大学物理 质心
大学物理-质心质心运动定律
当刚体绕定轴转动时，如果作用于刚体上的外力矩为零，则刚体的 角动量守恒。
角动量守恒应用
利用角动量守恒原理可以解决一些实际问题，如陀螺仪的工作原理、 天体运动中行星轨道的确定等。
角动量不守恒情况
当作用于刚体上的外力矩不为零时，刚体的角动量将发生变化。此时 需要根据外力矩的作用时间和大小来计算角动量的变化量。
适用范围和条件
01
适用范围：质心运动定律适用于任何由多个质点组成的系统，无论这 些质点之间是否存在相互作用力。
02
适用条件：质心运动定律的应用需要满足以下两个条件
03
质点系所受的外力可以视为作用于质心上的合力。
04
质点系内部的相互作用力对质心的运动没有影响，或者其影响可以忽 略不计。
质点系相对于质心参
角动量
描述刚体绕定轴转动时动量的大小 和方向，等于转动惯量与角速度的 乘积。
刚体绕定轴转动时质心位置变化规律
质心位置不变
刚体绕定轴转动时，其质 心位置保持不变，始终位 于转轴上。
质心速度为零
由于质心位于转轴上，因 此质心的速度为零。
质心加速度为零
由于质心速度为零，因此 质心的加速度也为零。
刚体绕定轴转动时角动量守恒原理
02
考系运动
质点系内各点相对于质心参考系位移
01
02
03
定义
质点系内各点相对于质心 的位置矢量称为相对位移。
性质
相对位移是描述质点系内 各点相对于质心位置变化 的物理量，具有矢量性。
计算方法
通过几何方法或解析方法 求出各点相对于质心的位 置矢量。
质点系内各点相对于质心参考系速度
定义
质点系内各点相对于质心的速度称为相对速度。
大学物理 第三章 动量守恒定律和能量守恒定律 3-9 质心 质心运动定律
第五版
3-9 质心 -
质心运动定律
一 质心
1 质心的概念
板上C点的运动轨迹是抛物线 板上 点的运动轨迹是抛物线 其余点的运动=随 点的平动+绕 点的 点的平动 点的转动 其余点的运动 随C点的平动 绕C点的转动
第三章 动量守恒和能量守恒
1
物理学
第五版
3-9 质心 -
质心运动定律
2 质心的位置 由n个质点组成 个质点组成 的质点系， 的质点系，其质心 的位置： 的位置：
13
物理学
第五版
3-9 质心 n n v v v m'vC = ∑ mi vi = ∑ pi = p i =1 i =1
质心运动定律
求一阶导数， 再对时间 t 求一阶导数，得
质心加速度
dp v m'aC = dt v v dp ex 根据质点系动量定理 = Fi dt
第三章 动量守恒和能量守恒
}⇒
x2 = 2 xC
17
第三章 动量守恒和能量守恒
物理学
第五版
3-9 质心 -
质心运动定律
例4 用质心运动定律 y F 来讨论以下问题． 来讨论以下问题． 一长为l 一长为 、密度均匀的 y 柔软链条， 柔软链条，其单位长度的质 c yC 量为 λ ．将其卷成一堆放在 地面． 若手提链条的一端， 地面． 若手提链条的一端， o 以匀速v 将其上提．当一端 以匀速 将其上提． 被提离地面高度为 y 时，求手的提力． 求手的提力．
竖直方向作用于链条的合外力为 F − λyg
第三章 动量守恒和能量守恒
20
物理学
第五版
3-9 质心 -
质心运动定律
v 得到 F − yλg = lλ ⋅ l
质心公式的推导
质心公式的推导摘要：1.质心定义及作用2.质心公式推导过程3.质心公式应用实例4.质心在实际生活中的重要性正文：质心，又称重心，是一个物体在空间中的平衡点。
它在物理学、力学等领域具有重要的理论价值和实践意义。
本文将介绍质心公式的推导过程，并举例说明其在实际生活中的应用。
一、质心定义及作用质心是一个物体所有部分的质量均匀分布时，物体内部各个部分所受重力的合力作用点。
在二维平面内，质心位于物体形心的位置。
质心在物体平衡、稳定以及运动过程中的作用至关重要。
它可以帮助我们分析物体在各种受力情况下的运动状态，为工程设计、建筑结构等领域提供理论依据。
二、质心公式推导过程质心公式是根据物体的质量分布和形状来计算质心位置的。
设物体质量为m，物体形状为S，物体上的任意一点到质心的距离为r。
根据物体质量分布的均匀性，可以得到以下公式：质心位置（x，y）= （Σmr / Σm）/ S其中，Σmr表示物体各部分质量与质心距离的乘积之和，Σm表示物体各部分质量之和。
通过数学运算，我们可以得到质心的坐标。
三、质心公式应用实例1.简单几何体：对于简单的几何体，如长方体、圆柱体等，可以通过测量各部分的尺寸和质量，直接计算出质心位置。
2.复杂物体：对于复杂的物体，如飞机、汽车等，需要先将物体分解为简单的几何体，然后分别计算各部分的质心，最后通过一定的算法求得整个物体的质心。
3.建筑结构：在建筑结构设计中，了解结构的质心位置有助于分析结构的稳定性和抗风能力。
通过计算质心，可以合理布局建筑物的重量分布，提高建筑物的抗风性能。
四、质心在实际生活中的重要性1.平衡控制：在运动控制、机器人等领域，掌握质心位置对于保持物体平衡具有重要意义。
例如，在无人驾驶汽车中，通过实时监测质心位置，可以有效避免因质心偏移导致的失控现象。
2.优化设计：在产品设计和工程设计中，合理调整质心位置可以提高产品的性能和稳定性。
例如，在飞机设计中，通过改变机翼形状和位置，可以调整质心与飞行速度的关系，实现更高效的飞行。
质心知识点总结归纳
质心知识点总结归纳质心（Center of Mass）是物体集中质量的平均位置。
在物理学中，质心是描述物体运动的重要概念，对于研究物体的运动、碰撞、转动等现象都有重要的意义。
同时，质心在工程、航天航空等领域也有着广泛的应用。
质心的计算方法有多种，可以通过物体的密度分布、几何形状和其他条件来进行计算。
而质心的运动规律也可以通过牛顿定律和动量定律来描述。
本文将从质心的概念、计算方法、运动规律以及工程应用等方面对质心的知识点进行总结和归纳。
一、质心的概念1. 定义质心是物体所有质点的集中位置，也可以看作是物体的平衡点。
在质心系中，物体的总动量和总角动量相对于质心系均为零。
2. 特点（1）质心不一定位于物体内部，可以位于物体的外部；（2）质心的运动不一定与物体的其他点相同；（3）质心的位置与物体的形状和质量分布有关；（4）质心具有跟随物体运动的特点。
二、质心的计算方法1. 特殊形状物体的质心计算（1）均匀杆对于一根均匀杆，质心位于杆的中点处。
（2）均匀圆环对于一个均匀圆环，质心位于环的中心处。
2. 连续体的质心计算对于连续分布的质量分布，可以通过积分的方法来计算质心。
一般来说可以使用以下公式来计算：\[ x_{cm} = \frac{1}{M} \int x\;dm \]\[ y_{cm} = \frac{1}{M} \int y\;dm \]\[ z_{cm} = \frac{1}{M} \int z\;dm \]其中，\( x_{cm} \)、\( y_{cm} \)、\( z_{cm} \) 分别表示质心在 x、y、z 方向上的位置，M 表示物体的总质量。
三、质心的运动规律1. 质心的运动状态质心的运动状态可以通过牛顿定律和动量定律描述。
在外力作用下，质心会产生加速度，并且质心的加速度与物体的质量成反比。
2. 刚体的平动运动对于刚体的平动运动，可以通过质心的运动来描述整个刚体的运动状态。
刚体的平动运动可以看作是质心的平动运动。
大学物理(3.5.2)--碰撞碰撞定律质心运动定律
第五讲 碰撞 碰撞定律 质心运动定律
※ 碰撞
质点、质点系或刚体之间，通过极短时间的相互作 用而使运动状态发生显著变化的过程。
※ 碰撞过程的特点
(1) 作用时间极短
(2) 作用力变化极快
(3) 作用力峰值极大 (4) 过程中物体会产生形 变
(5) 。
可
认
为
仅 e
有
内v2 v10
力 v的1 v20
作(分用离，速故度系) (接近速度)
统 遵e守称动恢量复守系恒数定 （取决于材料性 质）
律
2/16
※ 碰撞的分类
(1) 弹性碰撞 ( 完全弹性碰撞 ) 当 e ＝v21时v1 v10 v20
， 此时说明碰撞后形变能完全恢复，没有机械能的损失 ( 碰撞前后机械能守恒 ) 。
i 1 N
mi
i 1
M
i 1
rm11,,rm2 ,2,,, rmi,i,,,mrnn
z
rmi irCr1
m2 m1
O
y
x
10/16
(2) 质心位置：rC miri / M i
xC mi xi / M yC mi yi / M
两边平方
速后(两度mv是球 互速vm2度相v1 v垂v112m直,vv22的2)v1。 v2
v
v22
v1
v2
(1)
由 机 械 能 守 恒 （ 势 能 无 变 化 ）( 12
mv 2
1 2
mv12
1 2
mv22 )
比较v1以 v上2
(1)(2) 两式
(5) 质心的速度
大学物理力学第六章质心运动定理(二)
大学物理力学第六章质心运动定理（二）引言概述：大学物理力学的第六章质心运动定理（二）是质点系的动力学描述的重要内容。
本文将从引入质心的概念开始，逐步介绍质心运动定理的原理和应用。
正文：1. 质心的定义和性质：- 质心被定义为质点系中所有质点质量加权平均位置的矢量。
- 质心具有质点系中所有质点质量的总和，并且在质点系运动中保持位置不变。
- 质心的运动可以简化质点系的运动分析。
2. 质心运动定理的表述：- 质心运动定理指出，在外力作用下，质心的加速度等于质点系所受合外力与质点系总质量的比例。
- 质心的加速度可以通过所有质点受力的合力除以质点系总质量得到。
3. 质心运动定理的证明和推导：- 通过应用牛顿第二定律，可以推导出质心运动定理的表达式。
- 使用质点系质量的定义、质心的定义以及质点系中每个质点的位矢，可以推导出质心关于时间的二阶导数与质点系合外力的关系式。
4. 质心运动定理的应用：- 可以通过质心运动定理计算质心在不同外力作用下的加速度。
- 质心运动定理可以用于解决质点系的多体动力学问题。
- 质心运动定理对于研究刚体的运动也具有重要意义。
5. 质心运动定理的限制和扩展：- 质心运动定理只适用于质点系在外力作用下的运动，不适用于内力相互作用的情况。
- 在非惯性系中，质心运动定理需要进行修正。
- 质心运动定理可以扩展应用于连续体力学的问题分析。
总结：大学物理力学第六章质心运动定理（二）介绍了质心的概念和性质，阐述了质心运动定理的原理和推导过程，并探讨了质心运动定理的应用范围和限制。
掌握质心运动定理对于解决质点系的动力学问题非常重要，并且在刚体和连续体力学领域也有广泛应用。
大学物理质心运动定理ppt
质心的位置
xC
m1x1 m2 x2 m1 m2
水平方向继续飞 行部分的着地点
x2 2xC x1
xC
1 2
(
x1
x2 )
x2
3 2
v02
sin g
2
03_05_质心运动定理 —— 动量与角动量
07/08
g
—— 炮弹落地的质心坐标
—— 射程
炮弹炸裂为两部分，落地时质心坐标
xC
v02 sin 2
g
—— 最高点炮弹水平方向不受外力，质心落地位置不
变
03_05_质心运动定理 —— 动量与角动量
06/08
质心的位置 xC
v02
sin 2
g
垂直下落部分的着地点
x1
v02
sin 2
2g
—— 射程的一半
m1 m2 m
x1C
m1 l m2l / 2 m1 m2
m1 l m2l / 2 m1x1 ' m2(x1 ' l / 2)
人的质心位置
x1 '
m1 m1 m2
l
03_05_质心运动定理 —— 动量与角动量
03/08
人的质心位置
x1
'
m1 m1 m2
l
车相对于地面移动的距离
d2
x1
'
d2
m1 m1 m2
开始系统的质心坐标 x1C
m1x1 m2 x2 m1 m2
m1
l
m2
l 2
m1 m2
03_05_质心运动定理 —— 动量与角动量
02/08
末了系统的质心坐标
x2C
m1x1 ' m2 x2 ' m1 m2
大学物理-质心 质心运动定律
3-9 质心 质点 系内
质心运动定律
v in ∑ Fi = 0
n i =1
v ex F
v dvC v = m′ = m′aC dt
质心运动定律:作用在系统上的合外力等于系统 质心运动定律 作用在系统上的合外力等于系统 的总质量乘以质心的加速度. 的总质量乘以质心的加速度 The law of motion of center of mass: The combined external force on the system is equal to the total mass of the system times the acceleration of the center of mass
第三章 动量守恒和能量守恒
8/12
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律 设有一质量为2m的弹丸 从地面斜抛出去,它 的弹丸,从地面斜抛出去 例3 设有一质量为 的弹丸 从地面斜抛出去 它 飞行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片,其中一个 飞行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片 其中一个 竖直自由下落,另一个水平抛出 它们同时落地.问第二个 另一个水平抛出,它们同时落地 竖直自由下落 另一个水平抛出 它们同时落地 问第二个 碎片落地点在何处? 碎片落地点在何处 选弹丸为一系统,爆 解:选弹丸为一系统 爆 选弹丸为一系统 炸前、 炸前、后质心运动轨迹 2m m m C 不变.建立图示坐标系 建立图示坐标系. 不变 建立图示坐标系 xC x O xC
解： C x
∑m x = ∑m
i =1 i
n
i i
mHd sin37.7o + mO × 0 + mHd sin37.7o = mH + mO + mH
力学中的质心
力学中的质心力学中的质心（Center of Mass in Mechanics）在力学中，质心（Center of Mass）是一个经常被讨论的主题。
质心是一个物体的几何中心，它可以用来描述物体在力学中的运动和平衡。
本文将深入探讨质心的概念、计算方法以及其在力学中的应用。
一、质心的定义和特性质心被定义为一个物体的总质量分布在空间中的几何中心。
对于一个质点系统或一个具有连续分布的物体，质心是一个特殊的点，它具有以下特性：1. 质心的位置与物体的形状和质量分布有关。
当物体具有对称性时，质心通常位于物体中心或中轴线上。
但对于不规则形状的物体，质心的位置可能会有所偏移。
2. 质心是一个虚拟的点，它不一定处于物体实际存在的位置。
即使一个物体是孔洞或空洞的，它的质心也可以在物体的实际存在之外。
3. 对于一个质点系统或一个连续分布的物体，质心的位置可以通过对质量进行加权平均来计算。
质心的坐标可以用矢量的形式表示。
二、质心的计算方法计算质心的位置需要考虑物体的质量和质量分布。
有几种常见的方法可以计算质心的坐标。
1. 对于一个质点系统，可以通过将每个质点的质量与其位置的乘积相加，再除以总质量来计算质心的位置。
这可以表示为：x_cm = (m1x1 + m2x2 + ... + mnxn) / (m1 + m2 + ... + mn)y_cm = (m1y1 + m2y2 + ... + mnyn) / (m1 + m2 + ... + mn)z_cm = (m1z1 + m2z2 + ... + mnzn) / (m1 + m2 + ... + mn)其中，m是质量，x、y和z是位置坐标。
2. 对于一个连续分布的物体，可以使用积分来计算质心的位置。
假设物体沿着x轴分布，可以表示为：x_cm = ∫x dm / ∫dm同样，可以使用相同的方法计算y和z方向的质心坐标。
三、质心在力学中的应用质心在力学中有着广泛的应用，特别是在描述物体的运动和平衡时。
质心和平衡
体育运动：在体育运动中，质心也是一个重要的概念，用于描述运动员的身体姿势和平衡控制。
平衡的概念
平衡的定义
平衡是指物体 在运动中保持 稳定的状态， 不受外力作用 或外力平衡。
平衡可以通过各 种方式实现，如 静态平衡、动态 平衡、主动平衡 和被动平衡等。
质心与平衡的不同之处
质心是物体质量的几何中心，而平衡是指物体在力的作用下保持静止或匀速直线运动的状态。
质心位置由物体的质量分布决定，而平衡状态与作用在物体上的力的大小和方向有关。
质心位置是固定的，而平衡状态是动态的，受到外力作用时会发生改变。 质心是物体运动学中的一个重要概念，而平衡则是物体动力学中的一个基本状态。
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质心与平衡在物理和生活中的联系
质心与平衡在物理中的联系：质心是物体质量的几何中心，对物体的平衡起到关键作 用。
质心与平衡在生活中的联系：在建筑、交通工具、航空航天等领域，质心与平衡的关 系至关重要。
案例分析：以汽车为例，质心位置对车辆操控稳定性有很大影响。
结论：了解质心与平衡的关系，有助于更好地理解物理原理，并在实际生活中加以应 用。
建筑学：建筑的质心 位置影响其结构稳定 性和抗震性能，是建 筑设计中需要考虑的 重要因素
质心和平衡的应用前景
质心和平衡在物理学中的未来应用
质心和平衡在日常生活和工程设计中的未来应用
日常生活：质心 和平衡在交通工 具、家具设计等 领域的应用，提 高安全性和稳定
性。
运动器材：平衡 车、滑板车等运 动器材的设计中， 质心和平衡的应 用可以提高使用 体验和安全性。
质心运动质心如何影响物体的整体运动
质心运动质心如何影响物体的整体运动质心运动：质心如何影响物体的整体运动质心是物体的一个特殊点，可以用来描述物体的整体运动状态。
在物理学中，质心运动和质心的性质十分重要，对于研究物体的运动具有重要意义。
本文将重点介绍质心运动的概念和质心如何影响物体的整体运动。
1. 质心的定义和计算方法质心是物体的一个点，它具有以下性质：- 质心位于物体的对称轴上；- 物体上所有点到质心的距离乘以质点的质量之和等于零；- 质心是物体的一个固定点，无论物体如何变形或移动，质心的位置不变。
计算质心的方法取决于物体的形状和密度分布。
对于均匀密度的物体，质心位于物体的几何中心。
而对于不均匀密度的物体，可以利用积分来计算质心的位置。
2. 质心运动的概念质心运动是指质心随着时间的推移而移动的过程。
当物体受到外力或外力矩的作用时，质心会随着外力的作用而产生加速度，从而改变其位置和速度。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用在该物体上的合外力成正比，质心也不例外。
质心的加速度可以通过下面的公式计算：F = ma其中F是物体受到的合外力，m是物体的质量，a是质心的加速度。
3. 质心的影响质心的运动对物体的整体运动有着重要的影响。
以下是质心运动对物体整体运动的几个具体影响：3.1 保持平衡：当物体受到外力作用时，质心会产生加速度，但物体的整体运动状态仍然保持平衡。
这是因为物体上所有点的加速度都与质心的加速度相同，质心运动不会导致物体发生旋转或倾斜。
3.2 简化分析：通过研究质心的运动，可以简化对物体运动的分析。
可以将物体的复杂运动分解为质心的平动运动和围绕质心的自转运动两个部分，分别研究它们的运动规律。
3.3 确定力的合力点：质心的位置可以用来确定物体受力的合力点。
当物体受到多个力的作用时，可以通过计算质心位置来确定合力点的位置，从而进一步分析物体的受力情况。
3.4 影响整体运动轨迹：质心的运动轨迹决定了物体的整体运动轨迹。
当质心的运动轨迹为一条直线时，物体的整体运动是直线运动。
大学物理3-4质心 质心运动定理 动量守恒定律
1. 质心
Y
质点系（或物体） 的质量中心，简称 质心。
C
O
X
抛手榴弹的过程
质心运动反映了质点系的整体运动趋势。
质心
对于N个质点组成的质点系：
m1, m2,, mi ,mN M mi 系统总质量
r1, r2, , ri , rN
直角坐标系中 质心的定义：
F1
f12
f13
f1n
m2a2
m2
d v2 dt
F2
f21
f23
f2n
mnan
mn
d vn dt
Fn
fn1
fn2
fn3
fnn1
质心运动定理
对于内力 f12 f21 0,, fin fni 0,
ac
mi
ai miai mi
F
i
ac
Fi mi
Fi
M
质心运
条件 定律
vc
Fi
0
mivi
M
=常矢量
P
mi vi
Mvc
=常矢量
i
动量守恒定律
直角坐标系下的分量形式
m1v1x m2v2x mnvnx =常量 m1v1y m2v2 y mnvny=常量 m1v1z m2v2z mnvnz =常量
动量守恒定律
例题3-8 如图所示,设炮车以仰角 发射一炮弹，炮车
线分布 d m dl 面分布 d m d S 体分布 d m dV
质心
注意：
质心的位矢与参考系的选取有关。
刚体的质心相对自身的位置确定不变。
质量均匀的规则物体的质心在几何中心。
大学物理 质心
四、质心参考系
1. 相对于质心参考系的质点组总动量为零
2. 相对于质心参考系的质点组动能
克尼希定理
z
Ek
1 2
i
mi vi2
1 2
i
mi(vic vc )2
1 2
i
mi (vic2 vc2 2vic vc )
O x
Ekc
1 2
Mvc2
mivic 0
§3.7 关于质点组的一个概念 ---- 质心
教材 P.94
一、质心的定义
n 个质点： m1，m2，，mn
位置矢量： r1 r2 rn
z
r1
rc
r2
C
y
质心位置：
x
rc
m1r1 m2r2 mnrn m1 m2 mn
mi ri M
质心的坐标：
dt
mi
drvi dt
Mvc mivi
系统中各质点的动量之矢量和等于 质心的速度乘以质点系的总质量。
三、质心运动定理
v
v
mi
dvvi dt
M
dvvc dt
Fi
Mac
质心运动定理：
质心的运动等同于一个质点的运动，这个质点具 有质点系的总质量M，它受到的外力为质点系所受 所有外力的矢量和。
i
vc C vic
vi
mi
y
例 有质量为 2m 的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为 xc . 如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片，其中一碎
片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二
大学物理质心质心运动定律
说明 对密度均匀、形状对称的物体，质
心在其几何中心．
第三章 动量守恒和能量守恒
3
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律
例1 水分子H2O的结构如图．每个氢原 子和氧原子之间距离均为d=1.0×10-10 m，氢 原子和氧原子两条连线间的夹角为θ=104.6o.
求水分子的质心．
yH
d oC Od
H
52.3o
n
mi ri
i1
质心 质心运动定律
y m2
ri
mi
r2
rC
c r1
m1
o
x
第三章 动量守恒和能量守恒
10
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律
n
m'rC miri
i1
上式两m 边对d'dr时tC间itn1求m一i d阶drti导数，得
n n
mv'C mivi pi
n
再对时间
➢ 圆环的面积 d s 2 π R sin R d
Rsinθ
y
Rdθ
R θ dθ O
Rcoθs
x
➢ 圆环的质量 dm2πR2sind
由于球壳关于y 轴对称，故xc= 0
第三章 动量守恒和能量守恒
7
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律
Rsinθ
y
Rdθ
R θ dθ O
Rcoθs
x
yCm 1'ydmy 2π 2R π2 R s2in d
13
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律
解 选弹丸为
一系统，爆炸前、
后质心运动轨迹
大学物理-3-3质心质心运动定律
n
dpi
（因质点系内
n
Fi
in
i1 dt 0）
n Fiex
i1
i 1
F exmdd 'v tCmaC '
作用在系统上的合外力等于系统的总
质量乘以质心的加速度——质心运动定律
第三章 动量守恒和能量守恒
12
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律
例3 设有一
质量为2m的弹丸,
物理学
第五版
一 质心
1 质心的概念
板上点C的运动 轨迹是抛物线
3-9 质心 质心运动定律
c c
c c
c
c c
其余点的运动=随点C的平动+绕点C的转动
第三章 动量守恒和能量守恒
1
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律
2 质心的位置
由n个质点组成 的质点系，其质心 的位置：
y m2
ri
mi
r2
rc
c
r1
m1
o
x
z
n
rCm1m r11m m 22r2 m m ii ri i1m mir'i
第三章 动量守恒和能量守恒
2
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律
对质量离散分布的物系：
n
mixi
xC
i 1
m'
n
mi yi
i1
上式两m 边对d'dr时tC间itn1求m一i d阶drti导数，得
mv'C n
mivi n
pi
n
再对时间
大学物理 质心、动量
F
dP
dt
p mvc
F mac
2.内容
质点系质心的运动决定于质点系合外力
若 F合外力 0 ，
则 vc (Pc ) 不变
即系统内力不会影响质心的运动
如抛掷的物体、 跳水的运动员、 爆炸的焰火等
例：水平桌面上拉动纸，纸张上有一均匀球， 球的质量M，纸被拉动时与球的摩擦力为 F， 求：t 秒后球相对桌面移动多少距离？
N
rc
mi ri
i 1 N
mi
N
mi ri
i 1
m
i 1
N
mi xi
y
xc
i 1
m
2.质量连续分布的物质
N
rc
mi ri
i 1 N
mi
rdm m
i 1
z
r
xO
dm
×C
rC m
y
xdm
ydm
zdm
xc m
yc m
zc m
3. 质心的计算 1) 均匀的杆、圆盘、圆环和球的质心 —— 几何中心 2) 小线度物体质心和重心是重合的
3) 对于确定的质点系,质心位置是唯一确定的
例：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。
y
（x1，y1）
o
x2 x
N
mi xi
xc
i 1
m
1.质心公式 2.求质心
xc
mx1 mx2 3m
x1 x2 3
yc
my1 3m
y1 3
[例] 如图示，从半径为R的均质圆盘上挖掉一块
半径为r的小圆盘，两圆盘中心O和O′相距为d，
第二章 运动的守恒量和守恒定律
2 - 1 质心 质心运动定理
质心——精选推荐
质心mass，centre of质量中心或称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。
与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。
值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心不通常在同一假想点上。
在一个N维空间中的质量中心，坐标系计算公式为：X表示某一坐标轴mi 表示物质系统中，某i质点的质量xi 表示物质系统中，某i质点的坐标。
质点系质量分布的平均位置。
质量中心的简称。
它同作用于质点系上的力系无关。
设n个质点组成的质点系，其各质点的质量分别为m1，m2，…，mn。
若用r1 ，r2，…，rn分别表示质点系中各质点相对某固定点的矢径，rc 表示质心的矢径，则有rc＝Image:质心１.jpgmiri ／Image:质心１.jpgmi。
当物体具有连续分布的质量时，质心C的矢径rc＝Image:质心２.jpgρrdτ／Image:质心２.jpgρdτ，式中ρ为体（或面、线）密度；dτ为相当于ρ的体（或面、线）元；积分在具有分布密度ρ的整个物质体（或面、线）上进行。
由牛顿运动定律或质点系的动量定理，可推导出质心运动定理：质心的运动和一个位于质心的质点的运动相同，该质点的质量等于质点系的总质量，而该质点上的作用力则等于作用于质点系上的所有外力平移到这一点后的矢量和。
由这个定理可推知：①质点系的内力不能影响质心的运动。
②若质点系所受外力的主矢始终为零，则其质心作匀速直线运动或保持静止状态。
③若作用于质点系上外力的主矢在某一轴上的投影始终为零，则质心在该轴上的坐标匀速变化或保持不变。
质点系的任何运动一般都可分解为质心的平动和相对于质心的运动。
质点系相对某一静止坐标系的动能等于质心的动能和质点系相对随质心作平动的参考系运动的动能之和。
质心位置在工程上有重要意义，例如要使起重机保持稳定，其质心位置应满足一定条件；飞机、轮船、车辆等的运动稳定性也与质心位置密切相关；此外，若高速转动飞轮的质心不在转动轴线上，则会引起剧烈振动而影响机器正常工作和寿命。
大学物理力学：6 质心参照系
L
（(r1m'1rp11'mr22'r2p)2'）vC
rC
(
p1'
p2
'）
(
p1'
p2
'）
0
质心系是零动量参照系
（m1r1
m2r2 )vC
rC
(m1
m2 )vC
L LC rC (m1 m2 )vC
质心定义
相对质心的角动量 内部角动量
相对L系的角动量 外部角动量
6
相对于L系的外部角动量，就好象这系统
) m2r12
m1 m2 m1r12 ;
m1 m2
;
的角动量
为： LC
LCm2r1r21'p1'ur2'
p2' m1r12
( u)
m1 m 2
r12 u
m1 m2 与一个位矢为 r12，动量为
u的质点的角动量相同
*计算一个氢原子的角动量时必须用电子—质子系统
的折合质量来代替电子质量。
16
例3.24质量为m1和m2的两个小球，用长为l、质量和 伸缩量都可忽略不计的细杆联接，置于光滑的水平
桌面上，开始时m2固定不动， m1绕m2作匀速圆周运 动，线速率为v0 ，如果 突然失去约束，求杆中张力？
m1
vo
l1
C
l2
m2
17
直接用质心参照系中两体的角动量：
| LC初 | | r12 v0 | l v0
1 2
m2 v'22
Ek内
1 2
[
(
m1m22 m1 m2
)2
m2m12 (m1 m2
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vc
O x
C
c vi
mi
c 1 c2 2 mi ( vi vc 2vi vc ) 2 i
vi
yLeabharlann 1 2 E Mv c 2
c k
c mi vi 0
i
例 有质量为 2m 的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为 xc . 如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片，其中一碎 片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二 块碎片落在何处。 解： 在爆炸的前后，质心始终 只受重力的作用，因此质 心的轨迹为一抛物线，它 的落地点为 xc .
drc dri M mi dt dt
Mvc mi vi
系统中各质点的动量之矢量和等于 质心的速度乘以质点系的总质量。
三、质心运动定理
dP d dvi dvc Fi dt dt mi vi mi dt M dt
Fi Mac
§3.7
关于质点组的一个概念 ---质心
教材 P.94
一、质心的定义
n 个质点： m1，m2，，mn z
位置矢量：
r1 r2
rn
x
r c r1 r2
mi ri M
C
y
质心位置：
m1r1 m2 r2 mn rn rc m1 m2 mn
质心运动定理：
质心的运动等同于一个质点的运动，这个质点具 有质点系的总质量M，它受到的外力为质点系所受 所有外力的矢量和。
四、质心参考系
1. 相对于质心参考系的质点组总动量为零 2. 相对于质心参考系的质点组动能 克尼希定理
c 2 1 1 2 Ek mi vi mi (vi vc ) 2 i 2 i
m1 x1 m2 x2 xc m1 m2
mx2 xc 2m
o
xc
x2
x
m1 m2 m , x1 0
x2 2 xc
作业：3.4.11 4.2.3
3.4.16 4.2.4
3.5.2 4.3.5
质心的坐标：
xc mx m
i i i
yc
my m
i i
i
zc
mz m
i
i i
连续体的质心位置：
xc
xdm dm
yc
ydm dm
zc
zdm dm
对于密度均匀、形状对称的物体， 其质心都在它的几何中心。
二、质点组的动量
Mrc mi ri