高一数学检测题
高一数学测试题(含答案)
高一数学测试题（含答案）一．选择题1..下列结论正确的是A.若,a b c d >>，则a c b d ->-B. 若,a b c d >>，则a d b c ->-C.若,a b c d >>，则ac bd >D. 若,a b c d >>，则a b d c> 2.若直线a 不平行于平面α，且a α⊄，则下列结论成立的是A. α内所有的直线与a 异面.B. α内不存在与a 平行的直线.C. α内存在唯一的直线与a 平行.D. α内的直线与a 都相交. 3.圆x 2＋y 2＝1和圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0的位置关系是A ．外切B ．内切C ．外离D ．内含二．填空题 1.已知sin cos tan 2,sin cos a aa a a+=--则的值是2．已知向量b a ,的夹角为3π，3,1==b a ，则b a -的值是 3．求值：οοοο15sin 105sin 15cos 105cos -=4．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-2),1(log 2,2)(231x x x e x f x 则))2((f f 的值为＝ 5.等比数列{}n a 中,0n a >,569a a =,则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+= 6．已知函数f （x ）满足f （x ）＝(2),0,2,0,xf x x x +<⎧⎨⎩≥ 则(7.5)f -＝( )．。
三．解答题1.已知)2,(),3,2(x b a ==,（1）当b a 2-与b a +2平行时，求x 的值； （2）当a 与b 夹角为锐角时，求x 的范围.2.已知函数2()2sin 1f x x x θ=+-，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈23,21x（1）当6πθ=时，求()f x 的最大值和最小值；（2）若()f x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈23,21x 上是单调增函数，且[0,2)θπ∈，求θ的取值范围．3.求过两直线3420x y +-=和220x y ++=的交点且与直线3240x y -+=垂直的直线方程.4. （满分12分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别为1CC 、11B C 、1DD 的中点，O 为BF 与1B E 的交点，（1）证明：BF ⊥面11A B EG（2）求直线1A B 与平面11A B EG 所成角的正弦值.5.已知数列{}n a 中，*1121,()2nn na a a n N a +==∈+ （1）求 1234,,,a a a a ； （2）求数列{}n a 的通项公式.高一测试题答案 一．选择题1.B2.B3.A4.C5.A6.D7.C 二．填空题 1.312、73、21- 4、2 5、10 6、2 三．解答题 1.解：（1）由题意得：b a 2-=)1,22(--xb a +2=)8,4(x + 由b a 2-与b a +2平行得：0)4()1(8)22(=+⋅--⋅-x x 分34=∴x （2）由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧>•不共线与b a b a 0（3） 即⎩⎨⎧≠->+034062x x343≠->∴x x 且 2解：（1）当6πθ=时，45)21(1)(22-+=-+=x x x x f 分∴当21-=x 时，函数)(x f 有最小值45-当23=x 时，函数)(x f 有最大值4123- （2）要使()f x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈23,21x 上是单调增函数， 则 －sin θ≤－21即sin θ≥21 又)2,0[πθ∈Θ 解得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈65,6ππθ 3.。
2023—2024学年下学期佛山市普通高中教学质量检测高一数学试题及答案
O M N Pxy2023～2024学年下学期佛山市普通高中教学质量检测高一数学注意事项:1.答卷前,考生务必要填涂答题卡上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卡的整洁.考试结束后,将答题卡交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．−=i 25i( ) A ．−−12iB ．−+12iC ．−12iD ．+12i2．已知=αtan 2,则=αtan 2( )A ．−34 B ．34 C ．−43 D ．43 3．已知向量a ,b 不共线,若a b a b +−k 2//)()(,则=k ( )A ．−2B ．−21 C ．21 D ．24．已知两条不同的直线m ,n 和三个不同的平面α,β,γ,下列判断正确的是( )A ．若⊂αm ,n m //,则αn //B ．若⊂αm ,⊂βn ,βm //,αn //,则αβ//C ．若⊥αγ,⊥βγ,m αβ=,则m ⊥γD ．若n αβ=,⊥m n ,⊂βm ,则⊥αβ5．已知四边形ABCD 中,(2,1AC =−),(2,4BD =),则四边形ABCD 的面积为( )A ．3B ．5C ．6D ．106．已知函数=+ωϕf x A x sin )()((其中>A 0,>ω0,2<πϕ)的部分图象如图所示,点M ,N 是函数 图象与x 轴的交点,点P 是函数图象的最高点,且∆PMN 是边长为2的正三角形,=ON OM 3,则⎝⎭⎪=⎛⎫f 31( )A ．23 B ．+4322C ．−4326D ．+43262024 . 77．某学校兴趣学习小组从全年级抽查了部分男生和部分女生的期中考试数学成绩,并算得这部分同学的平均分以及男生和女生各自的平均分,由于记录员的疏忽把人数弄丢了,则据此可确定的是( )A ．这部分同学是高分人数多还是低分人数多B ．这部分同学是男生多还是女生多C ．这部分同学的总人数D ．全年级是男生多还是女生多8．已知正四棱台ABCD A B C D −1111,AB =2,半球的球心O 在底面A B C D 1111的中心,且半球与该棱台的各棱均相切,则半球的表面积为( )A ．π9B ．π18C ．π27D ．π36二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9. 关于复数33=+ππz cosisin (i 为虚数单位),下列说法正确的是( ) A . ⋅=z z 1 B .z 在复平面内对应的点位于第二象限 C . =z 13D . −+=z z 10210.四名同学各掷骰子5次,分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果,可能出现点数6的是( )A ．平均数为3,中位数为2B ．中位数为3,众数为2C ．平均数为2,方差为2.4D ．中位数为3,方差为2.8 11.如图,在三棱锥P DEF −中,==PE PF 1,=PD 2,==DE DF=EF 点Q 是DF 上一动点,则( ) A ．过PE 、PF 、DE 、DFB ．直线PE 与平面DEF 所成角的正弦值为32C ．∆PEQD ．将三棱锥的四个面展开在同一平面得到的平面图形可以是直角三角形或正方形三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.其中第14题对一空得3分,全对得5分. 12.已知a b ⋅=−1,b =1,2)(,则a 在b 上的投影向量为 ． 13.已知⎝⎭⎪+=⎛⎫θθ44cos cos2π,则=θsin 2 ． 14.已知∆ABC 是边长为2的正三角形,点D 在平面ABC 内且0DA DB ⋅=,则DA DC ⋅的最大值为 ,最小值为 ．H.RQPDCBA四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.( 13分)某学校高一新生体检,校医室为了解新生的身高情况,随机抽取了100名同学的身高数据(单位:cm ),制作成频率分布直方图如图所示．(1) 求这100名同学的平均身高的估计值(同一组数据用区间中点值作为代表)；(2) 用分层抽样的方法从165,170)[,170,175)[,175,180)[中抽出一个容量为17的样本,如果样本按比例分配,则各区间应抽取多少人？(3) 估计这100名同学身高的上四分位数．0.010.020.04x0.07/cm身高160 165 170 175 180 18516.( 15分)在非直角三角形ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足=−a c B b C 2cos cos ． (1) 求证:=C B tan 2tan ；(2) 若=A tan 3,=a 3,求∆ABC 的面积．17.( 15分)如图,已知多面体PQRABCD 中,四边形ABCD 、PABQ 、PADR 均为正方形,点H 是∆CQR 的垂心,=PA 1．(1) 证明:H 是点A 在平面CQR 上的射影； (2) 求多面体PQRABCD 的体积．频率组距PQM1A 1B 1C CBA OCBADMN18.( 17分)如图,在扇形OMN 中,半径=OM 2,圆心角∠=MON 3π,矩形ABCD 内接于该扇形,其中点A ,B 分别在半径OM 和ON 上,点C ,D 在 上,AB MN //,记矩形ABCD 的面积为S .(1) 当点A ,B 分别为半径OM 和ON 的中点时,求S 的值；(2) 设∠=θDOM (<<θ60π),当θ为何值时,S 取得最大值,并求此时S 的最大值.19.( 17分)如图,在直三棱柱−ABC A B C 111中,⊥AB BC ,==AB AA 31,=BC 1,P 是BC 1上一动点,BP BC λ=1(<<λ01),M 是CC 1的中点,Q 是AM 的中点．(1) 当=λ41时,证明:PQ //平面ABC ； (2) 在答．题卡．．的题(2)图中作出平面AB P 1与平面ACC A 11的交线(保留作图痕迹,无需证明)； (3) 是否存在λ,使得平面AB P 1与平面ACC A 11所成二面角的余弦值为414？若存在求满足条件的λ值,若不存在则说明理由．2023~2024学年下学期佛山市普通高中教学质量检测高一数学 参考答案与评分标准一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CABCBDBC二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.题号 9 10 11 答案ADABDBCD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.其中第14题对一空得3分,全对得5分.12. ⎝⎭ ⎪−−⎛⎫55,12(或写成b −51) 13. 1 14. 3 , −1 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】(1)由图可知⨯++++=x 50.010.070.040.021)(,得x =0.06.…………………………2分 平均身高的估计值为:⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯182.50.025162.50.015167.50.075172.50.065177.50.045=172.25cm .………………………………………………………………………………………………6分(2)165,170)[,170,175)[,175,180)[各区间人数分别为：⨯⨯=1000.07535,⨯⨯=1000.06530,⨯⨯=1000.04520．所以相应抽取的人数分别为：++⨯=35302017735,++⨯=35302017630,++⨯=35302017420．………………………………9分 (3)上四分位数即75%分位数． …………………………………………………………………………10分 身高在180,185)[的人数占比⨯=50.0210%,在175,180)[的人数占比⨯=50.0420%,所以75%分位数在175,180)[内．…………………………………………………………………………11分 设上四分位数为a ,则a ⨯−+⨯=−0.04(180)0.025175%． ………………………………………12分 解得=a 176.25,即估计这100名同学身高的上四分位数为176.25. ………………………………13分 16.【解析】(1)由−=c B b C a 2cos cos 及正弦定理可得−=C B B C A 2sin cos sin cos sin ,………2分 又=+=+A B C B C B C sin sin()sin cos cos sin ,所以−=+C B B C B C B C 2sin cos sin cos sin cos cos sin ,整理得=C B B C sin cos 2sin cos ,………………………………………………………………………4分 因为∆ABC 不是直角三角形,所以≠B cos 0,≠C cos 0,两边同时除以B C cos cos ,得=C B tan 2tan ．…………………………………………………………………………………………6分(2)由−−=−+=−=−=+B C BA B C B C B 1tan tan 12tan tan tan()3tan tan 3tan 2,整理得−−=B B 2tan tan 102, 所以+−=B B (2tan 1)(tan 1)0,解得=−B 2tan 1或1, ………………………………………………8分若=−B 2tan 1,则==−C B tan 2tan 1,此时B ,C 均为钝角,不符合题意,故舍去,所以=B tan 1,…9分.HOMRQPD CBA ==CB tan 2tan 2,此时=A 10sin 310,=B 2sin 2,=C 5sin 25, ……………………………11分 由正弦定理====B C A b c a 10310sin sin sin 103,可得==b B 10sin 5,==c C 10sin 22, ……………………………………………………13分所以∆ABC 的面积△==⨯⨯⨯=S bc A ABC 2210sin 522311310．………………………………15分 17.【解析】(1)连接CH ,并延长交QR 于M ,所以QR CM ⊥． ………………………………………1分由已知易得四边形BDRQ 为矩形,所以BD QR //．……………………………………………………3分BD AC ⊥,所以QR AC ⊥且=AC CM C ,所以QR ⊥平面ACM ．……………………………5分AH ⊂平面ACM ,所以⊥QR AH ．…………………………………6分同理⊥QC AH ． ………………………………………………………7分 又=QRQC Q ,所以AH ⊥平面CQR ． …………………………8分所以H 是点A 在平面CQR 上的射影．……………………9分 (2)设=ACBD O ,由题意可知BQ ⊥平面ABCD ,所以BQ 是棱柱PQR ABC −的高,且BQ OC ⊥,又由(1)知OC BD ⊥,所以OC ⊥平面QBDR , 所以OC 是棱锥C QBDR −的高．………………………………………………………………………11分 V V V PQR ABD C QBDR =+−−．…………………………………………………………………………………12分 △=⋅=−V S BQ PQR ABD ABD 21．……………………………………………………………………………13分 =⋅=⋅⋅=−V S OC C QBDR QBDR 332321121．……………………………………………………………14分所以多面体PQRABCD 的体积=+=V 236115．………………………………………………………15分18.【解析】(1)当点A ,B 分别为半径OM 和ON 的中点时,===CD AB OA 1,取CD 中点F ,连接OF ,且OF 与AB 交于点G ,则=−=−=OF OD DF 42411522, …………………………………2分 ==OG OA 2233,………………………………………………………………………………………4分 则=−=−FG OF OG 2153,…………………………………………………………………………6分 此时矩形ABCD 的面积=⋅=−S AB FG 2153．……………………………………………………7分 (2)解法一：过点D 作⊥DE OM ,垂足为E ,则=θDE 2sin ,=θOE 2cos , ……………………8分在△ADE Rt 中,∠=DAE 6π,==θAD DE 24sin , …………………………………………………9分==θAE DE 323sin ,………………………………………………………………………………10分 ==−=−θθAB OA OE AE 2cos 23sin , …………………………………………………………11分AOM NBCDE FG 矩形ABCD 的面积=⋅=−⋅=−θθθθθθS AB AD (2cos 23sin )4sin 8sin cos 83sin 2 …13分⎝⎭ ⎪=−⨯=+−=+−⎛⎫−θθθθθ234sin 2834sin 243cos 2438sin 243π1cos 2, …………15分 当+=θ322ππ,即=θ12π时,矩形ABCD 的面积S 最大,最大值为−843．………………………17分 解法二：若⎝⎭ ⎪∠=<<⎛⎫θθDOM 60π,设∠=αDOF , 则=−αθ6π,=⋅∠=αDF OD DOF sin 2sin ,…………………8分 =⋅∠=αOF OD DOF cos 2cos ,===αOG AG DF 3323sin , ……………………………9分所以=−=−ααFG OF OG 2cos 23sin , …………………10分==αAB DF 24sin ．……………………………………………………………………………………13分 ⎝⎭ ⎪=−⨯=+−=+−⎛⎫−ααααα234sin 2834sin 243cos 2438sin 243π1cos 2,…………15分 当+=α322ππ,即=α12π,即=θ12π时,矩形ABCD 的面积S 最大,最大值为−843． ………17分 19.【解析】(1)过P Q 、分别作⊥PK BC ,⊥QN AC 则PK CC //1且=PK CC 411,QN CM //且==QN CM CC 24111．……………………………………………………………………………………2分所以PK QN //且PK QN =,所以四边形PKNQ 是平行四边形．……………………………………3分从而PQ KN //,又KN ⊂平面ABC ,PQ ⊄平面ABC ,所以PQ //平面ABC ．…………………5分 (2)如图,在平面ACC A 11内,延长B P CC 、11交于D ,连接AD ,则AD 为平面AB P 1与平面ACC A 11的交线．……………………………………………………………8分BB 1P EKNPQM1A 1B 1C CAGHD 1A 1C CA(3)过B 1作B H A C ⊥111,垂足为H ,过H 作HG AD ⊥,垂足为G ,连接B G 1,……………………9分 因为三棱柱−ABC A B C 111是直三棱柱,所以⊥CC 1平面A B C 111, 又⊂B H 1平面A B C 111,∴⊥CC B H 11,又B H A C ⊥111,1111A C CC C =,∴⊥B H 1平面ACC A 11,又⊂AD 平面ACC A 11,∴⊥B H AD 1,又HG AD ⊥,B HHG H =1,∴⊥AD 平面B HG 1,又⊂B G 1平面B HG 1,∴⊥AD B G 1,所以B GH ∠1为平面AB P 1与平面ACC A 11所成二面角的平面角．…………………………………10分假设存在满足条件的λ,即B GH ∠=4cos 141, 由已知可求得BC =21,所以BP =λ2,−−===λλλλB C PC BE BP 2212111, 所以−−=−=−=−λλλλB C B C EC BE 1111121111,又−==−λλDC B C DC EC 112111, −−−−∴===−−λλλλλCC CC DC DC DC 1(12)121211,所以DC =−λλ3(12),…………………………12分所以△=−λλS ACD 3(12),形梯=S HACC 4531,△=−λλS DHC 43(1)1,形梯△△△=+−=−λλS S S S HACC ADH ACD DHC 43(32)11,…………………………………………………13分=+=−+λλλAD AC CD 16123222, ……………………………………………………………14分△=⋅⋅S AD HG ADH 21,故△−+==−λλλAD HG S ADH 2161233(32)22． …………………………………15分 由B GH ∠=4cos 141得HGB GH B H ∠==7tan 711,又B H =231,所以−+−=λλλ2161233(32)72732．………………………………………………………16分 解得=λ31,即存在=λ31使得平面AB P 1与平面ACC A 11所成二面角的余弦值为414． ………17分。
高一数学第一、二单元检测(含答案)
第1页 共8页 ◎ 第2页 共8页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………高一数学 集合&函数（~奇偶性）第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1．已知函数()x x f =，则下列哪个函数与()x f y =表示同一个函数( ) A ．()()2x x g =B ．()2x x h =C ．()x x s =D ．⎩⎨⎧<->=00x x x x y ，，2．已知函数()⎩⎨⎧≤>=030log 2x x x x f x ，，，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛41f f 的值是（ ） A ．91-B ．9-C ．91D ．93．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋)上单调递减的函数是( ) A ．B ．C ．12+-=x y D ．y ＝cosx4．已知全集=⋃≤=≤==B A x B x x A R U x 则集合},12|{},0lg |{, （ ）A ．]0,(-∞B ．]1,(-∞C ．),0[+∞D ．),1[+∞5．（5分）（2011•湖北）若定义在R 上的偶函数f （x ）和奇函数g （x ）满足f （x ）+g （x ）=e x，则g （x ）=（ ）A.e x﹣e ﹣xB.（e x+e ﹣x） C.（e ﹣x﹣e x） D.（e x﹣e ﹣x） 6．若集合{|02},{|11}A y y B x x =≤<=-<<，则R ()A C B = （ ）A ．{|01}x x ≤≤B ．{|12}x x ≤<C ．{|10}x x -<≤D ．{|01}x x ≤< 7．已知{|24}A x Z x =∈-<<，2{|1}1B x x =≥-，则()R AC B 的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．（5分）（2011•陕西）设集合M={y|y=|cos 2x ﹣sin 2x|，x ∈R}，N={x||x ﹣|＜，i 为虚数单位，x ∈R}，则M∩N 为（ ）A.（0，1）B.（0，1]C.[0，1）D.[0，1] 9．设集合}|,sin cos ||{22R ∈-==x x x y y M ，2{|||113ixN x =<-，i 为虚数单位，}R ∈x ，则M ∩N 为（ ）A ．（0，1）B ．（0，1]C ．[0，1）D ．[0，1]10．设p ：211x -≤，q:[]()(1)0x a x a --+≤，若q 是p 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B.C.()1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ D ．()1,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭11．已知下列三个命题：①棱长为2的正方体外接球的体积为43π；②如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差都改变；∞||2x y =3x第3页 共8页 ◎ 第4页 共8页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………③直线310x y -+=被圆22(1)4x y -+=截得的弦长为23． 其中真命题的序号是( )。
2023-2024高一第二学期期末数学质量检测试题参考答案与评分细则
2023-2024 学年度第二学期期末质量检测高一数学参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．题号12345678答案CDACBDDA1．【解析】由题得()()()()231151+12i i i z i i ----==-，所以z 对应的点的坐标是15,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选C ．2．【解析】零向量的方向是任意的，故A 错误；相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B 错误；当0λ<，则向量a 与a λ方向相反，故C 错误；对于D ：单位向量的模为1，都相等，故D 正确.3．【解析】因为1238,,,,x x x x 的平均数是10，方差是10，所以123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数是310232⨯+=，方差是231090⨯=.故选A ．4．【解析】【方法一】向量a 在b方向上的投影向量为()()22cos ,1,04a b b bb a a b b b⋅<>⋅===；【方法二】数形结合，由图易得选项C 正确，故选C.5．【解析】样本中高中生的人数比小学生的人数少20，所以5320543543n n -=++++，解得120n =，故选B ．6．【解析】对于选项A ，易得,αβ相交或平行，故选项A 错误；对于选项B ，,m n 平行或异面，故选项B 错误；对于选项C ，当直线,m n 相交时，//αβ才成立，故选项C 错误；对于选项D ，由线面垂直的性质可知正确，故选D.7．【解析】对于选项A ，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶，即一次试验，事件A 和事件B 可以都不发生，所以选项A 错误；对于选项B ，因为C D ⋂即两个点数都是偶数，即A 与C D ⋂可以同时发生，所以选项B 错误；对于选项C ，因为331()664P B ⨯==⨯，333()1664P D⨯=-=⨯，又()0P BD =，所以()()()P BD P B P D ≠，故选项C 错误；对于选项D ，因为()1P C D = ，所以C D =Ω ，因为必然事件与任意事件相互独立，所以B 与C D ⋃是相互独立事件，故选D ．8．【解析】因为11AC CB =，AC BC =，取AB 中点D ，则1C DC ∠为二面角1C AB C --的平面角，所以14C DC π∠=．在1Rt C DC ∆中，可得112,CD CC C D ===，又1182V AB CD CC =⋅⋅=，解得4AB =，所以AC ==.由1111A ABC B AA C V V --=得1111133ABC AA C S h S BC ∆∆⋅=⋅，代入数据求解得到点1A 到平面1ABC的距离h =，故选A ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．题号题9题10题11全部正确选项ABCBCAD9．【解析】依题意球的表面积为24πR ，圆柱的侧面积为22π24πR R R⨯⨯=，所以AC 选项正确；圆锥的侧面积为2πRR ⨯=，所以B 选项正确；圆锥的表面积为(2222π1π4πR R R R +=<，圆柱的表面积为2224π2π6πR R R +=，所以D 选项错误．故选ABC ．10．【解析】由1i z i +=-得22z =，故选项A 错误；根据复数的运算性质，易知BC 正确；根据22z -≤的几何意义求解，点Z 在以圆心为()2,0，半径为2的圆内及圆周上，所以集合M 所构成区域的面积为4π，所以D 选项错误．故选BC ．11．【解析】对于选项A ，若60A =︒，2a =，则2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc bc =+-≥，当且仅当2b c ==时，取等号，所以1sin 2ABC S bc A ==≤△，所以ABC 故选项A正确，B 错误．对于选项C ，要使满足条件的三角形有且只有两个，则sin b A a b <<，因为4a b==，所以4sin A <πsin 0,2A A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以03A π<<.故选项C 错误.对于选项D ，()cos cos a b c A B +=+等价于cos cos a b A B c +=+，即22222222a b b c a a c bc bc ac++-+-=+，对该等式通分得到()()()2222222ab a b a b c a b a c b +=+-++-，即2222322322a b ab ab ac a a b bc b +=+-++-，即3322220a b a b ab ac bc +++--=．这即为()()()()2220a b a ab b ab a b c a b +-+++-+=，由0a b +≠知该等式即为2220a b c +-=．从而条件等价于2220a b c +-=且1c =，从而该三角形内切圆半径)121122ABC ab S ab ab r a b c a b c a b ab ===++++++ 当且仅当2a b ==时等号成立，从而0r <≤2213πππ24S r ⎛⎫-=≤= ⎪ ⎪⎝⎭内切圆．验证知当2a b ==时，等号成立，所以该三角形的内切圆面积的最大值是3π4-，所以选项D 正确．故选AD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分；其中第14题的第一个空2分，第二个空3分．12．71513．a b <【注：也可以是b a >，0b a ->或a 小于b 】14．2；412．【解析】已知甲、乙两人独立的解同一道题，甲，乙解对题的概率分别是23，35，恰好有1人解对题的概率是22137353515⨯+⨯=.【注：写成有限小数不给分】13．【解析】由平均数在“拖尾”的位置，可知a b <．14．【解析】（1）13E ABC ABC V S EB -∆=⋅，在ABC ∆中，由余弦定理可知，1cos 8BAC ∠=，所以sin 8BAC ∠==，所以113772413282E ABC V -=⨯⨯⨯⨯⨯=.（2）作BH AC ⊥，垂足为H ，作1111B H AC ⊥，垂足为H 1，易证棱1BB 在平面11ACC A 上的射影为1HH ，则点E 在平面11ACC A 上的射影1E 在线段1HH 上，由（1）知，1cos 8BAC ∠=，故128AH AH AB ==，解得14AH =，故BH =，则1EE =，设AF 的中点为1Q ，外接球的球心为Q ，半径为1R ，则1QQ ⊥平面11ACC A ，即11//QQ EE ，在1Rt FQQ中，222211QF R QQ ==+①，又因为222211114QE R QQ Q E ⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭②，由①②可得211131216QQ Q E =+，所以当11Q E 取最小值时，1QQ 最小，即1R 最小，此时111Q E HH ⊥，因为1Q 是AF 的中点，则1E 是1HH 的中点，则E 是棱1BB 的中点．因为11//AA BB ，所以直线EF 与1BB 所成角即为直线EF 与1AA 所成角．由1111cos 8A CB =∠，再由余弦定理可得1B F 因为11EB =，所以EF =11cos 4E FEB B EF =∠=．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分，其中第（1）小问6分，第（2）小问7分。
高一数学考试试题及答案
高一数学考试试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=2x+1，则f(-1)的值为：A. -1B. 1C. 3D. -3答案：A2. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B3. 函数y=x^2-4x+3的顶点坐标为：A. (2,-1)B. (2,1)C. (-2,1)D. (-2,-1)答案：A4. 圆的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=25，则圆心坐标为：A. (2,3)B. (-2,-3)C. (-2,3)D. (2,-3)答案：A5. 直线y=2x+3与x轴的交点坐标为：A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (0, -3/2)D. (0, 3/2)答案：B6. 函数y=|x|的图像是：A. 一条直线B. 两条直线C. 一条曲线D. 两条曲线答案：B7. 已知等差数列{an}的前三项分别为2, 5, 8，则该数列的公差为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B8. 函数y=sin(x)的周期为：B. 2πC. π/2D. 4π答案：B9. 已知向量a=(3, -4)，b=(2, 5)，则a·b的值为：A. -1B. 11C. -11D. 1答案：C10. 圆的方程为x^2+y^2-6x+8y-24=0，则该圆的半径为：A. 2B. 4C. 6D. 8答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数y=3x-2的反函数为______。
答案：y=(1/3)x+2/312. 已知等比数列{bn}的前三项分别为3, 6, 12，则该数列的公比为______。
13. 若a, b, c是三角形的三边长，且满足a^2+b^2=c^2，则该三角形为______三角形。
答案：直角14. 函数y=1/x的图像在第二象限内是______的。
答案：递减15. 已知向量a=(4, 1)，b=(2, -3)，则|a+b|的值为______。
高一数学必修一试题(带答案)
高中数学必修1检测题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）与第Ⅱ卷（非选择题）两部分、共120分，考试时间90分钟、第Ⅰ卷（选择题，共48分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分、 在每小题给出得四个选项中，只有一项就是符合题目要求得、1．已知全集(}.7,5,3,1{},6,4,2{},7.6,5,4,3,2,1{ A B A U 则===B C U ）等于 （ ）A ．{2，4，6}B ．{1，3，5}C ．{2，4，5}D ．{2，5}2．已知集合}01|{2=-=x x A ，则下列式子表示正确得有（ ） ①A ∈1 ②A ∈-}1{ ③A ⊆φ ④A ⊆-}1,1{A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．若:f A B →能构成映射，下列说法正确得有 （ ） （1）A 中得任一元素在B 中必须有像且唯一； （2）A 中得多个元素可以在B 中有相同得像； （3）B 中得多个元素可以在A 中有相同得原像； （4）像得集合就就是集合B 、A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4、如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减，那么实数a 得取值范围就是 （ ）A 、3a -≤B 、3a -≥C 、a ≤5D 、a ≥5 5、下列各组函数就是同一函数得就是 （ ）①()f x =()g x =()f x x =与()g x =； ③0()f x x =与01()g x x=；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--。
A 、①② B 、①③ C 、③④ D 、①④6．根据表格中得数据，可以断定方程02=--x e x 得一个根所在得区间就是 （ ）A ．（－1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3）7．若=-=-33)2lg()2lg(,lg lg yx a y x 则 （ ）A ．a 3B ．a 23C ．aD ．2a 8、 若定义运算ba ba b aa b<⎧⊕=⎨≥⎩，则函数()212log log f x x x =⊕得值域就是（ ） A [)0,+∞ B (]0,1 C [)1,+∞ D R9．函数]1,0[在x a y =上得最大值与最小值得与为3，则=a （ ）A ．21 B ．2 C ．4 D ．41 10、 下列函数中，在()0,2上为增函数得就是（ ）A 、12log (1)y x =+ B、2log y =C 、21log y x = D、2log (45)y x x =-+ 11．下表显示出函数值y 随自变量x 变化得一组数据，判断它最可能得函数模型就是（ ）A ．一次函数模型B ．二次函数模型C ．指数函数模型D ．对数函数模型12、下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好得顺序为 （ ）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于就是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只就是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。
高一数学必修一期末检测试题（含答案）
16 A、 (- , +¥)
3
B、 (-¥, -4]
16 C、 (- , -4]
3
D、 (-¥, -1) (3, +¥)
1
10、已知函数
f
(x) 满足：当 x
³
4 时， f
(x)
= ( )x ；当 x 2
<
4 时， f
(x) =
f
(x +1) ，则
f
(2
+log
3)2
=
；
二、填空题（本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分）
C、x
=
ìíî16500t,-05£t,t
£ 2.5 x > 3.5
ìï60t, 0 £ t £ 2.5 D、x = í150, 2.5 < t £ 3.5
ïî150 - 50(t - 3.5), 3.5 < t £ 6.5
2
9、已知方程 x + 2mx - m +12 = 0 的两个根都大于 2，则实数 m 的取值范围是 （ ）
11、已知 0 < a < 1，方程 a x = loga x 的实数根个数是
个；
-1
1
12、设 f (x) = 10x - 2 ，则 f - (98) =
；
2
13、二次函数 y = ax + bx + c (x ÎR) 的部分对应值如下表：
x
-3 -2 -1
0
1
2
3
4
y
6
0 -4 -6 -6 -4
3 时， f (x) > 0 ；
（1）求 f (0) 的值；
高一数学必修1综合测试题3套(附答案)
高一数学综合检测题（1）一、选择题：（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．已知集合M ⊂≠{4,7,8},且M 中至多有一个偶数,则这样的集合共有 ( )(A)3个 (B) 4个 (C) 5个 (D) 6个2．已知S={x|x=2n,n ∈Z}, T={x|x=4k ±1,k ∈Z},则 （ ） (A)S ⊂≠T (B) T ⊂≠S (C)S ≠T (D)S=T 3．已知集合P={}2|2,y y x x R =-+∈， Q={}|2,y y x x R =-+∈，那么PQ 等（ ）(A)（0，2），（1，1） (B){（0，2 ），（1，1）} (C){1，2} (D){}|2y y ≤4．不等式042<-+ax ax 的解集为R ，则a 的取值范围是 （ ） (A)016<≤-a (B)16->a (C)016≤<-a (D)0<a 5. 已知()f x =5(6)(4)(6)x x f x x -≥⎧⎨+<⎩，则(3)f 的值为 （ ）(A)2 (B)5 (C)4 ( D)36.函数243,[0,3]y x x x =-+∈的值域为 （ ）(A)[0,3] (B)[-1,0] (C)[-1,3] (D)[0,2] 7．函数y=(2k+1)x+b 在(-∞,+∞)上是减函数，则 （ ）(A)k>12 (B)k<12 (C)k>12- (D).k<12- 8.若函数f(x)=2x +2(a-1)x+2在区间(,4]-∞内递减，那么实数a 的取值范围为（ ）(A)a ≤-3 (B)a ≥-3 (C)a ≤5 (D)a ≥39．函数2(232)xy a a a =-+是指数函数，则a 的取值范围是 （ ）(A) 0,1a a >≠ (B) 1a = (C) 12a =( D)121a a ==或10．已知函数f(x)14x a -=+的图象恒过定点p ，则点p 的坐标是 （ ）（A ）（ 1，5 ） （B ）（ 1, 4） （C ）（ 0，4） （D ）（ 4，0）11.函数y =的定义域是 （ ）（A ）[1,+∞] (B) (23,)+∞ (C) [23,1] (D) (23,1]12.设a,b,c都是正数，且346a b c==，则下列正确的是（ ）(A) 111c ab =+ (B) 221C a b =+ (C) 122C a b =+ (D) 212c a b =+二、填空题：（每小题4分，共16分，答案填在横线上）13．已知（x,y ）在映射 f 下的象是(x-y,x+y)，则(3,5)在f 下的象是 ，原象是 。
2021-2022学年山东省聊城市聊城第一中学高一下学期数学检测试题(解析版)
2021-2022学年山东省聊城市聊城第一中学高一下学期数学检测试题一、单选题 1．若复数21iz =-+，则z =（ ）A ．2BC ．1D 【答案】B【分析】根据复数的除法运算法则，结合复数模的计算公式进行求解即可. 【详解】因为22(1)11(1)(1)i z i i i i ⋅--===---+-+--，所以z ==故选：B2．在ABC 中，已知6a =，4b =，c =C =（ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．120︒【答案】C【分析】利用余弦定理的推论计算cos C 的值，进而求出C 的值.【详解】因为6a =，4b =，c = 所以2223616281cos 22642a b c C ab +-+-===⨯⨯， 又()0,180C ︒∈，所以60C ︒=.故选：C .3．已知向量(1,2)a =，(1,0)b =，(3,4)c =．若λ为实数，(a λb +)∥c ，则λ＝（ ）. A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】B【分析】先求出a λb +的坐标，再由(a λb +)∥c ，，列方程可求得结果 【详解】因为向量(1,2)a =，(1,0)b =， 所以(1,2)(1,0)(1,2)a b λλλ+=+=+， 因为(a λb +)∥c ，(3,4)c =， 所以1234λ+=，解得12λ=，4．已知用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为182，那么原正方形的面积为（ ） A ．36 B ．362C ．72D ．722【答案】C【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积． 【详解】解：设原正方形的边长为a ，根据斜二测画法的原则可知O C a ''=，1122O A OA a ''==，高122sin 452A D O A a '''=︒==， ∴对应直观图的面积为222182a ==即272a =，故原正方形的面积为72. 故选：C.5．已知点D 是ABC 所在平面上一点，且满足12BD BC =-，则AD =（ ）A ．1122AB AC -B ．1122AB AC +C ．1322AB AC -+D ．3122AB AC -【答案】D【分析】根据向量的加法、减法法则运算即可得到答案． 【详解】解：由题意：D 为ABC 所在平面内的一点， 12BD BC =-，所以32CD CB =所以()33312222AD AC CD AC CB AC AB AC AB AC =+=+=+-=-故选：D ．6．瑞士著名数学家欧拉发现公式i cos isin x x x e =+（i 为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.被誉为数学中的“天桥”.根据欧拉公式可知，2021i4πe 表示的复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】由欧拉公式并结合三角函数的诱导公式进行计算，并结合复数的几何意义进行判断即可. 【详解】∵2021i 420212021cossin i cos 505sin 505i 4444πππππe ππ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22cossin i i 4422ππ=--=--， ∴2021i4πe表示的复数在复平面内对应的点22,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，位于第三象限. 故选：C.7．已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足0GA GB GC ++=，则G 点是三角形ABC 的（ ） A ．垂心 B ．内心C ．外心D ．重心【答案】D【分析】直接利用平面向量的线性运算和三角形重心的定义，即可判断点G 是△ABC 的重心. 【详解】因为0GA GB GC ++=，所以 GA GB GC CG +=-=.以GA 、GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD 交AB 于点O .如图所示:则CG GD =，所以13GO CO =，CO 是AB 边上的中线，所以G 点是△ABC 的重心.故选：D8．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点，则过B 、1C 、E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为（ ）A 2310 B ．298aC 232 D 210 【答案】B【分析】取11A D 中点F ，连接BE 、EF 、1C F 、1BC 、1AD ，证明出1//EF BC ，故四点B 、1C 、E 、F 共面，所以过B 、1C 、E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为等腰梯形1EFC B ，根据已知，即可求解.【详解】取11A D 中点F ，连接BE 、EF 、1C F 、1BC 、1AD ，因为11//AB C D 且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，所以，11//AD BC ，E 、F 分别为1AA 、11A D 的中点，所以，1//EF AD 且11222EF AD a ==， 所以，1//EF BC ，故B 、1C 、E 、F 四点共面，所以过B 、1C 、E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为等腰梯形1EFC B ， 其中22EF a =，12BC a =，22152BE C F AB AE a ==+=， 过点E 、F 在平面1BC FE 内分别作1BC 的垂线，垂足点分别为G 、H ，因为1BE C F =，1EBG FC H ∠=∠，12EGB FHC π∠=∠=，所以，1Rt EBG Rt FHC ≅△△，故1BG C H =，在平面1BC FE 内，因为1EG BC ⊥，1FH BC ⊥，1//EF BC ， 所以，四边形EFHG 为矩形，则2GH EF ==， 所以，1122BC EF BG C H -==， 所以，梯形1BC FE 的高22225232244a a h BE BG ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 梯形1B CFE 的面积223219228a S a ⎫=⨯=⎪⎪⎭.故选：B.9．已知非零向量a ，b ，下列说法正确的是（ ）A ．若a b =，则a b =B ．若a ，b 为单位向量，则a b =C ．若a b >且a 与b 同向，则a b >D ．a b a b +≥+【答案】A【分析】根据平面向量的定义依次判断选项即可得到答案.【详解】对于A ，若a b =，则两向量的大小相等，方向相同，故a b =成立，故A 对， 对于B ，若a ，b 都是单位向量，两向量的方向不定，故a b =不成立，故B 错， 对C ，因为两向量不能比较大小，故C 错，对于D ，根据平面向量的三角形法则a b a b +≤+成立，故D 错， 故选：A二、多选题10．下列命题正确的是（ ）A ．如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内B ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线C ．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行D ．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行 【答案】BC【分析】由公理1判断A ，由公理3判断B ，由空间中点、线、面的位置关系判断C 和D .【详解】由公理1可知，如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线一定在这个平面内，故A 错误；由公理3知，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线，故B 正确；因为过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行，所以经过这条直线且不经过已知直线的平面都与已知直线平行，即过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行，故C 正确； 一条直线平行于平面内的无数条直线，该直线与平面平行或直线在平面内，故D 错误. 故选：BC .11．已知△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，2BD DC =，下列结论正确的是（ ） A ．sin 2sin C B =B ．若30B ∠=︒，则△ABC 为直角三角形C ．若60BAC ∠=︒，则△ADC 为等边三角形D ．若30BAD ∠=︒，则△ABD 为等腰三角形【答案】ABD【分析】由已知设22BD DC x ==，BAD CAD α∠=∠=，利用正弦定理即可判断A ； 若30B =︒，结合已知得sin 2sin 1C B ==，可求得角C ，即可判断B ；若30BAD ∠=︒，则60BAC ∠=︒，结合sin 2sin C B =，求得△ABC 的内角，即可判断CD. 【详解】解：做出图形：由已知设22BD DC x ==，BAD CAD α∠=∠=， 在△ABD ，△CAD 中，由正弦定理得sin sin AD BDB α=，sin sin AD CDC α=， 两式相除得sin 2sin C BDB CD==，所以sin 2sin C B =. 对于A ，由以上可知，A 正确；对于B ，若30B =︒，结合已知得sin 2sin 1C B ==，故90C =︒，故B 正确； 对于D ，若30BAD ∠=︒，则60BAC ∠=︒，所以120C B =︒-，代入sin 2sin C B =得()sin 1202sin B B ︒-=，即sin120cos cos120sin 2sin B B B ︒-︒=，即33cos sin 22B B =，所以3tan 3B =，所以30B =︒，90C =︒，故△ABD 为等腰三角形，△ADC 为直角三角形，故C 错误，D 正确. 故选：ABD.12．如图，在透明塑料制成的长方体1111ABCD A B C D -容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列说法中正确的是（ ）A ．水的部分始终呈棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状B ．水面四边形EFGH 的面积不改变C ．棱11AD 始终与水面EFGH 平行 D ．当1E AA ∈时，AE BF +是定值 【答案】ACD【分析】从棱柱的特征平面可判断A ；由水面四边形EFGH 的面积是改变的可判断B ；由11//////A D AD CB EH ，11A D ⊄水面EFGH ，EH ⊂水面EFGH ，可判断C ；由体积是定值，高BC 为定值，则底面积EABF 为定值，可判断D .【详解】根据面面平行性质定理，可得BC 固定时，在倾斜的过程中，始终有//////AD EH FG BC ， 且平面//AEFB 平面DHGC ，故水的形状成棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状，故A 正确； 水面四边形EFGH 的面积是改变的，故B 错误；因为11//////A D AD CB EH ，11A D ⊄水面EFGH ，EH ⊂水面EFGH ， 所以11//A D 水面EFGH 正确，故C 正确；由于水的体积是定值，高不变，所以底面ABFE 面积不变， 即当E 在1AA 时，AE BF +是定值.故D 正确. 故选：ACD .三、填空题13．已知复数z 满足2z =，则34z i +-的最小值是______． 【答案】3【分析】根据绝对值不等式a b a b a b -≤+≤+，求出34z i +-的最小值即可． 【详解】∵复数z 满足2z =， ∴3434523z i i z +-≥--=-=， ∴34z i +-的最小值是3． 故答案为3．【点睛】本题主要考查了不等式的应用问题，也考查了复数的运算问题，是基础题目． 14．已知向量(),1a x =，()1,2b =-，且a b ⊥，则a b -=___________.【答案】10【分析】由垂直的坐标表示求得x ，再由模的坐标运算求解． 【详解】由a b ⊥得20a b x ⋅=-=，2x =，则(1,3)a b -=，所以221310a b -=+=．故答案为：10．15．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=__________．21. 【分析】利用余弦定理求出BC 的数值，正弦定理推出ACB ∠的余弦值，利用()cos cos 30ACB θ=∠+︒展开求出cos θ的值．【详解】解：如图所示，在ABC 中，40AB =，20AC =，120BAC ∠=︒， 由余弦定理得2222cos1202800BC AB AC AB AC =+-⋅⋅︒=， 所以7.BC =由正弦定理得21sin sin AB ACB BAC BC ∠∠=⋅=． 由120BAC ∠=知ACB ∠为锐角，故227cos 1sin ACB ACB ∠=-∠ 故()21cos cos 30cos cos30sin sin3014ACB ACB ACB θ∠∠∠=+=-=． 21.四、双空题16．球面几何是几何学的一个重要分支，在刚海､航空､卫星定位等方面都有广泛的应用.如图，A ，B ，C 是球而上不在同一大圆(大圆是过球心的平面与球面的交线)上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为AB ，BC ，CA ，由这三条劣弧组成的图形称为球面△ABC .已知地球半径为R ，北极为点N ，P ､Q 是地球表面上的两点.①若P ，Q 在赤道上，且经度分别为东经40°和东经100°，则球面△NPQ 的面积为___________.②若26NP NQ PQ ===，则球面NPQ △的面积___________. 【答案】23R π 2R π【分析】利用PQ 所在的经度求出球面三角形PNQ 面积，再利用已知可得三角形PNQ 为等边三角形，进而可以求解．【详解】解：PQ 在赤道上，且经度分别为40︒和100︒，上半球面面积为221422R R ππ⨯⨯=，球面PNQ 面积为226023603R R ππ︒⨯=︒， 当26RNP NQ PQ ==PNQ 为等边三角形， 根据题意构造一个正四面体N PQS -，如图所示： 其中心为O ，O 是高NH 的靠近H 的四等分点， 则1cos cos 3OH OH NOP HOP OP ON ∠=-∠=-=-=-， 由余弦定理可得：22222221cos 223ON OP PN R PN NOP ON OP R +--∠===-⋅， 解得26PN ，正好为题目所给的长度， 所以球面PNQ 的面积为22144PNQS R R ππ=⨯=， 故答案为：23R π；2R π．五、解答题17．如图所示，在三棱柱111ABC A B C －中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，11A B ，11A C 的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面1EFA ∥平面BCHG ． 【答案】(1)证明详见解析 (2)证明详见解析【分析】（1）通过证明//BC GH 来证得,,,B C H G 四点共面. （2）通过面面平行的判定定理来证得平面1EFA ∥平面BCHG . 【详解】（1）由于,G H 分别是1111,A B AC 的中点，所以11//GH B C ， 根据三棱柱的性质可知，11//BC B C ， 所以//BC GH ，所以,,,B C H G 四点共面.（2）由于,E F 分别是,AB AC 的中点，所以//BC EF ，由于EF ⊂/平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ，所以//EF 平面BCHG .根据三棱柱的性质可知11//,AG BE AG BE =， 所以四边形1BEA G 是平行四边形，所以1//A E BG ，由于1A E ⊂/平面BCHG ，BG ⊂平面BCHG ，所以1//A E 平面BCHG . 由于11,,EF A E E EF A E ⋂=⊂平面1EFA ，所以平面1EFA ∥平面BCHG .18．已知复数()()2204332i z a a a a =-++-+（i 为虚数单位，a R ∈）为纯虚数，0z 和实数b 是关于x 的方程()232i 6i 0x x -++=的两个根.（1）求a ，b 的值；（2）若复数z 满足i z a b =+，说明在复平面内z 对应的点Z 的集合是什么图形？并求该图形的面积.【答案】（1）3a =，3b =；（2）在复平面内z 对应的点Z的集合是以原点为圆心，以为圆，18S π=.【分析】（1）根据纯虚数的定义求得a ，再根据0z 和实数b 是关于x 的方程()232i 6i 0x x -++=的两个根结合韦达定理即可求得b ；（2）设()i,,z x y x y R =+∈，根据i z a b =+，即可求得在复平面内z 对应的点Z 的轨迹，从而得出答案.【详解】解：（1）∵复数()()2204332i z a a a a =-++-+（i 为虚数单位，a R ∈）为纯虚数，∴22430320a a a a ⎧-+=⎨-+≠⎩，解得3a =， ∴02i z =，由韦达定理可得，0032i 6i z b z b +=+⎧⎨=⎩，解得3b =； （2）∵复数z 满足i z a b =+，∴z =设()i,,z x y x y R =+∈，则有2218x y +=，∴在复平面内z 对应的点Z的集合是以原点为圆心，以为∴218S πr π==.19．已知ABC的面积为①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：条件①6a =，1cos 3=-C ；条件②：A C =，7cos 9B =-. (1)b 和c 的值.(2)sin()A B -的值.【答案】(1)若选①：2b =，c =②：8b =，c =(2)若选①；若选②：2327-.【分析】若选择条件①：(1)利用同角三角函数基本关系式可求sin C 的值，利用三角形的面积公式可求a ，b 的值，进而根据余弦定理可求c 的值．(2)由正弦定理可求sin A ，sin B 的值，利用同角三角函数基本关系式可求cos A ，cos B 的值，进而根据两角差的正弦公式即可求解sin()A B -的值．若选择条件②：(1)由题意可得a c =，利用同角三角函数基本关系式可求sin B ，利用三角形的面积公式可求a ，c 的值，根据余弦定理可求b 的值．(2)由正弦定理可求sin A ，利用同角三角函数基本关系式可求cos A ，利用两角差的正弦公式即可求解sin()A B -的值．【详解】（1）若选择条件①：在ABC 中，∵1cos 3=-C ，∴(,)2C ππ∈，sin C∵1sin 2S ab C ==6a =，∴2b =，由余弦定理，2222cos 48c a b ab C =+-=， ∴c =若选择条件②：在ABC 中，∵A C =，∴a c =．∵7cos 9B =-，∴(,)2B ππ∈，sin B ==，∵211sin 22S ac B c ===∴a c ==由余弦定理，2222cos 64b a c ac B =+-=，∴8b =；（2）若选择条件①：由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，可得62sin sin A B =，∴sin A =sin B ， ∵,(0,)2A B π∈，∴cos Acos B ，∴sin()sin cos cos sin A B A B A B -=-. 若选择条件②： 由正弦定理得sin sin a b A B =，∴1sin sin 3aA B b ==， ∵(0,)2A π∈，∴cos 3A ==∴1723sin()sin cos cos sin ()3927A B A B A B -=-=⨯-=-． 20．已知向量a 与b 的夹角为34πθ=，且3a =，22b =. （1）若2ka b +与34a b +共线，求k ；（2）求a 与a b +的夹角的余弦值.【答案】（1）32；（2. 【分析】（1）可设()234ka b a b λ+=+，可得出关于λ、k 的方程组，解出这两个未知数即可得解；（2）计算出()a a b ⋅+、a b +的值，利用平面向量的数量积可求得a 与a b +的夹角的余弦值.【详解】（1）若2ka b +与34a b +共线，则存在λ，使得()234ka b a b λ+=+即()()3240k a b λλ-+-=， 又因为向量a 与b 不共线，所以30240k λλ-=⎧⎨-=⎩，解得1232k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以32k =； （2）cos 36a b a b θ⎛⋅=⋅=⨯=- ⎝⎭， 222912a b a a b b +=+⋅+=- ()296cos ,35a ab a a ba ab a a b a a b ⋅++⋅-<+>====⋅++21．如图一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知大圆锥轴截面是等边三角形，设球的半径为R ，圆锥底面半径为r .（1）试确定R 与r 的关系；（2）若小圆锥､大圆锥的侧面积为1S ､2S ，球的表面积为3S ，求123::S S S ；（3）求出两个圆锥的总体积（即体积之和）与球的体积之比.【答案】（1）3R r =；（2）123::3S S S =；（3）3:8. 【分析】（1）根据题意分析出△ABC 为直角三角形，及30ABC ∠=︒，进而得到答案；（2）由题意，求出大小圆锥的母线长，进而算出它们的侧面积，再求出球的表面积，最后得到答案；（3）根据（1），求出圆锥体积之和与球的体积，进而得到答案.【详解】（1）由几何体的特征，得到△ABC 为直角三角形，由于大圆锥的轴截面为等边三角形， 故30ABC ∠=︒，所以：AC R =，3BC R ，所以32BC R r == （2）球心到圆锥底面的距离12R OO =，所以小圆锥的高为22R R R -=， 故小圆锥的母线长为R 3R ，所以213πS R =，2232πS R =⋅，234S πR =⋅，故123::3S S S .（3）由（1）得：两个圆锥的体积和为321232R r R ππ⋅⋅⋅=，球的体积为343R π. 故两个圆锥的体积和为32πR ；体积之比为：334:3:823R R ππ=. 22．如图，某市政府计划在长为1km 的道路AB 一侧的一片区域内搭建一个传染病预防措施宣传区.该区域由直角三角形区域ABC （ACB ∠为直角）和以BC 为直径的半圆形区域拼接而成.点P 为半圆弧上的一点（异于B ､C ），CH AB ⊥.设,62ππA θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭.（1）为了让更多的市民看到宣传内容，达到最佳宣传效果，需满足CAB PBC ∠=∠，且CA CP +达到最大值.求θ为何值时，CA CP +最大，最大值为多少？（2）为了让宣传栏达到最佳稳定性，更加耐用，需满足π3PBA ∠=，且CH CP +达到最大值.问当θ为何值时，CH CP +取得最大值.【答案】（1）3πθ=时，AC CP +的最大值为54；（2）512πθ=. 【分析】（1）由题意得BAC PBC θ∠=∠=，则cos AC θ=，2sin PC θ=，再结合平方关系及二次函数的最值即可出答案；（2）在直角△ABC 中，由1122ABC S CA CB AB CH =⋅⋅=⋅，得sin cos CH θθ=，在直角△PBC 中，sin sin 6πPC θθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用三角恒等变换结合正弦函数的性质即可得出答案. 【详解】解：（1）由题意得BAC PBC θ∠=∠=，1AB =千米，则在直角△ABC 中，cos AC θ=，sin BC θ=，在直角△PBC 中，2sin sin PC BC θθ=⋅=，2cos cos 1AC CP θθ+=-++，,62ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以当1cos 2θ=，即3πθ=时，AC CP +的最大值为54； （2）在直角△ABC 中，由1122ABC SCA CB AB CH =⋅⋅=⋅， 解得sin cos sin cos 1θθCH θθ==， 在直角△PBC 中，sin sin sin 326πππPC BC θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以31sin cos sin cos 2CH CP θθθθθ⎫+=+-⎪⎪⎝⎭，,62ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故23131cos 21sin cos sin cos 222θCH CP θθθθθ-++=+11sin 22sin 2423πθθθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以当512πθ=时，CH CP +.。
2024-2025学年河南省郑州市高一上学期期中数学质量检测试卷(含解析)
考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章～第三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2024-2025学年河南省郑州市高一上学期期中数学质量检测试卷.1. 已知(){}(){},3,,1A x y x y B x y x y =+==-=∣∣，则A B = （ ）A. 2,1x y ==B. ()2,1 C.(){}2,1 D. {}2,1【答案】C 【解析】【分析】利用交集定义即可求得A B⋂【详解】由31x y x y +=⎧⎨-=⎩，可得21x y =⎧⎨=⎩则A B =(){}(){},3,1x y x y x y x y +=⋂-=∣∣()(){}3=,=2,11x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭∣故选：C2. 已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列说法正确的是（ ）A. 若a b >，c d >，则a c b d +>+ B. 若a b >，c d >，则a c b d ->-C. 若a b >，c d >，则ac bd > D. 若ac bc >，则a b>【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质，结合举反例的方法，可得答案.【详解】对于A ，根据同向不等式具有可加性可知A 正确；对于B ，21a b =>=，24c d =->=-，但45a c b d -=<-=，故B 错误；对于C ，21a b =>=，24c d =->=-，但44ac bd =-==-，故C 错误；对于D ，当0c <时，由ac bc >，得a b <，故D 错误．故选：A ．3. 下列函数中，与函数2y x =+是同一函数的是（ ）A. 22y =+B. 2y =+C. 22x y x=+ D.y =【答案】B 【解析】【分析】通过两个函数三要素的对比可得答案.【详解】2y x =+的定义域为R ．对于A ，22y =+的定义域为[)0,+∞，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于B ，22y x =+=+定义域为R ，与2y x =+的定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于C ，22x y x=+的定义域为{}0x x ≠，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于D，2,2,22,2x x y x x x +≥-⎧==+=⎨--<-⎩与2y x =+对应关系不同，不是同一函数．故选：B ．4. 已知p ：0a b >> q ：2211a b<，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据0a b >>与2211a b <的互相推出情况判断出属于何种条件.【详解】当0a b >>时，220a b >>，所以2211a b<，所以充分性满足，当2211a b<时，取2,1a b =-=，此时0a b >>不满足，所以必要性不满足，所以p 是q 的充分不必要条件，的故选：A.5. 已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，则()()03f f +等于（ ）A. 3- B. 1- C. 1D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据(3)f (3)f =--以及(0)0f =可求出结果.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，所以()()()33321f f =--=--+=．而()00f =，∴()()031f f +=．故选：C ．6. 若0x <，则1x x+（ ）A 有最小值―2B. 有最大值―2C. 有最小值2D. 有最大值2【答案】B 【解析】【分析】运用基本不等式求解即可.【详解】因为0x <，则0x ->，所以1()()2x x -+≥=-，当且仅当1x x -=-即：=1x -时取等号.所以12x x+≤-，当且仅当=1x -时取等号.故选：B.7. 已知函数()f x 的图象由如图所示的两条曲线组成，则（ ）A. ()()35ff -= B. ()f x 是单调增函数.C. ()f x 的定义域是(][],02,3∞-⋃D. ()f x 的值域是[]1,5【答案】D 【解析】【分析】根据函数的图象，结合函数求值、函数单调性、定义域与值域，可得答案.【详解】对于选项A ，由图象可得()32f -=，所以()()()321ff f -==，A 错误；对于选项B ，()04f =，()21f =，()()02f f >，故()f x 不是单调增函数，B 错误；对于选项C ，由图象可得()f x 的定义域为[][]3,02,3-⋃，C 错误；对于选项D ，由图象可得()f x 的值域为[]1,5，D 正确．故选：D ．8. 若定义域为R 的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =，则满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是（ ）A. [][)2,02,-⋃+∞ B. ][3,10,1⎡⎤--⋃⎣⎦C. [)[)2,02,-⋃+∞ D. [)(]2,00,2-U 【答案】D 【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，由20)(x f x x≥可得()0xf x ≥且0x ≠可得020x x <⎧⎨-≤<⎩或002x x >⎧⎨<≤⎩解得20x -≤<或02x <≤，所以满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是[)(]2,00,2-U ，故选：D .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（ ）A. y =B. 2y x =C. yD. 1y x=【答案】BC 【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性逐项分析判断.【详解】对A ：=y =在定义域内为奇函数，又∵y =在R 上单调递增，5u x =在R 上单调递增，则y =在R 上单调递增，A 错误；对B ：∵()22x x -=，则2y x =在定义域内为偶函数，且在()0,∞+内单调递增，B 正确；对C ：y又∵当()0,x ∈+∞，y 在()0,∞+内单调递增，C 正确；对A ：∵11=--x x ，则1y x =在定义域内为奇函数，且1y x=在()0,∞+内单调递减，D 错误；故选：BC.10. 下列关于幂函数y x α=的说法正确的是（ ）A. 幂函数的图象都过点()0,0，()1,1B. 当1,3,1α=-时，幂函数的图象都经过第一、三象限C. 当1,3,1α=-时，幂函数是增函数D. 若0α<，则幂函数的图象不过点()0,0【答案】BD 【解析】【分析】由幂函数的性质逐个判断即可.【详解】对于A ，当0α<时，幂函数的图象不通过点()0,0，A 错误；对于B ，幂指数1,3,1α=-时，幂函数分别为y x =，3y x =，1y x -=，三者皆为奇函数，图象都经过第一、三象限，故B 正确；对于C ，当1α=-时，幂函数1y x -=在(),0∞-，(0,+∞)上皆单调递减，C 错误；对于D ，若0α<，则函数图象不通过点()0,0，D 正确．故选：BD ．11. 下列结论正确的是（ ）A. 函数21x y x+=的最小值是2B. 若0ab >，则2b a a b+≥C. 若x ∈R ，则22122x x +++的最小值为2D. 若0,0a b >>22a b ++≥【答案】BD 【解析】【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，当0x <时，可得0y <，所以A 错误；对于B 中，因0ab >，则2b a a b +≥=，当且仅当b a a b =时，即a b =时，等号成立，所以B 正确；对于C中，由221222x x ++≥=+，当且仅当22122x x +=+时，此时方程无解，即等号不成立，所以C 错误；对于D 中，因为0,0a b >>22a b ++≥≥，当且仅当a b =时，等号成立，所以D 正确.故选BD ．12. 已知函数()f x 的定义域为A ，若对任意x A ∈，存在正数M ，使得()f x M ≤成立，则称函数为()f x 是定义在A 上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（ ）A. 3()4x f x x+=- B. ()f x =C. 25()22f x x x =-+ D. ()f x 【答案】BCD 【解析】【分析】“有界函数”值域需要有界，化简各函数，并求出函数的值域，然后进行判断.【详解】对于A ，3(4)77()1444x x f x x x x+--+===-+---，由于704x ≠-，所以()1f x ≠-，所以()[)0,f x ∈+∞，故不存在正数M ，使得()f x M ≤成立.对于B ，令21u x =-，则[]0,1u ∈，()f x =，所以()[]0,1f x ∈，故存在正数1，使得()1f x ≤成立.对于C ，令2222(1)1u x x x =-+=-+，则()5f x u=，易得1u ≥.所以()5051f x <≤=，即()(]0,5∈f x ，故存在正数5，使得()5f x ≤成立.对于D ，令t =[]0,2t ∈，24x t =-，则[]()22117()40,224f x t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭，易得()1724f x ≤≤，所以()172,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故存在正数174，使得()174f x ≤成立.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知命题p ：x ∀∈Q ，x N ∈，则p ⌝为______．【答案】x ∃∈Q ，x ∉N 【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】因为p ：x ∀∈Q ，x ∈N ，所以p ⌝为x ∃∈Q ，x ∉N ．故答案为：x ∃∈Q ，x ∉N .14. 函数()1f x x=+的定义域为_____________.【答案】()(],00,1-∞⋃【解析】【分析】由题意列不等式组即可求得.【详解】要使函数()1f x x=有意义，只需10,0,x x -≥⎧⎨≠⎩解得：1x ≤且0x ≠，从而()f x 的定义域为()(],00,1-∞⋃.故答案为：()(],00,1-∞⋃15. 已知函数()f x 满足下列3个条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②函数()f x 在()0,∞+上单调递增；③函数()f x 无最值．请写出一个满足题意的函数()f x 的解析式：______．【答案】()21f x x=-（答案不唯一）【解析】【分析】结合函数的对称性、单调性及常见函数即可求解.【详解】由()f x 的图象关于y 轴对称知()f x 为偶函数，()f x 在(0,+∞)上单调递增，()f x 无最值，根据幂函数性质可知满足题意的一个函数为()21f x x=-.故答案为：()21f x x =-（答案不唯一）16. 已知函数()21x f x x=+，则不等式()211f x -<的解集是____________.【答案】()0,1【解析】【分析】由题可得()f x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，后利用()()f x f x =可得答案.【详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.的又当0x >时，()21x f x x =+2222211x x x+-==-++单调递增.因为()f x 是偶函数，所以()f x 在(),1-∞单调递减，又因为()11f =，所以()211f x -<()()211f x f ⇔-<211121101x x x ⇔-<⇒-<-<⇒<<.故答案为：()0,1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设全集U =R ，集合{}2680A x x x =-+=，31B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭．（1）求()U A B ⋃ð；（2）设集合(){}233,C x x a a x a =+=+∈Z ，若A C 恰有2个子集，求a 的值．【答案】（1）(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x = （2）2或4．【解析】【分析】（1）解方程和不等式求出集合,A B ，再由补集、并集运算即可求解；（2）解方程求出集合C ,再通过a 的讨论即可求解.【小问1详解】2680x x -+=，解得2x =或4，则{}2,4A =；由31x<，解得0x <或3x >，则{0B x x =<或}3x >；所以{}03U B x x =≤≤ð，(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x =．【小问2详解】因为A C 恰有2个子集，所以A C 仅有一个元素．()()()23330x a a x x x a +=+⇒--=，当3a =时，{}3C =，A C ⋂=∅，不满足题意；当2a =时，{}2,3C =，{}2A C ⋂=，满足题意；当4a =时，{}4,3C =，{}4A C ⋂=，满足题意．综上，a 的值为2或4．18. 已知函数()1f x x x=+．（1）求证：()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 值域．【答案】（1）证明见解析 （2）52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，结合作差法，可得答案；（2）根据（1）的单调性，求得给定区间上的最值，可得答案.【小问1详解】证明：()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，有()()()121221212121212121121211111x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-+=-+-=-+=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，得210x x ->，1210x x -<，120x x >，所以()12211210x x x x x x --⋅<，即()()21f x f x <．所以()f x 在()0,1上单调递减．同理，当()12,1,x x ∈+∞，且12x x <，有()()()1221211210x x f x f x x x x x --=-⋅>．故()f x 在()1,+∞上单调递增．【小问2详解】由（1）得()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；在[]1,2上单调递增．()12f =，()15222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()52,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故函数()f x 的值域为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．的19. 设函数()223y ax b x =+-+.（1）若关于x 的不等式0y >的解集为{}13x x -<<，求4y ≥的解集；（2）若1x =时，2,0,0y a b =>>，求14a b+的最小值.【答案】（1）{}1（2）9【解析】【分析】（1）根据不等式的解集得到方程的根，代入求出,a b ，从而解不等式求出解集；（2）先得到1a b +=，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【小问1详解】由题知()2230ax b x +-+=的两个根分别是1-，3，则23093630a b a b +-+=⎧⎨+-+=⎩，解得1,4.a b =-⎧⎨=⎩故()2223234y ax b x x x =+-+=-++≥，2210x x -+≤，解得1x =.所求解集为{}1.【小问2详解】1x =时，2y =，即12++=a b ，所以有1a b +=，那么()1414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭41459b a a b=+++≥+=，当且仅当41b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即1,323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，取等号.故14a b+的最小值为9.20. 已知集合(){}40A x x x =-≥，{}121B x a x a =+<<-．（1）若x A ∀∈，均有x B ∉，求实数a 的取值范围；（2）若2a >，设p ：x B ∃∈，x A ∉，求证：p 成立的充要条件为23a <<．【答案】（1）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据二次不等式，解得集合的元素，利用分类讨论思想，可得答案；（2）根据充要条件的定义，利用集合之间的包含关系，可得答案.【小问1详解】(){}(][)40,04,A x x x ∞∞=-≥=-⋃+．因为x A ∀∈，均有x B ∉，所以A B =∅ ．当2a ≤时，B =∅，满足题意；当2a >时，10214a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得512a -≤≤，所以522a <≤．综上，52a ≤，即a 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【小问2详解】证明：若p ：x B ∃∈，x A ∉为真命题，则p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题．先求p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为真命题时a 的范围，因为2a >，所以B ≠∅，由p ⌝：x B ∀∈，x A ∈，得B A ⊆．则210a -≤或14a +≥，解得12a ≤或3a ≥，所以3a ≥．因为p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题，所以23a <<.综上，若2a >，则p 成立的充要条件为23a <<．21. 某市财政下拨专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数1y （单位：百万元）：12710x y x =+，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数2y （单位：百万元）：20.3y x =.设分配给植绿护绿项目的资金为x （单位：百万元），两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y （单位：百万元）.（1）将y 表示成关于x 的函数；（2）为使生态收益总和y 最大，对两个生态项目的投资分别为多少？【答案】（1）27330(0100)1010x x y x x =-+≤≤+ （2）分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元【解析】【分析】（1）由题意列式化简即可；（2）将原式变形构造成对勾函数，利用对勾函数的性质求最值即可.【小问1详解】若分配给植绿护绿项目的资金为x 百万元，则分配给处理污染项目的资金为()100x -百万元，∴272730.3(100)30(0100)101010x x x y x x x x =+-=-+≤≤++.【小问2详解】由（1）得27(10)2703(1010)2703(10)306010101010x x x y x x +-+-+⎡⎤=-+=-+⎢⎥++⎣⎦6042≤-=（当且仅当2703(10)1010x x +=+，即20x =时取等号），∴分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元，生态收益总和y 最大.22. 设函数()()2*1488,,N f x mx m mn x m m n =+-++∈ .（1）若()f x 为偶函数，求n 的值；（2）若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，求m 的最大值.【答案】（1）2. （2）2.【解析】【分析】（1）根据函数为偶函数可得到14880m mn -+=，变形为714n m=+，结合*,1,N m n m ∈≥，即可确定答案.（2）根据对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，可得22(1488)40m mn m ∆=-+-≥恒成立，结合二次不等式的解法，讨论n 取值，即可确定答案.【小问1详解】根据题意，函数()()2*1488,R,,N f x mx m mn x m x m n =+-++∈∈为偶函数，即满足()()f x f x -=，即()()22()1488()1488m x m mn x m mx m mn x m -+-+-+=+-++，R x ∈，则14880m mn -+=变形可得：714n m =+ ，又由*,1,N m n m ∈≥ ，则 101m<≤ ， 故77111711,44444n m <+≤<≤∴ ，又N n *∈ ，则2n = ；【小问2详解】根据题意，若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，由于*,N 0m m ∈>，则22(1488)416[(32)2][(42)2]0m mn m m n m n ∆=-+-=-+-+≥恒成立 ，当1n = 时，32(2)(1)0m m ∆=++≥ ，对*N m ∀∈都成立， 当2n =时，32(2)0m ∆=-+≥，解得2m ≤ ，又*N m ∈，则12m ≤≤ ，当3n ≥时，21232n n <-- ，则223m n ≤- 或 12m n ≥-,当 223m n ≤- 时，又由1m ≥，则n 只能取2，不符合题意，舍去，当 12m n ≥- 时，又由1m ≥，从3n =开始讨论:令1()2g n n =-,由于1()2g n n =-单调递减，故只需1(3)132m g ≥==-，此时m 的取值范围为[1,2] ；综上所述，m 的最大值为2.。
人教版高一数学必修1测试题(含答案)
人教版高一数学必修1测试题(含答案) 人教版数学必修I测试题一、选择题（共10题，每题5分，共50分）1、设集合U={1,2,3,4,5}，A={1,2,3}，B={2,5}，则A∩(CU B)=（）A、{2}B、{2,3}C、{3}D、{1,3}2、已知集合M={0,1,2}，N={xx=2a,a∈M}，则集合MN （）A、{}B、{0,1}C、{1,2}D、{0,2}3、函数y=1+log2x，(x≥4)的值域是（）A、[2,+∞)B、(3,+∞)C、[3,+∞)D、(-∞,+∞)4、在y=1/x2，y=2x，y=x2+x，y=3x5四个函数中，幂函数有（）A、1个B、2个C、3个D、4个5、如果a>1,b<-1,那么函数f(x)=ax+b的图象在（）A第一、二、三象限 B第一、三、四象限C第二、三、四象限 D第一、二、四象限6、设集合M={x|x2-6x+5=0}，N={x|x2-5x=0}，则MN等于（）A.{}B.{5}C.{1,5}D.{-1,-5}7、若102x=25，10x则等于（）A、-15B、5C、11/50D、6258、函数y=ax+2(a且a≠1)图象一定过点()A（0,1）B（0,3）C（1,0）D（3,0）9、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟。
骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则与故事情节相吻合是（）10、若f(2x)=x2，则f(3)=（）A、9B、49/4C、9/4D、3/2二、填空题（共4题，每题4分，共16分）11、函数y=x+1+1/(2-x)的定义域为(-∞,2)U(2,∞)。
12、f(x)=x2+1,x≤0；f(x)= -2x,x>0.若f(x)=10，则x=-2.13、函数f(x)=2+log5(x+3)在区间[-2，2]上的值域是[2,3]。
高一数学测试题(较难)
一、选择题（每题5分，共30分）1. 已知集合A={x|x是实数，且|x-1|<2}，则集合A的表示方法是（）A. (-1,3)B. [-1,3]C. (-1,3]D. [-1,3)2. 已知函数f(x)=2x²-3x+1，则函数f(x)的最小值是（）A. -1/4B. -1/2C. -3/4D. -13. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，a5=9，则S10的值是（）A. 50B. 60C. 70D. 804. 已知函数f(x)=log₂(x+1)，则函数f(x)的定义域是（）A. (-∞,-1)∪(-1,+∞)B. [-1,+∞)C. (-∞,-1]∪(0,+∞)D. (-1,+∞)5. 已知向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，则向量a+2b的模是（）A. 5B. √41C. 10D. √616. 已知双曲线C: x²/a²-y²/b²=1的左、右焦点分别为F₁(-c,0)，F₂(c,0)，则双曲线C的离心率e满足（）A. e>1B. e=1C. 0<e<1D. e=0二、填空题（每空5分，共20分）1. 已知集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∪B=_____。
2. 已知函数f(x)=x³-3x²+1，则函数f(x)的单调递增区间是_____。
3. 已知数列{an}满足a₁=1，a_{n+1}=2a_n+1（n≥1），则a₆=_____。
4. 已知圆C: x²+y²-4x-6y+4=0的圆心坐标为_____。
三、解答题（每题10分，共30分）1. 已知集合A={x|x是实数，且x²-2x<3}，求集合A的表示方法。
2. 已知函数f(x)=x⁴-4x³+4x²，求函数f(x)的单调区间和极值。
3. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a₂=3，S₃=13，求通项公式an和S₆的值。
江苏省连云港市新海高级中学2024-2025学年高一上学期开学质量检测数学试题
江苏省连云港市新海高级中学2024-2025学年高一上学期开学质量检测数学试题一、单选题1．已知{|4A x x =≤-或}2x ≥，{}|24B x x =-≤≤，则A B ⋂＝（ ） A ．[]22-,B ．[]2,4-C ．[]4,4-D ．[]2,42．设集合{}03A x x =<≤，{}12B x x =-≤<，则A B =U （ ）． A ．{}02x x << B ．{}12x x -<< C ．{}03x x ≤≤D ． x −1≤x ≤33．若集合{}21A x a x a =<<-，{}13B x x =<<，且A B ⊂，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤B ．2a <C ．12a <<D ．2a ≤4．下列命题的否定是全称量词命题且为真命题的有（ ） A ．x ∃∈R ，2104x x -+< B ．所有的正方形都是矩形 C ．x ∃∈R ，2220x x ++>D ．至少有一个实数x ，使310x +=5．命题“x ∃∈R ，2ln 0x x +>”的否定是（ ） A ．x ∃∈R ，2ln 0x x +≥ B ．x ∃∈R ，2ln 0x x +< C ．x ∀∈R ，2ln 0x x +≥ D ．x ∀∈R ，2ln 0x x +≤6．已知0a b >>，114a b a b+=-+，且54a b m -≥恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],2-∞C ．9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．(],4∞-7．牛顿冷却定律（Newton's law of cooling ）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为1C θo ，环境温度为0C θo，则t 分钟后物体的温度θ（单位：C o ）满足：()010e ktθθθθ-=+-.已知环境温度为20C o ，一块面包从温度为120C o 的烤箱里拿出，经过10分钟温度降为70C o ，那么大约再经过多长时间，温度降为30C o ？（参考数据：ln20.7,ln3 1.1,ln5 1.6≈≈≈）（ ） A ．33分钟B ．28分钟C ．23分钟D ．18分钟8．已知,x y 为正实数，且1x y +=，则21x y xy++的最小值为（ ）A ．1B ．1C ．5D ．5二、多选题9．设U 为全集，集合,,A B C 满足条件A B A C ⋃=⋃，那么下列各式中不一定成立的是（ ） A ．B A ⊆ B ．C A ⊆C ．()()U UA B A C =I I痧 D ．()()U U A B A C ⋂=⋂痧10．对任意,A B ⊆R ，记{},A B xx A Bx A B ⊕=∈⋃∉⋂，并称A B ⊕为集合,A B 的对称差．例如：若{}{}1,2,3,2,3,4A B ==，则{}1,4A B ⊕=．下列命题中，为真命题的是（ ）A ．若,AB ⊆R 且A B B ⊕=，则A =∅ B ．若,A B ⊆R 且A B ⊕=∅，则A B =C ．若,A B ⊆R 且A B A ⊕⊆，则A B ⊆D ．存在,A B ⊆R ，使得A B A B ⊕≠⊕R R 痧 11．下列说法不正确的是（ ）A ．“a b <”是“11a b>”的必要不充分条件 B ．若1x y +=，则xy 的最大值为2C ．若不等式20ax bx c ++>的解集为()12,x x ，则必有a<0D ．命题“x ∃∈R ，使得210x +=．”的否定为“x ∀∉R ，使得210x +≠．” 12．已知0,0a b >>，且1a b +=，则（ ）A ．ab 的最小值是14B ．222a b +最小值为23C D ．12a a b+的最小值是1三、填空题13．设A 、B 是非空集合，定义*{A B x x A B =∈U ∣且}x A B ∉I .已知{}03A x x =≤≤∣，{}1B x x =≥∣，则*A B =.14．已知集合{R }A x x a =∈<，{}N 6,N B x tx t =∈=∈，若A B B =I ，则实数a 的取值范围是．15．已知236log log log 5a b ==，则ab =．16．设0a b c >,,的最大值为.四、解答题17．设集合{23}P xx =-<<∣，{31}Q x a x a =<≤+∣； (1)若Q P ⊆，求实数a 的取值范围； (2)若P Q ⋂=∅，求实数a 的取值范围．18．已知集合{}22|123A x a x a =-≤≤+，{}|14B x x =-≤≤，全集U =R .(1)当1a =时，求()U A B I ð；(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围. 19．（1）已知56log 7a =，计算56log 8和56log 98的值；（2）已知lg20.3010=，lg30.4771=，求 20．（1）设3436a b ==，求21a b +的值；（2）已知35a b c ==，且112a b+=，求c 的值．21．中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出x 万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本()V x （单位：万元），已知当05x <≤时，()125V x =；当520x <≤时，()240100V x x x =+-；当20x >时，()160081600V x x x=+-，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出. (1)已知2024年该型芯片生产线的利润为()P x （单位：万元），试求出()P x 的函数解析式. (2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.22．设n 为正整数，集合{}{}12|(,,,),1,0,1,1,2,,n k A t t t t k n αα==∈-=L L ．对于集合A 中的任意元素12()n x x x α=L ,,,和12()n y y y β=L ,,,，记1122()||||||n n M x y x y x y αβ=+++L ,．(1)当3n =时，若()1,1,0α=-，(011)β=,,，求()M αα,和()M αβ,的值； (2)当4n =时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素αβ,，当αβ,相同时，()M αβ,是奇数；当αβ,不同时，()M αβ,是偶数．求集合B 中元素个数的最大值； (3)给定不小于2的n ，从集合A 中任取2n +个两两互不相同的元素1212n n αααα++L ,,,,．证明：存在(12)i j i j n ≤<≤+,，使得()1i j M αα≥,．。
2023-2024学年广西桂林市高一上学期10月月考质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年广西桂林市高一上册10月月考数学试题一、单选题1．下列关系中，正确的是（）A ．-2∈N +B ．32∈Z C ．π∉Q D ．5∉N【正确答案】C【分析】根据自然数集、正整数集、整数集以及有理数集的含义判断数与集合关系.【详解】对于A ，-2是负整数，则-2∉N +，A 错误；对于B ，32是分数，则32∉Z ，B 错误；对于C ，π是无理数，则π∉Q ，C 正确；对于D ，5是正整数，则5∈N ，D 错误；故选：C2．已知{}31,,2a a ∈-，则实数a 的值为（）A ．3B ．5C ．3或5D ．无解【正确答案】B【分析】根据元素与集合关系分类讨论，并验证集合的互异性，即可求解.【详解】因为{}31,,2a a ∈-，当3a =时，21a -=，不符合集合的互异性，故3a =舍去；当23a -=时，5a =，集合为{}1,3,5，符合集合互异性，故5a =.故选：B3．集合{}|12A x x =-<<，{}|01B x x =<<，，则（）A ．B A ∈B ．A B ⊆C ．B A ⊆D ．A B=【正确答案】C由集合间的包含关系即可判断.【详解】解：{}|12A x x =-<< ，{}|01B x x =<<，B A ∴⊆.故选：C.4．设集合{}{}2,3,5,1,2,4,6A B ==，则韦恩图中阴影部分表示的集合的真子集个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【正确答案】B 【分析】根据图形求出集合中的元素，再根据真子集个数公式21n -求解即可.【详解】由图可知，韦恩图中阴影部分表示的集合中的元素属于集合A ，但不属于B ，因为{}{}2,3,5,1,2,4,6A B ==，所以阴影部分表示的集合为{}3,5，所以其真子集个数为2213-=.故选：B.5．命题“R x ∃∈，2220x x -+”的否定是（）A ．R x ∃∈，2220x x -+B ．R x ∃∈，2220x x -+>C ．R x ∀∈，2220x x -+>D ．R x ∀∈，2220x x -+【正确答案】C【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可；【详解】解：命题“R x ∃∈，2220x x -+”为存在量词命题，其否定为：R x ∀∈，2220x x -+>；故选：C6．已知全集R U =，集合{(1)(2)0}M x x x =-+≥∣，{13}N x x =-≤≤∣，则()U M N ⋂=ð（）A ．[1,1)-B ．[1,2]-C ．[2,1]--D ．[1,2]【正确答案】A 【分析】先由一元二次不等式的解法求得集合M ，再由集合的补集、交集运算求得答案.【详解】解：由题意可得：由(1)(2)0x x -+≥得1x ≥或2x ≤-，所以(][)21M =-∞-+∞ ，，，则：()C 2,1U M =-，又{13}N x x =-≤≤∣，所以()U M N ⋂=ð[)1,1-.故选：A ．7．“2x >”是“24x >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A 解不等式24x >后，根据集合的包含关系可得解.【详解】因为24x >等价于2x >或<2x -，所以“2x >”是“24x >”的充分不必要条件.故选：A结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．8．若,,R a b c ∈且a b >，则下列不等式成立的是（）A ．22a b >B ．11a b <C ．a c b c>D ．2211a b c c >++【正确答案】D【分析】对于ABC ，举反例排除即可；对于D ，利用不等式的性质即可判断.【详解】对于A ，令2,3a b ==-，则a b >，但22a b <，故A 错误；对于B ，令2,3a b ==-，则a b >，但11a b>，故B 错误；对于C ，令0c =，则a c b c =，故C 错误；对于D ，因为2c ≥0，则210c +>，即2101c >+，又a b >，所以2211a b c c >++，故D 正确.故选：D.9．已知不等式210ax bx --≥的解集是11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则不等式20x bx a --<的解集是A ．()2,3B ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,,32⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()3,2--【正确答案】D【详解】∵不等式ax2﹣bx ﹣1≥0的解集是1132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，∴a ＜0，∴方程ax2﹣bx ﹣1=0的两个根为12，13，﹣b a -=12+13，1a -=16，∴a=﹣6，b=﹣5，∴x2﹣bx ﹣a ＜0，∴x2+5x+6＜0，∴（x+2）（x+3）＜0，∴不等式的解集为：()3,2--．故选D点睛：（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类．10．当x R ∈时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是A ．(0,)+∞B ．[)0,∞+C ．[)0,4D ．（0，4）【正确答案】C【详解】当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式210kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点，则20 40k k k >⎧⎨=-<⎩ 解得：04k <<，综上k 的取值范围是[)0,4，故选C.11．已知集合{|135}A x a x a =+≤≤-，{|322}B x x =<<，且A B A = ，则实数a 的取值范围是（）A ．(,9]-∞B ．(,9)-∞C ．[2,9]D ．(2,9)【正确答案】B 由A B A = 得到A B ⊆，建立不等式，即可求出a 的取值范围．【详解】解： {|135}A x a x a =+≤≤-，{|322}B x x =<<，且A B A= 所以A B ⊆，当A =∅时，135a a +>-解得3a <；当A ≠∅时，∴352213513a a a a -<⎧⎪+≤-⎨⎪+>⎩解得39a ≤<9a ∴<故选：B本题考查集合的包含关系，考查解不等式，属于基础题．12．已知0,0,31x y x y >>+=，若23124m m x y +>++恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．{}24m m -<<B ．{}42m m -<<C ．{4m m <-或}2m >D ．{2m m <-或}4m >【正确答案】B 【分析】利用基本不等式可得3112x y +≥，由条件可知22412m m ++<即求.【详解】∵0,0,31x y x y >>+=，∴31319()(3)6612yxx y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当9yxx y =即3x y =取等号，由23124m m x y +>++恒成立，∴22412m m ++<，∴42m -<<.故选：B.二、多选题13．若集合{}{}1,2,3,41,2,3,5A B =-=，，则（）A ．{}2,3AB ⋂=B ．{}1,1,2,3,4,5A B =- C ．A B ⊆D ．A B A B= 【正确答案】AB【分析】利用集合的交并运算与子集的概念，对选项逐一分析即可.【详解】对于AB ，因为{}{}1,2,3,41,2,3,5A B =-=，，所以{}2,3A B ⋂=，{}1,1,2,3,4,5A B =- ，故AB 正确；对于C ，因为1A -∈，但1B -∉，所以A B ⊆不成立，故C 错误；对于D ，由选项AB 易知A B A B ⋂≠⋃，故D 错误.故选：AB.14．已知,a b ∈R ，则下列叙述中正确的是（）A ．若a b >，则11a b<B ．函数y ＝x ＋2m x -(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为4C ．“1a >”是“2a a >”的充分不必要条件D ．命题“1a ∀≥，210a -≥”的否定是“1∃<a ，210a -<”【正确答案】BC【分析】利用赋值法可判断选项A ，利用基本不等式可以判断选项B ，根据充分条件和必要条件的可判断选项C ，根据全称命题的否定可判断选项D.【详解】当1a =，1b =-时，满足a b >，而11a b<不成立，选项A 错误.由2x >，0m >，由基本不等式，2222m y x x =-++≥++-，当2x =+时取等号，又函数(2)2m y x x x =+>-的最小值为6.26+=，则正数m 的值为4，选项B 正确.当1a >时，2(1)0a a a a -=->，即2a a >，故充分性成立当2a a >时，有a<0或1a >，故1a >不一定成立，故必要性不成立，“1a >”是“2a a >”的充分不必要条件，选项C 正确.命题“1a ∀≥，210a -≥”的否定是“1a ∃≥，210a -<”，故选项D 错误.故选：BC15．已知不等式20ax bx c ++>的解集为1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则下列结论正确的是（）A ．0a >B ．0b >C ．0c >D ．0a b c ++>【正确答案】BCD 【分析】对A ，根据一元二次方程与一元二次函数的关系即可判断；对B ，C ，利用韦达定理即可判断；对D ，根据韦达定理以及0b >，即可求解.【详解】解：对A ， 不等式20ax bx c ++>的解集为1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，故相应的二次函数2y ax bx c =++的图象开口向下，即a<0，故A 错误；对B ，C ，由题意知：2和12-是关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根，则有12()102c a =⨯-=-<，132()022b a -=+-=>，又0a < ，故0,0bc >>，故B ，C 正确；对D ，1c a=- ，0a c ∴+=，又0b > ，0a b c ∴++>，故D 正确.故选：BCD.三、填空题16．设2251,41M a a N a a =-+=+-，则M 与N 的大小关系为：M ______N （用“<”、“=”、“>”填写）.【正确答案】>【分析】利用作差法与配方法即可得解.【详解】因为2251,41M a a N a a =-+=+-，所以()()222251410N a a M a a a a a -++=--=--+-+>=，所以M N >.故答案为.>17．不等式2680x x -+->的解集为_____．【正确答案】()2,4（或写成{|24}x x <<）【分析】根据一元二次不等式的解法解不等式即可．【详解】原不等式等价于：2680x x -+<即()()240x x --<，可得{|24}x x <<．故答案为()2,4（或写成{|24}x x <<）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．18．若()1,x ∈+∞，则131y x x =+-的最小值是_____．【正确答案】3+【分析】由已知可知()11y 3x 3x 13x 1x 1=+=-++--，然后利用基本不等式即可求解．【详解】解：x 1> ，()11y 3x 3x 13x 1x 1∴=+=-++--33≥+=+，（当且仅当13x =+取等号）故答案为3+．本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题．19．已知2,:20p x a q x x ≥-->:，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是______.【正确答案】()2,+∞【分析】先化简条件q ，再充分不必要条件的性质得到集合间的关系，从而利用数轴法即可得解.【详解】由220x x -->，得1x <-或2x >，所以2:20q x x -->等价于1x <-或2x >，因为p 是q 的充分不必要条件，所以{}x x a ≥是{1x x <-或}2x >的真子集，所以2a >，即()2,a ∈+∞.故()2,+∞20．若关于x 的不等式2420x x a --->在区间[]1,4内有解，则a 的取值范围是_________.【正确答案】(),2-∞-【分析】将问题转化为242a x x <--在区间[]1,4内有解，从而求得()242f x x x =--的最大值即可得解.【详解】因为2420x x a --->在区间[]1,4内有解，所以242a x x <--在区间[]1,4内有解，令()242f x x x =--，则()f x 开口向上，对称轴为2x =，所以()f x 在[)1,2上单调递减，在(]2,4上单调递增，又()2114125f =-⨯-=-，()2444422f =-⨯-=-，故()max 2f x =-，所以2a <-，即(),2a ∈-∞-.故答案为.(),2-∞-四、解答题21．已知集合{}260A x x x =--≤，{}04,|B x x R =<<为实数集.（1）求A B ⋃；（2）求()R A B ð.【正确答案】（1）{}24x x -≤<；（2）{}20x x -≤≤.【分析】先求解一元二次不等式得集合A ，（1）根据并集定义求解即可；（2）先求B R ð，再求()R A B ð即可.【详解】()1由26230()()x x x x +--=-≤，得23x -≤≤，则{|23}A x x =-≤≤.因为{}04,|B x x =<≤所以{}24A B x x ⋃=-≤<.()2由题意可得{0R B x x =≤ð或4}x ≥，则(){}20R A B x x ⋂=-≤≤ð.22．若不等式2520ax x +->的解集是122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，（1）求a 的值；（2）求不等式22510ax x a -+->的解集.【正确答案】（1）2-；（2）1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）根据不等式的解集可得对应的一元二次方程的两根，由韦达定理可解得结果；（2）代入a 的值，解一元二次不等式可得结果.【详解】（1）依题意可得：252ax x +-=0的两个实数根为12和2，由韦达定理得：1522a+=-，解得：2a =-；.（2）则不等式22510ax x a -+->，可化为22530x x --+>.所以22530x x +-<，所以(21)(3)0x x -+<，所以132x -<<，故不等式22510ax x a -+->的解集1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭..本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.23．（1）已知x >0，求函数y ＝254++x x x的最小值；（2）已知0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值.【正确答案】（1）9（2）116（1）将y ＝254++x x x，变形为y ＝x ＋4x ＋5，再利用基本不等式求解.注意等号成立的条件.（2）根据0<x <12，则1－2x >0，将y ＝12x (1－2x )，变形为y ＝14×2x (1－2x )，再利用基本不等式求解.注意等号成立的条件.【详解】（1）∵y ＝254++x x x＝x ＋4x ＋＋5＝9，当且仅当x ＝4x即x ＝2时等号成立.故y ＝254++x x x(x >0)的最小值为9.（2）∵0<x <12，∴1－2x >0，∴y ＝14×2x (1－2x )≤14×22122+-⎛⎫ ⎪⎝⎭x x ＝14×14＝116.∴当且仅当2x ＝1－2x 102⎛⎫<< ⎪⎝⎭x ，即x ＝14时，ymax ＝116.本题主要考查基本不等式求最值，还考查了变形转化的能力，属于中档题.24．已知集合{}2340A x x x =--<，{}()224500B x x mx m m =+-<>(1)若集合{}51B x x =-<<，求此时实数m 的值；(2)已知命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)1(2)[)4,+∞【分析】(1){|51}B x x =-<<，得方程22450x mx m +-=的两根为5-，1，可解出1m =.(2)由p 是q 的充分条件，知A B ⊆，利用集合的包含关系求实数m 的取值范围.【详解】（1）22{|450}{|51}B x x mx m x x =+-<=-<<，∴方程22450x mx m +-=的两根为5-，1，知514m -+=-，解得1m =，当1m =时，不等式22450x mx m +-<为2450x x -<+，即()()510x x +-<，解得51x -<<此时满足{|51}B x x =-<<，故实数m 的值为1；（2）由p 是q 的充分条件，知A B ⊆，又2{|340}{|14}A x x x x x =--<=-<<，()(){|50}B x x m x m =-+<，因为0m >，所以5m m -<，则{|5}B x m x m =-<<，由A B ⊆，则有514m m -≤-⎧⎨≥⎩，解得154m m ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩，即4m ≥，所以m 的范围是[)4,+∞.25．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm ，宽为ym．(1)若菜园面积为72m 2，则x ，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？(2)若使用的篱笆总长度为30m ，求12x y+的最小值．【正确答案】(1)菜园的长x 为12m ，宽y 为6m 时，可使所用篱笆总长最小(2)310．【分析】（1）由已知可得xy ＝72，而篱笆总长为x +2y ．利用基本不等式x +2y（2）由已知得x +2y ＝30，利用基本不等式（12x y +）•（x +2y ）＝522y x x y ++≥得出．【详解】（1）由已知可得xy ＝72，而篱笆总长为x +2y ．又∵x +2y =24，当且仅当x ＝2y ，即x ＝12，y ＝6时等号成立．∴菜园的长x 为12m ，宽y 为6m 时，可使所用篱笆总长最小．（2）由已知得x +2y ＝30，又∵（12x y +）•（x +2y ）＝522y x x y ++≥9，∴12310x y +≥，当且仅当x ＝y ，即x ＝10，y ＝10时等号成立．∴12x y +的最小值是310．26．己知命题[]20001,1,0p x x x m ∃∈---≥:是假命题.(1)求实数m 的取值集合B ；(2)设不等式()()320x a x a ---<的解集为A ，若x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)()2,B =+∞(2)2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由题意得到p ⌝是真命题，从而将问题转化为二次函数在区间内恒成立问题，由此得解；（2）先由必要不充分条件的性质得到集合A 是集合B 的真子集，再分类讨论得到解集A ，从而列不等式求得a 的取值范围.【详解】（1）因为命题[]20001,1,0p x x x m ∃∈---≥:是假命题，所以命题[]2:1,1,0p x x x m ⌝∀∈---<是真命题，所以2m x x >-在[]1,1x ∈-上恒成立，令()()211f x x x x =--≤≤，则()f x 开口向上，对称轴为12x =，所以()f x 在11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，又()()()21112f -=---=，()21110f =-=，所以()()max 12f x f =-=，所以m>2，即()2,m ∈+∞，故()2,B =+∞.（2）因为x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，所以集合A 是集合B 的真子集，又()2,B =+∞，因为()()320x a x a ---<对应的方程()()320x a x a ---=的根为3x a =或2x a =+，当32a a >+，即1a >时，由()()320x a x a ---<得23a x a +<<，则()2,3A a a =+，所以22a +≥，则0a ≥，故1a >；当32a a =+，即1a =时，由()()320x a x a ---<得()230x -<，显然x ∈∅，即A =∅，满足题意；当32a a <+，即1a <时，由()()320x a x a ---<得32a x a <<+，则()3,2A a a =+，所以32a ≥，则23a ≥，故213a ≤<；综上：23a ≥，即2,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.。
高一数学必修一第一章测试题及答案
高中数学必修1检测题一、选择题: 每小题5分, 12个小题共60分 1. 已知全集 ）等于 （ ）A. {2, 4, 6}B. {1, 3, 5}C. {2, 4, 5}D. {2, 5}2．已知集合 , 则下列式子表示正确的有（ ） ①A ∈1 ②A ∈-}1{ ③A ⊆φ ④A ⊆-}1,1{A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3．若 能构成映射, 下列说法正确的有 （ ） （1）A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一； （2）A 中的多个元素可以在B 中有相同的像； （3）B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像； （4）像的集合就是集合B .A.1个B.2个C.3个D.4个4、如果函数 在区间 上单调递减, 则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.下列各组函数是同一函数的是 （ ）①()f x =()g x =f(x)=x与()g x = ③0()f x x =与01()g x x=；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--。
A.①② B.①③ C.③④ D.①④A. （－1, 0）B. （0, 1）C. （1, 2）D. （2, 3）7. 若 （ ）A. B. C. D.8、 若定义运算 , 则函数 的值域是（ ） A [)0,+∞ B (]0,1 C [)1,+∞ D R 9. 函数 上的最大值与最小值的和为3, 则 （ ） A. B. 2 C. 4 D.10.下列函数中，在 上为增函数的是... ）A. B、A. 一次函数模型B. 二次函数模型C. 指数函数模型D. 对数函数模型12.下列所给4个图象中, 与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ） （1）我离开家不久, 发现自己把作业本忘在家里了, 于是立刻返回家里取了作业本再上学；（2）我骑着车一路以常速行驶, 只是在途中遇到一次交通堵塞, 耽搁了一些时间； （3）我出发后, 心情轻松, 缓缓行进, 后来为了赶时间开始加速。
广西桂林市2024-2025学年高一上学期联合调研检测数学试题
广西桂林市2024-2025学年高一上学期联合调研检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．已知0d c b a<<<<，则（）(1)求y关于x的函数表达式；11．BCD【分析】结合函数图象变换，利用奇函数得()f x 的图象关于点(1,1)-对称，利用偶函数得()f x 的图象关于直线1x =对称，从而有(2)()2f x f x --+=，()11f -=，(2)()f x f x -=，(0)(2)f f =，两者结合可得()(4)2f x f x ++=，这样可计算选项C 中的和，再由对称性可判断单调性．【详解】若()11f x --是奇函数，即它的图象关于原点对称，把(1)1f x --的图象向左平移1个单位，再向上平移一个单位得()f x 的图象，因此()f x 的图象关于点(1,1)-对称，所以(2)()2f x f x --+=，()11f -=，()1f x +是偶函数，即它的图象关于y 轴对称，(1)f x +的图象向右平移一个单位得()f x 的图象，因此()f x 的图象关于直线1x =对称，从而(2)()f x f x -=，(0)(2)f f =，B 正确；所以(4)(1(3))f x f x +=-+(2)2()f x f x =--=-，即()(4)2f x f x ++=，(1)(3)2f f -+=，所以(3)2(1)1f f =--=，A 错；(1)(2)(2024)101222024f f f +++=´=L ，C 正确；()f x 在[1,2]上递减，它关于直线1x =对称，则()f x 在[0,1]上递增，又它的图象关于点(1,1)-对称，则在[3,2]--上递增，再由它关于直线1x =对称得它在[4,5]上递减，D 正确，故选：BCD ．12．2-【分析】（1）令120x x ==，可得出()0f 的值，令121x x ==可得出()2f 的值；（2）判断出函数()f x 为R 上的减函数，令()()2g x f x =-，推导出当0x >时，g (x )<0，以及函数()g x 为奇函数，然后利用函数单调性的定义可证得函数()f x 为R 上的减函数；（3）分析可得出()()2214f x x g x x +-=++，将所求不等式变形为()22160g x x éù+-<ëû，解得()244g x x -<+<，计算得出()24g =-，则()24g -=，再利用函数()g x 的单调性可得出关于实数x 的不等式（组），即得出原不等式的解集.【详解】（1）因为函数()f x 满足对一切实数1x 、2x 都有()()()12122f x x f x f x +=+-成立，令120x x ==可得()()0202f f =-，可得()02f =，令121x x ==可得()()22122f f =-=-.（2）函数()f x 为R 上的减函数，证明如下：设0x >，则11x +>，所以，()()()()11220f x f x f f x +=+-=-<，可得()2f x <，所以，当0x >时，()()20g x f x =-<，令()()2g x f x =-，由()()()12122f x x f x f x +=+-，可得()()()121222g x x g x g x ++=++，则()()()1212g x x g x g x +=+，令21x x =-，可得()()()1100g g x g x =+-=，则()()11g x g x -=-，。
福建省福州市2022-2023学年高一上学期期末质量检测数学试题(含答案解析)
福建省福州市2022-2023学年高一上学期期末质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2540A x x x =-+>，{}03B x x =≤≤，则A B = （）A ．{}01x x ≤≤B ．{}01x x ≤<C ．{}13x x <≤D ．{|3x x ≤或4}x >2．已知命题():0,p x ∀∈+∞，3x x >，则命题p 的否定是（）A ．()0,x ∀∈+∞，3x x ≤B ．()0,x ∃∈+∞，3x x ≤C ．()0,x ∃∈+∞，3x x<D ．()0,x ∀∉+∞，3x x>3．在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()4,3P -，则cos α=（）A ．45B ．45-C ．34-D ．35-4．若函数()()sin f x x ϕ=+是奇函数，则ϕ可取的一个值为（）A ．π-B ．2π-C ．4πD ．3π5．函数()21x f x x =-的图象大致为（）A．B．C．D ．6．已知函数()22,1,1log ,1x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，若()0f a =，则a 的值为（）A ．12-B ．0C ．1D ．27．设函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>在[,]-ππ的图象大致如下图所示，则函数()f x 图象的对称中心为（）A ．()ππ,0Z 28k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭B ．()ππ,0Z 8k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭C ．()2ππ,0Z 36k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭D ．()4ππ,0Z 36k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭8．设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c b a<<D ．b<c<a二、多选题9．已知集合A ，B 是全集U 的两个子集，A B ⊆，则（）A ．AB B ⋃=B ．A B B =C ．B ⋃()U A =ðUD ．B ()U A =∅ð10．若()0,απ∈，1sin cos 5αα-=，则（）A ．4tan 3α=B ．12sin225α=C ．sin co 7s 5αα+=D ．7cos225α=-11．若33x <是关于x 的不等式210x ax a ---<成立的必要条件，则a 的值可以是（）A ．1B ．0C ．2-D ．1212．在一个面积为4的直角三角形ABC 的内部作一个正方形，其中正方形的两个顶点落在斜边AB 上，另外两个顶点分别落在AC ，BC 上，则（）A ．AB 的最小值为B ．AB 边上的高的最大值为2C ．正方形面积的最大值为2D ．ABC 周长的最小值为4+三、填空题13．2=______.14．若点()cos ,sin A θθ与点ππ(cos(),sin())55B θθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=______.15．中国折扇有着深厚的文化底蕴，这类折扇上的扇环部分的作品构思奇巧，显出清新雅致的特点.已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为54cm ，内弧线的长为18cm ，连接外弧与内弧的两端的线段的长均为16cm ，则该扇环的面积为______2cm.16．记{}max ,a b 表示a ，b 中较大的数.若关于x 的方程{}1max ,x x t x-=-的所有实数根的绝对值之和为6，则t 的值为______.四、解答题17．已知函数()2f x x bx c =++，且()()130f f ==.(1)求()f x 的解析式；(2)求()f x 在区间[]2,5-上的取值范围.18．已知tan 2α=.(1)求()()πcos 2sin πcos 3πααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭-++的值；(2)若β为钝角，且sin β=()tan αβ-的值.19．设0a >，()e ex x af x a =+为偶函数.(1)求a 的值；(2)判断()f x 在区间()0,∞+上的单调性，并给予证明.20．在①函数()f x 的一个零点为0；②函数()f x 图象上相邻两条对称轴的距离为π2；③函数()f x 图象的一个最低点的坐标为2π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并给出问题的解答.问题：已知函数()()π2sin 103,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+-<<<< ⎪⎝⎭，满足______.(1)求()f x 的解析式，并求()f x 的单调递增区间；(2)求使()()πf x f ≥成立的x 的取值集合.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.21．人类已进入大数据时代.目前，数据量已经从()TB 1TB 1024GB =级别跃升到PB ()PB 1024TB =乃至EB ()1EB 1024PB =乃至()ZB 1ZB 1024EB =级别.国际数据公司(IDC)的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示：年份2008200920102011…2020数据量（ZB ）0.50.81.21.5…80(1)设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第x 年全球产生的数据量（单位：ZB ）与x 的关系，根据上述信息，从函数()f x kx b =+和()xg x ab =中选择一个，应选择哪一个更合适?（不用说明理由）(2)根据（1）中所选的函数模型，若选取2008年和2020年的数据量来估计该模型中的参数，预计到哪一年，全球产生的数据量将达到2020年的111210倍?（注：lg20.3≈）22．已知函数()πcos 2f x x x =-，x ∈R .(1)求()()πf x f x -+；(2)如图所示，小杜同学画出了()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，试通过图象变换，在图中画出()f x 在区间π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的示意图；(3)证明：函数()()π4h x f x =-有且只有一个零点0x .参考答案：1．B【分析】解一元二次不等式化简集合A ，再利用交集的定义求解作答.【详解】解不等式2540x x -+>，得1x <或>4x ，则{|1A x x =<或4}x >，而{}03B x x =≤≤，所以{|01}A B x x ⋂=≤<.故选：B 2．B【分析】“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立”.【详解】“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立”.故命题p 的否定为：()0,x ∃∈+∞，3x x ≤.故选：B.3．A【分析】根据给定条件，利用三角函数定义直接计算作答.【详解】依题意，||5OP =，所以4cos 5α=.故选：A 4．A【分析】sin x 的图象左右平移π,k k Z ∈仍为奇函数，即可求得ϕ.【详解】sin x 的图象左右平移π,k Z k ∈仍为奇函数，则π,k k Z ϕ=∈.故选：A.5．B【分析】由()00f =可排除C ，D ，当0x <时，()0f x <可排除A ，即可得正确答案.【详解】由()00f =可排除C ，D ；当0x <时，()201x f x x =<-，排除A.故选：B.6．D【分析】根据题意，由()0f a =求解对数方程，即可得到结果.【详解】由题意可得，当1x ≤时，20x >，且()0f a =，则21log 0a -=，解得2a =故选:D 7．C【分析】化简()π4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意可得312,Z 25k k ω=+∈，由图可得：524322T T ππ⎧<⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解不等式即可求出32ω=，令3ππ,Z 24x k k +=∈，即可求出()f x 图象的对称中心.【详解】()πsin cos 4f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为()f x的图象过点5π,6⎛ ⎝，所以5ππ3π2π,Z 642k k ω⋅+=+∈，解得：312,Z 25k k ω=+∈，因为由图可得：525225344332422222T T πππωωπππω⎧⎧⋅<<⎪⎪⎪⎪⇒⇒<≤⎨⎨⎪⎪≥⋅≥⎪⎪⎩⎩，所以32ω=，()3πsin cos 24f x x x x ωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令3ππ,Z 24x k k +=∈，解得：2ππ,Z 36x k k =-∈，则函数()f x 图象的对称中心为()2ππ,0Z 36k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭.故选：C.8．D【分析】利用对数的换底公式，得到2lg 23lg 2,lg 3lg 5b c ==，化简lg 2(lg 25lg 27)0lg 3lg 5b c -=<⋅-，得到b c <，再由对数函数的单调性，求得312c <<且32a >，即可求解.【详解】因为35lg 42lg 2lg83lg 2log 4,log 8lg 3lg 3lg 5lg 5b c ======，则2lg 23lg 22lg 2lg53lg 2lg3lg 2(2lg53lg3)lg 2(lg 25lg 27)0lg3lg5lg3lg5lg3lg5lg3lg5b c ⋅-⋅---=-===<⋅⋅⋅，所以b c <，又因为325553log 5log 8log log 52<<==，所以312c <<，又由32223log 3log log 22a =>==，所以32a >，所以b<c<a .故选：D.9．AC【分析】根据集合的包含关系，借助韦恩图对各选项进行判断.【详解】由A B ⊆，根据子集的定义，如图，对于A ，A B ⊆⇒A B B ⋃=，所以A 正确；对于B ，A B ⊆⇒A B A = ，所以B 不正确；对于C ，由韦恩图知，B ⋃()U A =ðU ，所以C 正确；对于D ，由韦恩图知，B ()U BA A =痧，所以D 不正确；故选：AC.10．ACD【分析】由sin cos αα与sin cos αα±的关系，结合角的范围，可求得sin cos αα、，即可逐个判断.【详解】()()222sin cos sin cos 12sin cos 225αααααα+--==，∵()0,απ∈，则sin 0,cos 0α>>，∴0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.对C ，sin cos 57αα+==，C 对；对A ，sin cos sin cos 543sin ,cos 25αααααα-+=+===，sin 4tan cos 3ααα==，A 对；对B ，24sin22sin cos 25ααα==，B 错；对D ，227cos2cos sin 25ααα=-=-，D 对.故选：ACD.11．BC【分析】首先求出这两个不等式的解集A 、B ，根据题意可得B A ⊆，即可求出a 的取值范围.【详解】因为33x <，解得：1x <，设{}1A x x =<，设不等式210x ax a ---<的解集为B ，因为33x <是关于x 的不等式210x ax a ---<成立的必要条件，所以B A ⊆，因为210x ax a ---<，则()()110x x a +-+<⎡⎤⎣⎦，当11a +=-即2a =-，B =∅，满足题意；当11a +<-即2a <-，则11a x +<<-，所以{}11B x a x =+<<-，所以B A ⊆符合题意；当11a +>-即2a >-，则11x a -<<+，所以{}11B x x a =-<<+，因为B A ⊆，所以11a +≤，解得：0a ≤，所以20a -<≤.综上所述，a 的取值范围为：(],0-∞.故选：BC.12．BD【分析】根据给定条件，可得8AC BC ⋅=，利用勾股定理、均值不等式求解判断ABD ；建立角A 的正余弦及正方形边长的关系，再结合函数的单调性求解判断C 作答.【详解】在Rt ABC △中，AC BC ⊥，142AC BC ⋅=，即有8AC BC ⋅=，对于A ，4AB =，当且仅当AC BC ==时取等号，A 错误；对于B ，Rt ABC △斜边AB 边上的高82AC BC h AB AB⋅==≤，当且仅当4AB =，即AC BC ==时取等号，B 正确；对于D ，ABC 的周长44AB AC BC AC BC ++=+≥+当且仅当AC BC ==时取等号，D 正确；对于C ，如图，正方形DEFG 是符合题意的Rt ABC △的内接正方形，令π(0,)2A θ∠=∈，则BFE FGC A θ∠=∠=∠=，cos ,sin sin cos DE DEAC AG GC DE BC BF FC DE θθθθ=+=+=+=+，22111(cos )(sin )(2sin cos )8sin cos sin cos AC BC DE DE θθθθθθθθ⋅=++=++=，于是28162142sin 24sin 2sin 22sin 2DE θθθθ==++++，令sin 2(0,1]t θ=∈，则44sin 2()sin 2f t t tθθ+==+在(0,1]t ∈上单调递减，1212,(0,1],t t t t ∀∈<，1212121212444()()()()(1)f t f t t t t t t t t t -=+-+=--，因为1201t t <<≤，则121240,10t t t t -<-<，即有12()()0f t f t ->，12()()f t f t >，因此函数()f t 在(0,1]上单调递减，则当1t =，即π4θ=时，min ()5f t =，正方形DEFG 的面积2DE 取得最大值169，C 错误.故选：BD【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.13．9【分析】由指数运算性质化简求值.【详解】((2222223339====.故答案为：9.14．2π5（答案不唯一）【分析】根据给定条件，利用诱导公式列式，即可求解作答.【详解】因为点()cos ,sin A θθ与点ππ(cos(),sin())55B θθ++关于y 轴对称，则πcos()cos 5πsin()sin 5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，因此π()π2π,Z 5k k θθ++=+∈，解得2ππ,Z 5k k θ=+∈，取2π5θ=.故答案为：2π515．576【分析】设该扇形內弧半径为r ，根据弧长公式可得r ，进一步求出外弧半径，最后利用扇形的面积计算公式即可求解.【详解】设该扇形內弧半径为cm r ，由弧长公式和已知可得：541618r r+=，解得：8cm r =，则外弧半径为81624cm +=，所以该扇环的面积为2115424188576cm 22⨯⨯-⨯⨯=，故答案为：576.16．3【分析】由题意可将原方程化为()2100x t x x -+=≠，讨论0x >和0x <，可得所有实数根的绝对值之和为6，即26t =，即可求出t 的值.【详解】由于{}1max ,x x t x -=-，所以原方程化为1x t x+=，即()2100x t x x -+=≠，当0x >时，依题意可知，方程210x tx -+=有根，设其两根分别为12,x x ，则1210x x ⋅=>，所以方程210x tx -+=有两正根12,x x ，且12x x t +=，当0x <时，同理可得，方程210x tx ++=有两负根34,x x ，且34x x t +=-，所以34x x t +=，所以26t =，解得：3t =，检验符合.故答案为：3.17．(1)2()43f x x x =-+；(2)[]1,15-.【分析】（1）根据给定条件，利用待定系数法求解作答.（2）利用二次函数的单调性，求出函数()f x 在给定区间上的最值作答.【详解】（1）函数()2f x x bx c =++，且()()130f f ==，则10390b c b c ++=⎧⎨++=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩，有2()43f x x x =-+，所以()f x 的解析式是2()43f x x x =-+.（2）由（1）知，[]2,5x ∈-，函数2()(2)1f x x =--在[2,2]-上单调递减，在[]2,5上单调递增，因此min ()(2)1f x f ==-，而()()215,58f f -==，则()()max 215f x f =-=，所以()f x 在区间[]2,5-上的取值范围是[]1,15-.18．(1)2-；(2)7.【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式化简，再利用齐次式计算作答.（2）利用同角公式求出tan β，再利用差角的正切公式求解作答.【详解】（1）因为tan 2α=，所以πcos()sin tan 22sin(π)cos(3π)sin cos 1tan αααααααα+-===--++--.（2）因为β为钝角，sin β=cos 10β===-，sin 1tan cos 3βββ==-，所以12()tan tan 3tan()711tan an 12()3αβαβαβ----===++⨯-.19．(1)1a =(2)单调递增，证明见解析【分析】（1）根据偶函数的定义得出()()f x f x -=，即可列式解出1a =；（2）根据函数单调性的定义证明，任取1x 、[)20,x ∈+∞，当12x x <时，得出()()12f x f x <，即可证明.【详解】（1）()f x 为偶函数，()()f x f x ∴-=，即()()e 1e e e e ex x x x x x a a f x a f x a a a ---=+=+==+⋅，即11e e x x a a a a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对任意x ∈R 恒成立，所以1a =；所以()e e 1x xf x =+.（2）()f x 在区间()0,∞+上单调递增．理由如下：任取1x 、()20,x ∞∈+，当12x x <时，()()()2112121212121212e e e e e e e e e e e 111e1x x x x x x x x x x x x x x f x f x ++-⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由于120x x ≤<，所以12e e 0x x -<，12110e x x +->，所以()()120f x f x -<，故()()12f x f x <，所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增．20．(1)()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)()πππZ 3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【分析】（1）选①②，由①可求出ϕ，由②可求出ω，即可求出()f x 的解析式；令()πππ2π22πZ 262k x k k -+≤+≤+∈，解不等式即可求出()f x 的单调递增区间；选①③，由①可求出ϕ，由③可求出ω，即可求出()f x 的解析式，下同选①②；选②③，由②可求出ω，由③可求出ϕ，即可求出()f x 的解析式，下同选①②；（2）因为()()πf x f ≥，所以π2sin 2106x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，解不等式即可求出答案.【详解】（1）选①②，因为函数()f x 的一个零点为0，所以()00f =，所以2sin 10ϕ-=，所以1sin 2ϕ=，又因为π02ϕ<<，所以π6ϕ=，因为函数()f x 图象上相邻两条对称轴的距离为π2，所以π2π2T =⨯=，又因为03ω<<，所以2ππω=，解得：2=ω，所以函数()f x 的解析式为()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()πππ2π22πZ 262k x k k -+≤+≤+∈，解得：()ππππZ 36k x k k -+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间为：()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.选①③，因为函数()f x 的一个零点为0，所以()00f =，所以2sin 10ϕ-=，所以1sin 2ϕ=，又因为π02ϕ<<，所以π6ϕ=，因为函数()f x 图象的一个最低点的坐标为2π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2ππ2sin 1336ω⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，所以2ππsin 136ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以()2πππ2π,Z 362k k ω+=-+∈，解得：()31Z k k ω=-∈，又因为03ω<<，解得：2=ω，所以函数()f x 的解析式为()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，下同选①②.选②③，因为函数()f x 图象上相邻两条对称轴的距离为2π，所以π2π2T =⨯=，又因为03ω<<，所以2ππω=，解得：2=ω，因为函数()f x 图象的一个最低点的坐标为2π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2π2sin 2133ϕ⎛⎫⨯+-=- ⎪⎝⎭，所以4πsin 13ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以()4ππ2π,Z 32k k ϕ+=-+∈，解得：()11π2πZ 6k k ϕ=-+∈，又因为π02ϕ<<，所以π6ϕ=，所以函数()f x 的解析式为()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，下同选①②.（2）由（1）知，()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为()()πf x f ≥，所以π2sin 2106x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，所以π1sin 262x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以()ππ5π2π22πZ 666k x k k +≤+≤+∈，解得：()πππZ 3k x k k ≤≤+∈，所以使()0f x ≥成立的x 的取值集合为：()πππZ 3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭21．(1)选择()xg x ab=(2)2025【分析】（1）描点，根据图象选择；（2）由待定系数法求得参数，列指数不等式结合对数运算求解.【详解】（1）由题意得x1234...13y 0.50.8 1.2 1.5 (80)画出散点图如下：由图易得，5个点在一条曲线上，应选择()xg x ab =（2）由题意得，()()11213112116010.521380160a g ab g ab b -⎧=⨯⎪⎧==⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎪=⎩，则()11211602x g x -=⨯则()1113111212121111801016010131318lg1604lg 21x g x x -≥⨯⇒≥⇒≥+=+≈+，即20081812025+-=年.预计到2025年，全球产生的数据量将达到2020年的111210倍.22．(1)()()ππf x f x -+=(2)见解析(3)见解析【分析】（1）求出()πf x -，即可得出()()πf x f x -+的值；（2）由（1）知，函数()f x 的图象关于点ππ22⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称，则函数()f x 在区间π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象由对称性即可得出；（3）()()ππcos 024h x x x x =--≥，设函数())()()ππ0,cos 042g x x x u x x x =≥=-≥，分别讨论104x ≤≤，1π4x ≤≤和πx >时，()(),g x u x 的单调性，即可求出()h x 的单调性和值域，结合零点存在性定理即可证明.【详解】（1）因为()πcos 2f x x x =-，所以()()ππππcos ππcos 22f x x x x x -=---=-+，所以()()ππππcos cos π22f x f x x x x x -+=-++-=.（2）由（1）知，函数()f x 的图象关于点ππ22⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称，则函数()f x 在区间π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象如下图所示，（3）因为()()π4h x f x =+，所以()()ππcos 024h x x x x =-≥，设函数())()()ππ0,cos 042g x x x u x x x =≥=-≥，①当104x ≤≤时，因为函数()21124g x ⎫=-⎪⎭在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以()()00g x x g ==，因为函数()u x 在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()ππππ1πππcos cos cos 042424423u x x =-≤-<-=，所以()0h x <，所以函数()h x 在区间10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦没有零点.②当1π4x ≤≤时，因为函数()21124g x ⎫=-⎪⎭在1,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，函数()u x 在1,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()h x 在1,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，又11π1ππ1π1πππ11cos cos cos 0442442442344h --⎛⎫=-+=-+<-+=-< ⎪⎝⎭，()ππ7πππ0244h =+-=>，根据零点存在性定理，存在唯一0x ∈1,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得()00h x =.③当πx >时，函数()21124g x ⎫=-⎪⎭在[]π,+∞单调递增，所以()()ππg x g >=-()πππππcos 42424u x x =-≥-=-，所以()π3ππ044h x >=>，所以函数()h x 在区间)π,+⎡∞⎣没有零点.综上，函数()()π4h x f x =有且只有一个零点0x .。
高一数学测试试题及答案
高一数学测试试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，为奇函数的是（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = sin(x)2. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B等于（）A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3, 4}3. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的对称轴是（）A. x = -2B. x = 2C. x = 0D. x = 44. 计算(2x - 1)^5的展开式中，x^3的系数是（）A. 10B. -10C. 20D. -205. 已知等差数列{a_n}的首项a_1=3，公差d=2，则a_5等于（）B. 11C. 9D. 76. 函数y = 2x + 3的图象与x轴的交点坐标是（）A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (-1.5, 0)D. (1.5, 0)7. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(-1)的值（）A. 6B. 4C. 2D. 08. 圆x^2 + y^2 = 4的圆心坐标是（）A. (0, 0)B. (2, 2)C. (-2, -2)D. (1, 1)9. 已知向量a = (3, 1)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的点积为（）A. -1B. 1C. 5D. -510. 计算sin(π/6)的值是（）B. √3/2C. 1/√2D. √2/2二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数y = x^2 - 6x + 9的最小值是______。
2. 已知等比数列{a_n}的首项a_1=2，公比q=3，则a_4等于______。
3. 函数f(x) = 3x - 5的反函数是______。
4. 已知向量a = (2, -3)，向量b = (4, -6)，则向量a与向量b平行，向量a与向量b的夹角是______。
5. 计算cos(π/3)的值是______。
福建省泉州市2022-2023学年高一上学期期末教学质量检测数学试题(1)
2021-2022学年度上学期泉州市高中教学质量监测高一数学一，选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．1. 如图所示,已知全集U =R ,集合{1,3,5,7},{4,5,6,7,8}==A B ,则图中阴影部分表示地集合为（ ）A. {1,3}B. {5,7}C. {1,3,5}D. {1,3,7}【结果】A【思路】【思路】依据文氏图表示地集合求得正确结果.【详解】文氏图表示集合为()U A B ∩ð,所以(){}1,3U A B = ð.故选：A2.函数3()=-f x x 地零点所在地区间为（ ）A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)【结果】C【思路】【思路】思路函数()f x 地单调性,再利用零点存在性定理判断作答.【详解】函数3()=-f x x 地定义域为(0,)+∞,且()f x 在(0,)+∞上单调递增,而3(2)02f =-<,(3)10f =>,所以函数()f x 地零点所在地区间为(2,3).故选：C3. 函数2()22x x x f x -=+地图象大约是（）的A. B.C. D.【结果】D【思路】【思路】依据函数地奇偶性排除AC 选项,特殊值检验排除排除B 选项,进而可求出结果.【详解】由于函数2()22x x x f x -=+地定义域为R ,且()()22()2222x x x x x x f x f x ----===++,所以()f x 为偶函数,故排除AC 选项。
5525800(5)221025f -==+,4416256(4)22257f -==+,由于()(5)4f f <,因此()f x 在()0,∞+上不是单调递增,故排除B 选项,故选：D.4. 将整体一分为二,较大部分与整体部分地比值等于较小部分与较大部分地比值,这样地分割被称为黄金分割,黄金分割蕴藏着丰富地数学知识和美学价值,被广泛运用于艺术创作，工艺设计等领域．黄金分制地比,该值恰好等于2sin18︒,则cos36︒=（ ）A. 2-B.C.D. 【结果】C【思路】【思路】依据余弦二倍角公式即可计算求值.【详解】∵2sin18︒,∴sin18︒∴22cos3612sin 1812=-=-⨯=.故选：C.5. 下面命题中正确地是（）A. 若ac bc >,则a b> B. 若22a b >,则a b >C. >则a b > D. 若11a b<,则a b >【结果】C【思路】【思路】利用不等式性质逐一判断即可.【详解】选项A 中,若ac bc >,0c >,则a b >,若ac bc >,0c <,则a b <,故错误。
2023-2024学年浙江省杭州市高一上学期期中数学检测试题(含答案)
2023-2024学年浙江省杭州市高一上册期中数学检测试题一、单选题1．若正数x ，y 满足38x =，4y 81=，则x y +=（）A ．1B ．3C ．5D ．7【正确答案】C【分析】根据根式的性质求出x ，y ，即可得解.【详解】解：因为正数x ，y 满足38x =，4y 81=，所以2x =，3y ==，所以235x y +=+=；故选：C2．若集合{4},{31}M x N x x ==≥∣，则M N ⋂=（）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【正确答案】D【分析】求出集合,M N 后可求M N ⋂.【详解】1{16},{}3M xx N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D3．不等式34270x x +-+≥成立的一个充分不必要条件是（）A ．{3,4}x ∈B ．0x ≥C ．1x ≥D ．02x ≤≤【正确答案】A【分析】解指数不等式，根据选项是条件的充分不必要条件来判断即可.【详解】不等式34270x x +-+≥可以化简为：()228270,x x -⋅+≥解得27x ≥或21x ≤，则2log 7x ≥或0x ≤，所以满足条件则选项为A.故选：A4．已知2x >，则42x x +-的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【正确答案】D【分析】由于2x >，所以20x ->，构造基本不等式即可解决问题.【详解】2x > ，20x ∴->44(2)22622x x x x ∴+=-++≥=--，当且仅当422x x -=-，即=4x 时取等号，故选：D.5．下列结论正确的是（）A ．若ac bc >，则a b>B ．若22a b >，则a b >C ．若a b >，0c <，则ac bc <D <，则a b>【正确答案】C【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法证明正确选项.【详解】A 选项，ac bc >，如()()()()2111-⨯->-⨯-，而21-<-，所以A 选项错误.B 选项，22a b >，如()2210->，而10-<，所以B 选项错误.C 选项，,0,0a b a b c >-><，则()0ac bc a b c -=-<，所以ac bc <，所以C 选项正确.D <<12<，所以D 选项错误.故选：C 6．函数()()2212xf x x x=-+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】分析函数()f x 的奇偶性，利用基本不等式结合排除法可得出合适的选项.【详解】()()2222112xxf x x x x==+-+，该函数的定义域为R ，()()()222211xxf x f x x x -=-=--+-+，则函数()f x 为奇函数，排除BD 选项，当0x >时，()2220111x f x x x x <==++，当且仅当1x =时，等号成立，排除A 选项.故选：C.7．已知()f x 是定义域为(,)∞∞-+的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=A ．50-B ．0C ．2D ．50【正确答案】C【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++ ，因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴= ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++== ，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．8．已知函数()f x ､()g x 是定义在R 上的函数，其中()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()22f x g x ax x +=-+，若对于任意1212x x <<<，都有()()12124g x g x x x ->--，则实数a 的取值范围是（）A ．(][),10,-∞-⋃+∞B ．()0,∞+C ．[)1,-+∞D ．[)1,0-【正确答案】C【分析】由函数的奇偶性可得()()()(),f x f x g x g x -=--=，从而可求得函数()g x 的解析式，再根据()()12124g x g x x x ->--，可得()()112212440g x x g x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+⎣⎦⎣⎦>-，令()()2442h x g x x ax x =+=++，则函数()h x 在()1,2上递增，再根据函数的单调性分0a =和0a ≠结合二次函数的单调性即可得出答案.【详解】解：因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，所以()()()(),f x f x g x g x -=--=，又()()22f x g x ax x +=-+，则()()()()22f x g x f x g x ax x -+-=-+=++，两式相加可得()22g x ax =+，若对于任意1212x x <<<，都有()()12124g x g x x x ->--，可变形为()()112212440g x x g x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+⎣⎦⎣⎦>-，令()()2442h x g x x ax x =+=++，则函数()h x 在()1,2上递增，当0a =时，()42h x x =+在()1,2上递增，符合题意，当0a ≠时，则函数()242h x ax x =++为二次函数，对称轴为2x a=-，因为函数()h x 在()1,2上递增，所以021a a>⎧⎪⎨-≤⎪⎩或022a a <⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得0a >或10a -≤<，综上所述，[)1,a ∈-+∞.故选：C.二、多选题9．（多选）下列关系中，正确的是（）．A ．14+∈R BQC ．3-∈NDZ【正确答案】AB【分析】根据各数集的概念直接判断即可.【详解】14+∈R ，故A正确；Q ，故B 正确；N 为自然数集，所以3-∉N ，故C错误；Z ，故D 错误；故选：AB ．10．与不等式220x x -+>的解集相同的不等式有（）A ．220x x --<+B ．22320x x -+>C ．230x x -+≥D ．220x x +->【正确答案】ABC【分析】不等式220x x -+>的解集为R ，再求出各个选项的不等式的解，即得解.【详解】解：因为2(1)4270∆=--⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式220x x -+>的解集为R ，A.14(1)(2)70∆=-⨯--=-<，二次函数的图象开口朝下，所以220x x --<+的解集为R ；B.2(3)42270∆=--⨯⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式22320x x -+>的解集为R ；C.2(1)413110∆=--⨯⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式230x x -+≥的解集为R ；D.220x x +->，所以(2)(1)0,1x x x +->∴>或<2x -，与已知不符.故选：ABC11．已知0,0a b >>，且4a b +=.则下列不等式恒成立的是（）A ．228a b +≥B 2≥C ．114ab ≥D ．111a b+≤【正确答案】AC【分析】结合基本不等式对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】当1,3a b ==112,1a b<+>，所以BD 选项错误.A ，()22282a b a b++≥=，当且仅当2a b ==时，等号成立，A 正确.C ，2042a b ab +⎛⎫<≤= ⎪⎝⎭，114ab ≥，当且仅当2a b ==时，等号成立，C 正确.故选：AC12．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数2()||af x x x =+（a R ∈）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】BCD【分析】由函数的性质按照0a =、0a >、a<0分类，结合函数图象的特征即可得解.【详解】函数2()||a f x x x =+的定义域为{}0x x ≠，且()()2()||a f x x f x x -=-+=-，所以该函数为偶函数，下面只讨论()0,x ∈+∞时的情况：2(),0a f x x xx =+>，当0a =时，2()f x x =，图象为B ；当0a >时，2222()x x x a a a f x x x =+=++≥=，图象为D ；若a<0时，函数2(),0a f x x xx =+>单调递增，图象为C ；所以函数的图象可能为BCD.故选：BCD.三、填空题13．函数1()f x x=+的定义域为________．【正确答案】(,0)(0,2]-∞ 【分析】根据题意列关于x 的不等式组即可求解.【详解】由题要使得()f x 有意义，则20x x -≥⎧⎨≠⎩，故2x ≤且0x ≠，从而()f x 的定义域为(,0)(0,2]-∞ ，故答案为.(,0)(0,2]-∞14．已知三个不等式：①0ab >，②c da b>，③bc ad >，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题．【正确答案】3【分析】根据题意，结合不等式性质分别判断①、②、③作为结论的命题的真假性即可.【详解】由不等式性质，得000ab ab bc ad c d bc ada b ab>>⎧⎧⎪⎪⇒⇒>-⎨⎨>>⎪⎪⎩⎩；0ab c d bc ad a b >⎧⇒>⎨>⎩；00c dbc adab a b abbc adbc ad-⎧⎧>>⎪⎪⇒⇒>⎨⎨⎪⎪>>⎩⎩．故可组成3个真命题．故3.15．已知,x y 为正实数，则162yxx x y ++的最小值为__________．【正确答案】6【分析】将原式变形为162y y x x ++，结合基本不等式即可求得最值.【详解】由题得162y x x x y+=+162y y x x++，设(0)y t t x=>，则1616()22282622f t t t t t =+=++-≥=-=++.当且仅当2t =时取等.所以162yxx x y ++的最小值为6.故616．函数()()21(2)12ax x x f x x x ⎧+->⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是______.【正确答案】1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】根据函数单调性定义，即可求得实数a 的取值范围．【详解】因为函数()()21(2)12ax x x f x x x ⎧+->⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的单调递减函数所以满足012242121a a a <⎧⎪⎪-≤⎨⎪⎪+-≤-+⎩解不等式组可得12a ≤-即1,2a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦所以选A本题考查了分段函数单调性的应用，根据函数单调性求参数的取值范围，属于中档题．四、解答题17．化简求值(1)计算下列式子的值：22.531050.008π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；(2)若1004,1025a b ==，求2a b +的值．【正确答案】(1)52(2)2【分析】（1）根据分数指数幂的运算公式，化简求值；（2）根据指对互化，再根据对数运算法则，化简求值.【详解】（1）22.53150.008π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()1521523330.00810.00812⎛⎫⨯-⨯- ⎪⎝⎭=-=--1313131515252--⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦55522=-=（2）因为1004,1025a b ==，所以100log 4lg 2a ==，lg 252lg 5b ==，所以22lg 22lg 52lg102a b +=+==.18．设函数2()(2)3f x ax b x =+-+．(1)若不等式()0f x >的解集为()1,1-，求实数,a b 的值；(2)若()10f =，且∀x ∈R ，使()4f x <成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)32a b =-⎧⎨=⎩(2)()9,1--【分析】（1）由韦达定理列方程组求解可得；（2）该问题为恒成立问题，整理后分二次系数是否等于0两种情况讨论即可.【详解】（1）由题意可知：方程()2230ax b x +-+=的两根是1-，1所以21103(1)11b a a-⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩解得32a b =-⎧⎨=⎩（2）由()10f =得1b a =--∀x ∈R ，()4f x <成立，即使()2210ax b x +--<恒成立，又因为1b a =--，代入上式可得()2310ax a x -+-<恒成立．当0a =时，显然上式不恒成立；当0a ≠时，要使()2310ax a x -+-<恒成立所以()20Δ340a a a <⎧⎪⎨=++<⎪⎩，解得91a -<<-综上可知a 的取值范围是()9,1--．19．第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x 千台空调，需另投入资金R 万元，且2210,040901945010000,40x ax x R x x x x ⎧+≤<⎪=⎨-+≥⎪⎩.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R =4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.(1)求2022年该企业年利润W （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式；(2)2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.【正确答案】(1)2210600260,040919010000,40x x x W x x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨-+-≥⎪⎩(2)当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元【分析】（1）由题意可知10x =时，R =4000，代入函数中可求出a ，然后由年利润等于销售总额减去投入资金，再减去固定成本，可求出年利润W （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式，（2）分别当040x ≤<和40x ≥求出函数的最大值，比较即可得答案【详解】（1）由题意知，当10x =时，()21010104000R x a =⨯+=，所以a =300.当040x ≤<时，()229001030026010600260W x x x x x =-+-=-+-；当40x ≥时，22901945010000919010000900260x x x x W x x x -+-+-=--=.所以2210600260,040919010000,40x x x W x x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨-+-≥⎪⎩，（2）当040x ≤<时，()210308740W x =--+，所以当30x =时，W 有最大值，最大值为8740；当40x ≥时，10000919091908990W x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当10000x x=，即x =100时，W 有最大值，最大值为8990.因为87408990<，所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元.20．已知函数()()221x x af x a +=∈-R 为奇函数.(1)判断()f x 在()0,∞+上的单调性并用函数单调性的定义证明；(2)若存在1x ，()2210x x x >>，使得()f x 在[]12,x x 上的值域为2111,2121x x mm ++⎡⎤⎢⎥--⎣⎦，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)单调递减，证明见解析(2)()9,+∞【分析】（1）根据()f x 为奇函数，求出a ，然后利用单调性的定义法证明即可.（2）根据()f x 在()0,∞+上是减函数，得到1212121xx x m ++=--在()0,∞+上有两解，取()210xt t =->，化简得到()22520t m t +-+=在()0,∞+上有两解，最后利用数形结合即可求解.【详解】（1）()f x 的定义域为{}0x x ≠，因为()221x x a f x +=-为奇函数，所以()()221221*********x x x x x x x x a a a a f x f x a --+++⋅+-+=+=+=-=----，所以1a =，()21212121x x x f x +==+--在()0,∞+上单调递减证明如下：任取1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，则21221x x >>，则()()()()()22111212222221121212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭因为1210x ->，2210x ->，21220x x ->，故()()()()()21121222202121x x x x f x f x --=>--，所以()()12f x f x >，所以()f x 在()0,∞+上单调递减（2）由（1）知()f x 在()0,∞+上是减函数，所以()f x 在[]12,x x 上的值域为()()21,f x f x ⎡⎤⎣⎦，所以2221111121,212121,2121x x x x x x m m ++⎧+=⎪⎪--⎨+⎪=⎪--⎩所以1212121x x x m ++=--在()0,∞+上有两解所以()()()22121210x x x m ⨯-+--=在()0,∞+上有两解，令()210x t t =->，则关于t 的方程()()2120t t mt ++-=在()0,∞+上有两解，即()22520t m t +-+=在()0,∞+上有两解，所以()250,4Δ5160,m m -⎧>⎪⎨⎪=-->⎩解得9m >，所以实数m 的取值范围为()9,+∞.方法点睛：利用定义法进行证明函数单调性，一定要注意解题步骤：（1）设元；（2）作差；（3）化简；（4）判号；（5）结论，其中的判号这一步骤，尽可能化简成因式分解的形态进行判断.。
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高342班数学测试题（三）
姓名： 学号：
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知集合U ＝{1,3,5,7,9}，A ＝{1,5,7}，则∁U A ＝( ) A ．{1,3} B ．{3,7,9} C ．{3,5,9} D ．{3,9}
2．已知函数f (x )＝x －2·x ＋5，则函数的定义域为( ) A ．{x |x ≥－2} B ．{x |x ≥－5} C ．{x |x ≤5}
D ．{x |x ≥2}
3．函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2
－4x ＋5的图象的交点个数为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0 4．若log 2a <log 2b <0，则( )
A ．0<b <a <1
B ．0<a <b <1
C ．b >a >1
D ．a >b >1
5．与函数)
1lg(10-=x y 相等的函数是( )
A ．y ＝x －1
B ．y ＝|x －1|
C ．2
11⎪⎭⎫
⎝⎛--=x x y D ．y ＝
x 2－1x ＋1 6．方程x 3－x －3＝0的实数解落在的区间是( ) A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[1,2]
D ．[2,3]
7．f (x )＝⎩⎨⎧
log 2
x ，x >0，
log 12
x
x <0，
若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围( )
A ．(－1,0)∪(0,1)
B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C ．(－1,0)∪(1，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪(0,1)
8．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x | 9．函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是( )
10．定义运算a *b 为a *b ＝⎩⎨
⎧
a ，a ≤
b ，
b ，a >b ，
如1]( )
A ．R
B ．(0,1]
C ．(0，＋∞)
D ．[1，＋∞)
11．函数y ＝log 12
(6＋x －x 2)的单调增区间是( )
A .⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，3 12．若不等式lg 1＋2x
1－a 3x
3
≥(x －1)lg 3对任意的x ∈(－∞，1]恒成立，则a 的取值范围是
( )
A ．(－∞，0]
B ．(－∞，1]
C ．[0，＋∞)
D ．[1，＋∞)
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)
13．已知A ＝{y |y ＝3x
}，B ＝{x |y ＝ln(2－x )}，则A ∩B ＝________. 14．已知函数f (x )＝⎩⎨
⎧
2x ，x <0，
x －4，x ≥0，则f (f (1))＝_______.
15．已知函数y ＝log a
2x ＋1
x －1
的图象恒过点P ，则点P 的坐标为________． 16．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x ＋1)＝f (1－x )，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x
＋6
5
，则f (log 220)＝________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．) 17. (本小题满分10分)已知函数f (x )＝1－2x
2x ＋1
.
(1)判断函数f (x )的奇偶性并证明；
(2)当x ∈(1，＋∞)时，求函数f (x )的值域．
18. (本小题满分10分)已知函数f (x )＝log a
1－x 1＋x (a >0且a ≠1)的图象经过点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－45，2
. (1)求函数y ＝f (x )的解析式；
(2)设g(x)＝1－x
1＋x
，用函数单调性的定义证明：函数y＝g(x)在区间(－1,1)上单调递减．
19. (本小题满分12分)已知函数f(x)＝－9x＋3x＋1＋4.
(1)求函数f(x)的零点；
(2)当x∈[0,1]时，求函数f(x)的值域．
20. (本小题满分12分)某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资的函数模型为y＝k1x，B产品的利润与投资的函数模型为y＝k2xα，其关系分别为图①、图②所示．(利润和投资的单位为百万元)
(1)分别求出A，B两产品的利润与投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到1千万元，并准备全部投入到A，B两
种产品的生产，问怎样分配这1千万元投资，才能使企业获得
最大利润，其最大利润为多少？(精确到万元) 21. (本小题满分13分)已知函数f(x)＝
a
2
＋
2
2x＋1
是奇函数．
(1)求a的值；
(2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明；
(3)求f(x)的值域．
22. (本小题满分13分)已知函数f(x)＝log1
2
1－kx
x－1
为奇函数．
(1)求常数k的值；
(2)设h(x)＝
1－kx
x－1
，证明函数y＝h(x)在(1，＋∞)上是减函数；
(3)若函数g(x)＝f(x)－
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2
x＋m，且g(x)在区间[3,4]上没有零点，求实数m的取值范围．。