幂函数及指数函数

2014年07月20日NIUXS的高中数学组卷2014年07月20日niuxs的高中数学组卷一．解答题（共30小题）1．已知幂函数y=f（x）的图象过点，求出此函数的解析式，并判断并证明f（x）的奇偶性．2．设函数f（x）=xα+1（α∈Q）的定义域为[﹣b，﹣a]∪[a，b]，其中0＜a＜b．若函数f（x）在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f（x）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和为_________．3．已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），（1）求函数y=f（x）的解析式，并用描点法画出函数f（x）的图象（2）用定义证明函数的单调性．4．已知幂函数f（x）=x（2﹣k）（1+k），k∈N+，且满足f（2）＜f（3）．（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）解析式；（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数q，使函数g（x）=1﹣qf（x）+（2q﹣1）x在区间[﹣1，2]上值域为．若存在，求出此q值；若不存在，请说明理由．5．已知幂函数．（1）试求该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；（2）若该函数还经过点，求m的值并求满足条件f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围．6．给出集合A={﹣2，﹣1，，，，1，2，3}．已知a∈A，使得幂函数f（x）=x a为奇函数；指数函数g（x）=a x在区间（0，+∞）上为增函数．（1）试写出所有符合条件的a，说明理由；（2）判断f（x）在（0，+∞）的单调性，并证明；（3）解方程：f[g（x）]=g[f（x）]．7．已知函数为幂函数，求其解析式．8．已知幂函数f（x）=x（2﹣k）（1+k）（k∈z）在（0，+∞）上递增．（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数m，使函数g（x）=1﹣mf（x）+（4m﹣1）x，在区间[0，1]上的最大值为5．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．9．下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系10．（2014•眉山二模）设关于x的方程x2+tx﹣1=0的两根为α，β（α＜β，函数f（x）=）．（1）用t表示f（α）+f（β）；（2）证明：f（x）在[α，β]上是增函数；（3）对任意正数x1，x2，求证：﹣2β＜f（）+f（）＜﹣2α．11．（2013•闸北区一模）设定义域为R的奇函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数．（1）求证：函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数；（2）试构造一个满足上述题意且在（﹣∞，+∞）内不是单调递减的函数．（不必证明）12．（2013•嘉定区二模）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求k的值；（2）（理）若，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2m•f（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．（文）若f（1）＜0，试说明函数f（x）的单调性，并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的取值范围．13．（2011•普陀区三模）（理）已知函数．（1）试判断f（x）的奇偶性并给予证明；（2）求证：f（x）在区间（0，1）单调递减；（3）右图给出的是与函数f（x）相关的一个程序框图，试构造一个公差不为零的等差数列{a n}，使得该程序能正常运行且输出的结果恰好为0．请说明你的理由．14．（2011•嘉定区三模）已知k∈R，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，函数f（x）=a+k•b．（1）如果实数a、b满足a＞1，ab=1，试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）设a＞1＞b＞0，k≤0，判断函数f（x）在R上的单调性并加以证明；（3）若a=2，，且k＞0，问函数f（x）的图象是不是轴对称图形？如果是，求出函数f（x）图象的对称轴；如果不是，请说明理由．15．（2009•虹口区二模）已知函数f （x）=（1）判断f （x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明；（2）若关于x的方程f （x）=k有根在[2，3]内，求实数k的取值范围；（3）若关于x的方程f （x）=k x2有四个不同的实数根，求实数k的取值范围．16．（2007•嘉定区一模）已知函数，m＞0且f（1）=﹣1．（1）求实数m的值；（2）判断函数y=f（x）在区间（﹣∞，m﹣1]上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（3）求实数k的取值范围，使得关于x的方程f（x）=kx分别为：①有且仅有一个实数解；②有两个不同的实数解；③有三个不同的实数解．17．（2006•崇文区二模）设函数f（x）的定义域为R，对于任意实数m、n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），且x ＞0时0＜f（x）＜1．（1）证明：f（0）=1，且x＜0时f（x）＞1；（2）证明：f（x）在R 上单调递减；（3）设A={（x，y）|f（x2）•f（y2）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax﹣y+2）=1，a∈R}，若A∩B=∅，确定a 的范围．18．已知函数（1）由，，，这几个函数值，你能发现f（x）与有什么关系？并证明你的结论；（2）求的值；（3）判断函数在区间（0，+∞）上的单调性．19．利用自然对数的底数e（e=2.71828…）构建三个基本初等函数．探究发现，它们具有以下结论：三个函数的图象形成的图形（如图）具有“对称美”；图形中阴影区A的面积为1等．M，N是函数图象的交点．（Ⅰ）根据图形回答下列问题：①写出图形的一条对称轴方程；②说出阴影区B的面积；③写出M，N的坐标．（Ⅱ）设，证明：对任意的正实数x1，x2，都有．20．已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体：①f（x）在其定义域上是单调函数；②在f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的最小值是，最大值是．请解答以下问题：（1）判断函数g（x）=﹣x3是否属于集合M？并说明理由，若是，请找出满足②的闭区间[a，b]；（2）若函数，求实数t的取值范围．21．（2014•闸北区二模）已知函数y=f（x）在定义域R上是增函数，值域为（0，+∞），且满足：f（﹣x）=．设F（x）=．（1）求函数y=F（x）值域和零点；（2）判断函数y=F（x）奇偶性和单调性，并给予证明．22．（2012•长宁区一模）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求k值；（2）若f（1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范围；（3）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．23．（2008•闸北区二模）设f（x）=a x+b同时满足条件f（0）=2和对任意x∈R都有f（x+1）=2f（x）﹣1成立．（1）求f（x）的解析式；（2）设函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，且在定义域内g（x）=f（x），且函数h（x）的图象与g（x）的图象关于直线y=x对称，求h（x）；（3）求函数y=g（x）+h（x）的值域．24．已知函数f（x）=2x+1定义在R上．（1）若f（x）可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，设h（x）=t，p（t）=g（2x）+2mh（x）+m2﹣m﹣1（m∈R），求出p（t）的解析式；（2）若p（t）≥m2﹣m﹣1对于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范围；（3）若方程p（p（t））=0无实根，求m的取值范围．25．已知函数（1）a＞1，解关于x的方程f（x）=3．（2）记函数g（x）=f（﹣x），x∈[﹣2，+∞），若g（x）的最值与a无关，求a的取值范围．26．已知函数f（x）=（常数a＞0），且f（1）+f（3）=﹣2．（1）求a的值；（2）试研究函数f（x）的单调性，并比较f（t）与的大小；（3）设g（x）=，是否存在实数m使得y=g（x）有零点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．27．若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x0不存在，则称函数f（x）不具有性质M．（1）证明：函数f（x）=2x具有性质M，并求出对应的x0的值；（2）已知函数具有性质M，求a的取值范围28．已知函数f（x）=（其中e=2.71828…是一个无理数）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断奇偶性并证明之；（3）判断单调性并证明之．29．已知，x∈（0，1）；（1）试判断并证明f（x）的单调性；（2）当λ取何值时，方程f（x）+f（﹣x）=λ有实数解？30．已知函数的图象经过点A（1，3）和B（2，6），g（x）=2x+m﹣3+b，其中m为实数．（1）求实数a，b的值；（2）若对一切x∈[﹣2，0]，都有f（x）＞g（x）恒成立，求实数m的取值范围．2014年07月20日niuxs的高中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．已知幂函数y=f（x）的图象过点，求出此函数的解析式，并判断并证明f（x）的奇偶性．代入得∴∵2．设函数f（x）=xα+1（α∈Q）的定义域为[﹣b，﹣a]∪[a，b]，其中0＜a＜b．若函数f（x）在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f（x）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和为﹣5或9．3．已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），（1）求函数y=f（x）的解析式，并用描点法画出函数f（x）的图象（2）用定义证明函数的单调性．，），﹣=12 1 …，4．已知幂函数f（x）=x（2﹣k）（1+k），k∈N+，且满足f（2）＜f（3）．（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）解析式；（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数q，使函数g（x）=1﹣qf（x）+（2q﹣1）x在区间[﹣1，2]上值域为．若存在，求出此q值；若不存在，请说明理由．其对称轴为，其对称轴5．已知幂函数．（1）试求该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；（2）若该函数还经过点，求m的值并求满足条件f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围．）依题意得：，∴，∴由已知得：，∴的取值范围为：6．给出集合A={﹣2，﹣1，，，，1，2，3}．已知a∈A，使得幂函数f（x）=x a为奇函数；指数函数g（x）=a x在区间（0，+∞）上为增函数．（1）试写出所有符合条件的a，说明理由；（2）判断f（x）在（0，+∞）的单调性，并证明；（3）解方程：f[g（x）]=g[f（x）]．，，所以原方程等价于，由此能求出结果．，，，==7．已知函数为幂函数，求其解析式．；，都适合题意．或8．已知幂函数f（x）=x（2﹣k）（1+k）（k∈z）在（0，+∞）上递增．（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数m，使函数g（x）=1﹣mf（x）+（4m﹣1）x，在区间[0，1]上的最大值为5．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．=当时，解得，则当，则，解得，满足条件；当时，解得）在处取得最小值，最大值在，解得，不满足存在且9．下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系定义域10．（2014•眉山二模）设关于x的方程x2+tx﹣1=0的两根为α，β（α＜β，函数f（x）=）．（1）用t表示f（α）+f（β）；（2）证明：f（x）在[α，β]上是增函数；（3）对任意正数x1，x2，求证：﹣2β＜f（）+f（）＜﹣2α．∴）∵=）∵，∴同理，得∴），）知，，））＜﹣11．（2013•闸北区一模）设定义域为R的奇函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数．（1）求证：函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数；（2）试构造一个满足上述题意且在（﹣∞，+∞）内不是单调递减的函数．（不必证明））如函数12．（2013•嘉定区二模）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求k的值；（2）（理）若，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2m•f（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．（文）若f（1）＜0，试说明函数f（x）的单调性，并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的取值范围．，因为，所以，上是增函数，则，（舍去）13．（2011•普陀区三模）（理）已知函数．（1）试判断f（x）的奇偶性并给予证明；（2）求证：f（x）在区间（0，1）单调递减；（3）右图给出的是与函数f（x）相关的一个程序框图，试构造一个公差不为零的等差数列{a n}，使得该程序能正常运行且输出的结果恰好为0．请说明你的理由．，任取=，即可．14．（2011•嘉定区三模）已知k∈R，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，函数f（x）=a x+k•b x．（1）如果实数a、b满足a＞1，ab=1，试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）设a＞1＞b＞0，k≤0，判断函数f（x）在R上的单调性并加以证明；（3）若a=2，，且k＞0，问函数f（x）的图象是不是轴对称图形？如果是，求出函数f（x）图象的对称轴；如果不是，请说明理由．代入函数表达式，得）由已知，，，．15．（2009•虹口区二模）已知函数f （x）=（1）判断f （x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明；（2）若关于x的方程f （x）=k有根在[2，3]内，求实数k的取值范围；（3）若关于x的方程f （x）=k x2有四个不同的实数根，求实数k的取值范围．==结合（则只要的根，而=∴∴=，∴上有解，则的图象可知满足条件时有16．（2007•嘉定区一模）已知函数，m＞0且f（1）=﹣1．（1）求实数m的值；（2）判断函数y=f（x）在区间（﹣∞，m﹣1]上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（3）求实数k的取值范围，使得关于x的方程f（x）=kx分别为：①有且仅有一个实数解；②有两个不同的实数解；③有三个不同的实数解．，得到，解不等式得或k＞0；当x＜0时，则，解得，解不等．最后综合可得方程，，从而时，，则）原方程即为有解，则，解得，有解，则，解得，，得17．（2006•崇文区二模）设函数f（x）的定义域为R，对于任意实数m、n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），且x ＞0时0＜f（x）＜1．（1）证明：f（0）=1，且x＜0时f（x）＞1；（2）证明：f（x）在R 上单调递减；（3）设A={（x，y）|f（x2）•f（y2）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax﹣y+2）=1，a∈R}，若A∩B=∅，确定a 的范围．⇒[]18．已知函数（1）由，，，这几个函数值，你能发现f（x）与有什么关系？并证明你的结论；（2）求的值；（3）判断函数在区间（0，+∞）上的单调性．）））+19．利用自然对数的底数e（e=2.71828…）构建三个基本初等函数．探究发现，它们具有以下结论：三个函数的图象形成的图形（如图）具有“对称美”；图形中阴影区A的面积为1等．M，N是函数图象的交点．（Ⅰ）根据图形回答下列问题：①写出图形的一条对称轴方程；②说出阴影区B的面积；③写出M，N的坐标．（Ⅱ）设，证明：对任意的正实数x1，x2，都有．）∵）的图象是反比例函数∴（=．∵，∴，即．对任意的正实数20．已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体：①f（x）在其定义域上是单调函数；②在f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的最小值是，最大值是．请解答以下问题：（1）判断函数g（x）=﹣x3是否属于集合M？并说明理由，若是，请找出满足②的闭区间[a，b]；（2）若函数，求实数t的取值范围．，使得，且时，，]，故函数，使得，即，∴，∴21．（2014•闸北区二模）已知函数y=f（x）在定义域R上是增函数，值域为（0，+∞），且满足：f（﹣x）=．设F（x）=．（1）求函数y=F（x）值域和零点；（2）判断函数y=F（x）奇偶性和单调性，并给予证明．，=1+＜，=﹣=＞22．（2012•长宁区一模）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求k值；（2）若f（1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范围；（3）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．求得）﹣=﹣=≥，当t=＞23．（2008•闸北区二模）设f（x）=a x+b同时满足条件f（0）=2和对任意x∈R都有f（x+1）=2f（x）﹣1成立．（1）求f（x）的解析式；（2）设函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，且在定义域内g（x）=f（x），且函数h（x）的图象与g（x）的图象关于直线y=x对称，求h（x）；（3）求函数y=g（x）+h（x）的值域．24．已知函数f（x）=2x+1定义在R上．（1）若f（x）可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，设h（x）=t，p（t）=g（2x）+2mh（x）+m2﹣m﹣1（m∈R），求出p（t）的解析式；（2）若p（t）≥m2﹣m﹣1对于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范围；（3）若方程p（p（t））=0无实根，求m的取值范围．[，，∵∴，则，∴单调递增，∴恒成立，∴恒成立，，∵，∴，故∴，∴无实根，故其判别式，且25．已知函数（1）a＞1，解关于x的方程f（x）=3．（2）记函数g（x）=f（﹣x），x∈[﹣2，+∞），若g（x）的最值与a无关，求a的取值范围．）令）令时，，lna=即∈）有最小值即时，由时，上递减，在==）有最小值为时，，lna=∈）有最大值（26．已知函数f（x）=（常数a＞0），且f（1）+f（3）=﹣2．（1）求a的值；（2）试研究函数f（x）的单调性，并比较f（t）与的大小；（3）设g（x）=，是否存在实数m使得y=g（x）有零点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．+，=+2∈f，，∈f h＞＞时，∈）＜由题意可知，方程，，所以＞≠，+，]27．若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x0不存在，则称函数f（x）不具有性质M．（1）证明：函数f（x）=2x具有性质M，并求出对应的x0的值；（2）已知函数具有性质M，求a的取值范围，解得代入得：，得aaa28．已知函数f（x）=（其中e=2.71828…是一个无理数）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断奇偶性并证明之；（3）判断单调性并证明之．=﹣==∴29．已知，x∈（0，1）；（1）试判断并证明f（x）的单调性；（2）当λ取何值时，方程f（x）+f（﹣x）=λ有实数解？==∵=）时，30．已知函数的图象经过点A（1，3）和B（2，6），g（x）=2x+m﹣3+b，其中m为实数．（1）求实数a，b的值；（2）若对一切x∈[﹣2，0]，都有f（x）＞g（x）恒成立，求实数m的取值范围．时，时，，。