北京市中央民族大学附属中学2018届高三上学期12月月考数学理试题
2018-2019学年清华附中高三12月月考数学试卷 (理)试卷(附参考答案)
1
3
3
A. 2
B. 3
C. 2
D. 3
7. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（ ）
A. 3
B. 2 5
C. 6
D. 3 5
8. 在棱长为 2 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为棱 CD 的中点，点 P 是侧面 AA1D1D
上一动点，且 CP⊥B1E，则线段 CP 的取值范围为（ ）
B. ������ = ������3
C.
������ =
‒
1 ������
D. ������ = ������ ‒ 1
3. 甲、乙等四人排成一排，甲与乙不相邻的排法的种数有（ ）
A. 6
B. 12
C. 18
D. 24
4. 如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入 a 的值为 16，b 的值为
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：抛物线 y2=2x 的焦点到准线的距离为：p=1． 故选：B． 利用抛物线的方程求出 p 即可得到结果． 本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题． 2.【答案】B
【解析】
解：函数 y=x2 为偶函数，不满足条件； 函数 y=x3 为奇函数，在定义域内是单调递增的，满足条件；
的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取 A，B 两个型号的手机各 7 台，在 相同条件下进行测试，统计结果如下：
手机编号
1
2
3
4
5
6
7
A 型待机时间（h） 120 125 122 124 124 123 123
B 型待机时间（h） 118 123 127 120 124 a
b
2018北京中央民大附中高三(上)10月月考数学
2018北京中央民大附中高三（上）10月月考数 学（理）年级 高三 科目数学 时量 120分钟 总分 150分一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集=U R ，{|1},{|2},M x x P x x =≤=≥ 则()U M P =ðA.{|12}x x <<B.{|1}x x ≥C.{|2}x x ≤D.{|12}x x x ≤≥或2.计算： 55sin 175cos 55cos 5sin -的结果是（ ） A. 21- B. 21 C. 23- D. 23 3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，312S =，则7S 等于( )A ．14B ．28C ．56D ．1124．已知命题p ：使；命题q ：，都有，下列命题为真命题的是 A B C D5. 下列函数中为偶函数且在(0,)+∞上是增函数的是（ ） A. 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B. ln y x = C. 22x y x =+ D. 2x y -= 6． 已知函数2,4()(1),4x x f x f x x ⎧≥=⎨+<⎩ 则2(2log 3)f +的值为A. 24B. 16C. 12D. 117．已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =+的图象可能是A B C D 8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是(,0)x ∃∈-∞23x x <(0,)2x π∀∈tan sin x x >p q ∧()p q ⌝∨()p q ⌝∧()p q ⌝∧A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 2 1i=+_____ . 10.在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = sin A = . 11．已知不等式||1x m -<成立的充分不必要条件是1132x <<，则实数m 的取值范围是 12.将函数sin 2y x =的图象上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是13．设向量)cos 3,1(),1,(cos θθ==b a ，且b a //，则θ2cos = ．14．定义一种运算 12341423(,)(,)a a a a a a a a ⊗=- ,将函数())(cos ,cos 2)f x x x x =⊗的图象向左平移n(n>0)个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分。
2018年北京市民大附中高考数学三模试卷(理科)-教师用卷
2018年北京市民大附中高考数学三模试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={x|x−1x−3≤0}，B={x|x>2}，则A∩B=()A. (2,3)B. (2,3]C. [1,+∞)D. [1,2)【答案】A【解析】解：集合A={x|x−1x−3≤0}={x|1≤x<3}，B={x|x>2}，则A∩B={x|2<x<3}=(2,3)．故选：A．解不等式化简集合A，根据交集的定义写出A∩B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.“a>0”是“函数f(x)=x3+ax在区间(0,+∞)上是增函数”的()A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：函数f(x)=x3+ax在区间(0,+∞)上是增函数，所以f′(x)=3x2+a≥0，所以a≥0，显然，a>0则有函数f(x)=x3+ax在区间(0,+∞)上是增函数，函数f(x)=x3+ax在区间(0,+∞)上是增函数，a可以为0，所以“a>0”是“函数f(x)=x3+ax在区间(0,+∞)上是增函数”的充分而不必要条件．故选：B．求出导数，由题意求出a的范围，利用充要条件的判断方法，判断即可．此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，导数的应用，是一道基础题．3.复数z满足：(z−i)(2−i)=5；则z=()A. −2−2iB. −2+2iC. 2−2iD. 2+2i【答案】C【解析】解：：(z−i)(2−i)=5；∴z=i+52−i =i+5(2+i)(2−i)(2+i)=2+2i，则z=2−2i．故选：C．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为3，每次输入的a值均为4，输出s的值为160，则输入n的值为()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得x=3，k=0，s=0，a=4s=4，k=1不满足条件k>n，执行循环体，a=4，s=16，k=2不满足条件k>n，执行循环体，a=4，s=52，k=3不满足条件k>n，执行循环体，a=4，s=160，k=4由题意，此时应该满足条件k>n，退出循环，输出s的值为160，可得：4>n≥3，所以输入n的值为3．故选：B．模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的s，k的值，由题意可得4>n≥3，即可得解输入n的值．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．5.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边落到直线y=−2x上，则cos2α=()A. −35B. ±35C. 35D. −45【答案】A【解析】解：∵角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边落到直线y=−2x 上，∴tanα=−2，则cos2α=cos2α−sin2αcos2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α=1−41+4=−35，故选：A．利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α=cos2α−sin2αcos2α+sin2α的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．6. 在△ABC 中，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 是直线BN 上的一点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m 的值为( )A. 2B. −1C. 14D. 54【答案】B【解析】解：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又∵B ，P ，N 三点共线， m +2=1，∴m =−1． 故选：B ．根据向量的加减运算法则，通过AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，把AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出来，可得m 的值． 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用．7. 已知x ，y 满足{x ≥0x +y ≥0x −y ≤k(k 为常数)，若z =x −2y 最大值为8，则k =( )A. 3B. 4C. −3D. 163【答案】D【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图：由{x −y =k x+y=0，解得A( k2，−k2)， 将z =x −2y 转化为：y =12x −z2， 显然直线过A( k2，−k2)时，z 最大， z 的最大值是：k2+k =8，解得：k =163，故选：D ．由目标函数z =x −2y 的最大值为8，画出满足条件的平面区域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k 的方程组，消参后即可得到k 的取值．如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程(组)，代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值．8. 过直线l ：y =2x +a 上的点作圆C ：x 2+y 2=1的切线，若在直线l 上存在一点M ，使得过点M 的圆C 的切线MP ，MQ(P,Q 为切点)满足∠PMQ =90∘，则a 的取值范围是( ) A. [−10,10] B. [−√10,√10] C. (−∞,−10]∪[10,+∞) D. (−∞,−√10]∪[√10,+∞) 【答案】B【解析】解：圆C ：x 2+y 2=1，圆心为：(0,0)，半径为1， ∵在直线l 上存在一点M ，使得过M 的圆C 的切线MP ，MQ(P,Q 为切点)满足∠PMQ =90∘， ∴在直线l 上存在一点M ，使得M 到C(0,0)的距离等于√2，∴只需C(0,0)到直线l ：y =2x +a 的距离小于或等于√2， 故√1+4≤√2，解得−√10≤a ≤√10，故选：B ．由切线的对称性和圆的知识将问题转化为C(0,0)到直线l 的距离小于或等于√2，再由点到直线的距离公式得到关于a 的不等式求解．本题考查直线和圆的位置关系，由题意得到圆心到直线的距离小于或等于√2是解决问题的关键，属中档题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为x 2+y 2=1，曲线C 2的参数方程为{x =√2−t y =t(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C 1与C 2的交点的极坐标为______． 【答案】(1,π4)【解析】解：曲线C 1的方程为x 2+y 2=1， 曲线C 2的参数方程为{x =√2−t y =t (t为参数)．∴曲线C 2的普通方程为x +y −√2=0，联立{x 2+y 2=1x +y −√2=0，得x =√22，y =√22，∴ρ=√(√22)2+(√22)2=1，θ=π4，∴曲线C 1与C 2的交点的极坐标为(1,π4). 故答案为：(1,π4).曲线C 2的参数方程消去参数，得曲线C 2的普通方程为x +y −√2=0，联立{x 2+y 2=1x +y −√2=0，得x =√22，y =√22，由此能求出曲线C 1与C 2的交点的极坐标．本题考查两个曲线的交点的极坐标的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．10. 已知等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1=2，a 1，a 2，a 4是等比数列{b n }的前三项，则等差数列{a n }的公差d =______，等比数列{b n }的前n 项S n =______ 【答案】2；2n+1−2【解析】解：由a 1=2，a 1，a 2，a 4是等比数列{b n }的前三项，得a 22=a 1a 4，即(2+d)2=2(2+3d)，解得d =2． ∴a 2=a 1+d =4，则数列{b n }是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴S n =2(1−2n )1−2=2n+1−2．故答案为：2；2n+1−2．由已知列式求出等差数列的公差，进一步得到等比数列的公比，代入等比数列的前n 项和公式求等比数列{b n }的前n 项S n ．本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质及前n 项和，是中档题．11. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面中有______个直角三角形，侧面中所有直角三角形的面积是______ 【答案】3；4+√2【解析】解：四棱锥的直观图如图所示：S −ABCD ，是正方体的一部分，其中△SAB ，△SAD ，△SBC 是直角三角形；共有3个．正方体的棱长为2，所以3个直角三角形的面积和为：12×2×2+12×2×2+12×1×2√2=4+√2．故答案为：3；4+√2．利用三视图画出直观图，判断直角三角形的个数，求出面积即可．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．12. 已知a =2∫x 10dx ，函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f(x +π4)+a 图象的对称中心可以是______【答案】(kπ2−5π12,1)，k ∈π【解析】解：由图象值A =2，周期T =4×(π3−π12)=4×3π12=π， 即2πω=π，则ω=2， 则f(x)=2sin(2x +φ)， ∵f(π12)=2sin(2×π12+φ)=2， ∴sin(π6+φ)=1，即π6+φ=2kπ+π2，则φ=2kπ+π3， ∵|φ|<π2，∴当k =0时，φ=π3，则f(x)=2sin(2x+π3)，a=2∫x10dx=2×12x2| 01=1，则y=f(x+π4)+a=f(x+π4)+1=2sin[2(x+π4)+π3]+1=2sin(2x+5π6)+1，由2x+5π6=kπ得x=kπ2−5π12，k∈Z，即函数的对称中心为(kπ2−5π12,1)，k∈Z，故答案为：(kπ2−5π12,1)，k∈Z根据条件先求出函数的解析式，结合函数的对称性进行求解即可．本题主要考查三角函数解析式以及三角函数的对称性的求解，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．13.某单位安排甲乙丙等5人从星期一到星期五值班，每人值班1天，每天值班1人，其中甲不值周一，乙不值周二，且甲和丙在相邻的两天值班，则不同的安排方案有______种(用数学作答)．【答案】34【解析】解：根据题意，甲和丙在相邻的两天值班，则分4种情况讨论：①，甲和丙安排在周一二值班，由于甲不值周一，则只有甲值周二，丙值周一这1种情况，将剩余的3人全排列，安排在剩下的3天值班，有A33=6种情况，此时有1×6=6种安排方法；②，甲和丙安排在周二三值班，则甲丙的安排方法有A22=2种，将剩余的3人全排列，安排在剩下的3天值班，有A33=6种情况，此时有2×6=12种安排方法；③，甲和丙安排在周三四值班，则甲丙的安排方法有A22=2种，乙不值周二，则乙有2种情况，将剩余的2人全排列，安排在剩下的2天值班，有A22=2种情况，此时有2×2×2=8种情况，④，甲和丙安排在周四五值班，则甲丙的安排方法有A22=2种，乙不值周二，则乙有2种情况，将剩余的2人全排列，安排在剩下的2天值班，有A22=2种情况，此时有2×2×2=8种情况，则一共有6+12+8+8=34种；故答案为：34．根据题意，由于甲和丙在相邻的两天值班，据此分4种情况讨论：①，甲和丙安排在周一二值班，②，甲和丙安排在周二三值班，③，甲和丙安排在周三四值班，④，甲和丙安排在周四五值班，分别求出每一种的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．本题考查分类计数原理，分类讨论要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．14.设函数f(x)={2x,x<a−x3+3x,x≥a．(1)若a=0，则f(x)的最大值是______(2)若f(x)有最大值，则a的取值范围是______【答案】2；a ≤1【解析】解：函数f(x)={2x,x <a −x 3+3x,x≥a． (1)a =0时，f(x)={2x,x <0−x 3+3x,x≥0， 则f′(x)={2,x <0−3x 2+3,x≥0，当0<x <1时，f′(x)>0，此时函数为增函数， 当x >1时，f′(x)<0，此时函数为减函数， 当x <0时，f(x)<0；∴x =1时，f(x)取得最大值为2； (2)f′(x)={2x,x <a −3x 2+3,x≥a， 令f′(x)=0，则x =±1，若f(x)有最大值，则{2a ≤2a≤1，或{2a ≤−a 3+3a a>1，解得：a ≤1或a ∈⌀； ∴a 的取值范围是a ≤1． 故答案为：(1)2，(2)a ≤1．(1)a =0时，讨论f(x)的图象与性质，求出f(x)的最大值；(2)利用导数研究f(x)的单调性，求出f(x)有最大值时a 的取值范围．本题考查了分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知acos(B −C)−acos(B +C)=2√3bsinCcosA(Ⅰ)求角A(Ⅱ)若△ABC 的周长为8，外接圆半径为√3，求△ABC 的面积． 【答案】(本小题满分13分)解：(Ⅰ)∵acos(B −C)−acos(B +C)=2√3bsinCcosA ，∴a(cosBcosC +sinBsinC −cosBcosC +sinBsinC)=2√3bsinCcosA ， ∴2asinBsinC =2√3bsinCcosA ，∴由正弦定理可得：sinAsinBsinC =√3sinBsinCcosA ， ∵sinB >0，sinC >0， ∴sinA =√3cosA ，∴tanA =√3，由A ∈(0,π)， 可得：A =π3．(Ⅱ)∵△ABC 的周长为8，外接圆半径为√3， ∴根据正弦定理asinA =2R 得，√32=2√3，解得a =3，∴b +c =5，平方可得b 2+c 2+2bc =25， ∵又由余弦定理可得：9=b 2+c 2−bc ， ∴9=b 2+c 2−bc =25−3bc ，解得：bc =163，∴S △ABC =12bcsinA =12×163×√32=4√33．【解析】(Ⅰ)由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理可求tanA 的值，结合A 的范围即可得解A 的值．(Ⅱ)由已知根据正弦定理可求a ，由已知可得b 2+c 2+2bc =25，由余弦定理进而可得bc 的值，根据三角形面积公式即可计算得解．此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．16. 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量(单位：台)，并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．(1)求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数； (2)从乙型号的10个销售数据中任取两个数据，记其中大于等于30的数据有X 个，求X 的分布列和数学期望E(X)(3)若a =1，记乙型号电视机销售量的方差为s 2，根据茎叶图推断b 为何值时，s 2达到最小值(只需写出结论)【答案】解：(1)根据茎叶图，得甲组数据的平均数为10+10+18+14+22+25+27+30+41+4310=24，由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数为5．(2)X 的可能取值为0，1，2乙型电视机销售数据中有5个数据大于等于30.P(X =0)=∁52∁102=29，P(X =1)=∁51∁51∁102=59，P(X =2)=∁52∁102=29．所以X 的分布列为 X 012P295929X 的数学期望E(X)=0×29+1×59+2×29=1．(3)当b =0时，s 2达到最小值达到最小值．【解析】(1)根据茎叶图，利用平均数的计算公式可得得甲组数据的平均数，即可得出由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数．(2)X 的可能取值为0，1，2.利用超几何分布列的计算公式及其性质即可得出． (3)当b =0时，s 2达到最小值达到最小值．本题考查了茎叶图的性质、超几何分布列的性质、随机变量的数学期望与方差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17. 在三棱柱A′B′C′−ABC 中，A′A =5，AB =4，A′B =AC =3，AC ⊥BC ，cos∠A′AC =35 (1)求证：面A′C′CA ⊥面A′BC(2)求二面角C −A′A −B 的余弦值；(3)若E ，F 分别为棱A′B′，′BC 上的点，A′E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λA′B′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且EF//面A′C′CA ，求λμ的最大值．【答案】证明：(1)∵在三棱柱A′B′C′−ABC 中，A′A =5，AB =4，A′B =AC =3，AC ⊥BC ，cos∠A′AC =35， ∴A′C =√AA ′2+AC 2−2×AA ′×AC ×cos∠A ′AC =√25+9−2×5×3×35=4， 在△A′AC 中，A′A 2=AC 2+A′C 2，∴A′C ⊥AC ， ∵AC ⊥BC ，A′C ∩BC =C ，∴AC ⊥面A′BC ，∵AC ⊂面A′C′CA ，∴面A′C′CA ⊥面A′BC ．解：(2)∵A′A =5，AB =4，A′B =3，∴A′B ⊥AB ，∵AC ⊥面A′BC ，∴A′B ⊥AC ，又∵AC ∩AB =A ，∴A′B ⊥面ABC ， 如图过点B 作AC 的平行线建立坐标系， AC ⊥BC ，AB =4，AC =3，∴BC =√7，∴C(√7,0,0)，A(√7,3，0)，A′(0,0，3)，B′(−√7,−3,3)，设面A′AC 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， AA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√7,−3,3)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，0)， ∴{n ⃗ ⋅AA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√7x +3y −3z =0n⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3y =0，令z =7，得n⃗ =(3,0，√7)， 设面A′AB 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， AA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√7,−3,3)，BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(√7,3，0)， ∴{m ⃗⃗⃗ ⋅AA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√7x +3y −3z =0m⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√7x +3y =0，令y =−√7，得m ⃗⃗⃗ =(3,−√7,0)，设所求二面角为α，则|cosα|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=916，而α∈(0,π2)， ∴二面角C −A′A −B 的余弦值cosα=916．(3)∵A ′E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λA ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BF⃗⃗⃗⃗⃗ =μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设E(x 1,y 1,z 1)，F(x 2,y 2,z 2)，∴{(x 1,y 1,z 1−3)=λ(−√7,−3,0)(x 2,y 2,z 2)=μ(√7,0,0)，∴E(−√7λ,−3λ,3)，F(3√7,0，0)，∴EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(3√7+√7λ,3λ,−3)，n ⃗ =(3,0，√7)， 由EF//面A′C′CA ，得EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，∴3(√7μ+√7λ)−3√7=0， ∴λ+μ=1，而λ，μ∈(0,1)， ∴λμ≤(λ+μ2)2=14，∴λμ的最大值为14，此时λ=μ=12．【解析】(1)求出A′C =4推导出A′C ⊥AC ，AC ⊥面A′BC ，由此能证明面A′C′CA ⊥面A′BC ．(2)推导出A′B ⊥AB ，A′B ⊥AC ，从而A′B ⊥面ABC ，过点B 作AC 的平行线建立坐标系，利用向量法能求出二面角C −A′A −B 的余弦值．(3)推导出EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3√7+√7λ,3λ,−3)，n ⃗ =(3,0，√7)，由EF//面A′C′CA ，得EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，由此能求出λμ的最大值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查两数值的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18. 如图，已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的上顶点为A(0,1)，离心率为√22．(I)求椭圆C 的方程； (II)若过点A 作圆M ：(x +1)2+y 2=r 2(圆M 在椭圆C 内)的两条切线分别与椭圆C 相交于B ，D 两点(B,D 不同于点A)，当r 变化时，试问直线BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．【答案】解：(Ⅰ)∵e =c a=√1−b 2a 2=√22，由题设知{b =1b 2a 2=12⇒{b =1a =√2． 故所求椭圆C 的方程是x 22+y 2=1．(Ⅱ)：设切线方程为y =kx +1，则有，化简得|1−k|√1+k 2=r ，即(1−r 2)k 2−2k +1−r 2=0设两条切线分别的斜率分别为k 1，k 2，于是k 1，k 2是方程(1−r 2)k 2−2k +1−r 2=0的两实根，故k 1⋅k 2=1．设直线BD 的方程为y =mx +t ，由{x 2+2y 2=2y=mx+t得(1+2m 2)x 2+4tmx +2t 2−2=0， ∴x 1+x 2=−4mt1+2m 2，x 1x 2=2t 2−21+2m 2，又k 1k 2=y 1−1x 1⋅y 2−1x 2=1，即(mx 1+t −1)(mx 2+t −1)=x 1x 2⇒(m 2−1)x 1x 2+m(t −1)(x 1+x 2)+(t −1)2=0，⇒(m 2−1)2(t 2−1)1+2m 2+m(t −1)−4mt 1+2m 2+(t −1)2=0，⇒t =−3．∴直线BD 过定点(0,−3)【解析】(Ⅰ)利用已知条件求出a ，b 即可求解椭圆C 的方程．(Ⅱ)设切线方程为y =kx +1，则有(1−r 2)k 2−2k +1−r 2=0，设两条切线分别的斜率分别为k 1，k 2，于是k 1，k 2是方程(1−r 2)k 2−2k +1−r 2=0的两实根，故k 1⋅k 2=1．设直线BD 的方程为y =mx +t ，由{x 2+2y 2=2y=mx+t 得(1+2m 2)x 2+4tmx +2t 2−2=0，又k 1k 2=y 1−1x 1⋅y 2−1x 2=1，即(mx 1+t −1)(mx 2+t −1)=x 1x 2⇒(m 2−1)x 1x 2+m(t −1)(x 1+x 2)+(t −1)2=0，求得t ，推出直线BD 过定点．本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线恒过定点问题，考查转化思想以及计算能力．19. 已知函数f(x)=e x (x −1)(x ∈R)．(Ⅰ)求函数f(x)在x =1处的切线方程；(Ⅱ)讨论函数g(x)=f(x)−m(x −1)2零点的个数．【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=xe x ，∴f′(1)=e ，切点为(1,0)，则切线方程为y −0=e(x −1)，即ex −y −e =0．(Ⅱ) 函数g(x)=f(x)−m(x −1)2零点的个数即是方程f(x)−m(x −1)2=0根的个数，等价于两个函数ℎ(x)=e x x−1与函数y =m 图象交点的个数加1． ℎ′(x)=e x (x−2)(x−1)2，当x ∈(−∞,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(−∞,1)上单调递减；当x ∈(1,2)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(1,2)上单调递减；当x ∈(2,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(2,+∞)上单调递增，∴ℎ(x)在(1,+∞)上有最小值为ℎ(2)=e 2.其图象为：当m ∈(−∞,0)或m =e 2时，函数ℎ(x)=e x x−1与函数y =m 图象交点的个数为1；当m ∈[0,e 2)时，函数ℎ(x)=e xx−1与函数y =m 图象交点的个数为0；当m ∈(e 2,+∞)时，曲函数ℎ(x)=e x x−1与函数y =m 图象交点的个数为2．综上所述，当m ∈(e 2,+∞)时，时，函数g(x)有三个零点；当m ∈(−∞,0)或m =e 2时时，函数g(x)有两个零点；当m ∈[0,e 2)时时，函数g(x)有一个零点．【解析】(Ⅰ)f′(x)=xe x ，可得f′(1)=e ，切点为(1,0)，利用点斜式即可得出． (Ⅱ) 函数g(x)=f(x)−m(x −1)2零点的个数即是方程f(x)−m(x −1)2=0根的个数，等价于两个函数ℎ(x)=e x x−1与函数y =m 图象交点的个数加1.ℎ′(x)=e x (x−2)(x−1)2，利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、函数零点、分类讨论方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20. 已知曲线C ：xy =1，过C 上一点A 1(x 1,y 1)作斜率k 1的直线，交曲线C 于另一点A 2(x 2,y 2)，再过A 2(x 2,y 2)作斜率为k 2的直线，交曲线C 于另一点A 3(x 3,y 3)，…，过A n (x n ,y n )作斜率为k n 的直线，交曲线C 于另一点A n+1(x n+1,y n+1)…，其中x 1=1，k n =−x n +1x n 2+4x n (x ∈N ∗) (1)求x n+1与x n 的关系式；(2)判断x n 与2的大小关系，并证明你的结论；(3)求证：|x 1−2|+|x 2−2|+⋯+|x n −2|<2．【答案】解：(1)由已知过A n (x n ,y n )斜率为−x n +1x n 2+4x n 的直线为y −y n =−x n +1x n 2+4x n (x −x n )， 直线交曲线C 于另一点A n+1(x n+1,y n+1)所以y n+1−y n =−x n +1x n 2+4x n (x n+1−x n )(2分) 即1x n+1−1x n =−x n +1x n 2+4x n (x n+1−x n )，x n+1−x n ≠0， 所以x n+1=x n +4x n +1(n ∈N ∗)(4分) (2)解：当n 为奇数时，x n <2；当n 为偶数时，x n >2(5分)因为x n −2=x n−1+4x n−1+1−2=−x n−1−2x n−1+1，(6分) 注意到x n >0，所以x n −2与x n−1−2异号由于x 1=1<2，所以x 2>2，以此类推，当n =2k −1(k ∈N ∗)时，x n <2；当n =2k(k ∈N ∗)时，x n >2(8分)(3)由于x n >0，x n+1=x n +4x n +1=1+3x n +1，所以x n ≥1(n =1,2，3，)(9分)所以|x n+1−2|=|x n −2x n +1|=|x n −2||x n +1|≤12|x n −2|(10分) 所以|x n −2|≤12|x n−1−2|≤122|x n−2−2|≤⋯≤12n−1|x 1−2|=12n−1(12分) 所以|x 1−2|+|x 2+2|+⋯+|x n −2|≤1+12+(12)2+⋯+(12)n−1=2−(12)n−1<2(14分)【解析】(1)过A n (x n ,y n )斜率为−x n +1x n 2+4x n 的直线为y −y n =−x n +1x n 2+4x n (x −x n )，A n+1在直线上，化简即可求x n+1与x n 的关系式；(2)利用(1)的结论，分当n 为奇数时，判断x n <2；当n 为偶数时，判断x n >2，然后推理证明的结论；(3)利用x n+1=x n+4x n+1=1+3x n+1，再利用放缩法，推出|x n−2|≤12n−1，再证明|x1−2|+|x2−2|+⋯+|x n−2|<2．本题考查直线的斜率，不等式的证明，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．。
北京中央民族大学附属中学高三数学12月月考试题 理 新人教A版
中央民族大学附属中学2014届高三年级12月月考数学试题（理科）2013.12.7一．选择题（每小题5分，共40分）1．设复数z 满足(1)2i z +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为 （ ）A ．2iB ．2C ．1-D ．i -2．某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是59,则 （ ） A ．4=a B ．5=aC ．6=aD ．7=a3．若方程21x --x -a=0有两个不同的实数解，则实数a 的取值 范围为 ( )（A ）(-2，2) （B ）22]（C ）[-12) （D ） [12)4．若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为 （ ）(A) -3 (B) 1 (C) 2 (D) 35．已知正四棱锥S ABCD -中，23SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 （ ）（A ）1 （B 3（C ）2 （D ）3 6．在圆22260x y x y +--=内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则 四边形ABCD 的面积为 A ．25B ．210C ．152D ．2207．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） （A ）,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒ （B ）//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒开始S =1，k =1k >a ? S =S +1k (k +1) k =k+1输出S结束是否 （第2题图）（C ）,//m m n n αα⊥⊥⇒ （D ）//,m n n m αα⊥⇒⊥8．已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB •u u u v u u u v的最小值为（ ）(A) 3-+(B)3-(C) 4-+ (D)4-二．填空题（每小题5分，共30分） 9．若函数()f x ax b =-的零点是1， 则2()g x bx ax =-的零点是 .10．例6. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积为______11．直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 .12．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f(x)＝－x 2，若对任意的x ∈[t ，t ＋2]，不等式f(x+t) ≥2f(x)恒成立，则实数t 的取值范围为__13．在直角坐标系xOy 中，M 是曲线1C ：1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩ (t 为参数)上任意一点，N 是曲线2C ：1cos ,sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数)上任意一点，则MN 的最小值为 .14．已知关于x 的方程x 3+ax 2+bx+c=0有三个实数根可作为一个椭圆、一个双曲线、一个抛物线的离心率（抛物线的离心率为1），则1a 1+-b 的取值范围为 三．解答题（共80分）15．（本小题共13分）已知函数2()22sin f x x x =-．（Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （II ）求函数()f x 的零点的集合。
2018-2019学年清华附中高三12月月考数学试卷 (理)试卷(解析卷)
18. 抛物线 C：y2=2px（p＞0）上的点 M（4，yM）到其准线的距离为 5． （Ⅰ）求抛物线 C 的标准方程； （Ⅱ）过点 P（2，0）作直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，Q 是 y 轴上一点，且 Q，A，B 三点不共线），直线 AQ 与直线 x=-2 交于点 N，判断直线 PQ 与 BN 的 位置关系，并说明理由．
19. 已知函数 f（x）=（x-1）ex-ax（x≥0）． （Ⅰ）求函数 f（x）的图象在（1，f（1））处的切线在 y 轴上的截距； （Ⅱ）若函数 f（x）的最小值为-3e2，求实数 a 的值．
20. 已知 n 是给定的不小于 3 正整数，如果数列 A：a1，a2，…，an 满足：对于任意的 i=1，2，…，n，均有������������＜������������(‒������1)，其中 S（A）=a1+a2+…+an，那么称数列 A 为“紧 密数列”． （Ⅰ）若“紧密数列”A：a1，a2，a3，a4 为等差数列，a1=1，求数列 A 的公差 d 的取值范围； （Ⅱ）数列 A：a1，a2，…，an 为“紧密数列”，求证：对于任意互不相等的 i，j，k∈{1，2，…，n}，均有 ai+aj＞ak； （Ⅲ）数列 A：a1，a2，…，an 为“紧密数列”，对于任意的 i=1，2，…，n，ai∈Z，且 ai+1-ai≠0（1≤i≤n-1）成立，求 S（A）的最小值 Tn．
A.
[4 3,
3
5]
B.
[3 2,
2
5]
C.
[4 3,
3
6]
D.
[3 2,
2
6]
二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分）
9.
高考中央民大附中第一学期高三年级考试数学
高考中央民大附中第一学期高三年级考试数学数 学 试 卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时刻120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合A ，B ，I ，φ≠⋂⊂⊂B A I B I A 且,,.则下面关系式正确的是 （ ）A ．（IA ）∪（IB ）=I B ．（IA ）∪B=IC ．A ∪B=ID ．（I （A ∩B ））∪（A ∩B ）=I2．已知函数)()(),0()(2x m f x m f a c bx ax x f -=+≠++=且，则m 等于（ ）A ．a b 2B ．－a b2 C ．ab D ．－ab 3．（理科）)43(11i ii+-+=（ ）A ．－4+3iB ．－4－3iC ．4+3iD ．4－3i（文科）为了得到函数y=cos(2x +4π)的图象，能够将函数y=sin （2x +2π）的图象（ ） A ．向左平移4π个单位长度 B ．向左平移2π个单位长度C ．向右平移4π个单位长度D ．向右平移2π个单位长度4．已知函数=≤+=-)2(),0)(1lg()(12f x x x f 则（ ）A ．10B ．－10C ．311D ．－311 5．x y>0是|x+y|=|x |+|y|的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件6．已知点A （2，1），B （3，－1）则向量OB OA 和的夹角等于 （ ）A ．2πB ．4π C ．3π D ．6π 7．已知n x x)1(530+的二项展开式的第六项是常数项，那么n 的值是（ ）A ．32B ．33C ．34D ．358．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 2做垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，若∠PF 1F 2=30°，那么椭圆的离心率是 （ ）A ．sin30°B ．cos30°C ．tan30°D ．sin45°9．已知正方体的棱长为a ，以正方体的六个面的中心为顶点的多面体的表面积是 （ ）A ．2833a B ．23aC ．2433a D ．2233a 10．（理科）正弦曲线y=sin x 上一点P ，正弦曲线的以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l的倾斜角的范畴是 （ ） A ．),43[]4,0[πππ⋃ B ．),0[πC ．]43,4[ππD ．]43,2(]4,0[πππ⋃ （文科）函数)2121(2≤≤-=x x y 图象上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范畴是（ ） A ．),43[]4,0[πππ⋃ B ．),0[πC ．]43,4[ππD ．]43,2(]4,0[πππ⋃ 11．已知在直角坐标系中一点A （－3，1），一条直线l ：x=1，平面内一动点P ，点P 到点A 的距离与到直线l 的距离相等，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．(y+1)2=8(x －1)B ．(y －1)2=8(x+1)C ．－(y+1)2=8(x －1)D ．(y －1)2=－8(x+1)12．有5粒种子，每粒种子发芽的概率均是98%，在这5粒种子中恰有4粒发芽的概率是（ ） A ．0.984×0.02B ．0.98×0.024C ．C 54×0.984×0.02D ．C 54×0.98×0.024第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共四小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上. 13．曲线：)22cos(3π+=x y 的所有对称中心的坐标是 .14．已知数列{a n }的前n 项的和2)13(3+=n n S ，则数列{a n }的通项a n = .15．已知双曲线1422=-y x 的虚轴的上端点为B ，过点B 引直线l 与双曲线的左支有两个不同的公共点，则直线l 的斜率的取值范畴是 . 16．下面四个命题 ①过已知直线外一点，与已知直线平行的直线有且只有一条； ②过已知直线外一点，与已知直线垂直的直线有且只有一条 ； ③过已知平面外一点，与已知平面平行的直线有且只有一条； ④过已知平面外一点，与已知平面垂直的直线有且只有一条；其中命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解承诺应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数xx x x f 2cos 4sin 5cos 6)(24-+=，求：（1）函数f (x )的定义域； （2）函数f (x )的周期和值域. 18．（理科、本小题满分12分）已知函数224)4()(x x x f -+=，求： （1）函数的单调区间；（2）函数的最大值和最小值； （文科、本小题满分12分） 已知函数6)2()1(2131)(23++-++=x a x a ax x f 的极大值是f (－3)=15, （1）是否存在极小值？若存在求出极小值.若不存在说明理由；（2）求函数f (x )的单调区间.19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD是等腰直角三角形，PA=PD，且侧面PAD⊥底面AC，求：（1）点A到平面PCD的距离；（2）二面角A—PB—C的大小.20．（理科、本小题满分12分）有三种产品，合格率分别为70%，80%和90%.在这三种产品中各抽取一件产品进行检测，以抽取的产品中不合格的产品的数量为随机变量ξ（精确到0.001）.（1）写出随机变量ξ的概率分布列；（2）求ξ的期望.（文科、本小题满分12分）有三种产品，合格率分别为70%，80%和90%.在这三种产品中各抽取一件产品进行检测.求：（1）恰有一件次品的概率；（2）至少有一件是次品的概率.21．（本小题满分12分）已知抛物线y2=8x上两个动点A、B及一个定点M（x0, y0），F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N.（1）求点N的坐标（用x0表示）；（2）过点N与MN垂直的直线交抛物线于P、Q两点，若|MN|=42，求△MPQ的面积.22．（本小题满分14分）已知数列：a, 2a+1, 3a －2, 4a+3, …, na+(－1)n (n －1), …的前n 项的和S n . （1）求该数列的前n 项的和S n ;（2）若212122+-+>n n n S S S ，求a 的取值范畴.数学试卷参考答案一、选择题：DBAD ABDC BADC二、填空题：13．);)(0,2(Z k k ∈π14．⎩⎨⎧≥==)2(3)1(6n n a nn 15．)22,21( 16．①，④.三、解答题：17．解：（1）2202cos ππ+≠⇒≠k x x …………2分 得)(22Z k k x ∈+≠ππ……4分 （2）化简得 ).42(212cos 23)(ππ+≠+=k x x x f .……8分 因此 周期T=]2,21()21,1[,⋃-值域为π……12分18．（理科）解：（1）332,0,0,4)34(22±==='--='x x y x x x y 得令.……4分 当－2<x <－332时，y ′>0，y 是增函数；当－332<x <0时，y ′<0, y 是减函数；8分当0<x <332时，y ′>0，y 是增函数； 当332<x <2时，y ′<0, y 是减函数； （2）由（1）得 02)(,8)0(6932)332(=±===±=f f y f y 极小值极大值因此最大值是6932；最小值是0.………………………………12分 （文科）解：（1）由y 极大值=f (－3)=15, 得a =1. …………2分 得y ′=x 2+2x －3， 令y ′=0，得x =－3, 或x =1, ……4分 判定 ,313)1(==f y 极小值 ……8分 （2）),1()1,3(),3,(+∞---∞和分别是函数的增区间、减区间和增区间.……12分.19．（1）PA ⊥平面PCD ，PA=22a ；…………4分 （2）做PP ′ // AB,得二面角P ′—PB —C 与二面角A —PB —C 互补.做P ′E ⊥PB ，得∠P ′EC 是二面角P ′—PB —C 的平面角.……………………8分解Rt △C P ′E ，得tan ∠P ′EC=26. 得二面角A —PB —C 的大小是π－arctan26.……12分20．（理科）（1）ξ 0 1 2 3P 0.504 0.398 0.092 0.006； ……8分（2）E ξ= 0.6. …………12分 （文科）（1）0.0398；………6分 （2）0.496. ……12分 21．（1）设A(x 1, y 1)、B(x 2、y 2)，由|AF|、|MF|、|BF|成等差数列得x 1+x 2=2x 0.得线段AB 垂直平分线方程：),(20212121x x y y x x y y y ----=+-令y=0，得 x =x 0+4, 因此N(x 0+4, 0). ………………6分 （2）由M(x 0, y 0) , N(x 0+4, 0), |MN|=42, 得x 0=2.由抛物线的对称性，可设M 在第一象限，因此M(2, 4), N(6,0).直线PQ: y=x －6, 由),4,2(),12,18(.8,62-⎩⎨⎧=-=Q P x y x y 得得△MPQ 的面积是64.……12分22．（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+++=)(212)1()(22)1(为奇数为偶数n n a n n n n a n n S n ……8分（2）0)1(212212122>+-=+-+-a n S S S n n n ，得a<3……14分。
北京市中央民族大学附中2018届高三上学期月考物理试卷
2018-2018学年北京市中央民族大学附中高三（上）月考物理试卷（9月份）一、本题共10小题，每小题3分，共30分，全部选对的得3分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分1．在不计空气阻力作用的条件下，下列说法中正确的是（）A．自由落体的小球在空中运动的任意一段时间内，其增加的动能一定等于其减小的重力势能B．做平抛运动的小球在空中运动的任意相同的时间内，其速度的变化量一定相同C．做匀速圆周运动的小球在任意一段时间内其合外力做的功一定为零，合外力的冲量也一定为零D．单摆在一个周期内，合外力对摆球做的功一定为零，合外力的冲量也一定为零2．在水平桌面上有一个倾角为α的斜面体．一个质量为m的物块，在平行于斜面的拉力F作用下，沿斜面向上做匀速运动．斜面体始终处于静止状态．已知物块与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g．下列结论正确的是（）A．斜面对物块的摩擦力大小是FB．斜面对物块的摩擦力大小是μmgC．桌面对斜面体的摩擦力大小是0D．桌面对斜面体的摩擦力大小是Fcosα3．在游乐园中，游客乘坐升降机可以体验超重与失重的感觉，关于游客在随升降机一起运动的过程中所处的状态，下列说法中正确的是（）A．游客处在失重状态时，升降机一定在加速下降B．游客处在失重状态时，升降机可能向上运动C．游客处在失重状态时，升降机一定向下运动D．游客处在失重状态时，升降机的加速度方向一定向下4．如图所示，长为L的小车置于光滑的水平面上，小车前端放一小物块，用大小为F的水平力将小车向右拉动一段距离l，物块刚好滑到小车的左端，物块与小车间的摩擦力为F f，在此过程中（）A．系统产生的内能为F f L B．系统增加的机械能为FlC．物块增加的动能为F f L D．小车增加的动能为Fl﹣F f L5．使物体脱离星球的引力束缚，不再绕星球运行，从星球表面发射所需的最小速度称为第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2=v1．已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的．不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为（）A．B．C．D．6．如图甲所示，静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆．则小物块运动到x0处时的动能为（）A．0 B．F m x0C．F m x0 D．x187．某载人飞船运行的轨道示意图如图所示，飞船先沿椭圆轨道1运动，近地点为Q，远地点为P，当飞船经过点P时点火加速，使飞船由椭圆轨道1转移到圆轨道2上运行，在圆轨道2上飞船运行周期约为90min．关于飞船的运行过程，下列说法中正确的是（）A．飞船在轨道1和轨道2上运动时的机械能相等B．飞船在轨道1上运行经过P点的速度小于经过Q点的速度C．飞船在轨道2上运行的角速度是地球同步卫星运行的角速度的16倍D．飞船在轨道1上运行经过P点的加速度等于在轨道2上运行经过P点的加速度8．在同一高度处有五个完全相同的小球，第一个小球由静止释放，另外四个小球以相同大小的初速度分别沿水平方向、竖直向下方向、斜向上45°方向和斜向下45°方向抛出，最后五个小球都落到同一水平地面上，五个小球落地时重力的瞬时功率分别为P1、P2、P3、P4和P5．不计空气阻力，则下列说法中正确的是（）A．P1＞P2＞P3＞P4＞P5B．P1＜P2＜P3＜P4＜P5C．P1=P2=P3=P4=P5D．P1=P2＜P4=P5＜P39．完全相同的甲、乙两个物体放在相同的水平面上，分别在水平拉力F1、F2作用下，由静止开始做匀加速直线运动，分别经过t0和4t0，速度分别达到2v0和v0，然后撤去F1、F2，甲、乙两物体继续做匀减速直线运动直到静止，其速度随时间变化情况如图所示，则（）A．若F1、F2作用时间内甲、乙两物体的位移分别为s1，s2，则s1＞s2B．若整个过程中甲、乙两物体的位移分别为s1、s2，则有s1＞s2C．若F1、F2所做的功分别为W1，W2，则W1＞W2D．若F1、F2的冲量分别为I1，I2，则I1＞I210．如图所示，劲度系数为k的轻弹簧的一端固定在墙上，另一端与置于水平面上质量为m的物体A接触，但未与物体A连接，弹簧水平且无形变．现对物体A 施加一个水平向右的瞬间冲量，大小为I0，测得物体A向右运动的最大距离为x0，之后物体A被弹簧弹回最终停在距离初始位置左侧2x0处．已知弹簧始终在弹簧弹性限度内，物体A与水平面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，下列说法中正确的是（）A．物体A整个运动过程，弹簧对物体A的冲量为零B．物体A向右运动过程中与弹簧接触的时间一定等于物体A向左运动过程中与弹簧接触的时间C．物体A向左运动的最大动能E km=﹣2μmgx0D．物体A与弹簧作用的过程中，系统的最大弹性势能E p=﹣μmgx0二、本题共2小题，共15分11．（9分）某同学利用如图1所示的实验装置验证牛顿第二定律，请回答下列有关此实验的问题：（1）该同学在实验前准备了图1中所示的实验装置及下列辅助器材：A．交流电源、导线B．天平（含配套砝码）C．秒表D．刻度尺E．细线、砂和小砂桶其中不必要的器材是（填代号）．（2）打点计时器在小车拖动的纸带上打下一系列点迹，以此记录小车的运动情况．其中一部分纸带上的点迹情况如图2所示，已知打点计时器打点的时间间隔T=0.18s，测得A点到B、C点的距离分别为x1=5.99cm、x2=13.59cm，则在打下点迹B时，小车运动的速度v B=m/s；小车做匀加速直线运动的加速度a= m/s2．（结果保留三位有效数字）（3）在验证“质量一定，加速度a与合外力F的关系”时，某学生根据实验数据作出了如图3所示的a﹣F图象，其中图线不过原点的原因是，图线在末端弯曲的原因是．（4）该实验中，若砂桶和砂的质量为m，小车质量为M，细线对小车的拉力为F，则拉力F与mg的关系式为，若要使||＜10%，则m与M的关系应满足．12．在利用打点计时器验证做自由落体运动的物体机械能守恒的实验中．（1）需要测量物体由静止开始自由下落到某点时的瞬时速度v和下落高度h，某小组的同学利用实验得到的纸带，共设计了以下四种测量方案，其中正确的是A．用刻度尺测出物体下落的高度h，并测出下落时间t，通过v=gt计算出瞬时速度vB．用刻度尺测出物体下落的高度h，并通过v=计算瞬时速度vC．根据做匀变速直线运动时纸袋上某点的瞬时速度，等于这点前、后相邻两点间的平均速度，测算出瞬时速度v，并通过h=计算出高度hD．用刻度尺测出物体下落的高度h，根据做匀变速直线运动时纸袋上某点的瞬时速度，等于这点前、后相邻两点的平均速度，测算出瞬时速度v（2）已知当地重力加速度为g，使用交流电的频率为f．在打出的纸带上选取连续打出的五个点A、B、C、D、E，如图所示．测出A点距离起始点O的距离为s0，A、C两点间的距离为s1，C、E两点间的距离为s2，根据前述条件，如果在实验误差允许的范围内满足关系式，即验证了物体下落过程中机械能是守恒的．而在实际的实验结果中，往往会出现物体的动能增加量略小于重力势能的减小量，出现这样结果的主要原因是．三、本题包括6小题，共55分，解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位13．（8分）如图所示，一个质量m=2.5kg的物体放在水平地面上，对物体施加一个F=50N的推力，使物体做初速度为零的匀加速直线运动，已知推力与水平方向的夹角θ=37°，物体与水平地面间的动摩擦因数μ=0.50，sin37°=0.60，cos37°=0.80，取重力加速度g=10m/s2（1）求物体运动的加速度大小；（2）求推力F在2s内所做的功；（3）若经过2.0s后撤去推力F，求物体全程运动的最大距离．14．（8分）在竖直平面内有一个粗糙的圆弧轨道，其半径R=0.4m，轨道的最低点距地面高度h=0.45m．一质量m=0.1kg的小滑块从轨道的最高点A由静止释放，到达最低点B时以一定的水平速度离开轨道，落地点C距轨道最低点的水平距离x=0.6m．空气阻力不计，g取10m/s2，求：（1）小滑块离开轨道时的速度大小；（2）小滑块运动到轨道最低点时，对轨道的压力大小；（3）小滑块在轨道上运动的过程中，克服摩擦力所做的功．15．（9分）如图所示，一物体从固定斜面顶端由静止开始经过1s下滑到底端，已知斜面的倾角θ=37°，斜面长度L=2.5m，sin37°=0.60，cos37°=0.80，取重力加速度g=10m/s2．求：（1）物体与斜面间的动摩擦因数μ；（2）下滑过程中损失的机械能与减少的重力势能的比值；（3）下滑的过程中合外力冲量的大小与重力冲量大小的比值．16．（10分）如图所示，质量M=8.0kg的小车放在光滑的水平面上，给小车施加一个水平向右的恒力F=8.0N．当向右运动的速度达到v1=1.5m/s时，有一物块以水平向左的初速度v0=1.0m/s滑上小车的右端．小物块的质量m=2.0kg，物块与小车表面的动摩擦因数μ=0.20．设小车足够长，重力加速度g=10m/s2．求：（1）物块从滑上小车开始，经过多长的速度减小为零；（2）物块在小车上相对小车滑动的过程中，相对地面的位移；（3）物块在小车上相对小车滑动的过程中，小车和物块组成的系统机械能变化了多少？17．（10分）传送带被广泛应用于各行各业，由于不同的物体与传送带之间的动摩擦因数不同，物体在传送带上的运动情况也有所不同，如图所示，一倾斜放置的传送带与水平面的倾角θ=37°，在电动机的带动下以v=2m/s的速率顺时针方向匀速运行．M、N为传送带的两个端点，MN两点间的距离L=7m．N端有一离传送带很近的挡板P可将传送带上的物块挡住．在传送带上的O处先后由静止释放金属块A和木块B，金属块与木块质量均为1kg，且均可视为质点，OM间距离L=3m．sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s2．传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦．（1）金属块A由静止释放后沿传送带向上运动，经过2s到达M端，求金属块与传送带间的动摩擦因数μ1．（2）木块B由静止释放后沿传送带向下运动，并与挡板P发生碰撞．已知碰撞时间极短，木块B与挡板P碰撞前后速度大小不变，木块B与传送带间的动摩擦因数μ2=0.5．求：a．与挡板P第一次碰撞后，木块B所达到的最高位置与挡板P的距离；b．经过足够长时间，电动机的输出功率恒定，求此时电动机的输出功率．2018-2018学年北京市中央民族大学附中高三（上）月考物理试卷（9月份）参考答案与试题解析一、本题共10小题，每小题3分，共30分，全部选对的得3分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分1．在不计空气阻力作用的条件下，下列说法中正确的是（）A．自由落体的小球在空中运动的任意一段时间内，其增加的动能一定等于其减小的重力势能B．做平抛运动的小球在空中运动的任意相同的时间内，其速度的变化量一定相同C．做匀速圆周运动的小球在任意一段时间内其合外力做的功一定为零，合外力的冲量也一定为零D．单摆在一个周期内，合外力对摆球做的功一定为零，合外力的冲量也一定为零【考点】动量定理．【分析】对物体进行受力分析，然后根据小球的运动情况分析答题：自由下落的小球，其所受合外力为重力，则小球在运动的过程中机械能守恒；平抛运动的小球竖直方向做自由落体运动；圆周运动的速度方向不断变化；单摆运动具有周期性．【解答】解：不计空气阻力，A、自由下落的小球，其所受合外力为重力，则小球在运动的过程中机械能守恒，其增加的动能一定等于其减小的重力势能，故A正确；B、做平抛运动的小球所受合外力为重力，加速度的关系与方向都不变，所以小球在空中运动的任意相同的时间内，其速度的变化量一定相同，故B正确；C、做匀速圆周运动的小球，其所受合外力的方向一定指向圆心，小球在任意一段时间内其合外力做的功一定为零；但由于速度的方向不断变化，所以速度的变化量不一定等于0，所以合外力的冲量也不一定为零．故C错误；D、经过一个周期，单摆的小球又回到初位置，所有的物理量都与开始时相等，所以单摆在一个周期内，合外力对摆球做的功一定为零，合外力的冲量也一定为零，故D正确；故选：ABD【点评】本题考查了物体在不计空气阻力作用的条件下的几种不同的运动情况，对物体正确受力分析，并结合各运动的特点分析即可正确解题．2．在水平桌面上有一个倾角为α的斜面体．一个质量为m的物块，在平行于斜面的拉力F作用下，沿斜面向上做匀速运动．斜面体始终处于静止状态．已知物块与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g．下列结论正确的是（）A．斜面对物块的摩擦力大小是FB．斜面对物块的摩擦力大小是μmgC．桌面对斜面体的摩擦力大小是0D．桌面对斜面体的摩擦力大小是Fcosα【考点】摩擦力的判断与计算．【分析】对m受力分析，由共点力的平衡条件可判断摩擦力的大小；再对整体受力分析，由共点力的平衡求出桌面对斜面体的摩擦力．【解答】解：对m受力分析可知，m受重力、支持力及拉力的作用及摩擦力的作用而处于平衡状态；则在沿斜面方向上有：F﹣mgsinα=f；故A错误；B、斜面对物块的摩擦力大小是f=μF N=μmgcosα；故B错误；C、对整体受力分析可知，整体受重力、支持力、拉力的作用，因拉力有水平向右的分量，故地面一定对斜面体有向左的摩擦力；大小为Fcosα；故C错误；D正确；故选：D．【点评】本题要注意m受到的是滑动摩擦力；而地面对斜面体的摩擦力为静摩擦力；要注意明确两种摩擦力的计算方法不相同；同时要注意灵活选择研究对象，做好受力分析．3．在游乐园中，游客乘坐升降机可以体验超重与失重的感觉，关于游客在随升降机一起运动的过程中所处的状态，下列说法中正确的是（）A．游客处在失重状态时，升降机一定在加速下降B．游客处在失重状态时，升降机可能向上运动C．游客处在失重状态时，升降机一定向下运动D．游客处在失重状态时，升降机的加速度方向一定向下【考点】牛顿运动定律的应用-超重和失重．【分析】超重与失重是指物体对支撑物的压力或悬挂物的拉力大于或小于重力的现象，物体重力并没有改变；对物体受力分析，受重力和支持力，根据牛顿第二定律列式分析．【解答】解：当升降机减速上升时，游客受到重力和支持力，加速度向下，升降机可能向上做减速运动，也可能向下做加速运动．故BD正确，AC错误．故选：BD．【点评】本题关键对游客受力分析和运动情况分析，找出加速度方向，然后根据牛顿第二定律列式分析即可．4．如图所示，长为L的小车置于光滑的水平面上，小车前端放一小物块，用大小为F的水平力将小车向右拉动一段距离l，物块刚好滑到小车的左端，物块与小车间的摩擦力为F f，在此过程中（）A．系统产生的内能为F f L B．系统增加的机械能为FlC．物块增加的动能为F f L D．小车增加的动能为Fl﹣F f L【考点】动能定理的应用．【分析】系统产生的内能等于系统克服摩擦力做的功．物块相对车运动到左端的过程中，所受的摩擦力方向水平向右，与位移方向相同，相对于地的位移大小为l ﹣L，摩擦力对物块做正功，大小为f（L﹣l）．摩擦力对小车做功为﹣fL．力F对小车做的功为Fl．根据动能定理分析物块和小车增加的动能．【解答】解：A、系统产生的内能等于系统克服摩擦力做的功，为Q=F f L，故A正确．B、拉力做功为Fl，拉力做的功等于系统增加的机械能、增加的内能和增加的动能之和，所以系统增加的机械能小于Fl．故B错误．C、对物块，根据动能定理得：物块增加的动能为△E km=F f（l﹣L），故C错误．D、对小车，根据动能定理得：小车增加的动能为△E kM=（F﹣F f）l，故D错误．故选：A【点评】本题关键要理解功的计算时位移的参考系：当求单个物体摩擦力的做功时，位移是相对于地的位移大小；当摩擦力对系统做功时，位移是两物体间的相对位移大小．5．使物体脱离星球的引力束缚，不再绕星球运行，从星球表面发射所需的最小速度称为第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2=v1．已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的．不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为（）A．B．C．D．【考点】第一宇宙速度、第二宇宙速度和第三宇宙速度．【分析】第一宇宙速度是人造地球卫星在近地圆轨道上的运行速度，即；此题把地球第一宇宙速度的概念迁移的某颗星球上面．【解答】解：设某星球的质量为M，半径为r，绕其飞行的卫星质量m，由万有引力提供向心力得：解得：①又因它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的．得：②③由①②③解得：故选：B．【点评】通过此类题型，学会知识点的迁移，比如此题：把地球第一宇宙速度的概念迁移的某颗星球上面．6．如图甲所示，静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆．则小物块运动到x0处时的动能为（）A．0 B．F m x0C．F m x0 D．x18【考点】动能定理的应用．【分析】根据F﹣x图象的“面积”求出拉力F做的功，再根据动能定理求解小物块运动到x0处时的动能．【解答】解：F﹣x图象的“面积”等于拉力做功的大小，则得到拉力做功W=π（）2=，由图看出，F=，得到，W=．根据动能定理得：小物块运动m到x0处时的动能为．故选C【点评】本题关键抓住F﹣x图象的“面积”等于拉力做功的大小去理解和分析．7．某载人飞船运行的轨道示意图如图所示，飞船先沿椭圆轨道1运动，近地点为Q，远地点为P，当飞船经过点P时点火加速，使飞船由椭圆轨道1转移到圆轨道2上运行，在圆轨道2上飞船运行周期约为90min．关于飞船的运行过程，下列说法中正确的是（）A．飞船在轨道1和轨道2上运动时的机械能相等B．飞船在轨道1上运行经过P点的速度小于经过Q点的速度C．飞船在轨道2上运行的角速度是地球同步卫星运行的角速度的16倍D．飞船在轨道1上运行经过P点的加速度等于在轨道2上运行经过P点的加速度【考点】人造卫星的加速度、周期和轨道的关系；万有引力定律及其应用．【分析】飞船变轨时，需加速，使得万有引力等于向心力，机械能增大．飞船在圆轨道上运行时，航天员处于完全失重状态．根据万有引力提供向心力得出周期、线速度与轨道半径的关系，通过周期的大小得出轨道半径的大小，从而得出线速度的大小．根据飞船变轨前后所受的万有引力，根据牛顿第二定律比较加速度的大小．【解答】解：A、飞船振子轨道1上经过点P时点火加速，外力对飞船做正功，飞船的机械能增加，因此在轨道2上运动时的机械能较大，故A错误；B、在轨道1上运行过程飞船机械能守恒，P点处重力势能大，因此动能小，在P 点的速度小于Q点的速度，故B正确；C、同步卫星的周期为24小时，是飞船在轨道2上运行周期90min的16倍，根据可知，飞船在轨道2上运行的角速度是地球同步卫星运行的角速度的16倍，故C正确；D、无论在轨道1还是轨道2，飞船通过P时仅受万有引力，因此受到的万有引力相等，由牛顿第二定律可知加速度相同，故D正确．故选：BCD【点评】解决本题的关键掌握卫星变轨的原理，以及掌握万有引力提供向心力，知道线速度、周期与轨道半径的关系．8．在同一高度处有五个完全相同的小球，第一个小球由静止释放，另外四个小球以相同大小的初速度分别沿水平方向、竖直向下方向、斜向上45°方向和斜向下45°方向抛出，最后五个小球都落到同一水平地面上，五个小球落地时重力的瞬时功率分别为P1、P2、P3、P4和P5．不计空气阻力，则下列说法中正确的是（）A．P1＞P2＞P3＞P4＞P5B．P1＜P2＜P3＜P4＜P5C．P1=P2=P3=P4=P5D．P1=P2＜P4=P5＜P3【考点】功率、平均功率和瞬时功率．【分析】根据小球的抛出时落地时在竖直方向的速度大小关系即可判断，明确斜抛的特点，在竖直方向速度的分量关系即可根据P=mgv判断【解答】解：自由下落的小球和水平抛出的小球落到地面上在竖直方向获得的速度相同，根据P=mgv可知，功率相同，但要小于斜抛在数值方向的速度，故，P1=P2＜P4在竖直上抛和竖直下抛的两个小球在落到地面上竖直方向的速度相同，故功率相同，斜上抛和斜下抛落到地面上在竖直方向获得的速度相等，但要小于竖直下抛在竖直方向的速度，故P4=P5＜P3故D正确，ABC错误；故选：D【点评】本题主要考查了重力的瞬时功率，明确P=mgv，其中v为物体在竖直方向的速度，判断出五个小球落地时竖直方向的速度大小关系即可9．完全相同的甲、乙两个物体放在相同的水平面上，分别在水平拉力F1、F2作用下，由静止开始做匀加速直线运动，分别经过t0和4t0，速度分别达到2v0和v0，然后撤去F1、F2，甲、乙两物体继续做匀减速直线运动直到静止，其速度随时间变化情况如图所示，则（）A．若F1、F2作用时间内甲、乙两物体的位移分别为s1，s2，则s1＞s2B．若整个过程中甲、乙两物体的位移分别为s1、s2，则有s1＞s2C．若F1、F2所做的功分别为W1，W2，则W1＞W2D．若F1、F2的冲量分别为I1，I2，则I1＞I2【考点】匀变速直线运动的图像．【分析】根据v﹣t图象与坐标轴所围“面积”大小等于位移，由几何知识比较位移大小．撤去拉力后两图象平行，说明加速度，由牛顿第二定律分析则知，两物体与地面的动摩擦因数相同，对全过程研究，运用动能定理求解拉力做功，由动量定理求解拉力的冲量．【解答】解：A、根据v﹣t图象与坐标轴所围“面积”大小等于位移得：s1=，s2==2v0t0，则：s1＜s2．故A错误．B、整个过程中甲、乙两物体的位移分别为：s1=，s2=．则有：s1＞s2．故B正确．C、由图看出，撤去拉力后两图象平行，说明加速度，由牛顿第二定律分析则知加速度a=μg，说明两物体与地面的动摩擦因数相等，则两物体所受的摩擦力大小相等，设为f，对全过程运用动能定理得：W1﹣fs1=0，W2﹣fs2=0，得：W1=fs1，W2=fs2，由上可知，s1＞s2，则W1＞W2．故C正确．D、对全程，根据动量定理得：I1﹣f•3t0=0，I2﹣f•5t0=0，则得I1＜I2．故D错误．故选BC【点评】本题首先要根据斜率等于加速度、“面积”等于位移，研究加速度和位移，其次运用动能定理、动量定理求解拉力做功和冲量．10．如图所示，劲度系数为k的轻弹簧的一端固定在墙上，另一端与置于水平面上质量为m的物体A接触，但未与物体A连接，弹簧水平且无形变．现对物体A 施加一个水平向右的瞬间冲量，大小为I0，测得物体A向右运动的最大距离为x0，之后物体A被弹簧弹回最终停在距离初始位置左侧2x0处．已知弹簧始终在弹簧弹性限度内，物体A与水平面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，下列说法中正确的是（）A．物体A整个运动过程，弹簧对物体A的冲量为零B．物体A向右运动过程中与弹簧接触的时间一定等于物体A向左运动过程中与弹簧接触的时间C．物体A向左运动的最大动能E km=﹣2μmgx0D．物体A与弹簧作用的过程中，系统的最大弹性势能E p=﹣μmgx0。
北京市中央民族大学附属中学2018届高三第三次模拟数学理试题Word版含答案
2018年中央民族大学附属中学高三，三模考试数学(理科)本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合1{|0}3x A x x -=≤-，{|2}B x x =>，则A B ⋂= （A ）(2,3) （B ）(2,3] （C ）[1,)+∞ （D ）[1,2)2. “0a >”是“函数3()(0,)f x x ax =++∞在区间上是增函数”的____________（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 3.复数z 满足：()(2)5z i i --=；则Z =（ ）（A ）22i --（B ）22i -+（C ）i 2-2 （D ）i 2+24. 如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为3，每次输入的a 值均为4，输出s 的值为160，则输入n 的值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）55.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边落到直线2y x =-上，则cos 2α=（A ）35-（B ）35± （C ）35 （D ）45- 6. 在ABC ∆中，12AN AC =，P 是直线BN 上的一点，若AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ）（A ）2（B ）1- （C ）14（D ）547. 已知,x y 满足0,0,.x x y x y k ≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩（k 为常数），若2z x y =-最大值为8，则k =________.（A ）3（B ）4 （C ）3-（D ）1638. 过直线:2l y x a =+上的点作圆22:=1C x y +的切线，若在直线l 上存在一点M ,使得过点M 的圆C 的切线,MP MQ (,P Q 为切点)满足90PMQ ∠=,则a 的取值范围是（ ） （A ）[10,10]-（B）⎡⎣（C ）(,10][10,)-∞-⋃+∞（D）(,)-∞⋃+∞二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案直接填在Ⅱ卷对应题号后的横线上）9.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为221x y +=，曲线2C的参数方程为,(x t ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为__________． 10. 已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，12a =，124,,a a a 是等比数列{}n b 的前三项，则等差数列{}n a 的公差d =__________,等比数列{}n b 的前n 项n S =____________11. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面中有_______个直角三角形，侧面中所有直角三角形的面积是_____12. 已知12a xdx =⎰，函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数4f x a π⎛⎫++ ⎪⎝⎭图象的对称中心可以是___________13. 某单位安排甲乙丙等5人从星期一到星期五值班，每人值班1天，每天值班1人，其中甲不值周一，乙不值周二，且甲和丙在相邻的两天值班，则不同的安排方案有_________种（用数学作答）.14. 设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-+≥=⎨<⎩，(1) 若0a =，则()f x 的最大值是________________ (2) 若()f x 有最大值，则a 的取值范围是_________________三、解答题：（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，） 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角A,B,C 所对的边分别为,,a b c已知cos()cos()sin cos a B C a B C C A --+=（Ⅰ）求角A(Ⅱ)若ABC ∆的周长为8ABC ∆的面积. 16.（本小题共13分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在个卖场的销售量（单位：台），并根据这个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（1）求在这个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；（2）从乙型号的10个销售数据中任取两个数据，记其中大于等于30的数据有X 个，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）若，记乙型号电视机销售量的方差为，根据茎叶图推断为何值时，达到最小值（只需写出结论）17. （本小题满分14分）在三棱柱'''A B C ABC -中，''5,4,3A A AB A B AC ====，AC BC ⊥，'3cos 5A AC ∠=。
2018-2019学年清华附中高三12月月考数学试卷 (理)试卷(附参考答案)
2018-2019学年北京市清华附中高三（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为（）A. 12B. 1C. 2D. 32.在定义域内单调递增，且为奇函数的为（）A. y=x2B. y=x3C. y=−1xD. y=x−13.甲、乙等四人排成一排，甲与乙不相邻的排法的种数有（）A. 6B. 12C. 18D. 244.如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入a的值为16，b的值为24，则执行该程序框图的结果为（）A. 6B. 7C. 8D. 95.数列{a n}是无穷项等比数列，则“{a n}单调递增”是“a1＜a2＜a3”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分又不必要条件6.如果实数x，y满足等式（x-2）2+y2=3，那么yx的最大值是（）A. 12B. √33C. √32D. √37.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（）A. 3B. 2√5C. 6D. 3√58. 在棱长为2正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 的中点，点P 是侧面AA 1D 1D 上一动点，且CP ⊥B 1E ，则线段CP 的取值范围为（ ）A. [4√33,√5]B. [3√22,√5]C. [4√33,√6]D. [3√22,√6]二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 9. 已知双曲线C ：x 2−y 24=1，则双曲线C 的一条渐近线的方程为______．10. 二项式（x +1x 2）6的展开式中，常数项为______．11. 函数f （x ）在[0，2]上的图象连续不断，能说明命题“若函数f （x ）在（0，2）存在唯一零点，则f （0）•f （2）＜0”为假命题的一个函数为f （x ）=______． 12. 在△ABC 中，B =60°，且c =8，b -a =4，则b =______． 13. 实数x 、y 满足{x ≤3x +y ≥0x −y +6≥0，若z =ax +y 的最大值为3a +9，最小值为3a -3，则a的取值范围是______．14. 已知两个集合A ，B ，满足B ⊆A ．若对任意的x ∈A ，存在a i ，a j ∈B （i ≠j ），使得x =λ1a i +λ2a j（λ1，λ2∈{-1，0，1}），则称B 为A 的一个基集．若A ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，则其基集B 元素个数的最小值是______． 三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 已知函数f （x ）=sin （2ωx -π6）+2cos 2ωx -1（ω＞0）的最小正周期为π（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f （x ）在区间[0，7π12]上的最大值和最小值．16. 手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：手机编号1234567A型待机时间（h）120125122124124123123B型待机时间（h）118123127120124a b其中，a，b是正整数，且a＜b（Ⅰ）该卖场有56台A型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；（Ⅱ）从A型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X，求X的分布列；（Ⅲ）设A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a，b的值（结论不要求证明）．17.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2√2的正方形，平面PAC⊥底面ABCD，PA=PC=2√2．（Ⅰ）求证：PB=PD；（Ⅱ）点M，N分别在棱PA，PC上，PM=AM，PN=CN，求直线PB与平面DMN 所成角的正弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，平面DMN与直线PB的交点为Q，在线段BC上，是否存在一点H，使得DQ⊥PH，若存在，求BH的长，若不存在，请说明理由．18.抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点M（4，y M）到其准线的距离为5．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）过点P（2，0）作直线l交抛物线C于A，B两点，Q是y轴上一点，且Q，A，B三点不共线），直线AQ与直线x=-2交于点N，判断直线PQ与BN的位置关系，并说明理由．19.已知函数f（x）=（x-1）e x-ax（x≥0）．（Ⅰ）求函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线在y轴上的截距；（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为-3e2，求实数a的值．20.已知n是给定的不小于3正整数，如果数列A：a1，a2，…，a n满足：对于任意的i=1，2，…，n，均有a i＜S(A)，其中S（A）=a1+a2+…+a n，那么称数列A为“紧密n−1数列”．（Ⅰ）若“紧密数列”A：a1，a2，a3，a4为等差数列，a1=1，求数列A的公差d的取值范围；（Ⅱ）数列A：a1，a2，…，a n为“紧密数列”，求证：对于任意互不相等的i，j，k∈{1，2，…，n}，均有a i+a j＞a k；（Ⅲ）数列A：a1，a2，…，a n为“紧密数列”，对于任意的i=1，2，…，n，a i∈Z，且a i+1-a i≠0（1≤i≤n-1）成立，求S（A）的最小值T n．答案和解析1.【答案】B【解析】解：抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为：p=1．故选：B．利用抛物线的方程求出p即可得到结果．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．2.【答案】B【解析】解：函数y=x2为偶函数，不满足条件；函数y=x3为奇函数，在定义域内是单调递增的，满足条件；函数y=-是奇函数，在定义域内不是单调递增，不满足条件；函数y=x-1为非奇非偶函数，不满足条件，故选：B．根据幂函数的图象与性质，我们逐一分析四个答案中的四个函数的性质，然后和题目中的条件进行比照，即可得到答案．本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，其中熟练掌握基本初等函数的性质是解答本题的关键．3.【答案】B【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①，将除甲乙之外的2人全排列，有A22=2种情况，排好后有3个空位；②，在3个空位中，任选2个，安排甲乙2人，有A32=6种情况，则甲乙不相邻的排法有2×6=12种；故选：B．根据题意，分2步进行分析：①，将除甲乙之外的2人全排列，排好后有3个空位；②，在3个空位中，任选2个，安排甲乙2人，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得a=16，b=24满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=24-16=8，满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=16-8=8，不满足条件a≠b，输出a的值为8．故选：C．模拟程序的运行，根据程序流程，依次判断写出a，b的值，可得当a=b=8时，不满足条件a≠b，输出a的值为8，即可得解．本题考查的知识点是循环结构，当循环次数不多时，多采用模拟循环的方法，本题属于基础题．5.【答案】C【解析】解：若“{a n}单调递增，则a1＜a2＜a3成立，即充分性成立，∵{a n}是无穷项等比数列，∴若a1＜a2＜a3，则a1＜qa1＜q2a1，若a1＞0，则1＜q＜q2，即q＞1，此时=q＞1，即a n＞a n-1，若a1＜0，则1＞q＞q2，由q＞q2，得q2-q＜0，得0＜q＜1，此时a n＜0，则=q＜1，则a n＞a n-1，综上a n＞a n-1，“{a n}单调递增，即必要性成立，则“{a n}单调递增”是“a1＜a2＜a3”的充分且必要条件，故选：C．根据等比数列的通项公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及等比数列的通项公式是解决本题的关键．6.【答案】D【解析】解：满足等式（x-2）2+y2=3的图形如图所示：表示圆上动点与原点O连线的斜率，由图可得动点与B重合时，此时OB与圆相切，取最大值，连接BC，在Rt△OBC中，BC=，OC=2易得∠BOC=60°此时=故选：D．表示圆上动点与原点O连线的斜率，画出满足等式（x-2）2+y2=3的图形，由数形结合，我们易求出的最大值．本题考查的知识点是简单线性规划，分析出表示圆上动点与原点O连线的斜率，是解答本题的关键．7.【答案】C【解析】解：由三视图得几何体是四棱锥P-ABCD，如图所示：且PE⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=4、AD=2，面PDC是等腰三角形，PD=PC=3，则△PDC的高为=，所以△PDC的面积为：×4×=2，因为PE⊥平面ABCD，所以PE⊥BC，又CB⊥CD，PE∩CD=E，所以BC⊥面PDC，即BC⊥PC，同理可证AD⊥PD，则两个侧面△PAD、△PBC的面积都为：×2×3=3，侧面△PAB的面积为：×4×=6，所以四棱锥P-ABCD的四个侧面中面积最大是：6，故选：C．由三视图得几何体是四棱锥并画出直观图，由三视图判断出线面的位置关系，并求出几何体的高和侧面的高，分别求出各个侧面的面积，即可得到答案．本题考查由三视图求几何体侧面的面积，由三视图正确复原几何体、判断出几何体的结构特征是解题的关键，考查空间想象能力．8.【答案】B【解析】解：以A为原点，AB，AD，AA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：则C（2，2，0），B1（2，0，2），E（1，2，0），设P（0，y，z），则=（-2，y-2，z），=（-1，2，-2），根据•=0，得y-z=，所以点P的轨迹是侧面AA1D1D内，AD和DD1的中点M，N连线的线段MN，易得，CP的最小值为，最大值为．故选：B．建系求出P点的轨迹为线段后，再求出最大追小值．本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】y=2x或（y=-2x）【解析】解：由双曲线C：得到a=1，b=2，则双曲线C 的渐近线方程为y=±2x，故答案为：y=2x或（y=-2x）．求出a和b 的值，再根据焦点在x轴上，求出渐近线方程．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．10.【答案】15【解析】解：二项式（）6的展开式中通项公式为T r+1=•x6-r•x-2r=•x6-3r．令6-3r=0，可得r=2，故展开式的常数项为=15，故答案为15．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于零求得r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．11.【答案】（x-1）2【解析】解：函数f（x）在[0，2]上的图象连续不断，能说明命题“若函数f（x）在（0，2）存在唯一零点，则f（0）•f（2）＜0”为假命题，可举f（x）=（x-1）2，可得f（x）在[0，2]上图象连续不断，且f（1）=0，f（0）=f（2）=1，即f（0）f（1）＞0，故答案为：（x-1）2．由题意可举f（x）=（x-1）2，检验可得结论．本题考查命题的真假判断，考查函数的零点的判断和求法，考查举反例法，属于基础题．12.【答案】7【解析】解：∵B=60°，且c=8，b-a=4，可得：a=b-4，∴由余弦定理可得：b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=（b-4）2+64-8（b-4），∴整理，解得：b=7．故答案为：7．由已知可求a=b-4，利用余弦定理即可解得b的值．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．13.【答案】[-1，1]【解析】解：由z=ax+y得y=-ax+z，直线y=-ax+z是斜率为-a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（3，9），B（-3，3），C（3，-3），∵z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a-3，可知目标函数经过A取得最大值，经过C取得最小值，若a=0，则y=z，此时z=ax+y经过A取得最大值，经过C取得最小值，满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=-a＜0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，则目标函数的斜率满足-a≥k BC=-1，即a≤1，可得a∈（0，1]．若a＜0，则目标函数斜率k=-a＞0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，可得-a≤k BA=1∴-1≤a＜0，综上a∈[-1，1]故答案为：[-1，1]．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论，是中档题．14.【答案】3【解析】解：不妨设a1＜a2＜a3＜…＜a m，则形如1×a i+0×a j（1≤i≤j≤m）的正整数共有m个；形如1×a i+1×a i（1≤i≤m）的正整数共有m个；形如1×a i+1×a j（1≤i≤j≤m）的正整数至多有C m2个；形如-1×a i+1×a j（1≤i≤j≤m）的正整数至多有C m2个．又集合M={1，2，3，…，n}（n∈N*），含n个不同的正整数，A为集合M的一个m元基底．故m+m+C m2+C m2≥n，即m（m+1）≥n，A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，可知m（m+1）≥10，所以m≥3．故答案为3．设a1＜a2＜a3＜…＜a m，计算出b=λ1a i+λ2a j的各种情况下的正整数个数并求出它们的和，结合题意得m+m+C m2+C m2≥n，即m（m+1）≥n．可知m（m+1）≥10，即可得出结论，本题以一个集合为另一个集合的m元基底的讨论为载体，着重考查了集合元素的讨论和方程、不等式的整数解的讨论和两个计数原理等知识，属于难题．15.【答案】解：（Ⅰ）因为f（x）=sin（2ωx-π6）+2cos2ωx-1=sin2ωx cosπ6-cos2ωx sinπ6+cos2ωx=√32sin2ωx+12cos2ωx=sin（2ωx+π6），所以f（x）的最小正周期T=2π=π，（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（2x+π6），因为0≤x≤7π12，所以π6≤2x+π6≤4π3，所以，当2x+π6=π2，即x=π6时，f（x）取得最大值为1；当2x+π6=4π3，即x=7π12时，f（x）取得最小值为-√32．【解析】（Ⅰ）根据三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简即可．（Ⅱ）求出角的取值范围，结合三角函数的最值性质进行判断求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．16.【答案】解：（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A型手机中有56×57=40台手机的待机时间不少于123小时．（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2，3，P(X=0)=1C74=135；P(X=1)=C31C43C74=1235；P(X=2)=C32C42C74=1835；P(X=3)=C43C74=435．所以，X的分布列为：X0123P 13512351835435（Ⅲ）若A，B两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机的待机时间的方差最小时，a=124，b=125．【解析】（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时⇒估计56台A型手机中有台手机的待机时间不少于123小时．（II）由表格可知，A型号被测试的7台手机中待机时间大于123小时的台数为有3台，利用超几何分布概率计算法则，求解概率．（Ⅲ）由A，B两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，列方程，求出a，b．本题考查了抽样方法的基本性质，及古典概型的分布列、期望，属于基础题．17.【答案】（Ⅰ）证明：记AC∩BD=O，连结PO，∴OA =OC =OB =OD =2． ∵PA =PC ， ∴PO ⊥AC ，∵平面PAC ∩底面ABCD =AC ，PO ⊂平面PAC ， ∴PO ⊥底面ABCD ． ∵BD ⊂底面ABCD ， ∴PO ⊥BD ． ∴PB =PD ．（Ⅱ）解：以O 为坐标原点，射线OB ，OC ，OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示， 由（Ⅰ）可知OP =2．可得P （0，0，2），A （0，-2，0），B （2，0，0），C （0，2，0），D （-2，0，0），可得，M （0，-1，1），N （0，1，1）.DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，−1，1)，MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2，0)． 设平面DMN 的法向量n⃗ =（x ，y ，z ）， ∵DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ =0，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ =0， ∴{y =0.2x−y+z=0，令x =1，可得n ⃗ =（1，0，-2），PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，0，−2)， cos ＜PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×|n ⃗⃗ |=2√2×√5=3√1010； ∴直线PB 与平面DMN 所成角的正弦值为3√1010． （Ⅲ）解：记PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2λ，0，−2λ)，可得Q （2λ，0，2-2λ），DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2λ+2，0，2−2λ)，DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ =0， 可得，2λ+2-4+4λ=0，解得λ=13； 可得，DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(83，0，43)； 记BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2t ，2t ，0)，可得H （2-2t ，2t ，0）， PH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2t ，2t ，−2)， 若DQ ⊥PH ，则DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，83(2−2t)+43×(−2)=0，解得t =12； 故BH =√2．另：取PO 的中点E ，说明D ，E ，Q 均在平面PBD 与平面DMN 的交线上． 【解析】（Ⅰ）记AC∩BD=O，连结PO，由题意证明PO⊥AC，得出PO⊥底面ABCD，PO⊥BD，即可证明PB=PD；（Ⅱ）以O为坐标原点，射线OB，OC，OP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建空间直角坐标系，求出平面DMN的法向量与夹角的余弦值即可；（Ⅲ）记=λ，由•=0求得，记=t，由DQ⊥PH求得t的值，从而求得BH的值．本题考查了空间中的位置关系应用问题，也考查了利用空间向量计算直线与平面所成的角和距离的计算问题，是中档题．18.【答案】解（Ⅰ）：抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点M（4，y M）到其准线的距离为5，可得4+p2=5，解得p=2．故抛物线C的标准方程为y2=4x．（Ⅱ）：设直线l的方程为x=my+2，联立方程，{x=my+2.y2=4x消元得，y2-4my-8=0，△=16m2+32＞0恒成立．设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理可得，y1+y2=4m，y1y2=-8；设Q（0，t），k AQ=y1−tx1，直线AQ的方程为y=y1−tx1x+t，令x=-2，解得y=(2+x1)t−2y1x1，∴N(−2，(2+x1)t−2y1x1)．k BN=y2−(2+x1)t−2y1x1x2+2=x1y2−(2+x1)t−2y1x1x2+2x1=(my1+2)y2−(2+x1)t+2y1x1x2+2x1=my1y2+2(y1+y2)−(2+x1)ty12y22 16+2x2=−8m+8m−(2+x1)t4+2x1=−t2，又k PQ=−t2，显然PQ与AN不在同一条直线上，故直线PQ与AN平行．【解析】（Ⅰ）抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点M（4，y M）到其准线的距离为5，可得4+（Ⅱ）解：设直线l 的方程为x=my+2，联立方程，，根据韦达定理，以及直线的斜率，即可判断直线PQ 与BN 的位置关系本题考查了抛物线的简单性质，直线和抛物线的位置关系，直线的斜率和直线的位置关系，属于难题．19.【答案】解：（Ⅰ）∵f （x ）=（x -1）e x -ax （x ≥0），∴f '（x ）=xe x -a ， ∴f '（1）=e -a ， 又f （1）=-a ，可得函数f （x ）的图象在（1，f （1））处的切线方程为y +a =（e -a ）（x -1）， 即y =（e -a ）x -e ．故f （x ）的图象在（1，f （1））处的切线在y 轴上的截距为-e ；（Ⅱ）（1）当a ≤0时，f '（x ）≥0恒成立，f （x ）在[0，+∞）上单调递增， 则f （x ）在[0，+∞）上的最小值为f （0）=-1，不符合题意．（2）当a ＞0时，f '（0）=-a ＜0，f '（a ）=a （e a -1）＞0，且f '（x ）=xe x -a 在[0，+∞） 单调递增，可得存在唯一实数t ∈（0，a ），使得f '（t ）=0． 函数f '（x ），f （x ）随x 的变化而变化如下表： x 0（0，t ） t （t ，+∞） f '（x ） - 0+ f （x ）↘↗所以函数（）的最小值为（）（），其中，因此（-t 2+t -1）e t =-3e 2，即（t 2-t +1）e t =3e 2，显然t =2是该方程的一个解．设g （t ）=（t 2-t +1）e t （t ＞0），g '（t ）=（t 2+t ）e t ＞0，可得g （t ）在（0，+∞）上单调递增，可知，t =2是方程（t 2-t +1）e t =3e 2的唯一解． ∴a =te t =2e 2．且符合题意． 【解析】（Ⅰ）求得f （x ）的导数，可得切线的斜率和切点，切线方程，可令x=0，计算可得所求值；（Ⅱ）讨论a 的符号，结合导数，判断单调性，可得最值，解方程可得所求值． 本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查分类讨论思想方法，考查化简变形能力，属于中档题．20.【答案】（Ⅰ）解：当d ≥0时，数列A ：a 1，a 2，a 3，a 4中的最大项为a 4，则a 4＜S(A)3，即1+3d ＜4+6d 3，解得d ＜13；又d ≥0，可得0≤d ＜1．则a 1＜S(A)3，即1＜4+6d 3，解得d ＞−16；又d ＜0，可得−16＜d ＜0．综上所述，数列A 的公差d 的取值范围为−16＜d ＜13；（Ⅱ）证明：假设存在不相等的i ，j ，k ∈{1，2，…，n }，有a i +a j ≤a k ， 在数列A ：a 1，a 2，…，a n 中，除a i ，a j 外，其他所有数之和S′＜(n −2)×Sn−1， 因此：S =S '+a i +a j ＜(n−2)S n−1+a k ＜(n−2)S n−1+Sn−1＜S ．矛盾，假设不成立．因此对于任意互不相等的i ，j ，k ∈{1，2，…，n }，均有a i +a j ＞a k ； （Ⅲ）解：数列A ：a 1，a 2，…，a n 为“紧密数列”， 对于任意的i =1，2，…，n ，均有a i ＜S(A)n−1， 又a i ∈Z ，则存在p ∈{1，2，…，n -1}，使得a i ≤S(A)−p n−1，其中S(A)−p n−1∈Z ，因为a i +1-a i ≠0（1≤i ≤n -1），可知 （1）当n 为偶数时， 在数列A 中，能够达到S(A)−p n−1的项不超过n2个，则S(A)−p n−1×n −n 2≥S(A)，S(A)≥12n(n −1)+pn ．当p =1时，S(A)≥12n(n +1)；当a k ={n 2，k 为偶数n2+1，k 为奇数.时，S(A)=12n(n +1)，且a i ≤n+22＜n 2+n2(n−1)，数列A 为紧密数列．（2）当n 为奇数时， 在数列A 中，能够达到S(A)−p n−1的项不超过n+12个，则S(A)−p n−1×n −n−12≥S(A)，S(A)≥12(n 2−2n +1)+pn ．当p =1时，S(A)≥12(n 2+1)；当a k ={n−12，k 为偶数n+12，k 为奇数.时，S(A)=12(n 2+1)，且a i ≤n+12＜n 2+12(n−1)，数列A 为紧密数列．综上所述，S （A ）的最小值T n ={n 2+n2，n 为偶数n 2+12，n 为奇数.，其中n ≥3．【解析】（Ⅰ）讨论公差d非负和小于0，由新定义可得d的范围；（Ⅱ）假设存在不相等的i，j，k∈{1，2，…，n}，有a i+a j≤a k，由新定义结合不等式的性质，即可得证；（Ⅲ）由新定义，结合新定义，讨论n为偶数和奇数，即可得到所求最小值．本题考查数列的新定义的理解和运用，同时考查等差数列的通项公式和求和公式，以及分类讨论思想方法，考查化简变形能力，属于中档题，。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中央民族大学附属中学2018-2018学年第一学期12月试题
高三数学（ 理科）
一、选择题： (本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.抛物线y x 22-=的焦点坐标是（）
A.(-1,0)
B.（1，0）
C.(0，-21）
D. (0， 2
1） 2.设非零实数a,b 满足a ＜b ，则下列不等式中一定成立的是（） A. b
1＞1a B. 2＜b ab C. ＞0b a + D. ＜0b a - 3.设R a ∈，则“a=1”是直线012:1=-+y ax l 与直线04)1(:2=+++y a x l 平行，的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
4.相距1600m 的两个哨所A ，B,听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是320m/s, 在A 哨所听到爆炸声的时间比在B 哨所听到时迟4s.若以AB 所在直线为x 轴、以线段AB 的中垂线为 y 轴，则爆炸点所在曲线的方程可以是（） A. ＞0)(156440043560022x y x =- B. ＞0)(14806402
2
22x y x =- C. 156440043560022=+y x D. 1480
64022
22=+y x 5.己知βα,於是两个不同平面，m 、n 是两条不同直线，下列选项中错误的是（）A.若 m∥n,
α⊥m ,则α⊥n
B. 若 m∥α, n =βα ,则n m ∥
C.若βα⊥⊥m m ,,则βα∥
D.若βα⊂⊥m m ,,则βα⊥
6.已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如右图所示，左视图的面积是（） A. 2 B. 32 C. 22 D. 4
2 7.己知点M(2，-3). N(-3,-2),直线1:+-=a ax y l 与线段MN 相交，则实数a 的取值范围是 （）
A. ]43,4[-
B. ),43[]4,(+∞--∞
C. ),4[]43
,(+∞--∞ D. ]4,4
3[- 8.若直线 被圆C:jcV<所截的弦长不小于2，则予2. PIS /与下列曲线一定有公共点的是（）
A. 1)1(22=+-y x
B. 122=-y x
C. 2
x y = D. 1222
=+y x 二、填空题：（(本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9.若复数)()(2R x i
i x x x z ∈-+=为纯虚数，则x 等于 . 10.直线x y 2=为双曲线)0＞,0＞(1:22
22b a b
y a x C =-的—条渐近线，则双曲线C 的离心率是 .
11.动点在圆122=+y x 上移动时，它与定点B （3，0）连线的中点的轨迹方程是 。
12. 已知实数y x ,，满足⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤+≤+-12553034x y x y x ，设)0＞(a y ax z +=，若当z 取最大值时，最优
解有无数个，则a 等于 、 。
13.曲线03||2=-+y y x 的对称方程是 ，y 的取值范围是 。
14. 无穷数列...,...,:21n a a a P ，满足*∈N a n ，且 )(1*+∈≤N i a a n n ,对于数列F,记 {})(|min )(*∈≥=N k k a n P T n K 其中{}k a n n ≥|min 表示集合{}k a n n ≥|中最小的数。
（1）若数列,...7,4,3,1:P ，则=)(5P T ；
（2）己知4620=a ,则)(...)()(...46212021P T P T P T a a a s +++++++== .
三、解答题:（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.(本小题共13分）
在△ABC 中，.cos 3sin b
B a A =
(I)求角B 的值；
(II)如果b=2,求△ABC 面积的最大值.
16.(本小题共13分）
如图，在三棱锥P-ABC 中，PA = PB = AB = 2, BC = 3, ∠ABC = 90°,平面PAB 丄平面ABC, D, E 分别为AB, AC 中点.
(I)求证：DE ∥平面PBC ；
（Ⅱ)求证：AB⊥PE ;
（Ⅲ）求三棱锥P-BEC 的体积.
17.(本小题共13分)已知抛物物).0＞(2:2p px y C =，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 相交于不同于原点的两点A,B.
(Ⅰ）求抛物线C 的方程；
(Ⅱ)若以AB 为直径的圆恒过原点0.求证直线l 过定点；
（Ⅲ)若直线l 过抛物线C 的焦点F ，求△OAB 面积的取值范围 (O 为坐标原点）.
18.(本小题共 13 分）已知函数R x x x a x f ∈-+=,ln 4)1()(2
.
（I)若x=1是)(x f 的极值点，求a 的值；
(II)己知点P(0,1)和函数)(x f 图象上动点))(,(m f m M ，对任意],1[e m ∈，直线PM 倾斜角都是钝角，求a 的取值范围.
19.（本小题14分〉已知椭圆)0＞＞(122
22b a b
y a x =+的长轴长是短轴的2倍，且点)2
2,2(P 是椭圆M 上一点，直线)0＜(21m m x y +=与椭圆M 相交于A,B 两点. (Ⅰ）求椭圆M 的方程;
(II)求证：△PAB 的内心在一条定直线上，并求出此定直线的方程.
20.(本小题共14分〉对于数集{}n x x x X ,...,,121-=，其中2,＜...x ＜x 0＜＜n 21≥n x ，定义向量集{}X t X s t s a a Y ∈∈==,),,(|,若对于任意Y a ∈1，存在Y a ∈2 ，使得021=⋅a a ，则称X 具有性质P. 例如{}2,1,1-=X
（1）若x ＞2，且{}x ,2,1,1-具有性质P ，求x 值；
（2）若X 具有性质p ，求证：X ∈1 ,且当＞1n x 时，11=x ;
（3）若X 具有性质P ， 且q x ==21x 1,（q 为常数），求有穷数列n x x ,...x ,21的通项公式。