上海市高中数学竞赛试卷及答案教案资料

2005年上海市高中数学竞赛试卷
（2005年3月27日 星期日 上午8：30～10：30）
【说明】解答本试卷不得使用计算器
一、填空（前4小题每小题7分，后4小题每小题8分，供60分） 1．计算：0!1!2!100!i +i +i ++i =L 95+2i ．（i 表示虚数单位） 2．设
θ是某三角形的最大内角，且满足sin8sin 2θθ=，则θ可能值构成的集合是
279,
,,,3321010πππππ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
．（用列举法表示） 3．一个九宫格如图，每个小方格内都填一个复数，它的每行、每列及对角线上三个格内的复数和都相等，则x 表示的复数是
11
22
i + ．
4．如图，正四面体ABCD 的棱长为6cm ，在棱AB 、CD 上各有一点E 、F ，若1AE =cm ，2CF =cm ，则线段EF
．
5．若关于x 的方程4(3)
250x x
a ++⋅+=至少有一个实根在区间[1,2]内，则实数a 的取值范围为
8.25,3⎡---⎣ ． 6．a 、b 、c 、d 、e 是从集合{}1,2,3,4,5中任取的5个元素（允许重复），则abcd e +为奇数的概率为
1794
3125
． 7．对任意实数x 、y ，函数()f x 满足()()()1f x f y f x y xy +=+--，若(1)1f =，则对负整数n ，()f n
的表达式 2322
n n +- ．
8．实数x 、y 、z 满足0x y z ++=，且2
2
2
1x y z ++=，记m 为2x 、2
y 、2
z 中最大者，则m 的最小
值为
1
2
． i x 1
A B F
D E
二、（本题满分14分）
设()f x ，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正数b ，使()f x 的定义域和值域相同．
解：若a ＝0，则对每个正数b
，()f x =
[)0,+∞，
故a ＝0满足条件
若a ＞0，则对每个正数b
，()f x =的定义域
D ＝{}
[)2
0,0,b x a x bx a
⎛⎤+≥=-∞-+∞ ⎥⎝
⎦
U
，但()f x =的值域A [)0,⊆+∞
故D ≠A ，即a ＞0不合条件
若a ＜0，则对每个正数b
，()f x =的定义域D ＝0,b a
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
，
由于此时(
)max 2b f x f a ⎛⎫=-
= ⎪⎝⎭
，故()f x =
的值域为⎡⎢⎣
所以，04a b a a a
<⎧⎪-=
⇔⇔=-⎨=-⎪⎩ 综合所述，a 的值为0或－4
三、（本题满分14分）
已知双曲线22221x y a b
-=（a 、b ∈+R ）的半焦距为c ，且2
b a
c =．,P Q 是双曲线上任意两点，M
为PQ 的中点，当PQ 与OM 的斜率PQ k 、OM k 都存在时，求PQ OM k k ⋅的值．
解：∵M 是PQ 的中点，设M （x 0，y 0），P （x 0＋α，y 0＋β－），Q （x 0－α，y 0－β） 于是00,OM PQ y k k x βα
=
= ∵P 、Q 都在双曲线上，所以
()()()()2
2
2222002
2
2222
00220020220440
OM PQ
b x a y a b b x a y a b b x a y y b a
c c
k k x a a a
αβαβαββα+-+=---=-=∴⋅====相减得：
又由)222
2
12c a b
c a b ac
⎧=++⎪⇒=⎨=⎪⎩舍负根
∴OM PQ k k ⋅=
四、（本题满分16分）
设[]x 表示不超过实数x 的最大整数．求集合2|,12004,2005k n n k k ⎧⎫⎡⎤⎪⎪
=≤≤∈⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭
N 的元素个数． 解：由
()2
2121
11002200520052005
k k k k ++-=≤≤，解得
即当()()2222111,2,3,,100212005200520052005k k k k k ⎡⎤⎡⎤++⎡⎤⎡⎤
===+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦⎣⎦⎣⎦L 时或
22210021500,0,1,2,,1002,0,1,,500200520052005k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
Q L L 当时能取遍
()()2
2
2222222211003,1004,,2004,1,20052005
11003100420041,,,,2005200520052005200520041002100210031002501,200520052k k k k k k n n +=->⎡⎤+⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎡⎤≥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎣⎦-=⎡⎤⎡⎤
>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
=L
L 另外,当时由于
故即各不相同，这些数有个
注意到＝就知集合,12004,50110021503005k k N ⎧⎫⎡⎤⎪⎪≤≤∈⎨⎬⎢⎥
⎪⎪⎣⎦⎩⎭
共有＋＝个元素.
五、（本题满分16分）
数列{}n f
的通项公式为n n
n f ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，n ∈+Z ． 记1212C +C +C n
n n n n n S f f f =，求所有的正整数n ，使得n S 能被8整除．
解：记1122
αβ+-=
=则
(
)(
)
()(
)
10
00
S
11
n n
i i i i i i
n n n
i i
n n
n n
i i i i
n n
i i
n n
C C
C C
αβαβ
αβαβ
==
==
=--
⎫⎡⎤
=-=+-+
⎪⎣⎦
⎭
⎡⎤
⎥
=-
⎥
⎝⎭⎝⎭⎦
∑∑
注意到
3333
3,1
2222
+==，可得
()
11
2
1
S
3S S
n n n n n
n n
++
+
+
⎧⎫
⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥=-+--
⎢⎥⎬⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪
⎣⎦
⎣⎦⎣⎦⎭
=-*
因此，
S n+2除以8的余数，完全由S n+1、S n除以8的余数确定
112
11122122
,3
S C f S C f C f
==+=
Q，故由(*)式可以算出{}n S各项除以8的余数依次是1,3，0,5，7,0，
1,3，……，它是一个以6为周期的数列，从而83
n
S n
⇔
故当且仅当38
n
n S
时，。