极限教学课件
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《极限的运算》课件
重要的作用。
无穷小量的运算包括无穷小量的加法、 减法、乘法和除法。在运算过程中，无 穷小量可以与其他量进行加减乘除运算
，但需要注意运算结果的极限状态。
无穷小量在极限运算中常常用于等价变 换和泰勒展开等技巧，可以帮助我们简
化复杂的极限问题。
极限运算的注意事项
01
02
03
04
在进行极限运算时，需要注意 一些关键的点，以确保结果的
极限存在定理的证明方法
极限存在定理可以通过多种方法证明，如数学归纳法、反证法、直接证明法等 。这些方法都基于实数完备性定理，通过排除不可能的情况来证明极限的存在 。
极限存在定理的应用
函数极限的求解
极限存在定理是求解函数极限的基础 ，通过判断函数在某点的极限是否存 在，可以进一步研究函数的性质和变 化趋势。
极限的性质
极限具有一些重要的性质，如 唯一性、局部有界性、局部保 号性等。
这些性质在研究函数的极限行 为时非常重要，可以帮助我们 推导一些重要的结论和定理。
了解和掌握这些性质对于深入 理解极限的概念和应用极限的 方法具有重要意义。
02
极限的四则运算
极限的四则运算法则
加法法则
如果lim(x→a) f(x) = M1 和 lim(x→a) g(x) = M2，那么 lim(x→a) [f(x) + g(x)] = M1 + M2。
这种定义方式具有高度的严谨性 和精确性，是数学分析中研究函
数的重要基础。
极限的直观理解
极限的直观理解可以描述为函数在某一点附近的变化趋势。
当x逐渐接近这一特定点时，函数值会逐渐接近其极限值，或者保持一定的距离，或 者趋近于无穷。
这种变化趋势可以通过图形或表格进行可视化，帮助我们更好地理解极限的概念。
无穷小量的运算包括无穷小量的加法、 减法、乘法和除法。在运算过程中，无 穷小量可以与其他量进行加减乘除运算
，但需要注意运算结果的极限状态。
无穷小量在极限运算中常常用于等价变 换和泰勒展开等技巧，可以帮助我们简
化复杂的极限问题。
极限运算的注意事项
01
02
03
04
在进行极限运算时，需要注意 一些关键的点，以确保结果的
极限存在定理的证明方法
极限存在定理可以通过多种方法证明，如数学归纳法、反证法、直接证明法等 。这些方法都基于实数完备性定理，通过排除不可能的情况来证明极限的存在 。
极限存在定理的应用
函数极限的求解
极限存在定理是求解函数极限的基础 ，通过判断函数在某点的极限是否存 在，可以进一步研究函数的性质和变 化趋势。
极限的性质
极限具有一些重要的性质，如 唯一性、局部有界性、局部保 号性等。
这些性质在研究函数的极限行 为时非常重要，可以帮助我们 推导一些重要的结论和定理。
了解和掌握这些性质对于深入 理解极限的概念和应用极限的 方法具有重要意义。
02
极限的四则运算
极限的四则运算法则
加法法则
如果lim(x→a) f(x) = M1 和 lim(x→a) g(x) = M2，那么 lim(x→a) [f(x) + g(x)] = M1 + M2。
这种定义方式具有高度的严谨性 和精确性，是数学分析中研究函
数的重要基础。
极限的直观理解
极限的直观理解可以描述为函数在某一点附近的变化趋势。
当x逐渐接近这一特定点时，函数值会逐渐接近其极限值，或者保持一定的距离，或 者趋近于无穷。
这种变化趋势可以通过图形或表格进行可视化，帮助我们更好地理解极限的概念。
极限的四则运算PPT教学课件
• 孔子并不像后来我国封建社会的统治者所吹捧、所神化的那 样，是什么不食人间烟火的“文宣王”“大成至圣先师”等 等，他也是一个有血有肉的现实社会中的人。
• 他赞美颜回安于贫困，又汲汲于追求富贵，甚至奔走于权贵 之门，国君召唤他，他等不及驾好车马，就赶快跑了去。
• 孔子对他的学生很严厉，批评起来不讲情面，他批评“宰予 昼寝”说：“朽木不可雕也，粪土之墙不可圬也”（《论 语·公冶长》）；而有时对他的学生也很亲切
方法——因式分解法(再转化为代入法)
[注]:函数在某一点的极限,考察的是函 数值的变化趋势,与函数在这一点是否有定 义,是否等于在这一点处的函数值无关.故 本例可约去公因式x-1.
例2：(1)求lim x 1 1
x 0
x
(2)求 lim x（ x 3 x
x 2）
——方法: 分子(分母)有理化法(与分子 分母同除x的最高次幂相结合)
x x 0
xx0
lim [f(x) g(x)] lim f(x) lim g(x) a b
x x 0
x x 0
x x 0
lim [f(x)• g(x)] lim f(x)• lim g(x) a • b
x x 0
x x 0
x x 0
lim
f(x)
lim f(x)
x x 0
a (b 0)
xx0 g(x) lim g(x) b
点评对“0 型” 或“ 0 ” 的极限，应通过 0 分 解 因 式 约 去 “ 零 因 子” 或 根 式 有 理 化
例3：（1）
求
lim
x
x
x2 2
x
1
1
（2）
求
lim
《高等数学极限》课件
THANK YOU
无穷级数与无穷积分的收敛性
总结词
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它 表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。收敛性的判 定是高等数学中的一个重要问题，需要用到多种数学 方法和技巧。
详细描述
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它 表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。如果一个无 穷级数或无穷积分是收敛的，那么它的和就是有限的 ，否则就是发散的。收敛性的判定是高等数学中的一 个重要问题，需要用到多种数学方法和技巧，如比较 判别法、柯西判别法、阿贝尔判别法等。对于不同的 级数和积分，需要采用不同的方法和技巧进行收敛性 的判定。
03
导数与连续性
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率的极限 ，表示函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有线性、可加性、可乘性和链 式法则等性质，这些性质在研究函数 的单调性、极值和曲线的几何特性等 方面具有重要应用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角函数和反三角函 数等基本初等函数，需要熟记其导数公式。
限的。
无穷积分的定义与性质
总结词
无穷积分是数学中另一个重要的概念，它是由无穷多个 定积分的和组成的积分。无穷积分具有一些重要的性质 ，如可加性、可乘性和可微性等。
详细描述
无穷积分是由无穷多个定积分的和组成的积分，这些定 积分可以是积分限不同的积分。无穷积分在数学中也有 着广泛的应用，如求解面积、体积和曲线长度等。无穷 积分具有一些重要的性质，如可加性、可乘性和可微性 等。其中，可加性表示无穷积分可以拆分成若干个部分 的和，可乘性和可微性则表示无穷积分可以与函数进行 运算和求导。
《极限的定义与性质》PPT课件
42
4、无穷小的比较
定义2.5. 设x 时，f ( x), g( x)为无穷小，
若lim g( x) 0 , 则称g( x)是比f ( x)高阶的无穷小 ,
x f ( x) 记作g( x) o( f ( x));
若lim g( x) , 则称g( x)是比f ( x)低阶的无穷小 ,
x f ( x)
lim f ( x) A 或
xa
即 时, 有
当
20
说明：
(1) 本定义称为函数的 定义，刻画f (x)与A
的接近程度， 刻画 x 与 a 的接近程度.
(2) f (x) 当 定义无关.
的极限与 f (x)在点 a 是否有
(3)几何解释:
y
A
A
A
y f (x)
这表明:
极限存在 函数局部有界
lim f ( x) A
xa
lim f ( x) lim f ( x) A
xa
xa
说明： 当两个单侧极限有一个不存在，或者虽然两 个单侧极限都存在但不相等时，极限不存在.
27
例9. 设函数
y
x1 , x 0
y x 1
f
(
x)
0, x0
x 1 , x 0
1
o 1
x
y x 1
讨论 x 0 时 f (x) 的极限是否存在 .
7
定义2.2 给定数列 { xn }, 如果存在常数a，使得
0 （无论它多么小），N Z+ , 使得当 n N 时，
绝对值不等式| xn a | 恒成立，则称数列 { xn } 以 a
为极限
，记为
lim
n
xn
极限的运算法则 ppt课件
xx0
三、小结
1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法;
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
思考题
在某个过程中，若 f (x)有极限，g(x) 无极限，那么f(x)g(x)是否有极限？为
x l x 0 i f ( x m ) a 0 ( x l x 0 i x ) n m a 1 ( x l x 0 i x ) n m 1 a n a 0 x 0 n a 1 x 0 n 1 a n f(x0).
2.设 f(x)Q P ((x x)),且 Q (x0)0, 则有
(A B ) 0.
(2)成立 .
f (x) A A A B A B A 0 . g(x) B B B B(B )
又 0 ,B 0 ,0, 当 0xx 0 时 ,
B ,
B B B 1 B 1 B
2
22
B(B)1B2, 2
故1 B(B)
B22
,
有界，
(3)成xx0
limQ(x)
xx0
P(x0) Q( x0 )
f(x0).
若Q(x0)0, 则商的法则不 . 能应用
例2 求 lx i1m x24x2x13.
解 li(m x22x3) 0, x 1
注意：商的法则不能用
又 li(m 4x 1 )30, x 1
limx22x3 0 0. x1 4x1 3
推论1 如l果 im f(x)存,在 而 c为常 ,则数 lim c(fx [)]clim f(x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如l果 im f(x)存,在 而 n是正,整 则数 limf([x)n ][lim f(x)n ].
三、小结
1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法;
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
思考题
在某个过程中，若 f (x)有极限，g(x) 无极限，那么f(x)g(x)是否有极限？为
x l x 0 i f ( x m ) a 0 ( x l x 0 i x ) n m a 1 ( x l x 0 i x ) n m 1 a n a 0 x 0 n a 1 x 0 n 1 a n f(x0).
2.设 f(x)Q P ((x x)),且 Q (x0)0, 则有
(A B ) 0.
(2)成立 .
f (x) A A A B A B A 0 . g(x) B B B B(B )
又 0 ,B 0 ,0, 当 0xx 0 时 ,
B ,
B B B 1 B 1 B
2
22
B(B)1B2, 2
故1 B(B)
B22
,
有界，
(3)成xx0
limQ(x)
xx0
P(x0) Q( x0 )
f(x0).
若Q(x0)0, 则商的法则不 . 能应用
例2 求 lx i1m x24x2x13.
解 li(m x22x3) 0, x 1
注意：商的法则不能用
又 li(m 4x 1 )30, x 1
limx22x3 0 0. x1 4x1 3
推论1 如l果 im f(x)存,在 而 c为常 ,则数 lim c(fx [)]clim f(x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如l果 im f(x)存,在 而 n是正,整 则数 limf([x)n ][lim f(x)n ].
极限运算法则课件
减法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任意 $epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) - g(x) - A + B| = |f(x) - A + g(x) + B| leq |f(x) - A| + |g(x) + B| < 2epsilon$，即 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
乘法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任 意$epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon / |B|$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon / |A|$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) cdot g(x) - A cdot B| = |A cdot g(x) + f(x) cdot B| leq |A||g(x) - B| + |B||f(x) - A| < |A||epsilon / |B|| + |B||epsilon / |A|| = 2epsilon$，即$lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
高等数学的教学课件1-3函数的极限
自变量无限变化的过程有如下几种形式：
一、x 无限增大，记为x 1 x 0且 x 无限增大，记为x 2 x 0且 x 无限增大，记为x
二、x无限接近某定值 x0，记为x x0 1 x x0且x x0，记为x x0 2 x x0且x x0，记为x x0
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
x0
x0
f (0 ) f (0 ) 1, lim f ( x) 1. x0
例13
x 1, x 0 假设f ( x) ax b, 0 x 1
2 x, x 1
试确定a、b之值，使得lim f ( x)及 lim f ( x)都存在
x0
x1
解 f (0 ) lim (x 1) 0 1 1.
x
2
证
任给 0,
要使 arctan x arctan x ,
22
即 arctanx ,
2
故只需 x tan( ).
2
取G tan( )，
2
当x G时,
就有 arctan x , 证毕。
2
lim arctanx
x
2
lim arctanx
x
2
典型极限
例12
x0
x0 x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
1. 定义 :
定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总存在正数 ,使得对于适合不等式0 x x0 的 一切x ,对应的函数值 f ( x)都满足不等式
f (x) A ,
那末常数 A就叫函数 f ( x)当x x0 时的极限,记作
例5
证明
lim
x x0
x
x0 .
证 f ( x) A x x0 , 任给 0, 取 ,
一、x 无限增大，记为x 1 x 0且 x 无限增大，记为x 2 x 0且 x 无限增大，记为x
二、x无限接近某定值 x0，记为x x0 1 x x0且x x0，记为x x0 2 x x0且x x0，记为x x0
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
x0
x0
f (0 ) f (0 ) 1, lim f ( x) 1. x0
例13
x 1, x 0 假设f ( x) ax b, 0 x 1
2 x, x 1
试确定a、b之值，使得lim f ( x)及 lim f ( x)都存在
x0
x1
解 f (0 ) lim (x 1) 0 1 1.
x
2
证
任给 0,
要使 arctan x arctan x ,
22
即 arctanx ,
2
故只需 x tan( ).
2
取G tan( )，
2
当x G时,
就有 arctan x , 证毕。
2
lim arctanx
x
2
lim arctanx
x
2
典型极限
例12
x0
x0 x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
1. 定义 :
定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总存在正数 ,使得对于适合不等式0 x x0 的 一切x ,对应的函数值 f ( x)都满足不等式
f (x) A ,
那末常数 A就叫函数 f ( x)当x x0 时的极限,记作
例5
证明
lim
x x0
x
x0 .
证 f ( x) A x x0 , 任给 0, 取 ,
高等数学-函数的极限PPT课件
则A是 f (x)当 x 的极限. 记为： lim f ( x) A. x
或者记为：当 x 时，f ( x) A.
从定义中得到： x X 包含了 x X 和x X .
所以： x 包含了 x 和 x . 于是有
定理：lim f ( x) A lim f ( x) A且 lim f ( x) A.
x
x
x
则有：lim(2 1 ) 2, limarctan x 不存在.
x
x
x
.
7
注意: 证明极限存在时,关键是任意给定 0, 寻找X.
求X的方法： 由 f (x) A 解出x
几何解释:
Aε f (x) Aε
AA
X
A X
或者记为：当 x 时，f ( x) A.
则有：lim (2 1 ) 2, limarctan x π
x
x
x
2
对于 y 2 1 ，lim (2 1 ) 2,lim (2 1 ) 2,那么 lim(2 1 ) ？
x x
x
x
或者从x0的两边同时接近于x0.
.
12
函数极限的几何意义
lim f ( x) A 0, 0, 使得当
xБайду номын сангаас x0
0 x x0 时， 恒有 f ( x) A 成立.
0
当 x U ( x0 ) 时，
函数f(x)的图形完全
y
y f (x)
落在以直线y=A为中
定义：如果 0, X 0, 使当 x X 时，恒有 f (x) A ，
极限的概念ppt课件
x 时，y ex 0 为无穷小量
由函数图形可知
x 0时，y e x 1 x 时，y e x 0
为无穷小量
x 时，y e x
x
为无穷大量
例2：指出当 x 趋于何值时， y是无穷小量？
(1) y x 1 (2) y ln x (3) y ex 1
y
y
y x1
y ln x
(1)
lim
2x2
2x
1
lim
2
2 x
1 x2
200 2
(2)
x
lim
x
x2 5x 4 x2 4 lim x 2 x
x 1 5
1
4 x2
x
1 x
2 x2
4 x2
100
x2
(3)
lim
x
x2
4
lim x
1 x
2 x2
1
4 x2
0
从而可以总结出下列规律：
设P( x)、Q( x)分别是n次和m次多项式，则
-1
-0.5
sin x lim x x
y ex
0.5
1
(1) lim( x2 2x 3) 11 x2
(2) lim ex 1 x0
2.4
ln10
2.3
2.2
2.1
y ln( x 9)
-2
-1
1
2
3
0.8 0.6 0.4 0.2
-0.2
y sin x x
2
3
4
5
(3) limln( x 9) ln10 x1
lim f ( x) A
x
lim f ( x) B
由函数图形可知
x 0时，y e x 1 x 时，y e x 0
为无穷小量
x 时，y e x
x
为无穷大量
例2：指出当 x 趋于何值时， y是无穷小量？
(1) y x 1 (2) y ln x (3) y ex 1
y
y
y x1
y ln x
(1)
lim
2x2
2x
1
lim
2
2 x
1 x2
200 2
(2)
x
lim
x
x2 5x 4 x2 4 lim x 2 x
x 1 5
1
4 x2
x
1 x
2 x2
4 x2
100
x2
(3)
lim
x
x2
4
lim x
1 x
2 x2
1
4 x2
0
从而可以总结出下列规律：
设P( x)、Q( x)分别是n次和m次多项式，则
-1
-0.5
sin x lim x x
y ex
0.5
1
(1) lim( x2 2x 3) 11 x2
(2) lim ex 1 x0
2.4
ln10
2.3
2.2
2.1
y ln( x 9)
-2
-1
1
2
3
0.8 0.6 0.4 0.2
-0.2
y sin x x
2
3
4
5
(3) limln( x 9) ln10 x1
lim f ( x) A
x
lim f ( x) B
高数极限运算法则课件
极限四则运算法则
加法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的和在 该点的极限也存在，且等于两函数极限的和
。
减法运算法则
若两函数在某点的极限存在且不为零，则它 们的积在该点的极限也存在，且等于两函数
极限的积。
乘法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的差在 该点的极限也存在，且等于被减数函数极限 与减数函数极限的差。
泰勒公式定义
泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法，将一个函数表示为一个无穷级数。
泰勒公式性质
泰勒公式具有唯一性、收敛性和可微性等性质，其中收敛性是指当n趋近于无穷大时， 泰勒级数的和趋近于原函数。
泰勒公式在求极限中的应用举例
利用泰勒公式求极限
对于一些复杂的函数极限，可以通过泰勒公 式将其展开为多项式形式，从而简化求极限 的过程。
柯西收敛准则
数列 {xn} 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 ε，总存在正整数 N， 使得当 m>N 以及对于任意的正整数 p，都有 |xm+p−xm|<ε 成立。
应用举例
利用柯西收敛准则判断级数是否收敛，如判断 ∑n=1∞ann! 的收敛性，其中 {an} 是单调减少且趋于零的数列。
04
无穷小量与无穷大 量的关系
在同一变化过程中，如果函数 $f(x)$是无穷小量，且函数 $g(x)$是有界量，那么函数 $f(x)g(x)$也是无穷小量；如果 函数$f(x)$是无穷大量，且函 数$g(x)$是有界量但不为零， 那么函数$frac{1}{f(x)g(x)}$也 是无穷小量。
02
极限运算法则
03
无穷大量的性质与运算
无穷大量具有可加性、可乘性 、同阶无穷大等性质，可以通 过取对数等方法转化为无穷小 量进行计算。
高等数学函数的极限课程课件
则称当x x0时,函数f ( x)以a为极限,记作
lim f ( x) a 或
x x0
f (x) a(x x0 )
此时, 亦称当 x x0 时 f ( x) 存在极限
(或收 敛且收 敛 于 a ).
注 1 : 定义中的“0 | x x0 | ”表明: 当 x x0 时, f ( x) 有无极限以及极限值为多少均与 f ( x) 在 x0 有无定义无关.
xk
1
但 lim f ( x)不 存 在
2
xk
函数极限与数列极限的联系（某个桥梁）：
定理3.1(Heine定理)
设f
: N ( x0 )
R为一函数,则 lim x x0
f (x)
a的
充要条件为对于N ( x0 )中的任何数列xn,
只要xn x0 (n ),
相应的函数值数列f ( xn )都收敛于a.
例3.2 问limarctanx是否存在？ x
解 因为 lim arctan x ,
x
2
lim arctan x ,
x
2
lim arctan x lim arctan x,
x ＋
x
所以 limarctanx不存在.
x
y arctanx图象如图：
y
2
y arctan x
o
x
2
2. x x0时f ( x)的极限
都有 | f ( x) | L.
证明 设 lim f ( x) a, x x0 对 1, 0, 当0 x x0 时,
有 | f ( x) a | 1
所以当x ( x0 , x0 ) ( x0, x0 ) 时,
有a 1 f ( x) a 1
函数极限ppt课件
在常数A 对于任意给定的正数e 总存在正数d 使得当x
满足不等式0<|x-x0|d 时 对应的函数值f(x)都满足不等式 |f(x)-A|e
那么常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限 记为
lim
x x0
f(x)A
或
f(x) A(当
x
x0
)
•定义的简记形式
lim
x x0
f(x)A或fe(x>)0 Ad(x>0x当0)。0<|x-x0|<d
但f(g(x))在x0时无极 . 限
取 x n 2 n 1,x n 0 ,而 y n f( g ( x n ) )f( 0 ) 0 .
取 x n 2 n1 +,x n 0 ,而 y n f(g (x n ) )f(2 n+ 2 ) 1 . 2
取 xnn22(n1,2, )n , +, xn +, 且s有 inxnsin n)(0 0.
取xn(2n+2)2(n1,2, ),n+ ,xn+ ,
且有 sinxn
sin2n(+)11.
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铃
❖收敛函数的运算法则 •定理5(四则运算法则)
自变量的同一变化过程中，若lim f(x)A lim g(x)B 那么
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例例33
求 lim
x3
x-3 x2 -9
解解 lim x - 3 lim x - 3 lim 1 x 3 x 2 - 9 x 3 (x - 3)(x + 3) x 3 x + 3
lim 1
x3
1
满足不等式0<|x-x0|d 时 对应的函数值f(x)都满足不等式 |f(x)-A|e
那么常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限 记为
lim
x x0
f(x)A
或
f(x) A(当
x
x0
)
•定义的简记形式
lim
x x0
f(x)A或fe(x>)0 Ad(x>0x当0)。0<|x-x0|<d
但f(g(x))在x0时无极 . 限
取 x n 2 n 1,x n 0 ,而 y n f( g ( x n ) )f( 0 ) 0 .
取 x n 2 n1 +,x n 0 ,而 y n f(g (x n ) )f(2 n+ 2 ) 1 . 2
取 xnn22(n1,2, )n , +, xn +, 且s有 inxnsin n)(0 0.
取xn(2n+2)2(n1,2, ),n+ ,xn+ ,
且有 sinxn
sin2n(+)11.
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自变量的同一变化过程中，若lim f(x)A lim g(x)B 那么
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例例33
求 lim
x3
x-3 x2 -9
解解 lim x - 3 lim x - 3 lim 1 x 3 x 2 - 9 x 3 (x - 3)(x + 3) x 3 x + 3
lim 1
x3
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高等数学第-讲极限与连续PPT课件
高等数学第-讲极限与连续ppt 课件
目
CONTENCT
录
• 极限概念与性质 • 连续概念与性质 • 极限与连续关系 • 典型例题解析 • 练习题与答案解析
01
极限概念与性质
极限定义及存在条件
极限定义
当自变量的某个变化过程（如$x to x_0$或$x to infty$）中，函数 $f(x)$无限接近于某个常数$A$，则称$A$为函数$f(x)$在该变化过 程中的极限。
Cantor定理：若函数在 闭区间[a,b]上连续，则 它在[a,b]上一致连续。
Lipschitz条件：若存在 常数K，使得对任意 x1,x2∈I，都有|f(x1)f(x2)|≤K|x1-x2|，则称 f(x)在区间I上满足 Lipschitz条件。满足 Lipschitz条件的函数一 定一致连续。
练习题3
求极限 lim(x→1) (x^2-1)/(x-1)。
答案解析
通过运用极限的运算法则、等价无穷小替换等方法，可以求出以上极限的值。
判断函数连续性练习题及答案解析
01
02
03
04
练习题1
判断函数 f(x)={x^2, x>0; 0, x≤0n(1/x) 在 x=0 处是否连续。
若函数f(x)在其定义域内单调且连续，则其反函数f1(x)在其对应域内也单调且连续。
初等函数连续性
初等函数在其定义域内是连续的，即在其定义域内的每一点都满 足连续的定义。
初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角 函数以及由这些函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的函 数。
03
极限与连续关系
练习题3
判断函数 f(x)=e^x 在 R 上的 连续性。
目
CONTENCT
录
• 极限概念与性质 • 连续概念与性质 • 极限与连续关系 • 典型例题解析 • 练习题与答案解析
01
极限概念与性质
极限定义及存在条件
极限定义
当自变量的某个变化过程（如$x to x_0$或$x to infty$）中，函数 $f(x)$无限接近于某个常数$A$，则称$A$为函数$f(x)$在该变化过 程中的极限。
Cantor定理：若函数在 闭区间[a,b]上连续，则 它在[a,b]上一致连续。
Lipschitz条件：若存在 常数K，使得对任意 x1,x2∈I，都有|f(x1)f(x2)|≤K|x1-x2|，则称 f(x)在区间I上满足 Lipschitz条件。满足 Lipschitz条件的函数一 定一致连续。
练习题3
求极限 lim(x→1) (x^2-1)/(x-1)。
答案解析
通过运用极限的运算法则、等价无穷小替换等方法，可以求出以上极限的值。
判断函数连续性练习题及答案解析
01
02
03
04
练习题1
判断函数 f(x)={x^2, x>0; 0, x≤0n(1/x) 在 x=0 处是否连续。
若函数f(x)在其定义域内单调且连续，则其反函数f1(x)在其对应域内也单调且连续。
初等函数连续性
初等函数在其定义域内是连续的，即在其定义域内的每一点都满 足连续的定义。
初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角 函数以及由这些函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的函 数。
03
极限与连续关系
练习题3
判断函数 f(x)=e^x 在 R 上的 连续性。
函数的极限(左右极限)ppt课件
记作： lim f (x) a x
◆定义(2):
一般地,当自变量x取负值并且绝对值无限增大时, 函数f(x)的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋 向于负无穷大时,函数f(x)的极限是a,
记作： lim f (x) a
x
3
◆定义(3)
如果 lim f (x) a且 lim f (x) a
限是4．记作：limx 2 4 x 2 强调：x→2，包括分别从左、右两侧趋近于2．
即: “x→2”是指以任何方式无限趋近于2，(分别从
左、右两侧或左、右两侧交替地无限趋近于2)．7
2. 考察函数 y x 2 1 （x≠1），当x无限趋近于1（但 x 1
不等于1）时，函数的变化趋势
（1）图象 y=x+1 (x∈R,x≠1)
y 4 1.75 0.39 0.04 0.004 0.0004 0.00004 ……
x
2.5 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001 ……
y=x2 6.25 4.41 4.04 4.004 4.0004 4.00004 ……
y 4 2.25 0.41 0.04 0.004 0.0004 0.00004 ……
函数在一点处的极限与左、右极限的定义 10
函数在一点处的极限与左、右极限
1．当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，如
果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋近于x0时，
函 数 f(x) 的 极 限 是 a ， 记 作 f(x)→a。
lim f( x) a 或 当 x→x0 时
x x 0
（2）lim f(x) 是x从x0的两侧无限趋近于x0,是双侧极限，
xx0
《极限定理教学》课件
02
无穷小和无穷大在极限理论中有 着重要的应用，如极限的定义、 性质和计算等。
06
极限定理的深化理解
极限定理的几何解释
极限定理的几何解释
通过几何图形和图形的变化趋势，深入 理解极限的概念和性质。例如，通过观 察函数图像的变化趋势，理解函数在某 点的极限值。
VS
动态演示
利用动画或动态图演示函数的变化趋势， 帮助学生直观地理解极限的概念。
注意事项
强调在求幂函数的极限时需要注意 的要点，例如n不能为负数且分母不 能为零等。
指数函数的极限
指数函数的形式
指数函数的一般形式为a^x（ a>0且a≠1），其极限值取决于a
的值。
举例说明
通过具体例子演示如何求指数函 数的极限，例如求lim(x->∞) a^x的极限值，其中a>1和 0<a<1的情况。
在微积分中，极限的应用可以帮助我们更好地理解微积分 的本质和思想，解决微积分中的问题，如求解函数的极值 、求解定积分等。
04
极限的运算
极限的四则运算
极限的四则运算法则
注意事项
极限的四则运算法则是极限运算的基 础，包括加法、减法、乘法和除法的 极限运算规则。
强调在运用极限的四则运算法则时需 要注意的要点，例如分母不能为零等 。
左极限与右极限
根据函数在某点处的左右两侧的变化 趋势，可以将极限分为左极限和右极 限。
单侧极限与双侧极限
根据函数在某点处是否只有一个方向 上的变化趋势，可以将极限分为单侧 极限和双侧极限总结词
单调有界定理是极限理论中的基本定理之一，它表明如果一 个数列单调递增且有上界或单调递减且有下界，则该数列收 敛。
无穷大的定义与性质
数学课件-极限的概念与性质
比β高阶无穷小）；
3.如果
β
lim xx0 α
C
0,
则称β与α是同阶无穷小。
特别地，当C = 1时，则称β与α是等价无穷小，记作 β=
~α。
由定义知，在 x→0 时，x 与2x是同阶无穷小；
x²是比2x高阶无穷小； 2x是比x²低阶无穷小。
极限的运算
极限的四则运算法则
下面以 x x0 为例，其他情形也有同样的结论。
lim x 1
(x
1)( x x 1
1)
2
5、当
x
x
0
时，
函数f（x）的极限
6、当
x
x
0
时，
定义
设函数
f (x) 在
x0
的某一 右半邻域（x0 左半邻域（x0
, x0
,
)
x0 )
内有定义，
右 当 x 从 x0 左侧无限接近于x0 时，函数f (x) 无限地接近于某常数A ,
右
则称
A
为函数
f（x）在
4、无穷大 定义 当x→x。时，（自变量x 的变化过程可以是 其他情形），如果∣f (x)∣无限增大，则称 f (x)为这一变化 过程中的无穷大量，简称无穷大，记作
lim f (x) 或 f (x) (x x0 ) x x0
当 x → x。时，如果 f（x）无限增大（减少），则称 f (x)为一变化过程中的正（负）无穷大，记作
x1
x1
于是
lim f (x) lim (x 2) 3
x1
x1
lim f (x) lim f (x) 3
x1
x1
lim f (x) 3 x1
x 1
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2.x的含义 3.引例
2. x时函数的极限
一、复习与引入
1.数列极限的定义
x是指x的绝对值无限增大， 它包括以下两种基本情况： (1)x取正值无限增大，记作 x+ ； (2)x取负值而绝对值无限增 大，记作x- .
2.x的含义 3.引例
2. x时函数的极限
一、复习与引入
2. 函数的极限
连中数学组 WF
极限思想追溯——割圆术 我国魏晋时期的数学家刘徽,创立了“割圆术”。借助圆内接正多边形 的周长，得出圆的周长. 从圆内接六边形起算，令边数一倍一倍地增加，逐个算出正六边形、正 十二边形、正四十八边形……随着边数的不断增加，圆内接正多边形越来越 接近于圆，圆内接正多边形周长越来越接近于圆的周长.
二、x 时函数极限的定义
定义 如果当 x 时，函数 f(x) 无限 趋近于一个确定的常数A，那么A就叫 做函数f(x)当x 时的极限.
解 函数图象如右图所示，由图象 可以看出：
例1、分别就自变量x 趋向于 函数的变化趋势： （1） 解：当 即 时，
的情况，讨论下列
无限趋之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割， 则与圆合体而无所失矣. ”
「割圆术」是我国数学史上首次将极限概念用于近似计算。
2. x时函数的极限
一、复习与引入
1.数列极限的定义
对于无穷数列{an} a1,a2,a3,…, ,an,…, 如果当项数n无限增大时，数列的项 an无限趋近于一个确定的常数A，就 说A是数列{an}的极限.
0.001
0.0001
0.00001
· · ·
y
O
x
当x 趋向于负无穷大时，函数
的极限是0，记作
一般地，当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数 无限趋近于一个常数a ， 就说当x 趋向于正无穷大时，
函数 的极限是a ，记作
也可记作: 当 当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数 无限趋近于一个常数a ， 就说当x 趋向于负无穷大时， 函数 的极限是a ，记作 也可记作: 当
1.数列极限的定义
2.x的含义 3.引例
3.引例
考察函数 y
当x 无限增大时的变化趋势． 当自变量x 取正值并无限增 大时，函数 的值无限趋近
O
x 于0，即|y-0|可以变得任意小．
当x 趋向于正无穷大时，函数
的极限是0，记作
x
1
10
100
1000
10000
100000
· · ·
y
1
0.1
0.01
趋近于
（2） 解：当 当 时， 时， 趋近于 无限趋近于0，即
（3）
解：当 当
时， 时，
的值保持为1．即 的值保持为-1，即
课 堂 练 习
一、下列函数当x 时极限是否存在，试说明理由，并画图 观察。 (2) f(x)=arccotx (3) f(x)=1
二.仿照数列极限的四则运算，求函数的极限