七年级数学平行线性质和判定

平行线的性质和判定（一）
1．(1) 如图1所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在'D ，'
C 的位置．若∠EFB =65°，则'AE
D 等于__________． 因为沿EF 折叠后分别落在 D ′、 C ′的位置，所以满足
(2) 如图2所示，AD ∥EF ，EF ∥BC ，且EG ∥AC ．那么图中与∠1相等的角(不包括∠
1)的个数是__________．
由 AD ∥ EF ∥ BC ，且 EG ∥ AC 可得：
∠ 1 ＝∠ DAH ＝∠ FHC ＝∠ HCG ＝∠ EGB ＝∠ GEH 除∠ 1 共 5 个
(3)如图3所示，AB ∥CD ，直线AB ，CD 与直线l 相交于点E ，F ，EG 平分∠AEF ，FH 平分∠EFD ，则GE 与FH 的位置关系为__________．
证明：∵AB ∥CD （已知）
∴∠AEF=∠EFD （_两直线平行，内错角相等___________）
∵EG 平分∠AEF ，FH 平分∠EFD （___已知_________）
∴∠_GEF___________=∠AEF ，∠_EFH___________=∠EFD （角平分线定义）
∴∠__GEF__________=∠___EFH_________
∴EG ∥FH （内错角相等，两直线平行____________）
2．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是( )
A ．30°和150°
B ．42°和138°
C ．都等于10°
D ．42°和138°或都等于10° 解：设另一个角为α，则这个角是4α-30°，
∵两个角的两边分别平行，∴α+4α-30°=180°或α=4α-30°，
解得α=42°或α=10°，∴4α-30°=138°或4α-30°=10°，这两个角是42°，138°或10°
3．如图所示，点E 在CA 延长线上，DE 、AB 交于点F ，且∠BDE =∠AEF ，∠B =∠C ， ∠EFA 比∠FDC 的余角小10°，P 为线段DC 上一动点，Q 为PC 上一点，且满足∠FQP =∠QFP ，FM 为∠EFP 的平分线．则下列结论：①AB ∥CD ，②FQ 平分∠AFP ，③∠B ＋∠E =140°，④∠QEM 的角度为定值．其中正确的结论有( )个数
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
1.证ABCD 为平行四边形
∠BDE=∠AEF ，所以BD//CA （内错角相等）
BD//CA，所以，∠B=∠EAF，又因为，∠B=∠C，所以，∠EAF=∠C，所以AB//CD（同位角）
所以ABCD是平行四边形（两组对边平行）
2.AB//CD，所以∠AFQ=∠FQP，又因为∠FQP=∠QFP，所以∠AFQ=∠QFP，故：①FQ平分∠AFP得证
3.∠EFA比∠FDC的余角小10°，即：∠EFA = 90-∠FDC-10，所以。

∠EFA+∠FDC = 80
又∠EFA=∠FDC（AB//CD，同位角），所以∠EFA=∠FDC = 40
所以；②∠B+∠E = ∠B+∠BDF = 180-∠BFD=180-∠EFA = 180-40=140
4.③∠QFM =∠PFM - PFQ = ∠PFE/2 - ∠PFA/2 = ∠EFA/2 = 20
4．如图所示，AB∥EF，EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B＋∠BED＋∠D=192°，∠B－∠D=24°，则∠GEF=__________．
∵AB∥EF，∴∠B=∠BEF，
∵EF∥CD，∴∠D=∠DEF．
∵∠BED=∠BEF+∠DEF，∴∠BED=∠B+∠D．
∵∠B+∠BED+∠D=192°，∴2∠B+2∠D=192°∴∠B+∠D=192°，
∵∠B-∠D=24°，∴∠B=60°，∴∠BEF=∠B=60°．
∵EG平分∠BEF∴∠GEF=∠GEB=30°，即∠GEF为30°
5．已知：如图所示，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠3．求证：AD平分∠BAC．
证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，（已知）
∴∠ADC=∠EGC=90°，（垂直的定义）
∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）
∴∠2=∠3，（两直线平行，内错角相等）
∠E=∠1，（两直线平行，同位角相等）
又∵∠E=∠3（已知）
∴∠1=∠2（等量代换）
∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）
6．如图所示，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明：AD∥BE．
7．如图所示，已知∠DBF=∠CAF，CE⊥FE．垂足为E，∠BDA＋∠ECA=180°，求证：D A⊥EF
∵∠DBF=∠CAF（已知）∴DB//AC（同位角相等，两直线平行）
∴∠BDA=∠DAC（两直线平行，内错角相等）
又∠BDA+∠ECA=180°（已知）
∴∠DAC+∠ECA=180°（等量代换）
∴DA//EC（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠ADE+∠CED=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又CE⊥FE∴∠CED=90°∴∠ADE=90°即DA⊥FE
8．已知，如图所示，∠1＋∠2=180°，∠1＋∠EFD=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的关系，并证明你的结论．
∵∠1+∠EFD=180°（邻补角定义）∠1+∠2=180°（已知）
∴∠2=∠EFD（同角的补角相等）
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）
∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）
又∵∠B=∠3（已知），∴∠ADE=∠B（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）∴∠AED=∠C（两直线平行，同位
角相等）
9．已知，如图所示，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．
∵AC∥DE∴∠BED=∠BCA
∵DC∥EF∴∠DCE=∠FEB
∵CD平分∠BCA∴∠DCE=1/2∠BCA
∴∠FEB=1/2∠BCA=1/2∠BED∴EF平分∠BED
10．如图所示，在△ABC中，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，AC∥ED，CE是△ACB的角平分线．求证：∠EDF=∠BDF．
证明：∵CE⊥AB于E，DF⊥AB于F
∴DF∥CE （垂直于同一条直线的两直线平行）
∴∠BDF=∠BCE （两直线平行，同位角相等）
∠FDE=∠DEC （两直线平行，内错角相等）
又∵AC∥ED，
∴∠DEC=∠ACE （两直线平行，内错角相等）
∵CE是∠ACB的角平分线
∴∠ACE=∠ECB（角平分线的定义）
∴∠EDF=∠BDF（等量代换）
11．如图，AB∥CD，∠ABF=∠D CE，求证∠BFE=∠FEC
证明：延长BF交DC的延长线于H，
∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠H，
∵∠ABF=∠DCE．
∴∠H=∠DCE，
∴BH∥CE，
∴∠BFE=∠FEC．。