s23常用的统计分布

0.4 0.3 0.2 0.1
n=10
n= 1
n=20
-3 -2 -1 1 2 3
t 分布的图形(红色的是标准正态分布)
t 分布的性质
1°t分布的密度函数pt(n) (x)是偶函数,
1 n → ∞, pt ( n ) ( x) → ϕ ( x) = e 2π
x2 − 2
2°自由度为n的t分布的α 分位数 记 为tα （n） ，并且tα （n）有表可查.
1 m 1 n ξ = ∑ξi , η = ∑η j , n i=1 m j=1 n m 1 2 *2 2 1 * 2 ξ ξ S1 = ( − ) , S2 = (η j −η) . ∑ i ∑ n −1 i=1 m −1 j=1
σ1 σ 2 + n m *2 σ 2 2 S1 ( 2 ) ( ) * 2 ~ F ( n − 1, m − 1); σ 1 S2 (3) 当 σ 1 = σ 2时
定理4 设ξ 为具有有限方差 D ξ > 0 , 的任一总
ξ
的一个样本，则当n
→ ∞ 时，有
ξ − Eξ L → N (0,1) Dξ / n
即当n充分大时， ξ 近似服从 N ( E ξ , D ξ / n )。
例1设 ξ ~ N ( 72 ,100 ) ,为使样本均值大于70 的概率不小于90%,则样本容量至少取多少?
的样本均值与修正样本方差，则有
ξ −µ (1) U = ~ N (0,1); σ/ n n − 1 *2 2 (2) ~ (n − 1); S χ 2 σ n (ξ − µ ) (3) T = ~ t (n − 1) * S
定理3
设 ξ 1 , ξ 2 , L , ξ n 与 η 1 ,η 2 , L ,η m 2 ξ N µ σ ~ ( , 分别 是来自正态总体 1 1) 与 2 η ~ N ( µ2 ,σ 2 ) 的相互独立的简单随机样本. 令
(4) F 分布
定义 设 X ~ χ (n), Y ~ χ (m), X, Y 相互独立，
2 2
令
X /n F = Y /m
则称 F 服从为第一自由度为n ,第二自由 度为 m 的F 分布，并记为F~ F(n,m) ; 其密度函数为
n + m n+m n Γ − 2 2 n −1 n n 2 x >0 x 2 1+ x p( x) = Γ n Γ m m m 2 2 x≤0 0,
Zhu fengfeng
§2.3 常用的统计分布
确定统计量的分布是数理统计的基本 问题之一。正态总体是最常见的总体, 本节介绍的几个抽样分布均对正态总体 而言。
(1) 正态分布
2 ξ , ξ , L , ξ ξ ~ N ( µ , σ 若 1 2 i i i ), n 相互独立,且
则
n n 2 2 aiξi ~ N ∑ai µi , ∑ai σ i ∑ i=1 i=1 i=1 n
2 2
则 (1)
(ξ − η ) − ( µ1 − µ 2 )
~ N ( 0,1);
(ξ − η ) − ( µ1 − µ 2 ) 1 1 + n m ( n − 1) S + ( m − 1) S n+m−2
*2 1 *2 2
~ t ( m + n − 2)
体，而 (ξ1 ,L, ξ n ) 为
0.8 0.6 0.4 0.2
m = 10, n = 4 m = 10, n = 10 m = 10, n = 15
1 2 3 4 5 6
0.8 0.6 0.4 0.2
m = 4, n =10 m = 10, n = 10 m = 15, n = 10
1 2 3 4 5 6
F 分布的性质
1 若F ~ F(n, m) , 则 1/ F ~ F(m, ;η
2 16
~ t (16 )
2 )的 ( , , , ) ξ ξ L ξ 是来自 N ( µ , σ 例3 设 1 2 n 简单随机样本, ξ 是样本均值,
n 1 2 ( ) , S12 = ξ − ξ ∑ i n − 1 i=1 n 1 2 S2 = ∑(ξi − ξ )2 , n i=1
2 若X i ~ χ (ni ), i = 1,L, m, 且X1,L, X m相互独立，
o 2
则 X1＋X 2 + L+ X m～χ (n1＋n2 + L+ nm )
2
证 1°设 X = ∑ X i2
X 1 , X 2 ,L , X
i =1
n
X i ~ N (0,1) i = 1,2,L, n
n
e
−
x 2
x ≤ 0 x > 0
其中 Γ ( s ) = 称为Γ函数.
∫
+∞ 0
t
s −1
e
−t
dt , s > 0
p(x)
0.4
n=2
0.3
n=3
0.2 0.1
n=5 n = 10 n = 15
5
10
15
20
25
χ 2 (n) 分布的性质
1o 若 X ~ χ 2 ( n ), 则 E ( X ) = n , D ( X ) = 2 n .
1 F )= 1−α (n, m F , n) α (m
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3
事实上,
α •
4 5 6
故
1 1 F ,4) = = 0.05(5 F ,5) 5.19 0.95(4
F1- α(n,m)
§2.4 抽样分布
正态总体的抽样分布
设总体 ξ ~ N ( µ , σ ), 样本为 ( ξ 1 , ξ 2 , L , ξ n ), ξ , S 2 分别为样本均值与样 定理1
对于F~F(m,n), α 分位数记作 Fα ( m, n).
o
2
。
1 F )= 1−α (n, m F , n) α (m
F (n, m) 的α 分位数Fα (n , m) 有表可查: P( F < Fα (n, m)) = α
例如 F0.95 (4,5) = 5.19 求
F0.05 (5,4) = ?
1 (ξ1 + ξ 2 + L + ξ9 ) ~ N ( 0, 1) 3× 4
1 η i ~ N ( 0 ,1) , i = 1, 2 , L ,16 2 3 16 1 2 η i ~ χ (16 ) ∑ i =1 3
从而
ξ1 + ξ 2 + L + ξ 9
2 1 2 2
1 (ξ1 + ξ 2 + L + ξ 9 ) = 3× 4 2 16 1 ηi ∑ i =1 3 16
n = 10 0.05
5 10 15
•
(3) t 分布 2 定义 设 X ~ N(0,1) , Y ~ χ (n), X ,Y相互独立,
T = X Y n
则称 T 服从自由度为 n 的t 分布,并记为 T ~ t(n);T 的密度函数为
n +1 n+1 − Γ 2 2 t 2 f (t; n) = 1 + n n nπ Γ 2 −∞ < t < ∞
例2 设r.v. ξ 与η 相互独立，ξ ~ N(0,16), η ~ N(0,9) ,ξ 1, ξ2 ,…, ξ 9 与η 1, η 2 ,…, η16 分别是取自 ξ 与η 的简单随机样本, 求 统计量 Z =
ξ1 + ξ2 + L + ξ9 η + L+η
2 1 2 16
所服从的分布. 解 ξ1 + ξ2 +L+ ξ9 ~ N( 0, 9×16)
2
本方差，则有
σ (1) ξ ~ N ( µ , ); n n 2 2 (2) S ~ χ (n − 1); 2 σ
2
(3) ξ 与S 相互独立;
2
证明思路： 令
1 2 1 2×3 A= L 1 n×(n−1) 1 n 1 − 2 1 2×3 L 1 n×(n−1) 1 n 0 2 − 2×3 L 1 n×(n−1) 1 n 0 L 0 0 L 0 L L L 1 n−1 L− n×(n−1) n×(n−1) 1 1 L n n
特别地, 若 ξ 1 , ξ 2 , L , ξ n 独立同分布且 ξi ~ N (µ ,σ 2 ),
σ 1 则 ξ = ∑ ξi ~ N µ, n i=1 n
n 2

分位数
满足0<α<1 ,若 xα 满足 P(X < xα )= F ( xα ) = α 则称 xα为此概率分布的α 分位数。 α=0.5的分位数也称为此概率分布的中位 数。 若 λ 满足 P (X ≥ λ ) = α ，则称 λ 为 此概 率分布的1- α 分位数或X的上侧 α 分位 数. 定义 若 X 的分布函数为F(x),实数α
2
n
2 2 χ = X 标准正态分布N (0,1),则称 ∑ i 服从
自由度为n的 χ 分布，并记为χ ~ χ (n)
2 2 2
i =1
n = 1 时,其密度函数为
1 − 12 − 2x x e , x>0 2π p ( x) = 0, x≤0
1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 2 4 6 8 10
n = 2 时,其密度函数为
p(x) =
0.4 0.3 0.2 0.1