函数地单调性地题型分类及解析汇报
函数单调性讲解及常见类型(整理)
函数的单调性题型一 判断、讨论、证明函数的单调性1判断函数y=x-x 1在其定义域上的单调性。
2讨论并证明y=x+x 1在定义域上的单调性。
3定义在R 上的函数f （x ）对任意不相等实数a ，b 总有()()ba b f a f -->0成立，则必有 A 、函数f （x ）是先增加后减小B 、函数f （x ）是先减小后增加C 、f （x ）在R 上是增函数D 、f （x ）在R 上是减函数4已知b x k x f ++=)12()(在实数R 是减函数，则k 的取值范围为（ ）5已知函数),0(,)(2+∞∈++=x c bx x x f 是单调函数，则实数b 的取值范围为（ ） .0.≥b A 0.≤b B 0.>b C 0,<b D 6已知2)1(2)(2+--=x a x x f 在]4,(-∞上是减函数，求实数a 的取值范围。
题型二 抽象函数的单调性1、已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数，且f(x-2)<f(1-x), 求x 的取值范围.2 、f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，则不等式f （x ）>f （8（x —2））的解集是A 、（2，716）B 、（—∞，716）C 、（2，+∞）D 、（2，716）题型四 用图形讨论函数单调性1函数y=|x —3|—|x+1|的单调递减区间是 。
2画出函数223.y x x =-++的图像，并指出函数的单调区间3画出函数y=|x|的图像，并判断其单调性。
4画出函数y=|x 2+2x-1|的图像，并指出其在R 上的单调性。
题型五 基本初等函数的单调性问题1.设函数243,[1,4]y x x x =-+∈，则()f x 的最小值和最大值为（ ）A.-1 ，3B.0 ，3C.-1，4D.-2，02．函数f （x ）=—x 2+2（a —1）x+2在（—∞，4）上是增函数，则a 的范围是A 、a ≥5B 、a ≥3C 、a ≤3D 、a ≤—53.已知22(2)5y ax a x =+-+在区间(4,)+∞上是减函数，则a 的范围是（ ）A.25a ≤ B.25a ≥ C.25a ≥或0a = D.0a ≤3.若函数242--=x x y 的定义域为[]m ,0，值域为[]2,6--，则m 的取值范围是（）A 、(]4,0B 、[]4,2C 、(]2,0D 、()4,24.函数32++=bx ax y 在(]1,-∞-上是增函数，在[)+∞-,1上是减函数，则（ ） A 、00<>a b 且 B 、02<=a b C 、02>=a b D 、的符号不确定b a ,5.已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是 A (,1)(2,)-∞-⋃+∞ B (1,2)- C (2,1)- D (,2)(1,)-∞-⋃+∞7.已知函数(21)32f x x +=+，且()4f a =，则a =_____________8.函数]1,1[)20(32-<<++=在a ax x y 上的最大值是 ，最小值是 . 9.函数222(03)()6(20)x x x f x x x x ⎧-<≤=⎨+-≤≤⎩的值域为_______________________ 10.函数212+=x y 的值域为______________________. 11．已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]上有最大值5和最小值2，则a 、b 的值是类型四 解答题1.已知函数y =(0)a <在区间(,1]-∞上有意义，求实数a 的取值范围.2.二次函数)(x f 满足x x f x f 2)()1(=-+，且1)0(=f .（1）求)(x f 的解析式；（2）在区间[]1,1-上，)(x f y =的图象恒在直线m x y +=2上方，试确定实数m 的取值范围.3.已知函数2,(1),()2,(11),2,(1).x x f x x x x ≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩4.已知函数2()(2)f x x a x b =+++满足2)1(-=-f ；（1）若方程()=2f x x 有唯一的解；求实数b a ,的值；（2）若函数()f x 在区间[]-22，上不是单调函数，求实数a 的取值范围5.已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==。
完整版)函数的单调性知识点与题型归纳
完整版)函数的单调性知识点与题型归纳备考知考情：在高考中，理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义以及运用基本初等函数的图象分析函数的性质是非常重要的。
函数的单调性是热点，常见问题有求单调区间、判断函数的单调性、求参数的取值、利用函数单调性比较数的大小以及解不等式等。
客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用。
题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现。
一、知识梳理在研究函数单调性之前，必须先求函数的定义域。
函数的单调区间是定义域的子集，单调区间不能并。
知识点一：函数的单调性单调函数的定义：若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f(x)的单调区间。
注意：1.定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值。
2.函数的单调区间必须是定义域的子集。
3.定义有两种变式。
问题探究：1.关于函数单调性的定义应注意哪些问题？1）定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值。
2）函数的单调区间必须是定义域的子集。
3）定义有两种变式。
2.单调区间的表示注意哪些问题？单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示。
如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结。
知识点二：单调性的证明方法：定义法及导数法高频考点例1：规律方法1) 定义法：利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形（如“分解因式”、配方成同号项的和等）；③依据差式的符号确定其增减性。
2) 导数法：x＋1x＋1a>0)由定义可知。
f(x1f(x2即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．法二：导数法f′(x)＝a(x＋1)－axx＋1)2ax＋1)2a>0，x∈(－1，＋∞))即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．例2.（2）《名师一号》P16高频考点例1（2）判断函数f(x)＝x2－2x＋3在R上的单调性，并证明．法一：导数法f′(x)＝2x－22(x－1)当x<1时，f′(x)<0，即f(x)在(－∞，1)上为减函数；当x>1时，f′(x)>0，即f(x)在(1，＋∞)上为增函数．综上可知，f(x)在R上单调性不同．法二：二次函数法对于任意实数x，有f(x)＝(x－1)2＋2因为平方项非负，所以f(x)的最小值为2，即f(x)≥2；又因为当x＝1时，f(x)＝2，所以f(x)的最小值为2，即f(x)≥2；又因为当x＝1时，f(x)＝2，所以f(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．综上可知，f(x)在R上单调性不同．例3.（1）《名师一号》P16高频考点例1（3）设f(x)＝exax－b，其中a，b为常数，证明：当a2<4时，f(x)在R上为凸函数；当a2>4时，f(x)在R上为下凸函数；当a2＝4时，f(x)在R上为抛物线．证明：f′(x)＝exaf′′(x)＝ex当a20，即f(x)在R上为凸函数；当a2>4时，f′′(x)<0，即f(x)在R上为下凸函数；当a2＝4时，f′′(x)＝0，即f(x)为抛物线．因此，当a2<4时，f(x)在R上为凸函数；当a2>4时，f(x)在R上为下凸函数；当a2＝4时，f(x)在R上为抛物线．2.1、解析：根据题意，我们可以列出不等式a-2<0，解得a≤2.代入原式得到实数a的取值范围为(-∞。
函数单调性的七类经典题型
函数单调性的七类经典题型单调性 类型一：三角函数单调区间1.函数tan 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为__________． 【答案】5,,66k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【解析】试题分析: 因为232πππππ+<-<-k x k ,所以Z k k x k ∈+<<-,656ππππ,故应填答案5,,66k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭. 2.已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( )A ．(－∞，1]B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞) 解析：选B 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0， 即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)． 3.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)类型二：对数函数单调区间1.函数f(x)＝ln(4＋3x －x2)的单调递减区间是( )A.⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，32 B.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－1，32 D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，4解析：函数f(x)的定义域是(－1,4)，u(x)＝－x2＋3x ＋4＝－⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －322＋254的减区间为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，4，∵e ＞1，∴函数f(x)的单调减区间为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，4.2.函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( )A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．类型三：分段函数单调性 1.已知函数f(x)＝⎩⎨⎧>≤--1,log 1,1)2(x x x x a a ,若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(2,3] D ．(2，＋∞)解析：要保证函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则首先分段函数应该在各自定义域内分别单调递增．若f(x)＝(a －2)x －1在区间(－∞，1]上单调递增，则a －2＞0，即a ＞2.若f(x)＝logax 在区间(1，＋∞)上单调递增，则a ＞1.另外，要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增还必须满足(a －2)×1－1≤loga1＝0，即a≤3.故实数a 的取值范围为2＜a≤3. 答案：C类型四：利用单调性求参数范围1.已知函数()f x 为定义[]2,3a -在上的偶函数，在[]0,3上单调递减，并且()22225a f m f m m ⎛⎫-->-+- ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是_______________． 【答案】1122m ≤<【解析】试题分析: 由偶函数的定义可得032=+-a ,则5=a ,因为01)1(22,01222>+-=+->+m m m m,且)22()22(),1()1(2222+-=-+-+=--m m f m m f m f m f ,所以322122≤+-<+m m m ,解之得1122m ≤<.故应填答案1122m ≤<.2.已知y ＝f(x)是定义在(－2,2)上的增函数，若f(m －1)＜f(1－2m)，则m 的取值范围是__________．解析：依题意，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧－2＜m －1＜2－2＜1－2m ＜2m －1＜1－2m⇒⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧－1＜m ＜3－12＜m ＜32m ＜23⇒－12＜m ＜23.答案：⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12，233.已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.答案：(－∞，1]4.若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝－x 2＋2ax 在区间[1,2]上是减函数，∴a ≤1.又∵函数g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上也是减函数，∴a >0.∴a 的取值范围是(0,1]．5.若函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)在区间(a,3a －1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析：由于f (x )＝|log a x |(0<a <1)的递减区间是(0,1]，所以有0<a <3a －1≤1，解得12<a ≤23.答案：⎝⎛⎦⎥⎥⎤12，23 类型五：范围问题1.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足不等式f (1)<f (lg x 10)的x 的取值范围是________.押题依据 利用函数的单调性、奇偶性求解不等式是高考中的热点，较好地考查学生思维的灵活性.答案 (0,1)∪(100，＋∞)解析 由题意得，f (1)<f (|lg x 10|)⇒1<|lg x10|⇒lgx 10>1或lg x10<－1⇒x >100或0<x <1.2.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，32 解析 ∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，∴在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)，∴f (2|a －1|)>f (2)，∴2|a －1|<2＝212，∴|a －1|<12，即－12<a －1<12，即12<a <32.3.设函数f (x )＝x |x －a |，若对∀x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0恒成立，则实数a的取值范围是__________. 答案 (－∞，3]解析 由题意分析可知条件等价于f (x )在[3，＋∞)上单调递增，又因为f (x )＝x |x －a |，所以当a ≤0时，结论显然成立，当a >0时，f (x )＝⎩⎨⎧x 2－ax ，x ≥a ，－x 2＋ax ，x <a ，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，a 2上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎪⎫a 2，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，所以0<a ≤3.综上，实数a 的取值范围是(－∞，3].类型六：综合题1.（作图）已知f(x)是定义在实数集R上的增函数，且f(1)＝0，函数g(x)在(－∞，1]上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，且g(4)＝g(0)＝0，则集合{x|f(x)g(x)≥0}等于()A．{x|x≤0或1≤x≤4} B．{x|0≤x≤4}C．{x|x≤4} D．{x|0≤x≤1或x≥4}解析：画出函数f(x)和g(x)的草图如图，由图可知当f(x)g(x)≥0时，x的取值范围是x≤0或1≤x≤4，即{x|f(x)g(x)≥0}＝{x|x≤0或1≤x≤4}，故选A.2.函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －12<0的解集．（数形结合）解：∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝0.又∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上是增函数，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12<0＝f (1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －12>0，x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12<1，即0<x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －12<1，解得12<x <1＋174或1－174<x <0.f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12<0＝f (－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －12<0，x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12<－1.∴x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －12<－1，解得x ∈∅. ∴原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <1＋174或1－174<x <0.3.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：作出函数f (x )的图象，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．答案：B4.如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f (x )x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫作“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0，3]C ．[0,1]D ．[1，3]解析：因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f (x )x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f (x )x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]．答案：D6.若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2，所以当x ≤2时，f (x )≥4；又函数f (x )的值域为[4，＋∞)，所以⎩⎨⎧a >1，3＋log a 2≥4.解得1<a ≤2，所以实数a 的取值范围为(1,2]．答案：(1,2]7.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝|x －a |－a (a ∈R).若∀x ∈R ，f (x ＋2 016)>f (x )，则实数a 的取值范围是_________. 数形结合当a ＝0时，f (x )＝x ，x ∈R ，满足条件；当a <0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x >0，0，x ＝0，x ＋2a ，x <0为R 上的单调递增函数，也满足条件；当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x >a ，－x ，－a ≤x ≤a ，x ＋2a ，x <－a ，要满足条件，需4a <2 016 ，即0<a <504， 综上实数a 的取值范围是a <504.。
函数单调性的题型和解题方法
函数单调性的题型和解题方法
函数单调性是指函数在定义域内的单调性，也就是说函数随着其自变量增加而增加或减少。
常见的单调性题型包括：
1.判断一个函数是单调增还是单调减
2.确定函数的极值
3.确定函数的单调区间
解题方法：
1.对于一个函数，首先要求出其导函数，然后
判断导函数的正负性，来确定原函数的单调
性。
2.求函数的极值，需要用到导函数的概念，求
出导函数的零点，并确定其是极大值还是极
小值。
3.确定函数的单调区间，需要分析导函数的正
负性和零点。
需要注意的是，这些方法都是针对连续可导函数，对于不连续不可导函数，需要采用其他方法分析。
对于判断一个函数是单调增还是单调减，我们可以通过求导函数来判断，如果导函数为正值，那么原函数就是单调增的，如果导函数为负值，那
么原函数就是单调减的。
而如果导函数为0，那么可能是函数的极值点。
对于求函数的极值，我们需要求出函数的导函数，并找到导函数的零点。
对于导函数为0的点，我们需要分析其二阶导函数的正负性来确定其是极大值点还是极小值点。
对于确定函数的单调区间，我们需要分析导函数的正负性和零点。
导函数为正值时，原函数在该区间内单调递增；导函数为负值时，原函数在该区间内单调递减；导函数为0时，原函数在该点可能是极值点。
需要注意的是，单调性和极值点的分析都是基于连续可导的函数，对于不连续不可导的函数，需要采用其他方法来分析。
函数单调性方法和各种题型
函数单调性奇偶性方法和各种题型总结一、单调性总结：(一)判断函数单调性的基本方法Ⅰ、定义法：定义域判断函数单调性的步骤：取值、作差（或商）变形、定号、判断。
例1：已知函数f(x)=x3+x,判断f(x)在(-∞，+∞)上的单调性并证明Ⅱ、直接法（一次函数、二次函数、反比例函数的单调可直接说出）：在公共区间内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数例2：判断函数y=-x+1+1/x在（0，+∞）内的单调性Ⅲ、图像法：说明：⑴单调区间是定义域的子集⑵定义x1、x2的任意性⑶代数：自变量与函数值同大或同小→单调增函数自变量与函数相对→单调减函数例3：y＝|x2＋2x－3|练习：(二)函数单调性的应用Ⅰ、利用函数单调性求连续函数的值域（最值） 根据增函数减函数的定义我们可得到如下结论：（1）若 f(x)在某定义域[a,b]上是增函数，则当x=a 时, f(x) 有最小值f(a)，当 x=b 时, f(x)有最大值 f(b)。
（2）若 f(x)在某定义域[a,b]上是减函数，则当x=a 时, f(x) 有最大值f(a)，当 x=b 时, f(x)有最小值 f(b)。
例1：求下列函数的值域 (1)y=x 2-6x+3, x ∈[-1,2] (2)y=-x 2+2x+2, x ∈[-1,4] 练习题：1.已知函数f(x)在区间[a,c]上单调减小，在区间[c,b]上单调增加,则f(x)在[a,b]上的最小值是 ( )2.数f(x)=4x 2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是( )3、()有函数13+--=x x y存在、最大值、最小值都不，最小值、最大值，最小值、最大值，最小值、最大值D C B A 4-44-0044、](()()的值域为时，函数当1435,02+-=∈x x x f x()()][()()]()][5,5,323205,0f c D f f C f f B f f A 、、、、、⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎪⎭⎫ ⎝⎛ 5、求函数y=-x-6+ 的值域x -1Ⅱ、利用函数单调性求单调区间1、()________..62是的单调区间函数-+=x x x f2、()的递增区间是函数245x x y --=](][][)[∞+∞∞、、、、、、、、11-2-2--2--D C B A3、函数的增区间是（ ）。
函数的单调性与极值点例题和知识点总结
函数的单调性与极值点例题和知识点总结在数学的学习中，函数的单调性与极值点是非常重要的概念，它们不仅在理论上有着深刻的意义，在实际应用中也能帮助我们解决很多问题。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解函数的单调性与极值点，并对相关知识点进行总结。
一、函数单调性的定义函数的单调性是指函数在某个区间内的增减性质。
如果对于区间内的任意两个自变量的值\（x_1\）和\（x_2\），当\（x_1 ＜ x_2\）时，都有\（f(x_1) ＜ f(x_2)＼），那么就说函数在这个区间上是单调递增的；如果当\（x_1 ＜ x_2\）时，都有\（f(x_1) ＞ f(x_2)＼），那么就说函数在这个区间上是单调递减的。
二、函数单调性的判定方法1、导数法对于一个可导函数\（f(x)＼），如果其导数\（f'（x) ＞ 0\）在某个区间内恒成立，那么函数在这个区间上单调递增；如果\（f'（x) ＜0\）在某个区间内恒成立，那么函数在这个区间上单调递减。
例如，函数\（f(x) ＝ x^2\），其导数\（f'（x) ＝ 2x\）。
当\（x ＞0\）时，＼（f'（x) ＞ 0\），函数单调递增；当\（x ＜ 0\）时，＼（f'（x) ＜ 0\），函数单调递减。
2、定义法设\（x_1\），＼（x_2\）是给定区间上的任意两个自变量的值，且\（x_1 ＜ x_2\），计算\（f(x_2) f(x_1)＼），然后判断其正负。
若\（f(x_2) f(x_1) ＞ 0\），则函数单调递增；若\（f(x_2) f(x_1) ＜ 0\），则函数单调递减。
三、函数极值点的定义设函数\（f(x)＼）在点\（x_0\）处可导，且在\（x_0\）附近左侧导数\（f'（x) ＜ 0\），右侧导数\（f'（x) ＞ 0\），则\（x_0\）为函数的极小值点，＼（f(x_0)＼）为极小值；若在\（x_0\）附近左侧导数\（f'（x) ＞ 0\），右侧导数\（f'（x) ＜ 0\），则\（x_0\）为函数的极大值点，＼（f(x_0)＼）为极大值。
函数单调性的七类经典题型
单调性类型一：三角函数单调区间 1.函数tan 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调增区间为__________． 【答案】5,,66k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【解析】试题分析: 因为232πππππ+<-<-k x k ,所以Z k k x k ∈+<<-,656ππππ,故应填答案5,,66k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭. 2.已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( )A ．(－∞，1]B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0， 即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)． 3.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)类型二：对数函数单调区间1.函数f(x)＝ln(4＋3x －x2)的单调递减区间是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，32 B.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－1，32 D.⎣⎡⎭⎫32，4解析：函数f(x)的定义域是(－1,4)，u(x)＝－x2＋3x ＋4＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋254的减区间为⎣⎡⎭⎫32，4， ∵e ＞1，∴函数f(x)的单调减区间为⎣⎡⎭⎫32，4.2.函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( )A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．类型三：分段函数单调性 1.已知函数f(x)＝⎩⎨⎧>≤--1,log 1,1)2(x x x x a a ,若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(2,3]D ．(2，＋∞)解析：要保证函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则首先分段函数应该在各自定义域内分别单调递增．若f(x)＝(a －2)x －1在区间(－∞，1]上单调递增，则a －2＞0，即a ＞2. 若f(x)＝logax 在区间(1，＋∞)上单调递增，则a ＞1.另外，要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增还必须满足(a －2)×1－1≤loga1＝0，即a≤3.故实数a 的取值范围为2＜a≤3. 答案：C类型四：利用单调性求参数范围1.已知函数()f x 为定义[]2,3a -在上的偶函数，在[]0,3上单调递减，并且()22225a f m f m m ⎛⎫-->-+- ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是_______________．【答案】112m ≤< 【解析】试题分析: 由偶函数的定义可得032=+-a ,则5=a ,因为01)1(22,01222>+-=+->+m m m m ,且)22()22(),1()1(2222+-=-+-+=--m m f m m f m f m f ,所以322122≤+-<+m m m ,解之得112m ≤<.故应填答案112m <. 2.已知y ＝f(x)是定义在(－2,2)上的增函数，若f(m －1)＜f(1－2m)，则m 的取值范围是__________．解析：依题意，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧－2＜m －1＜2－2＜1－2m ＜2m －1＜1－2m ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1＜m ＜3－12＜m ＜32m ＜23⇒－12＜m ＜23.答案：⎝⎛⎭⎫－12，233.已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1. 答案：(－∞，1] 4.若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________． 解析：∵函数f (x )＝－x 2＋2ax 在区间[1,2]上是减函数，∴a ≤1. 又∵函数g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上也是减函数，∴a >0.∴a 的取值范围是(0,1]．5.若函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)在区间(a,3a －1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析：由于f (x )＝|log a x |(0<a <1)的递减区间是(0,1]，所以有0<a <3a －1≤1，解得12<a ≤23.答案：⎝⎛⎦⎤12，23 类型五：范围问题1.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足不等式f (1)<f (lg x10)的x 的取值范围是________. 押题依据 利用函数的单调性、奇偶性求解不等式是高考中的热点，较好地考查学生思维的灵活性.答案 (0,1)∪(100，＋∞) 解析 由题意得，f (1)<f (|lgx 10|)⇒1<|lg x 10|⇒lg x 10>1或lg x10<－1⇒x >100或0<x <1.2.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫12，32解析 ∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)， ∴f (2|a －1|)>f (2)，∴2|a －1|<2＝212，∴|a －1|<12，即－12<a －1<12，即12<a <32.3.设函数f (x )＝x |x －a |，若对∀x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0恒成立，则实数a 的取值范围是__________. 答案 (－∞，3]解析 由题意分析可知条件等价于f (x )在[3，＋∞)上单调递增，又因为f (x )＝x |x －a |，所以当a ≤0时，结论显然成立，当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≥a ，－x 2＋ax ，x <a ，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫a 2，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，所以0<a ≤3. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，3].类型六：综合题1.（作图）已知f(x)是定义在实数集R 上的增函数，且f(1)＝0，函数g(x)在(－∞，1]上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，且g(4)＝g(0)＝0，则集合{x|f(x)g(x)≥0}等于( ) A ．{x|x≤0或1≤x≤4} B ．{x|0≤x≤4} C ．{x|x≤4} D ．{x|0≤x≤1或x≥4}解析：画出函数f(x)和g(x)的草图如图，由图可知当f(x)g(x)≥0时，x 的取值范围是x≤0或1≤x≤4，即{x|f(x)g(x)≥0}＝{x|x≤0或1≤x≤4}，故选A.2.函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f ⎝⎛⎭⎫x ⎝⎛⎭⎫x －12<0的解集．（数形结合）解：∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝0. 又∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上是增函数，若f ⎝⎛⎭⎫x ⎝⎛⎭⎫x －12<0＝f (1)，∴⎩⎨⎧x ⎝⎛⎭⎫x －12>0，x ⎝⎛⎭⎫x －12<1，即0<x ⎝⎛⎭⎫x －12<1，解得12<x <1＋174或1－174<x <0. f ⎝⎛⎭⎫x ⎝⎛⎭⎫x －12<0＝f (－1)，∴⎩⎨⎧x ⎝⎛⎭⎫x －12<0，x ⎝⎛⎭⎫x －12<－1.∴x ⎝⎛⎭⎫x －12<－1，解得x ∈∅. ∴原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <1＋174或1－174<x <0. 3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：作出函数f (x )的图象，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．答案：B4.如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f (x )x 在区间I 上是减函数，那么称函数y＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫作“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0，3]C ．[0,1]D ．[1，3]解析：因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f (x )x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f (x )x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]．答案：D6.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2，所以当x ≤2时，f (x )≥4；又函数f (x )的值域为[4，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，3＋log a2≥4.解得1<a ≤2，所以实数a 的取值范围为(1,2]．答案：(1,2]7.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝|x －a |－a (a ∈R ).若∀x ∈R ，f (x ＋2 016)>f (x )，则实数a 的取值范围是_________. 数形结合当a ＝0时，f (x )＝x ，x ∈R ，满足条件；当a <0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x >0，0，x ＝0，x ＋2a ，x <0为R 上的单调递增函数，也满足条件；当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x >a ，－x ，－a ≤x ≤a ，x ＋2a ，x <－a ，要满足条件，需4a <2 016 ，即0<a <504， 综上实数a 的取值范围是a <504.。
函数单调性讨论16种题型(解析版)
第6讲 函数单调性含参讨论16类【题型一】 讨论思维基础：求导后一元一次型参数在常数位置（单参）【典例分析】已知函数()()ln 1f x a x x a R =+-∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()e 1x y f ax =-+与()e ln ay x a =+的图像有两个不同的公共点，求a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）()1,+∞【分析】（1）、先求出()f x '，对a 分类讨论判断导函数的正负即可得到单调区间;（2）、由题意将问题转化为()e e ln x a x a =+有两个不同的实根，构造()e x g x x =，判断()g x 的单调性；要使()()ln g x g x a =+有两个不同的实根，则需ln x x a =+有两个不同的实根；构造()ln h x x x a =--，对a 分类讨论判断()h x 的单调性，判断()h x 的零点，得出a 的取值范围. 解（1）()()ln 1f x a x x a R =+-∈，()1a x af x x x+'∴=+=，()0x >. ①、当0a ≥，()0f x '>，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；①、当0a <，令()0f x '=，得x a =-，∴()0,x a ∈-时，()0f x '<；(),x a ∈-+∞时，()0f x '>，∴()f x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增.综上所述：当0a ≥，()f x 的单调递增为()0,+∞，无单调递减区间； 当0a <，()f x 的单调递增为(),a -+∞，()f x 的单调递减为()0,a -.【变式演练】1.已知函数()ln af x x x=+，()sin x g x e x =+，其中a ∈R . （1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =，证明：()()g x f x x<. 【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后求导，再根据导数的正负求出函数的单调区间，（2）要证()()g x f x x<，只要证sin ln 10x e x x x +-->，由于(0,1)x ∈时，sin ln 1110x e x x x +-->-=，当[1,)x ∈+∞时，令()sin ln 1x g x e x x x =+--，再利用导数求出其最小值大于零即可（1）()ln af x x x=+的定义域为(0,)+∞221()a x a f x x x x-'=-= 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '>，解得x a >；令()0f x '<，解得0x a <<； 综上所述：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，无减区间； 当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增； 2.已知函数()(2)e x f x x a =-. （1）求()f x 的单调区间（2）若()f x 的极值点为12-，且()()()f m f n m n =≠，证明：3()0ef m n -<+<.【答案】（1）单调递减区间为2,2a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为2,2a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）证明见解析 【分析】（1）求导()(22)e xf x x a +-'=，由()0f x '<，()0f x '>求解；（2）由（1）结合()f x 的极值点为12-，由2122a -=-，得到1a =，()(21)e x f x x =-，作出函数()f x 的大致图象，不妨设m n <，根据()()()f m f n m n =≠，得到1122m n <-<<，再由 3(1)ef -=-，将证明3()0ef m n -<+<，转化为证明1m n +<-即可. 解：()f x 的定义域为R ，()(22)e xf x x a +-'=，由()0f x '=，得22a x -=.当2,2a x -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当2,2a x -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>.所以()f x 的单调递减区间为2,2a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为2,2a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【题型二】 讨论思维基础：求导后一元一次型参数在系数位置（单参）【典例分析】已知函数()()2ln f x x a x a =++. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()1212,x x x x <是2()()g x f x x ax =++的两个极值点，证明：()21g x x >.【答案】（1）当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上为单调递增函数；当0a <时，若()f x 在20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为单调递增函数，在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上为单调递减函数；（2）证明见解析. 【分析】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，求导()2f x ax x+='，分类讨论0a ≥和0a <两种情况，研究()'f x 的正负，从而求得函数的单调区间；（2）由题得2()2ln ()g x x x a =++，则()221()x ax g x x++'=，由()1212,x x x x <是2()()g x f x x ax=++的两个极值点，可知120x x <<，所以1201x x <<<，要证()21g x x >，需证()2221212ln 1g x x x x x =+>，构造函数1()2ln (1)h x x x x x=+>，即证 ()1h x >，从而证得()21g x x >.【详解】（1）易知()f x 的定义域为()0,∞+，22()ax a x xf x +=+='. 当0a ≥时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上为单调递增函数； 当0a <时，若20,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()0f x '>，若2,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，则()0f x '<， 所以()f x 在20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为单调递增函数，在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上为单调递减函数.【变式演练】1.已知函数f (x )=alnx +1x +4，其中a ∈R ． （1）讨论函数f (x )的单调性；（2）对任意x ∈[1,e ]，不等式f (x )≥1x +(x +1)2恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）答案见解析（2）[(e +1)2−4,+∞) 【分析】（1）求出导函数f ′(x)，分类讨论确定f ′(x)的正负得单调区间；（2）不等式变形为(x +1)2−alnx −4≤0．引入新函数g (x )=(x +1)2−alnx −4(x ∈[1,e ])，求出导函数g ′(x)，分类讨论a ≤0时，不等式不恒成立，a >0时由导数确定函数有极小值点，而最大值是比较g(e )和g(1)的大小得到，从而得出参数范围． 解（1）函数f (x )的定义域为(0,+∞)， f ′(x )=ax −1x 2=ax−1x 2，当a ≤0时，f ′(x )<0恒成立，函数f (x )在(0,+∞)上单调递减； 当a >0时，由f ′(x )>0，得x >1a ， 由f ′(x )<0，得0<x <1a ，①函数f (x )在(0,1a )上单调递减，在(1a ,+∞)上单调递增．综上，当a ≤0时，函数f (x )在(0,+∞)上单调递减；当a >0时，函数f (x )在(0,1a )上单调递减，在(1a ,+∞)上单调递增.2.己知函数()e mxf x x =(其中e 为自然对数的底数)（1）讨论函数()f x 的单调性;（2）当1m =时，若()ln 1f x x ax ≥++恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析（2）(],1-∞ 【分析】（1）()()'1mxf x mx e =+，进而分0m =，0m >，0m <三种情况讨论求解即可；（2）由题意知ln 1xx a e x +≤-在()0+∞，上恒成立，故令ln 1()x x g x e x+=-，再根据导数研究函数的最小值，注意到01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使()'00g x =，进而结合函数隐零点求解即可.（1）解：()()'1mxf x mx e =+①0m =，()f x 在R 上单调增； ①0m >，令()'10f x x m ==-，，()()'1,,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞-< ⎪⎝⎭单调减。
完整版)利用导数求函数单调性题型全归纳
完整版)利用导数求函数单调性题型全归纳利用导数求函数单调性题型全归纳一、求单调区间例1：已知函数$f(x)=ax+x^2-x\ln a(a>0,a\neq 1)$，求函数$f(x)$的单调区间。
解：$f'(x)=ax\ln a+2x-\ln a=2x+(a x-1)\ln a$。
令$g(x)=f'(x)$，因为当$a>0,a\neq 1$时，$g'(x)=2+a\ln a>0$，所以$f'(x)$在$\mathbb{R}$上是增函数，又$f'(0)=-\ln a0$的解集为$(0,+\infty)$，故函数$f(x)$的单调增区间为$(0,+\infty)$，减区间为$(-\infty,0)$。
变式：已知$f(x)=e^{-ax}$，求$f(x)$的单调区间。
解：$f(x)=e^{-ax}$，当$a\leq 0$时，$f(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$a>0$时，由$f(x)=e^{-a x}>0$得：$x>\ln a$，$f(x)$在$(\ln a,+\infty)$单调递增；由$f(x)=e^{-a x}0$时，$f(x)$的单调递增区间为$(\ln a,+\infty)$，递减区间为$(-\infty,\ln a)$。
二、函数单调性的判定与逆用例2：已知函数$f(x)=x+ax-2x+5$在$(0,+\infty)$上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，求正整数$a$的取值集合。
解：$f'(x)=3x+2ax-2$。
因为函数$f(x)=x+ax-2x+5$在$(0,+\infty)$上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，所以$f'(x)=3x+2ax-2=0$在$(0,+\infty)$上有解。
所以$f''(x)=6+2a>0$在$(0,+\infty)$上恒成立。
第5讲 导数研究函数单调性5种题型总结(解析版)-2024高考数学常考题型
第5讲导数研究函数单调性5种题型总结【考点分析】考点一：含参数单调性讨论①先求函数定义域；②求导，化简，通分，分解因式；③x 系数有未知数a ，先考虑x 系数0=a 的情况；再考虑0,0<>a a 情况，求出()0='x f 的根，判断根与定义域，及根的大小关系，穿针引线，判断导函数正负，进而判断单调性；④若不能分解因式，若分子为二次函数则考虑讨论判别式∆，若不是二次函数可以考虑二次求导【题型目录】题型一：导函数为一次函数型题型二：导函数为准一次函数型题型三：导函数为二次可分解因式型题型四：导函数为二次不可因式分解型题型五：导函数为准二次函数型【典型例题】题型一：导函数为一次函数型【例1】（2023河南·高三开学考试（文））已知函数()()()ln 12f x a x x a =+-∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；【例2】（2022·辽宁营口·高二期末）已知函数()ln 1f x a x x =+-（其中a 为参数）．(1)求函数()f x 的单调区间；【例3】（2022·江西·二模（文））己知函数()()R a x ax x f ∈++=1ln ，讨论()f x 的单调性。
【解析】1(),0ax f x x x'+=>，①当0a ≥时，1()0ax f x x+'=>恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增②当0a <时，令()0f x '>得10x a<<-，∴()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减综上所述：当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；【例4】（2022·广东·模拟预测）已知函数()()()R m mx x x f ∈--=1ln ，讨论函数()f x 的单调性。
高中数学函数单调性题型总结
高中数学函数单调性题型总结在高中数学学习中，函数的单调性是必不可少的概念，包括一元函数的单调性、二元函数的单调性以及几何函数的单调性都是要重点掌握的知识点。
关于单调性的知识，以及其相关的题型，特此总结如下：一、一元函数的单调性1、一元函数的单调性：一元函数指在定义域内，一元函数f(x)仅有一个自变量x，且每个x值只有一个对应的y值，其中值从定义域到值域不变。
一元函数的单调性指的是其在定义域上的单调性，即x在定义域上的增加或减小，其函数值f(x)也都是递增或递减的。
2、一元函数的单调性题型：（1）求函数f(x)在一段区间内是否为单调递增或单调递减？此类题型要求我们计算函数的导数，如果导数大于0，则表示函数在该区间内为单调递增，反之则为单调递减。
（2）求函数f(x)在某点x0处是极值点还是拐点？此类题型要求我们判断函数的导数是否在x0处有极值，如果导数在x0处有极值，则表明f(x)在x0处是一个拐点；如果导数在x0处存在且不发生改变，则表示f(x)在x0处是一个极值点。
二、二元函数的单调性1、二元函数的单调性：二元函数指的是一个函数的自变量有两个，该函数只依赖于两个自变量，且每两个x值只有一个对应的y值，其中值从定义域到值域不变。
二元函数的单调性也是我们要掌握的知识点，指的是当其中一个自变量不变时另一个自变量变化后，函数值也要随之变化。
2、二元函数的单调性题型：（1）求函数f(x,y)在不同的x值或者y值时是否为单调递增或单调递减？此类题型要求我们计算函数的偏导数，如果偏导数大于0，则表示函数在该自变量上为单调递增，反之则为单调递减。
（2）求函数f(x,y)在某点处是极值点还是拐点？此类题型要求我们判断函数的偏导数是否在该点处有极值，如果偏导数在该点处有极值，则表明f(x,y)在该点处是一个拐点；如果偏导数在该点处存在且不发生改变，则表示f(x,y)在该点处是一个极值点。
三、几何函数的单调性1、几何函数的单调性：几何函数指的是函数的自变量只有一个，函数的非负数部分表示为f(x)=ax^b；其中a,b是实数。
高中数学《函数单调性》最全题型剖析——精品文档
高中数学《函数单调性》最全题型剖析1讨论单调性1.讨论函数f(x)＝21xax- (a≠0)在区间(-1，1)内的单调性. 解：设-1＜x 1＜x 2＜１，则f(x 1)-f(x 2)＝2111x ax --2221x ax -＝)1)(1()1)((22212121x x x x x x a --+- ∵x 1，x 2∈(-1，1)，且x 1＜x ２，∴x 1-x 2＜0，1+x 1x 2＞0，(1-x 21)(1-x 22)＞0于是，当a ＞0时，f(x 1)＜f(x 2)；当a ＜0时，f(x 1)＞f(x 2).故当a ＞0时，函数在(-1，1)上是增函数；当a ＜0时，函数在(-1，1)上为减函数.2单调性的判断和证明1.判断函数f (x )=－x 3+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x ∈（0，＋∞），函数f (x )是增函数还是减函数？ 解:导数法就不详细解。
3已知简单简单函数单调性求复合函数单调性1设y=f (x )的单增区间是(2，6)，求函数y=f (2－x )的单调区间．4已知单调性求参数范围1．函数21)(++=x ax x f 在区间（-2，+∞）上是增函数，那么a 的取值范围是（ ） A.210<<a B.21>a C.a<-1或a>1 D.a>-2解：f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a (x ＋2)＋1－2a x ＋2＝1－2ax ＋2＋a . 任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2a x 1＋2－1－2ax 2＋2＝(1－2a )(x 2－x 1)(x 1＋2)(x 2＋2).∵函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，∴f (x 1)－f (x 2)<0.∵x 2－x 1>0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴1－2a <0，a >12. 即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 上是单调递减的。
必修一函数的单调性题型归纳
必修一函数的单调性题型归纳函数的单调性与最值函数单调性的性质可以分为增函数和减函数。
对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1f(x2)，则函数为减函数。
此外，函数的单调性还有以下性质：函数f(x)与函数-f(x)的单调性相反；当f(x)恒为正或恒为负时，函数f(x1)-f(x2)0，函数kf(x)与函数f(x)具有相同的单调性（如果k0，则函数f(x)与函数f(-x)具有相同的单调性。
对于复合函数，判断其单调性需要使用同增异减的方法。
在证明单调性时，可以使用定义法证明单调性的等价形式：设x1,x2∈[a,b],x1≠x2，那么(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0，当且仅当f(x)在[a,b]上是增函数；(x1-x2)(f(x1)-f(x2))<0，当且仅当f(x)在[a,b]上是减函数。
例1：证明函数f(x)=x^2在R上是增函数。
解：对于任意x1,x2∈R，且x10，(f(x1)-f(x2))=(x1^2-x2^2)=(x1+x2)(x1-x2)>0，因此f(x)在R上是增函数。
例2：求函数f(x)=2x/(1-x)在(-1,+∞)内的单调性。
解：当x∈(-1,1)时，f(x)为增函数；当x>1时，f(x)为减函数。
因此，f(x)在(-1,+∞)内的单调性为：增-减。
例3：设y=f(x)的单增区间是(2,6)，求函数y=f(2-x)的单调区间。
解：令u=2-x，则x=2-u，代入y=f(2-x)得y=f(u)，即y=f(2-x)=f(u)。
因为y=f(x)在(2,6)上单增，所以u=2-x∈(2,4]。
因此，y=f(2-x)在[2,4)上为增函数，在(4,6)上为减函数，单调区间为：增-减。
上的增函数，且f(3)>1，解不等式f(x)>2的解集．题型二、比较函数值的大小例4、已知函数y=f(x)在[0.+∞)上是减函数，试比较f(1)与f(a-a+1)的大小。
函数单调性常考题型含详解
函数单调性常考题型题型一：初等函数中含参数的单调性问题典例1、如果函数 在R 上是增函数，那么a 的取值范围______. 解：根据一次函数的性质，得到，即可求解实数a 的取值范围. 详解：由题意，函数 在R 上是增函数， 根据一次函数的性质，可得，解得即实数a【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，以及一次函数的性质，其中解答中根据一次函数的性质，列出不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 变式题：1、已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______.2、函数在上是增函数，在上是减函数，则_________．3、若函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是________．4、若函数f （x [m，+∞）上为增函数，则实数m 的取值范围是_____． 题型二、函数单调性与不等式典例2、若函数f(x)为R 上的减函数，则满足f(1)的实数x 的取值范围为________.【解析】先根据单调性化简不等式，再解分式不等式得结果.详解：因为函数f(x)为R 上的减函数，所以由f(1)或故答案为：【点睛】本题考查利用函数单调性解不等式、解分式不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.21()y a x b =-+210a ->21()y a x b =-+210a ->()223f x x ax =-++(),4-∞a 2()34f x x mx =-+[5,)-+∞(,5]-∞-(1)f -=2()(24)1f x ax a x =--+(1,5)0x <(,0)[1,)-∞⋃+∞变式题：已知是定义在上的增函数，若，则的取值范围是______________．题型三、复合函数的单调性典例3__________. 【解析】首先求出函数的定义域，令，分别求出的单调区间，再利用符合函数单调性的性质即可求出的单调递增区间. 详解：因为，得，得或， 解得函数的定义域为. 令，在单调递增. 因为函数在单调递增， 在单调递增. 故答案为：【点睛】本题主要考查符合函数的单调性，特别注意先求定义域，利用复合函数“同增异减”为解题的关键，属于容易题.变式题：1、若函数的单调递增区间是，则=________. 2在是增函数，则实数的取值范围是______.3、函数f （x ）=x|x|-4x 的单调递增区间是______．题型四、函数单调性概念拓展应用典例4、已知满足对任意都有成立，则实数的取值范围是_________.【解析】由题意，函数在定义域R 上是增函数，故可得到，解出即可．【详解】 ()y f x =()2,2-112f m f m m ()f x 256t x x =-+256t x x =-+()f x 2560x x -+≥(2)(3)0x x --≥2x ≤3x ≥()f x (,2][3,)-∞⋃+∞256t x x =-+[0,)+∞256t x x =-+[3,)+∞[3,)+∞[3,)+∞()2f x x a =+a [)2,+∞a ()()2111a x x f x ax x ⎧-+<=⎨≥⎩12x x ≠a ()()2111a x x f x ax x ⎧-+<=⎨≥⎩02021a a a a ⎧⎪-⎨⎪-+≤⎩＞＞。
函数的单调性及题型
函数的单调性及题型1、 A为函数f(x)定义域内某一区间，2、单调性的判定：作差f(x1)-f(x2)判定；根据函数图象判定；3、复合函数的单调性的判定：f(x),g(x) 同增、同减，f(g(x)) 为增函数，f(x),g(x)一增、一减，f(g(x)) 为减函数．【经典例题】例1、设a＞0且a≠1，试求函数y=log a(4+3x-x2)的单调递增区间．[解析]：由题意可得原函数的定义域是（－１，４），设u=4+3x-x2，其对称轴是 x=3/2 ，所以函数u=4+3x-x2，在区间（－１，3/2 ]上单调递增；在区间[3/2 ，4）上单调递减．①a＞１时，y=log a u 在其定义域内为增函数，由 x↑→u↑→y↑，得函数u=4+3x-x2的单调递增区间（－１，3/2 ]，即为函数y=log a(4+3x-x2) 的单调递增区间．②０＜a＜１时，y=log a u 在其定义域内为减函数，由 x↑→u↓→y↑，得函数u=4+3x-x2的单调递减区间[3/2 ，4），即为函数y=log a(4+3x-x2)的单调递增区间．例2、已知y=log a(2-ax) 在[0，1]上是x 的减函数，求a的取值范围。
[解析]：由题意可知，a＞０．设u＝g(x)=2－ax，则g(x)在［０，１］上是减函数，且x=１时，g(x)有最小值u min=2-a ．又因为u＝g(x)＝2－ax＞０，所以，只要 u min=2-a＞０则可，得a＜２．又y=log a(2-ax) 在[0，1]上是x 减函数，u＝g(x)在［０，１］上是减函数，即x↑→u↓→y↓，所以y=log a u是增函数，故a＞１．综上所述，得１＜a＜2．例3、已知f(x)的定义域为（０，＋∞），且在其上为增函数，满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1 ，试解不等式f(x)+f(x-2)<3 ．［解析］：［此题的关键是求函数值３所对应的自变量的值］由题意可得，f(4)=f(2)+f(2)=2 ，3=2+1=f(4)+f(2)=f(4×2)=f(8)又f(x)+f(x-2)=f(x2-2x) 所以原不等式可化成f(x2-2x)<f(8)所以原不等式的解集为｛x|2<x<4｝针对性课堂练习1．函数y ＝2x －4x ＋5在闭区间[－1，m ]上有最大值10，则m 的取值范围是（ ）（A ）(－∞，5]； （B ）(－1，5]； （C ）[2，5]； （D ）(－1，＋∞)．2．函数y ＝22x x -的单调递减区间是（ ）（A ）[－1，＋∞)； （B ）(－∞，1]； （C ）[0，1]； （D ）[1，2]．3．设0＜a ＜b ，奇函数)(x f 在[－b ，－a ]上是减函数，且有最小值2，则函数)(x F ＝－|)(x f |（） （A ）是[a ，b ]上的减函数且有最大值－2；（B ）是[a ，b ]上的增函数且有最小值－2；（C ）是[a ，b ]上的减函数且有最小值－2；（D ）是[a ，b ]上的增函数且有最大值－2．4．已知函数)(x f ＝c bx ax ++12为奇函数(a 、b ∈Z )，)1(f ＝2，)2(f ＜3．（1）求)(x f 的解析式；（2）当x ＜0时，确定)(x f 的单调递增区间，并给予证明．5．对于x ∈R ，函数)(x f 表示x －1与|2x －4x ＋3|中大的一个值．（1）求)0(f ，)1(f ，)2(f ，)3(f ；（2）作出y ＝)(x f 的图象；（3）在[0，2]内，求)(x f 的值域．。
高中数学函数单调性的几种常见题型总结
高中数学函数单调性的几种常见题型总结在高中数学学习中，函数是非常重要的一部分内容。
其中，函数的基本性质——单调性更是重中之重。
在对函数问题的考查中，函数的单调性占很大的比重。
因此，需要对函数单调性的常见题型进行系统的归纳总结。
本文将从以下四方面结合具体的例子来分析总结涉及到函数单调性的几种常见题型。
一、分段函数单调性问题目前，高中数学教材必修一中这样定义函数单调性：一般地，设函数定义域为 :如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数。
根据定义，我们可以得到，若函数在上单调递增，则满足两个条件：（1）在上单调递增，在上单调递增；（2）；同理，若函数在上单调递减，则满足两个条件：（1）在上单调递减，在上单调递减；（2） .例题:已知函数在上是减函数，则的取值范围是.这道题考查的是分段函数的单调性问题。
根据题意，时，是二次函数，在对称轴左侧单调递减；时，是对数函数，在时单调递减；再利用端点处的函数值大小关系即可得出满足条件的的取值范围。
解答：当时，为二次函数，对称轴为，在对称轴左侧单调递减，所以，解得；当时，，当时单调递减。
所以可得到，需满足，解得 .所以答案为.这里需要注意的是端点处函数值的大小关系是学生容易忽略或出错的地方，我们在教学中需要加以解释与强调。
利用函数单调性参数取值范围在这一类问题中，我们重点分析以下这种与对数函数相关的复合函数类型的题目，这是学生们的易错点，我们在上课时需要引起重视。
例题：若在区间上递减，则的取值范围为（）.这道题考查与对数函数相关的复合函数的单调性，我们知道复合函数单调性遵从“同增异减”的原则。
解答：令，则，由题意，在区间上，的取值需令真数，且函数在区间上单调递减。
配方得，故对称轴为，如图所示：由图像可知，当对称轴时，在区间上单调递减，又真数，二次函数在上单调递减，故只需当时，，则时，真数恒成立，代入解得，所以得取值范围是 .故选 .在教学过程中，我发现“真数大于0”这一条件在解题过程中很容易被忽略，或者有的学生对“真数大于0”这一条件该如何列不等式计算模棱两可，所以这一类型的题目在学生们中出现了“屡教不改”的现象。
(完整版)函数的单调性知识点总结与经典题型归纳,推荐文档
函数的单调性 知识梳理1. 单调性概念一般地，设函数的定义域为：()f x I （1）如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有I D 12,x x 12x x <，那么就说函数在区间上是增函数；12()()f x f x <()f x D （2）如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有I D 12,x x 12x x <，那么就说函数在区间上是减函数.12()()f x f x >()f x D2. 单调性的判定方法（1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。
（2）定义法步骤；①取值：设是给定区间内的两个任意值，且 (或)；12,x x 12x x <12x x > ②作差：作差，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号为止）；12()()f x f x - ③定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；12()()f x f x - ④下结论：根据定义得出其单调性.（3）复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。
也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）3. 单调区间的定义如果函数，在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，()y f x =D 区间叫做的单调区间．D ()y f x =例题精讲【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图．(1)从左向右看，图形是如何变化的？(2)在哪些区间上升?哪些区间下降？解：（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降；（2）在区间和下降，在区间下降。
[0,4][14,24][4,14]【例2】画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f (x )=x ;①从左至右图象上升还是下降?②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？（2）f (x )=x 2．①在区间(-∞，0)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？②在区间[0 ，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？解：（1）①从左至右图象是上升的；②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着增大．（2）①在区间(-∞，0)上，随着x 的增大，f (x )的值随着减小；②在区间[0 ，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着增大．【例3】函数在定义域的某区间上存在，满足且，那么函()y f x =D 12,x x 12x x <12()()f x f x <数在该区间上一定是增函数吗？()y f x =解：不一定，例如下图：【例4】下图是定义在闭区间上的函数的图象，根据图象说出函数的单调区间[5,5]-()y f x =，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．解：函数的单调区间有；()y f x =[5,2),[2,1),[1,3),[3,5)---其中在区间上是减函数，在区间上是增函数.[5,2),[1,3)--[2,1),[3,5)-【例5】证明函数在上是增函数.()32f x x =+R 证明：设是上的任意两个实数，且 （取值）12,x x R 12x x < 则 （作差）1212()()(32)(32)f x f x x x -=+-+123()x x =-由，得 12x x <120x x -< 于是 （定号）12()()0f x f x -<所以12()()f x f x < 所以，函数在上是增函数。
函数单调性方法和各种题型
函数单调性方法和各种题型函数的单调性是数学中一个重要的概念，它描述了函数在定义域上的增减性质。
通过研究函数的单调性，可以帮助我们解决各种数学问题，特别是在数学建模、最优化等领域中起到关键作用。
本文将介绍函数单调性的方法以及一些常见的相关题型。
一、函数单调性的定义与判定方法函数的单调性可以分为单调增和单调减两种情况。
我们先来定义函数的单调性：定义：设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，若对于任意的x1，x2∈[a, b]，且x1 < x2，有f(x1) ≤ f(x2)，则称函数f(x)在区间[a, b]上单调不减；若对于任意的x1，x2∈[a, b]，且x1 < x2，有f(x1) ≥ f(x2)，则称函数f(x)在区间[a, b]上单调不增。
函数的单调性可以通过导数的正负来进行判定。
具体地，我们有以下定理：定理1：设函数f(x)在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导，则：1. 若在(a, b)内f'(x) > 0，则函数f(x)在区间[a, b]上单调不减；2. 若在(a, b)内f'(x) < 0，则函数f(x)在区间[a, b]上单调不增。
根据定理1，我们可以得到如下方法来判断函数的单调性：1. 求解函数的导数f'(x)；2. 分析f'(x)的符号变化，确定函数的单调性。
需要注意的是，当f'(x) = 0时，函数可能存在取值的极值点。
此时，我们需要结合函数的定义域以及f''(x)的符号来综合判断函数的单调性。
二、函数单调性的题型1. 求函数的单调区间：已知函数f(x)在某个区间内连续，并可导，要求确定函数的单调区间。
解题方法：1. 求解函数的导数f'(x)；2. 分析f'(x)的符号变化，确定函数的单调区间。
2. 求函数的最值：已知函数f(x)在某个区间内连续，并可导，要求确定函数在该区间上的最大值或最小值。
函数的单调性的题型分类及解析
函数的单调性的题型分类及解析②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。
④函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在A B ⋃上是增（或减）函数． （2）单调区间如果函数y ＝f （x ）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f （x ）在这一区 间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y ＝f （x ）的单调区间．函数单调性的性质：（1）增函数：如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值， 当时，都有，0)()(2121>--xx x f x f （2）减函数：如果对于属于定义域I 内某个区间的任意两个自变量的值，当时，都有，0)()(2121<--xx x f x f（3） 函数的单调性还有以下性质．1．函数y ＝－f （x ）与函数y ＝f （x ）的单调性相反．2．当f （x ）恒为正或恒为负时，函数y ＝)(1x f 与y ＝f （x ）的单调性相反．3．在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等．4 .如果k>0 函数k ()f x 与函数()f x 具有相同的单调性。
如果k<0 函数k ()f x 与函数()f x 具有相反的单调性。
5..若()f x ≠0，则函数()1f x 与()f x 具有相反的单调性,.6. 若()f x >O ，函数()f x 与函数()f x 具有相同的单调性。
若()f x <0，函数()f x 与函数()f x 具有相同的单调性7。
.函数()xf 在R 上具有单调性，则()xf -在R 上具有相反的单调性。
复合函数的单调性。
如果函数 ()x g u =Ax ∈Bu ∈()u f y = ()B C ⊆Dy ∈，则()[]x g f y =称为x 的复合函数。
利用导数研究函数地单调性地题型分析报告(可编辑修改word版)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 33 333 3 利用导数研究函数的单调性题型分析题型一：利用导数求函数的单调区间例：求下列函数的单调区间． (1)y ＝2x 3－3x(2)f (x )＝3x 2－2ln x .解：(1)由题意得 y ′＝6x 2－3.令 y ′＝6x 2－3＞0，解得 x ＜－ 或 x ＞ ，2 2当 x ∈(－∞，－ )时，函数为增函数，当 x ∈( ，＋∞)时，函数也为增函数．2 2令 y ′＝6x 2－3＜0， 解得－ ＜x ＜ ，2 2当 x ∈(－ ， )时，函数为减函数．2 22故函数的递增区间为(－∞，－ )和( ，＋∞)，递减区间为(－ ， )．2 2 2 2(2)函数的定义域为(0，＋∞)，2 3x 2－1f ′(x )＝6x － ＝2· .x x3x 2－1 令 f ′(x )＞0，即 2· x＞0.且 x ＞0，可解得 x ＞ ；3x 2－1 令 f ′(x )＜0，即 2· x ＜0，由 x ＞0 得，0＜x ＜ ，∴f (x )的增区间为( ，＋∞)，减区间为(0， )．3 3规律总结：1. 在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集 R 可以省略不写．2. 当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪” 连接，如(1)题中的增区间．变式训练：求下列函数的单调区间：(1)求函数 f (x )＝2x 3－9x 2＋12x －3 的单调区间； (2)求函数 y ＝x 3－2x 2＋x 的单调区间． 【解】(1)此函数的定义域为 R ，f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)． 令 6(x －1)(x －2)＜0，解得 1＜x ＜2， 所以函数 f (x )的单调递减区间是(1,2)．令 6(x －1)(x －2)＞0，解得 x ＞2 或 x ＜1，所以函数 f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)，(－∞，1)． (2)此函数的定义域为 R . y ′＝3x 2－4x ＋1，1令 3x 2－4x ＋1＞0，解得 x ＞1 或 x ＜ .31因此 y ＝x 3－2x 2＋x 的单调递增区间为(1，＋∞)，(－∞， )．31再令 3x 2－4x ＋1＜0，解得 ＜x ＜1.31因此 y ＝x 3－2x 2＋x 的单调递减区间为( ，1)．3bx例：讨论函数 f (x )＝ (－1＜x ＜1，b ≠0)的单调性．x 2－1【思路探究】 (1)函数的定义域是怎样的？函数是奇函数还是偶函数？(2)若先讨论 x ∈ (0,1)上的单调性，能否判断 f ′(x )在(0,1)上的正负？b 的取值对其有影响吗？解：因 f (x )的定义域为(－1,1)；函数 f (x )是奇函数，∴只需讨论函数在(0,1)上的单调性．- b (x 2 +1)∵f ′(x )＝(x 2 -1)2- (x 2 +1)当 0＜x ＜1 时，x 2＋1＞0，(x 2－1)2＞0，∴ (x 2-1)2< 0∴当 b ＞0 时，f ′(x )＜0.∴函数 f (x )在(0,1)上是减函数； 当 b ＜0 时，f ′(x )＞0，∴函数 f (x )在(0,1)上是增函数；又函数 f (x )是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，从而可知： 当 b ＞0 时，f (x )在(－1,1)上是减函数； 当 b ＜0 时，f (x )在(－1,1)上是增函数． 规律方法：1. 利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)在给定区间上恒成立．一般步骤为：①求导数 f ′(x )；②判断 f ′(x ) 的符号；③给出单调性结论． 2．导数的正负决定了函数的增减，当导函数中含有参数时，应注意对参数进行分类讨论． 变式训练：b求函数 y ＝x ＋ (b ≠0)的单调区间．xb b x 2－b【解】 函数 y ＝x ＋ (b ≠0)的定义域为{x |x ≠0}，y ′＝1－ ＝ .x x 2 x 2①当 b ＜0 时，在函数定义域内 y ′＞0 恒成立，所以函数的单调递增区间为(－∞，0)和 (0，＋∞)；②当 b ＞0 时，令 y ′＞0，解得 x ＞ b 或 x ＜－ b ，所以函数的单调递增区间为(－∞，－ b )和( b ，＋∞)；令 y ′＜0，解得－ b ＜x ＜ b 且 x ≠0， 所以函数的单调递减区间为(－ b ，0)和(0， b ). 题型二：利用函数单调性求参数1 1例：(2013·郑州模拟)函数 f (x )＝ax ＋x ln x ，且图象在点( e, f ( )) 处的切线斜率为 1(ee为自然对数的底数)．(1)求实数 a 的值；(2)设 g (x ) = f (x ) - x x -11，研究函数 g (x )的单调性解：(1)f (x )＝ax ＋x ln x ，f ′(x )＝a ＋1＋ln x ，依题意 f '( ) ＝a ＝1，所以 a ＝1.ef (x ) - x x ln x x －1－ln x(2)因为 g (x ) = ＝ ，所以 g ′(x )＝ .x -1x －1 1x －12 设φ(x )＝x －1－ln x ，则φ′(x )＝1－ .x1当 x >1 时，φ′(x )＝1－ >0，φ(x )是增函数，x对∀x >1，φ(x )>φ(1)＝0，即当 x >1 时，g ′(x )>0，故 g (x )在(1，＋∞)上为增函数； 1当 0<x <1 时，φ′(x )＝1－ <0，φ(x )是减函数，x对∀x ∈(0,1)，φ(x )>φ(1)＝0，即当 0<x <1 时，g ′(x )>0，故 g (x )在(0,1)上为增函数．方法规律：1．导数法求函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0 和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．2.导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤：(1)求f′(x)；(2)确认f′(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f′(x)>0 时为增函数；f′(x)<0 时为减函数． 3．导数法求参数的取值范围：已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)，转化为不等式恒成立求解．训练：1.若函数f (x)=x2-1 ln x +1 在其定义域内的一个子区间(k -1, k +1)内不是单调函数，2则实数k 的取值范围.1 (2x)2-1 (2x +1)(2x -1)解：函数f (x) 的定义域为(0, +∞) ，f '(x) = 2x -==，2x 2x 2x1 1由f '(x) > 0 得x >，由2 f '(x) < 0 得0 <x < ，要使函数在定义域内的一个子区间2(k - 1, k + 1)内不是单调函数，则有0 ≤k -1 <1 <k +1，解得1 ≤k <3 ，即k 的取值范围2 23是[1, ) .22.(2013·湖北省八校高三第二次联考)已知函数f(x)＝(x＋a)2－7b ln x＋1，其中a，b是常数且a≠0.(1)若b＝1 时，f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围；4(2)当b＝a2 时，讨论f(x)的单调性．77【解】(1)∵b＝1，∴f(x)＝(x＋a)2－7ln x＋1，∴f′(x)＝2x＋2a－ .x7∵当x>1 时，f(x)是增函数，∴f′(x)＝2x＋2a－≥0在x>1 时恒成立．x7即a≥－x 在x>1 时恒成立．2x7 7 5 5∵当x>1 时，y＝－x 是减函数，∴当x>1 时，y＝－x< ，∴a≥ .2x5故a 的取值范围是[ ，＋∞)．2 2x 2 24(2)∵b＝a2，∴f(x)＝(x＋a)2－4a2ln x＋1，x∈(0，＋∞)．72x2＋2ax－4a2 2（x－a）（x＋2a）∴f′(x)＝x ＝x.当a>0 时，f′(x)>0，得x>a 或x<－2a，故f(x)的减区间为(0，a)，增区间为(a，＋∞)；当a<0 时，f′(x)>0，得x>－2a或x<a，故f(x)的减区间为(0，－2a)，增区间为(－2a，＋∞)．a3.设函数f(x)＝ax－－2ln x.x(1)若f′(2)＝0，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围．a 2解：(1)∵f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(2)＝0，且 f ′(x )＝a ＋ － ，x 2 xa 4∴a ＋ －1＝0，∴a ＝ .3 分4 54 4 2 2 ∴f ′(x )＝ ＋ － ＝ (2x 2－5x ＋2)，5 5x 2 x 5x 21由 f ′(x )＞0 结合 x ＞0，得 0＜x ＜ 或 x ＞2，21 1∴f (x )的递增区间为(0， ]和[2，＋∞)，递减区间为( ，2).6 分2 2(2)若 f (x )在定义域上是增函数，则 f ′(x )≥0 对 x ＞0 恒成立，8 分a 2 ax 2－2x ＋a∵f ′(x )＝a ＋ － ＝ ，∴需 x ＞0 时 ax 2－2x ＋a ≥0 恒成立 10 分x 2 x x 22x化为 a ≥ 对 x ＞0 恒成立，x 2＋1 2x 2 ∵ ＝ ≤1，当且仅当 x ＝1 时取等号． x 2＋1 1x ＋ x∴a ≥1，即 a ∈[1，＋∞).12 分3x4. 已知函数 f (x )＝ a －2x 2＋ln x ，其中 a 为常数．(1)若 a ＝1，求函数 f (x )的单调区间；(2)若函数 f (x )在区间[1,2]上为单调函数，求 a 的取值范围． 解：(1)若 a ＝1 时，f (x )＝3x －2x 2＋ln x ，定义域为(0，＋∞)， 1 －4x 2＋3x ＋1 -(4x +1)(x -1)f ′(x )＝ －4x ＋3＝ ＝ (x >0)．x x x当 f ′(x )>0，x ∈(0,1)时，函数 f (x )＝3x －2x 2＋ln x 单调递增． 当 f ′(x )<0，x ∈(1，＋∞)时，函数 f (x )＝3x －2x 2＋ln x 单调递减． 故函数 f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．3 1(2)f ′(x )＝ －4x ＋ ， 若函数 f (x )在区间[1,2]上为单调函数，即在[1,2]上，a x 3 1 3 1f ′(x )＝ －4x ＋ ≥0 或 f ′(x )＝ －4x ＋ ≤0，a x a x 3 1 3 1 3 1 3 1 即 －4x ＋ ≥0 或 －4x ＋ ≤0 在[1,2]上恒成立．即 ≥4x － 或 ≤4x － . a x a x 1 a x a x3 3令 h (x )＝4x － ，因为函数 h (x )在[1,2]上单调递增，所以 ≥h (2)或 ≤h (1)，x a a3 15 3 2 即 ≥ 或 ≤3，解得 a <0 或 0<a ≤ 或 a ≥1. a 2 a 5题型三：利用导数解决不等式例：定义在 R 上的函数 f (x ) 的导函数为 f '(x ) ,已知 f (x +1) 是偶函数且(x -1) f '(x ) < 0 .若 x 1 < x 2 ,且 x 1 + x 2 > 2 ,则 f (x 1 ) 与 f (x 2 ) 的大小关系是2 2A. f (x 1 ) < f (x 2 )B. f (x 1 ) = f (x 2 )C. f (x 1 ) > f (x 2 )D.不确定解析： 由(x -1) f '(x ) < 0 可知,当 x > 1 时, f '(x ) < 0 函数递减.当 x < 1时, f '(x ) > 0 函数递增.因为函数 f (x +1) 是偶函数,所以 f (x +1) = f (1- x ) , f (x ) = f (2 - x ) ,即函数的对称 轴 为 x = 1 .所 以 若 1 < x 1 < x 2 ,则 f (x 1 ) > f (x 2 ) .若 x 1 < 1 ,则 必 有 x 2 > 2 ,则x 2 > 2 - x 1 > 1 ,此时由 f (x 2 ) < f (2 - x 1 ) ,即 f (x 2 ) < f (2 - x 1 ) = f (x 1 ) ,综上 f (x 1 ) > f (x 2 ) ,选 C.变式训练：1. 函 数f (x ) 在 定 义 域 R 内 可 导 ， 若 f (1 - x ) = f (1 + x ) ， 且 当 x ∈ (-∞,1) 时 ，(x - 1) f '(x ) < 0 ，设 a = f (0) ， b = f ( 1) 2， c =f (3) ，则（D ）A. a < b < cB. b < c < aC. c < b < aD. c < a < b2. 已知函数 f (x ) 对定义域 R 内的任意 x 都有f (x ) = f (4 - x ) ,且当 x ≠ 2 时其导函数f '(x ) 满足 xf '(x ) > 2 f '(x ), 若 2 < a < 4 则A. f (2a ) < f (3) < f (log 2 a )B. f (3) < f (log 2 a ) < f (2a )C. f (log 2 a ) < f (3) < f (2a )D. f (log 2 a ) < f (2a ) < f (3)解： 由 f (x ) = f (4 - x ) ,可知函数关于 x = 2 对称.由 xf '(x ) > 2 f '(x ), 得(x - 2) f '(x ) > 0 ,所 以 当 x > 2 时 , f '(x ) > 0 ,函 数 递 增 ,所 以 当 x < 2 时 ,函 数 递 减 .当 2 < a < 4 ,1 < log a <2 , 22 < 2a < 24 ,即 4 < 2a < 16 .所 以f (log 2 a ) = f (4 - log 2 a ) ,所 以2 < 4 - log 2 a <3 ,即 2 <4 - log a < 3 < 2a ,所 以 f (4 - log 2 a )< f (3) < f (2a ) ,即f (log 2 a ) < f (3) < f (2a ) ,选 C.3.已知函数 f (x )=x 2 - cos x ，则 f (0.6),f (0),f (-0.5) 的大小关系是A 、 f (0)<f (0.6)<f (-0.5)B 、 f (0)<f (-0.5)<f (0.6)C 、 f (0.6)<f (-0.5)<f (0)D 、 f (-0.5)<f (0)<f (0.6)解：因为函数 f (x )=x 2 - cos x 为偶函数，所以 f (-0.5) = f (0.5) ， f ' (x )=2x + sin x ，当{ ) { 1 1 0 <x < 时 ， 2 f ' (x )=2x + sin x > 0 ， 所 以 函 数 在 0 < x <递 增 ， 所 以 有 2 f (0)<f (0.5)<f (0.6) ，即 f (0)<f ( - 0.5)<f (0.6) ，选 B.4．[2013·太原三模] 已知函数 f (x ＋1)是偶函数，且 x >1 时，f ′(x )<0 恒成立， 又 f (4)＝0， 则(x ＋3)f (x ＋4)<0 的解集为( )A ．(－∞，－2)∪(4，＋∞)B ．(－6，－3)∪(0，4)C ．(－∞，－6)∪(4，＋∞)D ．(－6，－3)∪(0，＋∞)解：函数 f (x ＋1)是偶函数，其图象关于 y 轴对称，这个函数图象向右平移 1 个单位得函数 y ＝ f (x )的图象，可得函数 y ＝f (x )的图象关于直线 x ＝1 对称，x >1 时，f ′(x )<0 恒成立，说明函数在(1，＋∞)上单调递减，根据对称性可得函数在(－∞，1)上单调递增．根据 f (4)＝0 可得当 x >4 时，f (x )<0，根据对称性可得当 x <－2 时，f (x )<0，当－2<x <1 或 1<x <4 时，f (x )>0. x ＋3 > 0， x ＋3 < 0， x ＋3 > 0， 不等式(x ＋ 3)f (x ＋ 4)<0 等价于{f （x ＋4） < 0)或{f （x ＋4） > 0.)当{f （x ＋4） < 0)x > －3， 时 ， x ＋4 > 4或x ＋4 < －2， 解 得 x >0； 当 x ＋3 < 0，f （x ＋4） > 0{ x < －3， ) －2 < x ＋4 < 1或1 < x ＋4 < 4，解得－6<x <－3.故不等式(x ＋3)f (x ＋4)<0 的解集为(－6，－3)∪(0，＋∞)．15. 设 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x < 0 时， f '(x ) > 0 ，且 f (- f (x ) < 0 的解集为．) = 0 ，则不等式2解 ： 因 为 函 数 f (x ) 为奇 函 数 。
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函数的单调性知识点1、增函数定义、减函数的定义：（1）设函数)(x f y =的定义域为A ，区间M ⊆A ，如果取区间M 中的任意两个值21,x x ,当改变量012>-=∆x x x 时，都有0)()(12>-=∆x f x f y ，那么就称函数)(x f y =在区间M 上是增函数，如图（1）当改变量012>-=∆x x x 时，都有0)()(12<-=∆x f x f y ，那么就称 函数)(x f y =在区间M 上是减函数，如图（2）注意：单调性定义中的x 1、x 2有什么特征：函数单调性定义中的x 1,x 2有三个特征,一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间．1、 根据函数的单调性的定义思考：由f (x )是增(减)函数且f (x 1)<f (x 2)能否推出x 1<x 2(x 1>x 2)2、我们来比较一下增函数与减函数定义中y x ∆∆,的符号规律，你有什么发现没有？3、如果将增函数中的“当012>-=∆x x x 时，都有0)()(12>-=∆x f x f y ”改为当012<-=∆x x x 时，都有0)()(12<-=∆x f x f y 结论是否一样呢？4、定义的另一种表示方法如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1,x 2,若0)()(2121>--x x x f x f 即0>∆∆x y ，则函数y=f(x)是增函数，若0)()(2121<--x x x f x f 即0<∆∆x y，则函数y=f(x)为减函数。
判断题：①已知1()f x x=因为(1)(2)f f -<，所以函数()f x 是增函数．②若函数()f x 满足(2)(3)f f <则函数()f x 在区间[]2,3上为增函数．③若函数()f x 在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数()f x 在区间(1,3)上为增函数．④因为函数1()f x x =在区间(,0),(0,)-∞+∞上都是减函数，所以1()f x x=在(,0)(0,)-∞⋃+∞上是减函数.通过判断题，强调几点：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。
④函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在A B ⋃上是增（或减）函数． （2）单调区间如果函数y ＝f （x ）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f （x ）在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y ＝f （x ）的单调区间． 函数单调性的性质：（1）增函数：如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值， 当时，都有，0)()(2121>--x x x f x f（2）减函数：如果对于属于定义域I 内某个区间的任意两个自变量的值，当时， 都有，0)()(2121<--x x x f x f（3） 函数的单调性还有以下性质．1．函数y ＝－f （x ）与函数y ＝f （x ）的单调性相反．2．当f （x ）恒为正或恒为负时，函数y ＝)(1x f 与y ＝f （x ）的单调性相反．3．在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等． 4 .如果k>0 函数k ()f x 与函数()f x 具有相同的单调性。
如果k<0 函数k ()f x 与函数()f x 具有相反的单调性。
5..若()f x ≠0，则函数()1f x 与()f x 具有相反的单调性,. 6. 若()f x >O ，函数()f x 与函数()f x 具有相同的单调性。
若 ()f x <0，函数()f x 与函数()f x 具有相同的单调性 7。
.函数()x f 在R 上具有单调性，则()x f -在R 上具有相反的单调性。
复合函数的单调性。
如果函数 ()x g u = A x ∈ B u ∈ ()u f y = ()B C ⊆ D y ∈，则()[]x g f y =称为x 的复合函数。
解决复合函数的问题，关键是弄清复合的过程，即中间变量u 的定义域与值域的作用。
复合函数的单调性的判断：同增异减。
函数的单调性题型分类讲解题型一：.单调性讨论1.讨论函数y=(k-2)x+3(a ≠0)在区间R 内的单调性.2.讨论函数f(x)＝21x ax- (a ≠0)在区间(-1，1)内的单调性.解：设-1＜x 1＜x 2＜１，则f(x 1)-f(x 2)＝2111x ax --2221x ax -＝)1)(1()1)((22212121x x x x x x a --+- ∵x 1，x 2∈(-1，1)，且x 1＜x ２，∴x 1-x 2＜0，1+x 1x 2＞0，(1-x 21)(1-x 22)＞0于是，当a ＞0时，f(x 1)＜f(x 2)；当a ＜0时，f(x 1)＞f(x 2).故当a ＞0时，函数在(-1，1)上是增函数；当a ＜0时，函数在(-1，1)上为减函数.题型二：单调性判断与证明1.下列函数中，在区间（0，1）上为增函数的是函数 单调状况 内层函数()u g x = 增 增 减 减外层函数()y f u = 增 减 增 减 复合函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦增减减增A ．y ＝|x 2－1| B.xy 2=C ．y ＝2x 2－x ＋1 D ．y ＝|x |＋1题型三：求函数的单调区间及该区间上的单调性1.求下列函数的增区间与减区间(1)y ＝|x 2＋2x －3| 1122---=x xx y32y 2+--=x x2.判断函数f (x )=－x 3+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x ∈（0，＋∞），函数f (x )是增函数还是减函数？题型四：.已知简单函数的单调性求与其相关函数的单调性若函数y ＝ax ,y ＝－x b在（0，＋∞）上都是减函数，则函数y ＝ax 2＋bx 在（0,＋∞）上是________（填单调性）．设y=f (x )的单增区间是(2，6)，求函数y=f (2－x )的单调区间．设函数y ＝f （x ）是定义在（－1，1）上的增函数，则函数y ＝f （x 2－1）的单调递减区间是______________已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2)，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数C ．在区间(－2，0)上是增函数D ．在区间(0，2)上是增函数上是单调递减的。
） ， （－ 在 ， 由复合函数单调性可知 是单减的， 上 在 又 ） ， （－ ） ， （ 而 ）上是增函数， ， （ 在 则由已知得 解：令 0 4 )( [ ) 2 ( ) 0 , 4 (2 ) ( 0 4 6 2 2 ) ( 6 2 ) ( , 2 ) ( ∈ = - - ∈ - = ∈ ∴ ∈ - = ∈ - = x x t f x f x x x t x x x t t t f x x t ），的单减区间是（－04)2(x f -∴解：令t(x)=2-x,则由已知得，f(t)在区间是(2，6)，设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .题型五：已知函数的单调性，求参数的取值范围。
已知函数f(x)＝x 2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，则实数a 的取值范围是 .已知函数y ＝－x 2＋2x ＋1在区间［－3，a ］上是增函数，则a 的取值范围是______________ 函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ．函数21)(++=x ax x f 在区间（-2，+∞）上是增函数，那么a 的取值范围是（ ） A.210<<a B.21>a C.a<-1或a>1D.a>-2解：f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a (x ＋2)＋1－2a x ＋2＝1－2ax ＋2＋a . 任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2a x 1＋2－1－2ax 2＋2＝(1－2a )(x 2－x 1)(x 1＋2)(x 2＋2).∵函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，∴f (x 1)－f (x 2)<0.∵x 2－x 1>0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴1－2a <0，a >12. 即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.题型六：函数单调性的应用 11．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则（ ）A ．f (－1)＜f (3)B ．f (0)＞f (3)C ．f (－1)=f (－3)D ．f (2)＜f (3)已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根题型七：已知函数的单调性，解含函数符号的不等式。
7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4) C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞） D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）已知：f (x )是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －1)<f (x 2－1)求x 的取值范围．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4，x ≥0，4x －x 2＝－(x －2)2＋4，x <0，由f (x )的图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ，即a 2＋a －2<0，解得－2<a <1.故选C.8.已知f (x )在其定义域R +上为增函数，f (2)=1，f (xy )=f (x )+f (y )，解不等式f (x )+f (x －2) ≤3题型八：已知函数的单调性求最值已知x ∈[0，1]，则函数 的最大值为_______最小值为_________ 函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___．题型九：综合题型已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()21x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1) （2）判断f(x（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.（1）f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。