知关于x 的方程x 2+mx ﹣6=0的一个根为2，则m = ，另一个根是．10．（2020秋•青海校级期末）有一间长20m ，宽15m 的矩形会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则地毯的长、宽分别为和． 11．关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a −++−=有一个根为0，则a = .12．阅读材料：设一元二次方程似20ax bx c ++=(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：12bx x a+=−，12c x x a=，根据该材料填空：已知x 1，x 2是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为________． 13．已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是___________________.14．设x 1，x 2是一元二次方程x 2-3x-2＝0的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为________． 15．问题1：设a 、b 是方程x 2＋x －2012＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为；问题2：方程x 2－2x －1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则（x 1―1）（x 2―1）＝；问题3：已知一元二次方程x 2－mx ＋m －2＝0的两个实数根为x 1、x 2且x 1x 2（x 1＋x 2）＝3，则m 的值是；问题4：已知一元二次方程x 2-2x+m=0,若方程的两个实数根为X 1,X 2，且X 1+3X 2=3,则m 的值是 . 16．某校2010年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2012年共捐款4.75万元，则该校捐款的平均年增长率是 .三、解答题17．某两位数的十位数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数.18. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率．19．（2020•十堰）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m+3）x+m 2+2=0．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=31+|x 1x 2|，求实数m 的值．20．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x 元，商场一天可获利润y 元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y 与x 之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元？【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，解得：m=﹣1．故选B．2.【答案】B；【解析】先根据一元二次方程式ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（x＋2）＝2的根确定a．b的关系式．然后根据a．b的关系式得出3a＋4b＝－5．用求绝对值的方法求出所需绝对值．3.【答案】D；【解析】设平均每月增长的百分率为x，根据题意，得50（1+x）2=72，解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）故选D．4.【答案】C；【解析】根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=（x+2）2-5，故选C．5.【答案】D；【解析】因为方程是一元二次方程，所以k≠0，又因为一元二次方程有实数根，所以△≥0，即△＝4-4k≥0，于是有k≤1，从而k的取值范围是k≤1且k≠0．6．【答案】A；【解析】本题用间接设元法较简便，设原铁片的边长为xcm.由题意，得x(x－2)=48，解得x1=－6(舍去)，x2=8.∴x2=64，即正方形面积为64 cm2.7.【答案】A；【解析】由t是方程的根得at2+bt+c=0,M=4a2t2+4abt+b2=4a(at2+bt)+b2= b2-4ac=△.8．【答案】B；【解析】注意原方程可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程.二、填空题9．【答案】1；﹣3．【解析】根据一元二次方程的解定义，将x =2代入关于x 的方程x 2+mx ﹣6=0，然后解关于m 的一元一次方程；再根据根与系数的关系x 1+x 2=﹣b a解出方程的另一个根． 10．【答案】 15m ，10m ；【解析】设留空宽度为xm ，则（20﹣2x ）（15﹣2x ）=20×15×，整理得：2x 2﹣35x+75=0，即（2x ﹣5）（x ﹣15）=0，解得x 1=15，x 2=2.5，∵20﹣2x ＞0，∴x＜10，∴x=2.5， ∴20﹣2x=15，15﹣2x=10．∴地毯的长、宽分别为15m 和10m ．11．【答案】-1；【解析】把x=0代入方程得1a =±,因为10a −≠，所以1a =−.12．【答案】10；【解析】此例首先根据阅读部分，明确一元二次方程根与系数的关系，然后由待求式2112x x x x +变形为2221212121212()2x x x x x x x x x x ++−=，再整体代换．具体过程如下：由阅读材料知 x 1+x 2＝-6，x 1x 2＝3．而222221121212121212()2(6)23103x x x x x x x x x x x x x x ++−−−⨯+====． 13．【答案】3和5或-3和-5；【解析】注意不要丢解.14．【答案】7；【解析】∵ x 1，x 2是一元二次方程2320x x −−=的两实数根，∴ x 1+x 2＝3，x 1x 2＝-2∴ 222222112211221212123(2)()3(2)7x x x x x x x x x x x x x x ++=+++=++=+−=15．【答案】2011；-2；m=-1或3；m=34.【解析】由于a，b是方程x2+x-2012=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到a+b=-1，并且a2+a-2012=0，然后把a2+2a+b可以变为a2+a+a+b，把前面的值代入即可求出结果．16．【答案】50%；【解析】设该校捐款的平均年增长率是x，则，整理，得，解得，答：该校捐款的平均年增长率是50%.三、解答题17.【答案与解析】设原两位数的十位数字为x，则个位数字为（5－x），由题意,得［10x+(5－x)］［10(5－x)+x］=736.整理,得x2－5x+6=0,解得x1=2,x2=3.当x=2时5－x=3,符合题意，原两位数是23.当x=3时5－x=2符合题意，原两位数是32.18.【答案与解析】设这两个月的平均增长率是x．，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）．答：这两个月的平均增长率是10%．19.【答案与解析】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，∴m≥﹣；（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，∵x12+x22=31+|x1x2|，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．20.【答案与解析】⑴若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100×（100－80）＝2000（元）⑵①依题意得：（100－80－x）（100+10x）＝2160即x2－10x+16=0解得：x1=2,x2=8经检验：x1=2,x2=8都是方程的解，且符合题意.答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元.②依题意得：y=（100－80－x）（100+10x）∴y=－10x2+100x+2000=－10(x－5)2+2250画草图（略）观察图像可得：当2≤x≤8时，y≥2160∴当2≤x≤8时，商店所获利润不少于2160元．。

李楠：一元二次方程全章复习

（要求：先自主学习，再小组讨论）
1.关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0 有两个不相等的实数根，则K的取值范围是； 2.判断关于的一元二次方程x2-mx+m-2=0的根的情况是； 3.若方程2x2+3x-1=0的两个根分别为x1，x2，则（1+x1）（1+x2）的值是； 4.设关于x的方程x2-2x+m=0的两根为x1，x2，
一元二次方程（复习课）
温故知新1 ☞一元二次方程的定义只含有一个未知数,未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程。
一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0) 思考
一元二次方程ax²+bx +c =0 （1）若x=1是它的一个根，则a+b+c= ____；若x=m是它的一个根，则_______；（2）若a-b+c=0，则方程必有一根为_____。
课堂小结及小组评价
谈谈本节课你有哪些收获？还有那些困惑？
由课代表宣布本节课表现优秀的小组及个人。。。
课堂小结及小组评价
②当b2-4ac＜0时，方程无实根
b c x1+x2= x1.x2= a a
一提二套三分组，阵法熟练不马虎；
因式分解法
3项十字相乘法，4项以上要分组。
温故知新3
☞ 列一元二次方程解应用题
题型：几何图形面积、体积问题、增长率（含负增长）问题、经济类问题、数字问题及其它
步骤:
审、设、列、解、检、答．注意:在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求．
若2x1-x2=1，则方程两实根是__，m= __ ． 5.已知方程x2+3x-2011=0的两个根分别为a，b, 则a2+2a-b的值是______ ；

《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解

《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解一元二次方程是高中数学中的重要内容，它是一种形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。

解一元二次方程的方法有因式分解、配方法和求根公式法。

下面将对这些解法进行讲解。

一、因式分解法如果一元二次方程能够因式分解为两个一次因式的乘积，即 (px + q) (rx + s) = 0，那么方程的解就可以直接得到。

具体步骤如下：1. 将二次方程化简成标准形式：ax^2 + bx + c = 0；2. 因式分解方程：(px + q) (rx + s) = 0；3. 解方程：px + q = 0 或 rx + s = 0；4.求解方程得到x的值。

例如，对方程x^2-5x+6=0应用因式分解法：1.方程已经是标准形式；2.可以将方程改写为(x-2)(x-3)=0；3.解方程得到x-2=0或x-3=0；4.求解方程可得x=2或x=3，这就是原方程的解。

二、配方法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，有时候可以通过配方法将方程转化为一个平方差或一个完全平方式。

具体步骤如下：1.当a≠0时，将方程两边同时除以a，化简为x^2+(b/a)x+c/a=0；2. 计算出一个值k，使得(b/a)^2 + 2(b/a)k + k^2 = k^2、其中，2(b/a)k为bx的一半，k^2为(c/a)的相反数的一半；3.将方程变形为(x+k)^2+m=0，即(x+k)^2=-m；4.解方程得到x+k=±√(-m)；5.求解方程得到x的值。

例如，对方程x^2-6x+8=0应用配方法：1.将方程化简为(x-3)^2-1=0；2.得到k=3，使得(-6/2)^2+2(-6/2)k+k^2=1；3.方程变形为(x-3)^2=1；4.解方程得到x-3=±1；5.求解方程可得x=2或x=4，这就是原方程的解。

三、求根公式法一元二次方程的求根公式是美国数学家Vieta发现的，它的公式形式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。

第1章一元二次方程(章末复习)九年级数学上册(苏科版)

看左右两边是否相等
课堂检测
知识精讲
例3、(1)关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a
的值为（ A ）
A．-1
B．1
C．1或-1
D．0.5
(2)若9a-3b+c=0，a≠0，则方程ax²+bx+c=0必有一个根是_______．
-3
知识点4：直接开平方法解一元二次方程
1.1定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式
方程，叫做一元二次方程
1.2三要素：
（1）是整式方程
（2）一元：只含有一个未知数
（3）二次：未知数的最高次数是2
知识点1：一元二次方程的定义
知识梳理
1.3判断一个方程是否是一元二次方程应注意：
（1）“是整式方程”
（2）“只含有一个未知数”
知识梳理
4.1定义：直接通过求平方根来解一元二次方程的方法，叫做直接
开平方法．
适用类型
注意：
方程一般有两解，不要
漏解~
方程的解
x2=k（k≥0）
x=± (当k=0时,x1=x2=0)
(x+h)2=k(h、k为常数,k≥0)
x=-h±
(ax+h)2=k(a、h、k为常数,a≠0,k≥0)
−±
有两个相等的实数根
Δ=b2-4ac<0
没有实数根
知识精讲
课堂检测
例7、若关于x的一元二次方程(k-5)x2-2x+2=0有实数根，则整数k
的最大值为_______．
4
知识梳理
知识点8：因式分解法解一元二次方程
8.1定义：
当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的

《一元二次方程》全章复习

《一元二次方程》全章复习1．一元二次方程的有关概念2．配方法的应用3．根判别式，根与系数的关系4．一元二次方程的解法：1）直接开平方法 2)因式分解法 3）配方法 4）公式法5．实际问题：1）传播与数字问题 2）增长率与销售问题 3）有关面积的问题【巩固练习】1.下列方程是一元二次方程的是（） A.211x x x-=+ B.224x xy y -+= C.20ax bx c +=+ D.(x 1)1x x -=- 2.在一元二次方程2410x x --=中，二次项系数和一次项系数分别为（）A.1，4B.1，-4C.-1，-4D.2,4x x -3.在一元二次方程260x kx --=中，已知一个根为3x =，则实数k 的值为（）A.1B.-1C.2D.-24.关于x 的一元二次方程22(a 1)10x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（）A.1B.-1C.1或-1D.12 5.若关于x 的一元二次方程220x x m -+=没有实数根，则实数m 的取值范围是（）A.m <1B.m > -1C.m < -1D.m > 16. 若关于x 的方程2(m 1)02x m mx +-+=有两个不等的实数根，则m 的取值范围是7. 已知2410x x a +=-可变为2(2)x b -的形式，则ab=8. 若关于x 的方程2(2)10x x m m +++=-有两个相等的实数根，则m=9.已知一个矩形长比宽多2cm ，其面积为82cm ，则此长方形的周长是10. 若方程2310x x b +=+无解，则b 应满足的条件是11. 若关于x 的方程22(21)20k x x k -+-+=+有实数根，则k 的取值范围是 12. 若分式2817x x x -+-的值为0，则x= 13. 关于x 的方程22202x x a b a +-=+的根是14. 若关于x 的方程260x x k +=+的两根之差为2，则k=15. 已知关于x 的方程22(31)0x x m m --+=有两根为12,x x ，且121134x x +=-，则m= 16.用恰当的方法解下列方程：（1）21(3)13x += （2）2(21)2(2x 1)x +=+（3）(x 8)16x += （4）2280x x +-=（5）22(32)(2x 1)x +=- （5）2(21)4(21)40y y +-++=17.已知,αβ是方程2250x x +-=的两个实数根，求22ααβα++的值18.已知12,x x 是方程2214160x x +-=的两个实数根，求下列代数式的值，（1）212()x x - （2）2112x x x x + （3）12(2)(2)x x -- （4）12x x -19.已知关于x 的方程222(a 1)740x x a a +-+--=的两根为12,x x ，且满足12123340x x x x --+=，求a 的值20.实数k 在什么范围取值时，方程22(k 1)0kx kx -+-=有两个正的实数根21.若关于x 的方程2430x x k -+-=的两根为12,x x ，且满足123x x =，试求出方程的两个实数根及k 的值23.若n > 0，关于x 的方程21(m 2n)04x x mn --+=有两个相等的正的实数根，求m n24.如果2246130x x y y -++=，求(xy)z25.水果店花500元进了一批水果，按40%的利润定价，无人购买．决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利67元．若两次打折相同，每次打了几折？26.如图，在△ABC中，AB=10m，BC= 40m，∠C=90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着CB匀速移动，几秒时，△PCQ的面积等于450m2?25.某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为_________ 万元；（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）。

2022年人教版九年级上《章末复习(一)一元二次方程》同步练习(附答案)

章末复习(一) 一元二次方程根底题知识点1 一元二次方程的有关概念1．(诏安模拟)m 是方程x 2－x －1＝0的一个根，那么代数式m 2－m 的值等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．22．方程(a －2)xa 2－2＋3x ＝0是关于x 的一元二次方程，那么a 的值为________．知识点2 一元二次方程的解法3．(宁夏中考)一元二次方程x(x －2)＝2－x 的根是( )A ．－1B ．2C ．1和2D ．－1和24．(随州中考)用配方法解一元二次方程x 2－6x －4＝0，以下变形正确的选项是( )A ．(x －6)2＝－4＋36B ．(x －6)2＝4＋36C ．(x －3)2＝－4＋9D ．(x －3)2＝4＋95．(深圳校级模拟)一元二次方程4x 2－x ＝1的解是( )A ．x ＝0B ．x 1＝0，x 2＝4C ．x 1＝0，x 2＝14D ．x 1＝1＋178，x 2＝1－1786．解以下一元二次方程：(1)(2x ＋3)2－81＝0；(2)x 2－6x －2＝0；(3)5x(3x ＋2)＝6x ＋4.知识点3 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系7．(湘西中考)以下方程中，没有实数根的是( )A ．x 2－4x ＋4＝0B ．x 2－2x ＋5＝0C ．x 2－2x ＝0D ．x 2－2x －3＝08．(张家界中考)假设关于x 的一元二次方程kx 2－4x ＋3＝0有实数根，那么k 的非负整数值是( )A ．1B ．0，1C ．1，2D ．1，2，39．(怀化中考)设x 1，x 2是方程x 2＋5x －3＝0的两个根，那么x 21＋x 22的值是( )A ．19B ．25C ．31D ．3010．(内江中考)关于x 的方程x 2－6x ＋k ＝0的两根分别是x 1，x 2，且满足1x 1＋1x 2＝3，那么k 的值是________．知识点4 用一元二次方程解决实际问题11．(佛山中考)如图，将一块正方形空地划出局部区域进行绿化，原空地一边减少了2 m ，另一边减少了3 m ，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，那么原正方形空地的边长是()A．7 mB．8 mC．9 mD．10 m12．(东营中考)2021年东营市某楼盘以每平方米6 500元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2021年的均价为每平方米5 265元．(1)求平均每年下调的百分率；(2)假设2021年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购置一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？(房价每平方米按照均价计算)中档题13．(安顺中考)三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，那么该三角形的周长为() A．14 B．12C．12或14 D．以上都不对14．(安顺中考)假设一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，那么一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第象限()A．四B．三C．二D．一15．x＝1是关于x的方程(1－k)x2＋k2x－1＝0的根，那么常数k的值为________．16．(随州中考)观察以下图形规律：当n＝________时，图形“●〞的个数和“△〞的个数相等．17．(毕节中考)一个容器盛满纯药液40 L，第一次倒出假设干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10 L，那么每次倒出的液体是________L.18．(日照中考)如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2－m＝3，n2－n＝3，那么代数式2n2－mn＋2m＋2 015＝________．19．(乌鲁木齐中考)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？20．阅读以下例题的解答过程：解方程：3(x－2)2＋7(x－2)＋4＝0.解：设x－2＝y，那么原方程化为：3y2＋7y＋4＝0.∵a＝3，b＝7，c＝4，∴b2－4ac＝72－4×3×4＝1.∴y ＝－7±12×3＝－7±16.∴y 1＝－1，y 2＝－43. 当y ＝－1时，x －2＝－1，∴x ＝1；当y ＝－43时，x －2＝－43，∴x ＝23. ∴原方程的解为：x 1＝1，x 2＝23. 请仿照上面的例题解一元二次方程：2(x －3)2－5(x －3)－7＝0.综合题21．(广元中考)李明准备进行如下操作实验：把一根长40 cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积和等于58 cm 2，李明应该怎么剪这根铁丝？(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2.你认为他的说法正确吗？请说明理由．参考答案根底题1.C2.－23.D4.D5.D6.(1)(2x ＋3)21＝3，x 2＝－6.(2)x 1＝3＋11，x 2＝3－11.(31＝－23，x 2＝25. 7.B 8.A 9.C 10.2 11.A12.(1)设平均每年下调的百分率为x ，根据题意，得6 500(1－x)21＝0.1＝10%，x 2＝1.9(不合题意，舍去)．答：平均每年下调的百分率为10%.(2)如果下调的百分率相同，2021年的房价为：5 265×(1－10%)＝4 738.5(元/m 2)．那么100平方米的住房的总房款为：100×4 738.5＝473 850(元)＝47.385(万元)．∵，∴张强的愿望可以实现．中档题13.B 14.D 15.0或1 16.5 17.20 18.2 02619.设降价x 元，那么售价为(60－x)元，销售量为(300＋20x)件，根据题意，得(60－x －40)(300＋20x)＝6 080，解得x 1＝1，x 2＝4，又因为顾客得实惠，故取x ＝4，即定价为56元．答：应将销售单价定为56元．20.设x －3＝y.那么原方程化为：2y 2－5y －7＝0.∵a ＝2，b ＝－5，c ＝－7，∴b 2－4ac ＝(－5)2－4×2×(－7)＝81.∴y ＝5±812×2＝5±94.∴y 1＝－1，y 2＝72.当y ＝－1时，x －3＝－1，∴x ＝2；当y ＝72时，x －3＝72，∴x ＝132.∴原方程的解为：x 1＝2，x 2＝132. 综合题21．(1)设其中一个正方形的边长为x cm ，那么另一个正方形的边长为(10－x)cm ，由题意得x 2＋(10－x)21＝3，x 2＝7，∴这两个正方形的周长分别为4×3＝12(cm)，4×7＝28(cm)，∴李明应该把铁丝剪成12 cm 和28 cm 的两段．(2)李明的说法正确．设其中一个正方形的边长为y cm ，那么另一个正方形的边长为(10－y)cm ，由题意得y 2＋(10－y)2＝48，整理得y 2－10y ＋26＝0，∵Δ＝(－10)2－4×1×26＝－4＜0，∴此方程无实数根．即这两个正方形的面积之和不能等于48 cm 2.∴李明的说法是正确的．。

人教版九年级数学上学期第二十一章一元二次方程期末复习题

人教版九年级数学上学期第二十一章一元二次方程期末复习题一、单选题1．（2022·四川遂宁·九年级期末）下列方程中，一元二次方程有（）①3x 2+x ＝20；②2x 2﹣3xy +4＝0；③214x x -=；④x 2＝1；⑤2303x x -+= A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个2．（2022·四川成都·九年级期末）一元二次方程x 2﹣2x ﹣4＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（）A ．1，﹣2，﹣4B ．1，2，4C ．1，2，﹣4D ．1，﹣2，43．（2022·四川资阳·九年级期末）若0x =是关于x 的一元二次方程22(1)210m x x m -++-=的解，则m 的值为（） A ．1m =± B ．0m = C ．1m = D ．1m =-4．（2022·四川乐山·九年级期末）m 是方程220x x +-=的根，则代数式2222022m m +-的值是( )A ．-2018B ．2018C ．-2026D ．20265．（2022·四川成都·九年级期末）用配方法解方程x 2+4x ﹣5＝0，配方后正确的是（）A ．（x +2）2＝9B ．（x +2）2＝5C ．（x ﹣2）2＝1D ．（x +4）2＝216．（2022·四川眉山·九年级期末）关于x 的一元二次方程()22310a x x +-+=有实数根，则a 的取值范围是（）A ．14a ≤且2a ≠-B ．14a ≤C ．14a <且2a ≠-D ．14a < 7．（2022·四川宜宾·九年级期末）以下关于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的说法中，不正确的是（） A ．若c ＝0，则方程20ax bx c ++=一定有一根为0；B ．若0b =，则方程20ax bx c ++=一定有两个实数根；C ．若0a b c -+=，则方程20ax bx c ++=必有一根为－1；D ．若0ac <，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实数根．8．（2022·四川巴中·九年级期末）若一元二次方程x 2﹣5x ﹣7＝0有两实数根x 1和x 2，下列选项正确的是（）A ．x 1＋x 2＝﹣5B ．x 1x 2＝7C ．x 1＝x 2D ．x 1x 2﹣x 1﹣x 2＝﹣129．（2022·四川乐山·九年级期末）新冠肺炎病毒传染性很强，一个人感染新冠肺炎病毒后会感染一批人，我们称为第一轮传播，如果不加控制，这个人与第一批感染的人一起再感染下一批人，我们称为第二轮传播．某地一人感染后经过两轮传播，被感染的总人数达到121人，设每轮传播中平均一个人会感染x 个人，则下列方程正确的是( ) A ．12121x +=B ．21121x +=C ．21(1)121x x +++=D ．1(1)121x x x +++=10．（2022·四川广元·九年级期末）某药品经过两次降价，每瓶零售价由112元降为63元．已知两次降价的百分率相同．要求每次降价的百分率，若设每次降价的百分率为x ，则得到的方程为（）二、填空题11．（2022·四川德阳·九年级期末）已知方程230x mx +-=的一个根是1，则m 的值为________．12．（2022·四川广元·九年级期末）若（m -2）22m x --mx +1=0是一元二次方程，则m 的值为______． 13．（2022·四川成都·九年级期末）一元二次方程2x +px -2=0的一个根为2，则p 的值________．14．（2022·四川宜宾·九年级期末）已知α、β是方程220x x +-=的两个实数根，则代数式223ααβ的值是________．15．（2022·四川资阳·九年级期末）若α、β是关于x 的一元二次方程210x x +-=的两个实数根，则代数式22αβαβ+的值是_________．16．（2022·四川乐山·九年级期末）如果α、β是一元二次方程2320x x +-=的两个根，则242021ααβ+++的值是______．17．（2022·四川巴中·九年级期末）《算法宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云周一百二十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，且周长为120步，问它的长比宽多了多少步？则这块矩形田地的长比宽多了______步．18．（2022·四川达州·九年级期末）如图，有一块长21,m 宽10m 的矩形空地，计划在这块空地上修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相同的人行通道，两块绿地的面积和为290m ．设人行通道的宽度为xm ，根据题意可列方程：_______________________．三、解答题19．（2022·四川广元·九年级期末）解方程：(1)2410x x -=+(2)2(21)3(21)x x +=+20．（2022·四川成都·九年级期末）（1）计算：（13）-1﹣（﹣1）2022+（1﹣π）0 （2）解方程：（x +1）2＝3（x +1）．(1)230x x -=(2)2x ﹣4x+4=022．（2022·四川资阳·九年级期末）用适当的方法解下列方程．(1)234x x =(2)225x x +=23．（2022·四川达州·九年级期末）解方程：(1)(21)3(21)x x x +=+；(2)2320x x -+=．24．（2022·四川眉山·九年级期末）解方程：()()11?x x x -+= 25．（2022·四川遂宁·九年级期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，若该商品每件降价x 元．(1)该商品每星期可卖出件（用含x 的代数式表示）；(2)销售该商品要想每星期盈利6120元，每件商品应降价多少元?26．（2022·四川广元·九年级期末）某花卉中心销售一批兰花，每盆进价 100 元，售价 140 元，平均每天售出 20 盆．春节来临之际，为扩大销量，增加利润，该店决定适当降价．据调查，每盆兰花每降价 1 元，每天可多售出 2 盆．要使得每天利润达到 1200元，则每盆兰花售价应定为多少元？27．（2022·四川宜宾·九年级期末）若整数m 使关于x 的方程（m ＋1）x 2－（2m －1）x ＋m ＝0有实数根，且使关于x 的分式方程144x m x x+=---有正分数解，求所有满足条件的整数m 的值． 28．（2022·四川成都·九年级期末）某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．经调查发现，这种台灯的售价x 每上涨1元，其销售量y 就将减少10个（40≤x ≤60）．(1)求每月销售量y （用含x 的代数式表示）．(2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应购进台灯多少个？29．（2022·四川乐山·九年级期末）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？参考答案：1．B【解析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．解：①符合一元二次方程定义，正确；①方程含有两个未知数，错误；①不是整式方程，错误；①符合一元二次方程定义，正确；①符合一元二次方程定义，正确．故选B．判断一个方程是否是一元二次方程时，首先判断方程是整式方程，若是整式方程，再把方程进行化简，化简后是含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，在判断时，一定要注意二次项系数不是0．2．A【解析】根据一元二次方程的一般形式确定出所求即可．解：方程x2-2x-4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为1、-2、-4．故选：A．此题考查了一元二次方程的一般形式及一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项概念，其一般形式为ax2+bx+c=0（其中a，b，c为常数，且a≠0）,注意：系数要包括项的符号．3．D【解析】根据一元二次方程的解的定义、一元二次方程的定义求解，把x＝0代入一元二次方程即可得出m 的值．解：把x＝0代入方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0，得m2﹣1＝0，解得：m＝±1，①m﹣1≠0，①m≠1，m＝﹣1，故选：D．本题考查了一元二次方程的解的定义、一元二次方程的定义，解题的关键是运用一元二次方程解的定义易得出m的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件m﹣1≠0．4．A【解析】把x m =代入220x x +-=得到22m m +=，进而得到2224m m +=，代入2222022m m +-进行计算即可求解．解：①m 是方程220x x +-=的根，①220m m +-=①22m m +=，①2224m m +=，①2222022m m +-42022=-2018=-．故选：A ．本题考查了一元二次方程的解的定义．本题采用了“整体代入”数学思想解题．5．A【解析】先把常数项移到右边，然后两边同时加上一次项系数的一半的平方，然后把方程左边写成完全平方的相似即可．解：x 2+4x -5=0，x 2+4x =5，x 2+4x +4=9，（x +2）2=9．故选A ．本题考查了解一元二次方程—配方法：将一元二次方程配成（x +m ）2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．6．A【解析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a +2≠0且①≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．解：①关于x 的一元二次方程()22310a x x +-+=有实数根，①①≥0且a +2≠0，①（-3）2-4（a +2）×1≥0且a +2≠0，解得：a ≤14且a ≠-2，故选：A ．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与①=b 2-4ac 有如下关系：当①＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当①=0时，方程有两个相等的两个实数根；当①＜0时，方程无实数根．7．B【解析】根据解一元二次方程的方法，判别式的意义，一元二次方程的解的定义逐项判断即可．解：A 、若c ＝0，则方程为20ax bx +=，即()0x ax b +=，①方程20ax bx c ++=一定有一根为0，正确，不符合题意；B 、若0b =，则方程为20ax c +=，①244b ac ac ∆=-=-，①只有当ac ≤0时，即0∆≥，方程20ax bx c ++=有两个实数根，故原说法错误，符合题意；C 、将x ＝－1代入方程20(0)ax bx c a ++=≠可得：0a b c -+=，①若0a b c -+=，则方程20ax bx c ++=必有一根为－1，正确，不符合题意；D 、①ac ＜0，①Δ＝b 2−4ac ＞0，①方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不相等的实数根，正确，不符合题意；故选：B ．此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根，Δ＜0⇔方程没有实数根．8．D【解析】根据根与系数的关系和根的判别式进行计算．解：一元二次方程2570x x --=有两实数根1x 和2x ，125x x ∴+=，127x x =-．121212x x x x ∴--=-．又△2(5)41(7)530=--⨯⨯-=≠．12x x ∴≠．观察选项，只有选项D 符合题意．故选：D ．本题主要考查了根与系数的关系，根的判别式．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与系数的关系为：12b x x a+=-，12c x x a ⋅=． 9．D【解析】设一个人平均感染x 人，再分别表示每轮感染后被感染的人数，根据经过了两轮的传播后被感染的总人数将达到121人，即可得出关于x 的一元二次方程．解：设一个人平均感染x 人，则第一轮感染后共有()1x +人被感染，第二轮感染后共有11x x x 人被感染，①1+x +（1+x ）x =121，故选：D ．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．A【解析】根据题意可得等量关系：原零售价×（1-百分比）（1-百分比）=降价后的售价，然后根据等量关系列出方程即可．设每次降价的百分率为x ，由题意得：112(1−x)2=63，故答案选：A.本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是熟练的掌握由实际问题抽象出一元二次方程.11．2【解析】根据一元二次方程根的定义，即可求解．解：将1x =代入得：130m +-=，解得2m =．故答案是：2．本题主要考查一元二次方程的根，掌握一元二次方程根的定义，是解题的关键．12．﹣2【解析】一元二次方程是指：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2次的整式方程，据此即可得答案．根据定义可得：22220m m ⎧-=⎨-≠⎩，解得：m =-2．13．-1把x=2代入方程x 2+px ﹣2=0得4+2p ﹣2=0，解得p=﹣1．故答案为﹣1．14．3【解析】根据α、β是方程220x x +-=的两个实数根，可得220,1αααβ+-=+=-，从而得到2224αα+=，再代入，即可求解．解：①α、β是方程220x x +-=的两个实数根，①220,1αααβ+-=+=-，①22αα+=，①2224αα+=，①222322413ααβαααβ．故答案为：3．本题主要考查了一元二次方程的根及根与系数的关系，熟练掌握若1x ，2x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根，则12b x x a+=-，12c x x a ⋅=是解题的关键． 15．1【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系1αβ+=-，1αβ=-，再将（22αβαβ+）因式分解并代入计算即可．解：①根据一元二次方程的根与系数的关系，可知111b a αβ+=-=-=-，111c a αβ-===-， ①22()(1)(1)1αβαβαβαβ=+=⨯-+-=．故答案为：1．本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系，是一元二次方程的重点知识，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系公式．16．2020【解析】先根据一元二次方程根的定义、根与系数的关系可得232,3αααβ+=+=-，再代入计算即可得．解：α、β是一元二次方程2320x x +-=的两个根，2320,3αααβ∴+-=+=-，232αα∴+=，()224202132021ααβαααβ∴+++=++++()232021=+-+2020=，故答案为：2020．本题考查了一元二次方程的根、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．17．12【解析】设长为x 步，宽为(60)x -步，根据“一块矩形田地的面积为864平方步”可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．解：设长为x 步，宽为(60)x -步，根据题意，得(60)864x x -=，解得136x =，224x =（舍去）．∴当36x =时，6024x -=，∴长比宽多：362412-=（步），故答案为：12．本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，注意长比宽要长．18．()()21310290x x --=【解析】根据矩形的性质求解即可；根据题意可知：宽为()102x m -，长为()213x m -，①()()21310290x x --=；故答案是()()21310290x x --=．本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键．19．(1)125x =-225x =-(2)11x =，212x =-【解析】（1）先把方程左边化为完全平方式的形式，再用直接开方法求解即可；（2）先提取公因式，再求出x 的值即可．(1)2410x x -=+解：241x x +=24414x x ++=+()225x +=25x +=12x =-22x =-(2)2(21)3(21)x x +=+解：移项得（2x +1）2-3（2x +1）=0，2（2x +1）（x -1）=0，2x +1=0或x -1=0，解得x 1=-12，x 2=1．本题考查的是用配方法及因式分解法解一元二次方程，先把方程化为两因式积的形式是解答此题的关键．20．（1）0；（2）x 1=-1，x 2=2【解析】（1）先计算负整数指数幂、零指数幂、乘方及算术平方根，再计算加减即可；（2）先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x 的一元一次方程，分别求解即可得出答案．解：（1）原式=3-1+1-3=0；（2）①（x +1）2=3（x +1），①（x +1）2-3（x +1）=0，则（x +1）（x -2）=0，①x +1=0或x -2=0，解得x 1=-1，x 2=2．本题主要考查实数运算和解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21．(1)120,3x x ==(2)122x x ==【解析】（1）把方程的左边分解因式，再利用因式分解的方法解方程即可；（2）利用完全平方公式把方程的左边分解因式，再解方程即可．(1)解：230x x -=①()30x x -=①0x =或 30x -=解得：120,3x x ==(2)2x ﹣4x+4=0①()220x -=解得：122x x ==本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“利用因式分解的方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键．22．(1)1240,3x x ==； (2)1216,16x x =-=-【解析】（1）先移项，再利用因式分解法计算，即可求解；（2）利用配方法解答，即可求解．(1)解：234x x =移项得：2340x x -=，①()340x x -=，①0,340x x =-=，解得：1240,3x x ==； (2)解：225x x +=，①2216x x ++=，①()216x +=， ①16x +=± 解得：1216,16x x =-=-本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．23．(1)121,32x x =-=； (2)121,2x x ==【解析】（1）利用因式分解法求解；（2）利用因式分解法求解．(1)解：(21)3(21)x x x +=+x (2x +1)-3(2x +1)=0(2x +1)(x -3)=02x +1=0或x -3=0 ①121,32x x =-=； (2)解：2320x x -+=（x -1）(x -2)=0①121,2x x ==．此题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个一元二次方程的特点选用恰当的解法是解题的关键．24．1x =，2x =【解析】直接利用一元二次方程的求根公式代入计算即可．解：整理方程，得：210x x --=① ①()14115=-⨯⨯-=①x =① 1x =2x =本题考查了公式法解一元二次方程，熟记一元二次方程的求根公式是解题的关键．25．(1)()30020+x(2)每件商品应降价2元或3元【解析】（1）找到变量之间的关系列出代数式即可；（2）（售价-进价）×数量=利润，根据此关系列出一元二次方程即可解答．(1)根据题意，该商品每件降价x 元，每降价1元，每星期可多卖出20件可得：每个星期可卖出()30020+x 件，故答案为：()30020+x ；(2)根据题意可列方程为：()()6040300206120x x --+=，解得：12x =，23x =，①每件商品应降价2元或3元；本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出正确的一元二次方程是解题的关键．26．每盆兰花售价为120元.试题分析：利用兰花平均每天售出的数量×每盆盈利=每天销售这种兰花利润列出方程解答即可．试题解析：设每盆兰花售价定为x 元，可以达到1200元的利润，则据题意得， (x -100)[20+2(140-x)]=1200，解得x=120或x=130，因为为扩大销量,增加利润，所以x=130舍去答：要使刚刚利润达到1200元，每盆兰花售价为120元．27．－3、－1【解析】根据解分式方程及一元二次方程根的判别式进行求解即可．解：关于x 的分式方程的解为42m x +=， ①当m ＋1＝0时，m ＝－1，①方程（m ＋1）x 2－（2m －1）x ＋m ＝0解为x ＝13， ①分式方程的解为x ＝32，符合题意， ①当m ＋1≠0时，Δ＝－8m ＋1≥0，解得m 18≤， ①分式方程的解为402m x +=>， ①解得4m >-，故148m -<≤且m ≠－1，①整数m ＝－3或－2或0，又①42m +为正分数， ①m ＝－3．综上，满足条件的实数m 的值为－3、－1．本题考查了分式方程的解法，一元二次方程根的判别式，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键．28．(1)()1010004060y x x =-+(2)这种台灯的售价应定为50元；这时应购进台灯500个【解析】（1）直接根据题意用x 表示y 即可；（2）根据销售利润=销售量×单个的利润=10000，列出方程，解方程即可．(1)解：①以40元售出，平均每月能售出600个，售价x 每上涨1元，其销售量y 就将减少10个， ①每月销量y 与售价x 的函数关系式为：()6001040101000y x x =--=-+；即()1010004060y x x =-+≤≤．(2)根据题意得：()()3010100010000x x --+=，解得：150x =，280x =，①4060x ≤≤，①280x =舍去，①这种台灯的售价应定为50元；这时应购进台灯：10501000500-⨯+=（个）．本题主要考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出方程是解题的关键．29．(1)四、五这两个月的月平均增长百分率为25%(2)当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元【解析】（1）利用平均增长率的等量关系：()21a x b +=，列式计算即可；（2）利用总利润＝单件利润×销售数量，列方程求解即可．（1）解：设平均增长率为x ，由题意得：()22561400x ⨯+=，解得：0.25x =或 2.25x =-（舍）；①四、五这两个月的月平均增长百分率为25%；（2）解：设降价y 元，由题意得：()()402540054250y y --+=，整理得：2653500y y +-=，解得：5y =或70y =-（舍）；①当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元．本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意正确的列出一元二次方程是解题的关键．。

一元二次方程整章复习总结_辅导讲座(含答案)

回顾与思考专题一、一元二次方程的概念：例1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（）Ａ．()()12132+=+x x Ｂ． 02112=-+x x Ｃ．02=++c bx ax Ｄ． 1222-=+x x x专题二、一元二次方程的解的应用例1、已知1x =是一元二次方程2400ax bx +-=的一个解，且a b ≠，求2222a b a b --的值.例2（09荆门）关于x 的方程ax 2－(a ＋2)x ＋2=0只有一解(相同解算一解)，则a 的值为( )(A)a =0． (B)a =2． (C)a =1． (D)a =0或a =2．例3（09年烟台市）设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（）A ．2006B ．2007C ．2008D ．2009 专题三、一元二次方程解法的选择例2、对于方程()()()()2222140;2230;3320;441290;x x x x x x x -=+=--=-+= ()()()()()22225336;670;76;8241x x x x x x =-==+=把最适宜解法的序号填在下面的横线上。

（1）直接开平方法___________；（2）因式分解法_______；（3）配方法_______；（4）求根公式法_________。

例4（09新疆）解方程：2(3)4(3)0x x x -+-=．专题三、一元二次方程的应用例3、某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg ，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60000kg ，求南瓜亩产量的增长率．例4、某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x 元，，商场一天可获利润y 元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？专题四、一元二次方程根的判别式与根与系数的关系引例．已知关于x 的方程2(2)210m x x --+=有解，那么m 的取值范围是（）Ａ．3m < Ｂ．3m ≤ Ｃ．3m ≤且2m ≠ Ｄ．3m <且2m ≠专题五、创新型试题例7、将4个数a b c d ，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成abc d ，定义abc d ad bc =-，上述记号就叫做2阶行列式．若1111x x x x +--+ 6=，则x = ．。

第二章《一元二次方程》期末复习卷(含答案)2020-2021学年浙教版数学八年级下册

2021年浙教版数学八年级下册《一元二次方程》期末复习卷一、选择题1.下列方程中是一元二次方程的是( )A.3(x＋1)2=2(x－1)B.1x2＋1x－2=0 C.ax2＋bx＋c=0 D.x2＋2x=(x＋1)(x－1)2.下列方程是一元二次方程的一般形式的是（）A.（x﹣1）2=16B.3（x﹣2）2=27C.5x2﹣3x=0D. x2+2x=83.已知x=3是关于x的方程x2+kx﹣6=0的一个根，则另一个根是（）A.x=1B.x=﹣1C.x=﹣2D.x=24.方程(x+2)2=9的适当的解法是( )A.直接开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法5.一元二次方程2x2+3x+1=0用配方法解方程，配方结果是( )A. B.C. D.6.用公式法解方程4x2﹣12x=3所得的解正确的是( )A.x=B.x=C.x=D.x=7.方程9(x+1)2﹣4(x﹣1)2=0正确解法是( )A.直接开方得3(x+1)=2(x﹣1)B.化为一般形式13x2+5=0C.分解因式得[3(x+1)+2(x﹣1)][3(x+1)﹣2(x﹣1)]=0D.直接得x+1=0或x﹣l=08.下列方程中两实数根互为倒数有（）①x2﹣2x﹣1=0；②2x2﹣7x+2=0；③x2﹣x+1=0．A.0个B.1个C.2个D.3个9.若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（）A.0B.1C.2D.310.如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是( )A．(32－2x)(20－x)=570B．32x＋2×20x=32×20－570C．(32－x)(20－x)=32×20－570D．32x＋2×20x－2x2=57011.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1 000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆.设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为( )A.1 000(1＋x)2=1 000＋440B.1 000(1＋x)2=440C.440(1＋x)2=1 000D.1 000(1＋2x)=1 000＋44012.三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2－6x+8=0的解,则这个三角形的周长是（）．A.8B.8或10C.10D.8和10二、填空题13.若关于x的一元二次方程(a－2)x2－(a2－4)x＋8=0不含一次项，则a= .14.已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m= ．15.已知x1,x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根,且x1+x2=-2,x1·x2=1,则b a的值是 .16.若一元二次方程(m﹣1)x2﹣4x﹣5=0没有实数根，则m的取值范围是______.17.某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是．18.如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为．三、计算题19.用直接开平方法解方程：(x﹣2)2=3；20.用配方法解方程：x2=3﹣2x21.用公式法解方程：6x2－11x＋4=2x－2；22.用因式分解法解方程：3x(x－2)=2(x－2).四、解答题23.已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+2=0的两实数根x1、x2满足x1x2=x1+x2﹣2．（1）求a的值；（2）求出该一元二次方程的两实数根．24.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0.(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值.25.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？26.某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（1）若该公司当月卖出3部汽车，则每部汽车的进价为万元；（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）参考答案1.答案为：A.2.答案为：C3.答案为：C4.答案为：A.5.答案为：B.6.答案为：D.7.答案为：C.8.答案为：B ．9.答案为：A.10.答案为：A11.答案为：A12.答案为：C13.答案为：-2.14.答案为：6．15.答案为：0.25.16.答案为：m ＜0.2.17.答案为：百分率为20%．18.答案为：（9﹣2x ）•（5﹣2x ）=12． 19.解：x ﹣2=±，∴，x 2=2﹣， 20.解：x 2+2x=3，配方得：x 2+2x+1=3+1，(x+1)2=4，开方得：x=﹣1±2，x 1=1，x 2=﹣3；21.解：原方程可化为6x 2－13x ＋6=0.a=6，b=－13，c=6.Δ=b 2－4ac=(－13)2－4×6×6=25. x=13±252×6=13±512， x 1=32，x 2=23. 22.解：原方程变形为3x(x －2)－2(x －2)=0，即(3x －2)(x －2)=0，∴x 1=23，x 2=2. 23.解：（1）∵x 1+x 2=a ，x 1x 2=2，又x 1x 2=x 1+x 2﹣2，∴a ﹣2=2，a=4；（2）方程可化为x 2﹣4x+2=0，∴（x ﹣2）2=2，解得：x ﹣2= 或x ﹣2=﹣，∴x 1=2+，x 2=2﹣． 24.解：(1)∵方程有实数根，∴△=(﹣4)2﹣4m=16﹣4m ≥0，∴m ≤4；(2)∵x 1+x 2=4，∴5x 1+2x 2=2(x 1+x 2)+3x 1=2×4+3x 1=2，∴x 1=﹣2，把x 1=﹣2代入x 2﹣4x+m=0得：(﹣2)2﹣4×(﹣2)+m=0，解得：m=﹣12.25.解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则1＋x ＋x(x ＋1)=64.解得x 1=7，x 2=-9(舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．(2)64×7=448(人)．答：第三轮将又有448人被传染．26.解：（1）∵若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，∴若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为：27−0.1×（3−1）＝26.8，故答案为：26.8；（2）设需要售出x 部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为：28−[27−0.1（x −1）]＝（0.1x ＋0.9）（万元），当0≤x ≤10，根据题意，得x •（0.1x ＋0.9）＋0.5x ＝12，整理，得x 2＋14x −120＝0，解这个方程，得x 1＝−20（不合题意，舍去），x 2＝6，当x ＞10时，根据题意，得x•（0.1x＋0.9）＋x＝12，整理，得x2＋19x−120＝0，解这个方程，得x1＝−24（不合题意，舍去），x2＝5，因为5＜10，所以x2＝5舍去．答：需要售出6部汽车．。

2022学年人教版九年级数学上册第21章《一元二次方程》期末复习练附答案

2022学年九年级数学上册第21章《一元二次方程》期末复习练1．一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积是9cm2，设较长的直角边的长为xcm，根据题意，可列方程为．2．如图，用120米长的围网围建一个面积为560平方米的矩形养殖场．为了节省材料，养殖场的一边靠墙（墙足够长），并在如图的两个位置各开出一个1米宽的门（门不用围网做）．设矩形AB边长为x米，请依题意列方程：．3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支．4．有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了人．5．九年级某班在调研考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了1326张卡片．设全班有x名学生，根据题意列出方程为．6．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？7．某店销售A产品，每千克售价为100元．（1）若连续两次降低售价后，每千克81元，求这两次降价的平均百分率？（2）若按现价销售，每千克可以盈利20元，每天可以售出120千克．调查发现，在进价不变的情况下，每千克A产品的售价每涨价2元，日销售量就减少10千克．该店希望每天A产品盈利2340元，设每千克A产品涨价x元（x＞0），求x的值．8．某学校计划用一片空地建一个形状为矩形的劳动教育场地，其中一面靠墙（墙可利用的最大长度为12m），另外三面用木栅栏建围栏，计划建造的矩形场地面积为80m2，已知现有的木栅栏材料总长为26m．（1）为了方便学生出行，学校决定与墙平行一面开2m的门，则矩形场地的边长分别为多少m？（2）在（1）条件下，如图修三条等宽的硬化小路便于师生通行，小路的占用面积为26m2，则修建的小路宽为多少m？9．2021年10月12日，武汉汉口北商品交易会（简称汉交会）在武汉开幕，在1号会场中，若参加交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订55份合同，问1号会场共有多少家公司参加交易会？10．有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽是x米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形场地建成草坪．（1）已知a＝26，b＝15，并且四块草坪的面积和为312平米，请求出每条道路的宽x为多少米？（2）已知a：b＝2：1，x＝2，并且四块草坪的面积和为312平方米，请求出原来矩形场地的长和宽各为多少米？11．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？12．如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？13．如图，为了美化街道，刘大爷准备利用自家墙外的空地种植两种不同的花卉，墙的最大可用长度是12.5m，墙外可用宽度为3.25m．现有长为21m的篱笆，计划靠着院墙围成一个中间有一道隔栏的矩形花圃．（1）若要围成总面积为36m2的花圃，边AB的长应是多少米？（2）花圃的面积能否达到36.75m2？若能，求出边AB的长；若不能，请说明理由．14．庆元旦，我校工会组织羽毛球比赛，赛制为单循环形式（每两位老师之间都赛一场），共进行了45场比赛，共有多少位老师参加这次羽毛球比赛．15．列方程解应用题：某地足球协会组织一次联赛，赛制为双循环（每两队之间都赛两场），恰好需要打56场比赛，求共有多少支球队参加比赛？16．某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？17．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价3元，则平均每天销售数量为______件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？18．随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的30%和20%．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了m%，漫灌试验田的面积减少了2m%．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了m%．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少59m%，求m 的值．（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元，在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？19.一家化工厂原来每月利润为120万元，从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），一方面改善了环境，另一方面大大降低原料成本．据测算，使用回收净化设备后的1至x 月（1≤x≤12）的利润的月平均值w （万元）满足w=10x+90，第二年的月利润稳定在第1年的第12个月的水平．（1）设使用回收净化设备后的1至x 月（1≤x≤12）的利润和为y,写出y 关于x 的函数关系式，并求前几个月的利润和等于700万元；（2）当x 为何值时，使用回收净化设备后的1至x 月的利润和与不安装回收净化设备时x 个月的利润和相等；（3）求使用回收净化设备后两年的利润总和．参考答案与试题解析一．填空题（共5小题）1．一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积是9cm2，设较长的直角边的长为xcm，根据题意，可列方程为x（x﹣3）＝9．【分析】根据两直角边之间的关系，可得出较短的直角边的长为（x﹣3）cm，再利用三角形的面积计算公式，即可找出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵一个直角三角形的两条直角边相差3cm，且较长的直角边的长为xcm，∴较短的直角边的长为（x﹣3）cm．依题意得：x（x﹣3）＝9．故答案为：x（x﹣3）＝9．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2．如图，用120米长的围网围建一个面积为560平方米的矩形养殖场．为了节省材料，养殖场的一边靠墙（墙足够长），并在如图的两个位置各开出一个1米宽的门（门不用围网做）．设矩形AB边长为x米，请依题意列方程：x（120+2﹣2x）＝560．【分析】根据各边之间的关系，可得出矩形BC边长为（120+2﹣2x）米，根据矩形养殖场的面积为560平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵围网的总长为120米，且矩形AB边长为x米，∴矩形BC边长为（120+2﹣2x）米．依题意得：x（120+2﹣2x）＝560．故答案为：x（120+2﹣2x）＝560．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出9个小分支．【分析】等量关系为：主干1+支干数目+支干数目×支干数目＝91，把相关数值代入计算即可．【解答】解：设每个支干长出x个小分支，则1+x+x2＝91，解得：x1＝9，x2＝﹣10（舍去），∴每个支干长出9个小分支．故答案为：9个．【点评】考查一元二次方程的应用，得到总数91的等量关系是解决本题的关键．4．有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了12人．【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解．【解答】解：设平均一人传染了x人，x+1+（x+1）x＝169x＝12或x＝﹣14（舍去）．平均一人传染12人．故答案为：12．【点评】本题考查理解题意的能力，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解．5．九年级某班在调研考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了1326张卡片．设全班有x名学生，根据题意列出方程为x（x﹣1）＝1326．【分析】由题意可知这是一道典型的双循环的题目，从而可以列出相应的方程，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，x（x﹣1）＝1326，故答案为：x（x﹣1）＝1326．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．二．解答题（共10小题）6．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？【分析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，利用2021年投入资金金额＝2019年投入资金金额×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，根据2022年改造老旧小区所需资金不多于2022年投入资金金额，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．【解答】解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，依题意得：1000（1+x）2＝1440，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），解得：y≤，又∵y为整数，∴y的最大值为18．答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．7．某店销售A产品，每千克售价为100元．（1）若连续两次降低售价后，每千克81元，求这两次降价的平均百分率？（2）若按现价销售，每千克可以盈利20元，每天可以售出120千克．调查发现，在进价不变的情况下，每千克A产品的售价每涨价2元，日销售量就减少10千克．该店希望每天A产品盈利2340元，设每千克A产品涨价x元（x＞0），求x的值．【分析】（1）设这两次降价的平均百分率为a，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣这两次降价的平均百分率）2，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；（2）当每千克A产品涨价x元（x＞0）时，每千克可以盈利（20+x）元，每天可以售出（120﹣5x）千克，利用总利润＝每千克的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）设这两次降价的平均百分率为a，依题意得：100（1﹣a）2＝81，解得：a1＝0.1＝10%，a2＝1.9（不符合题意，舍去）．答：这两次降价的平均百分率为10%．（2）∵每千克A产品涨价x元（x＞0），∴每千克可以盈利（20+x）元，每天可以售出120﹣×10＝（120﹣5x）千克．依题意得：（20+x）（120﹣5x）＝2340，依题意得：x2﹣4x﹣12＝0，解得：x1＝6，x2＝﹣2（不符合题意，舍去）．答：x的值为6．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．某学校计划用一片空地建一个形状为矩形的劳动教育场地，其中一面靠墙（墙可利用的最大长度为12m），另外三面用木栅栏建围栏，计划建造的矩形场地面积为80m2，已知现有的木栅栏材料总长为26m．（1）为了方便学生出行，学校决定与墙平行一面开2m的门，则矩形场地的边长分别为多少m？（2）在（1）条件下，如图修三条等宽的硬化小路便于师生通行，小路的占用面积为26m2，则修建的小路宽为多少m？【分析】（1）设与墙垂直的一面为x米，然后可得另两面则为（26﹣2x+2）米，然后利用其面积为80列出方程求解即可；（2）设小路的宽为a米，利用去掉小路的面积为54平米列出方程求解即可得到答案．【解答】解：（1）设与墙垂直的一面为x米，另一面则为（26﹣2x+2）米，根据题意得：x（28﹣2x）＝80．整理得：x2﹣14x+40＝0．解得x＝4或x＝10，当x＝4时，28﹣2x＝20＞12（舍去）．当x＝10时，28﹣2x＝8＜12．答：长为10米，宽为8米；（2）设宽为a米，根据题意得：（8﹣2a）（10﹣a）＝54，a2﹣14a+13＝0，解得：a＝13＞10（舍去），a＝1，答：小路的宽为1米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，要结合图形求解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．9．2021年10月12日，武汉汉口北商品交易会（简称汉交会）在武汉开幕，在1号会场中，若参加交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订55份合同，问1号会场共有多少家公司参加交易会？【分析】设1号会场共有x家公司参加交易会，利用签订合同的总数＝参会公司数量×（参会公司数量﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设1号会场共有x家公司参加交易会，依题意得：x（x﹣1）＝55，整理得：x2﹣x﹣110＝0，解得：x1＝11，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．答：1号会场共有11家公司参加交易会．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽是x米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形场地建成草坪．（1）已知a＝26，b＝15，并且四块草坪的面积和为312平米，请求出每条道路的宽x为多少米？（2）已知a：b＝2：1，x＝2，并且四块草坪的面积和为312平方米，请求出原来矩形场地的长和宽各为多少米？【分析】（1）当a＝26，b＝15时，四块草坪可合成长为（26﹣x）米，宽为（15﹣x）米的矩形，利用矩形的面积计算公式，结合四块草坪的面积和为312平米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；（2）利用矩形的面积计算公式，结合四块草坪的面积和为312平米，即可得出关于b的一元二次方程，解之取其正值即可得出原来矩形场地的宽，再将其代入a＝2b中即可求出原来矩形场地的长．【解答】解：（1）当a＝26，b＝15时，四块草坪可合成长为（26﹣x）米，宽为（15﹣x）米的矩形，依题意得：（26﹣x）（15﹣x）＝312，整理得：x2﹣41x+78＝0，解得：x1＝2，x2＝39（不合题意，舍去）．答：每条道路的宽x为2米．（2）依题意得：（a﹣2）（b﹣2）＝312，即（2b﹣2）（b﹣2）＝312，整理得：b2﹣3b﹣154＝0，解得：b1＝14，b2＝﹣11（不合题意，舍去），．答：原来矩形场地的长为28米，宽为14米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？【分析】设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额＝每千克盈利×日销售量，依题意得方程求解即可．【解答】解：设每千克水果应涨价x元，依题意得方程：（500﹣20x）（10+x）＝6000，整理，得x2﹣15x+50＝0，解这个方程，得x1＝5，x2＝10．要使顾客得到实惠，应取x＝5．答：每千克水果应涨价5元．【点评】解答此题的关键是熟知此题的等量关系是：盈利额＝每千克盈利×日销售量．12．如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？【分析】本题可设无盖长方体箱子宽为x米，则长为（x+2）米，根据刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体箱子，结合图形可列出方程，求出答案．【解答】解：设长方体箱子宽为x米，则长为（x+2）米．依题意，有x（x+2）×1＝15．整理，得x2+2x﹣15＝0，解得x1＝﹣5（舍去），x2＝3，∴这种运动箱底部长为5米，宽为3米．由长方体展开图可知，所购买矩形铁皮面积为（5+2）×（3+2）＝35∴做一个这样的运动箱要花35×20＝700（元）．答：张大叔购回这张矩形铁皮共花了700元【点评】题目考查的知识点比较多，但难度不大，同学应注意的是所求问题用到的是长方体的表面积，即表面展开图的面积，并非体积．13．如图，为了美化街道，刘大爷准备利用自家墙外的空地种植两种不同的花卉，墙的最大可用长度是12.5m，墙外可用宽度为3.25m．现有长为21m的篱笆，计划靠着院墙围成一个中间有一道隔栏的矩形花圃．（1）若要围成总面积为36m2的花圃，边AB的长应是多少米？（2）花圃的面积能否达到36.75m2？若能，求出边AB的长；若不能，请说明理由．【分析】（1）设AB的长为x米，则长为21﹣3x米，根据其面积列出方程求得即可．（2）把（1）中用代数式表示的面积整理为a（x﹣h）2+b的形式可得最大的面积．【解答】解：（1）设AB的长为x米，则长为（21﹣3x）米，根据题意得：x（21﹣3x）＝36，解得：x＝3或x＝4，∵墙外可用宽度为3.25m，∴x只能取3．（2）花圃的面积为（21﹣3x）x＝﹣3（x﹣3.5）2+36.75，∴当AB长为3.25m，有最大面积，为36.75平方米．∵墙外可用宽度为3.25m，∴花圃的面积不能达到36.75m2．【点评】本题考查了一元二次方程及配方法的应用；得到长方形花圃的长的代数式是解决本题的易错点；用配方法得到最大面积是解决本题的难点．14．庆元旦，我校工会组织羽毛球比赛，赛制为单循环形式（每两位老师之间都赛一场），共进行了45场比赛，共有多少位老师参加这次羽毛球比赛．【分析】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为场．根据题意可知：此次比赛的总场数＝45场，依此等量关系列出方程求解即可．【解答】解：设共有x位老师参加这次羽毛球比赛，则＝45．解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意舍去）．答：共有10位老师参加这次羽毛球比赛．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解决问题的关键在于理解清楚题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．需注意赛制是“单循环形式”，需使两两之间比赛的总场数除以2．15．列方程解应用题：某地足球协会组织一次联赛，赛制为双循环（每两队之间都赛两场），恰好需要打56场比赛，求共有多少支球队参加比赛？【分析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数×（队的个数﹣1）＝56，把相关数值代入计算即可．【解答】解：设共有x支球队参加比赛x（x﹣1）＝56解得：x1＝8，x2＝﹣7（舍去）答：共有8支球队参加比赛．【点评】本题考查一元二次方程的应用；得到比赛总场数的等量关系是解决本题的关键．16.解解解1解解14-10解÷2+1=3解解解解解解解解解解解解解解解解解解解解解2解解解解解解解解解解x解解解解解解解解解解解解解2x+8解×解76+4-4x解=1080解解解解解x2-16x+55=0解解解解x1=5解x2=11解解解解解解解解解解解解解解解解解解解解解解解解解解解解17.解解解1解解解解3解解解解解解解解解解解解20+2×3=26解解解解解解解26解解2解解解解解解解解解x解解解解解解解解解解解解解1200解解解解解解解解解40-x解解20+2x解=1200解解解解解x2-30x+200=0解解解解x1=10解x2=20解解解解解解解解解解解25解解解x2=20解解解解解x=10解解解解解解解解解解10解解解解解解解解解解解解解1200解解1718.解：（1）设漫灌方式每亩用水x吨，则100x+100×30%x+100×20%x=15000，解得x=100，∴漫灌用水：100×100=10000吨，19.解解解1解y=xw=x解10x+90解=10x2+90x,10x2+90x=700解解解解x1=5解x2=-14解解解解解解解解解解解解解5解解解解解解解解700解解解解2解10x2+90x=120x,解解解x1=3解x2=0解解解解解解解解解解解解解x解3解解解解解解解解解解解解1解x解解解解解解解解解解解解解解解解x解解解解解解解解解解3解解解解解解解解解解解12解10×12+90解=2520解解解解解解11解解解解解解解解11解10×11+90解=2200解解解解解解解12解解解解解2520-2200=320解解解解解解解解解解解解解解12×320=3840解解解解解2520+3840=6360解解解解解解解解解解解解解解解解解解解解解解解解6360解解解11。

2024人教版数学九年级上册第一章一元二次方程单元复习卷(含答案)

第二十一章一元二次方程章末复习测试题（二）一．选择题1．一元二次方程（x﹣2）2＝0的根是（）A．x＝2B．x1＝x2＝2C．x1＝﹣2，x2＝2D．x1＝0，x2＝2 2．用公式法解一元二次方程2x2+3x＝1时，化方程为一般式当中的a、b、c依次为（）A．2，﹣3，1B．2，3，﹣1C．﹣2，﹣3，﹣1D．﹣2，3，1 3．若关于x的一元二次方程m2x2﹣（2m﹣1）x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m ＜B．m≤C．m≥D．m ≤且m≠04．已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+4＝0的一个根是2，则a的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣25．方程（m﹣1）x2+2mx﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则（）A．m≠±1B．m＝1C．m≠﹣1D．m≠16．菱形ABCD的一条对角线长为6cm，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长等于（）A．10cm B．12cm C．16cm D．12cm或16cm7．已知一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两实数根为x1、x2，则x1•x2的值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣1 8．九江某快递公司随着网络的发展，业务增长迅速，完成快递件数从六月份的10万件增长到八月份的12.1万件．假定每月增长率相同，设为x．则可列方程为（）A．10x+x2＝12.1B．10（x+1）＝12.1C．10（1+x）2＝12.1D．10+10（1+x）＝12.19．若等腰三角形一条边的边长为3，另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k＝0的两个根，则k的值是（）A．27B．36C．27或36D．1810．用配方法解方程x2﹣8x+5＝0，将其化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（）A．（x+4）2＝11B．（x+4）2＝21C．（x﹣8）2＝11D．（x﹣4）2＝112024人教版数学九年级上册第一章一元二次方程单元复习卷（含答案）11．若a，b，c满足，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是（）A．1，0B．﹣1，0C．1，﹣1D．无实数根12．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A．32x+2×20x﹣2x2＝570B．32x+2×20x＝32×20﹣570C．（32﹣2x）（20﹣x）＝32×20﹣570D．（32﹣2x）（20﹣x）＝570二．填空题13．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的一个根为x＝2，另一个根为．14．用一根20m长的绳子围成一个面积为24m2矩形，则矩形的长与宽分别是．15．今年我国生猪价格不断飙升，某超市的排骨价格由第一季度的每公斤40元上涨到第三季度的每公斤元90，则该超市的排骨价格平均每个季度的增长率为．16．若a≠b，且a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，则的值为．17．某企业退休职工李师傅2013年月退休金为1500元，2015年达到2160元．设李师傅的月退休金从2013年到2015年年平均增长率为x，可列方程为．18．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒，若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长，设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程，化为一般式为．三．解答题19．解下列方程．（1）（4x﹣1）2＝225．（2）（x﹣5）（x﹣6）＝x﹣5．20．已知：关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2+m＝0．（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；（2）请选择一个合适的m值，写出这个方程并求出此时方程的根．21．a为实数，关于x的方程（x﹣a）2+2（x+1）＝a有两个实数根x1，x2．（1）求a的取值范围．（2）若（x1﹣x2）2+x1x2＝12．试求a的值．22．有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为xm，面积为ym2．（1）用含有x的代数式表示y．（2）如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？（3）能围成面积为72m2的花圃吗！如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由．23．方程x2+ax+b＝0与x2+bx+a＝0有一个公共根，设它们另两个根为x1，x2；方程x2﹣cx+d＝0与x2﹣dx+c＝0有一个公共根，设它们另两个根为x3，x4．求x1x2x3x4的取值范围（a、b＜0，a≠b，c、d＜0，c≠d）24．2019年国庆档上映了多部优质国产影片，其中《我和我的祖国》、《中国机长》这两部影片不管是剧情还是制作，都非常值得一看．《中国机长》是根据真实故事改编的，影片中全组机组人员以自己的实际行动捍卫安全、呵护生命，堪称是“新时代的英雄”、“民航奇迹的创造者”，据统计，某地10月1日该影片的票房约为1亿，10月3日的票房约为1.96亿．（1）求该地这两天《中国机长》票房的平均增长率；（2）电影《我和我的祖国》、《中国机长》的票价分别为40元、45元，10月份，某企业准备购买200张不同时段的两种电影票，预计总花费不超过8350元，其中《我和我的祖国》的票数不多于《中国机长》票数的2倍，请求出该企业有多少种购买方案，并写出最省钱的方案及所需费用．25．为改善生态环境，建设美丽乡村，某村规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%．（1）求该广场绿化区域的面积；（2）求广场中间小路的宽．参考答案一．选择题1．解：（x﹣2）2＝0，则x1＝x2＝2，故选：B．2．解：∵方程2x2+3x＝1化为一般形式为：2x2+3x﹣1＝0，∴a＝2，b＝3，c＝﹣1．故选：B．3．解：由已知得：，解得：m≤且m≠0．故选：D．4．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2ax+4＝0的一个根是2，∴22﹣2a×2+4＝0，即﹣4a＝﹣8解得，a＝2．故选：C．5．解：根据题意得：m﹣1≠0，解得：m≠1，故选：D．6．解：解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，即AB＝3或4，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝DC＝BC，当AD＝DC＝3cm，AC＝6cm时，3+3＝6，不符合三角形三边关系定理，此时不行；当AD＝DC＝4cm，AC＝6cm时，符合三角形三边关系定理，即此时菱形ABCD的周长是4×4＝16，故选：C．7．解：∵一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两实数根为x1、x2，所以x1•x2＝＝﹣1．故选：D．8．解：设每月增长率为x，根据题意得：10（1+x）2＝12.1．故选：C．9．解：当3为腰长时，将x＝3代入原方程得9﹣12×3+k＝0，解得：k＝27，∴原方程为x2﹣12x+27＝0，∴x1＝3，x2＝9，∵3+3＜9，∴长度为3，3，9的三条边不能围成三角形∴k＝27舍去；当3为底边长时，△＝（﹣12）2﹣4k＝0，解得：k＝36．故选：B．10．解：x2﹣8x+5＝0，x2﹣8x＝﹣5，x2﹣8x+16＝﹣5+16，（x﹣4）2＝11．故选：D．11．解：当x＝1时，a+b+c＝0，当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，所以关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为1或﹣1．故选：C．12．解：设道路的宽为xm，则草坪的长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m，根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570．故选：D．二．填空题（共6小题）13．解：方程整理为x2﹣3x+2＝0，设方程的另一个解为t，则2t＝2，解得t＝1，即方程的另一个解为1．故答案为1．14．解：设矩形的长为xm，则宽为m，依题意，得：x•＝24，整理，得：x2﹣10x+24＝0，解得：x1＝6，x2＝4．∵x≥，∴x≥5，∴x＝6，＝4．故答案为：6m，4m．15．解：设平均每个季度的增长率为x，依题意，得：40（1+x）2＝90，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．故答案为：50%．16．解：∵a≠b，且a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，∴a、b可看作方程x2﹣4x+1＝0的两个实数解，∴a+b＝4，ab＝1，而a2+1＝4a，b2+1＝4b，∴＝+＝×＝×＝1．故答案为1．17．解：如果设李师傅的月退休金从2013年到2015年年平均增长率为x，那么根据题意得今年退休金为：1500（1+x）2，列出方程为：1500（1+x）2＝2160．故答案为：1500（1+x）2＝2160．18．解：设剪去的小正方形边长是xcm，则长方形纸盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，依题意，得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32，即x2﹣8x+7＝0．故答案为：x2﹣8x+7＝0．三．解答题（共7小题）19．解：（1）∵（4x﹣1）2＝225，∴4x﹣1＝15或4x﹣1＝﹣15，解得x＝4或x＝﹣；（2）∵（x﹣5）（x﹣6）﹣（x﹣5）＝0，∴（x﹣5）（x﹣7）＝0，则x﹣5＝0或x﹣7＝0，解得x＝5或x＝7．20．（1）证明：∵△＝（2m+1）2﹣4m2﹣4m＝1＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：当m＝0时，方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．21．解：（1）（x﹣a）2+2（x+1）＝a，变形为x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a+2＝0．根据题意得△＝4（a﹣1）2﹣4（a2﹣a+2）＝4a2﹣8a+4﹣4a2+4a﹣8＝﹣4a﹣4≥0，解得a≤﹣1．即a的取值范围是a≤﹣1；（2）由根与系数的关系得x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a+2，∵（x1﹣x2）2+x1x2＝12，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝12，∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a+2）＝12，即a2﹣5a﹣14＝0，解得a1＝﹣2，a2＝7，∵a≤﹣1，∴a的值为﹣2．22．解：（1）由题意得：y＝x（30﹣3x），即y＝﹣3x2+30x．（2）当y＝63时，﹣3x2+30x＝63．解此方程得x1＝7，x2＝3．当x＝7时，30﹣3x＝9＜10，符合题意；当x＝3时，30﹣3x＝21＞10，不符合题意，舍去；∴当AB的长为7m时，花圃的面积为63m2．（3）不能围成面积为72m2的花圃．理由如下：如果y＝72，那么﹣3x2+30x＝72，整理，得x2﹣10x+24＝0，解此方程得x1＝4，x2＝6，当x＝4时，30﹣3x＝18，不合题意舍去；当x＝6时，30﹣3x＝12，不合题意舍去；故不能围成面积为72m2的花圃．23．解：∵x2+ax+b＝0与x2+bx+a＝0有一个公共根，∴x2+ax+b＝x2+bx+a，∴（a﹣b）x＝a﹣b，∵a≠b，∴x＝1，∴x1＝b，x2＝a，∴a+b＝﹣1，∴x1+x2＝﹣1，∵x2﹣cx+d＝0与x2﹣dx+c＝0有一个公共根，∴x2﹣cx+d＝x2﹣dx+c，∴﹣（d﹣c）x＝d﹣c，∵c≠d，∴x＝﹣1，∴x3＝﹣d，x4＝﹣c，∴d+c＝﹣1，∴x3+x4＝1，∵a、b＜0，c、d＜0，∴（﹣x1）+（﹣x2）≥2，x3+x4≥2，∴0＜x1x2≤，0＜x3x4≤，∴0＜x1x2x3x4≤．24．解：（1）设该地这两天《中国机长》票房的平均增长率为x．根据题意得：1×（1+x）2＝1.96解得：x1＝0.4，x2＝﹣2.4（舍）答：该地这两天《中国机长》票房的平均增长率为40%．（2）设购买《我和我的祖国》a张，则购买《中国机长》（200﹣a）张根据题意得：解得：130≤a≤∵a为正整数∴a＝130，131，132，133∴该企业共有4种购买方案，购买《我和我的祖国》133张，《中国机长》67张时最省钱，费用为：40×133+45×67＝8335（元）．答：最省钱的方案为购买《我和我的祖国》133张，《中国机长》67张，所需费用为8335元．25．解：（1）18×10×80%＝144（平方米）．答：该广场绿化区域的面积为144平方米．（2）设广场中间小路的宽为x米，依题意，得：（18﹣2x）（10﹣x）＝144，整理，得：x2﹣19x+18＝0，解得：x1＝1，x2＝18（不合题意，舍去）．答：广场中间小路的宽为1米．11。

第二十一章一元二次方程章末复习小结(2)基本技能、基本思想方法和基本活动经验

（2）解：（x﹣1）（x+2）＝4，
整理，得x2+x﹣6＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝2．
选用合适的方法求解一元二次方程
变式1：解方程：
(1) − 1
2
=4
(2) 2 − 6 − 18 = 0
(3)3 − 2
2
= −2
（1）解： − 1
2
= 4，
解得：1 = 3, 2 = −1；
∴∆≥0，即32-4（k-2）≥0，解得k≤
17
4
变式训练2．已知关于x的一元二次方
（2）∵方程的两个实数根分别为1 , 2 ，
程 − − + = 有两个实数根
∴1 + 2 = −3, 1 2 = − 2，
, ．
∵ 1 + 1 2 + 1 = −1，
（2） 2 − 6 − 18 = 0
∴ 2 − 6 = 18，
∴ 2 − 6 + 9 = 27，
∴ − 3 = ±3 3，
解得：1 = 3 + 3 3, 2 = 3 − 3 3；
（3）3 − 2
∴3 − 2
2
2
= −2
− − 2 = 0，
∴ − 2 2 − 6 = 0，
意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识
和能力。
选用合适的方法求解一元二次方程
1 用适当的方法解下列方程：
1) − 2
2
= 4 − 2 2
2) − 1 + 2 = 4
【详解】
（1）解：（1）（x﹣2）2＝4x﹣2x2，
整理，得（x﹣2+2x）（x﹣2）＝0，

【一元二次方程】全章复习(原创精品)适合章末、期中、期末、中考复习用

《一元二次方程》复习课时间：学生：一、【自主自查】1．关于x 的方程221(1)50a a a xx --++-=是一元二次方程，则a =__________.2．方程20x x -=的解是______________；方程2(3)5(3)x x x -=-的解是______________。

3．如果1x =-是方程210x mx +-=的一个根，那么m 的值为______________。

4．填上适当的数，使等式成立：+-x x 52＝x (－ 2)． 5．当x = 时，代数式23x x -比代数式221x x --的值大2 ．6．若22340a ab b --=（0≠b ）,则ab=_________。

7．如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是。

8．解下列方程：（1）23(21)12x += （2）223(2)4x x -=-9．先用配方法说明：不论x 取何值，代数式257x x -+的值总大于0。

再求出当x 取何值时，代数式257x x -+的值最小？最小是多少？10．某水果批发商场经销一种高档水果如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？二、【自主梳理】（知识、方法、易错）——思维导图三、【试题练析】（课堂完成）1．若t 是一元二次方程20(0)++=≠ax bx c a 的根，则判别式Δ24b ac =-和完全平方式2(2)M at b =+的大小关系是。

2．已知关于x 的一元二次方程210x kx +-=。

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设的方程有两根分别为12,x x ，且满足1212x x x x +=⋅ 求k 的值。

3．将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。