导与练普通班2017届高三数学一轮复习第二篇函数及其应用第1节函数及其表示课件理
高三数学一轮复习 第2章第1节 函数 导数及其应用课件 文 (广东专用)
A．－3
B．－1
C．1
D．3
【思路点拨】 先求f(1)，进而得f(a)的值，利用分段函数，得关于a的
方程，从而求出a值． 2xx＞0
【尝试解答】 由 f(x)＝x＋1x≤0， 且 f(a)＋f(1)＝0， ∴f(1)＝21＝2，则 f(a)＝－f(1)＝－2， 又当 x＞0 时，f(x)＝2x＞0， 因此 a≤0，且 f(a)＝a＋1＝－2， ∴a＝－3.
1．若两个函数的定义域与值域相同，则一定是相等函数这种说 法对吗？
【提示】 不对．如y＝sin x和y＝cos x的定义域都为R，值域都为[ －1,1]，但不是相等函数，判定两个函数是同一函数，当且仅当两个 函数的定义域和对应关系都分别相同．
2．为什么说分段函数是一个而不是几个函数？ 【提示】 所谓“分段函数”是指在定义域内的不同取值范围，有不 同的对应法则的函数，对它有两点基本认识：①分段函数是一个函数， 而不能误认为是几个函数．②分段函数的定义域是各段自变量取值的并 集，值域是各段函数值的并集．
1．(教材改编题)给出四个命题： ①函数是其定义域到值域的映射；
②f(x)＝ x－3＋ 2－x是一个函数；
③函数 y＝2x(x∈N)的图象是一条直线； ④f(x)＝xx2与 g(x)＝x 是同一函数．
其中正确的有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解析】 由函数的定义知①正确． ∵满足 f(x)＝ x－3＋ 2－x的 x 不存在，∴②不正确． 又∵y＝2x(x∈N)的图象是位于直线 y＝2x 上的一群孤立的点， ∴③不正确． 又∵f(x)与 g(x)的定义域不同，∴④也不正确．
【答案】 C
－x，x≤0， 3．(2011·浙江高考)设函数 f(x)＝x2，x＞0， 若 f(α)＝4，则实
2017年高考数学一轮复习课件：第2章 函数、导数及其应用2.9
悟·技法 一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略
(1)直接考查一次函数、二次函数模型。 解决此类问题应注意三点： ①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定 要密切注意函数的定义域，否则极易出错； ②确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系 数法； ③解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题。
5．某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元，并且每生产一单 位产品，成本增加 10 万元。又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数， K(Q)＝40Q－210Q2，则总利润 L(Q)的最大值是__________。
解析：总利润 L(Q)＝40Q－210Q2－10Q－2 000 ＝－210(Q－300)2＋2 500。 故当 Q＝300 时，总利润最大值为 2 500 万元。 答案：2 500 万元
⑤_越__来__越__慢_ 随 x 增大逐渐
表现为与 ⑦__x_轴___平行
y＝xn(n＞0)
③增__函__数__ 相对平稳 随 n 值变化 而不同
第十页，编辑于星期六：二点 四十三分。
2.函数 y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和 y＝xn(n＞0)的增长速度比较 (1)指数函数 y＝ax 和幂函数 y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)上，无论 n 比 a 大多少，尽管在 x 的一定范围内 ax 会小于 xn，但由于 y＝ax 的增 长速度⑧_快__于___y＝xn 的增长速度，因此总存在一个 x0，当 x＞x0 时有 ⑨_a_x＞ ___xn_。 (2)对于对数函数 y＝logax(a＞1)和幂函数 y＝xn(n＞0)在区间(0，＋ ∞)，尽管在 x 的一定范围内可能会有 logax＞xn，但由于 y＝logax 的增 长速度慢于 y＝xn 的增长速度，因此在(0，＋∞)上总存在一个实数 x0， 使 x＞x0 时，⑩_l_o_g_ax_＜_。xn (3)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)与 y＝xn(n＞0)尽管都是增函数，但 由于它们⑪__增__长__速__度__不同，而且不在同一个“档次上”，因此在(0， ＋ ∞) 上 随 x 的 增 大 ， 总 会 存 在 一 个 x0 ， 当 x ＞ x0 时 ， 有 ⑫ ___a_x＞ ___xn_＞__l_o_g_ax_。
高考数学一轮复习教学案函数及其表示(含解析)
第一节函数及其表示[知识能否忆起]1．函数的概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A 到集合B的一个映射．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[小题能否全取]1．(教材习题改编)设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于()A．－2x＋1B．2x－1C．2x－3 D．2x＋7解析：选D f(x)＝g(x＋2)＝2(x＋2)＋3＝2x＋7.2．(·江西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23D.139解析：选D f (3)＝23，f (f (3))＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139. 3．已知集合A ＝[0,8]，集合B ＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝18xB ．f ：x →y ＝14xC ．f ：x →y ＝12xD ．f ：x →y ＝x解析：选D 按照对应关系f ：x →y ＝x ，对A 中某些元素(如x ＝8)，B 中不存在元素与之对应．4．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝____________. 解析：令t ＝1x ，则x ＝1t .所以f (t )＝1t 2＋5t .故f (x )＝5x ＋1x 2(x ≠0)．答案：5x ＋1x2(x ≠0)5．(教材习题改编)若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (－1)＝________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3.即f (x )＝x 2－4x ＋3.所以f (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8. 答案：81.函数与映射的区别与联系(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A 与集合B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射．(2)映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数．2．定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数如函数y ＝x 与y ＝x ＋1，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数；再如函数y ＝sin x 与y ＝cos x ，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数．因此判断两个函数是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同．3．求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．函数的基本概念典题导入[例1] 有以下判断：(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； (3)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；(4)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．[自主解答] 对于(1)，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于(3)，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于(4)，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是(2)(3)． [答案] (2)(3)由题悟法两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函数．以题试法1．试判断以下各组函数是否表示同一函数．(1)y＝1，y＝x0；(2)y＝x－2·x＋2，y＝x2－4；(3)y＝x，y＝3t3；(4)y＝|x|，y＝(x)2.解：(1)y＝1的定义域为R，y＝x0的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，故它们不是同一函数．(2)y＝x－2·x＋2的定义域为{x|x≥2}．y＝x2－4的定义域为{x|x≥2，或x≤－2}，故它们不是同一函数．(3)y＝x，y＝3t3＝t，它们的定义域和对应关系都相同，故它们是同一函数．(4)y＝|x|的定义域为R，y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，故它们不是同一函数．求函数的解析式典题导入[例2] (1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )． [自主解答] (1)由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)． (2)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．由题悟法函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式(如例(1))；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2))；(4)方程思想：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )(如A 级T6)．以题试法2．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：(1)法一：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)；代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)， 即f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又∵方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.分 段 函 数典题导入[例3] (·广州调研考试)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈(－∞，1)，x 2，x ∈[1，＋∞)，若f (x )>4，则x 的取值范围是______．[自主解答] 当x <1时，由f (x )>4，得2－x >4，即x <－2；当x ≥1时，由f (x )>4得x 2>4，所以x >2或x <－2， 由于x ≥1，所以x >2. 综上可得x <－2或x >2.[答案] (－∞，－2)∪(2，＋∞)若本例条件不变，试求f (f (－2))的值． 解：∵f (－2)＝22＝4， ∴f (f (－2))＝f (4)＝16.由题悟法求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．以题试法3.(·衡水模拟)已知f (x )的图象如图，则f (x )的解析式为________． 解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝⎛⎭⎫1，32和⎝⎛⎭⎫1，32，(2,0)分别代入， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎨⎧32x ，0≤x ≤1，3－32x ，1≤x ≤21．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2 B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100答案：D2．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：选D 函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}．3．(·安徽高考)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：选C 对于选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于选项B ，f (x )＝x －|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥0，2x ，x ＜0，当x ≥0时，f (2x )＝0＝2f (x )，当x ＜0时，f (2x )＝4x ＝2·2x ＝2f (x )，恒有f (2x )＝2f (x )；对于选项D ，f (2x )＝－2x ＝2(－x )＝2f (x )；对于选项C ，f (2x )＝2x ＋1＝2f (x )－1.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos (πx )，x >0，f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．1 C ．2D ．3解析：选D f ⎝⎛⎭⎫43＝12，f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫23＋2＝52，f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝3. 5．现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是( )解析：选C 从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快．6．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( )A ．x －1B ．x ＋1C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析：选B 由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1.① 将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1.② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3， 即f (x )＝x ＋1.7．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________. 解析：由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋p ＋q ＝0，22＋2p ＋q ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3，q ＝2.故f (x )＝x 2－3x ＋2.所以f (－1)＝(－1)2＋3＋2＝6. 答案：68．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x ＜2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)9．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的是________．解析：由函数的定义，对定义域内的每一个x 对应着唯一一个y ，据此排除①④，③中值域为{y |0≤y ≤3}不合题意．答案：②10．若函数f (x )＝xax ＋b (a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式．解：由f (2)＝1得22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba ，又因方程有唯一解，故1－ba ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，所以f (x )＝2x x ＋2. 11.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是 2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．解：当x ∈[0,30]时，设y ＝k 1x ＋b 1， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝0，30k 1＋b 1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝115，b 1＝0.即y ＝115x .当x ∈(30,40)时，y ＝2； 当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝110，b 2＝－2.即y ＝110x －2.综上，f (x )＝⎩⎨⎧115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈(30，40)，110x －2，x ∈[40，60].12．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解：(1)点A 表示无人乘车时收支差额为－20元，点B 表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价． (3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．1．(·北京高考)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：选D 因为组装第A 件产品用时15分钟， 所以cA＝15，① 所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，A ＝16.2．(·江西红色六校联考)具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.3．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )>2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有 a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x . ∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1>2x ＋5，即x 2－3x －4>0， 解得x >4或x <－1.故原不等式解集为{x |x >4，或x <－1}．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.解析：∵f (0)＝3×0＋2＝2，f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，∴a＝2.答案：22．若函数的定义域为{x|－3≤x≤6，且x≠4}，值域为{y|－2≤y≤4，且y≠0}，试在下图中画出满足条件的一个函数的图象．解：本题答案不唯一，函数图象可画为如图所示．3．已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x.(1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，求函数f(x)的解析式．解：(1)因为对任意x∈R有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，所以f(f(2)－22＋2)＝f(2)－22＋2，又f(2)＝3，从而f(1)＝1.若f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a.(2)因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，又有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，故对任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0.在上式中令x＝x0，有f(x0)－x20＋x0＝x0.又因为f(x0)＝x0，所以x0－x20＝0，故x0＝0或x0＝1.若x0＝0，则f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0.若x0＝1，则有f(x)＝x2－x＋1，易证该函数满足题设条件．综上，所求函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.。
2017年高考数学人教版理科一轮复习课件：第2章 函数、导数及其应用 1 函数及其表示
故f(x)的解析式是f(x)＝lgx－2 1(x＞1)。
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(3)因为f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17。 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
因此应有a5＝a＋2b＝17， 解得ab＝＝27。 故f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7。 (4)∵2f(x)＋f1x＝3x，① ∴将x用1x替换，得2f1x＋f(x)＝3x，② 由①②解得f(x)＝2x－1x(x≠0)， 即f(x)的解析式是f(x)＝2x－1x(x≠0)。
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(2)令t＝ 1－2x，则x＝1－2 t2(t≥0)， 所以y＝1－2 t2－t＝－12(t＋1)2＋1。 因为t≥0，所以当t＝0时，ymax＝12。 故函数y的值域为－∞，12。
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(3)y＝ x－1＋ x1－1＋1(x＞1)， ∴y≥2 x－1· x1－1＋1＝3， 当且仅当x＝4时取等号， ∴函数y的值域为[3，＋∞)。 (4)∵ x－x2＝ －x－122＋14∈0，12， ∴y∈[2，＋∞)。
一、必记3●个知识点
1．函数与映射的概念
函数
映射
两集合 A，B
A，B是两个非空数集
A，B是两个①非__空__集__合__
对应关系 f：A→B
按照某种确定的对应关系f， 对于集合A中的②_任__意_____
一个数x，在集合B中有③ 唯__一__确__定__的数f(x)和它对应
按某一个确定的对应关系f， 对于集合A中的④__任__意____ 一个元素x，在集合B中都有 ⑤唯__一__确__定__的元素y与之对
导与练普通班2017届高三数学一轮复习第2节导数在研究函数中的应用第一课时利用导数研究函数的单调性课件理
且曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线 y= (1)求 a 的值;
解:(1)对 f(x)求导得 f′(x)= 线垂直于直线 y=
1 x知 2
1 x. 2
1 a 1 - 2 - ,由 f(x)在点(1,f(1))处的切 4 x x
3 5 f′(1)=- -a=-2,解得 a= . 4 4
1 a ）时,f′(x)<0, 2a
1 a ,+≦）时,f′(x)>0, 2a 1 a 1 a ]上单调递减,在[ ,+≦）上单调递增. 2a 2a
故 f(x)在（0,
反思归纳
导数法证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤
(1)求f′(x);
(2)确定f′(x)在(a,b)内的符号;
(3)作出结论:f′(x)>0时为增函数;f′(x)<0时为减函数.
当x∈(ln 2,+≦)时,g′(x)<0,
所以f′(x)max=g(x)max=g(ln 2)=2ln 2-2<0, 所以f′(x)<0恒成立, 所以f(x)在R上单调递减.
考点二 求函数的单调区间
x a 3 【例 2】 (2014 高考重庆卷改编)已知函数 f(x)= + -ln x- ,其中 a∈R, 4 x 2
解：(3)g′(x)=x -ax+2, 依题意,存在 x∈(-2,-1), 2 使不等式 g′(x)=x -ax+2<0 成立, 即 x∈(-2,-1)时,a<(x+ 当且仅当 x=
2 )max=-2 2 , x
2
2 ,即 x=- 2 时等号成立. x
所以满足要求的 a 的取值范围是(-≦,-2 2 ).
高三数学一轮复习第二篇函数导数及其应用第1节函数及其表示课件理
六年新课标全国卷试题分析
高考考点、示例分布图
命题特点 1.高考在本篇一般命制 2～3 道小题,1 道 解答题,分值占 22～27 分. 2.高考基础小题主要考查函数奇偶性的 判断,比较大小,分段函数求值等. 3.高考综合性较强的小题考查导数、不 等式以及函数的零点的综合等;考查数 形结合的思想. 4.解答题一般都是两问的题目,第一问 考查求曲线的切线方程,求函数的单调 区间,由函数的极值点或已知曲线的切 线方程求参数,属于基础问题.第二问利 用导数证明不等式,不等式恒成立求参 数的取值范围,求函数的零点等问题.考 查函数的思想,转化的思想及分类讨论 的思想.
x3
为( )
(A)(2,3)
(B)(2,4]
(C)(2,3)∪(3,4] (D)(-1,3)∪(3,6]
4 x 0,
解析:(1)依题意知
x2
5x
6
0,
x3
即
4 x 4, x 2,且x
3,
即函数的定义域为(2,3)∪(3,4].故选 C.
答案: (1)C
f(x)的
,显然,值域是集合B的子集,值函域数的
、值域和对应关系构成
了函数的定三义要 域素.
2.函数的表示法
(1)基本表示方法: 解析法、图象法、列表法.
(2)分段函数:在定义域的不同范围内函数具有不同的解析式,这类函数称为
分段函数.分段函数是一个函数,分段函数的定义域是各段定义域的
段值域的
. 并集
知识链条完善 把散落的知识连起来
【教材导读】 1.函数的值域是由函数的定义域、对应关系唯一确定的吗? 提示:是.函数的定义域和对应关系确定后函数的值域就确定了,在函数的三个 要素中定义域和对应关系是关键. 2.分段函数是一个函数还是几个函数? 提示:是一个函数.只不过是在自变量不同的取值范围上,对应关系不同而已. 3.函数与映射之间有什么关系? 提示:函数是特殊的映射,映射是函数的推广,只有集合A,B为非空数集的映射才 是函数.
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第1课时 函数及其表示精品课件
结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 奇偶性
知识点
指数与指 数函 数
对数与对 数函 数
考纲下载
1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运
算．
3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性与指数函数图象通 过的特殊点．
4.知道指数函数是一类重要的函数模型．
• 4．函数的表示法： 解析法 、
图象法 、 列表法 ．
• 5．分段函数 • 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系不 同 而 分 别 用 几 个 不
同的式子来表示．这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组 成，但它表示的是 一个 函数．
1．函数y＝ x－1＋ln(2－x)的定义域是( )
• 1．求函数定义域的步骤
• 对于给出具体解析式的函数而言，函数的定义域就是使函数解析式有
意义的自变量x取值的集合，求解时一般是先寻找解析式中的限制条 件，建立不等式，再解不等式求得函数定义域，当函数y＝f(x)由实际 问题给出时，注意自变量x的实际意义．
• 2．求抽象函数的定义域时：
• (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出．
(3)在f(x)＝2f1x x－1中，用1x代替x， 得f1x＝2f(x) 1x－1， 将f1x＝2fxx－1代入f(x)＝2f1x x－1中， 可求得f(x)＝23 x＋13.
• 【变式训练】 2.(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)； • (2)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的
知识点
考纲下载
1.了解构成函数的要素；了解映射的概念．
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第1讲 函数及其表示创课件 高三全册数学课件
相等函数；对于 C，函数 y＝xx2＋1 的定义域为{x|x≠0}，与函数 y＝x＋1 的
定义域不同，不是相等函数；对于 D，定义域相同，但对应关系不同，不是
相等函数．
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解析 答案
(3)若函数 f(x)＝22xx－＋42，，xx>≤0，0， 则 f[f(1)]的值为(
值与之对应的 y 值的范围是_[_1_,2_)_∪__(_5_，__＋__∞__)_．(图中，曲线
l 与直线 m 无限接近，但永不相交)
解析 观察函数 y＝f(x)的图象可知，f(x)的定义域为[－3,0]∪[1,4)，值 域是[1，＋∞)，当 y∈[1,2)∪(5，＋∞)时，只有唯一的 x 值与之对应．
所以 a(x＋1)2＋b(x＋1)＋5－(ax2＋bx＋5)＝x－1，
整理得(2a－1)x＋a＋b＋1＝0，所以2aa＋－b1＋＝10＝，0，
解得 a＝12，b＝－32，所以 f(x)＝12x2－32x＋5.
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解析
4．已知 f(x)满足 2f(x)＋f1x＝3x，则 f(x)＝___2_x－ __1_x_(x_≠__0_)__.
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答案
解析
2－x＞0，
要 使 函 数 解 析 式 有 意 义 ， 须 有 12＋x－x2＞0， x－1≠0，
解得
x＜2，
－3＜x＜4， x≠1，
所以－3＜x＜2 且 x≠1.故已知函数的定义域为{x|－3＜x＜2 且 x≠1}．
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第二章 函数、导数(dǎo 及其应 shù) 用
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第1节 函数的概念及其表示练习 新人教A版-新人教A版
第二章 第 1 节 函数的概念及其表示[基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ba，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.] [学生用书 课时冲关四 文P251 理P290][基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.]4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．[学生用书 课时冲关四 文P251 理P290][基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.]4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．。
【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示课件 理
设 A,B 为两个非空数集
设 A,B 为两个非空集合
如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一 如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一 个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应 称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 y=f(x),x∈A 个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 和它对应 称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 对应 f:A→B 是一个映射
> 0,
即
-4 ≤ ������ ≤ 4,
即函数的定义域为(2,3)∪(3,4],故选项 C 正确. ������ > 2 且������ ≠ 3,
【参考答案】 C
1.基本初等函数的定义域 (1)整式函数的定义域为 R. (2)分式函数中分母不等于 0. (3)偶次根式函数被开方式大于或等于 0. (4)一次函数、二次函数的定义域均为 R. (5)函数 f(x)=x0 的定义域为{x|x≠0}. (6)指数函数的定义域为 R,对数函数的定义域为(0,+∞). 2.复合函数的定义域 若已知函数 y=f(x)的定义域为[a,b],则 y=f(g(x))的定义域由 a≤g(x)≤b 解出;若已知函数 y=f(g(x))的定义域为 [a,b],则函数 y=f(x)的定义域即为函数 g(x)的值域.
4.常用的数学方法与思想
换元法、配凑法、数形结合思想、分类讨论思想.
1.判断下列说法是否正确(打“√”或“×”).
(1)A=R,B=R,f:x→y=������,表示从集合 A 到集合 B 的映射(也是函数). (1)× (2)f(x)= ������-2+log2(1-x)是一个函数. (2)× (3)y=x2-3x-4(x∈N)的图象是一条开口向上的抛物线. (3)×
数学一轮复习第二章函数导数及其应用第一讲函数及其表示学案含解析
第二章函数、导数及其应用第一讲函数及其表示知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一函数的概念及表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B 设A，B是两个__非空数集__设A，B是两个__非空集合__对应关系f:A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的__任意__一个数x，在集合B中有__唯一__的数f（x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的__任意__一个元素x在集合B中有__唯一__的元素y与之对应名称称对应__f：A→B__为从集合A到集合B的一个函数称对应__f:A→B__为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f（x），x∈A对应f:A→B是一个2。
函数（1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．（2）函数的三要素：__定义域、值域、对应法则__。
（3)函数的表示法：__解析法、图象法、列表法__。
(4)两个函数只有当__定义域和对应法则__都分别相同时，这两个函数才相同．知识点二分段函数及应用在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．错误!错误!错误!错误!1．映射：（1)映射是函数的推广,函数是特殊的映射,A，B为非空数集的映射就是函数；(2)映射的两个特征：第一,在A中取元素的任意性；第二，在B中对应元素的唯一性；(3)映射问题允许多对一,但不允许一对多．2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．4．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．双错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×”）(1）f(x)＝错误!＋错误!是一个函数．(×）(2)函数f（x)的图象与直线x＝1的交点只有1个．（×)(3)已知f（x）＝m（x∈R)，则f(m3)等于m3.(×）(4)y＝ln x2与y＝2ln x表示同一函数．（×)（5)f（x)＝错误!则f(－x）＝错误!（√）题组二走进教材2．（必修P23T2改编）下列所给图象是函数图象的个数为(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]①中当x〉0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象,②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象．3．（必修1P24T4改编)已知f（x5)＝lg x，则f(2)等于(D) A．lg 2 B．lg 32C．lg 错误!D．错误!lg 2［解析]解法一：由题意知x〉0，令t＝x5，则t〉0，x＝t错误!，∴f（t）＝lg t错误!＝错误!lg t，即f（x)＝错误!lg x(x>0)，∴f(2）＝错误!lg 2，故选D．解法二：令x5＝2，则x＝2错误!，∴f(2）＝lg 2错误!＝错误!lg 2。
导与练普通班届高三数学一轮复习第二篇函数及其应用第节函数模型及其应用理
(3)今后最多还能砍伐多少年? 解：(3)设从今年开始,以后砍了 n 年,
则 n 年后剩余面积为 2 a(1-x)n. 2
令 2 a(1-x)n≥ 1 a,
2
4
n
3
即(1-x)n≥
2 4
,
1 2
10
≥
1 2
2
,
n ≤ 3 ,解得 n≤15. 10 2 故今后最多还能砍伐 15 年.
考点三 分段函数模型
得
0 t 1, 4t 0.25
或
1 2
t 3
0.25,
解得 1 ≤t≤5. 16
因此服药一次后治疗疾病有效的时间是 5- 1 = 79 (小时). 16 16
数学
4/15/2024
19
反思归(纳1)与幂函数、指数函数、对数函数三类函数模型有关的实际 问题,在求解时,要先学会合理选择模型,在三类模型中,指数函数模型 是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型,与增长率、银行利 率有关的问题都属于指数函数模型. (2)在解决幂函数、指数函数、对数函数模型问题时,一般需要先通过 待定系数法确定函数解析式,再借助函数的图象求解最值问题,必要时 可借助导数.
2.某种细胞,每15分钟分裂一次(1→2)这种细胞由1个分裂成4 096个
需经过( C )
(A)12小时
(B)4小时
(C)3小时
(D)2小时
解析:212=4 096,分裂了12次.共用时12×15=180分钟=3小时.
3.某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog3(x+1),设这种动 物第2年有100只,到第8年它们发展到( A )
令 f(x)=a[x-(2+h)]2+4=- 1 [x-(2+h)]2+4, h2
高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第1讲函数及其表示知能训练轻松闯关文北师大版20171
第 1讲 函数及其表示1．已知集合 A ＝[0，8]，集合 B ＝[0，4]，则下列对应关系中，不能看作从 A 到 B 的映射的是( )1 1 A ．f ：x →y ＝ x B ．f ：x →y ＝ x 8 4 1 C ．f ：x →y ＝ x D ．f ：x →y ＝x 2解 析：选 D.按照对应关系 f ：x →y ＝x ，对 A 中某些元素(如 x ＝8)，B 中不存在元素与之对应．1 2．(2016·唐山统考)已知 f (x )＝x ＋ －1，f (a )＝2，则 f (－a )＝( ) xA ．－4B ．－2C ．－1D ．－31 1 1 解析：选 A.因为 f (x )＝x ＋ －1，所以 f (a )＝a ＋ －1＝2，所以 a ＋ ＝3，所以 f (－a )＝－a x a a 1 1－ －1＝－ －1＝－3－1＝－4，故选 A.3．下列函数中，不满足 f (2x )＝2f (x )的是( )a (a ＋a )A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x 解析：选 C.将 f (2x )表示出来，看与 2f (x )是否相等．对于 A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于 B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )；对于 C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )；对于 D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，所以只有 C 不满足 f (2x )＝2f (x )，故选 C.4．若二次函数 g (x )满足 g (1)＝1，g (－1)＝5，且图像过原点，则 g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2x 2－3xB ．g (x )＝3x 2－2xC ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x解析：选 B.用待定系数法，设 g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，因为 g (1)＝1，g (－1)＝5，且图像 过原点，a ＋b ＋c ＝1， a ＝3，所以{解得所以 g (x )＝3x 2－2x .a c －＝b 0＋，c ＝5，){c ＝0， ) b ＝－2，－e x ＋1，x ≤ 0，5．(2016·河南省高考适应性测试)已知函数 f (x )＝{x －2，x > 0， )若 f (a )＝－1，则实数a 的值为( )A ．2B ．±1C ．1D ．－1解析：选 B.若 a ≤0，则－e a ＋1＝－1，解得 a ＝－1；若 a >0，则 a －2＝－1，解得 a ＝1.综上所述，a ＝±1.6．已知 a ，b 为两个不相等的实数，集合 M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，f ：x →x 表示把 M 中的元素 x 映射到集合 N 中仍为 x ，则 a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 D.由已知可得 M ＝N ，a 2－4a ＝－2 a 2－4a ＋2＝0， 故{b 2－4b ＋1＝－1)⇒{b 2－4b ＋2＝0，)所以a，b是方程x2－4x＋2＝0的两根，故a＋b＝4.7．已知f(2x＋1)＝3x－4，f(a)＝4，则a＝________．a－1解析：令2x＋1＝a，则x＝，213（a －1） 则 f (2x ＋1)＝3x －4可化为 f (a )＝ －4， 2 3（a －1） 19 因为 f (a )＝4，所以 －4＝4，解得 a ＝ . 2 3 19 答案： 3 18．设函数 f (x )满足 f (x )＝1＋f (2)log 2x ，则 f (2)＝________． 11 1 1 1解析：由已知得 f (2 )＝1－f (2 )·log 22，则 f (2 )＝ ，则 f (x )＝1＋ log 2x ，故 f (2)22 1 3＝1＋ log 22＝ .2 23 答案： 29．若函数 f (x )在闭区间[－1，2]上的图像如图所示，则此函数的解析式为________． 1 解析：由题图可知，当－1≤x <0时，f (x )＝x ＋1；当 0≤x ≤2 时，f (x )＝－ x ，所以 f (x )＝ 2 x ＋1，－1 ≤ x < 0，{ x，0 ≤ x ≤ 2. )1 －2 x ＋1，－1 ≤ x < 0， 答案：f (x )＝{x ，0 ≤ x ≤ 2 )1 －2 x 2＋bx ＋c ，x ≤ 0，10．设函数 f (x )＝{2，x > 0， )若 f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则方程 f (x )＝x 的 解集为________． 解析：当 x ≤0 时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，因为 f (－2)＝f (0)，（－2）2－2b ＋c ＝c ， f (－1)＝－3，则{（－1）2－b ＋c ＝－3，)b ＝2，解得{c ＝－2，)x 2＋2x －2，x ≤ 0，故 f (x )＝{2，x > 0. ) 当 x ≤0 时，由 f (x )＝x ， 得 x 2＋2x－2＝x ，解得 x ＝－2或 x ＝1(1>0，舍去)．当 x >0时，由 f (x )＝x ，得 x ＝2.所以方程 f (x )＝x 的解集为{－2，2}．答案：{－2，2}x －1，x > 0，11．(2016·宝鸡质检)已知 f (x )＝x 2－1，g (x )＝{2－x ，x < 0.)(1)求 f (g (2))与 g (f (2))；(2)求 f (g (x ))与 g (f (x ))的表达式．解：(1)g(2)＝1，f(g(2))＝f(1)＝0；f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝2.(2)当x>0时，f(g(x))＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x；当x<0时，f(g(x))＝f(2－x)＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.2x 2－2x ，x > 0，所以 f (g (x ))＝{x 2－4x ＋3，x< 0.)x 2－2，x < －1或x > 1，同理可得 g (f (x ))＝{3－x 2，－1 < x < 1. ) ax ＋b ，x < 0，12．设函数 f (x )＝{2x ，x ≥ 0， )且 f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)． (1)求 f (x )的解析式； (2)画出 f (x )的图像．－2a ＋b ＝3，解：(1)由 f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)得{－a ＋b ＝2， ) 解得 a ＝－1，b ＝1，－x ＋1，x < 0，所以 f (x )＝{2x ，x ≥ 0. ) (2)f (x )的图像如图：3。
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六年新课标全国卷试题分析
高考考点、示例分布图 命题特点 1.高考在本篇一般命制 2～3 道小题,1 道 解答题,分值占 22～27 分. 2.高考基础小题主要考查函数奇偶性的 判断,比较大小,分段函数求值等. 3.高考综合性较强的小题考查导数、不 等式以及函数的零点的综合等;考查数 形结合的思想. 4.解答题一般都是两问的题目,第一问 考查求曲线的切线方程,求函数的单调 区间,由函数的极值点或已知曲线的切 线方程求参数,属于基础问题.第二问利 用导数证明不等式,不等式恒成立求参 数的取值范围,求函数的零点等问题.考 查函数的思想,转化的思想及分类讨论 的思想.
【即时训练】 (1)(2016 济南一模)函数 y= log3 2 x 1 的定义域为( (A)[1,+∞) (C)（ (B)(1,+∞)
)
1 1 ,+∞） (D)（ ,1） 2 2
解析:(1)要使函数 y= log3 2 x 1 有意义, 须有 log3(2x-1)≥0, 解得 x≥1, 所以函数 f(x)的定义域是[1,+≦).故选 A.
知识链条完善
【教材导读】
把散落的知识连起来
1.函数的值域是由函数的定义域、对应关系唯一确定的吗?
提示:是.函数的定义域和对应关系确定后函数的值域就确定了,在函 数的三个要素中定义域和对应关系是关键. 2.分段函数是一个函数还是几个函数? 提示:是一个函数.只不过是在自变量不同的取值范围上,对应关系不 同而已. 3.函数与映射之间有什么关系?
解析:①正确,但映射不一定是函数,②不正确,如函数 y=x 与 y=x+1,其定义域 与值域完全相同,但不是相等函数,③正确,f(x)是定义域为{1},值域为{0}的 函数,④不正确,函数 y=2x(x∈N)的图象是分布在射线 y=2x(x≥0)上的无数个 孤立的点.⑤正确,当-1≤x≤1 时,-1≤-x≤1,f(-x)= 1 x = 1 x 2 ;当
2.函数的表示法 (1)基本表示方法: 解析法 、图象法、列表法. (2)分段函数:在定义域的不同范围内函数具有不同的解析式,这类函数称为 分段函数.分段函数是一个函数,分段函数的定义域是各段定义域的 并集 , 值域是各段值域的 并集 .
3.映射 设A,B都是非空的集合,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中 的任意一个元素x,在集合B中都有 唯一确定 的元素y与之对应,那 么就称对应关系f:A→B为从集合A到集合B的一个映射. 【重要结论】 1.定义域与对应关系完全一致的两个函数是相等函数.
.
0 x 1 2016, 解析：(2)由 x 1 0,
解得-1≤x≤2 015,且 x≠1. 故选 B.
(3)因为-2x+a>0,所以 x< 所以
a =1,所以 a=2. 2
a , 2
答案:(2)B (3)2
考点二 求函数的解析式
【例 2】 (1)已知 f( x +1)=x+2 x ,求函数 f(x)的解析式;
x 2 2 ax a
≥1,x2+2ax-a≥0 恒成立,
因此有Δ=(2a)2+4a≤0, 解得-1≤a≤0.
答案:(3)[-1,0]
反思归纳
求函数定义域的三种类型及求解策略
(1)已知函数的解析式,构建使解析式有意义的不等式(组)求解.
(2)抽象函数:
①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由 a≤g(x)≤b求出. ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b] 时的值域. (3)实际问题:既要使构建的函数解析式有意义,又要考虑实际问题的要求. 提醒:所求定义域须用集合或区间表示.
B
)
1 (A) 2
1 (B)2
(C)1
(D)-1
解析:f（
2 1 ）=f（- ）+1 3 3
π = 3 sin（- ）+1 3
=-
1 . 2
故选 B.
5.给出下列命题: ①函数是其定义域到值域的映射. ②若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数. ③f(x)= x 1 + 1 x 是函数. ④函数 y=2x(x∈N)的图象是一条直线.
所以将 x 用
1 3 1 替换,得 2f +f(x)= , x x x
②
1 由①②解得 f(x)=2x- (x≠0), x
即 f(x)的解析式是 f(x)=2x-
1 (x≠0). x
反思归纳
求函数解析式常用方法:
(1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表
2 2 2
(2)当 x∈(-1,1)时,有 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),① 以-x 代替 x 得 2f(-x)-f(x)=lg(-x+1). 由①②消去 f(-x),得 f(x)= ②
2 1 lg(x+1)+ lg(1-x),x∈(-1,1). 3 3
考点三
分段函数及应用(高频考点)
考查角度 1:已知分段函数解析式,求函数值. 高考扫描:2015 高考新课标全国卷Ⅱ
2.与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个公共点.
夯基自测
1.下列各图中,可表示函数y=f(x)的图象的只可能是( D )
解析:根据函数的定义,对定义域内的任意一个x必有唯一的y值和它对应.
2.函数 f(x)= (A)(-1,2) (C)(-1,0)
ln 2 x x 2 x x
构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出 f(x).
【即时训练】 (1)已知f(2x+1)=4x2+2x+1,求f(x)的解析式; (2)定义在(-1,1)内的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求f(x)的解析式.
解:(1)法一 令 t=2x+1,则 x= 所以 f(t)=4[
2 1 x 1 x 1 , ⑤若 f(x)= 则 f(-x)= x 1 x 1或x 1 , 2 1 x 1 x 1 , x 1 x 1或x 1 .
其中真命题有
.(写出所有真命题的序号)
提示:函数是特殊的映射,映射是函数的推广,只有集合A,B为非空数集
的映射才是函数.
知识梳理
1.函数的概念
设A,B都是非空的 数集 ,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的 任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B
为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A,其中x叫做自变量,x的取 值范围A叫做函数f(x)的 定义域 ,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值 的集合{f(x)|x∈A}叫做函数f(x)的 值域 ,显然,值域是集合B的子集,函 数的 定义域 、值域和对应关系构成了函数的三要素.
B )
解析:法一 因为g(x+2)=2x+3=2(x+2)-1, 所以g(x)=2x-1. 法二 因为g(x+2)=2x+3,令t=x+2,则x=t-2. 所以g(t)=2(t-2)+3=2t-1. 所以g(x)=2x-1.
2 3 sin πx, x 0, 4.已知 f(x)= 则 f( )的值为( 3 f x 1 1, x 0,
0 2 x 4, 解析：(2)由题意知 x 1 0,
解得 1<x≤2.
答案: (2)B
(3)若函数 f(x)= 2 为 .
x 2 2 ax a
x 2 2 ax a
1 的定义域为 R,则 a 的取值范围
解析：(3)因为函数 f(x)的定义域为 R, 所以 2 即2 -1≥0 对 x∈R 恒成立,
的定义域为(
C
)
(B)(-1,0)∪(0,2) (D)(0,2)
2 2 x x 0, 解析:f(x)有意义,则 x x 0.
1 x 2, 解之得 所以-1<x<0, x 0,
所以 f(x)的定义域为(-1,0).故选 C.
3.设函数f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)的表达式是( (A)g(x)=2x+1 (C)g(x)=2x-3 (B)g(x)=2x-1 (D)g(x)=2x+7
2 2
设 t= x +1,则 x=(t-1)2(t≥1).
即 f(x)=x2-1(x≥1).
(2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式;
解析：(2)因为 f(x)是一次函数,可设 f(x)=ax+b(a≠0), 所以 3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17. 即 ax+(5a+b)=2x+17,
达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式;
(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待 定系数法; (3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意 新元的取值范围;
1 (4)消去法:已知关于 f(x)与 f 或 f(-x)的表达式,可根据已知条件再 x
第1节 函数及其表示
最新考纲 1.了解构成函数的要素,会求 一些简单函数的定义域和值 域;了解映射的概念.
2.在实际情境中,会根据不同的需 要选择恰当的方法(如图象法、列表 法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单 应用(函数分段不超过三段).