江西省九江一中2016-2017学年高二(上)第一次月考数学试卷(理科)(解析版)
江西省九江市第一中学2016届高三数学上学期第一次月考试题 文
九江一中2016届高三月考试题文 科 数 学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1． 已知U ＝{y |y ＝log 3x ，x >1}， ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>==3,1|x x y y M ，则∁U M ＝( ) A. )31,0( B. ()0，＋∞ C. ),31+∞⎢⎣⎡ D.(]－∞，0∪),31+∞⎢⎣⎡2．已知a 为实数，若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则20151a i i++的值为( )A ．1B ．-1C ．iD ．i -3．已知在等比数列}{n a 中，45,106431=+=+a a a a ，则等比数列}{n a 的公比q 的值为（ ）A ．41B ．21 C ．2 D ．84．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则52f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝( )A ．－14B ．－12 C.14 D.125．．已知平面向量的夹角为,6π2,3==，在ABC ∆中，22+=，n m AC 62-=，D 为BC 边的中点，则= A.2 B.4 C.6 D.8 ( )6．校运会前夕，通过随机询问我校高中部110名性别不同的学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K 2＝n ad a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d 算得，K 2＝260×50×60×50≈7.8.附表：A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 7. 一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）A C ． D 8.《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布. A ．12B ．815C ．1631D ．16299．当输入的实数[]30,2∈x 时，执行如图所示的程序框图， 则输出的x 不小于103的概率是 ( )A ．528B ．629C ．914D ．192910．设正项等比数列{}n a 的前n 项之积为n T ，且12814=T ，则8711a a +的最小值是 ( ) AB．D．11设F 1，F 2是双曲线12422=-y x 的两个焦点，P 是双曲线 上的一点，且||4||321PF PF =，则21F PF ∆的面积等于（ ）A ． 24B ．38C ．24D ．48 12. 已知函数,)(),(ln 2)1()(xmx g R m x x x m x f -=∈--=，若至少存在一个],1[0e x ∈，使得)()(00x g x f <成立，则实数m 的范围为A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-e 2, B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-e2, C ． (]0,∞- D ．()0,∞-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卷相应位置上）13．若向量()cos ,1a α=，()1,2tan b α= ，且//a b ，则sin α= ．14．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,222a b c bc =+-，4bc =，则△ABC的面积为 ．15．点(,)a b 在两直线1-=x y 和3-=x y 之间的带状区域内（含边界），则(,)f a b =22244a ab b a b -++-的最小值为_____________．16．已知定义域为0+∞（，）的函数()f x 满足：（1）对任意0x ∈+∞（，），恒有()()f 2x =2f x 成立；（2）当]x ∈（1,2时，()2f x x =-.给出如下结论：①对任意m Z ∈，有()2m f =0；②函数()f x 的值域为[0+∞，）；③存在Z n ∈，使得()n2+1=9f ；④“函数()f x 在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是 “存在Z k ∈，使得1(,)(2,2)k k a b +⊆”.其中所有正确结论的序号是 .三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知函数1()πcos π2f x x x =+, x ∈R ． （１）求函数()f x 的最大值和最小值；（２）设函数()f x 在[1,1]-上的图象与x 轴的交点从左到右分别为M 、N ，图象的最高点为P,求PM 与PN的夹角的余弦．18．（本小题满分12分）某中学的高二(1)班女同学有45名，男同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．（１）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；（２）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名男同学的概率；（３）实验结束后，第一次做实验的同学得到的实验数据为68,70,71,72,74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.19. （本小题满分12分）已知三棱柱111C B A ABC -，底面三角形ABC 为正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ，4,21==AA AB ，E 为1AA 的中点，F 为BC 中点．(１)求证：直线//AF 平面1BEC ； （２）求点C 到平面1BEC 的距离．20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的方程是12222=+by a x )0(>>b a ，点B A ,分别是椭圆的长轴的左、右端点，左焦点坐标为)0,4(-，且过点)325,23(P ． （１）求椭圆C 的方程； （２）已知F 是椭圆C 的右焦点，以AF 为直径的圆记为圆M ,试问:过P 点能否引圆M 的切线，若能，求出这条切线与x 轴及圆M能，说明理由．C1A 1C1BABEF21．（本小题满分12分）已知函数2()(1)ln ,.f x a x x a R =-+∈（1）当14a =-时，求函数()y f x =的单调区间； （2）12a =时，令1()()3ln 2h x f x x x =-+-.求()h x 在[1,]e 上的最大值和最小值； (3)若函数()1f x x ≤-对∀),1[+∞∈x 恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程是2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），⊙C的极坐标方程为)4πρθ=+．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）试判断直线l 与⊙C 的位置关系． 23、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式|x －3|＋|x －5|≤m 的解集不是空集，记m 的最小值为t ． （1）求t ；（2）已知a ＞0，b ＞0，c ＝max{1a ，22a b tb+}，求证：c ≥1．注：maxA 表示数集A 中的最大数．月考数学答案1. C. 2． B 3． B 4. B5．A6． C 【解析】由附表可得知当K 2≥6.635时，有P ＝1－P ＝0.99，当K 2≥10.828时，有P ＝1－P ＝0.999，而此时的K 2≈7.8显然有0.99<P <0.999，故可以得到有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选C.7．B 8.D 9．C 10． A11． C .12．A 13．2114 3 15． 5【解析】由(,)f a b =22244a ab b a b -++-()()b a b a -+-=42，又点(,)a b 在两直线1-=x y 和3-=x y 之间的带状区域内（含边界）得13a b ≤-≤，根据二次函数知(,)f a b =22244a ab b a b -++-的最小值为5．16．①②④． 17．解：（１）1π()πcos πsin(π)26f x x x x =+=+，∵x ∈R ，∴π1sin(π)16x -≤+≤，∴函数()f x 的最大值和最小值分别为1，－1．（２）解法1：令π()sin(π)06f x x =+=得πππ,6x k k +=∈Z ．∵[1,1]x ∈-，∴16x =-或56x =，∴15(,0),(,0).66M N -由πsin(π)16x +=，且[1,1]x ∈-得13x =，∴ 1(,1),3P∴11(,1),(,1),22PM PN =--=-∴cos ,||||PM PNPM PN PM PN ⋅=⋅35=． 解法2：过点P 作PA x ⊥轴于A ,则||1,PA =由三角函数的性质知1||12MN T ==, ||||PM PN ===, 由余弦定理得222||||||cos ,2||||PM PN MN PM PN PM PN +-=⋅ =52134524⨯-=⨯．解法3：过点P 作PA x ⊥轴于A ,则||1,PA =由三角函数的性质知1||12MN T ==,||||PM PN ===．在Rt PAM ∆中，||cos ||PA MPA PM ∠===． ∵PA 平分MPN ∠，∴2cos cos 22cos 1MPN MPA MPA ∠=∠=∠-232(155=⨯-=．18．解：（１）416015n P m ===，∴某同学被抽到的概率为115．设有x 名男同学，则45604x=，3x ∴=，∴男，女同学的人数分别为3,1. （2）把3名同学和1名女同学记为123,,,a a a b ，则选取两名同学的基本事件有()()()()()()()()()()()()121312123231323123,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a ab a a a a a b a a a a a b b a b a b a 共12种，其中有一名女同学的有6种，∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为61122P ==. （3）126870717274697070727471,71,55x x ++++++++==== ()()()()2222221168717471697174714, 3.2,55s s -++--++-====所以第二名同学的实验更稳定.19．解：（1）取1BC 的中点为R ，连结RF RE ,， 则1//CC RF ，1//CC AE ，且RF AE =，所以四边形AFRE 为平行四边形，则RE AF //，所以//AF 平面1BEC ．（2）由等体积法得11BCC E BEC C V V --=，则RE S h S BCC BEC ⋅=⋅∆∆113131，得554=h ． 20.解：（1）∵椭圆C 的方程为12222=+by a x （0>>b a ）， ∴ 1622+=b a ，即椭圆的方程为1162222=++by b x , ∵ 点)325,23(在椭圆上,∴ 1475)16(4922=++bb ， 解得 202=b 或152-=b （舍），由此得362=a ，所以，所求椭圆C 的标准方程为1203622=+y x . （２）由（１）知)0,6(-A ,)0,4(F ,又)325,23(P ，则得15(,2AP =,5(,2FP =- ，所以0AP FP ⋅= ，即90APF ∠=, △APF 是直角三角形，所以，以AF 为直径的圆M 必过点P ，因此，过P 点能引出该圆M 的切线． 设切线为PQ ,交x 轴于Q 点， 又AF 的中点为)0,1(-M ，则显然PM PQ ⊥,而 3)1(230325=---=PM k , 所以PQ 的斜率为33-，因此,过P 点引圆M 的切线方程为)23(33235--=-x y ，即093=-+y x ． 令0=y ，则9=x ，)0,9(Q ∴,又)0,1(-M ，所以11sin 510sin 6022PQM S PM MQ PMQ ∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=1π25π55236MPF S =⨯⨯⨯=扇形，因此，所求的图形面积是S =PQM S ∆-MPF S扇形25π6=-=． 21.解：（Ⅰ）41-=a ,x x x f ln )1(41)(2+--=,(x>0) …………………… 1分f ＇(x)xx x x x x x x 2)1)(2(22121212+--=++-=++-=，……………………2分① 当0< x < 2时，f ＇(x )>0，f(x )在（0,2）单调递增；② 当x >2时，f ＇(x )<0，f(x )在),2(+∞单调递减； 所以函数的单调递增区间是（0,2），单调递减区间是),2(+∞.……………………4分 （Ⅱ）2()h x x x '=-，令()h x '=0得x =……………………5分当x ⎡∈⎣时()h x '<0，当x ⎤∈⎦时()h x '>0，故x =()h x 在[]1，e 上唯一的极小值点，……………………6分故min ()1ln 2h x h ==- 又1(1)2h =, 211()222h e e =->, 所以max ()h x =2122e -=242e -.…………………… 7分 注：列表也可。
江西省九江第一中学2016-2017学年高二化学上学期第一次月考试题
九江一中2016—2017学年上学期第一次月考高二化学试卷注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共100分，答题时间90分钟。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.第I卷（选择题）答案必须使用2B铅笔填涂；第II卷（非选择题）必须将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回，试卷由个人妥善保管。
本卷可能用到的相对原子质量：H-1 N-14 O-16 S-32 Cl-35.5第I卷(54分)一、选择题(本题包括18小题，每小题3分，共54分)1．为了测定酸碱反应的中和反应反应热，计算时至少需要的数据是（）①酸的浓度和体积②碱的浓度和体积③比热容④反应后溶液的质量⑤生成水的物质的量⑥反应前后溶液温度变化⑦操作所需的时间A．①②③⑥ B．①③④⑥ C．③④⑤⑥ D．全部2．能降低反应所需的活化能的是（）A．降低温度 B．使用催化剂 C．增大压强D．增加浓度3．向体积为2L的容器中加入1mol N2和6mol H2，合成氨。
2秒钟之后达到平衡，测得氮气为0.6mol，则氢气的反应速率是（）A．0.1mol/（L•s） B．0.2mol/（L•s） C．0.3mol/（L•s） D．0.6mol/（L•s）4．对于：2H2（g）+O2（g）═2H2O（l）△H=﹣571.6kJ/mol的叙述错误的是（）A．该反应的反应热为△H=﹣571.6kJ/mol，是放热反应B．该反应的△H与各物质的状态有关，与化学计量数也有关C．该式的含义为：25℃、101kPa下，2mol氢气完全燃烧生成液态水时放出热量571.6kJD．该反应为氢气燃烧的热化学方程式，由此可知氢气的燃烧热为571.6kJ/mol5．可逆反应A（g）+3B（g） 2C（g）+D（g），在不同条件下的反应速率如下，其中反应速率最快的是（）A．v（A）=0.5 mol/（L•min） B．v（B）=0.02mol/（L•s）C． v（C）=0.8 mol/（L•min） D．v（D）=0.01mol/（L•s）6．下列事实不能用勒夏特列原理来解释的是（）A．往H2S水溶液中加碱有利于S2﹣增多B．在二氧化硫的催化氧化反应中，通入过量的空气以提高二氧化硫的转化率C．高压有利于合成NH3的反应D．500℃左右比室温更有利于合成NH3的反应7.从植物花中可提取一种简写为HIn的有机物，它在水溶液中因存在下列平衡：HIn(溶液，红色)H＋(溶液)＋In－(溶液，黄色)而用作酸碱指示剂。
九江市第一中学2016至2017理科数学开学考试试卷及答案
九江2016—2017学年度下学期开学考试高 二 数 学试 卷 (理科)一、选择题（每小题5分，共12个小题，本题满分60分）1、已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，若a ∥b ，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝1522. 命题“0x R ∃∈，3210x x -+>”的否定是 （ ） A ．0x R ∃∈，3210x x -+< B ． x R ∀∈，3210x x -+≤ C ．0x R ∃∈，3210x x -+≤D ．∀x R ∈，3210x x -+>3. 设a R ∈，则“1a =”是“直线1:210l ax y +-=与直线2:(1)40l x a y +++=平行” 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＝4a n －1＋1(n ≥2)，则a 4为( )A ．148B ．149C ．150D ．1515. 已知△ABC 中，a 、b 、c 分别为A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ．60°D ．60°或120°6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，以12F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(1,2)，则此双曲线方程为（ ）A ．2214x y -=B ．2212y x -=C ．2214y x -= D ．2212x y -= 7．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( ) A ．－3 B ．1 C ．－1 D ．38．已知直线1y x =-与椭圆221ax by +=（0,0a b >>）交于,A B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为23，则ba的值为 （ ） A. 23 B.332 C. 239 D. 27329．在△ABC 中，已知BC →·CA →＝152，CA →·AB →＝－652，AB →·BC →＝－332，则△ABC 的最大内角为( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°10．我们把由半椭圆)0(1)0(122222222<=+≥=+x cx b y x b y a x 与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中0,222>>>+=c b a c b a ）。
江西省九江一中高二数学上学期第一次月考试卷(含解析)
2015-2016学年江西省九江一中高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．在等比数列{a n}中，a1=﹣3，a2=﹣6，则a4的值为（）A．﹣24 B．24 C．±24 D．﹣122．已知△ABC中，A=30°，B=45°，b=8，a等于（）A．4 B．4 C．4 D．43．已知数列{a n}的前n项和S n=n2，则a3的值为（）A．6 B．5 C．7 D．44．若△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2=b2+c2﹣bc，则角A的大小为（）A．B．C．D．或5．已知数列{a n}中，a n=11﹣5n，则数列{|a n|}的前15项和为（）A．442 B．449 C．428 D．4216．等差数列{a n}的前k项和为28，前2k项和为76，则它的前3k项和为（）A．104 B．124 C．134 D．1447．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a4a5a6=8，a10a11a12=12，则a7a8a9=（）A．6 B．9 C．10 D．48．已知数列{a n}满足：a1=1，a n＞0，a n+12﹣a n2=1（n∈N*），那么使a n＜5成立的n的最大值为（）A．4 B．5 C．24 D．259．在钝角△ABC中，若AB=2，，且S△ABC=1，则AC=（）A．2 B．C．10 D．10．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递减数列，则实数a的取值范围是（）A．（，1）B．（，）C．（，）D．（，1）11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，若cosA+sinA﹣=0，则的值是（）A．1 B．C．D．212．已知数列{a n}满足a n=n•k n（n∈N*，0＜k＜1）下面说法正确的是（）①当k=时，数列{a n}为递减数列；②当＜k＜1时，数列{a n}不一定有最大项；③当0＜k＜时，数列{a n}为递减数列；④当为正整数时，数列{a n}必有两项相等的最大项．A．①② B．②④ C．③④ D．②③二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）13．在等差数列{a n}中，若a8=﹣3，a10=1，则a n= ．14．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2=b2+c2﹣2bcsinA，则∠A=．15．数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，对任意n∈N+，有a n+1=S n，则S n= ．16．数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，对任意n∈N+，有a n+1=S n，则a n= ．17．已知f（x）=cosx，x∈（），若函数G（x）=f（x）﹣m有三个零点，且这三个零点从小到大依次成等比数列，则m的值等于．三、解答题（本大题共5题，共60分，每题12分.请在答题卡指定区域内作答.答题时应写出文字说明、证明或演算步骤）18．已知等差数列{a n}中，已知a3=1，a8=﹣9．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列前n项和S n，并求使得S n最大时n的值．19．设△AB C的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a+b=6，c=2，cosC=．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）求S△ABC．20．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+3，数列{b n}中，b1=1，且点（b n+1，b n）在直线y=x﹣1上．（Ⅰ）证明：数列{a n+3}为等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅲ）若c n=a n+3，求数列{b n c n}的前n项和S n．21．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且4cosC．（1）若tanA=2tanB，求sin（A﹣B）的值；（2）若3ab=25﹣c2，求△ABC面积的最大值．22．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，a1=1，且a1，a2，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的前n项和S n；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：2T n﹣9b n﹣1+18＞（n＞1）．四、选做题（请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，本题10分.）23．在14与中间插入n个数，组成各项和为的等比数列，求此数列的项数．24．三数成等比数列，若将第三数减去32，则成等差数列，若将该等差数列中项减去4，则成等比数列，求原三数．25．三个正数成等比数列，它们的和等于21，倒数的和等于，求这三个数．2015-2016学年江西省九江一中高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．在等比数列{a n}中，a1=﹣3，a2=﹣6，则a4的值为（）A．﹣24 B．24 C．±24 D．﹣12【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；转化思想；分析法；等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列{a n}中，a1=﹣3，a2=﹣6，求得数列的首项与公比，即可得解．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a1=﹣3，a2=﹣6，∴q===2，∴a4=a1q3=（﹣3）×23=﹣24．故选：A．【点评】本题主要考查了等比数列的性质，考查数列的通项公式的应用，属于基础题．2．已知△ABC中，A=30°，B=45°，b=8，a等于（）A．4 B．4 C．4 D．4【考点】正弦定理．【专题】计算题；分析法；解三角形．【分析】由正弦定理求出边a的值．【解答】解：由题意得，A=30°，B=45°，又b=8，由正弦定理得，，即a===4．故选：B．【点评】本题考查正弦定理的应用，熟练掌握定理和公式是解题的关键，属于基础题．3．已知数列{a n}的前n项和S n=n2，则a3的值为（）A．6 B．5 C．7 D．4【考点】数列递推式．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】利用a3=S3﹣S2，即可得出．【解答】解：∵S n=n2，∴a3=S3﹣S2=32﹣22=5．故选：B．【点评】本题考查了递推关系的应用、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．若△A BC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2=b2+c2﹣bc，则角A的大小为（）A．B．C．D．或【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由条件利用余弦定理求得，从而求得角A的大小．【解答】解：∵△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2=b2+c2﹣bc，由余弦定理可得cosA==，∴A=，故选B．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．5．已知数列{a n}中，a n=11﹣5n，则数列{|a n|}的前15项和为（）A．442 B．449 C．428 D．421【考点】等差数列的前n项和．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】a n=11﹣5n，可得其前n项和为S n=．令a n≥0，解得n≤2，可得数列{|a n|}的前15项和=a1+a2﹣a3﹣…﹣a15=2S2﹣S15，代入即可得出．【解答】解：∵a n=11﹣5n，可得其前n项和为S n==．令a n=11﹣5n≥0，解得n≤2，∴数列{|a n|}的前15项和=a1+a2﹣a3﹣…﹣a15=2S2﹣S15=﹣=449．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式及其性质、含绝对值数列的求和问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．等差数列{a n}的前k项和为28，前2k项和为76，则它的前3k项和为（）A．104 B．124 C．134 D．144【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质可得：S k，S2k﹣S k，S3k﹣S2k成等差数列，代入即可得出．【解答】解：由等差数列的性质可得：S k，S2k﹣S k，S3k﹣S2k成等差数列，∴2（S2k﹣S k）=S3k﹣S2k+S k，∴2×（76﹣28）=S3k﹣76+28，解得S3k=144．故选：D．【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a4a5a6=8，a10a11a12=12，则a7a8a9=（）A．6 B．9 C．10 D．4【考点】等比数列的通项公式．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由正项等比数列的性质得=8， =12，a7a8a9=，且成等比数列，由此能求出a7a8a9的值．【解答】解：∵各项均为正数的等比数列{a n}，a4a5a6=8，a10a11a12=12，∴=8， =12，a7a8a9=，∵成等比数列，∴a7a8a9====4．故选：D．【点评】本题考查等比数列中第7，8，9项的乘积，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．8．已知数列{a n}满足：a1=1，a n＞0，a n+12﹣a n2=1（n∈N*），那么使a n＜5成立的n的最大值为（）A．4 B．5 C．24 D．25【考点】数列的函数特性．【专题】计算题．【分析】由题意知a n2为首项为1，公差为1的等差数列，由此可知a n=，再结合题设条件解不等式即可得出答案．【解答】解：由题意a n+12﹣a n2=1，∴a n2为首项为1，公差为1的等差数列，∴a n2=1+（n﹣1）×1=n，又a n＞0，则a n=，由a n＜5得＜5，∴n＜25．那么使a n＜5成立的n的最大值为24．故选C．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意整体数学思想的应用．9．在钝角△ABC中，若AB=2，，且S△ABC=1，则AC=（）A．2 B．C．10 D．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由已知求得sinB，并说明角B为钝角，则cosB可求，然后结合余弦定理求得AC．【解答】解：在钝角△ABC中，由AB=2，，且S△ABC=1，得，即，∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB，若C为钝角，则cosB=，则，AC=，∴△ABC为等腰直角三角形，与已知矛盾；∴B为钝角，则cosB=﹣，∴，则AC=．故选：D．【点评】本题考查了解三角形，考查了正弦定理和余弦定理的应用，关键是分析出角B为钝角，是中档题．10．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递减数列，则实数a的取值范围是（）A．（，1）B．（，）C．（，）D．（，1）【考点】数列的函数特性．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可知1﹣2a＜0，0＜a＜1，且a12=17﹣24a＞a13=1，解出即可．【解答】解：由已知可知1﹣2a＜0，0＜a＜1，且a12=17﹣24a＞a13=1，解得＜a＜．故选：C．【点评】本题考查了数列的单调性、分段函数的性质、一次函数与指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，若cosA+sinA﹣=0，则的值是（）A．1 B．C．D．2【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】已知等式变形后，利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简，根据正弦、余弦函数的值域确定出cos（A﹣B）与sin（A+B）的值，进而求出A﹣B与A+B的度数，得到A，B，C的度数，利用正弦定理化简所求式子，计算即可得到结果．【解答】解：由cosA+sinA﹣=0，整理得：（cosA+sinA）（cosB+sinB）=2，即cosAcosB+sinBcosA+sinAcosB+sinAsinB=cos（A﹣B）+sin（A+B）=2，∴cos（A﹣B）=1，sin（A+B）=1，∴A﹣B=0，A+B=，即A=B=，C=，利用正弦定理===2R，得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则====．故选B【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．12．已知数列{a n}满足a n=n•k n（n∈N*，0＜k＜1）下面说法正确的是（）①当k=时，数列{a n}为递减数列；②当＜k＜1时，数列{a n}不一定有最大项；③当0＜k＜时，数列{a n}为递减数列；④当为正整数时，数列{a n}必有两项相等的最大项．A．①② B．②④ C．③④ D．②③【考点】数列的函数特性．【专题】等差数列与等比数列．【分析】分别根据数列的通项公式进行判断即可．【解答】解：①当时，，∵，∴a1=a2，即数列{a n}不是递减数列，∴①错误．②当时， ==，∴，因此数列{a n}数列{a n}可有最大项，因此错误；③当时， ==≤1，∴a n+1＜a n，故数列{a n}为递减数列；④==，当为正整数时，1＞．当k=时，a1=a2＞a3＞a4＞…．当时，令，解得k=，则，数列{a n}必有两项相等的最大项．故选：C．【点评】本题考查了数列的单调性和分类讨论的思想方法，属于难题．二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）13．在等差数列{a n}中，若a8=﹣3，a10=1，则a n= 2n﹣19 ．【考点】等差数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a8=﹣3，a10=1，∴，解得a1=﹣17，d=2，则a n=﹣17+2（n﹣1）=2n﹣19．故答案为：2n﹣19．【点评】本题考查了通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2=b2+c2﹣2bcsinA，则∠A=．【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】根据余弦定理，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：由余弦定理得且a2=b2+c2﹣2bccosA，∵a2=b2+c2﹣2bcsinA，∴a2=b2+c2﹣2bcsinA=b2+c2﹣2bccosA，则sinA=cosA，即tanA=1，解得A=；故答案为：【点评】本题主要考查三角函数值的求解，根据余弦定理建立方程关系是解决本题的关键．15．数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，对任意n∈N+，有a n+1=S n，则S n= ．【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由题意求得S1，并可得到数列{S n}构成以1为首项，以为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式求得S n．【解答】解：∵a1=1，∴S1=a1=1，由a n+1=S n，得，即，∴，则数列{S n}构成以1为首项，以为公比的等比数列，∴=．故答案为：．【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列通项公式的求法，是中档题．16．数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，对任意n∈N+，有a n+1=S n，则a n= ．【考点】数列递推式．【专题】分类讨论；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：对任意n∈N+，有a n+1=S n，∴当n≥2时，，∴a n+1﹣a n=．∴，又=．∴数列{a n}从第二项开始为等比数列，a2=，公比为，∴n≥2时， =．∴a n=，故答案为：．【点评】本题考查了递推关系的应用、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．已知f（x）=cosx，x∈（），若函数G（x）=f（x）﹣m有三个零点，且这三个零点从小到大依次成等比数列，则m的值等于﹣．【考点】等比数列的通项公式；函数的零点；余弦函数的图象．【专题】数形结合；函数的性质及应用；等差数列与等比数列；三角函数的图像与性质．【分析】根据题意，画出函数f（x）的图象，结合图象，设出g（x）三个不同的零点为kα、k2α、k3α（α是角度），列出方程组，求出对应k、α的值，从而得出m的值．【解答】解：∵f（x）=cosx，x∈（），∴﹣1≤f（x）≤1，画出函数f（x）的图象，如图所示；当函数G（x）=f（x）﹣m有三个零点，且这三个零点从小到大依次成等比数列时，结合图象，设三个不同的零点分别为kα、k2α、k3α（α是角度），∴kα+k2α=2π…①，k2α+k3α=4π…②；由①②解得k=2，α=；∴m的值等于﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了函数的零点的应用问题，也考查了余弦函数的图象与性质，考查了等比中项以及数形结合的应用问题，是基础题目．三、解答题（本大题共5题，共60分，每题12分.请在答题卡指定区域内作答.答题时应写出文字说明、证明或演算步骤）18．已知等差数列{a n}中，已知a3=1，a8=﹣9．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列前n项和S n，并求使得S n最大时n的值．【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）设出等差数列的首项和公差，根据题意和等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，再求出通项公式；（2）根据等差数列的前n项和公式，表示出S n，配方后根据二次函数的性质求出S n最大时n的值．【解答】解（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则…解得…∴a n=﹣2n+7．…（2）由（1）得，…=﹣n2+6n…=﹣（n﹣3）2+9．…∴当n=3时，S n取最大值．…【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，以及根据二次函数的性质求出S n最大，注意n只取整数．19．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a+b=6，c=2，cosC=．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）求S△ABC．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】综合题；方程思想；转化思想；解三角形．【分析】（I）利用余弦定理可得ab，与a+b=6联立即可得出．（II）利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（I）由余弦定理，c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣2ab×，∴22=62﹣ab，解得ab=9．联立，解得a=b=3．（II）∵cosC=，C∈（0，π）．∴sinC==．∴S△ABC===2．【点评】本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+3，数列{b n}中，b1=1，且点（b n+1，b n）在直线y=x﹣1上．（Ⅰ）证明：数列{a n+3}为等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅲ）若c n=a n+3，求数列{b n c n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式；数列递推式．【专题】函数思想；方程思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】（I）由a n+1=2a n+3，变形为a n+1+3=2（a n+3），即可证明；（II）由（1）可得：a n+3=4×2n﹣1，可得a n．由于点（b n+1，b n）在直线y=x﹣1上．b n=b n+1﹣1，利用等差数列的通项公式即可得出．（III）c n=a n+3=2n+1，可得b n c n=n•2n+1．再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】（I）证明：∵a n+1=2a n+3，变形为a n+1+3=2（a n+3），∴数列{a n+3}为等比数列，首项为4，公比为2；（II）解：由（1）可得：a n+3=4×2n﹣1，∴a n=2n+1﹣3．∵点（b n+1，b n）在直线y=x﹣1上．∴b n=b n+1﹣1，化为b n+1﹣b n=1，∴数列{b n}是等差数列，首项为1，公差为1．∴b n=1+（n﹣1）=n．（III）解：c n=a n+3=2n+1，∴b n c n=n•2n+1．∴数列{b n c n}的前n项和S n=1×22+2×23+3•24…+n•2n+1．∴2S n=23+2×24+…+（n﹣1）•2n+1+n•2n+2，∴﹣S n=22+23+…+2n+1﹣n•2n+2=﹣n•2n+2=（1﹣n）•2n+2﹣4，∴S n=（n﹣1）•2n+2+4．【点评】本题考查了递推公式、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且4cosC．（1）若tanA=2tanB，求sin（A﹣B）的值；（2）若3ab=25﹣c2，求△ABC面积的最大值．【考点】正弦定理；二倍角的余弦；解三角形．【专题】计算题．【分析】（1）把已知的等式左边第一项的第二个因式利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项也利用二倍角的余弦函数公式化简，约分去括号合并后，求出cosC的值，由C为三角形的内角利用特殊角的三角函数值得到C的度数，进而求出sinC的值，进而由三角形的内角和定理及诱导公式得到sin（A+B）的值，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，分子分母同时除以cosαcosβ，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanA=2tanB代入求出的值，把sin（A+B）的值代入即可求出sin（A﹣B）的值；（2）根据正弦定理===2R，表示出a与b，再由sinC的值，利用三角形的面积公式S=absinA表示出三角形ABC的面积，根据C的度数，求出A+B的度数，用A表示出B，代入表示出的面积中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，最后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域表示出面积S的最大值，并求出此时A的度数，得到三角形ABC为等边三角形，即a=b=c，代入已知的等式3ab=25﹣c2，求出c的值，再由sinC的值，求出三角形外接圆半径R，代入表示出的S最大值的式子中即可求出三角形ABC面积的最大值．【解答】解：（1）由4cosC，化简得：4cosC•+2cos2C﹣1=0，即cosC=，又C为三角形的内角，则有C=，∴sinC=，又C=π﹣（A+B），∴sin（A+B）=，∵tanA=2t anB，∴===3，则sin（A﹣B）=；（2）根据正弦定理===2R，得到a=2RsinA，b=2RsinB，又sinC=，则△ABC面积S=absinC=R2sinAsinB=R2sinAsin（﹣A）=R2（sinAcosA+sin2A）=R2[sin（2A﹣）+]，当2A﹣=，即A=时，正弦函数sin（2A﹣）取得最大值1，此时面积S取得最大值为R2，此时三角形为等边三角形，则有a=b=c，∴3ab=25﹣c2化简得：c=，此时R==，则三角形ABC面积的最大值为=．【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：二倍角的正弦、余弦函数公式，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域和值域，等边三角形的性质，以及正弦定理，本题的技巧性较强，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．22．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，a1=1，且a1，a2，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的前n项和S n；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：2T n﹣9b n﹣1+18＞（n＞1）．【考点】数列的应用．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）由题意知，（a1+d）2=a1（a1+6d），由此能够推出S n=na1+d=n+2n（n﹣1）=2n2﹣n．（2）证明：由题设条件可以推出{b n}是首项为2，公差为2的等差数列，所以T n==n2+n，由此入手能够得到．【解答】解：（1）∵a1，a2，a7成等比数列，∴a22=a1•a7，即（a1+d）2=a1（a1+6d），又a1=1，d≠0，∴d=4．∴S n=na1+d=n+2n（n﹣1）=2n2﹣n．（2）证明：由（1）知b n===2n，∴{b n}是首项为2，公差为2的等差数列，∴T n==n2+n，∴2T n﹣9b n﹣1+18=2n2+2n﹣18（n﹣1）+18=2n2﹣16n+36=2（n2﹣8n+16）+4=2（n﹣4）2+4≥4，当且仅当n=4时取等号．①=当且仅当即n=3时，取等号．②∵①②中等号不能同时取到，∴．【点评】本题考查数列的性质和运算，具有一定的难度，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．四、选做题（请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，本题10分.）23．在14与中间插入n个数，组成各项和为的等比数列，求此数列的项数．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】设等比数列的公比为q，由题意可得等比数列的首项为14，进而用首项与q表示已知条件，解方程可求n，从而可得【解答】解：设等比数列的公比为q，由题意可得则，故此数列共有五项．【点评】等比（等差）数列的通项公式与前n项和公式的综合应用是数列的最基本的考查，而此题要主要解出n=3时，不要误认为项数为3，属于基本公式的简单应用．24．三数成等比数列，若将第三数减去32，则成等差数列，若将该等差数列中项减去4，则成等比数列，求原三数．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设三个数分别为a，b，c，根据条件结合等比数列和等差数列的定义建立方程关系进行求解即可．【解答】解：设三个数分别为a，b，c，满足ac=b2，①则若将第三数减去32，为a，b，c﹣32，则成等差数列，即a+c﹣32=2b，②若将该等差数列中项减去4，即a，b﹣4，c﹣32，成等比数列，即a（c﹣32）=（b﹣4）2，③把①代入③式得b=4a+2 将其代入②得c=7a+36，再代入①得（4a+2）2a（7a+36），即9a2﹣20a+4=0，21 解得a=2或a=，当a=2时，b=10，c=50，当a=，b=，c=．【点评】本题主要考查等比数列好等差数列的应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．25．三个正数成等比数列，它们的和等于21，倒数的和等于，求这三个数．【考点】等比数列的前n 项和．【专题】等差数列与等比数列． 【分析】设出三个正数为，a ，aq ，根据题意得出方程组：求解即可．【解答】解：设三个正数为，a ，aq ，根据题意得出：求解得出：a=6，q=2，或a=6，q=故这三个数为：3，6，12．或12，6，3【点评】本题以数列为依托，综合考查等差数列与等比数列，关键是理解等差中项与等比中项，列出方程从而得解．。
江西省九江市第一中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)试题 含答案
九江一中2016 -2017学年上学期期中考试高二数学试卷命题人：张思意注意事项:1.本试卷分第I卷（选择题)和第II卷（非选择题）两部分，共150分,答题时间120分钟。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2.第I卷(选择题）答案必须使用2B铅笔填涂；第II卷（非选择题)必须将答案卸载答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束，将答题卡交回，试卷由个人妥善保管。
第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若命题“p或q"为真，“非p”为真，则（）A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假（2)已知a R∈，则“2a>”是“22a a>"的（）A．充分非必条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件（3)两条平行直线3430x y--=和6850x y-+=之间的距离是（）A．1110B．85C．157D．45（4）下列命题中正确的是（）A ．若αβ>，则sin sin αβ>;B ．命题:“任意21,1x x>>都有”的否定是“存在21,1x x ≤≤使得”； C ．直线20ax y ++=与40ax y -+=垂直的充要条件为1a =±；D ．“若0xy =，则0x =或0y =”的逆否命题为“若0x ≠或0y ≠，则0xy ≠" （5）已知等差数列{}na 中，2416aa +=，11a=，则5a 的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．64(6)若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ）A ．若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥B ．若,//m m n αγ=，则//αβC ．若,//m m βα⊥，则αβ⊥D ．若,αγαβ⊥⊥，则βγ⊥（7）下列函数的最小值是2的为（ ） A ．1y x x=+ B ．1sin ,(0,)sin 2y x x x π=+∈ C ．2y =D ．1(1)1y x x x =+>- (8）设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ,已知7863==S S ，，则 =++987a a a （ )A.81B 。
2016-2017学年上学期江西省九江第一中学高三第一次月考试卷 理科数学 Word版 含答案
2016-2017学年上学期江西省九江第一中学高三第一次月考测试卷理科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．集合{}{}{}20,1,2,3,4,1,2,|540U A B x Z x x ===∈-+<，则()U C A B = （ ） A ．{}0,1,3,4B ．{}1,2,3C ．{}0,4D ．{}02．命题“0x ∀>，不等式1ln x x -≥成立”的否定为（ ） A ．00x ∃>，不等式001ln x x -≥成立 B ．00x ∃>，不等式001ln x x -<成立 C ．0x ∀≤，不等式1ln x x -≥成立D ．0x ∀>，不等式1ln x x -<成立3．已知命题:1p x ∀<，都有12log 0x <，命题:q x R ∃∈，使得22x x ≥成立，则下列命题是真命题的是（ ） A ．()p q ∨⌝ B ．)()(q p ⌝∧⌝ C ．p q ∨D ．p q ∧4．函数y 的定义域是（ ） A ．(1,3)- B ．(,1)[1,3)-∞-⋃ C ．(,1)(1,3]-∞-⋃D ．(,1)(1,3)-∞-⋃ 5．下列图象不能作为函数图象的是（ ）6．下列函数中为偶函数的是（ ） A．y =B ．31y x =+C ．2x y =D ．ln y x =7．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()()⎩⎨⎧+=x g x x f 1log 300<≥x x ，则()8g f -=⎡⎤⎣⎦（ ） A ．-1B ．-2C ．1D ．28．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(4)()f x f x +=，当()0,2x ∈时，2()2f x x =，则(7)f = （ ） A ．2-B ．2C ．98-D ．989．三个数3.0222,3.0log ,3.0===c b a 之间的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<10．定积分()12e d 0xx x +⎰的值为（ ）A ．e 2+B ．e 1+C ．eD ．e 1-11．设'()f x 是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（ ）12．已知32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为（ ） A ．12a -<< B ．36a -<< C ．3-<a 或6a >D ．1-<a 或2a >第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．已知a x x x f ++=233)(（a 为常数），在[－3，3]上有最小值3，那么在[－3，3]上)(x f 的最大值是__________．14．设p ：3||>-a x ，q ：0)12)(1(≥-+x x ，若p ⌝是q 的充分不必充要条件，则实数a 的取值范围是 ．15．设曲线3()2f x ax a =-在点()1,a 处的切线与直线210x y -+=平行，则实数a 的值为______．16．函数()()222log x x x f -+=的零点个数为 个．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本题12分）已知0a >，且1a ≠．设:p 函数log (1)a y x =+在区间(0,)+∞内单调递减；:q 曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点，如果“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．18．（本题12分）设集合{|1,}M x a x a a R =-<<+∈，集合2{|230}N x x x =≤--． （1）当1a =时，求M N 及R N C M ；（2）若x M ∈是x N ∈的充分条件，求实数a 的取值范围．19．（本题12分）已知))((R x x f y ∈=是偶函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2-=．（1）求)(x f 的解析式；（2）若不等式mx x f ≥)(在21≤≤x 时都成立，求m 的取值范围．20．（本题12分）已知幂函数()f x 的图象经过点1(2,)4．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性，并解并于m 的不等式)1()(+<m f m f ．21．（本题12分）已知函数()ln af x x x=-，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()1,(1)f 的切线垂直于直线y x =．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间和极值．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．解答时请写清题号．22．（本题10分）已知AD 是ABC ∆的外角EAC ∠的平分线， 交BC 的延长线于点D ，延长DA 交ABC ∆的外接圆于点F ，连接,FB FC ． （1）求证：FB FC =；（2）若AB 是ABC ∆外接圆的直径，120,EAC BC ∠== ， 求AD 的长．23．（本题10分）在直角坐标系xOy 中．直线1:2C x =-，圆2C ：（x －1）2＋（y －2）2＝1，以坐 标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求12,C C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积24．（本题10分）选修4-5：不等式选讲 设()13f x x x =--+． （1）解不等式()2f x >；（2）若不等式()1f x kx ≤+在[]3,1x ∈--上恒成立， 求实数k 的取值范围．2016-2017学年上学期江西省九江第一中学高三第一次月考测试卷理科数学答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．【答案】C考点：集合交集、并集和补集．【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性．研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步．第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集．在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零．元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系．在求交集时注意区间端点的取舍．熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目．2．【答案】B【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，故选B．考点：全称命题与特称命题．3．【答案】C【解析】试题分析：对数函数定义域大于零，所以p为假命题．q显然是真命题，故p q∨为真命题．考点：含有逻辑联结词命题真假性．4．【答案】D考点：定义域．5．【答案】B 【解析】试题分析：B不行，因为一个x对应了2个y，不是函数图象．考点：函数图象．6．【答案】D【解析】试题分析：A，B，C是非奇非偶函数函数，D为偶函数．考点：函数奇偶性与单调性．7．【答案】A【解析】试题分析：当0x<时，0x->，()()()3log1g x f x x=--=--，()()[]8821g f g f g-=-=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．考点：分段函数图象与性质．8．【答案】A考点：函数的周期性、奇偶性．9．【答案】C【解析】试题分析：2000.30.31a<=<=，22log0.3log10b=<=，0.30221c=>=，故c a b>>．考点：比较大小．10．【答案】C【解析】试题分析：原式()()21|11xx e e e=+=+-=．考点：定积分．11．【答案】C考点：函数导数与图象．【思路点晴】求导运算、函数的单调性、极值和最值是重点知识，其基础是求导运算，而熟练记忆基本导数公式和函数的求导法则又是正确进行导数运算的基础，在(,)a b 内可导函数()f x ，'()f x 在(,)a b 任意子区间内都不恒等于0．'()0()f x f x ≥⇔在(,)a b 上为增函数．'()0()f x f x ≤⇔在(,)a b 上为减函数．导函数图象主要看在x 轴的上下方的部分．12．【答案】C 【解析】 试题分析：()'2326fx x ax a =+++，其判别式()241260a a -+>，解得3-<a 或6a >．考点：导数与极值．【思路点晴】解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错；另外，函数的单调区间不能出现“并”的错误写法． 求函数()f x 极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数()'fx ；(3)解方程()'0f x =，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验()'f x 在()'0f x =的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么()f x )在0x 处取极大值，如果左负右正，那么()f x 在0x 处取极小值．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．【答案】57考点：导数与最值．14．【答案】7(,4][,)2-∞-+∞ 【解析】试题分析：:3,3p x a x a <->+，1:1,2q x x ≤-≥，:33p a x a ⌝-≤≤+，p ⌝是q 的充分不必充要条件，所以131,32a a +≤--≥或，解得7(,4][,)2a ∈-∞-+∞ ．考点：充要条件，绝对值不等式，一元二次不等式．15．【答案】13【解析】试题分析：直线210x y -+=斜率为2，所以()()'2'16,162,3f x ax f a a ====． 考点：导数与切线．【思路点晴】求函数()f x 图象上点00(,())P x f x 处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k ，由导数的几何意义知0'()k f x =，故当0'()f x 存在时，切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-．要深入体会切线定义中的运动变化思想：①两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合(切点)；②割线→切线．切线与某条直线平行，斜率相等．16．【答案】2 【解析】试题分析：令()0f x =得()22log 2x x +=，画出这两个函数如下图所示，由图可知，零点为2个．考点：零点与二分法．【思路点晴】对于函数与方程，常考：1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．函数零点的求法：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数()f x 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．【答案】15,1,22⎡⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭．【解析】试题分析：:01p a <<，()215:23400,22q a a a ∆=-->⇒<<>．,p q p q ∨∧真假，所以,p q 一真一假，分别求出“p 真q 假”和“p 假q 真”对应a 的值，再取并集就得到a 的取值范围．考点：含有逻辑联结词命题真假性．18．【答案】（1）[]1,3-，[]{}2,31⋃-；（2）(],1-∞． 【解析】试题分析：（1）当1a =时分别求出,M N 对应的解集，求得R C M 对应的解集，再取并集和交集求得结果；（2）x M ∈是x N ∈的充分条件，则M 是N 的子集，所以13112a a a ⎧⎪+≤⎪-≥-⎨⎪⎪>-⎩或1a a +≤-，解得(],1a ∈-∞．考点：函数交集、并集和补集，充要条件．19．【答案】（1）()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩；（2）1m ≤-．【解析】试题分析：（1）当0x <时，0x ->，所以()()22f x f x x x =-=+，故()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩；（2）()f x mx ≥等价于()min 21m x ≤-=-． 试题解析：（1）当x ＜0时，有﹣x ＞0，∵f （x ）为偶函数，∴f （x ）=f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣2（﹣x ）=x 2+2x ，∴()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩．（2）由题意得x 2﹣2x≥mx 在1≤x≤2时都成立，即x ﹣2≥m 在1≤x≤2时都成立， 即m≤x ﹣2在1≤x≤2时都成立．而在1≤x≤2时，（x ﹣2）min =﹣1，∴m≤﹣1． 考点：函数的奇偶性，解不等式．20．【答案】（I ）()21f x x =；（II ）1(,)2m ∈-∞-． 【解析】试题分析：（I ）设()f x x α=，代入12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得2α=-，所以()21f x x =；（II ）()f x 为偶函数，故0x >时递减，0x <时递增，故1m m >+，两边平方解得1(,)2m ∈-∞-．考点：幂函数，函数的单调性．【方法点晴】幂函数()y x R αα∈＝，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．在()0,1上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在()1,+∞上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．偶函数图象左右两侧单调性相反．21．【答案】（I ）2a =-；（II ）函数()f x 的单调递增区间为()2,+∞，单调递减区间为()0,2，极小值是ln 21+，无极大值． 【解析】试题分析：（I ）'21()af x x x=+，依题意1x =时斜率为1-，'(1)11f a =+=-，2a =-；（II ）由（I ）得'22122()x f x x x x-=-=，所以()f x 在()0,2内为减函数，()f x 在()2,+∞内为增函数，函数()f x 在2x =处取得极小值(2)ln 21f =+，无极大值．故该函数的单调递增区间为()2,+∞，单调递减区间为()0,2． 由上面得如下表格：由表格知函数()f x 在2x =处取得极小值(2)ln 21f =+，无极大值． 考点：导数与极值、单调区间．【方法点晴】函数的极值:(1)函数的极小值：函数()f x 在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其它点的函数值都小，()'0fa =，而且在点x a =附近的左侧()'0f x <，右侧()'0f x >，则点a叫做函数()f x 的极小值点，()f a 叫做函数()f x 的极小值．(2)函数的极大值：函数()f x 在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近的其他点的函数值都大，()'0f b =，而且在点x b =附近的左侧()'0fx >，右侧()'0f x <，则点b 叫做函数()f x 的极大值点，()f b 叫做函数()f x 的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．解答时请写清题号．22．【答案】（1）证明见解析；（2）6． 【解析】试题分析：（1）由角平分线有EAD DAC ∠=∠，同弧所对的圆周向相等，所以DAC FBC ∠=∠，而EAD FAB FCB ∠=∠=∠，所以FBC FCB ∠=∠，所以FB FC =；（2）直径所对圆周角为直角，由此求得30D ∠= ，进而求得3AC =，为斜边的一半，所以6AD =．考点：几何证明选讲．23．【答案】（1）cos 2ρθ=-，22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（2）12． 【解析】试题分析：（1）将cos ,sin x y ρθρθ==代入12,C C 的直角坐标方程，化简得cos 2ρθ=-， 22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（2）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=得12ρρ==，12．试题解析：（1）因为cos ,sin x y ρθρθ== ，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（2）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=得240ρ-+=得12ρρ==，因为2C 的半径为1，则2C MN ∆的面积为111sin 4522⨯= 考点：坐标系与参数方程．24．【答案】（1）{}|2x x <-；（2）1k ≤-．试题解析：（1）()13f x x x =--+ ，所以当3x ≤-时，()1342,3f x x x x =-+++=>∴≤-， 满足原不等式； 当31x -<<时，()1322f x x x x =-+--=--， 原不等式即为222x -->， 解得2,32x x <-∴-<<-满足原不等式；当1x ≥时，()1342,1f x x x x =---=-<∴≥ 不满足原不等式；综上原不等式的解集为{}|2x x <-．（2）当[]3,1x ∈--时，()1322f x x x x =-+--=--， 由于原不等式()1f x kx ≤+在[]3,1x ∈--上恒成立，221x kx ∴--≤+， 在[]3,1x ∈--上恒成立，[]()323,1k x x∴≤--∈--， 设()32g x x=--，易知()g x 在[]3,1x ∈--上为增函数，()[]()113,1,1g x x k ∴-≤≤∈--∴≤-．考点：不等式选讲．。
江西省九江一中2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科)(word版含答案)
2016-2017学年江西省九江一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．2．等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（）A．15 B．30 C．31 D．643．已知双曲线C：=1的离心率等于，且点在双曲线C上，则双曲线C的方程为（）A．B．C．D．4．已知命题，命题，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．若实数x，y满足|x﹣3|≤y≤1，则z=的最小值为（）A．B．2 C．D．6．已知数列{a n}为等比数列，则下列结论正确的是（）A．a 1+a3≥2a2B．若a3＞a1，则a4＞a2C．若a1=a3，则a1=a2D．a12+a32≥2a227．《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布10尺，一个月（按30天计算）总共织布6尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺8．若双曲线﹣y2=1的渐近线与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A．5 B．C．2 D．9．设正数x，y满足：x＞y，x+2y=3，则+的最小值为（）A．B．C．4 D．210．若椭圆+=1（a＞b＞0）和圆x2+y2=（+c）2，（c为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．11．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．812．如图，A1，A2为椭圆+=1的长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，Q，T为椭圆上不同于A1，A2的三点，直线QA1，QA2，OS，OT围成一个平行四边形OPQR，则|OS|2+|OT|2=（）A．5 B．3+C．9 D．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．（文）在△ABC中，a=3，b=5，C=120°，则c=．14．在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的半径γ=．在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R=．15．已知△ABC中，sinA+2sinBcosC=0，则tanA的最大值是．16．设数列{a n}是首项为0的递增数列，f n（x）=|sin（x﹣a n）|，x∈[a n，a n]，+1n∈N*，满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）=b总有两个不同的根，则{a n}的通项公式为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，acosC=（2b﹣c）cosA （1）求cosA的值；（2）若a=6，b+c=8，求三角形ABC的面积．18．已知数列{a n}满足a n=，a1=0．+1（1）计算a2，a3，a4，a5的值；（2）根据以上计算结果猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．=2S n+1（n∈N*）．19．数列{a n}的前n项和记为S n，a1=t，a n+1（1）当t为何值时，数列{a n}为等比数列？（2）在（1）的条件下，若等差数列{b n}的前n项和T n有最大值，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求T n．20．已知：由四个直角边为的等腰直角三角形拼成如图所示的平面凹五边形ACDEF，沿AD折起，使平面ADEF⊥平面ACD．（1）求证：FB⊥AD；（2）求二面角C﹣EF﹣D的正切值．21．已知点F是拋物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，若点M（x0，1）在C上，且|MF|=．（1）求p的值；（2）若直线l经过点Q（3，﹣1）且与C交于A，B（异于M）两点，证明：直线AM与直线BM的斜率之积为常数．22．已知椭圆C的中心为坐标原点，其离心率为，椭圆C的一个焦点和抛物线x2=4y的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）过点的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，说出点T的坐标，若不存在，说明理由．2016-2017学年江西省九江一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是（ ）A ．B ．ab ＜b 2C ．﹣ab ＜﹣a 2D ．【考点】不等关系与不等式．【分析】由于a ＜b ＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，代入各个选项检验，只有D 正确，从而得出结论．【解答】解：由于a ＜b ＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得=﹣1，∴，故A 不正确．可得ab=2，b 2=1，∴ab ＞b 2，故B 不正确．可得﹣ab=﹣2，﹣a 2=﹣4，∴﹣ab ＞﹣a 2，故C 不正确．故选D ．2．等差数列{a n }中，a 7+a 9=16，a 4=1，则a 12=（ ）A ．15B ．30C ．31D ．64【考点】等差数列的性质．【分析】由a 7+a 9=16可得 2a 1+14d=16，再由a 4=1=a 1+3d ，解方程求得a 1和公差d 的值，从而求得a 12的值．【解答】解：设公差等于d ，由a 7+a 9=16可得 2a 1+14d=16，即 a 1+7d=8．再由a 4=1=a 1+3d ，可得 a 1=﹣，d=．故 a 12 =a 1+11d=﹣+=15， 故选：A ．3．已知双曲线C：=1的离心率等于，且点在双曲线C上，则双曲线C的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线C：=1的离心率等于，且点在双曲线C上，知，由此能求出双曲线C的标准方程．【解答】解：∵双曲线C：=1的离心率等于，且点在双曲线C上，∴，解得：a2=4，b2=1，∴双曲线C的标准方程为=1．故选D．4．已知命题，命题，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义结合三角函数的性质判断即可．【解答】解：∵命题，命题，∴由p推不出q，由q能推出p，则p是q的必要不充分条件，故选：B．5．若实数x，y满足|x﹣3|≤y≤1，则z=的最小值为（）A．B．2 C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：依题意，得实数x，y满足，画出可行域如图所示，其中A（3，0），C（2，1），z===1+，设k=，则k的几何意义为区域内的点与原点的斜率，则OC的斜率最大为k=，OA的斜率最小为k=0，则0≤k≤，则1≤k+1≤，≤≤1，故≤1+≤2，故z=的最小值为，故选A．6．已知数列{a n}为等比数列，则下列结论正确的是（）A．a1+a3≥2a2B．若a3＞a1，则a4＞a2C．若a1=a3，则a1=a2D．a12+a32≥2a22【考点】等比数列的性质．【分析】根据等比数列的通项公式、不等式的性质进行解答．【解答】解：设{a n}的公比为q．A、因为a1+a3=a1（1+q2），a3=a1q2，所以当a1＜0时，该不等式不成立，故本选项错误；B、若a3＞a1，即a1q2＞a1．a4=a1q2•q，a2=a1q，由于无法判定q的正负，所以无法比较a1q2•q与a1q的大小，故本选项错误；C、若a3=a1，即a1q2=a1，则q=±1．当q=﹣1时，等式a1=a2不成立，故本选项错误；D、因为a12+a32≥2a1•a3=2a22，故本选项正确．故选：D．7．《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布10尺，一个月（按30天计算）总共织布6尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺【考点】等差数列的前n项和．【分析】设该妇子织布每天增加d尺，由等差数列的前n项和公式能求出结果．【解答】解：设该妇子织布每天增加d尺，由题意知，解得d=．故该女子织布每天增加尺．故选：B．8．若双曲线﹣y2=1的渐近线与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A．5 B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质；直线与圆的位置关系．【分析】取双曲线﹣y2=1的一条渐近线，由已知渐近线与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切得性质可得：圆心（5，0）到渐近线的距离d=r，利用点到直线的距离公式得出即可．【解答】解：取双曲线﹣y2=1的一条渐近线，∵渐近线与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切，∴圆心（5，0）到渐近线的距离d=r，即，解得r=．故选B．9．设正数x，y满足：x＞y，x+2y=3，则+的最小值为（）A．B．C．4 D．2【考点】基本不等式．【分析】由条件可得2x+4y=6，即有原式= [（x﹣y）+（x+5y）]（+），展开后运用基本不等式，即可得到所求最小值．【解答】解：正数x，y满足：x＞y，x+2y=3，即有2x+4y=6，则+= [（x﹣y）+（x+5y）]（+）=（10++）≥（10+2）=×16=．当且仅当3（x ﹣y ）=x +5y ，即有x=2，y=，取得最小值．故选：A ．10．若椭圆+=1（a ＞b ＞0）和圆x 2+y 2=（+c ）2，（c 为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】由题设知，由，得2c ＞b ，再平方，4c 2＞b 2，；由，得b +2c ＜2a ，．综上所述，．【解答】解：∵椭圆和圆为椭圆的半焦距）的中心都在原点，且它们有四个交点，∴圆的半径，由，得2c ＞b ，再平方，4c 2＞b 2，在椭圆中，a 2=b 2+c 2＜5c 2，∴；由，得b +2c ＜2a ，再平方，b 2+4c 2+4bc ＜4a 2，∴3c 2+4bc ＜3a 2，∴4bc＜3b2，∴4c＜3b，∴16c2＜9b2，∴16c2＜9a2﹣9c2，∴9a2＞25c2，∴，∴．综上所述，．故选A．11．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】圆与圆锥曲线的综合；抛物线的简单性质．【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，x A==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C的焦点到准线的距离为：4．故选：B．12．如图，A1，A2为椭圆+=1的长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，Q，T为椭圆上不同于A1，A2的三点，直线QA1，QA2，OS，OT围成一个平行四边形OPQR，则|OS|2+|OT|2=（）A．5 B．3+C．9 D．14【考点】椭圆的简单性质．【分析】设Q（x0，y0），则+=1，可得：•=﹣．设直线OS，OT的方程分别为：y=k1x，y=k2x，则=k1，=k2．可得k1k2．直线方程与椭圆方程分别联立可得，；，．即可得出：|OS|2+|OT|2．【解答】解：设Q（x0，y0），则+=1，∴=．设直线OS，OT的方程分别为：y=k1x，y=k2x，则=k1，=k2．∵•===﹣．∴k1k2=﹣．联立，解得=，=．同理可得：=，=．∴|OS|2+|OT|2=+++=+++=+==14．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．（文）在△ABC中，a=3，b=5，C=120°，则c=7．【考点】余弦定理．【分析】由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，代入可求．【解答】解：由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，==49，∴c=7．故答案为：7．14．在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的半径γ=．在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R=．【考点】类比推理；棱锥的结构特征．【分析】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．但由于类比推理的结果不一定正确，故我们还需要进一步的证明．【解答】解：结论：若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径r=”证明如下：设三棱锥的四个面积分别为：S1，S2，S3，S4，由于内切球到各面的距离等于内切球的半径∴V=S1×r+S2×r+S3×r+S4×r=S×r∴内切球半径r=故答案为：．15．已知△ABC中，sinA+2sinBcosC=0，则tanA的最大值是．【考点】三角函数的化简求值．【分析】sinA+2sinBcosC=0，利用三角形内角和定理与诱导公式可得：sin（B+C）+2sinBcosC=0，展开化为：3sinBcosC+cosBsinC=0，cosC≠0，cosB≠0．因此3tanB=﹣tanC．即可判断：B为锐角，C为钝角；tanA=﹣tan（B+C）展开代入利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：三角形ABC中，A+B+C=180°sinA=sin（B+C）代入sinA+sinBcosC=0得：sin（B+C）+2sinBcosC=0∴：3sinBcosC+cosBsinC=0∴：3sinBcosC=﹣cosBsinC∴：3tanB=﹣tanCsinA+2sinBcosC=0，sinA=﹣2sinBcosC＞0∴：sinBcosC＜0∵：sinB＞0∴：cosC＜0∴：C是钝角，A和B是锐角，tanB＞0tanA=﹣tan（B+C）=﹣=﹣=≤当且仅当tanB=时取等号．∴tanA的最大值是．故答案为：．16．设数列{a n}是首项为0的递增数列，f n（x）=|sin（x﹣a n）|，x∈[a n，a n]，+1n∈N*，满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）=b总有两个不同的根，则{a n}的通项公式为．【考点】数列与三角函数的综合．﹣a n=nπ，利用叠加可求得{a n}的通项公式．【分析】根据条件确定a n+1【解答】解：∵a1=0，当n=1时，f1（x）=|sin（x﹣a1）|=|sinx|，x∈[0，a2]，又∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a2=π∴f1（x）=sinx，x∈[0，π]，a2=π又f2（x）=|sin（x﹣a2）|=|sin（x﹣π）|=|cos|，x∈[π，a3]∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a3=3π…又f3（x）=|sin（x﹣a3）|=|sin（x﹣3π）|=|sinπ|，x∈[3π，a4]∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a4=6π…由此可得a n﹣a n=nπ，+1∴a n=a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n﹣1）=0+π+…+（n﹣1）π=∴故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，acosC=（2b﹣c）cosA （1）求cosA的值；（2）若a=6，b+c=8，求三角形ABC的面积．【考点】余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理、和差公式及其诱导公式即可得出．（2）利用余弦定理与三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）∵acosC=（2b﹣c）cosA，由正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA…由两角和的正弦公式得sin（A+C）=2sinBcosA…由三角形的内角和可得sinB=2sinBcosA…因为sinB≠0，所以…（2）由余弦定理得：，∴，…由（1）知…所以． (1)=，a1=0．18．已知数列{a n}满足a n+1（1）计算a2，a3，a4，a5的值；（2）根据以上计算结果猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．【考点】数学归纳法；数列递推式．【分析】（1）由和a1=0，代入计算，可求a2，a3，a4，a5的值；（2）猜想{a n}的通项公式，再用数学归纳法证明，关键是假设当n=k（k≥1）时，命题成立，即成立，利用递推式，证明当n=k+1时，等式成立．【解答】解：（1）由和a1=0，得，，，．（2）由以上结果猜测：用数学归纳法证明如下：（Ⅰ）当n=1时，左边=a1=0，右边=，等式成立．（Ⅱ）假设当n=k（k≥1）时，命题成立，即成立．那么，当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时等式成立．由（Ⅰ）和（Ⅱ），可知猜测对于任意正整数n都成立．19．数列{a n}的前n项和记为S n，a1=t，a n+1=2S n+1（n∈N*）．（1）当t为何值时，数列{a n}为等比数列？（2）在（1）的条件下，若等差数列{b n}的前n项和T n有最大值，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求T n．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）先由a n+1=2S n+1求出a n+1=3a n．再利用数列{a n}为等比数列，可得a2=3a1．就可以求出t值．（2）先利用T3=15求出b2=5，再利用公差把b1和b3表示出来．代入a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求出公差即可求T n．【解答】解：（1）由a n+1=2S n+1 ①可得a n=2s n﹣1+1 （n≥2）②两式作差得a n+1﹣a n=2a n⇒a n+1=3a n．因为数列{a n}为等比数列⇒a2=2s1+1=2a1+1=3a1⇒a1=t=1．所以数列{a n}是首项为1，公比为3的等比数列∴a n=3n﹣1．（2）设等差数列{b n}的公差为d，由T3=15⇒b1+b2+b3=15⇒b2=5，所以可设b1=5﹣d，b3=5+d．又a1=1，a2=3，a3=9．由题得（5﹣d+1）（5+d+9）=（5+3）2．⇒d=﹣10，d=2．因为等差数列{b n}的前n项和T n有最大值，且b2=5，所以d=﹣10．解得b1=15，所以T n=15n+=20n﹣5n2．20．已知：由四个直角边为的等腰直角三角形拼成如图所示的平面凹五边形ACDEF，沿AD折起，使平面ADEF⊥平面ACD．（1）求证：FB⊥AD；（2）求二面角C﹣EF﹣D的正切值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）作FO⊥AD于O，连结OB，由已知得O为AD中点，BO⊥AD，从而AD⊥平面FOB，由此能证明FB⊥AD．（2）由已知得∠ADC=90°，CD⊥AD，CD⊥平面ADEF，作DM⊥EF，连结MC，则∠DMC是二面角C﹣EF﹣D的平面角，由此能求出二面角C﹣EF﹣D的正切值．【解答】（1）证明：作FO⊥AD于O，连结OB，∵等腰直角△AFD，∴O为AD中点，∴等腰直角△ABD，∴BO⊥AD，∵FO∩BO=O，∴AD⊥平面FOB，∴FB⊥AD．（2）解：∵等腰直角△ADB和等腰直角△CDB，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AD，又∵平面ADEF⊥平面ACD，平面ADEF∩平面ACD=AD，∴CD⊥平面ADEF，作DM⊥EF，连结MC，∠DMC是二面角C﹣EF﹣D的平面角，在Rt△MDC中，∠MDC=90°，MD=1，DC=2，∴tan∠DMC=2，∴二面角C﹣EF﹣D的正切值为2．21．已知点F是拋物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，若点M（x0，1）在C上，且|MF|=．（1）求p的值；（2）若直线l经过点Q（3，﹣1）且与C交于A，B（异于M）两点，证明：直线AM与直线BM的斜率之积为常数．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）抛物线定义知|MF|=x0+，则x0+=，求得x0=2p，代入抛物线方程，x0=1，p=；（2）由（1）得M（1，1），拋物线C：y2=2x，当直线l经过点Q（3，﹣1）且垂直于x轴时，直线AM的斜率k AM=，直线BM的斜率k BM=，k AM•k BM=×=﹣．当直线l不垂直于x轴时，直线l的方程为y+1=k （x﹣3），代入抛物线方程，由韦达定理及斜率公式求得k AM•k BM===﹣，即可证明直线AM与直线BM的斜率之积为常数﹣．【解答】解：（1）由抛物线定义知|MF|=x0+，则x0+=，解得x0=2p，又点M（x0，1）在C上，代入y2=2px，整理得2px0=1，解得x0=1，p=，∴p的值；（2）证明：由（1）得M（1，1），拋物线C：y2=x，当直线l经过点Q（3，﹣1）且垂直于x轴时，此时A（3，），B（3，﹣），则直线AM的斜率k AM=，直线BM的斜率k BM=，∴k AM•k BM=×=﹣．当直线l不垂直于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AM的斜率k AM===，同理直线BM的斜率k BM=，k AM•k BM=•=，设直线l的斜率为k（k≠0），且经过Q（3，﹣1），则直线l的方程为y+1=k（x﹣3），联立方程，消x得，ky2﹣y﹣3k﹣1=0，∴y1+y2=，y1•y2=﹣=﹣3﹣，故k AM•k BM===﹣，综上，直线AM与直线BM的斜率之积为﹣．22．已知椭圆C的中心为坐标原点，其离心率为，椭圆C的一个焦点和抛物线x2=4y的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）过点的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，说出点T的坐标，若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）求出抛物线焦点的坐标为（0，1），设椭圆方程为，求出a，b，c，即可求解椭圆方程．（2）若直线l与x轴重合，求出以AB为直径的圆的方程，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是，联立两个圆的方程，得到切点坐标，然后证明：当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0），若直线l不垂直于x轴，可设直线l：设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理以及=0，推出，得到结果．【解答】解：（1）抛物线焦点的坐标为（0，1），则椭圆C的焦点在y轴上设椭圆方程为由题意可得c=1，，，∴椭圆方程为…（2）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是由即两圆相切于点（1，0）…因此所求的点T如果存在，只能是（1，0），事实上，点T（1，0）就是所求的点．…证明：当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0），若直线l不垂直于x轴，可设直线l：设点A（x1，y1），B（x2，y2）由，∴…又∵=（x1﹣1，y1），=（x2﹣1，y2），∴=（x1﹣1，y1）•（x2﹣1，y2）====0…∴即：TA⊥TB，故以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．综上可知：在坐标平面上存在一个定点T（1，0）满足条件．…2017年3月6日。
江西省九江市2016-2017学年高二上学期期末考试理数试题 Word版含答案
九江市2016-2017学年度上学期期末考试高二 数学（理科）试题卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列{}n a 中，已知28a =-，公差2d =，则12a =（ ） A ．10 B ．12 C ．14 D ．162.“a b >”是“1a b >+”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.双曲线22124x y -=渐近线的斜率为（ ）A ．B ．12± C ． D ．2± 4.函数()40y x x x=+<有（ ）A ．最小值4B ．最大值4 C.最小值4- D ．最大值4-5.命题:0p x ∀<，2x x >，命题:q x R ∃∈，210x x ++<，则下列命题正确的是（ ） A ．()p q ⌝∨为真 B ．p q ∨为真 C.()p q ∧⌝为假 D ．()()p q ⌝∧⌝为真6.（重点中学做）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（ ） A ．1011升 B ．6566升 C.6766升 D ．3733升 （普通中学做）《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ） A.12尺布 B.815尺布 C.1631尺布 D.1629尺布7.（重点中学做）已知变量 x y ，满足约束条件1010310x y x x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则目标函数421z x y =+-的最大值为（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．4（普通中学做）已知变量 x y ，满足约束条件1010310x y x x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则目标函数z x y =+的最小值为（ ）A.5B.3C.1D.08.在正四棱锥P ABCD -中，6AB =，二面角P BC A --的大小为3π，则异面直线PB 与AD所成角的正弦值为（ ） AC.35 D ．459.过抛物线()2:20C y px p =>的焦点且斜率为1的直线与C 相交于 A B ，两点，若4AB =，则抛物线C 的方程为（ ）A ．2y x =B ．22y x = C.24y x = D ．28y x =10.如图所示，P 为ABC △内一点，且满足ABC CPB △∽△，90ABC CPB ∠=∠=︒，AB =2BC =，则PA =（ ）A ．7 B11.已知函数()()()32f x m x m x m =++++，()22x g x =-，若x R ∀∈，()0f x <或()0g x <恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()3 0-，B ．()2 0-， C.()3 2--， D ．()0 3， 12.（重点中学做）已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10 0x y C a b a b -=>>，有相同的焦点1F ，2F ，点P 是两曲线的一个公共点，且12PF PF ⊥，12 e e ，分别是两曲线1C ，2C 的离心率，则22129e e +的最小值是（ ） A ．4 B ．6 C.8 D ．16（普通中学做）已知双曲线()2222:10 0x y C a b a b -=>>，，以C 的右焦点F 为圆心，以a 为半径的圆与C 的一条渐近线交于 A B ，两点，若ABF △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）C.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数()f x =的定义域为 ． 14.若 a b ，是两个正数，且 4a b -，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则a b +的值等于 ．15.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为2的正方形，侧棱1AA 的长为2，且11120A AB A AD ∠=∠=︒，E 为AB 的中点，F 为1CC 的中点，则EF 的长为 ．16.（重点中学做）如图所示，已知平面四边形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且1AB =，3BC =，4CD =，2DA =，则平面四边形ABCD 面积的最大值为 ．（普通中学做）在ABC △中，已知三边的长分别是()sin sin sin αβαβ+，，（ 0 2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，），则ABC △外接圆的面积为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC △中，内角 A B C ，，的对边分别是 a b c ，，，且cos sin a b C B =+. （1）求角B 的值；（2）若6a c +=，且ABC △，求边b 的长. 18. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n a S +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T . 19. （本小题满分12分）某工厂要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，这些产品要在A 、B 、C 、D 四种不同的设备上加工，按工艺规定，在一天内，产品Ⅰ每件在A 、B 、C 、D 设备上需要加工时间分别是2、2、3、0小时，产品Ⅱ每件在A 、B 、C 、D 设备上需要加工时间分别是4、1、0、3小时，A 、B 、C 、D 设备最长使用时间分别是16、8、9、9小时.设计划每天生产产品Ⅰ的数量为x（件），产品Ⅱ的数量为y （件）.() x y N ∈，（1）用 x y ，列出满足设备限制使用要求的关系式，并画出相应的平面区域；（2）已知产品Ⅰ每件利润2（万元），产品Ⅱ每件利润3（万元），在满足设备限制使用要求的情况下，问该工厂在每天内产品Ⅰ，产品Ⅱ各生产多少件会使利润最大，并求出最大值.20. （本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA AB =2=，PB =PC =， E F ，分别为 BC PD ，的中点.（1）求证：EF AD ⊥；（2）求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值. 21. （本小题满分12分）（重点中学做）如图所示，已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过点，直线():0l y kx k =≠与椭圆E 交于P 、A 两点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C 点，直线AC 交椭圆E 与另一点B ，当k =时，椭圆E 的右焦点到直线l 的距离为（1）求椭圆E 的方程；（2）试问APB ∠是否为定值？若为定值，求出其值；若不为定值，说明理由.（普通中学做）如图所示，已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>过点31 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，直线():10l y kx k =+≠与椭圆E 交于 A B ，两点，当1k =时，椭圆E 的右焦点到直线l 的距离为（1）求椭圆E 的方程；（2）设点A 关于y 轴的对称点为'A ，试问：直线'A B 是否恒过y 轴上的一个定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）已知命题p ：方程22122x y t t +=-+所表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆；命题q ：实数t 满足不等式()2220t a t a -++<.（1）若命题p 为真，求实数t 的取值范围；（2）若“命题p 为真”是“命题q 为真”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 23. （本小题满分10分）已知命题p ：22240k k --≤；命题q ：方程22133x y k k+=-+表示焦点在x 轴上的双曲线. （1）若命题q 为真，求实数k 的取值范围；（2）若命题“p q ∨”为真，“p q ∧“为假，求实数k 的取值范围.九江市2016-2017学年度上学期期末考试高二 数学（理科） 参考答案及评分标准一、选择题1-5:BACDB 6-10:6普C ，6重D ，7普C ，7重D ；BBC 11、12：A ；12普A ，12重C二、填空题13.[)0 10， 16.（重点中学做）（普通中学做）4π三、解答题17.解：（1）由cos a b C =sin c B 及正弦定理得：sin sin cos sin A B C C B =+.………………1分 ∴()sin sin cos sin B C B C C B +=.…………2分∴sin cos cos sin sin cos sin B C B C B C C B +=.……3分∴cos sin sin B C C B =………………4分 又∵C 为三角形内角，可得sin 0C ≠，∴tan B =.…………5分∵()0 B π∈，， ∴3B π=.……6分（2）∵ABC △，∴1sin 2ac B =12ac =6ac =.…………9分 由余弦定理得，()22222cos 3361818b a c ac B a c ac =+-=+-=-=，∴b =分18.解：（1）当1n =时，11122a S a +==，∴11a =.…………2分 当2n ≥时，由2n n a S +=及112n n a S --+=，得110n n n n a a S S ---+-=， 即12n n a a -=，112n n a a -=.………………4分 ∴数列{}n a 为首项为1，公比为12的等比数列.…………5分 ∴1111122n n n a --⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭.………………6分 （2）由（1）得12n n n b -=，01211232222n n nT -=++++….……8分 123112322222n n nT =++++…， 两式相减得2111111122121222222212n n n n n n n n n T --+=++++-=-=--….…………11分∴1242n n n T -+=-.…………12分 19.解：（1） x y ，所满足的关系式为241628039039 x y x y x y x y N +≤⎧⎪+≤⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩，，即28280303 x y x y x y x y N +≤⎧⎪+≤⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩，.………………3分画出不等式组28280303 x y x y x y x y N +≤⎧⎪+≤⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩，所表示的平面区域，即可行域，（图中实心点）（注：可行域画成阴影区域及未标注 x y N ∈，扣1分）…………6分 （2）设最大利润为z （万元），则目标函数23z x y =+.……8分将23z x y =+变形233z y x =-+，这是斜率为23-，随z 变化的一组平行直线，3z是直线在y轴上的截距， 当3z取得最大值时，z 的值最大，又因为 x y ，所满足的约束条件，联立方程组2828x y x y +=⎧⎨+=⎩，得点M 坐标为88 33⎛⎫ ⎪⎝⎭，.又∵ x y N ∈，，当直线233z y x =-+经过可行域上的点()2 3A ，时，截距3z最大.……10分 此时，223313z =⨯+⨯=.所以，每天安排生产2件产品Ⅰ，3件产品Ⅱ，会使利润最大为13（万元）.……12分 20.解：（1）取AD 中点G ，连接EG ，FG ，∵ E G ，分别为 BC AD ，中点，底面ABCD 为正方形， ∴AD EG ⊥，……1分∵PC =，2PA =，AC = ∴222PC AC PA =+， ∴PA AC ⊥.∵PB =2PA AB ==， ∴222PB PA AB =+， ∴PA AB ⊥，又AC AB A = ，AC ，AB 平面ABCD ， ∴PA ⊥平面ABCD .…………3分 又AD 平面ABCD ， ∴PA AD ⊥，∵F ，G 分别为PD ，AD 中点， ∴FG PA ∥， ∴AD FG ⊥，又EG FG G = ，EG ，FG 平面EFG ， ∴AD ⊥平面EFG ，……5分 又EF 平面EFG ，∴EF AD ⊥.………………6分（2）由（1）知可建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0 0 0A ，，，()2 0 0B ，，，()2 2 0C ，，，()0 2 0D ，，，()0 0 2P ，，，()2 1 0E ，，，()0 1 1F ，，，∴()2 0 1EF =-，，.………………8分设平面PBC 的法向量() n x y z = ，，，()2 0 2PB =- ，，，()0 2 0BC =，，，则00n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020x z y -=⎧⎨=⎩，∴()1 0 1n = ，，.……10分 设直线EF 与平面PBC 所成角为θ，则sin cos n EF n EF n EFθ⋅=<>===⋅ ，……12分 21.（重点中学做）解：（1）∵椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过点，∴22221a b+=.……1分 ∵椭圆E 的右焦点() 0c ，到直线:l y =，，∴c =.…………3分又222a bc =+，解得a =，b =，故椭圆E 的方程为22163x y +=.…………4分 （2）90APB ∠=︒，证明如下：设()00 P x y ，，则()00 A x y --，，()0 0C x ，，0y k x =， 直线AB 的斜率()()001000022y y kk x x x --===--.……8分 可得直线AB 的方程：()02ky x x =-，设点()11 B x y ，， 联立()022226k y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，消去y 得()222220022120k x k x x k x +-+-=， 则2001222k x x x k -+=+，解得20012322k x x x k +=+，∴30122k x y k =+，点230002232 22k x x k x B k k ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭，.…………10分 ∵3002022000022123222PBk x kx kx k k k x x k x kx k --+===-+-+， ∴1AP PB k k ⋅=-，∴90APB ∠=︒.……12分（普通中学做）解：（1）∵椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>过点31 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴221914a b +=.……2分∵椭圆E 的右焦点() 0c ，到直线:1l y x =+，，∴1c =.……4分 又222a b c =+，解得 2 a b ==，，故椭圆E 的方程为22143x y +=.……6分 （2）设()11 A x y ，，()22 B x y ，，则有()11' A x y -，， 将1y kx =+代入椭圆方程22143x y +=，得()2234880k x kx ++-=.……8分 ∴122834k x x k +=-+，122834x x k =-+.……10分 直线'A B 的方程为()211121y y y y x x x x --=++， 令0x =，得()()2122112211221212128211234113834k x kx x kx x y x y kx x k y k x x x x x x k ⎛⎫- ⎪+++++⎝⎭===+=+=+++-+， 故'A B 恒过y 轴上的一个定点()0 3，.……12分 22.解：（1）∵方程22122x y t t+=-+所表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆， ∴220t t ->+>.………………3分解得20t -<<.…………5分（2）∵“命题p 为真”是“命题q 为真”的充分不必要条件，∴{}20t t -<<是不等式()()()22220t a t a t t a -++=--<的解集的真子集.……7分 令()()222f t t a t a =-++，∴()()2000f f ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩.……9分 解得2a ≤-，故实数a 的取值范围为(] 2-∞-，.………………10分 23.解：（1）当命题q 为真时，由已知得3030k k ->⎧⎨+<⎩.………………3分解得3k <-，∴当命题q 为真时，实数k 的取值范围是() 3-∞-，.……5分 （2）当命题p 为真时，由22240k k --≤解得46k -≤≤.……6分 由题意得命题p 、q 中有一真命题、有一假命题.……7分当命题p 为真、命题q 为假时，则463k k -≤≤⎧⎨≥-⎩，解得36k -≤≤.……8分 当命题p 为假、命题q 为真时，则463k k k <->⎧⎨<-⎩或，4k <-.…………9分 ∴实数k 的取值范围是()[] 4 3 6-∞-- ，，.……10分。
2016届江西省九江一中高三(上)第一次月考数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年江西省九江一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题1．已知i虚数单位，则（）2﹣（）2=（）A．﹣3+4i B．0 C．﹣4+3i D．﹣4﹣3i2．已知集合A={（x，y）|y=x2，x∈R}，B={（x，y）|y=|x|，x∈R}，则A∩B中的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．已知函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值不可能是（）A．B．πC．D．4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．1 D．25．某学校安排3位老师与5名学生去3地参观学习，每地至少去1名老师和1名学生，则不同的安排方法总数为（）A．1800 B．900 C．300 D．14406．已知函数y=f（x）是周期为2的周期函数，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2|x|﹣1，则函数F（x）=f（x）﹣|lgx|的零点个数是（）A ．9B ．10C ．11D ．127．已知数列{a n }的通项公式为a n =，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则与S 98最接近的整数是（ ）A ．20B ．21C ．24D ．25 8．（x 2﹣x+2）5的展开式中x 3的系数为（ ）A ．﹣20B ．﹣200C ．﹣40D ．﹣4009．在平行四边形ABCD 中，，且，沿BD 折成直二面角A ﹣BD ﹣C ，则三棱锥A ﹣BCD 的外接球的表面积是（ ）A ．16πB ．8πC ．4πD ．2π10．已知（x+1）n 展开式中有连续三项之比为1：2：3，且展开式的倒数第二项为28，则x 的值为（ ）A ．2B ．C ．﹣2D ．或211．点P （x ，y ）是椭圆（a ＞b ＞0）上的任意一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2≤90°，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．0＜e ＜1D ．12．函数y=1﹣|x ﹣x 2|的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．（理科）若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是．14．已知等差数列{a n}的前n项和是S n，若M，N，P三点共线，O为坐标原点，且=a15+a6（直线MP不过点O），则S20等于．15．若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程为．16．如图，正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列四个命题：①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②恒有平面A′GF⊥平面BCED；③三棱锥A′﹣FED的体积有最大值；④直线A′E与BD不可能垂直．其中正确的命题的序号是．三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a、b、c成等比数列．（1）求角B的取值范围；（2）若关于B的表达式cos2B﹣4sin（）sin（）+m＞0恒成立，求实数m的取值范围．18．甲乙两人进行乒乓球对抗赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一个比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为P（，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．若图为统计这次比赛的局数n和甲，乙的总得分数S，T的程序框图．其中如果甲获胜则输入a=1，b=0．如果乙获胜，则输入a=0，b=1．（1）在图中，第一，第二两个判断框应分别填写什么条件？（2）求P的值．（3）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．19．已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1．（Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC；（Ⅱ）求CC1到平面A1AB的距离；（Ⅲ）求二面角A﹣A1B﹣C的大小．20．已知点G是圆F：（x+2）2+y2=4上任意一点，R（2，0），线段GR的垂直平分线交直线GF 于H．（1）求点H的轨迹C的方程；（2）点M（1，0），P、Q是轨迹C上的两点，直线PQ过圆心F（﹣2，0），且F在线段PQ之间，求△PQM面积的最小值．21．已知函数f（x）=ln（x2+1），g（x）=．（Ⅰ）求g（x）在P（，g（））处的切线方程l；（Ⅱ）若f（x）的一个极值点到直线l的距离为1，求a的值；（Ⅲ）求方程f（x）=g（x）的根的个数．选修4-4（坐标系与参数方程）22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求的最小值．选修4-5（不等式选讲）23．已知a∈R，设关于x的不等式|2x﹣a|+|x+3|≥2x+4的解集为A．（Ⅰ）若a=1，求A；（Ⅱ）若A=R，求a的取值范围．2015-2016学年江西省九江一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知i虚数单位，则（）2﹣（）2=（）A．﹣3+4i B．0 C．﹣4+3i D．﹣4﹣3i【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数．【分析】由于==﹣．代入化简即可得出．【解答】解：∵==﹣．∴（）2﹣（）2=（）2﹣（）2=0，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与技能数列，属于中档题．2．已知集合A={（x，y）|y=x2，x∈R}，B={（x，y）|y=|x|，x∈R}，则A∩B中的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】首先求解方程组，得到两曲线的交点坐标，结合对称性得答案．【解答】解：∵A={（x，y）|y=x2，x∈R}，B={（x，y）|y=|x|，x∈R}，当x≥0时，y=|x|化为y=x，联立，解得x=0或x=1．即两曲线y=x2，y=x有两个交点（0，0），（1，1），结合对称性可知两曲线y=x2，y=|x|共有3个交点．∴A∩B中的元素个数为3．故选：D．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了方程组的解法，是基础题．3．已知函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值不可能是（）A．B．πC．D．【考点】正弦函数的定义域和值域．【专题】计算题．【分析】由题意得，x∈[a，b]时，﹣1≤sinx≤，定义域的区间长度b﹣a最小为，最大为，由此选出符合条件的选项．【解答】解：函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，∴x∈[a，b]时，﹣1≤sinx≤，∴定义域的区间长度b﹣a最小为，最大为，即≤b﹣a≤，故选D．【点评】本题考查正弦函数的定义域和值域，判断定义域的区间长度b﹣a最小为，最大为，是解题的关键．4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．1 D．2【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】几何体的三视图可知几何体是放倒的三棱柱，底面是直角三角形，利用三视图的数据，直接求出棱柱的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体的三视图可知几何体是放倒的三棱柱，底面是直角三角形，直角边分别为：1，，棱柱的高为，所以几何体的体积为：=1．故选C．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查想的视图能力与空间想象能力．5．某学校安排3位老师与5名学生去3地参观学习，每地至少去1名老师和1名学生，则不同的安排方法总数为（）A．1800 B．900 C．300 D．1440【考点】计数原理的应用．【专题】应用题；分类讨论；综合法；排列组合．【分析】五名学生去3地参观学习，每地至少1名学生故应先将5名学生分为三组，有两种分法，3，1，1；2，2，1，然后再排列即可得到所有不同的分配方法，计算时先分类再分步．再考虑3位老师去3地参观学习，每地至少去1名老师，有A33=6种，即可得出结论．【解答】解：本题是一个分类计数问题，五名学生去3地参观学习，每地至少1名学生，故应先将5名学生分为三组，有两种分法，3，1，1；2，2，1，若三组人数分别为3，1，1，则不同的分组法有C53种，故此类中不同的分配方法有C53×A33=60种若三组人数分别为2，2，1，则不同的分组法有×C52×C32=15，故此类中不同的分配方法有15×A33=90种综上知，不同的分配方法共有60+90=150种，3位老师去3地参观学习，每地至少去1名老师，有A33=6种所以不同的安排方法总数为150×6=900种．故选：B．【点评】本题考查分类、分步计数问题，考查学生分析解决问题的能力，正确分类是关键．6．已知函数y=f（x）是周期为2的周期函数，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2|x|﹣1，则函数F（x）=f（x）﹣|lgx|的零点个数是（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的周期性．【专题】函数的性质及应用．【分析】在坐标系中画出两个函数y1=|lgx|，y2=f（x）的图象，分析两个图象交点的个数，进而可得函数F（x）=f（x）﹣|lgx|的零点个数．【解答】解：∵函数F（x）=f（x）﹣|lgx|的零点，即为函数y1=|lgx|，y2=f（x）的图象的交点，又∵函数y=f（x）是周期为2的周期函数，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2|x|﹣1，在同一坐标系中画出两个函数y1=|lgx|，y2=f（x）的图象，如下图所示：由图可知：两个函数y1=|lgx|，y2=f（x）的图象共有10个交点，故函数F（x）=f（x）﹣|lgx|有10个零点，故选：B．【点评】本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系，通过转化和作图求出函数零点的个数．7．已知数列{a n}的通项公式为a n=，S n是数列{a n}的前n项的和，则与S98最接近的整数是（）A．20 B．21 C．24 D．25【考点】数列的求和．【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得，a n==12（﹣），利用裂项求和可得S n=25﹣12（+++），求出结果再跟选项相比较即可．【解答】解：∵a n==12（﹣）∴S n=12（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣）=12（1+++﹣﹣﹣﹣）=25﹣12（+++）∴与S98最接近的整数是25；故选D．【点评】本题主要考查了数列的求和，而求和方法的选择最关键的是观察通项公式，正确裂项．8．（x2﹣x+2）5的展开式中x3的系数为（）A．﹣20 B．﹣200 C．﹣40 D．﹣400【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r、r′的值，即可求得x3项的系数．【解答】解：式子（x2﹣x+2）5 =[（x2﹣x）+2]5的展开式的通项公式为T r+1=•（x2﹣x）5﹣r•2r，对于（x2﹣x）5﹣r，它的通项公式为T r′+1=（﹣1）r′••x10﹣2r﹣r′，其中，0≤r′≤5﹣r，0≤r≤5，r、r′都是自然数．令10﹣2r﹣r′=3，可得，或，故x3项的系数为•22•（﹣）+•23•（﹣）=﹣200，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．9．在平行四边形ABCD中，，且，沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积是（）A．16πB．8πC．4πD．2π【考点】球内接多面体．【专题】计算题．【分析】平行四边形ABCD中，，沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，AC为外接球直径，利用，求出球的半径，即可求出三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积．【解答】解：由题意可知，折成直二面角后，AC为外接球直径，因为，所以（2R）2=AC2=AB2+BD2+CD2=2AB2+BD2=4，R2=1，S=4πr2=4π；故选C【点评】本题是基础题，考查平行四边形折叠为三棱锥的外接球的表面积，求出球的半径是本题的核心问题，仔细分析，灵活解题．10．已知（x+1）n展开式中有连续三项之比为1：2：3，且展开式的倒数第二项为28，则x 的值为（）A．2 B．C．﹣2 D．或2【考点】分类加法计数原理．【专题】综合题；转化思想；转化法；二项式定理．【分析】设x=y，利用二项展开式的通项公式求出（y+1）n的展开式的通项，得到连续三项的系数，根据已知条件列出方程，求出n的值，再根据且展开式的倒数第二项为28，求出y=2，根据对数的运算性质计算即可．【解答】解：设x=y因为（y+1）n的展开式的通项为T r+1=C n r y n﹣r根据题意得到C n r：C n r+1：C n r+2=1：2：3解得n=14，∵T13+1=C1413y14﹣13=28，∴y=2，∴x=2，∴（log2x）2=1，∴log2x=±1，∴x=2或x=，故选：D．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项式的有关系数问题，属于中档题．11．点P（x，y）是椭圆（a＞b＞0）上的任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2≤90°，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．0＜e＜1 D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】由题设条件可知，当点P位于（0，b）或（0，﹣b）处时，∠F1PF2最大，此时≥0，∴，由此能够推导出该椭圆的离心率的取值范围．【解答】解：由题意可知，当点P位于（0，b）或（0，﹣b）处时，∠F1PF2最大，此时≥0，∴，∴，又∵0＜e＜1，∴．答案：．故选A．【点评】本题考查椭圆的性质及其应用，难度不大，正确解题的关键是知道当点P位于（0，b）或（0，﹣b）处时，∠F1PF2最大．同时要注意椭圆离心率的取值范围是（0，1）．12．函数y=1﹣|x﹣x2|的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】带绝对值的函数；二次函数的图象．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】通过对x﹣x2≤0与x﹣x2≥0的讨论，将y=1﹣|x﹣x2|中的绝对值符号去掉，转化为分段的二次函数，通过数形结合即可获得答案．【解答】解：∵y=1﹣|x﹣x2|=，∴当0≤x≤1，y=x2﹣x+1，其开口向上，对称轴为x=，从而可排除A，B；同理，当x＜0或x＞1时，y=﹣x2+x+1，其开口向下，对称轴为x=，从而可排除D，故选C．【点评】本题考查带绝对值的函数，考查二次函数的图象与性质，通过对x﹣x2≤0与x﹣x2≥0的讨论去掉绝对值符号是关键，也是难点，属于中档题．二、填空题13．（理科）若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是﹣3．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先根据条件画出可行域，设z=x﹣y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z=x﹣y，过可行域内的点A（0，3）时的最小值，从而得到z最小值即可．【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，将z=x﹣y整理得到y=x﹣z，要求z=x﹣y的最小值即是求直线y=x﹣z的纵截距的最大值，当平移直线x﹣y=0经过点A（0，3）时，x﹣y最小，且最小值为：﹣3，则目标函数z=x﹣y的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．14．已知等差数列{a n}的前n项和是S n，若M，N，P三点共线，O为坐标原点，且=a15+a6（直线MP不过点O），则S20等于10．【考点】等差数列的通项公式．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】利用向量共线定理可得：a15+a6=1，再利用等差数列的前n项和公式及其性质即可得出．【解答】解：∵M，N，P三点共线，O为坐标原点，且=a15+a6（直线MP不过点O），∴a15+a6=1，∴S20==10（a15+a6）=10，故答案为：10．【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程为4x﹣y﹣3=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；两条直线垂直的判定；直线的一般式方程．【专题】计算题．【分析】欲求l的方程，根据已知条件中：“切线l与直线x+4y﹣8=0垂直”可得出切线的斜率，故只须求出切点的坐标即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切点坐标．从而问题解决．【解答】解：与直线x+4y﹣8=0垂直的直线l与为：4x﹣y+m=0，即y=x4在某一点的导数为4，而y′=4x3，∴y=x4在（1，1）处导数为4，故方程为4x﹣y﹣3=0．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．16．如图，正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列四个命题：①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②恒有平面A′GF⊥平面BCED；③三棱锥A′﹣FED的体积有最大值；④直线A′E与BD不可能垂直．其中正确的命题的序号是①②③．【考点】棱锥的结构特征．【专题】阅读型．【分析】由斜线的射影定理可判断①正确；由面面垂直的判定定理，可判断②正确；由三棱锥的体积公式，可判断③正确；由异面直线所成的角的概念可判断④不正确【解答】解：∵A′D=A′E，△ABC是正三角形，∴A′在平面ABC上的射影在线段AF上，故①正确由①知，平面A′GF一定过平面BCED的垂线，∴恒有平面A′GF⊥平面BCED，故②正确三棱锥A′﹣FED的底面积是定值，体积由高即A′到底面的距离决定，当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′﹣FED的体积有最大值，故③正确当（A′E）2+EF2=（A′F）2时，面直线A′E与BD垂直，故④不正确故正确答案①②③【点评】本题考查了线面、面面垂直的判定定理、性质定理的运用，考查了空间线线、线面的位置关系及所成的角的概念，考查了空间想象能力，属基础题三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a、b、c成等比数列．（1）求角B的取值范围；（2）若关于B的表达式cos2B﹣4sin（）sin（）+m＞0恒成立，求实数m的取值范围．【考点】一元二次不等式的应用；余弦定理的应用．【分析】（1）根据余弦定理表示出cosB，再根据基本不等式求其范围即可．（2）先将关于B的表达式cos2B﹣4sin（）sin（）+m化简成2（cosB﹣）2+m﹣，cos2B﹣4sin（）sin（）+m＞0恒成立即2（cosB﹣）2+m﹣的最小值大于0成立即可，转化成球函数2（cosB﹣）2+m﹣的最小值问题．【解答】解：（1）∵b2=accosB=≥=当且仅当a=b=c时，cosB=∴B∈（0，]（2）cos2B﹣4sin（）cos（）+m=cos2B﹣4sin（）sin（）+m=cos2B﹣2[1﹣cos（+B）]+m=2cos2B﹣2sinB+m﹣3=2（cosB﹣）2+m﹣≤cosB＜1∴2（cosB﹣）2+m﹣∈[m﹣，m﹣3]∵不等式cos2B﹣4sin（）sin（）+m＞0恒成立．∴m﹣＞0，m＞故m的取值范围是（，+∞）【点评】本题主要考查余弦定理和基本不等式的应用．对三角函数求解得问题时要先对其原函数进行化简．18．甲乙两人进行乒乓球对抗赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一个比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为P（，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．若图为统计这次比赛的局数n和甲，乙的总得分数S，T的程序框图．其中如果甲获胜则输入a=1，b=0．如果乙获胜，则输入a=0，b=1．（1）在图中，第一，第二两个判断框应分别填写什么条件？（2）求P的值．（3）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；程序框图．【专题】图表型；概率与统计．【分析】（1）从框图知，这是一个含有两个条件的框图，结合题目所给的条件，程序框图中的第一个条件框应填M=2，第二个应填n=6．（2）依题意得，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止．所以p2+（1﹣p）2=，由此能求出p的值．（3）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6．设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．写出分布列和期望．【解答】解：（1）程序框图中的第一个条件框应填M=2，第二个应填n=6．…注意：答案不唯一．如：第一个条件框填M＞1，第二个条件框填n＞5，或者第一、第二条件互换，都可以．（2）依题意得，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止．所以p2+（1﹣p）2=，解得：p=或p=，因为p＞，所以p=．…（3）依题意知，ζ的所有可能值为2，4，6．…由已知P（ξ=2）=，P（ξ=4）=C p3（1﹣p）+C（1﹣p）3p=P（ξ=6）=1﹣P（ξ=2）﹣P（ξ=4）=．…∴随机变量ζ的分布列为：故Eξ=2×+4×+6×=．…【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的合理运用．19．已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1．（Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC；（Ⅱ）求CC1到平面A1AB的距离；（Ⅲ）求二面角A﹣A1B﹣C的大小．【考点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）欲证AC1⊥平面A1BC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AC1与平面A1BC 内两相交直线垂直，BC⊥AC1，又BA1⊥AC1，满足定理条件；（II）取AA1中点F，则AA1⊥平面BCF，从而面A1AB⊥面BCF，过C作CH⊥BF于H，则CH⊥面A1AB，从而CH就是CC1到平面A1AB的距离，在Rt△BCF中，求出CH即可；（III）过H作HG⊥A1B于G，连CG，根据二面角平面角的定义知∠CGH为二面角A﹣A1B﹣C的平面角，在Rt△CGH中求出此角的正弦值即可．【解答】（I）证明：因为A1D⊥平面ABC，所以平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C，得BC⊥AC1，又BA1⊥AC1所以AC1⊥平面A1BC；（II）解：因为AC1⊥A1C，所以四边形AA1C1C为菱形，故AA1=AC=2，又D为AC中点，知∠A1AC=60°．取AA1中点F，则AA1⊥平面BCF，从而面A1AB⊥面BCF，过C作CH⊥BF于H，则CH⊥面A1AB，在Rt△BCF中，，故，即CC1到平面A1AB的距离为（III）解：过H作HG⊥A1B于G，连CG，则CG⊥A1B，从而∠CGH为二面角A﹣A1B﹣C的平面角，在Rt△A1BC中，A1C=BC=2，所以，在Rt△CGH中，，故二面角A﹣A1B﹣C的大小为．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及二面角及其度量和点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．20．已知点G是圆F：（x+2）2+y2=4上任意一点，R（2，0），线段GR的垂直平分线交直线GF 于H．（1）求点H的轨迹C的方程；（2）点M（1，0），P、Q是轨迹C上的两点，直线PQ过圆心F（﹣2，0），且F在线段PQ之间，求△PQM面积的最小值．【考点】直线与圆相交的性质；轨迹方程．【专题】综合题；分类讨论；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据双曲线的定义，点H的轨迹是中心在原点，以F、R为焦点，2a=2的双曲线，即可求点H的轨迹C的方程；（2）分类讨论，直线方程代入双曲线方程，求出面积，即可得出结论．【解答】解：（1）圆C的圆心为F（﹣2，0），半径r=2，|FR|=4．连结HR，由已知得|HR|=|HG|，∵||HF|﹣|HR||=||HF|﹣|HG||=|FG|=r=2＜|FR|．根据双曲线的定义，点H的轨迹是中心在原点，以F、R为焦点，2a=2的双曲线，即a=1，c=2，b2=3，∴点H的轨迹C的方程为=1…（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）若PQ⊥x轴，则直线PQ：x=﹣2，代入C的方程，可得y1=3，y2=﹣3，S△PQM=S△PFM+S△QFM==9…若PQ不垂直于x轴，设直线PQ：y=k（x+2）∵F在P、Q两点之间，∴P、Q在双曲线的左支上，且y1y2＜0双曲线的渐近线为y=±x，|k|＞，y=k（x+2）与双曲线方程联立，可得（3﹣k2）y2﹣12ky+9k2=0，∴y1y2=，y1+y2=，∴|y1﹣y2|=6＞6，∴S△PQM=|y1﹣y2||FM|=|y1﹣y2|＞9，综上，△PQM面积的最小值为9．【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，考查三角形面积的计算，解题时要认真审题．21．已知函数f（x）=ln（x2+1），g（x）=．（Ⅰ）求g（x）在P（，g（））处的切线方程l；（Ⅱ）若f（x）的一个极值点到直线l的距离为1，求a的值；（Ⅲ）求方程f（x）=g（x）的根的个数．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；压轴题．【分析】（I）根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；（II）先求出导函数，找到导数为0的根，再利用点到直线的距离公式列出关于a的方程即可得出结论．（III）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），这个函数有几个零点就说明有几个根．然后利用导数研究函数单调性，并求出函数的最值，讨论最值的取值范围确定函数零点的个数即可求根的个数．【解答】解：（Ⅰ）∵g′（x）=∴g′（）=﹣2且g（）=1+a故g（x）在点P（，g（）））处的切线方程为2x+y﹣5﹣a=0 …（Ⅱ）由f′x）=得x=0，故f（x）仅有一个极小值点M（0，0），根据题意得：d=∴a=﹣2或a=﹣8 …（Ⅲ）令h（x）=f（x）﹣g（x）=ln（x2+1）﹣﹣ah′（x）=+x∈[0，1）∪（1，+∞）时h′（x）＞0 x∈（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）时，h′（x）＜0因此h（x）（﹣∞，﹣1），（﹣1，0）时h（x）单调递减，[0，1），（1，+∞）时h（x）单调递增．h（x）为偶函数，x∈（﹣1，1）时h（x）极小值h（0）=1﹣af（x）=g（x）的根的情况为：1﹣a＞0时，a＜1时，原方程有2个根；1﹣a=0时，a=1时，原方程有3个根；1﹣a＜0时，a＞1时，原方程有4个根．…【点评】此题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，本题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．此题考查学生利用导数研究函数单调性的能力，培养学生分类讨论的数学思想．选修4-4（坐标系与参数方程）22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求的最小值．【考点】伸缩变换；简单曲线的极坐标方程．【专题】综合题．【分析】（1）由极坐标下的方程化为普通方程的公式即可将ρ=1化为普通方程；把直线l的参数方程中的参数消去即可得到直线l的普通方程．（2）根据得到的曲线C'方程，利用三角代换即可把求的最小值转化为求三角函数类型的最值问题．【解答】解：（1）设点P（x，y）是曲线C上的任意一点，由ρ=，ρ=1，可得x2+y2=1即为曲线C的直角坐标方程．又已知直线l的参数方程由①可得t=2x﹣2，代入②得，整理为即为直线l的普通方程．（2）把变为将其代入曲线C的方程得，即得到曲线C'的方程为．设曲线C'上任一点为M（x，y），代入曲线C′的方程得，令，则==sin（θ+φ），∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1．∴的最小值是﹣．【点评】本题考查的是将极坐标方程及参数方程化为直角坐标系下的普通方程，及用参数法求代数式的最值．选修4-5（不等式选讲）23．已知a∈R，设关于x的不等式|2x﹣a|+|x+3|≥2x+4的解集为A．（Ⅰ）若a=1，求A；（Ⅱ）若A=R，求a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（I）利用绝对值的几何意义，化去绝对值，解不等式，可得结论；（II）当x≤﹣2时，|2x﹣a|+|x+3|≥0≥2x+4成立，当x＞﹣2时，|2x﹣a|+|x+3|=|2x﹣a|+x+3≥2x+4，从而可求a的取值范围．【解答】解：（I）若a=1，则|2x﹣1|+|x+3|≥2x+4当x≤﹣3时，原不等式可化为﹣3x﹣2≥2x+4，可得x≤﹣3当﹣3＜x≤时，原不等式可化为4﹣x≥2x+4，可得3x≤0当x＞时，原不等式可化为3x+2≥2x+4，可得x≥2综上，A={x|x≤0，或x≥2}；（II）当x≤﹣2时，|2x﹣a|+|x+3|≥0≥2x+4成立当x＞﹣2时，|2x﹣a|+|x+3|=|2x﹣a|+x+3≥2x+4∴x≥a+1或x≤∴a+1≤﹣2或a+1≤∴a≤﹣2综上，a的取值范围为a≤﹣2．【点评】本题考查绝对值不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
江西省九江一中2017届高三上学期第一次月考数学试卷(理科) 含解析
2016—2017学年江西省九江一中高三(上)第一次月考数学试卷（理科）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．复数z=（i是虚数单位）在复平面内对应的点位于象限为()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．A={x|x2﹣4x﹣5≤0｝，B=｛x|｜x|≤2}，则A∩B=（)A．［﹣2，5］B．［﹣2，2] C．[﹣1，2] D．［﹣2，﹣1]3．设向量，的夹角为θ，则“•＜0”是“θ为钝角”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分C．充要条件 D．既不充分也不必要4．已知函数f（x）的定义域是[﹣1，1］,则函数g(x)=f（2x﹣1）lg(1﹣x）的定义域是（) A．[0,1]B．（0,1) C．[0，1）D．(0,1］5．在锐角△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b，c，若，a=2,ccosB+bcosC=2acosB，则b的值为（）A． B．C．D．6．已知函数y=sin（ωx+）向右平移个单位后,所得的图象与原函数图象关于x轴对称，则ω的最小正值为()A．1 B．2 C．D．37．各项均为正数的等比数列｛a n}的前n项和为S n，若S n=2，S3n=14，则S4n等于(）A．80 B．30 C．26 D．168．已知函数f(x）=sin2ωx+sinωxsin(ωx+)，（ω＞0）的最小正周期为π，则f（x）在区间[0，］上的值域为（）A．[0，]B．［﹣，］C．［﹣，1]D．［﹣，]9．函数f（x）=﹣2x2+7x﹣6与函数g（x)=﹣x的图象所围成的封闭图形的面积为（）A．B．2 C．D．310．（x2+x+1）5展开式中，x5的系数为()A．51 B．8 C．9 D．1011．已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点．若，则的最小值是（)A．0 B． C． D．12．若函数f（x）满足，当x∈[0，1]时,f（x）=x，若在区间（﹣1，1]上，g(x)=f(x）﹣mx﹣2m有两个零点，则实数m的取值范围是(）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f（x）=，则f（f(））=．14．已知向量与的夹角为120°，且|｜=2，｜|=1，则|+2｜=．15．已知α为第一象限角，且sin2α+sinαcosα=，tan（α﹣β）=﹣，则tan(β﹣2α）的值为．16．已知函数f(x)的定义域为（0，+∞）,若y=在（0,+∞）上为增函数,则称f(x）为“一阶比增函数”；若y=在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为Ω1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为Ω2．已知函数f（x）=x3﹣2mx2﹣mx，若f（x）∈Ω1，且f(x）∉Ω2，实数m的取值范围．三、解答题：本大题共5小题,共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中,角A,B，C所对的边分别为a，b，c，已知=．（Ⅰ）求角C的大小，（Ⅱ）若c=2，求△ABC面积的最大值．18．已知数列｛a n}各项均为正数，其前n项和为S n,且a1=1，a n a n=2S n．（n∈N＊）+1（1)求数列{a n}的通项公式；（2）求数列｛｝的前n项和T n．19．某卫视推出一档全新益智答题类节目，这档节目打破以往答题类节目的固定模式，每档节目中将会有各种年龄层次，不同身份，性格各异的10位守擂者和1位打擂者参加，以PK 的方式获得别人手中的奖品，一旦失败，就将掉下擂台，能否“一站到底"成为节目最大悬念．现有一位参赛者已经挑落10人,此时他可以赢得10件奖品离开或者冲击超级大奖“马尔代夫双人游”，冲击超级大奖会有一定的风险，节目组会精选5道题进行考核，每个问题能正确回答进入下一道,否则失败，此时只能带走5件奖品，若5道题全部答对则可以带走10件奖品且还可以获得超级大奖“马尔代夫双人游”．若这位参赛者答对第1，2，3，4，5道题的概率分别为，，，，，且各轮问题能否正确回答互不影响，求：（Ⅰ）该参赛者选择冲击大奖最终只带走5件奖品的概率；（Ⅱ）该参赛者在冲击超级大奖的过程中回答问题的个数记为X，求随机变量X的分布列和期望．20．如图F1、F2为椭圆C： +=1的左、右焦点,D、E是椭圆的两个顶点,椭圆的离心DEF2=1﹣．若点M(x0，y0）在椭圆C上，则点N（,）称为点M的率e=，S△一个“椭点"，直线l与椭圆交于A、B两点,A、B两点的“椭点”分别为P、Q．（1)求椭圆C的标准方程；（2)问是否存在过左焦点F1，的直线l，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在,请说明理由．21．设函数f(x）=1﹣e﹣x．（Ⅰ)证明：当x＞﹣1时，f（x）≥；（Ⅱ）设当x≥0时，f(x）≤，求a的取值范围．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修：坐标系与参数方程］22．已知曲线C的极坐标方程是ρ2﹣4ρcos（θ﹣)﹣1=0．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是（t为参数）．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=3，求直线的倾斜角α的值．［选修：不等式选讲］23．已知a、b为正实数,若对任意x∈（0，+∞），不等式(a+b）x﹣1≤x2恒成立．（1）求的最小值;（2）试判断点P（1，﹣1）与椭圆的位置关系，并说明理由．2016—2017学年江西省九江一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
学年上学期高二第一次月考数学(理)试题(无答案) (1)
九江一中高二上学期第一次月考数学（理）试卷命题人：高二理科数学备课组 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．已知1233,3()log (6),3x e x f x x x -⎧<=⎨-≥⎩，则((3))f f 的值为()A ．1B ．－1C ．3D ．－32．已知两条直线和互相平行，则等于( )A ．1或－3B ．－1或3C ．1或3D ．－1或－33．等差数列99637419,27,39,}{S a a a a a a a n 项和则前已知中=++=++的值为（） A ．66 B ．99 C ．144 D ．2974．设l 是一条直线，α，β，γ是不同的平面，则在下列命题中，真命题的个数是（ ）个．①如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β②如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β③如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γA ．0B ．1C ．2D ．35．已知ab ＝0.32，0.20.3c =，则a ，b ，c 三者的大小关系是( )A ．b>c>aB ．b>a>cC ．a>b>cD ．c>b>a6．下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题:p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列； p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( )．A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 47.已知等比数列{a n }的前n 项和为Sn=(x 2+3x)2n -x+1则a 3的值为（ ）A ．-8B ．-4C ．1D ．不能确定8．ABC ∆中，sin b A a b <<，则此三角形有（ ）A ．一解B ．两解C ．无解D ．不确定9.⊙C 内切于扇形AOB ，∠AOB=3π.若在扇形内任取一点，则该点在⊙C 内 的概率为( ) A.16 B.13 C.23 D.3410.设函数()sin(2)6f x x π=+,则下列结论正确的是（ ） （ ）A ．()f x 的图像关于直线3x π=对称 B ．()f x 的图像关于点(,0)6π对称C ．()f x 的最小正周期为π,且在[0,]12π上为增函数 D ．把()f x 的图像向右平移12π个单位,得到一个偶函数的图像11.已知等比数列{a n }的前n 项和为Sn ，且32015201620152016=-s s ，则20142016a a -的值为（ ） A ．-3 B ．0 C ．6 D ．1212.已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时，()1f x >，且对任意的实数x ，y R ∈，等式()()(f x f y f x y =+恒成立.若数列{n a }满足1(0)a f =，且1()n f a +=*1()(2)n n N f a ∈--，则2010a 的值为（ ） A.4016 B.4017 C.4018 D.4019二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.13．计算：(lg2)2+lg2·lg50+lg25=_______14．已知等比数列{}n a 为递增数列，若10a >，且212()5n n n a a a +++=，则数列{}n a 的公比q =_______.15.圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是_______.16．已知数列}{n a （,3,2,1=n …2016），圆044:221=--+y x y x C ，圆022:2017222=--+-y a x a y x C n n ，若圆C 2平分圆C 1的周长，则}{n a 的所有项的和为_______.三、解答题: 本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.17．（本小题共10分）在公差不为0的等差数列{}n a 中，31015a a +=，且2511,,a a a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11+=n n n a a b ，求数列{n b }的前n 项和n S .18．（本小题共12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，274sincos 222B C A +-=. (1)求A 的度数；(2)若3a b c =+=,求b 与c 的值.19．（本小题共12分）菱形ABCD 的边长为3，AC 与BD 交于O ，且 60=∠BAD ．将菱形ABCD 沿对角线AC 折起得到三棱锥B ADC -（如图），点M 是棱BC的中点，DM =（1）求证：OD⊥平面ABC；（2）求三棱锥ABDM-的体积．20．（本小题共12分）根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，…，x k，…；y1，y2，…，y k，….(1)分别求数列{x k}和{y k}的通项公式；(2)令z k＝x k y k，求数列{z k}的前k项和T k，其中k∈N*，k≤2 007.ABCMOD21．（本小题共12分）设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a n+1=2S n +2(n N *∈)（1）求数列{a n }的通项公式；（2）在a n 与a n+1之间插入n 个数，使这n+2个数组成一个公差为d n 的等差数列， 在数列{d n }中是否存在三项d m ，d k ，d p （其中m,k,p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项，若不存在，说明理由.22．（本小题共12分）已知集合{}123,,,n A a a a a =⋅⋅⋅，123(0,,3)n a a a a n N n +≤<<<⋅⋅⋅<∈≥ 具有性质P ：对任意的,i j (1)i j n ≤≤≤，,j i j i a a a a +-至少有一个属于A .（1）分别判断集合{}0,2,4M =与{}1,2,3N =是否具有性质P ；（2）求证：①10a =； ②1232n n n a a a a a +++⋅⋅⋅+=； （3）当3=n 或4时集合A 中的数列{}n a 是否一定成等差数列?说明理由.。
江西省高二上学期第一次月考数学试题(解析版)
一、单选题1．直线的倾斜角为（ ） 20x -=A ．B ．C ．D ．6π4π3π5π6【答案】D【分析】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角. 【详解】设斜率为，倾斜角为， k α∵∴，． y =tan k α==56πα=故选：D ．2．过点（2，－3）、斜率为的直线在y 轴上的截距为（ ）12-A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4【答案】B【分析】根据点斜式公式，整理直线方程，令，可得答案. 0x =【详解】由题意得直线方程为，令x =0，解得y ＝－2． ()1322y x +=--故选：B ．3．直线与圆的位置关系是（ ） 34120x y ++=()()22119-++=x y A ．相交且过圆心 B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心【答案】D【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小比较，即可判断圆与直线的位置关系.【详解】圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离()11-，3r =34120x y ++=，又因为直线不过圆心，所以直线与圆相交但不过圆心． 115d r <故选:D4．在平面直角坐标系内，一束光线从点A （1，2）出发，被直线反射后到达点B （3，6），则y x =这束光线从A 到B 所经过的距离为（ ）A ．BC ．4D ．5【答案】B【分析】作出点A 关于直线的对称点，连接，利用光线关于直线对称得到即为y x =()2,1C CB CB光线经过路程的最小值，再利用两点间的距离公式进行求解. 【详解】作出点A 关于直线的对称点， y x =()2,1C 连接，交直线于点， CB y x =M 则即为光线经过路程的最小值，CB=此即光线从A 到B . 故选：B ．5．若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k 的取值范围是1:2l y kx k =++2:24l y x =-+（ ） A ．B ． 23k >-2k <C ． D ．或223k -<<23k <-2k >【答案】C【分析】求出两直线的交点坐标，再根据交点在第一象限建立不等式组求解.【详解】方法一：由直线，有交点，得．由，得，即交点坐标1l 2l 2k ≠-224y kx k y x =++⎧⎨=-+⎩22642k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩为．又交点在第一象限内，所以，解得． 264,22k k k k -+⎛⎫⎪++⎝⎭202642kk k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩223k -<<方法二：由题意知，直线过定点，斜率为k ，直线与x 轴、y 轴分别交于1:2(1)l y k x -=+(1,2)P -2l 点，．若直线与的交点在第一象限内，则必过线段AB 上的点（不包括点A ，(2,0)A (0,4)B 1l 2l 1l B ）．因为，，所以．故A ，B ，D 错误.23PA k =-2PB k =223k -<<故选：C ．6．已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短弦的长为（ ） 2260x y x +-=()1,2A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】整理圆的方程，写出圆心坐标，利用圆的性质，以及两点之间距离公式，结合勾股定理，可得答案.【详解】整理为，故圆心为，半径为， 2260x y x +-=22(3)9x y -+=()3,0A 3r =设，故当与圆的弦垂直时，弦最短， ()1,2B AB=由垂径定理得：. 22==故选：B7．已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为()()22124x y +++=10ax by ++=0a >0b >12a b+（ ） A ．B ．9C ．4D ．852【答案】B【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得.()210,0a b a b +=>>【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上，()()22124x y +++=()1,2--()1,2--10ax by ++=因此，即，210a b --+=()210,0a b a b +=>>∴， ()1212222559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时取“=”， 22b a a b =13a b ==所以的最小值为9. 12a b+故选：B.8．若圆上至少有3个点到直线的距离为，则k 的取值范226:80M x y x y +-+=():13l y k x -=-52围是（ ）A ．B ．)(⎡⋃⎣[]3,3-C ．D ．(),-∞⋃+∞(),-∞+∞【答案】C【分析】圆M 先成化标准方程求得圆心，半径为5，则至少有3个点到直线l 的距离为()3,4M -52等价于圆心到直线l 的距离不超过，用点线距离公式列式求解即可 52【详解】圆M 的标准方程为，则圆心，半径为5， ()()222345x y -++=()3,4M -由题意及圆的几何性质得，圆心到直线的距离不超过， ()3,4M -():13l y k x -=-52，解得，即 52≤23k ≥k ≥k ≤故选：C二、多选题9．使方程表示圆的实数a 的可能取值为（ ） 2222210x y ax ay a a +-+++-=A ． B ．0 C ． D ．2-1-34【答案】BC【分析】配方后，利用半径的平方大于0，得到不等式，解不等式求出实数a 的取值范围. 【详解】，配方得： 2222210x y ax ay a a +-+++-=，()2223124a x y a a a ⎛⎫-++=--+ ⎪⎝⎭要想表示圆，则，23140a a -->+解得：， 223a -<<故选：BC10．已知圆，下列结论中正确的有（ ） ()()224x a y b -+-=A ．若圆过原点，则 B ．若圆心在轴上，则224a b +=y 0b =C ．若圆与轴相切，则 D ．若圆与轴均相切，则y 2a =±,x y 2a b ==【答案】ACD【分析】将原点代入圆方程可知A 正确；由圆心为可知B 错误；由圆心坐标和半径可确定(),a b CD 正确.【详解】对于A ，若圆过原点，则，即，A 正确；()()22004a b -+-=224a b +=对于B ，由圆的方程知其圆心为，若圆心在轴上，则，B 错误； (),a b y 0a =对于C ，由圆的方程知其圆心为，半径；若圆与轴相切，则，(),a b 2r =y 2a r ==，C 正确；2a ∴=±对于D ，若圆与轴均相切，由C 知：，D 正确. ,x y 2a b ==故选：ACD.11．下列结论正确的有（ ）A ．已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是 ()()1,1,4,2AB ():2l y k x =-AB k []1,1-B ．点关于的对称点为()0,21yx =+()1,1C ．直线方向向量为，则此直线倾斜角为(30︒D ．若直线与直线平行，则或2 :210l x ay ++=2:210l ax y ++=2a =-【答案】BC【分析】易得直线过定点，作出图象，结合图象即可判断A ；设点关于的对l ()2,0C ()0,21y x =+称点为，则，从而可判断B ；根据直线的方向向量求得直线的斜率，即可得直线(),a b 2112122b ab a -⎧⋅=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩的倾斜角，即可判断C ；根据两直线平行的公式即可判断D. 【详解】选项A ，作图如下：直线过定点，若与线段相交，则， l ()2,0C AB 20011,14221BC AC k k --====---直线的斜率，故A 错误；l ()(),11,k ∈-∞-+∞ 选项B ，设点关于的对称点为，()0,21y x =+(),a b则，解得，2112122b ab a -⎧⋅=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩1a b ==所以点关于的对称点为，故B 正确；()0,21y x =+()1,1选项C ，因为方向向量为，倾斜角的正切为，又，(tan α=[)0,πα∈所以倾斜角为，故C 正确；30︒选项D ，由两直线平行可得，则，故D 错误；2222a a ⎧=⎨≠⎩2a =-故选：BC.12．已知实数x ，y 满足方程，则下列说法正确的是（ ） 224240x y x y +--+=A ．的最大值为 B ．的最小值为0 yx 43yxC ．D ．的最大值为22xy+1+x y ＋3【答案】ABD 【分析】根据的几何意义，结合图形可求得的最值，由此判断A ，B ，根据的几何意义y x y x22x y +求其最值，判断C ，再利用三角换元，结合正弦函数性质判断D.【详解】由实数x ，y 满足方程可得点在圆上，作其224240x y x y +--+=(,)x y ()()22211x y -+-=图象如下，因为表示点与坐标原点连线的斜率， yx(,)x y设过坐标原点的圆的切线方程为，解得：或， y kx =10k =43k =，，，A ，B 正确； 40,3y x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦max 43y x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭min0y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为22x y +(,)x y (,)x y ，+1OC所以最大值为22x y +()21OC+所以的最大值为C 错，22xy +6+因为可化为， 224240x y x y +--+=()()22211x y -+-=故可设，，2cos x θ=+1sin y θ=+所以，2cos 1sin 34x y πθθθ⎛⎫=+++=+ ⎪⎝⎭＋所以当时，即取最大值，最大值为，D 对， 4πθ=21x y ==x y ＋3故选：ABD.三、填空题13．已知、和三点共线，则实数______． ()1,3A ()4,1B ()1,3C a +-=a 【答案】9【分析】利用直线斜率的定义列方程即可求得实数a 的值. 【详解】由题意可得，即 AB AC k k =313(3)141(1)a ---=--+解之得 9a =故答案为：914．已知两直线与，则与间的距离为______．1:60l x y -+=2:3320l x y -+-=1l 2l 【分析】先将两平行直线方程x 的系数化成相等，然后由平行直线的距离公式直接可得. 【详解】将直线的方程化为， 1l 33180x y -+-=则与间的距离1l 2ld15．已知点是直线上的点，点是圆上的点，则的最小值P 3420x y +-=Q 22(1)(1)1x y +++=PQ 是___________. 【答案】## 450.8【分析】由题意可得的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可 PQ 【详解】圆的圆心为，半径为1， 22(1)(1)1x y +++=(1,1)--则圆心到直线的距离为3420x y +-=， 95d 所以的最小值为，PQ 94155-=故答案为：4516．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是______.:420l kx y k -++=y =k 【答案】31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】先求出直线所过定点，再将曲线，可知其为l (2,4)A -y =224(0)x y y +=≥半圆，结合图像，即可求出的取值范围.k 【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， l (2)40x k y +-+=l (2,4)A -又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如y =224(0)x y y +=≥(0,0)图.当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得，l (0,0)2d 34k =-设，则， (2,0)B 40122AB k -==---由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，即.l y =314k -≤<-31,4k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭故答案为：.31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭四、解答题17．已知直线l 经过直线x ＋3y -4＝0与直线3x ＋4y -2＝0的交点P ，且垂直于直线x -2y -1＝0． (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)； 220x y ++=(2)1.【分析】（1）解方程组求出点P 的坐标，由垂直条件求出直线l 的斜率，并由点斜式写出方程作答. （2）求出直线l 与二坐标轴的交点坐标即可求出三角形面积作答.【详解】（1）依题意，由，解得，则，3403420x y x y +-=⎧⎨+-=⎩22x y =-⎧⎨=⎩(2,2)P -因为直线l 与直线x -2y -1＝0垂直，设直线l 的斜率为k ，则，解得k ＝-2， 112k ⨯=-所以直线l 的方程为，即2x ＋y ＋2＝0.()222y x -=-+（2）直线l ：2x ＋y ＋2＝0与x 轴的交点为，与y 轴的交点为， (1,0)-(0,2)-所以直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积．11212S =⨯⨯=18．求适合下列条件的直线的方程：l (1)直线在两坐标轴上的截距相等，且经过点；l ()4,3P (2)直线经过点且与点和点的距离之比为. l ()2,5P -()3,2A -()1,6B -1:2【答案】(1)或 340x y -=70x y +-=(2)或 30x y ++=17290x y +-=【分析】（1）分别讨论截距存在和不存在两种情况，利用正比例函数和直线的截距式方程，带点求参即可得到直线方程；（2）分别讨论斜率存在和不存在两种情况，利用点斜式方程和点到直线的距离公式求解即可. 【详解】（1）若直线过原点，设直线的方程为，代入点，可得， l l y kx =()4,3P 34k =则直线的方程为， l 340x y -=若直线不过原点，可设直线的方程为，代入点，可得， l l ()10x ya a a+=≠()4,3P 7a =则直线的方程为，l 70x y +-=综上所述，直线的方程为或； l 340x y -=70x y +-=（2）若直线的斜率不存在，直线的方程为， l l 2x =此时，点到直线的距离分别为，不合乎题意；A B ､l 13､若直线的斜率存在，设直线的方程为，即.l l ()52y k x +=-250kx y k ---=，整理得，解得或. 12218170k k ++=1k =-17k =-综上所述，直线的方程为或，即或.l 30x y ---=173450x y --+-=30x y ++=17290x y +-=19．已知方程表示圆，其圆心为.()2222410621190x y kx k y k k +++++++=C (1)求圆心坐标以及该圆半径的取值范围；r (2)若，线段的端点的坐标为，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方2k =-AB A ()0,4B C AB M 程.【答案】(1)()5,25,0,2k k ⎛⎤--- ⎥⎝⎦(2)223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【分析】（1）利用配方法，整理圆的一般方程为标准方程，根据标准方程的成立条件，可得答案； （2）设出动点坐标，利用中点坐标公式，表示点的坐标，代入圆方程，可得答案.B 【详解】（1）方程可变为：()2222410621190x y kx k y k k +++++++=由方程表示圆， 222()(25)6x k y k k k ++++=--+所以，即得，260k k --+>32k -<<.圆心坐标为. 50,2r ⎛⎤∴== ⎥⎝⎦(),25k k ---（2）当时，圆方程为：，2k =-C 22(2)(1)4x y -++=设，又为线段的中点，的坐标为则，(),M x y M AB A ()0,4()2,24B x y -由端点在圆上运动，B C 即 22(22)(23)4x y ∴-+-=223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭线段中点的轨迹方程为. ∴AB M 223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭20．已知圆C 的圆心在直线x +y ﹣2＝0上，且经过点A （4，0），B （2，2）．(1)求圆C 的方程；(2)若直线l 过点P （3，4）与圆交于M ，N 两点，且弦长l 的方程．||MN =【答案】(1)()2224x y -+=(2)x ﹣3＝0或15x ﹣8y ﹣13＝0【分析】（1）求得圆心和半径，由此求得圆的方程.（2）根据直线的斜率存在和不存在进行分类讨论，结合弦长来求得直线的方程.l l 【详解】（1）由题意可得：，AB 中点坐标为M （3，1），则直线AB 的垂直平分线20124AB k -==--方程为y ﹣1＝x ﹣3，与直线x +y ﹣2＝0联立可得两直线的交点坐标为（2，0），即所求圆的圆心坐标为（2，0），圆的半径r ＝4﹣2＝2，圆的方程为：．()2224x y -+=（2）设圆心到直线的距离为d ，则，解得d ＝1，很明显直线斜率不存在时，直线=x ﹣3＝0满足题意，当直线斜率存在时，设直线方程为：y ﹣4＝k （x ﹣3），即kx ﹣y ﹣3k +4＝0，，解得，则直线方程为，即15x ﹣8y ﹣13＝0， 1=158k =151534088x y --⨯+=综上可得，直线方程为x ﹣3＝0或15x ﹣8y ﹣13＝0．21．如图，某海面上有O ，A ，B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东45°方向距O 岛千米处，B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处．以O 为坐标原点，O的正东方向为x 轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C 经过O ，A ，B 三点．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险?【答案】(1)；2220600x y x y +--=(2)该船有触礁的危险．【分析】（1）根据给定条件，求出点A ，B 的坐标，设出圆C 的一般方程，利用待定系数法求解作答.（2）求出船D 的航线所在直线的方程，再利用点到直线距离公式计算判断作答.【详解】（1）依题意，因A 岛在O 岛的北偏东45°方向距O 岛， ()40,40A 又B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处，则，()20,0B 设过O ，A ，B 三点的圆C 的方程为，220x y Dx Ey F ++++=则，解得，222040404040020200F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩20600D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以圆C 的方程为．2220600x y x y +--=（2）因船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，则，(20,D --而船D 沿着北偏东45°方向行驶，则船D 的航线所在直线l 的斜率为1，直线l的方程为， 200x y -+-=由（1）知，圆C 的圆心为，半径()10,30C r =则圆心C 到直线l 的距离，d d r <所以该船有触礁的危险. 22．已知直线与圆.:(2)(12)630l m x m y m ++-+-=22:40C x y x +-=(1)求证：直线l 过定点，并求出此定点坐标；(2)设O 为坐标原点，若直线l 与圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，ON 的斜率分别为，，则1k 2k 是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．12k k +【答案】(1)证明见解析，定点(0,3)(2)是定值，定值为43【分析】（1）由已知可得根据过定点(2)(12)630,m x m y m ++-+-=(23)(26)0.x y m x y +-+-+=的直线系方程计算方法可得l 恒过定点(0,3).（2）设出直线的方程.联立直线与圆的方程，利用韦达定理求解进而即可得结果.l 【详解】（1）由直线得， :(2)(12)630l m x m y m ++-+-=(26)(23)0m x y x y -+++-=联立，解得， 260230x y x y -+=⎧⎨+-=⎩03x y =⎧⎨=⎩直线l 恒过定点.∴(0,3)（2）圆的圆心为，半径为，直线过点，22:40C x y x +-=()2,02l ()0,3直线l 与圆C 交于M ，N 两点，则直线l 的斜率存在，设直线l 方程为，3y kx =+联立，得， 22340y kx x y x =+⎧⎨+-=⎩22(1)(64)90k x k x ++-+=设，，则，， 11(,)M x y 22(,)N x y 122641k x x k -+=-+12291x x k =+ 12121212121212333()3(46)422.93y y kx kx x x k k k k k x x x x x x +++-+=+=+=+=+=是定值，定值为 12k k ∴+4.3。
2017年江西省九江市高考数学一模试卷(理科) Word版含答案
2017年江西省九江市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数为纯虚数（i虚数单位），则实数a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣22．已知集合M={x|x2≤1}，N={x|log2x＜1}，则M∩N=（）A．[﹣1，2）B．[﹣1，1]C．（0，1]D．（﹣∞，2）3．设等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足a6=8a3，则=（）A．4 B．5 C．8 D．94．掷一枚均匀的硬币4次，出现正面向上的次数不少于反面向上的次数的概率为（）A．B．C．D．5．若双曲线mx2+2y2=2的虚轴长为4，则该双曲线的焦距为（）A．B．C． D．6．已知函数f（x）=，给出下列两个命题：命题p：∃m∈（﹣∞，0），方程f（x）=0有实数解；命题q：当m=时，f（f（﹣1））=0，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）7．函数f（x）=（1﹣cosx）•sinx，x∈[﹣2π，2π]的图象大致是（）A．B． C．D．8．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某一无上盖几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（）A．39πB．48πC．57πD．63π9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．4810．设x，y满足约束条件，若z=ax+2y仅在点（，）处取得最大值，则a的值可以为（）A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．811．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的上下顶点分别为A，B，右顶点为C，右焦点为F，延长BF与AC交于点P，若O，F，P，A四点共圆，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=，若关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣）B．[，）C．（﹣，﹣]D．（﹣1，﹣]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知为单位向量，若|+|=|﹣|，则在+方向上的投影为．14．二项式（x3﹣）6的展开式中含x﹣2项的系数是．15．已知A，B，C是球O的球面上三点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为1，则球O的体积为．16．已知数列{a n}为等差数列，a1=1，a n＞0，其前n项和为S n，且数列也为等差数列，设b n=，则数列{b n}的前n项和T n=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3b=4c，B=2C．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）若b=4，求△ABC的面积．18．在高三一次数学测验后，某班对选做题的选题情况进行了统计，如表．（Ⅰ）求全班选做题的均分；（Ⅱ）据此判断是否有90%的把握认为选做《坐标系与参数方程》或《不等式选讲》与性别有关？（Ⅲ）已知学习委员甲（女）和数学科代表乙（男）都选做《不等式选讲》．若在《不等式选讲》中按性别分层抽样抽取3人，记甲乙两人被选中的人数为，求的数学期望．参考公式：，n=a+b+c+d．下面临界值表仅供参考：19．如图所示，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′，O为A′D的中点，连接EF，EO，FO．（Ⅰ）求证：A′D⊥EF；（Ⅱ）求直线BD与平面OEF所成角的正弦值．20．如图所示，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率存在的直线l交抛物线C于A，B两点，已知当直线l的斜率为1时，|AB|=8．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点A作抛物线C的切线交直线x=于点D，试问：是否存在定点M在以AD为直径的圆上？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=e2x，g（x）=kx+1（k∈R）．（Ⅰ）若直线y=g（x）和函数y=f（x）的图象相切，求k的值；（Ⅱ）当k＞0时，若存在正实数m，使对任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g（x）|＞2x恒成立，求k的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数）与椭圆C：（θ为参数）相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）若，求线段AB中点M的坐标；（Ⅱ）若，其中为椭圆的右焦点P，求直线l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=2|x﹣1|﹣a，g（x）=﹣|x+m|（a，m∈R），若关于x的不等式g（x）＞﹣1的整数解有且仅有一个值为﹣3．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象恒在函数y=g（x）的图象上方，求实数a的取值范围．2017年江西省九江市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解+析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数为纯虚数（i虚数单位），则实数a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵为纯虚数，∴=0，≠0，∴a=﹣1，故选：B．2．已知集合M={x|x2≤1}，N={x|log2x＜1}，则M∩N=（）A．[﹣1，2）B．[﹣1，1]C．（0，1]D．（﹣∞，2）【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合M，求函数定义域得出集合N，再根据交集的定义写出M∩N．【解答】解：集合M={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1}，N={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}，则M∩N={x|0＜x≤1}．故选：C．3．设等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足a6=8a3，则=（）A．4 B．5 C．8 D．9【考点】等比数列的前n项和．【分析】由a6=8a3，利用等比数列项公式q=2，由此能求出．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足a6=8a3，∴=q3=8，解得q=2，∴==1+q3=9．故选：D．4．掷一枚均匀的硬币4次，出现正面向上的次数不少于反面向上的次数的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=24=16，再求出出现正面向上的次数不少于反面向上的次数包含的基本事件个数，由此能求出出现正面向上的次数不少于反面向上的概率．【解答】解：掷一枚均匀的硬币4次，基本事件总数n=24=16，出现正面向上的次数不少于反面向上的次数包含的基本事件个数为：m==11，∴出现正面向上的次数不少于反面向上的概率P=．故选：D．5．若双曲线mx2+2y2=2的虚轴长为4，则该双曲线的焦距为（）A．B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，将双曲线的方程变形可得，由双曲线的几何性质，分析可得，代入双曲线的方程可得双曲线的标准方程，计算可得c的值，由焦距的定义即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：mx2+2y2=2，变形可得，又由其虚轴长为4，则有，即，则双曲线的标准方程为：y2﹣=1，其中c==，则双曲线的焦距2c=，故选A．6．已知函数f（x）=，给出下列两个命题：命题p：∃m∈（﹣∞，0），方程f（x）=0有实数解；命题q：当m=时，f（f（﹣1））=0，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据已知中的分段函数，分别判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=，当x＜0时，f（x）=2x∈（0，1），不存在满足f（x）=0的x值；当x≥0时，f（x）=0时，m=x2∈[0，+∞），故命题p为假命题．当m=时，f（f（﹣1））=f（）=0∴命题q为真命题，故命题p∧q，p∧（￢q），（￢p）∧（￢q）均为假命题，（￢p）∧q为真命题，故选B．7．函数f（x）=（1﹣cosx）•sinx，x∈[﹣2π，2π]的图象大致是（）A．B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用排除法，即可求解．【解答】解：函数f（x）为奇函数，故排除B．又x∈（0，π）时，f（x）＞0，故排除D．又f（）=＞1，故排除A．故选C．8．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某一无上盖几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（）A．39πB．48πC．57πD．63π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体为圆柱中挖去一个圆锥，画出直观图，数形结合可得答案．【解答】解：该几何体直观图为圆柱中挖去一个圆锥，如图所示，∴该几何体的表面积为S==48π，故选B．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．10．设x ，y 满足约束条件，若z=ax +2y 仅在点（，）处取得最大值，则a 的值可以为（ ） A ．﹣8 B ．﹣4 C ．4D ．8【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，求出顶点坐标，利用z=ax +2y 仅在点（，）处取得最大值，利用斜率关系求解即可．【解答】解：如图所示，约束条件所表示的区域为图中阴影部分：其中A （1，0），B （，），C （1，4），依题意z=ax +2y 仅在点（，）处取得最大值，可得，即，a ＞4．故选：D ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆的上下顶点分别为A ，B ，右顶点为C ，右焦点为F ，延长BF 与AC 交于点P ，若O ，F ，P ，A 四点共圆，则该椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由O ，F ，P ，A 四点共圆得，即AC ⊥BP ，∴，b 2=ac ，e 2+e ﹣1=0【解答】解：如图所示，∵O ，F ，P ，A 四点共圆，，∴，即AC⊥BP，∴，∴b2=ac，a2﹣c2=ac，∴e2+e﹣1=0，，故选C．12．已知函数f（x）=，若关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣）B．[，）C．（﹣，﹣]D．（﹣1，﹣]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出原函数的导函数，得到函数f（x）的单调区间，再由f2（x）+af（x）＞0求得f（x）的范围，结合函数f（x）的单调性可得使不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解的实数a的取值范围．【解答】解：∵f′（x）=，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，当a＞0时，f2（x）+af（x）＞0⇔f（x）＜﹣a或f（x）＞0，此时不等式f2（x）+af（x）＞0有无数个整数解，不符合题意；当a=0时，f2（x）+af（x）＞0⇔f（x）≠0，此时不等式f2（x）+af（x）＞0有无数个整数解，不符合题意；当a＜0时，f2（x）+af（x）＞0⇔f（x）＜0或f（x）＞﹣a，要使不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解，必须满足f（3）≤﹣a＜f（2），得＜a≤，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知为单位向量，若|+|=|﹣|，则在+方向上的投影为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由|+|=|﹣|得出⊥，再由、是单位向量得出与+的夹角为45°，由投影的定义写出运算结果即可．【解答】解：∵为单位向量，且|+|=|﹣|，∴=，化简得•=0，∴⊥；∴与+的夹角为45°，∴在+方向上的投影为||cos45°=1×=．故答案为：．14．二项式（x3﹣）6的展开式中含x﹣2项的系数是﹣192．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于﹣2，求出r的值，即可求出展开式中含x﹣2项的系数．【解答】解：二项式（x3﹣）6展开式的通项公式为：T r=•（x3）6﹣r•=•（﹣2）r•x18﹣4r，+1令18﹣4r=﹣2，得r=5，∴展开式中含x﹣2项的系数是：•（﹣2）5=﹣192．故答案为：﹣192．15．已知A，B，C是球O的球面上三点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为1，则球O的体积为8π．【考点】球的体积和表面积．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点且∠AOB=90°时，三棱锥O﹣ABC 的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为1，求出半径，即可求出球O 的体积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点且∠AOB=90°时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC =V C﹣AOB==1，∴R3=6，则球O的体积为=8π．故答案为8π．16．已知数列{a n}为等差数列，a1=1，a n＞0，其前n项和为S n，且数列也为等差数列，设b n=，则数列{b n}的前n项和T n=1﹣．【考点】数列的求和．【分析】设等差数列{a n}的公差为d（d≥0），数列为等差数列，取前3项成等差数列，解方程可得d=2，运用等差数列的通项公式和求和公式，可得a n，求得b n===﹣，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d（d≥0），∵，，成等差数列，∴，解得d=2，∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，S n==n2，=n，故数列为等差数列，b n===﹣，则前n项和T n=﹣+﹣+…+﹣=1﹣．故答案为：1﹣．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3b=4c，B=2C．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）若b=4，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知及二倍角的正弦函数公式，正弦定理得6sinCcosC=4sinC，由于sinC≠0，可求cosC，进而可求sinC，sinB的值．（Ⅱ）解法一：由已知可求c，利用二倍角的余弦函数公式可求cosB，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinA，进而利用三角形面积公式即可得解；解法二：由已知可求c，由余弦定理解得a，分类讨论，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（Ⅰ）由3b=4c及正弦定理得3sinB=4sinC，∵B=2C，∴3sin2C=4sinC，即6sinCcosC=4sinC，∵C∈（0，π），∴sinC≠0，∴cosC=，sinC=，∴sinB=sinC=．（Ⅱ）解法一：由3b=4c，b=4，得c=3且cosB=cos2C=2cos2C﹣1=﹣，∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=+（﹣）×=，=bcsinA==．∴S△ABC解法二：由3b=4c，b=4，得c=3，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，得32=a2+42﹣2a×，解得a=3或a=，当a=3时，则△ABC为等腰三角形A=C，又A+B+C=180°，得C=45°，与cosC=矛盾，舍去，∴a=，=absinC==．∴S△ABC18．在高三一次数学测验后，某班对选做题的选题情况进行了统计，如表．（Ⅰ）求全班选做题的均分；（Ⅱ）据此判断是否有90%的把握认为选做《坐标系与参数方程》或《不等式选讲》与性别有关？（Ⅲ）已知学习委员甲（女）和数学科代表乙（男）都选做《不等式选讲》．若在《不等式选讲》中按性别分层抽样抽取3人，记甲乙两人被选中的人数为，求的数学期望．参考公式：，n=a+b+c+d．下面临界值表仅供参考：【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）根据表中数据，计算全班选做题的平均分即可；（Ⅱ）由表中数据计算观测值，对照临界值表得出结论；（Ⅲ）计算学习委员甲被抽取的概率和数学科代表乙被抽取的概率，从而得出甲乙两人均被选中的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据表中数据，计算全班选做题的平均分为=×（14×8+8×6.5+6×7+12×5.5）=6.8．（Ⅱ）由表中数据计算观测值：==≈3.636＞2.706，所以，据此统计有90%的把握认为选做《坐标系与参数方程》或《不等式选讲》与性别有关．（Ⅲ）学习委员甲被抽取的概率为，设《不等式选讲》中6名男同学编号为乙，1，2，3，4，5；从中随机抽取2人，共有15种抽法：乙与1，乙与2，乙与3，乙与4，乙与5，1与2，1与3，1与4，1与5，2与3，2与4，2与5，3与4，3与5，4与5，数学科代表乙被抽取的有5种：乙与1，乙与2，乙与3，乙与4，乙与5，数学科代表乙被抽取的概率为=，∴甲乙两人均被选中的概率为×=．19．如图所示，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′，O为A′D的中点，连接EF，EO，FO．（Ⅰ）求证：A′D⊥EF；（Ⅱ）求直线BD与平面OEF所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）通过证明A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，推出A'D⊥平面A'EF，然后证明A'D⊥EF．（Ⅱ）说明A'E⊥A'F，A'D⊥平面A'EF，以A'E，A'F，A'D为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A'﹣xyz，求出相关点的坐标，求出平面OEF的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解直线BD与平面OEF所成角的正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF则A′D⊥A′E，A′D⊥A′F…又A′E∩A′F=A′∴A′D⊥平面A′EF…而EF⊂平面A′EF，∴A′D⊥EF．（Ⅱ）∵正方形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，点F是BC的中点，∴BE=BF=A′E=A′F=1∴EF=，∴A′E2+A′F2=EF2，∴A′E⊥A′F由（Ⅰ）得A′D⊥平面A′EF，∴分别以A′E，A′F，A′D为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A′﹣xyz，…则A′（0，0，0），F（1，0，0），E（0，1，0），D（0，0，2），设EF与BD相交于G，则G为EF的中点，∴O（0，0，1），G（，，0），=（0，1，﹣1），=（1，0，﹣1），=（，，﹣2），设平面OEF的一个法向量为=（x，y，z），则由，可取=（1，1，1），令直线DG与平面OEF所成角为α，∴sinα==，∴直线BD与平面OEF所成角的正弦值．20．如图所示，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率存在的直线l交抛物线C于A，B两点，已知当直线l的斜率为1时，|AB|=8．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点A作抛物线C的切线交直线x=于点D，试问：是否存在定点M在以AD为直径的圆上？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意设出直线l的方程，与抛物线方程联立，再由抛物线的焦点弦长公式列式求得p，则抛物线方程可求；（Ⅱ）设出A的坐标，得到过A点的切线方程，与抛物线方程联立，利用判别式等于0把切线的斜率用A的纵坐标表示，进一步求得D点坐标，得到以AD为直径的圆的方程，从而得到存在定点M（1，0）在以AD为直径的圆上．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，直线l的方程为y=x﹣，联立方程，消去y整理得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=3p，故|AB|=x1+x2+p=4p=8，∴p=2，∴抛物线C方程为y2=4x；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线x=﹣即x=﹣1，A（）（y1≠0），设切线方程为，联立方程，消去x得：，∵△=，∴，即k=，∴切线方程为，则4x﹣，令x=﹣1，得，即D（﹣1，），∴以AD为直径的圆为，由抛物线的对称性，若以AD为直径的圆经过定点，则此定点一定在x轴上，∴令y=0，得，得x=1，故存在定点M（1，0）在以AD为直径的圆上．21．设函数f（x）=e2x，g（x）=kx+1（k∈R）．（Ⅰ）若直线y=g（x）和函数y=f（x）的图象相切，求k的值；（Ⅱ）当k＞0时，若存在正实数m，使对任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g（x）|＞2x恒成立，求k的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）设切线的坐标为（t，e2t），得到（1﹣2t）e2t=1，令h（x）=（1﹣x）e x，根据函数的单调性求出k的值即可；（Ⅱ）通过讨论k 的范围，结合对任意x ∈（0，m ），都有|f （x ）﹣g （x ）|＞2x恒成立以及函数的单调性求出对应的函数的单调区间，求出k 的具体范围即可．【解答】解：（Ⅰ）设切线的坐标为（t ，e 2t ），由f （x ）=e 2x 得f′（x ）=2e 2x ， ∴切线方程为y ﹣e 2t =2e 2t （x ﹣t ），即y=2e 2t x +（1﹣2t ）e 2t ， 由已知y=2e 2t x +（1﹣2t ）e 2t 和y=kx +1为同一条直线， ∴2e 2t =k ，（1﹣2t ）e 2t =1，令h （x ）=（1﹣x ）e x ，则h′（x ）=﹣xe x ，当x ∈（﹣∞，0）时，h′（x ）＞0，h （x ）单调递增， 当x ∈（0，+∞）时，h′（x ）＜0，h （x ）单调递减， ∴h （x ）≤h （0）=1， 当且仅当x=0时等号成立， ∴t=0，k=2，（Ⅱ）①当k ＞2时，由（Ⅰ）知：存在x ＞0，使得对于任意x ∈（0，x 0），都有f （x ）＜g （x ）， 则不等式|f （x ）﹣g （x ）|＞2x 等价于g （x ）﹣f （x ）＞2x ， 即（k ﹣2）x +1﹣e 2x ＞0，设t （x ）=（k ﹣2）x +1﹣e 2x ，t′（x ）=k ﹣2﹣2e 2x ，由t′（x ）＞0，得：x ＜ln ，由t′（x ）＜0，得：x ＞ln，若2＜k ≤4， ln≤0，∵（0，x 0）⊆（ln，+∞），∴t （x ）在（0，x 0）上单调递减，注意到t （0）=0， ∴对任意x ∈（0，x 0），t （x ）＜0，与题设不符，若k ＞4， ln＞0，（0， ln）⊆（﹣∞， ln），∴t （x ）在（0， ln ）上单调递增，∵t （0）=0，∴对任意x ∈（0， ln ），t （x ）＞0，符合题意，此时取0＜m ≤min {x 0， ln }，可得对任意x ∈（0，m ），都有|f （x ）﹣g（x ）|＞2x ，②当0＜k ≤2时，由（Ⅰ）知e 2x ﹣（2x +1）≥0，（x ＞0），f（x）﹣g（x）=e2x﹣（2x+1）+（2﹣k）x≥（2﹣k）x≥0对任意x＞0都成立，∴|f（x）﹣g（x）|＞2x等价于e2x﹣（k+2）x﹣1＞0，设φ（x）=e2x﹣（k+2）x﹣1，则φ′（x）=2e2x﹣（k+2），由φ′（x）＞0，得x＞ln＞0，φ′（x）＜0得x＜ln，∴φ（x）在（0，ln）上单调递减，注意到φ（0）=0，∴对任意x∈（0，ln），φ（x）＜0，不符合题设，综上所述，k的取值范围为（4，+∞）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数）与椭圆C：（θ为参数）相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）若，求线段AB中点M的坐标；（Ⅱ）若，其中为椭圆的右焦点P，求直线l的斜率．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）将椭圆C化为普通方程得，当时，设点M对应的参数为t0，直线l代入方程+y2=1，得，由此能求出点M的坐标．（Ⅱ），将l：代入方程，得，由此利用弦长公式能求出直线l的斜率．【解答】解：（Ⅰ）将椭圆C：化为普通方程得，当时，设点M对应的参数为t0，直线l的参数方程为（t为参数），代入方程+y2=1中，并整理得，设直线l上的点A，B对应的参数分别为t1，t2，，则，∴点M的坐标为．（Ⅱ），将l：代入方程中，得，∴，，∴|AB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|===，由，得，，，，∴直线l的斜率为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=2|x﹣1|﹣a，g（x）=﹣|x+m|（a，m∈R），若关于x的不等式g（x）＞﹣1的整数解有且仅有一个值为﹣3．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象恒在函数y=g（x）的图象上方，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）由条件解绝对值不等式可得﹣1﹣m＜x＜1﹣m，再根据不等式的整数解有且仅有一个值为﹣3，可得﹣4≤﹣1﹣m＜﹣3＜1﹣m≤﹣2，由此求得m的值．（Ⅱ）由题意可得2|x﹣1|+|x+3|＞a对任意x∈R恒成立，利用分段函数的性质求得2|x﹣1|+|x+3|的最小值，可得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由g（x）＞﹣1，即﹣|x+m|＞﹣1，|x+m|＜1，∴﹣1﹣m＜x＜1﹣m，∵不等式的整数解有且仅有一个值为﹣3，则﹣4≤﹣1﹣m＜﹣3＜1﹣m≤﹣2，解得m=3．（Ⅱ）因为y=f（x）的图象恒在函数y=g（x）的图象上方，故f（x）﹣g（x）＞0，∴2|x﹣1|+|x+3|＞a对任意x∈R恒成立，设h（x）=2|x﹣1|+|x+3|，则，∴h（x）在（﹣∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴当x=1时，h（x）取得最小值4，∴4＞a，∴实数a的取值范围是（﹣∞，4）．2017年3月11日。
江西省九江市数学高二上学期理数第一次月考试卷
江西省九江市数学高二上学期理数第一次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一上·漳州期末) 已知集合A={x|﹣2＜x＜2}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B等于（）A . （0，2）B . （0，2]C . [0，2）D . [0，2]2. （2分） (2017高一下·河口期末) 已知，则（）A .B . -C .D . -3. （2分） (2018高三上·汕头期中) 设x，y满足约束条件若目标函数的最大值为18，则a的值为（）A . 3B . 5C . 7D . 94. （2分）已知向量 =（1，﹣2）， =（x，4），且∥ ，则| + |=（）A .B . 5C .D .5. （2分） (2017高一下·鸡西期末) 在下列函数中，最小值是2的是（）A .B .C .D .6. （2分）已知O为坐标原点，点M的坐标为(a,1)(a>0)，点N(x,y)的坐标x、y满足不等式组. 若当且仅当时，取得最大值，则a的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）(2020·池州模拟) 已知椭圆：的左右焦点分别为，，若在椭圆E上存在点P，使得，则椭圆E的离心率的取值范围为（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高一下·攀枝花期末) 实数满足，则下列不等式成立的是（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·芜湖模拟) 已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn ， S10=40，则a3•a8的最大值为（）A . 14B . 16C . 24D . 4010. （2分）已知sinα=﹣，且α是第三象限角，则cosα=（）A . ﹣B . ﹣C .D .11. （2分） (2018高一下·彭水期中) 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则是（）A . 钝角三角形B . 直角三角形C . 对角三角形D . 等边三角形12. （2分） (2016高二上·自贡期中) 设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（﹣x）+f （x）=0恒成立，如果实数a，b满足不等式组，那么a2+b2的取值范围是（）A . [9，49]B . （17，49]C . [9，41]D . （17，41]二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高三上·湖南月考) 正四棱锥的体积为，则该正四棱锥的内切球体积的最大值为________．14. （1分）(2020·池州模拟) 已知向量，，且，则与的夹角为________．15. （1分） (2018高二下·沈阳期中) 函数在区间的最大值为________16. （1分） (2015高二下·三门峡期中) 已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6=________三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）(2020·榆林模拟) 不等式选讲，已知函数 .（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集是空集，求实数的取值范围.18. （10分） (2019高三上·盐城月考) 已知集合，集合，.（1）求集合B；（2）记，且集合M中有且仅有一个整数，求实数k的取值范围.19. （10分）(2017·宁波模拟) 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知3asinC=ccosA．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若B= ，△ABC的面积为9，求a的值．20. （5分） (2019高三上·儋州月考) 在等差数列中，，．（1）求数列的通项公式．（2）若数列的首项为，公比为的等比数列，求的前项和．21. （10分） (2019高一上·广州期中) 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当取何值时，公交群体的人均通勤时间等于自驾群体的人均通勤时间？（2）已知上班族的人均通勤时间计算公式为，讨论单调性，并说明其实际意义.22. （10分）已知数列是递增的等比数列，且（1）（Ⅰ）求数列的通项公式；（2）（Ⅱ）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共55分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
江西省九江第一中学1617学年度高二12月月考——数学理数学理
江西省九江第一中学2016—2017学年度上学期12月月考高二数学理试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项．．．．．．符合题意) 1．设U =R ，A ={x |x 2-3x -4＞0},B ={x |x 2-4＜0,则A ．{x |x ≤-1,或x ≥2}B ．{x |-1≤x ＜2C ．{x |-1≤x ≤4}D ．{x |x ≤4} 2．命题，，则为（ ） （A ）0tan ),2,0(00≤∈∃x x π（B ）0tan ),2,0(00<∈∃x x π（C ） （D ）3．已知()()2,1,3,1,2,9a x b y ==-，若与为共线向量，则（ ） A ． B ． C ． D ． 4.数列的前n 项和的通项公式为（ ）A ．B ．C ．D ．5.若，则，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6．函数的一个零点落在下列哪个区间 A ． B ． C ． D ． 7.已知数列满足*331log 1log ()n n a a n ++=∈N ，且，则 的值是（ ）(A) (B) (C) (D)8．中，“角成等差数列”是“)sin sin cos C A A B =+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知实数满足，则的取值范围为（ ） A ． B ． C ． D ．10．已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以，为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．11.已知等差数列的前项和分别为，若对于任意的自然数，都有，则()3153392102a a a b b b b ++=++（ ）A ．B ．C ．D ．12.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，为其左、右焦点，为椭圆上除长轴端点外的任一点，为内一点，满足，的内心为，且有（其中为实数），则椭圆的离心率（ ）A ．B ．C ．D ． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．抛物线上的一点到焦点的距离为，则点的纵坐标为_________.14.方程810610622=+-+++x x x x 的解为___________.15．已知实数，满足，且，则的最小值为 16．△的面积为，，则的取值范围是 三、解答题17．（本小题满分10分）已知，034:22<+-m mx x q ，其中． （1）若，且为真，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 18．（本小题满分12分）在△中，角，，所对的边分别为，，，且，． （1）求的值；（2）若，求的面积．19. （本小题满分12分） 已知数列的前项和为，若，． （1）求数列的通项公式；（2）（II ）若数列错误！未找到引用源。
江西省九江第一中学高二数学上学期第一次月考试题 理(无答案)(1)
九江一中高二上学期第一次月考数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．已知1233,3()log (6),3x e x f x x x -⎧<=⎨-≥⎩，则((3))f f 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．3 D ．－32．已知两条直线和互相平行，则等于( )A ．1或－3B ．－1或3C ．1或3D ．－1或－33．等差数列99637419,27,39,}{S a a a a a a a n 项和则前已知中=++=++的值为（ ）A ．66B ．99C ．144D ．2974．设l 是一条直线，α，β，γ是不同的平面，则在下列命题中，真命题的个数是（ ）个．①如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β②如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β③如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γA ．0B ．1C ．2D ．35．已知a 0.3b ＝0.32，0.20.3c =，则a ，b ，c 三者的大小关系是( )A ．b>c>aB ．b>a>cC ．a>b>cD ．c>b>a6．下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题:p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列； p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( )． A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 47.已知等比数列{a n }的前n 项和为Sn=(x 2+3x)2n-x+1则a 3的值为（ ）A ．-8B ．-4C ．1D ．不能确定8．ABC ∆中，sin b A a b <<，则此三角形有（ ）A ．一解B ．两解C ．无解D ．不确定 9.⊙C 内切于扇形AOB ，∠AOB=3π.若在扇形内任取一点，则该点在⊙C 内 的概率为( )A.16B.13C.23D.3410.设函数()sin(2)6f x x π=+,则下列结论正确的是（ ） （ ）A ．()f x 的图像关于直线3x π=对称 B ．()f x 的图像关于点(,0)6π对称C ．()f x 的最小正周期为π,且在[0,]12π上为增函数 D ．把()f x 的图像向右平移12π个单位,得到一个偶函数的图像11.已知等比数列{a n }的前n 项和为Sn ，且32015201620152016=-s s ，则20142016a a -的值为（ ） A ．-3 B ．0 C ．6 D ．1212.已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时，()1f x >，且对任意的实数x ，y R ∈，等式()()()f x f y f x y =+恒成立.若数列{n a }满足1(0)a f =，且1()n f a +=*1()(2)n n N f a ∈--，则2010a 的值为（ ）A.4016B.4017C.4018D.4019 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.13．计算：(lg2)2+lg2·lg50+lg25=_______14．已知等比数列{}n a 为递增数列，若10a >，且212()5n n n a a a +++=，则数列{}n a 的公比q =_______.15.圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是_______.16．已知数列}{n a （,3,2,1=n …2016），圆044:221=--+y x y x C ，圆022:2017222=--+-y a x a y x C n n ，若圆C 2平分圆C 1的周长，则}{n a 的所有项的和为_______.三、解答题: 本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.17．（本小题共10分）在公差不为0的等差数列{}n a 中，31015a a +=，且2511,,a a a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11+=n n n a a b ，求数列{n b }的前n 项和n S .18．（本小题共12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，274sin cos 222B C A +-=. (1)求A 的度数；(2)若3,3a b c =+=,求b 与c 的值.19．（本小题共12分）菱形ABCD 的边长为3，AC 与BD 交于O ，且ο60=∠BAD ．将菱形ABCD 沿对角线AC 折起得到三棱锥B ADC -（如图），点M 是棱BC 的中点，32DM =（1）求证：OD ⊥平面ABC ；（2）求三棱锥ABD M -的体积．20．（本小题共12分）根据如图所示的程序框图，将输出的x ，y 值依次分别记为x 1，x 2，…，x k ，…；y 1，y 2，…，y k ，….(1)分别求数列{x k }和{y k }的通项公式；(2)令z k ＝x k y k ，求数列{z k }的前k 项和T k ，其中k ∈N *，k ≤2 007.A BCMO D21．（本小题共12分）设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a n+1=2S n +2(n N *∈)（1）求数列{a n }的通项公式；（2）在a n 与a n+1之间插入n 个数，使这n+2个数组成一个公差为d n 的等差数列， 在数列{d n }中是否存在三项d m ，d k ，d p （其中m,k,p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项，若不存在，说明理由.22．（本小题共12分）已知集合{}123,,,n A a a a a =⋅⋅⋅，123(0,,3)n a a a a n N n +≤<<<⋅⋅⋅<∈≥具有性质P ：对任意的,i j (1)i j n ≤≤≤，,j i j i a a a a +-至少有一个属于A .（1）分别判断集合{}0,2,4M =与{}1,2,3N =是否具有性质P ；（2）求证：①10a =；②1232n n n a a a a a +++⋅⋅⋅+=； （3）当3=n 或4时集合A 中的数列{}n a 是否一定成等差数列?说明理由.。
江西省九江第一中学高二数学上学期第一次月考试题 文(
九江一中高二上学期第一次月考数学（文）试卷 一、选择题（共12题，每题5分） 1．已知数列{}n a 的通项公式为43n a n =-，则5a 的值是（ ） A ．9 B ．13 C ．17 D ．212.0000cos 42cos78sin 42sin 78-=（ ）A ．12 B ．12- C ．32- D ．323.若直线1:10l ax y +-=与()2:3210l x a y +++=平行，则a 的值为（ ）A ．1B ．3-C ．0或12- D ．1或3-4．已知31)3sin(=+απ，则cos2α等于（ ）A ．79 B ．79- C ．89 D ．98-5．已知向量()()1,0,0,1a b ==r r ，若()()3ka b a b +⊥-r r r r ，则实数k =（ ）A ．3-B ．3C ．13- D ．136．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且931,,a a a 成等比数列，则1042931a a a a aa ++++的值是（）A.1415B.1312C.1613D.16157．已知向量,a b r r 的夹角为60o ,且1,2a b ==r r ,则2a b +=r r （ ）A ．3B ．5C ．22D ．238．数列{a n }的前n 项和为n S ，若)1(2+=n n a n ，则S 100等于（ ）A ．B ．C ．2D ．9．已知等比数列{a n }，前n 项和m S n n +⨯=23，则其公比是（ ）A ．1 B.2 C ．3 D ．410．设数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列，则实数b 的取值范围为（ ） A ．[)1,+∞ B ．[)2,-+∞ C ．()3,-+∞ D ．9,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11．如图给出一个“三角形数阵”，已知每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为ij a （i ，j *∈N ），则83a =（ ）A ．18B ．14C ．12D ．34 12．若{}n a 是等差数列，首项10,a >201120120a a +>，201120120a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ）A ．2011B ．2012C ．4022D ．4023二、填空题(共4题，每题5分）13.若,21,45x x x ++是等比数列{}n a 的前三项, 则n a =_______．14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1476a a a ++=，则7S = ．15．在ABC ∆中，1tan tan )tan (tan 3-=+C B C B ，则A 2sin = .16．各项均为正数的等比数列{}n a 中，569a a ⋅=，则3132310log log log a a a +++=LΛΛΛ163,83,4341,2141三、解答题（共6题） 17．(10分)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3624,18a a ==（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；18．（12分）某校从参加高三年级期中考试的学生中随机统计了40名学生的政治成绩,这40名学生的成绩全部在40分至100分之间,据此绘制了如图所示的样本频率分布直方图.（1）求成绩在[80,90）的学生人数；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生,求至少有1 名学生成绩在[90,100]的概率.19．（12分）已知锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a=2bsinA ．（1）求B 的大小；（2）若a 2+c 2=7，三角形ABC 的面积为1，求b 的值．20．（12分）如图, 四棱锥P ABCD -中, 底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,E 是PD 的中点.（1）证明:PB ∥平面AEC;（2）设1,3AP AD ==,三棱锥P ABC -的体积3V =,求A 到平面PBC 的距离.21．（12分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，其中11a =，且2462a a a +、、成等比数列；数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足21n n S b +=．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）如果n n n c a b =，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，是否存在正整数n ，使得n n T S >成立，若存在，求出n 的最小值，若不存在，说明理由．22．（12分）已知以点)2,1(-A 为圆心的圆与直线072:1=++y x l 相切.过点)0,2(-B 的动直线l 与圆A 相交于M 、N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与1l 相交于点P .（1）求圆A的方程；（2） 是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由.。
2016-2017学年江西省九江一中高三(上)开学数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年江西省九江一中高三（上）开学数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）采用系统抽样方法，从我校初中全体900名学生中抽50名做健康检查．现将900名学生从1到900进行编号，在1～18中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从37～54这18个数中应取的数是（）A．44B．43C．42D．412．（5分）若＝（1，1），＝（﹣1，1），k+与﹣垂直，则k的值是（）A．2B．1C．0D．﹣13．（5分）在对两个变量x、y进行线性回归分析时一般有下列步骤：①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据（x i，y i），i＝1，2，…n③求线性回归方程；④根据所搜集的数据绘制散点图．若根据实际情况能够判定变量x、y具有线性相关性，则在下列操作顺序中正确的是（）A．①②④③B．③②④①C．②③①④D．②④③①4．（5分）下列各式中，值为的是（）A．2sin15°cos15°B．2sin215°﹣1C．cos215°﹣sin215°D．sin230°+cos230°5．（5分）如图所示的程序框图所表示的算法是（）A．12+22+32+…+102B．102+112+122+…+10002C．102+202+302+…+10002D．12+22+32+…+100026．（5分）在△ABC中，c＝，a＝1，a cos B＝b cos A，则•＝（）A．B．C．D．7．（5分）已知某算法的算法框图如图所示，若将输出的（x，y）值依次记为（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），…，则程序结束时，共输出（x，y）的组数为（）A．1006B．1007C．1008D．10098．（5分）函数y＝sin（﹣2x）的一个单调递减区间是（）A．B．C．D．9．（5分）在平面直角坐标系中，点O（0，0），P（4，3），将向量绕点O按顺时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）10．（5分）如图，圆C：x2+（y﹣1）2＝1与y轴的上交点为A，动点P从A点出发沿圆C按逆时针方向运动，设旋转的角度∠ACP＝x（0≤x≤2π），向量在＝（0，1）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y＝f（x）的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共5个小题，每小题5分，共25分，请把正确答案填在题中横线上）11．（5分）某公司为改善职工的出行条件，随机抽取50名职工，调查他们的居住地与公司的距离d（单位：千米）．若样本数据分组为[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，由数据绘制的分布频率直方图如图所示，则样本中职工居住地与公司的距离不超过4千米的人数为人．12．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）＝．13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠A＝120°，c＝3，a ＝7，则△ABC的面积S＝．14．（5分）如图，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是．15．（5分）有下列五个命题：①函数y＝4cos2x，x∈[﹣10π，10π]不是周期函数；②已知定义域为R的奇函数f（x），满足f（x+3）＝f（x），当x∈（0，）时，f（x）＝sinπx，则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是9；③为了得到函数y＝﹣cos2x的图象，可以将函数y＝sin（2x﹣）的图象向左平移；④已知函数f（x）＝x﹣sin x，若x1，x2∈[﹣，]且f（x1）+f（x2）＞0，则x1+x2＞0；⑤设曲线f（x）＝a cos x+b sin x的一条对称轴为x＝，则点（，0）为曲线y＝f（﹣x）的一个对称中心．其中正确命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）16．（12分）已知向量＝（sin x，），＝（cos x，﹣1）．（Ⅰ）当∥时，求tan x的值；（Ⅱ）求f（x）＝（+）•在[﹣，0]上的零点．17．（12分）某学校餐厅新推出A、B、C、D四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下．为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：（Ⅰ）若同学甲选择的是A款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；（Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面谈，求这两人中至少有一人选择的是D款套餐的概率．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且a＝5，b2+c2﹣bc ＝25．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）设cos B＝，求边c的大小．19．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣2bx+a（a，b∈R）（1）若a从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，b从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，求方程f（x）＝0恰有两个不相等实根的概率；（2）若b从区间[0，2]中任取一个数，a从区间[0，3]中任取一个数，求方程f（x）＝0没有实根的概率．20．（13分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，|φ|＜），图象上有一个最低点是P（﹣，﹣1），对于f（x1）＝1，f（x2）＝3，|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）若f（α+）＝，且α为第三象限的角，求sinα+cosα的值；（Ⅱ）讨论y＝f（x）+m在区间[0，]上零点的情况．21．（14分）已知＝（2，﹣），＝（sin2（+x），cos2x）．令f（x）＝•﹣1，x∈R，函数g（x）＝f（x+φ），φ∈（0，）的图象关于（﹣，0）对称．（Ⅰ）求f（x）的解析式，并求φ的值；（Ⅱ）在△ABC中sin C+cos C＝1﹣，求g（B）的取值范围．2016-2017学年江西省九江一中高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：样本间隔为900÷50＝18，若抽到的是7，则37～54为第3组，此时对应的数为7+2×18＝43，故选：B．2．【解答】解：＝（1，1），＝（﹣1，1），k+＝（k﹣1，k+1）﹣＝（2，0），k+与﹣垂直，可得：2k﹣2＝0，解得k＝1．故选：B．3．【解答】解：在对两个变量x，y进行线性回归分析时有以下步骤：需要先收集数据（x i，y i），i＝1，2，…，n，再根据所收集的数据绘制散点图，求线性回归方程．最后利用回归方程进行预测，故选：D．4．【解答】解：2sin15°cos15°＝sin30，2sin215°﹣1＝﹣cos30°＝；cos215°﹣sin215°＝cos30°＝，sin230°+cos230°＝1．故选：C．5．【解答】解：由已知可知程序的功能是利用循环进行类加运算，由于循环变量的初值为10，终值为1000，步长为10，故程序框图所表示的算法是102+202+302+ (10002)故选：C．6．【解答】解：△ABC中，∵a cos B＝b cos A，∴sin A cos B＝sin B cos A，∴sin（A﹣B）＝0，∴A﹣B＝0，即A＝B；∴a＝b；又∵c＝，a＝1，∴b＝1；如图，∴cos C＝＝﹣，∴C＝120°；∴•＝||×||×cos＜，＞＝1×1×cos60°＝．故选：A．7．【解答】解：根据程序框图的运算流程，模拟程序的运行，可得：当n＝1时，输出第1对，当n＝3时，输出第2对，…当n＝2013时，输出最后一对为第1007对，此时，n＝2015，满足条件n＞2014，结束．所以程序结束时，共输出（x，y）的组数为1007．故选：B．8．【解答】解：∵y＝log0.5t为减函数，y＝log0.5sin（﹣2x）单调减区间即为t＝sin（﹣2x）＝﹣sin（2x﹣）的单调增区间由于真数必须为正，故令k∈Z解得当k＝﹣1时，有故选：A．9．【解答】解：在平面直角坐标系中，点O（0，0），P（4，3），设OP的倾斜角为θ，则θ∈（0，），|OP|＝5，cosθ＝，sinθ＝，将向量绕点O按顺时针方向旋转后得向量，则与x轴正方向的夹角为θ+，则点Q的横坐标为5•cos（θ+）＝5[﹣]＝﹣2﹣，点Q的纵坐标为5•sin（θ+）＝5[+]＝﹣+2，故选：D．10．【解答】解：∵∠ACP＝x，∴P（﹣sin x，1+cos x），∴＝（﹣sin x，1+cos x），∴y＝||•＝＝1+cos x，故选：B．二、填空题（本题共5个小题，每小题5分，共25分，请把正确答案填在题中横线上）11．【解答】解：样本中职工居住地与公司的距离不超过4千米的频率为：（0.1+0.14）×2＝0.48，所以样本中职工居住地与公司的距离不超过4千米的人数为：50×0.48＝24人故答案为：24．12．【解答】解：根据函数的图象T＝8，T＝求得：ω＝当x＝2时，函数f（2）＝2解得：A＝2，Φ＝0所以：f（x）＝2sin（）…所以：f（1）+…f（8）＝0f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）＝故答案为：13．【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝120°，c＝3，a＝7，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：49＝b2+3b+9，即：b2+3b﹣40＝0，∴解得：b＝5或﹣8（舍去），∴S△ABC＝bc sin A＝＝．故答案为：．14．【解答】解：根据题意，O为圆心，即O是AB的中点，则，则≥﹣，即的最小值是﹣；故答案为﹣．15．【解答】解：①函数y＝4cos2x，x∈[﹣10π，10π]不是周期函数；正确，②由f（x+3）＝f（x）得函数的周期是3，当x∈（0，）时，f（x）＝sinπx，sinπx＝0得πx＝kπ，则x＝k，在x∈（0，）内，x ＝1，只有一个零点，则f（1）＝f（4）＝0，又f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，则f（﹣1）＝f（2）＝f（5），∵f（x）是奇函数，∴f（0）＝0，则f（0）＝f（3）＝f（6）＝0，令x＝﹣，则f（﹣+3）＝f（﹣），即f（）＝﹣f（），则f（）＝0，则f（）＝f（）＝0则函数f（x）在区间[0，6]上的零点为0，1，2，3，4，5，6，，，共9个零点，故②正确；③将函数y＝sin（2x﹣）的图象向左平移得到y＝sin[2（x+）﹣）]＝sin（2x+）；而y＝﹣cos2x＝cos（π﹣2x）＝sin（﹣π+2x）＝sin（2x﹣），故③错误，④已知函数f（x）＝x﹣sin x，则函数f（x）是奇函数，且函数的导数f′（x）＝1﹣cos x≥0，则f（x）为增函数，若x1，x2∈[﹣，]且f（x1）+f（x2）＞0，得f（x1）＞﹣f（x2）＝f（﹣x2），即x1＞﹣x2，则x1+x2＞0成立；故④正确，⑤曲线f（x）＝a cos x+b sin x＝sin（x+θ），tanθ＝，所以函数的周期为：2π．因为曲线f（x）＝a cos x+b sin x的一条对称轴为，所以函数的一个对称点为：（），即（）．函数y＝f（﹣x）的一个对称中心为（），的图象可以由函数y＝f（﹣x）的图象向右平移单位得到的，所以曲线的一个对称点为（），即．故⑤正确，故答案为：①②④⑤．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）16．【解答】解：（1）∵∥，∴，∴，（2）f（x）＝（）＝（），∵x∈[]，∴，令f（x）＝（）＝0，则＝0，∴x＝∴函数f（x）的零点为．17．【解答】解：（Ⅰ）由条形图可得，选择A，B，C，D四款套餐的学生共有200人，…（1分）其中选A款套餐的学生为40人，…（2分）由分层抽样可得从A款套餐问卷中抽取了份．…（4分）设事件M＝“同学甲被选中进行问卷调查”，…（5分）则．…（6分）答：若甲选择的是A款套餐，甲被选中调查的概率是0.1．（II）由图表可知，选A，B，C，D四款套餐的学生分别接受调查的人数为4，5，6，5．其中不满意的人数分别为1，1，0，2个．…（7分）记对A款套餐不满意的学生是a；对B款套餐不满意的学生是b；对D款套餐不满意的学生是c，d．…（8分）设事件N＝“从填写不满意的学生中选出2人，至少有一人选择的是D款套餐”…（9分）从填写不满意的学生中选出2人，共有（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）6个基本事件，…（10分）而事件N有（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）5个基本事件，…（11分）则．…（13分）答：这两人中至少有一人选择的是D款套餐的概率是．18．【解答】解：（Ⅰ）∵a＝5由，得：b2+c2﹣a2＝bc，…（3分）∴cos A＝＝，又∵A∈（0，180°），∴A＝45°．（6分）（Ⅱ）由，知B为锐角，∴，∴，…（9分）∴由正弦定理得：．…（12分）19．【解答】解：（1）a取集合{0，1，2，3}中任一元素，b取集合{0，1，2，3}中任一元素∴a、b的取值情况的基本事件总数为16．设“方程f（x）＝0有两个不相等的实根”为事件A，当a≥0，b≥0时方程f（x）＝0有两个不相等实根的充要条件为b＞a，且a≠0．当b＞a时，a的取值有（1，2）（1，3）（2，3）即A包含的基本事件数为3．∴方程f（x）＝0有两个不相等的实根的概率P（A）＝；（2）∵b从区间[0，2]中任取一个数，a从区间[0，3]中任取一个数则试验的全部结果构成区域Ω＝{（a，b）|0≤b≤2，0≤a≤3}这是一个矩形区域，其面积SΩ＝2×3＝6设“方程f（x）＝0没有实根”为事件B，则事件B构成的区域为M＝{（a，b）|0≤b≤2，0≤a≤3，a＞b}，其面积S M＝6﹣×2×2＝4，由几何概型的概率计算公式可得方程f（x）＝0没有实根的概率P（B）＝＝＝．20．【解答】解：（Ⅰ）由已知：﹣A+1＝﹣1，∴A＝2，，解得T＝π，∴ω＝2；（2分）又且过点，∴，∴；（4分）∴f（x）＝；（5分）由，得，（7分）∵α为第三象限的角，∴sinα+cosα＝；（8分）（Ⅱ）∵，∴，∴，∴；（10分）∴①当﹣2＜m≤0或m＝﹣3时，函数y＝f（x）+m在上只有一个零点；②当﹣3＜m≤﹣2时，函数y＝f（x）+m在上有两个零点；③当m＜﹣3或m＞0时，函数y＝f（x）+m在上没有零点．…（13分）21．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝•﹣1＝＝2，∴．∴g（x）的图象的对称中心为．又已知点（）为g（x）的图象的一个对称中心，∴．而，∴；（Ⅱ）由得，即，∵，∴．两边平方得．由，得，∴．∴，．又，又∵，∴，∴．。
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2016-2017学年江西省九江一中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知f（x）=，则f（f（3））的值为（）A．B．0 C．1 D．32．已知两条直线y=ax﹣2和3x﹣（a+2）y+1=0互相平行，则a等于（）A．1或﹣3 B．﹣1或3 C．1或3 D．﹣1或﹣33．等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于（）A．66 B．99 C．144 D．2974．设l是一条直线，α，β，γ是不同的平面，则在下列命题中，真命题的个数是（）个．①如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β②如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β③如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γA．0 B．1 C．2 D．35．已知a=，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a6．下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p47．已知等比数列{a n}的前n项和为S n=（x2+3x）2n﹣x+1，则a3的值为（）A．﹣8 B．﹣4 C．1 D．不能确定8．在△ABC中，bsinA＜a＜b，则此三角形有（）A．一解 B．两解 C．无解 D．不确定9．如图圆C内切于扇形AOB，∠AOB=，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的概率为（）A ．B ．C ．D ．10．设函数f （x ）=sin （2x +），则下列结论正确的是（ ）A ．f （x ）的图象关于直线x=对称B ．f （x ）的图象关于点（，0）对称C ．f （x ）的最小正周期为π，且在[0，]上为增函数D ．把f （x ）的图象向右平移个单位，得到一个偶函数的图象11．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且=3，则a 2016﹣a 2014的值为（ ）A ．﹣3B ．0C ．6D ．1212．已知函数y=f （x ）的定义域为R ，当x ＜0时，f （x ）＞1，且对任意的实数x ，y ∈R ，等式f （x ）f （y ）=f （x +y ）恒成立．若数列{a n }满足a 1=f （0），且f （a n +1）=，则a 2010的值为（ ）A ．4016B ．4017C ．4018D ．4019二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上. 13．计算（lg2）2+lg2•lg50+lg25= ． 14．已知等比数列{a n }为递增数列．若a 1＞0，且2（a n +a n +2）=5a n +1，则数列{a n }的公比q= ． 15．圆x 2+y 2﹣2x +6y +5a=0关于直线y=x +2b 成轴对称图形，则a ﹣b 的取值范围是 ． 16．已知数列{a n }（n=1，2，3，…，2016），圆C 1：x 2+y 2﹣4x ﹣4y=0，圆C 2：x 2+y 2﹣2a n x ﹣2a 2017﹣n y=0，若圆C 2平分圆C 1的周长，则数列{a n }的所有项的和为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．在公差不为0的等差数列{a n }中，a 3+a 10=15，且a 2，a 5，a 11成等比数列． （1）求{a n }的通项公式；（2）设b n =，求数列{b n }的前n 项和S n ．18．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且4sin 2﹣cos2A=．（参考公式：）（1）求角A 的度数；（2）若a=，b +c=3，求b 和c 的值．19．菱形ABCD 的边长为3，AC 与BD 交于O ，且∠BAD=60°．将菱形ABCD 沿对角线AC 折起得到三棱锥﹣ADC （如图），点M 是棱C 的中点，DM=．（1）求证：OD ⊥平面ABC（2）求三棱锥M﹣ABD的体积．20．根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，…，x k，…；y1，y2，…，y k，…．（Ⅰ）分别求数列{x k}和{y k}的通项公式；（Ⅱ）令z k=x k y k，求数列{z k}的前k项和T k，其中k∈N+，k≤2007．21．设等比数列{a n}的前n项和为S n．已知a n+1=2S n+2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列．①设T n=（n∈N*），求T n；②在数列{d n}中是否存在三项d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．22．已知集合A={a1，a2，a3，…a n}，（0≤a1＜a2＜a3＜…＜a n，n∈N*，n≥3）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a j+a i，a i﹣a i至少有一个属于A．（1）分别判断集合M={0，2，4}与N={1，2，3}是否具有性质P（2）求证：①a1=0②a1+a2+a3+…+a n=a n（3）当n=3或4时集合A中的数列{a n}是否一定成等差数列？说明理由．2016-2017学年江西省九江一中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知f（x）=，则f（f（3））的值为（）A．B．0 C．1 D．3【考点】对数的运算性质；函数的值．【分析】根据分段函数直接代入求值即可．【解答】解：由分段函数可知f（3）=log3（9﹣6）=log33=1，∴f（f（3））=f（1）=3•e1﹣1=3．故选D．2．已知两条直线y=ax﹣2和3x﹣（a+2）y+1=0互相平行，则a等于（）A．1或﹣3 B．﹣1或3 C．1或3 D．﹣1或﹣3【考点】两条直线平行的判定．【分析】应用平行关系的判定方法，直接求解即可．【解答】解：两条直线y=ax﹣2和3x﹣（a+2）y+1=0互相平行，所以解得a=﹣3，或a=1故选A．3．等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于（）A．66 B．99 C．144 D．297【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据等差数列的通项公式化简a1+a4+a7=39和a3+a6+a9=27，分别得到①和②，用②﹣①得到d的值，把d的值代入①即可求出a1，根据首项和公差即可求出前9项的和S9的值．【解答】解：由a1+a4+a7=3a1+9d=39，得a1+3d=13①，由a3+a6+a9=3a1+15d=27，得a1+5d=9②，②﹣①得d=﹣2，把d=﹣2代入①得到a1=19，则前9项的和S9=9×19+×（﹣2）=99．故选B．4．设l是一条直线，α，β，γ是不同的平面，则在下列命题中，真命题的个数是（）个．①如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β②如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β③如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γA．0 B．1 C．2 D．3【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在①中，由面面垂直的性质得α内一定存在直线平行于β；在②中，由面面垂直的判定得α内一定不存在直线垂直于β；在③中，由线面垂直的判定定理得l⊥γ．【解答】解：由l是一条直线，α，β，γ是不同的平面，知：在①中，如果α⊥β，那么由面面垂直的性质得α内一定存在直线平行于β，故①正确；在②中，如果α不垂直于β，那么由面面垂直的判定得α内一定不存在直线垂直于β，故②正确；在③中，如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么由线面垂直的判定定理得l⊥γ，故③正确．故选：D．5．已知a=，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a【考点】不等关系与不等式．【分析】利用指数函数的单调性即可判断出．【解答】解：∵，∴b＞c＞a．故选A．6．下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4【考点】等差数列的性质；命题的真假判断与应用．【分析】对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论．﹣a n=d＞0，∴命题p1：数列{a n}是递【解答】解：∵对于公差d＞0的等差数列{a n}，a n+1增数列成立，是真命题．对于数列{na n}，第n+1项与第n项的差等于（n+1）a n﹣na n=（n+1）d+a n，不一定是正实+1数，故p2不正确，是假命题．对于数列，第n+1项与第n项的差等于﹣==，不一定是正实数，故p3不正确，是假命题．对于数列{a n+3nd}，第n+1项与第n项的差等于a n+3（n+1）d﹣a n﹣3nd=4d＞0，+1故命题p4：数列{a n+3nd}是递增数列成立，是真命题．故选D．7．已知等比数列{a n}的前n项和为S n=（x2+3x）2n﹣x+1，则a3的值为（）A．﹣8 B．﹣4 C．1 D．不能确定【考点】等比数列的前n项和．即可得出等比数列{a n}的【分析】根据条件可以先得出，而由a n=S n﹣S n﹣1首项，公比q=2，从而有2x2+5x+1=x2+3x，解出x，即可得出a1=﹣2，进而便可求出a3的值．【解答】解：根据题意，；n≥2时，；∴等比数列{a n}的首项a1=x2+3x，公比q=2；∴2x2+5x+1=x2+3x；解得x=﹣1；∴a1=﹣2；∴．故选：A．8．在△ABC中，bsinA＜a＜b，则此三角形有（）A．一解 B．两解 C．无解 D．不确定【考点】正弦定理．【分析】根据已知不等式得到A为锐角，且A小于B，利用正弦定理得到sinB小于1，可得出B为锐角或钝角，即三角形有两解．【解答】解：∵bsinA＜a＜b，∴sinA＜1，A＜B，∴0＜A＜90°，由正弦定理=得：asinB=bsinA＜a，即sinB＜1，当A＜B＜90°时，B为锐角；当90°＜B＜180°时，B为钝角，则此三角形有两解．故选：B9．如图圆C内切于扇形AOB，∠AOB=，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型；扇形面积公式．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件对应的包含的事件对应的是扇形AOB，满足条件的事件是圆，根据题意，构造直角三角形求得扇形的半径与圆的半径的关系，进而根据面积的求法求得扇形OAB的面积与⊙P的面积比．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，设圆C的半径为r，试验发生包含的事件对应的是扇形AOB，满足条件的事件是圆，其面积为⊙C的面积=π•r2，连接OC，延长交扇形于P．由于CE=r，∠BOP=，OC=2r，OP=3r，==；则S扇形AOB∴⊙C的面积与扇形OAB的面积比是．∴概率P=，故选C．10．设函数f（x）=sin（2x+），则下列结论正确的是（）A．f（x）的图象关于直线x=对称B．f（x）的图象关于点（，0）对称C．f（x）的最小正周期为π，且在[0，]上为增函数D．把f（x）的图象向右平移个单位，得到一个偶函数的图象【考点】命题的真假判断与应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】通过x=函数是否取得最值判断A的正误；通过x=，函数值是否为0，判断B的正误；利用函数的周期与单调性判断C的正误；利用函数的图象的平移判断D的正误．【解答】解：对于A，当x=时，函数f（x）=sin（2×+）=，不是函数的最值，判断A的错误；对于B，当x=，函数f（x）=sin（2×+）=1≠0，判断B的错误；对于C，f（x）的最小正周期为π，由，可得，k∈Z，在[0，]上为增函数，∴选项C的正确；对于D，把f（x）的图象向右平移个单位，得到函数f（x）=sin（2x+），函数不是偶函数，∴选项D不正确．故选：C．11．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且=3，则a2016﹣a2014的值为（）A．﹣3 B．0 C．6 D．12【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列{a n}（公差为d）的前n项和为S n，则=a1+（n﹣1），可得数列是等差数列，因此=3，进而得出．【解答】解：由等差数列{a n}（公差为d）的前n项和为S n，则=a1+（n﹣1），∴数列是等差数列，∴=3，d=6则a2016﹣a2014=2d=12．故选：D．12．已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，）=，等式f（x）f（y）=f（x+y）恒成立．若数列{a n}满足a1=f（0），且f（a n+1则a2010的值为（）A．4016 B．4017 C．4018 D．4019【考点】数列与函数的综合．【分析】根据题意，底数小于1的指数函数符合题中条件，不妨令f（x）=，求得a1=f （0）=1，再由（n∈N*），得a n+1=a n+2，从而求得正确的结果．【解答】解：根据题意，不妨设f（x）=，（其中x∈R），则a1=f（0）=1；∵（n∈N*），∴==，∴a n+1=a n+2；∴数列{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列；∴a n=2n﹣1，∴a2010=4019．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上. 13．计算（lg2）2+lg2•lg50+lg25=2．【考点】对数的运算性质．【分析】将式子利用对数的运算性质变形，提取公因式，化简求值．【解答】解：原式=2 lg5+lg2•（1+lg5）+（lg2）2=2 lg5+lg2（1+lg5+lg2）=2 lg5+2 lg2=2；故答案为2．14．已知等比数列{a n}为递增数列．若a1＞0，且2（a n+a n+2）=5a n+1，则数列{a n}的公比q=2．【考点】等比数列的性质．【分析】由{a n}为递增数列且a1＞0可知q＞1，由已知可得2（）=5a n q，可求q【解答】解：∵{a n}为递增数列且a1＞0∴q＞1∵2（a n+a n+2）=5a n+1，∴2（）=5a n q∴2+2q2=5q∴q=2故答案为：215．圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，则a﹣b的取值范围是（﹣∞，4）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程求出圆心和半径，再根据圆心在直线y=x+2b上，求得a、b的值的范围，从而求得a﹣b的取值范围．【解答】解：由题意可得圆的方程为（x﹣1）2+（y+3）2=10﹣5a，故圆心为（1，﹣3），半径为，由题意可得，圆心（1，﹣3）在直线y=x+2b上，∴﹣3=1+2b，且10﹣5a＞0，∴b=﹣2，a＜2，∴a﹣b＜4，故答案为：（﹣∞，4）．16．已知数列{a n}（n=1，2，3，…，2016），圆C1：x2+y2﹣4x﹣4y=0，圆C2：x2+y2﹣2a n x y=0，若圆C2平分圆C1的周长，则数列{a n}的所有项的和为4032．﹣2a2017﹣n【考点】数列与解析几何的综合；直线与圆的位置关系．=4即可【分析】根据两圆的关系求出两圆的公共弦，求出圆心C1的圆心，得到a n+a2017﹣n求出{a n}的所有项的和．【解答】解：设圆C1与圆C2交于A，B，则直线AB的方程为：y）=0，x2+y2﹣4x﹣4y﹣（x2+y2﹣2a n x﹣2a2017﹣n化简得：（a n﹣2）x+（a2017﹣2）y=0，﹣n∵圆C1：x2+y2﹣4x﹣4y=0的标准方程为圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=8，∴圆心C1：（2，2）．又圆C2平分圆C1的周长，则直线AB过C1：（2，2）．，﹣2）=0，代入AB的方程得：2（a n﹣2）+2（a2017﹣n=4，即a n+a2017﹣n∴{a n}的所有项的和为a1+a2+…+a2017=（a1+a2016）+（a2+a2015）+…+（a1008+a1009）=1008×4=4032．故答案为：4032．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．在公差不为0的等差数列{a n}中，a3+a10=15，且a2，a5，a11成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和．【分析】（1）设等差数列的公差为d，并由条件确定d的范围，根据等差数列的通项公式及等比数列的性质、以及题意列出关于首项和公差的方程组，求出公差和首项后代入等差数列的通项公式化简即可；（2）把（1）求出的a n代入b n，再求出b n的表达式，然后由裂项相消法来求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设正项等差数列{a n}的公差为d，则d≠0，由a3+a10=15，且a2，a5，a11成等比数列得，，②化为6d2﹣3da1=0，因为d≠0，所以a1=2d，代入①解得，d=1，则a1=2，所以，a n=a1+（n﹣1）•d=n+1；（2）由（1）知，a n=n+1，则b n===﹣，所以S n=﹣+﹣+﹣+…+﹣=﹣=，即S n=．18．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且4sin2﹣cos2A=．（参考公式：）（1）求角A的度数；（2）若a=，b+c=3，求b和c的值．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）已知等式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，求出cosA的值，即可确定出A的度数；（2）利用余弦定理表示出cosA，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，与b+c的值联立即可求出b与c的值．【解答】解：（1）由题设得2[1﹣cos（B+C）]﹣（2cos2A﹣1）=，∵cos（B+C）=﹣cosA，∴2（1+cosA）﹣2cos2A+1=，整理得（2cosA﹣1）2=0，∴cosA=，∴A=60°；（2）∵cosA=====，∴bc=2，又∵b+c=3，∴b=1，c=2或b=2，c=1．19．菱形ABCD的边长为3，AC与BD交于O，且∠BAD=60°．将菱形ABCD沿对角线AC折起得到三棱锥﹣ADC（如图），点M是棱C的中点，DM=．（1）求证：OD⊥平面ABC（2）求三棱锥M﹣ABD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）先证明OD⊥OM，OD⊥AC，结合OM∩AC=O，由线面垂直的判定得OD⊥平面ABC；（2）判断OD为三棱锥D﹣ABC的高，求出△ABM，然后求解三棱锥的体积．【解答】（Ⅰ）证明：由题意，OM=OD=，∵DM=，∴∠DOM=90°，OD⊥OM．又∵ABCD是菱形，∴OD⊥AC．∵OM∩AC=O，∴OD⊥平面ABC；（2）解：三棱锥M﹣ABD的体积等于三棱锥D﹣ABM的体积．由（1）知，OD⊥平面ABC，∴OD=为三棱锥D﹣ABM的高．△ABM的面积为×3××=，∴所求体积等于××=．20．根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，…，x k，…；y1，y2，…，y k，…．（Ⅰ）分别求数列{x k}和{y k}的通项公式；（Ⅱ）令z k=x k y k，求数列{z k}的前k项和T k，其中k∈N，k≤2007．+【考点】程序框图；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．【分析】（I）根据框图可知数列{x k}为等差数列，首项为1，公差为2，进而根据等差数列的通项公式求得数列{x k}的通项公式，对于{y k}易得y k+1=3y k+2变形得y k+1+1=3（y k+1），利用等比数列的通项公式求得y k+1=3k进一步求出y k=3k﹣1．（II）根据（I）中求得的{x k}和{y k}的通项公式，求得z k=（2k﹣1）3k﹣（2k﹣1），进而利用错位相减法求得答案．【解答】解：（I）依框图得数列{x k}为等差数列，首项为1，公差为2所以x k=1+2×（k﹣1）=2k﹣1而对于{y k}易得y k+1=3y k+2变形得y k+1+1=3（y k+1）所以{y k+1}是以y1+1=3为首项，以3为公比的等比数列，所以y k+1=3k所以y k=3k﹣1（II）由题意知，z k=（2k﹣1）（3k﹣1）=（2k﹣1）3k﹣（2k﹣1）设S k=1×3+3×32+5×33+…+（2k﹣1）•3k3S k=1×32+3×33+…+（2k﹣3）•3k+（2k﹣1）3k+1两式相减得﹣2S k=2（1﹣k）•3k+1﹣6所以D k=3﹣（1﹣k）•3k+1．∴T k=3﹣（1﹣k）•3k+1﹣k2．21．设等比数列{a n}的前n项和为S n．已知a n+1=2S n+2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列．①设T n=（n∈N*），求T n；②在数列{d n}中是否存在三项d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．【考点】数列递推式；等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，若q=1，则a n =a 1，a n +1=a 1，S n =na 1，这与a n +1=2S n +2矛盾，故q ≠1，由a n +1=2S n +2得，由此能够推导出a n =2×3n ﹣1．（2）由a n =2×3n ﹣1，知a n +1=2×3n ，因为a n =a n +（n +1）d n ，所以．（i ）=，由错位相减法能够得到．（ii ）假设在数列{d n }中存在d m ，d k ，d p （其中m ，k ，p 成等差数列）成等比数列，则d k 2=d m d p ，由m ，k ，p 成等差数列，知m +p=2k ，由此可得m=k=p 这与题设矛盾，所以在数列{d n }中不存在三项d m ，d k ，d p （其中m ，k ，p 成等差数列）成等比数列．【解答】解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，若q=1，则a n =a 1，a n +1=a 1，S n =na 1，这与a n +1=2S n +2矛盾，故q ≠1，由a n +1=2S n +2得，…故取，解得，故a n =2×3n ﹣1…（2）由（1），知a n =2×3n ﹣1，a n +1=2×3n因为a n +1=a n +（n +1）d n ，所以…（i ）=，则…所以=所以…（ii ）假设在数列{d n }中存在d m ，d k ，d p （其中m ，k ，p 成等差数列）成等比数列则d k 2=d m d p ，即因为m ，k ，p 成等差数列，所以m +p=2k ①上式可以化简为k 2=mp ②由①②可得m=k=p 这与题设矛盾所以在数列{d n }中不存在三项d m ，d k ，d p （其中m ，k ，p 成等差数列）成等比数列…22．已知集合A={a 1，a 2，a 3，…a n }，（0≤a 1＜a 2＜a 3＜…＜a n ，n ∈N *，n ≥3）具有性质P ：对任意的i ，j （1≤i ≤j ≤n ），a j +a i ，a i ﹣a i 至少有一个属于A ． （1）分别判断集合M={0，2，4}与N={1，2，3}是否具有性质P （2）求证： ①a 1=0②a 1+a 2+a 3+…+a n =a n（3）当n=3或4时集合A 中的数列{a n }是否一定成等差数列？说明理由． 【考点】元素与集合关系的判断． 【分析】（1）利用新定义，可以判断集合M={0，2，4}具有性质P ，N={1，2，3}不具有性质P ；（2）根据数列：a 1，a 2，…a n （0≤a 1＜a 2…＜a n ），n ≥3时具有性质P ，对任意i ，j （1≤i ＜j ≤n ），a j +a i 与a j ﹣a i 两数中至少有一个是该数列中的一项（3）确定a 1=0，再利用新定义，即可判断具有性质P 的集合A 中的数列{a n }是否一定成等差数列． 【解答】（1）解：集合M={0，2，4}具有性质P ，N={1，2，3}不具有性质P ．∵集合M={0，2，4}中，a j +a i 与a j ﹣a i （1≤i ≤j ≤2）两数中都是该数列中的项，4﹣2是该数列中的项，∴集合M={0，2，4}具有性质P ；N={1，2，3}中，3在此集合中，则由题意得3+3和3﹣3至少一个一定在，而3+3=6不在，所以3﹣3=0一定是这个集合的元素，而此集合没有0，故不具有性质P ；（2）①数列中的最大项a n ，显然a n +a n =2a n 不是数列中的项，则必有a n ﹣a n =0属于该数列，故0∈A ，所以a 1=0，②若数列A 具有该性质P ，设a n 是最大项，则具有性质ai +an （1＜i ≤n ，i ∈N*），不在A 中，则a n ﹣a i 是数列A 中的项，则依题意：a n ﹣a n ＜a n ﹣a n ﹣1＜a n ﹣a n ﹣2＜…＜a n ﹣a 2＜a n ﹣a 1，则由给的数列A 的性质可知；a n ﹣a n =a 1，a n ﹣a n ﹣1=a 2，a n ﹣a n ﹣2=a 3，…a n ﹣a 2=a n ﹣1，a n﹣a 1=a n ，将前面n 个式子相加得：na n ﹣（a 1+a 2+a 3+…a n ﹣1+a n ）=a 1+a 2+a 3+…+a n ﹣1+a n ，故na n =2（a 1+a 2+a 3+…a n ﹣1+a n ），故a 1+a 2+a 3+…+a n =a n（3）解：n=3时，∵数列a 1，a 2，a 3具有性质P ，0≤a 1＜a 2＜a 3 ∴a 2+a 3与a 3﹣a 2至少有一个是该数列中的一项，∵a 1=0，a 2+a 3不是该数列的项，∴a 3﹣a 2=a 2，∴a 1+a 3=2a 2，数列{a n }一定成等差数列； n=4时，∵数列a 1，a 2，a 3，a 4具有性质P ，0≤a 1＜a 2＜a 3＜a 4， ∴a 3+a 4与a 4﹣a 3至少有一个是该数列中的一项，∵a 3+a 4不是该数列的项，∴a 4﹣a 3=a 2，或a 4﹣a 3=a 3，若a 4﹣a 3=a 2，则数列{a n }一定成等差数列；若a 4﹣a 3=a 3，则数列{a n }不一定成等差数列；2016年12月16日。