高中数学人教版必修两角和与差的正弦、余弦、正切公式作业(系列二)
两角和与差的正弦、余弦和正切公式--知识点与题型归纳
●高考明方向1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.★备考知考情1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式进行化简、求值是高考考查的热点．2.常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结合命题．3.题型以选择题、填空题为主，属中低档题.一、知识梳理《名师一号》P52知识点1、（补充）两角差的余弦公式的推导利用向量的数量积推导----必修4 课本P1252、（补充）公式之间的关系及导出过程3、和、差、倍角公式《名师一号》P52注意：《名师一号》P53 问题探究 问题1两角和与差的正切公式对任意角α，β都成立吗？其适用条件是什么？在公式T (α＋β)与T (α－β)中，α，β，α±β都不等于k π＋π2(k ∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是k π＋π2(k ∈Z)，可利用诱导公式化简．小结：一、公式的逆用与变形运用《名师一号》P53知识点二2(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；(2)cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2； (3)1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin2α＝(sin α－cos α)2；(4)sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.二、三角恒等变换须关注以下三方面《名师一号》P53 问题探究 问题2(补充)1、角：角的变换：注意拆角、拼角技巧如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，(α＋β)＋(α－β)＝2α，β＝α＋β2－α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β，75°＝45°＋30°等注意倍角的相对性：如α是2α的二倍角等； 3α是23α的二倍角等；2、函数名：异名化同名---正余互化，切化弦，弦化切正余互化（利用诱导公式、平方关系）切化弦，弦化切（利用sin tan cos ααα=、 αααααcos 1sin sin cos 12tan +=-=）等； 3、式子结构：（1）1的变换（注意145tan =︒，22sin cos 1+=αα）、（2）幂的变换（升幂角减半221cos 22cos ,1cos 22sin αααα+=-=；降幂角加倍221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==）、 （3）合一变换（)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a ）-----《名师一号》P53 知识点三要时时关注角的范围的讨论！二、例题分析：（一）公式的直接应用例1．（1）《名师一号》P53 对点自测1、2、3、4cos33°cos87°＋sin33°cos177°的值为( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32解析 cos33°cos87°＋sin33°cos177°＝cos33°sin3°－sin33°cos3°＝sin(3°－33°)＝－sin30°＝－12. 2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝( )A ．－7210 B.7210 C ．－210 D.210解析 由于α是第三象限角且cos α＝－45， ∴sin α＝－35. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－45＝－7210.3.若sin α2＝33，则cos α＝( ) A ．－23 B ．－13 C.13 D.23解析 因为sin α2＝33， 所以cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝13.4．化简：11＋tan α－11－tan α＝________.解析 原式＝－2tan α(1＋tan α)(1－tan α)＝－2tan α1－tan 2α＝－tan2α.例1．（2）(补充)计算cos15sin15cos15sin15︒︒︒︒-+答案: 33例2．《名师一号》P53 高频考点 例1（2）（2）(2014·新课标全国卷Ⅰ)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2 B ．3α＋β＝π2C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π2解析：(2)由已知，得sin αcos α＝1＋sin βcos β， ∴sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin αcos β－cos αsin β＝cos α.∴sin(α－β)＝cos α.∴sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. ∴－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2. ∴α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.故选C.练习1：3－sin70°2－cos 210°＝( ) A.12 B.22 C ．2 D.32分析：观察角可以发现70°与20°互余，20°是10°的二倍，故可用诱导公式和倍角公式(或降幂)化简解析：原式＝3－cos20°2－cos 210°＝3－(2cos 210°－1)2－cos 210°＝2. 练习2：已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43， 则tan α＝________.分析：用诱导公式可将条件化为tan2α的函数值，用二倍角公式解方程可求得tan α.解析：由tan(π＋2α)＝－43得tan2α＝－43，由tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝－12或tan α＝2，又α是第二象限的角，所以tan α＝－12.练习3：设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( ) A.1＋a 2 B.1－a 2C ．－1＋a 2D ．－1－a 2解析：∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sin θ4<0， ∵a ＝cos θ2＝1－2sin 2θ4，∴sin θ4＝－1－a 2.点评：不要求记忆半角公式，只要熟记二倍角公式，熟练进行角的范围与三角函数值符号的讨论，求半角的三角函数值时，可利用倍角公式通过开方求解．（二）公式的变形应用例1．（1）(补充)计算:tan20°+tan40°＋3tan20°tan40°=答案:3例1．(2) (补充)化简：tan(18°－x)tan(12°＋x) ＋3[tan(18°－x)＋tan(12°＋x)]＝________.答案: 1解析：∵tan[(18°－x)＋(12°＋x)]＝tan(18°－x)＋tan(12°＋x)1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)＝tan30°＝33∴tan(18°－x)＋tan(12°＋x)＝33[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)] 于是原式＝tan(18°－x)tan(12°＋x)＋3·33[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]＝1.变式:计算(1+tan1°) (1+tan2°) (1+tan3°) …(1+tan44°) (1+tan45°)答案:232注意:公式的逆用与变形运用练习：计算13 sin10sin80︒︒-=答案:4例2．（1）《名师一号》P54 高频考点例2(2)sin110°sin20°cos2155°－sin2155°的值为()A ．－12 B.12 C.32 D ．－32sin110°sin20°cos 2155°－sin 2155°＝sin70°sin20°cos310° ＝cos20°sin20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12.例2．（2）(补充)化简: ()1*cos cos 2cos 4cos 2n n N αααα-⋅⋅⋅⋅∈温故知新P50 知识(5) 1cos 20cos 40cos60cos8016︒︒︒︒⋅⋅⋅=答案: ()*sin 22sin n n n N ∈αα注意:公式的逆用与变形运用例3．《名师一号》P53 对点自测5、65.如果α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝45，那么 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A.425 B ．－425 C.325 D ．－325解析 因为sin α＝45，π2<α<π，所以cos α＝－35. 而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝2cos α＝－325.6．已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R ，若f (x )≥1，则x 的取值范围为( )A ．{x |k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z} B ．{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z}C ．{x |k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z} D ．{x |2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z}解析 根据题意，得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，f (x )≥1， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6≥1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6≥12. 由图象可知满足π6＋2k π≤x －π6≤5π6＋2k π(k ∈Z)， 解得π3＋2k π≤x ≤π＋2k π(k ∈Z)．注意:公式的逆用与变形运用合一变换a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b2，tan φ＝b a . φ的终边所在象限由a ，b 的符号来确定．拓展：温故P59第7题（三）角的代换例1．（1）(补充)若sin(π6－α)＝13， 则cos(2π3＋2α)的值为( ) A.13 B ．－13 C.79 D ．－79[答案] D[解析] cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1 ＝2cos 2[π2－(π6－α)]－1 ＝2sin 2(π6－α)－1＝2×(13)2－1＝－79.变式: 已知12sin()cos(2)633ππαα+=-=，则 。
最新人教版高中数学必修4第三章两角和与差的正弦、余弦、正切公式2
以-β 替换 β 代入 T(α+β)
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KEQIAN YUXI DAOXUE
专题归纳整合 课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
预习交流 1
上述公式中,α,β 都是任意的吗? 提示:正弦、余弦的公式中,角是任意的;而在 T(α±β)中,α,β,α± β 都不 等于 kπ+ (k∈Z),同时 1+tanαtanβ≠0,1-tanαtanβ≠0.
3 2
; ; ; .
; ④
1 2
③0
cos(α-β)
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
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问题导学 当堂检测
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问题 3:两角和与差的正切公式变形形式较多,例如: tanα± tanβ=tan(α± β)(1∓ tanαtanβ), tanαtanβ=1tan������+tan������ tan(������+������)
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两角和与差的正弦、余弦、正切公式
名称 C(α-β) C(α+β) S(α+β) S(α-β) T(α+β) T(α-β) 以-β 替换 β 代入 C(α-β) 以 -α 替换 α
3 2
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高一数学必修一 5.5两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
讲解范例：
归纳：
讲解范例：
例2.
(1)求f(x)的最值； (2)求f(x)的周期、单调性.
练习：
2. 在△ABC中，sinAsinB＜cosAcosB， 则△ABC为 ( ) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
练习：
思考：
课堂小结
掌握两角和与差的余弦、正弦
和正切公式的应用及asin＋bcos
类型的变换.
课后作业
阅读教材P.215到P.219;
3.1.2两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
复习引入 基本公式：
ห้องสมุดไป่ตู้
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
练习 教材P.220练习第5题.
练习
教材P.220练习第4题.
思考：
讲解范例： 例1.
讲解范例： 例1.
两角和与差的正弦、余弦、正切公式(高中数学)
＝cos 2c0o°s 2s0in°30°＝sin 30°＝12.
解决给角求值问题的方法 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后 局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形， 否则进行各局部的变形． (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正 负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时 要逆用或变用公式．
30°)
＝－1t＋anta4n5°45－°ttaann3300°°
1－ ＝－
3 3＝
3－2.
1＋
3 3
sin 47°－sin 17°cos 30°
(3)
sin 73°
＝sin（17°＋30°co）s 1－7°sin 17°cos 30°＝
sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30° cos 17°
所以 cos (α＋β)＝cos π4＋β－π4－α
＝cos π4＋β·cos π4－α
＋sin π4＋βsin π4－α
＝－12× 23＋
23×－12＝－
3 2.
又因为π2<α＋β<π，
所以 α＋β＝56π.
1．(2019·北京清华附中月考)若 tan α＝3，tan β＝43，则 tan(α－β)
1．已知 cos α＝－45，且 α∈π2，π，则 tanπ4－α＝(
)
A．－17
B．－7
C．17
D．7
解析：选 D.由 cos α＝－45，且 α∈π2，π，得 sin α＝35，所以 tan α＝csoins αα＝－34， 所以 tanπ4－α＝1t＋antaπ4n－π4ttaannαα＝1－1－－3434＝7.故选 D.
人教版数学高一学案两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.知识点一两角和与差的正切公式思考1怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？思考2由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？梳理名称简记符号公式使用条件两角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβα，β，α＋β均不等于kπ＋π2(k∈Z)两角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβα，β，α－β均不等于kπ＋π2(k∈Z)知识点二两角和与差的正切公式的变形(1)T(α＋β)的变形：tanα＋tanβ＝________________.tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝________. tanαtanβ＝________________.(2)T(α－β)的变形：tanα－tanβ＝________________.tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝________. tan αtan β＝________________.类型一 正切公式的正用例1 (1)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________.(2)已知α，β均为锐角，tan α＝12，tan β＝13，则α＋β＝______.反思与感悟 (1)注意用已知角来表示未知角. (2)利用公式T (α＋β)求角的步骤： ①计算待求角的正切值.②缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息. ③根据角的范围及三角函数值确定角.跟踪训练1 已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________.类型二 正切公式的逆用 例2 (1)1＋tan15°1－tan15°＝________；(2)1－3tan75°3＋tan75°＝________.反思与感悟 注意正切公式的结构特征，遇到两角正切的和与差，构造成与公式一致的形式，当式子出现12，1，3这些特殊角的三角函数值时，往往是“由值变角”的提示.跟踪训练2 求下列各式的值： (1)cos75°－sin75°cos75°＋sin75°； (2)1－tan27°tan33°tan27°＋tan33°.类型三 正切公式的变形使用例3 (1)化简：tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°；(2)若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，求α＋β的值.反思与感悟 两角和与差的正切公式有两种变形形式： ①tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)或②1∓tan α·tan β＝tan α±tan βtan (α±β).当α±β为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果.跟踪训练3 在△ABC 中，A ＋B ≠π2，且tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 的值为( )A.π3B.2π3C.π6D.π41.若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A.13B.－13C.3D.－32.已知cos α＝－45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A.－17B.－7C.17D.73.已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( ) A.1B.2C.－2D.不确定4.已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B＝________.5.已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.1.公式T (α±β)的结构特征和符号规律(1)公式T (α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和.(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 2.应用公式T (α±β)时要注意的问题 (1)公式的适用范围由正切函数的定义可知，α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z ).(2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等.特别要注意tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α，tan(π4－α)＝1－tan α1＋tan α.(3)公式的变形应用只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路. 特别提醒：tan α＋tan β，tan αtan β，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型.答案精析问题导学 知识点一思考1 tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β，分子分母同除以cos αcos β，便可得到. 思考2 用－β替换tan(α＋β)中的β即可得到. 知识点二(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－tan α＋tan βtan (α＋β)(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) tan α－tan βtan (α－β)－1题型探究例1 (1)3 (2)π4 跟踪训练1 －43例2 (1)3 (2)－1跟踪训练2 解 (1)原式＝1－tan 75°1＋tan 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan 75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－33. (2)原式＝1tan (27°＋33°)＝1tan 60°＝33.例3 解 (1)方法一 tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37° ＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37° ＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3. 方法二 ∵tan(23°＋37°)＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3－3tan 23°tan 37°＝tan 23°＋tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3. (2)∵(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝1＋3(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4， ∴tan α＋tan β＝3(1－tan αtan β)，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 3.又∵α，β均为锐角，∴0°<α＋β<180°， ∴α＋β＝60°. 跟踪训练3 A 当堂训练1.A2.D3.B4.π45. 43。
3[1].1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2课时)
![3[1].1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2课时)](https://img.taocdn.com/s3/m/3a0362798e9951e79b89277a.png)
∴tan17+tan28=tan(17+28)(1tan17 tan28) =1 tan17tan28 ∴原式=1 tan17tan28+ tan17tan28=1
例3′、△ABC中， 求证 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
证明： ∵tanA、tanB、tanC 都有意义， ∴tanAtanB≠1. ∴△ABC中没有直角，
o o
1+ tan71o tan26o
(2) -1
1- 3tan75o (2) o 3 + tan75
求下列各式的值：
1 tan 75 (1) 1 tan 75
(2) tan17+tan28+tan17tan28
tan 45 tan 75 解：1原式= tan( 45 75 ) tan 120 3 1 tan 45 tan 75 tan 17 tan 28 2 ∵ tan( 17 28 ) 1 tan17 tan 28
2注意公式的结构，尤其是符号。
( )
补充 练 习
1、化简： (1)tan(α+β)(1- tanαtanβ) tan(α-β)+ tanβ (2) 1- tan(α-β)tanβ 答案: (1)tanα+ tanβ
(2)tanα
2、求值： (1) tan71 - tan26 答案: (1) 1
tan(α+β)=
tanα- tanβ tan(α-β)= 1+ tanαtanβ
变形：
tanα+ tanβ= tan(α+β)(1- tanαtanβ)
tanα- tanβ= tan(α-β)(1+ tanαtanβ)
高一 两角和与差的余弦、正弦、正切公式知识点+例题+练习 含答案
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β))cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β (C (α＋β))sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β (S (α－β))sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β (S (α＋β))tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β)) tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β)) 2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( √ )1．化简cos 40°cos 25°1－sin 40°＝ . 答案 2解析 原式＝cos 40°cos 25°1－cos 50°＝cos (90°－50°)cos 25°·2sin 25°＝sin 50°22sin 50°＝ 2. 2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝ . 答案 34解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3， 则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 3．(2015·重庆改编)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝ . 答案 17解析 tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17. 4．(教材改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ .答案 22 解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22. 5．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为 ． 答案 17250解析 ∵α为锐角，cos(α＋π6)＝45， ∴α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，2π3，∴sin(α＋π6)＝35， ∴sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2425， ∴cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1＝725， ∴sin(2α＋π12)＝sin(2α＋π3－π4) ＝22[sin(2α＋π3)－cos(2α＋π3)]＝17250.题型一 三角函数公式的基本应用例1 (1)已知sin α＝35，α∈(π2，π)，则cos 2α2sin (α＋π4)＝ . (2)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是 ．答案 (1)－75(2) 3 解析 (1)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－45. ∴原式＝－75. (2)∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12， 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝－231－(－3)2＝ 3. 思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α＝ . (2)已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是 ． 答案 (1)35(2)－1 解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17， ∴tan α＝－34＝sin αcos α， ∴cos α＝－43sin α. 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＝925. 又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝35. (2)cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3(32cos x ＋12sin x ) ＝3cos(x －π6)＝－1. 题型二 三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为 ． (2)求值：cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°＝ . 答案 (1)22(2) 3 解析 (1)原式＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos [90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin [(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝22. (2)原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．(1)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为 ．(2)函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos 2x 的最大值为 ． 答案 (1)π4(2)3 解析 (1)由题意知：sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝－1＝－tan A ，所以A ＝π4.(2)f (x )＝1－cos ⎣⎡⎦⎤2(π4＋x )－3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， 可得f (x )的最大值是3.题型三 角的变换问题例3 (1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝ . (2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是 ． 答案 (1)2525 (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45. 又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)．因为45>55>－45， 所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525. (2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453， ∴32cos α＋32sin α＝453， 3(12cos α＋32sin α)＝453， 3sin(π6＋α)＝453， ∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45. 思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等． 若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝ . 答案 539解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2， ∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223.又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63. 故cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.5．三角函数求值忽视角的范围致误典例 (1)已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，则cos(α＋β)的值为 ．(2)已知在△ABC 中，sin(A ＋B )＝23，cos B ＝－34，则cos A ＝ . 易错分析 (1)角α2－β，α－β2的范围没有确定准确，导致开方时符号错误． (2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B 为钝角．解析 (1)∵0＜β＜π2＜α＜π， ∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝53， sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1 ＝2×49×5729－1＝－239729. (2)在△ABC 中，∵cos B ＝－34， ∴π2＜B ＜π，sin B ＝1－cos 2B ＝74. ∵π2＜B ＜A ＋B ＜π，sin(A ＋B )＝23， ∴cos(A ＋B )＝－1－sin 2(A ＋B )＝－53， ∴cos A ＝cos [(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B＝⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－34＋23×74＝35＋2712. 答案 (1)－239729 (2)35＋2712温馨提醒 在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错．[方法与技巧]1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2， 配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22， 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[失误与防范]1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°＝ . 答案 12解析 原式＝sin 5°＋32sin 25°cos 25°＝sin (30°－25°)＋32sin 25°cos 25°＝12cos 25°cos 25°＝12. 2．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ＝ . 答案 34解析 由sin 2θ＝378和sin 2θ＋cos 2θ＝1得 (sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2， 又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74. 同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34. 3．若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ＝ . 答案3 解析 sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝ 3. 4．已知cos α＝－55，tan β＝13，π<α<32π，0<β<π2，则α－β的值为 ． 答案 54π 解析 因为π<α<32π，cos α＝－55，所以sin α＝－255，tan α＝2，又tan β＝13，所以tan(α－β)＝2－131＋23＝1，由π<α<32π，－π2<－β<0得π2<α－β<32π，所以α－β＝54π. 5．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ . 答案 322解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β， 所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4， 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322. 6.sin 250°1＋sin 10°＝ .答案 12解析 sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝ . 答案 1解析 根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β＞0，∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.8．若tan θ＝12，θ∈(0，π4)，则sin(2θ＋π4)＝ . 答案 7210解析 因为sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45， 又由θ∈(0，π4)，得2θ∈(0，π2)， 所以cos 2θ＝1－sin 22θ＝35， 所以sin(2θ＋π4) ＝sin 2θcos π4＋cos 2θsin π4＝45×22＋35×22＝7210. 9．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值；(2)求tan α－1tan α的值．解 (1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3. 10．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． 解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62， 两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π， 所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35 ＝－43＋310. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝ . 答案 －255解析 由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12， 得tan α＝－13. 又－π2<α<0， 所以sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α ＝－255. 12．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α－sin αcos α－2cos 2α＝0，则tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝ . 答案 8－5311解析 ∵sin 2α－sin αcos α－2cos 2α＝0，cos α≠0，∴tan 2α－tan α－2＝0.∴tan α＝2或tan α＝－1，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴tan α＝2， tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝tan π3－tan α1＋tan π3tan α ＝3－21＋23＝(3－2)(23－1)(23－1)(23＋1)＝8－5312－1＝8－5311. 13．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝ . 答案 2－156解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23， 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53＝2－156. 14．设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝ . 答案 ±3解析 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝(2＋a 2)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 依题意有2＋a 2＝2＋3， ∴a ＝±3.15．已知函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8 ·⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π8. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π12，求函数f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8的值域． 解 (1)函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8[sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π8] ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π8 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝2cos 2x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)可知f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由于x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π12， 所以2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－3π4，5π12， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8∈[－1，2]， 所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8的值域为[－1，2]．。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式Word版含答案
两角和与差的正弦、余弦和正切公式【课前回顾】1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．公式的常用变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 【课前快练】1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32B.32C ．－12D.12解析：选D 原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.2．设角θ的终边过点(2,3)，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝( ) A.15 B ．－15C ．5D ．－5解析：选A 由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝32，故tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝32－11＋32＝15，选A. 3．(2017·山东高考)已知cos x ＝34，则cos 2x ＝( )A ．－14B.14 C ．－18D.18解析：选D ∵cos x ＝34，∴cos 2x ＝2cos 2x －1＝18.4．化简：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝________.解析：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝2sin α＋2sin αcos α12(1＋cos α)＝4sin α(1＋cos α)1＋cos α＝4sin α.答案：4sin α5．(2017·江苏高考)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：75考点一 三角函数公式的直接应用三角函数公式的应用策略(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．【典型例题】1．已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值为( ) A.210B ．－210 C.7210D ．－7210解析：选A ∵cos α＝－35，α是第三象限的角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos π4cos α－sin π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－35－22×⎝⎛⎭⎫－45＝210. 2．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211B.211C.112D ．－112解析：选A 因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.因为tan(π－β)＝12＝－tan β，所以tan β＝－12，则tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.3．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值为______． 解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255. sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－4＋3310.答案：－4＋3310考点二 三角函数公式的逆用与变形用1．注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．2．熟记三角函数公式的2类变式 (1)和差角公式变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β， tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)． (2)倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 考法(一) 三角函数公式的逆用 1.sin 10°1－3tan 10°＝________. 解析：sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝2sin 10°cos 10°4⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin (30°－10°)＝14.答案：142．在△ABC 中，若tan A tan B ＝ tan A ＋tan B ＋1, 则cos C ＝________.解析：由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，又A ＋B ∈(0，π)，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22.答案：223．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝________. 解析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435， 可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435， 即32sin α＋32cos α＝435，∴3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 答案：－45考法(二) 三角函数公式的变形用 4．化简sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案：－15．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：12考点三 角的变换与名的变换1．迁移要准(1)看到角的范围及余弦值想到正弦值；看到β，α＋β，α想到凑角β＝(α＋β)－α，代入公式求值．(2)看到两个角的正切值想到两角和与差的正切公式；看到α＋β，β，α－β想到凑角．2．思路要明(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．3．思想要有转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．【典型例题】1．(2018·南充模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sin β＝________.解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，所以α＋β∈(0，π)， 所以sin α＝1－cos 2α＝437， sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314， 则sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝5314×17－⎝⎛⎭⎫－1114×437＝32. 答案：322．已知tan(α＋β)＝25，tan β＝13，则tan(α－β)的值为________．解析：∵tan(α＋β)＝25，tan β＝13，∴tan α＝tan[(α＋β)－β]＝tan (α＋β)－tan β1＋tan (α＋β)·tan β＝25－131＋25×13＝117，tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝117－131＋117×13＝－726.答案：－726【针对训练】1．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，∴sin α＝255，cos α＝55， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝22×⎝⎛⎭⎫255＋55＝31010. 答案：310102．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．解：(1)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，从而－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010. ∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎫－1010＝91050. 【课后演练】1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1 B.12 C.32D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．若2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝3sin(π－θ)，则tan θ等于( ) A ．－33B.32C.233D ．2 3解析：选B 由已知得sin θ＋3cos θ＝3sin θ， 即2sin θ＝3cos θ，所以tan θ＝32. 3．(2018·石家庄质检)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( )A ．－429B ．－229C.229D.429解析：选A 因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎫－223＝－429.4．(2018·衡水调研)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－118 B.118 C ．－1718D.1718解析：选C 由3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－1718.5．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( )A ．－12B.12C.32D ．－32解析：选Bsin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310° ＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.6．(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为( ) A.65B ．1C.35D.15解析：选A 因为cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，所以f (x )＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，于是f (x )的最大值为65.7．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值为________． 解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12. 答案：－128．(2018·贵州适应性考试)已知α是第三象限角，且cos(α＋π)＝45，则tan 2α＝________.解析：由cos(α＋π)＝－cos α＝45，得cos α＝－45，又α是第三象限角，所以sin α＝－35，tan α＝34，故tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247. 答案：2479．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝________. 解析：cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝32cos x ＋32sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝3×⎝⎛⎭⎫－33 ＝－1. 答案：－110．(2018·石家庄质检)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－23，则cos α＝________. 解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，5π6， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝53，所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin π3＝－23×12＋53×32＝15－26. 答案：15－2611．(2018·陕西高三教学质量检测)已知角α的终边过点P (4，－3)，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( )A ．－7210 B.7210 C ．－210D.210解析：选B 由于角α的终边过点P (4，－3)，则cos α＝442＋(－3)2＝45，sin α＝－342＋(－3)2＝－35，故cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos αcos π4－sin αsin π4＝45×22－⎝⎛⎭⎫－35×22＝7210. 12．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为( ) A.1225 B.2425 C ．－2425D ．－1225解析：选B 因为α为锐角，且cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin2⎝⎛⎭⎫α＋π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2×35×45＝2425. 13．(2018·广东肇庆模拟)已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝( ) A ．－195 B ．－519 C ．－3117D ．－1731解析：选D 由题意得cos α＝－45，则sin 2α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725.∴tan 2α＝－247， ∴tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝－247＋11－⎝⎛⎭⎫－247×1＝－1731. 14．若锐角α，β满足tan α＋tan β＝3－3tan αtan β，则α＋β＝________. 解析：由已知可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3. 又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3. 答案：π315．(2018·安徽两校阶段性测试)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22cos 2α，则sin 2α＝________.解析：由已知得22(cos α＋sin α)＝22(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝14，由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝0不满足条件；由cos α－sin α＝14，两边平方得1－sin 2α＝116，所以sin 2α＝1516. 答案：151616．(2018·广东六校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12，x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π4的值； (2)若cos θ ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以sin θ＝35， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725， 所以f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ) ＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250. 17．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． 解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62， 两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π， 所以－π2<α－β<π2. 又由sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310. 18.已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αsin ⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3，∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴ sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3 ＝－12×12－⎝⎛⎭⎫－32×32＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.。
高中数学必修四3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
3．
1 tan15 1 tan 45 tan15
教 例 2、化简 2 cos x 6 sin x
学
解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我
过 们能否发现规律呢？
1
3
程
2 cos x 6 sin x 2 2 cos x
sin x 2 2 sin 30 x
2
2
及 思考： 2 2 是怎么得到的？
1 tan tan
及
tan(
tan tan )
1 tan tan
方
（二）新课讲授
法
例 1、利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（ 1）、 sin 72 cos42 cos72 sin 42 ；
学生回答
（ 2）、 cos20 cos70
sin 20
sin 70
1
；（ 3）、
tan15
．
1 tan15
分析：逆用两角和与差正弦、余弦和正切公式 1
3
问题与情境及教师活动
学生活动
解：（ 1）、
sin 72 cos42 cos72 sin 42 sin 72 42
sin 30 1 2
（2）、cos20 cos70 sin 20 sin 70 cos 20 70 cos90 0 ；
（3）1 tan15 tan 45 tan15 tan 45 15
tan 60
（ 1） 求 f (x) 的最值。（ 2）求 f (x) 的周期 .
（ 3） 求 f (x) 的单调性。 教
学 分析：将函数化为 f x
1 4 sin x
2
3 cos x
2
4sin( x 60 )
人教版数学高一作业两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值等于( ) A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．若sin α＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( ) A.43 B ．－43 C ．－7 D ．－173．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π44．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定5．化简tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于( )A ．1B ．2C ．tan10° D.3tan20°6．在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( ) A.14 B.13 C.12 D.53题 号 1 2 3 4 5 6 答 案7.1＋tan75°1－tan75°＝________. 8．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为________． 9．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin (α＋β)cos (α－β)＝________. 10．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.三、解答题11．在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，试判断△ABC 的形状．12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255. 求tan(α＋β)的值．能力提升 13．已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．14．已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15. (1)求证：tan A ＝2tan B ；(2)设AB ＝3，求AB 边上的高．3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)答案作业设计1．A 2.C 3.C4．A5．A6．B7．－38.23解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2， 解得tan α＝13.∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23.9．－32解析 sin (α＋β)cos (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋(－3)＝－32. 10．1解析 tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α. ∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α.∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1. 11．解 由tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，得tan B ＋tan C ＝3(1－tan B tan C )．∴tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝3， 又∵B ＋C ∈(0，π)，∴B ＋C ＝π3. 又3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，∴tan A ＋tan B ＝－33(1－tan A tan B )， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－33， 而A ＋B ∈(0，π)，∴A ＋B ＝5π6，又∵A ＋B ＋C ＝π， ∴A ＝2π3，B ＝C ＝π6.∴△ABC 为等腰三角形． 12．解 由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55. 因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12. tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3. 13．解 tan α＝tan ＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝13>0. 而α∈(0，π)，故α∈(0，π2)． ∵tan β＝－17，0<β<π，∴π2<β<π.∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝12>0， ∴－π<α－β<－π2. ∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．∵tan(2α－β)＝tan ＝tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝1， ∴2α－β＝－3π4. 14．(1)证明 ∵sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15， ∴⎩⎨⎧ sin A cos B ＋cos A sin B ＝35sin A cos B －cos A sin B ＝15⇒⎩⎨⎧ sin A cos B ＝25cos A sin B ＝15⇒tan A tan B＝2，所以tan A ＝2tan B . (2)解 ∵π2<A ＋B <π，sin(A ＋B )＝35，∴tan(A ＋B )＝－34，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－34. 将tan A ＝2tan B 代入上式并整理得，2tan 2B －4tan B －1＝0.解得tan B ＝2±62，舍去负值，得tan B ＝2＋62. ∴tan A ＝2tan B ＝2＋ 6.设AB 边上的高为CD .则AB ＝AD ＋DB ＝CD tan A ＋CD tan B ＝3CD 2＋6. 由AB ＝3，得CD ＝2＋ 6.∴AB 边上的高等于2＋ 6.。
新人教版高中数学必修第二册-5.5.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(第2课时)教学设计
5.5.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第2课时）(人教A 高中数学必修第一册第五章)一、教学目标1.掌握两角和与差的正弦、正切公式的推导，并进行简单的化简求值2.掌握两角和与差的正弦、正切公式的变形推导，及相关的应用二、教学重难点1.两角和与差的正弦、正切公式的推导、逆用、变形及其应用2.两角和与差的正弦、正切公式的应用三、教学过程1.正弦公式正切公式的形成问题1：两角和与差的正弦根据两角和与差的余弦公式可推出两角和与差的正弦公式：S α＋β：sin(α＋β)＝S α－β：sin(α－β)＝【预设的答案】证明：由诱导公式以及两角和与差的余弦公式可知：sin()cos[()]cos[()]22cos()cos sin()sin 22ππαβαβαβππαβαβ+=-+=--=-+-=βαβαsin cos cos sin +而且：sin()sin[()]sin cos()cos sin()αβαβαβαβ-=+-=-+-=βαβαsin cos -cos sin 例如,sin 75sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30o o o o o o o=+=+=sin15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30o o o o o o o=-=-=【预设的答案】例如,sin 75sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30o o o o o o o=+=+122224+=⨯+⨯=sin15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30o o o o o o o=-=-122224=⨯-⨯=【对点快练】1．sin 75°＝____________.2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则____________.2.−【设计意图】两角和与差的正弦公式是可以由余弦公式推导的，用实际案例让学生感受该公式的应用，用变式训练让学生快速掌握公式的应用。
人教版数学高一课时作业 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值等于( ) A ．17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．已知tan(α＋β)＝35，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A ．1318 B ．1323 C ．723 D ．163．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4等于( ) A ．－13 B ．13C ．－3D ．3 4．若tan 28°tan 32°＝m ，则tan 28°＋tan 32°等于( )A ．3mB ．3(1－m )C ．3(m －1)D ．3(m ＋1)5．已知tan α＝lg 10a ，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．110 C ．1或110D ．1或10 6．已知tan α和tan ⎝⎛⎭⎫π4－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，则a ，b ，c 的关系是( )A ．b ＝a ＋cB ．2b ＝a ＋cC ．c ＝a ＋bD ．c ＝ab7．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝33，tan 2B ＝tan A ·tan C ，则∠B 等于( )A ．30°B ．45°C ．120°D ．60°二、填空题8．tan 75°－tan 15°1＋tan 75°tan 15°＝________． 9．已知sin 2α＝35(π2＜2α＜π)，tan(α－β)＝12， 则tan(α＋β)＝________．10．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足，AD 在△ABC 的外部，且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6，则tan ∠BAC ＝__________． 11．已知α，β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________． 三、解答题12．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，tan β＝12， (1)求tan α的值；(2)求sin α＋β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos α＋β的值．13． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255．求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．参考答案1．A2．C 3．B 4．B5．C解析：∵α＋β＝π4， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1， tan α＋tan β＝1－tan αtan β，即lg 10a ＋lg 1a ＝1－lg 10a lg 1a， 1＝1－lg 10a lg 1a， ∴lg 10a lg 1a＝0． lg 10a ＝0或lg 1a＝0． 得a ＝110或a ＝1． 6．C7．D解析：由公式变形得：tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B ) ＝tan(180°－C )(1－tan A tan B )＝－tan C (1－tan A tan B )＝－tan C ＋tan A tan B tan C ．∴tan A ＋tan B ＋tan C＝－tan C ＋tan A tan B tan C ＋tan C＝tan A tan B tan C ＝33．∵tan 2B ＝tan A tan C ，∴tan 3B ＝33．∴tan B ＝3，B ＝60°．8．39．－210．17解析：∵AD ⊥BC 且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6．∴tan ∠BAD ＝BD AD ＝13，tan ∠CAD ＝CD AD ＝36＝12， tan ∠BAC ＝tan(∠CAD －∠BAD ) ＝tan ∠CAD －tan ∠BAD 1＋tan ∠CAD tan ∠BAD＝12－131＋12×13＝17． 11．1解析：∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α． ∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α． ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1． ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β．∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1． 12．解：(1)∵tan(π4＋α)＝2， ∴tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝2， ∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13． (2)原式＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β ＝cos αsin β－sin αcos βcos αcos β＋sin αsin β＝sin β－αcos β－α＝tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝12－131＋12×13＝17．13．解：由条件得cos α＝210，cos β＝255． ∵α，β为锐角， ∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55．因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12．(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3．(2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan α·tan 2β＝7＋431－7×43＝－1．∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4．。
高中数学：二十七 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
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课时分层作业二十七两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2019·玉溪高一检测)已知cos=2cos(π-α),则tan=( ) A.-4 B.4 C.- D.【解析】选C.因为cos=2cos(π-α),所以-sin α=-2cos α,所以tan α=2,所以tan==-.2.已知tan(α+β)=,tan=,那么tan等于( )A. B. C. D.【解析】选C.tan=tan===.3.= ( )A. B. C.- D.-【解析】选 B.==tan(27°+33°)=tan 60°=.4.(2019·邢台高一检测)tan 10°+tan35°-cos215°+sin215°+ tan 10°tan35°= ( )A.1-B.C.D.1+【解析】选 A.tan 10°+tan 35°-cos215°+sin215°+tan 10°tan 35°=tan 45°(1-tan 10°·tan 35°)-(cos215°-sin215°)+tan 10°tan 35°=1-cos 30°=1-.【补偿训练】已知α∈,sin α=,则tan的值等于( )A. B.7 C.- D.-7【解析】选A.因为α∈,sin α=,所以cos α=-=-,所以tan α==-,所以tan===.5.在△ABC中,∠C=120°,tan A+tan B=,则tan Atan B的值为( )A. B. C. D.【解析】选B.因为∠C=120°,所以∠A+∠B=60°,所以tan(A+B)==,所以tan A+tan B=(1-tan A·tan B)=,解得tan A·tan B=.6.已知tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两根,且-<α<,-<β<,则α+β的值为( )A. B.-C.或-D.-或【解析】选B.由根与系数的关系得tan α+tan β=-3,tan α·tan β=4,所以tan α<0,tan β<0,所以tan(α+β)===,又-<α<,-<β<,且tan α<0,tan β<0,所以-π<α+β<0,所以α+β=-.二、填空题(每小题5分,共10分)7.tan 36°+tan84°-tan 36°tan84°=________.【解析】因为tan(36°+84°)=,所以tan 36°+tan 84°=tan(36°+84°)(1-tan 36°tan 84°)=-+tan 36°tan 84°,所以tan 36°+tan 84°-tan 36°tan 84°=-+tan 36°tan 84°-tan 36°tan 84°=-.★答案★:-8.已知cos α=,α∈(0,π),tan (α-β)=,则tan β的值为________.【解析】因为cos α=>0,α∈(0,π),所以α∈,sin α>0.所以sin α===,所以tan α===.所以tan β=tan [α-(α-β)]===.★答案★:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知sin α=-且α是第三象限角,求tan的值.【解析】因为sin α=-且α是第三象限角,所以cos α=-=-=-.所以tan α==3.所以tan===.10.如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆交于A,B两点.已知A,B的横坐标分别为,.(1)求tan(α+β)的值.(2)求α+2β的值.【解题指南】解答本题可先由任意角三角函数定义求cos α,cos β,再求sin α,sin β,从而求出tan α,tan β,然后利用公式Tα+β求tan(α+β),最后利用α+2β=(α+β)+β求tan(α+2β)得到α+2β的值.【解析】(1)由三角函数的定义可知cos α=,cos β=;所以sin α=,sin β=,所以tan α=7,tan β=,于是tan(α+β)==-3.(2)tan(α+2β)=tan [(α+β)+β]===-1.又0<α<,0<β<,所以0<α+2β<,由tan(α+2β)=-1,得α+2β=.(45分钟75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.等于( )A.tan 42°B.tan 3°C.1D.tan 24°【解析】选 A.==tan(60°-18°)=tan 42°.2.已知=,则tan+A的值为( )A. B.- C. D.-【解析】选C.tan===.3.已知α,β为锐角,cos α=,tan(α-β)=-,则cos β的值为( )A. B. C.- D.【解析】选A.因为α,β为锐角,且cos α=,所以sin α=,所以tan α=.又tan(α-β)===-,所以tan β=,即=,因为β为锐角,所以13cos β=9,整理得cos β=.4.若(4tan α+1)(1-4tan β)=17,则tan(α-β)的值为( )A. B. C.4 D.12【解析】选C.因为(4tan α+1)(1-4tan β)=17,所以4tan α-16tan αtan β+1-4tan β=17,所以tan α-tan β=4(1+tan αtan β),所以tan(α-β)==4.5.若角α的终边经过点(-1,2),则tan= ()A.-B.-C.D.【解析】选B.因为角α的终边经过点(-1,2),所以x=-1,y=2,tan α==-2,则tan===-.【补偿训练】A,B,C是△ABC的三个内角,且tan A,tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是( )A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.无法确定【解析】选A.tan A+tan B=,tan A·tan B=,所以tan(A+B)=,所以tan C=-tan(A+B)=-,所以C为钝角,故选A.二、填空题(每小题5分,共20分)6.在△ABC中,tan A+tan B+tan C=3,tan2B=tan A·tan C,则∠B 的大小为________.【解析】由公式变形得:tan A+tan B=tan (A+B)(1-tan Atan B)=tan (180°-C)(1-tan Atan B)=-tan C(1-tan Atan B)= -tan C+ tan Atan Btan C.所以tan A+tan B+tan C=-tan C+tan Atan Btan C+tan C=tan Atan Btan C=3.因为tan2B=tan Atan C,所以tan3B=3.所以tan B=,又因为0°<B<180°,所以B=60°.★答案★:60°7.已知tan α=,tan β=,α,β都是锐角,则α+2β的大小为________.【解析】因为tan α=,tan β=,所以tan===,所以tan=tan===1,因为tan α=<1,tan β=<1,α,β都是锐角,所以0<α<,0<β<,所以0<α+2β<,所以α+2β=.★答案★:8.已知tan=2,则的值为________. 【解析】因为tan=2,所以=2,解得tan α=. 所以====.★答案★:9.tan=,tan=2,则tan(α+β)=______.【解析】tan=tan===-.tan(α+β)=tan===2-3.★答案★:2-3三、解答题(每小题10分,共30分)10.已知tan α,tanβ是方程x2-3x-3=0的两根,试求sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)的值.【解析】由已知有所以tan(α+β)===.所以sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)====-3.11.如图,在矩形ABCD中,AB=a,BC=2a,在BC上取一点P,使得AB+BP=PD,求tan ∠APD的值.【解析】由AB+BP=PD,得a+BP=,解得BP=a.设∠APB=α,∠DPC=β,则tan α==,tan β==,所以tan(α+β)==-18,又∠APD+α +β=π,所以tan ∠APD=18. 12.已知tan (α-β)=,tan β=-,且α,β∈(0,π),求2α-β的值.【解析】因为tan (α-β)=,tan β=-,所以tan α=tan [(α-β)+β]===<1.因为α∈(0,π),所以0<α<,0<2α<.又tan β=-<0,β∈(0,π),所以<β<π,所以-π<2α-β<0.又tan (2α-β)=tan [(α-β)+α]===1,所以2α-β=-.关闭Word文档返回原板块。
数学人教A版必修43.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)内容要求 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式(难点).2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明(重点)．知识点两角和与差的正切公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；T(α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β．【预习评价】(1) 若tan⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________．解析tan α＝tan⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝tan⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＋tanπ41－tan⎝⎛⎭⎪⎫α－π4·ta nπ4＝16＋11－16＝75.答案75(2)求值：1－tan 75°1＋tan 75°＝________．解析原式＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan 75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－33．答案－33题型一两角和与差的正切公式的正用、逆用、变形用【例1】(1)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( ) A．17B．16C．57D．56解析tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tanα＋β－tan α1＋tanα＋βtan α＝17．答案 A(2)1－3tan 75°3＋tan 75°＝________；解析 原式＝1－tan 60°tan 75°tan 60°＋tan 75°＝1tan 60°＋75°＝1tan 135°＝－1．答案 －1(3)求值：tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝________． 解析 ∵tan 23°＋t an 37°＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)， ∴原式＝3－3tan 23°tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝3． 答案3规律方法 公式T (α±β)的逆用及变形应用的解题策略(1)“1”的代换：在T (α±β)中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan π4来代换，以达到化简求值的目的，如1－tan α1＋tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α；3tan α＋31－tan α＝3tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4． (2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．(3)熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形： ①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； ②1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan α＋β．【训练1】 求值：(1)1＋tan 15°1－tan 15°；(2)tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°． 解 (1)1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 15°tan 45°＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝3． (2)由tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β的变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)得： tan 10°＋tan 35°＝tan 45°(1－tan 10°tan 35°) ＝1－tan 10°tan 35，所以tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝1． 题型二 条件求值问题【例2】 (1)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析 由题意知tan α＋t an β＝3，tan α·tan β＝2，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝31－2＝－3．答案 A(2)已知sin α＝12，α为第二象限的角，且tan(α＋β)＝－3，则tan β的值为( )A ．－ 3B ． 3C ．－33D ．33解析 ∵α为第二象限角，∴cos α<0，cos α＝－32， ∴tan α＝－33． tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan α＋β－tan α1＋tan α＋β·tan α＝－3＋331＋－3·－33＝－33． 答案 C规律方法 给值求值问题的两种变换(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值．(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．【训练2】 已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________．解析 由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，则tan α＝2，因为ta n(α－β)＝2，所以tan(β－α)＝－2，故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan β－α－tan α1＋tan β－αtan α＝－2－21＋－2×2＝43．答案 43题型三 给值求角问题【例3】 (1)在△ABC 中，tan A ＝13，tan B ＝－2，则角C ＝________；解析 tan(A ＋B)＝tan A ＋tan B1－tan Atan B ＝13－21－13×－2＝－1，∵A ＋B ∈(0，π)，∴A ＋B ＝3π4，∴C ＝π－(A ＋B)＝π4． 答案π4(2)若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β． 解 ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2， ∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2， ∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1， ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.∴tan(α＋β)＝－1．∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴α＋β∈(π，2π)．∴α＋β＝7π4．规律方法 利用公式T (α±β)求角的步骤(1)求值：根据题设条件求角的某一三角函数值．(2)讨论角的范围：必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围； (3)求角：借助角的范围及角的三角函数值求角．【训练3】 已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于( ) A ．π8B ．π4C ．38π D ．π2解析 ∵tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan α＋β＋tan α－β1－tan α＋β·tan α－β＝3＋21－3×2＝－1，∴2α＝－π4＋kπ(k∈Z)，∴α＝－π8＋12kπ(k∈Z)．又∵α为锐角，∴α＝π2－π8＝3π8．答案 C课堂达标1．与1－tan 21°1＋tan 21°相等的是( )A ．tan 66°B ．tan 24°C ．tan 42°D ．tan 21°解析 原式＝tan 45°－tan21°1＋tan 45°tan 21°＝tan(45°－21°)＝tan 24°．答案 B2．已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．不确定解析 (1＋tan A)(1＋tan B) ＝1＋(tan A ＋tan B)＋tan Atan B＝1＋tan(A ＋B)(1－tan Atan B)＋tan Atan B ＝1＋1－tan Atan B ＋tan Atan B ＝2． 答案 B3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝12，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2＝－13，则tan α＋β2＝________． 解析 tan α＋β2＝tan[(α－β2)＋(β－α2)]＝12－131－12×－13＝17． 答案 174．已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝____ ．解析 ∵B 为锐角，sin B ＝55，∴cos B ＝255，∴tan B ＝12， ∴tan(A ＋B)＝tan A ＋tan B1－tan Atan B ＝13＋121－13×12＝1．∵0<A ＋B<π，∴A ＋B ＝π4．答案π45．求tan 18°＋tan 42°＋tan 120°tan 18°tan 42°tan 60°的值．解 ∵tan 18°＋tan 42°＋tan 120°＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)＋tan 120° ＝－tan 60°tan 18°tan 42°， ∴原式＝－1．课堂小结1．公式T (α±β)的适用范围由正切函数的定义可知α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为kπ＋π2(k ∈Z)． 2．公式T (α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换． 如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．要特别注意tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α，tan(π4－α)＝1－tan α1＋tan α．3．公式T (α±β)的变形应用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路．基础过关1．已知α，β为任意角，则下列等式： ①sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； ②cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；③cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α； ④tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β．其中恒成立的等式有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．1个解析 ①②③恒成立． 答案 B2．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，则tan α的值为( )A ．13B ．－13C ．23D ．－23解析 tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13．答案 A3．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定解析 ∵tan A ＋tan B ＝53，tan A·tan B＝13，∴tan(A ＋B)＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B)＝－52，∴C 为钝角． 答案 A4．设tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π4)＝________．解析 tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝25－141＋25×14＝322．答案3225．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin α＋βcos α－β＝________．解析 sin α＋βcos α－β＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋－3＝－32．答案 －326．已知tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，试求sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β)的值．解 由已知有⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝－3.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－－3＝34．∴sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β) ＝sin 2α＋β－3sin α＋βcos α＋β－3cos2α＋βsin 2α＋β＋cos 2α＋β＝tan 2α＋β－3tan α＋β－3tan 2α＋β＋1 ＝342－3×34－3342＋1＝－3．7．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，求α＋β的值．解 由根与系数的关系得tan α＋tan β＝－33，tan α·tan β＝4， ∴tan α<0，tan β<0，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，又－π2<α<π2，－π2<β<π2，且tan α<0，tan β<0．∴－π2<α<0，－π2<β<0，∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－2π3．能力提升8．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝33，tan 2B ＝tan A·tan C，则∠B 等于( ) A ．30° B ．45°C ．120°D ．60°解析 由公式变形得：tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B)(1－tan Atan B) ＝tan(180°－C)(1－tan Atan B) ＝－tan C(1－tan Atan B) ＝－tan C ＋tan Atan Btan C ． ∴tan A ＋tan B ＋tan C＝－tan C ＋tan Atan Btan C ＋tan C ＝tan Atan Btan C ＝33． ∵tan 2B ＝tan AtanC ， ∴tan 3B ＝33．∴tan B ＝3，B ＝60°． 答案 D9．已知tan α＝lg 10a ，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为( )A ．1B ．110C ．1或110D ．1或10解析 ∵α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，tan α＋tan β＝1－tan αtan β， 即lg 10a ＋lg 1a ＝1－lg 10a·lg 1a ，1＝1－lg 10a·lg 1a ，∴lg 10a·lg 1a ＝0．∴lg 10a ＝0或lg 1a ＝0．得a ＝110或a ＝1．答案 C10．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为________． 解析 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13． ∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α ＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23．答案 2311．已知α，β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________．解析 ∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α．∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α． ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1． ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β． ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan (α＋β)＝1．答案 112．已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．解 ∵tan(α－β)＝12，tan β＝－17，∴tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－171－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝13<1．∵α∈(0，π)，∴0<α<π4，0<2α<π2．又tan β＝－17<0，β∈(0，π)，∴π2<β<π， ∴－π<2α－β<0．又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α] ＝tan α－β＋tan α1－tan α－βtan α＝12＋131－12×13＝1， ∴2α－β＝－3π4．13．(选做题)已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan Btan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan Atan B －1，试判断△ABC 的形状． 解 ∵3tan A ＋3tan B ＝tan Atan B －1，∴3(tan A ＋tan B)＝tan Atan B －1， ∴tan A ＋tan B 1－tan Atan B ＝－33， ∴tan(A ＋B)＝－33． 又∵0<A ＋B<π，∴A ＋B ＝5π6，∴C ＝π6， ∵tan B ＋tan C ＋3tan Btan C ＝3，tan C ＝33， ∴tan B ＋33＋tan B ＝3， ∴tan B ＝33， ∴B ＝π6，∴A ＝2π3， ∴△ABC 为顶角为120°的等腰三角形．。
课时作业22：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)基础过关1．已知α，β为任意角，则下列等式： ①sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； ②cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； ③cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α； ④tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β．其中恒成立的等式有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．1个解析 ①②③恒成立． 答案 B2．若tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，则tan α的值为( ) A ．13B ．－13C ．23D ．－23解析 tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13．答案 A3．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定 解析 ∵tan A ＋tan B ＝53，tan A ·tan B ＝13，∴tan(A ＋B )＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52，∴C 为钝角． 答案 A4．设tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π4)＝________．解析 tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝25－141＋25×14＝322．答案3225．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin (α＋β)cos (α－β)＝________．解析 sin (α＋β)cos (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋(－3)＝－32．答案 －326．已知tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，试求sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β)的值．解 由已知有⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝－3.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－(－3)＝34．∴sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β) ＝sin 2(α＋β)－3sin (α＋β)cos (α＋β)－3cos 2(α＋β)sin 2(α＋β)＋cos 2(α＋β)＝tan 2(α＋β)－3tan (α＋β)－3tan 2(α＋β)＋1＝(34)2－3×34－3(34)2＋1＝－3．7．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，求α＋β的值．解 由根与系数的关系得tan α＋tan β＝－33，tan α·tan β＝4， ∴tan α<0，tan β<0，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，又－π2<α<π2，－π2<β<π2，且tan α<0，tan β<0．∴－π2<α<0，－π2<β<0，∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－2π3． 能力提升8．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝33，tan 2B ＝tan A ·tan C ，则∠B 等于( ) A ．30° B ．45° C ．120°D ．60°解析 由公式变形得：tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B ) ＝tan(180°－C )(1－tan A tan B ) ＝－tan C (1－tan A tan B ) ＝－tan C ＋tan A tan B tan C ． ∴tan A ＋tan B ＋tan C＝－tan C ＋tan A tan B tan C ＋tan C ＝tan A tan B tan C ＝33． ∵tan 2B ＝tan A tan C ， ∴tan 3B ＝33． ∴tan B ＝3，B ＝60°． 答案 D9．已知tan α＝lg 10a ，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为( )A ．1B ．110C ．1或110D ．1或10 解析 ∵α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，tan α＋tan β＝1－tan αtan β， 即lg 10a ＋lg 1a ＝1－lg 10a ·lg 1a ，1＝1－lg 10a ·lg 1a ，∴lg 10a ·lg 1a＝0．∴lg 10a ＝0或lg 1a ＝0．得a ＝110或a ＝1．答案 C10．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为________． 解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13． ∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α ＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23．答案 2311．已知α，β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________．解析 ∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α．∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α． ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1． ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β． ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1．答案 112．已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．解 ∵tan(α－β)＝12，tan β＝－17，∴tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12＋⎝⎛⎭⎫－171－12×⎝⎛⎭⎫－17＝13<1．∵α∈(0，π)，∴0<α<π4，0<2α<π2．又tan β＝－17<0，β∈(0，π)，∴π2<β<π，∴－π<2α－β<0．又tan(2α－β)＝tan [(α－β)＋α] ＝tan (α－β)＋tan α1－tan (α－β)tan α＝12＋131－12×13＝1，∴2α－β＝－3π4．创新突破13．已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝ tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状． 解 ∵3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1， ∴3(tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1， ∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－33，∴tan(A ＋B )＝－33． 又∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝5π6，∴C ＝π6，∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，tan C ＝33， ∴tan B ＋33＋tan B ＝3， ∴tan B ＝33， ∴B ＝π6，∴A ＝2π3，∴△ABC 为顶角为120°的等腰三角形．。