2015-2016学年山东省烟台市高一(下)期末数学试卷(解析版)

2015-2016学年山东省烟台市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．﹣300°角终边所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．若a=sin22.5°，b=cos22.5°，c=tan22.5°，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a3．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1：4，则这两个扇形的周长之比为（）A．1：B．1：2 C．1：4 D．1：24．关于平面向量，给出下列四个命题：①单位向量的模都相等；②对任意的两个非零向量，，式子|+|＜||+||一定成立；③两个有共同的起点且相等的向量，其终点必定相同；④若•=•，则=．其中正确的命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．将函数y=sin（4x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）6．已知向量=（1，2），=（﹣3，2），若k+和﹣3互相垂直，则实数k的值为（）A．17 B．18 C．19 D．207．已知α+β=，则（1+tanα）（1+tanβ）的值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．48．已知，是两个不共线的平面向量，向量=λ+，=﹣μ（λ，μ∈R），若∥，则有（）A．λ+μ=2 B．λ﹣μ=1 C．λμ=﹣1 D．λμ=19．若0＜α＜，﹣π＜β＜﹣，cos（+α）=，cos（﹣）=﹣，则cos（α+）=（）A．﹣B．C．﹣D．10．已知函教f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递增区间是（）A．[6kπ，6kπ+3]，k∈Z B．[6k﹣3，6k]，k∈ZC．[6k，6k+3]，k∈Z D．[6kπ﹣3，6kπ]，k∈Z二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分.、共25分.11．若cos100°=m，则tan80°=．12．设tanθ=2，则的值为．13．若平面向量，满足（+）•（2﹣）=﹣12，且||=2，||=4，则在方向上的投影为．14．在直角坐标系中，P点的坐标为（，），Q是第三象限内一点，|OQ|=1且∠POQ=，则Q点的横坐标为．15．在△ABC中，点D和E分别在边BC和AC上，且BC=3BD，CA=3CE，AD与BE交于点P，若=m，=n（m，n∈R），则m+n=．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．化简求值：（1）cos40°（1+tan10°）；（2）cos cos cos．17．已知，为两平面向量，且||=||=1，＜，＞=60°．（1）若=﹣，=2﹣6，=3+，求证：A，B，D三点共线；（2）若=+2λ2，=λ1﹣，且⊥，求实数λ的值．18．已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π）．（1）求tanθ的值；（2）求的值．19．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，﹣＜φ＜）的一系列对应值如表：（2）对于区间[a，b]，规定|b﹣a|为区间长度，根据（1）的结果，若函数y=f（kx）﹣f（kx+）（k＞0）在任意区间长度为的区间上都能同时取到最大值和最小值，求正整数k的最小值．20．在△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=60°，O为三角形的外心，以线段OB，OC为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OA，OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H．（1）设向量=，=，=，试用，，表示；（2）用向量法证明：AH⊥BC；（3）若△ABC的外接圆半径为，求OH的长度．21．已知向量=（sinωx，2sinωx﹣cosωx），=（sinωx，cosωx），若函数f（x）=•﹣λ的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）．（2）求函数f（x）的最小正周期；（2）当λ=1时，若x∈[0，]，求f（x）的最大值和最小值，并求相应的x值；（3）当x∈[0，]，函数f（x）有两个零点，求实数λ的取值范围．2015-2016学年山东省烟台市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．﹣300°角终边所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】象限角、轴线角．【分析】由终边相同角的概念得：﹣300°=﹣360°+60°，由此可得答案．【解答】解：∵﹣300°=﹣360°+60°，∴角﹣300°的终边与60°的终边相同，所在的象限为第一象限．故选：A．2．若a=sin22.5°，b=cos22.5°，c=tan22.5°，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】分别作出三角函数线，比较可得．【解答】解：作出三角函数线结合图象，a=sin22.5°=MP，b=cos22.5°=OM，c=tan22.5°=AT，可得b＞c＞a，故选：C．3．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1：4，则这两个扇形的周长之比为（）A．1：B．1：2 C．1：4 D．1：2【考点】扇形面积公式．【分析】首先根据扇形的面积公式求出半径之比，然后根据扇形的周长公式即可得出结果．【解答】解：设扇形的圆心角的弧度数为α，圆的半径为r和R，则==，∴r：R=1：2，∴两个扇形周长的比为： =1：2．故选：B ．4．关于平面向量，给出下列四个命题： ①单位向量的模都相等；②对任意的两个非零向量，，式子|+|＜||+||一定成立； ③两个有共同的起点且相等的向量，其终点必定相同；④若•=•，则=．其中正确的命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【考点】向量的物理背景与概念；平面向量数量积的运算． 【分析】①根据单位向量的定义即可判断出正误；②当与同向共线时，|+|=||+|，不成立|； ③根据相等的向量的意义即可判断出结论；④由•=•，可得•=0，于是⊥，或=或=，即可判断出正误．【解答】解：①单位向量的模都相等，正确；②对任意的两个非零向量，，式子|+|＜||+||不一定成立，例如与同向共线时，|+|=||+||；③两个有共同的起点且相等的向量，其终点必定相同，正确；④若•=•，则•=0，∴⊥，或=或=，因此不正确．其中正确的命题的个数为2． 故选：B ．5．将函数y=sin （4x +）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是（ ）A ．（，0）B ．（，0）C ．（，0）D ．（，0）【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律，求得所得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数y=sin （4x +）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，可得函数y=sin （2x +）的图象；再向右平移个单位，得到的函数y=sin [2（x ﹣）+]=sin2x 的图象，令2x=k π，k ∈Z ，可得x=，故所得函数的图象的一个对称中心是（，0），故选：A ．6．已知向量=（1，2），=（﹣3，2），若k +和﹣3互相垂直，则实数k 的值为（ ） A ．17 B ．18 C ．19 D ．20 【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量k +和﹣3互相垂直，转化为（k +）•（﹣3）=0，解方程即可．【解答】解：若k +和﹣3互相垂直，则（k +）•（﹣3）=0，∵=（1，2），=（﹣3，2），∴k +=（k ﹣3，2k +2），﹣3=（10，﹣4），则10（k ﹣3）﹣4（2k +2）=0， 即2k=38，则k=19， 故选：C7．已知α+β=，则（1+tan α）（1+tan β）的值是（ ）A ．﹣1B ．1C ．2D ．4【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由α+β=，得到tan （α+β）=1，利用两角和的正切函数公式化简tan （α+β）=1，即可得到所求式子的值．【解答】解：由α+β=，得到tan （α+β）=tan=1，所以tan （α+β）==1，即tan α+tan β=1﹣tan αtan β，则（1+tan α）（1+tan β）=1+tan α+tan β+tan αtan β=2． 故选C8．已知，是两个不共线的平面向量，向量=λ+， =﹣μ（λ，μ∈R ），若∥，则有（ ）A ．λ+μ=2B ．λ﹣μ=1C ．λμ=﹣1D ．λμ=1 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线的充要条件列出方程组，求出即可【解答】解：∵∥，∴=k ，∵=λ+， =﹣μ（λ，μ∈R ），∴λ+=k （﹣μ），∴，∴λμ=﹣1 故选：C ．9．若0＜α＜，﹣π＜β＜﹣，cos （+α）=，cos （﹣）=﹣，则cos （α+）=（ ）A ．﹣B ．C ．﹣D ．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin （+α），sin （﹣）的值，由α+=（+α）﹣（﹣），利用两角差的余弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：∵0＜α＜，cos （+α）=，∴+α∈（，），∴sin （+α）==，∵﹣π＜β＜﹣，cos （﹣）=﹣，∴﹣∈（，），sin （﹣）==，∴cos （α+）=cos [（+α）﹣（﹣）]=cos （+α）cos （﹣）+sin （+α）sin （﹣）=（﹣）+×=．故选：D ．10．已知函教f （x ）=Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）的图象与直线y=b （0＜b ＜A ）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f （x ）的单调递增区间是（ ） A ．[6k π，6k π+3]，k ∈Z B ．[6k ﹣3，6k ]，k ∈Z C ．[6k ，6k +3]，k ∈Z D ．[6k π﹣3，6k π]，k ∈Z 【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】先根据交点横坐标求出最小正周期，进而可得w 的值，再由当x=3时函数取得最大值确定φ的值，最后根据正弦函数的性质可得到答案． 【解答】解：∵函教f （x ）=Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）的图象与直线y=b （0＜b ＜A ）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8∴T=6=∴w=，且当x=3时函数取得最大值∴×3+φ=∴φ=﹣∴f （x ）=Asin （πx ﹣）∴﹣πx ﹣≤∴6k≤x≤6k+3故选C．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分.、共25分.11．若cos100°=m，则tan80°=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式求出余弦函数值，然后求解正弦函数的值，利用同角的三角函数的基本关系式求解即可．【解答】解：cos100°=m，可得cos80°=﹣m，sin80°==．tan80°=．故答案为：．12．设tanθ=2，则的值为﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】原式分子利用二倍角的正弦函数公式化简，分子分母除以cos2θ，利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanθ的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tanθ=2，∴原式====﹣，故答案为：﹣13．若平面向量，满足（+）•（2﹣）=﹣12，且||=2，||=4，则在方向上的投影为﹣2．【考点】向量的模．【分析】根据向量数量积的公式先求出•=﹣4，利用向量投影的定义进行求解即可．【解答】解：∵（+）•（2﹣）=﹣12，且||=2，||=4，∴22﹣2+•=﹣12，即8﹣16+•=﹣12，则•=﹣4，则在方向上的投影为==﹣2，故答案为：﹣214．在直角坐标系中，P 点的坐标为（，），Q 是第三象限内一点，|OQ |=1且∠POQ=，则Q 点的横坐标为 ﹣．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】设∠xOP=α，根据三角函数的坐标法定义，得到α的三角函数值，然后利用三角函数公式求Q 的横坐标．【解答】解：设∠xOP=α，则cos α=，sin α=，∴Q 点的横坐标为cos （）=﹣cos α﹣sin α=﹣；故答案为：﹣．15．在△ABC 中，点D 和E 分别在边BC 和AC 上，且BC=3BD ，CA=3CE ，AD 与BE 交于点P ，若=m，=n（m ，n ∈R ），则m +n=．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】可根据条件用向量表示出向量：，而三点B ，P ，E共线，这样便可得出，从而求出m 的值，而同理可求出n 的值，从而得出m +n的值．【解答】解：根据条件：====∵B ，P ，E 三点共线；∴；∴；同理求得n=；∴．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．化简求值：（1）cos40°（1+tan10°）；（2）cos cos cos．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）根据、两角和的正弦公式、二倍角的正弦公式、诱导公式化简即可；（2）根据分式的性质，二倍角的余弦、正弦公式、诱导公式化简即可．【解答】解：（1）原式======1；（2）原式======．17．已知，为两平面向量，且||=||=1，＜，＞=60°．（1）若=﹣，=2﹣6，=3+，求证：A，B，D三点共线；（2）若=+2λ2，=λ1﹣，且⊥，求实数λ的值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据三点共线的条件判断∥，即可．（2）根据向量垂直的等价条件转化为•=0，解方程即可．【解答】解：∵||=||=1，＜，＞=60°．∴•=||||cos60°=1×1×=．（1）=+=2﹣6+3+=5﹣5=5（﹣）=5，则∥，即A，B，D三点共线；（2）若=+2λ2，=λ1﹣，且⊥，则•=0，即（+2λ2）•（λ1﹣）=0，即λ2﹣2λ22+（2λ2﹣1）1•=0则λ﹣2λ+（2λ2﹣1）×=0，即2λ2﹣2λ﹣1=0，则λ===．18．已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π）．（1）求tanθ的值；（2）求的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，先求的sinθ﹣cosθ的值，可得sinθ和cosθ的值，从而求得要求式子的值．【解答】解：（1）∵sinθ+cosθ=，θ∈（0，π），∴1+2sinθcosθ=，即sinθcosθ=﹣＜0，∴sinθ＞0，cosθ＜0．∴sinθ﹣cosθ===，∴sinθ=，cosθ=﹣，∴tanθ==﹣．（2）====﹣．19．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，﹣＜φ＜）的一系列对应值如表：（2）对于区间[a，b]，规定|b﹣a|为区间长度，根据（1）的结果，若函数y=f（kx）﹣f（kx+）（k＞0）在任意区间长度为的区间上都能同时取到最大值和最小值，求正整数k的最小值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（1）由表格可得A+B=3，﹣A+B=﹣1，求得A和B的值，再根据周期性求得ω=1，根据五点法作图求得φ，可得函数的解析式．（2）先求出函数y=f（kx）﹣f（kx+）的解析式，再根据它的周期小于或等于，求得正整数k的最小值．【解答】解：（1）对于函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，﹣＜φ＜），由表格可得A+B=3，﹣A+B=﹣1，求得A=2，B=1．再根据=，求得ω=1．再根据五点法作图可得1×+φ=，可得φ=﹣，∴f（x）=2sin（x﹣）+1．（2）函数y=f（kx）﹣f（kx+）=2sin（kx﹣）﹣2sin[kx+﹣]=2sin（kx﹣）﹣2cos（kx﹣）=2sin（kx﹣﹣）=2sin（kx﹣）（k＞0）在任意区间长度为的区间上都能同时取到最大值和最小值，∴≤，即k≥20π，故正整数k的最小值为63．20．在△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=60°，O为三角形的外心，以线段OB，OC为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OA，OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H．（1）设向量=，=，=，试用，，表示；（2）用向量法证明：AH⊥BC；（3）若△ABC的外接圆半径为，求OH的长度．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．【分析】（1）运用向量加法的平行四边形法则，即可得到所求；（2）运用向量的减法和向量垂直的条件：数量积为0，即可得证；（3）运用正弦定理分别求得三角形ABC的三边，再由余弦定理可得∠AOB，∠AOC，∠BOC，再由向量的平方即为模的平方，结合向量数量积的定义，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）由向量加法的平行四边形法则，可得=+，由题意可得=+，即有=++=++；证明：（2）=﹣=+，=﹣，则•=（+）•（﹣）=2﹣2=0，可得AH⊥BC；（3）在三角形ABC中，由正弦定理可得===2，解得AB=2×=1+，BC=2×=2，CA=2×=，在△OBC中，OB=OC=，BC=2，即有∠BOC=90°，在△OAC中，OA=OC=，AC=，由余弦定理可得cos∠AOC==﹣，可得∠AOC=120°，在△OAB中，OA=OB=，AB=1+，由余弦定理可得cos∠AOB==﹣可得∠AOB=150°，即有||====﹣1．21．已知向量=（sinωx，2sinωx﹣cosωx），=（sinωx，cosωx），若函数f（x）=•﹣λ的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）．（2）求函数f（x）的最小正周期；（2）当λ=1时，若x∈[0，]，求f（x）的最大值和最小值，并求相应的x值；（3）当x∈[0，]，函数f（x）有两个零点，求实数λ的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据平面向量的数量积运算，利用三角函数的图象与性质求出ω的值，即可计算函数f（x）的最小正周期；（2）利用三角函数的图象与性质求出f（x）在区间[0，]上的最值以及对应的x值；（3）根据正弦函数的图象与性质，结合函数零点的概念，即可求出λ的取值范围．【解答】解：（1）向量=（sinωx，2sinωx﹣cosωx），=（sinωx，cosωx），∴函数f（x）=•﹣λ=sin2ωx+（2sinωx﹣cosωx）cosωx﹣λ=2sinωxcosωx+sin2ωx﹣cos2ωx﹣λ=sin2ωx﹣cos2ωx﹣λ=2sin（2ωx﹣）﹣λ；由f（x）的图象关于直线x=π对称，可得sin（2ωx﹣）=±1，令2ω•π﹣=kπ+，k∈z，得ω=+，结合ω∈（，1），可得ω=；∴函数f（x）的最小正周期为T==；（2）当λ=1时，f（x）=2sin（x﹣）﹣1，又x∈[0，]，∴x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，即﹣2≤f（x）≤1；∴f（x）的最大值是1，最小值是﹣2；并且x=0时f（x）取得最小值﹣2，x=时f（x）取得最大值1；（3）令y=2sin（x﹣），x∈[0，]，则x﹣∈[﹣，]，又函数f（x）=2sin（x﹣）﹣λ有两个零点，则实数λ的取值范围是1≤λ＜2．2016年8月9日。