基本的RC电路计算

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������������
可以看到,这个与工程估算的结果是相同的。因为,在化简的时候,忽略了高次项的时候,就
已经将指数计算化简为线性计算了。
四、精确计算与工程计算的关系 来看这个公式:
V充
=
VOUT
+
(Veq

VOUT)

[1

exp
−t1 � τ1 �]
在这里直接使用泰勒级数,化简指数项,注意,这里代入泰勒级数时,x = −t1 = −10uS = 0.004,
2/5
图四 诺顿等效 采用诺顿等效,将电阻转化成并联的形式:
VIN Ieq =
R1
图五 戴维南等效
再使用戴维南等效,转换成经典的 RC 结构:
������������2 ������������������������������������ = ������������������������ ∗ ������������1 + ������������2
t1 t2 τ1 τ2 估算 VOUT 精确 VOUT 误差
单位 KΩ KΩ nF uS
uS uS uS uS
V
V
mV
4.52 50 50 100 50 10% 5 45 2500 5000
0.411
0.409 -1.847
4.52 50 50 100 50 20% 10 40 2500 5000
0.753
5/5
R2) �

D∗T C1
对于放电来说:
−t2 V放 = �VOUT + ∆V充� ∗ exp � τ2 �
这里忽略∆V充,有:
−t2 V放 = VOUT ∗ exp � τ2 � 同样,利用泰勒公式替换,整理一下,可以得到:
−t2
t2 VOUT T ∗ (1 − D)
∆V放 = VOUT ∗ [1 − exp � τ2 �] = VOUT ∗ τ2 = R2 ∗ C1

R2 R1 + R2

1 − exp �−τt11� exp �τt22� − exp �−τt11�
这个公式稍微有点复杂,计算起来略微麻烦一点,我们可以用电子表格进行计算。
我们列一个电子表格,来计算一下,顺便对比一下精确计算的结果和估算的结果相差多少。计
算结果如下:
wenku.baidu.com
3/5
VIN R1 R2 C1 T D
������������1
= ������������2 ∗ ������������1
将充电和放电的电流代入,可以得到:
������������ ∗ ������������2 ������������ = ������������������������ ∗ ������������1 + ������������2 ∗ ������������ 我们尝试代入 T=50uS,D=10%,VIN=4.52V,R1=50K,R2=50K,得到 VOUT=0.411V,与仿真的 0.408V 相比,这个误差很小。
若电容上的初始电压为������������初,那么放电公式为:
−������������ ������������������������ (������������) = ������������初 ∗ exp �������������� 充电时,利诺顿等效和戴维南等效,可以化简电路。
图三 简化充电等效电路
一个相对准确的结果,这样可以快速的判断设计的。
五、关于误差 注意观察,可以看到估算的结果是高于精确计算的结果的,实际的误差并没有这么大,这里通 过图示来说明一下。
图六 计算示意 估算时,VOUT 是取平均值;而精确计算时,VOUT 是取最小值。占空比 100%的时候,因为变 化量为 0,是直流,所以两者一样。但是不为零的时候,两者就会有充放电产生的纹波误差。 精确计算的结果如果加上∆V充/2,得到的结果与估算结果的误差就会变得很小。这里不再计算 了。另外,采用泰勒公式进行化简时,截断的尾数部分是可以用拉格朗日型余项进行估算的。 这些估算或者计算没有用到什么高深的知识,只是需要综合考虑一些细节。很多时候,你要忽 略一些细节的时候,要先确定一下,它对你的影响有多大,是否可以忽略。
这个是不是和工程计算的充电公式一样了?这个就是工程计算要求t ≪ τ的原因。
工程计算往往需要 10 倍的差距,就是因为 10 倍的差距的时候,某些数据项可以忽略掉,不如
计算的时候是利用电容的充电电压和放电电压变换量一致,但是计算时,输出电压又忽略掉了这个
变化量,工程计算更多的是一种估算,忽略对最终结果影响不大的细节部分,通过简化计算,得到
τ
2.5mS
因为远小于 1,所以,才可以忽略 x 的高次项。
V充
=
VOUT
+
(Veq

VOUT)

[1

(1

−t1 τ )]
t1 V充 = VOUT + (Veq − VOUT) ∗ ( τ )
整理一下,可以得到:
4/5
∆V充
=
(Veq

VOUT)

t1 τ
=
VIN � R1

VOUT ∗ (R1 + R1 ∗ R2
−t1 V充 = VOUT + (Veq − VOUT) ∗ [1 − exp � τ1 �] 令τ2 = R2 ∗ C,t2 = T ∗ (1 − D),则可以得到放电后的电压为:
−t2 V放 = V充 ∗ exp � τ2 � = VOUT 把充电后的电压代入放电电压公式,可以得到:
VOUT
=
VIN
∆充 = ������������1 = ������������1 −
������������1 ∗ ������������2
∗ ������������1
������������放 ∗ ∗ (1 − ������������) ������������ (1 − ������������)
∆放 =
一、采用工程计算
T=50uS,而 R2C1=5mS,(R1//R2)C1=2.5mS,可以看出电路中的时间常数是远大于充放电的周 期的(在工程计算上,一般 10 倍以上的差距就可以加“远”字了),所以可以认为充放电的电流是 线性的。
电容的充电和放电流为:
������������������������ − ������������ ������������ ������������������������ ������������ ∗ (������������1 + ������������2)
二、采用精确计算
电容上的电压的精确充电公式为:
������������������������ (������������)
=
������������初
+
�������������������������

������������初�

[1

exp
−������������ ��������������]
������������1 ∗ ������������2 ������������������������������������ = ������������1 + ������������2 令τ1 = Req ∗ C,t1 = T ∗ D假设输出稳定时,输出电压为 VOUT,那么,可以得到:
R2
t1 ∗ τ2
VOUT = VIN ∗ R1 + R2 ∗ t2 ∗ τ1 + t1 ∗ τ2
将各参数全部代入,最终得到:
������������
=
������������������������

������������ ∗ ������������2 ������������1 + ������������2 ∗
简单的 RC 计算
最近以前同事遇到一点小问题,设计好了一个电路,但是客户在使用时,发现测量结果与他给 的估算公式不相符。这个问题简化一下,就是下面这个简单的 RC 电路的计算。
电路如图一所示,他提供的简单的计算公式如下: V������������������������������������ = D ∗ VIN VIN = VI − VF
假设占空比 D=10%时,VOUT=10%*(5-0.48)*(R2/(R1+R2))V=0.226V。
图一 仿真电路 但实际仿真结果如下(仿真结果与实际的电路结果是一致的):
图二 仿真结果
1/5
可以看到 VOUT 的稳定电压大约 0.408V,而直接使用占空比计算结果为 0.226V,误差太大了, 需要仔细的计算一下。当 VOUT 稳定时,电容 C1 上的充电电压变化量是与放电电压的变化量是相 等的。我们基于这一点进行计算。
1.507
1.503 -3.770
4.52 50 50 100 50 60% 30 20 2500 5000
1.695
1.692 -3.395
4.52 50 50 100 50 70% 35 15 2500 5000
1.861
1.858 -2.797
4.52 50 50 100 50 80% 40 10 2500 5000
������������充 =
������������1
− ������������2 = ������������1 −
������������1 ∗ ������������2
������������ ������������放 = ������������2
又由于电容上的充电和放电的变化量为:
������������ ∗ ∆������������ ∆ = ������������ 利用该公式计算充电和放电电压变化量为:
������������充 ∗ ∗ ������������ ������������������������ ������������ ∗ (������������1 + ������������2) ∗ ������������
2.009
2.007 -2.014
4.52 50 50 100 50 90% 45 5 2500 5000
2.141
2.140 -1.074
4.52 50 50 100 50 100% 50 0 2500 5000
2.260
2.260
0.000
表 1 估算和精确计算不同的占空比下的输出电压 可以看到估算和精确计算的误差并不大:
那么这个复杂的精确公式和工程估算之间,有怎样的联系呢?
三、精确计算的估算化简
指数函数可以展开成泰勒级数,公式如下:
exp(x)
=
ex
=
1
+
x
+
x2 2!
+
x3 3!
+
⋯+
xn n!
+

这里,因为t1或者t2都远远小于 1,所以,可以忽略掉级数的高次项,这里取:
τ1
τ2
exp(x) ≅ 1 + x 整理,代入前面的精确计算公式有:
0.750 -3.011
4.52 50 50 100 50 30% 15 35 2500 5000
1.043
1.039 -3.650
4.52 50 50 100 50 40% 20 30 2500 5000
1.291
1.288 -3.876
4.52 50 50 100 50 50% 25 25 2500 5000
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