刚体的转动惯量专题

元，则
l O
dx
Ox
x
图 匀质细杆对质心轴的转动惯量
dI x2dm x2dx
IO
l /2 x2dx 1 l3 1 ml2
l / 2
12 12
根据平行轴定理，杆对通过其一端且垂直于杆的轴的转动惯
量为
I
IO
m
l 2
2
1 12
ml 2
1 4
ml 2
1 3
ml 2
当然用定积分也可得相同的结果.
当然，对z 轴的转动惯量也可用三重积分计算得到.
Iz x2 y2 dxdydz
c
dz
b
dy
a x2dx
c
dz
a
dx
b y2dy
0
0
0
0
0
0
1 a3bc 1 ab3c
3
3
1 ma2 1 mb2
3
3wk.baidu.com
1 m a2 b2 3
对x 轴的转动惯量也可用三重积分计算得到.
量），等于它对于三个坐标轴的转动惯量之和的一半.
3.刚体的平行轴定理（许泰乃尔定理）
I IC md 2
·········○5
即，刚体对于任何一轴的转动惯量，等于刚体对于通过它的
质心并与该轴平行的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平
方的乘积.
注意：平行轴定理与刚体对质心轴的转动惯量紧密联系在一
2
c1m
a2
b 2
2
c2ma
b 2
m
b 4
2
c1 4
1 16
c1,
1 2
c2
c2
c1
1 12
,
c2 0
IO
1m 12
a2 b2
匀质长方体 [例题 6] 求质量为m 、长、宽和高分别为a 、b 和c 的匀质长方 体对其棱边为轴的转动惯量.
z
P′
O
c
x
b
a y
P
图 匀质长方体对其棱边为轴的转动惯量
（2）在质量一定的情况下，与质量的分布有关. 例如， 质量相同、半径也相同的圆盘与圆环，二者的质量分布不同，圆 环的质量集中分布在边缘，而圆盘的质量分布在整个圆面上，所 以，圆环的转动惯量较大.
（3）还与给定转轴的位置有关，即同一刚体对于不同的转 轴，其转动惯量的大小也是不等的. 例如，同一细长杆，对通过 其质心且垂直于杆的转轴和通过其一端且垂直于杆的转轴，二者 的转动惯量不相同，且后者较大. 这是由于转轴的位置不同，从 而也就影响了转动惯量的大小.
mi a 2
1 3
ma2
Iy
1 3
mi a 2
1 3
ma2
或利用定积分，
Iy
a x2 adx 1 a4 1 ma2
0
3
3
其中， m 为面密度. a2
对z 轴的转动惯量
对质心轴的转动惯量
Iz
Ix
Iy
2 3
ma2
IC Iz m
2 2
2 a
2 3
ma2
1 2
ma2
1 6
ma2
对以对角线为轴的转动惯量
b/2
b/2
图 匀质矩形薄板对过中心且垂直于板面的轴的转动惯量
另解： 从量纲上考虑，所求的转动惯量可表示为
IO c1ma2 c2mab c3mb2
其中，ci i 1,2,3为待定系数.
将a 和b 转置后，
IO c1mb2 c2mba c3ma2
但IO 不会因为a 和b 转置而发生变化，比较系数，有
d 2l 2
根据平行轴定理，立方体绕棱边的转动惯量为
ID
kml 2
m
2 2
l
2
k
1 2
ml
2
现将立方体等分为 8 个小立方体，每个小立方体的质量为 m ， 8
边长为 l ，绕棱边的转动惯量为 2
ID'
k
1 2
m 8
l 2
2
1 32
k
1 2
ml 2
8 个立方体绕棱边的转动惯量之和应等于大立方体绕中心
刚体的转动惯量的三要素：刚体的总质量、刚体的质量分布 情况、转轴的位置.
2.转动惯量的普遍公式 （1）转动惯量的定义式
I miri2
·········○1
可知，对于形状规则、质量均匀分布的连续刚体，其对特殊
轴的转动惯量的计算可借助于定积分. 这是，可设想将刚体分成
许多小线元、面元、体元.
于是
量IC .
[例题 2] 求均匀立方体绕通过面心的中心轴的转动惯
O′ l
O
图 标度变换法用于计算立方体对通过面心的中心轴的转动 惯量
[解] 令立方体的总质量为m ，边长为l ，设均匀立方体
绕通过面心的中心轴的转动惯量为
IC kml2
其中，系数k 是无量纲的量. 因为一切立方体在几何上都是
相似的，它们应该具有同样的k . 中心轴到棱边的距离为
轴的转动惯量，即
比较系数，得
IC 8ID'
于是，求得 所以，
k
1 32
k
1 2
k1 6
IC
1 6
ml 2
下面介绍利用定积分法计算质．量．均．匀．分．布．、．图．形．具．有．对．称．性． 的．刚．体．对于一些特殊的转轴的转．动．惯．量．.
匀质细杆 [例题 3] 质量为m 、长为l的匀质细杆，绕其质心且垂直 于杆的轴旋转，杆的转动惯量是多少 [解] 设杆的线密度为 ，则ml . 选择如图所示的坐标 轴，杆的质心位于原点，取一个长度为dx、与质心的距离为x 的微
·········○2a
刚体对x 轴的转动惯量
Ix r2 x2 dm y2 z2 dm
·········○2b
刚体对 y轴的转动惯量
Iy r2 y2 dm x2 z2 dm
·········○2c
仿照刚体对某轴的转动惯量来定义刚体对于某点的转动惯
量：刚体中各质点的质量各自与其至某（参考）点的距离的平方
由于对称放置，两个小圆盘对 O 轴的转动惯量相
等，设为I '，圆盘
质量的面密度
=
m πR2
，根据平行轴定理，有
I ' 1 2
πr2
r2
πr2
R 2
2
mr 4 2R2
1 4
mr 2
设挖去两个小圆盘后，剩余部分对O轴的转动惯量为I ''
I
"
I
2I
'
1 2
mR2
m
r4 R2
1 2
mr 2
[例题 1] 在质量为m ，半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r 的 两个圆孔，圆孔中心在半径 R 的中点，求剩余部分对过大圆盘中 心且与盘面垂直的轴线的转动惯量.
R
r
r
O1
O
O2
图 转动惯量的叠加原理的应用
[解] 大圆盘对过圆盘中心O且与盘面垂直的轴线（以下简称
O 轴）的转动惯量
为
. I
1 2
mR2
dm dx dm dS dm dV
I r2dm r2dx l
I r2dm r2 dS S
I r2dm r2dV V
一般说来，这是个三重的体积分，但对于有一定对称性的物
体，积分的重数可以减少，甚至不需要积分.
（2）刚体对某轴的转动惯量
刚体对z 轴的转动惯量
Iz r2 z2 dm x2 y2 dm
起，应用此定理的参考点是刚体对质心轴的转动惯量.
根据平行轴定理，可得到如下关系：
（1）刚体绕通过质心的轴的转动惯量小于绕另一平行
轴的转动惯量，二者之差为md2 . （2）设有两条平行轴PP'与QQ'均不通过质心C . 如果 PP'比
QQ'靠近C ，则刚体绕 PP'轴的转动惯量小于绕QQ'轴的转动惯量（如 图(a)所示）.
Ix'
Iy'
1 2
IC
1 2
1 6
ma2
1 12
ma2
当然，对z 轴的转动惯量也可用二重积分计算得到.
Iz
x2 y2 dxdy
a
dy
a x2dx
a
dx
a y2dy 2 a4 2 ma2
0
0
0
0
3
3
匀质矩形薄板
[例题 5] 求质量为m 、长和宽分别为a 和b的匀质矩形薄板对 其边为轴的转动惯量.
[解] 方法同上，不难得到
z y
a
b
O
x
图 匀质矩形薄板对一边为轴的转动惯量
Ix
1 3
mb2 ,
Iy
1 ma2 3
由垂直轴定理，可以进一步求得矩形薄板对通过顶点且垂直
于板平面的轴的转动惯量（如图）为
Iz
Ix Iy
1m 3
a2 b2
当然，对z 轴的转动惯量也可用二重积分计算得到.
Iz
刚体的转动惯量专题
1.刚体的转动惯量的三要素 刚体对某轴的转动惯量，是描述刚体在绕该轴的转动过
程中转动惯性的物理量. 有转动惯量的定义式 I miri2 可看出，刚 体的转动惯量是与下列三个因素有关的.
（1）与刚体的质量有关. 例如半径相同的两个圆柱体， 而它们的质量不同，显然，对于相应的转轴，质量大的转动惯量 也较大.
Q
P
·C
·C
Q′
P′
(a)
(b)
图 平行轴定理的应用 (a) 在不同圆上；(b)同一圆上
（3）如果有一簇与质心C 的距离相等的平行轴，那么，刚 体绕这些轴的转动惯量均相等（如图(b)所示）.
4.刚体的垂直轴定理（正交轴定理、薄片定理） 设想刚体为平面薄片，即厚度可以略去不计，因而刚体为平 面图形.
0
0
0
0
1 m a2 c2 3
根据平行轴定理，对通过长方体面心为轴的转动惯量
2
IPP' Iz m
a2 b2 2
1m 3
a2 b2
1m 4
a2 b2
1 m a2 b2 12
如果将上述长方体换成边长为a 的立方体，则绕其棱边的转 动惯量均相等，且
I 2 ma2 3
的乘积，所得总和称为刚体对该点的转动惯量.
（3）刚体对某点的转动惯量
刚体对坐标原点 O 的转动惯量可表示为
IO x2 y2 z2 dm
由式○2 、○3 ，得
·········○3
IO
1 2
Ix Iy Iz
·········○4
即，质点系（刚体）对于坐标原点的转动惯量（或极转动惯
Ix y2 z2 dxdydz
a
dx
c
dz
b y2dy
a
dx
b
dy
c z2dz
0
0
0
0
0
0
1 m b2 c2 3
对x 轴的转动惯量也可用三重积分计算得到.
Iy x2 z2 dxdydz
c
dz
b
dy
a x2dx
a
dx
b
dy
c z2dz
0
0
c1 c2
则
IO c1m a2 b2 c2mba
利用匀质矩形板可等分为两个小匀质矩形板的特点，如图所
示，有
IO1
IO2
c1
m 2
a2
b 2
2
c2
m 2
a
b 2
比较系数，有 得， 因而，
IO
I O1
m 2
b 4
2
IO2
m 2
b 4
2
2IO1
m
b 4
1 2
m
R2
r2
2r 4 R2
6.转动惯量的标度变换法 转动惯量的标．度．变．换．法．是计算转动惯量的一种简便的
方法. 由于在几何上具有相似性的均匀物体，它们对相应转轴的
转动惯量的表达式也具有相似性，在根据转动惯量的平行轴定 理、叠加原理等，确定彼此关系，比较系数，从而获得物体对该 轴的转动惯量. 故这种方法可以不用积分即能求得某些特殊形 状的物体的转动惯量.
[解] 由叠加原理，不难得到
以棱边 c 为轴的转动惯量
Iz
1 3 mi
a2 b2
1m 3
a2 b2
同理可得，以棱边 a 为轴的转动惯量
Ix
1 3 mi
b2 c2
1 m b2 c2 3
以棱边 b 为轴的转动惯量
Iy
1 3
mi
a2 c2
1 m a2 c2 3
I l x2dx 1 l3 1 ml2
0
33
匀质正方形薄板 [例题 4] 求质量为m 、边长为a 的匀质正方形薄板对其边为 轴的转动惯量.
[解] 匀质薄板可视为细长条的组合. 根据叠加原理可得
对一边的转动惯量.
y a
a
O
dx
x
图 匀质正方形薄板对一边为轴的转动惯量
同理，可得
Ix
1 3
Iz Ix Iy
·········○6
即，平面图形对于图形内的两条正交轴的转动惯量之和，等
于这个图形对过二．轴．交．点．且垂．直．于图形平面的那条转轴的转动
惯量.
注意：正交轴定理对于有限厚度的板不成立.
5.转动惯量的叠加原理 实际上，有些物体是由几种形状不同的刚体的组合. 它对于 某轴的转动惯量，可视为各部分对于同一转轴的转动惯量之和， 因而，
x2 y2 dxdy
b
dy
a x2dx
a
dx
b y2dy 1
a4 b4
1 m a2 b2
0
0
0
0
3
3
矩形薄板对通过质心且垂直于板平面的轴的转动惯量为
2
I ' 1 m 3
a2 b2
m
a2 b2 2
1m 12
a2 b2
b/2
b/2
a
·O1 ·O ·O2 a
I I1 I2 I3
·········○7
即，由几个部分组成的刚体对某轴的转动惯量，等于各部分
对同轴的转动惯量之和. 此即转动惯量的叠．加．原．理．. 叠加原理是根据加法的组合定则，把属于各部分的项分别相
加，然后求和而得. 同理，设有一物体挖去若干部分，则剩余部分的转动惯
量，等于原物体的转动惯量，减去挖去部分的转动惯量.
对通过正方体面心为轴的转动惯量
I PP '
1 6
ma2
余此类推.
对于特殊刚体，
线（线段） 面（矩形） 体（长方体）
匀质细圆环 [例题 7] 求质量为m 、半径为R的匀质细圆环对通过中心并 与环面垂直的轴的转动惯量.