2016届湖南省长沙市高三模拟(一)数学(理)试题
湖南省长沙市长郡中学2016届高考模拟卷(一)数学(理)试题含答案
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若复数174a i--（,a R i ∈是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．-4 B ．-1 C ．1 D ．4 2.以下四个命题，正确的是（ ）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程^0.212y x =+中，当变量x 每增加一个单位时，变量y 一定增加0.2单位； ④对于两分类变量X 与Y ，求出其统计量2K ，2K 越小，我们认为“X 与Y 有关系”的把握程度越小.A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④3.在如图所示的程序框图中，若输出i 的值是3，则输入的实数x 的取值范围是（ ） A ．(4,10] B ．(2,)+∞ C ．(2,4] D ．(4,)+∞4.某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形1111O A B C 如图（2），其中11116,2O A O C ==，则该几何体的侧面积为（ ） A ．64 B ．80 C ．96 D ．1285.将函数()f x 的图象向左平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()sin 2g x x =的图象，若对满足12|()()|2f x g x -=的12,x x ，有12min ||3x x π-=，则ϕ=（ ）A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π6.长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方均在早上7:40至8:00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（ ） A ．932 B ．12 C ．364 D ．5647.已知函数()ln 1()f x k x k R =+∈，函数2()(45)g x f x x =-+，若存在实数k 使得关于x 的方程()sin04g x x π+=有且只有6个实数根，则这6个根的和为（ ）A ．3πB ．6C ．12D ．12π8.在菱形ABCD 中，60A =，AB =ABD ∆折起到PBD ∆的位置，若三棱锥P BCD -，则二面角P BD C --的正弦值为（ ）A ．13 B ．12 C D 9.已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作圆222x y a +=的切线分别交双曲线的左、右两支于点,B C ，且2||||B C C F =，则双曲线的离心率为（ ）ABCD10.已知点(1,1),(4,0),(2,2)A B C -，平面区域D 由所有满足(1,1)AP AB AC a b λμλμ=+<≤<≤的点(,)P x y 组成的区域，若区域D 的面积为8，则a b +的最小值为（ ） AB ．2C ．4D ．8 11.已知数列{}n a 满足(1)21(1)n n n n a a n +-+=-，n S 是其前n 项和，若20171007S b =--，且10a b >，则112a b+的最小值为（ ） A．3- B ．3 C． D．3+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知集合2{|230}A x R x x =∈--<，{|1}B x R x m =∈-<<，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为 .14.在等差数列{}n a 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，d 为数列{}n a 的公差，若对任意*n N ∈，都有0n S >，且249a a =，则d 的取值范围为 .15.设椭圆22:143x y C +=与函数tan 4x y =的图象相交于12,A A 两点，若点P 在椭圆C 上，且直线2PA 的斜率的取值范围是[2,1]--，那么直线1PA 斜率的取值范围是 .16.已知11k k n n kC nC --=（1k n ≤≤，且*,k n N ∈）可以得到几种重要的变式，如：1111k k n n C C k n--=，将1n +赋给n ，就得到11(1)k k n n kC n C -+=+，…，进一步能得到： 121101122111111111222222(12)3n n n n n n n n n n n n n C C nC nC nC nC nC n n ---------+∙++∙=+∙+∙++∙=+=∙.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：122311111111()()()3233313nn n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯++⨯=+ . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分） 已知函数()sin(2)cos 26f x x x π=++.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边为,,a b c ，已知()f A =，2,3a B π==，求ABC∆的面积.18. （本小题满分12分）《环境空气质量指标（AQI ）技术规定（试行）》如表1： 表1：空气质量指标AQI 分组表表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录，AQI 指数M 与当天的空气水平可见度()y km 的情况.表2：表3是某气象观测点记录的长沙市2016年1月1日至1月30日AQI 指数频数统计表.表3：（1）设100Mx =，根据表2的数据，求出y 关于x 的回归方程； （2）小李在长沙市开了一家小洗车店，经小李统计：AQI 指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元；AQI 指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元；AQI 指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元.（ⅰ）计算小李的洗车店在当年1月份每天收入的数学期望.（ⅱ）若将频率看成概率，求小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率.（用最小二乘法求线性回归方程系数公式^1221()ni ii nii x y nx yb xn x ==-=-∑∑，^^^a yb x =-.）19. （本小题满分12分）如图所示，异面直线,AB CD互相垂直，AB =，BC =，1CD =，2BD =，3AC =，截面EFGH 分别与,,,BD AD AC BC 相交于点,,,E F G H ，且//AB 平面EFGH ，//CD 平面EFGH .（1）求证：BC ⊥平面EFGH ； （2）求二面角B AD C --的正弦值.20. （本小题满分12分）如图，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,1)F ，取垂直于y 轴的直线与抛物线交于不同的两点12,P P ，过12,P P 作圆心为Q 的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且12PQ P Q ⊥. （1）求抛物线C 和圆Q 的方程； （2）过点F 作倾斜角为()64ππθθ≤≤的直线l ，且直线l 与抛物线C 和圆Q 依次交于,,,M A B N ，求||||MN AB 的最小值.21. （本小题满分12分） 已知函数2()(1)xf x x e-=+，3()12cos 2x g x ax x x =+++，当[0,1]x ∈时， （1）求证：11()1x f x x-≤≤+； （2）若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，弦CE 交AB 于D ，CD =DE =2BD =. （1）求圆O 的半径R ； （2）求线段BE 的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 是参数）.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，且||AB =，求直线的倾斜角α的值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 关于x 的不等式lg(|3||7|)x x m +--<. （1）当1m =时，解此不等式；（2）设函数()lg(|3||7|)f x x x =+--，当m 为何值时，()f x m <恒成立？参考答案一、选择题 DDACD ACCCC DB可求22ab c x c -=，22a y c =，即2222(,)ab c a B c c-，代入双曲线可求1)b a =，则e =法二：由定义1||2BF a =，2||4BF a =，在12BF F ∆中，22212(2)(2)(4)cos 222a c a bBF F a c c+-∠==⨯⨯，化简求得1ba=，则e =法三：由双曲线定义得1||2BF a =，2||4BF a =，设切点为M ，在1R t F O M ∆中，1||MF b =，过2F 作2F H 垂直直线1CF 于点H ，则11||2||2F H MF b ==，2||2F H a =，∴||BH ==，∴11||||||22FH BF BH a b =+=+=，即1)b a =，则e =.10．【解析】由(1,1),(4,0),(2,2)A B C -，知(3,1),(1,3)AB AC ==， 设AB 与AC 的夹角为θ， 则3cos 5||||10AB AC AB AC θ∙===，所以4sin 5θ=，又由题意平面区域D 的面积4(1)||(1)||sin (1)(1)1085S a AB b AC a b θ=-∙-∙=--⨯⨯=， 解得0ab a b --=， ∴2()2a b a b ab ++=≤，∴4a b +≥. 选C. 11．【解析】由已知：(1)21(1)n n n n a a n +-+=-，则：233a a +=，455a a +=-，677a a +=，899a a +=-，…，201420152015a a +=，201620172017a a +=-，则：20171(1008)1007S a b =+-=--， 则：11a b +=，∴1111121212()()123ab a b a b a b a b+=++=+++≥+，选D. 12．【解析】因为,ηξ是方程()0f x =的根，且ξ是重根，则32()()()f x x bx c x x ηξ=++=--，即得22202b c ηξηξξηξ+=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，由(1,1)x ηξ∈++，则(21,1)x ξξ∈-++，又由01ξη<-<，则103ξ<<，203η-<<， 则32'23(2)()3(2)c b x x b x c b g x x x b x xηη-+-+++-+=-+++=， 令3232232()3(2)3(23)232h x x x b x c b x x x ηξξξξ=-+++-+=-+-++-， 则'22()3(1)(31)h x x ξ=--+，当(21,1)x ξξ∈-++时，''()(21)(31)(31)0h x h ξξξ<-+=+-<，所以()h x 在(1,1)ηξ++上是减函数，而323(21)82(31)(22)0h ξξξξξξ-+=-+++-=，当(21,1)x ξξ∈-++时，()(21)0h x h ξ<-+=，所以()g x 在(21,1)ξξ-++上是减函数，选择B.二、填空题13. (3,)+∞ 14. 15. 33[,]8416. 114[()1]13n n +-+ 【解析】由11(1)k k n nkC n C -+=+，得11111k k n n C C k n -+=+，111111()()313k k k k n n C C k n -+=+， 所以0122311111111()()()3233313n n n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯+++ 0011221111111111111()()()()13131313n n n n n n C C C C n n n n +++++=⨯+⨯+⨯++++++ 111114[(1)1][()1]1313n n n n ++=+-=-++. 三、解答题 17. ()sin(2)cos 2sin 2coscos 2sincos 2666f x x x x x x πππ=++=++312cos 23(sin 22))22223x x x x x π=+=+=+ 令222232k x k πππππ-+≤+≤+5,1212k x k k Z ππππ⇒-+≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-++∈.（2）由()f A =，1sin(2)32A π+=，又203A π<<，52333A πππ<+<，因此5236A ππ+=，解得：4A π=.由正弦定理：sin sin a bA B=，得b =又由4A π=，3B π=可得sin C =故1sin 2ABC S ab C ∆==. 18．【解析】：（1）973154x +++==，0.5 3.5 6.59.554y +++==，4190.57 3.53 6.519.558j jj x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，42222219731140j j x ==+++=∑，所以258455211404520b -⨯⨯==--⨯，21415()5204a =--⨯=，所以y 关于x 的回归方程是2141204y x =-+.（2）由表3知AQI 不高于200的频率为0.1，AQI 指数在200至400的频率为0.2，AQI 指数大于400的频率为0.7.设“洗车店每天亏损约200元”为事件A ，“洗车店每天收入约400元”为事件B ，“洗车店每天收入约700元”为事件C ，则()0.1P A =，()0.2P B =，()0.7P C =，（ⅰ）设洗车店每天收入为X 元，则X 的分布列为则X 的数学期望为2000.14000.27000.7550EX =-⨯+⨯+⨯=（元）.（ⅱ）由（ⅰ），“连续三天洗车店收入不低于1200元包含12,3,21,12,3A C B B C B C C 五种情况”，则“连续三天洗车店收入不低于1200元”的概率：322222233330.20.70.10.70.20.20.70.70.876P C C C =+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+=.19．【解析】（1）∵//AB 平面EFGH ，又∵AB ⊂平面ABD ，平面ABD平面EFGH EF =，∴//AB EF ，同理//CD HE ，∵3AB BC AC =，∴222AB BC AC +=，∴AB BC ⊥，同理BC DC ⊥，∴BC EF ⊥，同理BC EH ⊥，又∵,EF EH 是平面EFGH 内的两相交直线，∴BC ⊥平面EFGH .（2）由（1）及异面直线,AB CD 互相垂直知，直线,,AB BC CD 两两垂直，作//Cz BA ，建立空间直角坐标系C xyz -，如图所示，则(0,0,0),(1,0,0),C D B A ，∵x 轴⊂平面ACD ，∴平面ACD 的一个法向量可设为(0,,1)n y =，∵(1DA =-，∴00D A n ∙=++，得：y =即(0,2,1n =-，又∵z 轴//平面ABD ，∴平面ABD 的一个法向量可设为(,1,0)m x =，∴0DA m x ∙=-=，得x =(3,1,0)m =，设二面角B AD C --的大小为θ，那么||2|cos |6||||23n m n m θ∙===，∴sin 6θ=，∴二面角B AD C --的正弦值为620．【解析】（1）因为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,1)F ，所以12p=，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24x y =.由抛物线和圆的对称性，可设圆222:()Q x y b r +-=，∵12PQ P Q ⊥，∴12PQP ∆是等腰直角三角形，则01245QPP ∠=，∴2(,)22P r b -，代入抛物线方程有242r b =-.由题可知在12,P P 处圆和抛物线相切，对抛物线24x y =求导得'2xy =，所以抛物线在点2P 处切线的斜率为4k =.由01245QPP ∠=，知14k ==，所以r =242r b =-，解得3b =. 所以圆Q 的方程为22(3)8x y +-=.（2）设直线l 的方程为1y kx =+，且tan [3k θ=∈， 圆心(0,3)Q 到直线l 的距离为d =，∴||AB == 由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，得22(24)10y k y -++=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则21242y y k +=+，由抛物线定义知，212||24(1)MN y y k =++=+，所以2||||16(1MN AB k ∙=+设21t k =+1k ≤≤，所以423t ≤≤，所以4||||16(2)3MN AB t ∙===≤≤，所以当43t =时，即3k =||||MN AB 有最小值3. 21.要证[0,1]x ∈时，2(1)1x x ex -+≥-，只需证明(1)(1)x x x e x e -+≥-. 记()(1)(1)x x h x x e x e -=+--，则'()()x x h x x e e -=-，当(0,1)x ∈时，'()0h x >，因此()h x 在[0,1]上是增函数，故()(0)0h x h ≥=， 所以()1,[0,1]f x x x ≥-∈.要证[0,1]x ∈时，21(1)1x x ex -+≤+，只需证明1x e x ≥+， 记()1x K x e x =--，则'()1x K x e =-，当(0,1)x ∈时，'()0k x >，因此()K x 在[0,1]上是增函数，故()(0)0K x K ≥=，所以1()1f x x≤+，[0,1]x ∈. 综上，11()1x f x x -≤≤+，[0,1]x ∈. （2）（解法一）32()()(1)(12cos )2x x f x g x x e ax x x --=+-+++ 3112cos 2x x ax x x ≥----- 2(12cos )2x x a x =-+++. 设2()2cos 2x G x x =+，则'()2sin G x x x =-， 记()2sin H x x x =-，则'()12cos H x x =-，当(0,1)x ∈时，'()0H x <，于是'()G x 在[0,1]上是减函数，从而当(0,1)x ∈时，''()(0)0G x G <=，故()G x 在[0,1]上是减函数，于是()(0)2G x G ≤=，从而1()3a G x a ++≤+，所以，当3a ≤-时，()()f x g x ≥在[0,1]上恒成立.下面证明，当3a >-时，()()f x g x ≥在[0,1]上不恒成立，31()()12cos 12x f x g x ax x x x -≤----+ 32cos 12x x ax x x x -=---+ 21(2cos )12x x a x x =-++++. 记211()2cos ()121x I x a x a G x x x =+++=++++，则''21()()(1)I x G x x -=++，当(0,1)x ∈时，'()0I x <，故()I x 在[0,1]上是减函数.于是()I x 在[0,1]上的值域为[12cos1,3]a a +++.因为当3a >-时，30a +>，所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0I x >此时00()()f x g x <，即()()f x g x ≥在[0,1]上不恒成立.综上，实数a 的取值范围是(,3]-∞-.（解法二）先证当[0,1]x ∈时，22111cos 124x x x -≤≤-. 记21()cos 12F x x x =-+，则'()sin F x x x =-+， 记()sinG x x x =-+，则'()c o s 1G x x =-+，当(0,1)x ∈时，'()0G x >，于是()G x 在[0,1]上是增函数，因此当(0,1)x ∈时，()(0)0G x G >=，从而()F x 在[0,1]上是增函数，因此()(0)0F x F ≥=.所以当[0,1]x ∈时，211cos 2x x -≤. 同理可证，当[0,1]x ∈时，21cos 14x x ≤-. 综上，当[0,1]x ∈时，22111cos 124x x x -≤≤-. 因为当[0,1]x ∈时， 22()()(1)(12cos )2x x f x g x x e ax x x --=+-+++ 221(1)12(1)24x x ax x x ≥------ (3)a x =-+，所以当3a ≤-时，()()f x g x ≥在[0,1]上恒成立.下面证明，当3a >-时，()()f x g x ≥在[0,1]上不恒成立，因为22()()(1)(12cos )2x x f x g x x e ax x x --=+-+++321112(1)122x ax x x x ≤-----+ 23(3)12x x a x x =+-++ 32[(3)]23x x a ≤-+. 所以存在0(0,1)x ∈（例如0x 取33a +和12中的较小值）满足00()()f x g x <. 即()()f x g x ≥在[0,1]上不恒成立.综上，实数a 的取值范围是(,3]-∞-.22．【解析】（1）由相交弦定理知2AD =∙， ∴18,52AD R AB ===. （2）设BE x =，连AE ，则AEB ∆为直角三角形，且知ABE ACE ∠=∠. 在ABE ∆中，cos 10x ABE ∠=， 在DBE ∆中，2222cos 22x DBE x+-∠=∙∙，由22221022x x x+-=∙∙， 得2203x =，即x =.∴BE =. 23．【解析】（1）由4cos ρθ=，得22(2)4x y -+=.（2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程得22(cos 1)(sin )4t t αα-+=， 化简得22cos 30t t α--=.设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，则12122cos 3t t t t α+=⎧⎨=-⎩，∴12||||AB t t =-===∴24cos 2α=，cos α=，4πα=或34π. 24．【解析】（1）当1m =时，原不等式可变为0|3||7|10x x <+--<， 可得其解集为{|27}x x <<.（2）设|3||7|t x x =+--，则由对数定义及绝对值的几何意义知010t <≤，因lg y x =在(0,)+∞上为增函数，则lg 1t ≤，当10t =，7x ≥时，lg 1t =，故只需1m >即可，即1m >时，()f x m <恒成立.。
【全国市级联考】湖南省长沙市2016届高三模拟(一)文数试题解析(解析版)
湖南省长沙市2016届高三模拟（一）文数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设i 为虚数单位，则复数3i -的虚部是（ ）A ．3B ．i -C ．1D ．-1 【答案】D考点：复数的定义．2.记集合{}{}|20,|sin ,A x x B y y x x R =+>==∈，则A B = （ ）A ．()2,-+∞B ．[]1,1-C ．[][)1,12,-+∞D ．(]2,1- 【答案】A 【解析】试题分析：根据已知：{}2A x x =>-，{}11B y y =-≤≤，则{}2A B x x ⋃=>-，所以选A ． 考点：1.三角函数的值域；2.集合的运算．3.某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（ ）A ．圆柱B ．圆锥C ．棱锥D ．棱柱 【答案】B 【解析】试题分析：当棱锥和棱柱分别为正四棱锥和正四棱柱时，会出现正方形；圆柱的横截面为长方形，当其底面直径和高相等时，就是正方形；对于圆锥，三视图可能出现的有：圆、三角形．所以选A ． 考点：三视图．4.已知向量()()cos ,sin ,sin ,cos a b αβαβ==，若//a b ，则,αβ的值可以是（ ）A ．,33ππαβ==-B ．2,33ππαβ==C ．107,5πβπα-==D ．,36ππαβ==-【解析】试题分析：因为//a b ，则cos cos sin sin 0αβαβ-=，即()cos 0αβ+=，所以,2k k Z παβπ+=+∈，所以选C ．考点：1.向量的数量积；2.两角差的余弦．5.已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（ ） A ．()111n n a -=-+ B ．2,0,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数 C ．2sin 2n n a π= D ．()cos 11n a n π=-+ 【答案】C考点：数列的通项公式．6.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x +=-，且()1,101,01x f x x -<≤⎧=⎨-<≤⎩，则下列函数值为1的是（ ） A ．()2.5f B ．()()2.5f f C ．()()1.5f f D ．()2f【答案】B 【解析】试题分析：因为()()1f x f x +=-，且()1,101,01x f x x -<≤⎧=⎨-<≤⎩，所以()()()2.5 1.50.51f f f =-==-，A不对；由A 知()()()()2.5101ff f f =-=-=，所以选B ．考点：分段函数．7.某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：经计算210K =，则下列选项正确的是（ ） A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响 B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响 C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响 D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响 【答案】A 【解析】试题分析：：因为2107.879K =>，对照表格得：有99.5％的把握认为使用智能手机对学习有影响． 考点：1.独立检验；2.统计． 8.函数[]1sin ,2,223y x x πππ⎛⎫=+∈-⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．52,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．52,,233ππππ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦和 C ．5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B考点：三角函数的单调区间．9.平面直角坐标系xOy 中，动点P 到圆()2221x y -+=上的点的最小距离与其到直线1x =-的距离相等，则P 点的轨迹方程是（ ）A ．28y x =B ．28x y =C ．24y x =D ．24x y = 【答案】A 【解析】试题分析：设圆心为C ，动点P 到直线的距离为d ，根据题意得：1PC d -=，可得1PC d =+，即：动点P 到圆()2221x y -+=上的点的最小距离与其到直线2x =-的距离相等，根据抛物线的定义，动点P 的轨迹为以()2,0为焦点，以2x =-为准线的抛物线，设方程为22y px =，则22p=，4p =，所以抛物线方程为：28y x =，选A ． 考点：抛物线定义．【思路点晴】本题主要考查的是抛物线的定义和抛物线的方程，属于中档题．本题动点P 到圆()2221x y -+=上的点的最小距离与其到直线1x =-的距离相等，可转化为动点P 到圆()2221x y -+=上的点的最小距离与其到直线2x =-的距离相等，从而利用抛物线的定义进行求解．解决圆锥曲线问题时注意圆锥曲线定义的应用．10.非负实数x y 、满足()ln 10x y +-≤，则关于x y -的最大值和最小值分别为（ ） A ．2和1 B ．2和-1 C ．1和-1 D ．2和-2 【答案】D考点：线性规划．11.如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是（ ）A ．0.7B ．0.75C ．0.8D ．0.9 【答案】A考点：1.程序框图；2.数列裂项相消法求和．【易错点晴】本题主要考查的是程序框图和数列中的裂项相消法，属于中档题．在给出程序框图求解输出结果的试题中一定要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，根据前面的式子找到其中的规律，对本题来说就是这个程序框图的本质是利用裂项相消法求和，所以111+-=n S ，又*N n ∈，找到各项满足条件的即可．12.已知函数()(),1xf x eg x x ==+，则关于()(),f x g x 的语句为假命题的是（ ）A ．()(),x R f x g x ∀∈>B ．()()1212,,x x R f x g x ∃∈<C ．()()000,x R f x g x ∃∈=D ．0x R ∃∈，使得()()()()00,x R f x g x f x g x ∀∈-≤- 【答案】D【解析】试题分析：当0x =时，()()001f g ==，所以A 为假命题，同时C 为真命题．令120,1x x ==，则()()01,12f g ==，所以B 为真命题．令()()()1x h x f x g x e x =-=--，()'1x h x e =-．当()'0h x >，则0x >；当()'0h x <，则0x <，所以函数()h x 的递增区间为()0,+∞，递减区间为(),0-∞，则函数()h x 在0x =有最小值为0，即存在00x =使得()()()()00,x R f x g x f x g x ∀∈-≤-，选项D 为正确命题．所以选A ．考点：导数在函数中的应用．【方法点晴】本题考查的是导数在函数中的应用及数形结合的思想，属于中档题．本题是选择题，可利用排除法解决本题．另外本题也可用数形结合法解题，做出两个函数的图象，可知直线()1+=x x g 是函数()x e x f =在0=x 处的切线，从图象可知B 、C 、D 都正确，只有A 是错误的．通过数形结合的方法，能直观的得出结论，减少推理过程，减少计算．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.在空间直角坐标系中，已知点()()1,0,1,1,1,2A B -，则线段AB 的长度为__________．考点：空间两点间距离公式．14.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3352,15S a S ==，则2015a =_________． 【答案】2015 【解析】试题分析：由332S a =得：123a a a +=．则根据等差数列的通项公式和前n 项和公式得：11112545152a a d a d a d ++=+⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得：11a d ==，所以20151201412015a =+⨯=．考点：等差数列的通项公式和前n 项和．15.ABC ∆的周长等于()2sin sin sin A B C ++，则其外接圆半径等于____________． 【答案】1 【解析】试题分析：试题分析：设外接圆半径为R ，已知条件即()2sin sin sin A B C a b c ++=++，得：2sin sin sin a b cA B C ++=++①．根据正弦定理：2sin 2sin 2sin a b c R A R b R c ++=++，代入①式得：22R =，即1R =．考点：正弦定理．【方法点晴】本题考查的是正弦定理的应用，属于中档题．由已知条件是ABC ∆的周长，与三角形的边有关系，且ABC ∆的周长等于()2sin sin sin A B C ++，和三角形的三个角关联，所以考虑应用正弦定理．因为正弦定理中R CcB b A a 2sin sin sin ===，结合这两个条件，22R =，即1R =．当三角形中遇到求三角形外接圆半径时，注意正弦定理的应用．16.M N 、分别为双曲线22143x y -=左、右支上的点，设v 是平行于x 轴的单位向量，则MN v的最小值为___________． 【答案】4考点：向量的数量积的几何意义．【方法点晴】本题考查的是向量的数量积的几何意义和双曲线的性质的应用，属于难题．本题由向量数量积的定义知cos cos MN v MN v MN θθ⋅=⋅=，根据题意知求MN 在v 方向上的投影的绝对值的最小值．本题的关键是根据向量数量积的定义转化为投影关系，即求MN在x 轴上的投影的绝对值的最小值．由双曲线的图象即可得出．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图， OPQ 是半径为2，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的一动点，记COP θ∠=，四边形OPCQ 的面积为S ． （1）找出S 与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S 最大，并求出这个最大值．【答案】（1）2sin 2sin 0,33S ππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-∈⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）6πθ=时，S 最大，且最大值为2．试题解析：（1）11sin sin 22POC ODC S S S OP OC POC OQ OC QOC ∆∆=+=⋅⋅∠+⋅⋅∠ 2sin 2sin 0,33ππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）由（1）知2sin 2sin 3S πθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭2sin sin sin θθθθθ=+-=+12sin 2θθ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭2sin 0,33ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭故当且仅当32ππθ+=，即6πθ=时，S 最大，且最大值为2。
湖南省长沙市2016届高三模拟(一)文数试题 Word版含答案
数学（文史类）第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设i 为虚数单位，则复数3i -的虚部是（ ） A ．3 B ．i - C ．1 D ．-12.记集合{}{}|20,|sin ,A x x B y y x x R =+>==∈，则A B =（ ）A ．()2,-+∞B ．[]1,1-C ．[][)1,12,-+∞ D ．(]2,1-3.某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（ ） A ．圆柱 B ．圆锥 C ．棱锥 D ．棱柱4.已知向量()()cos ,sin ,sin ,cos a b αβαβ==，若//a b ，则,αβ的值可以是（ ） A ．,33ππαβ==- B ．2,33ππαβ==C ．7,310ππαβ==- D ．,36ππαβ==-5.已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（ ） A ．()111n n a -=-+ B ．2,0,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数 C ．2sin 2n n a π= D ．()cos 11n a n π=-+6.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x +=-，且()1,101,01x f x x -<≤⎧=⎨-<≤⎩，则下列函数值为1的是（ ） A ．()2,5f B ．()()2.5ff C ．()()1.5f f D ．()2f7.某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：附表：经计算210K =，则下列选项正确的是：（ ） 8.函数[]1sin ,2,223y x x πππ⎛⎫=+∈-⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．52,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．52,,233ππππ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦和 C ．5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.平面直角坐标系xOy 中，动点P 到圆()2221x y -+=上的点的最小距离与其到直线1x =-的距离相等，则P 点的轨迹方程是（ ）A ．28y x =B ．28x y = C ．24y x = D ．24x y =10.非负实数x y 、满足()ln 10x y +-≤，则关于x y -的最大值和最小值分别为（ ） A ．2和1 B ．2和-1 C ．1和-1 D ．2和-211.如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是（ ）12.已知函数()(),1xf x eg x x ==+，则关于()(),f x g x 的语句为假命题的是（ ）A ．()(),x R f x g x ∀∈>B ．()()1212,,x x R f x g x ∃∈<C ．()()000,x R f x g x ∃∈=D ．0x R ∃∈，使得()()()()00,x R f x g x f x g x ∀∈-≤- 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在空间直角坐标系中，已知点()()1,0,1,1,1,2A B -，则线段AB 的长度为__________． 14.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3352,15S a S ==，则2015a = _________． 15. ABC ∆的周长等于()2sin sin sin A B C ++，则其外接圆半径等于____________．16. M N 、分别为双曲线22143x y -=左、右支上的点，设v 是平行于x 轴的单位向量，则MN v 的最小值为___________．三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分） 如图，OPQ 是半径为2，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的一动点，记COP θ∠=，四边形OPCQ 的面积为S ． （1）找出S 与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S 最大，并求出这个最大值． 18.（本小题满分12分）空气质量指数（Air Quality Index ，简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，050为优；101150为轻度污染；151200为中度污染；201300为重度污染；300>为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天 的AQI 的茎叶图如右．（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（100AQI ≤）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）若从样本中的空气质量不佳（100AQI >）的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求这该两天的空气质量等级恰好不同的概率． 19.（本小题满分12分）如图，矩形BDEF 垂直于正方形,ABCD GC 垂直于平面ABCD ．且22AB DE CG ===． （1）求三棱锥A FGC -的体积； （2）求证：面GEF ⊥面AEF ． 20.（本小题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的顶点到直线1:l y x =2．（1）求1C 的标准方程；（2）设平行于1l 的直线l 交1C 于A B 、两点，若以AB 为直径的圆恰过坐标原点，求直线l 的方程．21.（本小题满分12分） 已知函数()2af x x x=+（a 为常数）． （1）若()f x 在()0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）判断是否存在直线l 与()f x 的图象有两个不同的切点，并证明你的结论．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，C D 、是以AB 为直径的半圆上两点，且AD CD =． （1）若//CD AB ，证明：直线AC 平分DAB ∠； （2）作DE AB ⊥交AC 于E ．证明：2CD AE AC =． 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为[)24cos 30,0,2ρρθθπ-+=∈．（1）求1C 的直角坐标方程；（2）曲线 2C 的参数方程为cos 6sin6x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），求1C 与2C 的公共点的极坐标．24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设,,αβγ均为实数．（1）证明：()()cos cos sin ;sin cos cos αβαβαβαβ+≤++≤+． （2）若0αβγ++=，证明：cos cos cos 1αβγ++≥．参考答案一、选择题二、填空题14. 2016 15. 1 16. 4 三、解答题 17.【解析】（1）11sin sin 22POC ODC S S S OP OC POC OQ OC QOC ∆∆=+=∠+∠．．．．．．．．．3分2sin 2sin 0,33ππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 2sin 0,33ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 因为0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 故当且仅当32ππθ+=，即6πθ=时，S 最大，且最大值为2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12分18．【解析】（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为1，空气质量良的天数为3，．．．．． 2分故该样本中空气质量优良的频率为42105=，．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分 估计该月空气质量优良的频率25，从而估计该月空气质量优良的天数为230125⨯=．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）该样本中轻度污染共4天，分别记为1234,,,a a a a ； 中度污染1天，记为b ；重度污染1天，记为c ，从中随机抽取两天的所有可能结果表示为： 共15个．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 其中空气质量等级恰好不同的结果有()()()()()()()()()11223344,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a b a c a b a c a b a c b c 共9个．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以该两天的空气质量等级恰好不同的概率为93155=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.【解析】（1）因为面BDEF ⊥面ABCD ， 面BDEF面,ABCD BD FB BD =⊥，所以FB ABCD ⊥面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 又因为CG ⊥面ABCD ，故//CG FB ，112PGC BGC S S BC GC ∆∆==⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 因数,AB FB AB BC ⊥⊥，所以AB 即三棱锥A FGC -的高， 因此三棱锥A FGC -的体积121233V =⨯⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）如图，设EF 的中点为M ，连结AM GM AG 、、． 在RT ACG ∆中可求得3AG =；在直角梯形FBCG EDCG 、中可求得5FG EG ==在RT ABF RT ADE ∆∆、中可求得22AF AE ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 从而在等腰AEF ∆，等腰GEF ∆中分别求得6,3AM GM ==，此时在AMG ∆中有222=AM GM AG +，所以AM GM ⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 因为M 是等腰AEF ∆底边中点，所以AM EF ⊥， 所以AM GEF ⊥平面，因此面GEF ⊥面AEF ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.【解析】（1）由直线1l 的方程知，直线1l 与两坐标轴的夹角均为45°， 故长轴端点到直线1l 的距离为22a ，短轴端点到直线1l 的距离为22b ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分求得2,1a b ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以1C 的标准方程为2214x y +=；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）依题设直线():0l y x t t =+≠，由2214y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2258440x tx t ++-=，判别式()226416510t t ∆=-⨯->解得t <<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分设()()1122,,,A x y B x y ，则1221285445t x x t x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，故()()()221212121245t y y x t x t x x x x t t -=++=+++=， 设原点为O ，以AB 为直径的圆恰过坐标原点，故OA OB ⊥，所以0OA OB =，即221212444055t t x x y y --+=+=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分解得：t =，满足t <0t ≠， 故所求直线l的方程为y x =y x =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21.【解析】（1）()32222a x af x x x x -'=-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分因为()f x 在()0,+∞上单调递增所以320x a -≥即32a x ≤在()0,+∞恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分而32y x =在()0,+∞上单调递增，故32x 的值域为()0,+∞，所以0a ≤，即a 的取值范围为(]0,+∞；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）不存在这样的直线l ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分证明：假设存在这样的直线l ，设两切点分别为()()()()1122,,,x f x x f x ，其中12x x ≠， 依题意有()()()()211221f x f x f x f x x x -''==-，由()()12f x f x ''=得：12221222a a x x x x -=-， 即()()()21211222122a x x x x x x x x -+-=，显然12120,0x x x x +≠-≠．．．．．．．．．．．．．．8分 故2212122x x a x x =-+；而()()()2221212111211222121112122a ax x f x f x x x a a af x x x x x x x x x x x x x +---'-=-+=+--+--0≠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 即()()()()211221f x f x f x f x x x -''=≠-，故不存在直线l 与()f x 的图象有两个不同的切点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.【解析】（1）由题设//CD AB 可知，DCA BAC ∠=∠， 因为AD DC =，所以DAC DCA ∠=∠，从而DAC BAC ∠=∠，因此，AC 平分DAB ∠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）连结BD ，由DE AB ⊥知，090ADE DAB ∠+∠=， 因为AB 为直径，所以090DBA DAB ∠+∠=， 从而ADE ABD ∠=∠，又因为ABD DCA ∠=∠， 所以ADE ACD ∠=∠， 因此ADEACD ∆∆，所以2AD AE AC =，而AD DC =，所以2CD AE AC =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23.【解析】（1）将222cos x y x ρρθ⎧=+⎨=⎩代入24cos 30ρρθ-+=得：()2221x y -+=．．．．．．．．4分（2）由题设可知，2C 是过坐标原点，倾斜角为6π的直线， 因此2C 的极坐标方程为6πθ=或76πθ=，0ρ>，将6πθ=代入21:30C ρ-+=，解得：ρ=同理，将76πθ=代入1C 得：ρ=故12,C C 公共点的极坐标为6π⎫⎪⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 24.【解析】（1）()cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos sin αβαβαβαβαβαβ+=-≤+≤+；()sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos αβαβαβαβαβαβ+=+≤+≤+．．．．．．．．．．．5分 （2）由（1）知，()()()coscos sin cos cos cos αβγαβγαβγ++≤++≤++，而0αβγ++=，故cos cos cos 1αβγ++≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。
湖南省2016年高考理科数学试题(附答案)
湖南省2016年高考理科数学试题(附答案) 湖南省2016年高考理科数学试题（附答案）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1) 设集合 $A=\{x|x^2-4x+30\}$，则 $A\cap B=$text{(A)}\ (-\infty,1)\qquad \text{(B)}\ (-\infty,1]\qquad\text{(C)}\ [1,+\infty)\qquad \text{(D)}\ (1,+\infty)$2) 设 $(1+i)x=1+yi$，其中 $x,y$ 是实数，则 $x+yi=$text{(A)}\ (-3,-1)\qquad \text{(B)}\ (-3,1)\qquad \text{(C)}\ (1,3)\qquad \text{(D)}\ (3,1)$3) 已知等差数列 $\{a_n\}$ 前 $9$ 项的和为 $27$，$a_{10}=8$，则 $a_{100}=$text{(A)}\ 98\qquad \text{(B)}\ 99\qquad \text{(C)}\100\qquad \text{(D)}\ 97$4) 某公司的班车在 $7:00$，$8:00$，$8:30$ 发车，小明在$7:50$ 至 $8:30$ 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 $10$ 分钟的概率是text{(A)}\ \frac{1}{12}\qquad \text{(B)}\ \frac{1}{8}\qquad \text{(C)}\ \frac{1}{6}\qquad \text{(D)}\ \frac{1}{4}$5) 已知方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的图形是一条横轴长为 $4$ 的双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为$4$，则 $a$ 的取值范围是text{(A)}\ (0,3)\qquad \text{(B)}\ (-1,3)\qquad \text{(C)}\ (-3,3)\qquad \text{(D)}\ (0,+\infty)$6) 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径。
长沙市高考数学一模试卷(理科)C卷(模拟)
长沙市高考数学一模试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一上·公安期中) 已知集合A={﹣1，1}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，则集合B等于（）A . {﹣2，2}B . {﹣2，0，2}C . {﹣2，0}D . {0}2. （2分）若复数z满足(为虚数单位)，则z的共轭复数为（）A .B .C .D .3. （2分）下列命题中正确的个数是（）①命题“若 ,则”的逆否命题为“若，则 ;②“ ”是“ ”的必要不充分条件;③若为假命题，则，为假命题;④若命题 ,则， .A .B .C .D .4. （2分） (2016高一下·普宁期中) 执行所示的程序框图，若输出的S是2047，则判断框内应填写（）A . n≤9？B . n≤10？C . n≥10？D . n≥11？5. （2分）(2016·湖南模拟) 若的展开式中的常数项为a，则的值为（）A . 6B . 20C . 8D . 246. （2分） (2018高三上·大连期末) 设函数图像关于直线对称，它的周期是，则（）A . 的图像过点B . 在上是减函数C . 的一个对称中心是D . 将的图象向右平移个单位得到函数的图像7. （2分）(2017·宁化模拟) 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A . 24B .C . 20D .8. （2分）函数的值域为（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·民乐模拟) 已知向量，满足⊥ ，| + |=t| |，若 + 与﹣的夹角为°，则t的值为（）A . 1B .C . 2D . 310. （2分）(2017·枣庄模拟) 若变量x，y满足条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A . ﹣3B . ﹣2C . ﹣1D . 111. （2分）某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是（）A . 白色B . 黑色C . 白色可能性大D . 黑色可能性大12. （2分） (2018高二上·武邑月考) 下列四个结论中不正确的是（）A . 经过定点P1(x1 ， y1)的直线都可以用方程y－y1＝k(x－x1)表示B . 经过任意不同两点P1(x1 ， y1)，P2(x2 ， y2)的直线都可以用方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示C . 不过原点的直线都可以用方程表示D . 经过点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分）(2016·诸暨模拟) 已知等比数列{an}的首项a1=1，且a2、a4、a3成等差，则数列{an}的公比q=________，数列{an}的前4项和S4=________．14. （1分） (2019高二上·漠河月考) 已知双曲线的右焦点为F，过F做斜率为2的直线 ,直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则双曲线的离心率范围________15. （1分） (2015高二下·宜昌期中) 在面积为1的正方形ABCD内部随机取一点P，则△PAB的面积大于等于的概率是________．16. （1分） (2018高一上·海安月考) 如果对于函数f (x)的定义域内任意两个自变量的值，，当时，都有≤ 且存在两个不相等的自变量，，使得，则称为定义域上的不严格的增函数．已知函数的定义域、值域分别为，，，且为定义域上的不严格的增函数，那么这样的函数共有________个．三、解答题： (共7题；共45分)17. （5分）(2017·淄博模拟) 如图，在△ABC中，M是边BC的中点，cos∠BAM= ，tan∠AMC=﹣．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若角∠BAC= ，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．18. （5分）(2017·渝中模拟) 团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高效的消费方式，不少商家同时加入多家团购网，现恰有三个团购网站在A市开展了团购业务，A市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查，他们加入这三家团购网站的情况如下图所示．（Ⅰ）从所调查的50家商家中任选两家，求他们加入团购网站的数量不相等的概率；（Ⅱ）从所调查的50家商家中任选两家，用ξ表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）将频率视为概率，现从A市随机抽取3家已加入团购网站的商家，记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为η，试求事件“η≥2”的概率．19. （5分） (2017高三下·淄博开学考) 如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面ADD1A1⊥底面ABCD，D1A=D1D=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．（Ⅰ）求证：A1O∥平面AB1C；（Ⅱ）求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．20. （5分） (2019高二上·德惠期中) 已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足 .(Ⅰ)当点在圆上运动时，判断点的轨迹是什么？并求出其方程；(Ⅱ)若斜率为的直线与圆相切，与(Ⅰ)中所求点的轨迹交于不同的两点，且（其中是坐标原点）求的取值范围.21. （10分）(2018·中原模拟) 已知．（1）讨论的单调性；（2）若存在及唯一正整数，使得，求的取值范围．22. （10分）(2018·榆林模拟) 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且过点，曲线的参考方程为（为参数）.（1）求曲线上的点到直线的距离的最大值与最小值；（2）过点与直线平行的直线与曲线交于两点，求的值.23. （5分） (2017高二下·南昌期末) 设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a，b∈M．（Ⅰ）证明：| a+ b|＜；（Ⅱ）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、答案：略10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共45分)17-1、18-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。
湖南省六校联考2016届高三数学模拟试卷(理科) 含解析
2016年湖南省六校联考高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A=｛x｜x2﹣6x+5≤0｝,B=｛x｜y=｝，A∩B=(）A．[1,+∞）B．[1，3]C．（3，5]D．[3，5］2．命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）A．若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数3．若执行如图的程序框图，输出S的值为6，则判断框中应填入的条件是(）A．k＜32? B．k＜65？C．k＜64？D．k＜31？4．下列函数中在上为减函数的是（)A．y=2cos2x﹣1 B．y=﹣tanxC． D．y=sin2x+cos2x5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2， (960)分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间［451，750］的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7 B．9 C．10 D．156．已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．6πB．C．3πD．7．若的展开式中的常数项为a，则的值为(）A．6 B．20 C．8 D．248．若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A．1 B．C．2 D．9．已知数列{a n｝的通项公式a n=5﹣n，其前n项和为S n,将数列{a n｝的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前3项,记｛b n}的前n项和为T n，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有S n＜T n+λ恒成立，则实数λ的取值范围是（)A．λ≥2 B．λ＞3 C．λ≥3 D．λ＞210．已知两个不相等的非零向量,两组向量和均由2个和3个排成一列而成．记，S min表示S所有可能取值中的最小值，则下列正确的是(）A．B．C．若⊥，则S min与｜|无关D．S有5个不同的值11．设，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c 为三边长的三角形,则实数p的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，2］C．D．以上均不正确12．已知A，B分别为椭圆的左、右顶点,不同两点P,Q在椭圆C上，且关于x轴对称,设直线AP，BQ的斜率分别为m,n,则当取最小值时，椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知复数,则｜z｜=．14．在△ABC中，BC=，AC=2,△ABC的面积为4,则AB的长为．15．已知圆x2+y2﹣4x+2y+5﹣a2=0与圆x2+y2﹣（2b﹣10）x﹣2by+2b2﹣10b+16=0相交于A（x1，y1）,B（x2，y2)两点，且满足x+y=x+y,则b=．16．给出下列命题:(1）设f(x）与g(x）是定义在R上的两个函数，若|f（x1）+f(x2）|≥｜g（x1）+g(x2)|恒成立,且f（x）为奇函数，则g（x)也是奇函数；（2）若∀x1，x2∈R，都有|f（x1)﹣f(x2)|＞｜g(x1)﹣g(x2)|成立,且函数f（x）在R上递增，则f(x）+g（x）在R上也递增；（3）已知a＞0，a≠1,函数f(x)=，若函数f（x）在［0，2］上的最大值比最小值多，则实数a的取值集合为;(4）存在不同的实数k，使得关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1｜+k=0的根的个数为2个、4个、5个、8个．则所有正确命题的序号为．三、解答题：本大题共5小题，其中有3道选做题选做一道，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列｛a n｝的前n项和为S n,常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？18．如图,在多面体ABCDE中,DB⊥平面ABC，AE∥DB,且△ABC为等边三角形，AE=1，BD=2，CD与平面ABCDE所成角的正弦值为．(1）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥平面DBC；（2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．19．某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响．年龄分组A项培训成绩优秀人数B项培训成绩优秀人数[20，30）30 18［30，40）36 24［40，50）12 9[50，60] 4 3（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段[20，30)抽取的人数;（2）求全校教师的平均年龄;（3）随机从年龄段[20,30）和[30，40）内各抽取1人，设这两人中两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X，求X的概率分布和数学期望．20．已知抛物线方程为x2=2py(p＞0)，其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k(k≠0）的直线与抛物线交于A，B两点,过A,B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M．(1)求；（2）设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为,求直线AB的斜率k．21．已知函数f（x）=e﹣x（lnx﹣2k)(k为常数,e=2。
湖南省四大名校2016届高三数学3月模拟试卷 理(含解析)
2016年湖南省四大名校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合P={x|x2﹣2x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q=（）A．[3，4）B．（2，3] C．（﹣1，2）D．（﹣1，3]2．下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，≤0B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件3．以下四个命题中：（1）在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好；（2）若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r越接近于1；（3）若统计数据x1，x2，x3，…，x n的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2x n的方差为2；（4）对分类变量x与y的随机变量k2的观察值k0来说，k0越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=5．已知S1=xdx，S2=e x dx，S3=x2dx，则S1，S2，S3的大小关系为（）A．S1＜S2＜S3B．S1＜S3＜S2C．S3＜S2＜S1D．S2＜S3＜S16．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若=， =，则=（）A．+B．+C．+D．+7．将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）•cosx的图象，则f（x）的表达式可以是（）A．f（x）=﹣2sinx B．f（x）=2sinxC．f（x）=sin2x D．f（x）=（sin2x+cos2x）8．某程序框图如图所示，现将输出（x，y）值依次记为：（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），…若程序运行中输出的一个数组是（x，﹣10），则数组中的x=（）A．32 B．24 C．18 D．169．在直角坐标系中，P点的坐标为，Q是第三象限内一点，|OQ|=1且，则Q点的横坐标为（）A．B．C．D．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．11．现定义：e iθ=cosθ+isinθ，其中i为虚数单位，e为自然对数的底，θ∈R，且实数指数幂的运算性质对e iθ都适用．如果，，那么复数a+bi等于（）A．cos5θ+isin5θB．cos5θ﹣isin5θC．sin5θ+icos5θD．sin5θ﹣icos5θ12．已知f（x）=x（1+lnx），若k∈Z，且k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，则k的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，则p= ．14．已知实数x、y满足，则目标函数z=3x+y的最大值为．15．若函数f（x）=x2+a|x﹣2|在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．16．已知平面四边形ABCD为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB=2，BC=4，CD=5，DA=3，则平面四边形ABCD面积的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）（n∈N*）．（1）若a1=1，b n=3n+5，求数列{a n}的通项公式；（2）若a1=6，b n=2n（n∈N*）且λa n＞2n+n+2λ对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．（1）证明：PB⊥CD；（2）求二面角A﹣PD﹣B的余弦值．19．“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100mL（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL（含80）以上时，属醉酒驾车．”2015年9月26日晚8时开始，德阳市交警一队在本市一交通岗前设点，对过往的车辆进行抽查，经过4个小时共查出喝过酒的驾车者60名，如图是用酒精测试仪对这60名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图．（1）求这60名驾车者中属醉酒驾车的人数；（图中每组包括左端点，不包括右端点）（2）求这60名驾车者血液的酒精浓度的平均值；（3）将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组，…，第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度分别为x，y（mg/100mL），则事件|x﹣y|≤10的概率是多少？20．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且．（1）求椭圆E的离心率；（2）已知点D（1，0）为线段OF2的中点，M 为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数λ，使得k1+λk2=0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=（2ax2+bx+1）e﹣x（e为自然对数的底数）．（1）若a=，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（1）=1，且方程f（x）=1在（0，1）内有解，求实数a的取值范围．请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n，使得f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．2016年湖南省四大名校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合P={x|x2﹣2x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q=（）A．[3，4）B．（2，3] C．（﹣1，2）D．（﹣1，3]【考点】交集及其运算．【分析】求出集合P，然后求解交集即可．【解答】解：集合P={x|x2﹣2x≥3}={x|x≤﹣1或x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q={x|3≤x＜4}=[3，4）．故选：A．2．下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，≤0B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；全称命题；特称命题；命题的真假判断与应用．【分析】利用指数函数的单调性判断A的正误；通过特例判断，全称命题判断B的正误；通过充要条件判断C、D的正误；【解答】解：因为y=e x＞0，x∈R恒成立，所以A不正确；因为x=﹣5时2﹣5＜（﹣5）2，所以∀x∈R，2x＞x2不成立．a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确；a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，显然正确．故选D．3．以下四个命题中：（1）在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好；（2）若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r越接近于1；（3）若统计数据x1，x2，x3，…，x n的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2x n的方差为2；（4）对分类变量x与y的随机变量k2的观察值k0来说，k0越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）根据相关指数R2的值的性质进行判断，（2）根据线性相关性与r的关系进行判断，（3）根据方差关系进行判断，（4）根据分类变量x与y的随机变量k2的观察值k0的关系进行判断．【解答】解：（1）用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，故（1）正确；（2）若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故（2）错误；（3）若统计数据x1，x2，x3，…，x n的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2x n的方差为4，故（3）错误；（4）对分类变量x与y的随机变量k2的观察值k0来说，k0越大，判断“x与y有关系”的把握程度越大．错误；故选：A4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=【考点】双曲线的简单性质．【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．5．已知S1=xdx，S2=e x dx，S3=x2dx，则S1，S2，S3的大小关系为（）A．S1＜S2＜S3B．S1＜S3＜S2C．S3＜S2＜S1D．S2＜S3＜S1【考点】定积分．【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可．【解答】解：S1=xdx=x2|=（4﹣1）=，S2=e x dx=e x|=e2﹣e=e（e﹣1），S3=x2dx=|=（8﹣1）=，∵＜＜e（e﹣1），∴S1＜S3＜S2故选：B．6．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若=， =，则=（ ）A ． +B ． +C ． +D ． +【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到DF 与DC 的比，再利用平面向量的线性运算与表示，即可求出要求的向量． 【解答】解：如图所示， ▱ABCD 中，△DEF∽△BEA，∴==，再由AB=CD 可得=，∴=；又=， =，∴=﹣=﹣=﹣，∴=﹣；又=﹣=﹣=+，∴=+=（+）+（﹣）=+．故选：C ．7．将函数y=cos2x 的图象向左平移个单位，得到函数y=f （x ）•cosx 的图象，则f （x ）的表达式可以是（ ）A ．f （x ）=﹣2sinxB ．f （x ）=2sinxC ．f （x ）=sin2x D ．f （x ）=（sin2x+cos2x ）【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【分析】将函数y=cos2x 的图象向左平移个单位，可得y=cos2（x+）=cos （2x+）=﹣sin2x=﹣2cosx•sinx，利用条件，可得结论．【解答】解：将函数y=cos2x 的图象向左平移个单位，可得y=cos2（x+）=cos （2x+）=﹣sin2x=﹣2cosx•sinx，∵y=f（x）•cosx，∴f（x）=﹣2sinx．故选：A．8．某程序框图如图所示，现将输出（x，y）值依次记为：（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），…若程序运行中输出的一个数组是（x，﹣10），则数组中的x=（）A．32 B．24 C．18 D．16【考点】程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是依次输出的（x，y）值，其中每一组有序实数对中，x是每次变为原来的2倍，y每次减小2，依次写出每次循环输出的数组，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行过程，可得：运行第一次，输出（1，0），n=3，x=2，y=﹣2；运行第二次，输出（2，﹣2），n=5，x=4，y=﹣4；运行第三次，输出（4，﹣4），n=7，x=8，y=﹣6；运行第四次，输出（8，﹣6），n=9，x=16，y=﹣8；运行第五次，输出（16，﹣8），n=11，x=32，y=﹣10；运行第六次，输出（32，﹣10），n=13，x=64，y=﹣12．故选：A．9．在直角坐标系中，P点的坐标为，Q是第三象限内一点，|OQ|=1且，则Q点的横坐标为（）A．B．C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】设∠xOP=α，根据三角函数的坐标法定义，得到α的三角函数值，然后利用三角函数公式求Q的横坐标．【解答】解：设∠xOP=α，则，，；故选：A．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是由一个三棱柱挖掉一个三棱锥，所得的组合体，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是：一个三棱柱挖掉一个三棱锥，所得的组合体，其直观图如下图所示：∵三棱柱的体积V==2，挖去的棱锥体积V==，故该几何体的体积为2﹣=，故选：C11．现定义：e iθ=cosθ+isinθ，其中i为虚数单位，e为自然对数的底，θ∈R，且实数指数幂的运算性质对e iθ都适用．如果，，那么复数a+bi等于（）A．cos5θ+isin5θB．cos5θ﹣isin5θC．sin5θ+icos5θD．sin5θ﹣icos5θ【考点】复数乘法的棣莫弗公式；有理数指数幂的化简求值；二项式定理的应用．【分析】利用复数单位i幂的运算，化简a+bi构造二项式定理的形式，然后求出值即可．【解答】解：a+bi==（cosθ+isinθ）5=cos5θ+isin5θ．故选A．12．已知f（x）=x（1+lnx），若k∈Z，且k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，则k的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】函数恒成立问题．【分析】f（x）=x（1+lnx），所以k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，即k＜对任意x＞2恒成立，求出右边函数的最小值，即可求k的最大值．【解答】解：f（x）=x（1+lnx），所以k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，即k＜对任意x＞2恒成立．令g（x）=，则g′（x）=，令h（x）=x﹣2lnx﹣4（x＞2），则h′（x）=1﹣=，所以函数h（x）在（2，+∞）上单调递增．因为h（8）=4﹣2ln8＜0，h（9）=5﹣2ln9＞0，所以方程h（x）=0在（2，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（8，9）．当2＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，所以函数g（x）=在（2，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．又x0﹣2lnx0﹣4=0，所以2lnx0=x0﹣4，故1+lnx0=x0﹣1，所以[g（x）]min=g（x0）===x0∈（4，4.5）所以k＜[g（x）]min==x0∈（4，4.5）．故整数k的最大值是4．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，则p= 2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出x2﹣y2=1的左焦点，得到抛物线y2=2px的准线，依据p的意义求出它的值．【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的左焦点为（﹣，0），故抛物线y2=2px的准线为x=﹣，∴=，∴p=2，故答案为：2．14．已知实数x、y满足，则目标函数z=3x+y的最大值为7 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出约束条件不是的可行域，判断目标函数结果的点，然后求解目标函数的最大值即可．【解答】解：作出可行域如图所示：作直线l0：3x+y=0，再作一组平行于l0的直线l：3x+y=z，当直线l经过点M时，z=3x+y取得最大值，由得：，所以点M的坐标为，所以．故答案为：7．15．若函数f（x）=x2+a|x﹣2|在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣4，0] ．【考点】二次函数的性质．【分析】先通过讨论x的范围，将f（x）写出分段函数的形式，结合二次函数的性质，得到不等式组，解出即可．【解答】解：解：f（x）=x2+a|x﹣2|=，要使f（x）在[0，+∞）上单调递增，则：，解得﹣4≤a≤0；∴实数a的取值范围是[﹣4，0]．故答案为：[﹣4，0]．16．已知平面四边形ABCD为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB=2，BC=4，CD=5，DA=3，则平面四边形ABCD面积的最大值为2．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】在△A BC和△ACD中使用余弦定理求出cosB，cosD的关系，得出四边形的面积S关于sinB，sinD的函数表达式，利用余弦函数的性质求出S的最大值．【解答】解：设AC=x，在△ABC中，由余弦定理得：x2=22+42﹣2×2×4cosB=20﹣16cosB，同理，在△ADC中，由余弦定理得：x2=32+52﹣2×3×5cosD=34﹣30cosD，∴15cosD﹣8cosB=7，①又平面四边形ABCD面积为，∴8sinB+15sinD=2S，②①2+②2得：64+225+240（sinBsinD﹣cosBcosD）=49+4S2，∴S2=60﹣60cos（B+D），当B+D=π时，S取最大值=．故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）（n∈N*）．（1）若a1=1，b n=3n+5，求数列{a n}的通项公式；（2）若a1=6，b n=2n（n∈N*）且λa n＞2n+n+2λ对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列的求和；函数恒成立问题．【分析】（1）求得a n+1﹣a n=4•3n，由a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1），运用等比数列的求和公式，即可得到所求通项；（2）由a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（2n+1﹣2n）=2n+1，a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n ），运用等比数列的求和公式可得a n=2+2n+1，λa n＞2n+n+2λ对一切n∈N*恒成立，即为2λ﹣1＞1+，运用单调性可得右边的最大值，即可得到所求范围．【解答】解：（1）a1=1，b n=3n+5，可得a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（3n+1﹣3n）=4•3n，即有a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=1+12+36+…+4•3n﹣1=1+4•=2•3n﹣5；（2）a1=6，b n=2n（n∈N*），可得a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（2n+1﹣2n）=2n+1，即有a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=6+4+8+…+2n=4+=2+2n+1，λa n＞2n+n+2λ对一切n∈N*恒成立，即为2λ＞1+，由÷=，显然n+1≤2n，≤1，即有=＞＞＞…＞，则n=1或2，取得最大值，则2λ＞1+，解得λ＞．即有实数λ的取值范围是（，+∞）．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．（1）证明：PB⊥CD；（2）求二面角A﹣PD﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）取BC的中点E，连接DE，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OE，OD，推出OE⊥PB，证明OE∥CD，得到PB⊥CD．（2）由OE，OB，OP两两垂直．以O为原点，OE方向为x轴正方向，OB方向为y轴正方向，OP方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出相关点的坐标，求出平面PAD的法向量，平面PBD的法向量为，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（1）证明：取BC的中点E，连接DE，则ADEB为正方形，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OE，OD，…由△PAB和△PAD都是等边三角形可知PA=PB=PD，所以OA=OB=OD，即点O为正方形ADEB对角线的交点…故OE⊥BD，从而OE⊥平面PBD，所以OE⊥PB，因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD，因此PB⊥CD…（2）由（1）可知，OE，OB，OP两两垂直．以O为原点，OE方向为x轴正方向，OB方向为y轴正方向，OP方向为z轴正方向，建立如图所示的直角坐标系O﹣xyz，…设|AB|=2，则，，，，，…设平面PAD的法向量，，，取x=1，得y=1，z=﹣1，即，…因为OE⊥平面PBD，设平面PBD的法向量为，取，由图象可知二面角A﹣PD﹣B的大小为锐角，…所以二面角A﹣PD﹣B的余弦值为…19．“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100mL（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL（含80）以上时，属醉酒驾车．”2015年9月26日晚8时开始，德阳市交警一队在本市一交通岗前设点，对过往的车辆进行抽查，经过4个小时共查出喝过酒的驾车者60名，如图是用酒精测试仪对这60名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图．（1）求这60名驾车者中属醉酒驾车的人数；（图中每组包括左端点，不包括右端点）（2）求这60名驾车者血液的酒精浓度的平均值；（3）将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组，…，第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度分别为x，y（mg/100mL），则事件|x﹣y|≤10的概率是多少？【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（1）根据频率=，计算所求的频数即可；（2）利用频率分布直方图求出数据的平均值即可；（3）用列举法计算基本事件数与对应的概率值．【解答】解：（1）依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在80 mg/100 mL（含80）以上者，共有0.05×60=3人；（2）由图知60名驾车者血液的酒精浓度的平均值为=25×0.25+35×0.15+45×0.2+55×0.15+65×0.1+75×0.1+85×0.05=47（mg/100 mL）；（3）第五组和第七组的人分别有：60×0.1=6人，60×0.05=3人，|x﹣y|≤10即选的两人只能在同一组中；设第五组中六人为a、b、c、d、e、f，第七组中三人为A、B、C；则从9人中抽出2人的一切可能结果组成的基本事件如下：ab；ac；ad；ae；af；aA；aB；aC；bc；bd；be；bf；bA；bB；bC；cd；ce；cf；cA；cB；cC；de；df；dA；dB；dC；ef；eA；eB；eC；fA；fB；fC；AB；AC；BC共36种；其中两人只能在同一组中的事件有18种，用M表示|x﹣y|≤10这一事件，则概率P（M）==．20．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且．（1）求椭圆E的离心率；（2）已知点D（1，0）为线段OF2的中点，M 为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数λ，使得k1+λk2=0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【考点】函数恒成立问题；三点共线；椭圆的简单性质．【分析】（1）由，得，从而有a+c=5（a﹣c），结合离心率定义即可求得答案；（2）由点D（1，0）为线段OF2的中点可求得c值，进而可求出a值、b值，得到椭圆方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），则直线MD的方程为，与椭圆方程联立及韦达定理可把P、Q坐标用M、N坐标表示出来，再根据三点M、F1、N共线及斜率公式可得k1、k2间的关系式，由此可得答案．【解答】解：（1）∵，∴．∴a+c=5（a﹣c），化简得2a=3c，故椭圆E的离心率为．（2）存在满足条件的常数λ，．∵点D（1，0）为线段OF2的中点，∴c=2，从而a=3，，左焦点F1（﹣2，0），椭圆E的方程为．设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），则直线MD的方程为，代入椭圆方程，整理得，．∵，∴．从而，故点．同理，点．∵三点M、F1、N共线，∴，从而x1y2﹣x2y1=2（y1﹣y2）．从而．故，从而存在满足条件的常数λ，．21．已知函数f（x）=（2ax2+bx+1）e﹣x（e为自然对数的底数）．（1）若a=，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（1）=1，且方程f（x）=1在（0，1）内有解，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）若a=，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数f（x）的单调区间；（2）根据函数与方程之间的关系转化为函数存在零点问题，构造函数，求函数的导数，利用函数极值和函数零点之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：（1）若a=，f（x）=（x2+bx+1）e﹣x，则f′（x）=（2x+b）e﹣x﹣（x2+bx+1）e﹣x=﹣[x2+（b﹣2）x+1﹣b]e﹣x=﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]e﹣x，由f′（x）=0得﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]=0，即x=1或x=1﹣b，①若1﹣b=1，即b=0时，f′（x）=﹣（x﹣1）2e﹣x≤0，此时函数单调递减，单调递减区间为（﹣∞，+∞）．②若1﹣b＞1，即b＜0时，由f′（x）=﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]e﹣x＞0得（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]＜0，即1＜x＜1﹣b，此时函数单调递增，单调递增区间为（1，1﹣b），由f′（x）=﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]e﹣x＜0得（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]＞0，即x＜1，或x＞1﹣b，此时函数单调递减，单调递减区间为（﹣∞，1），（1﹣b，+∞），③若1﹣b＜1，即b＞0时，由f′（x）=﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]e﹣x＞0得（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]＜0，即1﹣b＜x＜1，此时函数单调递增，单调递增区间为（1﹣b，1），由f′（x）=﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]e﹣x＜0得（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]＞0，即x＜1﹣b，或x＞1，此时函数单调递减，单调递减区间为（﹣∞，1﹣b），（1，+∞）．（2）若f（1）=1，则f（1）=（2a+b+1）e﹣1=1，即2a+b+1=e，则b=e﹣1﹣2a，若方程f（x）=1在（0，1）内有解，即方程f（x）=（2ax2+bx+1）e﹣x=1在（0，1）内有解，即2ax2+bx+1=e x在（0，1）内有解，即e x﹣2ax2﹣bx﹣1=0，设g（x）=e x﹣2ax2﹣bx﹣1，则g（x）在（0，1）内有零点，设x0是g（x）在（0，1）内的一个零点，则g（0）=0，g（1）=0，知函数g（x）在（0，x0）和（x0，1）上不可能单调递增，也不可能单调递减，设h（x）=g′（x），则h（x）在（0，x0）和（x0，1）上存在零点，即h（x）在（0，1）上至少有两个零点，g′（x）=e x﹣4ax﹣b，h′（x）=e x﹣4a，当a≤时，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）上递增，h（x）不可能有两个及以上零点，当a≥时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上递减，h（x）不可能有两个及以上零点，当＜a＜时，令h′（x）=0，得x=ln（4a）∈（0，1），则h（x）在（0，ln（4a））上递减，在（ln（4a），1）上递增，h（x）在（0，1）上存在最小值h（ln（4a））．若h（x）有两个零点，则有h（ln（4a））＜0，h（0）＞0，h（1）＞0，h（ln（4a））=4a﹣4aln（4a）﹣b=6a﹣4aln（4a）+1﹣e，＜a＜，设φ（x）=x﹣xlnx+1﹣x，（1＜x＜e），则φ′（x）=﹣lnx，令φ′（x）=﹣lnx=0，得x=，当1＜x＜时，φ′（x）＞0，此时函数φ（x）递增，当＜x＜e时，φ′（x）＜0，此时函数φ（x）递减，则φ（x）max=φ（）=+1﹣e＜0，则h（ln（4a））＜0恒成立，由h（0）=1﹣b=2a﹣e+2＞0，h（1）=e﹣4a﹣b＞0，得＜a＜，当＜a＜时，设h（x）的两个零点为x1，x2，则g（x）在（0，x1）递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，1）递增，则g（x1）＞g（0）=0，g（x2）＜g（1）=0，则g（x）在（x1，x2）内有零点，综上，实数a的取值范围是（，）．请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．【考点】圆周角定理；与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）证明AB为圆的直径，只需证明∠BDA=90°；（Ⅱ）证明Rt△BDA≌Rt△ACB，再证明∠DCE为直角，即可证明AB=ED．【解答】证明：（Ⅰ）∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，∵PD为切线，∴∠PDA=∠DBA，∵∠PGD=∠EGA，∴∠DBA=∠EGA，∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，∴∠BDA=∠PFA，∵AF⊥EP，∴∠PFA=90°．∴∠BDA=90°，∴AB为圆的直径；（Ⅱ）连接BC，DC，则∵AB为圆的直径，∴∠BDA=∠ACB=90°，在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，∴Rt△BDA≌Rt△ACB，∴∠DAB=∠CBA，∵∠DCB=∠DAB，∴∠DCB=∠CBA，∴DC∥AB，∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∴∠DCE为直角，∴ED为圆的直径，∵AB为圆的直径，∴AB=ED．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．【考点】直线的参数方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的方程互化的方法，可得圆C的直角坐标方程；（2）将代入z=x+y得z=﹣t，又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，可得结论．【解答】解：（1）因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣），所以ρ2=4ρ（sinθ﹣cosθ），所以圆C的直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣2y=0．…（2）设z=x+y由圆C的方程x2+y2+2x﹣2y=0，可得（x+1）2+（y﹣）2=4所以圆C的圆心是（﹣1，），半径是2将代入z=x+y得z=﹣t …又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，由题意有：﹣2≤t≤2所以﹣2≤t≤2即x+y的取值范围是[﹣2，2]．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n，使得f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，从而求得a的值；（2）由题意可得|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m，将函数y=|2n﹣1|+|2n+1|+2，写成分段形式，求得y的最小值，从而求得m的范围．【解答】解：（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，∴，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，∴a=1．（2）∵f（x）=|2x﹣1|+1，f（n）≤m﹣f（﹣n），∴|2n﹣1|+1≤m﹣（|﹣2n﹣1|+1），∴|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m，∵y=|2n﹣1|+|2n+1|+2=，∴y min=4，由存在实数n，使得f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，∴m≥4，即m的范围是[4，+∞）．。
湖南省四县(市区)2016届高三3月联考数学(理)试题 含解析
2016年湖南省四县（市区）高考数学一模试卷（理科)一.选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z=，则z﹣｜z｜对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．cos(﹣φ）=，且|φ|＜，则tanφ为（）A．﹣B．C．﹣D．3．下列命题中，真命题是（)A．∃x0∈R，≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件4．在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线)的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，a2）,则P(μ﹣σ＜X≤μ+σ)=0。
6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ)=0.9544．A．1193 B．1359 C．2718 D．34135．若圆C:x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点(a，b）所作的切线长的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．66．如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BFB．三棱锥A﹣BEF的体积为定值C．EF∥平面ABCDD．面直线AE、BF所成的角为定值7．如图，在△ABC中,设，,AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若,则m、n对应的值为(）A．B．C．D．8．函数f(x）=Asin(ωx+φ）（A＞0,ω＞0，｜φ｜＜）的图象如图所示,则f（0）等于（）A．B．C．D．9．已知集合A﹣{1，2，3,4，5,6，7，8，9）,在集合A中任取三个元素,分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a，现将组成a的三个数字按从小到大排成的三位数记为I（a)，按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=219,则I（a）=129,D(a）=921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a,则输出b的值为（）A．792 B．693 C．594 D．49510．如图所示,使电路接通，开关不同的开闭方式共有（）A．11 B．12 C．20 D．2111．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点(如图），用过点A,E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为(）A．B．C．D．12．对于曲线C所在平面内的点O,若存在以O为顶点的角θ，使得θ≥∠AOB对于曲线C 上的任意两个不同点A、B恒成立，则称θ为曲线C相对于O的“界角”,并称最小的“界角”为曲线C相对于O的“确界角”，已知曲线M：y=,（其中e为自然对数的底数)，O为坐标原点，则曲线M相对于O的“确界角”为()A．B．C．D．二。
湖南省长沙市2016-2017学年高三上学期期末数学试卷(理科)Word版含答案
湖南省长沙市2016-2017学年高三上学期期末试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．设集合M={x|x 2+3x+2＜0}，集合，则M ∪N=（ ）A ．{x|x ≥﹣2}B ．{x|x ＞﹣1}C ．{x|x ＜﹣1}D ．{x|x ≤﹣2}2．若复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于y 轴对称，且z 1=2﹣i ，则复数在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量，满足||=1，||=2，﹣=（，），则|+2|=（ ）A ．B ．C ．D ．4．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（ ）A ．36种B ．30种C ．24种D ．6种5．（x 2+）6展开式的常数项是15，如图阴影部分是由曲线y=x 2和圆x 2+y 2=a 及x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）A ．﹣B ． +C ．D ．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A．16π﹣B．16π﹣C．8π﹣D．8π﹣7．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（）A．9日B．8日C．16日D．12日8．若当x∈R时，函数f（x）=a|x|（a＞0且a≠0）始终满足f（x）≥1，则函数的大致图象大致是（）A．B．C．D．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．4810．已知在三棱锥P﹣ABC中，VP﹣ABC=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为（）A．B． C．D．11．已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点F为该抛物线的焦点，点P在抛物线上，且满足|PF|=m|PA|，当M取得最小值时，点P恰好在以A，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=2x﹣+cosx，设x1，x2∈（0，π），x1≠x2，且f（x1）=f（x2），若x1，x 0，x2成等差数列，则（）A．f'（x0）＞0 B．f'（x）=0C．f'（x0）＜0 D．f'（x）的符号不能确定二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最小值为．14．已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B 是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．15．在△ABC中，2sin2=sinA，sin（B﹣C）=2cosBsinC，则= ．16．用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3]=3，[1.2]=1，[﹣1.3]=﹣2．已知数列{an}满足a 1=1，an+1=an2+an，则[++…+]= ．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣2cos2x（x∈R）．（1）求函数f（x）的周期和递增区间；（2）若函数g（x）=f（x）﹣m在[0，]上有两个不同的零点x1、x2，求实数m的取值范围．并计算tan（x1+x2）的值．18．2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：，．19．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且∠BAD=，对角线AC 与BD 相交于O ，OF ⊥平面ABCD ，BC=CE=DE=2EF=2． （Ⅰ） 求证：EF ∥BC ；（Ⅱ）求面AOF 与平面BCEF 所成锐二面角的正弦值．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F2到直线x+y+5=0的距离为3．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l经过椭圆C的右焦点F2，且与抛物线y2=4x交于A1，A2两点，与椭圆C交于B1，B 2两点，当以B1B2为直径的圆经过椭圆C的左焦点F1时，求以A1A2为直径的圆的标准方程．21．已知f（x）=ln（mx+1）﹣2（m≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若m＞0，g（x）=f（x）+存在两个极值点x1，x2，且g（x1）+g（x2）＜0，求m的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．选修4-5：不等式选讲23．已知不等式|2x﹣1|﹣|x+1|＜2的解集为{x|a＜x＜b}．（1）求a，b的值；（2）已知x＞y＞z，求证：存在实数k，使恒成立，并求k的最大值．湖南省长沙市2016-2017学年高三上学期期末试卷（理科数学） 参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．设集合M={x|x 2+3x+2＜0}，集合，则M ∪N=（ ）A ．{x|x ≥﹣2}B ．{x|x ＞﹣1}C ．{x|x ＜﹣1}D ．{x|x ≤﹣2}【考点】并集及其运算；指数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式的解法． 【分析】根据题意先求出集合M 和集合N ，再求M ∪N ． 【解答】解：∵集合M={x|x 2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x ＜﹣1}，集合={x|2﹣x ≤22}={x|﹣x ≤2}={x|x ≥﹣2}，∴M ∪N={x|x ≥﹣2}， 故选A ．2．若复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于y 轴对称，且z 1=2﹣i ，则复数在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】求出复数z2，代入表达式利用复数的除法运算法则化简求解即可． 【解答】解：复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于y 轴对称，且z 1=2﹣i ， z 2=﹣2﹣i ，复数====﹣i ．在复平面内对应的点在第四象限．故选：D ．3．已知向量，满足||=1，||=2，﹣=（，），则|+2|=（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【分析】利用向量的数量积运算即可得出．【解答】解：向量，满足||=1，||=2，﹣=（，），可得|﹣|2=5，即||2+||2﹣2•=5，解得•=0．|+2|2=||2+4||2﹣4•=1+16=17．|+2|=．故选：C．4．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A．36种B．30种C．24种D．6种【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，从中排除数学、理综安排在同一节的情形，可得结论．【解答】解：由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，共=36种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共=6种方法，故总的方法种数为：36﹣6=30故选：B．5．（x2+）6展开式的常数项是15，如图阴影部分是由曲线y=x2和圆x2+y2=a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（）A．﹣B． +C．D．【考点】定积分在求面积中的应用；二项式系数的性质．【分析】用二项式定理得到中间项系数，解得a，然后利用定积分求阴影部分的面积．【解答】解：因为（x2+）6展开式的常数项是15，所以=15，解得a=2，所以曲线y=x2和圆x2+y2=2的在第一象限的交点为（1，1）所以阴影部分的面积为==﹣．故选：A．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16π﹣B．16π﹣C．8π﹣D．8π﹣【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．∴该几何体的体积V=﹣=8π﹣．故选：D．7．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（）A．9日B．8日C．16日D．12日【考点】等比数列的前n项和．【分析】良马每日行的距离成等差数列，记为{an }，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn }，其中b1=97，d=﹣0.5．求和即可得到答案．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{an }，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn }，其中b1=97，d=﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm=103m++97m+=2×1125，解得：m=9．故选：A．8．若当x∈R时，函数f（x）=a|x|（a＞0且a≠0）始终满足f（x）≥1，则函数的大致图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用指数函数的性质求出a的范围，判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可．【解答】解：当x∈R时，函数f（x）=a|x|（a＞0且a≠0）始终满足f（x）≥1，可得a＞1，则函数是奇函数，可知B不正确；，时，函数＜0，排除A，当x→0+当x=a10时，函数=→0，排除D，故选：C．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S ≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S ≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056， 满足条件S ≥3.10，退出循环，输出n 的值为24． 故选：B ．10．已知在三棱锥P ﹣ABC 中，V P ﹣ABC =，∠APC=，∠BPC=，PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，且平面PAC ⊥平面PBC ，那么三棱锥P ﹣ABC 外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】球的体积和表面积．【分析】利用等体积转换，求出PC ，PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，可得PC 的中点为球心，球的半径，即可求出三棱锥P ﹣ABC 外接球的体积． 【解答】解：由题意，设PC=2x ，则∵PA ⊥AC ，∠APC=，∴△APC 为等腰直角三角形， ∴PC 边上的高为x ， ∵平面PAC ⊥平面PBC ， ∴A 到平面PBC 的距离为x ，∵∠BPC=，PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，∴PB=x ，BC=x ，∴S △PBC ==，∴V P ﹣ABC =V A ﹣PBC ==，∴x=2，∵PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，∴PC的中点为球心，球的半径为2，∴三棱锥P﹣ABC外接球的体积为=．故选：D．11．已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点F为该抛物线的焦点，点P在抛物线上，且满足|PF|=m|PA|，当M取得最小值时，点P恰好在以A，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合||PF|=m|PA|，可得=m，设PA的倾斜角为α，则当m取得最小值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P 的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：抛物线的标准方程为x2=4y，则抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为y=﹣1，过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，∵|PF|=m|PA|，∴|PN|=m|PA|，则=m，设PA的倾斜角为α，则sinα=m，当m取得最小值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为|PA|﹣|PB|=2（﹣1），∴双曲线的离心率为=+1．故选C．12．已知函数f （x ）=2x ﹣+cosx ，设x 1，x 2∈（0，π），x 1≠x 2，且f （x 1）=f （x 2），若x 1，x 0，x 2成等差数列，则（ ） A ．f'（x 0）＞0 B ．f'（x 0）=0C ．f'（x 0）＜0D ．f'（x 0）的符号不能确定 【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意和求导公式及法则求出f′（x ）、f″（x ），由余弦函数的单调性判断出f″（x ）在（0，π）上递增，求出f″（0）和f″（π）的值，判断出f′（x ）的单调性，求出f′（0）和f′（π）的值后，根据题意判断出f （x ）的单调性，由等差中项的性质求出x 0，结合f （x ）单调性和f′（x ）的符号得到答案．【解答】解：由题意得，f′（x ）=，∴f″（x ）=在∈（0，π）上递增，又f″（0）=，f″（π）=，∴f′（x ）=在∈（0，π）上先减后增，∵又f′（0）=2＞0，f′（π）=2﹣2=0， 且x 1，x 2∈（0，π），x 1≠x 2，f （x 1）=f （x 2）， ∴函数f （x ）在（0，π）上不单调，∵x 1，x 0，x 2成等差数列，∴x 0=（x 1+x 2）， 则f'（x 0）＜0，故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最小值为 4 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可求出z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+2y，则y=﹣x+平移此直线，由图象可知当直线y=﹣x+经过A时，直线在y轴的截距最小，得到z最小，由得到A（2，1），所以z=x+2y的最小值为2+2×1=4；故答案为：4．14．已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】由圆的方程为求得圆心C（1，1）、半径r为：1，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．【解答】解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0∴圆心C（1，1）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心到直线的距离为d=3∴|PA|=|PB|=∴故答案为：15．在△ABC中，2sin2=sinA，sin（B﹣C）=2cosBsinC，则= ．【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．【分析】利用2sin2=sinA，求出A，由余弦定理，得a2=b2+c2+bc ①，将sin（B﹣C）=2cosBsinC 展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，即可得出结论．【解答】解：∵2sin2=sinA，∴1﹣cosA=sinA，∴sin（A+）=，又0＜A＜π，所以A=．由余弦定理，得a2=b2+c2+bc ①，将sin（B﹣C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，得b•=3••c，即2b2﹣2c2=a2②，将①代入②，得b2﹣3c2﹣bc=0，左右两边同除以c2，得﹣﹣3=0，③解③得=，所以=．故答案为：．16．用[x]表示不超过x 的最大整数，例如[3]=3，[1.2]=1，[﹣1.3]=﹣2．已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a n 2+a n ，则[++…+]= 2015 ．【考点】数列递推式．【分析】a 1=1，a n+1=a n 2+a n ＞1，可得=﹣，于是+…+=1﹣∈（0，1）．又=1﹣．可得++…+=2016﹣．即可得出．【解答】解：∵a 1=1，a n+1=a n 2+a n ＞1，∴==﹣，∴=﹣，∴+…+=++…+=1﹣∈（0，1）．又=1﹣．∴++…+=2016﹣．∴[++…+]=2015．故答案为：2015．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知函数f （x ）=（sinx+cosx ）2﹣2cos 2x （x ∈R ）． （1）求函数f （x ）的周期和递增区间；（2）若函数g （x ）=f （x ）﹣m 在[0，]上有两个不同的零点x 1、x 2，求实数m 的取值范围．并计算tan （x 1+x 2）的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）由二倍角公式及辅助角公式求得f （x ）=sin （2x ﹣），根据正弦函数的性质，即可求得函数f （x ）的周期和递增区间；（2）由题意可知方程g （x ）=f （x ）﹣m=0同解于f （x ）=m ，画出函数f （x ）=在[0，]上的图象，根据函数图象及正弦函数的性质，x 1与x 2关于直线对称，，tan （x 1+x 2）的值．【解答】解：（1）f （x ）=（x ∈R ）．由⇒（k ∈Z ），∴函数f （x ）的周期为T=π，递增区间为[，]（k ∈Z ）；…（2）∵方程g （x ）=f （x ）﹣m=0同解于f （x ）=m ；在直角坐标系中画出函数f （x ）=在[0，]上的图象，由图象可知，当且仅当m ∈[1，时，方程f （x ）=m 在[0，]上的区间[，）和（，]有两个不同的解x 1、x 2，且x 1与x 2关于直线对称，即，∴；故tan（x1+x2）=﹣1．…18．2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：，．【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，即可估计小区平均每户居民的平均损失；（Ⅱ）由频率分布直方图可得，损失不少于6000元的居民共有（0.00003+0.00003）×2000×50=6户，损失为6000～8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，损失不少于8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，即可求这两户在同一分组的概率；（Ⅲ）求出K2，与临界值比较，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）记每户居民的平均损失为元，则： =×2000=3360…（Ⅱ）由频率分布直方图可得，损失不少于6000元的居民共有（0.00003+0.00003）×2000×50=6户，损失为6000～8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，损失不少于8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，因此，这两户在同一分组的概率为P==…（Ⅲ）如图：K2=≈4.046＞3.841，所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．…19．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=，对角线AC与BD相交于O，OF⊥平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2．（Ⅰ）求证：EF∥BC；（Ⅱ）求面AOF与平面BCEF所成锐二面角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的性质．【分析】（Ⅰ）由AD∥BC，得BC∥面ADEF，由此能证明EF∥BC．（Ⅱ）以O为坐标原点，OA，OB，OF分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出面AOF与面BCEF所成的锐二面角的正弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形∴AD∥BC，且BC⊄面ADEF，AD⊂面ADEF，∴BC∥面ADEF，且面ADEF∩面BCEF=EF，∴EF∥BC．…解：（Ⅱ）∵FO⊥面ABCD，∴FO⊥AO，FO⊥OB又∵OB⊥AO，以O为坐标原点，OA，OB，OF分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，取CD的中点M，连OM，EM．易证EM⊥平面ABCD．又∵BC=CE=DE=2EF=2，得出以下各点坐标：B（0，1，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣1，0），F（0，0，），E（﹣，﹣，），向量=（﹣，，），向量=（﹣，﹣1，0），向量，设面BCFE 的法向量为：，，得到，令时，=（﹣1，，1），面AOF 的一个法向量，设面AOF 与面BCEF 所成的锐二面角为θ，则cos θ===，∴sin θ=．故面AOF 与面BCEF 所成的锐二面角的正弦值为．…20．已知椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的离心率为，右焦点F 2到直线x+y+5=0的距离为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 经过椭圆C 的右焦点F 2，且与抛物线y 2=4x 交于A 1，A 2两点，与椭圆C 交于B 1，B 2两点，当以B 1B 2为直径的圆经过椭圆C 的左焦点F 1时，求以A 1A 2为直径的圆的标准方程． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点到直线的距离公式，计算可得c=1，a=2，由a ，b ，c 的关系可得b ，进而得到椭圆方程；（2）当直线l 与x 轴垂直时，B 1（1，），B 2（1，﹣），又F 1（﹣1，0），不满足条件；当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为：y=k （x ﹣1），由，可得（3+4k 2）x 2﹣8k 2x+4k 2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、圆的性质、弦长公式能求出|A 1A 2|的长，可得所求圆的半径，运用中点坐标公式可得圆心，进而得到所求圆的方程．【解答】解：（1）由题意可得e==，右焦点F 2（c ，0）到直线x+y+5=0的距离为3，可得=3，解得c=1，即有a=2，b==，可得椭圆的方程为+=1；（2）当直线l 与x 轴垂直时，B 1（1，），B 2（1，﹣），又F 1（﹣1，0），此时•≠0，所以以B 1B 2为直径的圆不经过F 1．不满足条件；当直线l 不与x 轴垂直时，设L ：y=k （x ﹣1），由，即（3+4k 2）x 2﹣8k 2x+4k 2﹣12=0，因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点．设B 1（x 1，y 1），B 2（x 2，y 2），则x 1+x 2=，x 1x 2=，因为以B 1B 2为直径的圆经过F 1，所以•=0，又F 1（﹣1，0），所以（﹣1﹣x 1）（﹣1﹣x 2）+y 1y 2=0， 即（1+k 2）x 1x 2+（1﹣k 2）（x 1+x 2）+1+k 2=0，代入韦达定理，解得k 2=，由，得k 2x 2﹣（2k 2+4）x+k 2=0，因为直线l 与抛物线有两个交点，所以k ≠0，设A 1（x 3，y 3），A 2（x 4，y 4），则x 3+x 4==2+，x 3x 4=1，所以|A 1A 2|=x 3+x 4+p=2++2=，即有|A 1A 2|=，A 1A 2的中点为（1+，），即为（，±），可得以A 1A 2为直径的圆的标准方程为（x ﹣）2+（y+）2=，或（x ﹣）2+（y ﹣）2=．21．已知f （x ）=ln （mx+1）﹣2（m ≠0）． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若m ＞0，g （x ）=f （x ）+存在两个极值点x 1，x 2，且g （x 1）+g （x 2）＜0，求m 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m 的范围，确定函数的单调性；（2）求出g （x ）的导数，通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值，判断是否符合题意，从而判断出m 的范围即可．【解答】解：（1）由已知得mx+1＞0，f′（x ）=，①若m ＞0时，由mx+1＞0，得：x ＞﹣，恒有f′（x ）＞0，∴f （x ）在（﹣，+∞）递增；②若m ＜0，由mx+1＞0，得：x ＜﹣，恒有f′（x ）＜0，∴f （x ）在（﹣∞，﹣）递减；综上，m ＞0时，f （x ）在（﹣，+∞）递增，m ＜0时，f （x ）在（﹣∞，﹣）递减；（2）g （x ）=ln （mx+1）+﹣2，（m ＞0），∴g′（x ）=，令h （x ）=mx 2+4m ﹣4，m ≥1时，h （x ）≥0，g′（x ）≥0，g （x ）无极值点，0＜m ＜1时，令h （x ）=0，得：x 1=﹣2或x 2=2，由g （x ）的定义域可知x ＞﹣且x ≠﹣2，∴﹣2＞﹣且﹣2≠﹣2，解得：m ≠，∴x 1，x 2为g （x ）的两个极值点，即x 1=﹣2，x 2=2，且x 1+x 2=0，x 1•x 2=，得：g （x 1）+g （x 2）=ln （mx 1+1）+﹣2+ln （mx 2+1）+﹣2=ln （2m ﹣1）2+﹣2，令t=2m ﹣1，F （t ）=lnt 2+﹣2，①0＜m ＜时，﹣1＜t ＜0，∴F （t ）=2ln （﹣t ）+﹣2，∴F′（t ）=＜0，∴F （t ）在（﹣1，0）递减，F （t ）＜F （﹣1）＜0，即0＜m ＜时，g （x 1）+g （x 2）＜0成立，符合题意；②＜m ＜1时，0＜t ＜1，∴F （t ）=2lnt+﹣2，F′（t ）=＜0，∴F （t ）在（0，1）递减，F （t ）＞F （1）=0，∴＜m ＜1时，g （x 1）+g （x 2）＞0，不合题意，综上，m ∈（0，）．选修4-4：坐标系与参数方程22．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x ﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．选修4-5：不等式选讲23．已知不等式|2x﹣1|﹣|x+1|＜2的解集为{x|a＜x＜b}．（1）求a，b的值；（2）已知x＞y＞z，求证：存在实数k，使恒成立，并求k的最大值．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）把要求得不等式去掉绝对值，化为与之等价的3个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由条件可得存在实数k，使得+≥，利用基本不等式从而证得结论，可得k的最大值为4．【解答】解：（1）由不等式|2x﹣1|﹣|x+1|＜2，可得①，或②，或③．解①求的x∈∅，解②求得﹣＜x≤，解③求得＜x＜4，综上可得，﹣＜x＜4．再根据不等式的解集为{x|a＜x＜b}，可得a=﹣，b=4．（2）由题意，恒成立，即存在实数k，使得+≥∵x＞y＞z，∴x﹣y＞0，y﹣z＞0，x﹣z＞0，∴[（x﹣y）+（y﹣z）]（+）=2++≥4，当且仅当=时取等号，即+≥故存在实数k≤4，使恒成立，k的最大值为4．。
2016届高三诊断性大联考(一)数学(理)试卷(含解析)
绝密★启用前数学(理科）班级姓名注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
考试时间120分钟，总共150分。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效。
4.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
第I 卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.1.已知集合A ={X ∣X-1>0},集合 B={X ∣∣X ∣≤2}，则A ∩B= A. (-1,2) B. [-2,2] C. (1,2] D.[-2，+∞)2.复数Z 满足（1-2i)z =(1+i)2，则z 对应复平面上的点的坐标为 A.（-54 ，52 ） B.（-52 ，53 ） C.（54，-52） D.（52，53） 3.已知向量a 、b ，其中a=（-2，-6），b= ，a •b=-10 ，则a 与b 的夹角为A.1500B.-300C.-600D.12004.设a ， b 表示两条不同的直线， α、β、γ表示三个不同的平面，则下列命题中正确的是A.若a 丄α,且a 丄b,则b ∥aB.若γ丄α且γ丄β,则α∥βC.若a ∥α且a ∥β, 则α∥βD.若γ∥α且γ∥β,则α∥β5.函数f(x)=asin3x+bx 3+4,其中 a ，b ∈R ，f'(x)为f(x)的导函数，则f( 2014 )+f(-2014 ) +f'( 2015 )-f'(-2015) = A. 0B. 2014C. 8D. 20156.已知右边程序框图（如图）,若输入a 、b 分别为10、4,则输出的a 的值为A.0B.2C.4D.147.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边长分别为a 、b 、c ，若asinA+bsinB=2sinC,则cosC 的最小值为A. B.C.21 D. -21 8.有如下几种说法：①若pVq 为真命题，则p 、q 均为真命题； ②命题“∃x 0∈R ，2x0≤ 0”的否定是∀x ∈R,2X>0；③直线l:y=kx+l 与圆O:x 2+y 2=1相交于A 、B 两点，则“k =l”是△OAB 的面积为21的充分而不必要条件；④随机变量ξ-N(0,1)，已知φ (-1.96)=0.025，则 P( ξ∣f ∣< 1.96 )=0.975. 其中正确的为A. ①④B.②③C. ②③④D.②④ 9.将函数f(x)=Sin(2x+3π)的图象向右平移2π个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则dx x g ⎰π)(A. 0B. πC.2D.110.任取k ∈[-1，1],直线 L:y=kx+3 与圆 C:(x-2)2+(y-3) 2=4 相交于M 、N 两点，则∣MN ∣≥的概率为A. 33B. 23 C. 32 D. 2111.已知函数f （x ）g(x)= 54-f(1-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点的个数为 A.2 B.3 C.4 D.512.多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单位cm 2) A.28+B. 30+C. 28+D. 28+第Ⅱ卷(非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.二项式(2x+x1)6的展开式中的常数项是 .14.实数x 、y 满足条件的最小值为 .15.已知sina=53 ，α∈(0, 2π)，tan β=41，则 tan(α+β))= . 16.已知AB 是圆C:（x+2)2+(y-l)2=52的一条直径，若楠圆 x 2+4y 2=4b 2(b ∈R)经过 A 、B 两点，则该椭圆的方程是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分）已知各项均为正数的等差数列{a n }，且a 2+b 2=20,a 1+a 2=64. (I)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)设b n =nX 42an,求数列的前n 项和.18.(本小题满分12分）如图，在四边形ABCD 中，△ABC 是边长为2的等边三角形， AD 丄DC ，AD=DC ，E 、F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE 丄平面ABCD, DF 丄平面ABCD ，且DF=1. (I)若AE 丄CF ，求 BE 的值；(Ⅱ)求当BE 为何值时，二面角E-AC-F 的大小是60°. 19. (本小题满分12分）2015年10月4日，强台风“彩虹”登陆广东省湛江市，“彩虹”是1949年以来登陆中国陆地的最强台风。
【全国市级联考】湖南省长沙市2016届高三模拟(一)文数试题(原卷版)
湖南省长沙市2016届高三模拟（一）文数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设i 为虚数单位，则复数3i -的虚部是（ ）A ．3B ．i -C ．1D ．-12.记集合{}{}|20,|sin ,A x x B y y x x R =+>==∈，则A B =（ ）A ．()2,-+∞B ．[]1,1-C ．[][)1,12,-+∞D ．(]2,1-3.某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（ ）A ．圆柱B ．圆锥C ．棱锥D ．棱柱4.已知向量()()cos ,sin ,sin ,cos a b αβαβ==，若//a b ，则,αβ的值可以是（ ）A ．,33ππαβ==- B ．2,33ππαβ== C ．107,5πβπα-== D ．,36ππαβ==- 5.已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（ ）A ．()111n n a -=-+B ．2,0,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数C ．2sin 2n n a π=D ．()cos 11n a n π=-+ 6.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x +=-，且()1,101,01x f x x -<≤⎧=⎨-<≤⎩，则下列函数值为1的是（ ）A ．()2.5fB ．()()2.5f fC ．()()1.5f fD ．()2f7.某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：附表：经计算210K =，则下列选项正确的是（ ）A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响8.函数[]1sin ,2,223y x x πππ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ） A ．52,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．52,,233ππππ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦和 C ．5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.平面直角坐标系xOy 中，动点P 到圆()2221x y -+=上的点的最小距离与其到直线1x =-的距离相等，则P 点的轨迹方程是（ ）A ．28y x =B ．28x y =C ．24y x =D ．24x y =10.非负实数x y 、满足()ln 10x y +-≤，则关于x y -的最大值和最小值分别为（ ）A ．2和1B ．2和-1C ．1和-1D ．2和-211.如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是（ ）A ．0.7B ．0.75C ．0.8D ．0.912.已知函数()(),1xf x eg x x ==+，则关于()(),f x g x 的语句为假命题的是（ ） A ．()(),x R f x g x ∀∈> B ．()()1212,,x x R f x g x ∃∈<C ．()()000,x R f x g x ∃∈=D ．0x R ∃∈，使得()()()()00,x R f x g x f x g x ∀∈-≤-第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.在空间直角坐标系中，已知点()()1,0,1,1,1,2A B -，则线段AB 的长度为__________．14.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3352,15S a S ==，则2015a =_________．15.ABC ∆的周长等于()2sin sin sin A B C ++，则其外接圆半径等于____________．16.M N 、分别为双曲线22143x y -=左、右支上的点，设v 是平行于x 轴的单位向量，则MN v 的最小值为___________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，OPQ 是半径为2，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的一动点，记COP θ∠=，四边 形OPCQ 的面积为S ．（1）找出S 与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S 最大，并求出这个最大值．18.空气质量指数（Air Quality Index ，简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，050为优；101150为轻度污染；151200为中度污染；201300为重 度污染；300>为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天 的AQI 的茎叶图如右．（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（100AQI ≤）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）若从样本中的空气质量不佳（100AQI >）的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标， 求这该两天的空气质量等级恰好不同的概率．19.如图，矩形BDEF 垂直于正方形,ABCD GC 垂直于平面ABCD ．且22AB DE CG ===．（1）求三棱锥A FGC -的体积；（2）求证：面GEF ⊥面AEF ．20.已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的顶点到直线1:l y x =． （1）求1C 的标准方程；（2）设平行于1l 的直线l 交1C 于A B 、两点，若以AB 为直径的圆恰过坐标原点，求直线l 的方程．21.已知函数()2a f x x x=+（a 为常数）． （1）若()f x 在()0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）判断是否存在直线l 与()f x 的图象有两个不同的切点，并证明你的结论．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.如图，C D 、是以AB 为直径的半圆上两点，且AD CD =．（1）若//CD AB ，证明：直线AC 平分DAB ∠；（2）作DE AB ⊥交AC 于E ．证明：2CD AE AC =．23.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的 极坐标方程为[)24cos 30,0,2ρρθθπ-+=∈． （1）求1C 的直角坐标方程；（2）曲线 2C 的参数方程为cos 6sin 6x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），求1C 与2C 的公共点的极坐标．24.设,,αβγ均为实数．（1）证明：()()cos cos sin ;sin cos cos αβαβαβαβ+≤++≤+．（2）若0αβγ++=，证明：cos cos cos 1αβγ++≥．：。
湖南省长沙市高考数学一模试卷 理(含解析)
2016年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设i 为虚数单位，则复数的虚部是（ ）A ．3iB ．﹣3iC ．3D ．﹣32．记集合A={x|x ﹣a ＞0}，B={y|y=sinx ，x ∈R}，若0∈A∩B，则a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，0）B ．（﹣∞，0]C ．[0，+∞）D ．（0，+∞）3．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（ ）A ．圆柱B ．圆锥C ．棱锥D ．棱柱4．二项式（x ﹣2）5展开式中x 的系数为（ ）A ．5B ．16C ．80D ．﹣805．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（ ）A ．a n =（﹣1）n ﹣1+1B ．a n =C ．a n =2sinD ．a n =cos （n ﹣1）π+16．考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有（ ）A ．10种B ．60种C ．125种D ．243种A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响8．函数y=sin （﹣x ），x ∈[﹣2π，2π]的单调递增区间是（ ）A ．[﹣，] B ．[﹣2π，﹣]C ．[，2π]D ．[﹣2π，﹣]和[，2π] 9．非负实数x 、y 满足ln （x+y ﹣1）≤0，则关于x ﹣y 的最大值和最小值分别为（ ）A ．2和1B ．2和﹣1C ．1和﹣1D ．2和﹣210．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.911．已知函数f（x）=e x，g（x）=x+1，则关于f（x），g（x）的语句为假命题的是（）A．∀x∈R，f（x）＞g（x）B．∃x1，x2∈R，f（x1）＜g（x2）C．∃x0∈R，f（x0）=g（x0）D．∃x0∈R，使得∀x∈R，f（x0）﹣g（x0）≤f（x）﹣g（x）12．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）经过抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线C1的离心率是（）A．2 B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13． =_______．14．△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于_______．15．M，N分别为双曲线﹣=1左、右支上的点，设是平行于x轴的单位向量，则|•|的最小值为_______．16．已知f（x）是定义在R上的偶函数，令F（x）=（x﹣b）f（x﹣b）+2014，若b是a、c的等差中项，则F（a）+F（c）=_______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}满足a1++…+=2n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和．18．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良101﹣150为轻度污染；151﹣200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图．（Ⅰ）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天）（Ⅱ）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．19．如图，矩形BDEF垂直于正方形ABCD，GC垂直于平面ABCD，且AB=DE，CG=DE．（1）证明：面GEF⊥面AEF；（2）求二面角B﹣EG﹣C的余弦值．20．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率为，P（﹣2，1）是C1上一点．（1）求椭圆C1的方程；（2）设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣ax（a为常数）有两个极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）设f（x）的两个极值点分别为x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求λ的最小值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。
湖南省长沙市长郡中学2016届高三上学期第一次月考数学试卷(理科) 含解析
2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知i是虚数单位,若=1﹣i，则z的共轭复数为（）A．1﹣2i B．2﹣4i C．﹣2i D．1+2i2．已知狆：p：≥1，q：｜x﹣a|＜1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（) A．（﹣∞，3]B．[2，3]C．（2，3］ D．（2，3)3．已知||=1，｜|=2，,点C在∠AOB内，且∠AOC=45°,设=m+n（m,n∈R)则等于（）A．1 B．2 C．D．4．已知O是坐标原点，点A（﹣1，1)，若点M(x，y）为平面区域，上的一个动点,则•的取值范围是（)A．［﹣1，0］B．［0，1］ C．[0，2］D．［﹣1,2]5．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y,z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用(单位:元）是（）A．ax+by+cz B．az+by+cx C．ay+bz+cx D．ay+bx+cz6．使奇函数f（x）=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）在［﹣，0]上为减函数的θ值为（)A．﹣B．﹣C．D．7．设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣e x］=e+1（e是自然对数的底数）,则f（ln2)的值等于（）A．1 B．e+l C．3 D．e+38．设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，｜+t|的最小值为1．（）A．若θ确定,则|｜唯一确定B．若θ确定，则｜|唯一确定C．若｜｜确定,则θ唯一确定 D．若|｜确定，则θ唯一确定9．已知函数f（x)=sinπx的图象的一部分如左图,则右图的函数图象所对应的函数解析式为(）A．B．y=f（2x﹣1）C．D．10．在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中,一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2,0），（1，2,1）,（2，2,2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．(理）．12．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8,AD=5，=3，•=2，则•的值是．13．过椭圆+=1（a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为．14．已知数列｛a n}满足a1=1，a n=log n（n+1）（n≥2，n∈N*）．定义：使乘积a1•a2…a k为正整数的k （k∈N＊)叫做“易整数”．则在[1，2015]内所有“易整数”的和为．15．已知函数f（x）=cosx（x∈（0,2π）)有两个不同的零点x1,x2，且方程f（x）=m有两个不同的实根x3，x4,若把这个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为．三、解答题：本大题共8小题,共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．本小题设有16、17/18三个选做题，请考生任选二题作答，如果全做,则按所做前二题计分．16．如图：⊙O的直径AB的延长线于弦CD的延长线相交于点P,E为⊙O上一点，=,DE交AB于点F．（1）求证:O，C,D，F四点共圆；（2）求证：PF•PO=PA•PB．17．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ）求C1,C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R），设C2与C3的交点为M,N，求△C2MN的面积．18．（2015•铜川模拟）已知a2+b2=1，c2+d2=1．（Ⅰ）求证：ab+cd≤1．（Ⅱ）求a+b的取值范围．19．如图，在△ABC中，∠ABC=90°,，BC=1，P为△ABC内一点,∠BPC=90°（Ⅰ)若，求PA；(Ⅱ）若∠APB=150°，求tan∠PBA．20．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的最小值是f（﹣1）=0，且c=1，又，求F(2）+F（﹣2）的值；（Ⅱ）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1在区间（0，1]上恒成立，求实数b的取值范围．21．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点．（1）求异面直线AC与PB所成的角的余弦值;（2）求直线BC与平面ACM所成角的正弦值．22．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）和椭圆C2:=1,离心率相同，且点（，1）在椭圆C1上．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；(Ⅱ）设P为椭圆C2上一点,过点P作直线交椭圆C1于A、C两点，且P恰为弦AC的中点．求证：无论点P怎样变化，△AOC的面积为常数，并求出此常数．23．已知函数．（I）若f（x）为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围;（II）当m=1，且1≥a＞b≥0时,证明：．2015—2016学年湖南省长沙市长郡中学高三（上)第一次月考数学试卷(理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知i是虚数单位，若=1﹣i,则z的共轭复数为(）A．1﹣2i B．2﹣4i C．﹣2i D．1+2i【考点】复数的基本概念．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则及其共轭复数的意义即可得出．【解答】解：∵=1﹣i，∴===1+2i．∴=1﹣2i．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则及其共轭复数的意义，属于基础题．2．已知狆：p：≥1,q：|x﹣a|＜1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，3］B．［2,3]C．（2，3]D．(2，3）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】求出p，q的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：由≥1，即≥0，解得2＜x≤3，由｜x﹣a｜＜1得a﹣1＜x＜a+1，若p是q的充分不必要条件，则，解得2＜a≤3．实数a的取值范围为（2，3]．故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，比较基础．3．已知｜|=1，||=2,,点C在∠AOB内,且∠AOC=45°，设=m+n（m，n∈R）则等于(）A．1 B．2 C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】通过建立直角坐标系,利用向量的坐标运算和数量积运算及其夹角公式即可得出．【解答】解:如图所示，则A（1，0），B(0，2）．设C（x,y)．∵=m+n（m，n∈R），∴（x，y)=m（1，0)+n（0，2）=（m，2n)．∴x=m，y=2n．∵∠AOC=45°，∴==，解得．故选B．【点评】熟练掌握向量的坐标运算和数量积运算及其夹角公式是解题的关键．4．已知O是坐标原点，点A（﹣1，1）,若点M（x，y）为平面区域,上的一个动点,则•的取值范围是（）A．［﹣1，0］B．［0，1］ C．[0，2］D．[﹣1，2］【考点】简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．【专题】数形结合．【分析】先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后,逐一代入•分析比较后，即可得到•的取值范围．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1，y=1时,•=﹣1×1+1×1=0当x=1，y=2时，•=﹣1×1+1×2=1当x=0,y=2时，•=﹣1×0+1×2=2故•和取值范围为[0，2］解法二:z=•=﹣x+y,即y=x+z当经过P点（0，2)时在y轴上的截距最大,从而z最大，为2．当经过S点（1，1）时在y轴上的截距最小,从而z最小,为0．故•和取值范围为[0，2］故选:C【点评】本题考查的知识点是线性规划的简单应用，其中画出满足条件的平面区域，并将三个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式，进而判断出结果是解答本题的关键．5．有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x,y，z，且x＜y＜z,三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（)A．ax+by+cz B．az+by+cx C．ay+bz+cx D．ay+bx+cz【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数的性质及应用．【分析】作差法逐个选项比较大小可得．【解答】解：∵x＜y＜z且a＜b＜c，∴ax+by+cz﹣（az+by+cx)=a(x﹣z）+c（z﹣x）=（x﹣z）（a﹣c）＞0,∴ax+by+cz＞az+by+cx；同理ay+bz+cx﹣（ay+bx+cz)=b（z﹣x)+c(x﹣z）=（z﹣x）(b﹣c）＜0，∴ay+bz+cx＜ay+bx+cz；同理az+by+cx﹣（ay+bz+cx）=a(z﹣y）+b（y﹣z）=（z﹣y）（a﹣b）＜0，∴az+by+cx＜ay+bz+cx,∴最低费用为az+by+cx故选:B【点评】本题考查函数的最值,涉及作差法比较不等式的大小，属中档题．6．使奇函数f（x）=sin(2x+θ)+cos（2x+θ）在［﹣，0］上为减函数的θ值为（)A．﹣B．﹣C．D．【考点】正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性．【专题】计算题．【分析】首先根据已知将函数f(x)化简为f（x)=2sin(2x+θ+），然后根据函数的奇偶性确定θ的取值,将选项分别代入验证再根据单调性即可排除选项．【解答】解：由已知得:f（x）=2sin（2x+θ+），由于函数为奇函数，故有θ+=kπ即：θ=kπ﹣（k∈Z），可淘汰B、C选项然后分别将A和D选项代入检验，易知当θ=时,f（x)=﹣2sin2x其在区间[﹣,0］上递减，故选D、故答案为：D【点评】本题考查正弦函数的奇偶性和单调性，通过对已知函数的化简，判断奇偶性以及单调性,通过对选项的分析得出结果．考查了对三角函数图象问题的熟练掌握和运用，属于基础题．7．设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x,都有f[f（x)﹣e x]=e+1(e是自然对数的底数），则f（ln2)的值等于（)A．1 B．e+l C．3 D．e+3【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用换元法将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f （x）的表达式，即可得到结论．【解答】解：设t=f（x）﹣e x，则f（x）=e x+t,则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=e t+t=e+1，∵函数f（x）为单调递增函数,∴函数为一对一函数，解得t=1，∴f（x）=e x+1,即f（ln2）=e ln2+1=2+1=3，故选：C．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．8．设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，|+t｜的最小值为1．（）A．若θ确定，则｜｜唯一确定B．若θ确定，则||唯一确定C．若｜｜确定，则θ唯一确定D．若||确定，则θ唯一确定【考点】平面向量数量积的运算；零向量；数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得（+t）2=+2t+，令g（t）=+2t+，由二次函数可知当t=﹣=﹣cosθ时，g（t）取最小值1．变形可得sin2θ=1，综合选项可得结论．【解答】解：由题意可得（+t）2=+2t+令g（t）=+2t+可得△=4﹣4=4cos2θ﹣4≤0由二次函数的性质可知g（t）≥0恒成立∴当t=﹣=﹣cosθ时，g（t)取最小值1．即g（﹣cosθ)=﹣+=sin2θ=1故当θ唯一确定时，||唯一确定，故选：B【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，属中档题．9．已知函数f（x）=sinπx的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对应的函数解析式为(）A．B．y=f（2x﹣1）C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ)的图象变换．【专题】作图题．【分析】先由图象的周期进行排除不符合的选项，再结合函数的图象所过的特殊点进行排除错误的选项,从而找出正确的选项即可．【解答】解:由已知图象可知,右图的周期是左图函数周期的,从而可排除选项C，D对于选项A：，当x=0时函数值为﹣1，从而排除选项A故选:B【点评】本题主要考查了三角函数的图象的性质的应用，考查了识别图象的能力，还要注意排除法在解得选择题中的应用．10．在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），(2,2，0），（1，2,1）,（2，2，2）,给出的编号为①，②,③,④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②【考点】简单空间图形的三视图．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则,可得结论．【解答】解：在坐标系中,标出已知的四个点，根据三视图的画图规则,可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，故选：D．【点评】本题考查三视图的画法,做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．（理)π+2．【考点】定积分．【专题】计算题．【分析】根据定积分的定义，找出三角函数的原函数然后代入计算即可．【解答】解：（x+sinx）=+1﹣(﹣1)=π+2，故答案为π+2．【点评】此题考查定积分的性质及其计算，是高中新增的内容，要掌握定积分基本的定义和性质,解题的关键是找出原函数．12．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是22．【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由=3，可得=+，=﹣,进而由AB=8，AD=5,=3，•=2，构造方程,进而可得答案．【解答】解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+)•（﹣）=｜|2﹣•﹣｜｜2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为：22．【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键．13．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】把x=﹣c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2=60°推断出=整理得e2+2e ﹣=0，进而求得椭圆的离心率e．【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，)或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2=60°，∴=，即2ac=b2=（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣=0，∴e=或e=﹣（舍去）．故答案为：．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力,属基础题．14．已知数列｛a n｝满足a1=1,a n=log n(n+1）（n≥2,n∈N*)．定义：使乘积a1•a2…a k为正整数的k(k∈N*)叫做“易整数"．则在[1，2015]内所有“易整数”的和为2036．【考点】数列的函数特性．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意，及对数的换底公式知，a1•a2•a3…a k=log2（k+1），结合等比数列的前n项和进行求解即可．【解答】解：∵a n=log n（n+1），∴由a1•a2…a k为整数得1•log23•log34…log k(k+1)=log2（k+1)为整数,设log2（k+1）=m,则k+1=2m,∴k=2m﹣1；∵211=2048＞2015，∴区间［1，2015］内所有“易整数”为：21﹣1，22﹣1,23﹣1，24﹣1,…，210﹣1，其和M=21﹣1+22﹣1+23﹣1+24﹣1+…+210﹣1=﹣10=211﹣2﹣10=2036．故答案为：2036．【点评】本题以新定义“易整数"为切入点,主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用．15．已知函数f(x)=cosx（x∈（0，2π））有两个不同的零点x1,x2，且方程f(x）=m有两个不同的实根x3，x4，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为﹣．【考点】函数的零点．【专题】计算题．【分析】函数f(x)=cosx（x∈（0,2π））有两个不同的零点x1,x2，可知x1=，x2=π，因为方程f （x)=m有两个不同的实根x3，x4,若把这个数按从小到大排列构成等差数列，需要分两种情况进行讨论：m＞0和m＜0,再利用等差数列的性质进行求解;【解答】解:函数f(x）=cosx(x∈(0，2π））有两个不同的零点x1，x2，∴x1=，x2=π，∵方程f(x)=m有两个不同的实根x3，x4，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，若m＞0则，x3,，π，x4,构成等差数列，可得公差d=﹣=π，则x1=﹣π=﹣＜0，显然不可能；若m＜0则，，x3,x4，π,构成等差数列，可得公差3d=﹣，解得d=，∴x3=+，m=cosx3==﹣，故答案为：﹣;【点评】此题主要考查三角函数的性质及三角函数值的求解问题,涉及函数的零点构成等差数列，解题过程中用到了分类讨论的思想，是一道基础题；三、解答题：本大题共8小题,共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．本小题设有16、17/18三个选做题，请考生任选二题作答，如果全做，则按所做前二题计分．16．如图：⊙O的直径AB的延长线于弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，=，DE 交AB于点F．（1)求证：O,C，D，F四点共圆；（2）求证：PF•PO=PA•PB．【考点】相似三角形的判定．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（1）连接OC,OE,证明∠AOC=∠CDE，可得O，C，D，F四点共圆;（2)利用割线定理,结合△PDF∽△POC，即可证明PF•PO=PA•PB．【解答】证明:（1）连接OC，OE，因为=，所以∠AOC=∠AOE=∠COE，…又因为∠CDE=∠COE,则∠AOC=∠CDE，所以O，C，D，F四点共圆．…（2）因为PBA和PDC是⊙O的两条割线，所以PD•DC=PA•PB,…因为O，C，D，F四点共圆，所以∠PDF=∠POC，又因为∠DPF=∠OPC，则△PDF∽△POC，所以,即PF•PO=PD•PC，则PF•PO=PA•PB．…【点评】本题考查四点共圆,考查割线定理，三角形相似的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．17．在直角坐标系xOy中,直线C1：x=﹣2,圆C2:（x﹣1）2+（y﹣2)2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程；(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R)，设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ,y=ρsinθ求得C1,C2的极坐标方程．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．【解答】解：(Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ,∴C1:x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2:（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入圆C2：(x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得ρ2﹣(2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴｜MN|=｜ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=．ρ【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义,属于基础题．18．（2015•铜川模拟)已知a2+b2=1，c2+d2=1．（Ⅰ）求证：ab+cd≤1．（Ⅱ）求a+b的取值范围．【考点】不等式的证明．【专题】综合题；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ)利用综合法，结合基本不等式，即可得出结论；（Ⅱ)设=（a，b），=(1，），利用｜⋅｜≤|｜⋅||，可求a+b的取值范围．【解答】（I）证明：∵a2+b2≥2ab，c2+d2≥2cd，∴a2+b2+c2+d2≥2（ab+cd），当且仅当a=b=c=d=时取“=”…又∵a2+b2=1,c2+d2=1∴2(ab+cd）≤2 …∴ab+cd≤1 …（Ⅱ）解：设=（a，b），=（1,）,∵｜⋅|≤｜|⋅｜｜，…∴|a+b｜≤2=2，∴﹣2≤a+b≤2∴a+b的取值范围为［﹣2，2]．…【点评】本题考查不等式的证明,考查求a+b的取值范围，正确运用基本不等式,合理构造向量是关键．19．如图,在△ABC中，∠ABC=90°，，BC=1，P为△ABC内一点,∠BPC=90°（Ⅰ）若,求PA；（Ⅱ）若∠APB=150°,求tan∠PBA．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】(I)在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中,由正弦定理得，即,化简即可求出．【解答】解：(I)在Rt△PBC中，=,∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．(II）设∠PBA=α,在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α)=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键．20．已知函数f（x）=ax2+bx+c(a＞0，b∈R，c∈R）．（Ⅰ)若函数f（x）的最小值是f（﹣1）=0,且c=1，又，求F（2）+F(﹣2)的值；(Ⅱ）若a=1，c=0，且|f(x）｜≤1在区间（0，1］上恒成立，求实数b的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ)根据函数f(x）的最小值是f（﹣1）=0，且c=1，建立方程关系,即可求F（2)+F（﹣2）的值；(Ⅱ)将不等式｜f（x）|≤1在区间（0，1]上恒成立转化为求函数的最值即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）据题意，，得，∴f（x）=x2+2x+1=(x+1)2，于是，∴F（2)+F（﹣2）=（2+1）2﹣（﹣2+1）2=8．（Ⅱ）a=1，c=0时，f（x）=x2+bx，｜x2+bx|≤1在区间（0，1］上恒成立,等价于﹣1≤x2+bx≤1对0＜x≤1恒成立，即，即，在0＜x≤1时，在x=1时取最大值﹣2，而在x=1时取最小值0，故b≥﹣2且b≤0,于是﹣2≤b≤0．【点评】本题主要考查函数值的计算以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键．21．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD,∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点．（1）求异面直线AC与PB所成的角的余弦值；（2）求直线BC与平面ACM所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【专题】空间位置关系与距离；空间向量及应用．【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积，求AC与PB所成的角的余弦值，（2）设=（x，y，z）为平面的ACM的一个法向量，求出法向量，利用空间向量的数量积，直线BC与平面ACM所成角的正弦值．【解答】解：（1)以A为坐标原点，分别以AD、AB、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0,0）,P（0，0，1），C（1，1,0）,B（0,2,0），M（0，1,）,所以=(1，1,0)，=（0，2，﹣1）,|｜=，||=，=2，cos（，）==，（2）=(1，﹣1，0），=（1，1，0）,=（0，1，）,设=（x,y，z）为平面的ACM的一个法向量，则，即,令x=1,则y=﹣1，z=2，所以=（1，﹣1,2）,则cos＜，＞===，设直线BC与平面ACM所成的角为α,则sinα=sin[﹣＜,＞]=cos＜,＞=．【点评】本小题考查空间中的异面直线所成的角、线面角、解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力．22．已知椭圆C1:+=1（a＞b＞0)和椭圆C2：=1,离心率相同，且点（，1)在椭圆C1上．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ)设P为椭圆C2上一点,过点P作直线交椭圆C1于A、C两点，且P恰为弦AC的中点．求证：无论点P怎样变化，△AOC的面积为常数，并求出此常数．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用离心率相同，且点（，1）在椭圆C1上，建立方程，求出几何量，即可求椭圆C1的方程；(Ⅱ）分类讨论，AC：y﹣y0=k（x﹣x0）与椭圆C1联立,再表示出△AOC的面积，代入化简，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ)由题知，且即a2=4，b2=2,∴椭圆C1的方程为;…（Ⅱ）当直线AC的斜率不存在时,必有，此时｜AC|=2,…当直线AC的斜率存在时,设其斜率为k、点P（x0，y0），则AC：y﹣y0=k（x﹣x0）与椭圆C1联立，得,设A（x1，y1），C（x2，y2),则,即x0=﹣2ky0…又,∴…==综上，无论P怎样变化，△AOC的面积为常数．…【点评】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，确定△AOC的面积,正确代入计算是难点．23．已知函数．（I)若f（x）为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；（II)当m=1，且1≥a＞b≥0时，证明:．【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）整理函数求出函数的定义域，对函数求导,根据定义域得到函数的导函数小于0不能恒成立，所以只能整理导函数大于0恒成立，分离参数得到结论．（II）当m=1时,构造新函数g（x），对新函数求导，得到新函数在［0，1]上递增，利用递增函数的定义，写出递增所满足的条件，在构造新函数h（x)，同理得到函数在［0，1]上递减，得到递减的条件,得到结论．【解答】解:（I)，∴．对，,故不存在实数m，使对恒成立，由对恒成立得，m≥对恒成立而＜0，故m≥0经检验，当m≥0时，对恒成立∴当m≥0时，f(x)为定义域上的单调递增函数．(II）证明:当m=1时，令，在［0，1]上总有g′（x）≥0，即g（x）在[0,1］上递增∴当1≥a＞b≥0时，g（a）＞g（b)，即．令，由（2）知它在［0，1］上递减，∴h（a）＜h（b）即综上所述，当m=1，且1≥a＞b≥0时，＜．【点评】本题考查函数的单调性与导数的关系，考查根据需要构造新函数，考查递增函数的定义，考查函数的恒成立问题，考查解决问题的能力和分析问题的能力,是一个中档题．。
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数学（理工农医类）第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.)1.设i 为虚数单位，则复数32ii+的虚部是（ ） A ．3i B ．3i - C ．3 D ．-32.记集合{}{}|0,|sin ,A x x a B y y x x R =->==∈，若0A B ∈ ，则a 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．(],0-∞C ．[)0,+∞D ．()0,+∞3.某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（ ） A ．圆柱 B ．圆锥 C ．棱锥 D ．棱柱4.二项式()52x -展开式中x 的系数为（ ） A ．5 B ．16 C ．80 D ．-805.已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（ ） A ．()111n n a -=-+ B ．2,0,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数C ．2sin 2n n a π=D ．()cos 11n a n π=-+6.考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有（ ）A ．10种B ．60种C ．125种D ．243种7.某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：附表：经计算210K =，则下列选项正确的是：（ ） A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响 B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响 C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响 D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响 8.函数[]1sin ,2,232y x x πππ⎛⎫=-∈-⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ） A ．5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．2,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．52,,233ππππ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦和9.非负实数x y 、满足()ln 10x y +-≤，则关于x y -的最大值和最小值分别为（ ） A ．2和1 B ．2和-1 C ．1和-1 D ．2和-210.如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是（ ）A ．0.7B ．0.75C ．0.8D ．0.911.已知函数()(),1xf x eg x x ==+，则关于()(),f x g x 的语句为假命题的是（ ）A ．()(),x R f x g x ∀∈>B ．()()1212,,x x R f x g x ∃∈<C ．()()000,x R f x g x ∃∈=D ．0x R ∃∈，使得()()()()00,x R f x g x f x g x ∀∈-≤-12.已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>经过抛物线()22:20C y px p =>的焦点，且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线1C 的离心率是（ ）A ．2B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.1xe dx =⎰__________．14. ABC ∆的周长等于()2sin sin sin A B C ++，则其外接圆半径等于_________．15. M N 、分别为双曲线22143x y -=左、右支上的点，设v 是平行于x 轴的单位向量，则MN v的最小值为___________．16.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，令()()()2014F x x b f x b =--+，若b 是a c 、的等差中项，则()()F a F c +=___________．三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足12122n n a a a n++++= ． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n a 的前n 项和． 18.（本小题满分12分）空气质量指数（Air Quality Index ，简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，050 为优；101150 为轻度污染；151200 为中度污染；201300 为重度污染；300>为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天 的AQI 的茎叶图如右．（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（100AQI ≤）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望． 19.（本小题满分12分）如图，矩形BDEF 垂直于正方形,ABCD GC 垂直于平面ABCD ．且1,2AB DE CG DE ==．（1）证明：面GEF ⊥面AEF ； （2）求二面角B EG C --的余弦值． 20.（本小题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>()2,1P -是1C 上一点． （1）求椭圆1C 的方程；（2）设A B Q 、、是P 分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB 的直线l 交1C 于异于P Q 、的两点C D 、．点C 关于原点的对称点为E ．证明：直线PD PE 、与y 轴围成的三角形是等腰三角形．21.（本小题满分12分） 已知函数()21ln 2f x a x x ax =+-（a 为常数）有两个极值点． （1）求实数a 的取值范围；（2）设()f x 的两个极值点分别为12,x x ．若不等式()()()1212f x f x x x λ+<+恒成立，求λ的最小值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，C D 、是以AB 为直径的半圆上两点，且 AD CD=．（1）若//CD AB ，证明：直线AC 平分DAB ∠；（2）作DE AB ⊥交AC 于E ．证明：2CD AE AC = ．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为[)24cos 30,0,2ρρθθπ-+=∈．（1）求1C 的直角坐标方程；（2）曲线 2C 的参数方程为cos 6sin6x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），求1C 与2C 的公共点的极坐标．24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设,,αβγ均为实数．（1）证明：()()cos cos sin ;sin cos cos αβαβαβαβ+≤++≤+． （2）若0αβγ++=，证明：cos cos cos 1αβγ++≥．参考答案一、选择题二、填空题13. 1e - 14. 1 15. 4 16. 4028 三、解答题17.【解析】（1）当1n =时，由题设知14a =；当2n ≥时，由题设12122n n a a a n++++= ，知121221n n a a a n -+++=- ． 两式相减得：122n nn a n+=-，即()22nn a n n =≥ ，故{}n a 的通项公式为()*4,122,n n n a n n n N =⎧⎪=⎨≥∈⎪⎩ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）设{}n a 的前n 项和为n S ， 则2212222n n S n =⨯+⨯++⨯ ，()33121222122n n n S n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ ，两式相减得()1232222n nn S n +=⨯-+++()()1112421124n n n n n +-+=⨯-⨯-=-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18．【解析】（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为63105=，从而估计该月空气质量优良的天数为330185⨯=．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）估计某天空气质量优良的概率为35，ξ的所有可能取值为0，1，2，3． ()()()322123328323632540,1,251255512555125P P C P C ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫========= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()332735125P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭， 故ξ的分布列为：显然333,,3 1.855B E ξξ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.【解析】解法一：（1）如图，设EF 中点为M ，连结AM GM AG AC 、、、． 不妨设1CG =，因为CG ⊥面ABCD ，故CG AC ⊥，从而在等腰AEF ∆，等腰GEF ∆中分别求得AM == 此时在AMG ∆中有222=AM GM AG +，所以AM GM ⊥，因为M 是等腰AEF ∆底边中点，所以AM EF ⊥， 所以AM ⊥平面GEF ，因此面GEF ⊥面AEF ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）如图延长EG DC 、，设交点为H ，作CN GH ⊥，垂足为N ，连结BN ， 因为,BC CG BC DC ⊥⊥， 所以BC ⊥面EDH ，从而BC EH ⊥，又因为CN GH ⊥， 所以EG ⊥面BCN ，从而EG BN ⊥， 所以BNC ∠即为二面角B EG C --的平面角， 不妨设1CG =，则在直角EDH ∆中可求得CN =，于是在RT BCN ∆中可求得cos 6CNB ∠=，所以二面角B EG C --的余弦值为6．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12分 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D xyz -． 不妨设1CG =，则由题设条件可知：()()()()()2,0,0,2,2,0,0,0,2,2,2,2,0,2,1A B E F G ．()()()2,0,2,2,2,0,0,2,1AE EF EG =-==-，设面AEF 的法向量为(),,n x y z =，由00AE n EF n ⎧=⎨=⎩得：220220x z x y -+=⎧⎨+=⎩， 可取()1,1,1n =-， 设面GEF 的法向量为m ，由00EG m EF m ⎧=⎨=⎩知，可取()1,1,2m =-， 于是1120m n =--+=， 所以面GEF ⊥面AEF ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）()()2,2,2,2,0,1EF GB =-=-， 设面BEG 的法向量为(),,u x y z =，由00EB u GB u ⎧=⎨=⎩得：020x y z x z +-=⎧⎨-=⎩，可取()1,1,2u =， 因为DA ⊥平面EGC ，故取平面EGC 的法向量为()2,0,0DA =，因此cos ,u DA u DA u DA===所以二面角B EG C --的余弦值为6．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.【解析】（1）因为1C224a b =， 从而1C 的方程为：222214x y b b+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分代入()2,1P -解得：22b =，因此28a =．所以椭圆1C 的方程为：22182x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）由题设知A B 、的坐标分别为()()2,1,2,1--，因此直线l 的斜率为12， 设直线l 的方程为：12y x t =+，由2212182y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：222240x tx t ++-=， 当0∆>时，不妨设()()1122,,,C x y D x y ， 于是212122,24x x t x x t +=-=-， 分别设直线PD PE 、的斜率为12,k k ， 则()()()()()()2121211221211221112222y x x y y y k k x x x x ---++---+=+=+-++-， 则要证直线PD PE 、与y 轴围成的三角形是等腰三角形， 只需证()()()()212112210y x x y ---++=，而()()()()()()212121122112122124y x x y y y x y x y x x ---++=--++--()()211212121212224424240x x x x t x x x x x x t x x t t =---++--=--+-=-++-=所以直线PD PE 、与y 轴转成的三角形是等腰三角形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21.【解析】（1）()()20a x ax af x x a x x x-+'=+-=>，于是()f x 有两个极值点需要二次方程20x ax a -+=有两正根，设其两根为12,x x ，则212124000a a x x a x x a ⎧∆=->⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得4a >，不妨设12x x <，此时在()10,x 上()()120,,f x x x '>上()()20,f x x '<+∞上()0f x '>， 因此12,x x 是()f x 的两个极值点，符合题意．所以a 的取值范围是()4,+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）()()221211122211ln ln 22f x f x a x x ax a x x ax +=+-++- ()()()()221212122121212121ln 21ln 21ln 12a x x x x a x x a x x x x x x a x x a a a ++-+=++--+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 于是()()12121ln 12f x f x a a x x +=--+， 令()1ln 12a a a ϕ=--，则()112a a ϕ'=-， 因为4a >，所以()0a ϕ'<，于是()1ln 12a a a ϕ=--在()4,+∞上单调递减， 因此()()()()12124ln 43f x f x a x x ϕϕ+=<=-+．且()()1212f x f x x x ++可无限接近ln 43-， 又因为120x x +>，故不等式()()()1212f x f x x x λ+<+等价于()()1212f x f x x x λ+<+， 所以λ的最小值为ln 43-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.【解析】（1）由题设//CD AB 可知，DCA BAC ∠=∠，因为 AD DC=，所以DAC DCA ∠=∠， 从而DAC BAC ∠=∠，因此，AC 平分DAB ∠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）由DE AB ⊥知，090ADE DAB ∠+∠=，因为AB 为直径，所以090DBA DAB ∠+∠=，从而ADE ABD ∠=∠，又因为ABD DCA ∠=∠，所以ADE ACD ∠=∠，因此ADE ACD ∆∆ ，所以2AD AE AC = ，而AD DC =，所以2CD AE AC = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23.【解析】（1）将222co s x y x ρρθ⎧=+⎨=⎩代入24cos 30ρρθ-+=得：()2221x y -+=．．．．．．．．4分（2）由题设可知，2C 是过坐标原点，倾斜角为6π的直线， 因此2C 的极坐标方程为6πθ=或76πθ=，0ρ>，将6πθ=代入21:30C ρ-+=，解得：ρ=同理，将76πθ=代入1C 得：ρ=故12,C C 公共点的极坐标为6π⎫⎪⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 24.【解析】（1）()cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos sin αβαβαβαβαβαβ+=-≤+≤+； ()sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos αβαβαβαβαβαβ+=+≤+≤+．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）知，()()()cos cos sin cos cos cos αβγαβγαβγ++≤++≤++， 而0αβγ++=，故cos cos cos 1αβγ++≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。