L-保序算子空间的ω-紧性

2009年6月第25卷第2期纯粹数学与应用数学Pure and Applied MathematicsJun.2009Vol.25No.2 L-保序算子空间的ω-紧性韩红霞1,孟广武2(1.运城学院应用数学系,山西运城044000; 2.聊城大学数学科学学院,山东聊城252059)摘要：研究了L-保序算子空间的ω-紧性.借助于Hα-ω-开覆盖,定义了L-保序算子空间的ω-紧性,证明了ω-紧集和ω-闭集之交是ω-紧的,ω-紧性被连续的广义Zadeh型函数所保持,ω-紧性是L-好的推广,Tychonoff乘积定理成立.此外,给出了ω-紧性的网式刻画.关键词：L-保序算子空间；Hα-ω-开覆盖；ω-紧性中图分类号：O189文献标识码：A文章编号：1008-5513(2009)02-0390-061预备知识在本文中,L表示F格,1与0分别表示其最大元与最小元.1X与0X分别表示L X的最大元与最小元.对a∈L,β(a)表示a的最大极小集,β∗(a)=β(a)∩M(L).对A∈L X,β(A)表示A的最大极小集,β∗(A)=β(A)∩M∗(L X).记A(a)={x∈X|a∈β(A(x))}.其余未说明的概念和记号见文[1].定义1.1[1]设X为一个非空集合,ω:L X→L X为满足下列条件的算子:(1)ω(1X)= 1X;(2)∀A,B∈L X,A≤B,有ω(A)≤ω(B);(3)∀P∈L X,有P≤ω(P).则称ω为L-fuzzy 保序算子,简称为L-保序算子.如果A=ω(A),则称A为L X中的ω-集.记Ω={A∈L X| A=ω(A)},称序对(L X,Ω)为L-fuzzy保序算子空间,简称为L-保序算子空间.当L X=2X 时,文[2]相应地给出了定义,称为ω-保序算子空间,并记为(X,∆).定义1.2[1]设(L X,Ω)为L-保序算子空间,xα∈M∗(L X),P∈L X.如果存在Q∈Ω使xα Q且P≤Q,则称P为xα的一个ω-远域,记ωη(xα)为xα的所有ω-远域构成的集族.如果A∈L X且∀P∈ωη(xα),有A P,则称xα为A的ω-附着点.A的所有ω-附着点之并称为A的ω-闭包,记作A−ω.如果A=A−ω,则称A为L X中的ω-闭集,记ωC(L X)为(L X,Ω)中的所有ω-闭集构成的集族.如果A为ω-闭集,则称A 为ω-开集,记ωO(L X)为(L X,Ω)中的所有ω-开集构成的集族.如果P为ω-闭集且xα P,则称P为xα的ω-闭远域,记ωη−(xα)为xα的所有ω-闭远域构成的集族.定义1.3[3]设L是完备格,a,b∈L.定义L上的二元关系≺如下a≺b⇔∀A⊂L,(b≤∨A⇒∃r∈A,a≤r)命题1.1[3]a≺b⇔a∈β(b).引理1.1[4](1)a≺b⇒a≤b;(2)a≤b≺c≤d⇒a≺d;(3)∀a∈L\{0},0≺a.收稿日期：2007-07-10.基金项目：山东省自然科学基金(Y2003A01).作者简介：韩红霞(1980-),硕士,讲师,研究方向：模糊拓扑学.第2期韩红霞等:L-保序算子空间的ω-紧性391由命题1.1和最大极小集的保并性,可以得到:引理1.2设L是完全分配格,a∈L,{b i}⊂L,则a≺∨b i当且仅当a≺某b i.引理1.3[4]设L1与L2是完全分配格,f:L1→L2,则下列结论等价:(1)f保极小集;(2)f保任意sup与保≺.定义1.4[5]设L1和L2是两个F格,X与Y是两个非空分明集,p:X→Y是分明映射,q:L1→L2是序同态.则由p,q按下列方式诱导出一个从L X1到L Y2的函数f:L X1→L Y2,f(A)(y)=∨p(x)=yq(A(x)),A∈L X1,y∈Y则称f为广义Zadeh型函数,并记为f=p q.2ω-紧性定义2.1设(L X,Ω)为L-保序算子空间,α∈M(L),G∈L X,Φ⊂ωO(L X).若∀x∈X,xα⊀G ,有xα≺∨A∈ΦA,则称Φ是G的一个Hα-ω-开覆盖.显然,Φ是G的Hα-ω-开覆盖当且仅当∀x∈X,α≺G (x)∨(∨A∈ΦA(x)).定义2.2设(L X,Ω)为L-保序算子空间,G∈L X.如果∀α∈M(L),G的每个Hα-ω-开覆盖都有有限子族构成G的Hα-ω-开覆盖,则称G为ω-紧集.若G=1X,则称(L X,Ω)为ω-紧空间.定理2.1L-保序算子空间(L X,Ω)中,G是ω-紧的,H是ω-闭集,则G∧H是ω-紧的.证明设∀α∈M(L),Φ是G∧H的Hα-ω-开覆盖,则Φ∪{H }是G的Hα-ω-开覆盖.由G是ω-紧的知,Φ∪{H }有有限子族Ψ是G的Hα-ω-开覆盖.令Ψ1=Ψ−{H },则Ψ1是G∧H的Hα-ω-开覆盖.故G∧H是ω-紧的.定理 2.2设(L X1,Ω1)与(L Y2,Ω2)是L-保序算子空间,f:(L X1,Ω1)→(L Y2,Ω2)是(ω1,ω2)-连续的广义Zadeh型函数且q:L1→L2是一一的满序同态,且∀y∈Y,∃x∈p−1(y)使f(G)(y)=qG(x),G∈L X1.则当G是(L X1,Ω1)中的ω1-紧集时,f(G)是(L Y2,Ω2)中的ω2-紧集.证明设∀α∈M(L2),Φ是f(G)的一个Hα-ω2-开覆盖,则∀y∈Y,α≺f(G) (y)∨∨A∈ΦA(y)由f是广义Zadeh型函数及q:L1→L2是一一的满序同态可得,f(G) (y)=q(∧p(x)=yG (x)).故f(G) (y)∨∨A∈ΦA(y)=q∧p(x)=yG (x)∨(∨A∈Φqq−1A(y))=q∧p(x)=yG (x)∨(∨A∈Φq−1A(y))=q∧p(x)=yG (x)∨∨A∈Φf−1(A)(x)(*)从而由(*)式及引理1.3可知∀x∈X,q−1(α)≺G (x)∨∨A∈Φf−1(A)(x)392纯粹数学与应用数学第25卷这说明f−1(Φ)={f−1(A)|A∈Φ}是G的H q−1(α)-ω1-开覆盖.由G是ω1-紧的知,Φ有有限子族Ψ使f−1(Ψ)={f−1(A)|A∈Ψ}是G的H q−1(α)-ω1-开覆盖,即∀x∈X,q−1(α)≺G (x)∨∨A∈Ψf−1(A)(x)∀y∈Y,取x∈p−1(y)使f(G)(y)=qG(x),则q−1(α)≺G (x)∨∨A∈Ψf−1(A)(x)=G (x)∨∨A∈Ψq−1A(p(x))=q−1f(G) (y)∨∨A∈Ψq−1A(y)=q−1f(G) (y)∨(∨A∈ΨA(y))(**)故由(**)式和引理1.3可得,α≺f(G) (y)∨(∨A∈ΨA(y)).从而Ψ是f(G)的Hα-ω2-开覆盖.这就证明了f(G)是ω2-紧的.推论 2.1设(L X,Ω1)与(L Y,Ω2)是L-保序算子空间,f:(L X,Ω1)→(L Y,Ω2)是(ω1,ω2)-连续的L值Zadeh型函数且∀y∈Y,∃x∈f−1(y)使f(G)(y)=G(x),G∈L X.则当G是(L X,Ω1)中的ω1-紧集时,f(G)是(L Y,Ω2)中的ω2-紧集.定理2.3设(L X,ωL(∆))是由ω-保序算子空间(X,∆)拓扑生成的L-保序算子空间,则(L X,ωL(∆))是ω-紧的当且仅当(X,∆)是ω-紧的.证明充分性.设∀α∈M(L),Φ是1X的Hα-ω-开覆盖,则∀x∈X,∃A∈Φ使α≺A(x).故Φ(α)={A(α)|A∈Φ}是(X,∆)的ω-开覆盖.由(X,∆)是ω-紧的知,Φ有有限子族Ψ使Ψ(α)={A(α)|A∈Ψ}是(X,∆)的ω-开覆盖.故∀x∈X,∃A∈Ψ使x∈A(α),即α∈β(A(x)).从而α≺∨A∈ΨA(x),于是Ψ是1X的Hα-ω-开覆盖.这就证明了(L X,ωL(∆))是ω-紧的.必要性.设U是(X,∆)的一个ω-开覆盖,则∀α∈β∗(1),{χA|A∈U}是1X的Hα-ω-开覆盖.由(L X,ωL(∆))是ω-紧的知,U有有限子族V使{χA|A∈V}是1X的Hα-ω-开覆盖,则∀x∈X,∃A∈V使α≺χA(x),故x∈A.从而V是X的ω-开覆盖.这就证明了(X,∆)是ω-紧的.3Tychonoff乘积定理定理3.1设∀a,b∈L,β(a∧b)=β(a)∩β(b), 是(L X,Ω)的ω-子基,G∈L X.若∀α∈M(L),G的每个由 中的元组成的Hα-ω-开覆盖都有有限子族构成G的Hα-ω-开覆盖,则G 是ω-紧的.证明只须证G的每个Hα-ω-开覆盖都有有限子族构成G的Hα-ω-开覆盖.若不然,设Φ是G的Hα-ω-开覆盖且Φ的每个有限子族都不是G的Hα-ω-开覆盖.令Γ={P|Φ⊂P⊂ωO(L X)且P的每个有限子族都不是G的Hα-ω-开覆盖}则(Γ,⊂)是一非空偏序集且每个链有上界,故由Zorn引理,Γ有极大元B,且B满足下列条件:(1)B是G的Hα-ω-开覆盖;(2)∀B∈ωO(L X),若C∈B且C≥B,则B∈B;(3)若B,C∈ωO(L X),B∧C∈B,则B∈B或C∈B.第2期韩红霞等:L-保序算子空间的ω-紧性393以下只证(3).若B/∈B且C/∈B,则由B是极大元知,{B}∪B/∈Γ,{C}∪B/∈Γ,故∃A1,A2,···,A m+n∈B使∀x∈X,则α≺(G ∨A1∨A2∨···∨A m∨B)(x)α≺(G ∨A m+1∨A m+2∨···∨A m+n∨C)(x)令A=A1∨A2∨···∨A m+n,则∀x∈X,α≺(G ∨A∨B)(x),α≺(G ∨A∨C)(x)故α≺(G ∨A∨(B∧C))(x).从而B∧C/∈B.这与B∧C∈B矛盾.因此条件(3)成立.结合(2)及(3)知,若D∈B,P1,P2,···,P n∈ωO(L X)且D≥n∧i=1P i,则存在1≤i≤n使P i∈B.易知, ∩B不是G的Hα-ω-开覆盖.若不然,则 ∩B有有限子族Ψ是G的Hα-ω-开覆盖,显然Ψ也是B的有限子族,这与B的含义矛盾.故存在x∈X使α⊀G (x)∨(∨A∈ ∩BA(x)).由(1),B是G的Hα-ω-开覆盖,则∀x∈X,∃D∈B使α≺G (x)∨D(x).又D=∨i∈I∧j∈J iA ij,其中∀i∈I,J i有限且A ij∈则∃i∈I使α≺G (x)∨(∧j∈J i A ij(x)).故∀j∈J i,α≺G (x)∨A ij(x).而由D≥∧j∈J iA ij知存在j∈J i使A ij∈B.这与α⊀G (x)∨(∨A∈ ∩BA(x))矛盾.定理3.2设∀a,b∈L,β(a∧b)=β(a)∩β(b),(L X,Ω)是L-保序算子空间族{(L X i,Ωi)}i∈I 的积空间.若∀i∈I,G i在(L X i,Ωi)中是ω-紧的,则G=i∈IG i在(L X,Ω)中是ω-紧的.证明设 ={P−1i(D i)|D i∈ωO(L X i),i∈I}是(L X,Ω)的一个ω-子基且∀α∈M(L),Φ⊂ 是G的Hα-ω-开覆盖.令Φ=∪i∈J Φi,其中J⊂I,Φi={P−1i(B i)|B i∈B i⊂ωO(L X i)}则∀x∈X,α≺G (x)∨∨A∈ΦA(x)=G (x)∨∨i∈J∨A∈ΦiA(x)(1)若∃i∈I使∀x i∈X i,α≺G i(x i),则由G(x)=∧i∈IG i(x i)知,∀x∈X,α≺G (x).故Φ的每个有限子族都是G的Hα-ω-开覆盖.(2)若∀i∈I,∃x i∈X i使α⊀G i(x i),则∃k∈J使B k是G k的Hα-ω-开覆盖.若不然,设∀i∈J,B i不是G i的Hα-ω-开覆盖,则∃y i∈X i使α⊀G i(y i)∨(∨B∈B iB(y i)).令z={z i}i∈I,z i=y i,i∈Jx i,i/∈J则由G (z)=∨i∈I G i(z i)=∨i∈JG i(y i)∨∨i/∈JG i(x i)394纯粹数学与应用数学第25卷知,α⊀G (z).又∀i∈J,α⊀∨B∈B i B(y i)=∨B∈B iP−1i(B)(z)=∨A∈ΦiA(z)故α⊀∨i∈J (∨A∈ΦiA(z)),从而α⊀G (z)∨(∨A∈ΦA(z))这与∀x∈X,α≺G (x)∨(∨A∈ΦA(x))矛盾,故∃k∈J使B k是G k的Hα-ω-开覆盖.由G k是ω-紧的知,B k有有限子族Ψk是G k的Hα-ω-开覆盖.下证{P−1k (Ψk)}={P−1k(D)|D∈Ψk}是G的Hα-ω-开覆盖.事实上,若∀x∈X,α⊀G (x),则α⊀Gk(P k(x)).因此α≺∨D∈Ψk D(P k(x))=∨D∈ΨkP−1k(D)(x)这说明{P−1k(Ψk)}是G的Hα-ω-开覆盖.定理 3.3设∀a,b∈L,β(a∧b)=β(a)∩β(b),(L X,Ω)是{(L X i,Ωi)}i∈I的积空间,则(L X,Ω)是ω-紧的当且仅当∀i∈I,(L X i,Ωi)是ω-紧的.4ω-紧性的网式刻画定义4.1设S={S(n)|n∈D}是L X中的分子网,G∈L X.如果∀n∈D,S(n)⊀G ,则称S弱拟重于G.定义4.2设(L X,Ω)为L-保序算子空间,e∈M∗(L X),U∈ωO(L X).如果e≺U,则称U是e的一个强ω-开邻域.定义 4.3设(L X,Ω)为L-保序算子空间,S={S(n)|n∈D}是L X中的分子网, e∈M∗(L X).若对e的每一个强ω-开邻域U及每一个m∈D,存在n∈D且n≥m 使S(n)≺U,则称e为S的一个Nω-聚点.定理4.1设(L X,Ω)为L-保序算子空间,G∈L X.则G在(L X,Ω)中是ω-紧的当且仅当∀α∈M(L),每个弱拟重于G的常值α-网都有Nω-聚点xα⊀G .证明必要性.设∀α∈M(L),S={S(n)|n∈D}是弱拟重于G的常值α-网.若S没有Nω-聚点xα⊀G ,则对每个xα⊀G ,存在xα的强ω-开邻域U x和n x∈D 使∀n≥n x,S(n)⊀U x.令Φ={U x|xα⊀G },则Φ是G的Hα-ω-开覆盖.由G是ω-紧的知,Φ有有限子族Ψ={U x i|i=1,2,···,k}是G的Hα-ω-开覆盖.又D是定向集,故∃n0∈D使对1≤i≤k有n0≥n x i.这样,∀n≥n0,S(n)⊀k∨i=1U x i.这与Ψ是G的Hα-ω-开覆盖矛盾.充分性.设∀α∈M(L),Φ是G的一个Hα-ω-开覆盖.若Φ的任何有限子族都不是G的Hα-ω-开覆盖,则对Φ的每个有限子族Ψ,存在S(Ψ)∈M∗(L X)且V(S(Ψ))=α使S(Ψ)⊀G ∨(∨Ψ).令S={S(Ψ)|Ψ是Φ的有限子族},则S是一个弱拟重于G的常值α-网,故S有Nω-聚点xα⊀G .从而对Φ的每个有限子族Ψ,xα⊀∨Ψ(若xα≺∨Ψ,则由xα是Nω-聚点第2期韩红霞等:L-保序算子空间的ω-紧性395知S(Ψ)≺∨Ψ).特别地,对每个B∈Φ,xα⊀B.这与Φ是G的Hα-ω-开覆盖矛盾.因而G 是ω-紧的.定义 4.4[6]设α∈M(L),S={S(n)|n∈D}是L X中的分子网.若∃n0∈D 使∀n≥n0,V(S(n))≤α,则称S是L X中的α−-网.定理4.2G在(L X,Ω)中是ω-紧的当且仅当∀α∈M(L),每个弱拟重于G的α−-网都有Nω-聚点xα⊀G .证明充分性.显然成立.必要性.设∀α∈M(L),S={S(n)|n∈D}是弱拟重于G的常值α−-网,则∃n0∈D 使∀n≥n0,V(S(n))≤α.令E={n∈D|n≥n0}T={T(n)|n∈E,V(T(n))=α,且T(n)与S(n)的承点相同}则T是弱拟重于G的常值α-网.故由定理4.1知,T有Nω-聚点xα⊀G .易证xα也是S 的Nω-聚点.事实上,设U是xα的任一强ω-开邻域,则对每个m∈D,存在n∈D使n≥m 时有T(n)≺U.而S(n)≤T(n),故S(n)≺U.参考文献[1]陈水利,董长清.L-fuzzy保序算子空间[J].模糊系统与数学,2002,16(专辑):36-41.[2]黄朝霞.拓扑生成的Fuzzy保序算子空间的ω-分解定理及ω-连通性理论[J].模糊系统与数学,2004,18(专辑):180-183.[3]Liu Yingming,Luo Maokang.Separations in lattice-valued induced spaces[J].Fuzzy Sets and Systems,1990,36:55-66.[4]王戈平.完全分配格上的弱辅助序与广义序同态[J].数学季刊,1988,3(4):76-83.[5]He Wei.Generalized Zadeh function[J].Fuzzy Sets and Systems,1998,97:381-386.[6]Shi Fugui,Zheng Chongyou.O-convergence of fuzzy nets and its applications[J].Fuzzy Sets and Systems,2003,140:499-507.ω-compactness in L-order-preserving operator spacesHAN Hong-xia1,MENG Guang-wu2(1.Department of Applied Mathematics,Yuncheng College,Yuncheng,044000,China;2.School of Mathematics Science,Liaocheng University,Liaocheng,252059,China)Abstract:Theω-compactness of L-order-preserving operator spaces is discussed.By means of Hα-ω-open cover,the notion ofω-compactness of L-order-preserving operator spaces is introduced.It is proved that the intersection of aω-compact L-set and a closed L-set isω-compact,thatω-compactness is preserved by continu-ously generalized Zadeh functions,thatω-compactness is an L-good extension,and that the TychonoffTheorem forω-compactness is true.Moreover,ω-compactness can also be characterized by nets.Keywords:L-order-preserving operator spaces,Hα-ω-open cover,ω-compactness2000MSC:54A40L-保序算子空间的ω-紧性作者：韩红霞， 孟广武， HAN Hong-xia， MENG Guang-wu作者单位：韩红霞,HAN Hong-xia(运城学院应用数学系,山西,运城,044000)， 孟广武,MENG Guang-wu(聊城大学数学科学学院,山东,聊城,252059)刊名：纯粹数学与应用数学英文刊名：PURE AND APPLIED MATHEMATICS年，卷(期)：2009,25(2)被引用次数：1次参考文献(6条)1.陈水利.董长清L-fuzzy保序算子空间 2002(专辑)2.黄朝霞拓扑生成的Fuzzy保序算子空间的ω-分解定理及ω-连通性理论[期刊论文]-模糊系统与数学 2004(专辑)3.Liu Yingming.Luo Maokang Separations in lattice-valued induced spaces 19904.王戈平完全分配格上的弱辅助序与广义序同态 1988(04)5.He Wei Generalized Zadeh function[外文期刊] 19986.Shi Fugni.Zheng Chongyou O-convergence of fuzzy nets and its spplications[外文期刊] 2003引证文献(1条)1.艾姣.马保国.吴利飞.武妍Lω-空间的相对ωδ-紧性[期刊论文]-延安大学学报（自然科学版） 2010(3)本文链接：/Periodical_ccsxyyysx200902029.aspx。