高考数学总复习 椭圆学案
高中数学专题椭圆的简单的几何性质学案
2.1。
2椭圆的简单几何性质（学案)一、知识梳理1。
椭圆的标准方程22221x y a b+=(0)a b >>，它有哪些几何性质呢？图形：范围：x : y :对称性:椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：( ）,（ ），（ ），（ ）; 长轴，其长为;短轴，其长为； 离心率：刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比c a 称为离心率，记ce a =，且01e <<．2.直线与椭圆的三种位置关系：；3.联立直线与椭圆方程组⎩⎨⎧=+=,0),(,y x f b kx y 消去y 得到关于x 的一元二次方程:02=++C Bx Ax.由其判别式∆可判断直线与椭圆公共点的个数:（1）当0>∆时,直线与椭圆公共点。
(2）当0=∆时，直线与椭圆公共点。
(3)当0<∆时,直线与椭圆公共点.4.若直线b kx y +=与椭圆相交于两点),(),,(2211y x Q y x P ，联立直线与椭圆方程组⎩⎨⎧=+=,0),(,y x f b kx y 得到关于x 的一元二次方程:02=++C Bx Ax ，则有:(1)ABx x A B x x=-=+2121,。
（2）弦长2122122122212214)(1||1)()(||x x x x k x x k y y x x PQ -+•+=-+=-+-=。
二、典例解析例1: 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。
源:］例2: 已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等于1,求P 点的坐标。
例3：设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点为F 1、F 2 ,若在椭圆上存在一点P ，使21PF PF⊥，求椭圆的离心率e 的取值范围.例4：已知椭圆1422=+y x及直线2+=kx y 。
当k 为何值时，直线与椭圆有2个公共点？1个公共点？没有公共点?三、当堂检测1.已知F 1、F 2为椭圆(a ＞b ＞0）的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ,若△AF 1B 的周长为16,椭圆离心率23=e ，则椭圆的方程是 （ )A 。
高考数学椭圆总复习教案-精选教学文档
高考数学椭圆总复习教案【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了高考数学椭圆总复习教案，希望能给大家带来帮助!高三数学理科复习39-----椭圆【考纲要求】掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质【自学质疑】1.椭圆的长轴位于轴，长轴长等于 ;短轴位于轴，短轴长等于 ;焦点在轴上焦点坐标分别是和 ;离心率 ;左顶点坐标是下顶点坐标是 ;椭圆上点的横坐标的范围是，纵坐标的范围是 ; 的取值范围是。
2.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为。
3.若是椭圆的两个焦点，过作直线交椭圆于两点，则的周长等于 .4.(1)若椭圆短轴一端点到椭圆焦点的距离是该点到同侧长轴一端点距离的倍则椭圆的离心率。
(2)若椭圆的长轴长不大于短轴长的倍则椭圆的离心率。
(3)若椭圆短轴长的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形则椭圆的离心率。
【例题精讲】1.设椭圆中心在原点，对称轴在坐标轴，且长轴是短轴的2倍。
又点在椭圆上，求这个椭圆方程。
2.如图，设椭圆的焦点为与，为该椭圆上的点，且。
求证：的面积。
3.若椭圆上存在一点，使，求椭圆离心率的范围。
【矫正巩固】1.若椭圆的离心率，则的值是。
2.椭圆上的点到左焦点的距离，到右焦点的距离3.设中心在原点，焦点在轴上的椭圆左顶点为，上顶点为，若左焦点到直线的距离是，则椭圆的离心率。
4.已知椭圆，为左顶点，为短轴一顶点，为右焦点，且，则此椭圆离心率为 .5.已知是椭圆上一点，与两焦点连线互相垂直，且到两焦点的距离分别为，则椭圆方程为。
6.点是椭圆的一点，与是它的两个焦点，若 ,则的面积为。
7.如图，在中， , ,一个椭圆以为一个焦点，以分别作为长、短轴的一个端点，以原点作为中心，求该椭圆的方程。
【迁移应用】1. 椭圆的右焦点为，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么点的纵坐标是2. 若椭圆的离心率为，则实数。
3. 椭圆上一点到两个焦点的距离之积为，则取最大值时，点的坐标是4. 已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是，( 是大于0的常数)(1)求椭圆的方程;(2)若椭圆过点，求的值。
高考数学最新一轮复习 必考题型巩固提升 9.5椭圆学案
9.5椭 圆考情分析椭圆的定义、标准方程和几何性质都是高考重点考查的内容，直线与椭圆的位置关系是高考考查的热点，以上内容各种题型都有考查，作为选择题、填空题属于中低档题目，作为解答题则属于中高档题目 考纲要求1、了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用2、掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质 基础知识1、椭圆的定义平面内到两定点12,F F 的距离和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹叫椭圆。
两个定点12,F F 叫椭圆的焦点，两焦点之间的距离12||F F 叫椭圆的焦距。
一定要注意条件122||a F F >，当122||a F F =时轨迹为线段12F F ，当122||a F F <时轨迹不存在2、椭圆的标准方程及其简单的几何性质（2）椭圆上 任意一点P(x,y) (0)y ≠与两焦点12(,0),(,0)F c F c -构成的12PF F V 称为焦点三角形，其周长为2()a c +（3）椭圆的一个焦点、中心、短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，222a b c =+ 注意事项1.椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：给出椭圆方程x 2m ＋y 2n ＝1时，椭圆的焦点在x 轴上⇔m ＞n ＞0；椭圆的焦点在y 轴上⇔0＜m ＜n .2.(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2、b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a 、b 、c 的方程组，解出a 2、b 2，从而写出椭圆的标准方程．3. (1)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .(2)求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)．(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴．考向一 椭圆定义的应用【例1】已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.答案：A【变式1】 已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )． A ．2 3 B ．6 C ．4 3D ．12解析 由椭圆的定义知：|BA |＋|BF |＝|CA |＋|CF |＝2a ， ∴周长为4a ＝43(F 是椭圆的另外一个焦点)． 答案 C题型二 求椭圆的标准方程【例2】2．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 解析：由x 2＋y 2－2x －15＝0， 知r ＝4＝2a ⇒a ＝2.又e ＝c a ＝12，c ＝1.答案：A【变式2】 (1)求长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)的椭圆的标准方程．(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F (1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M ，N 与F 构成正三角形，求椭圆的方程．解 (1)若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵椭圆过点A (3,0)，∴9a2＝1，a ＝3，∵2a ＝3·2b ，∴b ＝1，∴方程为x 29＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∴椭圆过点A (3,0)，∴02a 2＋9b2＝1，∴b ＝3，又2a ＝3·2b ，∴a ＝9，∴方程为y 281＋x 29＝1.综上所述，椭圆方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)由△FMN 为正三角形，则c ＝|OF |＝32|MN |＝32×23b ＝1.∴b ＝ 3.a 2＝b 2＋c 2＝4.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.题型三 椭圆几何性质的应用【例3】设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点．(1)若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且1PF u u u r ·2PF u u u r ＝－54，求点P 的坐标；(2)设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为原点)，求直线l 斜率k 的取值范围．解：(1)由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， 所以F 1(－3，0)，F 2(3，0)． 设P (x ，y )(x >0，y >0)，1PF u u u r ＝(－3－x ，－y )，2PF u u u r＝(3－x ，－y )． 由1PF u u u r ·2PF u u u r ＝－54，得x 2＋y 2－3＝－54.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝74，x24＋y 2＝1，解得点P (1，32)． (2)可设l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将y ＝kx ＋2代入椭圆方程， 得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0.由Δ＝(16k )2－4·(1＋4k 2)·12>0，得k 2>34. ①又y 1·y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4，∵∠AOB 为锐角，所以OA u u u r ·OB u u u r>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0.即(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝121＋k21＋4k2＋2k (－16k 1＋4k 2)＋4＝44－k21＋4k2>0. 所以－14<k 2<4. ②由①②可知34<k 2<4，故k 的取值范围是(－2，－32)∪(32，2)． 【变式3】在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝1，如果一个椭圆通过A ，B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率为________． 解析设另一个焦点为F ，如图所示，∵|AB |＝|AC |＝1，△ABC 为直角三角形， ∴1＋1＋2＝4a ，则a ＝2＋24，设|FA |＝x ，∴⎩⎨⎧x ＋1＝2a ，1－x ＋2＝2a ，∴x ＝22，∴1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝4c 2， ∴c ＝64，e ＝ca ＝6－ 3. 答案6－ 3题型四 椭圆中的定值问题【例4】►(2013重庆模拟)如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝22， 一条准线的方程为x ＝2 2.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P 满足：O P →＝O M →＋2O N →，其中M 、N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12 .问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．[审题视点] (1)由离心率和准线方程即可求出椭圆方程．(2)充分利用椭圆的定义和性质，利用设而不求的方法求出P 点．解 (1)由e ＝c a ＝22，a2c＝22，解得a ＝2，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2， 故椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则由O P →＝O M →＋2O N →得(x ，y )＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)， 即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2. 因为点M 、N 在椭圆x 2＋2y 2＝4上， 所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 22＋4x 1x 2)＋2(y 21＋4y 22＋4y 1y 2) ＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2) ＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12， 因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0， 所以x 2＋2y 2＝20. 所以P 点是椭圆x 2252＋y 2102＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F 1，F 2， 则由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|为定值． 又因c ＝252－102＝10，因此两焦点的坐标为F 1(－10，0)，F 2(10，0)． 【变式4】如图，已知椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线l 的方程．解 (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由e ＝12，即c a ＝12，得a ＝2c ，得b 2＝a 2－c 2＝3c 2.∴椭圆方程可化为x 24c 2＋y 23c2＝1.将A (2,3)代入上式，得1c 2＋3c2＝1，解得c ＝2，∴椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1的方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0，直线AF 2的方程为x ＝2.由点A 在椭圆E 上的位置知，直线l 的斜率为正数． 设P (x ，y )为l 上任一点，则|3x －4y ＋6|5＝|x －2|.若3x －4y ＋6＝5x －10，得x ＋2y －8＝0(因其斜率为负，舍去)． 于是，由3x －4y ＋6＝－5x ＋10，得2x －y －1＝0， ∴直线l 的方程为2x －y －1＝0. 重难点突破【例5】设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．[解析] (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以a －c2＋b 2＝2c .整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca－1＝0，得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A 、B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c .消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解为⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c . 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.因为d 2＋⎝⎛⎭⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16.整理得7c 2＋12c －52＝0. 得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.巩固提高1．椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为( )A.13 B.12 C.33D.22解析：∵a 2＝16，b 2＝8，∴c 2＝8. ∴e ＝c a ＝22. 答案：D2．如图所示，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，左焦点为F ，A 、B 、C 为其三个顶点，直线CF 与AB 交于D 点，则tan ∠BDC 的值等于( )A ．3 3B ．－3 3C.35D.－35解析：由e ＝12知b a ＝1－e 2＝32，c b ＝33. 由图知tan ∠DBC ＝tan ∠ABO ＝a b ＝233，tan ∠DCB ＝tan ∠FCO ＝c b ＝33. tan ∠BDC ＝－tan(∠DBC ＋∠DCB )＝－233＋331－233·33＝－3 3.答案：B3．方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的椭圆的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个端点，若31DF u u u u r ＝DA u u u r＋22DF u u u u r ，则该椭圆的离心率为( )A.12 B.13 C.14D.15解析：设点D (0，b )，A (－a,0)则1DF u u u u r ＝(－c ，－b )，DA u u u r＝(－a ，－b )，2DF u u u u r ＝(c ，－b )，由31DF u u u u r ＝DA u u u r ＋22DF u u u u r 得－3c ＝－a ＋2c ，即a ＝5c ，故e ＝15.答案：D4．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________．解析：由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6.∴|PF 1|＝2×5－6＝4.答案：45．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM u u u u r|＝1，且PM u u u r ·AM u u u u r ＝0，则|PM u u u r|的最小值是________．解析：∵|PM u u u r |·AM u u u u r ＝0，∴AM u u u u r ⊥PM u u u r.11 ∴|PM u u u r |2＝|AP u u u r |2－|AM u u u u r |2 ＝|AP u u u r |2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小， 故|AP u u u r |min ＝2，∴|PM u u u r |min ＝ 3. 答案： 3。
椭圆(高三复习课教案)
椭圆(高三复习课)恩平市第一中学张雪梅一、教学内容分析圆锥曲线是解析几何的主体内容，也是高中数学的重点内容,而椭圆是圆锥曲线的起始部分，通过本节课的学习，不但让学生对椭圆的知识结构有一个较清晰的认识，而且在处理问题时,让学生学会灵活运用定义，正确选用标准方程，恰当利用几何性质，合理的分析，准确的计算，并且为复习双曲线和抛物线奠定了基础.二、学生学习情况分析本班是普通文科班，此课之前，学生已经在人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学选修1—1》（A 版）第二章《圆锥曲线与方程》中学习过相关内容。
此时，学生已有一定的学习基础和学习兴趣.总体上来讲,由于学生应用数学知识的意识不强,创造力较弱，分析问题不透彻,知识体系不完整，使得学生在对椭圆定义的理解及其标准方程的灵活运用上有一定的难度。
因此根据尝试教学法,教学过程中遵循“练习探索——自主复习——课堂研究——巩固运用”的四个要素，侧重学生的“练”、“思”、“究”的自主学习.通过学生的“练"、“思"、“究" ，再到教师的“讲”，使学生的学习达到“探索有所得，研究获本质"。
三、教学目标1、知识与能力：能用自己的语言描述椭圆的定义；准确地写出椭圆两种形式的标准方程；能根据椭圆的定义及标准方程画出椭圆的几何图形；并概括出椭圆的简单几何性质。
2、过程与方法：通过了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；理解数形结合的思想,并能用数形结合的思想结合椭圆的有关性质，解决椭圆的简单应用问题。
3、情感、态度与价值观：通过与同学、老师的交流、合作与探究，体会合作学习的乐趣；通过对椭圆的定义、几何图形、基本性质的探索，体会椭圆的几何图形与方程之间的相互联系和相互转化的规律，感受数学的严谨性；逐步形成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
四、教学重点与难点教学重点：1、掌握椭圆的定义,几何图形，标准方程及简单的几何性质。
高考数学(理科)一轮复习椭圆学案带答案
高考数学（理科）一轮复习椭圆学案带答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案51 椭圆导学目标：1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质．自主梳理．椭圆的概念在平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{m||mF1|＋|mF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：若________，则集合P为椭圆；若________，则集合P为线段；若________，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1y2a2＋x2b2＝1图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1，A2B1，B2A1，A2B1，B2轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈a，b，c的关系c2＝a2－b2自我检测．已知△ABc的顶点B、c在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在Bc边上，则△ABc的周长是A．23B．6c．43D．122．“m>n>0”是方程“mx2＋ny2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件c．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知椭圆x2sinα－y2cosα＝1的焦点在y轴上，则α的取值范围是A.3π4，πB.π4，3π4c.π2，πD.π2，3π44．椭圆x212＋y23＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的A．7倍B．5倍c．4倍D．3倍5．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是，那么k等于A．－1B．1c.5D．－5探究点一椭圆的定义及应用例1 一动圆与已知圆o1：2＋y2＝1外切，与圆o2：2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．变式迁移1 求过点A且与圆x2＋4x＋y2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．探究点二求椭圆的标准方程例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：长轴是短轴的3倍且经过点A；经过两点A和B12，3.变式迁移2 已知椭圆过，离心率e＝63，求椭圆的标准方程；已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1、P2，求椭圆的标准方程．探究点三椭圆的几何性质例3 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.求椭圆离心率的范围；求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．变式迁移3 已知椭圆x2a2＋y2b2＝1的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点m向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，AB∥om.求椭圆的离心率e；设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围．方程思想的应用例已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆c的离心率为12，且经过点m，过点P的直线l与椭圆c相交于不同的两点A，B.求椭圆c的方程；是否存在直线l，满足PA→•PB→＝Pm→2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答题模板】解设椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，由题意得1a2＋94b2＝1，ca＝12，a2＝b2＋c2.解得a2＝4，b2＝3.故椭圆c的方程为x24＋y23＝1.[4分] 若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为y ＝k＋1，由x24＋y23＝1，y＝kx－2＋1，得x2－8kx＋16k2－16k－8＝0.[6分]因为直线l与椭圆c相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为，，所以Δ＝[－8k]2－4••>0.整理得32>0，解得k>－12.[7分]又x1＋x2＝8k2k－13＋4k2，x1x2＝16k2－16k－83＋4k2，且PA→•PB→＝Pm→2，即＋＝54，所以＝54，即[x1x2－2＋4]＝54.[9分]所以[16k2－16k－83＋4k2－2×8k2k－13＋4k2＋4]＝4＋4k23＋4k2＝54，解得k＝±12.[11分]所以k＝12.于是存在直线l满足条件，其方程为y＝12x.[12分]【突破思维障碍】直线与椭圆的位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其他综合问题．反映在代数上，就是直线与椭圆方程联立的方程组有无实数解及实数解的个数的问题，它体现了方程思想的应用，当直线与椭圆相交时，要注意判别式大于零这一隐含条件，它可以用来检验所求参数的值是否有意义，也可通过该不等式来求参数的范围．对直线与椭圆的位置关系的考查往往结合平面向量进行求解，与向量相结合的题目，大都与共线、垂直和夹角有关，若能转化为向量的坐标运算往往更容易实现解题功能，所以在复习过程中要格外重视．．求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为x2m＋y2n＝1，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1，这种形式在解题中更简便．2．椭圆的几何性质分为两类：一是与坐标轴无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；另一类是与坐标系有关的性质，如：顶点坐标，焦点坐标等．第一类性质是常数，不因坐标系的变化而变化，第二类性质是随坐标系变化而相应改变．3．直线与椭圆的位置关系问题．它是高考的热点，通常涉及椭圆的性质、最值的求法和直线的基础知识、线段的中点、弦长、垂直问题等，分析此类问题时，要充分利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决．一、选择题．若△ABc的两个顶点坐标分别为A、B，△ABc的周长为18，则顶点c的轨迹方程为A.x225＋y29＝1B.y225＋x29＝1c.x216＋y29＝1D.y216＋x29＝12．已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于A．4B．5c．7D．83．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是A.32B.22c.2－1D.24．已知圆2＋y2＝36的圆心为m，设A为圆上任一点，N，线段AN的垂直平分线交mA于点P，则动点P的轨迹是A．圆B．椭圆c．双曲线D．抛物线5．椭圆x225＋y29＝1上一点m到焦点F1的距离为2，N是mF1的中点，则|oN|等于A．2B．4c．8D.32二、填空题6．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．7．椭圆x29＋y22＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．8.如图，已知点P是以F1、F2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝12，则此椭圆的离心率是______．三、解答题9．已知方向向量为v＝的直线l过点和椭圆c：x2a2＋y2b2＝1的右焦点，且椭圆的离心率为63.求椭圆c的方程；若已知点D，点m，N是椭圆c上不重合的两点，且Dm →＝λDN→，求实数λ的取值范围．0．椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B 两点，c是AB的中点，若|AB|＝22，oc的斜率为22，求椭圆的方程．1．已知中心在坐标原点o的椭圆c经过点A，且点F为其右焦点．求椭圆c的方程．是否存在平行于oA的直线l，使得直线l与椭圆c有公共点，且直线oA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．学案51 椭圆自主梳理．椭圆焦点焦距a>c a＝c a<c自我检测．c 2.c 3.D 4.A 5.B课堂活动区例1 解如图所示，设动圆的圆心为c，半径为r.则由圆相切的性质知，|co1|＝1＋r，|co2|＝9－r，∴|co1|＋|co2|＝10，而|o1o2|＝6，∴点c的轨迹是以o1、o2为焦点的椭圆，其中2a＝10,2c ＝6，b＝4.∴动圆圆心的轨迹方程为x225＋y216＝1.变式迁移1 解将圆的方程化为标准形式为：2＋y2＝62，圆心B，r＝6.设动圆圆心m的坐标为，动圆与已知圆的切点为c.则|Bc|－|mc|＝|Bm|，而|Bc|＝6，∴|Bm|＋|cm|＝6.又|cm|＝|Am|，∴|Bm|＋|Am|＝6>|AB|＝4.∴点m的轨迹是以点B、A为焦点、线段AB中点为中心的椭圆．a＝3，c＝2，b＝5.∴所求轨迹方程为x29＋y25＝1.例2 解题导引确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件和两个定形条件．当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1或y2a2＋x2b2＝1，或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1．解若椭圆的焦点在x轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1．∵椭圆过点A，∴9a2＝1，∴a＝3，又2a＝3•2b，∴b＝1，∴方程为x29＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，设方程为y2a2＋x2b2＝1．∵椭圆过点A，∴9b2＝1，∴b＝3，又2a＝3•2b，∴a＝9，∴方程为y281＋x29＝1.综上可知椭圆的方程为x29＋y2＝1或y281＋x29＝1.设经过两点A，B12，3的椭圆标准方程为mx2＋ny2＝1，将A，B坐标代入方程得4n＝114m＋3n＝1⇒m＝1n＝14，∴所求椭圆方程为x2＋y24＝1.变式迁移2 解当椭圆的焦点在x轴上时，∵a＝3，ca＝63，∴c＝6，从而b2＝a2－c2＝9－6＝3，∴椭圆的标准方程为x29＋y23＝1.当椭圆的焦点在y轴上时，∵b＝3，ca＝63，∴a2－b2a＝63，∴a2＝27.∴椭圆的标准方程为x29＋y227＝1.∴所求椭圆的标准方程为x29＋y23＝1或x29＋y227＝1.设椭圆方程为mx2＋ny2＝1．∵椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点坐标适合椭圆方程，则6m＋n＝1，①3m＋2n＝1，②①②两式联立，解得m＝19，n＝13.∴所求椭圆方程为x29＋y23＝1.例3 解题导引椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a、c 的关系．对△F1PF2的处理方法定义式的平方余弦定理面积公式⇔|PF1|＋|PF2|2＝2a2，4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ，S△＝12|PF1||PF2|sinθ.解设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，|PF1|＝m，|PF2|＝n.在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos60°.∵m＋n＝2a，∴m2＋n2＝2－2mn＝4a2－2mn.∴4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.又mn≤m＋n22＝a2，∴4a2－4c2≤3a2.∴c2a2≥14，即e≥12.∴e的取值范围是12，1.证明由知mn＝43b2，∴S△PF1F2＝12mnsin60°＝33b2，即△PF1F2的面积只与短轴长有关．变式迁移3 解∵F1，则xm＝－c，ym＝b2a，∴kom＝－b2ac.∵kAB＝－ba，om∥AB，∴－b2ac＝－ba，∴b＝c，故e＝ca＝22.设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，∴r1＋r2＝2a，|F1F2|＝2c，cosθ＝r21＋r22－4c22r1r2＝r1＋r22－2r1r2－4c22r1r2＝a2r1r2－1≥a2r1＋r222－1＝0，当且仅当r1＝r2时，cosθ＝0，∴θ∈[0，π2]．课后练习区．A 2.D 3.c 4.B 5.B6.x236＋y29＝17.2 120°8.539．解∵直线l的方向向量为v＝，∴直线l的斜率为k＝3.又∵直线l过点，∴直线l的方程为y＋23＝3x.∵a>b，∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点．∴c＝2.又∵e＝ca＝63，∴a＝6.∴b2＝a2－c2＝2.∴椭圆方程为x26＋y22＝1.若直线mN⊥y轴，则m、N是椭圆的左、右顶点，λ＝3＋63－6或λ＝3－63＋6，即λ＝5＋26或5－26.若mN与y轴不垂直，设直线mN的方程为x＝my＋3．由x26＋y22＝1，x＝my＋3得y2＋6my＋3＝0.设m、N坐标分别为，，则y1＋y2＝－6mm2＋3，①y1y2＝3m2＋3，②Δ＝36m2－12＝24m2－36>0，∴m2>32.∵Dm→＝，DN→＝，Dm→＝λDN→，显然λ>0，且λ≠1，∴＝λ．∴y1＝λy2.代入①②，得λ＋1λ＝12m2m2＋3－2＝10－36m2＋3.∵m2>32，得2<λ＋1λ<10，即λ2－2λ＋1>0，λ2－10λ＋1<0，解得5－26<λ<5＋26且λ≠1.综上所述，λ的取值范围是5－26≤λ≤5＋26，且λ≠1.0．解方法一设A、B，代入椭圆方程并作差得a＋b＝0.而y1－y2x1－x2＝－1，y1＋y2x1＋x2＝koc＝22，代入上式可得b＝2a.由方程组ax2＋by2＝1x＋y－1＝0，得x2－2bx＋b－1＝0，∴x1＋x2＝2ba＋b，x1x2＝b－1a＋b，再由|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝2|x2－x1|＝22，得2ba＋b2－4•b－1a＋b＝4，将b＝2a代入得a＝13，∴b＝23.∴所求椭圆的方程是x23＋2y23＝1.方法二由ax2＋by2＝1，x＋y＝1得x2－2bx＋b－1＝0.设A、B，则|AB|＝k2＋1x1－x22＝2•4b2－4a＋bb－1a＋b2.∵|AB|＝22，∴a＋b－aba＋b＝1.①设c，则x＝x1＋x22＝ba＋b，y＝1－x＝aa＋b，∵oc的斜率为22，∴ab＝22.代入①，得a＝13，b＝23.∴椭圆方程为x23＋2y23＝1.1．解方法一依题意，可设椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，且可知其左焦点为F′．从而有c＝2，2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，解得c＝2，a＝4.又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆c的方程为x216＋y212＝1.假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝32x＋t.由y＝32x＋t，x216＋y212＝1，得3x2＋3tx＋t2－12＝0.因为直线l与椭圆c有公共点，所以Δ＝2－4×3×≥0，解得－43≤t≤43.另一方面，由直线oA与l的距离d＝4，得|t|94＋1＝4，解得t＝±213.由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．方法二依题意，可设椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，且有4a2＋9b2＝1，a2－b2＝4.解得b2＝12或b2＝－3．从而a2＝16.所以椭圆c的方程为x216＋y212＝1.同方法一．。
江苏省灌南高级中学高三数学 椭圆复习导学案
江苏省灌南高级中学高三数学复习导学案：椭圆高考要求:B 级学习目标：1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质． 2. 了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用．3. 理解数形结合的思想. 一、自主梳理1．椭圆的概念平面内到两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫______．集合P ＝{M |MF 1＋MF 2＝2a }，F 1F 2＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数：(1)若______，则集合P 为椭圆；(2)若______，则集合P 为线段；(3)若______，则集合P 为空集． 判断下列点的轨迹是否为椭圆(请在括号内填“是”或“否”) ①平面内到点A (0,2)，B (0，－2)距离之和等于2的点的轨迹( ) ②平面内到点A (0,2)，B (0，－2)距离之和等于4的点的轨迹( ) ③平面内到点A (0,2)，B (0，－2)距离之和等于6的点的轨迹( ) ①否 ②否 ③是2．椭圆的标准方程和几何性质3.思考: (1)若方程Ax 2＋By 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则A 与B 具有什么关系？ 提示：A >B 且A >0，B >0.(2)椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示：离心率e ＝ca越接近1，a 与c 就越接近，从而b ＝a 2－c 2就越小，椭圆就越扁平；同理离心率越接近0，椭圆就越接近于圆． 二、基础检测1．(2011·新课标全国卷改编)椭圆x 216＋y 28＝1的离心率e ＝________.答案 22解析 由题意知：a 2＝16，b 2＝8，c 2＝a 2－b 2＝16－8＝8.∴c ＝22，∴e ＝c a ＝224＝22.2．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则PF 1＋PF 2＝________.答案 10解析 依椭圆的定义知：PF 1＋PF 2＝2×5＝10.3. 已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于________．解析：椭圆焦点在y 轴上，∴a 2＝m －2，b 2＝10－m .又∵c ＝2，∴m －2－(10－m )＝22＝4.∴m ＝8.4．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P ()－5，4，则椭圆的方程为______________．答案x 245＋y 236＝1 解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，将点(－5,4)代入得25a 2＋16b 2＝1，又离心率e ＝c a ＝55⇒e 2＝c 2a2＝a 2－b 2a 2＝15，解之得a 2＝45，b 2＝36，故椭圆的方程为x 245＋y 236＝1. 5．已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.答案 3解析 由题意知PF 1＋PF 2＝2a ，PF 1→⊥PF 2→，∴(PF 1)2＋(PF 2)2＝(F 1F 2)2＝4c 2，∴(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2＝4c 2，∴2PF 1·PF 2＝4a 2－4c 2＝4b 2.∴PF 1·PF 2＝2b 2，∴S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2＝12×2b 2＝b 2＝9.∴b ＝3.6.[2011·课标高考]在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．[答案]x 216＋y 28＝1[审题视点] 先由△ABF 2的周长确定a 的值，根据离心率求得c ，进一步确定b 值，写出椭圆方程．[解析] 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，因为AB 过F 1且A 、B 在椭圆上，如图，则△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a＝16，∴a ＝4.又离心率e ＝c a ＝22，∴c ＝22，∴b 2＝a 2－c 2＝8.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.三、典型例题例1.(1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)；(2)已知椭圆过(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程； (3)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)、P 2(－3，－2)，求椭圆的标准方程．变式: （1）已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且P 到两焦点的距离分别为5、3,过P 且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程.（2） “m >n >0”是方程“mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的________条件．例2. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长、短轴端点分别为A 、B ，从椭圆上一点M (在x 轴上方)向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，AB →∥OM →. (1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上任意一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围．变式: 已知椭圆的中心在原点，离心率e＝12，左焦点为F 1(－2,0)．(1)求椭圆的方程；(2)设P 是椭圆上一点，且点P 与椭圆的两个焦点F 1、F 2构成直角三角形，若PF 1>PF 2，求PF 1PF 2的值．例3已知长轴在x 轴上的椭圆的离心率e ＝12，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆的标准方程； (2)若P 是椭圆上任意一点，F 1、F 2是椭圆的左、右焦点．①求PF 1·PF 2的最大值；②求PF 1→·PF 2→的取值范围．变式:设A ，B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32为椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距．(1)求椭圆的方程；(2)设P (4，x )(x ≠0)，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交异于A ，B 的点M ，N ，求证：∠MBN 为钝角．四、课后练习1.已知ABC ∆中, (3,0),(3,0)B C -,周长为16,则顶点A 的轨迹方程是2.若椭圆22136x y m +=的焦点在x 轴上,离心率为23e =,则m = 3.若椭圆()222210x y a b a b+=>>上存在点P 使得12F PF ∠为直角,求离心率e 的取值范围.4. [2013·金华联考]方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的椭圆的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个端点，若3DF 1→＝DA →＋2DF 2→，则该椭圆的离心率为________．5. [2013·绵阳模拟]在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 225＋y 29＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为________．6、已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是________．7、如图，A 、B 、C 分别为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为________．8.若椭圆()222210x y a b a b+=>>上存在点P 使得12F PF ∠为直角,求离心率e 的取值范围.五、课后训练1. [2013·海淀模拟]2<m <6是方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆的________条件．2. [2013·汕头检测]已知椭圆x 225＋y 29＝1，F 1、F 2分别为其左、右焦点，椭圆上一点M 到F 1的距离是2，N是MF 1的中点，则|ON |的长为________．3．若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F 1，则满足△ABF 1为等边三角形的椭圆的离心率是________．4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是________．5．(2012·扬州调研一)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点P (3,1)，其左、右焦点分别为F 1，F 2，且F 1P →·F 2P →＝－6，则椭圆E 的离心率是________．6. 已知椭圆x 24＋y 2＝1，F 1，F 2为其两焦点，P 为椭圆上任一点．则|PF 1|·|PF 2|的最大值为________．7．[2013·湖南郴州]设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是________．8. [2013·福建调研]若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．9、已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a <b >0)的左、右焦点， B 为椭圆短轴的一个端点，BF 1→·BF 2→≥12F 1F 2→2，则椭圆的离心率的取值范围是________．10、已知直线l ：y ＝kx ＋2(k 为常数)过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点B 和左焦点F ，直线l 被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为d . (1)若d ＝23，求k 的值；(2)若d ≥455，求椭圆离心率e 的取值范围．11. [2013·深圳模拟]设A 、B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，(1，32)为椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距．(1)求椭圆的方程；(2)设P (4，x )(x ≠0)，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交异于A ，B 的点M ，N ，求证：∠MBN 为钝角．12、 (2012·安徽卷)如图，点F 1 (－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x ＝a2c于点Q .(1)如果点Q 的坐标是(4,4)，求此时椭圆C 的方程； (2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．。
2020高考数学理科大一轮复习导学案《椭圆》(版含答案)
第五节椭圆知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．1．判断正误(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×)(2)动点P到两定点A(0，－2)，B(0,2)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆．(×)2．已知动点P(x，y)的坐标满足x2＋(y＋7)2＋x2＋(y－7)2＝16，则动点P的轨迹方程为x215＋y264＝1.解析：由等式关系可知，点P(x，y)到两定点(0,7)以及(0，－7)的距离之和等于16，且距离之和大于两定点间的距离，由椭圆的定义可知，动点P的轨迹是以点(0,7)和点(0，－7)为焦点，长半轴长为8的椭圆，其方程为x2 15＋y264＝1.知识点二椭圆的标准方程和几何性质3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( A )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1D.x 212＋y 24＝1解析：∵△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43，∴a ＝3，∵离心率为33，∴c ＝1，∴b ＝a 2－c 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选A.4．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( C )A.13B.12C.22D.223解析：不妨设a >0，因为椭圆C 的一个焦点为(2,0)，所以c ＝2，所以a 2＝4＋4＝8，所以a ＝22，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.5．(2018·浙江卷)已知点P (0,1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝2PB →，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2(y 2－1)，即x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2.因为点A ，B 在椭圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 224＋(3－2y 2)2＝m ，x 224＋y 22＝m ，得y 2＝14m ＋34，所以x 22＝m －(3－2y 2)2＝－14m 2＋52m －94＝－14(m －5)2＋4≤4，所以当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2.1．椭圆方程中的a ，b ，c (1)a ，b ，c 关系：a 2＝b 2＋c 2. (2)e 与b a ：因为e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以离心率e 越大，则b a 越小，椭圆就越扁；离心率e 越小，则ba 越大，椭圆就越圆．2．焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫作焦点三角形．r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中：(1)当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min ＝2b 2a .4．AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则①弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|；②直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.考向一 椭圆的定义【例1】 (1)已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．12(2)F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.74 C.72D.752【解析】 (1)由椭圆的方程得a ＝ 3.设椭圆的另一个焦点为F ，则由椭圆的定义得|BA |＋|BF |＝|CA |＋|CF |＝2a ，所以△ABC 的周长为|BA |＋|BC |＋|CA |＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|CA |＝(|BA |＋|BF |)＋(|CF |＋|CA |)＝2a ＋2a ＝4a ＝4 3.(2)由题意得a ＝3，b ＝7，c ＝2， ∴|F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6.∵|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos45°＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8， ∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8.∴|AF 1|＝72.∴△AF 1F 2的面积S ＝12×72×22×22＝72. 【答案】 (1)C (2)C椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等.(1)椭圆x225＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(D)A．5 B．6C．7 D．8(2)(2019·河北衡水中学调研)设F1、F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为－5.解析：(1)由椭圆的定义知点P到另一个焦点的距离是10－2＝8.(2)由椭圆的方程可知F2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|.∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又|MF2|＝(6－3)2＋(4－0)2＝5,2a＝10，∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5.考向二 椭圆的标准方程【例2】 (1)(2019·济南调研)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1(2)(2019·宁德模拟)一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( ) A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 24＋y 22＝1D.x 28＋y 24＝1【解析】 (1)设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|，所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|， 即2a ＝2×2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12，得a 2＝8，b 2＝6，故椭圆方程为x 28＋y 26＝1. 【答案】 (1)D (2)A(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a >|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式.(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为y 210＋x 26＝1.(2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.解析：(1)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n )． 由⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110. ∴椭圆方程为y 210＋x 26＝1. (2)设点B 的坐标为(x 0，y 0)．∵x 2＋y2b 2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)．∵AF 2⊥x 轴，设点A 在x 轴上方，∴A (1－b 2，b 2)．∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →，∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)．∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b23.∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－531－b 2，－b 23.将B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝23.∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1. 考向三 椭圆的几何性质【例3】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12 C.13 D.14(2)椭圆x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若△F AB 外接圆的圆心P (m ，n )在直线y ＝－x 的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 【解析】 (1)由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c .∵|OF 2|＝c ，∴点P 坐标为(c ＋2c cos60°，2c sin60°)，即点P (2c ，3c )．∵点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，∴3c 2c ＋a ＝36，解得c a ＝14，∴e ＝14，故选D.(2)设F (－c,0)，A (0，b )，B (a,0)，且△F AB 的外接圆的方程为(x －m )2＋(y －n )2＝r 2.将(－c,0)，(0，b )，(a,0)分别代入圆的方程，可得m ＝－c ＋a2，n ＝b 2－ac 2b .由m ＋n <0，可得－c ＋a 2＋b 2－ac 2b <0，即1－c ＋b －cb <0⇒b －c ＋b －c b <0，所以b －c <0，即b 2<c 2，则e 2>12，所以22<e <1，故选A.【答案】 (1)D (2)A椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种常用方法：(1)求出a ，c ，代入公式e ＝ca .(2)根据条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为关于a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e 的值或取值范围.(1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e .P 是椭圆上一点，位于第一象限，满足PF 2⊥F 1F 2，点Q 在线段PF 1上，且F 1Q →＝2QP →.若F 1P →·F 2Q →＝0，则e 2＝( C )A.2－1 B ．2－ 2 C ．2－ 3D.5－2(2)中心为原点O 的椭圆的焦点在x 轴上，A 为该椭圆右顶点，P 为椭圆上一点，若∠OP A ＝90°，则该椭圆的离心率e 的取值范围是( B )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，63D.⎝⎛⎭⎪⎫0，22解析：(1)由题可得F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 3，2b 23a ，∴F 2Q→＝－2c 3，2b 23a ，F 1P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2c ，b 2a ，∴F 2Q →·F 1P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 3，2b 23a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2c ，b 2a ＝－4c 23＋2b 43a 2＝0，结合b 2＝a 2－c 2化简得e 4－4e 2＋1＝0，解得e 2＝2±3.∵0<e <1，∴e 2＝2－3，故选C.(2)设椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，P (x ，y )，由题意知点P 在以OA 为直径的圆上，圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，化简为x 2－ax ＋y 2＝0.由⎩⎨⎧x 2－ax ＋y 2＝0，x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得(b 2－a 2)x 2＋a 3x －a 2b 2＝0，则x ＝ab2c 2，因为0<x <a ，所以0<ab 2c 2<a ，可得22<e <1，故选B.考向四 直线与椭圆的位置关系【例4】 (2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .【解】 (1)由已知得F (1,0)，l 的方程为x ＝1.由已知可得，点A 的坐标为(1，22)或(1，－22)．所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2.(2)证明：当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2.由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k 得k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k(x 1－2)(x 2－2).将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.所以，x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k 2k 2＋1＝0.从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补． 所以∠OMA ＝∠OMB .综上，∠OMA ＝∠OMB .(1)解决直线与椭圆的位置关系的问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系，解决相关问题.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率).(2019·贵州适应性考试)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，E 的离心率为22，点(0,1)是E 上一点．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，且BF 1→＝2F 1A →，求直线BF 2的方程．解：(1)由题意知，b ＝1，且e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，解得a 2＝2，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知，直线AB 的斜率存在且不为0，故可设直线AB 的方程为x ＝my －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，x ＝my －1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0，则y 1＋y 2＝2m m 2＋2，①y 1y 2＝－1m 2＋2，②因为F 1(－1,0)，所以BF 1→＝(－1－x 2，－y 2)，F 1A →＝(x 1＋1，y 1)，由BF 1→＝2F1A →可得，－y 2＝2y 1，③由①②③可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，±144，则kBF 2＝146或－146，所以直线BF 2的方程为 y ＝146x －146或y ＝－146x ＋146.。
2022版新高考数学总复习学案-第1课时-椭圆及其性质-含解析
椭圆[考试要求]1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．1．椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)离心率e ＝ca ，且e ∈(0,1)a ，b ，c 的关系 c 2＝a 2－b 2[常用结论]1．点P (x 0，y 0)和椭圆的位置关系 (1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔2．焦点三角形如图，椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．设r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中：(1)当r 1＝r 2，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大； (2)，当|y 0|＝b ，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .(3)a －c ≤|PF 1|≤a ＋c .(4)|PF 1|＝a ＋ex 0，|PF 2|＝a －ex 0. (5)当PF 2⊥x 轴时，点P 的坐标为.(6)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ.3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边长，a 2＝b 2＋c 2.4．已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a .5．椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦AB (AB 不平行于对称轴)的中点，则有6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长设直线l 与圆锥曲线C 的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若直线l 斜率为k ，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].当直线l 的斜率不存在时，|AB |＝|y 1－y 2|.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )(4)关于x ，y 的方程mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、教材习题衍生1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10D [依椭圆的定义知：|PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10.]2．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．(3,4)∪(4,5)[由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k ＞0，k －3＞0，5－k ≠k －3.解得3＜k ＜5且k ≠4.]3．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1 [设P (x P ，y P )，x P ＞0，由题意知|F 1F 2|＝2. 则S △PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×|y P |＝1，解得|y P |＝1. 代入椭圆的方程，得x 2P 5＋14＝1，解得x P ＝152， 因此点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1.] 第1课时 椭圆及其性质考点一 椭圆的定义及其应用椭圆定义的应用类型及方法(1)探求轨迹：确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．(2)应用定义转化：涉及焦半径的问题，常利用|PF 1|＋|PF 2|＝2a 实现等量转换．(3)焦点三角形问题：常把正、余弦定理同椭圆定义相结合，求焦点、三角形的面积等问题．[典例1] (1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1B ．x 248＋y 264＝1C.x248－y264＝1 D．x264＋y248＝1(2)如图，椭圆x2a2＋y24＝1(a＞2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若∠F1PF2＝60°，那么△PF1F2的面积为()A．233B．332C．334D．433(3)设F1，F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为________．(1)D(2)D(3)－5[(1)设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为x264＋y248＝1.(2)由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|2＝4a2－16，由余弦定理得4a2－16＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，即4a2－16＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝163，∴S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin 60°＝433，故选D.(3)由题意知，点M在椭圆外部，且|PF1|＋|PF2|＝10，则|PM|－|PF1|＝|PM|－(10－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－10≥|F2M|－10(当且仅当点P，M，F2三点共线时等号成立)．又F2(3,0)，则|F2M|＝(6－3)2＋(4－0)2＝5.∴|PM |－|PF 1|≥－5，即|PM |－|PF 1|的最小值为－5.]点评：解答本例(3)的关键是差式(|PM |－|PF 1|)转化为和式(|PM |＋|PF 2|－10)．而转化的依据为|PF 1|＋|PF 2|＝2a .[跟进训练]1．已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为( )A.x 212＋y 211＝1 B ．x 236－y 235＝1 C.x 23－y 22＝1D ．x 23＋y 22＝1D [由题意得|P A |＝|PB |，∴|P A |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝r ＝23＞|AF |＝2，∴点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝1，∴b ＝2， ∴动点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1，故选D.]2．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.3 [法一：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2， 所以2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，所以b ＝3.法二：∵PF 1⊥PF 2，∴∠F 1PF 2＝90°， ∴S △PF 1F 2＝b 2tan 45°＝9，∴b 2＝9，∴b ＝3.] 考点二 求椭圆的标准方程待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤[典例2] (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________． (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．(3)已知中心在坐标原点的椭圆过点A (－3,0)，且离心率e ＝53，则椭圆的标准方程为________．(1)y 210＋x 26＝1 (2)y 220＋x 24＝1 (3)x 29＋y 24＝1或y 2814＋x 29＝1 [(1)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n ＞0，m ≠n )．由⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110. ∴椭圆方程为y 210＋x 26＝1.(2)法一：椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4. 由椭圆的定义知， 2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4， ∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.法二：∵所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同， ∴其焦点在y 轴上， 且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． ∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2， 故a 2－b 2＝16.①又点(3，－5)在所求椭圆上， ∴(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1， 则5a 2＋3b 2＝1.②由①②得b 2＝4，a 2＝20， ∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.(3)若焦点在x 轴上，由题知a ＝3，因为椭圆的离心率e ＝53，所以c ＝5，b ＝2，所以椭圆方程是x 29＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝3，a 2－c 2＝9，又离心率e ＝c a ＝53，解得a 2＝814，所以椭圆方程是y 2814＋x29＝1.]点评：利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )的形式．[跟进训练]1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B ．x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 24＝1D ．x 29＋y 25＝1D [由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝12，所以a ＝3.因为椭圆的离心率e ＝c a ＝23，所以c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1，故选D.]2．(2020·通州模拟)设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点是同一个正三角形的顶点，焦点与椭圆上的点的最短距离为3，则这个椭圆的方程为________，离心率为________．x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 12 [焦点与椭圆的最短距离为a －c ＝3， a ＝2c ，∴c ＝3，a ＝23，b ＝3， ∴椭圆方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1. 离心率e ＝c a ＝12.]考点三 椭圆的几何性质1.求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，转化为e 的关系式，常用方法如下：(1)直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝ca 求解．(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝1－b2a2求解．(3)构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.2．利用椭圆几何性质求值或范围的思路(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求解．椭圆中的基本量a，b，c[典例3－1]嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100千米，远月点与月球表面距离为400千米，已知月球的直径约为3 476千米，对该椭圆有四个结论：①焦距长约为300千米；②长轴长约为3988千米；③两焦点坐标约为(±150,0)；④离心率约为75 994.则上述结论正确的是()A．①②④B．①③④C．①④D．②③④C[设该椭圆的半长轴长为a，半焦距长为c. 依题意可得月球半径约为12×3 476＝1 738，a－c＝100＋1 738＝1 838，a＋c＝400＋1 738＝2 138，2a＝1 838＋2 138＝3 976，a＝1 988，c ＝2 138－1 988＝150，椭圆的离心率约为e ＝c a ＝1501 988＝75994，可得结论①④正确，②错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以③错误．故选C.]点评：探求椭圆的长轴、短轴、焦距等问题，只要抓住题设中的信息，直译解方程即可．离心率[典例3－2] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32B ．2－ 3C ．3－12D ．3－1(2)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．(1)D (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 [(1)由题设知∠F 1PF 2＝90°，∠PF 2F 1＝60°，|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c .由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即3c ＋c ＝2a ，所以(3＋1)c ＝2a ，故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝23＋1＝3－1.故选D. (2)若存在点P ，则∠F 1BF 2≥90°(B 为短轴端点)，即b ≤c ＜a ，即b 2≤c 2，∴a 2－c 2≤c 2，∴a 2≤2c 2，∴22≤e ＜1.]点评：与几何图形有关的离心率问题，常借助勾股定理、正(余)弦定理求解；对于(2)这种探索性问题常采用临界点法求解．与椭圆有关的最值(范围问题)[典例3－3] (1)(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)(2)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，若P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A ．2B ．3C ．6D ．8(1)A (2)C [(1)由题意知，当M 在短轴顶点时，∠AMB 最大．①如图1，当焦点在x 轴，即m ＜3时，a ＝3，b ＝m ，tan α＝3m≥tan 60°＝3，∴0＜m ≤1.图1 图2②如图2，当焦点在y 轴，即m ＞3时，a ＝m ，b ＝3，tan α＝m 3≥tan 60°＝3，∴m ≥9. 综上，m 的取值范围(0,1]∪[9，＋∞)，故选A.(2)由题意知，O (0,0)，F (－1,0)，设P (x ，y )，则OP→＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋y 2＋x .又∵x 24＋y 23＝1，∴y 2＝3－34x 2，∴OP →·FP →＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2. ∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，OP →·FP→有最大值6.] 点评：本例(1)的求解恰恰应用了焦点三角形中张角最大的情形，借助该临界点，然后数形结合求解；本例(2)的求解采用了先建模，再借助椭圆中变量x 的有界性解模的思路．1．(2021·全国统一考试模拟演练)椭圆x 2m 2＋1＋y 2m 2＝1(m ＞0)的焦点为F 1，F 2，上顶点为A ，若∠F 1AF 2＝π3，则m ＝( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2C [a 2＝m 2＋1，b 2＝m 2，则c 2＝a 2－b 2＝1，由题意b ＝3c ，则b 2＝3c 2＝3＝m 2，又m ＞0，则m ＝ 3.]2．(2020·攀枝花模拟)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过椭圆上的点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，若四边形F 1F 2PQ 为菱形，则该椭圆的离心率为( )A ．2－12 B ．3－12C ．2－1D ．3－1B [由题意，F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 因为四边形F 1F 2PQ 为菱形，所以P (2c ，3c )，将点P 坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1可得：4c 2a 2＋3c 2b 2＝1，整理得4c 4－8a 2c 2＋a 4＝0，所以4e 4－8e 2＋1＝0，因0＜e ＜1，故e ＝3－12.]。
高三数学一轮复习椭圆教案
第一讲 椭圆一、考情分析解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形，这对学生能力的要求较高．“圆锥曲线”是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作用．本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助考生培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神．二、知识归纳（一）椭圆的定义（1）第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数()1222||a a F F >的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．特征式：()121222||MF MF a a F F +=>．注：①若122||a F F <，则点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线； ②若122||a F F =，则这样的点不存在．（2）第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线l 的距 离的比是常数()01e ∈，，那么这个点的轨迹叫做椭圆．其中定点叫 做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率．特征式：()101M lMF e e d →=<<．（二）椭圆的方程（1）椭圆的标准式方程：①()()()222210x m y n a b ab--+=>>；（焦点在x 轴的平行线上，中心在()m n ，的椭圆方程） ②()()()222210y n x m a b a b --+=>>．（焦点在y 轴的平行线上，中心在()m n ，的椭圆方程） （2）椭圆的参数方程：①()2222cos 10sin x a x y a b y b a b ϕϕ=⎧⇔+=>>⎨=⎩；注：ϕ角不是NOM ∠．②()()()2222cos 10sin x m a x m y n a b y n b a b θθ=+--⎧⇔+=>>⎨=+⎩． Ｐ ＰＦ１Ｆ２Ｆ（3）椭圆的向量式方程：()121222||OM OF OM OF a a OF OF -+-=>-．（三）性质：对于椭圆()222210x y a b a b+=>>而言，①范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-，椭圆落在x a y b =±=±，组成的矩形中．②对称性：图象既关于y 轴对称，又关于x 轴对称，也关于原点对称．原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．③顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点．2(0)(0)A a A a -，，，，2(0)(0)B b B b -，，，；加两焦点12(0)(0)F c F c -，，，共有六个特殊点．21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴，长分别为22a b 、．a b 、分别为椭圆的长半轴长和短半轴长．④离心率：椭圆焦距与长轴长之比)01c e e e a =⇔=<<． 注：椭圆形状与e 的关系：01be a→→， ，椭圆变圆，直至成为极限位置的圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例；10be a→→， ，椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例．⑤椭圆的准线方程：对于12222=+by a x ，左准线21a l x c =-：；右准线22a l x c =：；对于12222=+bx a y ，下准线21a l y c =-：；上准线22a l y c =：．⑥焦准距：焦点到准线的距离c b c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数）． ⑦通径：经过焦点且垂直于长轴的弦称之为通径，长度为22b a．⑧焦半径公式：焦点在ｘ轴上的椭圆的焦半径公式： 10MF a ex =+（左焦半径）；20MF a ex =-（右焦半径）； 焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：10MF a ey =+（下焦半径）；20MF a ey =-（上焦半径）； （规律：左加右减，上减下加．）⑨焦点三角形：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称焦点三角形；2cos 2tan2cos2S b e αβγαβ∆+==-；．（如何证明？） （四）椭圆系方程（焦点在x 轴的上，中心在原点）ＰＦ１Ｆ２αβγ（1）共焦点的椭圆系：()22221x y k c k k c +=>-；注：若20k c <<，则表示共焦点的双曲线系．（2）离心率相同的椭圆系：()22220x y a b λλ+=>．注：若()22220x y a bλλ-=≠，则表示共渐进线的双曲线系．三、精典例析 （一）活用定义例1：椭圆13610022=+y x 上有一点Ｐ它到椭圆的左准线距离为10，求点Ｐ到椭圆的右焦点的距离．解析：椭圆13610022=+y x 的离心率为54=e ， 根据椭圆的第二定义得，点Ｐ到椭圆的左焦点距离为：810=e ； 再根据椭圆的第一定义得，点Ｐ到椭圆的右焦点的距离为20－8＝12 ． 例2：方程2x y =++表示什么曲线？解析：设()P x y ，=即：()P x y ，到定点()11A ，的距离与它到定直线20l x y ++=：的距离之比为2， 故原方程表示以定点()11A ，为焦点，以定直线20l x y ++=：为准线的椭圆．例3：定点()()22110A F ，，，是2218x y C m +=：的焦点，Ｐ是曲线Ｃ上的动点． （1）求2PA PF +的范围； （2）求23PA PF +的最小值．解析：∵()210F ，是2218x y C m +=：的焦点，∴22198x y C +=：．（1）211266PA PF PA a PF PA PF ⎡+=+-=+-∈-⎣．（2）237PA PF PA PD AH +=+≥=．引申：1P A PA PF AP d d e--+=+≥准线准线也适用于双曲线、抛物线． 例4：求过定点()12M ，，以y 轴为准线、离心率为12e =的椭圆的左顶点Ｐ的轨迹方程．解析：设()()00P x y F x y ，，，，则：0y y =，001322x x x x x -=⇒=()2213112224x y ⎛⎫=⇔-+-= ⎪⎝⎭， 故椭圆的左顶点Ｐ的轨迹方程是()22311224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．（二）焦半径公式例5：椭圆)0( 12222>>=+b a by a x ，其上一点()3P y ，到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程．解析：由椭圆的焦半径公式，得：3 6.5153 3.52a e a e a e +=⎧⇒==⎨-=⎩，，解得： 22257524c b a c ==-=，． 故所求椭圆方程为：22412575x y +=． 例6：已知Ｐ为椭圆221259x y +=上的点，且Ｐ与12F F 、的连线互相垂直，求Ｐ． 解析：由题意，得：+-20)545(x 20)545(x +＝641625720⨯=⇒x ，16812=y ，∴Ｐ的坐标为9999()())4444⎫--⎪⎪⎝⎭，，，，． 例7：椭圆22143x y +=上能否找到一点M ，使得M 到左准线的距离是它到两个焦点的距离的等比中项？解析：椭圆22143x y +=的左准线是4l x =-：，若存在，设()00M x y ，，则：()()()2000044a ex a ex x x +-=+⇒=-或0125x =-， ∵02x ≤，故不存在符合条件的点．例8：设Ｐ是以Ｏ为中心的椭圆上任意一点，2F 为右焦点，求证：以线段P F 2为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．解析：设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，焦半径P F 2是圆1O 的直径，则：11222222OO PF PF a PF a ==-=-，∴两圆半径之差等于圆心距．故以线段P F 2为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．（三）焦点三角形曲线上的点与焦点连线构成的三角形称焦点三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正（余）弦定理，借助比例性质进行处理．例9：证明：椭圆的焦点三角形中，2cos2tan 2cos 2S b e αβγαβ∆+==-；． 解析：在12F F P ∆中，()()222212121212122cos 21cos F F PF PF PF PF PF PF PF PF γγ=+-=+-+，∴21221cos b PF PF γ=+，∴22121sin sin tan 21cos 2S PF PF b b γγγγ∆===+； 在12F F P ∆中，12211212sin sin sin sin sin sin F F PF PF F F PF PF γαβγαβ+==⇒=+， ∴()cossin sin 2sin sin sin sin cos 2c e a αβαβγαβαβαβ++====-++． 例10：已知椭圆的焦点是12(10)(10)F F -，，，，Ｐ为椭圆上一点，且12F F 是1PF 和2PF 的等差中项．（1）求椭圆的方程；（2）若点Ｐ在第三象限，且1223PF F π∠=，求12tan F PF ∠． Ｆ１Ｆ２αβγP解析：（1）∵12F F 是1PF 和2PF 的等差中项． ∴121224PF PF F F +==， ∴42=a ，∴b =13422=+yx ． （２）设12F PF θ∠=，则213PF F πθ∠=-，∵)60sin(120sin sin 1221θθ-︒=︒=PF PF F F ，∴)60sin(120sin sin 2121θθ-︒+︒+=PF PF F F ．∴25sin cos )sin θθθ=⇒=+∴sin 1cos 5θθ=+，故232tan =θ，1225tan tan 3125F PF θ∠===-． （四）对称问题例11：在直线40l x y +-=：任取一点，过Ｍ且以2211612x y +=的焦点为焦点作椭圆，问Ｍ在何处时，所作椭圆的长轴长最短？并求出此椭圆．解析：法1：待求椭圆的2c =，其焦点()()122020F F -，、，在直线40l x y +-=：的同侧，2F 关于直线40l x y +-=：的对称点为()242F ，1212122a MF MF F M MF F F ''=+=+≥，∴Ｍ为直线12320F F x y '-+=：与40l x y +-=：的 焦点时，所作椭圆的长轴长最短；320534022x y M x y -+=⎧⎛⎫⇒⎨⎪+-=⎝⎭⎩，，此时，12F F '= 故待求椭圆为：221106x y +=． 法2：设待求椭圆为：22221x y a b+=，则40l x y +-=：与椭圆相切于Ｍ点时，椭圆的长轴长最短，()()22222222224081601x y a b x a x b a x y ab +-=⎧⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩， ∵40l x y +-=：与椭圆相切， ∴22016a b ∆=⇒+=，又∵224a b -=，∴22106a b ==，，故待求椭圆为：221106x y +=，此时，52x =，即5322M ⎛⎫⎪⎝⎭，． 例12：已知椭圆22143x y +=上有两个不同的点P Q 、关于直线4l y x m =+：对称，求ｍ的取值范围．解析：法1：∵点P Q 、关于直线4l y x m =+：对称， ∴14PQ k =-，设14PQ l y x b =-+：，则： 22221413816480143y x b x bx b x y ⎧=-+⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩， 21304b ∆>⇒<，21212816481313b b x x x x -+==，， ∴12122242241313x x b by y b b ++=-+=-+=； ∵PQ 的中点4121313b b M ⎛⎫⎪⎝⎭，在直线4l y x m =+：上， ∴12213413134b b m b m ⎛⎫=⋅-+⇒=- ⎪⎝⎭；∴21313441313m m ⎛⎫⎛⎫-<⇔∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，．故ｍ的取值范围是1313⎛-⎝⎭，． 法2：设()()1122P x y Q x y ，、，，PQ 的中点()M x y ，，则：2211222212121212143313134344422x y x y y y x x y x x x y y x x x y y y⎧+=⎪⎪-⎪+=⇒=-⇔-=-⇒=⎨-⎪+=⎪⎪+=⎩， ∴PQ 的中点()M x y ，在3y x =上，则：()334y xM m m y x m=⎧⇒--⎨=+⎩，， ∵PQ 的中点()3M m m --，在椭圆22143x y +=内， ∴()()22314313m m m --+<⇒<．故ｍ的取值范围是⎛ ⎝⎭．（五）范围（最值）问题例13：已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 与x 轴的正半轴交于Ａ，Ｏ是原点，若椭圆上存在一点Ｍ，使0MA OM ⋅=，求椭圆离心率的取值范围．解析：()0A a ，，设()cos sin 02M a b πϕϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，， ∵0MA OM ⋅=， ∴1cos sin cos sin -=⋅-ϕϕϕϕa b a a b ，∴222cos (1cos )cos 1110sin 1cos 1cos 2b a ϕϕϕϕϕϕ-⎛⎫===-∈ ⎪++⎝⎭，．故12e ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． 例14：已知Ｂ是椭圆()222210x y C a b a b+=>>：的上顶点，Ｐ是椭圆上的动点，求BP 的最大值．解析：设()()cos sin 02P a b θθθπ≤≤，，则：()()()2222222222422222222cos sin 1sin sin 2sin sin 2sin sin BP a b b a b b b b a c b b a c c c θθθθθθθθ=+-=-+-+⎛⎫=--++=-++ ⎪⎝⎭ （1）若2201b e c <≤⇔≥时，2MAX a BP c =；（2）若2210b e c >⇔<<时，2MAX BP b =．综上，若22012b e c <≤⇔≥时，2MAX a BP c=；若22102b e c >⇔<<时，2MAX BP b =．（六）直线与椭圆相交问题例15：椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点()()00F c c >，的准线l 与x 轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点． （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0OP OQ ⋅=，求直线PQ 的方程；（3）设()1AP AQ λλ=>，过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明：FM FQ λ=-．解析：（1）设椭圆的方程为(22221x y a a b+=>，则：222222()a c a c a c c c ⎧-=⎪⇒==⎨=-⎪⎩， 故椭圆的方程为22162x y +=，离心率e =．（2）解：(30)A ，，设直线PQ 的方程为(3)y k x =-，1122()()P x y Q x y ，，，，则：222222(3)(31)182760162y k x k x k x k x y =-⎧⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩，∴212(23)0k k ∆=->⇒<< 又 2212122218276.3131k k x x x x k k -+==++，，∵1122(3)(3)y k x y k x =-=-，，∴2212121212(3)(3)[3()9]y y k x x k x x x x =--=-++，∵0OP OQ =，∴12120x x y y +=，∴22121212[3()9]051x x k x x x x k k ⎛+-++=⇒=⇒= ⎝⎭． 故直线PQ的方程为30x --=或30x +-=． （3）证明：1122(3,),(3,).AP x y AQ x y =-=-由已知得方程组()12122211222223(3)5111262162x x y yx y x x y λλλλλ-=-⎧⎪=⎪-⎪⇒=>⎨+=⎪⎪+=⎪⎩， ∵11(20)()F M x y -，，，， ∴()11211211(2)(3)1()()22FM x y x y y y λλλλλ--=--=-+-=-=-，，，，， 2221(2)()2FQ x y y λλ-=-=，，， ∴FM FQ λ=-．例16：椭圆E 的中心在原点O ，焦点在x轴上，离心率e =()10C -，的直线l 交椭圆于A 、B 两点，且满足()2CA BC λλ=≥．（1）若λ为常数，试用直线l 的斜率()0k k ≠表示三角形OAB ∆的面积； （2）若λ为常数，当三角形OAB ∆的面积取得最大值时，求椭圆E 的方程．解析：设椭圆方程为：()012222>>=+b a by a x ，∵32==a ce ，222c b a +=，∴223b a =， 故椭圆方程为：22233b y x =+．（1）直线)1(+=x k y l ：交椭圆于()()1122A x y B x y ，，，，则：()222222221(31)633033y k x k x k x k b x y b⎧=+⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， ∴2220(31)0k b b ∆>⇒-+>，且2122631k x x k +=-+；① 221223331k b x x k -=+；②∵BC CA λ=，∴ 121122121(1)(1)(1)x x x y x y y y λλλ+=-+⎧+=---⇒⎨=-⎩，，；③∴121121212221++=+=-=∆x k y y y S OABλλ， 由①③知：)13)(1(2122+-=+k x λ，∴)0(13112≠+⋅-+=∆k k k S OAB λλ． （2））（23211113111≥⋅-+≤+⋅-+=∆λλλλλkk S OAB ， 当且仅当kk 13=时，即33±=k 时，S 取得最大值．当33±=k 时，代入①②中，得：222)1(13-+=λλb ， 故所求为()2222132(1)x y k λλ++=≥-．（七）定点（值）问题例17：已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线10x y +-=相交于A 、B 两点，且满足0OA OB ⋅=（Ｏ为坐标原点）．证明：满足上述条件的椭圆过定点22⎛ ⎝⎭，．解析：设椭圆的方程为：()()()2211222210x y a b A x y B x y a b+=>>，，，，，则：()()()22222222221021010x y a b x a x a b x y a b a b+-=⎧⎪⇒+-+-=⎨+=>>⎪⎩， ∴2201a b ∆>⇒+>，且()2221212222212a b a x x x x a b a b-+==++，，∵0OA OB ⋅=，∴()()121212120110x x y y x x x x +=⇔+--=，∴2222222221a b a b a b ⎝⎭⎝⎭+=⇔+=．故椭圆过定点⎝⎭．（八）综合应用例18：过椭圆()222210x y C a b a b+=>>：的中心的弦ＡＢ与x 轴所夹的锐角为α，将坐标平面沿x轴折成直二面角，求ＡＢ连线与x 轴成角．解析：作BC Ox 交椭圆于Ｃ，则BC 关于y 轴对称，AC 关于x 轴对称；翻折后，2ADC π∠=，据三垂线定理，知：BC AC ⊥，则ＡＢ连线与x 轴成角就等于ABC ∠；∵2cos BC OA α=，sin AC OA α=，∴tan tan 2AC ABC BCα∠==， 故ＡＢ连线与x 轴成角为arctan tan 2α⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． 四、课后反思．。
椭圆学案最终稿
椭圆学案一、导（书写标题，叙述考试大纲。
2分钟）1.能够准确叙述出椭圆的定义，能够用符号语言描述椭圆的定义2.知道当椭圆中2a 与21F F 的大小关系改变时得到的轨迹方程是什么。
3.能够根据椭圆的标准方程，知道a,b 的大小关系，知道a,b,c 之间的关系及其几何意义4.能够根据椭圆的标准方程写出椭圆的焦点，焦距，长轴长，短轴长，离心率二、思（学生可以借助于课本及有关资料独立完成知识点回顾及基础练习。
15分钟）【知识梳理一】椭圆的定义：椭圆定义：______________________________符号语言表示_____________________焦点＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿:焦距_________________________ 【知识梳理二】椭圆的标准方程与性质【知识梳理三】：直线与椭圆的位置关系直线l ∶Ax ＋Bx ＋C=0与椭圆C ∶f(x ，y)＝0的位置关系：直线与椭圆的位置关系可分为：相交、相切、相离．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：设直线l ：0A x B y C ++=，圆锥曲线C ：(,)0f x y =，由0(,)0A x B y C f x y ++=⎧⎨=⎩消去y （或消去x ）得：20ax bx c ++=，24,0b ac a ∆=-≠()()()102=030∆>⇔∆⇔∆<⇔相交相切相离【知识梳理四】：焦半径、焦点三角形焦半径【牛刀小试】1.动点P 到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离之和为8，则动点P 的轨迹为（ ） A.椭圆 B.线段F 1F 2 C.直线F 1F 2 D.不能确定2.若5,62121==+F F MF MF ，则M 点轨迹是_________3.已知椭圆的方程为：1162522=+yx，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为__________焦距等于______;顶点坐标为____________________________: 长轴长_______,短轴长________,离心率为______,CD 为过左焦点F 1的弦，三角形F 2CD 的周长为________4.已知方程 表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 .5.已知F 1、F 2为椭圆12222=+by ax (a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率e=23 ，则椭圆的方程是__________________________6.已知椭圆的方程为22143xy+=，若点P 在第二象限，且12120P F F ∠=︒,求12P F F ∆的面积 7.椭圆的两个焦点为12,F F ，若椭圆上存在一点P 使12120F P F ∠= ，则离心率e 的取值范围为 ；8．已知P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，且1260F P F ∠=，则 12F P F ∆的面积是_________；9．已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by ax C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =_______. 10．已知椭圆2212xy +=，直线1l ：0x y m -+=与椭圆有公共点，求m 的取值范围；11．若直线1y kx =+与焦点在x 轴上的椭圆2215xym+=总有公共点，求m 取值范围三、议：（组内讨论上面知识点和基础练习。
高考数学总复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)椭圆
椭__圆[知识能否忆起]1．椭圆的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点F 1，F 2间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程及其几何性质[小题能否全取]1．(教材习题改编)设P 是椭圆x 24＋y 29＝1的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．8C ．6D ．18解析：选C 依定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6.2．(教材习题改编)方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的范围是( )A ．(－3,5)B ．(－5,3)C ．(－3,1)∪(1,5)D ．(－5,1)∪(1,3)解析：选C 由方程表示椭圆知⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＞0，m ＋3＞0，5－m ≠m ＋3，解得－3＜m ＜5且m ≠1.3．(2012·淮南五校联考)椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 解析：选C 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ， 由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925； 若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5， 由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21. 4．(教材习题改编)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8.则该椭圆的方程是________．解析：∵2c ＝8，∴c ＝4， ∴e ＝c a ＝4a ＝12，故a ＝8.又∵b 2＝a 2－c 2＝48，∴椭圆的方程为y 264＋x 248＝1.答案：y 264＋x 248＝15．已知F 1，F 2是椭圆C 的左，右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________．解析：在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得 sin ∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝π2，设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2，|F 2F 1|＝3， 所以离心率e ＝2c 2a ＝33.答案：331.椭圆的定义中应注意常数大于|F 1F 2|.因为当平面内的动点与定点F 1，F 2的距离之和等于|F 1F 2|时，其动点轨迹就是线段F 1F 2；当平面内的动点与定点F 1，F 2的距离之和小于|F 1F 2|时，其轨迹不存在．2．已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时，要分两种情形讨论．典题导入[例1] (2012·山东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1D.x 220＋y 25＝1 [自主解答] ∵椭圆的离心率为32， ∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b . 故椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，即a 2＝4b 2＝20.故椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.[答案] D本例中条件“双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16”变为“此椭圆的长轴长等于圆x 2＋y 2－2x －15＝0的半径”问题不变．解：∵x 2＋y 2－2x －15＝0，∴(x －1)2＋y 2＝16，∴r ＝4，即2a ＝4，a ＝2.又c a ＝32，∴c ＝3， ∴b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.由题悟法1．解决与到焦点的距离有关的问题时，首先要考虑用定义来解题． 2．椭圆方程的求法多用待定系数法，其步骤为： (1)定标准；(2)设方程；(3)找关系；(4)得方程．3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，且A ≠B )．以题试法1．(2012·张家界模拟)椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝( )A.72B.32C. 3D ．4解析：选A 因为a 2＝4，b 2＝1，所以a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.不妨设F 1为左焦点，P 在x 轴上方，则F 1(－3，0)，设P (－3，m )(m ＞0)，则(－3)24＋m 2＝1，解得m ＝12，所以|PF 1|＝12根据椭圆定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a －|PF 1|＝22－12＝72.典题导入[例2] (1)F 1、F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的左右焦点，点P 在椭圆上运动．则·的最大值是( )A ．－2B ．1C ．2D ．4(2)(2012·江西高考)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1、F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14 B.55C.12D.5－2[自主解答] (1)设P (x ，y )，依题意得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，·＝(－3－x )(3－x )＋y 2＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2.∵0≤x 2≤4，∴－2≤34x 2－2≤1.∴·的最大值是1.(2)由题意知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，且三者成等比数列，则|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |，即4c 2＝a 2－c 2，a 2＝5c 2，所以e 2＝15，故e ＝55.[答案] (1)B (2)B由题悟法1．求椭圆的离心率实质上是建立a ，b ，c 中任意两者或三者之间的关系，利用e ＝ca 或e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2去整体求解．2．解决与椭圆几何性质有关的问题时：一是要注意定义的应用；二是要注意数形结合；三是要注意－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，0＜e ＜1等几何性质在建立不等关系或求最值时的关键作用．以题试法2．(1)(2012·西工大附中适应性训练)已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点的坐标为(3,0)，|,|＝1，且,·,＝0，则|,|的最小值为________．(2)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是________．解析：(1)由|,|＝1，A (3,0)知点M 在以A (3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，∵,·,＝0且P 在椭圆上运动，∴PM ⊥AM ，∴PM 为⊙A 的切线，连接P A (如图)，则|,|＝ |PA |2－|AM |2＝|PA |2－1，∴当|,|min ＝a －c ＝5－3＝2时，|,|min ＝ 3.(2)设P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，y ，线段F 1P 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫b 22c ，y 2，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝cy a 2＋c 2，当直线QF 2的斜率存在时，设直线QF 2的斜率为kQF 2＝cy b 2－2c 2(b 2－2c 2≠0)由kF 1P ·kQF 2＝－1得y 2＝(a 2＋c 2)(2c 2－b 2)c2≥0，但注意到b 2－2c 2≠0，故2c 2－b 2＞0，即3c 2－a 2＞0，即e 2＞13，故33＜e ＜1.当直线QF 2的斜率不存在时，y ＝0，F 2为线段PF 1的中点．由a 2c－c ＝2c 得e ＝33，综上得33≤e ＜1. 答案：(1)3 (2)⎣⎡⎭⎫33，1典题导入[例3] (2012·安徽高考)如图，F1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．[自主解答] (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )．将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝⎛⎭⎫85c ，－335c ，所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ，再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得， t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知， a ＝10，b ＝5 3.由题悟法1．直线与椭圆位置关系的判断将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判断式Δ的符号来确定：当Δ>0时，直线和椭圆相交；当Δ＝0时，直线和椭圆相切；当Δ<0时，直线和椭圆相离．2．直线和椭圆相交的弦长公式 |AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] 或|AB |＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].3．直线与椭圆相交时的常见处理方法当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长；涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．以题试法3．(2012·潍坊模拟)已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b＞0)的离心率e ＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． (1)求椭圆E 的方程；(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，圆心O 到直线l 的距离d ＝61＋1＝3，∴b ＝5－3＝ 2. 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2，b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2.∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2)证明：设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)， 联立直线l 0与椭圆E 的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －x 0)＋y 0，y 23＋x 22＝1，消去y 得 (3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0， ∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0，整理得(2－x 20)k 2＋2kx 0y 0－(y 20－3)＝0.设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－y 20－32－x 20，∵点P 在圆O上，∴x 20＋y 20＝5，∴k 1·k 2＝－5－x 20－32－x 20＝－1.故两条切线的斜率之积为常数－1.1．(2012·海淀模拟)2＜m ＜6是方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分与不必要条件解析：选B 若x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，6－m ＞0，m －2≠6－m ，∴2＜m ＜6且m ≠4，故2＜m ＜6是x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆的必要不充分条件．2．已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1 B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 解析：选B ∵a ＝4，e ＝34，∴c ＝3.∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.3．(2012·新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45解析：选C 由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，∴2⎝⎛⎭⎫32a －c ＝2c ，∴3a ＝4c ，∴e ＝34. 4．(2013·沈阳二中月考)已知椭圆x 24＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点M 在椭圆上，,·,＝0，则M 到y 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 3解析：选B 由条件知，点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，该圆的方程是x 2＋y 2＝3，即y 2＝3－x 2，代入椭圆方程得x 24＋3－x 2＝1，解得x 2＝83，则|x |＝263，即点M 到y 轴的距离为263.5．(2012·安徽师大附中模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△F AB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( )A.3－12B.5－12 C.1＋54D.3＋14解析：选B 由题意得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52.又e ＞0，故所求的椭圆的离心率为5－12.6．一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2, 3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1D.x 216＋y 24＝1 解析：选A 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由点(2, 3)在椭圆上知4a 2＋3b2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6.7．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，根据椭圆定义知2a ＝12，即a ＝6，由c a ＝32，得c ＝33，b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝18．椭圆x 216＋y 24＝1的两焦点F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝________.解析：易得|PF 1|＝b 2a ＝44＝1.又点P 在椭圆上，于是有|PF 1|＋|PF 2|＝8，|PF 2|＝8－|PF 1|＝7.答案：79．(2012·哈尔滨模拟)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，∴|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋10－|PF 2|＝10＋|PM |－|PF 2|≤10＋|MF 2|＝10＋5＝15， 当P ，M ，F 2三点共线时取等号． 答案：1510．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积．解：(1)由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4. 因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2. 此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322， 所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92. 11．(2013·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，F 为椭圆的右焦点，M ，N 两点在椭圆C 上，且,＝λ,(λ＞0)，定点A (－4,0)．(1)求证：当λ＝1时，,⊥,；(2)若当λ＝1时，有,·,＝1063，求椭圆C 的方程． 解：(1)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，F (c,0)，则,＝(c －x 1，－y 1)，,＝(x 2－c ，y 2)．当λ＝1时，,＝,，∴－y 1＝y 2，x 1＋x 2＝2c .∵M ，N 两点在椭圆C 上，∴x 21＝a 2⎝⎛⎭⎫1－y 21b 2，x 22＝a 2⎝⎛⎭⎫1－y 22b 2， ∴x 21＝x 22.若x 1＝－x 2，则x 1＋x 2＝0≠2c (舍去)，∴x 1＝x 2，∴,＝(0,2y 2)，,＝(c ＋4,0)，∴,·,＝0，∴,⊥,.(2)当λ＝1时，由(1)知x 1＝x 2＝c ， ∴M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，N ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，∴,＝⎝⎛⎭⎫c ＋4，b 2a ，,＝⎝⎛⎭⎫c ＋4，－b 2a ， ∴,·,＝(c ＋4)2－b 4a 2＝1063.(*) ∵c a ＝63， ∴a 2＝32c 2，b 2＝c 22，代入(*)式得56c 2＋8c ＋16＝1063， ∴c ＝2或c ＝－585(舍去)．∴a 2＝6，b 2＝2， ∴椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1. 12．(2012·陕西高考)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，＝2，求直线AB 的方程．解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)， 其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4， 故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1. (2)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由＝2及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4， 所以x 2A ＝41＋4k 2. 将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16， 所以x 2B ＝164＋k 2. 又由＝2，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2， 解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由＝2及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以 x 2A ＝41＋4k 2.由＝2，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2. 将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k 2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2， 解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .1．(2012·长春模拟)以O 为中心，F 1，F 2为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足|,|＝2|,|＝2|,|，则该椭圆的离心率为( ) A.33 B.23 C.63 D.255解析：选C 不妨设F 1为椭圆的左焦点，F 2为椭圆的右焦点．过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于N 点，则N 点坐标为⎝⎛⎭⎫c 2，0，并设|,|＝2|,|＝2|,|＝2t ，根据勾股定理可知，|,|2－|,|2＝|,|2－|,|2，得到c ＝62t ，而a ＝3t 2，则e ＝c a ＝63. 2．(2012·太原模拟)已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)和椭圆C 2：x 2a 22＋y 2b 22＝1(a 2＞b 2＞0)的焦点相同且a 1＞a 2.给出如下四个结论：①椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点；②a 21－a 22＝b 21－b 22；③a 1a 2＞b 1b 2；④a 1－a 2＜b 1－b 2. 其中，所有正确结论的序号是( )A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③解析：选C 由已知条件可得a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21－a 22＝b 21－b 22，而a 1＞a 2，可知两椭圆无公共点，即①正确；又a 21－a 22＝b 21－b 22，知②正确；由a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21＋b 22＝b 21＋a 22，则a 1b 2，a 2b 1的大小关系不确定，a 1a 2＞b 1b 2不正确，即③不正确；∵a 1＞b 1＞0，a 2＞b 2＞0，∴a 1＋a 2＞b 1＋b 2＞0，而又由(a 1＋a 2)(a 1－a 2)＝(b 1＋b 2)(b 1－b 2)，可得a 1－a 2＜b 1－b 2，即④正确．综上可得，正确的结论序号为①②④.3．(2012·西城模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F (1,0)，且离心率为12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P (0，y 0)，求y 0的取值范围．解：(1)设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得c ＝1.因为椭圆C 的离心率为12， 所以a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0.当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q (x 3，y 3)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2. 所以x 3＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2，y 3＝k (x 3－1)＝－3k 3＋4k 2. 线段MN 的垂直平分线的方程为y ＋3k 3＋4k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －4k 23＋4k 2. 在上述方程中，令x ＝0，得y 0＝k 3＋4k 2＝13k＋4k . 当k ＜0时，3k＋4k ≤－43； 当k ＞0时，3k＋4k ≥4 3. 所以－312≤y 0＜0或0＜y 0≤312. 综上，y 0的取值范围是⎣⎡⎦⎤－312，312.1．(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)根据椭圆的左焦点为F 1(－1,0)，知a 2－b 2＝1，又根据点P (0,1)在椭圆上，知b＝1，所以a ＝2，所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1. (2)因为直线l 与椭圆C 1和抛物线C 2都相切，所以其斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋m )2＝1，即⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0，由题可知此方程有唯一解，此时Δ＝4k 2m 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2(m 2－1)＝0，即m 2＝2k 2＋1. ① 把y ＝kx ＋m (k ≠0)代入抛物线方程得k 4y 2－y ＋m ＝0，由题可知此方程有唯一解，此时Δ＝1－mk ＝0，即mk ＝1. ②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝2k 2＋1，mk ＝1，解得k 2＝12， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝22，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－2，所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 2．(2012·湖南高考)在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0 的圆心．(1)求椭圆E 的方程；(2)设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1，l 2，当直线l 1，l 2都与圆C 相切时，求P 的坐标．解：(1)由x 2＋y 2－4x ＋2＝0得(x －2)2＋y 2＝2，故圆C 的圆心为点(2,0)．从而可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其焦距为2c .由题设知c ＝2，e ＝c a ＝12.所以a ＝2c ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12.故椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则l 1，l 2的方程分别为l 1：y －y 0＝k 1(x －x 0)，l 2：y －y 0＝k 2(x －x 0)，且k 1k 2＝12. 由l 1与圆C ：(x －2)2＋y 2＝2相切得|2k 1＋y 0－k 1x 0|k 21＋1＝2，即[(2－x 0)2－2]k 21＋2(2－x 0)y 0k 1＋y 20－2＝0.同理可得[(2－x 0)2－2]k 22＋2(2－x 0)y 0k 2＋y 20－2＝0.从而k 1，k 2是方程[(2－x 0)2－2]k 2＋2(2－x 0)y 0k ＋y 20－2＝0的两个实根，于是⎩⎪⎨⎪⎧(2－x 0)2－2≠0，Δ＝8[(2－x 0)2＋y 20－2]>0，① 且k 1k 2＝y 20－2(2－x 0)2－2＝12.由⎩⎨⎧x 2016＋y 2012＝1，y 20－2(2－x 0)2－2＝12，得5x 20－8x 0－36＝0.解得x 0＝－2或x 0＝185. 由x 0＝－2得y 0＝±3；由x 0＝185得y 0＝±575，它们均满足①式． 故点P 的坐标为(－2,3)，或(－2，－3)，或⎝⎛⎭⎫185，575 或⎝⎛⎭⎫185，－575. 3．(2012·河南模拟)已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点⎝⎛⎭⎫ 2，22. (1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．解：(1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)， 则⎩⎨⎧a 2－b 2a ＝32，2a 2＋12b 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0，且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2. 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2， 所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝k 2，即－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0，又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12. 由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m 2＜2且m 2≠1. 设点O 到直线l 的距离为d ，则S △OPQ ＝12d |PQ |＝12·(1＋k 2)(x 1－x 2)2·|m |1＋k 2＝12|x 1－x 2||m |＝m 2(2－m 2)， 又0＜m 2＜2且m 2≠1，所以S △OPQ 的取值范围为(0,1)．。
高三数学 椭圆和双曲线 复习学案
8.3 椭圆和双曲线 复习学案一 椭圆和双曲线的标准方程1.（20·新I ）已知曲线22:1C mx ny +=，则（ ）A. 若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B. 若m =n >0，则CC. 若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D. 若m =0，n >0，则C 是两条直线2.（16·课标I ）已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是 ( )A.()1,3-B.(-C.()0,3D.(3.（17·课标III ）已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为（ ） A ．221810x y -= B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=4．已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．2233102510x y -=D ．2233211050x y -=5．（多选）设双曲线222:1(0)2x y C b b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ．点O 为坐标原点，点M ，12MF MF ⊥，点P 为C 右支上一点，则（ ）A ．C 的渐近线方程为y x =±B ．212||||||PO PF PF =⋅C ．当P ，M ，1F ，2F 四点共圆时，115PF M ∠=︒D ．当P ，M ，1F ，2F 四点共圆时，1215PF F ∠=︒二 椭圆和双曲线的几何性质1．（19·课标I.文）双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为（ ） A. 2sin40° B. 2cos40°C.1sin50︒D.1cos50︒2．（18.北京）已知椭圆22221(0)x yM a ba b+=>>：，双曲线22221x yNm n-=：．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．3．（17·课标II）若双曲线C:22221x ya b-=（0a>，0b>）的一条渐近线被圆()2224x y-+=所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2 B C D4．（22·甲）若双曲线2221(0)xy mm-=>的渐近线与圆22430x y y+-+=相切，则m=_____．5.（20·课标I）已知F为双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为__________.6．（20·课标II ）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 327．（多选）已知椭圆22:1169x y C +=的左、右焦点分别是12,F F ，左、右顶点分别是12,A A ，点P 是椭圆C 上异于12,A A 的任意一点，则下列说法正确的是（ ）A ．128PF PF +=B ．存在点P 满足1290F PF ∠=︒C ．直线1PA 与直线2PA 的斜率之积为916-D ．若12F PF △的面积为P 的横坐标为8．（21·甲文） 已知12,F F 为椭圆C ：221164x y+=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．9．（21·甲理）已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（ ）A.2B.2C.D.10．（21·新I ）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A. 13 B. 12C. 9D. 611．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，点M 在C 上，且12MF MF ⋅的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为__________．12.（19·课标III ）设F 1、F 2是椭圆C ：2213620x y +=的两个焦点，M 是C 上的一点且在第一象限，若12MF F ∆是等腰三角形，则点M 的坐标是13．（20·课标III ）设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 814．（22·乙）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（ ）A. B.32C.D.215．（18·课标III ）设1F ,2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF OP ，则C 的离心率为（ ）A. B.C. 2D.16．（18·天津）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为（ ）A. 22139x y -=B. 22193x y -= C.221412x y -= D. 221124x y -=17．（17·课标I ）已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为 .18．已知12F F ，分别为椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，直线l y =：与椭圆C 的一个交点为M ，若12MF MF ⊥，则椭圆的离心率为______.19．（19·课标I ）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为______．20．（18·课标I ）已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=（ ）A. 32B. 3C. D. 421.（22·新I ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE 的周长是_____．22．（19·课标II ）设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ）A. B. C. 2 D.23．（19·课标I.文）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A. 2212x y += B. 22132x y += C. 22143x y += D.22154x y +=24.（18·课标II ）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A.23 B. 12 C. 13 D. 1425.（16·课标III ）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） A.13B.12C.23D.3426.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点(F ，A(0,2)，P 是双曲线右支上一点，APF ∆的周长的最小值为8，则离心率_______e =27.（21·乙）设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A. ,12⎫⎪⎪⎣⎭B. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 2⎛ ⎝⎦D. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦三 直线与椭圆、双曲线1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，经过点F 的直线l 的倾斜角为45︒，且直线l 交该椭圆于A ，B 两点，若2AF FB =，则该椭圆的离心率为______________.2．（22·新II ）已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||MA NB MN ==l 的方程为______．3．（22·甲）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A. B.2C.12D.134．（18·课标I ）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.5．（21·新I ）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.6．（20·课标I ）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.7.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，过椭圆的右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ，当直线AB 的斜率为0时，AB CD +=（1）求椭圆的标准方程；（2）求以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形的面积的取值范围.8．（18·江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点13,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F -，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB 26，求直线l 的方程．9．（20·新I ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，且过点()2,1A ． （1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值.10.点P 是圆224x y +=上任意一点，点D 是点P 在x 轴上的投影，动点M 满足2MD =，过定点(0,2)Q 的直线l 与动点M 的轨迹交于,A B 两点（1）求动点M 的轨迹方程；（2）在y 轴上是否存在点(0,t)E ，使EA EB =？若存在，求实数t 的取值范围；若不存在，说明理由。
椭圆复习教案高考一轮总复习教案
20XX 届高考一轮总复习教案第九单元 解析几何---------椭圆一【考纲要求】掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质． 二【考点解读】1.椭圆的定义是本节的核心内容在使用时要注意其中蕴含的条件；椭圆的标准方程和简单几何性质是高考的热点，特别是离心率，考查的频度较高。
解题时，只需注意a,b,c 的含义和关系即可解答；直线与椭圆的位置关系也是考查的重点之一问题涉及定点，定值，范围，最值等2.高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:平面解析几何是历年来高考重点内容之一,经常与逻辑、不等式、三角函数等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，在解答题中考查，一般难度较大，与其他知识结合起来考查，在考查平面解析几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.3.20XX 年的高考将会继续保持稳定,坚持考查解析几何与其他知识的结合，在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活. 三【要点梳理】 1．椭圆的两种定义(1) 平面内与两定点F 1，F 2的距离 等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距． 用符号语言表示为：21||||2MF MF a +=注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是 ． ②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．(2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数e ，且∈e 的点的轨迹叫椭圆．定点F 是椭圆的 ，定直线l 是 ，常数e 是 ． 2．椭圆的标准方程(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是： ．.(2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是： ．注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222c a b =-；②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。
高中数学新北师大版精品教案《椭圆复习课》
教学设计
第五节椭圆（高三复习课）
一、教学目标
1、知识与能力：能用自己的语言描述椭圆的定义；准确地写出椭圆两种形式的标准方程；能根据椭圆的定义及标准方程画出椭圆的几何图形；并概括出椭圆的简单几何性质。
2、过程与方法：通过了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；理解数形结合的思想，并能用数形结合的思想结合椭圆的有关性质，解决椭圆的简单应用问题。
3、情感、态度与价值观：通过与同学、老师的交流、合作与探究，体会合作学习的乐趣；通过对椭圆的定义、几何图形、基本性质的探索，体会椭圆的几何图形与方程之间的相互联系和相互转化的规律，感受数学的严谨性；逐步形成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
二、教学重点与难点
教学重点：1、掌握椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单的几何性质。
2、了解椭圆的简单应用。
教学难点：椭圆的定义和简单几何性质的应用，理解数形结合的思想。
三、教学过程
师生活动：。
高中数学总复习课件椭圆教案资料
5
5
• 由 PQ 2 2得， 436m260m2120，
25
• 解得 m 30 . • 因为0<m2= <65所5 以存在实数m=±
6
，使得3 0 PQ等于椭圆的短轴长.
•
6 直线方程与椭圆方程联立，消元后
得到一元二次方程，然后通过判别式Δ来
判断直线与椭圆相交，相切，相离.第(Ⅱ)
题求出m值要检验是否满足Δ＞0.
A点的坐标为（23 ，0）
，BC过椭圆的中心O,且
AC⊥BCB,C2AC.
(Ⅰ)求点C的坐标及椭圆E的方程； (Ⅱ)若椭圆E上存在两点P,Q,使得∠PCQ的 平分线总是垂直于x轴，试判断向量PQ与AB是 否共线，并给出证明.
•
(Ⅰ)利用Rt△AOC，可求出C点
坐标.
• (Ⅱ)判断向量PQ与AB是否共线，可从PQ
32
•
整理得5x2+6mx+3m2-6=0.
•
由已知得，Δ=36m2-20(3m2-6)>0，解
5 得- 5
• (Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则由(Ⅰ)
•
x1+x2= 6 m
•
知 x1x2=
5 3m 2 -6
.
5
• 所以 P Q x 1x 22 y1y22
11x1x224x1x2
2（ 6m） 243m26，
关于直线x=3对称，设直线PC的斜率为k，
则直线CQ的斜率为-k，所以直线PC的方程
为y-
3
• =k(x-3 ),
• ①
即y=k(x-3
)+3 .
•
直线CQ的方程为y=-k(x3- )+3 .
高考数学一轮复习学案：椭圆学案理北师大版
第五节椭圆［考纲传真］(教师用书独具)1. 了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用2掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率)3理解数形结合思想4 了解椭圆的简单应用.双基自主测评I 梳理自测巩固基础知识(对应学生用书第138页)［基础知识填充］1 •椭圆的定义把平面内到两个定点F i, F2的距离之和等于常数(大于|F I F2|)的点的集合叫作椭圆•这两个定点叫作椭圆的焦点』焦点间的距离叫作椭圆的焦距. ______集合巴{M|l MF I +1 MF| = 2a} F1F2I = 2C,其中a> 0, c>0,且a, c 为常数：(1) 若a>c，则集合P为椭圆；(2) 若a^c，则集合P为线段；(3) 若a^c，则集合P为空集.2 •椭圆的标准方程和几何性质标准方程2 2扌+ 1(a>b>0)2 24+ p= 1(a>b>0)图形1r'畑0 E *性质范围—a w x w a—b w y w b—b w x w b—a w y w a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A( —a,0) , A(a, 0) , B(0 ,—b), B(0, b)A i(0 ,—a) , A(0, a) , B(—b, 0) , B(b,0)离心率C「e「且e€ (0,1)aa, b, C的关系 2 2 . 2 C = a —b2 2［知识拓展］1•点P(x o, y°)和椭圆的位置关系：(1) P(x o, y°)在椭圆内？ p +卷v2 2 2 21. (2) P(x o, y o)在椭圆上?笃+罟=1.(3) P(x o, y2)在椭圆外?弯+当> 1.a b a b图 8-5-12则：⑴ PFF 2= b tan y.(2) | PF | = a + e x 。
，| PF | = a — e x o .(3) a — c w| PF | w a + c .(4)过P ( x o , y o )点的切线方程为x^x + yy =1.［基本能力自测］1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“ X”)(1) 平面内与两个定点 F 1, F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )(2) 椭圆上一点P 与两焦点F 1, F 2构成△ PFF 2的周长为2a + 2c (其中a 为椭圆的长半 轴长，c 为椭圆的半焦距).()(3) 椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆.( ) (4) 椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.()2 2(5) 方程 mx + ny = 1( m > 0, n >0, m^ n )表示的曲线是椭圆.() 2 2 2 2x yy x (6) —2+ 2= 1( a > b > 0)与 2+ 2= 1( a > b > 0)的焦距相同.()a ba b［答案］(1) X (2) V (3) X ⑷ V (5) V (6) V2 2x y2 (2017 •浙江高考)椭圆-+;= 1的离心率是()942 •对于 x 2 b 2孑+ b 2 =1(a >b >0)如图 8-5-1.3.(教材改编)已知中心在原点的椭圆D [椭圆的焦点在x 轴上，c = 1.又离心率为 C =故 a = 2, b 2= a 2— c 2 = 4— 1 = 3,a 22 2故椭圆的方程为分葺=1.]24.椭圆C ：三+二=1的左右焦点分别为 F i , F 2,过Fz 的直线交椭圆C 于A B 两点，则厶F i AB25 16的周长为（）B. 16 D. 24C [ △ FAB 的周长为 | F i A | + | F i B | + | AB=| F i A | +1 F 2A I + | F i B + | F 2B I =2a +2a = 4a .2 2x y2在椭圆 25+ 16 = 1 中，a = 25, a = 5,题型分类突破I 典例剖析探求规律方法（对应学生用书第i39页）A.) 2 2x y3+4=1C.22x y+ —= 14 22 2x yB.+ —— =1 4 32 2x y D 7+i =1A. 12 C. 20 所以△ F i AB 的周长为 4a = 20，故选 C.2 2”、m x y5.右万程 5—k + k —3 = 1 表示椭圆，则k 的取值范围是(3,4) U (4,5)[由已知得fk — 3>0,〔5 — k z k — 3,解得3v k v 5且|題型卜例d (1)已知两圆C i：(x—4)2+ y2= 169, G: (x+ 4)2+ y2= 9,动圆在圆C内部且和圆C i相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）2 2x yA. — "4= 164 482 2x y(2) F i , F 2是椭圆9 + — = 1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且/ AFF 2= 45°,则厶AFH的面积为()A. 7(1) D (2)C [⑴ 设圆 M 的半径为 r ,则 |MC + I MC = (13 — r ) + (3 + r ) = 16,又 | CC 2| = 8V 16,二动圆圆心 M 的轨迹是以C 、C 2为焦点的椭圆，且 2a = 16,2 c = 8,2 22XV则a = 8, c = 4,「. b = 48,故所求的轨迹方程为 丽+ 48= 1. (2)由题意得 a = 3, b =7, c = 2,•••IF 1F 2I = 2 2, |AF | + | AF>| = 6.2222=|AF | + | F 1F 2I — 2| AF | • F 1F 2ICOS 45 ° = | AF | — 4|AF | + 8,2 2•••(6 — | AF |) =| AF | — 4| AF | + 8.71 7 厂(2 7.•丨 AF 1 = ，…S A AF i F 2= 2 X2 寸2 X 2 =于］［规律方法］1.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆； 二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等 2.椭圆的定义式必须满足 2a > | F 1F 2I.2 2［跟踪训练］(1)设F 1, F 2分别是椭圆E ： 右=1(a >b > 0)的左，右焦点，过点 F 1的直线交椭圆E 于AB 两点，|AF | = 3| FB |，且| AB = 4,A ABF 的周长为16,则| AR| = ___________【导学号：79140284】2 2X V(2)已知R 、F 2是椭圆C ：孑+十=1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 丄戸冃，若厶PFF 2的面积为9，贝U b = _________ .(1) 5(2) 3 [(1)由 |AF | = 3|F 1B | , |AB = 4，得 |AF | = 3,ABF 的周长为 16,.4a = 16,. a = 4.则| AF | +1 AR| = 2a = 8,•I AF = 8 —| AF | = 8 — 3= 5.(2)设 | PF | = r 1, | PF a | = r 2, r 1 +「2= 2a ,c.2 x48 2y64 D. 64+48B. C.D. 7*5 22 2 2n + r2= 4c ,2 2 2 2 2 . 2「2= (r i +「2)—(r i + r 2) = 4a —4c = 4b , .••2 r i1 2.■ PFF2 =2rir2= b= 9，•. b= 3.]I 题型►M H(1)若直线x — 2y + 2 = 0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为A.)2x 25 +y =12 2x yB. 7 +* = 14 5C.2 2 2x 2 亠 x y + y =1或丁+ *=1545D.以上答案都不对A. C.⑵ 已知椭圆的中心在原点，离心率 点重合，则此椭圆方程为()2 2x y +——=14 + 3 e =1，且它的一个焦点与抛物线2y =— 4x 的焦B . D.2 2x y+——=18十6 1 (1)C (2)A ［(1)直线与坐标轴的交点分别为(0,1) , ( — 2,0),由题意知当焦点在 x 轴上时，c = 2, b = 1,所以a 2= 5,所求椭圆的标准方程为y 2 = 1.当焦点在y 轴上时，b = 2, c = 1,2 2所以a2= 5,所求椭圆的标准方程为|+乡=1.(2)依题意，可设椭圆的标准方程为 2 2字+涪1(a > b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(—1,0)，所以c = 1,又离心率c 1e=a =2解得a =2, b =a —c =3,所以椭圆［规律方法］求椭圆的标准方程的方法有定义法与待定系数法，但基本方法是待定系数法， 具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后再根据条件建立关于 a , b的方程组，若焦点位置不确定，可把椭圆方程设为Ax 2 + By 2=l A > 0, B>0, A M B 的形［跟踪训练］(1)(2017 •湖南长沙一模)椭圆的焦点在x 轴上，中心在原点，其上、下两个顶点和两个焦点恰为边长是 2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为（ ）2 2 2A.冷亡 1B.与 + y 2= 12 22 y2 2x yC 4 + 2 = 1已知F （ — 1,0） , F 2（1,0）是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于 c = 1,得 1 + b 2= a 2.由①②联立，得b = 3, a = 4.2 2故所求椭圆C 的方程为x+3=1.］◎角度1求离心率的值或范围2 2卜例IHl （2017 •全国卷川）已知椭圆C ：与+ y 2= 1（a >b >0）的左、右顶点分别为 A , A ,a b且以线段 AA 为直径的圆与直线 bx — ay + 2ab = 0相切，则C 的离心率为（ ）A 于B-宁A ［由题意知以AA 为直径的圆的圆心为（0,0），半径为a. 又直线bx — ay + 2ab = 0与圆相切,O c•圆心到直线的距离 d =^p~^= a ,解得a=J 3b ,A ,B 两点，且|AB = 3,贝UC 的方程为【导学号：79140285】(1) ［⑴2 2■- x y 由条件可知b = c =2, a = 2，二椭圆的标准方程为 —+~2=1.故选C. （2）依题意，设椭圆2yC ： r + 2 = 1(a >b >0). ab过点 F 2（1,0）且垂直于x 轴的直线被曲线 C 截得弦长| AB = 3, •••A 1, 2必在椭圆又由TTO3T2 2x y（2）已知F 1, F 2分别是椭圆 C ：孑+舎=1（a >b >0）的左、右焦点，若椭圆 C 上存在点P,使得线段PF 的中垂线恰好经过焦点F 2,则椭圆C 离心率的取值范围是（）A. C. (1) D (2)C [⑴ 当 9> 4— k > 0，即一5 v k v 4 时,ce=-a故选 A.] ◎角度2根据椭圆的性质求参数 卜例匹 2x 已知椭圆 +m — 22 蒿=1的长轴在X 轴上，焦距为4，则m等于（） A. 8B. 7C. 6D. 52—=1的长轴在x 轴上,m- 2 > 0, /. 10 — m > 0, 解得 6 v m K 10.•••焦距为4,•••c 2 = m — 2 — 10 + m= 4，解得 m= 8.] ［规律方法］ 1求椭圆离心率的方法① 直接求出a , c 的值，利用离心率公式直接求解.2 2 2方程或不等式求解.2禾U 用椭圆几何性质求值或范围的思路求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、 短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系•建立关于a 、b 、c 的方程或不等式.［跟踪训练］⑴已知椭圆x +4—k =1的离心率为4则k 的值为（）A. -21B. 21C.19亠 亦或21D.19亠 5或—21B.D.1 - b = 32a= 3, c = 9 —(4 —k) = 5 + k,5+ k 4 ” e , 193 = 5,解得k=25.当9v4-k，即k v—5 时,a=冷4 —k, c = —k—5,—k— 5 4•八____ =Q 解得k= —21,/ — k 5所以k的值为19或-21.25⑵如图所示,y•••线段PF1的中垂线经过F2,•'•I PF2| = | F1F2I = 2c，即椭圆上存在一点P,使得| P冋=2C.c--a—c w2 c w a+ c. - - e= —€a11,»|题型4| 直线与椭圆的位置关系■■'I(2018 •东北三省四市模拟(一))已知椭圆E的一个顶点为A(0，—1)，焦点在x轴上，若椭圆右焦点到椭圆E的中心的距离是，2.(1) 求椭圆E的方程；(2) 设直线I : y = kx+ 1(k工0)与该椭圆交于不同的两点B, C,若坐标原点O到直线l的距离为-^，求厶BOC勺面积.［解］(1)由题意b= 1, c=. 2,2 . 2 2小• • a = b + c = 3,又•••椭圆E的焦点在x轴上，2x 2 •椭圆E的方程为-+ y = 1.3y= kx + 1, 2(2)设0X1, y1), C(X2, y2)，将直线方程与椭圆联立’ 2 2 整理得(3 k +x + 3y = 3,21)x + 6kx = 0,又| BQ = ：：.](x i — X 2)+ (y i — y 2)［规律方法］直线与椭圆的位置关系的解题策略 1解决直线与椭圆的位置关系的相关问题， 其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立， 消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题 •涉及弦中点的问题常常用 “点差法”解决，往往会更简单 • 2 设直线与椭圆的交点坐标为 A x i ，y i ，B X 2，y 2 ,(1)求曲线G 的方程； ⑵设 Mx i , y i ) , N (X 2, y 2)是曲线 G 上两点，向量 p — ( mx , - ny i ) , q — ( , mx , ny 2)，且p • q — 0,若直线 MN 过点0, -^，求直线 MN 的斜率. 广1 1 8m^ 尹—1, 解得 n — 4, n — 1. 由原点O 到直线I 的距离为1 一1+ k 2S ^ BOC — 1X|BC X 易错警示：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的, 不要忽视判 别式. ［跟踪训练］ 已知曲线 G 的方程是 mX + ny 2— 1(m>0, n >0)，且曲线过 (1)由题可知:討 i n - 1, 则| AB — ,'(1 + k 2)[( k 为直线斜率•曲线G的方程为y2+ 4x2—1.(2)设直线MN的方程为y = kx+f,1代入椭圆方程y2+4X2= 1，得(k2+ 4)x2+ 3kx — -= 0,1—\/3k 4:X1+X2=r+r，X1X2=冲，T p • q = (2x1, y1)• (2x2, y2)= 4X1X2 + y1y2= 0,—1 —4^ T k• ( —3k) 3 °…k2+ 4 +k2+ 4 +k2+ 4 +4= 0,即k2—2= 0, k=± 2.故直线MN的斜率为土_2.2 2B ［T椭圆方程为备+*= 1 ,••• a= 3, c = a2—b2= -：：：.:9 —4 = J5.「e= a需故选B.］1C的右焦点为F(1,0)，离心率等于2则C的方程是。
高三数学北师大版总复习学案：学案51 椭圆
学案51 椭 圆导学目标： 1。
了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义,几何图形、标准方程及其简单几何性质．自主梳理1．椭圆的概念在平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫________．集合P ＝｛M |｜MF 1|＋｜MF 2｜＝2a ｝，|F 1F 2｜＝2c ,其中a 〉0，c 〉0，且a ，c 为常数:（1)若________，则集合P 为椭圆； （2)若________,则集合P 为线段； (3）若________，则集合P 为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝1 （a 〉b >0）错误!＋错误!＝1 (a 〉b 〉0）图形性 质 范围－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b －b ≤x ≤b－a ≤y ≤a对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点A 1（－a,0），A 2(a,0)B 1(0,－b ),B 2(0，b ） A 1（0，－a ），A 2(0，a ）B 1（－b,0），B 2（b,0)轴 长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝错误!∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2自我检测1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆x23＋y2＝1上,顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( ）A．2错误!B．6 C．4错误!D．122．（2011·揭阳调研）“m〉n>0”是方程“mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知椭圆x2sin α－y2cos α＝1 （0≤α〈2π)的焦点在y轴上,则α的取值范围是（)A。
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安徽省铜都双语学校高考数学总复习 椭圆学案
一、复习目标：
1、掌握椭圆的定义，能灵活利用定义解题；
2、掌握椭圆的标准方程及其求法，熟练掌握椭圆的几何性质；
二、定向导学·互动展示
自研自探环节 合作探究环
节
展示提升环节·质疑提升环节
自学指导（内容·学法·时间） 互动策略 展示方案 （内容·方式·时间） 【考点1】椭圆的定义 学法指导：认真自研选修2-1第38至42页，结合创新设计p134的知识梳理，重点探究如何求椭圆的方程，解决以下问题： 1.椭圆的定义： 探究：椭圆定义中为什么要求“定
值大于2
1F F (即2a>2c)?”
2、椭圆的标准方程：（可以推导一下，应注意什么）
3、分析课本中的例2,3，概括其解
题思路（建议再做一下）
追踪练习1．已知F 1、F 2为椭圆x
2
25＋y
29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________. 2、已知P 为椭圆164
1002
2
=+y x 上的点，设2
1,F F 为椭圆的两焦点，且∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积。
①两人小对子间 ·小对子头
碰头 ·交流自学成果
·询问价值
问题 ②六人共同体先解
决对子间存在的疑惑，并结合议题中的具体问题探讨疑难，重点交流 议题一：
“交流如何推导椭【议题1】（方案提示：①分析下列问题，回顾运用知识点，②先展示本组在解决题目是时遇到的困惑，在展示你们是如何解决困惑的；③归纳解决此类问题的方法及其注意点） 1．(2011·新课标全国)椭圆x 216＋y 2
8
＝1的离心率为( )．
A.13
B.12
C.33
D.2
2
2、若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经
过两点(4,0)和(0,2)，则该椭圆 的离心率等于________． 3．椭圆的两个焦点为F 1、F 2，短轴的一个端点为
A ，且△F 1AF 2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________． 4、已知动圆P 过定点A(－3,0)，并且在定圆
B ：
(x －3)2＋y2＝64的内部与其相内切，则动圆圆心P 的轨迹方程为__________． 5、求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)；
(2)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)两点； (3)与椭圆x 24＋y 2
3＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)．
【考点2】椭圆的几何性质
学法指导：认真自研选修2-1第43至47页，充分利用椭圆的图形，从图形中概括其性质，从而解决以下问题：
1．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2
＝1 (a >b >0)
图形
性 质 范围
\ \
对称性 对称轴： 对称中心： 轴 长轴A 1A 2的长为 短轴B 1B 2的长为 焦距 |F 1F 2|＝ 离心率 e
＝ ∈(0,1) a,b,c 的关系 顶点坐标 焦点
坐标
1.设P 是椭圆x 225＋y 2
16＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )． A ．4 B ．5 C ．8 D ．10
圆的标准方程”；
议题二：
“重点交流直线和圆的位置关系如何运用几何法和代数法表示”；
议题三：“探讨交流圆与圆的位置关系有多少种情况” ③针对本组抽到的展示任务在组长的主持下进行展示任务分工，做好展示前的准备。
【议题2】
（方案提示：①组代表从分析下列题目运用的知识点②针对题目归纳解决此类问题的方法，进行展示） 2、已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．
3、已知椭圆1
2
2
2
2
=+
b
y
a x （a>b>0）的长、短轴断点分别为A 、B ,从椭圆上一点M （在x 轴方向上）向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1,OM AB // (1)求椭圆的离心率e ； (2)设Q 是椭圆上任意一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围．
归纳解决此类问题的方法及其注意点：
[例2] 设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2
作椭
圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2
为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )
A.2
2 B.2－12 C ．2－ 2 D.2－1 (文)(2010·广东文)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长
度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A.45
B.35
C.25
D.15
【考点3】椭圆中的最值问题 学法指导：认真自研，充分的采取数形结合，结合书本解决以下问题： 分析：在圆锥曲线的一些求取值范围及最值的问题中，常将所求量表达为其它量的函数，运用函数的方法解决．求圆锥曲线方程时，往往是已知曲线形状特征或由已知条件可分析其几何特征，确定形状，设出其标准方程，然后设法列出关于
待定系数的方程或方程组求待定系数．要注意解题过程中，设而不求、整体处理的策略和恰当运用一元二次方程根与系数的关系求解．
等级评定： 【议题3】（方案提示：①分析题目运用的知识点，②归纳解题目中的注意点③通过解题再分析此类问题的解题步骤有哪些） 1.设F 1、F 2分别是椭圆1
42
2
=+y x 的左右焦点，若P
是该椭圆上的一个动点，求→
→∙2
1PF PF 的最大值和最小值． 2．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为5
5，且过点P ()－5，4，则椭圆的方程为______________． 3.(2010·安徽)如图，已知椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12. (1)求椭圆E 的方程；
(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线l 的方程．
三、当堂反馈（时段：晚自习）
5.设F1、F2分别是椭圆E ：1
2
2
2=+
b y x (0<b<1)的左、右焦点，过F1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，
且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列．
求：(1)求|AB|；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．
6.设椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.
(1)求椭圆的离心率e ；
(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆(x ＋1)2
＋(y －3)2
＝16相交于M ，N 两
[例3] 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )
A ．1 B.2 C ．2 D ．2 2
椭圆x 29＋y 2
25＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，则当m 取最大值时，点P 的坐标是________．
[例4] (2010·福建文)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋
y
2
3
＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP
→的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8
(文)(09·浙江)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2
＝1(a >b >0)的左焦点为
F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，若AP
→＝2PB →，则椭圆的离心率是( ) A.32 B.22 C.13 D.12 (理)(2010·安徽皖北联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2
＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1
作倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点为P ，且PF 2
⊥x 轴，则此椭圆的离心
率e 为( )
A.33
B.32
C.22
D.23 4．已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)上一点，若PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则椭圆的离心率为( ) A.12 B.23 C.13 D.5
3
(理)椭圆x 2＋my 2
＝1的离心率为32，则m 的值为
( ) A ．2或12 B ．2
C.14或4
D.14
(理)(2010·浙江台州)已知点M (3，0)，椭圆x 2
4
＋y 2
＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为( ) A ．4 B ．8
C ．12
D ．16
点，且|MN |＝5
8
|AB |，求椭圆的方程．
四、【培辅课】（附培辅单）疑惑告知： 效果描述： 五、【反思课】： 今日心得： 今日不足： 【教师寄语】新课堂，我展示，我快乐，我成功………今天你展示了吗！。