复变函数4-2
(word完整版)复变函数教案第四章
章节名称:第四章 级数 学时安排：12学时教学要求：使学生掌握复数列、复变函数项级数、幂级数等概念，以及复数列和幂级数的收敛和发散的判定方法。
教学内容：复数列、复变函数项级数、幂级数等概念,以及复数列和幂级数的收敛和发散的判定 教学重点：幂级数的研究 教学难点：幂级数收敛圆 教学手段：课堂讲授 教学过程： §1、复数项级数 1,复数列的极限：1）定义:设),2,1}({ =n n α为一复数列，其中n n n ib a +=α,又设ib a +=α为一确定的复数。
如果任意给定0>ε，相应地能找到一个正数)(εN ,使εαα<-n 在N n >时成立，那么α称为复数列),2,1}({ =n n α在∞→n 时的极限.记作αα=∞→n n lim 。
也称复数列),2,1}({ =n n α收敛于ib a +=α。
2）定理1：复数列),2,1}({ =n n α收敛于ib a +=α的充要条件是a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim2，级数的概念：1）设),2,1}({}{ =+=n ib a n n n α为一复数列，表达式++++=∑∞=n n nαααα211称为无穷级数，其最前面n 项的和n n s ααα+++= 21称为级数的部分和。
2）如果部分和数列}{n s 收敛，那么级数∑∞=1n n α称为收敛。
并且极限s s n n =∞→lim 称为级数的和；如果数列}{n s 不收敛，那么级数∑∞=1n n α称为发散。
3）定理2:级数∑∞=1n n α收敛的充要条件是级数∑∞=1n n a 和级数∑∞=1n n b 都收敛。
注意：定理2将复数项级数的收敛问题转化为实数项级数的收敛问题，而由实数项级数∑∞=1n n a 和∑∞=1n nb收敛的必要条件0lim =∞→n n a ，0lim =∞→n n b可得0lim =∞→n n α，从而推出复数项级数∑∞=1n n α收敛的必要条件是0lim =∞→n n α4)定理3：如果∑∞=1n n α收敛,那么∑∞=1n n α也收敛，且不等式≤∑∞=1n n α∑∞=1n nα成立.注意：a)如果∑∞=1n n α收敛,那么称∑∞=1n n α为绝对收敛；非绝对收敛的收敛级数为条件收敛。
第01章_复变函数
a ib
a cos cos(2 ) cos(3 ) cos( n )
sin(n 1/ 2) sin( / 2) 2sin( / 2)
b sin sin(2 ) sin(3 ) sin(n )
WangChengyou © Shandong University, Weihai
(cos isin ) e i
1 i i cos (e e ) 2
(二) 无限远点 N 无限远点 A z S
1 i i sin (e e ) 2i
黎曼(Riemann) 复数球 球面
有限远点
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第1章 复变函数
17
ei /2 (ei( n 1/2) ei /2 ) W i /2 i /2 i /2 e (e e )
cos(n 1/ 2) i sin(n 1/ 2) cos( / 2) i sin( / 2) 2i sin( / 2)
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第1章 复变函数
14
例：计算 W a ib 解：令 z a ib z (cos i sin )
z a 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
1/2
W a ib z (cos i sin )
Argz
x
y
Argz 2kπ
(k 0, 1, 2,)
r
Argz
x
0 arg z 2π
复变函数课后部分答案
1 u v . 4
2 2
7.已知映射 z , 求：
3
2）区域0 arg z
解： 2）设z = re ,
3
3
在平面上的像。
i 3 3 3i
i
w (re ) r e ,
3 映成0 arg z .
映射 z 将区域0 arg z
8.下列函数何处可导？何处解析？ 1 ）f ( z) x2 yi; 3) f ( z) xy 2 ix 2 y;
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重， 相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
《复变函数》第3章
§1 复变函数积分的概念
一、定义 1. 有向曲线: C : z z (t ) x(t ) iy(t ) 选定正方向: 起点 终点 C + 简单闭曲线正方向: P 沿正向前进, 曲线 内部在左方. 2. 复变函数的积分:(P70定义)
f ( z )dz
c
2014-10-20
( n ) k 1
复 变 函 数（第四版）
第三章 复变函数的积分
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 复变函数积分的概念 柯西－古萨(Cauchy-Goursat)基本定理 基本定理的推广－复合闭路定理 原函数与不定积分 柯西积分公式 解析函数的高阶导数 解析函数与调和函数的关系
《复变函数》(第四版) 第1 页
2014-10-20
2014-10-20 《复变函数》(第四版) 第16页
条件放宽, C 为解析域 D 的边界. f (z)在D C D上连续 , 则 c f ( z )dz 0 例: 对任意 C .
c z
2
dz 0
c e dz 0 c sin z dz 0
2014-10-20 《复变函数》(第四版) 第17页
dz ire d i 2 dz ire c 0 n1 i ( n1) d n 1 ( z z0 ) r e i 2 i 0 n in d n r r e
2014-10-20 《复变函数》(第四版)
i
2 0
e in d
第7 页
( 接上页例 )
i [v( k ,k )xk u( k ,k )yk ] .
k 1
《复变函数》(第四版) 第3 页
n
2014-10-20
复变函数复习资料
复变函数复习资料复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复数变量和复数值的函数。
复变函数的研究对于数学的发展和应用有着重要的意义。
在这篇文章中，我将为大家提供一些复变函数的复习资料，希望对大家的学习有所帮助。
一、复变函数的基本概念复变函数是指定义在复数域上的函数，它的自变量和因变量都是复数。
复变函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy，u(x,y)和v(x,y)分别是实部和虚部函数。
复变函数的导数和积分也有相应的定义，与实数函数的导数和积分有一些不同之处。
二、复变函数的解析性与调和性复变函数的解析性是指函数在某个区域内处处可导，它是复变函数的重要性质。
根据柯西—黎曼方程，只有满足一定条件的函数才能是解析函数。
解析函数具有很多重要的性质，例如它的实部和虚部都是调和函数，它的导数也是解析函数。
三、复变函数的级数表示复变函数可以用级数表示，这是复变函数研究中常用的一种方法。
泰勒级数是复变函数的一种重要的级数表示形式，它可以将函数展开成一系列幂函数的和。
而洛朗级数则是将函数展开成一系列幂函数和互补幂函数的和，适用于具有奇点的函数。
四、复变函数的积分复变函数的积分是复分析中的重要内容，它与实数函数的积分有一些不同之处。
复变函数的积分可以沿着一条曲线进行，这就是复积分的概念。
复积分有一些重要的性质，例如柯西—黎曼积分定理和柯西公式等，它们在复分析中有着广泛的应用。
五、复变函数的应用复变函数在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
它可以用来描述电磁场、流体力学和信号处理等问题。
复变函数的解析性和级数表示等性质使得它在实际问题的求解中具有很大的优势。
总结：复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复数变量和复数值的函数。
复变函数的解析性、级数表示和积分等性质是复变函数研究的核心内容。
复变函数在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
希望通过这些复习资料，能够帮助大家更好地理解和掌握复变函数的知识。
复变函数第4章
《复变函数》(第四版) 第4章
第19页
[证]
因
cn
z0n收
敛,
则
lim
n
cn
z0n
0,
n0
则存在M使对所有的n有 | cnz0n | M
如果
|
z
||
z0
|,
则
|z| | z0 |
q
1,
而
n
|
cnzn
||
cn z0n
|
z z0
Mq n
2024/4/4
《复变函数》(第四版) 第4章
第20页
n
|
i )n 2
5 (cos
2
i sin )n
2 5
n
cos(n
)
i
sin(
n
)
|n |
n1
n1
2 n
5
收敛.
(公比 |q | < 1)
∴ 原级数绝对收敛.
2024/4/4
《复变函数》(第四版) 第4章
第12页
解: 3)
|n |
(1 i)n ( 2 )n cos in
( 2)n ( 2 )n cos in
1 2
| z |2
2024/4/4
《复变函数》(第四版) 第4章
第35页
当 1 | z |2 1, 即| z | 2时, 原级数绝对收敛. 2
当 1 | z |2 1, 即| z | 2时, 原级数发散. 2
故 原级数收敛半径 R 2.
注: 求形如 n z2n 或 n z2n1 (n 0 )
1 chn
en
2 en
2 en
而
复变函数4章幂级数
则存在M 使对所有的n有 | c z | M
n n 0
|z| 如果 | z || z0 |, 则 q 1, | z0 |
z 而 | cn z || cn z | z0
n n 0 n
Mq
n
7
z n | cn z || c z | Mq z0
中心的圆域. 对幂级数(4.2.2)来说, 收 敛范围是以z=a为中心的圆域. 在收敛
圆上是否收敛, 则不一定.
12
例1 求幂级数
z
n 0
n
1 z z z
2 n
的收敛范围与和函数.
[解] 级数实际上是等比级数, 部分和为
sn 1 z z
2
1- z z , ( z 1) 1- z
称为这级数的部分和.
3
如果对于D内的某一点z0, 极限
lim sn ( z0 ) s( z0 )
n
存在, 则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛, 而s(z0) 称为它的和. 如果级数在D内处处收敛, 则它的和 一定是z的一个函数s(z): s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...
处处收敛 , 即 R=. 如果 =+, 则对复平 面内除 z=0 外的一切 z, 级数 收敛, 因此
n0
n0
都不
cn z n
也不能收敛, 即 R=0.
18
定理三 (根值法 ) 敛半径 R
1
如果 n
lim n | c n | 0
, 则收
.
19
复变函数课后习题答案(全)
精心整理页脚内容习题一答案1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+（2）(1)(2)i i i --（3）131i i i--（4）8214i i i -+-132i-（（（2（（（2）1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+....3． 求下列各式的值： （1）5)i -（2）100100(1)(1)i i ++-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-（5（6解：（1）5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+- （2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- （5=（6=4．设12 ,z z i ==-试用三角形式表示12z z 与12z z 解：12cossin, 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+，5． 解下列方程： （1）5()1z i +=（2）440 (0)z a a +=>解：（1）z i +=由此25k i z i ei π=-=-，(0,1,2,3,4)k =（2）z==精心整理页脚内容11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4个根分别为：), 1), 1), )i i i i +-+--- 6． 证明下列各题：（1）设,zx iy =+z x y≤≤+证明：首先，显然有z x y =≤+；（=（1n a z -++证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，()n z ，10n a z -+++=为实系数代数方程的一个根，则也是。
923861-复变函数-4-2
23
3. 复变幂级数在收敛圆内的性质
定理四 设幂级数 cn(z z0 )n 的收敛半径为 R,
n0
那末
(1) 它的和函数 f (z) cn(z a)n 是收敛圆
n0
z a R 内的解析函数 .
(2) f (z) 在收敛圆 z a R 内的导数可将其幂
级数逐项求导得到, 即 f (z) ncn(z a)n1.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
7
2. 收敛圆与收敛半径 幂级数的收敛范围是一个圆域，级数在圆内绝
对收敛，在圆外发散。 该圆称为幂级数的收敛圆， 该圆的半径称为幂级数的收敛半径。
对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种: (1) 对所有的正实数都收敛.
由阿贝尔定理知: 级数在复平面内处处绝对收敛.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
25
例5 求级数 (n 1)zn 的收敛半径与和函数.
n0
解 因为 lim cn1 lim n 2 1, n cn n n 1
利用逐项积分,得:
所以 R 1.
z
(n 1)zndz
z
(n
1) z ndz
zn1
z
.
0 n0
0 n0
n0
1 z
所以
)dz z
1
cz
dz
c1
1
z
dz
2i 0 2i.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
27
五、小结与思考
这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定 理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级 数的运算性质.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
28
思考题
幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?
复变函数第四版(第四章)
1 n 1) a n 1 e ; n
i
2) a n n cos in
}
[解] 1) 因
1 n 1 a n 1 e 1 cos i sin n n n n 1 1 an 1 cos , bn 1 sin . n n n n lim an 1, lim bn 0
第4章
级数
§4.1 复数项级数 §4.2 幂级数 §4.3 泰勒级数 §4.4 洛朗级数
}
n
n
n
任意给定e>0, 相应地能找到一个正数N(e), 使|an-
a|<e在n>N时成立 则a称为复数列{an}当n时的 §4.1 ,复数项级数
极限, 记作
lim a n a
n
此时也称复数列{an}收敛于a.
(-1) n n n 1
(8i ) 8 , 由正项级数的比值审敛法知 n! n!
故原级数收敛 . 但因 n n
}
§4.2 幂级数
1. 幂级数的概念 设{fn(z)}(n=1,2,...)为一复变函数 序列,其中各项在区域D内有定义.表达式
f
n 1
n
( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z ) (4.2.1)
z
n
在圆 |
1
内收敛.
}
再证当
| z |
| z |
1
时, 级数
n0
cn z n
发散. 假设在
n0
圆 收敛. 在圆外再取一点 z1, 使|z1|<|z0|, 那么根据阿
复变函数2
e e . iazibsin z
ay b c os xshy
2020/1/24
第一章 复变函数2
13
例6. 求解方程 sinz＝2 [参看梁书P9,习题3]
解： sin z sinxchy i cosxshy
1 2
sin x(ey
ey ) i cosx(ey
第一章 复变函数2
5
说明
柯西－黎曼条件是复变函数可导的必要条件:
不满足柯西－黎曼条件的复变函数必定 不可导。例如连续的函数w=Rez=x.
满足柯西－黎曼条件的复变函数不一定可导。例 如函数
f (z)
Re z Im z
i
xy , | xy |,
第I、III象限 （xy 0） 第II、IV象限（xy 0）
第一章 复变函数2
10
例题与习题
例1：求Lni=?
解: 因为i＝ei/2，所以 Lni=ln1+ (/2+2k)i= (/2+2k)i , k为整数.
例2：求i i=? 解: ii=eiLni=ei(/2+2k)i=e-(/2+2k), k为整数.
同理可求 i i i1/i ii eiLni e /22k .
复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点z=x+iy可导 的充分必要条件是
(1) 偏导数 u , u , v , v 在(x, y)点处存在，且连续； x y x y
（2）复变函数在 (x, y)点处满足C R条件.
证明：由于二元函数的偏导数存在且连续，则有
u
f '(z) u i v v i u . x x y y
复变函数复习
不考内容《复变函数》第一章：§复球面§区域§5 第二部分：映射的概念§6 复变函数的极限与连续性第四章§1 复数项级数第五章§3 留数在定积分上的应用、《积分变换》第一章：傅立叶变换第二章：§4 卷积注意：第二章一般不算积分，除了周期函数的公式以外。
复变函数复习第一章 复数与复变函数1.复数的表示(1)复数的代数表示:复数z = x + i y ,其中x,y 为实数.(2)复数的几何表示:复数z = x + i y 可以用xy 平面上的点P(x,y)来表示,因而也能用原点指向P 点的平面向量来表示.(3)复数的三角表示:复数()θθsin cos i r z += 复数的模 22y x r z +==复数的辐角Argz=θ, ()xyArgz tg = , 复数的辐角的主值argzArgz=argz+2k π(k 为整数). 规定-π＜argz ≤π当0=z 时,|z|=0,辐角没有意义.当∞=z 时,|z|=+∞,没有实部,虚部和辐角. argz(0≠z )与反正切xy Arctg 的主值x y arctg ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-22ππx y arctg 的关系：第一、四象限 xy arctg z =arg x ﹥0第二象限 π+=xyarctg z arg x ﹤0,y ﹥0第三象限 π-=xy arctg z arg x ﹤0,y ﹤0 正虚轴 2arg π=z x=0,y ﹥0 负虚轴 2arg π-=z x=0,y ﹤0负实轴 π=z arg x ﹤0,y=0(4)复数的指数表示：θi re z z =≠,0时2.复数的运算设z 1= x 1+iy 1=()111sin cos θθi r +, z 2 = x 2+iy 2()222sin cos θθi r +=(1)相等 z 1= z 2 ⇔ x 1=x 2 y 1=y 2 (2)加(减)法 z 1±z 2=(x 1±x 2)+i(y 1±y 2) (3)乘法 z 1z 2=(x 1x 2-y 1y 2)+i(x 2y 1+x 1y 2)()()[]212121)(21sin cos 21θθθθθθ+++==+i r r e r r i(4)除法222121z z z z z z ⋅⋅==22222121y x y y x x +++i 22222112y x y x y x +-()2121θθ-=i e r r )]sin()[cos(212121θθθθ-+-=i r r (z 2≠0)(5)乘幂 )sin (cos θθθn i n r e r z n in n n +==特别 |z|=1时, (cos θ+isin θ)n =cosn θ+isinn θ (棣莫弗公式) (6)方根,2sin 2cos1⎪⎭⎫⎝⎛+++=n k i n k r z n nπθπθ ()1,,2,1,0-=n k (7)共轭 z = x-iy=re -i θ , 21z z ±=1z 2z ±, 121z z z =2z , 2121z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ;z z = ; 22y x z z += ; x z z 2=+, iy z z 2=- .注意:(1)在复数的运算中,除加减法用代数表示较方便外,其它运算宜采用三角表示,特别是用指数表示最方便.(2)关于复数的模与辐角有以下计算公式:2121z z z z ⋅= ,()2121Argz Argz z z Arg +=2121z z z z = , Arg ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21z z =21Argz Argz - (z 2≠0) 3.复变函数的概念复变函数的定义,极限,连续以及导数等概念在形式上几乎与实变函数完全相同.但需注意的是,复变函数的定义域是复平面上的点集,因此在讨论有关概念时,应注意复变量z 变化方式的任意性,即z →z 0可以以任意方式(直线,曲线…),而一元实变函数中实变量x →x 0只能沿x 轴.4.简单曲线是研究复变量的变化范围时经常用到的重要概念之一,特别是简单闭曲线经常作为区域的边界出现.在复变函数的积分运算中,常常需要把曲线表示为复参量的形式,通常用得最多的是一元实参量t 的复值函数 z=z(t)=x(t)+iy(t) (α≤t ≤β) 其中 x=x(t), y=y(t) (α≤t ≤β) 是该曲线在直角坐标系中的参数方程.第二章 解析函数1. 复变函数的导数(1)定义 函数w = f (z)在其定义域D 内一点z 0处(可导)的导数()()()()()000000000limlim lim z z z f z f z z f z z f z wdzdwz f z z z z z z --=∆-∆+=∆∆=='→→∆→∆= 若函数w = f (z)在区域D 内处处可导,称 f (z)在D 内可导. (2) f(z)在z 0可导连续(3)求导法则 若f(z),g(z)在点z 可导,则()1-='b bbzz(b 为复数);()()[]()()z g z f z g z f '±'='±; ()()[]()()()()z g z f z g z f z g z f '+'=';()()()()()()()[]z g z f z g z f z g z g z f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,()0≠z g .()[]{}()()z g w f zg f ''=',其中 ()z g w = . ()()w z f ϕ'='1,其中()z f w =与()w z ϕ=是两个互为反函数的单值函数,且 ()0≠'w ϕ. 2.解析函数(1)定义 如果函数f(z)在z 0及z 0的邻域内处处可导,那末称f(z)在z 0解析.如果f(z)在z 0不解析,则称z 0为f(z)的奇点. 如果f(z)在区域D 内每一点解析,那末称f(z)在D 内解析,或称f(z)是D 内的一个解析函数.(2)性质 两个解析函数的和,差,积,商(分母不为零)及复合函数仍然解析 有理分式函数)()(z Q z P 在复平面内除了使分母为零的点外处处解析 (3)柯西-黎曼方程 (C-R 方程)函数()()()y x iv y x u z f ,,+=在定义域D 内(解析)一点iy x z +=可导⇔u(x,y)与v(x,y)在(D 内)点(x,y)可微,并且满足C-R 方程 yv x u ∂∂=∂∂,x v y u ∂∂-=∂∂.推论 若f (z)在z 处可导, 则 ()yui y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=' . 3.初等函数 定义 定义区域 单值多值性 解析区域 (1) 对数函数Lnz=lnz+2 kπi 整个复平面 多值 整个复平面iArgz z Lnz +=ln (z0) (除原点和负实轴)(k=0,±1,±2,…) 主值分支z i z z arg ln ln +=(2)乘幂 a b = e bL n a =e blna+2bki多值(k=0,±1,±2,…) 主值分支e b l n ab 为正整数n 单值 整个复平面nb 1= n 个分支 (除原点和负实轴)定义 定义区域 解析区域 单值多值性 基本周期 奇偶性(3)指数函数 e z(4)双曲函数2zz e e chz -+=2i 偶2zz e e shz --=整个复平面 单值 奇(5)三角函数2cos iziz e e z -+=2偶ie e z iziz 2sin --= 奇第三章 复变函数的积分1.积分的计算 ()()[]()t d t z t z f z d z f C '=⎰⎰βα光滑曲线C 参数方程: ()()()βα≥≤+==t t iy t x t z z ,, 正向t 增加()⎰+-Cn z z dz10⎩⎨⎧≠==0002n n i πC 是包围z 0的任何一条正向简单闭曲线2.积分的性质 f(z),g(z)沿曲线Ｃ连续(1) ()()dz z f dz z f C C ⎰⎰-=- ; (2) ()()dz z f k dz z kf C C ⎰⎰=;(k 为常数) (3) ()[()]()()dz z g dz z f dz z g z f C C C ⎰⎰⎰±=±(4)设曲线C 的长度为L,函数f(z)在C 上满足()M z f ≤,那末()()ML ds z f dz z f C C ≤≤⎰⎰.3.柯西-古萨基本定理 如果函数f(z)在单连域B 内处处解析，那末函数f(z)沿B 内任何一条封闭曲线C 的积分为零: ()0=⎰dz z f C.推广:(1)闭路变形原理 在区域内的—个解析函数f(z)沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变其值,只要在变形过程中曲线不经过f(z)的奇点.(2)复合闭路定理 设C 为多连域D 内的一条简单闭曲线，C 1，C 2，…，C n 是在C 内部的简单闭曲线,它们互不包含也互不相交,并且以 C ，C 1，C 2，…，C n 为边界的区域全含于D.如果f(z)在D 内解析,那末1) ()()dz z f dz z f nk C CK∑⎰⎰==1 ,其中C 及C k 均取正向.2) 0)(=⎰Γdz z f ,这里г为由C 及C k ―（k=1，2，…，n ）所组成的复合闭路,其方向是:C 逆时针，C k ―顺时针. 推论:(1) ()()dz z f dz z f Z Z C ⎰⎰=10,Ｃ是连结z 0与z 1的任一曲线.(2)函数()()ςςd f z F ZZ ⎰=0必为B 内的—个解析函数,并且()()z f z F ='.5.原函数 如果在区域B 内φ/(z)=f(z),那末φ(z)称为f(z)在区域B 内的原函数不定积分 ()()c z dz z f +=⎰ϕ ,其中ｃ为任意复常数.()()()0110z z dz z f Z Z ϕϕ-=⎰,其中z 0 ,z 1是B 内任意两点6.柯西积分公式 如果f(z)在区域D 内处处解析,C 为D 内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z 0为C 内的任一点,那末()()dz z z z f i z f C ⎰-=0021π 解析函数f(z)的导数仍为解析函数,上式两边形式上对z 0求n 阶导数得到高阶导数公式 ()()()()dz z z z f i n z fC n n ⎰+-=1002!π . 7.调和函数 如果二元实变函数φ(x,y)在区域D 内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程02222=∂∂+∂∂yxϕϕ,那末称φ(x,y)为区域D 内的调和函数任何在区域D 内解析的函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的实部和虚部都是D 内的调和函数,并且其虚部v(x,y)为实部u(x,y)的共轭调和函数. 8.已知实部或虚部求解析函数(1)偏积分法 如已知u(x,y),可利用柯西一黎曼方程 x u y v ∂∂=∂∂,将x 当成常数,对y 积分得 ()()x g dy xuy x v +∂∂=⎰,,再利用 x v y u ∂∂-=∂∂ 确定g(x). 也可以利用 yux v ∂∂-=∂∂ ,将y 当成常数，对x 积分得()()y h dx yu y x v +∂∂-=⎰, ,再利用 y v x u ∂∂=∂∂ 确定h(y).(2)不定积分法 由于 ()xvi x u z f ∂∂+∂∂=', 利用柯西一黎曼方程得到 ()()z U yui x u z f =∂∂-∂∂=' ,则 ()()c dz z U z f +=⎰ .或 ()()z V xv i y v z f =∂∂+∂∂=' ,则 ()()c dz z V z f +=⎰ . 第四章 级数1.幂级数 形为()()()() +-++-+-+=-∑∞=n n n n n a z c a z c a z c c a z c 22100或 +++++=∑∞=n n n n n z c z c z c c z c 22100的级数称为幂级数.(1)阿贝尔定理 如果级数∑∞=0n n n z c 在()00≠=z z 收敛,那末对满足0z z <的z,级数必绝对收敛. 如果在0z z =级数发散,那末对满足0z z >的z,级数必发散.(2)对于幂级数()nn n a z c -∑∞=0或 ∑∞=0n n n z c ,存在以a 或0为中心,R 为半径的圆周C R .在C R 的内部,级数绝对收敛;在C R 的外部，级数发散.圆周C R 称为幂级数的收敛圆,收敛圆的半径R 称为收敛半径. 特别1)R=0,级数在复平面内除原点外处处发散2)R=∞,级数在复平面内处处收敛(3)对于幂级数∑∞=0n nn z c ,如果λ=+∞→nn n c c 1lim或λ=∞→n n n c lim 那末收敛半径 λ1=R .(包括R=0或R=)(4)在收敛圆内幂级数()n n n a z c -∑∞=0的和函数f(z)是解析函数.在收敛圆R a z <-内,式()()nn n a z c z f -=∑∞=0,可进行有理(加,减.乘法)运算,代换(复合)运算和微积分运算.2.泰勒级数 函数f(z)可在以展开中心z 0为圆心,z 0到f(z)的最近的一个奇点的距离为半径R=-z 0的解析圆域z-z 0<R 内展开为泰勒级数.()()()()n n n z z n z f z f 000!-=∑∞= 泰勒展开式具有唯一性,因此可以借助于一些已知函数的展开式,利用幂级数的有理(加,减.乘法)运算,代换(复合)运算和微积分运算来得出一个函数的泰勒展开式. 常用的已知函数的展开式为+++++=-nz z z z2111 , 1<z . ++++++=!!3!2132n z z z z e n z 3.洛朗级数 函数f(z)可在以展开中心z 0为圆心的解析的圆环域 R 1<z-z 0<R 2内展开为洛朗级数 ()()n n n z z c z f 0-=∑∞-∞=,其中 ()()() ,2,1,0.2110±±=-=⎰+n d z f i c C n n ςςςπ 这里C 为在圆环域内绕z 0的任何一条正向简单闭曲线.洛朗展开式具有唯一性,因此也可以借助于已知函数的展开式,利用幂级数的有理(加,减.乘法)运算,代换(复合)运算和微积分运算来得出一个函数的洛朗展开式.第五章 留数1.孤立奇点的概念和分类(1)定义 如果函数f(z)虽在z 0不解析，但在z 0的某一个去心邻域δ<-<00z z 内处处解析，则将z 0称为f(z)的孤立奇点.(2)孤立奇点的分类和判定z 0为f(z)的 ()z f z z 0lim → f(z)在z 0的去心邻域内的洛朗级数 可去奇点 存在且有限 没有负幂项 极点 ∞有限多个负幂项本性奇点不存在且不为∞ 无穷多个负幂项z 0是f(z)的m 级极点()()()z g z z z f m01-=⇔ ,其中g(z)是在δ<-0z z 内解析的函数，且 ()00≠z g .(3)函数的零点及其与极点的关系不恒等于零的解析函数f(z)如果能表示成 ()()()z z z z f m ϕ0-= 其中()z ϕ在z 0解析并且()00≠z ϕ,m 为某一正整数,那末z 0称为f(z)的m 级零点.如果f(z)在z 0解析，那末z 0为f(z)的m 级零点 ⇔ ()()()()()0,1,,2,1,0,000≠-==z f m n z f m nz 0是f(z)的m 级极点⇔z 0是()z f 1的m 级零点.如果()()()z h z g z f =,而z 0是g(z)的m 级零点,h(z)的n 级零点,那末z 0为()z f 1的(n-m)级零点,为f(z)的(n-m)级极点.(4)函数在无穷远点的性态如果函数f(z)在无穷远点∞=z 的去心邻域+∞<<z R 内解析，那末称点∞为f(z)的孤立奇点.f(z)在+∞<<z R 内的洛朗展开式 ()n n n nn n z c c zc z f ∑∑∞=-∞=-++=101其中 ()() ,2,1,0,211±±==⎰+n d f ic C n n ςςςπ,C 为+∞<<z R 内绕原点的任一正向简单闭曲线.洛朗级数 z=∞是f(z)的 ()z f z ∞→lim没有正幂项 → 可去奇点 ← 存在且有限 有限正幂项(最高m 次) → 极点(m 级) ← ∞ 无限正幂项 → 本性奇点 ← 不存在且不为∞ 2.留数与留数的计算(1)留数定义 如果z 0为f(z)的一个孤立奇点,C 是z 0的去心邻域R z z <-<00 内包围z 0的任意一条正向简单闭曲线,函数f(z)在此邻域内展开成洛朗级数 ()()n n n z z c z f 0-=∑∞-∞=, 则f(z)在z 0处的留数 ()[]()dz z f ic z z f s C⎰==-π21,Re 10 (2)留数定理 设函数f(z)在区域D 内除有限个孤立奇点n z z z ,,,21 外处处解析.C 是D 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那末()()[]∑⎰==nk k Cz z f s i dz z f 1,Re 2π(3)留数的计算1)可用洛朗级数计算 ()[]10,Re -=c z z f s当z 0为可去奇点时, ()[]0,Re 0=z z f s ;当z 0为本性奇点时,只能用此法, 2)当z 0为一级极点时, ()[])]()[(lim ,Re 000z f z z z z f s z z -=→若()()()z Q z P z f =，P(z)及Q(z)在z 0都解析，如果()(),0,000=≠z Q z P()00≠'z Q ，那末z 0为f(z)的一级极点，而 ()[]()()000,Re z Q z P z z f s '=. 3)如果z 0为f(z)的m 级极点,那末()[]()()(){}z f z z dzd m z z f s mm m z z 01100lim !11,Re --=--→4.无穷远点处的留数函数f(z)在圆环域+∞<<z R 内解析，C 为这圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线， f(z)在∞点的留数 ()[]()dz z f i z f s C ⎰-=∞π21,Re . 如果函数f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那末f(z)在所有各奇点（包括∞点）的留数的总和必等于零.()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞0,11Re ,Re 2z z f s z f s ])。
第一章复数与复变函数
iθ
结 束
15
第一章
复数与复变函数
第16页 16页
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.
1) z = − 12 − 2i; 2) z = sin + i cos . 5 5 解： 1) r =| z |= 12 + 4 = 4.
z在第三象限, 所以
3 5 −2 θ = arctan −π = arctan 3 −π = − 6π. − 12
第21页 21页
加减法与平行四边形法则的几何意义:
z1 + z2
z2
z2 − z1
z1
返回
结 束
21
第一章
复数与复变函数
第22页 22页
乘、除法的几何意义:
z1 = r1 e
iθ 1 ,
z 2 = r2 e
iθ 2
,
z1 z 2 = r1 r2 e
i (θ 1 + θ 2 )
,
z1 z 2 = r1 r2 = z1 z 2 Argz1 z 2 = A rg z1 + Argz 2
z 与x轴正向的夹角θ
记作Arg z=θ .
任何一个复数z≠0有无穷多个幅角,将满足
−π <θ0≤π 的θ0 称为 称为Arg z的主值 记作θ0=arg z .则 的主值, 的主值
Arg z=θ0+2kπ =arg z +2kπ (k为任意整数)
结 束
返回
12
第一章
复数与复变函数
第13页 13页
返回
结 束
8
第一章
复数与复变函数
第9页
§1.1 复数及其表示法
《复变函数》教案
《复变函数》教案一、教学目标1. 了解复变函数的基本概念，理解复数在复变函数中的重要性。
2. 掌握复变函数的极限、连续性、可导性、积分性等基本性质。
3. 学习复变函数的泰勒展开和洛朗展开，理解其应用。
4. 掌握复变函数的积分变换和积分解法，了解其应用。
5. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 复变函数的基本概念复数的概念复变函数的定义复变函数的图像2. 复变函数的极限与连续性极限的概念连续性的定义连续函数的性质3. 复变函数的可导性与积分性可导性的定义积分性的定义可导函数和积分函数的关系4. 复变函数的泰勒展开和洛朗展开泰勒展开的定义洛朗展开的定义泰勒展开和洛朗展开的应用5. 复变函数的积分变换和积分解法积分变换的定义积分解法的概念积分变换和积分解法的应用三、教学方法1. 采用讲授法，系统地介绍复变函数的基本概念和性质。
2. 利用图形和实例，帮助学生直观地理解复变函数的图像和应用。
3. 通过练习题和案例分析，巩固学生对复变函数的知识和运用能力。
4. 鼓励学生提问和参与讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
四、教学准备1. 教案、教材和相关参考资料。
2. 投影仪或黑板，用于展示图形和公式。
3. 练习题和案例分析题。
五、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的提问、回答问题和参与讨论的情况。
2. 作业和练习题的完成情况：评估学生对复变函数知识的掌握程度。
3. 案例分析报告：评估学生运用复变函数解决实际问题的能力。
4. 期末考试：全面测试学生对复变函数的理解和运用能力。
六、教学内容6. 复变函数的积分柯西积分定理柯西积分公式柯西积分公式的应用7. 复变函数的级数幂级数的概念幂级数的收敛性幂级数的应用8. 复变函数的变换分数线性变换Mobius变换共形映射的概念与应用9. 复变函数在复分析中的应用解析函数的概念解析函数的性质解析函数的应用10. 复变函数与现代数学的联系复变函数与其他数学分支的联系复变函数在物理学中的应用复变函数在工程学中的应用七、教学方法1. 采用讲授法，系统地介绍复变函数的积分、级数和变换等概念。
复变函数论第三版钟玉泉第一章
arctan
y,
x 0,
7
z
0
辐角的主值
arg z
π 2
,
(其中
2
arctan
y x
2 )aπr,ctan
x y π, x
x 0, y 0,
x 0, y 0, x 0, y 0.
2020/4/7
复变函数
华中科技大学数学与统计学院
3. 利用平行四边形法求复数的和差
两个复数的加减法运算与相应的y 向量的加减法运算一致.
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
推导过程如下:
(k 0,1,2, ,n 1)
设 z r(cos i sin ), w (cos i sin ),
根据棣莫佛公式,
wn n(cosn i sin n ) r(cos i sin ), 于是 n r, cosn cos , sin n sin ,
10
2020/4/7
复变函数
华中科技大学数学与统计学院
例1 求下列方程所表示的曲线:
(1) z i 2;(2) z 2i z 2;(3) Im(i z) 4.
解 (1) 方程 z i 2 表示所有与点i 距离为2的 点的轨迹.即表示中心为 i, 半径为 2 的圆.
设 z x iy, x ( y 1)i 2, x2 ( y 1)2 2,
11
2020/4/7
复变函数
华中科技大学数学与统计学院
四、复数的乘幂与方根 1.乘积与商 定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;
两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
从先几把何z1上按看逆,
《复变函数论》第四章
第四章 解析函数的幂级数表示方法第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是：111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数，,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。
按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列。
设0z 是一个复常数。
如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n ,那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作0lim z z n n =+∞→。
如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。
令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。
由不等式0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及容易看出，0lim z z n n =+∞→等价于下列两极限式： ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此，有下面的注解：注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。
注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z在这个邻域内。
注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。
定义4.1复数项级数就是12......n z z z ++++或记为1n n z +∞=∑，或n z ∑，其中n z 是复数。
定义其部分和序列为：12...n n z z z σ=+++如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作1nn zσ+∞==∑，如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。
复变函数 4-2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
7
2. 收敛圆与收敛半径 幂级数的收敛范围是一个圆域，级数在圆内绝
对收敛，在圆外发散。 该圆称为幂级数的收敛圆， 该圆的半径称为幂级数的收敛半径。
对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种: (1) 对所有的正实数都收敛.
由阿贝尔定理知: 级数在复平面内处处绝对收敛.
设 z 时,级数收敛; z 时,级数发散. 如图:
机动 目录 上页 下页 返回 结束
10
问题: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?
例如, 级数:
பைடு நூலகம்
R 均为1, 收敛圆周 z 1
zn 收敛圆周上无收敛点;
n0
zn
n0 n
zn n2
n0
在点z 1发散, 在z 1收敛;
在收敛圆周上处处绝对收敛.
n0
n0
f (z) g(z) anzn bnzn (an bn )zn ,
n0
n0
n0
zR
f (z) g(z) ( anzn ) ( bnzn ),
n0
n0
| z | min(r1,r2 )
(anb0 an1b1 a0bn )zn ,
zR
n0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
17
例2 把函数
1 表成形如 zb
cn(z a)n 的幂
n0
级数, 其中 a与b 是不相等的复常数 .
解
把函数
1 z b 写成如下的形式:
1 zb
(z
a)
1
(b
a
)
b
1
a
1
1 z
a
凑出 1
ba
复变函数2-4
＊第四节平面场的复势一、用复变函数表示平面向量场二、平面流速场的复势三、静电场的复势四、小结与思考２一、用复变函数表示平面向量场平面定常向量场:向量场中的向量都平行于某一个平面S , 而且在垂直于S 的任何一条直线上的所有点处的向量都是相等的; 场中的向量也都与时间无关.SS 显然, 向量场在所有平行于S 的平面内的分布情况是完全相同的, 可以用S o 平面内的场表示.３, 0xoy S 内取定一直角坐标系在平面o xyAyAxA .y x y x iA A A j A i A A +=+=为复数可表示向量r r r, 表示由于场中的点可用复数iy x z +=).,(),()( ),(),( y x iA y x A z A A j y x A i y x A A y x y x +==+=示为复变函数可表所以平面向量场rr r .),(),(,),(),( ,j y x v i y x u A y x iv y x u w rr r +=+=场可作出对应的平面向量也已知一个复变函数反之４例如, 一个平面定常流速场(如河水的表面)jy x v i y x v v y x r r r),(),(+=, ),(),()( 表示可以用复变函数y x iv y x v z v v y x +==平面电场强度向量为j y x E i y x E E y x rr r ),(),(+=.),(),()( 表示可以用复变函数y x iE y x E z E E y x +==二、平面流速场的复势1. 流函数::体的流速场想流是不可压缩的定常的理设向量场v r,),(),(j y x v i y x v v y x r r r+=. ),( ),( 都有连续偏导数与其中速度分量y x v y x v y x 如果它在单连域B 内是无源场(即管量场),,0div =∂∂+∂∂=y v x v v y x r 那末,yv x vy x ∂∂−=∂∂即流线,),( d d 的全微分为某个二元函数于是y x y v x v x y ψ+−.d d ),(d y v x v y x x y +−=ψ .,x y v yv x =∂∂−=∂∂ψψ,),( 1c y x =ψ因为等值线 0,d d ),(d =+−=y v x v y x x y ψ.d d xyv v x y =所以, ),( 1都与等值线相切上每一点处的向量在等值线场v c y x v r r =ψ. ),( 的流函数称为场函数v y x r ψ７2. 势函数: ),( 即势量场内的无旋场又是如果B v r ,0rot =v r 那么.0 =∂∂−∂∂y vx v x y 即, ),( d d 的全微分为某个二元函数于是y x y v x v y x ϕ+,d d ),(d y v x v y x y x +=ϕ., y x v yv x =∂∂=∂∂ϕϕ.grad v r =ϕ ).( ),( 或位函数的势函数称为场函数v y x rϕ等势线(或等位线)),( 2c y x =ϕ等值线８平面流速场的复势函数(复势)柯西–黎曼方程3. 平面流速场的复势函数:, , 是无旋场既是无源场又向量场内如果在单连域v B r,与x y v y v x =∂∂−=∂∂ψψ , , 同时成立y x v yv x =∂∂=∂∂ϕϕ , , x y y x ∂∂−=∂∂∂∂=∂∂ψϕψϕ比较后得在单连域内可以作一个解析函数).,(),()(y x i y x z f w ψϕ+==９y x iv v v += 因为y i x ∂∂+∂∂=ϕϕxi x ∂∂−∂∂=ψϕ,)(z f ′=. )( 表示可以用复变函数所以流速场z f v v ′=r给定一个单连域内的无源无旋平面流速场, 就可以构造一个解析函数——它的复势与之对应; 反之, 如果在某一区域(不管是否单连)内给定一个解析函数, 就有以它为复势的平面流速场对应, 并可以写出该场的流函数和势函数, 得到流线与等势线方程, 画出流线和等势线的图形, 即得描绘该场的流动图象.１０例１. ,)0( )( 数和势函数试求该场的速度、流函实常数为为设一平面流速场的复势>=a az z f 解,)( a z f =′因为,0)( >=′=a z f v 所以场中任一点的速度 .轴正向方向指向x,),( ay y x =ψ流函数; 1c y =流线是直线族,),( ax y x =ϕ势函数.2c x =等势线是直线族xyo流线876等势线例２., .) 0div , 0div (0div 并画出流动图象流速场的复势的定常试求由单个源点所形成的点为洞而使的点为源点有时称使源点的点统称为在《场论》中将散度<>≠v v v rr r解., ,远处保持静止状态在无穷而其他各点无源无旋点的源点内只有一个位于坐标原不妨设流速场v r 由对称性,,)( 00r r g v z =≠r 处的流速, 到原点的距离是其中z z r = , 0的向径上的单位向量是指向点z r . )(是一待定函数r g ,0zzr =因为流体不可压缩,,21内不可能积蓄心的圆环域流体在任一以原点为中r z r <<, 21的流量相等与所以流过圆周r z r z ==１３流过圆周的流量为∫=⋅=rz s r v N d 0r∫=⋅=rz s r r r g d )(00).(2z g z π= . 称为源点的强度N. 无关的常数是与r .2)( z N z g π=故z z z N v ⋅π=2 流速.12zN ⋅π=)( 的导数为复势函数z f )()(z v z f =′.12zN ⋅π=,Ln 2)( c z Nz f +π=复势函数为) (21复常数ic c c +=１４,ln p2),( 1c z Ny x +=ϕ于是势函数为.Arg p2),( 2c z Ny x +=ψ流函数为xyo)0(<N )0(>N xyo蓝色为等势线, 红色为流线.(流动图象如下)１５解例３. , , , . 0rot 并画出流动图象试求该流速场的复势态无穷远处保持静止状点面上仅在原点有单个涡设平的点称为涡点平面流速场中≠v r与例2类似,,)( 0τr h v z =r 的流速设场内某点 , 00垂直的单位向量处与是点r z τ. )(有关的待定函数是仅与z r r h =,0ziz=τ沿圆周的环流量为∫=⋅=Γrz sv d 0τr１６∫=⋅=rz s z h d )(ττ).(2z h z π= . 无关的常量是与r Γ . 称为涡点的强度Γ−i .2)(zz h πΓ=,12 zi v ⋅πΓ=流速,Ln 2)( c z iz f +πΓ=复势函数为) (21ic c c +=.ln p 2),( 2c z y x +Γ−=ψ流函数为,Arg p 2),( 1c z y x +Γ=ϕ于是势函数为对比例1和例2的结果,,1, iN 两者仅差因子外换成除了常数Γ因此,只须将例2图中流线与等势线位置互换, 即可得涡点所形成的场的流动图象.xyo)0(<Γxyo)0(>Γ蓝色为流线, 红色为等势线.三、静电场的复势.j E i E E y x rr r +=设平面静电场当场内没有带电物体时, 静电场无源无旋. 是无源场那末根据E ,),( d d 的全微分为某个二元函数于是y x u y E x E x y +−.d d ),(d y E x E y x u x y +−=,0div =∂∂+∂∂=yE x E v y x r１９与讨论流速场一样,,),( 1都与等值线相切向量上每一点处的在等值线静电场E c y x u E rr=就是说, 等值线就是向量线, 即场中电力线.. ),(的力函数称为场E y x u r是无旋场根据E ,),( d d 的全微分为某个二元函数于是y x v y E x E y x −−.d d ),(d y E x E y x v y x −−=,0rot n =∂∂−∂∂=yE x E v xy r ２０j yv i x v v r r r ∂∂+∂∂=grad j E i E y x r r −−=.E r−= ).( ),( 电势或电位的势函数是场所以E y x v r. ),( 2就是等势线或等位线等值线c y x v =:, 黎曼方程满足柯西和则内的无源无旋场是单连域如果−v u B E r. ,xvy u y v x u ∂∂−=∂∂∂∂=∂∂２１静电场的复势(复电位)在B 内可决定一个解析函数,)(iv u z f w +==xui x v E ∂∂−∂∂−= 可以用复势表示为场E r .)(z f i ′−= .i −的复势相差因子静电场的复势和流速场利用静电场的复势, 可以研究场的等势线和电力线的分布情况, 描绘出场的图象.２２例４.所产生的静电场的复势无限长直导线的均匀带电的为求一条具有电荷线密度L e 解oxy,0 平面处垂直于在原点设导线z z L =,dh h L 取微元段处上距原点为在hdh.d h e 则其带电量为因为导线为无限长, 因此垂直于xoy 平面的任何直线上各点处的电场强度是相等的.ox yhdh又因为导线上关于z 平面对称的两带电微元段所产生的电场强度的垂直分量相互抵消, 只剩下与xoy 平面平行的分量.故所产生的静电场为平面场.. j E i E E z y x rr r +=强度的电场先求平面上任一点由库仑定律,d 处产生的场强大小为在微元段z h ,d d 22hr h e E +=r . 22y x z r +==其中rEr Ed r •zt, 平面内在因为所求的电场强度z E r , d 影之和平面上投在微元所以其大小为所有场强z E r∫∞∞−+=,d cos 22h h r t e E r. o d 平面的交角与为其中y x E t r ox yh dhr E r Ed r •z ,tan t r h =因为,cos d d 2t tr h =所以,cos 12222r t h r =+∫ππ−=22d cos t r te E r .2r e =２５, 的方向考虑到向量E r .20r reE =r .2 z e E =用复数表示为iE z f =′)(.2z ei−=,1Ln 2)( c zei z f +=复势为)(21ic c c +=.1ln 2),( 2c ze y x v +=势函数为,Arg 2),( 1c z e y x u +=于是力函数为 , 0z z =如果导线竖立在.1Ln2)(0c z z ei z f +−=复势为四、小结与思考了解复变函数可表示平面向量场, 对于某单连通域内给定的平面无源无旋场, 可以作出一解析函数(称为该场的复势), 统一研究该场的分布和变化情况.放映结束，按Ｅｓｃ退出．。
复变函数第四章(2)泰勒级数
y
1
O
x
[ln( 1 z )]'
1 1 z
z
( 1) z
n
n
n0
逐项积分得
z n n 0
z
1 1
0
d z d (1) d ,
0
即 ln(1 z ) z
z
2
2
z
3
3
(1)
n
z
n 1
的泰勒展开式在复平面上处处解析因为二间接展开法借助一些已知函数的展开式利用幂级数的运算加法乘法积分求导等运算和分析性质以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式iziziziz内解析函数在方法二待定系数法假设所求的泰勒展开式那么由于函数有一奇点z1而在z1内处处解析对于多值函数要先求出单值分支主值再计算相应的泰勒展开式
此时,罗朗级数退化为泰勒级数。
c n 2 i ( z
c
柯西基本定理
n 1
1
f ( )
0
cn
2 i ( z
c
1
) f ( )
0
d n1
n1
2 i
C
1
f ( )( z 0 )
(n)
d 0 , ( n 1, 2 , )
[解] 由于函数有一奇点z1, 而在|z|<1内处处解析, 所 以可在|z|<1内展开成z的幂级数.
1 1 z
1 (1 z )
2
1 z z ( 1) z ,
2 n n
| z | 1.
将上式两边求导得
1 2 z 3 z (1)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
机动
目录
上页
下页
返回
结束
17
1 n (4) 因为 cn cos in cosh n (e e n ), 2
cn1 e n1 e n1 所以 lim lim n e, n n c n e e n
故收敛半径
1 R . 收敛圆为| z | < 1/e. e
机动
目录
上页
下页
返回
结束
5
证
n 因为级数 cn z0 收敛, n0
n 由收敛的必要条件, 有 lim cn z0 0 n
因而存在正数M,
使对所有的n, 有 cn z0 M ,
n
如果 z z0 ,
z 那末 q 1, z0
机动
目录
上页
下页
返回
结束
6
而
cn z cn z0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
21
1 例3 把函数 f ( z ) 展开成 z 的幂级数. 3z 2
解
1 1 1 3z 2 2 1 3z 2 1 3z 3z 2 3z n [1 ( ) ( ) ] 2 2 2 2
1 3 z 32 z 2 3n z n 2 3 n1 2 2 2 2 3z 2 3n z n 1, 即 z n 1 , 2 3. n 0 2
敛的正实数.
设 z 时,级数收敛; z 时,级数发散. 如图:
机动 目录 上页 下页 返回 结束
10
y
收敛圆
收敛半径
o
R.
.
x
cn z n 的收敛范围是以原点为中心的圆域. 幂级数
幂级数
n 0
cn ( z a )n 的收敛范围?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理四
那末
设幂级数
cn ( z z0 )n 的收敛半径为 R,
n 0
(1) 它的和函数 f ( z ) cn ( z a )n 是收敛圆
n0
z a R 内的解析函数 .
(2) f (z ) 在收敛圆 z a R 内的导数可将其幂 级数逐项求导得到, 即 f ( z ) ncn ( z a )n1 .
简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析; 幂级数可逐项求导, 逐项积分. (常用于求和函数)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
25
例5 求级数 解
(n 1)z n 0
n
的收敛半径与和函数.
所以 R 1.
c n 1 n2 1, 因为 lim lim n c n n 1 n
返回
结束
26
五、小结与思考
这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定 理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级 数的运算性质.
机动
目录
上页
下页
返回
结束
27
思考题
幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?
机动
目录
上页
下页
返回
结束
28
思考题答案
由于在收敛圆周上 z 确定, 可以依复数项级
数敛散性讨论.
机动
n
( z 2) ( 2 ) ( 0) n n 1
n
(4) (cos in) z n .
n 0
cn 1 n p 解 (1) 因为 lim lim( ) 1. n c n n 1 n
所以 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
代数变形 , 使其分母中出现 ( z a )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
20
za 当 1时， ba 1 za za 2 za n 1 ( )( ) ( ) , za ba ba ba 1 ba 1 1 1 1 (z a) ( z a )2 故 b a ( b a )2 ( b a )3 zb 1 n n 1 ( z a ) (b a ) 设 b a R, 那末当 z a R时, 级数收敛, 1 . 且其和为 zb
第二节
幂级数
一、幂级数的概念 二、幂级数的敛散性
三、幂级数的运算和性质
四、小结与思考
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、幂级数的概念
当 f n ( z ) cn1 ( z a )n1 时，
cn ( z a )n c0 c1 ( z a ) c2 ( z a )2 cn ( z a )n
机动
目录
上页
下页
返回
结束
18
三、幂级数的运算和性质
1.幂级数的有理运算
设 f ( z ) an z n , R r1 ,
n 0
g( z ) bn z n , R r2 .
n 0
f ( z ) g( z ) an z n bn z n (an bn ) z n ,
利用逐项积分,得:
0 (n 1)z dz 0 n 0 n 0
n
z
z
z n 1 ( n 1) z dz
n
n 0
z . 1 z
所以
z 1 2. (n 1)z (1 z ) (1 z ) n 0
n
机动 目录
z 1
上页
下页
1 1 z z2 zn . 1 z
机动 目录 上页 下页 返回 结束
4
1.收敛定理
(阿贝尔Abel定理)
阿贝尔介绍
cn z n 在 z z0 ( 0) 收敛, 那末对 如果级数
n 0
满足 z z0 的 z , 级数必绝对收敛, 如果 在 z z0 级数发散, 那末对满足 z z0 的 z , 级数必发散.
n 1
1 , 1 z
2 n 1
n1
n
z
n 1
2 2
n 1
n 1
n 1 n 1
z
2 1 2z
故 ( 2 1) z
n
1 2 1 . 1 2 z 1 z (1 2 z )(1 z )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
23
3. 复变幂级数在收敛圆内的性质
n 0
11
问题: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何? 例如, 级数: R 均为 1, 收敛圆周 z 1
n 0
zn
收敛圆周上无收敛点;
zn n n 0 n z n2 n 0
在点z 1发散, 在z 1收敛 ;
在收敛圆周上处处绝对收敛. 在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出
n 0 n 0 n 0
zR
f ( z ) g( z ) ( an z n ) ( bn z n ),
n 0 n 0
| z | min(r1 , r2 )
n
(anb0 an1b1 a0bn ) z ,
n0
机动 目录
zR
上页 下页 返回 结束
n n
z z0
n n
Mq n .
由正项级数的比较判别法知:
cn z n c0 c1 z c2 z 2 cn z n 收敛.
n 0
故级数 cn z n 是绝对收敛的.
n0
另一部分的证明请课后完成.
机动 目录
[证毕]
上页 下页 返回 结束
7
2. 收敛圆与收敛半径 幂级数的收敛范围是一个圆域，级数在圆内绝 对收敛，在圆外发散。 该圆称为幂级数的收敛圆， 该圆的半径称为幂级数的收敛半径。 对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种:
sn 1 z z z
2
n 1
1 zn , ( z 1) 1 z
机动
目录
上页
下页
返回
结束
3
z 1
z 1
1 lim sn n 1 z
lim z 0
n n
z n 收敛, 级数
n 0
z n 发散. 级数
n 0
收敛范围为一单位圆域 z 1, 在此圆域内, 级数绝对收敛, 且有
19
例2 把函数
1 表成形如 zb
cn ( z a )n 的幂
n 0
级数, 其中 a与 b 是不相等的复常数 . 1 解 把函数 写成如下的形式: zb
1 1 1 1 z b ( z a ) (b a ) b a 1 z a ba 1 凑出 1 g( z )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
22
例4 求级数 解
n 1
( 2n 1) z n1 的收敛半径与和函数.
n1 cn1 2 1 1 2, 所以 R . 因为 lim lim n n c n 2 1 2 n
1 当 z 时, 2 z 1, 2
z n 1
故该级数对任意的z均收敛.
机动
目录
上页
下页
返回
结束
9
(2) 对所有的正实数除 z=0 外都发散. 此时, 级数在复平面内除原点外处处发散.
例如,级数 1 z 22 z 2 nn z n
当 z 0 时, 通项不趋于零,
故级数发散.
(3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收