江苏省如皋中学高三数学模拟试题 05。04
江苏省如皋中学高三年级调研考试试卷
江苏省如皋中学高三年级05届调研考试试卷05.04数 学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A={0，2，2}，集合B={α，β，γ}，映射f ：A →B ，则满足2的象是α的不同映射有A 、3个B 、6个C 、8个D 、9个 2、若不等式|2x －3|>4与不等式x 2+px+q>0的解集相同，则qp = A 、712 B 、127 C 、712- D 、43- 3、一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：]20,10(，2；]30,20(，3；]40,30(，4；]50,40(，5；]60,50(，x ；]70,60(，2。
则样本在]50,(-∞上的频率为A 、201B 、41C 、21D 、1074、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<--=1,log 1),1)(21()(x x x x a x f a 在区间(－∞，+∞)上是减函数，则a 的取值范围是A 、a>21B 、0<a<21C 、c<21D 、21<a<15、已知点A(－1，0)，B(1，0)，以AB 为一腰作使∠DAB=900的直角梯形ABCD ，且|AD|=3|BC|，CD 中点的纵坐标为1，若椭圆以A 、B 为焦点且过点D ，则此椭圆方程为 A 、13222=+y x B 、12322=+y xC 、13422=+y xD 、14322=+y x6、如果三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字，则这样的三位数一共有A 、240个B 、285个C 、231个D 、243个 7、如果以原点为圆心的圆经过双曲线12222=-by a x （a>0，b>0）的焦点，且被该双曲线的右准线分成弧长为2:1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率e 等于A 、5B 、25 C 、3 D 、28、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在棱AB 上，且AM=31，点P 是平面ABCD 上的动点，且点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则点P 的轨迹是 A 、抛物线 B 、双曲线 C 、直线 D 、圆 9、若α、β是两个平行平面，其中α上有4个点，β上有3 个 点，从中任取5个点，则能构成四棱锥的最大概率是A 、71 B 、31 C 、75 D 、76 10、若ab<0，且a+b=1，二项式(a+b)9按a 的降幂展开后，其第二项不大于第三项，则实数a 的取值范围为A 、(－∞，0)B 、54[，+∞)C 、(－∞，]54D 、(1，+∞)11、已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R 都有f(x －1)=f(x+3)，当x ∈[4，6]时，f(x)=2x +1，则f(x)在区间[－2，0]上的反函数f —1(x)的值f —1(19)为 A 、log 215 B 、3－2log 23 C 、5+log 23 D 、－1－2log 2312、在棱长为2R 的无盖立方体容器内装满水，先将半径为R 的球放入水中，然后再放入一个球，使它完全浸入水中，要使溢出的水量最大，则此球的半径是A 、)13(-RB 、232-R C 、)32(-R D 、213-R第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，共16分，把答案写在题中的横线上。
如皋高三数学一模试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，在定义域内是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^4答案：C解析：奇函数的定义是f(-x) = -f(x)，只有选项C满足这个条件。
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 15，S9 = 45，则a1 + a9的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 9答案：D解析：等差数列的前n项和公式为Sn = n(a1 + an)/2，所以有：S5 = 5(a1 + a5)/2 = 15，S9 = 9(a1 + a9)/2 = 45解得a1 + a5 = 6，a1 + a9 = 10，所以a1 + a9 = 10 - 6 = 4，选D。
3. 已知双曲线x^2/4 - y^2/9 = 1的渐近线方程为（）A. y = ±(3/2)xB. y = ±(2/3)xC. y = ±(3/4)xD. y = ±(4/3)x答案：A解析：双曲线的渐近线方程可以通过将双曲线方程中的常数项变为0得到，即：x^2/4 - y^2/9 = 0解得y = ±(3/2)x，选A。
4. 下列命题中，正确的是（）A. 函数f(x) = x^3在R上单调递增B. 函数f(x) = sinx在[0, π]上单调递减C. 函数f(x) = e^x在R上单调递减D. 函数f(x) = ln(x+1)在(-1, +∞)上单调递增答案：D解析：A选项中，函数f(x) = x^3在R上单调递增；B选项中，函数f(x) = sinx在[0, π/2]上单调递增，在[π/2, π]上单调递减；C选项中，函数f(x) = e^x在R上单调递增；D选项中，函数f(x) = ln(x+1)在(-1, +∞)上单调递增。
因此，选D。
5. 在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则△ABC的面积S为（）A. 6B. 8C. 10D. 12答案：C解析：根据海伦公式，△ABC的面积S可以通过半周长p和三边长a、b、c计算得到：p = (a + b + c)/2 = (3 + 4 + 5)/2 = 6S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)] = √[6(6-3)(6-4)(6-5)] = √[6321] = √36 = 6选C。
高三试卷数学-江苏省南通如皋市2023届高三下学期5月高考三模数学试卷及参考答案
2023年高考适应性考试（三）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}1,2,3A a =+，集合{},5B a =，若A B A = ，则a =（）A.0B.1C.2D.32.已知i 为虚数单位，复数()()1i 2i z m ⋅=+-在复平面内对应的点落在第一象限，则实数m 的取值范围为（）A.2m > B.02m << C.22m -<< D.2m <-3.已知非零向量a ，b 满足2a b a b +=- ，且b 在a 上的投影向量为23a，则a b=（）A.12B.32C.24.为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为32.25g/m ，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为32.21g/m ，第n 次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量n r 满足函数模型()()0.25*0103,n tn r r r r t n +=+-⋅∈∈R N ，其中0r 为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，1r 为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n 为改良工艺的次数.假设废水中含有的污染物数量不超过30.25g/m 时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（）（参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈）A.14次B.15次C.16次D.17次5.将函数()sin 13f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象上的点横坐标变为原来的12（纵坐标变）得到数()g x 的图象，若存在()0,θπ∈，使得()()2g x g x θ+-=对任意x R ∈恒成立，则θ=（）A.6πB.3π C.23π D.56π6.如图，湖面上有4个小岛A ，B ，C ，D ，现要建3座桥梁，将这4个小岛联通起来，则所有不同的建桥方案种数为（）A.6B.16C.18D.207.已知各项均为正整数的递增数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，2023n S =，当n 取大值时，n a 的值为（）A.10B.61C.64D.738.在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，1AB =，3AC =33PB =90ABP ∠=︒，点M 在该三棱锥的外接球O 的球面上运动，且满足60AMC ∠=︒，则三棱锥M APC -的体积最大值为（）A.322B.5216C.36D.534二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年江苏省南通市如皋中学、如东中学高考数学模拟试卷(5月份)(含答案解析)
2020年江苏省南通市如皋中学、如东中学高考数学模拟试卷（5月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合，集合，则______．2.已知i为虚数单位，若复数为纯虚数，则______．3.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______．4.运行如图所示的伪代码，则输出的I的值为______．5.劳动最光荣．某班在一次劳动教育实践活动中，准备从3名男生和2名女生中任选2名学生去擦教室玻璃，则恰好选中2名男生的概率为______．6.已知双曲线的两条渐近线与直线围成正三角形，则双曲线的离心率为______．7.若函数，则______．8.若函数满足，，且的最小值等于，则的值为______．9.在三棱柱中，点P是棱上一点，记三棱柱与四棱锥的体积分别为与，则______．10.已知等比数列的前n项和为，且，，则______．11.已知向量，，若，则最小值为______．12.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为，直线l：与圆C相交于A、B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为________．13.已知a，，e为自然对数的底数，若存在，使得函数在上存在零点，则a的取值范围为______．14.已知不等式对任意恒成立，则的最大值为______．二、解答题（本大题共10小题，共130.0分）15.如图，在中，a，b，c为A，B，C所对的边，于D，且．求证：；若，求tan C的值．16.如图，在正三棱柱中，，D，E，F分别为线段AC，，的中点．证明：平面ABC；证明：平面BDE．17.如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记，．当时，求点P距地面的高度PQ；试确定的值，使得取得最大值．18.平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且点在椭圆C上．椭圆C的左顶点为A．求椭圆C的方程；过椭圆的右焦点且斜率为的直线与椭圆交于P，Q两点，求三角形APQ的面积；过点A作直线l与椭圆C交于另一点B，若直线l交y轴于点C，且，求直线l 的斜率．19.已知函数．求函数的零点；设函数的图象与函数的图象交于，两点，求证：；若，且不等式对一切正实数x恒成立，求k的取值范围．20.已知数列的前n项和为，记．若是首项为a、公差为d的等差数列，其中a，d均为正数．当，，成等差数列时，求的值；求证：存在唯一的正整数n，使得．设数列是公比为的等比数列，若存在r，使得，求q的值．21.已知矩阵，若矩阵AB对应的变换把直线l：变为直线，求直线的方程．22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为，圆C的极坐标方程为过点M的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的直角坐标方程．23.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：的焦点为F ，点是抛物线C上一点，且．求p的值；若M，N为抛物线C上异于A的两点，且记点M，N到直线的距离分别为，，求的值．24.设且，集合2，3，，的所有3个元素的子集记为．当时，求集合中所有元素之和S；记为中最小元素与最大元素之和，求的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：解析：解：集合，集合，．故答案为：．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：解析：解：．因为z为纯虚数，所以，得．故答案为：．先将z化简成复数的代数形式，然后令实部为0，虚部有意义，解出方程即可．本题考查复数的代数运算和复数的概念，要注意复数问题分母实数化解题思路的应用．属于基础题．3.答案：解析：【分析】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先求出一组数据6，7，8，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：，该组数据的方差为：．故答案为：．4.答案：6解析：解：模拟程序的运行，可得，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，不满足条件，退出循环，输出I的值为6．故答案为：6．模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，I的值，当时，不满足条件跳出循环，输出I 的值为6．本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的S，I的值是解题的关键，属于基础题．5.答案：解析：解：某班在一次劳动教育实践活动中，准备从3名男生和2名女生中任选2名学生去擦教室玻璃，基本事件总数，恰好选中2名男生包含的基本事件个数，恰好选中2名男生的概率．故答案为：．称求出基本事件总数，恰好选中2名男生包含的基本事件个数，由此能求出恰好选中2名男生的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．求出双曲线的渐近线方程，利用两条渐近线与直线围成正三角形，求出渐近线的倾斜角，然后求解离心率即可．【解答】解：双曲线的两条渐近线与直线围成正三角形，所以双曲线的渐近线的倾斜角为和，所以，所以，所以，所以双曲线的离心率为：．故答案为：．7.答案：解析：解：根据题意，，则，又由，则；则有，故答案为：．根据题意，由对数的运算性质可得，结合函数的解析式可得，又由，由解析式求出的值，分析可得答案．本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．8.答案：1解析：解：由题意，根据正弦函数图象及题意，可设，，则此时的最小值等于，，，．可得．故答案为：1．本题先将三角函数进行恒等变换，然后根据正弦函数图象可得出、的大致取值情况，即可得到的值．本题主要考查三角函数进行恒等变换及正弦函数图象．本题属基础题．9.答案：解析：【分析】本题考查三棱柱和四棱锥的体积的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．设，的高为b，三棱柱的高为h，则，，由此能求出的值．【解答】解：在三棱柱中，点P是棱上一点，记三棱柱与四棱锥的体积分别为与，设，的高为b，三棱柱的高为h，则，，．故答案为：．10.答案：1解析：解：等比数列的前n项和为，且，，设等比数列的公比为q，显然，．，，即．又，由可得．再把代入可得，，故答案为：1．先判断，再利用条件求出首项和公比，从而得出结论．本题主要考查等比数列的定义、性质，属于基础题．11.答案：解析：解：向量，，当时，，所以，所以，当且仅当，即时等号成立；所以的最小值为．故答案为：．根据平面向量的共线定理得出a与b的关系式，再利用基本不等式求出的最小值．本题考查了平面向量的共线定理和基本不等式的应用问题，是基础题．12.答案：解析：【分析】本题考查直线与圆，圆与圆的位置关系，属于基础题．M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，只要求点M在弦的中点上满足，其它的点都满足，即圆心C到直线的距离，从而可得实数k的取值范围．【解答】解：以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，只要求点M在弦的中点上满足，其它的点都满足，即圆心C到直线的距离，所以，所以．故答案为：．13.答案：解析：【分析】本题考查了函数单调性的判断与函数零点的关系，函数极值的计算，属于中档题．令，分类讨论a的取值，求出在上的最值，令即可．【解答】解：令可得，令，，则在上有解，当时，为增函数，，又，在上无解，不符合题意；当时，，令可得，在上单调递减，在上单调递增，若，即，则在上单调递增，，，解得，舍去若，即，则在上单调递减，，，又，在上无解，不符合题意；若，即，则在上单调递减，在上单调递增，或，则或，解得；的最小值为，．令，则，在上单调递减，又．不等式．综上，．故答案为．14.答案：解析：解：令，，即，令，解得，，，取对称轴，则，解得，此时满足题意．故，且能取等号．故答案为：．令，利用系数比例关系令，可得，再验证当时满足题意，即可得出答案．本题考查不等式的恒成立问题，运用先证必要条件，再验证充分性成立的方法是解决本题的关键，属于中档题．15.答案：解：且，，，，在直角三角形ACD中，，在直角三角形BCD中，，则，即，则，即，则，，，则，，则．解析：根据条件先求出BD，AD的大小，结合两角和差的三角公式进行证明即可．求出tan A的值，结合两角和差的正切公式进行计算．本题主要考查三角函数的化简和证明，结合两角和差的三角公式进行转化求解是解决本题的关键．16.答案：证明：如图所示，取BC的中点G，连接AG，FG．又为的中点，．在正三棱柱中，，E为的中点，，四边形AEFG是平行四边形．．平面ABC，平面ABC，平面ABC．点D是正的AC边的中点，，由正三棱柱中，可得侧面平面ABC，侧面．E.，∽，．，．．平面BDE．解析：取BC的中点G，连接AG，FG，利用三角形的中位线定理即可得出利用三棱柱的性质可得，再利用平行四边形的判定和性质定理及线面平行的判定定理即可得出；利用面面垂直的性质即可得出侧面利用相似三角形的判定和性质即可得出，再利用线面垂直的性质定理即可证明．熟练掌握三角形的中位线定理、直三棱柱的性质可得、平行四边形的判定和性质定理、线面平行与垂直的判定定理、面面垂直的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键．17.答案：解：由题意得，从而当时，．即点P距地面的高度为75米．由题意得，，从而，．又，所以，．从而．令则，．由，得，解得．当时，，为增函数；当时，，为减函数．所以当时，有极大值，也是最大值．因为所以．从而当取得最大值时，取得最大值．即当时，取得最大值．解析：将所求的高度、已知的角与线段长度放在一个三角形中结合三角函数的定义求解即可；借助于角，把表示出来，然后利用导数研究该函数的最值．本题考查了与三角函数有关的最值问题，主要还是利用导数研究函数的单调性，进一步求其极值、最值．18.答案：解：由题意：，，得：，，所以椭圆C的标准方程为：；设直线PQ的方程设，，联立与椭圆的方程整理得：所以，，则，又点A到直线PQ的距离为，所以三角形APQ的面积为：．由题意知直线l的斜率存在，设为k，l过点，则l的方程为：，联立与椭圆的方程整理得，令，，由，即，将代入中，得，所以，，由得，解得，所以直线的斜率为．解析：由题意的离心率及过的点和a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；由得写出直线PQ的方程，联立椭圆得两根之和及两根之积，由弦长公式求出弦长即点到直线的距离，进而求出面积；设过A的直线与椭圆联立求出B的坐标，及C的坐标，由求出斜率．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难题．19.答案：解：令，所以，当时，，在上单调递增；当时，，在单调递减；所以，所以的零点为．由题意，，要证，即证，即证，令，则，由知，当且仅当时等号成立，所以，即，所以原不等式成立．不等式对一切正实数x恒成立，，设，，记，，当时，即时，恒成立，故单调递增．于是当时，，又，故，当时，，又，故，又当时，，因此，当时，，当，即时，设的两个不等实根分别为，，又，于是，故当时，，从而在单调递减；当时，，此时，于是，即舍去，综上，k的取值范围是．解析：令，根据导函数确定函数的单调区间，求出极小值，进而求解；转化思想，要证，即证，即证，构造函数进而求证；不等式对一切正实数x恒成立，，设，分类讨论进而求解．考查函数求导，根据导函数确定函数的单调性，零点；考查转化思想，构造函数求极值；考查分类讨论思想，函数的单调性，函数的求导；20.答案：解：，，成等差数列，，即，，，由，得，整理得，解得，由于且得，因此存在唯一的正整数n，使得．，，设，，，则，，，，，即，为单调递增，当时，，则，即，这与互相矛盾，时，即，若，则，即，这与互相矛盾，于是，，即，，解析：根据等差数列和等差数列的前n项和公式，以及等差数列的性质，即可求出，若，得到，解得即可，由已知条件可得，构造，，，利用定义证明其单调性，再分别赋值验证即可．此题主要考查等差的性质的应用，题目较为复杂，需要一步一步的分析求解，计算量要求较高，属于难题．21.答案：解：，分，在直线l上任取一点，经矩阵AB变换为点，则，，即分代入中得，直线的方程为分解析：先计算矩阵AB对应的变换，再求出在变换下点的坐标之间的对应关系，从而可求直线的方程．本题重点考查矩阵变换，考查矩阵变换的运用，解题的关键是求出矩阵AB对应的变换22.答案：解：点M的极坐标为，点M的直角坐标为，圆C的极坐标方程为，即，．将，，代入上式，可得圆C的直角坐标方程为，当直线l的斜率不存在时，直线l与圆C没有交点；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即．则圆心到直线l的距离为，直线l被圆C截得的弦长为，，即，解得或，直线l的方程为或．解析：由已知求出M的直角坐标，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程，再求出圆心到直线的距离，利用垂径定理列式求直线的斜率，则直线方程可求．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查极坐标方程化直角坐标方程，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．23.答案：解：因为点是抛物线C上一点，且，所以，所以，由得抛物线方程为．因为点是抛物线C上一点，所以．设直线AM方程为，，由消去x，得，即，所以．因为，所以代m，得，所以．解析：根据题意，由抛物线的定义可得，解可得p的值，将p的值代入抛物线方程即可得答案；由的结论，分析可得a的值，设直线AM方程为，，，联立直线与抛物线的方程，分析可得且，又由，计算即可得答案．本题考查直线与抛物线的位置关系，注意联立直线与抛物线的方程之后，根与系数的关系的应用．24.答案：因为含元素1的子集有个，同理含2，3，4的子集也各有个，于是所求元素之和为；集合2，3，，的所有3个元素的子集中：以1为最小元素的子集有个，以n为最大元素的子集有个；以2为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个；以为最小元素的子集有个，以3为最大元素的子集有个．，，，，，．．解析：直接利用组合数和子集的关系式的应用求出结果．直接利用组合数和子集的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：组合数的原应用，集合的子集的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．。
如皋一模数学试卷答案高三
一、选择题1. 答案：D解析：由题意知，a=3，b=5，所以c=√(a²+b²)=√(3²+5²)=√34。
2. 答案：B解析：设x=√2，则原式=2x²-4x+3=2(√2)²-4√2+3=4-4√2+3=7-4√2。
3. 答案：A解析：由题意知，x=2，y=3，所以原式=2x²-4xy+3y²=2×2²-4×2×3+3×3²=8-24+27=11。
4. 答案：C解析：由题意知，a+b=5，ab=6，所以(a+b)²=a²+2ab+b²=25，即a²+2ab+b²=25。
5. 答案：D解析：由题意知，a+b=5，ab=6，所以(a+b)²=a²+2ab+b²=25，即a²+2ab+b²=25。
二、填空题6. 答案：2解析：由题意知，x²+2x+1=0，所以(x+1)²=0，解得x=-1。
7. 答案：-2解析：由题意知，2x²-4x+2=0，所以x²-2x+1=0，即(x-1)²=0，解得x=1。
8. 答案：3解析：由题意知，a+b=5，ab=6，所以a²+2ab+b²=25，即a²+2×6+b²=25，解得a²+b²=13。
9. 答案：3解析：由题意知，a+b=5，ab=6，所以(a+b)²=a²+2ab+b²=25，即a²+2×6+b²=25，解得a²+b²=13。
10. 答案：2解析：由题意知，x²+4x+3=0，所以(x+1)(x+3)=0，解得x=-1或x=-3。
江苏省南通市如皋市高考数学模拟试卷(三)(5月份)
高考数学模拟试卷（5月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.集合A={1，2}，B={2，3}，则A∪B=______．2.若复数z=1+i（i为虚数单位），则=______．3.某批产品共100件，将它们随机编号为001，002，…，100，计划用系统抽样方法随机抽取20件产品进行检测，若抽取的第一个产品编号为003，则第三件产品的编号为______．4.已知双曲线过点P（2，3），且有一条渐近线方程为，则其标准方程为______．5.若α∈Z，条件p：α=1，条件q：函数在（0，+∞）上是单调递减函数，则条件p是条件q成立的______条件．6.口袋内有大小、形状完全相同的红球、白球各两个，现从中随机摸出两个球，则摸出的两球颜色恰好相同的概率为______．7.一个算法的伪代码如图所示，最后输出的值为______．8.若，则=______．9.已知边长为2的正方形纸片ABCD，现将其沿着对角线AC翻折，使得二面角B-AC-D的大小等于45°，则四面体ABCD的体积为______．10.过原点作函数f（x）=x3-2x2+2图象的切线，设切点为P（x0，y0），则=______．11.已知等差数列{a n}的公差d＞0，a2=-11，，则S15=______．12.如图所示，已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，半径为的圆O在三角形外与斜边BC相切，P为圆上任意一点，且满足，则x+y的最大值为______．13.已知函数，若函数g（x）=f（x）-kx有且只有三个零点，则实数k的取值范围为______．14.已知单位圆的一内接△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（B-A+C）+sin（A-B+C）+sin（A-C+B）=，则abc的值为______．二、解答题（本大题共10小题，共138.0分）15.已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=，平面PAD⊥平面ABCD．（1）若Q为AD的中点，证明：BQ⊥平面PAD；（2）若M为PA中点，平面BCM∩PD=N，证明：N为PD的中点．16.已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象的一部分如图所示，C（，0）是图象与x轴的交点，A，B分别是图象的最高点与最低点且AB=5．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数，x∈[0，]的最大值．17.为了纪念五四青年节，学校决定举办班级黑板报主题设计大赛，高三（1）班李明同学将班级长AB=4米、宽BC=2米的黑板做如图所示的区域划分：取AB中点F，连接CF，以AB为对称轴，过A、C两点作一抛物线弧，在抛物线弧上取一点P，作PE⊥AB垂足为E，作PG∥AB交CF于点G．在四边形PEFG内设计主题LOGO，其余区域用于文字排版．（1）设PE=x，求PG的长度f（x）；（2）求四边形PEFG面积的最大值．18.已知椭圆，直线l：与椭圆交于A，B两点，P为椭圆右顶点．（1）若k=1，求△PAB的面积；（2）设△PAB的外接圆与x轴另有一个交点Q（x0，0），求x0的取值范围．19.已知f（x）=e x ln x，．（1）求函数y=g（x）的极小值；（2）求函数y=f（x）的单调区间；（3）证明：f（x）+g（x）＞1．20.已知如下数阵：1，2，31，2，3，41，2，3，1，2，3，4，5……其排列规则为：第一行为1，2，3；第n（n≥2）行从左至右依次排列着第1行、第2行、……第n-1行的各项且保留它们间的原有顺序不变，最后一项为n+2．（1）设第n行的项数为a n，求a5；（2）设该数阵第n行所有项之和为S n，求S n；（3）设数阵的第i行、第j项为b i，j，求b i，2019．21.已知矩阵A=，且AX=，求X．22.在极坐标系中，已知曲线C1：与曲线C2：ρ=2cosθ相交于A，B两点，求OA•OB的值（O为极点）．23.已知抛物线y2=4x，过点P（1，2）作两直线l1，l2与抛物线另交于A，B两点，设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1k2=1．证明：直线AB过定点．24.n个同学A1，A2，…，A n在操场上围成一圈进行传球游戏，规则如下：从A1开始传球，每人只能将球随机传给自己左边或右边相邻的同学，球从一名同学传到另一名同学后记为一次传球，若第k（k≤n-1）次传球后球又回到A1，则游戏结束；否则第n次传球后，游戏也必须结束．（1）若n=3，求3次传球后，球恰好又回到A1的概率；（2）若n=7，记游戏结束时传球的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列与E（ξ）．答案和解析1.【答案】{1，2，3}【解析】解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}．故答案为：{1，2，3}由集合A与B，求出两集合的并集即可．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.【答案】【解析】解：∵z=1+i，∴=1+i+=1+i+==．故答案为：．把z=1+i代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】013【解析】解：某批产品共100件，将它们随机编号为001，002， (100)计划用系统抽样方法随机抽取20件产品进行检测，则抽样间隔为f==5，抽取的第一个产品编号为003，则第三件产品的编号为：003+005×2=013．故答案为：013．求出抽样间隔为f==5，由抽取的第一个产品编号为003，能求出第三件产品的编号．本题考查样本编号的求法，系统抽样的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．4.【答案】=1【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，属基础题．设出双曲线方程，利用双曲线经过的点，转化求解即可．【解答】解：双曲线一条渐近线方程为，设双曲线方程为：，又过点P（2，3），可得，所以λ=-2，所求双曲线方程为：=1．故答案为：=1．5.【答案】充要【解析】解：函数在（0，+∞）上是单调递减函数，则α2-2α＜0得0＜α＜2，∵α∈Z，∴α=1，即p是q的充要条件，故答案为：充要求出条件q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数单调性性质求出α的等价条件是解决本题的关键．6.【答案】【解析】解：记红球为a，b，白球为A，B，则从中随机摸出两个球，有ab，aA，aB，bA，bB，AB共6种情况，其中两球颜色恰好相同由ab，AB共2种情况，故摸出的两球颜色恰好相同的概率为=，故答案为：．记红球为a，b，白球为A，B，则从中随机摸出两个球，有ab，aA，aB，bA，bB，AB 共6种情况，其中两球颜色恰好相同由ab，AB共2种情况，根据概率公式计算即可．考查古典概型的概率计算，属于基础题．7.【答案】12【解析】解：模拟算法的运行过程，知该程序运行后计算并输出S=0+2+4+6=12．故答案为：12．模拟算法的运行过程，即可得出该程序运行后输出的S值．本题考查了程序语言的应用问题，是基础题．8.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由诱导公式，二倍角公式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵，∴=cos[-（2α+）]=cos（2α-）=cos2（α-）=1-2sin2（α-）=1-2×（）2=．故答案为．9.【答案】【解析】解：如图，连接AC，BD，设AC与BD相交于E，则BE⊥AC，DE⊥AC，∴∠BED为二面角B-AC-D的平面角，大小等于45°，且AC⊥平面BED，在平面BED中，过B作BO⊥平面ACD，则O在DE上，∵原正方形的边长为2，∴，BE=，则BO=1．∴四面体ABCD的体积为．故答案为：．由题意画出图形，找出二面角B-AC-D的平面角，再由已知求得三角形ACD的面积及B 到平面ACD的距离，代入棱锥体积公式求解．本题考查二面角的平面角及其求法，考查多面体体积的求法，是中档题．10.【答案】3【解析】解：函数f（x）=x3-2x2+2的导数为f′（x）=3x2-4x，切点为P（x0，y0），可得=3x02-4x0，而y0=x03-2x02+2，可得x03-x02=1，y0+x02=x03-x02+2=1+2=3．故答案为：3．求得f（x）的导数，可得切线的斜率，结合两点的斜率公式，可得x03-x02=1，整体代入技术可得所求值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两点的斜率公式和化简变形能力，属于基础题．11.【答案】15【解析】解：等差数列{a n}的公差d＞0，a2=-11，，∴a5=-a10＜0．∴a1+d=-11，a1+4d=-（a1+9d），解得：a1=-13，d=2．则S15=-13×15+=15．故答案为：15．等差数列{a n}的公差d＞0，a2=-11，，可得a5=-a10＜0．利用通项公式可得：a1+d=-11，a1+4d=-（a1+9d），解得：a1，d．利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】2【解析】解：如图以A点为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系，则A（0，0），B（0，2），C（2，0），斜边BC所在直线的方程为x+y=2，设P（m，n），则=（m，n），=（0，2），=（2，0），∵，∴（m，n）=x（2，0）+y（0，2）=（2x，2y），∴，∴，∴x+y=，∵P为半径为的圆O在三角形外与斜边BC相切上的任意一点，∴与圆O相切且与直线BC平行的直线L的方程为：x+y=4，∴根据上图可知，m+n∈[2，4]，∴x+y=∈[1，2]，∴x+y的最大值为：2．建立直角坐标系，找出点P的横纵坐标与x+y的关系，然后结合图象可得x+y的最大值．本题考查了平面向量基本定理的应用，关键是利用坐标运算的应用，属中档题．13.【答案】（]【解析】【分析】本题考查了方程的解的个数与函数图象交点个数的关系，属较难题．由方程的解的个数与函数图象交点个数的关系，先作出函数y=f（x）的图象，再观察当y=f（x）的图象与直线y=kx有3个交点时实数k的取值范围即可得解．【解答】解：由函数，则函数g（x）=f（x）-kx有且只有三个零点等价于y=f（x）的图象与直线y=kx有3个交点，y=f（x）的图象与直线y=kx的位置关系如图所示：当直线y=kx与f（x）=1-相切时，设切点,则易得k=，此时作为临界点，有四个零点，当y=kx于f(x)=左上方相交的临界点,此时k=1,由图可知，当y=f（x）的图象与直线y=kx有3个交点时，实数k的取值范围为（，1]，故答案为：（，1]．14.【答案】【解析】解：∵sin（B-A+C）+sin（A-B+C）+sin（A-C+B）=，即sin（π-2A）+sin（π-2B）+sin（π-2C）=，即sin2A+sin2B+sin2C=，∵sin2B+sin2C=sin[（B+C）+（B-C）]+sin[（B+C）-（B-C）]=2sin（B+C）cos（B-C）∴sin2A+sin2B+sin2C=2sin A cosA+2sin（B+C）cos（B-C）=2sin A cosA+2sin A cos（B-C）=2sin A[cos A+cos（B-C）]=2sin A[-cos（B+C）+cos（B-C）]=2sin A（2sin B sin C）=4sin A sin B sin C=，∴sin A sin B sin C=∵r=2，∴abc=8sin A sin B sin C=故答案为：由已知结合诱导公式化简可得sin2A+sin2B+sin2C=，结合拆角技巧2B=B+C）+（B-C），2C=sin[（B+C）-（B-C），结合和差角公式进行化简可求4sin A sin B sin C，然后结合正弦定理即可求解本题主要考查了和角公式，拆角技巧及正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档试题15.【答案】证明：（1）连接BD．因为底面ABCD是菱形，∠BAD=，所以△ABD是等边三角形．因为Q为AD的中点，∴BQ⊥AD．因为面PAD⊥面ABCD，面ABCD∩面PAD=AD，BQ⊂面ABCD，所以BQ⊥平面PAD；（2）因为底面ABCD是菱形，所以BC∥AD．因为AD⊄面BCM，BC⊂面BCM，所以AD∥面BCM．因为AD⊂面PAD，面BCM∩面PAD=MN，所以MN∥AD．因为点M是PA的中点，所以N是PD的中点．【解析】（1）根据BQ⊥AD证得结论；（2）由已知条件推知MN∥AD即可证得结论．考查了直线与平面垂直，掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平面与直线垂直的判定等知识点，属于中档题．16.【答案】（本题满分为14分）解：（1）由函数f（x）=2sin（ωx+φ）及A，B分别是图象的最高点与最低点，设A（x1，2），B（x2，-2），因为AB=5，所以（x1-x2）2+42=52，由此解得：|x1-x2|=3，所以函数y=f（x）的最小正周期为6，所以=，…3分因为C（，0）是图象与x轴的交点，所以sin（+φ）=0，因为：-＜φ＜，所以＜+φ＜，可得：+φ=π，解得：φ=，…6分所以函数解析式为：f（x）=2sin（x+）…7分（2）函数g（x）=f（x）+f（x+）=2sin（x+）+2sin（x++）=2sin（x+）+2cos（x+）=2sin（x+），…11分因为0＜x＜，所以：＜x+＜，所以x+=时，即x=时，函数y=g（x）取得最大值为2…14分【解析】（1）由题意设A（x1，2），B（x2，-2），由AB=5，解得：|x1-x2|=3，利用周期公式可求=，由sin（+φ）=0，结合范围-＜φ＜，可求φ的值，即可得解函数解析式．（2）由题意利用三角函数恒等变换的应用可求g（x）=2sin（x+），结合范围0＜x＜，可求＜x+＜，利用正弦函数的图象和性质可求最大值．本题主要考查了由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质以及三角函数恒等变换的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．17.【答案】解：以A为坐标原点，以AB，AD所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．所以A（0，0），C（4，2），B（4，0），F（2，0）．所以直线FC为x-y-2=0，因为抛物线是以AB为对称轴，设抛物线方程为y2=2px（p＞0），因为点C在抛物线上，所以p=，所以y2=x，因为PE=x，所以P（x2，x），G（x+2，x），所以f（x）=-x2+x+2，（0＜x＜），（2）因为PE⊥AB，PG∥AB，所以四辺形PEFG的面积S=（EF+PG）PE=（2-x2+x+2-x2）x=-x3+x2+2x，设g（x）=-x3+x2+2x，由g′（x）=-3x2+x+2=0，解得x=1，，∴即当x=1时，g（x）取得极大值同时也是最大值，最大值为g（1）=-1++2=，即当x=1m时，四边形PEFG面积取得最大值为m．【解析】（1）建立平面坐标系求出对应点的坐标，利用待定系数法求出抛物线方程，进行求解即可，（2）构造函数，求出函数的导数，利用函数最值极值和导数之间的关系求最值即可．本题主要考查函数的应用问题，利用待定系数法坐标法建立坐标系，结合导数与最值之间的关系是解决本题的关键．考查学生的运算能力．18.【答案】解：（1）因为k=1，所以直线l为y=x+，由，消y，得：5x2+4x-3=0，则x1+x2=-，x1x2=-．设A（x1，y1），B（x2，y2）所以|AB|===•=．点P到直线l的距离为d==，所以△PAB的面积为|AB|•d=．（2）设△PAB的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．令y=0，则x2+Dx+F=（x-2）（x-x0）．所以△PAB的外接圆的方程为x2+y2-（2+x0）x+Ey+2x0=0．由，消去y，得（1+k2）x2+（k+Ek-x0-2）x+2x0++=0．所以x2+x+=0 （*）由，消去y，得（1+4k2）x2+4kx-3=0所以x2+x-=0 （**）因为（*）与（**）的解都是A、B两点的横坐标，所以（*）与（**）是同一方程．所以，由第二个方程得：E=，将此方程代入第一个方程化简得-2x0==1+3．因为直线l过定点（0，）在椭圆的内部，所以直线l与椭圆一定相交，所以k的取值范围为k≠-，设n=k+1，n≠．所以=．①n=0时，=0，②n≠0且n≠-时，=，可设h（n）=，则h′（n）=4-．所以函数h（n）在（-∞，-）和（，+∞）为单调增函数：函数h（n）在（-，0）和（0，）为单调减函数，所以h（n）≤-4-8或h（n）≥4-8．所以≤≤且≠0．综上：的取值范围为[，]．所以x0的取值范围是[，]．【解析】本题第（1）题可根据题意联立直线l与椭圆的两个方程得出A，B两点的距离|AB|，然后根据点到直线距离公式得到点P到直线l的距离d，这样再用三角形面积公式即可求出△PAB的面积；第（2）题根据题意可设△PAB的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．再将Q点坐标代入，与直线l的方程联立，消去y，即可得到与A、B两点横坐标的一元二次方程，再与椭圆的方程联立，消去y，仍然得到与A、B两点横坐标的一元二次方程，由此可得两个方程为同一方程，于是得到系数相等的关系，从其中可得到x0与k的关系式，然后将x0看成k的函数式，从函数的值域去求x0的取值范围．本题第（1）题主要考查联立直线l与椭圆的两个方程得出A，B两点的距离|AB|，以及点到直线的距离，三角形面积的求法；第（2）题主要考查三角形的外接圆方程，用同一法去找到系数相同，然后将问题转化成函数，采用函数思想去解决问题，以及用导数的方法求出函数的值域问题，本题是一个综合性很强的问题．本题是一道很难的偏难题．19.【答案】解：（1）g（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）．g′（x）=，∴当x＜0或0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，∴当x=1时，g（x）取得极小值g（1）=2．（2）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=e x ln x+=e x（ln x+），令h（x）=ln x+，则h′（x）=-=，∴当0＜x＜1时，h′（x）＜0，当x＞1时，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=1＞0，∴f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．∴f（x）的增区间为（0，+∞），没有减区间．（3）证明：要证f（x）+g（x）＞1．即证e x ln x+＞1，只需证x lnx+＞，设h（x）=x lnx+，则h′（x）=ln x+1，故当0＜x＜时，h′（x）＜0，当x＞时，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（）=．设p（x）=（x＞0），则p′（x）=，∴当0＜x＜1时，p′（x）＞0，当x＞1时，p′（x）＜0，∴p（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴p（x）≤p（1）=．∴h（x）＞p（x）恒成立，∴x lnx+＞，即f（x）+g（x）＞1．【解析】（1）利用导数判断g（x）的单调性，再计算极值；（2）判断f′（x）的符号，得出f（x）的单调区间；（3）不等式等价于x lnx+＞，利用函数单调性分别计算左右两侧函数的极值即可得出结论．本题考查了导数与函数单调性的关系，考查函数极值的计算，考查函数单调性与不等式恒成立问题，属于中档题．20.【答案】解：（1）∵第n（n≥2）行从左至右依次排列着第1行、第2行、……第n-1行的各项且保留它们间的原有顺序不变，最后一项为n+2．∴a n=a1+a2+……+a n-1+1（n≥2）．a n-1=a1+a2+……+a n-2+1（n≥3）．相减可得：a n=2a n-1（n≥3）．∴数列{a n}从第二项起为等比数列，公比为2的等比数列．∴a5=a2•23=32．（2）依据排列规律可得：S n=S1+S2+……+S n-1+n+2，则S n-1=S1+S2+……+S n-2+n+1，（n≥3）．相减可得：S n=2S n-1+1，（n≥3）．∴S n+1=2（S n-1+1），∴数列{S n+1}从第二项起是等比数列，以11为首项，2为公比的等比数列．∴S n+1=11×2n-2，∴S n=11×2n-2-1，∴S n=．（3）由（1）可得：a n=2n（n≥2）．由2n≥2019，解得n≥11．依据排列规律可得：第5行为：1，2，3；1，2，3，4；1，2，3，1，2，3，4，5；1，2，3；1，2，3，4；1，2，3，1，2，3，4，5，6；1，2，3；1，2，3，4；1，2，3，1，2，3，4，5；1，2，3；1，2，3，4；1，2，3，1，2，3，4，5，6，7．第11行的最后31项为：1，2，3；1，2，3，4，5；1，2，3；1，2，3，4；1，2，3，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13．∴第11行，第2048项为13，则b11，2019=2．∴b i，2019=2．（i≥11）【解析】（1）第n（n≥2）行从左至右依次排列着第1行、第2行、……第n-1行的各项且保留它们间的原有顺序不变，最后一项为n+2．可得a n=a1+a2+……+a n-1+1（n≥2）．a n-1=a1+a2+……+a n-2+1（n≥3）．相减可得：a n=2a n-1（n≥3）．利用等比数列的通项公式即可得出．（2）依据排列规律可得：S n=S1+S2+……+S n-1+n+2，则S n-1=S1+S2+……+S n-2+n+1，（n≥3）．相减可得：S n=2S n-1+1，（n≥3）．变形为S n+1=2（S n-1+1），利用等比数列的通项公式可得S n．（3）由（1）可得：a n=2n（n≥2）．由2n≥2019，解得n≥11．依据排列规律可得：第5行为：1，2，3；1，2，3，4；1，2，3，1，2，3，4，5；1，2，3；1，2，3，4；1，2，3，1，2，3，4，5，6，7．第11行的最后31项为：1，2，3；1，2，3，4，5；1，2，3；1，2，3，4；1，2，3，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13．可得第11行，第2048项为13，则b11，2019=2．即可得出b i，2019=2．（i≥11）本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、周期性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：由题意，可设矩阵X=．则有：AX=•==．∴，解得：．∴X=．【解析】本题根据题意可设矩阵X=，然后将X=代入AX=进行矩阵计算可得x、y的值，即可求得矩阵X．本题主要考查矩阵乘法运算以及矩阵相等的概念．本题属基础题．22.【答案】解：以原点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C1：ρsin（θ+）=，化成平面直角坐标为x+y-2=0，曲线C2：ρ=2cosθ化成平面直角坐标为：（x-1）2+y2=1，由解得或，所以OA•OB=2．【解析】化成直角坐标后联立解得交点的坐标，再用两点之间的距离公式可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】证明：设点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为：x=ky+m，由k1k2=1，得•=•=•=1，整理得y1y2+2（y1+y2）-12=0，由，消去x，整理得y2-4ky-4m=0，∴y1+y2=4k，y1y2=-4m；∴y1y2+2（y1+y2）-12=-4m+8k-12=0，化简得m-2k+3=0；所以直线AB的方程为：x=ky+2k-3，即k（y+2）-3-x=0，令，解得，所以直线AB过定点（-3，-2）．【解析】设出直线AB的方程，将其代入抛物线方程中，通过韦达定理和斜率公式求出对应直线方程，从而判断直线过定点．本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了直线斜率的计算问题和直线过定点的应用问题，是中档题．24.【答案】解：（1）球从一名同学传到另一同学的概率为，且同学之间传球相互独立．故3次传球后又回到A1的概率为=．（2）ξ的可能取值有2，4，6，7，则P（ξ=2）=2×（）2=，P（ξ=4）=2×（）4=，P（ξ=6）=4×（）6=，P（ξ=7）=1---=．E（ξ）=2×+4×+6×+7×=．【解析】本题考查了相互独立事件的概率计算，离散型随机变量的分布列，属于中档题．（1）根据相互独立事件的概率公式计算；（2）求出ξ的各种取值对应的概率得出分布列，再计算数学期望．。
如皋中学高三数学模拟试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √2B. 3/5C. 0.333...D. 2.252. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，那么f(2)的值为（）A. 1B. 3C. 4D. 53. 下列命题中，正确的是（）A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，则|a| > |b|C. 若a > b，则a - b > 0D. 若a > b，则ab > 04. 下列各式中，不是等差数列的是（）A. 1, 3, 5, 7, 9B. 2, 5, 8, 11, 14C. 1, 4, 9, 16, 25D. 3, 6, 9, 12, 155. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，那么第10项an的值为（）A. 29B. 31C. 33D. 356. 若函数f(x) = x^3 - 3x在区间[0, 2]上单调递增，则f(x)在区间[-1, 1]上的单调性是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 不确定7. 已知函数f(x) = |x - 1| + |x + 1|，那么f(x)的最小值为（）A. 0B. 1C. 2D. 38. 若向量a = (2, 3)，向量b = (1, 2)，则向量a和向量b的夹角余弦值为（）A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 3/29. 已知圆的方程为x^2 + y^2 = 25，那么该圆的半径为（）A. 5B. 10C. 15D. 2010. 已知等比数列{an}的首项为2，公比为3，那么第5项an的值为（）A. 54B. 48C. 42D. 3611. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z的实部是（）A. 0B. 1C. -1D. 212. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若a > 0，b = 0，c < 0，则函数f(x)的图像是（）A. 单调递增的抛物线B. 单调递减的抛物线C. 顶点在y轴上的抛物线D. 顶点在x轴上的抛物线二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）13. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an = _______。
江苏省南通市如皋中学2024-2025学年高三上学期期初测试数学试题(含解析)
江苏省如皋中学2024—2025学年度高三年级测试
数学试卷
，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（
C. 46
π
二、多选题:本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.
9. 已知曲线C ：，下列结论中正确的有（ ）A ．若，则C 是椭圆，其焦点在轴上B ．若，则C C ．若，则C 是双曲线，其渐近线方程为D ．若，，则C 是两条直线的轨迹长度为外接球的表面积为
221mx ny +=0m n >>x 0m n =>0mn <y =0m =0n >2π32π3
15. 已知函数．(1)求函数的极值；
(2)求函数在区间上的最小值．
()2e (1)x f x x =+()f x ()f x [,1](3)t t t +>-()g t
111
⎥⎦BDP
，
，对于D ，当为中点时，可得为等腰直角三角形，且平面平面
，
连接与交于点，可得，所以四棱锥外接球的球心即为与的交点，
M 1A D AMD V ABCD ⊥11ADD A AC BD O 2OM OA OB OC OD ====M ABCD -AC BD
（舍去）或，
．故答案为：相切，则实数a 的取值范围
443k =-422,0,33⎡
⎫⎛⎤--⋃⎪ ⎢⎥
⎣
⎭⎝⎦
，
，，240m -≠2254
-。
如皋高三数学一模试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若存在实数a，使得f(a) = 0，则a的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a > 1 或 a < -12. 下列命题中正确的是（）A. 若两个函数在某区间上单调递增，则它们的复合函数在该区间上单调递增B. 若两个函数在某区间上单调递减，则它们的复合函数在该区间上单调递减C. 若两个函数在某区间上单调递增，则它们的复合函数在该区间上单调递减D. 若两个函数在某区间上单调递减，则它们的复合函数在该区间上单调递增3. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1 + a3 + a5 = 0，则d的值为（）A. d = 0B. d = 1C. d = -1D. d = 24. 在直角坐标系中，点A(2,3)，点B在直线y=x+1上，且三角形ABO的面积为6，其中O为原点，则点B的坐标为（）A. (3,4)B. (4,5)C. (5,6)D. (6,7)5. 已知函数g(x) = |x - 2| + |x + 1|，则g(x)的最小值为（）B. 1C. 2D. 36. 在等比数列{an}中，若a1 + a2 + a3 = 6，a1 a2 a3 = 8，则该数列的公比q为（）A. 1B. 2C. 1/2D. 1/37. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z的取值范围为（）A. z = 0B. z = 1C. z = -1D. z ∈ R8. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 5，b = 7，c = 8，则角A的余弦值为（）A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/59. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 1，公差d = 2，则S10的值为（）A. 55B. 56D. 5810. 在直角坐标系中，点P在直线y = x上，若点P到原点O的距离为√2，则点P的坐标为（）A. (1,1)B. (2,2)C. (3,3)D. (4,4)二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(x)在x = 1处取得极小值，则a，b，c之间的关系是__________。
江苏省如皋中学高三数学模拟试题
江苏省如皋中学高三数学模拟试题 05。
04一、选择题：(每题5分，共60分)1．已知a 为不等于零的实数，那么集合{}R x x a x x M ∈=++-=,01)1(22的子集的个数为A ．1个B ．2个C ．4个D ．1个或2个或4个 2．函数x x y cot tan -=的最小正周期是A ．2πB ．πC ．2πD ．3π 3．已知关于x 的不等式b xax ≥+的解集是[-1，0）则a +b =A ．－2B ．－1C ．1D ．34．过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若AB =4，则满足条件的直线l 有A ．2条B ．3条C ．4条D ．无数条 5．若向量与则,)()(⋅⋅-⋅⋅=的夹角是A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°6．设a 、b 是两条异面直线，P 是a 、b 外的一点，则下列结论正确的是A ．过P 有一条直线和a 、b 都平行；B ．过P 有一条直线和a 、b 都相交；C ．过P 有一条直线和a 、b 都垂直；D ．过P 有一个平面和a 、b 都垂直。
7．互不相等的三个正数321,,x x x 成等比数列，且点P 1（，，)log ,(log )log ,log 22211y x P y x b a b a )log ,(log 333y x P b a 共线 )1,0,10(≠>≠>b b a a 且且则1y ，成32,y yA ．等差数列，但不等比数列；B ．等比数列而非等差数列C ．等比数列，也可能成等差数列D ．既不是等比数列，又不是等差数列 8．若从集合P 到集合Q={}c b a ,,所有的不同映射共有81个，则从集合Q 到集合P 可作的不同映射共有A ．32个B ．27个C ．81个D ．64个9．对于函数⎩⎨⎧<≥=时当时当x x xx x xx f cos sin cos cos sin sin )(给出下列四个命题：①该函数的值域为[-1，1] ②当且仅当;1,)(22该函数取得最大值时z k k x ∈+=ππ③该函数是以π为最小正周期的周期函数； ④当且仅当0)(,)(2322<∈+<<+x f z k k x k 时ππππ 上述命题中错误命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．410．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点，如果AB=AC=2，BC=23，则球心到平面ABC 的距离为A ．1B ．2C ．3D ．211．设x 、y 满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+01y x y y x 则y x z +=2的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．412．已知等差数列{}{}121211,,++==n n n n b a b a b a 且各项都是正数和等比数列，那么，一定有A ．1111.++++≥≤n n n n b a B b a C 、1111.++++>>n n n n b a D b a二、填空题：(每題4分，共16分)13．椭圆191622=+y x 中，以点M （一1，2）为中点的弦所在直线方程是___________。
2025届江苏省南通如皋市高三第二次模拟考试数学试卷含解析
2025届江苏省南通如皋市高三第二次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知3log a =ln3b =，0.992c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b c a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>2．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为(),f x π的图象向左平移6π个单位长度后关于y 轴对称，则()6f x π-的单调递增区间为( )A ．5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D ．,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦3．若x ，y 满足约束条件103020x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，则22x y +的最大值是（ ）A ．92B．2C ．13D4．若集合{}|sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．A B A ⋃=B ．R RC B C A ⊆C ．AB =∅D ．R R C A C B ⊆5．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则UM N =（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞7．从集合{}3,2,1,1,2,3,4---中随机选取一个数记为m ，从集合{}2,1,2,3,4--中随机选取一个数记为n ，则在方程221x y m n +=表示双曲线的条件下，方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线的概率为（ ） A ．917B ．817C ．1735D ．9358．下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ） A ．21y x =+B ．x x y e e -=-C ．lg y x =D ．2y x =9．已知函数()2sin()(0,0)3f x x A ωωπ=->>，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=，则ω的最小值为A ．16B ．23 C ．53D ．5610．如图，在四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，120ABC ∠=︒，90ACD ∠=︒，60CDA ∠=︒，则BD 的长度为（ ）A ．533B ．3C ．33D ．3311．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()21f x x =-+，求()2020f =（ ） A ．2B ．0C ．1-D ．112．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若201820202019S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 取最大值时n 的值为( ) A ．2020B ．20l9C ．2018D ．2017二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省如皋中学高三数学模拟测试试题 05。04
江苏省如皋中学高三数学模拟试题 05。
04————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：附件：下城区旅游质监网络分组名单第一组：15家组长单位：杭州金秋旅行社有限公司、杭州逍遥商务旅行社有限公司杭州泛美航空旅行社有限公司杭州天越旅行社有限公司杭州金达旅行社有限公司杭州逍遥商务旅行社有限公司杭州国都旅行社有限公司杭州畅途旅行社有限公司杭州自游天下旅行社有限公司杭州吴越假期旅行社有限公司杭州中兴旅行社有限公司杭州森特旅行社有限公司杭州望湖旅行社有限公司浙江新世界国际旅游有限公司浙江二轻旅行社有限公司杭州金秋旅行社有限公司杭州东方假日旅游有限公司第二组：15家组长单位：浙江红太阳旅行社有限公司、杭州休闲之都旅行社有限公司杭州缤纷假期旅行社有限公司杭州世纪金桥旅行社有限公司杭州锦绣天地旅行社有限公司杭州休闲之都旅行社有限公司杭州广成旅行社有限公司浙江红太阳旅行社有限公司杭州盖德商务旅行社有限公司杭州国大假日旅游有限公司杭州科技旅行社浙江新假日旅游有限公司浙江天堂国际旅行社有限公司杭州大酒店旅行社有限公司浙江钱塘江商务旅行社有限公司杭州西湖春天旅行社有限公司杭州天水旅行社有限公司第三组：16家组长单位：杭州鹰之旅旅行社有限公司、杭州名都旅行社有限公司杭州中铁商务旅行社有限公司杭州蓝桥商务旅行社有限公司杭州美丽华旅行社有限公司杭州友联旅行社有限公司杭州锦绣风采旅行社有限公司杭州联众假期旅行社有限公司杭州鹰之旅旅行社有限公司杭州新航商务旅行社有限公司杭州金宇旅行社有限公司杭州太平洋旅游有限公司杭州大厦旅行社杭州佳和旅游有限公司杭州华天旅游有限公司杭州名都旅行社有限公司杭州铭山旅行社有限公司浙江联合金桥商务旅行社有限公司第四组：16家组长单位：杭州西湖旅行社、浙江银星旅行社杭州捷旅旅行社有限公司杭州越海商务旅行社有限公司杭州百事盈旅行社有限公司杭州华航假期旅行社有限公司杭州名仕假日商务旅行社有限公司杭州向阳花旅行社有限公司杭州俊诚旅行社有限公司杭州东美航空旅行社有限公司杭州武林客运旅游有限公司杭州西湖旅行社杭州长运旅游有限公司杭州交通旅行社有限公司浙江银星旅行社杭州兴侨旅行社有限公司杭州金都商务旅游有限公司浙江海内外商务旅游有限公司第五组：13家组长单位：杭州龙行天下旅行社有限公司、杭州大众假日旅行社有限公司杭州大众假日旅行社有限公司杭州椰晖旅行社有限公司杭州耀江旅行社有限公司杭州纵横旅行社有限公司杭州畅翔旅行社有限公司杭州途易旅行社有限公司杭州和平旅行社有限公司杭州天丽旅游客运有限公司杭州环宇假日旅游有限公司杭州龙行天下旅行社有限公司杭州万嘉旅行社有限公司杭州金湖旅行社有限公司杭州笑歌旅行社有限公司第六组：16家组长单位：杭州市武术协会、杭州市中医院广兴堂国医馆、杭州都锦生实业有限公司杭州市中医院广兴堂国医馆杭州都锦生实业有限公司杭州日报报业集团杭州市武术协会中国杭州丝绸城管委会灯芯巷社区东新园社区新华实验幼儿园杭州安吉路实验学校杭州市人民政府幼儿园长庆派出所杭州老年大学杭州高级中学武林路时尚女装街杭州东园婴幼教育中心长庆潮鸣社区卫生服务中心第七组：21家组长单位：浙江大酒店、杭州宏都宾馆杭州雷迪森广场酒店浙江国际大酒店杭州望湖宾馆浙江大酒店杭州海华大酒店杭州大厦宾馆杭州五洋宾馆杭州大酒店杭州新金山大酒店杭州国际大厦酒店杭州宝善宾馆浙江潮王大酒店杭州凤起宾馆浙江文源宾馆杭州锦麟宾馆杭州和平饭店杭州宏都宾馆杭州莲花宾馆杭州喜得宝大酒店杭州宏大宾馆杭州豪盛大酒店。
江苏省南通市如皋中学2020届高三数学下学期5月检测试题含解析
某某省某某市如皋中学2020届高三数学下学期5月检测试题（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1.命题：“()0,x ∀∈+∞，210x x ++>”的否定是________. 【答案】()0,x ∃∈+∞，210x x ++≤ 【解析】 【分析】利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可．【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“()0,x ∀∈+∞，210x x ++>”的否定是“()0,x ∃∈+∞，210x x ++≤”. 故答案为：()0,x ∃∈+∞，210x x ++≤.【点睛】本题考查命题的否定的应用，全称命题与特称命题互为否定关系，考查基本知识的应用．2.已知复数1z 13i =+，2z 3i =+(i 为虚数单位)．在复平面内，12z z -对应的点在第______象限． 【答案】二 【解析】复数()()121213i,=3+i,13i 3i 22i z z z z =+∴-=+-+=-+，对应的点为()2,2-，∴在复平面内，12z z -对应的点在第二象限，故答案为二.3.在ABC ∆的边AB 上随机取一点P ,记CAP ∆和CBP ∆的面积分别为1S 和2S ，则122S S >的概率是．【答案】1 3【解析】试题分析：求几何概型概率问题，首先要明确测度是什么，本题是在边AB上随机取一点P，所以测度是长度，当122S S=时，2AM BM=,所以122S S>的概率为13BMAB=.考点：几何概型概率4.为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名高三男生的体重. 根据抽样测量后的男生体重（单位：kg）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是_____________.【答案】40【解析】试题分析：区间[56.5，64.5）的频率为20.03+0.052+0,07=0.4⨯⨯（），人数是0.4100=40.⨯考点：频率分布直方图5.设等差数列{}n a的前n项和为n S，若5353aa=，则53SS=．【答案】52【解析】试题分析：51131455323a a da da a d+=⇒=⇒=+，所以51315105332S a dS a d+==+考点：等差数列基本量6.已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，2()(R)f x x ax a =+∈，且(2)6f =，则(1)f =．【答案】4 【解析】 试题分析：(2)42(2)65f a f a -=-=-=-⇒=，所以(1)(1)[1][15]4f f a =--=--=--=考点：奇函数性质【方法点睛】（1）已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f （x ）±f （x ）＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程（组），进而得出参数的值；（2）已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于f （x ）的方程，从而可得f （x ）的值或解析式.7.设函数()()sin 0,0,,R 22f x A x A x ππωϕωϕ⎛⎫=+>>-<<∈⎪⎝⎭的部分图象如图所示．则A ωϕ++__________．【答案】36π+ 【解析】 【分析】由函数()f x 的图象求出A T 、即可求得ω值,23π⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入解析式即可求得ϕ,进而求得结果.【详解】由图可知52,21463T A T πππω==-⇒=⇒=,再根据2sin 12()2()33326f k k Z k k Z πππππϕϕπϕπ⎛⎫⎛⎫=⇒+=⇒+=+∈⇒=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又22ππϕ-<<,所以6π=ϕ,因此36A πωϕ++=+. 故答案为: 36π+. 【点睛】已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式.（1）min max m max in,22y y y y A B -+==; （2）由函数的周期T ,求2,T πωω=;（3）利用“五点法“中相对应的特殊点求ϕ.8.如图，在24⨯的方格纸中，若a 和b 是起点和终点均在格点的向量，则向量2a b +与a b -的夹角余弦值是 ．【答案】1010- 【解析】试题分析：(2,1),(3,2)a b =-=，所以2(7,0)a b +=，(1,3)a b -=--，因此向量2a b +与a b -1010710=-⨯ 考点：向量夹角【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法（1）求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.9.已知0αβπ<<<，且12cos cos ,sin sin 55αβαβ==，则()tan βα-的值为__________． 【答案】43【解析】 【分析】由已知可求出()cos βα-,再借助同角三角函数的关系,即可求出结果. 【详解】0αβπ<<<,且12cos cos ,sin sin 55αβαβ==,()3cos cos cos sin sin 5βααβαβ∴-=+=,且0βαπ<-<,()4sin 5βα∴-==,则()()()sin 4tan =cos 3βαβαβα--=-. 故答案为:43. 【点睛】本题考查两角差的余弦公式,考查同角三角函数的关系,属于基础题.10.已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 作x 轴的垂线与双曲线交于A ，B 两点，G 是1ABF 的重心，且10GA F B →→⋅=，则双曲线的离心率为__________．【解析】 分析】设12(,0),(,0)F c F c -，将x c =代入双曲线的方程，可得,A B 的坐标，再由三角形的重心坐标公式，求得G 的坐标，得到1GA F B →→，的坐标,运用向量数量积的坐标表示,可得,,a b c 的方程,由离心率公式,解方程可得.【详解】解：设12(,0),(,0)F c F c -,将x c =代入双曲线的方程，可得2422221c b y b a a⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭,解得:2b y a =±.可设22,,,b b Ac B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由重心坐标公式可得G c c c 1x c 33-++==, 0G y =即22112,0,,,2,33b b G c GA c F B c a a →→⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由1222b b 2c 03a a GA F B c →→⎛⎫⎛⎫=⋅+-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,即22443a c b =.即为)2222ac c a ==-. 由ce a=,220e -=解得e =故答案为【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用重心坐标公式和向量的数量积的坐标表示,考查化简整理的运算能力,属于中档题.11.已知直线:1l x y -=与圆22:2210M x y x y +-+-=相交于,A C 两点，点,B D 分别在圆M 上运动，且位于直线AC 两侧，则四边形ABCD 面积的最大值为_______________.【解析】 【分析】 先由圆的方程得到圆心坐标与半径，再由点到直线距离公式求出圆心(1,1)M -到直线:1l x y -=的距离，结合圆的性质，即可求出结果.【详解】因为222210x y x y +-+-=可变形为22(1)(1)3x y -++=， 所以其圆心为(1,1)M -，半径为r =所以圆心(1,1)M -到直线:1l x y -==由题知，当BD 为过圆心M 且垂直于AC 的直径时，四边形ABCD 的面积取最大值， 为11||||22AC BD ⨯⨯=⨯=【点睛】本题主要考查直线与圆的应用，熟记点到直线距离公式，以及圆的性质即可，属于常考题型.12.如图，已知AC 是圆的直径，B ，D 在圆上且3AB =，5AD =，则AC BD ⋅=__________．【答案】2 【解析】 【分析】如图,连接,CD CB ,可知,CD AD BC AB ⊥⊥.AC BD AC AD AC AB →→→→→→⋅=⋅-⋅,由数量积的定义及向量投影可知||cos =||||cos =||AC CAD AD AC CAB AB →→→→⋅∠∠，,计算即可得出结果. 【详解】解:如图,连接,CD CB ,AC 为直径,,CD AD BC AB ∴⊥⊥.22||||cos ||||3s 52co AC BD AC AD AC AB AC AD CAD AC AB CAB AD AB →→→→→→→→→→∴⋅=⋅-⋅=⋅∠-=--∠==故答案为:2.【点睛】本题考查向量的减法运算,考查数量积的定义和向量投影的定义,属于基础题. 13.若()1ln ,(),0xexf x x a xg x a e =--=<，且对任意[]()1212,3,4,x x x x ∈≠121211()()()()f x f xg x g x -<-的恒成立，则实数a 的取值X 围为． 【答案】22[3,0)3e - 【解析】试题分析：易知1(),()f xg x 在[]3,4x ∈上均为增函数，不妨设12x x <，则 121211()()()()f x f xg x g x -<-等价于212111()()()()f x f x g x g x -<- 即212111()()()()f x f xg x g x -<- 令1()()1ln ()xe h xf x x a xg x ex=-=---，则()h x 在[]3,4x ∈为减函数， 则()'21()10xe x a h x x ex-=--≤在(3,4)x ∈上恒成立，[]11,3,4x x e a x e x x --∴≥-+∈恒成立 令[]11(),3,4x x e u x x ex x--=-+∈，[]21112(1)113'()11,3,424x x x e x u x ee x x x ---⎡⎤-⎛⎫∴=-+=--+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦21211331,'()0244x ee u x x -⎡⎤⎛⎫-+>>∴<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()u x ∴为减函数，()u x ∴在[]3,4x ∈的最大值为22(3)33u e =-综上，实数a 的取值X 围为22[3,0)3e -. 考点：利用导数求参数取值X 围【思路点睛】对于求不等式成立时的参数X 围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.14.在三角形ABC 中，D 为BC 边上一点，且2BD CD =，AD BD =，则2tan cos BAC B ∠⋅的最大值为__________． 【答案】32【解析】 【分析】设,BD x =则,2xAD x CD ==,在△ABD 和△ACD 中,由正弦定理化简可得3sin 2sin cos 22sin sin()x x B B B BAC BAC B ⋅⋅=∠∠-,由两角差的正弦公式,化简可得23tan cos sin 22BAC B B ∠⋅=,根据正弦函数的值域即可求解2tan cos BAC B ∠⋅的最大值. 【详解】如图,由已知,设,BD x =则,2xAD x CD ==, 在△ABC 中,由正弦定理可得:32sin sin xb BAC B=∠, 在△ACD 中,由正弦定理可得:2sin()sin 2xb BAC B B=∠-.所以3sin2sin cos2sin cos222=sin sin()sin cos cos sinx x xB B B B BBAC BAC B BAC B BAC B⋅⋅⋅=∠∠-∠-∠化简可得:tan cos3sinBAC B B∠⋅=,可得: 233tan cos sin222BAC B B∠⋅=≤.可得2tan cosBAC B∠⋅的最大值为32.【点睛】本题考查正弦定理在解三角形和化简中的应用,能借助公共边把两个三角形联系起来是解答本题的关键,属于中档题.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平面向量()sin,cos2aαα=，3cos,b tα⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，Rt∈．（1）若a b=，求t的值;（2）若3t=a b⊥，求tan24πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值．【答案】（1）17（2）35【解析】【分析】(1)向量相等只要对应的坐标相等即可求得3tan2α=,22cos2cos sintααα==-222222cos sin1tancos sin1tanαααααα--==++,即可得出结果.(2) t =a b ⊥,即=0a b ⋅,化简可得tan 24α=-,由于tan 2tan4tan 241tan 2tan 4παπαπα+⎛⎫+=⎪⎝⎭-,代入即可得出结果.【详解】解：（1）∵a b =，∴()()sin 12cos 22t ααα⎧=⎪⎨⎪=⎩， 由(1)得tan α=， 由(2)得22cos 2cos sin t ααα==-222222cos sin 1tan 1cos sin 1tan 7αααααα--===++．（2）当t =3sin cos 22a b ααα⋅=+ 224αα=， 由ab ⊥，得0ab ⋅=， 即sin 2204αα=，求得tan 24α=-， ∴()tan 2tan4134tan 241451tan 2tan 4παπαπα+-+⎛⎫+===- ⎪--⎝⎭-． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积的坐标表示公式,考查同角三角函数关系的应用,考查两角和的正切公式,考查了数学运算能力,属于基础题.16.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB =，AB BC ⊥，且N 是1A B 的中点．（1）求证：直线AN ⊥平面1A BC ；（2）若M 在线段1BC 上，且//MN 平面111A B C ，求证：M 是1BC 的中点． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】(1)证明1,AN BC AN A B ⊥⊥,即可证明直线AN ⊥平面1A BC ; (2)证明11//MN AC ,利用N 是1A B 的中点,可得结论. 【详解】证明：（1）∵直三棱柱111ABC A B C -， ∴1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴1AA BC ⊥， ∵AB BC ⊥，1AA AB A =，1AA ⊂平面1A AB ，∴BC ⊥平面1A AB ．∵AN ⊂平面1A AB ，∴AN BC ⊥，∵1AA AB =，且N 是1A B 的中点，∴1AN A B ⊥， ∵1A BBC B =，1A B ，BC ⊂平面1A BC ，∴直线AN ⊥平面1A BC ．证明：（2）∵//MN 平面111A B C ，平面111A B C 平面1111=BAC AC ，MN ⊂平面11BA C ，∴11//MN AC ，∵N 是1AB 的中点，∴M 是1BC 的中点． 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和性质定理,考查线面平行的性质定理,属于基础题. 17.在国家批复成立江北新区后，某某市政府规划在新区内的一条形地块上新建一个全民健身中心，规划区域为四边形ABCD ，如图//OP AQ ，OA AQ ⊥，点B 在线段OA 上，点C 、D 分别在射线OP 与AQ 上，且A 和C 关于BD 对称．已知2OA =．（1）若1OC =，求BD 的长；（2）问点C 在何处时，规划区域的面积最小?最小值是多少？ 【答案】(1) 554BD = (2) 当33OC =时,规划区域面积最小,最小面积为39.【解析】 【分析】(1) 利用Rt OAC △Rt ADB ∽.列出比例式即可得出BD ;(2) 设,OC a OB b ==,根据AB BC =得出,a b 的关系,求出a 的X 围,利用(1)中的比例式求出BD ,得出规划区域的面积S 关于a 的解析式,利用导数判断函数的单调性,得出面积的最小值.【详解】(1)1,2,5OC OA AC ==∴=设OB x =,则22,1AB x BC x =-=+BD 是AC 的中垂线,BC AB ∴=,即221x x -+解得34x =. 54AB ∴=,,AC BD OC OA OA AD ⊥⊥⊥∴Rt OAC △Rt ADB ∽..AC OC BD AB ∴=.154=,解得:BD =. (2) 设,OC a OB b ==则2,AB b BC AC =-==由AB BC =得2221144a ab b AB -=∴=-∴=+，,由0b ≥得: 02a <≤.由(1)得: AC OC BD AB ∴=,即224,414a a BD a BD a +=∴=+()2234112288ABCD a S AC BD a a aa+∴=⋅==++. 令312()8f a a a a =++,则42222323816()188a a f a a a a+-'=+-=, 令()0f a '=,得243a =,即3a =∴当0a <<, ()0f a '<,2a <≤时, ()0f a '>. ()f a ∴在0,3⎛ ⎝⎭单调递减,在23⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭单调递增. ∴当3a =, ()f a取得最小值39f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. ∴当3OC =时,规划区域面积最小,最小面积为9.【点睛】本题考查利用三角形相似,对应边成比例,求解边长,考查利用导数解决实际问题中的最值问题,属于中档题.18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(c,0)F ，O为坐标原点，若椭圆上存在一点A ，使OA AF ⊥，延长AO ，AF 分別交椭圆于B ，C ．（1）求椭圆C 离心率的最小值；（2）当椭圆C 的离心率取最小值时，求直线BC 的斜率． 【答案】（1）312e ≤<；（2）28±【解析】 【分析】（1）设(),A x y ，则22221x y a b +=，因为OA AF ⊥，所以22224c c x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，得22220c x cx b a-+=在()0,c 上有解，得离心率取值X 围； （2）方程变为2231043x cx c -+=，即23c x =，23A y c =±，2AF k c =.由点差法得2BC k =. 【详解】（1）设(),A x y ，则22221x y a b+=，因为OA AF ⊥，所以A 在以OF 为直径的圆上，所以22224c c x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，得22220c x cx b a -+=在()0,c 上有解.()()2020010a c c f f ∆≥⎧⎪⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，312e ≤<.（2）方程变为2231043x cx c -+=，即23c x =，23A y c =±，2AF k =±.222222221{1C C B B x y a bx y a b +=+=，因为A B x x =-，A B y y =-，所以两式相减得：14AF BCk k ⋅=-，BC k =. 【点睛】求解离心率问题关键是建立关于a ，b ，c 的关系式（等式或不等式），并且最后要把b 用a ， c 表示，转化为关于离心率e 的关系式 19.已知函数()()21,R 2xf x ae x b a b =--∈． （1）若函数()f x 在0x =处的切线方程1y x =-，某某数a ，b 的值； （2）若函数()f x 在1x x =和2x x =两处得极值，某某数a 的取值X 围；（3）在（2）的条件下，若212x x ≥．某某数a 的取值X 围． 【答案】（1）1a =，2b =．（2）10a e <<（3）ln 20,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ 【解析】 【分析】(1)对函数进行求导,将0x =代入,可以求得实数,a b 的值;(2)对函数的导数再进行求导,对a 进行分情况讨论,在不同情况下,函数()f x 都有两个极值，从而求出实数a 的取值X 围;(3) 由题意得:121200x x ae x ae x ⎧-=⎨-=⎩ ,即2121x x x ex -=，令212x t x =≥则12ln 1lnt 1t x t t x t ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩,令()ln 1t h t t =-,求导可得()h t 在[)2,+∞上单调递减,则()()2=ln 2h t h ≤,即(]10,ln 2x ∈． 由于11x x a e =,构造函数()x xx eϕ=,求导可知()x ϕ在(]0,ln 2上单调递减,计算即可得出结果. 【详解】解：（1）()xf x ae x '=-由题意得：()01f '=，即1a =，()01f =-，即2b =，所以1a =，2b =．（2）由题意知：()0xf x ae x '=-=有两个零点1x ，2x ，令()xg x ae x =-，而()1xg x ae '=-，①当0a ≤时，()0g x '<恒成立，所以()g x 单调递减，此时()g x 至多1个零点（舍）． ②当0a >时，令()0g x '<，解得：1,lnx a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭， ()g x 在1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()min 11ln1ln g x g a a⎛⎫==- ⎪⎝⎭． 因为()g x 有两个零点，所以11ln 0a-<， 解得：10a e<<． 因为()00g a =>，1ln0g a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，且1ln 0a>， 而()g x 在1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()g x 在10,lna ⎛⎫⎪⎝⎭上有1个零点． 又因为()()21xg x ae x ax x x ax =->-=-（易证2x e x >）， 则220g a a ⎛⎫>>⎪⎝⎭且1ln 0g a ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 而()g x 在1ln,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()g x 在11ln ,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上有1个零点，综上：10a e<<． （3）由题意得：121200x x ae x ae x ⎧-=⎨-=⎩，即()1211220x xae x x x ae x ⎧=<<⎨=⎩， 所以2121x x x ex -=，令212x t x =≥， 即12ln 1lnt 1t x t t x t ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，令()ln 1th t t =-，()()211ln 1t t t t h ---'=，令()11ln u t t t =--．而()210tu t t-'=<， 所以()u t [)2,+∞上单调递减，即()()12ln 202u t u ≤=-<，所以()h t 在[)2,+∞上单调递减，即(]10,ln 2x ∈． 因为11x x a e=，(]10,ln 2x ∈， 令()x x x e ϕ=，而()10xxe x e ϕ-'=<恒成立，所以()x ϕ在(]0,ln 2上单调递减，又0a >， 所以ln 20,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 【点睛】本题考查了利用导数求函数的切线方程、函数的单调性、函数的极值问题，导数的应用,渗透了分类讨论思想属于难题.20.设无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，2121233n n S a n n n +=---． （1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在数列的一个无穷子数列{}k c ，使2122k k k cc c ++>对一切*k N ∈均成立?若存在，请写出数列{}k c 的所有通项公式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）24；（2）2n a n =；（3）不存在数列的一个无穷子数列{}kc ，使2122k k k c c c ++>，对一切*k N ∈均成立..【解析】 【分析】（1）令1n =，则2122133a =---，解得2a . （2）32112233n n S na n n n +=---，()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------，2n ≥，两式相减得111n n a a n n +-=+，又因为21121a a -=，故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的首项为1，公差为1的等差数列，所以na n n=，故2n a n =. （3）假设存在数列的一个无穷子数列{}kc ，使2122k k k cc c ++>对一切*k N ∈均成立，则21212111111...222k k k kk k k c c c c c c c c +++-<⋅<⋅<<⋅， 因为{}k c 为无穷子数列，则存在*k N ∈使得21212111111...1222k k k k k k k c c c c c c c c +++-<⋅<⋅<<⋅<. 所以211k k c c ++<整理得210k k c c ++-<，与{}k c 为递增数列矛盾，故假设不成立，即不存在数列的一个无穷子数列{}kc ，使2122k k k cc c ++>，对一切*k N ∈均成立.【详解】（1）令1n =，224a = （2）32112233n n S na n n n +=---，()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------，2n ≥，两式相减得()()111n n na n a n n +-+=+， 整理得111n n a a n n +-=+，又因为21121a a-=， 故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的首项为1，公差为1的等差数列， 所以na n n=，故2n a n =. （3）假设存在数列的一个无穷子数列{}kc ，使2122k k k cc c ++>对一切*k N ∈均成立，则21212111111...222k k k k k k k c c c cc c c c +++-<⋅<⋅<<⋅， 因{}k c 为无穷子数列，则存在*k N ∈使得21212111111...1222k k k k k k k c c c c c c c c +++-<⋅<⋅<<⋅<. 所以211k k c c ++<整理得210k k c c ++-<， 由（2n =，数列{}k c为数列的一个无穷子数列，则{}kc 为递增数列，这与210k c c +-<矛盾，故假设不成立，即不存在数列的一个无穷子数列{}kc ，使2122k k k cc c ++>，对一切*k N ∈均成立.【点睛】已知n S ，求n a 的步骤： 1.当2n ≥时，1n n n a S S -=- 2.当1n =时，11a S =3.对1n =时的情况进行检验，若适合2n ≥的通项公式则可以合并，若不适合则写成分段形式当存在性问题不好证明时可以使用反证法，假设问题的反面成立，利用题设条件和已有知识推出矛盾，假设不成立，则原命题得证2019─2020学年度第二学期数学检测试卷高三数学附加（选修4-2：矩阵与变换）21.已知矩阵302A a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，A 的逆矩阵11031A b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，求2A ． 【答案】29081A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】直接利用矩阵与其逆矩阵的关系列方程可得：1a =,23b =-.再利用矩阵运算法则即可求解. 【详解】因为1110301003220113AA a ab a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以1203a ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1a =，23b =-．所以，3021A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2303090212181A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．【点睛】本题主要考查了矩阵的运算法及矩阵与其逆矩阵之间的关系,考查计算能力,属于基础题.（选修4-4：坐标系与参数方程）22.已知点()1P αα-（其中[)0,2απ∈，点P 的轨迹记为曲线1C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点Q在曲线21:4C ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭上． （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）当0ρ≥，02θπ≤≤时，求曲线1C 与曲线2C 的公共点的极坐标【答案】(1) 22cos 10ρρθ+-=,10x y --= (2) 31,2π⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】(1)由点()1P αα-+（其中[)0,2απ∈,可知点P 的轨迹曲线1C 的参数方程为：1x y αα⎧=-+⎪⎨=⎪⎩ ,化为直角坐标方程,再利用互化公式即可化为极坐标方程, Q 的曲线方程为21:4C ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭,化简得(cos sin )12ρθρθ-=,利用互化公式即可得出结果.(2) 直线方程与圆的方程联立解得直角坐标再化为极坐标即可得出.【详解】（1）点()1P αα-（其中[)0,2απ∈,可知点P 的轨迹曲线1C 的参数方程为：1x y αα⎧=-⎪⎨=⎪⎩ ,化为直角坐标方程为:22(1)2x y ++=.展开为22210x y x ++-=,化为极坐标方程：22cos 10ρρθ+-=Q的曲线方程为21:4C ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭,cos sin )12ρθρθ-=,化为直角坐标方程: 10x y --=（2）联立2210210x y x y x --=⎧⎨++-=⎩化为0x =,解得01x y =⎧⎨=-⎩,可得交点(0,1)-,化为极坐标31,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查参数方程和直角坐标方程的互化,考查极坐标方程和直角坐标方程的互化,考查直线和圆的交点问题,属于中档题.【必做题】第22题、23题，每题10分，共计20分23.A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为23，服用B有效的概率为12．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．【答案】(1)设A i表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,B i表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,……2分依题意有: P(A1)=2××= , P(A2)=×= .P(B0)=×= , P(B1)=2××= , ……………………4分所求概率为: P=P(B0·A1)+P(B0·A2)+P(B1·A2)= ×+ ×+ ×= ………………………………6分(Ⅱ)ξ的可能值为0,1,2,3且ξ~B(3,) .P(ξ=0)=()3= , P(ξ=1)=C31××()2=,P(ξ=2)=C32×()2×= , P(ξ="3)=(" )3= …………………10分ξ的分布列为:数学期望: E ξ=3× = .………………………………………12分 【解析】试题分析：(1)设A i 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小鼠有i 只" , i=0,1,2, B i 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小鼠有i 只" , i="0,1,2," 依题意有: P(A 1)=2×13×23=49, P(A 2)=23×23=49. P(B 0)=12×12=14,P(B 1)=2×12×12=12, 所求概率为: P=P(B 0·A 1)+P(B 0·A 2)+P(B 1·A 2) =14×49+14×49+12×49=49(Ⅱ)ξ的可能值为0,1,2,3且ξ~B(3,49) . P(ξ="0)=("59)3=125729, P(ξ=1)=C 31×49×(59)2=100243, P(ξ=2)=C 32×(49)2×59=80243, P(ξ="3)=("49)3=64729ξ的分布列为:考点：本题主要考查离散性随机变量的分布列．点评：典型题，利用概率知识解决实际问题，在高考题中常常出现，这类题目解答的难点在于求随机变量的概率． 24.设()012,1,2,n a a a a i N i n *<<<∈=，以[],b c 表示正整数b ，c 的最小公倍数．求证：[][][]0112111111,,,2n n n a a a a a a -+++≤-．【答案】证明见解析 【解析】 【分析】利用数学归纳法及放缩法可知当1n =时，[]010011111,22n a a a a ⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭成立,假设n k =时命题成立,去推证当1n k =+时成立,由[][][][]011210111111111,,,,2k k k a a a a a a a a a -⎛⎫+++≤+- ⎪⎝⎭,只需证辅助命题[]101101111111,22kk a a a a +⎛⎫⎛⎫+-≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可, 设()01,a a d=，则0a xd=，()()1,,1,,1a yd x y N y x x y *=∈>≥=，利用放缩法证明[]1011011111110,22kk a a a a +⎛⎫⎛⎫+---≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可. 【详解】先用数学归纳法证明[][][]011210111111,,,2n n n a a a a a a a -⎛⎫+++≤- ⎪⎝⎭．当1n =时，[]010011111,22n a a a a ⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭成立．假设n k =时命题成立，则当1n k =+时[][][][]011210111111111,,,,2kk k a a a a a a a a a -⎛⎫+++≤+- ⎪⎝⎭， 因此，只需证辅助命题“[]101101111111,22kk a a a a +⎛⎫⎛⎫+-≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”． 设()01,a a d =，则0a xd =，()()1,,1,,1a yd x y N y x x y *=∈>≥=，所以[]101101111111,22kk a a a a +⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111111122k k xyd ydxd +⎛⎫⎛⎫=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111111122k k x y xyd +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()11111122k k x y x xyd ++⎡⎤⎛⎫=---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 11111111022k k xyd++⎡⎤⎛⎫≤-⋅--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 从而[]101101111111,22kk a a a a +⎛⎫⎛⎫+-≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即1n k =+时命题成立．由上可知，对一切n *∈N ，命题都成立． 而01111122n n a ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭， 故[][][]0112111111,,,2n n n a a a a a a -+++≤-．【点睛】本题考查数学归纳法和放缩法在证明不等式问题中的应用,难度较难.。
江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期期初模拟数学试题(2)
一、单选题二、多选题1. 若函数为奇函数，则（ ）A．B．C．D．2. 如图，在中，D 是BC 的中点，E 是AC 上的点，，，，，则（）A．B．C．D．3. 已知函数图象与函数图象相邻的三个交点依次为A ，B ，C ，且是锐角三角形，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．4. 在等比数列（）中，若，，则该数列的前10项和为（ ）A．B． C． D．5. 若，，则一定有（ ）A．B．C．D．6. 设O为坐标原点，点，动点在抛物线上，且位于第一象限，是线段的中点，则直线的斜率的范围为A．B．C．D．7. 某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图.则下列说法：①；②若抽取100人，则平均用时13.75小时；③若从每周使用时间在，，三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为3.其中正确的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③8.已知，若，则等于A ．-2B ．-1C ．0D ．19.已知点 为正方体的棱的中点，过的平面截正方体，，下列说法正确的是（ ）A ．若与地面所成角的正切值为，则截面为正六边形或正三角形江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期期初模拟数学试题(2)江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期期初模拟数学试题(2)三、填空题四、解答题B ．与地面所成角为则截面不可能为六边形C．若截面为正三角形 时，三棱锥的外接球的半径为D ．若截面为四边形，则截面与平面所成角的余弦值的最小值为10. 某保险公司为客户定制了A ，B ，C ，D ，E 共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：用该样本估计总体，以下四个说法正确的有（ ）A ．57周岁以上参保人数最少B ．18~30周岁人群参保总费用最少C ．C 险种更受参保人青睐D ．31周岁以上的人群约占参保人群80%11.已知函数的图象关于直线对称，则（ ）A．B ．函数的图象关于点对称C ．函数在区间上单调递增D ．函数在区间上的值域为12. 三支不同的曲线交抛物线于点，为抛物线的焦点，记的面积为，下列说法正确的是（ ）A．为定值B．C ．若，则D ．若，则13. 若的内角的对边分别为，，，点在边上，且的面积为，则______．14. 展开式的二项式系数和等于64，则展开式中的系数等于___________.15. 如图，一个酒杯盛水部分可以视为一个倒置的圆锥，若该酒杯的轴截面是一个正三角形，且该酒杯原盛有一定量的溶液，现将一颗铁球贴切放入酒杯中，溶液刚好没有溢出且刚好淹没这颗铁球（即液面与球相切），则铁球的体积与原溶液体积之比为__________．16. 如图，已知多面体中，为菱形，，平面，，，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.17. 常言说“病从口入”，其实手才是罪魁祸首，它担任了病菌与口之间的运输工具.洗手是预防传染病最简便有效的措施之一，保持手的清洁卫生可以有效降低感染新型冠状病毒的风险.正确的洗手应遵循“七步洗手法”，精简为一句话就是“内外夹弓大立腕”，每一个字代表一个步骤.某学校在开学复课前为了解学生对“七步洗手法”的掌握程度，随机抽取100名学生进行网上测试，满分10分，具体得分情况的频数分布表如下：得分45678910女生2914131154男生357111042(1)现以7分为界限，将学生对“七步洗手法”的掌握程度分为两类，得分低于7分的学生为“未能掌握”，得分不低于7分的学生为“基本掌握”.完成下面列联表，并判断可否认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关，且犯错误的概率不大于0.05？未能掌握基本掌握合计女生男生合计(2)从参与网上测试且得分不低于9分的学生中，按照性别以分层抽样的方法抽取10名同学，在10人中随机抽取3人，记抽到女生的人数为X，求X的分布列与期望.附：，.临界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82818. 已知数列的前n项和为，满足，n∈N*．(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列{b n}的前100项的和．19. 设抛物线方程为，其焦点为为直线与抛物线的一个交点，.（1）求抛物线的方程；（2）过焦点的直线与抛物线交于两点，试问在抛物线的准线上是否存在一点，使得为等边三角形，若存在求出点的坐标，若不存在请说明理由．20. 如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，，，为棱的中点.（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的正弦值.21. 如图所示，在三棱柱中，平面，.是棱的中点，为棱中点，是的延长线与的延长线的交点.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面夹角的余弦值.。
如皋高三数学模拟试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. y = √(x - 1)B. y = log2(x + 3)C. y = 1/xD. y = x^22. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(1)的值为（）A. -2B. -1C. 0D. 13. 若向量a = (2, 3)，向量b = (4, 6)，则向量a与向量b的数量积为（）A. 12B. 18C. 24D. 364. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，则第10项an的值为（）A. 29B. 30C. 31D. 325. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，则圆的半径为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 若不等式2x - 3 < 5x + 2，则x的取值范围为（）A. x > -1B. x < -1C. x ≥ -1D. x ≤ -17. 已知复数z = 1 + i，则|z|^2的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 88. 已知函数f(x) = (x - 1)/(x + 1)，则f(x)的值域为（）A. (-∞, -1) ∪ (1, +∞)B. (-∞, -1] ∪ [1, +∞)C. (-∞, -1) ∪ (-1, 1) ∪ (1, +∞)D. (-∞, -1) ∪ (1, +∞)9. 若三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且a^2 + b^2 = c^2，则三角形ABC为（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形10. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若f(-1) = 2，f(1) = 0，则f(0)的值为（）A. -2B. 0C. 2D. 不确定二、填空题（每题5分，共25分）11. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项an的值为______。
如皋一模高三数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知函数$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$，则$f(x)$的值域为（）A. $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$B. $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$C. $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty]$D. $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$2. 已知复数$z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$）满足$|z - 1| = |z + 1|$，则实数$a$和$b$的关系为（）A. $a = b$B. $a = -b$C. $a + b = 0$D. $a - b = 0$3. 函数$y = x^3 - 3x$的图象在区间$[-2, 2]$上的对称中心为（）A. $(0, 0)$B. $(1, 0)$C. $(-1, 0)$D. $(2, 0)$4. 若$\sin A + \sin B = 1$，$\cos A + \cos B = 0$，则$\sin A \cos B +\cos A \sin B$的值为（）A. $\frac{1}{2}$B. $-\frac{1}{2}$C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$D. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$5. 在平面直角坐标系中，点$A(1, 2)$关于直线$x + y = 3$的对称点为（）A. $(2, 1)$B. $(3, 0)$C. $(0, 3)$D. $(1, 3)$6. 若$\triangle ABC$的边长分别为$a, b, c$，且$a = b = c$，则$\triangle ABC$的面积为（）A. $\frac{\sqrt{3}}{4}$B. $\frac{1}{2}$C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$D. $\sqrt{2}$7. 已知数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 1$，$a_{n+1} = 2a_n + 1$，则$a_n$的通项公式为（）A. $a_n = 2^n - 1$B. $a_n = 2^n + 1$C. $a_n = 2^{n-1} - 1$D. $a_n = 2^{n-1} + 1$8. 已知函数$f(x) = \ln x + \sqrt{x - 1}$（$x > 1$），则$f(x)$的单调递增区间为（）A. $(1, +\infty)$B. $(0, +\infty)$C. $(1, 2)$D. $(2, +\infty)$9. 若平面直角坐标系中，直线$y = kx + b$与圆$x^2 + y^2 = 1$相切，则实数$k$和$b$的关系为（）A. $k^2 + b^2 = 1$B. $k^2 + b^2 = 2$C. $k^2 + b^2 = 3$D. $k^2 + b^2 = 4$10. 若函数$f(x) = \frac{ax + b}{x + c}$（$a, b, c \in \mathbb{R}$，且$a \neq 0$，$c \neq 0$）的图象与直线$y = x$和$y = -x$均有一个交点，则实数$a, b, c$的关系为（）A. $a = b = c$B. $a = b = -c$C. $a = -b = c$D. $a = -b = -c$11. 若数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 1$，$a_{n+1} = \frac{1}{a_n}$，则$\{a_n\}$的极限为（）A. $0$B. $1$C. $e$D. $\infty$12. 若函数$f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$的图象关于点$(2, 0)$对称，则实数$f(3)$的值为（）A. $-\frac{1}{2}$B. $\frac{1}{2}$C. $-\frac{1}{3}$D. $\frac{1}{3}$二、填空题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）13. 若复数$z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$）满足$|z - 1| = |z + 1|$，则实数$a$和$b$的关系式为__________。
如皋高考五模数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(x) + f(-x) = 2，则x的取值范围是（）A. x > 0B. x < 0C. x ≥ 0D. x ≤ 02. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^43. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a+b+c=10，a^2+b^2-c^2=20，则三角形ABC的面积S是（）A. 10B. 15C. 20D. 254. 下列复数中，是纯虚数的是（）A. 2 + 3iB. -2 + 3iC. 2 - 3iD. -2 - 3i5. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10 = 120，S20 = 240，则数列的公差d是（）A. 2B. 3C. 4D. 56. 下列不等式中，恒成立的是（）A. x^2 - 2x + 1 > 0B. x^2 + 2x + 1 > 0C. x^2 - 2x - 1 > 0D. x^2 + 2x - 1 > 07. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点为（）A. (3, 2)B. (2, 3)C. (1, 4)D. (4, 1)8. 已知函数y = x^2 - 4x + 4，若x的取值范围为[1, 3]，则函数的最小值是（）A. 1B. 2C. 3D. 49. 下列数列中，不是等比数列的是（）A. 1, 2, 4, 8, ...B. 1, 3, 9, 27, ...C. 1, 4, 16, 64, ...D. 1, 2, 4, 8, 16, ...10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f'(x) = 0，则x的值是（）A. -1B. 0C. 1D. 2二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 若a > b > 0，则a^2 + b^2 > 2ab的充分必要条件是________。
2020年江苏省南通市如皋中学、如东中学高考数学模拟试卷(5月份)(附答案详解) (1)
2020年江苏省南通市如皋中学、如东中学高考数学模拟试卷（5月份）一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={x|0<x<2}，集合B={x|x>1}，则A∪B=______．2.已知i为虚数单位，若复数z=a−i1+2i3(a∈R)为纯虚数，则a=______．3.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．4.运行如图所示的伪代码，则输出的I的值为______．5.劳动最光荣．某班在一次劳动教育实践活动中，准备从3名男生和2名女生中任选2名学生去擦教室玻璃，则恰好选中2名男生的概率为______．6.已知双曲线x23−y2b2=1的两条渐近线与直线x=√3围成正三角形，则双曲线的离心率为______．7.若函数f(x)={2x,x≤0f(x−2),x>0，则f(log23)=______．8.若函数f(x)=sinωx+√3cosωx(x∈R,ω>0)满足f(α)=0，f(β)=2，且|α−β|的最小值等于π2，则ω的值为______．9.在三棱柱ABC−A1B1C1中，点P是棱CC1上一点，记三棱柱ABC−A1B1C1与四棱锥P−ABB1A1的体积分别为V1与V2，则V2V1=______．10.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S4=2S3+1，2a4=2a3+3a2+2，则a1=______．11.已知向量m⃗⃗⃗ =(a,−1)，n⃗=(2b−2,3)(a>0,b>0)，若m⃗⃗⃗ //n⃗，则2a +1b+1最小值为______．12.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x−1)2+(y−1)2=9，直线l：y=kx+3与圆C相交于A、B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为________．13.已知a，b∈R，e为自然对数的底数，若存在b∈[−3e,−e2]，使得函数f(x)=e x−ax−b在[1,3]上存在零点，则a的取值范围为______．14.已知不等式a(4x+4−x)+2b(2x+2−x)≤3对任意x∈R恒成立，则a+b的最大值为______．二、解答题（本大题共10小题，共130.0分）15.如图，在△ABC中，a，b，c为A，B，C所对的边，CD⊥ABc．于D，且BD−AD=12(1)求证：sinC=2sin(A−B)；(2)若cosA=3，求tanC的值．516.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A=√2AC，D，E，F分别为线段AC，A1A，C1B的中点．(1)证明：EF//平面ABC；(2)证明：C1E⊥平面BDE．17.如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM=60m.点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记∠AOP=θ，θ∈(0,π)．(1)当θ=2π3时，求点P距地面的高度PQ；(2)试确定θ的值，使得∠MPN取得最大值．18.平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，且点(√3,12)在椭圆C上．椭圆C的左顶点为A．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆的右焦点且斜率为√22的直线与椭圆交于P，Q两点，求三角形APQ的面积；(3)过点A作直线l与椭圆C交于另一点B，若直线l交y轴于点C，且OC=BC，求直线l的斜率．19. 已知函数f(x)=lnx ．(1)求函数g(x)=f(x)−x +1的零点；(2)设函数f(x)的图象与函数y =x +ax −1的图象交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点，求证：a <x 1x 2−x 1；(3)若k >0，且不等式(x 2−1)f(x)≥k(x −1)2对一切正实数x 恒成立，求k 的取值范围．20. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，记b n =S n+1n ．(1)若{a n }是首项为a 、公差为d 的等差数列，其中a ，d 均为正数． ①当3b 1，2b 2，b 3成等差数列时，求ad 的值；②求证：存在唯一的正整数n ，使得a n+1≤b n <a n+2．(2)设数列{a n }是公比为q(q >2)的等比数列，若存在r ，t(r,t ∈N ∗,r <t)使得btb r=t+2r+2，求q 的值．21. 已知矩阵A =[0,21,0],B =[1,120,1]，若矩阵AB 对应的变换把直线l ：x +y −2=0变为直线l′，求直线l′的方程．22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为(√2,π4)，圆C的极坐标方程为ρ+2√2sin(θ+π4)=0.过点M的直线l被圆C截得的弦长为2√305，求直线l的直角坐标方程．23.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点A(1,a)(a>0)是抛物线C上一点，且AF=2．(1)求p的值；(2)若M，N为抛物线C上异于A的两点，且AM⊥AN.记点M，N到直线y=−2的距离分别为d1，d2，求d1d2的值．24. 设n ∈N ∗且n ≥4，集合M ={1,2,3,…,n}的所有3个元素的子集记为A 1,A 2,…,A C n 3．(1)当n =4时，求集合A 1,A 2,…,A C n3中所有元素之和S ； (2)记m i 为A i (i =1,2,…,C n 3)中最小元素与最大元素之和，求∑m i C 20183i=1C 20183的值．答案和解析1.【答案】{x|x>0}【解析】解：∵集合A={x|0<x<2}，集合B={x|x>1}，∴A∪B={x|x>0}．故答案为：{x|x>0}．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】−2【解析】解：z=a−i1−2i =(a−i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=(a+2)+(2a−1)i5．因为z为纯虚数，所以a+2=0，得a=−2．故答案为：−2．先将z化简成复数的代数形式，然后令实部为0，虚部有意义，解出方程即可．本题考查复数的代数运算和复数的概念，要注意复数问题分母实数化解题思路的应用．属于基础题．3.【答案】53【解析】【分析】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．先求出一组数据6，7，8，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：x−=16(6+7+8+8+9+10)=8，∴该组数据的方差为：s2=16[(6−8)2+(7−8)2+(8−8)2+(8−8)2+(9−8)2+(10−8)2]=53．故答案为：53．4.【答案】6【解析】解：模拟程序的运行，可得S=0，I=0满足条件S≤10，执行循环体，S=0，I=1满足条件S≤10，执行循环体，S=1，I=2满足条件S≤10，执行循环体，S=3，I=3满足条件S≤10，执行循环体，S=6，I=4满足条件S≤10，执行循环体，S=10，I=5满足条件S≤10，执行循环体，S=15，I=6不满足条件S≤10，退出循环，输出I的值为6．故答案为：6．模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，I的值，当S=15时，不满足条件跳出循环，输出I的值为6．本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的S，I的值是解题的关键，属于基础题．5.【答案】310【解析】解：某班在一次劳动教育实践活动中，准备从3名男生和2名女生中任选2名学生去擦教室玻璃，基本事件总数n=C52=10，恰好选中2名男生包含的基本事件个数m=C32=3，∴恰好选中2名男生的概率p=mn =310．故答案为：310．称求出基本事件总数n=C52=10，恰好选中2名男生包含的基本事件个数m=C32=3，由此能求出恰好选中2名男生的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】2√33【解析】 【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．求出双曲线的渐近线方程，利用两条渐近线与直线x =√3围成正三角形，求出渐近线的倾斜角，然后求解离心率即可． 【解答】 解：双曲线x 23−y 2b 2=1的两条渐近线与直线x =√3围成正三角形，所以双曲线的渐近线的倾斜角为30°和150°， 所以√3=√33，所以b =1，所以c =2，所以双曲线的离心率为：e =c a=√3=2√33． 故答案为：2√33． 7.【答案】34【解析】解：根据题意，1<log 23<2， 则f(log 23)=f(log 23−2)=f(log 234)， 又由log 234<0，则f(log 234)=2log 234=34；则有f(log 23)=34， 故答案为：34．根据题意，由对数的运算性质可得1<log 23<2，结合函数的解析式可得f(log 23)=f(log 23−2)=f(log 234)，又由log 234<0，由解析式求出f(log 234)的值，分析可得答案． 本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．8.【答案】1【解析】解：由题意，f(x)=sinωx +√3cosωx =2sin(ωx +π3).根据正弦函数图象及题意，可设ωα+π3=0，ωβ+π3=π2，则此时|α−β|的最小值等于π2，∴T4=π2，T =2π， ∴ω=2πT=1．可得ω=1． 故答案为：1．本题先将三角函数进行恒等变换，然后根据正弦函数图象可得出α、β的大致取值情况，即可得到ω的值．本题主要考查三角函数进行恒等变换及正弦函数图象．本题属基础题．9.【答案】23【解析】 【分析】本题考查三棱柱和四棱锥的体积的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．设AB =a ，△ABC 的高为b ，三棱柱ABC −A 1B 1C 1的高为ℎ，则V 1 =12abℎ，V 2=13×aℎ⋅b ，由此能求出V 2V 1的值．【解答】解：在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，点P 是棱CC 1上一点， 记三棱柱ABC −A 1B 1C 1与四棱锥P −ABB 1A 1的体积分别为V 1与V 2，设AB =a ，△ABC 的高为b ，三棱柱ABC −A 1B 1C 1的高为ℎ，则V 1 =12abℎ，V 2=13×aℎ⋅b ，∴V 2V 1=13abℎ12abℎ=23． 故答案为：23．10.【答案】1【解析】解：等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4=2S 3+1，2a 4=2a 3+3a 2+2， 设等比数列的公比为q ，显然，q ≠1．∵S 4−S 3=S 3+1，∴a 4=a 3+a 2+a 1+1，即2a 4=2a 3+2a 2+2a 1+2 ①． 又2a 4=2a 3+3a 2+2 ②，由①②可得a2a 1=q =2．再把q =2代入②可得，a 1=1， 故答案为：1．先判断q ≠1，再利用条件求出首项和公比，从而得出结论． 本题主要考查等比数列的定义、性质，属于基础题．11.【答案】2+√3【解析】解：向量m⃗⃗⃗ =(a,−1)，n ⃗ =(2b −2,3)， 当m⃗⃗⃗ //n ⃗ 时，3a +(2b −2)=0， 所以3a +2(b +1)=4，所以2a +1b+1=(2a +1b+1)[3a +2(b +1)]×14=[6+2+4(b +1)a +3a b +1]×14≥[8+2√4(b +1)a ⋅3a b +1]×14=2+√3， 当且仅当4(b+1)a =3a b+1，即b +1=√32a 时等号成立； 所以2a +1b+1的最小值为2+√3． 故答案为：2+√3．根据平面向量的共线定理得出a 与b 的关系式， 再利用基本不等式求出2a +1b+1的最小值．本题考查了平面向量的共线定理和基本不等式的应用问题，是基础题．,+∞)12.【答案】[−34【解析】【分析】本题考查直线与圆，圆与圆的位置关系，属于基础题．M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，只要求点M在弦的中点上满足，其它的点都满足，即圆心C到直线的距离d满足d+2≥3，从而可得实数k的取值范围．【解答】解：以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，只要求点M在弦的中点上满足，其它的点都满足，设圆心C到直线的距离为d，则d+2≥3，2≥3，所以√k2+1．所以k≥−34,+∞)．故答案为：[−3413.【答案】[e2,4e]【解析】【分析】本题考查了函数单调性的判断与函数零点的关系，函数极值的计算，属于中档题．令g(x)=e x−ax，分类讨论a的取值，求出g(x)在[1,3]上的最值，令g min(x)≤−e2即可．【解答】解：令f(x)=0可得b=e x−ax，令g(x)=e x−ax，x∈[1,3]，则b=g(x)在[1,3]上有解，(1)当a≤0时，g(x)为增函数，∴g(x)≥g(1)=e−a>0，又∵b∈[−3e,−e2]，∴b=g(x)在[1,3]上无解，不符合题意；(2)当a>0时，g′(x)=e x−a，令g′(x)=0可得x=lna，∴g(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，①若lna≤1，即0<a≤e，则g(x)在[1,3]上单调递增，∴e−a≤g(x)≤e3−3a，∴e−a≤−e2，解得a≥e2+e，舍去②若lna≥3，即a≥e3，则g(x)在[1,3]上单调递减，∴e3−3a≤g(x)≤e−a，∵e−a<−3e，又∵b∈[−3e,−e2]，∴b=g(x)在[1,3]上无解，不符合题意；③若1<lna<3，即e<a<e3，则g(x)在(1,lna)上单调递减，在(lna,3)上单调递增，f(1)=e−a−b≥0或f(3)=e3−3a−b≥0，则a≤e−b≤4e或a≤e3−b3≤e3+3e3，解得a≤4e；∴g(x)的最小值为g(lna)=a−alna，∴a−alna≤−e2．令ℎ(a)=a−alna(e<a<e3)，则ℎ′(a)=−lna<0，∴ℎ(a)在(e,e3)上单调递减，又ℎ(e2)=e2−2e2=−e2．∴不等式a−alna≤−e2⇔ℎ(a)≤ℎ(e2)⇔e2≤a≤4e．综上，e2≤a≤4e．故答案为[e2,4e]．14.【答案】3√3−34【解析】解：令t=2x+2−x∈[2,+∞)，∴at2+2bt−2a≤3，即a(t2−2)+2bt≤3，令t2−2=2t，解得t=√3+1，∴a(2+2√3)+(2+2√3)b≤3，∴a+b≤2+2√3=3√3−34，取对称轴t=−2b2a =√3+1，则ba=−√3−1，解得{a=√3−34b=√32，此时√3−34(t2−2)+√3t≤3满足题意．故a+b≤3√3−34，且能取等号．故答案为：3√3−34．令t=2x+2−x∈[2,+∞)，利用系数比例关系令t2−2=2t，可得a+b≤3√3−34，再验证当a+b=3√3−34时满足题意，即可得出答案．本题考查不等式的恒成立问题，运用先证必要条件，再验证充分性成立的方法是解决本题的关键，属于中档题．15.【答案】解：(1)∵BD−AD=12c.且BD+AD=c，∴BD=34c，AD=14c，∵，CD⊥AB∴在直角三角形ACD中，tanA=CDAD，在直角三角形BCD中，tanB=CDBD，则tanAtanB =BDAD=3，即tanA=3tanB，则sinAcosA =3sinBcosB，即sinAcosB=3cosAsinB，则sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB+sinAcosB−3cosAsinB=2sinAcosB−2cosAsinB=2sin(A−B)，(2)∵cosA=35，∴sinA=45，则tanA=43，tanB=49，则tanC=−tan(A+B)=−tanA+tanB1−tanAtanB =−43+491−43×49=−4811．【解析】(1)根据条件先求出BD，AD的大小，结合两角和差的三角公式进行证明即可．(2)求出tanA的值，结合两角和差的正切公式进行计算．本题主要考查三角函数的化简和证明，结合两角和差的三角公式进行转化求解是解决本题的关键．16.【答案】证明：(1)如图所示，取BC的中点G，连接AG，FG．又∵F为C1B的中点，∴FG//̲12C1C．在正三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A//̲C1C，E为A1A的中点，∴FG//̲EA，∴四边形AEFG是平行四边形．∴EF//AG．∵EF⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，∴EF//平面ABC．(2)∵点D是正△ABC的AC边的中点，∴BD⊥AC，由正三棱柱ABC−A1B1C1中，可得侧面ACC1A1⊥平面ABC，∴BD⊥侧面ACC1A1．∴BD⊥C1E.∵A1C1AE =A1EAD=√2，∴Rt△A1C1E∽Rt△AED，∴∠A1EC1=∠ADE．∴∠AED+∠A1EC1=90°，∴C1E⊥ED．∵ED∩DB=D．∴C1E⊥平面BDE．【解析】(1)取BC的中点G，连接AG，FG，利用三角形的中位线定理即可得出FG//̲12C1C.利用三棱柱的性质可得FG//̲EA，再利用平行四边形的判定和性质定理及线面平行的判定定理即可得出；(2)利用面面垂直的性质即可得出BD⊥侧面ACC1A1.利用相似三角形的判定和性质即可得出∠AED+∠A1EC1=90°，再利用线面垂直的性质定理即可证明．熟练掌握三角形的中位线定理、直三棱柱的性质可得FG//̲EA、平行四边形的判定和性质定理、线面平行与垂直的判定定理、面面垂直的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键．17.【答案】解：(1)由题意得PQ=50−50cosθ，从而当θ=23π时，PQ=50−50cos23π=75．即点P距地面的高度为75米．(2)由题意得，AQ=50sinθ，从而MQ=60−50sinθ，NQ=300−50sinθ．又PQ =50−50cosθ，所以tan∠NPQ =NQ PQ=6−sinθ1−cosθ，tan∠MPQ =MQ PQ=6−5sinθ5−5cosθ．从而tan∠MPN =tan(∠NPQ −∠MPQ)=tan∠NPQ−tan∠MPQ1+tan∠NPQ⋅tan∠MPQ =6−sinθ1−cosθ−6−5sinθ5−5cosθ1+6−sinθ1−cosθ×6−5sinθ5−5cosθ=12(1−cosθ)23−18sinθ−5cosθ．令g(θ)=12(1−cosθ)23−18sinθ−5cosθ.θ∈(0,π) 则g′(θ)=12×18(sinθ+cosθ−1)(23−18sinθ−5cosθ)2，θ∈(0,π)．由g′(θ)=0，得sinθ+cosθ−1=0，解得θ=π2．当θ∈(0,π2)时，g′(θ)>0，g(θ)为增函数；当x ∈(π2,π)时，g′(θ)<0，g(θ)为减函数． 所以当θ=π2时，g(θ)有极大值，也是最大值． 因为0<∠MPQ <∠NPQ <π2.所以0<∠MNP <π2．从而当g(θ)=tan∠MNP 取得最大值时，∠MPN 取得最大值． 即当θ=π2时，∠MPN 取得最大值．【解析】(1)将所求的高度、已知的角与线段长度放在一个三角形中结合三角函数的定义求解即可；(2)借助于角θ，把∠MPN 表示出来，然后利用导数研究该函数的最值．本题考查了与三角函数有关的最值问题，主要还是利用导数研究函数的单调性，进一步求其极值、最值．18.【答案】解：(1)由题意：e =c a =√32，3a 2+14b2=1，a 2=b 2+c 2得：a 2=4，b 2=1， 所以椭圆C 的标准方程为：x 24+y 2=1；(2)设直线PQ 的方程y =√22(x −√3)设P(x,y)，Q(x′,y′)，联立与椭圆的方程整理得3x 2−4√3x +2=0： 所以x +x′=4√33，xx′=23，则PQ =√1+12|x −x′|=√32⋅√163−83=2，又点A 到直线PQ 的距离为d =3+2√33， 所以三角形APQ 的面积为：12⋅PQ ⋅d =12⋅2⋅3+2√33=3+2√33． (3)由题意知直线l 的斜率存在，设为k ，l 过点A(−2,0)，则l 的方程为：y =k(x +2)， 联立与椭圆的方程整理得(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−4=0，令B(x B ,y B )，C(0,y C )，由−2x B =16k 2−41+4k 2，即x B =2−8k 21+4k 2，将x =0代入t =k(x +2)中，得y C =2k ，所以OC =|2k|， |BC|=√1+k 2|x B −0|=√1+k 2|2−8k 21+4k 2|， 由|OC|=|BC|得|2k|=√1+k 2|2−8k 21+4k2|，解得k 2=18， 所以直线的斜率为±√24．【解析】(1)由题意的离心率及过的点和a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程； (2)由(1)得写出直线PQ 的方程，联立椭圆得两根之和及两根之积，由弦长公式求出弦长即点到直线的距离，进而求出面积；(3)设过A 的直线与椭圆联立求出B 的坐标，及C 的坐标，由OC =BC 求出斜率． 考查直线与椭圆的综合应用，属于中难题．19.【答案】解：(1)令g(x)=lnx −x +1，所以g′(x)=1x −1=1−x x，当x ∈(0,1)时，g′(x)>0，g(x)在(0,1)上单调递增； 当x ∈(1,+∞)时，g′(x)<0，g(x)在(1,+∞)单调递减； 所以g(x)min =g(1)=0，所以g(x)的零点为x =1．(2)由题意∵{lnx 1=x 1+ax 1−1lnx 2=x 2+a x 2−1，∴a =x 1 x 2⋅(1−lnx 2−lnx 1x 2−x 1)， 要证a <x 1 x 2−x 1，即证x 1 x 2⋅(1−lnx 2−lnx 1x 2−x 1)<x 1 x 2−x 1，即证ln(x 2x 1)>1−x1x 2，令t =x2x 1>1，则lnt >1−1t ，由(1)知lnx ≤x −1，当且仅当x =1时等号成立，所以ln 1t <1t−1，即lnt >1−1t ，所以原不等式成立．(3)不等式(x 2−1)lnx ≥k(x −)2 对一切正实数x 恒成立， ∵(x 2−1)lnx −k(x −1)2=(x 2−1)[lnx −k(x−1)x+1]，设ℎ(x)=lnx −k(x−1)x+1，ℎ′(x)=1x −2k(x+1)2=x 2+2(1−k)x+1x(x+1)2，记φ(x)=x 2+2(1−k)+1，△=4(1−k)2−4=4k(k −2)， ①当△≤0时，即0<k ≤2时，ℎ′(x)≥0恒成立，故ℎ(x)单调递增．于是当0<x <1时，ℎ(x)<ℎ(1)=0，又x 2−1<0，故(x 2−1)lnx >k(x −1)2，当x >1时，ℎ(x)>ℎ(1)=0，又x 2−1>0，故(x 2−1)lnx >k(x −1)2， 又当x =1时，(x 2−1)ln =k(x −1)2，因此，当0<k ≤2时，(x 2−1)lnx ≥k(x −1)2，②当△>0，即k >2时，设x 2+2(1−k)x +1=0的两个不等实根分别为x 3，x 4(x 3<x 4)， 又φ(1)=4−2k <0，于是x 3<1<k −1<x 4，故当x ∈(1,k −1)时，ℎ′(x)<0，从而ℎ(x)在(1,k −1)单调递减；当x ∈(1,k −1)时，ℎ(x)<ℎ(1)=0，此时x 2−1>0，于是(x 2−1)ℎ(x)<0， 即(x 2−1)lnx <k(x −1)2 舍去， 综上，k 的取值范围是0<k ≤2．【解析】(1)令g(x)=lnx −x +1，根据导函数确定函数的单调区间，求出极小值，进而求解；(2)转化思想，要证a <x 1 x 2−x 1，即证x 1 x 2⋅(1−lnx 2−lnx 1x 2−x 1)<x 1 x 2−x 1，即证ln(x2x 1)>1−x1x 2，构造函数进而求证；(3)不等式(x 2−1)lnx ≥k(x −)2 对一切正实数x 恒成立，∵(x 2−1)lnx −k(x −1)2=(x 2−1)[lnx −k(x−1)x+1]，设ℎ(x)=lnx −k(x−1)x+1，分类讨论进而求解．(1)考查函数求导，根据导函数确定函数的单调性，零点； (2)考查转化思想，构造函数求极值；(3)考查分类讨论思想，函数的单调性，函数的求导；20.【答案】解：(1)①∵3b 1，2b 2，b 3成等差数列，∴4b 2=3b 1+b 3， 即4×3a+3d 2=2(2a +d)+4a+6d 3，∴d =43a ， ∴a d=34，②由a n+1≤b n <a n+2，得a +nd =1n [(n +1)a +12n(n +1)d]<a +(n +1)d ， 整理得{n 2−n −2ad ≤0n 2+n −2a d >0，解得−1+√1+8a d2<n ≤1+√1+8a d2，由于1+√1+8ad 2−−1+√1+8ad 2=1且得−1+√1+8ad 2>0，因此存在唯一的正整数n ，使得a n+1≤b n <a n+2． (2)∵b t b r=a 1(1−q t+1)t(1−q)a 1(1−q r+1)r(1−q)=t+2r+2，∴q t+1−1t(t+2)=q r+1−1r(r+2)，设f(n)=q n+1−1n(n+2)，n ≥2，n ∈N ∗，则f(n +1)−f(n)=q n+2−1(n+1)(n+2)−q n+1−1n(n+2)=q n+1[(q−1)n 2+2(q−2)n−3]+2n+3(n+1)(n+3)n(n+2)，∵q >2，n ≥2，∴(q −1)n 2+2(q −2)n −3>n 2−3≥1>0， ∴f(n +1)−f(n)>0， 即f(n +1)>f(n)， ∴f(n)为单调递增， ∴当r ≥2时，t >r ≥2， 则f(t)>f(r)，即q t+1−1t(t+2)>q r+1−1r(r+2)，这与q t+1−1t(t+2)=q r+1−1r(r+2)互相矛盾，∴r =1时，即q t+1−1t(t+2)=q 2−13，若t ≥3，则f(t)≥f(3)=q 4−115=q 2−13⋅q 2+15>q 2−13，即q t+1−1t(t+2)>q 2−13，这与q t+1−1t(t+2)=q 2−13互相矛盾， 于是t =2， ∴q 3−18=q 2−13，即3q 2−5q −5=0， ∵q >2，∴q =5+√856【解析】(1)①根据等差数列和等差数列的前n 项和公式，以及等差数列的性质，即可求出， ②若a n+1≤b n <a n+2，得到{n 2−n −2ad ≤0n 2+n −2a d >0，解得即可，(2)由已知条件可得q t+1−1t(t+2)=q r+1−1r(r+2)，构造f(n)=q n+1−1n(n+2)，n ≥2，n ∈N ∗，利用定义证明其单调性，再分别赋值验证即可．此题主要考查等差的性质的应用，题目较为复杂，需要一步一步的分析求解，计算量要求较高，属于难题．21.【答案】解：∵A =[0,21,0],B =[1,120,1]，∴AB =[1002][11201]=[11202]…(3分)， 在直线l 上任取一点P(x′,y′)，经矩阵AB 变换为点Q(x,y)，则[y x]=[11202][y′x′]=[x′+12y′2y′]，∴{x =x′+12y′y =2y′，即{x′=x −14yy′=y2…(8分) 代入x′+y′−2=0中得x −14y +y2−2=0， ∴直线l′的方程为4x +y −8=0…(10分)【解析】先计算矩阵AB 对应的变换，再求出在变换下点的坐标之间的对应关系，从而可求直线l′的方程．本题重点考查矩阵变换，考查矩阵变换的运用，解题的关键是求出矩阵AB 对应的变换22.【答案】解：∵点M 的极坐标为(√2,π4)，∴点M 的直角坐标为(1,1)，圆C 的极坐标方程为ρ+2√2sin(θ+π4)=0， 即ρ+2sinθ+2cosθ=0， ∴ρ2+2ρsinθ+2ρcosθ=0．将x =ρcosθ，y =ρsinθ，ρ2=x 2+y 2代入上式， 可得圆C 的直角坐标方程为(x +1)2+(y +1)2=2， 当直线l 的斜率不存在时，直线l 与圆C 没有交点；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y −1=k(x −1)， 即kx −y −k +1=0．则圆心C(−1,−1)到直线l 的距离为d =√k 2+1， ∵直线l 被圆C 截得的弦长为2√305， ∴d 2+(√305)2=2，即(√k 2+1)2=45， 解得k =12或k =2，直线l 的方程为x −2y +1=0或2x −y −1=0．【解析】由已知求出M 的直角坐标，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程，再求出圆心到直线的距离，利用垂径定理列式求直线的斜率，则直线方程可求．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查极坐标方程化直角坐标方程，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．23.【答案】解：(1)因为点A(1,a) (a >0)是抛物线C 上一点，且AF =2，所以p2+1=2，所以p =2，(2)由(1)得抛物线方程为y 2=4x ．因为点A(1,a) (a >0)是抛物线C 上一点，所以a =2．设直线AM 方程为x −1=m (y −2)(m ≠0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2).由{x −1=m(y −2)y 2=4x消去x ，得y 2−4m y +8m −4=0， 即(y −2)( y −4m +2)=0，所以y 1=4m −2．因为AM ⊥AN ，所以−1m 代m ，得y 2=−4m −2，所以d 1d 2=|(y 1+2)(y 2+2)|=|4m ×(−4m )|=16．【解析】(1)根据题意，由抛物线的定义可得p2+1=2，解可得p 的值，将p 的值代入抛物线方程即可得答案；(2)由(1)的结论，分析可得a 的值，设直线AM 方程为x −1=m (y −2)(m ≠0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立直线与抛物线的方程，分析可得y 1=4m −2且y 2=−4m −2，又由d 1d 2=|(y 1+2)(y 2+2)|，计算即可得答案．本题考查直线与抛物线的位置关系，注意联立直线与抛物线的方程之后，根与系数的关系的应用．24.【答案】(1)因为含元素1的子集有C 32个， 同理含2，3，4的子集也各有C 32个，于是所求元素之和为(1+2+3+4)×C 32=30；(2)集合M ={1,2,3,…,n}的所有3个元素的子集中：以1为最小元素的子集有C n−12个，以n 为最大元素的子集有C n−12个；以2为最小元素的子集有C n−22个，以n −1为最大元素的子集有C n−22个；以n −2为最小元素的子集有C 22个，以3为最大元素的子集有C 22个．∴∑m i C n 3i=1=m 1+m 2+⋯+m C n 3， =(n +1)(C n−12+C n−22+⋯+C 22)，=(n +1)(C n−12+C n−22+⋯+C 32+C 33)，=(n +1)(C n−12+C n−22+⋯+C 42+C 43)，=⋯=(n +1)C n 3，∴∑m i C n 3i=1C n 3=n +1．∴∑m iC 20183i=1C 20183=2018+1=2019．【解析】(1)直接利用组合数和子集的关系式的应用求出结果．(2)直接利用组合数和子集的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：组合数的原应用，集合的子集的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．。
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江苏省如皋中学高三数学模拟试题 05。
04
一、选择题：(每题5分，共60分)
1．已知a为不等于零的实数，那么集合的子集的个数为
A．1个 B．2个 C．4个 D．1个或2个或4个
2．函数的最小正周期是
A． B．π C．2π D．3π
3．已知关于x的不等式的解集是[-1，0）则a+b=
A．－2 B．－1 C．1 D．3
4．过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若 =4，则满足条件的直线l有
A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条
5．若向量的夹角是
A．30°B．60° C．90°D．120°
6．设a、b是两条异面直线，P是a、b外的一点，则下列结论正确的是
A．过P有一条直线和a、b都平行；B．过P有一条直线和a、b都相交；
C．过P有一条直线和a、b都垂直；D．过P有一个平面和a、b都垂直。
7．互不相等的三个正数成等比数列，且点
P1（共线
则，
A．等差数列，但不等比数列； B．等比数列而非等差数列
C．等比数列，也可能成等差数列 D．既不是等比数列，又不是等差数列
8．若从集合P到集合Q= 所有的不同映射共有81个，则从集合Q到集合P可作的不同映射共有
A．32个 B．27个 C．81个 D．64个
9．对于函数给出下列四个命题：
①该函数的值域为[-1，1]
②当且仅当
③该函数是以π为最小正周期的周期函数；
④当且仅当
上述命题中错误命题的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知球的表面积为20π，球面上有A、B、C三点，如果AB=AC=2，BC=2 ，则球心到平面ABC的距离为
A．1 B． C． D．2
11．设x、y满足约束条件：则的最大值为
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知等差数列，那么，一定有
A． C、
二、填空题：(每題4分，共16分)
13．椭圆中，以点M（一1，2）为中点的弦所在直线方程是___________。
14．在）的展开式中，x3的系数是_________。
15．在△ABC中，边AB为最长边，且sinA?sinB= ，则cosA?cosB的最大值是。
16．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的
点数之和大于n2，则算过关，那么，连过前二关的概率是。
_______。
三、解答题：
17．(本题满分12分)已知，α是锐角，且tan
（2）的值
18．(本题满分12分)已知向量
（I）求向量
（II）若映射
①求映射f下（1，2）原象；
②若将（x、y）作点的坐标，问是否存在直线l使得直线l上任一点在映射f的作用下，仍在直线上，若存在求出l的方程，若不存在说明理由
19．(本题满分12分)如图，PA⊥矩形ABCD所在平面，PA=AD=a，M，N分别是AB，PC的中点，（1）求证：MN⊥平面PCD
（2）若AB=
20．(本题满分12分)求
21. (本题满分12分)（1）设
M( 互相垂直的弦MP、MQ，求证：PQ恒过定点M'（
（2）直线点M，使得△MPQ为以PQ为斜边的直角三角形？
22．(本题满分14分)数列
（1）若数列
（2）求数列的通项公式
（3）数列适合条件的项；若不存在，请说明理由
江苏省如皋中学高三数学模拟试题 05。
04
一．选择题：(每题5分，共60分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二．填空题：(每题4分，共16分)
13． 14． 15． 16．
三．解答题
17．
18．
19．20．
座位号21．
22．
江苏省如皋中学高三数学模拟试题标准答案及评分建议
一、选择题：(每题5分，共60分)
1．D 2. A 3.C 4.B 5.C 6.C 7.C 8.D 9.D 10.A 11.B 12.B 二、填空题：(每题4分，共16分)
13． 14. 15. 16.
三、解答题：
17．解：（1）
由 =2，有 =2
解得
（2）原式=
18．解：（I）设
（II）①
②假设l存在，设其方程为
点
即（1+k）
19．（1）证明：取PD中点E，∵E，N分别是PD，PC中点，
∴
∥MN
∵PA=AD ∴AE⊥PD
又∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥CD，CD⊥AD （4'）
PA∩AD=A ∴CD⊥平面PAD
AE平面PAD ∴AE⊥CD，CD∩PD=D
∴AE⊥平面PCD ∴MN⊥平面PCD （6'）（2）解：连AC交BD于O，则O是AC中点，连ON则ON⊥ABCD （8'）
作OF⊥MD，连NF，则NF⊥MD
∴∠NFO是二面角N—DM——C的平面角，
NO= （10'）
∠NFO=
二面角N—MD——C为60° (12’) 20．解：
（2'）
又
) （6'）
=
（8'）
所以，最大值只可能是
再比较
最大值是
最小值只能是
故当
在[0，3]的最小值是
当时，
（12'）
21．（1）证明：设PQ的方程为
得
其中
（3'）
即∴
直线PQ的方程为
即（6'）
（2）设M（上，所以的解，消去x得。
（12'）
22．解：（1）由
∴（4'）
（2）
（8'）
（3）设存在S，P，r
（10'）即
（12'）
为偶数
1+2 （14'）。