数学高考试题模拟新题分类汇编专题M推理与证明文科
高考数学文科(高考真题+模拟新题)分类汇编：M单元 推理与证明
数 学M 单元 推理与证明M1 合情推理与演绎推理16．，[2014·福建卷] 已知集合{a ，b ，c }＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于________．16．201 [解析] (i)若①正确，则②③不正确，由③不正确得c ＝0，由①正确得a ＝1，所以b ＝2，与②不正确矛盾，故①不正确．(ii)若②正确，则①③不正确，由①不正确得a ＝2，与②正确矛盾，故②不正确． (iii)若③正确，则①②不正确，由①不正确得a ＝2，由②不正确及③正确得b ＝0，c ＝1，故③正确．则100a ＋10b ＋c ＝100×2＋10×0＋1＝201.14．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市．乙说：我没去过C 城市．丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．14．A [解析] 由甲没去过B 城市，乙没去过C 城市，而三人去过同一城市，可知三人去过城市A ，又由甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只去过A 城市．14．[2014·陕西卷] 已知f (x )＝x 1＋x，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2014(x )的表达式为________．14.x 1＋2014x [解析] 由题意，得f 1(x )＝f (x )＝x 1＋x， f 2(x )＝x1＋x 1＋x 1＋x＝x 1＋2x ，f 3(x )＝x 1＋3x ，…， 由此归纳推理可得f 2014(x )＝x 1＋2014x.M2 直接证明与间接证明21．、[2014·湖南卷] 已知函数f (x )＝x cos x －sin x ＋1(x ＞0)．(1)求f (x )的单调区间；(2)记x i 为f (x )的从小到大的第i (i ∈N *)个零点，证明：对一切n ∈N *，有1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n＜23. 21．解： (1)f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .令f ′(x )＝0，得x ＝k π(k ∈N *)．当x ∈(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N )时，sin x >0，此时f ′(x )<0;当x ∈((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )时，sin x <0，此时f ′(x )>0.故f (x )的单调递减区间为(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N )，单调递增区间为((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )．(2)由(1)知，f (x )在区间(0，π)上单调递减．又f ⎝⎛⎫π2＝0，故x 1＝π2.当n ∈N *时，因为f (n π)f []（n ＋1）π＝[(－1)n n π＋1][(－1)n ＋1(n ＋1)π＋1]＜0，且函数f (x )的图像是连续不断的，所以f (x )在区间(n π，(n ＋1)π)内至少存在一个零点．又f (x )在区间(n π，(n ＋1)π)上是单调的，故n π＜x n ＋1＜(n ＋1)π.因此，当n ＝1时，1x 21＝4π2＜23； 当n ＝2时，1x 21＋1x 22＜1π2(4＋1)＜23； 当n ≥3时，1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n <1π2⎣⎡⎦⎤4＋1＋122＋…＋1（n －1）2 ＜1π2⎣⎡⎦⎤5＋11×2＋…＋1（n －2）（n －1）＜1π2⎣⎡⎦⎤5＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －2－1n －1 ＝1π2⎝⎛⎭⎫6－1n －1＜6π2＜23. 综上所述，对一切n ∈N *，1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n ＜23.M3 数学归纳法23．、[2014·江苏卷] 已知函数f 0(x )＝sin x x(x >0)，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *. (1)求2f 1⎝⎛⎭⎫π2＋π2f 2⎝⎛⎭⎫π2的值； (2)证明：对任意的n ∈N *，等式⎪⎪⎪⎪nf n －1⎝⎛⎭⎫π4＋π4f n ⎝⎛⎭⎫π4＝22都成立． 23．解： (1)由已知，得f 1(x )＝f ′0(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x x ′＝cos x x －sin x x2， 于是f 2(x )＝f 1′(x )＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′－⎝⎛⎭⎫sin x x 2′＝ －sin x x －2cos x x 2＋2sin x x3， 所以f 1⎝⎛⎭⎫π2＝－4π2，f 2⎝⎛⎫π2＝－2π＋16π3. 故2f 1⎝⎛⎭⎫π2＋π2f 2⎝⎛⎭⎫π2＝－1. (2)证明：由已知得，xf 0(x )＝sin x ，等式两边分别对x 求导，得f 0(x )＋xf 0′(x )＝cos x ，即f 0(x )＋xf 1(x )＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2. 类似可得2f 1(x )＋xf 2(x )＝－sin x ＝sin(x ＋π)，3f 2(x )＋xf 3(x )＝－cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋3π2， 4f 3(x )＋xf 4(x )＝sin x ＝sin(x ＋2π)．下面用数学归纳法证明等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立． (i)当n ＝1时，由上可知等式成立．(ii)假设当n ＝k 时等式成立，即kf k －1(x )＋xf k (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2. 因为[kf k －1(x )＋xf k (x )]′＝kf k －1′(x )＋f k (x )＋xf k ′(x )＝(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )，⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2′＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2·⎝⎛⎭⎫x ＋k π2′＝sin ⎣⎡⎦⎤x ＋（k ＋1）π2， 所以(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )＝sin ⎣⎡⎦⎤x ＋（k ＋1）π2，因此当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(i)(ii)可知，等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立． 令x ＝π4，可得nf n －1⎝⎛⎭⎫π4＋π4f n ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋n π2(n ∈N *)， 所以⎪⎪⎪⎪nf n －1⎝⎛⎭⎫π4＋π4f n ⎝⎛⎭⎫π4＝ (n ∈N *)．M4 单元综合5．[2014·湖南长郡中学月考] 记S k ＝1k ＋2k ＋3k ＋…＋n k ，当k ＝1，2，3，…时，观察下列等式：S 1＝12n 2＋12n ，S 2＝13n 3＋12n 2＋16n ，S 3＝14n 4＋12n 3＋14n 2，S 4＝15n 5＋12n 4＋13n 3－130n ，S 5＝16n 6＋12n 5＋512n 4＋An 2，…由此可以推测A ＝____________． 5．－112 [解析] 根据所给等式可知，各等式右边的各项系数之和为1，所以16＋12＋512＋A ＝1，解得A ＝－112.6．[2014·日照一中月考] 二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .已知四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________.6．2πr 4 [解析] 因为W ′＝8πr 3，所以W ＝2πr 4.7．[2014·甘肃天水一中期末] 观察下列等式：(1＋1)＝2×1；(2＋1)(2＋2)＝22×1×3；(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5.照此规律，第n 个等式为________________________________________________________________________．7．(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ×1×3×5×…×(2n －1)[解析] 观察等式规律可知第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ×1×3×5×…×(2n －1)．8．[2014·南昌调研] 已知整数对的序列为(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，…，则第57个数对是________．8．(2，10) [解析] 由题意，发现所给序数列有如下规律：(1，1)的和为2，共1个；(1，2)，(2，1)的和为3，共2个；(1，3)，(2，2)，(3，1)的和为4，共3个；(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)的和为5，共4个；(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)的和为6，共5个．由此可知，当数对中两个数字之和为n 时，有n －1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2，10)．9．[2014·福州模拟] 已知点A (x 1，ax 1)，B (x 2，ax 2)是函数y ＝a x (a >1)的图像上任意不同的两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的上方，因此有结论ax 1＋ax 22>a x 1＋x 22成立．运用类比的思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图像上任意不同的两点，则类似地有________________成立．9.sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22[解析] 依据函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图像可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的下方，所以有sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22.。
高考文科数学试题分类汇编—推理与证明
高考文科试题解析分类汇编：推理和证明1.【高考全国文12】正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，13AE BF ==。
动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）8 （B ）6 （C ）4 （D ）3【答案】B【命题意图】本试题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用。
通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图像分析反射的次数即可。
【解析】解：结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞8次即可。
2.【高考上海文18】若2sin sin...sin 777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ）A 、16B 、72C 、86D 、100 【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.3.【高考江西文5】观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x,y ）的个数为4 ， |x|+|y|=2的不同整数解（x,y ）的个数为8， |x|+|y|=3的不同整数解（x,y ）的个数为12 ….则|x|+|y|=20的不同整数解（x ，y ）的个数为 A.76 B.80 C.86 D.92 【答案】B【解析】本题主要为数列的应用题，观察可得不同整数解的个数可以构成一个首先为4，公差为4的等差数列，则所求为第20项，可计算得结果. 4.【高考陕西文12】观察下列不等式213122+< 231151233++<，222111512343+++<……照此规律，第五个．．．不等式为 . 【答案】6116151413121122222<+++++. 【解析】观察不等式的左边发现，第n 个不等式的左边=()2221111231n +++++，右边=()1112+-+n n ，所以第五个不等式为6116151413121122222<+++++．5.【高考湖南文16】对于N n *∈，将n 表示为1101102222k k k k n a a a a --=⨯+⨯++⨯+⨯,当i k =时1i a =，当01i k ≤≤-时i a 为0或1，定义n b 如下：在n 的上述表示中，当01,a a ，a 2，…，a k 中等于1的个数为奇数时，b n =1；否则b n =0.（1）b 2+b 4+b 6+b 8=__；（2）记c m 为数列{b n }中第m 个为0的项与第m +1个为0的项之间的项数，则c m 的最大值是___. 【答案】（1）3；（2）2. 【解析】（1）观察知000112,1,1a a b =⨯==；1010221202,1,0,1a a b =⨯+⨯===； 一次类推10331212,0b =⨯+⨯=；21044120202,1b =⨯+⨯+⨯=；21055120212,0b =⨯+⨯+⨯=；2106121202=⨯+⨯+⨯，60b =，781,1b b ==，b 2+b 4+b 6+b 8=３；（2）由（1）知c m 的最大值为２.【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题. 6.【高考湖北文17】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。
历年全国人教版数学高考真题与模拟题分类汇编 m单元 推理与证明(文科2015年) 含答案
数学M单元推理与证明M1 合情推理与演绎推理16．M1 观察下列等式1－12＝121－12＋13－14＝13＋141－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16……据此规律，第n个等式可为____________．16．1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n根据给出的等式的规律归纳即得．M2 直接证明与间接证明6．E1，M2 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x<y<z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a<b<c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz6．B (ax＋by＋cz)－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(a－c)(x－z)>0.故选项A中的不是最低费用；(ay＋bz＋cx)－(az＋by＋cx)＝a(y－z)＋b(z－y)＝(a－b)(y－z)>0，故选项C中的不是最低费用；(ay＋bx＋cz)－(az ＋by＋cx)＝a(y－z)＋b(x－y)＋c(z－x)＝a(y－z)＋b(x－y)＋c(z－y＋y－x)＝(a－c)(y－z)＋(b－c)(x－y)>0，选项D中的不是最低费用．综上所述，选项B中的为最低费用．M3 数学归纳法M4 单元综合10．M4 若集合E＝{(p，q，r，s)|0≤p<s≤4，0≤q<s≤4，0≤r<s≤4且p，q，r，s∈N}，F＝{(t，u，v，w)|0≤t<u≤4，0≤v<w≤4且t，u，v，w∈N}，用card(X)表示集合X中的元素个数，则card(E)＋card(F)＝( ) A．200 B．150C．100 D．5010．A 当s＝4时，p，q，r都可取0，1，2，3中的一个，有4×4×4＝64(种)；当s＝3时，p，q，r都可取0，1，2中的一个，有3×3×3＝27(种)；当s＝2时，p，q，r都可取0，1中的一个，有2×2×2＝8(种)；当s＝1时， p，q，r都取0.所以card(E)＝64＋27＋8＋1＝100.当t＝0时，u可取1，2，3，4中的一个；当t＝1时，u可取2，3，4中的一个；当t＝2时，u可取3，4中的一个；当t＝3时，u取4.所以t，u的取值共有1＋2＋3＋4＝10(种)，同理v，w的取值也有10种，所以card(F)＝10×10＝100，所以card(E)＋card(F)＝100＋100＝200.2．用反证法证明“如果a>b，那么3a>3b”时，假设的内容应是( )A.3a＝3bB.3a<3bC.3a＝3b且3a<3bD.3a＝3b或3a<3b2．D 假设结论不成立，3a>3b的否定为3a≤3b，故选D.3．观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，….由以上等式推测出一个一般性的结论：对于n∈N*，12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝______________________．3．(－1)n＋1n2＋n2由于1＝(－1)1＋1×12＋12，－3＝(－1)2＋1×22＋22，6＝(－1)3＋1×32＋32，－10＝(－1)4＋1×42＋42，因此12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1n2＋n 2.5．给出以下数对序列：(1，1)(1，2) (2，1)(1，3) (2，2) (3，1)(1，4) (2，3) (3，2) (4，1) ……记第i行的第j个数对为aij ，如a43＝(3，2)，则a54＝________，anm＝________．5．(4，2) (m，n－m＋1) 由前4行的特点归纳可得，若anm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴a54＝(4，5－4＋1)＝(4，2)，anm＝(m，n－m＋1)．图K50 18．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x，则称点(x0，f(x))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现，任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数的图像都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数f(x)＝13x3－12x2＋3x－512，请你根据这一发现，计算f12015＋f22015＋f32015＋…＋f20142015＝________．8．2014 f′(x)＝x2－x＋3，由f″(x)＝2x－1＝0，得x＝12，则点12，1为y＝f(x)的图像的对称中心，故f12015＋f20142015＝f22015＋f20132015＝ (2)12＝2，故f12015＋f22015＋f32015＋…＋f20142015＝2014.9．如图K502(1)所示，在平面几何中，设O是等腰直角三角形ABC的底边BC的中点，AB＝1，过点O的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q，R，。
2017-2018-2019年三年高考数学文科真题分类汇编(解析版) 专题12 推理与证明
专题十二 推理与证明（2019·全国Ⅱ文科）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A. 甲、乙、丙 B. 乙、甲、丙 C. 丙、乙、甲 D. 甲、丙、乙【答案】A【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查． （2019·全国Ⅲ文科）记不等式组表示的平面区域为，命题；命题.给出了四个命题：①；②；③；④，这四个命题中，所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ①②C. ②③D. ③④【答案】A【分析】根据题意可画出平面区域再结合命题可判断出真命题.【详解】如图，平面区域D 为阴影部分，由得即A （2，4），直线与直线均过区域D ，则p 真q 假，有假真，所以①③真②④假．故选A ．620x y x y +⎧⎨-≥⎩…D :(,),29p x y D x y ∃∈+…:(,),212q x y D x y ∀∈+…p q ∨p q ⌝∨p q ∧⌝p q ⌝∧⌝2,6y x x y =⎧⎨+=⎩2,4x y =⎧⎨=⎩29x y +=212x y +=p ⌝q ⌝【点睛】本题考点为线性规划和命题的真假，侧重不等式的判断，有一定难度．不能准确画出平面区域导致不等式误判，根据直线的斜率和截距判断直线的位置，通过直线方程的联立求出它们的交点，可采用特殊值判断命题的真假．（2019·北京文科）已知l ，m 是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥；③l ⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m .【分析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.不正确，有可能m 在平面α内； （3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力. （2017山东）已知命题p ：；命题q ：若，则．下列命题为真命题的是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】取，知成立；若，得，为假，所以为真，选B ．ααα,x ∃∈R 210x x -+≥22a b <a b <p q ∧p q ⌝∧p q ⌝∧p q ⌝⌝∧0x =1p 22a b <||||a b =q p q ⌝∧(2018浙江)已知，，，成等比数列，且．若，则A ．，B ．，C ．，D ．，【答案】B【解析】解法一 因为()，所以，所以，又，所以等比数列的公比．若，则， 而，所以， 与矛盾，所以，所以，， 所以，，故选B ．解法二 因为，， 所以，则，又，所以等比数列的公比．若，则， 而，所以 与矛盾，所以，所以，， 所以，，故选B ．(2018北京)设集合则 A ．对任意实数，B ．对任意实数，1a 2a 3a 4a 1234123ln()a a a a a a a +++=++11a >13a a <24a a <13a a >24a a <13a a <24a a >13a a >24a a >ln 1x x -≤0x >1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤41a -≤11a >0q <1q -≤212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤12311a a a a ++>≥123ln()0a a a ++>1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤10q -<<2131(1)0a a a q -=->2241(1)0a a a q q -=-<13a a >24a a <1xe x +≥1234123ln()a a a a a a a +++=++123412312341a a a a ea a a a a a a +++=++++++≥41a -≤11a >0q <1q -≤212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤12311a a a a ++>≥123ln()0a a a ++>1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤10q -<<2131(1)0a a a q -=->2241(1)0a a a q q -=-<13a a >24a a <{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤a (2,1)A ∈a (2,1)A ∉C ．当且仅当时，D ．当且仅当时， 【答案】D【解析】解法一 点在直线上，表示过定点，斜率为的直线，当时，表示过定点，斜率为的直线，不等式表示的区域包含原点，不等式表示的区域不包含原点．直线与直线互相垂直，显然当直线的斜率时，不等式表示的区域不包含点，故排除A ；点与点连线的斜率为，当，即时，表示的区域包含点，此时表示的区域也包含点，故排除B ；当直线的斜率，即时，表示的区域不包含点，故排除C ，故选D ．解法二 若，则，解得，所以当且仅当时，．故选D ．(2018江苏)已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为 ． 【答案】27【解析】所有的正奇数和()按照从小到大的顺序排列构成，在数列 中，前面有16个正奇数，即，．当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；……；当时，0a <(2,1)A ∉32a ≤(2,1)A ∉(2,1)1x y -=4ax y +=(0,4)a -0a ≠2x ay -=(2,0)1a2x ay -≤4ax y +>4ax y +=2x ay -=4ax y +=0a ->4ax y +>(2,1)(2,1)(0,4)32-32a -<-32a >4ax y +>(2,1)2x ay -<(2,1)4ax y +=32a -=-32a =4ax y +>(2,1)(2,1)A ∈21422a a +>⎧⎨-⎩≤32a >32a ≤(2,1)A ∉*{|21,}A x x n n ==-∈N *{|2,}n B x x n ==∈N A B {}n a n S {}n a n 112n n S a +>n 2n*n ∈N {}n a {}n a 525212a =6382a =1n =1211224S a =<=2n =2331236S a =<=3n =3461248S a =<=4n =45101260S a =<=26n == 441 +62= 503<，不符合题意；当时，=484 +62=546>=540，符合题意．故使得成立的的最小值为27．(2018江苏)设，对1，2，···，n 的一个排列，如果当时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为的全部排列的个数． (1)求的值；(2)求的表达式(用表示)．【解析】(1)记为排列的逆序数，对1，2，3的所有排列，有，所以．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，．(2)对一般的的情形，逆序数为0的排列只有一个：，所以． 逆序数为1的排列只能是将排列中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以．为计算，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将添加进原排列，在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，． 当时，52621(141)2(12)212S ⨯+⨯-=+-2712516a =27n =52722(143)2(12)212S ⨯+⨯-=+-2812a 112n n S a +>n *n ∈N 12n i i i s t <s t i i >(,)s t i i 12n i i i 12n i i i ()n f k k 34(2),(2)f f (2)(5)n f n ≥n ()abc τabc (123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，333(0)1(1)(2)2f f f ===，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=n (4)n ≥12n ⋅⋅⋅(0)1n f =12n ⋅⋅⋅(1)1n f n =-1(2)n f +1n +1n +1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+5n ≥112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…， 因此，时，．（2017北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （ⅰ）男学生人数多于女学生人数； （ⅱ）女学生人数多于教师人数； （ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________． ②该小组人数的最小值为__________． 【答案】6 12【解析】设男生数，女生数，教师数为，则 ①，所以，②当时，，，，，不存在，不符合题意； 当时，，，，，不存在，不符合题意； 当时，，此时，，满足题意． 所以．（2017新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则 A ．乙可以知道两人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩 【答案】D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D （2017江苏）对于给定的正整数，若数列满足对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=5n ≥(2)n f =222n n --,,a b c 2,,,c a b c a b c >>>∈N 84a b >>>max 6b =min 1c =21a b >>>a b ∈N a b min 2c =42a b >>>a b ∈N a b min 3c =63a b >>>5a =4b =12a b c ++=k {}n a 11112n k n k n n n k n k n a a a a a a ka --+-++-+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=n ()n k >{}n a ()P k（1）证明：等差数列是“数列”；（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列． 【解析】证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则， 从而，当时，，所以， 因此等差数列是“数列”.（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此， 当时，，①当时，.② 由①知，，③，④将③④代入②，得，其中， 所以是等差数列，设其公差为.在①中，取，则，所以， 在①中，取，则，所以， 所以数列是等差数列．（2017浙江）已知数列满足：，． 证明：当时 （Ⅰ）； （Ⅱ）； {}n a (3)P {}n a (2)P (3)P {}n a {}n a d 1(1)n a a n d =+-n 4≥n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=1,2,3,k =n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6{}n a (3)P {}n a (2)P (3)P 3n ≥n n n n n a a a a a --+++++=211244n ≥n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+n n n a a a -++=1124n ≥345,,,a a a d'4n =235644a a a a a +++=23a a d'=-3n =124534a a a a a +++=122a a d'=-{}n a {}n x 11x =11ln(1)n n n x x x ++=++()n ∈*N n ∈*N 10n n x x +<<1122n n n n x x x x ++-≤（Ⅲ）． *根据亲们所在地区选作，新课标地区（文科）不要求． 【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明： 当时， 假设时，，那么时，若，则，矛盾，故． 因此所以 因此（Ⅱ）由得记函数函数在上单调递增，所以=0， 因此 故 （Ⅲ）因为所以得 由得 121122n n n x --≤≤0n x >1n =110x =>n k =0k x >1n k =+10k x +≤110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤10k x +>0n x >()n ∈*N 111ln(1)n n n n x x x x +++=++>10n n x x +<<()n ∈*N 111ln(1)n n n n x x x x +++=++>2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥()f x [0,)+∞()(0)f x f ≥2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥112(N )2n n n n x x x x n *++-∈≤11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=+++=≤112n n x -≥1122n n n n x x x x ++-≥111112()022n n x x +-->≥所以故综上， ．12111111112()2()2222n n n n x x x -----⋅⋅⋅-=≥≥≥212n n x -≤1211(N )22n n n x n *--∈≤≤。
《三年高考两年模拟》数学(文科)汇编专题：7.5推理与证明(含答案解析)
第五节 推理与证明A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅲ，4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( ) A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B.七月的平均温差比一月的平均温差大 C.三月和十一月的平均最高气温基本相同 D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个2.(2016·浙江，8)如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|,A n ≠A n ＋2,n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P≠Q 表示点P 与Q 不重合).若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( ) A.{S n }是等差数列 B.{S 2n }是等差数列 C.{d n }是等差数列D.{d 2n }是等差数列3.(2014·山东，4)用反证法证明命题“设a,b 为实数,则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A.方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B.方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C.方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D.程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 4.(2016·新课标全国Ⅱ，16)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________. 5.(2016·山东，12)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3；⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4；⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5；…照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2nπ2n ＋1－2＝________.6.(2015·陕西，16)观察下列等式 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …据此规律，第n 个等式可为________．7.(2014·福建，16)已知集合{a ，b ，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b ＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于________．8.(2014·课标Ⅰ，14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________．9.(2016·浙江，20)设函数f(x)＝x 3＋11＋x ，x ∈[0，1]，证明：(1)f(x)≥1－x ＋x 2； (2)34＜f(x)≤32. 10.(2015·四川，21)已知函数f(x)＝－2xln x ＋x 2－2ax ＋a 2，其中a>0. (1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(2)证明：存在a ∈(0,1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解． 11.(2015·江苏，20)设a 1,a 2,a 3,a 4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列． (1)证明：2a 1,2a 2,2a 3,2a 4依次构成等比数列；(2)是否存在a 1,d,使得a 1,a 22,a 33,a 44依次构成等比数列？并说明理由；(3)是否存在a 1,d 及正整数n,k ，使得a n 1,a n+k 2,a n+2k 3，a n+3k 4依次构成等比数列？并说明理由． 12.(2014·天津，20)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数,设集合M ＝{0,1,2,…,q －1},集合 A ＝{x|x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1,x i ∈M,i ＝1,2,…,n}．(1)当q ＝2,n ＝3时,用列举法表示集合A ；(2)设s,t ∈A,s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1,t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1,其中a i ,b i ∈M,i ＝1,2,…,n.证明：若a n ＜b n ,则s ＜t.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·吉林四校调研)设a 、b 、c 都是正数，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 三个数( )A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2 2.(2016·河南六市联考)给出下列两种说法：①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q≥2；②已知a ，b ∈R ，|a|＋|b|<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时，可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1. 以下结论正确的是( ) A.①与②的假设都错误 B.①与②的假设都正确 C.①的假设正确；②的假设错误 D.①的假设错误；②的假设正确 3.(2015·山东青岛模拟)定义AB ，BC ，CD ，DB 分别对应下列图形( )那么下列图形中，可以表示A D ，AC 的分别是( ) A.(1)(2) B.(2)(3) C.(2)(4)D.(1)(4)4.(2015·广东佛山调研)设a 、b 、c 、d ∈R ＋，若a ＋d ＝b ＋c ，且|a －d|＜|b －c|，则有( ) A.ad ＝bc B.ad ＜bc C.ad ＞bcD.ad≤bc5.(2015·广州模拟)若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn )也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( ) A.d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n nB.d n ＝c 1·c 2·…·c nnC.d n ＝n c n1＋c n 2＋…＋c n n nD.d n ＝n c 1·c 2·…·c n6. (2015·石家庄二中一模)有甲、乙、丙、丁四位同学参加歌唱比赛，其中只有一位获奖.有同学走访这四位同学，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”.若四位同学中只有两人说的话是对的，则获奖的同学是() A.甲 B.乙C.丙D.丁7.(2015·江西南昌二模)观察下面数表：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，…设1 027是该表第m行的第n个数，则m＋n等于________.8.(2015·洛阳统考)等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1＋2，S3＝9＋3 2.(1)求数列{a n}的通项a n与前n项和S n；(2)设b n＝S nn(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 由题意知，平均最高气温高于20 ℃的六月，七月，八月，故选D. 答案 D2.解析 S n 表示点A n 到对面直线的距离(设为h n )乘以|B n B n －1|长度一半，即S n ＝12h n |B n B n －1|，由题目中条件可知|B n B n －1|的长度为定值，过A 1作垂直得到初始距离h 1，那么A 1，A n 和两个垂足构成等腰梯形，则h n ＝h 1＋|A 1A n |tan θ(其中θ为两条线所成的锐角，为定值)， 从而S n ＝12(h 1＋|A 1A n |tan θ)|B n B n ＋1|，S n ＋1＝12(h 1＋|A 1A n ＋1|)|B n B n ＋1|，则S n ＋1－S n ＝12|A n A n ＋1||B n B n ＋1|tan θ，都为定值，所以S n ＋1－S n 为定值，故选A.答案 A3.解析 至少有一个实根的否定是没有实根，故做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”． 答案 A4.解析 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”. 答案 1和35.解析 观察等式右边的规律：第1个数都是43，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1.答案 43×n×(n ＋1)6.解析 等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .答案 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n7.解析 可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a≠2，b≠2，c ＝0，所以a ＝b ＝1与集合元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b ＝2，a ＝2，c ＝0，这与集合元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c≠0，a ＝2，b≠2，所以b ＝0，c ＝1，所以100a ＋10b ＋c ＝100×2＋10×0＋1＝201. 答案2018.解析 根据甲和丙的回答推测乙没去过B 城市，又知乙没去过C 城市，故乙去过A 城市． 答案 A9.证明 (1)因为1－x ＋x 2－x 3＝1－（－x ）41－（－x ）＝1－x 41＋x，由于x ∈[0，1]，有1－x 41＋x ≤1x ＋1，即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1，所以f(x)≥1－x ＋x 2.(2)由0≤x≤1得x 3≤x ，故f(x)＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝（x －1）（2x ＋1）2（x ＋1）＋32≤32，所以f(x)≤32.由(1)得f(x)≥1－x ＋x 2＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34， 又因为f ⎝⎛⎭⎫12＝1924＞34，所以f(x)＞34. 综上，34＜f(x)≤32.10.解 (1)由已知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， g(x)＝f′(x)＝2(x －1－ln x －a)， 所以g′(x)＝2－2x ＝2（x －1）x，当x ∈(0，1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增．(2)由f′(x)＝2(x －1－ln x －a)＝0，解得a ＝x －1－ln x ，令φ(x)＝－2xln x ＋x 2－2x(x －1－ln x)＋(x －1－ln x)2＝(1＋ln x)2－2xln x ， 则φ(1)＝1＞0，φ(e)＝2(2－e)＜0， 于是，存在x 0∈(1，e)，使得φ(x 0)＝0，令a 0＝x 0－1－ln x 0＝u(x 0)，其中u(x)＝x －1－ln x(x≥1)， 由u′(x)＝1－1x ≥0知，函数u(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，故0＝u(1)＜a 0＝u(x 0)＜u(e)＝e －2＜1， 即a 0∈(0，1)，当a ＝a 0时，有f′(x 0)＝0，f(x 0)＝φ(x 0)＝0，再由(1)知，f′(x)在区间(1，＋∞)上单调递增， 当x ∈(1，x 0)时，f′(x)＜0， 从而f(x)＞f(x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f′(x)＞0， 从而f(x)＞f(x 0)＝0；又当x ∈(0，1]时，f(x)＝(x －a 0)2－2xln x ＞0， 故x ∈(0，＋∞)时，f(x )≥0，综上所述，存在a ∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解． 11.(1)证明 因为2a n ＋12a n ＝2a n ＋1－a n ＝2d (n ＝1，2，3)是同一个常数，所以2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列，(2)令a 1＋d ＝a ，则a 1，a 2，a 3，a 4分别为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d(a ＞d ，a ＞－2d ，d≠0)．假设存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列，则a 4＝(a －d)(a ＋d)3，且(a ＋d)6＝a 2(a ＋2d)4.令t ＝da ，则1＝(1－t)(1＋t)3，且(1＋t)6＝(1＋2t)4⎝⎛⎭⎫－12＜t ＜1，t≠0， 化简得t 3＋2t 2－2＝0(*)，且t 2＝t ＋1.将t 2＝t ＋1代入(*)式，t(t ＋1)＋2(t ＋1)－2＝t 2＋3t ＝t ＋1＋3t ＝4t ＋1＝0， 则t ＝－14，显然t ＝－14不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立．因此不存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列．(3)解 假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n+k 2，a n+2k 3，a n+3k 4依次构成等比数列， 则a n 1(a 1＋2d)n+2k ＝(a 1＋d)2(n+k)，且(a 1＋d)n+k (a 1＋3d)n+3k ＝(a 1＋2d)2(n+2k)．分别在两个等式的两边同除以a 2(n+k)1及a 2(n ＋2k)1，并令t ＝da 1⎝⎛⎭⎫t ＞－13，t≠0， 则(1＋2t)n＋2k＝(1＋t)2(n＋k)，且(1＋t)n ＋k (1＋3t)n＋3k＝(1＋2t)2(n＋2k)．将上述两个等式两边取对数，得(n ＋2k)ln(1＋2t)＝2(n ＋k)ln(1＋t)， 且(n ＋k)ln(1＋t)＋(n ＋3k)ln(1＋3t)＝2(n ＋2k)ln(1＋2t)． 化简得2k[ln(1＋2t)－ln(1＋t)]＝n[2ln(1＋t)－ln(1＋2t)]， 且3k[ln(1＋3t)－ln(1＋t)]＝n[3ln(1＋t)－ln(1＋3t)]．再将这两式相除，化简得ln(1＋3t)ln(1＋2t)＋3ln(1＋2t)ln(1＋t)＝4ln(1＋3t)ln(1＋t)(**)． 令g(t)＝4ln(1＋3t)ln(1＋t)－ln(1＋3t)ln(1＋2t)－3ln(1＋2t)ln(1＋t)，则g′(t)＝2[（1＋3t ）2ln （1＋3t ）－3（1＋2t ）2ln （1＋2t ）＋3（1＋t ）2ln （1＋t ）]（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）.令φ(t)＝(1＋3t)2ln(1＋3t)－3(1＋2t)2ln(1＋2t)＋3(1＋t)2ln(1＋t)， 则φ′(t)＝6[(1＋3t)ln(1＋3t)－2(1＋2t)ln(1＋2t)＋(1＋t)ln(1＋t)]．令φ1(t)＝φ′(t)，则φ1′(t)＝6[3ln(1＋3t)－4ln(1＋2t)＋ln(1＋t)]． 令φ2(t)＝φ1′(t)，则φ2′(t)＝12（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）＞0.由g(0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ′2(t)＞0，知φ2(t)，φ1(t)，φ(t)，g(t)在⎝⎛⎭⎫－13，0和(0，＋∞)上均单调． 故g(t)只有唯一零点t ＝0，即方程(**)只有唯一解t ＝0，故假设不成立．所以不存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n+k 2，a n+2k 3，a n+3k4依次构成等比数列． 12.(1)解 当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x|x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}． 可得A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}． (2)证明 由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)qn －2－qn －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q－q n －1＝－1<0.所以s<t.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 假设三个数都小于2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ＜6，而a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾.故选D. 答案 D2.解析 反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p ＋q>2，所以①错误； 对于②，其假设正确. 答案 D3.解析 由A B ，BC 知，B 是大正方形，A 是|，C 是—，由CD 知，D 是小正方形，∴AD 为小正方形中有竖线，即(2)正确，A C 为＋，即(4)正确.故选C.答案 C4.解析 |a －d|＜|b －c|⇔(a －d)2＜(b －c)2⇔a 2＋d 2－2ad ＜b 2＋c 2－2bc ， 又∵a ＋d ＝b ＋c ⇔(a ＋d)2＝(b ＋c)2⇔a 2＋d 2＋2ad ＝b 2＋c 2＋2bc ， ∴－4ad ＜－4bc ，∴ad ＞bc ，故选C. 答案 C5.解析 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n （n －1）2d ，∴b n ＝a 1＋（n －1）2d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n-1)＝c n 1·q n （n －1）2， ∴d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列，故选D.答案 D6.解析 若甲获奖了，则四位同学说的都是错的，不符合题意； 若乙获奖了，则甲、乙、丁说的是对的，丙说的是错的，不符合题意； 若丙获奖了，则甲、丙说的是对的，乙、丁说的是错的，符合题意； 若丁获奖了，甲、丙、丁说的都是错的，乙说的是对的，不符合题意. 综上所述，丙获奖了，故选C. 答案 C7.解析 该数表的通项公式为a k ＝2k －1，由2k －1＝1 027得k ＝514，所以1 027是第514个奇数， 前m 行共有1＋2＋22＋…＋2m-1＝2m －1个奇数，当m ＝9时，2m －1＝511，所以1 027是第10行的第3个数， 所以m ＋n ＝13. 答案 138.(1)解由已知得113+3a a d ⎧⎪⎨⎪⎩，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n(n ＋2). (2)证明 由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r . 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，∴(q 2－pr)＋2(2q －p －r)＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴∴⎝⎛⎭⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r)2＝0. ∴p ＝r ，与p≠r 矛盾.∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列.。
高中数学教研会高三数学文科《推理与证明练习题》
推理与证明训练题（文）一、选择题1、下列说法正确的是（ ） （A ）合情推理有前提有结论； （B ）由合情推理得出来的结论一定是正确的； （C ）合情推理不能猜想； （D ）合情推理得出的结论无法判断正误2、ABC ∆能剖分为两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状为（ ） （A ）锐角三角形 （B ）直角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）不能确定3、已知函数(01)xy a a a =>≠且在[0，1]上最大值与最小值的和为3，则a 的值为（ ） （A ）21（B ）2 （C ）3 （D ）5 4、下面说法正确的有（ ）（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个5、如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ）A ．5481a a a a >B ．5481a a a a =C ．5481a a a a +>+D ．5481a a a a < 6、在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形1 3 6 10 15 则第n 个三角形数为（ ）（A ）n （B ）12-n （C ）)1(21+n n （D ）)1(21-n n 7、命题：“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论是错误的，其原因是（ ）（A ）大前提错误 （B ）小前提错误 （C ）推理形式错误 （D ）以上都不是 8、若函数x x f sin )(是π为周期的奇函数，则)(x f 可以是（ ） （A ）x 2sin （B ）x 2cos （C ）x sin （D ）x cos9、已知)(x f 是R 上的偶函数，对任意的R x ∈都有)3()()6(f x f x f +=+成立，若2)1(=f ，则=)2007(f （ ）（A ） （B ）2 （C ）1 （D ）010、已知函数xxx f +-=11lg)(，若b a f =)(，则=-)(a f （ ） （A ）b （B ）b - （C ）b 1 （D ）b1-二、填空题 11、在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形展品，其中第一堆只有一层，就一个球，第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按下图方式固定摆放，从第二层开始每层小球的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆的第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则)3(f ___________；)(n f __________（用n 表示）12、如图（1）有面积关系PBPA PB PA S S PAB B PA ⋅⋅=∆∆1111，则图（2）有体积关系_______________图1 图213、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图像关于直线21=x 对称，则 .______________)5()4()3()2()1(=++++f f f f f14、若244)(+=x x x f ，则)10011000()10012()10011(f f f +++ ______________。
数学高考试题模拟新题分类汇编专题M推理与证明文科
M 推理与证明 M1 合情推理与演绎推理12．M1[2012·陕西卷] 观察下列不等式1＋122<32， 1＋122＋132＜53， 1＋122＋132＋142＜74， ……照此规律，第五个．．．不等式为________． 12．1＋122＋132＋142＋152＋162<116 [解析] 本小题主要考查了归纳与推理的能力，解题的关键是对给出的几个事例分析，找出规律，推出所要的结果．从几个不等式左边分析，可得出第五个式子的左边为：1＋122＋132＋142＋152＋162，对几个不等式右边分析，其分母依次为：2,3,4，所以第5个式子的分母应为6，而其分子依次为： 3,5,7，所以第5个式子的分子应为11，所以第5个式子应为：1＋122＋132＋142＋152＋162<116.16．M1[2012·湖南卷] 对于n ∈N *，将n 表示为n ＝a k ×2k ＋a k －1×2k －1＋…＋a 1×21＋a 0×20，当i ＝k 时，a i ＝1，当0≤i ≤k －1时，a i 为0或1.定义b n 如下：在n 的上述表示中，当a 0，a 1，a 2，…，a k 中等于1的个数为奇数时，b n ＝1；否则b n ＝0.(1)b 2＋b 4＋b 6＋b 8＝________；(2)记c m 为数列{b n }中第m 个为0的项与第m ＋1个为0的项之间的项数，则c m 的最大值是________．16．(1)3 (2)2 [解析] 本题以二进制为依据考查数列推理，意在考查考生的逻辑推理能力，具体的解题思路和过程：由前几项的结果，得出规律．(1)由2＝21＋0＝10(2)易知b 2＝1,4＝1×22＋0×21＋0×20＝100(2)可知b 4＝1，同样可知b 6＝0，b 8＝1，所以b 2＋b 4＋b 6＋b 8＝3；(2)任何一个二进制的数，当1的个数为奇数的时候，连续的这样的数最多只有两个，所以c m 的最大值是2.[易错点]本题易错一：推理能力不行，无法找到规律，导致无从下手；易错二：发现不了数列与二进制的关联，导致第(2)问无从下手．17．M1[2012·湖北卷]传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图1－6所示的三角形数：1－6将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k －1＝________.(用k 表示)17．[答案] (1)5 030 (2)错误![解析] 由以上规律可知三角形数1,3,6,10，…的一个通项公式为a n ＝错误!，写出其若干项来寻找规律：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120，其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120，即b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15.由上述规律可猜想： b 2k ＝a 5k ＝错误!(k 为正整数)，b 2k －1＝a 5k －1＝错误!＝错误!，故b 2 012＝a 2×1 006＝a 5×1 006＝a 5 030，即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项．20．C1、M1[2012·福建卷]某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；(2)sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；(3)sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°； (4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；(5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 20．解：解法一：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－a )＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 解法二：(1)同解法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos2α2＋错误!－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α) ＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.5．M1[2012·江西卷]观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．925．B [解析] 个数按顺序构成首项为4，公差为4的等差数列，因此|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为4＋4(20－1)＝80，故选B.M2 直接证明与间接证明23．D5、M2[2012·上海卷]对于项数为m 的有穷数列{a n }，记b k ＝max{a 1，a 2，…，a k }(k ＝1,2，…，m )，即b k 为a 1，a 2，…，a k 中的最大值，并称数列{b n }是{a n }的控制数列．如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.(1)若各项均为正整数的数列{a n }的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的{a n }；(2)设{b n }是{a n }的控制数列，满足a k ＋b m －k ＋1＝C (C 为常数，k ＝1,2，…，m )，求证：b k ＝a k (k ＝1,2，…，m )；(3)设m ＝100，常数a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1.若a n ＝an 2－(－1)错误!n ，{b n }是{a n }的控制数列，求(b 1－a 1)＋(b 2－a 2)＋…＋(b 100－a 100)．23．解：(1)数列{a n }为：2,3,4,5,1或2,3,4,5,2或2,3,4,5,3或2,3,4,5,4或2,3,4,5,5. (2)因为b k ＝max{a 1，a 2，…，a k }，b k ＋1＝max{a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1}， 所以b k ＋1≥b k .因为a k ＋b m －k ＋1＝C ，a k ＋1＋b m －k ＝C ， 所以a k ＋1－a k ＝b m －k ＋1－b m －k ≥0，即a k ＋1≥a k . 因此，b k ＝a k .(3)对k ＝1,2，…，25， a 4k －3＝a (4k －3)2＋(4k －3)；a 4k －2＝a (4k －2)2＋(4k －2)； a 4k －1＝a (4k －1)2－(4k －1)； a 4k ＝a (4k )2－(4k )．比较大小，可得a 4k －2＞a 4k －3.因为12＜a ＜1，所以a 4k －1－a 4k －2＝(a －1)(8k －3)＜0，即a 4k －2＞a 4k －1.a 4k －a 4k －2＝2(2a －1)(4k －1)＞0，即a 4k ＞a 4k －2. 又a 4k ＞a 4k －1.从而b 4k －3＝a 4k －3，b 4k －2＝a 4k －2，b 4k －1＝a 4k －2，b 4k ＝a 4k . 因此(b 1－a 1)＋(b 2－a 2)＋…＋(b 100－a 100) ＝(a 2－a 3)＋(a 6－a 7)＋…＋(a 98－a 99) ＝∑k ＝125 (a4k －2－a 4k －1)＝(1－a )∑k ＝125(8k －3)＝2525(1－a )．22．B12、M2[2012·湖南卷] 已知函数f (x )＝e x －ax ，其中a ＞0. (1)若对一切x ∈R ，f (x )≥1恒成立，求a 的取值集合；(2)在函数f (x )的图象上取定两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))(x 1＜x 2)，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在x 0∈(x 1，x 2)，使f ′(x 0)＝k 成立．22．解：(1)f ′(x )＝e x －a .令f ′(x )＝0得x ＝ln a .当x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．故当x ＝ln a 时，f (x )取最小值f (ln a )＝a －a ln a .于是对一切x ∈R ，f (x )≥1恒成立，当且仅当a －a ln a ≥1. ①令g (t )＝t －t ln t ，则g ′(t )＝－ln t . 当0＜t ＜1时，g ′(t )＞0，g (t )单调递增； 当t ＞1时，g ′(t )＜0，g (t )单调递减．故当t ＝1时，g (t )取最大值g (1)＝1.因此，当且仅当a ＝1时，①式成立． 综上所述，a 的取值集合为{1}． (2)由题意知，k ＝错误!＝错误!－a . 令φ(x )＝f ′(x )－k ＝e x－ex2－ex1x2－x1，则φ(x 1)＝－ex1x2－x1[e x 2－x 1－(x 2－x 1)－1]，φ(x 2)＝ex2x2－x1[e x 1－x 2－(x 1－x 2)－1]．令F (t )＝e t －t －1，则F ′(t )＝e t －1. 当t ＜0时，F ′(t )＜0，F (t )单调递减； 当t ＞0时，F ′(t )＞0，F (t )单调递增． 故当t ≠0时，F (t )＞F (0)＝0，即e t －t －1＞0.从而e x 2－x 1－(x 2－x 1)－1＞0，e x 1－x 2－(x 1－x 2)－1＞0，又ex1x2－x1＞0，ex2x2－x1＞0，所以φ(x 1)＜0，φ(x 2)＞0.因为函数y ＝φ(x )在区间[x 1，x 2]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在x 0∈(x 1，x 2)，使φ(x 0)＝0，即f ′(x 0)＝k 成立．M3 数学归纳法 M4 单元综合23．M4[2012·江苏卷] 设集合P n ＝{1,2，…，n }，n ∈N *.记f (n )为同时满足下列条件的集合A 的个数：①A ⊆P n ；②若x ∈A ，则2x ∉A ；③若x ∈∁P n A ，则2x ∉∁P n A . (1)求f (4)；(2)求f (n )的解析式(用n 表示)．23．解：(1)当n ＝4时，符合条件的集合A 为：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}，故f (4)＝4.(2)任取偶数x ∈P n ，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2，…，经过k 次以后，商必为奇数，此时记商为m ，于是x ＝m ·2k ，其中m 为奇数，k ∈N *.由条件知，若m ∈A ，则x ∈A ⇔k 为偶数； 若m ∉A ，则x ∈A ⇔k 为奇数．于是x 是由m 是否属于A 确定的．设Q n 是P n 中所有奇数的集合，因此f (n )等于Q n的子集个数．当n 为偶数(或奇数)时，P n 中奇数的个数是n 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫或n ＋12，所以f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧2n2，n 为偶数，2n ＋12，n 为奇数.20．B3、D4、M4[2012·北京卷] 设A是如下形式的2行3列的数表，满足性质P：a，b，c，d，e，f＋c＋d＋e＋f＝0.记r i(A)为A的第i行各数之和(i＝1,2)，c j(A)为A的第j列各数之和(j＝1,2,3)；记k(A)为|r1(A)|，|r2(A)|，|c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值．(1)对如下数表A，求k(A)的值；(2)设数表A形如其中－1≤d≤0，求k(A)(3)对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k(A)的最大值．20．解：(1)因为r1(A)＝1.2，r2(A)＝－1.2，c1(A)＝1.1，c2(A)＝0.7，c3(A)＝－1.8，所以k(A)＝0.7.(2)r1(A)＝1－2d，r2(A)＝－1＋2d，c1(A)＝c2(A)＝1＋d，c3(A)＝－2－2d.因为－1≤d≤0，所以|r1(A)|＝|r2(A)|≥1＋d≥0，|c3(A)|≥1＋d≥0.所以k(A)＝1＋d≤1.当d＝0时，k(A)取得最大值1.(3)任给满足性质P的数表A(如下所示)．任意改变A的行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*仍满足性质P，并且k(A)＝k(A*)．因此，不妨设r1(A)≥0，c1(A)≥0，c2(A)≥0.由k(A)的定义知，k(A)≤r1(A)，k(A)≤c1(A)，k(A)≤c2(A)．从而3k(A)≤r1(A)＋c1(A)＋c2(A)＝(a＋b＋c)＋(a＋d)＋(b＋e)＝(a＋b＋c＋d＋e＋f)＋(a＋b－f)＝a＋b－f≤3.所以k(A)≤1.由(2)知，存在满足性质P的数表A使k(A)＝1. 故k(A)的最大值为1.2012模拟题1．[2012·肇庆一模] )A ．171B ．183C ．205D ．2681.B [解析]由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，即12＋32＋42＋62＝62,22＋42＋52＋82＝109，所以“x ”处该填的数字是32＋52＋72＋102＝183.2．[2012·潍坊模拟]给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：( )①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”． 其中类比得到的结论正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 2．C [解析] ①正确；②若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”正确，可用反证法说明；③a －b ＞0⇒a ＞b ，取a ＝3＋i ，b ＝2＋i ，a －b ＞0，但a ，b 却不能比较大小，错误．3．[2012·梁山二中月考]对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，如此反复操作，则第2011次操作后得到的数是( )A ．25B ．250C ．55D ．1333．D [解析]第3次操作为53＋53＝250，第4次操作为23＋53＋03＝133，故操作出现的数值呈周期，且周期为3.2011＝3×670＋1，相当于操作一次．4．[2012·厦门质检]二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .则四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________.4．2πr 4 [解析] 因为(2πr 4)′＝8πr 3，所以W ＝2πr 4.5．[2012·韶关调研] 在平面中△ABC 的角C 的内角平分线CE 分△ABC 面积所成的比S△AEC S△BEC＝ACBC，将这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 交于E ，则类比的结论为________．图G105. VA －CDE VB －CDE ＝S△ACD S△BDC[解析]此类问题由平面类比空间，应该面积类比体积，长度类比面积，由S△AECS△BEC ＝AC BC ，类比得VA －CDE VB －CDE ＝S△ACD S△BDC.。
专题4 推理与证明【高考文科数学】数列、推理与证明 含答案
第三讲推理与证明(1)归纳推理的一般步骤：①通过观察某些个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．(3)综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，要求逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．(4)分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，即把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止．(5)适合用反证法证明的四类数学命题：①唯一性命题；②结论涉及“至多”“至少”“无限”的命题；③否定性命题；④直接证明较繁琐或困难的命题．1． (2013·福建)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(1)T＝{f(x)|x∈S}；(2)对任意x1，x2∈S，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)．那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )A．A＝N*，B＝NB．A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0<x≤10}C．A＝{x|0<x<1}，B＝RD．A＝Z，B＝Q答案 D解析对于A，取f(x)＝x＋1，满足题意．对于B ，取f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－8，x ＝－1，x ＋1，－1<x <0，满足题意.x 2＋1，0≤x ≤3，对于C ，取f (x )＝tan[π(x －12)]，满足题意．排除法，选D.2． (2013·陕西)观察下列等式12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________． 答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n n ＋12解析 观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n 个等式左边有n 项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n ＋1n 2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{a n }，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，…，a n －a n －1＝n ，各式相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ，即a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.所以第n 个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋12.3． (2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n n ＋12＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ， 六边形数N (n,6)＝2n 2－n………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝___________. 答案 1 000解析 由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n2＋4－k2n ，∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1 100－100＝1 000.4．(2012·陕西)观察下列不等式：1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个．．．不等式为________． 答案 1＋122＋132＋142＋152＋162<116解析 归纳观察法．观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．∴第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.题型一 合情推理例1 (1)设数列{a n }是首项为0的递增数列，n ∈N *，f n (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 1nx －a n ，x ∈[a n ，a n ＋1]，满足：对于任意的b ∈[0,1)，f n (x )＝b 总有两个不同的根，则{a n }的通项公式为_______．(2)若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)外，则过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线方程是x 0x a 2＋y 0yb2＝1.那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)外，则过P 0作双曲线的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是________．审题破题 (1)先求数列{a n }的前几项，归纳项的规律，作出猜想；(2)双曲线和椭圆方程相比，形式类似，只要注意到椭圆的切线方程中x 2，y 2分别换成了x 0x ，y 0y 即可．答案 (1)a n ＝n n －1π2 (2)x 0x a 2－y 0yb 2＝1解析 (1)∵a 1＝0，当n ＝1时，f 1(x )＝|sin(x －a 1)|＝|sin x |，x ∈[0，a 2]，又∵对任意的b ∈[0,1)，f 1(x )＝b 总有两个不同的根，∴a 2＝π； f 2(x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin12x －a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 12x －π＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos x 2，x ∈[π，a 3]，∵对任意的b ∈[0,1)，f 2(x )＝b 总有两个不同的根，∴a 3＝3π；f 3(x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 13x －a 3 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 13x －3π＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 13x ，x ∈[3π，a 4]， ∵对任意的b ∈[0,1)，f 3(x )＝b 总有两个不同的根， ∴a 4＝6π.由此可得a n ＋1－a n ＝n π，∴a n ＝n n －1π2.(2)对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，切点弦P 1P 2所在直线方程x 0x a 2＋y 0y b 2＝1，x 2→xx 0，y 2→yy 0.类比，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的切点弦P 1P 2所在直线方程为x 0x a 2－y 0yb2＝1.反思归纳 应用合情推理应注意的问题：(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质．注意：归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．变式训练1 (1)若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比2211N OM N OM S S ∆∆＝OM 1OM 2·ON 1ON 2.如图，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上分别有点P 1、P 2，点Q 1、Q 2和点R 1、R 2，则类似的结论为________．答案222111R Q P O R Q P O V V --＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 2解析 考查类比推理问题，由图看出三棱锥P 1－OR 1Q 1及三棱锥P 2－OR 2Q 2的底面面积之比为OQ 1OQ 2·OR 1OR 2，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为OP 1OP 2，故体积之比为222111R Q P O R Q P O VV --＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 2. (2)已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，则a m ＋n ＝bn －amn －m；现已知等比数列{b n } (b ≠0，n ∈N *)，b m ＝a ，b n ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，若类比上述结论，则可得到b m ＋n ＝__________.答案 n －m b na m解析 等差数列中的bn 和am 可以类比等比数列中的b n和a m，等差数列中的bn －am 可以类比等比数列中的b n a m ，等差数列中的bn －amn －m 可以类比等比数列中的 n －m b na m ，故b m ＋n ＝ n －m b na m.题型二 直接证明例2 设实数数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1＝a n ＋1S n (n ∈N *)．(1)若a 1，S 2，－2a 2成等比数列，求S 2和a 3；(2)求证：对k ≥3有0≤a k ＋1≤a k ≤43.审题破题 (1)根据S 22＝－2a 1a 2及S 2＝a 2a 1从方程的角度求出S 2.再由S 3＝a 3S 2＝S 2＋a 3，求出a 3.(2)根据S n ＋1＝a n ＋1S n (n ∈N *)的关系，寻找a n ＋1与a n 的递推关系，再用不等式放缩法、分析法、反证法的思想方法求解．(1)解 由题意⎩⎪⎨⎪⎧S 22＝－2a 1a 2，S 2＝a 2S 1＝a 1a 2，得S 22＝－2S 2，由S 2是等比中项知S 2≠0.因此S 2＝－2.由S 2＋a 3＝S 3＝a 3S 2解得a 3＝S 2S 2－1＝－2－2－1＝23.(2)证明 由题设条件有S n ＋a n ＋1＝a n ＋1S n ， 故S n ≠1，a n ＋1≠1且a n ＋1＝S n S n －1，S n ＝a n ＋1a n ＋1－1， 从而对k ≥3有a k ＝S k －1S k －1－1＝a k －1＋S k －2a k －1＋S k －2－1＝a k －1＋a k －1a k －1－1a k －1＋a k －1a k －1－1－1＝a 2k －1a 2k －1－a k －1＋1.①因a 2k －1－a k －1＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a k －1－122＋34>0且a 2k －1≥0，由①得a k ≥0.要证a k ≤43，由①只要证a 2k －1a 2k －1－a k －1＋1≤43，即证3a 2k －1≤4(a 2k －1－a k －1＋1)，即(a k －1－2)2≥0，此式明显成立．因此a k ≤43(k ≥3)．最后证a k ＋1≤a k ，若不然a k ＋1＝a 2ka 2k －a k ＋1>a k ，又因a k ≥0，故a k a 2k －a k ＋1>1，即(a k －1)2<0.矛盾． 因此a k ＋1≤a k (k ≥3)．综上，当k ≥3时有0≤a k ＋1≤a k ≤43.反思归纳 综合法与分析法是直接证明中的“姊妹证明”方法．通常情况下，运用分析法，由果索因，找到一个正确的结论或已知条件，然后运用综合法正确推理书写．在进行立体几何证明中，我们常从结论出发寻找问题的突破口，但在逆推时也可能碰到障碍，这时再从已知出发顺推找寻中间细节，问题即可得以解决．变式训练2 设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A 、B两点，O 为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；(2)若|AP |＝|OA |，证明：直线OP 的斜率k 满足|k |> 3. (1)解 设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由题意，有x 20a 2＋y 20b2＝1.①由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a，k BP ＝y 0x 0－a.由k AP · k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0.由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22. (2)证明 方法一 依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 2b2＝1.消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0， 得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2. 整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a1＋k2，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋4.由于a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4， 因此k 2>3，所以|k |> 3.方法二 依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a 2＋k 2x 20b2＝1.因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.③由|AP |＝|OA |，A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k2.代入③，得(1＋k 2)4a 21＋k 22<a 2，解得k 2>3，所以|k |> 3. 题型三 间接证明 例3 已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)． (1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．审题破题 (1)可根据函数单调性的定义进行证明；(2)反证法证题的思想是正难则反． 证明 (1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)， 不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，因为a >1，所以a x 2－x 1>1，且a x 1>0，所以a x 2－a x 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0.又因为x 1＋1>0，x 2＋1>0，所以x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝x 2－2x 1＋1－x 1－2x 2＋1x 1＋1x 2＋1＝3x 2－x 1x 1＋1x 2＋1>0.于是f (x 2)－f (x 1) ＝a x 2－a x 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)假设方程f (x )＝0有负数根，设为x 0(x 0≠－1)． 则有x 0<0，且f (x 0)＝0. ∴a x 0＋x 0－2x 0＋1＝0⇔a x 0＝－x 0－2x 0＋1.∵a >1，∴0<a x 0<1，∴0<－x 0－2x 0＋1<1.解上述不等式，得12<x 0<2.这与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．反思归纳 反证法证明问题，要先否定欲证结论(假设)，然后从假设和条件出发导出矛盾，证明原结论正确．变式训练3 (2013·陕西)设{a n }是公比为q 的等比数列．(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明：数列{a n ＋1}不是等比数列． (1)解 设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1.① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴S n ＝a 11－q n1－q，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n1－q，q ≠1.(2)证明 假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝qk －1＋qk ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．典例 (1)(2012·江西)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( )A ．28B ．76C ．123D ．199解析 观察规律，归纳推理．从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a 10＋b 10＝123. 答案 C(2)记等差数列{a n}的前n项和为S n，利用倒序求和的方法，可将S n表示成首项a1、末项a n与项数n的一个关系式，即公式S n＝n a1＋an2；类似地，记等比数列{b n}的前n 项积为T n，且b n>0 (n∈N*)，试类比等差数列求和的方法，可将T n表示成首项b1、末项b n与项数n的一个关系式，即公式T n＝________.解析利用等比数列的性质：若m＋n＝p＋q，则b m·b n＝b p·b q，利用倒序求积方法有⎩⎪⎨⎪⎧T n＝b1b2·…·b n，T n＝b n b n－1 (1)两式相乘得T2n＝(b1b n)n，即T n＝(b1b n) .答案(b1b n)得分技巧合情推理的关键是寻求规律，明确已知结论的性质或特征．高考中此类问题的指向性很强，要得到正确结论的归纳或类比．阅卷老师提醒(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．1．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2a n(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想a n等于( ) A.2n＋12B.2n n＋1C.22n－1D.22n－1答案 B解析a n＝S n－S n－1＝n2a n－(n－1)2a n－1，∴(n－1)2a n－1＝(n－1)(n＋1)a n.∴a n＝n－1n＋1a n－1.由a1＝1知：a2＝13，a3＝16.∴猜想a n＝2n n＋1，故选B.2．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )A．a n＝3n－1B．a n＝3nn2n2C ．a n ＝3n－2n D ．a n ＝3n －1＋2n －3答案 A解析 a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，a 4＝27，故猜a n ＝3n －1.3． 下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n ，由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推 断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2>2n答案 A解析 注意到，选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n 1＋2n －12＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因此选A.4． 设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体S —ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为R ，四面体P —ABC 的体积为V ，则R 等于( )A.V S 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 答案 C解析 本题考查类比推理，用体积分割的方法，可以得出R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4. 5． 观察等式：11×2＋12×3＝23，11×2＋12×3＋13×4＝34，11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝45，根据以上规律，第四个等式为________．答案 11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6＝566． 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列． 答案T 8T 4 T 12T 8解析 等差数列类比于等比数列，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．专题限时规范训练一、选择题1． 观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 014的末两位数字为 ( )A ．01B ．43C ．07D ．49答案 D解析 因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807,76＝117 649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T ＝4.又因为2 014＝4×503＋2，所以72 014的末两位数字与72的末两位数字相同，故选D.2． 定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：(ⅰ)1*1=1,(ⅱ)(n +1)*1=n *1+1,则n *1等于( )A ．nB ．n ＋1C ．n －1D ．n 2答案 A解析 由(n ＋1)*1＝n *1＋1，得n *1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2＝ (1)3． 定义A *B ，B *C ，C *D ，D *A 的运算分别对应下图中的(1)(2)(3)(4)，那么下图中的(A)(B)所对应的运算结果可能是( )A ．B *D ，A *DB ．B *D ，A *C C ．B *C ，A *DD ．C *D ，A *D答案 B解析 由(1)(2)(3)(4)图得A 表示|，B 表示□，C 表示—，D 表示○，故图(A)(B)表示B *D 和A *C .4． 已知数列：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，这个数列的第2 013项a 2 013满足( )A ．0<a 2 013<110B.110≤a 2 013<1 C ．1≤a 2 013≤10D ．a 2 013>10答案 A解析 数列中项的规律：分母每一组中从小到大排列：(1)，(1,2)，(1,2,3)， (1,2,3,4)，…；分子每一组中从大到小排列(1)，(2,1)，(3,2,1)，(4,3,2,1)，…，由上规律知a 2 013＝460＝115.5． 给出若干数字按如图所示排成倒三角形，其中第一行各数依次是1,2,3，…，2 011，从第二行起每个数分别等于上一行左、右两数之和，最后一行只有一个数M ，则这个数M 是 ( )A ．2 012·22 009B ．2 011·22 010C ．2 010·22 011D ．2 010·22 007答案 A解析 第一行公差为1；第二行公差为2；……；第2 010行公差为22 009，第2 011行只有M ，发现规律，得M ＝(1＋2 011)·22 009.或从第一行为1,2,3及1,2,3,4,5的两个“小三角形”结合选项归纳得结果为(3＋1)×21及(5＋1)×23，猜一般规律为(n ＋1)·2n－2.6． 设a ，b ，c ，d ∈R ＋，若a ＋d ＝b ＋c 且|a －d |<|b －c |，则有( ) A ．ad ＝bc B ．ad <bcC ．ad >bcD ．ad ≤bc答案 C解析 |a －d |<|b －c |⇔(a －d )2<(b －c )2⇔a 2＋d 2－2ad <b 2＋c 2－2bc ，又∵a ＋d ＝b ＋c⇔(a ＋d )2＝(b ＋c )2⇔a 2＋d 2＋2ad ＝b 2＋c 2＋2bc ，∴－4ad <－4bc ，∴ad >bc .7． 已知a >b >0，且ab ＝1，若0<c <1，p ＝log c a 2＋b 22，q ＝log c (1a ＋b)2，则p ，q 的大小关系是 ( )A ．p >qB ．p <qC ．p ＝qD ．p ≥q答案 B 解析 ∵a 2＋b 22>ab ＝1，∴p ＝log c a 2＋b 22<0.又q ＝log c (1a ＋b)2＝log c1a ＋b ＋2ab >logc 14ab＝log c 14>0，∴q >p .8． 已知定义在R 上的函数f (x )，g (x )满足f xg x ＝a x，且f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，f 1g 1＋f －1g －1＝52，若有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f n g n (n ∈N *)的前n 项和等于3132，则n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 B解析 令h (x )＝f xg x ，则h ′(x )＝f ′x g x －f x g ′xg 2x<0，故函数h (x )为减函数，即0<a <1.再根据f 1g 1＋f －1g －1＝52，得a ＋1a ＝52，解得a ＝2(舍去)或者a ＝12.所以f n g n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f n g n 的前n 项和是12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n ，由于1－12n ＝3132，所以n ＝5.二、填空题 9．观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________．答案 n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2解析 第n 个等式是首项为n ，公差为1，项数为2n －1的等差数列，即n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.10．若数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋12，记f (n )＝2(1－a 1)·(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )＝________.答案 n ＋2n ＋1解析 f (1)＝2(1－a 1)＝32＝1＋21＋1，f (2)＝2(1－a 1)(1－a 2)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19 ＝43＝2＋22＋1， f (3)＝2(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116＝54＝3＋23＋1，可猜测f (n )＝n ＋2n ＋1.11．二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .则四维空间中“超球”的四维测度W ＝2πr 4，猜想其三维测度V ＝________. 答案 8πr 3解析 由已知，可得圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维测度是三维测度的导函数．类比上述结论，“超球”的三维测度是四维测度的导函数，即V ＝W ′＝(2πr 4)′＝8πr 3.12．函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A ，且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如f (x )＝2x ＋1 (x ∈R )是单函数，下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②指数函数f (x )＝2x(x ∈R )是单函数，③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是__________(写出所有真命题的编号)． 答案 ②③④解析 由x 21＝x 22，未必有x 1＝x 2，故①不正确；对于f (x )＝2x，当f (x 1)＝f (x 2)时一定有x 1＝x 2，故②正确；当f (x )为单函数时，有f (x 1)＝f (x 2)⇒x 1＝x 2，则其逆否命题f (x )为单函数时，x 1≠x 2⇒f (x 1)≠f (x 2)为真命题，故③正确；当函数在其定义域上单调时，一定有f (x 1)＝f (x 2)⇒x 1＝x 2，故④正确． 三、解答题13．(2012·福建)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 方法一 (1)选择②式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 方法二 (1)同解法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－ 14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34. 14．设集合W 是满足下列两个条件的无穷数列{a n }的集合． ①a n ＋a n ＋22≤a n ＋1；②a n ≤M ，其中n ∈N *，M 是与n 无关的常数．(1)若{a n }是等差数列，S n 是其前n 项的和，a 3＝4，S 3＝18，试探究{S n }与集合W 之间的关系；(2)若数列{b n }的通项为b n ＝5n －2n，且{b n }∈W ，M 的最小值为m ，求m 的值；(3)在(2)的条件下，设c n ＝15[b n ＋(m －5)n]＋2，求证：数列{c n }中任意不同的三项都不能成为等比数列． (1)解 ∵a 3＝4，S 3＝18，∴a 1＝8，d ＝－2，∴S n ＝－n 2＋9n ，S n ＋S n ＋22<S n ＋1满足条件①，S n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922＋814，当n ＝4或5时，S n 取最大值20.∴S n ≤20满足条件②， ∴{S n }∈W .(2)解 b n ＋1－b n ＝5－2n可知{b n }中最大项是b 3＝7， ∴M ≥7，M 的最小值为7.(3)证明 由(2)知c n ＝n ＋2，假设{c n }中存在三项c p 、c q 、c r (p 、q 、r 互不相等)成等比数列，则c 2q ＝c p ·c r ，∴(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.∵p 、q 、r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2＝pr ，2q －p －r ＝0，消去q 得(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴{c n }中任意不同的三项都不能成为等比数列．。
不等式、推理与证明-高考真题文科数学分项汇编(原卷版)
专题 13 不等式、推理与证明1．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知a>0，b>0，且a+b=1，则B．2a b 1A． a b2122 2C．log2 a log2 b2D． a b2x 3y 12．【2020年高考浙江】若实数x，y满足约束条件x y 3 0，则z x 2y的取值范围是A．( ,4]C．[5,)B．[4,)D．(,)3．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3 且j–i=4，则称a i，a j，a k为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称a i，a j，a k为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为A．5 B．8 C．10N N，T* *，S，T中至少有2个元素，且S，T满足：①对于任D．154．【2020年高考浙江】设集合S，T，S意的x，y S，若x≠y，则xy T；②对于任意的x，y T，若x<y，则y S．下列命题正确的是xA．若S有4个元素，则S∪T有7个元素B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素5．【2019年高考全国I卷文数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度5 1（ 5 1≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的之比是2 2头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5 1．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为2105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是A ．165 cm C ．185 cmB ．175 cm D ．190 cmxy 6,表示的平面区域为D ．命题 p :(x, y)D,2x y 96．【2019年高考全国III 卷文数】记不等式组2x y 0命题q :(x, y)D,2x y 12．下面给出了四个命题 ① pq②pq③ pq④p q这四个命题中，所有真命题的编号是 A ．①③ C ．②③B ．①② D ．③④7．【2019年高考北京卷文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮5 E 1度满足 m 2−m 1= 2 lg E ，其中星等为 m k 的星的亮度为 E k （k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星2的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A ． 1010.1 B ． 10.1 D ． 10–C ． lg10.110.1 x y 20, x y 2 0, 8．【2019年高考天津卷文数】设变量 x, y ，则目标函数 z 4x y 的最大值满足约束条件x1,y 1,为 A ．2 C ．5B ．3 D ．69．【2019年高考天津卷文数】设 x R ，则“0 x 5”是“| x 1|1”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件x 3y 4 010．【2019年高考浙江卷】若实数 x, y 满足约束条件3x y 4 0，则 z 3x2y 的最大值是x y 0A ． 1C ． 10B ． 1 D ． 1211．【2019年高考浙江卷】若 a0,b 0，则“a b 4”是 “ab 4 ”的A ．充分不必要条件 C ．充分必要条件B ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件12．【2018年高考北京卷文数】设集合 A {(x, y)| x y 1,ax y 4,xay 2},则A ．对任意实数 a ，(2,1) AB ．对任意实数 a ，（2，1） A 3C ．当且仅当 a<0时，（2，1） AD ．当且仅当 a 时，（2，1） A213．【2018年高考天津卷文数】设 x R ，则“ x 38”是“|x | 2”的A ．充分而不必要条件 C ．充要条件B ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件xy 5，2x y 4， 14．【2018年高考天津卷文数】设变量 x, y 满足约束条件x y 1， 则目标函数 z 3x 5y 的最大值为y 0，A ．6B ．19C ．21D ．4515．【2020年高考江苏】已知5x 2 y2y421(x, y R)，则 x y2的最小值是 ▲．1 1 8的最小值为_________． 16．【2020年高考天津】已知 a 0, b 0，且ab1，则 2a 2b a b2x y 20, 17．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】若 x ，y 满足约束条件 x y 1 0,则 z=x+7y 的最大值为 .y 1 0,x y 1，18．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若x，y满足约束条件x y 1，则z x 2y的最大值是__________．2x y 1,x y0,19．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】若x，y满足约束条件2x y 0，,则z=3x+2y的最大值为_________．x 1,2x 3y 6 0，20．【2019年高考全国II卷文数】若变量x，y满足约束条件x y 3 0，则z=3x–y的最大值是y 2 0，____________.21．【2019年高考全国II卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）x 2,则y x的最小值为__________，最大值为22．【2019年高考北京卷文数】若x，y满足y 1,4x 3y 10,__________．(x 1)(2y 1)23．【2019年高考天津卷文数】设x 0, y 0, x 2y 4，则的最小值为__________.xy24．【2019年高考北京卷文数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．x y0,25．【2018年高考浙江卷】若x, y满足约束条件2x y 6,则z x 3y的最小值是___________，最大值x y 2,是___________．26．【2018年高考北京卷文数】若,y满足x 1 y 2x，则2y−的最小值是_________.x 2y 2x，y满足约束条件x y 1 0，则z 3x 2y的最大值27．【2018年高考全国I卷文数】若为y 0_____________．2x y 3 0，则z x 1 y的最大值是28．【2018年高考全国III卷文数】若变量x，y满足约束条件x 2y 4 0，3x 2 0.________．x 2y 5 0，29．【2018年高考全国II卷文数】若x, y 满足约束条件x 2y 3 0，则z x y的最大值为__________x 5 0，130．【2018年高考天津卷文数】已知a ,b R，且a 3b 6 0，则2a b的最小值为.831．【2018年高考江苏卷】在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c ，ABC 120，ABC的平分线交AC于点D，且BD 1，则4a c的最小值为___________．。
【名校精品解析系列】12月名校试题分类汇编第二期M单元 推理与证明
M单元推理与证明目录M单元推理与证明 (1)M1合情推理与演绎推理 (1)M2直接证明与间接证明 (2)M3 数学归纳法 (2)M4 单元综合 (2)M1合情推理与演绎推理【数学文卷·2015届江西省师大附中高三上学期期中考试（201411）】15．如图都是由边长为1的正方体叠成的几何体,例如第(1)个几何体的表面积为6个平方单位，第(2)个几何体的表面积为18个平方单位，第(3)个几何体的表面积是36个平方单位. 依此规律,则第n个几何体的表面积是___ ____个平方单位.15题图【知识点】归纳推理数列求和D4 M1【答案】【解析】3n(n+1)解析：1. 从上向下看，每层顶面的面个数为：第一层是1，第二层是2，第三层是3………第五层是5，共5个面；2. 左边和右边还有底面的面积相等，5层时为，1+2+3+4+5=15个面3. 剩下最后2个面了，这2个面的特征就是都有一个角，一个角有3个面，一共有第一层1个角，第二层2角，第三层3个角……第五层5个角，共有1+2+3+4+5=15个角,45个面；4. 计算：1层时=62层时=（1+2）×3 + （1+2）×3 = 9+9=183层时=（1+2+3）×3 + （1+2+3）×3=18+18=36第n层时为（1+2+3+……+n）×3 + （1+2+3+……+n）×3也就是6×（1+2+3+……+n）所以当n=5是，表面积为6×15=90故第n个几何体的表面积是3n(n+1)个平方单位【思路点拨】可先由n=1,2,3,4,5观察规律，进而得到一般性结论，即利用归纳推理得到一般性规律，再利用等差数列求和公式得到最后结果.M2直接证明与间接证明M3 数学归纳法M4 单元综合。
精编2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 M单元 推理与证明(文科2016)和答案
数学M单元推理与证明M1 合情推理与演绎推理8．M1某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( )A．2号学生进入30秒跳绳决赛B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛D ．9号学生进入30秒跳绳决赛8．B 进入立定跳远决赛的有8人，根据成绩应是1号至8号．若a >63，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意；若61≤a ≤63，则同时进入两决赛的有1，2，3，5，6，7号，符合题意； 若a ＝60，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意；若a ≤59，则同时进入两决赛的有1，3，4，5，6，7号，符合题意． 综上可知，5号进入30秒跳绳决赛．16．M1 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．16．1和3 由题意可知丙不拿2和3.若丙拿1和2，则乙拿2和3，甲拿1和3，满足题意；若丙拿1和3，则乙拿2和3，甲拿1和2，不满足题意．故甲的卡片上的数字是1和3.12．M1 观察下列等式：（sin π3）－2＋（sin 2π3）－2＝43×1×2； （sin π5）－2＋（sin 2π5）－2＋（sin 3π5）－2＋（sin 4π5）－2＝43×2×3； （sin π7）－2＋（sin 2π7）－2＋（sin 3π7）－2＋…＋（sin 6π7）－2＝43×3×4； （sin π9）－2＋（sin 2π9）－2＋（sin 3π9）－2＋…＋（sin 8π9）－2＝43×4×5； ……照此规律，（sin π2n ＋1）－2＋（sin 2π2n ＋1）－2＋（sin 3π2n ＋1）－2＋…＋（sin 2n π2n ＋1）－2＝________．12.43n (n ＋1) 第一个等式中，1＝3－12，2＝3＋12；第二个等式中，2＝5－12，3＝5＋12；第三个等式中，3＝7－12，4＝7＋12.由此可推得第n 个等式等于43×2n ＋1－12×2n ＋1＋12＝43n (n ＋1)．M2 直接证明与间接证明M3 数学归纳法M4 单元综合2．给出如下等式组：s 1＝1，s 2＝2＋3＝5，s 3＝4＋5＋6＝15，s 4＝7＋8＋9＋10＝34，s 5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，……某学生根据上表猜测S 2n －1＝(2n －1)(an 2＋bn ＋c )，则a －b ＋c ＝________．2．5 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，3（4a ＋2b ＋c ）＝15，5（9a ＋3b ＋c ）＝65，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，c ＝1，故a －b ＋c ＝5.3．在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一名得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；甲说：“丙说的是真话”．假定在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是__________．3．丙 若甲得优秀，则丙说的是假话，乙说的是假话，甲说的是假话，三人说的都是假话，不符题意；若乙得优秀，则丙说的是真话，乙说的是真话，甲说的是真话，三人说的都是真话，不符题意；若丙得优秀，则丙说的是真话，乙说的是假话，甲说的是真话，两人说的是真话，一人说的是假话，符合题意．4．埃及数学家发现了一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其他形如2n(n ＝5，7，9…)的分数都可写成若干个单分数(分子为1的分数)和的形式， 例如25＝13＋115.我们可以这样理解：假定有2个面包，要平均分给5人，如果每人12，不够，每人13，余13，再将这13分成5份，每人得115，这样每人分得13＋115，故我们可以得出形如2n (n ＝5，7，9，11…)的分数的分解：25＝13＋115，27＝14＋128，29＝15＋145，…，按此规律211＝__________． 4.16＋166 假定有2个面包，要平均分给11人，如果每人15，不够，每人16，余16，再将这16分成11份，每人得166，这样每人分得16＋166.。
2017数学高考分类·文科(2017高考真题+模拟新题)M单元 推理与证明
M单元推理与证明M1 合情推理与演绎推理9．M1[2017·全国卷Ⅱ] 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩9．D[解析] 由于四人中有2位优秀，2位良好，甲看了乙、丙的成绩后不知道自己的成绩，说明乙、丙2位中优秀、良好各1位，所以甲、丁2位中也是优秀、良好各1位，所以乙看了丙的成绩后一定知道自己的成绩，同样，丁看了甲的成绩后一定知道自己的成绩．M2 直接证明与间接证明M3 数学归纳法M4 单元综合1年模拟1. [2017·百校联盟月考]大数学家拉普拉斯曾经这样说过“数学本身赖以获得真理的重要手段就是归纳和类比”．事实上，数学中的许多重要定理和猜想都是通过归纳总结出来的，如欧拉公式：观察三棱锥、四棱锥、三棱柱、五棱柱等多面体，发现其顶点数V与面数F 的和与棱数E相差2，即V＋F－E＝2，于是猜想任意凸多面体都具有这样的性质，后经过严格证明确实如此．利用上述思想，观察下列等式：1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……则第7个等式左端的和式的最后一个数字、右端的结果分别是()A. 17，169B. 19，169C. 22，225D. 25，2891. B[解析] 由1，4，7，10知，第7个等式左端的和式的最后一个数字为1＋6×3＝19；由12，32，52，72知，第7个等式右端的结果为132＝169.2. [2017·西安月考]观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74.根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋…＋120172<________.2. 40332017[解析] 观察已知不等式，由类比推理可得1＋122＋132＋…＋120172<40332017.3．[2017·长春二模]将正整数1，2，3，4，…按如图K451所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数是________．图K4513．91[解析] 由三角形数组可推断出，第n行共有2n－1项，且最后一项为n2，所以第10行共有19项，最后一项为100，故左数第10个数是91.。
高考数学 高考试题 模拟新题分类汇编专题M 推理与证明 理
M 推理与证明M1 合情推理与演绎推理11．M1[2012·陕西卷] 观察下列不等式1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个．．．不等式为______________．11．1＋122＋132＋142＋152＋162<116[解析] 本小题主要考查了归纳与推理的能力，解题的关键是对给出的几个事例分析，找出规律，推出所要的结果．从几个不等式左边分析，可得出第五个式子的左边为：1＋122＋132＋142＋152＋162，对几个不等式右边分析，其分母依次为：2,3,4，所以第5个式子的分母应为6，而其分子依次为： 3,5,7，所以第5个式子的分子应为11，所以第5个式子应为：1＋122＋132＋142＋152＋162<116.13．M1[2012·湖北卷] 回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n ＋1(n ∈N *)位回文数有________个．13．(1)90 (2)9×10n[解析] 由题意，1位回文数有9个，2位回文数有9个，3位回文数有90＝9×10个，4位回文数有1001,1111,1221，…，1991,2002，…，9999，共90个，故归纳猜想2n ＋2位回文数与2n ＋1位回文数个数相等，均为9×10n个．16．M1[2012·湖南卷] 设N ＝2n (n ∈N *，n ≥2)，将N 个数x 1，x 2，…，x N 依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0＝x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前N 2和后N2个位置，得到排列P 1＝x 1x 3…x N －1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变换．将P 1分成两段，每段N2个数，并对每段作C 变换，得到P 2；当2≤i ≤n －2时，将P i 分成2i段，每段N2i 个数，并对每段作C 变换，得到P i ＋1.例如，当N ＝8时，P 2＝x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，此时x 7位于P 2中的第4个位置．(1)当N ＝16时，x 7位于P 2中的第________个位置；(2)当N ＝2n(n ≥8)时，x 173位于P 4中的第________个位置．16．(1)6 (2) 3×2n －4＋11 [解析] 考查合情推理，以新定义题型为载体，依据排列，考查考生的逻辑推理能力，要求学生的想象能力相当出色．(1)由已知可得P 1＝x 1x 3x 5x 7x 9x 11x 13x 15…，P 2＝x 1x 5x 9x 13x 3x 7x 11x 15…，故x 7位于P 2中的第6个位置；(2)当i ＝1时，P 1的排列中x 173的位置是173＋12＝87位；当i ＝2时，P 2的排列中x 173的位置是87＋12＝44位；当i ＝3时，P 3的排列中x 173的位置是2n －22＋442＝2n －3＋22位；当i ＝4时，P 4的排列中x 173的位置是2n －3＋2n －3＋222＝2n －3＋2n －4＋11＝3×2n －4＋11位．6．M1[2012·江西卷] 观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．1996．C [解析] 考查归纳推理，以及观察能力；解题的突破口是通过观察得到后一项与前两项结果之间的关系．由于a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和．因此，a 6＋b 6＝11＋7＝18，a 7＋b 7＝18＋11＝29，a 8＋b 8＝29＋18＝47，a 9＋b 9＝47＋29＝76，a 10＋b 10＝76＋47＝123，故选C.M2 直接证明与间接证明23．M2、D1[2012·上海卷] 对于数集X ＝{－1，x 1，x 2，…，x n }，其中0＜x 1＜x 2＜…＜x n ，n ≥2，定义向量集Y ＝{a |a ＝(s ，t )，s ∈X ，t ∈X }，若对任意a 1∈Y ，存在a 2∈Y ，使得a 1·a 2＝0，则称X 具有性质P ，例如{－1,1,2}具有性质P .(1)若x ＞2，且{－1,1,2，x }具有性质P ，求x 的值； (2)若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1＝1；(3)若X 具有性质P ，且x 1＝1、x 2＝q (q 为常数)，求有穷数列x 1，x 2，…，x n 的通项公式．23．解：(1)选取a 1＝(x,2)，Y 中与a 1垂直的元素必有形式(－1，b )， 所以x ＝2b ，从而x ＝4.(2)证明：取a 1＝(x 1，x 1)∈Y ，设a 2＝(s ，t )∈Y ，满足a 1·a 2＝0. 由(s ＋t )x 1＝0得s ＋t ＝0，所以s ，t 异号．因为－1是X 中唯一的负数，所以s ，t 之中一个为－1，另一个为1，故1∈X . 假设x k ＝1，其中1＜k ＜n ，则0＜x 1＜1＜x n .选取a 1＝(x 1，x n )∈Y ，并设a 2＝(s ，t )∈Y 满足a 1·a 2＝0，即sx 1＋tx n ＝0， 则s ，t 异号，从而s ，t 之中恰有一个为－1. 若s ＝－1，则x 1＝tx n ＞t ＞x 1，矛盾； 若t ＝－1，则x n ＝sx 1＜s ≤x n ，矛盾． 所以x 1＝1.(3)设a 1＝(s 1，t 1)，a 2＝(s 2，t 2)，则a 1·a 2＝0等价于s 1t 1＝－t 2s 2， 记B ＝⎩⎨⎧s t|}s ∈X ，t ∈X ，|s |＞|t |，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于原点对称．注意到－1是X 中的唯一负数，B ∩(－∞，0)＝{－x 2，－x 3，…，－x n }共有n －1个数，所以B ∩(0，＋∞)也只有n －1个数．由于x n x n －1＜x n x n －2＜…＜x n x 2＜x nx 1，已有n －1个数，对以下三角数阵 x n x n －1＜x n x n －2＜…＜x n x 2＜x nx 1，x n －1x n －2＜x n －1x n －3＜…＜x n －1x 1， …x 2x 1. 注意到x n x 1＞x n －1x 1＞…＞x 2x 1，所以x n x n －1＝x n －1x n －2＝…＝x 2x 1，从而数列的通项为x k ＝x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1k －1＝qk －1，k ＝1,2，…，n .19．D2、D3、M2[2012·湖南卷] 已知数列{a n }的各项均为正数，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2，n ＝1,2，….(1)若a 1＝1，a 2＝5，且对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．19．解：(1)对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )是等差数列，所以B (n )－A (n )＝C (n )－B (n )，即a n ＋1－a 1＝a n ＋2－a 2，亦即a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝4.故数列{a n }是首项为1，公差为4的等差数列． 于是a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.(2)①必要性：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则对任意n ∈N *，有a n ＋1＝a n q .由a n＞0知，A (n )，B (n )，C (n )均大于0，于是B n A n ＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1a 1＋a 2＋…＋a n ＝q a 1＋a 2＋…＋a na 1＋a 2＋…＋a n ＝q ， C n B n ＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q a 2＋a 3＋…＋a n ＋1a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q ， 即B n A n ＝C nB n＝q .所以三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列． ②充分性：若对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列，则 B (n )＝qA (n )，C (n )＝qB (n )．于是C (n )－B (n )＝q [B (n )－A (n )]，得a n ＋2－a 2＝q (a n ＋1－a 1)，即a n ＋2－qa n ＋1＝a 2－qa 1. 由n ＝1有B (1)＝qA (1)，即a 2＝qa 1， 从而a n ＋2－qa n ＋1＝0.因为a n ＞0，所以a n ＋2a n ＋1＝a 2a 1＝q .故数列{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列．综上所述，数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．22．B12、M3、M2[2012·湖北卷] (1)已知函数f (x )＝rx －x r＋(1－r )(x >0)，其中r 为有理数，且0<r <1.求f (x )的最小值；(2)试用(1)的结果证明如下命题：设a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数．若b 1＋b 2＝1，则ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2； (3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式(x α)′＝αx α－1.22．解：(1)f ′(x )＝r －rx r －1＝r (1－x r －1)，令f ′(x )＝0，解得x ＝1. 当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)内是减函数； 当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(1，＋∞)内是增函数． 故函数f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝0.(2)由(1)知，当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )≥f (1)＝0，即x r≤rx ＋(1－r )． ① 若a 1，a 2中有一个为0，则ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2成立； 若a 1，a 2均不为0，又b 1＋b 2＝1，可得b 2＝1－b 1，于是在①中令x ＝a 1a 2，r ＝b 1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1a2b 1≤b 1·a 1a 2＋(1－b 1)，即ab 11a 1－b 12≤a 1b 1＋a 2(1－b 1)，亦即ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2.综上，对a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数且b 1＋b 2＝1，总有ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2.②(3)(2)中命题的推广形式为：若a 1，a 2，…，a n 为非负实数，b 1，b 2，…，b n 为正有理数． 若b 1＋b 1＋…＋b n ＝1，则ab 11ab 22…ab nn ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n .③ 用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，b 1＝1，有a 1≤a 1，③成立．②假设当n ＝k 时，③成立，即若a 1，a 2，…，a k 为非负实数，b 1，b 2，…，b k 为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＝1，则ab 11ab 22…ab kk ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k .当n ＝k ＋1时，已知a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1为非负实数，b 1，b 2，…，b k ，b k ＋1为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＋b k ＋1＝1，此时0＜b k ＋1＜1，即 1－b k ＋1＞0，于是 ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1＝(ab 11ab 22…ab kk )ab k ＋1k ＋1＝(a b 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k1－b k ＋1k )1－b k ＋1ab k ＋1k ＋1.因b 11－b k ＋1＋b 21－b k ＋1＋…＋b k1－b k ＋1＝1，由归纳假设可得a b 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k 1－b k ＋1k ≤a 1·b 11－b k ＋1＋a 2·b 21－b k ＋1＋…＋a k ·b k1－b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k1－b k ＋1，从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11－b k ＋1abk ＋1k ＋1. 又因(1－b k ＋1)＋b k ＋1＝1，由②得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11－b k ＋1abk ＋1k ＋1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋1·(1－b k ＋1)＋a k ＋1b k ＋1 ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1，从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1. 故当n ＝k ＋1时，③成立．由①②可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立．说明：(3)中如果推广形式中指出③式对n ≥2成立，则后续证明中不需讨论n ＝1的情况．M3 数学归纳法21．D1、D3、E1、M3[2012·重庆卷] 设数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1＝a 2S n ＋a 1，其中a 2≠0.(1)求证：{a n }是首项为1的等比数列；(2)若a 2＞－1，求证：S n ≤n2(a 1＋a n )，并给出等号成立的充要条件．21．解：(1)证法一：由S 2＝a 2S 1＋a 1得a 1＋a 2＝a 2a 1＋a 1，即a 2＝a 2a 1.因a 2≠0，故a 1＝1，得a 2a 1＝a 2. 又由题设条件知S n ＋2＝a 2S n ＋1＋a 1，S n ＋1＝a 2S n ＋a 1， 两式相减得S n ＋2－S n ＋1＝a 2(S n ＋1－S n )， 即a n ＋2＝a 2a n ＋1，由a 2≠0，知a n ＋1≠0，因此a n ＋2a n ＋1＝a 2. 综上，a n ＋1a n＝a 2对所有n ∈N *成立，从而{a n }是首项为1，公比为a 2的等比数列． 证法二：用数学归纳法证明a n ＝a n －12，n ∈N *.当n ＝1时，由S 2＝a 2S 1＋a 1，得a 1＋a 2＝a 2a 1＋a 1，即a 2＝a 2a 1，再由a 2≠0，得a 1＝1，所以结论成立．假设n ＝k 时，结论成立，即a k ＝a k －12，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(a 2S k ＋a 1)－(a 2S k －1＋a 1)＝a 2(S k －S k －1)＝a 2a k ＝a k2， 这就是说，当n ＝k ＋1时，结论也成立．综上可得，对任意n ∈N *，a n ＝a n －12.因此{a n }是首项为1，公比为a 2的等比数列． (2)当n ＝1或2时，显然S n ＝n2(a 1＋a n )，等号成立．设n ≥3，a 2＞－1且a 2≠0，由(1)知a 1＝1，a n ＝a n －12，所以要证的不等式化为 1＋a 2＋a 22＋…＋a n －12≤n2(1＋a n －12)(n ≥3)，即证：1＋a 2＋a 22＋…＋a n 2≤n ＋12(1＋a n2)(n ≥2)．当a 2＝1时，上面不等式的等号成立．当－1＜a 2＜1时，a r 2－1与a n －r2－1(r ＝1,2，…，n －1)同为负；当a 2＞1时，a r 2－1与a n －r2－1(r ＝1,2，…，n －1)同为正．因此当a 2＞－1且a 2≠1时，总有(a r 2－1)(a n －r2－1)＞0，即a r 2＋a n －r 2＜1＋a n2(r ＝1,2，…，n －1)． 上面不等式对r 从1到n －1求和得2(a 2＋a 22＋…＋a n －12)＜(n －1)(1＋a n2)，由此可得1＋a 2＋a 22＋…＋a n 2＜n ＋12(1＋a n2)．综上，当a 2＞－1且a 2≠0时，有S n ≤n2(a 1＋a n )，当且仅当n ＝1,2或a 2＝1时等号成立．证法二：当n ＝1或2时，显然S n ≤n 2(a 1＋a n )，等号成立．当a 2＝1时，S n ＝n ＝n2(a 1＋a n )，等号也成立．当a 2≠1时，由(1)知S n ＝1－a n21－a 2，a n ＝a n －12，下证：1－a n21－a 2＜n 2(1＋a n －12)(n ≥3，a 2＞－1且a 2≠1)． 当－1＜a 2＜1时，上面不等式化为(n －2)a n 2＋na 2－na n －12＜n －2(n ≥3)．令f (a 2)＝(n －2)a n 2＋na 2－na n －12.当－1＜a 2＜0时，1－a n －22＞0，故f (a 2)＝(n －2)a n 2＋na 2(1－a n －22)＜(n －2)|a 2|n＜n －2， 即所要证的不等式成立．当0＜a 2＜1时，对a 2求导得f ′(a 2)＝n [(n －2)a n －12－(n －1)a n －22＋1]＝ng (a 2)．其中g (a 2)＝(n －2)a n －12－(n －1)a n －22＋1，则g ′(a 2)＝(n －2)(n －1)(a 2－1)a n －32＜0，即g (a 2)是(0,1)上的减函数，故g (a 2)>g (1)＝0，从而f ′(a 2)＝ng (a 2)>0，进而f (a 2)是(0,1)上的增函数，因此f (a 2)＜f (1)＝n －2，所要证的不等式成立．当a 2＞1时，令b ＝1a 2，则0＜b ＜1，由已知的结论知1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2n 1－1a 2＜n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2n －1， 两边同时乘以a n －12得所要证的不等式．综上，当a 2＞－1且a 2≠0时，有S n ≤n2(a 1＋a n )，当且仅当n ＝1,2或a 2＝1时等号成立．22．B12、M3、M2[2012·湖北卷] (1)已知函数f (x )＝rx －x r＋(1－r )(x >0)，其中r 为有理数，且0<r <1.求f (x )的最小值；(2)试用(1)的结果证明如下命题：设a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数．若b 1＋b 2＝1，则ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2； (3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式(x α)′＝αx α－1.22．解：(1)f ′(x )＝r －rx r －1＝r (1－x r －1)，令f ′(x )＝0，解得x ＝1. 当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)内是减函数； 当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(1，＋∞)内是增函数． 故函数f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝0.(2)由(1)知，当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )≥f (1)＝0，即x r≤rx ＋(1－r )． ① 若a 1，a 2中有一个为0，则ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2成立； 若a 1，a 2均不为0，又b 1＋b 2＝1，可得b 2＝1－b 1，于是在①中令x ＝a 1a 2，r ＝b 1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1a 2b 1≤b 1·a 1a 2＋(1－b 1)，即ab 11a 1－b 12≤a 1b 1＋a 2(1－b 1)，亦即ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2.综上，对a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数且b 1＋b 2＝1，总有ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2.②(3)(2)中命题的推广形式为：若a 1，a 2，…，a n 为非负实数，b 1，b 2，…，b n 为正有理数． 若b 1＋b 1＋…＋b n ＝1，则ab 11ab 22…ab nn ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n .③ 用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，b 1＝1，有a 1≤a 1，③成立．②假设当n ＝k 时，③成立，即若a 1，a 2，…，a k 为非负实数，b 1，b 2，…，b k 为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＝1，则ab 11ab 22…ab kk ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k .当n ＝k ＋1时，已知a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1为非负实数，b 1，b 2，…，b k ，b k ＋1为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＋b k ＋1＝1，此时0＜b k ＋1＜1，即 1－b k ＋1＞0，于是 ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1＝(ab 11ab 22…ab kk )ab k ＋1k ＋1＝(a b 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k1－b k ＋1k )1－b k ＋1ab k ＋1k ＋1.因b 11－b k ＋1＋b 21－b k ＋1＋…＋b k1－b k ＋1＝1，由归纳假设可得ab 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k 1－b k ＋1k ≤a 1·b 11－b k ＋1＋a 2·b 21－b k ＋1＋…＋a k ·b k1－b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k1－b k ＋1，从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11－b k ＋1abk ＋1k ＋1. 又因(1－b k ＋1)＋b k ＋1＝1，由②得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11－b k ＋1abk ＋1k ＋1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋1·(1－b k ＋1)＋a k ＋1b k ＋1 ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1，从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1. 故当n ＝k ＋1时，③成立．由①②可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立．说明：(3)中如果推广形式中指出③式对n ≥2成立，则后续证明中不需讨论n ＝1的情况．22． D3、M3[2012·全国卷] 函数f (x )＝x 2－2x －3.定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P (4,5)、Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标．(1)证明：2≤x n <x n ＋1<3； (2)求数列{x n }的通项公式．22．解：(1)用数学归纳法证明：2≤x n <x n ＋1<3. ①当n ＝1时，x 1＝2，直线PQ 1的方程为y －5＝f 2－52－4(x －4)，令y ＝0，解得x 2＝114，所以2≤x 1<x 2<3.②假设当n ＝k 时，结论成立，即2≤x k <x k ＋1<3.直线PQ k ＋1的方程为y －5＝f x k ＋1－5x k ＋1－4(x －4)，令y ＝0，解得x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1.由归纳假设知x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1＝4－52＋x k ＋1<4－52＋3＝3，x k ＋2－x k ＋1＝3－x k ＋11＋x k ＋12＋x k ＋1>0，即x k ＋1<x k ＋2.所以2≤x k ＋1<x k ＋2<3，即当n ＝k ＋1时，结论成立． 由①、②知对任意的正整数n,2≤x n <x n ＋1<3.(2)由(1)及题意得x n ＋1＝3＋4x n2＋x n.设b n ＝x n －3，则1b n ＋1＝5b n＋1，1b n ＋1＋14＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n ＋14， 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ＋14是首项为－34，公比为5的等比数列，因此1b n ＋14＝－34·5n －1，即b n ＝－43·5n －1＋1， 所以数列{x n }的通项公式为x n ＝3－43·5n －1＋1.M4 单元综合23．M4[2012·江苏卷] 设集合P n ＝{1,2，…，n }，n ∈N *.记f (n )为同时满足下列条件的集合A 的个数：①A ⊆P n ；②若x ∈A ，则2x ∉A ；③若x ∈∁P n A ，则2x ∉∁P n A . (1)求f (4)；(2)求f (n )的解析式(用n 表示)．23．解：(1)当n ＝4时，符合条件的集合A 为：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}， 故f (4)＝4.(2)任取偶数x ∈P n ，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2，…，经过k 次以后，商必为奇数，此时记商为m ，于是x ＝m ·2k ，其中m 为奇数，k ∈N *.由条件知，若m ∈A ，则x ∈A ⇔k 为偶数； 若m ∉A ，则x ∈A ⇔k 为奇数．于是x 是由m 是否属于A 确定的．设Q n 是P n 中所有奇数的集合，因此f (n )等于Q n 的子集个数．当n 为偶数(或奇数)时，P n 中奇数的个数是n 2⎝⎛⎭⎪⎫或n ＋12，所以f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧2n2，n 为偶数，2n ＋12，n 为奇数.20．B3、D4、M4[2012·北京卷] 设A 是由m ×n 个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记S (m ，n )为所有这样的数表构成的集合．对于A ∈S (m ，n )，记r i (A )为A 的第i 行各数之和(1≤i ≤m )，c j (A )为A 的第j 列各数之和(1≤j ≤n )；记k (A )为|r 1(A )|，|r 2(A )|，…，|r m (A )|，|c 1(A )|，|c 2(A )|，…，|c n (A )|中的最小值． (1)对如下数表A ，求k (A )的值；(2)设数表A ∈S (2,3)形如求k (A )的最大值；(3)给定正整数t ，对于所有的A ∈S (2,2t ＋1)，求k (A )的最大值．20．解：(1)因为r 1(A )＝1.2，r 2(A )＝－1.2，c 1(A )＝1.1，c 2(A )＝0.7，c 3(A )＝－1.8， 所以k (A )＝0.7.(2)不妨设a ≤b .由题意得c ＝－1－a －b . 又因c ≥－1，所以a ＋b ≤0，于是a ≤0.r 1(A )＝2＋c ≥1，r 2(A )＝－r 1(A )≤－1，c 1(A )＝1＋a ，c 2(A )＝1＋b ，c 3(A )＝－(1＋a )－(1＋b )≤－(1＋a )． 所以k (A )＝1＋a ≤1.当a ＝b ＝0且c ＝－1时，k (A )取得最大值1.(3)对于给定的正整数t ，任给数表A ∈S (2,2t ＋1)如下：任意改变A 的行次序或列次序，或把A 中的每个数换成它的相反数，所得数表A *∈S (2,2t＋1)，并且k (A )＝k (A *)．因此，不妨设r 1(A )≥0，且c j (A )≥0(j ＝1,2，…，t ＋1)．由k (A )的定义知，k (A )≤r 1(A )，k (A )≤c j (A )(j ＝1,2，…，t ＋1)． 又因为c 1(A )＋c 2(A )＋…＋c 2t ＋1(A )＝0，所以(t ＋2)k (A )≤r 1(A )＋c 1(A )＋c 2(A )＋…＋c t ＋1(A )＝r 1(A )－c t ＋2(A )－…－c 2t ＋1(A )＝∑j ＝1t ＋1a j －∑j ＝t ＋22t ＋1b j≤(t ＋1)－t ×(－1)＝2t ＋1.所以k (A )≤2t ＋1t ＋2.对数表A 0： －1＋t －1t t ＋2－1＋t －1t t ＋2则A 0∈S (2,2t ＋1)，且k (A 0)＝t ＋2.综上，对于所有的A ∈S (2,2t ＋1)，k (A )的最大值为2t ＋1t ＋2.2012模拟题1．[2012·西安模拟] 设S 是实数集R 的非空子集，如果∀a ，b ∈S ，有a ＋b ∈S ，a －b ∈S ，则称S 是一个“和谐集”．下面命题为假命题．．．的是( ) A ．存在有限集S ，S 是一个“和谐集”B ．对任意无理数a ，集合{}x | x ＝ka ，k ∈Z 是“和谐集”C ．若S 1≠S 2，且S 1，S 2均是“和谐集”，则S 1∩S 2≠∅D ．对任意两个“和谐集”S 1，S 2，若S 1≠R ，S 2≠R ，则S 1∪S 2＝R1.D [解析] 对于A ，S ＝{0}，是一个和谐集，正确；对于B ，对任意无理数a ，集合{x|x ＝ka ，k ∈Z }是“和谐集”正确；由A ，B 的正确，知道D 是错误的，选D.2．[2012·湖北重点中学联考] “α为锐角”是“sin α>0”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．A [解析] 因“α为锐角”，则必有“sin α>0”，反之“sin α>0”则α不一定为锐角，如α＝120°，故选A.3．[2012·洛阳检测] 给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”． 其中类比得到的结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．C [解析] ①②是正确的，③是错误的．因为复数不能比较大小，如a ＝5＋6i ， b ＝4＋6i ，虽然满足a －b ＝1＞0，但复数a 与b 不能比较大小．4．[2012·韶关一调] 在平面中，△ABC 的角C 的内角平分线CE 分△ABC 面积所成的比S △AEC S △BEC ＝ACBC.将这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 交于E ，则类比的结论为________．图K454. V A －CDE V B －CDE ＝S △ACDS △BDC[解析] 此类问题由平面类比空间，应该面积类比体积，长度类比面积，由S △AEC S △BEC ＝AC BC ，类比得V A －CDE V B －CDE ＝S △ACD S △BDC. 5．[2012·枣庄模拟] 在平面内有n 条直线，其中任何两条直线不平行，任何三条直线都不相交于同一点，则这n 条直线把平面分成________部分．5. n 2＋n ＋22[解析] a 1＝2，a 2＝4，a n ＋1－a n ＝n ＋1⇒a n ＝n 2＋n ＋22.。
高考数学真题+高考数学模拟题(文科)专项汇编专题09不等式、推理与证明原卷Word版
专题09 不等式、推理与证明1．【2019年高考全国I 卷文数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm2．【2019年高考全国III 卷文数】记不等式组6,20x y x y +≥⎧⎨-≥⎩表示的平面区域为D ．命题:(,),29p x y D x y ∃∈+≥；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+≤．下面给出了四个命题 ①p q ∨②p q ⌝∨③p q ∧⌝④p q ⌝∧⌝这四个命题中，所有真命题的编号是 A ．①③ B ．①②C ．②③D ．③④3．【2019年高考北京卷文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=52lg 21E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ． 1010.1B ． 10.1C ． lg10.1D ． 10–10.14．【2019年高考天津卷文数】设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩……，则目标函数4z x y =-+的最大值为A ．2B ．3C ．5D ．65．【2019年高考天津卷文数】设x ∈R ，则“05x <<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．【2019年高考浙江卷】若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是A ． 1-B ． 1C ． 10D ． 127．【2019年高考浙江卷】若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件8．【2019年高考全国II 卷文数】若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y ⎧⎪⎨⎪⎩+-≥+-≤-≤，，，则z =3x –y 的最大值是______.9．【2019年高考全国II 卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）10．【2019年高考北京卷文数】若x ，y 满足2,1,4310,x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪-+≥⎩则y x -的最小值为__________，最大值为__________．11．【2019年高考天津卷文数】设0,0,24x y x y >>+=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.12．【2019年高考北京卷文数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．13．（四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学（理)试题）已知集合{}(1)(4)0A x x x =+-≤，{}2log 2B x x =≤，则AB =A ．[]2,4- B ．[)1,+∞C ．(]0,4D ．[)2,-+∞14．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月)数学试题】若x ，y 满足约束条件22201y x x y y ≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则z x y =-的最大值为 A ．35- B ．12C ．5D ．615．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科数学试题】已知实数x ，y 满足约束条件202201x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数21y z x -=+的最小值为A ．23-B ．54-C ．43-D ．12-16．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试数学试题】设不等式组2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点(),P x y ，则P 点的坐标满足不等式222x y +≤的概率为A ．π8B ．π4C ．12π+D17．【山西省2019届高三高考考前适应性训练（三)数学试题】设0.321l o g 0.6,l o g 0.62m n ==，则A ．m n m n mn ->+>B ．m n mn m n ->>+C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+18．【陕西省2019年高三第三次教学质量检测数学试题】若正数,m n 满足12=+n m ，则11m n+的最小值为A．23+B．32C．2+D．319．【浙江省三校2019年5月份第二次联考数学卷】已知，则取到最小值时，A．B．C．D．20．【北京市东城区2019届高三第二学期综合练习（一)数学试题】某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票. 这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88%,70%,46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为A．68%B．88%C．96% D．98%21．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考卷数学试题】甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出如下预测：甲说：获奖者在乙丙丁三人中；乙说：我不会获奖，丙获奖；丙说：甲和丁中的一人获奖；丁说：乙猜测的是对的.成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符.已知俩人获奖，则获奖的是A．甲和丁B．甲和丙C．乙和丙D．乙和丁22．【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试数学试题】已知实数x ，y 满足342y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =+的最大值是__________．23．【天津市和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学试题】已知0x >，1y >-，且1=+y x ，则2231x y x y +++最小值为__________． 24．【天津市河北区2019届高三二模数学试题】已知首项与公比相等的等比数列中，若，n *∈N ，满足，则的最小值为__________．25．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试数学试题】观察下列式子，1ln 23>，11ln 335>+，111ln 4357>++，……，根据上述规律，第n 个不等式应该为__________．26．【陕西省延安市2019届高考模拟试题数学】甲、乙、丙三位教师分别在延安、咸阳、宝鸡的三所中学里教不同的学科，已知：①甲不在延安工作，乙不在咸阳工作； ②在延安工作的教师不教学科； ③在咸阳工作的教师教学科； ④乙不教学科.可以判断乙工作的地方和教的学科分别是__________、__________．。
高考数学专题复习专题十三-推理与证明-模拟练习题(附答案)
专题十三推理与证明基础篇考点一合情推理与演绎推理考向一合情推理1.(2022太原模拟,6)“2021年12月2日”因其数字“20211202”的对称性被很多人晒到了朋友圈,类似这样的对称性数字,在二十一世纪,我们还能再遇到() A.6次 B.7次 C.8次 D.9次答案B2.(2022长春模拟,6)在正整数数列中,由1开始依次按如下规则取它的项:第一次取1;第二次取2个连续偶数2,4;第三次取3个连续奇数5,7,9;第四次取4个连续偶数10,12,14,16;第五次取5个连续奇数17,19,21,23,25;……,按此规律取下去,得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19,…,则在这个子数列中,第2020个数是() A.3976 B.3974 C.3978 D.3973答案A3.(2022全国乙,4,5分)嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列{b n}:b1=1+11,b2=1+11+12,b3=1+11+12+13,…,依此类推,其中αk∈N*(k=1,2,…),则()A.b1<b5B.b3<b8C.b6<b2D.b4<b7答案D4.(2023届贵州遵义期中,7)如图1,规定1个正方形对应1个三角形和1个正方形,1个三角形对应1个正方形.已知图2中,第1行有1个正方形和1个三角形,按上述规定得到第2行,共有2个正方形和1个三角形,按此规定继续可得到第3行,第4行,第5行,则在图2中第5行正方形的个数为()图1图2A.5B.8C.13D.16答案B5.(2021山西考前适应性测试,14)观察下列各式:1+12C11=22−12,1+12C21+13C22=23−13,1+12C31+13C32+14C33=24−14,1+12C41+13C42+14C43+15C44=25−15.照此规律,当n∈N*时,1+12C1+13C2+…+1r1C=.答案2r1−1r1考向二演绎推理1.(2023届河南洛阳模拟,3)下面几种推理是类比推理的是()A.由“周长为定值的长方形中,正方形的面积最大”,推测出“在表面积为定值的长方体中,正方体的体积最大”B.三角形中大角对大边,若△ABC中,∠ABC>∠BAC,则AC>BCC.由13+23=32,13+23+33=62,……,得到13+23+33+43+53+63=212D.一切偶数都能被2整除,22022是偶数,所以22022能被2整除答案A2.(2022哈尔滨三中第五次模拟,4)下面几种推理中是演绎推理的为()A.某年级有21个班,1班51人,2班53人,三班52人,由此推测各班都超过50人B.猜想数列11×2,12×3,13×4,…的通项公式为a n=1or1)(n∈N*)C.由平面三角形的性质,推测空间四面体性质D.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°答案D3.(2022河南新安一中模拟,5)已知大前提:所有奇函数在x=0处的函数值为0;小前提:f(x)=1是奇函数;结论:f(0)=0.则该三段论式的推理()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.是正确的答案A考向三推理案例1.(2023届西安西工大附中适应性测试二,6)甲、乙、丙三人参加某公司的面试,最终只有一人能够被该公司录用,得到面试结果以后,甲说:丙被录用了;乙说:甲被录用了;丙说:我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误,则下列结论正确的是()A.丙被录用了B.乙被录用了C.甲被录用了D.无法确定谁被录用了答案C2.(2019课标Ⅱ文,5,5分)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高.乙:丙的成绩比我和甲的都高.丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为()A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙答案A3.(2019课标Ⅰ文,4,5分)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是()A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm答案B4.(2023届河南洛阳模拟,16)关于x的方程x2+ax-b=0,有下列四个命题:甲:x=5是方程的一个根;乙:x=3是方程的一个根;丙:该方程两根异号;丁:该方程两根之和为4.若四个命题中只有一个假命题,则假命题是.答案乙考点二直接证明与间接证明1.(2022黑龙江大庆肇州联考,4)用反证法证明命题:“若a2+b2+c2+d2=0,则a,b,c,d都为0”.下列假设中正确的是()A.假设a,b,c,d都不为0B.假设a,b,c,d至多有一个为0C.假设a,b,c,d不都为0D.假设a,b,c,d至少有两个为0答案C2.(2022安徽黄山模拟,4)下面利用分析法证明问题的推理过程中不正确的是()A.要证3+7<25,只需证(3+7)2<(25)2B.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需证(a2-1)(b2-1)≥0C.要证一元二次方程的两个根x1,x2都大于2,只需证x1+x2>4且x1x2>4D.要证a,b,c为等差数列,只需证明a+c=2b答案C3.(2021银川一中模拟,6)设x、y、z>0,a=x+1,b=y+1,c=z+1,则a、b、c三数()A.都小于2B.至少有一个不大于2C.都大于2D.至少有一个不小于2答案D考点三数学归纳法1.(2022内蒙古包头模拟,8)用数学归纳法证明-1+3-5+…+(-1)n(2n-1)=(-1)n n(n∈N*)时,若记f(n)=-1+3-5+…+(-1)n(2n-1),则f(k+1)-f(k)=() A.(-1)k+1k B.(-1)k+1(k+1)C.(-1)k+1(2k)D.(-1)k+1(2k+1)答案D2.(2022江西靖安中学月考四,6)用数学归纳法证明“1+12+13+…+12−1<n(n∈N*)”时,由假设n=k(k>1,k∈N*)不等式成立,推证到n=k+1不等式成立时,不等式左边应增加的项数是() A.2−1 B.2k-1 C.2k D.2k+1答案C3.(2021江西宜春联考,14)用数学归纳法证明(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·5·…·(2n-1)的过程中,由k到k+1时,右边应增加的因式是.答案2(2k+1)综合篇考法归纳推理与类比推理的应用考向一归纳推理1.(2023届河南焦作期中,4)如图,面点师傅把一个面团搓成1.6米长的圆柱形面棍,对折1次后重新拉长,从中间切一刀,则可以得到3根面条,如果连续对折2次后重新拉长,从中间切一刀,则可以得到5根面条,以此类推,若连续对折8次后重新拉长到1.6米,从中间切一刀,弯折处的长度忽略不计,则可得到长度为1.6米的面条的根数为()A.256B.255C.127D.126答案B2.(2022安徽六安一中月考三,7)观察算式:1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1,……,则式子3⊗5是第项() A.22 B.23 C.24 D.25答案C3.(2022黑龙江佳木斯第一中学调研四,8)图1是一个水平摆放的小正方体木块,图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成的,按照这样的规律放下去,第七个叠放的图形中小正方体木块的总数是()A.66B.91C.107D.120答案B4.(2022山西运城一模,9)已知数列{a n}的前n项和S n=2n2+n,将该数列排成一个数阵(如图),其中第n行有2n-1个数,则该数阵第9行从左向右第8个数是()A.263B.1052C.528D.1051答案D5.(2022陕西省西安中学二模,14)下列式子:13=(1×1)2,13+23+33=(2×3)2,13+23+33+43+53=(3×5)2,……由此可推得,∑=991i 3=13+23+33+…+993的值为.答案4950考向二类比推理1.(2021河南商丘、新乡部分高中3月联考,4)命题:①若2a =3b =6,则1+1=1;②若2a =3b =36,则1+1=12;③若2a =3b =216,则1+1=13.类比命题①,②,③,可得命题“若m a =n b =t (m ,n 均为大于1的整数),则1+1=1”,其中t =()A.m k nB.mn kC.kmnD.(mn )k答案D2.(2022山西晋中一模,9)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程,比如在2+2+2+…中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值x,这可以通过方程2+=x确定x=2,则2-12−12−…等于()A.1B.2C.3D.4答案A3.(2023届西南“三省三校”联考一,10)如图所示,在△ABC中,AB=AC,A=2π3,记△ABC外接圆的面积为S1,取△ABC三边的中点分别为D,E,F,记△DEF外接圆的面积为S2,再取△DEF三边的中点分别为P,Q,R,记△PQR外接圆的面积为S3,依次类推,若△ABC的内切圆半径为23-3,则S5=()A.πB.π4C.π16D.π64答案D4.(2022四川德阳三模,16)对于问题:“已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-1,2),解关于x的不等式ax2-bx+c>0”,给出如下一种解法:解析:由ax2+bx+c>0的解集为(-1,2),得a(-x)2+b(-x)+c>0的解集为(-2,1),即关于x的不等式ax2-bx+c>0的解集为(-2,1).参考上述解法,若关于x的不等式r+r r<0的解集为−1,−∪1,则关于x的不等式B B+1+B+1B+1<0的解集为.答案(-3,-1)∪(1,2)。
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M推理与证明M1合情推理与演绎推理12. M1 ［2012陕西卷］观察下列不等式1 31 + 22<2，1 1 51+ 尹32<3，11171+ 2^+ 32+ 42< 4，照此规律，第五个不等式为__________ .1 1 1 1 1 1112. 1 +护+ 32 +孑+ 5?+疋<§［解析］本小题主要考查了归纳与推理的能力，解题的关键是对给出的几个事例分析，找出规律，推出所要的结果•从几个不等式左边分11111 析，可得出第五个式子的左边为： 1 + ^2+32+孕+ 5^+孕，对几个不等式右边分析，其分母依次为：2,3,4,所以第5个式子的分母应为6,而其分子依次为：3,5,7,所以第5个1 1 1 1 1 11式子的分子应为11 ,所以第5个式子应为：1+尹+ 32 + 42+ 52+ 62<石.16. M1 ［2012 湖南卷］对于n € N*，将n 表示为n = az 2k+ a—1X 2k_ 1+ -+ x 21+ a o x 2°,当i= k时，a i = 1,当0w i < k—1时，a i为0或1.定义b n如下：在n的上述表示中，当a。
，a1, a2,…，a k中等于1的个数为奇数时，b n= 1 ；否则b n = 0.(1) b2 + b4 + b6+ b8= _______ ；⑵记C m为数列｛b n｝中第m个为0的项与第m+ 1个为0的项之间的项数，贝V C m的最大值是__________ .16. (1)3 (2)2 ［解析］本题以二进制为依据考查数列推理，意在考查考生的逻辑推理能力，具体的解题思路和过程：由前几项的结果，得出规律.(1) 由2= 21+ 0= 10(2)易知b2= 1,4= 1 x 22+ 0x 21+ 0x 20= 100(2)可知b4 = 1,同样可知b6= 0, b8= 1,所以b2 + b4+ b6 + b8= 3；(2) 任何一个二进制的数，当1的个数为奇数的时候，连续的这样的数最多只有两个，所以C m的最大值是2.［易错点］本题易错一：推理能力不行，无法找到规律，导致无从下手；易错二：发现不了数列与二进制的关联，导致第⑵问无从下手.17. M1 ［2012湖北卷］传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数•他们研究过如图 1 —6所示的三角形数：«* « *■ * ■ • * * -图1 — 6将三角形数1,3,6,10,…记为数列｛a n｝，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列｛b n｝•可以推测：(1) b2 012是数列｛a n｝中的第______ 项；1 1 11。
1 2(2) b2k—1 = ________ .(用k 表示)217. ［答案］(1)5 030 (2)—2—n n + 1［解析］由以上规律可知三角形数 1,3,6,10,…的一个通项公式为an =2—，写出其若干项来寻找规律：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120,即卩 b 1= a 4, b 2= a 5, b 3= a 9, b 4= a 10, b 5= a 14, b 6 = a 15.012是数列｛a n ｝中的第5 030项.20. C1、M1 [2012福建卷]某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都 等于同一个常数：(1) sin 1 213°+ COS 217° — sin 13 Cos17°； (2) sin 215°+ COS 215° — sin 15 COS 15 ° (3) sin 218°+ COS 212° — sin 18 C OS 12； (4) sin 2( — 18°) + COS 248° — sin( — 18°)COS 48 ； (5) sin 2( — 25 ° + COS 255。
一 sin( — 25 °)cos55 ° (1) 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.20.解：解法(1)选择(2)式，计算如下：1sin 215° + COS 2 15° — sin 15 C OS 15 °= 1 — ^sin30 1 3 =1 —；=；.4 43 ⑵三角恒等式为sin 2 a+COS 2(30 — a — sin a os(30 — a) = 4.证明如下:sin 2a+ CO S 2(30 — a) — sin a cos(30 — a=sin 2 a+ (COS 30 Cos a+ sin30 Sin c)2— sin O (COS 30 Cos a+ sin30 Sin a23 23 1 2 3 1 2 =sin a+ 4COS a+~^sin CX COS a+ 4sin a —-^Sin a COS a — 2Sin a 3.2 3 2 3 =qSin a+ 4COS a= 4. 解法二:(1)同解法一.=2—2COS 2a+ 2+ 2(COS 60 COS 2a+ sin60 S in2 a — 2 sinocos a — ^sin a5k 5k + 1由上述规律可猜想： b 2k = a 5k =2 (k 为正整数)，b 2k — 1 = a 5k — 1 =5 k — 1 5k — 1 + 1 5k 5k —1 5k 5k — 1 故 b2 012 = a 2x1 006= a 5x1 006 = a 5 030,即卩 b 223 ⑵三角恒等式为sin2a+COS"(30—a —Sin a os(30 — a = 4.证明如下：sin2a+ CO S2(30— a—sin OCOS(30— a1 —COS2 a 1 + COS 60 —2 a= 2 + 2 —sin C COS30 COS a+ sin30 sin a=2- 1cos2 a+ 2+ 1cos2 a+£sin2 a--^3sin2 a—,1 1 1 3=1 —〒C0S2 a—7+7COS2 a= 7.4 4 4 45. M1 [2012江西卷]观察下列事实：|x|+ |y|= 1的不同整数解(x, y)的个数为4, |x|+ |y|= 2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|+ |y|= 3的不同整数解(x，y)的个数为12,…,则|x|+ |y|= 20的不同整数解(x, y)的个数为( )A . 76 B. 80 C. 86 D. 925. B ［解析］个数按顺序构成首项为4,公差为4的等差数列，因此|x|+ |y|= 20的不同整数解(x, y)的个数为4+ 4(20 —1)= 80,故选B.M2直接证明与间接证明23. D5、M2 ［2012 上海卷］对于项数为m的有穷数列｛a n｝，记b k = max｛a1,a2，…,a k｝( k= 1,2，…,m)，即b k为a1 , a2,…,a k中的最大值，并称数列｛b n｝是｛a n｝的控制数列•女口1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.(1) 若各项均为正整数的数列｛a n｝的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的｛a n｝;(2) 设｛b n｝是｛a n｝的控制数列，满足a k+ b m-k+1= C(C为常数，k= 1,2，…,m)，求证：b k= a k(k= 1,2，…，m)；(3) 设m= 100,常数a€ ~, 1 .若a n = an2—(—1)"门］1 n, ｛b n｝是｛a n｝的控制数列，求(b1 —a1)+ (b2 —a2)+…+ (b100—aw。
).23. 解: (1)数列｛a n｝为：2,3,4,5,1 或2,3,4,5,2 或2,3,4,5,3 或2,3,4,5,4 或2,3,4,5,5.(2)因为b k= max｛a1, a2, …，a k｝, b k+1 = max｛a1, a2, …，a k, a k+1｝,所以b k+1> b k.因为a k+ b m —k+ 1 = C, a k + 1 + b m- k= C ,所以a k+ 1—a k= b m—k + 1 —b m —k》0，即卩a k + 1》a k.因此，b k = a k.⑶对k= 1,2, (25)a4k—3 = a(4k—3)2 + (4 k—3);a4k—2 = a(4k—2)2+ (4 k—2);a4k—1 = a(4k—1)2—(4 k—1)；a4k= a(4k)2—(4k).比较大小，可得a4k—2> a4k—3.1因为2< a v 1,所以a4k—1 —a4k—2 = (a—1)(8k —3) v0，即a4k—2>a4k—1.a4k—a4k—2 = 2(2a—1)(4k—1) > 0,即a4k> a4k—2.—C0S2 a)又a4k> a4k —1.从而b4k—3= a4k—3 , b4k—2= a4k—2, b4k —1 = a4k—2 , b4k= a4k. 因此(b1 —a“ + (b2—a2)+ …+ (be。
一aw。
)=(a2 —a3)+ (a6 —a7)+ …+ (a98—a99)25M3数学归纳法-6 - / 9=(a 4k — 2— a 4k — 1)k = 125=(1 — a) (8k — 3) = 2525(1 — a).k = 122. B12、M2 [2012 湖南卷]已知函数 f(x) = e x — ax ,其中 a >0.(1) 若对一切x € R , f(x) > 1恒成立，求a 的取值集合；(2) 在函数f(x)的图象上取定两点 A(X 1，f(x“)，B(X 2, f(x 2))(X 1V X 2),记直线AB 的斜率 为k ,证明：存在x °€ (* ,血)，使f ' (x o ) = k 成立.22. 解：(1)f ' (x) = e x — a.令 f ' (x) = 0得 x = Ina.当x v Ina 时，f ' (x)v 0, f(x)单调递减；当x > Ina 时，f ' (x)> 0, f(x)单调递增.故 当 x = ln a 时，f(x)取最小值 f(lna) = a — alna.于是对一切x€R , f(x) > 1恒成立，当且仅当a — alna 》1.①令 g(t) = t — tlnt ,则 g ' (t) = — lnt. 当 O v t v 1 时，g ' (t)>0, g(t)单调递增； 当t > 1时，g ' (t)v 0, g(t)单调递减.故当t = 1时，g(t)取最大值g(1)= 1•因此，当且仅当a = 1时，①式成立. 综上所述，a 的取值集合为{1}.f X 2 — f X 1 ex 2— ex 1(2)由题意知，k = = — a.X 2— X 1 X 2— X 1ex 2— ex 1令 0(x) = f (x) — k = e —■，则 X 2— X 1 0X1)= ex 1 —[ex 2 — X 1 (X 2 — X 1) — 1],X 2— X 1ex 20X 2)= [eX 1 — X 2 — (X 1 — X 2) — 1].X 2 — X 1令 F(t) =e t — t — 1,贝y F ' (t) = e t — 1.当t v 0时，F ' (t) v 0, F(t)单调递减；当t > 0时，F ' (t) >0, F(t)单调递增. 故当 t 工0 时，F(t) >F(0) = 0,即 e t — t — 1> 0. 从而 eX 2— X 1 — (X 2— X 1) — 1 > 0 , eX 1 — X 2 — (X 1 — X 2) — 1 > 0,又 > 0, > 0,X 2 — X 1 X 2 — X 1 所以 0(X 1)v 0 , ^X 2)> 0.因为函数y = 0x)在区间[X 1, X 2]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在 x °€(x 1,X 2),使 0(x 0)= 0, 即卩 f ' (X 0) = k 成立.M4单元综合23. M4[2012江苏卷]设集合P n= {1,2，…，n} , n€ N*.记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数：①A? P n；②若x € A,则2x?A ；③若x€ ?P n A，则2x??P n A.⑴求f(4)；(2)求f(n)的解析式(用n表示).23. 解：⑴当n= 4时，符合条件的集合A为：{2} , {1,4} , {2,3} , {1,3,4}, 故f(4) = 4.(2)任取偶数x€P n,将x除以2,若商仍为偶数，再除以2,…，经过k次以后，商必为奇数，此时记商为m,于是x= m 2k，其中m为奇数，k€N*.由条件知，若m3,则x€A? k为偶数；若m?A,贝V x€A? k为奇数.于是x是由m是否属于A确定的.设Q n是P n中所有奇数的集合，因此f(n)等于Q n 的子集个数.当n为偶数(或奇数)时，P n中奇数的个数是2或写，所以f(n)=22,门为偶数,2字,n为奇数.20. B3、D4、M4 [2012北京卷]设A是如下形式的2行3列的数表,满足性质P: a, b, c, d, e, f b+ c+ d + e + f = 0.记r i(A)为A的第i行各数之和(i = 1,2), C j(A)为A的第j列各数之和(j = 1,2,3)；记k(A)为|「1(A)|, |r2(A)|, |C1(A)|, |C2(A)|, |c s(A)|中的最小值.(1)对如下数表A,求k(A)的值；(2)设数表A形如其中一K d< 0,求k(A)⑶对所有满足性质P的2行3列的数表A,求k(A)的最大值.20.解：(1)因为n(A)= 1.2 , “(A) = - 1.2 , C1 (A) = 1.1 , C2(A) = 0.7 , c s(A)=- 1.8 ,所以k(A) = 0.7.(2) r i(A)= 1-2d,「2(A) = - 1 + 2d,c i(A) = C2(A) = 1 + d, C3(A) = - 2-2d.因为一1< d< 0,所以|n(A)|=『2(A)|\ 1 + d>0,|C3(A)| > 1 + d> 0.所以k(A) = 1 + d< 1•当d = 0时，k(A)取得最大值1.(3) 任给满足性质P的数表A(如下所示).任意改变A的行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*仍满足性质P,并且k(A) = k(A*).因此，不妨设n(A)>0, C1(A)>0, C2(A)>0.由k(A)的定义知,k(A) < n(A), k(A) < C1(A), k(A) < C2(A). 从而3k(A) < r1(A)+ C1(A) + C2(A)=(a+ b+ C) + (a + d) + (b+ e)=(a+ b+ C+ d + e+ f) + (a+ b—f)=a + b —f w 3.所以k(A)w 1.由(2)知，存在满足性质P的数表A使k(A) = 1. 故k(A)的最大值为1.2012模拟题1. ［2012肇庆一模］观察下图，可推断出X”应该填的数字是（）A. 171B. 183C. 205D. 2681. B ［解析］由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，即12+ 32+ 42+ 62= 62,22+ 42+ 52+ 82= 109,所以X”处该填的数字是32+ 52+ 72+ 102= 183.2. ［2012潍坊模拟］给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：（）①“若a, b€ R，则 a —b= 0? a= b” 类比推出“若a, b€ C,贝V a—b= 0? a = ”b;②“若a, b, c, d€ R，则复数a+ bi = c + di? a = c, b= d” 类比推出“若a, b, c, d€ Q，贝V a+ b 2 = c + d 2? a= c, b = d ”；③“若a, b€ R，则 a —b>0? a>b” 类比推出“若a, b€ C,贝V a—b>0? a> b”.其中类比得到的结论正确的个数是（）A . 0 B. 1 C. 2 D. 32. C ［解析］①正确；②若a, b, c, d€ Q ,贝V a+ b,2 = c+ d . 2? a= c, b = d” 正确，可用反证法说明；③ a —b> 0? a> b,取a = 3 + i, b= 2 + i, a—b> 0,但a, b却不能比较大小，错误.3. ［2012梁山二中月考］对于数25,规定第1次操作为23+ 53= 133,第2次操作为13+ 33+ 33= 55，如此反复操作，则第2011次操作后得到的数是（）A. 25B. 250C. 55D. 1333. D ［解析］第3次操作为53+ 53= 250,第4次操作为23+ 53+ 03= 133，故操作出现的数值呈周期，且周期为 3.2011 = 3X 670+ 1,相当于操作一次.4. ［2012厦门质检］二维空间中圆的一维测度（周长）1 = 2n，二维测度（面积）S= n2,4观察发现S'= I;三维空间中球的二维测度（表面积）S= 4n2，三维测度（体积）V=§n3, 观察发现V'= S.则四维空间中“超球”的三维测度V= 8n3，猜想其四维测度W=5. ［2012韶关调研］在平面中厶ABC的角C的内角平分线CE分厶ABC面积所成的S^AFC AC比一= ，将这个结论类比到空间：在三棱锥A—BCD中，平面DEC平分二面角A S^BEC BC-11 - /95. V ^ = M ACD ［解析］此类问题由平面类比空间，应该面积类比体积，长度类比V B —CDE S ^BDC 面积，由护二BC ，类比得V =半.Sx BEC BC V B — CDE S ^BDC4. 2n 4 ［解析］因为(2 n 4) '= 8 n 3，所以 W = 2n 4.。