2015高三数学周练九

亭湖高级中学2015届高三数学 周练九命题：樊荣 审核：周荣艳一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．已知集合{}0,1,2A =，{}|2,xB y y x A ==∈，则AB = ▲ ．2．已知命题p :x ∀∈R ，1cos ≤x ，则命题p 的否定p ⌝是 ▲ ．3．已知向量b a ,方向相反,且2||,1||==b a ,则=⋅b a ▲ ．4．“33log log a b >”是“11()()22ab<的 ▲ 条件．（选填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”中的一种）5．数列{}n a 满足n n a a 21=+，若11=a ，则=4a ▲ ．6．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若2,0,111==-=+-m m m S S S ，则=m ▲ ．7．设)(x f 是定义在R 上的奇函数,当0<x 时,xe x xf +=)( (e 为自然对数的底数),则()ln6f 的值为▲ ．8．已知全集R U =集合{}062<--=x x x A ，{}0822>-+=x x x B ，{}03422<+-=a ax x x C ，若C B A C U ⊆⋃)(，则实数a 的取值范围是 ▲ ．9．已知方程01222=+--n x m x （其中0,0>>n m ）有两个相等的实根，则nm 11+的最小值为 ▲ ．10．各项均为正数的等比数列{}n a 中，811=a 12...8(2,)m m a a a m m N +⋅⋅⋅=>∈，若从中抽掉一项后，余下的m-1项之积为1m -，则被抽掉的是第 ▲_ 项. 11．若函数43211()(,42f x x ax x b a b =+++∈R)仅在0=x 处有极值,则a 的取值范围是 ▲ ．12．在矩形ABCD 中，AB =1，BC Q 在BC 边上，且，点P 在矩形内（含边界），则AP AQ 的最大值为 ▲ ．13．设)(n u 表示正整数n 的个位数，例如3)23(=u ，)()(2n u n u a n -=，则数列{}n a 的前2012项和等于 ▲ ．14．与函数f (x )有关的奇偶性，有下列三个命题： ①若f (x )为奇函数，则f (0) = 0；②若f (x )的定义域内含有非负实数，则()f x 必为偶函数； ③若f x )有意义，则f (x )必能写成一个奇函数与一个偶函数之和． 其中，真命题为（写出你认为正确的所有命题的代号）二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．已知：(1,sin 1),(sin sin cos ,sin ),()OA x OB x x x x f x OA OB =-=+=⋅（x ∈R ）． 求：（1）函数)(x f 的最大值和最小正周期； （2）函数)(x f 的单调增区间．16．已知集合4|1+1A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，()(){}|410B x x m x m =---+>. （1）若2m =，求集合A B ；（2）若A B =∅，求实数m 的取值范围.17．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为A 、B 、C ，且228cos21b C a=-．(I)求11tan tan A C+的值； (II)若8tan 15B =，求tan A 及tanC 的值.18．某健身器材厂研制了一种足浴气血养身机,具体原理是在足浴盆的中心右侧离中心x 厘米)200(<<x处安装了臭氧发生孔,产生臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现,该臭氧发生孔工作时泡脚的舒适度受到干扰,通过研究发现臭氧发生孔工作时,对左脚的干扰度与x 的平方成反比,比例系数为4；对右脚的干扰度与2400x -成反比,比例系数为k ；且当210=x 时,对左脚和右脚的干扰度之和为0.065. （1）请将臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y 表示为x 的函数；（2）判断是否存在x ,使臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和最小?并说明理由．19．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且34135=+a a ，525S =．数列}{n b 的前n 项和为n T ，满足n n b T -=1．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）写出一个正整数m ，使得91+m a 是数列}{n b 的某一项；（3）设数列}{n c 的通项公式为ta a c n nn +=，问：是否存在正整数t 和k ，使得1c ，2c ，k c 成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对),(k t ；若不存在，请说明理由．20．已知函数32()2ln (,)3f x ax x bx a b =-∈R ，若曲线()f x 在1x =处的切线方程为320y +=．（1）求函数()f x 的解析式；（2）设3221()()332g x f x x x x k =++-+（k 为常数），判断函数()g x 在区间)1,e -⎡+∞⎣上的零点个数，并说明理由；（3）对于（2）中的()g x ，若存在112,[,]x x e e -∈，使2125()()2e g x g x m +---≤成立，求实数m 的最小值．亭湖高级中学2015届高三数学 周练九答案1.{1,2}2.x ∃∈R ，cos 1x >3.2-4.充分不必要5. 86.37. 616ln -8.)34,2(-- 9.223+ 10. 13 11. 22[,]33-12. 2 13. 2 14. ②③ 15.解：（1）x x x x x x f sin sin cos sin sin )(2-++=⋅= …………2分21)42sin(22+-=πx ， …………6分 )(83Z k k x ∈+=∴ππ时，)(x f 取得最大值221+， 最小正周期为π． …………8分 （2）当Z k k x k ∈+≤-≤-,224222πππππ， …………12分即Z k k x k ∈+≤≤-,838ππππ时函数为增函数，∴原函数的单调增区间是).](83,8[Z k k k ∈+-ππππ …………14分16．解：（1）由411x >+得13x -<< 即{}|13A x x =-<<， ····················································································· 2分 当2m =时，由()()610x x -->得6x >或1x < ········································· 4分 所以{}|36AB x x x =<>或 ······································································ 7分 （2）由()()410x m x m ---+>得4x m >+或1x m <-即{}|41B x x m x m =>+<-或 ····································································· 9分因为AB =∅，所以⎧⎨⎩3411m m ≤+-≥-， ··························································· 12分即10m -≤≤. ······························································································ 14分17．解：(I)∵228cos21b C a=-，∴2224sin b C a =．……………………………………………2分∵ C 为三角形内角，∴sin 0,C >∴2sin b C a=．∵sin sin a b A B =，∴ sin sin b B a A=． ∴2sin sin sin B A C =……………………………4分 ∵A B C π++=，∴sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+．∴2sin cos 2cos sin sin sin A C A C A C +=．∵sin sin 0A C ≠，∴111=+ ．……………………………………7分(II)∵111tan tan 2A C +=，∴2tan tan tan 2CA C =- ………………………9分∵A B C π++=,∴22tan tan tan tan tan()1tan tan 2tan tan 2A C CB AC A CC C +=-+=-=--+． ∴ 228tan 152tan tan 2C C C =-+ 整理得TAN 2C －8TAN C ＋16＝0 ………12分解得，TAN C ＝4，TAN A ＝4． ………………………………14分18.解：（1）由题可知224(020)400ky x x x=+<<-， ……………2分当x =0.065y =，此时9k =，2249(020)400y x x x ∴=+<<-． ……………6分 （2）解法1：2249400y x x=+-， 422'322322818188(400)(400)(400)x x x y x x x x ---=--=--. ……………8分令'4220188(400)y x x ==-得，2160,x x ∴==． ……………10分当'00x y <<<；当20x <<时，'0y >， ……………12分(0,y ∴在上是减函数，在()是增函数， ……………14分x ∴=y 有最小值，故存在x =使臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和最小． ……………16分 解法2：22222249149[(400)]400400400y x x x x x x ⎛⎫=+=+-+⎪--⎝⎭……………10分 222214(400)9[49]400400x x x x -=+++- 21[13]400400x ≥+-1.16= ……………14分当且仅当22224(400)9400x x x x-=-，即x =时取""=，x ∴=y有最小值，故存在x =使臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和最小． .……………16分19.解：（1）设}{n a 首项为1a ，公差为d ，由已知有1121634,51025,a d a d +=⎧⎨+=⎩……2分解得11=a ，2=d ，所以}{n a 的通项公式为12-=n a n (*N ∈n ). .……4分（2）当1=n 时，1111b T b -==，所以211=b ． .……5分 由n n b T -=1，得111++-=n n b T ，两式相减，得11++-=n n n b b b ，故n n b b 211=+，所以，}{n b 是首项为21，公比为21的等比数列，所以nn b ⎪⎭⎫⎝⎛=21． ………7分)4(2182191+=+=+m m a m ， 要使91+m a 是}{n b 中的项，只要nm 24=+即可，可取4=m ． ………9分（只要写出一个m 的值就给分，写出42-=n m ，*N ∈n ，3≥n 也给分）（3）由（1）知，tn n c n +--=1212，要使1c ，2c ，k c 成等差数列，必须k c c c +=122， …………12分 即t k k t t +--++=+12121136，化简得143-+=t k ． …………14分 因为k 与t 都是正整数，所以t 只能取2，3，5．当2=t 时，7=k ；当3=t 时，5=k ；当5=t 时，4=k ． 综上，存在符合条件的正整数t 和k ，所有符合条件的有序整数对),(k t 为(2,7)，(3,5)，(5,4)． …………16分20.解：（1）()2()2ln 12f x a x bx '=+-，由题意(1)0f '=，得a b =. ……………2分又切点为2(1,)3-，所以2(1)3f =-，即2233b -=-，得1a b ==. ……………4分（2）由（1）知32()2ln 3f x x x x =-，21()2ln 32g x x x x x k =+-+.()2(ln 1)32ln 1g x x x x x '=++-=+-，显然(1)0g '=，()g x '为单调增函数，所以，当1(,1)x e∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，且可无限增大． ……………6分当1x =时，min 5()(1)2g x g k ==-+，又2115()2g k e e e=-+，所以，当1()0g e<时，即2512k e e <-时，()g x 有且只有一个零点；当(1)0g =，即52k =时，()g x 有且只有一个零点； 当1()0,(1)0,g e g ⎧≥⎪⎨⎪<⎩即251522k e e -≤<时，函数()g x 有且只有两个零点；当(1)0g >，即52k >时，函数()g x 没有零点． ……………10分 （3）由（2）知，当1[,1]x e -∈时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(1,]x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增．所以，当1x =时，min 5()(1)2g x g k ==-+． ……………12分又1215()2g e k e e -=-+，2()2e g e e k =-+，12(2)101()()022e e e g e g e e----=+>， 故2max ()()2e g x g e e k ==-+． ……………14分由题意得2min max 5()()2e g x g x +---m ≤，即2255222e e e m +--+--≤，即m e ≥，故实数m 的最小值是e ． ……………16分。