第2讲初一相交线与平行线动点提高题压轴题

补。
4、平移：①平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。②对应点的线段平行且相等。
平移： 在平面内， 将一个图形沿某个方向移动一定的距离， 图形的这种移动叫做平移平
移变换，简称平移。
对应点： 平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样
的两个点叫做对应点。 动点型问题是最近几年中考的一个热点题型，
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点
, 它们在线段、射线或弧线上运动
的一类开放性题目 . 解决这类问题的关键是动中求静 , 灵活运用有关数学知识解决问题 .
关键 : 动中求静 . 在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路
, 这也是动
态几何数学问题中最核心的数学本质。
典型例题 例 1. （ 1）如图（ 1），EF⊥ GF，垂足为 F，∠ AEF=150°，∠ DGF=60°． 试判断 AB和 CD 的位置关系，并说明理由． （2）如图（ 2）， AB∥ DE，∠ ABC=70°，∠ CDE=147°，∠ C=______．（直接给出答案） （3）如图（ 3）， CD∥ BE，则∠ 2+∠ 3- ∠ 1=______．（直接给出答案） （4）如图（ 4）， AB∥ CD，∠ ABE=∠ DCF，求证： BE∥ CF．
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则 AB∥ CD； （2）延长 ED交 BC于点 F． ∵AB∥ DE， ∴∠ BFE=∠ABC=70°，则∠ CFE=180° - ∠BFD=110°， ∴∠ C=∠ CDE-∠ CFE=147° -110 ° =37°， 故答案是： 37°； （3）延长 DC交 AB于点 F，作△ ACF的外角∠ 4． ∵CD∥ BE， ∴∠ DFB=∠3， 又∵∠ DFB+∠ 2+∠ 4=360°， ∴∠ 2+∠ 3+∠ 4=360°，即∠ 2+∠ 3=360° - ∠ 4． ∴∠ 2+∠ 3- ∠ 1=360° - ∠ 4- ∠ 1=360° -180 ° =180°， 故答案是： 180°； （4）延长 BE 交直线 CD于点 G． ∵AB∥ CD， ∴∠ ABE=∠BGD， 又∵∠ ABE=∠ DCF， ∴∠ BGF=∠DCF， ∴BE∥ CF． 例 2. 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
(3) 当动点 P 落在第③部分时，全面探究∠ PAC、∠ APB、∠ PBD之间的关系，并写出动点 P
的具体位置和相应的结论。选择其中一种结论加以证明。
③A
C
③A
C
③A
C
②
P①
②
①
②
①
B
④
D
（1）解法一：如图 9- 1
延长 BP交直线 AC于点 E
∵ AC∥BD , ∴ ∠PEA= ∠PBD .
∵ ∠APB = ∠PAE + ∠PEA,
P落在某个部分时，连结 PA、PB，构成
∠ PAC、∠ APB、∠ PBD三个角。 ( 提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是
0° )
(1) 当动点 P 落在第①部分时，求证：∠ APB＝∠ PAC＋∠ PBD；
(2) 当动点 P 落在第②部分时，∠ APB＝∠ PAC＋∠ PBD是否成立 ( 直接回答成立或不成立 ) ？
∴∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F+∠G=∠ A+∠FAG+∠ C+∠ D+∠ E+∠BAG+∠ G=（ 5-2 ）× 180° =
6× 90 °，
∴n=6．
故答案为 6．
例 3. 如图，直线 AC∥ BD，连结 AB，直线 AC、BD及线段 AB把平面分成①、②、③、④四个
部分，规定：线上各点不属于任何部分。当动点
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第 2 讲 相交线与平行线动点提高题
知识点：
1、 平行线的判定：
①同位角相等，两直线平行。②内错角相等，两直线平行。
③同旁内角互补，两直线
平行。
2、推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。
3、 平行线的性质：
①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互
∴ ∠APB = ∠PAC + ∠PBD .
解法二：如图 9- 2
过点 P 作 FP∥AC ,
∴ ∠PAC= ∠APF .
∵ AC∥BD , ∴ FP∥BD .
B
④
D
(第 5 题图 )
∴ ∠ FPB =∠ PBD. ∴ ∠ APB=∠ APF+∠ FPB=∠ PAC + ∠ PBD.
解（ 1）： AB∥ CD． 理由：如答图，过点 F 作 FH∥AB，则∠ AEF+∠ EFH=180°． ∵∠ AEF=150°， ∴∠ EFH=30°， 又∵ EF⊥ GF， ∴∠ HFG=90° -30 ° =60°． 又∵∠ DGF=60°， ∴∠ HFG=∠DGF，
∴HF∥ CD，
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∴∠ BPD=∠B+∠ D；
（3）∠ BPD=∠ B+∠ D+∠பைடு நூலகம்BQD．理由如下：
连结 QP并延长到 E，如图 3，
∵∠ 1=∠ B+∠ BQP，∠ 2=∠ D+∠DQP，
∴∠ 1+∠ 2=∠ B+∠ BQP+∠ D+∠ DQP，
∴∠ BPD=∠B+∠ D+∠BQD；
（4）连结 AG，如图 4，
∵∠ B+∠ F=∠ BGA+∠FAG，
（1）如图 1 若 AB∥ CD 点 P 在 AB、 CD外部 求证：∠ BPD=∠ B- ∠D； （2）将点 P 移到 AB、 CD内部 如图 2 （ 1）中的结论是否成立 若成立 说明理由：若 不成立 则∠ BPD、∠ B、∠ D 之间有何数量关系 不必说明理由； （3）在图 2 中 将直线 AB 绕点 B 逆时针方向旋转一定角度交直线 CD于点 Q 如图 3 则∠ BPD、∠ B、∠ D、∠ BQD之间有何数量关系 并证明你的结论； （4）在图 4 中 若∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠E+∠ F+∠G=n× 90° 则 n=______．
解（ 1）∵ AB∥ CD，
∴∠ B=∠ BOD， 而∠ BOD=∠BPD+∠ D， ∴∠ B=∠ BPD+∠ D， 即∠ BPD=∠B- ∠ D； （2）（ 1）中的结论不成立，∠ 作 PQ∥ AB，如图 2， ∵AB∥ CD， ∴AB∥ PQ∥CD，
BPD=∠ B+∠ D．
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∴∠ 1=∠ B，∠ 2=∠ D，