【VIP专享】南京市、盐城市2014届高三年级第二次模拟考试数学试题及答案
数学_2014年江苏省高考数学模拟专家试卷(2)(含答案)
2014年江苏省高考数学模拟专家试卷（2）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知集合M ={x|y =lgx}，N ={x|y =√1−x}，则M ∩N =________．2. 设复数z 满足(z −2)i =1+i （i 为虚数单位），则z 的实部是________．3. 根据如图所示的算法流程图，输出的结果T 为________．4. 下图是一次考试结果的频率分布直方图，若规定60分以上（含60）为考试合格，则这次考试的合格率为________．5. 在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4的四个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为5的概率是________．6. 在边长为3的正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，AE 与BD 相交于点F ，则FD →⋅DE →的值为________．7. 若直线y =kx −3与曲线y =2lnx 相切，则实数k =________．8. 定义在R 上的函数f(x)满足f(x)={3x −1,x ≤0f(x −1)−f(x −2),x >0，则f(2013)=________．9. 定义在R 上的奇函数f(x)，当x ∈(−∞, 0)时，f(x)=x 2+2x −1，则不等式f(x)<−1的解集是________．10. 已知锐角A ，B 满足tan(A +B)=2tanA ，则tanB 的最大值为________．11. 已知f(x)=x 2−2x +3，g(x)=kx −1，则“|k|≤2”是“f(x)≥g(x)在R 上恒成立”的________条件．（填“充分不必要、必要而不充分、充要、既不充分也不必要”之一）12. 已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ∈N ∗)且a 1=9，其前n 项和为S n ，则满足不等式|S n −n −6|<1125的最小正整数n 是________．13. 在平面区域{(x, y)||x|≤1, |y|≤1}上恒有ax −2by ≤2，则动点P(a, b)所形成平面区域的面积为________．14. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，过正方形中心O的直线MN分别交正方形的边AB，CD于M，N，则当MNBN最小时，CN=________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请把答案写在答卷纸相应位置上．15. 已知a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，且acosC+ccosA=2bcosB．（1）求角B的大小；（2）求sinA+sinC的取值范围．16. 如图1，在矩形ABCD中，AD=2，AB=4，E，F分别为边AB，AD的中点．现将△ADE沿DE折起，得四棱锥A−BCDE（如图2）．（1）求证：EF // 平面ABC；（2）若平面ADE⊥平面BCDE，求四面体FDCE的体积．17. 如图，现有一个以∠AOB为圆心角、湖岸OA与OB为半径的扇形湖面AOB．现欲在弧AB 上取不同于A，B的点C，用渔网沿着弧AC（弧AC在扇形AOB的弧AB上）、半径OC和线段CD（其中CD // OA），在该扇形湖面内隔出两个养殖区域--养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ．若OA＝1cm，∠AOB=π3，∠AOC＝θ．（1）用θ表示CD的长度；（2）求所需渔网长度（即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和）的取值范围．18. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(−3, 0)，过点F1作一条直线l交椭圆于A，B两点，点A关于坐标原点O的对称点为A1，两直线AB，A1B的斜率之积为−1625．（1）求椭圆C的方程；（2）已知D(m, 0)为F1右侧的一点，连AD，BD分别交椭圆左准线于M，N两点，若以MN 为直径的圆恰好过点F1，求m的值．19. 已知函数f(x)=x3+x2−ax(a∈R)．（1）当a=0时，求与直线x−y−10=0平行，且与曲线y=f(x)相切的直线的方程；（2）求函数g(x)=f(x)x−alnx(x>1)的单调递增区间；（3）如果存在a∈[3, 9]，使函数ℎ(x)=f(x)+f′(x)(x∈[−3, b])在x=−3处取得最大值，试求b的最大值．20. 已知数列{a n}满足a n+1+a n−1a n+1−a n+1=n(n∈N∗)，且a2=6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a nn+c （n∈N∗，c为非零常数），若数列{b n}是等差数列，记c n=b n2n，S n=c1+c2+...+c n，求S n．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题0分，共20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【选修4-1：几何证明选讲】21. 选修4−1：几何证明选讲如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC与⊙O相切于点C，PC=AC=1．求⊙O的半径．【选修4-2：矩阵与变】22. 已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(0, 2)，B(1, 1)，C(1, 3)．若△ABC在一个切变变换T作用下变为△A1B1C1，其中B(1, 1)在变换T作用下变为点B1(1, −1)．（1）求切变变换T所对应的矩阵M；（2）将△A1B1C1绕原点O按顺时针方向旋转30∘后得到△A2B2C2．求△A2B2C2的面积．【选修4-4：坐标系与参数方程】23. 在极坐标系中，圆C是以点C(2, −π6)为圆心、2为半径的圆．（1）求圆C的极坐标方程；（2）求圆C被直线l:θ=−5π12所截得的弦长．【选修4-5：不等式选讲】24. 已知a，b都是正实数，且a+b=2，求证：a2a+1+b2b+1≥1．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25. 某校组织一次篮球投篮测试，已知甲同学每次投篮的命中率均为12．（1）若规定每投进1球得2分，求甲同学投篮4次得分X的概率分布和数学期望；（2）假设某同学连续3次投篮未中或累计7次投篮未中，则停止投篮测试，问：甲同学恰好投篮10次后，被停止投篮测试的概率是多少？26. 已知S n=1+12+13+...+1n．(1)求S2，S4的值；(2)若T n=7n+1112，试比较S2n与T n的大小，并给出证明．2014年江苏省高考数学模拟专家试卷（2）答案1. (0, 1]2. 33. 84. 72%5. 136. −327. 2√e8. 19. (−2, 0)∪(1+√3, +∞)10. √2411. 充分不必要12. 713. 414. √5−1215. 解：（1）由acosC+ccosA=2bcosB以及正弦定理可知，sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，即sin(A+C)=2sinBcosB．因为A+B+C=π，所以sin(A+C)=sinB≠0，所以cosB=12．∵ B∈(0, π)∴ B=π3．（2）sinA+sinC=sinA+sin(2π3−A)=32sinA+√32cosA=√3sin(A+π6 )∵ A∈(0,2π3)，∴ π6<A+π6<5π6∴ 12<sin(A+π6)≤1所以sinA+sinC的取值范围(√32，√3]16. 解：（1）证明：取线段AC的中点M，连结MF、MB．∵ F为AD的中点，∴ MF // CD，且MF=12CD．在折叠前，四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，∴ BE // CD，且BE=12CD．∴ MF // BE，且MF=BE．∴ 四边形BEFM为平行四边形，∴ EF // BM．又EF⊄平面ABC，BM⊂平面ABC，∴ EF // 平面ABC．（2）在折叠前，四边形ABCD为矩形，AD=2，AB=4，E为AB的中点，∴ △ADE、△CBE都是等腰直角三角形，且AD=AE=EB=BC=2．∴ ∠DEA=∠CEB=45∘，且DE=EC=2√2．又∵ ∠DEA+∠DEC+∠CEB=180∘，∴ ∠DEC=90∘．又∵ 平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE=DE，CE⊂平面BCDE，∴ CE⊥平面ADE，即CE为三棱锥C−EFD的高．∵ F为AD的中点，∴ S△EFD=12×12×AD⋅AE=14×2×2=1．∴ 四面体FDCE的体积V=13×S△EFD⋅CE=13×1×2√2=2√23．17. 由CD // OA，∠AOB=π3，∠AOC＝θ，得∠OCD＝θ，∠ODC=2π3，∠COD=π3−θ．在△OCD 中，由正弦定理，得CD =√3sin(π3−θ)，θ∈(0, π3) 设渔网的长度为f(θ)． 由（1）可知，f(θ)＝θ+1+√3sin(π3−θ)． 所以f′(θ)＝1√3cos(π3−θ)，因为θ∈(0, π3)，所以π3−θ∈(0, π3)， 令f′(θ)＝0，得cos(π3−θ)=√32，所以π3−θ=π6，所以θ=π6．所以f(θ)∈(2, π+6+2√36]． 故所需渔网长度的取值范围是(2, π+6+2√36]． 18. （本题满分16分） 解：（1）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则A 1(−x 1, −y 1)． 所以，k AB =y 2−y 1x2−x 1，k A 1B =y 2+y 1x2+x 1，于是k AB ⋅k A 1B =y 22−y 12x 22−x 12，由{x 12a2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1，得x 22−x 12a 2+y 22−y 12b 2=0，所以k AB ⋅k A 1B =−b 2a 2 … 所以b 2a 2=1625，所以ba =45．设b =4k ，a =5k ，其中k >0．由c =3，得25k 2−16k 2=9，所以k =1， 所以，椭圆C:x 225+y 216=1．…（2）设l:y =k(x +3)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由{y =k(x +3)x 225+y 216=1，消去y ，得(16+25k 2)x 2+150k 2x +225 k 2−400=0．所以x 1+x 2=−150k 216+25k 2，x 1x 2=225k 2−40016+25k 2⇒y 1y 2=k 2(x 1+3)(x 2+3)=−256k 216+25k 2．…设M(−253，y 3)，N(−253,y 4)，由M 、A 、D 共线，得y 3=(3m+25)y 13(m−x 1)，同理y 4=(3m+25)y 23(m−x 2)． …又F 1M →=(−163,y 3)，F 1N →=(−163,y 4)，由已知得F 1M →⊥F 1N →⇒F 1M →⋅F 1N →=0，得y 3y 4=−2569，而y 3y 4=(3m+25)2y 1y 29(m−x1)(m−x 2)，即−256k 216+25k 2⋅(3m+25)29(m−x 1)(m−x 2)=−2569，整理得(1+k 2)(16m 2−400)=0，所以m =±5，因为m >−3，所以m =5…19. 解：（1）设切点为T(x 0, x 03+x 02)，由f′(x)=3x 2+2x 及题意得3 x 02+2 x 0=1． … 解得x 0=−1，或x 0=13．所以T(−1, 0)或T(13, 427)．所以切线方程为x −y +1=0或27x −27y −5=0． … （2）因为g(x)=x 2+x −a −alnx(x >1)，所以由g′(x)=2x +1−ax >0，得2x 2+x −a >0． …令φ(x)=2x 2+x −a(x >1)，因为φ(x)在(1, +∞)递增，所以φ(x)>φ(1)=3−a ． 当3−a ≥0即a ≤3时，g(x)的增区间为(1, +∞)； … 当3−a <0即a >3时，因为φ(1)=3−a <0，所以φ(x)的一个零点小于1、另一个零点大于1． 由φ(x)=0得零点x 1=−1−√1+8a4<1，x 2=−1+√1+8a4>1，从而φ(x)>0(x >1)的解集为(−1+√1+8a4, +∞)， 即g(x)的增区间为(−1+√1+8a4, +∞)． … （3）方法一：ℎ(x)=x 3+4x 2+(2−a)x −a ，ℎ′(x)=3x 2+8x +(2−a)． 因为存在a ∈[3, 9]，令ℎ′(x)=0，得x 1=−4−√3a+103，x 2=−4+√3a+103．当x <x 1或x >x 2时，ℎ′(x)>0；当x 1<x <x 2时，ℎ′(x)<0． 所以要使ℎ(x)(x ∈[−3, b])在x =−3处取得最大值， 必有{x1≤−3x2>−3解得a ≥5，即a ∈[5, 9]． …所以存在a ∈[5, 9]使ℎ(x)(x ∈[−3, b])在x =−3处取得最大值的充要条件为ℎ(−3)≥ℎ(b)， 即存在a ∈[5, 9]使(b +3)a −(b 3+4b 2+2b −3)≥0成立．因为b +3>0，所以9(b +3)−(b 3+4b 2+2b −3)≥0，即(b +3)（ b 2+b −10）≤0． 解得−1−√412≤b ≤−1+√412，所以b 的最大值为−1+√412． …方法二：ℎ(x)=x 3+4x 2+(2−a)x −a ，据题意知，ℎ(x)≤ℎ(−3)在区间[−3, b]上恒成立．即(x 3+27)+4(x 2−9)+(2−a)(x +3)≤0，(x +3)(x 2+x −1−a)≤0 ①． 若x =−3时，不等式①成立；若−3<x ≤b 时，不等式①可化为x 2+x −1−a ≤0，即x 2+x ≤1+a ②．… 令ψ(x)=x 2+x ．当−3<b ≤2时，ψ(x)在区间[−3, b]上的最大值为ψ(−3)=6， 不等式②恒成立等价于6≤1+a ，a ≥5，符合题意；当b ≥2时，ψ(x)的最大值为ψ(b)=b 2+b ，不等式②恒成立等价于b 2+b ≤1+a ． 由题意知这个关于a 的不等式在区间[3, 9]上有解．故b 2+b ≤(1+a)max ，即b 2+b ≤10，b 2+b −10≤0，解得2<b ≤−1+√412．综上所述，b 的最大值为−1+√412，此时唯有a =9符合题意．…20. 解：（1）由an+1+a n −1a n+1−a n+1=n ，得(n −1)a n+1−(n +1)a n =−(n +1)，当n ≥2时，有a n+1n+1−a n n−1=−1n−1，…所以，a n+1n(n+1)−a n n(n−1)=−1n(n−1)=−(1n−1−1n )，…由叠加法，得当n ≥3时，a n =n(2n −1)． … 把n =1，a 2=6代入a n+1+a n −1a n+1−a n +1=n ，得a 1=1，经验证：a 1=1，a 2=6均满足a n =n(2n −1)．综上，a n =n(2n −1)，n ∈N ∗． … （2）由（1）可知：b n =n(2n−1)n+c，于是b 1=11+c ，b 2=62+c ，b 3=153+c ，由数列{b n }是等差数列，得b 1+b 3=2b 2， 即11+c +153+c =122+c ，解得c =−12（c =0舍去）． 所以，数列{b n }是等差数列．所以c =−12满足题意． 此时，b n =2n… 所以，c n =b n2n =n2n−1．所以S n =1+221+322+⋯+n2n−1，① 则12S n =121+222+⋯+n 2n，②①-②得，12S n =1+121+122+⋯+12n−1−n 2n=1−12n 1−12−n 2n =2−n +22n得S n =4−n+22n−121. 解：如图，连接OC ，∵ AB 是⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC 与⊙O 相切于点C ，PC =AC =1，∴ OC ⊥PC ，∠OAC =∠OCA =∠P =30∘，设OC =r ，则OP =2r ， ∴ 4r 2−r 2=1， 解得r =√33． 22. 解：（1）设M =[1cb 1 ，∵ B(1, 1)在变换T 作用下变为点B 1(1, −1)． ∴ [1c b1 •[11 =[1−1 ， 即{1+c =1b +1=−1， 解得：b =−2，c =0， ∴ M =[10−21 …（2）因为△ABC 在变换T 作用下变为△A 1B 1C 1，三个顶点的坐标分别是(0, 2)，(1, −1)和(1, 1)，其面积为1． 而旋转变换不改变图形的形状，所以其面积不变，依然为1． 所以，△△A 2B 2C 2的面积为1．…23. 解：（1）圆C 是将圆ρ=4cosθ绕极点按顺时针方向旋转π6而得到的圆，所以圆C 的极坐标方程是ρ=4cos(θ+π6)．（2）将θ=−5π12 代入圆C 的极坐标方程ρ=4cos(θ+π6)，得ρ=2√2， 所以，圆C 被直线l:θ=−5π12所截得的弦长为2√2．24. 证明：因为a ，b 都是正实数，所以原不等式等价于a 2(b +1)+b 2(a +1)≥(a +1)(b +1)，即a 2b +a 2+ab 2+b 2≥ab +a +b +1．等价于 a 2+b 2+ab(a +b)≥ab +a +b +1，…将a +b =2代入，只需要证明a 2+b 2+2ab =(a +b)2=4≥ab +3，即ab ≤1． 而由已知 a +b =2≥2√ab ，可得ab ≤1成立，所以原不等式成立． … 另证：因为a ，b 都是正实数，所以a 2a+1+a+14≥a ，b 2b+1+b+14≥b ． …两式相加得a 2a+1+a+14+b 2b+1+b+14≥a +b ，…因为 a +b =2，所以a 2a+1+b 2b+1≥1． …25. 解：（1）由题意知X =0，2，4，6，8，P(X =0)=C 40(12)4=116， P(X =2)=C 41(12)(12)3=416， P(X =4)=C 42(12)2(12)2=616，P(X =6)=C 43(12)3(12)=416，P(X =8)=C 44(12)4=116，∴ X 的概率分布列为：E(X)=0×116+2×14+4×616+6×14+8×116=4．… （2）①连续3次投篮未中，不同投法为：1+C 61+C 62+(C 63−4)+(C 31+C 31)=44，②累计7次投篮未中，不同投法为：C 31+1=4（种）， 所以该同学恰好投篮10次停止投篮测试的概率为P =481024=364．26. 解：(1)由题意得，S n =1+12+13+...+1n ， 则S 2=1+12=32，S 4=1+12+13+14=2512.(2)由T n =7n+1112得，当n =1，2时，T 1=7+1112=32，T 2=7×2+1112=2512，所以S 2n =T n .当n =3时，T 3=7×3+1112=83，S 23=S 8=1+12+13+14+15+16+17+18=761280>83=T 3， 于是猜想，当n ≥3时，S 2n >T n ．下面用数学归纳法证明：①当n ≥3，显然成立； ②假设n =k(k ≥3)时，S 2k >T k ； 那么当n =k +1时，S 2k+1=S 2k +12k +1+12k +2+⋯+12k+1>7k +1112+(12k +1+12k +2+⋯+12k +2k−1)+ (12k +2k−1+1+12k +2k−1+2+⋯+12k+1)>7k +1112+12k +2k−1×2k−1+12k+1×2k−1 =7k+1112+13+14=7(k+1)+1112，这就是说，当n=k+1时，S2n>T n．根据①、②可知，对任意不小于3的正整数n，都有S2n>T n．综上得，当n=1，2时，S2n=T n；当n≥3时，S2n>T n．。
江苏省南京市、盐城市高三数学第二次模拟考试试题苏教版
南京市2014届高三年级第二次模拟考试 数 学 2014.03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题．．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．圆柱的侧面积公式：S 侧＝2πRh ，其中R 为圆柱的底面半径，h 为圆柱的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f (x )＝ln x ＋1－x 的定义域为 ▲ ．2．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a ∈R )．若z 1z 2为实数，则a 的值为 ▲ ． 3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ▲ ．4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ ．5．已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d的值为6．执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．7．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f (π3)a(第3题图)(第6题图)的值为 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ．9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．10．已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，过点P (5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ▲ ．12．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，当x ＞1时，f (x ＋1)＝f (x )＋f (1)，且． 若直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ▲ ．13．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 14．设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ ．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(0，1] 2．4 3．300 4．59 5．2 6．4 7．18． 5 9．12 10．60° 11．1或723 12．22－2 13．(53，73) 14．[－1，1]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ⊥PB ，BP ＝BC ，E 为PC 的中点．（1）求证：AP ∥平面BDE ； （2）求证：BE ⊥平面PAC ． 15．证：（1）设AC ∩BD ＝O ，连结OE ．因为ABCD 为矩形，所以O 是AC 的中点．因为E 是PC 中点，所以OE ∥AP ． …………………………………………4分 因为AP /⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以AP ∥平面BDE ． …………………………………………6分 （2）因为平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，所以BC ⊥平面PAB ． ………………………………………8分 因为AP ⊂平面PAB ，所以BC ⊥PA ．因为PB ⊥PA ，BC ∩PB ＝B ，BC ，PB ⊂平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC ． …………………………………………12分 因为BE ⊂平面PBC ，所以PA ⊥BE ．因为BP ＝PC ，且E 为PC 中点，所以BE ⊥PC ． 因为PA ∩PC ＝P ，PA ，PC ⊂平面PAC ，所以BE ⊥平面PAC ． …………………………………………14分16．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交PBCDEA(第15题图)于点A (x 1 ，y 1 )，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．（1）若x 1＝35，求x 2；（2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及 △BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．16．解：（1）解法一：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．所以sin α＝45，cos α＝35．所以x 2＝cos(α＋π4)＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210． …………………………………6分解法二：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．A (35，45)，则OA →＝(35，45)，…………2分OB →＝(x 2，y 2)， 因为OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ，所以35x 2＋45y 2＝ 2 2 ……4分又x 22＋y 22＝1，联立消去y 2得50 x 22－302x 2－7＝0 解得x 2＝－2 10或7210，又x 2＜0，所以x 2＝－ 210． ………………………6分 解法三：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45． 因此A (35，45)，所以tan α＝43．………2分所以tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝－7，所以直线OB 的方程为y ＝－7x ……………4分由⎩⎨⎧y ＝－7x ，x 2＋y 2＝1．得x ＝± 2 10，又x 2＜0，所以x 2＝－ 2 10． …………………6分（2）S 1＝12sin αcos α＝－14sin2α． …………………………………………8分因为α∈(π4，π2)，所以α＋π4∈(π2，3π4)． 所以S 2＝－12sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝－14sin(2α＋π2)＝－14cos2α． (10)分因为S 1＝43S 2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43． …………………………………12分所以2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝2或tan α＝－12． 因为α∈(π4，π2)，所以tan α＝2．………14分17．(本小题满分14分)(第16题图)如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AMsin(120°－θ)．因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ) ． (2)分在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． …………………………………………6分AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ·MP ·cos ∠AMP＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………8分＝163sin 2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833 sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． …………………………………………12分当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2 3．答：设计∠AMN 为60 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分 解法二(构造直角三角形)： 设∠PMD ＝θ，在△PMD 中，∵PM ＝2，∴PD ＝2sin θ，MD ＝2cos θ． ……………2分 在△AMN 中，∠ANM ＝∠PMD ＝θ，∴MN sin60°＝AMsin θ，AM ＝433sin θ，∴AD ＝433sin θ＋2cos θ，(θ≥π2时，结论也正确)．……………6分A PMNBC第17题图 D APMNBC(第17题图)AP 2＝AD 2＋PD 2＝(433sin θ＋2cos θ)2＋(2sin θ)2＝163sin 2θ＋833sin θcos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ …………………………8分 ＝163·1－cos2θ2＋433sin2θ＋4＝433sin2θ－83cos2θ＋203＝203＋163sin(2θ－π6)，θ∈(0，2π3)． …………………………12分 当且仅当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2 3．此时AM ＝AN ＝2，∠PAB ＝30° …………………………14分 解法三：设AM ＝x ，AN ＝y ，∠AMN ＝α．在△AMN 中，因为MN ＝2，∠MAN ＝60°， 所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN ·cos ∠MAN ，即x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ＝4． …………………………………………2分因为MN sin60°＝AN sin α，即2sin60°＝ysin α，所以sin α＝34y ，cos α＝x 2＋4－y 22×2×x ＝x 2＋(x 2－xy )4x ＝2x －y 4． …………………………………………6分cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝12cos α－32sin α＝12·2x －y 4－32·34y ＝x －2y4．……………………………8分在△AMP 中，AP 2＝AM 2＋PM 2－2 AM ·PM ·cos ∠AMP ， 即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×x －2y4＝x 2＋4－x (x －2y )＝4＋2xy ． (12)分因为x 2＋y 2－xy ＝4，4＋xy ＝x 2＋y 2≥2xy ，即xy ≤4． 所以AP 2≤12，即AP ≤2 3．当且仅当x ＝y ＝2时，AP 取得最大值23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分 解法四(坐标法)：以AB 所在的直线为x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系． 设M (x 1，0)，N (x 2，3x 2)，P (x 0，y 0)．∵MN ＝2，∴(x 1－x 2)2＋3x 22＝4． …………………………………………2分MN 的中点K (x 1＋x 22，32x 2)．∵△MNP 为正三角形，且MN ＝2．∴PK ＝3，PK ⊥MN ． ∴PK 2＝(x 0－x 1＋x 22)2＋(y 0－32x 2)2＝3， k MN ·k PK ＝－1，即3x 2x 2－x 1·y 0－32x 2x 0－x 1＋x 22＝－1， …………………………………………6分∴y 0－32x 2＝x 1－x 23x 2(x 0－x 1＋x 22)，∴(y 0－32x 2)2＝(x 1－x 2)23x 22(x 0－x 1＋x 22)2∴(1＋(x 1－x 2)23x 22)(x 0－x 1＋x 22)2＝3，即43x 22(x 0－x 1＋x 22)2＝3，∴(x 0－x 1＋x 22)2＝94x 22．∵x 0－x 1＋x 22＞0 ∴x 0－x 1＋x 22＝32x 2，∴x 0＝12x 1＋2x 2，∴y 0＝32x 1． …………………………………………8分∴AP 2＝x 20＋y 20＝(2x 2＋12x 1)2＋34x 21＝x 21＋4x 22＋2x 1x 2＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分 即AP ≤23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 解法五(变换法)：以AB 所在的直线为x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系． 设M (x 1，0)，N (x 2，3x 2)，P (x 0，y 0)．∵MN ＝2，∴(x 1－x 2)2＋3x 22＝4．即x 21＋4x 22＝4＋2x 1x 2∴4＋2x 1x 2≥4x 1x 2，即x 1x 2≤2． …………………4分 ∵△MNP 为正三角形，且MN ＝2．∴PK ＝3，PK ⊥MN ． MN →顺时针方向旋转60°后得到MP →．MP →＝(x 0－x 1，y 0)，MN →＝(x 2－x 1， 3x 2)． ∴⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 32－32 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 2－x 13x 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0－x 1y 0，即x 0－x 1＝12(x 2－x 1)＋32x 2，y 0＝－32(x 2－x 1)＋32x 2．∴x 0＝2x 2＋12x 1，y 0＝32x 1． …………………………………………8分∴AP 2＝x 20＋y 20＝(2x 2＋12x 1)2＋34x 21＝x 21＋4x 22＋2x 1x 2＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分 即AP ≤23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 解法六(几何法)：由运动的相对性，可使△PMN 不动，点A 在运动．由于∠MAN ＝60°，∴点A 在以MN 为弦的一段圆弧(优弧)上，…………4分 设圆弧所在的圆的圆心为F ，半径为R ，由图形的几何性质知：AP 的最大值为PF ＋R ． …………8分 在△AMN 中，由正弦定理知：MNsin60°＝2R ，∴R ＝23， …………10分∴FM ＝FN ＝R ＝23，又PM ＝PN ，∴PF 是线段MN 的垂直平分线．设PF 与MN 交于E ，则FE 2＝FM 2－ME 2＝R 2－12＝13．即FE ＝33，又PE ＝3． ……………………………12 ∴PF ＝43，∴AP 的最大值为PF ＋R ＝23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 18． (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b )，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程； （3）若F 1P →＝λQF 1→，且λ∈[12，2]，求OP →·OQ →的最大值．（1）解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，a 2c＝2， 解得c ＝1，a 2＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1．所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． …………………………………………2分 （2）因为P (0，1)，F 1(－1，0)，所以PF 1的方程为x －y ＋1＝0．APMNBCFE由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x 22＋y 2＝1， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－43，y ＝－13，所以点Q 的坐标为(－43，－13)． ……………………4分 解法一：因为k PF 1·k PF 2＝－1，所以△PQF 2为直角三角形． ……………………6分 因为QF 2的中点为(－16，－16)，QF 2＝523，所以圆的方程为(x ＋16)2＋(y ＋16)2＝2518． ……………………8分解法二：设过P ，Q ，F 2三点的圆为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，1＋D ＋F ＝0，179－43D －13E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝13，E ＝13，F ＝－43．所以圆的方程为x 2＋y 2＋13x ＋13y －43＝0． …………………………………………8分（3）解法一：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，QF 1→＝(－1－x 2，－y 2)．因为F 1P →＝λQF 1→，所以⎩⎨⎧x 1＋1＝λ(－1－x 2)，y 1＝－λy 2，即⎩⎨⎧x 1＝－1－λ－λx 2，y 1＝－λy 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－1－λ－λx 2)22＋λ2y 22＝1，x 222＋y 22＝1，解得x 2＝1－3λ2λ． …………………………………………12分所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 2(－1－λ－λx 2)－λy 22＝－λ2x 22－(1＋λ)x 2－λ ＝－λ2(1－3λ2λ)2－(1＋λ)·1－3λ2λ－λ＝74－58(λ＋1λ) ． …………………………………………14分 因为λ∈[12，2]，所以λ＋1λ≥2 λ·1λ＝2，当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时，取等号．所以OP →·OQ →≤12，即OP →·OQ →最大值为12． …………………………………………16分解法二：当PQ 斜率不存在时，在x 22＋y 2＝1中，令x ＝－1得y ＝± 2 2．所以11(1)(2OP OQ ⋅=-⨯-=，此时11,22λ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦ (2)当PQ 斜率存在时，设为k ，则PQ 的方程是y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1．得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， 韦达定理 22121222422==1212k k x x x x k k--+++，………………………………………4 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2) ，则212121212(1)(1)OP OQ x x y y x x k x x ⋅=+=+++22212122222222222(1)()224(1)12122 61215122(12)2k x x k x x k k k k k k k k k k k =++++--=+++++-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+=-<+分。
南京市盐城市届高三模拟考试数学试题及答案(理)
江苏省南京市盐城市2014届高三二模数学（理）试题一、填空题1.函数f(x)＝ln x＋1－x的定义域为．2.已知复数z1＝－2＋i，z2＝a＋2i(i为虚数单位，a∈R)．若z1z2为实数，则a的值为．3.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有．【解析】4.盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为．5.已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d 的值为 ．6.执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ．7.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f (π3)的值为 ．8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ．9.表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ．10.已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ．11.在平面直角坐标系xOy 中，过点P (5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若OA⊥OB，则直线l的斜率为．12.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，当x＞0时，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)，且．若直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为．考点：分段函数图像13.在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为．14.设函数f(x)＝ax＋sin x＋cos x．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y＝f(x)在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为．二、解答题15.(本小题满分14分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP＝BC，E为PC的中点．（1）求证：AP∥平面BDE；（2）求证：BE⊥平面PAC．16.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1 ，y 1 )，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．（1）若x 1＝35，求x 2；（2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及 △BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．17.(本小题满分14分)如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．解法五(变换法)：答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………14分 考点：利用正余弦定理解三角形 18.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b )，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程； （3）若F 1P →＝λQF 1→，且λ∈[12，2]，求OP OQ 的最大值．解法二：当PQ斜率不存在时，19.(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ax ＋bx e x ，a ，b ∈R ，且a ＞0． （1）若a ＝2，b ＝1，求函数f (x )的极值； （2）设g (x )＝a (x －1)e x －f (x )．① 当a ＝1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )≥1成立，求b 的最大值；② 设g′(x )为g (x )的导函数．若存在x ＞1，使g (x )＋g′(x )＝0成立，求ba 的取值范围．【解析】所以b ≤x 2－2x －xe x 在x ∈（0，＋∞）上恒成立． …………………………8分 记h (x )＝x 2－2x －xe x （x ＞0），则h ′(x )＝(x －1)(2e x ＋1)e x．设u (x )＝2x 3－3x 22x －1（x ＞1），则u ′(x )＝8x [(x －34)2＋316](2x －1)2．因为x ＞1，u ′(x )＞0恒成立，所以u (x )在（1，＋∞）是增函数，所以u (x )＞u (1)＝－1， 所以b a ＞－1，即ba 的取值范围为（－1，＋∞）． ………………………16分 解法二：因为g (x )＝(ax －b x －2a )e x ，所以g ′(x )＝(b x 2＋ax －bx －a )e x ．20. (本小题满分16分)已知数列{a n}的各项都为正数，且对任意n∈N*，a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列．（1）若a2＝1，a5＝3，求a1的值；（2）设a1＜a2，求证：对任意n∈N*，且n≥2，都有a n＋1a n＜a2a1．a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列”运用有两个方向，决定本题有两个解题方法.一是等量代换，求出数列通项公式后，比较大小.二是放缩，直接比较大小.由2a2n＝a2n－1＋a2n＋1，①a 22n＋1＝a2n a2n＋2．②；所以a 22n－1＝又因为a 3a 2－a 2a 1＝2a 2－a 1a 2－a 2a 1＝2a 2a 1－a 12－a 22a 2a 1＝－(a 1－a 2)2a 2a 1，21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21.A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦，且BD ∥AC ．过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F ． （1）求证：四边形ACBE 为平行四边形； （2）若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长.21.B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21．（1）求矩阵A ；（2）若A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，求x ，y 的值．【解析】21.C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程．【解析】21. D ．选修4—5：不等式选讲已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1． 【答案】详见解析 【解析】22.（本小题满分10分）某中学有4位学生申请A，B，C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A大学的概率；（2）求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)．23.（本小题满分10分）设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：①任意n∈N*，f(n)∈Z；②任意m，n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．（1）求f(1)，f(2)，f(3)的值；（2）求f(n)的表达式．情形.因为f (2) f (k ＋12)＝f (k ＋1)＋f (k ＋12＋2－1)＝f (k ＋1)＋f (k ＋32)，。
江苏省南京、盐城市2014届高三第二次模拟试卷(带解析)
江苏省南京、盐城市2014届高三第二次模拟试卷（带解析）1．某学习小组以“假如失去……”为主题展开讨论．同学们提出以下四种观点，你认为正确的是（ ）A ．假如物体间失去了摩擦力，任何运动物体的机械能一定守恒B ．假如磁体周围失去了磁场，其它形式的能将无法转化为电能C ．假如地球对月球失去了引力，月球就不会绕地球转动D ．假如导体失去了电阻，所有用电器都不能正常工作 【答案】C 【解析】 试题分析：若物体间失去了摩擦力，还可能由电场力等其他的力做功，故机械能不一定守恒，所以A 错误；失去磁场还可以通过摩擦等方式是物体带电，把其他形式的能转化为电能，故B 错误；月球绕地球做圆周运动，地球对月球的引力提供向心力，故若地球对月球失去了引力，月球就不会绕地球转动，所以C 正确；假如导体失去了电阻，非纯电阻电路仍能正常工作，比如电动机，所以D 错误。
考点：本题考查机械能、电能、天体运动、电路等2．设雨点下落过程中受到的空气阻力与雨点（可看成球形）的横截面积S 成正比，与下落速度v 的平方成正比，即f=kSv 2，其中k 为比例常数，且雨滴最终都做匀速运动．已知球体积公式：V=334r π（r 为半径），若两个雨滴的半径之比为1:2，则这两个雨点的落地速度之比为（ ）A ．1:2B ．1:2C ．1:4D ．1:8【答案】A 【解析】试题分析：由题意知，雨滴最终都做匀速运动，根据平衡条件可得：mg=f= kSv 2，而质量V m ρ=，V=334r π联立可得：krv 342ρ=，两个雨滴的半径之比为1:2，故落地速度之比为1:2，所以A 正确。
考点：本题考查物体的平衡3．在地球大气层外有大量的太空垃圾．在太阳活动期，地球大气会受太阳风的影响而扩张，使一些原本在大气层外绕地球飞行的太空垃圾被大气包围，从而开始向地面下落．大部分太空垃圾在落地前已经燃烧成灰烬，但体积较大的太空垃圾仍会落到地面上，对人类造成危害．太空垃圾下落的原因是（ ）A ．大气的扩张使垃圾受到的万有引力增大而导致下落B ．太空垃圾在与大气摩擦燃烧过程中质量不断减小，进而导致下落C ．太空垃圾的上表面受到的大气压力大于其下表面受到的大气压力，这种压力差将它推向地面D ．太空垃圾在大气阻力作用下速度减小，运动所需的向心力将小于万有引力，垃圾做趋向圆心的运动，落向地面【答案】D【解析】试题分析：由题意知，由于大气层的扩张，太空垃圾被太空垃圾包围后，在运动的过程中会受大气层的阻力作用，故速度减小，使所需向心力小于受到的万有引力，而做近心运动，所以A、B、C错误；D正确。
江苏省南京市盐城市高三数学二模试题 文(含解析)苏教版
江苏省南京市盐城市2014届高三数学二模试题文（含解析）苏教版一、填空题1.【题文】函数f (x)＝lnx＋1－x的定义域为．【结束】2.【题文】已知复数z1＝－2＋i，z2＝a＋2i(i为虚数单位，a∈R)．若z1z2为实数，则a的值为．【结束】3.【题文】某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有．【解析】【结束】4.【题文】盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ．【结束】5.【题文】已知等差数列{an}的公差d 不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则a1d的值为 ．【结束】6.【题文】执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ．7.【题文】函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f(π3)的值为 ．考点：三角函数解析式 【结束】8.【题文】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ．【结束】9.【题文】表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ．10.【题文】已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ．【结束】11.【题文】在平面直角坐标系xOy 中，过点P(5，3)作直线l 与圆x2＋y2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ．【结束】12.【题文】已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)＝x2，当x ＞0时，f(x ＋1)＝f(x)＋f(1)，且．若直线y ＝kx 与函数y ＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ．02)2(2=++-x k x ，因为相切，所以,08)2(2=-+=∆k 又,0>k 所以.222-=k考点：分段函数图像 【结束】 13.【题文】在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为 ．【结束】 14.【题文】设函数f(x)＝ax ＋sinx ＋cosx ．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f(x)在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ．【结束】二、解答题15.【题文】(本小题满分14分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB， BP＝BC，E为PC的中点．（1）求证：AP∥平面BDE；（2）求证：BE⊥平面PAC．【结束】16.【题文】(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A(x1 ，y1 )，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B(x2，y2)．（1）若x1＝35，求x2；（2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及 △BOD 的面积分别为S1，S2，且S1＝43S2，求tan α的值．解得x2＝－210或7210，又x2＜0，所以x2＝－210．………………………6分【结束】17.【题文】(本小题满分14分)如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．∴PK2＝(x0－x1＋x22)2＋(y0－32x2)2＝3，解法五(变换法)：【结束】18.【题文】(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C∶x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF1交椭圆C 于另一点Q ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b)，求过P ，Q ，F2三点的圆的方程；（3）若F1P →＝λQF1→，且λ∈[12，2]，求OP OQ ⋅的最大值．试题解析：（1）解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，a2c ＝2， 解得c ＝1，a2＝2，所以b2＝a2－c2＝1．【结束】19.【题文】(本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax ＋b xex ，a ，b ∈R ，且a ＞0． （1）若a ＝2，b ＝1，求函数f(x)的极值；（2）设g(x)＝a(x －1)ex －f(x)．① 当a ＝1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g(x)≥1成立，求b 的最大值；② 设g′(x)为g(x)的导函数．若存在x ＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立，求b a的取值范围．当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)在（1，＋∞）上是增函数．整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0．【结束】20.【题文】(本小题满分16分)已知数列{an}的各项都为正数，且对任意n∈N*，a2n －1，a2n ，a2n ＋1成等差数列，a2n ，a2n ＋1，a2n ＋2成等比数列．（1）若a2＝1，a5＝3，求a1的值；（2）设a1＜a2，求证：对任意n∈N*，且n ≥2，都有an ＋1an ＜a2a1．a2n －2a2n ，n ≥2．③得：a2n －2a2n ＋a2na2n ＋2＝2a2n ，即a2n －2 ＋a2n ＋2＝2a2n ．从而数列{a2n }是等差数列，所以a2n ＝a2 ＋(n －1)(a4－a2)．由a4＝(2a2－a1)2a2，可得a2n ＝[(a2－a1)n ＋a1]2a2．代入②解得解法二：因为a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5成等差数列，所以a2n ＝a2 ＋(n －1)(a4－a2)＝(a2－a1)n ＋a1a2．。
数学_2014年江苏省南京市某校高考数学二模试卷(含答案)
2014年江苏省南京市某校高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 集合A ={x|0<x ≤3, x ∈R}，B ={x|−1≤x ≤2, x ∈R}，则A ∪B =________．2. 已知|a →|=3，|b →|=2．若a →⋅b →=−3，则a →与b →夹角的大小为________． 3. 设x ，y 为实数，且x 1−i+y 1−2i=51−3i，则x +y =________．4. 椭圆x 2+my 2=1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为________．5. 若θ∈(π4, π2)，sin2θ=116，则cosθ−sinθ的值是________．6. 已知Ω={(x, y)|x +y <6, x >0, y >0}，A ={(x, y)|x <4, y >0, x −2y >0}，若向区域Ω上随机投掷一点P ，则点P 落入区域A 的概率为________．7. 已知a ，b 是两条异面直线，直线c // a ，那么c 与b 的位置关系是________． 8. 一个算法的流程图如图所示，则输出S 的值为________．9. 将20个数平均分为两组，第一组的平均数为50，方差为33；第二组的平均数为40，方差为45，则整个数组的标准差是________．10. 某同学在借助题设给出的数据求方程lgx =2−x 的近似数（精确到0.1）时，设f(x)=lgx +x −2，得出f(1)<0，且f(2)>0，他用“二分法”取到了4个x 的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为x ≈1.8，那么他所取的4个值中的第二个值为________． 11. 设OM →=(1, 12)，ON →=(0, 1)，O 为坐标原点，动点P(x, y)满足0≤OP →⋅OM →≤1，0≤OP →⋅ON →≤1，则z =y −x 的最小值是________．12. 设周期函数f(x)是定义在R 上的奇函数，若f(x)的最小正周期为3，且满足f(1)>−2，f(2)＝m −3m ，则m 的取值范围是________．13. 等差数列{a n }的公差为d ，关于x 的不等式 d 2x 2+(a 1−d2)x +c ≥0的解集为[0, 22]，则使数列{a n }的前n 项和S n 最大的正整数n 的值是________．14. 方程x 2+√2x −1=0的解可视为函数y =x +√2的图象与函数y =1x 的图象交点的横坐标．若x 4+ax −9=0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ，9x i)(i =1, 2,…,k)均在直线y =x 的同侧，则实数a 的取值范围是________．二、解答题共6小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)，x ∈R （其中A >0,ω>0,0<φ<π2）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M(2π3，−2)．(1)求f(x)的解析式；(2)当x ∈[π12，π2]，求f(x)的值域．16. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC // AB ，∠BAD =90∘，且AB =2AD =2DC =2PD =4（单位：cm ），E 为PA 的中点．（1）证明：DE // 平面PBC ； （2）证明：DE ⊥平面PAB ．17. 一气球以V(m/s)的速度由地面上升，10分钟后由观察点P 测得气球在P 的正东方向S 处，仰角为45∘；再过10分钟后，测得气球在P 的东偏北30∘方向T 处，其仰角为60∘（如图，其中Q 、R 分别为气球在S 、T 处时的正投影）．求风向和风速（风速用V 表示）．18. 已知⊙C 过点P(1, 1)，且与⊙M ：(x +2)2+(y +2)2＝r 2(r >0)关于直线x +y +2＝0对称．(Ⅰ)求⊙C 的方程；(Ⅱ)设Q 为⊙C 上的一个动点，求PQ →⋅MQ →的最小值；(Ⅲ)过点P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．19. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2−a n ，n ＝1，2，3，…． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1＝1，且b n+1＝b n +a n ，求数列{b n }的通项公式； （3）设c n ＝n(3−b n )，求数列{c n }的前n 项和为T n ．20. 已知集合M 是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数k ，对定义域中的任意x ，等式f(kx)=k2+f(x)恒成立．（1）判断一次函数f(x)=ax +b(a ≠0)是否属于集合M ； （2）证明函数f(x)=log 2x 属于集合M ，并找出一个常数k ；（3）已知函数f(x)=log a x( a >1)与y =x 的图象有公共点，证明f(x)=log a x ∈M ．附加题.选做题：在下面A 、B 、C 、D 四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．【选修4-1：几何证明选讲】21. 如图，已知AB ，CD 是圆O 的两条弦，且AB 是线段CD 的垂直平分线．若AB =6，CD =2√5，求线段AC 的长．【选修4-2：矩阵与变换】22. 已知二阶矩阵A 有特征值λ1=1及对应的一个特征向量e 1=[11]和特征值λ2=2及对应的一个特征向量e 2=[10]，试求矩阵A 及其逆矩阵A −1．【选修4-4：坐标系与参数方程】 23. 选修4−4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是{y =sinθ+1x =cosθ（θ是参数），若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．【选修4-5：不等式选讲】24. 已知关于x 的不等式|ax −1|+|ax −a|≥1(a >0)． （1）当a ＝1时，解不等式；（2）若不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．【必做题】25. 附加题：在十字路口的路边，有人在促销木糖醇口香糖，只听喇叭里喊道：木糖醇口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）．小明一看，只见一大堆瓶装口香糖堆在一起（假设各种口味的口香糖均超过3瓶，且每瓶价值均相同）． (1)小明花10元钱买三瓶，请问小明共有多少种选择的可能性？(2)小明花10元钱买三瓶，售货员随便拿三瓶给小明，请列出有小明喜欢的草莓味口香糖瓶数ξ的分布列，并计算其数学期望．【必做题】26. 附加题：已知(x +1)n ＝a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+a 3(x −1)3+...+a n (x −1)n ，（其中n∈N∗）S n＝a1+a2+a3+...+a n．（1）求S n；（2）求证：当n≥4时，S n>(n−2)2n+2n2．2014年江苏省南京市某校高考数学二模试卷答案1. {x|−1≤x≤3}2. 23π3. 44. 145. −√1546. 297. 相交或异面8. 459. 810. 1.7511. −112. (−∞, −1)∪(0, 3)13. 1114. (−∞, −24)∪(24, +∞)15. 解：(1)由最低点为M(2π3，−2)得A=2．由x轴上相邻的两个交点之间的距离为π2得T2=π2，即T=π，ω=2πT =2ππ=2，由点M(2π3，−2)在图象上的2sin(2×2π3+φ)=−2，即sin(4π3+φ)=−1，故4π3+φ=2kπ−π2，k∈Z，∴ φ=2kπ−11π6，又φ∈(0,π2)，∴ φ=π6，故f(x)=2sin(2x+π6).(2)∵ x∈[π12，π2]，∴ 2x +π6∈[π3,7π6].当2x +π6=π2，即x =π6时，f(x)取得最大值2； 当2x +π6=7π6，即x =π2时，f(x)取得最小值−1. 故f(x)的值域为[−1, 2].16. 解：（1）设PB 的中点为F ，连接EF 、CF ，EF // AB ，DC // AB ，所以EF // DC ，且EF =DC =12AB ，故四边形CDEF 为平行四边形，可得ED // CF ．ED ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ， 故DE // 平面PBC ．（2）PD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥PD ，又因为AB ⊥AD ，PD ∩AD =D ， AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， 所以AB ⊥平面PAD ．ED ⊂平面PAD ，故ED ⊥AB ，又PD =AD ，E 为PA 之中点，故ED ⊥PA ；PA ∩AB =A ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， ∴ DE ⊥平面PAB ． 17. 风向为正南风，风速为√3V3m/s ． 18. （1）设圆心C(a, b)，则{a−22+b−22+2=0b+2a+2=1，解得{a =0b =0则圆C 的方程为x 2+y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2， 故圆C 的方程为x 2+y 2＝2（2）设Q(x, y)，则x 2+y 2＝2，PQ →⋅MQ →=(x −1,y −1)⋅(x +2,y +2) ＝x 2+y 2+x +y −4＝x +y −2，令x =√2cosθ，y =√2sinθ，∴ PQ →⋅MQ →=√2cosθ+√2sinθ−2＝2sin(θ+π4)−2，∴ (θ+π4)＝2kπ−π2时，2sin(θ+π4)＝−2，所以PQ →⋅MQ →的最小值为−2−2＝−4．(Ⅲ)由题意知，直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设PA:y −1＝k(x −1)，PB:y −1＝−k(x −1)，由{y −1=k(x −1)x 2+y 2=2 ，得(1+k 2)x 2+2k(1−k)x +(1−k)2−2＝0 因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，故可得x A =k 2−2k−11+k 2同理，x B =k 2+2k−11+k 2，所以k AB =y B −y A x B −x A=−k(x B −1)−k(x A −1)x B −x A=2k−k(x B +x A )x B −x A=1=k OP ，所以，直线AB 和OP 一定平行19. 因为n ＝1时，a 1+S 1＝a 1+a 1＝2，所以a 1＝1． 因为S n ＝2−a n ，即a n +S n ＝2，所以a n+1+S n+1＝2．两式相减：a n+1−a n +S n+1−S n ＝0，即a n+1−a n +a n+1＝0，故有2a n+1＝a n ． 因为a n ≠0，所以a n+1a n=12( n ∈N ∗)．所以数列{a n }是首项a 1＝1，公比为12的等比数列，a n =(12)n−1( n ∈N ∗)．因为b n+1＝b n +a n ( n ＝1, 2, 3,…)，所以b n+1−b n =(12)n−1．从而有b 2−b 1＝1，b 3−b 2=12，b 4−b 3=(12)2，…，b n −b n−1=(12)n−2( n ＝2, 3,…)．将这n −1个等式相加，得b n −b 1＝1+12+(12)2+⋯+(12)n−2=1−(12)n−11−12=2−2(12)n−1．又因为b 1＝1，所以b n ＝3−2(12)n−1( n ＝1, 2, 3,…)． 因为c n ＝n (3−b n )=2n(12)n−1，所以T n =2[(12)0+2(12)+3(12)2+⋯+(n −1)(12)n−2+n(12)n−1]． ①12T n =2[(12)1+2(12)2+3(12)3+⋯+(n −1)(12)n−1+n(12)n ]． ②①-②，得12T n =2[(12)0+(12)+(12)2+⋯+(12)n−1]−2n(12)n ． 故T n =41−(12)n1−12−4n(12)n =8−82n −4n(12)n =8−(8+4n)12n ( n ＝1, 2, 3,…)．20. 解：（1）若f(x)=ax +b ∈M ，则存在非零常数k ，对任意x ∈D 均有f(kx)=akx +b =k2+f(x)，即a(k −1)x =k 2恒成立，得{k −1=0k =0无解，所以f(x)∉M ．（2）log 2(kx)=k 2+log 2x ，则log 2k =k2，k =4，k =2时等式恒成立，所以f(x)=log 2x ∈M ．（3）因为y =log a x( a >1)与y =x 有交点，由图象知，y =log a x 与y =x2必有交点． 设log a k =k2，则f(kx)=log a (kx)=log a k +log a x =k2+f(x)，所以f(x)∈M ．21. 解：连结BC ，AB 、CD 相交于点E ，设AE =x∵ 直径AB 垂直于弦CD ，∴ CE =12CD =√5，且CE 2=AE ⋅BE ，可得x(6−x)=5解之得x =5∵ Rt △ACE 中，AE =5，CE =√5∴ 由勾股定理，得AC =√AE 2+CE 2=√30． 22. 解：设矩阵A =[abcd]，这里a ，b ，c ，d ∈R ，因为[11]是矩阵A 的属于λ1=1的特征向量，则有[1−a −b −c1−d ][11]=[00]①，又因为[10]是矩阵A 的属于λ2=2的特征向量，则有[2−a −b −c1−d ][1]=[00]②，根据①②，则有{1−a −b =0−c +1−d =02−a =0−c =0从而a =2，b =−1，c =0，d =1，因此A =[2−101]，根据题意[11]，[10]分别是矩阵A −1属于特征值1，12的特征向量，不妨设A −1=[ef gℎ]，则有[ef gℎ][2−101]=[−2e −e +f 2g −g +ℎ]=[1001]，则得{1−e −f =0−g +1−ℎ=012−e =0−g =0从而e =12，f =12，g =0，ℎ=1，因此A −1=[121201]． 23. 解：由{y =sinθ+1x =cosθ得{y −1=sinθx =cosθ，两式平方后相加得x 2+(y −1)2=1，…∴ 曲线C 是以(0, 1)为圆心，半径等于的圆．令x =ρcosθ，y =ρsinθ，代入并整理得ρ=2sinθ．即曲线C 的极坐标方程是ρ=2sinθ． … 24. 当a ＝1时，可得2|x −1|≥1，即|x −1|≥12，解得x ≥32x ≤12， ∴ 不等式的解集为(−∞,12]∪[32,+∞)．∵ |ax−1|+|ax−a|≥|a−1|，不等式|ax−1|+|ax−a|≥1解集为R，等价于|a−1|≥1．解得a≥2，或a≤0．又∵ a>0，∴ a≥2．∴ 实数a的取值范围为[2, +∞)．25. 解：(1)若小明买的三瓶口味均不同，有C83=56种；若其中两瓶口味一样，有C81C71=56种；若三瓶口味一样，有8种．所以小明共有56+56+8=120种选择．(2)ξ的取值为0，1，2，3．P(ξ=0)=C73+C71⋅6+7120=84120=710；P(ξ=1)=C72+7120=28120=730；P(ξ=2)=7120；P(ξ=3)=1120．所以ξ的分布列为其数学期望Eξ=0×710+1×730+2×7120+3×1120=38．26. 取x＝1，则a0＝2n；取x＝2，则a0+a1+a2+a3+...+a n＝3n，∴ S n＝a1+a2+a3+...+a n＝3n−2n；要证S n>(n−2)2n+2n2，只需证3n>(n−1)2n+2n2，①当n＝4时，81>80；②假设当n＝k(k≥4)时，结论成立，即3k>(k−1)2k+2k2，两边同乘以3得：3k+1>3[(k−1)2k+2k2]＝k2k+1+2(k+1)2+[(k−3)2k+4k2−4k−2]而(k−3)2k+4k2−4k−2＝(k−3)2k+4(k2−k−2)+6＝(k−3)2k+4(k−2)(k+ 1)+6>0∴ 3k+1>((k+1)−1)2k+1+2(k+1)2，即n＝k+1时结论也成立，由①②可知，当n≥4时，3n>(n−1)2n+2n2成立．综上原不等式获证．。
2014年高三数学二模试卷(理科含答案)
1 / 42014年高考模拟考试试卷高三数学（理科）（考试时间120分钟，满分150分）考生注意：1． 每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料，所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效；2． 答卷前，考生务必将姓名、准考证号码等相关信息在答题纸上填写清楚； 3． 本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、经过点 (1, 0)A 且法向量为(2, 1)n =-的直线l 的方程是 ．2、已知集合1|1, A x x R x ⎧⎫=<∈⎨⎬⎩⎭，集合B 是函数lg (1)y x =+的定义域，则A B = ．3、方程22124x y m +=+表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 取值范围是 ．4、已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，()n S n N *∈表示数列{}n a 的前n 项和，则2lim1nn S n →∞=- ．5、在261)x x-（的展开式中，含3x 项的系数等于 ．（结果用数值作答） 6、方程sin cos 1x x +=-的解集是 ． 7、实系数一元二次方程20x ax b ++=的一根为131ix i+=+（其中i 为虚数单位），则 a b += ．8、某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人．如果在 全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19，现采用分层抽样（按年级分层） 在全校抽取100人，则应在高三年级中抽取的人数等于 ．9、已知()2x f x =的反函数为111(), ()(1)(1)y f x g x f x f x ---==--+，则不等式()0g x <的解集是．10、已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比V V 圆柱球：= （结果用数值作答）． 11、在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线 ()6R πθρ=∈的距离等于 ．12、如果函数(]()210,1()311,ax x f x ax x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，2()log g x x =，关于x 的不等式()()0f x g x ⋅≥ 对于任意(0, )x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是 ．2 / 413、已知二次函数2() ()f x x ax a x R =-+∈同时满足：①不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在120x x <<，使得不等式12()()f x f x >成立．设数列{}n a 的前n 项 和为n S ，且()n S f n =．规定：各项均不为零的数列{}n b 中，所有满足10i i b b +⋅<的正整数i 的个数称为这个数列{}n b 的变号数．若令1n nab a =-（*n N ∈），则数列{}n b 的变号数等 于 ．14、已知圆22: (01)O x y c c +=<≤，点 (, )P a b 是该圆面（包括⊙O 圆周及内部）上一点，则a b c ++的最小值等于 ．二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
【2014南京盐城一模】江苏省南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试数学试题 Word版含答案
南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试数学一、填空题1.已知集合{3,1,1,2}A =--，集合[0,)B =+∞，则AB = .2.若复数(1)(3)z i ai =+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a = .3.现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为 .4.根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 .110Print S For I From To S S I End For S←←+ 5.若一组样本数据2，3，7，8，a 的平均数为5，则该组数据的方差2s = . 6.在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为12x =，且它的一个顶点与抛物线24y x =-的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为 .7.在平面直角坐标系xOy 中，若点(,1)P m 到直线4310x y --=的距离为4，且点P 在不等式23x y +≥表示的平面区域内，则m = .8.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，侧棱PA ⊥底面ABCD ，2PA =，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为 .9.设函数()cos(2)f x x ϕ=+，则“()f x 为奇函数”是“2πϕ=”的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）10.在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点关于点(1,2)P 成中心对称，则直线AB 的方程为 .11.在ABC ∆中，2BC =，23A π=，则AB AC ⋅的最小值为 . 12.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0.)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(l n )(l n )2(1)f t f f t+<时，那么t 的取值范围是 .13.若关于x 的不等式2(20)lg 0aax x-≤对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .14.已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和为n S ，若1n n A S B S ≤-≤对*n N ∈恒成立，则B A -的最小值为 .二、解答题15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2c =，3C π=.（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.16.如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点.（1）求证：//BF 平面1A EC ； （2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A .17.如图，现要在边长为100m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm （x 不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为215x m 的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m ，绕岛行驶的路宽均不小于10m .（1）求x 的取值范围；取1.4）（2）若中间草地的造价为a 元2/m ，四个花坛的造价为433ax 元2/m ，其余区域的造价为1211a元2/m ，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？18.在平面直角坐标系xOy 中，已知过点3(1,)2的椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 的坐标为8(,55，试求直线PA 的方程；（3）记M ，N 两点的纵坐标分别为M y ，N y ，试问M N y y ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.19.已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？ （2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间； （3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合.20.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，622S =. （1）求n S ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11k =，且12n k k k <<<，*n k N ∈.①当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式；②若关于*()n n N ∈的不等式16n n S k +>有解，试求q 的值.数学附加题21.（选做题）（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题）A ．如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若98PC =，12OP =，求PD的长.B ．已知曲线C ：1xy =，若矩阵22M -⎢⎥=⎥⎥⎦对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程.C ．在极坐标系中，圆C 的方程为2cos a ρθ=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为3242x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值.D ．已知1x ，2x ，3x 为正实数，若1231x x x ++=，求证：2223211231x x x x x x ++≥.（必做题）22.已知点(1,2)A 在抛物线Γ：22y px =上.（1）若ABC ∆的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求123111k k k -+的值； （2）若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求12341111k k k k -+-的值.23.设m 是给定的正整数，有序数组（1232,,,m a a a a ）中2i a =或2-(12)i m ≤≤.（1）求满足“对任意的1k m ≤≤，*k N ∈，都有2121k ka a -=-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数A ；（2）若对任意的1k l m ≤≤≤，k ，*l N ∈，都有221||4li i k a =-≤∑成立，求满足“存在1k m ≤≤，使得2121k ka a -≠-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数B南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. {1,2}2. －33.23 4. 55 5. 2656. y =、必要不充分 10. 30x y +-= 11. 23-12. 1[,]e e13.14.5972二、解答题：15．解：（1）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=， …………2分 又因为ABC △，所以1sin 2ab C =4ab =． …………4分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =． …………7分（2）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，即sin cos 2sin cos B A A A =，当cos 0A =时，2A π=，6B π=，a =b = …………10分当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得a =b =． …………13分所以ABC △的面积1sin 2S ab C ==． …………14分 16．证：（1）连1AC 交1A C 于点O ，F 为AC 中点， ∴111//=2OF CC OF CC 且，E 为1BB 中点，∴111//=2BE CC BE CC 且，∴//=BE OF BE OF 且，∴四边形BEOF 是平行四边形， ………4分 ∴//BF OE ，又BF ⊄平面1A EC ，OE ⊂平面1A EC ，∴//BF 平面1A EC .……7分（2）由（1）知//BF OE ，AB CB =，F 为AC 中点，所以BF AC ⊥，所以OE AC ⊥，………9分又因为1AA ⊥底面ABC ，而BF ⊂底面ABC ，所以1AA BC ⊥， 则由//BF OE ，得1OE AA ⊥，而1,AA AC ⊂平面11ACC A ，且1AA AC A =，所以OE ⊥面11ACC A ， …………12分 又OE ⊂平面1A EC ，所以平面1A EC ⊥平面11ACC A . …………14分17．解：（1）由题意得，29,100260,122210,5x x x x ≥⎧⎪-≥⎪⎨⎪-⨯≥⨯⎪⎩…………4分解得9,20,2015,x x x ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤≤⎩即915x ≤≤. …………7分（2）记“环岛”的整体造价为y 元，则由题意得222422214121()(10())533115a y a x ax x x x ππππ=⨯⨯+⨯+⨯-⨯-432414[(12)1210]11253a x x x π=-+-+⨯， …………10分 令43214()12253f x x x x =-+-，则32241()4244(6)2525f x x x x x x x '=-+-=--+，由()0f x '=，解得10x =或15x =， …………12分答：当10x =m 时，可使“环岛”的整体造价最低. …………14分18．解：（1）由题意，得24a ==，即2a =， …2分又1c =，∴23b =，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=. ………5分（2）8(,)55B ，∴8(,55P--，又(1,0)F， ∴AB k = ∴直线AB ：1)y x =-， …………7分联立方程组221431)x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，解得(0,A ， …………9分 ∴直线PA ：4y x =-40y ++=. …………10分 （3）当AB k 不存在时，易得9m n y y =-, 当AB k 存在时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则22(,)P x y --，∴2211143x y +=，2222143x y +=，两式相减， 得21212121()()()()43x x x x y y y y +-+-=-， ∴21212121()()3()()4PA AB y y y y k k x x x x +-=-=⋅+-，令221AB y k k x ==-，则34PA k k=-，…12分∴ 直线PA 方程：223()4y y x x k +=-+，∴223(4)4M y x y k=-+-，∴22223(4)(1)4M x x y y y +-=--， ∴ 直线PB 方程：22y y x x =⋅，∴224N yy x =， 14分 ∴222222(4)(1)43M N x x y y y x x +-=-⨯-，又2222143x y +=，∴22224123y x =-， ∴2222(4)(1)4339M N x x x y y +-+-=-⨯=-，所以M N y y 为定值9-. ……16分19．解：（1）()x f x e '=，∴(0)1f '=，又(0)1f =，∴()y f x =在0x =处的切线方程为1y x =+， ……………2分又()2g x ax b '=+，∴(0)g b '=，又(0)1g =，∴()y g x =在0x =处的切线方程为1y bx =+，所以当0,a a R ≠∈且1b =时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线 ………4分（2）由1a =，21()x x bx h x e ++=，∴2(2)1()x x b x b h x e -+-+-'=，∴2(2)1(1)((1))()x xx b x b x x b h x e e-+-+----'==-， ………7分 由()0h x '=，得11x =，21x b =-，∴当0b >时，函数()y h x =的减区间为(,1)b -∞-，(1,)+∞；当0b =时，函数()y h x =的减区间为(,)-∞+∞；当0b <时，函数()y h x =的减区间为(,1)-∞，(1,)b -+∞. ………10分 （3）由1a =，则()()()1xx f x g x e bx ϕ=-=--，∴()xx e b ϕ'=-，①当0b ≤时，()0x ϕ'≥，函数()x ϕ在R 单调递增，又(0)0ϕ=，∴ (,0)x ∈-∞时， ()0x ϕ<，与函数()()f x g x ≥矛盾，………12分 ②当0b >时，∴()0x ϕ'>，ln x b >；∴()0x ϕ'<，ln x b <∴函数()x ϕ在(,ln )b -∞单调递减；(ln ,)b +∞单调递增，（Ⅰ）当01b <<时，∴ln 0b <，又(0)0ϕ=，∴(ln )0b ϕ<，与函数()()f x g x ≥矛盾， （Ⅱ）当1b >时，同理(ln )0b ϕ<，与函数()()f x g x ≥矛盾，（Ⅲ）当1b =时， ln 0b =，∴函数()x ϕ在(,0)-∞单调递减；(0,)+∞单调递增，∴()(0)0x ϕϕ≥=，故1b =满足题意.综上所述，b 的取值的集合为{}1. ……………16分20．解：（1）设等差数列的公差为d ，则611665222S a d =+⋅⋅=，解得23d =，……2分所以(5)3n n n S +=. ………4分若22=k ，则由382=a ，得3412==a a q ，此时932)34(223=⋅=k a ，由)2(32932+=n ， 解得*310N n ∉=，所以22>k ，同理32>k ； ……6分 若42=k ，则由44=a ，得2=q ，此时122-⋅=n k n a ，另一方面，2(2)3n k n a k =+，所以2(2)23n n k +=，即1322n n k -=⨯-， ………8分 所以对任何正整数n ，n k a 是数列}{n a 的第2231-⋅-n 项．所以最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ． ………10分 （3）因为12423n n n k k a q -+==，得132n n k q -=-，而1q >， 所以当1q >且q N ∈时，所有的132n n k q -=-均为正整数，适合题意； 当2q >且q N ∉时，132n n k q N -=-∈不全是正整数，不合题意.而16n n S k +>有解，所以2(5)213nn n q ++>有解，经检验，当2q =，3q =，4q =时，1n =都是2(5)213nn n q++>的解，适合题意； ………12分 下证当5q ≥时，2(5)213n n n q ++>无解, 设2(5)23nnn n b q ++=， 则212[(1)(75)7]3n n nq n q n q b b q +-+-+--=，因为57022q q-<-，所以2()2[(1)(75)7]f n q n q n q =-+-+-在*n N ∈上递减， 又因为(1)0f <，所以()0f n <恒成立，所以10n n b b +-<，所以1n b b ≤恒成立， 又因为当5q ≥时，11b <，所以当5q ≥时，16n n S k +>无解. ………15分 综上所述，q 的取值为2,3,4. ……………16分附加题答案21. A 、解：P 为AB 中点，∴OP AB ⊥，∴PB ==………5分 又234PC PD PA PB PB ⋅=⋅==，由98PC =，得23PD =. ………10分B 、解：设曲线C 一点(,)x y ''对应于曲线C '上一点(,)x y ，∴22x x '⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥=⎢⎥⎢⎥⎥，∴22x y x ''-=，22x y y ''+=，……5分∴x '=y '=，∴1x y ''==，∴曲线C '的方程为222y x -=. …10分 C 、解：易求直线l ：4320x y --=，圆C ：222()x a y a -+=，a =，解得229a =-或. ……10分D 、证：2223211231231232()2x x x x x x x x x x x x +++++≥=++=， ∴ 2223211231x x x x x x ++≥. …10分22．解：（1）由点(1,2)A 在抛物线F ，得2p =，∴抛物线F ：24y x =， …3分设211(,)4y B y ，222(,)4y C y ， ∴222212121212123121211221114444122444y y y y y y y y k k k y y y y ---+++-+=-+=-+=---. ……7分 (2)另设233(,)4y D y ，则323121123422111104444y y y y y y k k k k ++++-+-=-+-=.…10分 23．解：（1）因为对任意的1k m ≤≤，都有2121k ka a -=-，则212(,)(2,2)k k a a -=-或212(,)(2,2)k k a a -=-，共有2种，所以1232(,,,,)m a a a a ⋅⋅⋅共有2m 种不同的选择，所以2m A =. ……5分 （2）当存在一个k 时，那么这一组有12m c 种，其余的由（1）知有12m -，所有共有1122m m c -；当存在二个k 时，因为条件对任意的1k l m ≤≤≤,都有221||4li i k a =-≤∑成立得这两组共有22m c ，其余的由（1）知有22m -，所有共有2222m m c -；依次类推得：1122222222(32)m m mm m m m m B c c c --=++⋅⋅⋅+=-. ………10分。
南京市、盐城市2014届高三年级第二次模拟考试数学试题及答案
南京市2014届高三年级第二次模拟考试 数 学 2014.03 注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．圆柱的侧面积公式：S 侧＝2πRh ，其中R 为圆柱的底面半径，h 为圆柱的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f(x)＝lnx ＋1－x 的定义域为 ▲ ．2．已知复数z1＝－2＋i ，z2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a ∈R)．若z1z2为实数，则a 的值为 ▲ ．3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ▲ ．4．盒中有3张分别标有1，2，3码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 5．已知等差数列{an}的公差d 不为0，且a1，a3，a76．执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．7．函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．10．已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，过点P(5，3)作直线l 与圆x2＋y2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ▲ ．12．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)＝x2，当x ＞0时，f(x ＋1)＝f(x)＋f(1)，且．a (第7题图)若直线y ＝kx 与函数y ＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ▲ ． 13．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 14．设函数f(x)＝ax ＋sinx ＋cosx ．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f(x)在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ⊥PB ， BP ＝BC ，E 为PC 的中点．（1）求证：AP ∥平面BDE ； （2）求证：BE ⊥平面PAC ．16．(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交 于点A(x1 ，y1 )，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B(x2，y2)．（1）若x1＝35，求x2；（2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及 △BOD 的面积分别为S1，S2，且S1＝43S2，求tan α的值．17．(本小题满分14分)如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A)，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．(第16题图) P NC PB C DE A (第15题图)18． (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ∶x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF1交椭圆C 于另一点Q ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b)，求过P ，Q ，F2三点的圆的方程； （3）若F1P →＝λQF1→，且λ∈[12，2]，求OP →·OQ →的最大值．19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax ＋bxex ，a ，b ∈R ，且a ＞0．（1）若a ＝2，b ＝1，求函数f(x)的极值； （2）设g(x)＝a(x －1)ex －f(x)．① 当a ＝1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g(x)≥1成立，求b 的最大值；② 设g′(x)为g(x)的导函数．若存在x ＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立，求ba 的取值范围．20．(本小题满分16分)已知数列{an}的各项都为正数，且对任意n ∈N*，a2n －1，a2n ，a2n ＋1成等差数列， a2n ，a2n ＋1，a2n ＋2成等比数列． （1）若a2＝1，a5＝3，求a1的值；（2）设a1＜a2，求证：对任意n ∈N*，且n ≥2，都有an ＋1an ＜a2a1．南京市2014届高三年级第二次模拟考试数学附加题 2014.03 注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦，且BD ∥AC ．过点A 作圆的切线与 DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F ． （1）求证：四边形ACBE 为平行四边形；（2）若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长.B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎡⎦⎤21． （1）求矩阵A ；（2）若A ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤ab ，求x ，y 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝π4(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程．D ．选修4—5：不等式选讲已知x ，y ∈R ，且|x ＋y|≤16，|x －y|≤14，求证：|x ＋5y|≤1．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某中学有4位学生申请A ，B ，C 三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A 大学的概率；（2）求被申请大学的个数X 的概率分布列与数学期望E(X)． 23．（本小题满分10分）设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：①任意n ∈N*，f(n)∈Z ；②任意m ，n ∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m ＋n －1)．A EBC F D第21题A 图（1）求f(1)，f(2)，f(3)的值； （2）求f(n)的表达式．南京市2014届高三年级第二次模拟考试 数学参考答案 说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(0，1] 2．4 3．300 4．59 5．2 6．4 7．18． 5 9．12 10．60° 11．1或723 12．22－2 13．(53，73) 14．[－1，1]二、解答题：15．证：（1）设AC ∩BD ＝O ，连结OE ． 因为ABCD 为矩形，所以O 是AC 的中点．因为E 是PC 中点，所以OE ∥AP ． …………………………………………4分 因为AP /⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以AP ∥平面BDE ． …………………………………………6分 （2）因为平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，所以BC ⊥平面PAB ． …………………………………………8分 因为AP ⊂平面PAB ，所以BC ⊥PA ．因为PB ⊥PA ，BC ∩PB ＝B ，BC ，PB ⊂平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC ． …………………………………………12分 因为BE ⊂平面PBC ，所以PA ⊥BE ．因为BP ＝PC ，且E 为PC 中点，所以BE ⊥PC ． 因为PA ∩PC ＝P ，PA ，PC ⊂平面PAC ，所以BE ⊥平面PAC ． …………………………………………14分16．解：（1）因为x1＝35，y1＞0，所以y1＝1－x 21＝45．所以sin α＝45，cos α＝35． …………………………………………2分所以x2＝cos(α＋π4)＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210． …………………………………………6分（2）S1＝12sin αcos α＝－14sin2α．因为α∈(π4，π2)，所以α＋π4∈(π2，3π4)．所以S2＝－12sin (α＋π4)cos (α＋π4)＝－14sin(2α＋π2)＝－14cos2α．…………………………………………8分因为S1＝43S2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43． (10)分所以2tanα1－tan2α＝－43，解得tanα＝2或tan α＝－12．因为α∈(π4，π2)，所以t anα＝2． …………………………………………14分17．解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AMsin(120°－θ)．因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ) ． ………………………………………2分在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． …………………………………………6分 AP2＝AM2＋MP2－2 AM·MP·cos ∠AMP ＝163sin2(120°－θ)＋4－2×2×433 sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………8分 ＝163sin2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833 sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． …………………………………………12分 当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP 取得最大值23．答：设计∠AMN 为60 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分 解法二：设AM ＝x ，AN ＝y ，∠AMN ＝α． 在△AMN 中，因为MN ＝2，∠MAN ＝60°， 所以MN2＝AM2＋AN2－2 AM·AN·cos ∠MAN ， 即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy ＝4． …………………………………………2分 因为MN sin60°＝AN sin α，即2sin60°＝y sin α，所以sin α＝34y ，cosα＝x2＋4－y22×2×x ＝x2＋(x2－xy)4x ＝2x －y 4． …………………………………………6分cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝12cos α－32sin α＝12·2x －y 4－32·34y ＝x －2y4．……………………………8分在△AMP 中，AP2＝AM2＋PM2－2 AM·PM·cos ∠AMP ，即AP2＝x2＋4－2×2×x×x －2y4＝x2＋4－x(x －2y)＝4＋2xy ．………………………………………12分因为x2＋y2－xy ＝4，4＋xy ＝x2＋y2≥2xy ，即xy ≤4． 所以AP2≤12，即AP ≤23．当且仅当x ＝y ＝2时，AP 取得最大值23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分18．（1）解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，a2c ＝2， 解得c ＝1，a2＝2，所以b2＝a2－c2＝1．所以椭圆的方程为x22＋y2＝1． …………………………………………2分（2）因为P(0，1)，F1(－1，0)，所以PF1的方程为x －y ＋1＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x22＋y2＝1， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－43，y ＝－13，所以点Q 的坐标为(－43，－13)． ……………………4分解法一：因为kPF 1·kPF 2＝－1，所以△PQF2为直角三角形． ……………………6分 因为QF2的中点为(－16，－16)，QF2＝523，所以圆的方程为(x ＋16)2＋(y ＋16)2＝2518． ……………………8分解法二：设过P ，Q ，F2三点的圆为x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，1＋D ＋F ＝0，179－43D －13E ＋F ＝0， 解得⎩⎨⎧D ＝13，E ＝13，F ＝－43．所以圆的方程为x2＋y2＋13x ＋13y －43＝0． …………………………………………8分（3）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则F1P →＝(x1＋1，y1)，QF1→＝(－1－x2，－y2)．因为F1P →＝λQF1→，所以⎩⎨⎧x1＋1＝λ(－1－x2)，y1＝－λy2，即⎩⎨⎧x1＝－1－λ－λx2，y1＝－λy2，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－1－λ－λx2)22＋λ2y 22＝1，x 222＋y 22＝1，解得x2＝1－3λ2λ． …………………………………………12分所以OP →·OQ →＝x1x2＋y1y2＝x2(－1－λ－λx2)－λy 22＝－λ2x22－(1＋λ)x2－λ ＝－λ2(1－3λ2λ)2－(1＋λ)·1－3λ2λ－λ＝74－58(λ＋1λ) ． …………………………………………14分因为λ∈[12，2]，所以λ＋1λ≥2 λ·1λ＝2，当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时，取等号．所以OP →·OQ →≤12，即OP →·OQ →最大值为12． …………………………………………16分19．解：（1）当a ＝2，b ＝1时，f (x)＝(2＋1x)ex ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以f ′(x)＝(x ＋1)(2x －1)x2ex ． …………………………………………2分令f ′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝12，列表由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e －1，f (x)的极小值是f (12)＝4e ．……………………………………4分（2）① 因为g (x)＝(ax －a)ex －f (x)＝(ax －bx －2a)ex ，当a ＝1时，g (x)＝(x －bx－2)ex ．因为g (x)≥1在x ∈（0，＋∞）上恒成立，所以b≤x2－2x －xex 在x ∈（0，＋∞）上恒成立． …………………………………………8分记h(x)＝x2－2x －xex （x ＞0），则h ′(x)＝(x －1)(2ex ＋1)ex．当0＜x ＜1时，h ′(x)＜0，h(x)在（0，1）上是减函数；当x ＞1时，h ′(x)＞0，h(x)在（1，＋∞）上是增函数． 所以h(x)min ＝h(1)＝－1－e －1．所以b 的最大值为－1－e －1． …………………………………………10分 ② 因为g (x)＝(ax －b x －2a)ex ，所以g ′(x)＝(b x2＋ax －bx －a)ex ．由g (x)＋g ′(x)＝0，得(ax －b x －2a)ex ＋(b x2＋ax －bx－a)ex ＝0，整理得2ax3－3ax2－2bx ＋b ＝0．存在x ＞1，使g (x)＋g ′(x)＝0成立，等价于存在x ＞1，2ax3－3ax2－2bx ＋b ＝0成立． …………………………………………12分 因为a ＞0，所以b a ＝2x3－3x22x －1．设u(x)＝2x3－3x22x －1（x ＞1），则u ′(x)＝8x[(x －34)2＋316](2x －1)2．因为x ＞1，u ′(x)＞0恒成立，所以u(x)在（1，＋∞）是增函数，所以u(x)＞u(1)＝－1，所以b a ＞－1，即ba 的取值范围为（－1，＋∞）． …………………………………………16分20．解：（1）因为a3，a4，a5成等差数列，设公差为d ，则a3＝3－2d ，a4＝3－d ．因为a2，a3，a4成等比数列，所以a2＝a 23a4＝(3－2d)23－d ． …………………………………………3分因为a2＝1，所以(3－2d)2 3－d ＝1，解得d ＝2，或d ＝34．因为an ＞0，所以d ＝34．因为a1，a2，a3成等差数列，所以a1＝2a2－a3＝2－(3－2d)＝12．…………………………………5分（2）证法一：因为a2n －1，a2n ，a2n ＋1成等差数列，a2n ，a2n ＋1，a2n ＋2成等比数列， 所以2a2n ＝a2n －1＋a2n ＋1，① a 2 2n ＋1＝a2na2n ＋2．② 所以a 2 2n －1＝a2n －2a2n ，n ≥2．③所以a2n －2a2n ＋a2na2n ＋2＝2a2n ．因为an ＞0，所以a2n －2 ＋a2n ＋2＝2a2n ． …………………………………………7分 即数列{a2n }是等差数列．所以a2n ＝a2 ＋(n －1)(a4－a2)．由a1，a2及a2n －1，a2n ，a2n ＋1是等差数列，a2n ，a2n ＋1，a2n ＋2是等比数列，可得a4＝(2a2－a1)2a2．所以a2n ＝a2 ＋(n －1)(a4－a2)＝(a2－a1)n ＋a1a2．所以a2n ＝[(a2－a1)n ＋a1]2a2．所以a2n ＋2＝[(a2－a1)(n ＋1)＋a1]2a2． (10)分从而a2n ＋1＝a2na2n ＋2＝[(a2－a1)n ＋a1][(a2－a1)(n ＋1)＋a1]a2．所以a2n －1＝[(a2－a1)(n －1)＋a1][(a2－a1)n ＋a1]a2．①当n ＝2m ，m ∈N*时，an ＋1an －a2a1＝[(a2－a1)m ＋a1][(a2－a1)(m ＋1)＋a1]a2[(a2－a1)m ＋a1]2a2－a2a1＝(a2－a1)(m ＋1)＋a1(a2－a1)m ＋a1－a2a1＝－m(a1－a2)2a1[(a2－a1)m ＋a1]＜0． …………………………………………14分②当n ＝2m －1，m ∈N*，m ≥2时，an ＋1an －a2a1＝[(a2－a1)m ＋a1]2a2[(a2－a1)(m －1)＋a1][(a2－a1)m ＋a1]a2－a2a1＝(a2－a1)m ＋a1(a2－a1)(m －1)＋a1－a2a1＝－(m －1)(a1－a2)2a1[(a2－a1)(m －1)＋a1]＜0．综上，对一切n ∈N*，n ≥2，有an ＋1an ＜a2a1． …………………………………………16分证法二：①若n 为奇数且n ≥3时，则an ，an ＋1，an ＋2成等差数列．因为an ＋2an ＋1－an ＋1an ＝an ＋2an －a2n ＋1an ＋1an ＝(2an ＋1－an)an －a2n ＋1an ＋1an ＝－(an ＋1－an)2an ＋1an ≤0，所以an ＋2an ＋1≤an ＋1an ．②若n 为偶数且n ≥2时，则an ，an ＋1，an ＋2成等比数列，所以an ＋2an ＋1＝an ＋1an ．由①②可知，对任意n ≥2，n ∈N*，an ＋2an ＋1≤an ＋1an ≤…≤a3a2．又因为a3a2－a2a1＝2a2－a1a2－a2a1＝2a2a1－a12－a22a2a1＝－(a1－a2)2a2a1，因为a1＜a2，所以－(a1－a2)2a2a1＜0，即a3a2＜a2a1．综上，an ＋1an ＜a2a1．南京市2014届高三年级第二次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2014.03说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲解：（1）因为AE 与圆相切于点A ，所以∠BAE ＝∠ACB ．因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ．所以∠ABC ＝∠BAE ．所以AE ∥BC ．因为BD ∥AC ，所以四边形ACBE 为平行四边形．…………………………………4分（2）因为AE 与圆相切于点A ，所以AE2＝EB·(EB ＋BD)，即62＝EB·(EB ＋5)，解得BE ＝4． 根据（1）有AC ＝BE ＝4，BC ＝AE ＝6．设CF ＝x ，由BD ∥AC ，得AC BD ＝CF BF ，即45＝x 6－x ，解得x ＝83，即CF ＝83．………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）由题意，得⎣⎡⎦⎤1 a －1 b ⎣⎡⎦⎤21＝2⎣⎡⎦⎤21，即⎩⎨⎧2＋a ＝4，－2＋b ＝2，解得a ＝2，b ＝4．所以A ＝⎣⎡⎦⎤1 2－1 4． ………………………………………5分 （2）解法一：A ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤a b ，即⎣⎡⎦⎤1 2－1 4 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤24， 所以⎩⎨⎧x ＋2y ＝2，－x ＋4y ＝4，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1．………………………………………10分 解法二：因为A ＝⎣⎡⎦⎤1 2－1 4，所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13 16 16． ………………………………………7分 因为A ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤a b ，所以⎣⎡⎦⎤x y ＝A －1⎣⎡⎦⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13 16 16 ⎣⎡⎦⎤24＝⎣⎡⎦⎤01． 所以⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1． ………………………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解法一：以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cosθ的直角坐标方程为 (x －1)2＋y2＝1，且圆心C 为(1，0)．………………………4分直线θ＝π4的直角坐标方程为y ＝x ， 因为圆心C(1，0)关于y ＝x 的对称点为(0，1)，所以圆心C 关于y ＝x 的对称曲线为x2＋(y －1)2＝1． ………………………………………8分所以曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝π4(ρR)对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ．…………………10分 解法二：设曲线ρ＝2cosθ上任意一点为(ρ′，θ′)，其关于直线θ＝π4对称点为(ρ，θ)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ρ′＝ρ，θ′＝2k π＋π2－θ． ………………………………………6分 将(ρ′，θ′)代入ρ＝2cosθ，得ρ＝2cos(π2－θ)，即ρ＝2sinθ． 所以曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝π4(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ．…………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证： 因为|x ＋5y|＝|3(x ＋y)－2(x －y)|． ………………………………………5分 由绝对值不等式性质，得|x ＋5y|＝|3(x ＋y)－2(x －y)|≤|3(x ＋y)|＋|2(x －y)|＝3|x ＋y|＋2|x －y|≤3×16＋2×14＝1． 即|x ＋5y|≤1． ………………………………………10分22．（本小题满分10分）解（1）记“恰有2人申请A 大学”为事件A ，P(A)＝C42×2234＝2481＝827． 答：恰有2人申请A 大学的概率为827． ………………………………………4分 （2）X 的所有可能值为1，2，3．P(X ＝1)＝334＝127， P(X ＝2)＝C43×A32＋3×A3234＝4281＝1427， P(X ＝3)＝C42×A3334＝3681＝49． X所以X 的数学期望E(X)＝1×127＋2×1427＋3×49＝6527． ………………………………………10分 23．解：（1）因为f(1)f(4)＝f(4)＋f(4)，所以5 f(1)＝10，则f(1)＝2．……………………………………1分 因为f(n)是单调增函数，所以2＝f(1)＜f(2)＜f(3)＜f(4)＝5．因为f(n)∈Z ，所以f(2)＝3，f(3)＝4． ………………………………………3分（2）解：由（1）可猜想f (n)＝n+1．证明：因为f (n)单调递增，所以f (n+1)＞f (n)，又f(n)∈Z ，所以f (n+1)≥f (n)+1．首先证明：f (n)≥n+1．因为f (1)＝2，所以n ＝1时，命题成立．假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)≥k+1．则f(k+1)≥f (k)+1≥k+2，即n＝k+1时，命题也成立．综上，f (n)≥n+1．………………………………………5分由已知可得f (2)f (n)＝f (2n)＋f (n+1)，而f(2)＝3，f (2n)≥2n＋1，所以3 f (n)≥f (n+1)＋2n＋1，即f(n+1)≤3 f (n)－2n－1．下面证明：f (n)＝n+1．因为f (1)＝2，所以n＝1时，命题成立．假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)＝k+1，则f(k+1)≤3f (k)－2k－1＝3(k+1)－2k－1＝k＋2，又f(k+1)≥k＋2，所以f(k+1)＝k＋2．即n＝k+1时，命题也成立．所以f (n)＝n+1 ………………………………………10分。
2014届高三调研测试试卷南京、盐城卷数学答案
南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试一、填空题1.已知集合{3,1,1,2}A =--，集合[0,)B =+∞，则A B =I .2.若复数(1)(3)z i ai =+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a = .3.现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为 .4.根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 .110Pr int S For I From To S S I End For S←←+ 5.若一组样本数据2，3，7，8，a 的平均数为5，则该组数据的方差2s = . 6.在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为12x =，且它的一个顶点与抛物线24y x =-的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为 . 7.在平面直角坐标系xOy 中，若点(,1)P m 到直线4310x y --=的距离为4，且点P 在不等式23x y +≥表示的平面区域内，则m = .8.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠= ，侧棱PA ⊥底面ABCD ，2PA =，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为 . 9.设函数()cos(2)f x x ϕ=+，则“()f x 为奇函数”是“2πϕ=”的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）10.在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点关于点(1,2)P 成中心对称，则直线AB 的方程为 .11.在ABC ∆中，2BC =，23A π=，则AB AC ⋅ 的最小值为 .12.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0.)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(ln )(ln )2(1)f t f f t+<时，那么t 的取值范围是 .13.若关于x 的不等式2(20)lg 0aax x-≤对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .14.已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和为n S ，若1n n A S B S ≤-≤对*n N ∈恒成立，则B A -的最小值为 .二、解答题15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2c =，3C π=.（1）若ABC ∆的面积等于3，求a ，b ；（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.16.如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点.（1）求证：//BF 平面1A EC ； （2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A .17.如图，现要在边长为100m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm （x 不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为215x m 的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m ，绕岛行驶的路宽均不小于10m . （1）求x 的取值范围；（运算中2取1.4）（2）若中间草地的造价为a 元2/m ，四个花坛的造价为433ax 元2/m ，其余区域的造价为1211a元2/m ，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？18.在平面直角坐标系xOy 中，已知过点3(1,)2的椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 的坐标为833(,)55，试求直线PA 的方程； （3）记M ，N 两点的纵坐标分别为M y ，N y ，试问M N y y ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.19.已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？（2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间； （3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合.20.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，622S =. （1）求n S ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11k =，且12n k k k <<< ，*n k N ∈.①当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式；②若关于*()n n N ∈的不等式16n n S k +>有解，试求q 的值.2014届高三调研测试试卷(一)(南京、盐城)数学参考答案及评分标准试卷勘误：第16题第(1)小题“求证：BF ∥平面A 1EC 1”更正为“求证：BF ∥平面A 1EC ”．1. {1，2}2. －33. 234. 555. 2656. y ＝±3x7. 68. 33 9. 必要不充分10. x ＋y －3＝0 11. －23 12. ⎣⎡⎦⎤1e ，e 13. {10} 14. 5972 15. 解：(1) 由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.(2分)因为△ABC 的面积等于3，所以12absinC ＝3，得ab ＝4.(4分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(7分)(2) 由题意得sin(B ＋A)＋sin(B －A)＝4sinAcosA ，所以sinBcosA ＝2sinAcosA. 当cosA ＝0时，A ＝π2，所以B ＝π6，所以a ＝433，b ＝233.(10分)当cosA ≠0时，得sinB ＝2sinA ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433.(13分)所以△ABC 的面积S ＝12absinC ＝233.(14分)16. 证明：(1) 连AC 1交A 1C 于点O ，连结OE 、OF ，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形，所以OA ＝OC 1. 因为F 为AC 中点，所以OF ∥CC 1，且OF ＝12CC 1.因为E 为BB 1中点，所以BE ∥CC 1且BE ＝12CC 1.所以BE ∥OF 且BE ＝OF ，所以四边形BEOF 是平行四边形，所以BF ∥OE.(4分) 又BF 平面A 1EC ，OE 平面A 1EC ，所以BF ∥平面A 1EC.(7分)(2) 由(1)知BF ∥OE ，因为AB ＝CB ，F 为AC 中点，所以BF ⊥AC ，所以OE ⊥AC.(9分)因为AA 1⊥底面ABC ，而BF 底面ABC ，所以AA 1⊥BF.由BF ∥OE ，得OE ⊥AA 1，而AA 1、AC 平面ACC 1A 1，且AA 1∩AC ＝A ， 所以OE ⊥平面ACC 1A 1.(12分)因为OE 平面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1.(14分) 17. 解：(1) 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥9，100－2x ≥60，1002－2x －2×15x 2≥2×10，(4分)解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥9，x ≤20，－20≤x ≤15，即9≤x ≤15.所以x 的取值范围是[9，15]．(7分)(2) 记“环岛”的整体造价为y 元，则由题意得y ＝a ×π×⎝⎛⎭⎫15x 22＋433ax ×πx 2＋12a11×⎣⎡⎦⎤104－π×⎝⎛⎭⎫15x 22－πx 2 ＝a 11⎣⎡⎦⎤π⎝⎛⎭⎫－125x 4＋43x 3－12x 2＋12×104，(10分) 令f(x)＝－125x 4＋43x 3－12x 2，则f′(x)＝－425x 3＋4x 2－24x ＝－4x ⎝⎛⎭⎫125x 2－x ＋6.由f′(x)＝0，解得x ＝0(舍去)或x ＝10或x ＝15，(12分) 列表如下：x 9 (9，10) 10 (10，15) 15 f′(x) －0 ＋ 0 f(x)极小值所以当x ＝10，y 取最小值．答：当x ＝10 m 时，可使“环岛”的整体造价最低．(14分) 18. 解：(1) 由题意，得2a ＝（1－1）2＋⎝⎛⎭⎫32－02＋（1＋1）2＋⎝⎛⎭⎫32－02＝4，即a＝2.(2分)又c ＝1，所以b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(5分)(2) 因为B ⎝⎛⎭⎫85，335，所以P ⎝⎛⎭⎫－85，－335.又F(1，0)，所以k AB ＝3，所以直线AB 的方程为y ＝3(x －1)．(7分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝3（x －1），解得A(0，－3)．(9分)所以直线PA 的方程为y ＝－34x －3，即3x ＋4y ＋43＝0.(10分) (3) 当直线AB 斜率k 不存在时，易得y M y N ＝－9.当直线AB 斜率k 存在时，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则P(－x 2，－y 2)，所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减，得（x 2＋x 1）（x 2－x 1）4＝－（y 2＋y 1）（y 2－y 1）3，所以（y 2＋y 1）（y 2－y 1）（x 2＋x 1）（x 2－x 1）＝－34＝k PA k ，所以k PA ＝－34k .(12分)所以直线PA 方程为y ＋y 2＝－34k(x ＋x 2)，所以y M ＝－34k (x 2＋4)－y 2＝－3（x 2＋4）（x 2－1）4y 2－y 2.因为直线PB 方程为y ＝y 2x 2x ，所以y N ＝4y 2x 2.(14分)所以y M y N ＝－3×（x 2＋4）（x 2－1）x 2－4y 22x 2.因为x 224＋y 223＝1，所以4y 22＝12－3x 22， 所以y M y N ＝－3×（x 2＋4）（x 2－1）＋4－x 22x 2＝－9，所以y M y N 为定值－9.(16分)19. 解：(1) 因为f′(x)＝e x ，所以f′(0)＝1.又f(0)＝1， 所以y ＝f(x)在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1.(2分) 因为g′(x)＝2ax ＋b ，所以g′(0)＝b.又g(0)＝1，所以y ＝g(x)在x ＝0处的切线方程为y ＝bx ＋1.所以当a ≠0且b ＝1时，曲线y ＝f(x)与y ＝g(x)在x ＝0处总有相同的切线．(4分) (2) 由a ＝1，h(x)＝x 2＋bx ＋1e x，所以h′(x)＝－x 2＋（2－b ）x ＋b －1e x ＝－（x －1）[x －（1－b ）]e x.(7分)由h′(x)＝0，得x ＝1或x ＝1－b.所以当b>0时，函数y ＝h(x)的减区间为(－∞，1－b)，(1，＋∞)； 当b ＝0时，函数y ＝h(x)的减区间为(－∞，＋∞)；当b<0时，函数y ＝h(x)的减区间为(－∞，1)，(1－b ，＋∞)．(10分) (3) 由a ＝0，则φ(x)＝f(x)－g(x)＝e x －bx －1，所以φ′(x)＝e x －b. ① 当b ≤0时，φ′>0，函数φ(x)在R 上单调递增．又φ(0)＝0，所以x ∈(－∞，0)时，φ(x)<0，与函数f(x)≥g(x)矛盾．(12分) ② 当b>0时，由φ′(x)>0，得x>lnb ；由φ′(x)<0，得x<lnb ，所以函数φ(x)在(－∞，lnb)上单调递减，在(lnb ，＋∞)上单调递增．当0<b<1时，所以lnb<0，又φ(0)＝0，所以φ(lnb)<0，与函数f(x)≥g(x)矛盾； 当b>1时，同理φ(lnb)<0，与函数f(x)≥g(x)矛盾；当b ＝1时，lnb ＝0，所以函数φ(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． 所以φ(x)≥φ(0)＝0，故b ＝1满足题意． 综上所述，b 的取值的集合为{1}．(16分)20. 解：(1) 设等差数列的公差为d ，则S 6＝6a 1＋15d ＝22，因为a 1＝2，解得d ＝23.(2分)所以S n ＝n （n ＋5）3.(4分)(2) ① 因为数列{a n }是正项递增等差数列，所以数列{ak n }的公比q>1. 要使q 最小，只需要k 2最小即可．若k 2＝2，则由a 2＝83，得q ＝a 2a 1＝43，此时ak 3＝2·⎝⎛⎭⎫432＝329.由329＝23(n ＋2)， 解得n ＝103 N *，所以k 2>2.同理k 2>3.(6分)若k 2＝4，则由a 4＝4，得q ＝2，此时ak n ＝2n .因为ak n ＝23(k n ＋2)，所以23(k n ＋2)＝2n ，即k n ＝3×2n －1－2.所以对任何正整数n ，ak n 是数列{a n }的第3·2n －1－2项，所以最小的公比q ＝2， 所以k n ＝3·2n －1－2.(10分)② 因为ak n ＝2k n ＋43＝2q n －1，所以k n ＝3q n －1－2(q>1)．所以当q>1且q ∈N 时，所有的k n ＝3q n －1－2均为正整数，适合题意；当q>2且q N 时，k n ＝3q n －1－2∈N 不全是正整数，不合题意，所以q 为正整数． 而6S n >k n ＋1有解，所以2n （n ＋5）＋23q n>1有解．经检验，当q ＝2，q ＝3，q ＝4时，n ＝1都是2n （n ＋5）＋23q n >1的解，适合题意．(12分)下证当q ≥5时，2n （n ＋5）＋23q n >1无解，设b n ＝2n （n ＋5）＋23q n，则b n ＋1－b n ＝2[（1－q ）n 2＋（7－5q ）n ＋7－q]3q n ＋1，因为5q －72－2q <0，所以f(n)＝2[(1－q)n 2＋(7－5q)n ＋7－q]在n ∈N *上单调递减．因为f(1)<0，所以f(n)<0恒成立，所以b n ＋1－b n <0，所以b n ≤b 1恒成立． 因为当q ≥5时，b 1<1，所以当q ≥5时，6S n >k n ＋1无解．(15分) 综上所述，q 的取值为2，3，4.(16分)2014届高三调研测试试卷(一)(南京、盐城)数学附加题参考答案及评分标准21. A ．解：因为P 为AB 中点，所以OP ⊥AB ，所以PB ＝r 2－OP 2＝32.(5分) 因为PC·PD ＝PA·PB ＝PB 2＝34，由PC ＝98，得PD ＝23.(10分)B. 解：设曲线C 上一点(x′，y ′)对应于曲线C′上一点(x ，y)，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－222222⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以22x ′－22y ′＝x ，22x ′＋22y ′＝y.(5分) 所以x′＝x ＋y 2，y ′＝y －x 2，所以x′y′＝x ＋y 2·y －x2＝1，所以曲线C′的方程为y 2－x 2＝2.(10分)C. 解：直线l ：4x －3y －2＝0，圆C ：(x －a)2＋y 2＝a 2，(5分)依题意，得|4a －2|42＋（－3）2＝|a|，解得a ＝－2或29.(10分)D. 证明：因为x 1、x 2、x 3为正实数，所以x 22x 1＋x 1＋x 23x 2＋x 2＋x 21x 3＋x 3≥2x 22＋2x 23＋2x 21＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2， 当且仅当x 1＝x 2＝x 3时取等号．所以x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.(10分)22. 解：(1) 由点A(1，2)在抛物线上，得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x.(3分)设B ⎝⎛⎭⎫y 214，y 1、C ⎝⎛⎭⎫y 224，y 2，所以1k 1－1k 2＋1k 3＝y 214－1y 1－2－y 224－y 214y 2－y 1＋1－y 2242－y 2＝y 1＋24－y 2＋y 14＋2＋y 24＝1.(7分)(2) 另设D ⎝⎛⎭⎫y 234，y 3，则1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 3＋y 24－2＋y 34＝0.(10分) 23. 解：(1) 因为对任意的1≤k ≤m ，都有a 2k －1a 2k＝－1，则(a 2k －1，a 2k )＝(2，－2)或(a 2k －1，a 2k )＝(－2，2)，共有2种情况，所以(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )共有2m 种不同的选择，所以A ＝2m .(5分)(2) 当存在一个k 时，那么这一组有2C 1m 种，其余的由(1)知有2m －1，所以共有2C 1m 2m －1种；当存在两个k 时，因为条件对任意的1≤k ≤l ≤m ，都有≤4成立得这两组共有2C 2m 种，其余的由(1)知有2m－2种，所有共有2C 2m 2m －2种；…，依次类推得：B＝2C1m2m－1＋2C2m2m－2＋…＋2C m m＝2(3m－2m)．(10分)。
江苏省2014届高三高考模拟专家卷 数学(2) Word版含答案
23．已知Sn＝1＋＋＋…＋．
（1）求S2，S4的值；
（2）若Tn＝，试比较 与Tn的大小，并给出证明．
参考答案及评分标准
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．(0，1]2．33．84．72%5．
20．（本题满分16分）
已知数列 满足 （n∈N*），且a2=6．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设 （n∈N*，c为非零常数），若数列{bn}是等差数列，记cn＝，Sn＝c1＋c2＋…＋cn，求Sn．
数学附加题
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC与⊙O相切于点C，PC＝AC＝1．求⊙O的半径．
B．选修4—2：矩阵与变换
已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(0, 2)，B(1，1)，C(1，3)．若△ABC在一个切变变换T作用下变为△A1B1C1，其中B(1，1)在变换T作用下变为点B1(1，－1)．
化简，得a2＋c2－b2＝ac．
18．（本题满分16分）
已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左焦点为F1（－3，0），过点F1作一条直线l交椭圆于A，B两点，点A关于坐标原点O的对称点为A1，两直线AB，A1B的斜率之积为－．
（1）求椭圆C的方程；高考资源网
（2）已知D（m，0）为F1右侧的一点，连AD，BD分别交椭圆左准线于M，N两点，若以MN为直径的圆恰好过点F1，求m的值．
江苏省淮安、南京、盐城市2014届高三第二次模拟考试数学试题(纯WORD版)
江苏省南京、盐城、淮安市2014届高三第二次模拟考试数 学 2014.03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题．．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． 圆柱的侧面积公式：S 侧＝2πRh ，其中R 为圆柱的底面半径，h 为圆柱的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f (x )＝ln x ＋1－x 的定义域为 ▲ ．2．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a ∈R )．若z 1z 2为实数，则a 的值为 ▲ ． 3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ▲ ．4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ ．5．已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d的值为6．执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．a(第3题图)(第6题图)7．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f (π3)的值为 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ．9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．10．已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，过点P (5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ▲ ．12．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，当x ＞0时，f (x ＋1)＝f (x )＋f (1)，且． 若直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ▲ ．13．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 14．设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥PB ， BP ＝BC ，E 为PC 的中点． （1）求证：AP ∥平面BDE ； （2）求证：BE ⊥平面P AC ．(第7题图)PBCDEA(第15题图)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交 于点A (x 1 ，y 1 )，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．（1）若x 1＝35，求x 2；（2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及 △BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．17．(本小题满分14分)如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．18． (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b )，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程； （3）若F 1P →＝λQF 1→，且λ∈[12，2]，求OP →·OQ →的最大值．(第16题图) APMNBC(第17题图)已知函数f (x )＝ax ＋b x e x，a ，b ∈R ，且a ＞0．（1）若a ＝2，b ＝1，求函数f (x )的极值； （2）设g (x )＝a (x －1)e x －f (x )．① 当a ＝1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )≥1成立，求b 的最大值；② 设g′(x )为g (x )的导函数．若存在x ＞1，使g (x )＋g′(x )＝0成立，求ba 的取值范围．20．(本小题满分16分)已知数列{a n }的各项都为正数，且对任意n ∈N *，a 2n －1，a 2n ，a 2n ＋1成等差数列， a 2n ，a 2n ＋1，a 2n ＋2成等比数列．（1）若a 2＝1，a 5＝3，求a 1的值；（2）设a 1＜a 2，求证：对任意n ∈N *，且n ≥2，都有a n ＋1a n ＜a 2a 1．南京市2014届高三年级第二次模拟考试数学附加题 2014.03注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题纸．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦，且BD ∥AC ．过点A 作圆的切线与 DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F ． （1）求证：四边形ACBE 为平行四边形； （2）若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长.B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎡⎦⎤21． （1）求矩阵A ； （2）若A⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤a b ，求x ，y 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程．D ．选修4—5：不等式选讲已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某中学有4位学生申请A ，B ，C 三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A 大学的概率；（2）求被申请大学的个数X 的概率分布列与数学期望E (X )．A EBC F D第21题A 图23．（本小题满分10分）设f (n )是定义在N *上的增函数，f (4)＝5，且满足：①任意n ∈N *，f (n )∈Z ；②任意m ，n ∈N *，有f (m )f (n )＝f (mn )＋f (m ＋n －1)． （1）求f (1)，f (2)，f (3)的值； （2）求f (n )的表达式．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(0，1] 2．4 3．300 4．59 5．2 6．4 7．18． 5 9．12 10．60° 11．1或723 12．22－2 13．(53，73) 14．[－1，1]二、解答题15．证：（1）设AC ∩BD ＝O ，连结OE ．因为ABCD 为矩形，所以O 是AC 的中点．因为E 是PC 中点，所以OE ∥AP ． …………………………………………4分 因为AP /⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以AP ∥平面BDE ． …………………………………………6分 （2）因为平面P AB ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，所以BC ⊥平面P AB ． ………………………………………8分 因为AP ⊂平面P AB ，所以BC ⊥P A ．因为PB ⊥P A ，BC ∩PB ＝B ，BC ，PB ⊂平面PBC ，所以P A ⊥平面PBC ． …………………………………………12分 因为BE ⊂平面PBC ，所以P A ⊥BE ．因为BP ＝PC ，且E 为PC 中点，所以BE ⊥PC ． 因为PA ∩PC ＝P ，P A ，PC ⊂平面P AC ，所以BE ⊥平面PAC ． …………………………………………14分 16．解：（1）解法一：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．所以sin α＝45，cos α＝35． ………………………2分所以x 2＝cos(α＋π4)＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210． …………………………………6分解法二：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．A (35，45)，则OA →＝(35，45)，…………2分OB →＝(x 2，y 2)， 因为OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ，所以35x 2＋45y 2＝ 2 2 ……4分又x 22＋y 22＝1，联立消去y 2得50 x 22－302x 2－7＝0 解得x 2＝－2 10或7210，又x 2＜0，所以x 2＝－ 210． ………………………6分 解法三：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45． 因此A (35，45)，所以tan α＝43．………2分所以tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝－7，所以直线OB 的方程为y ＝－7x ……………4分由⎩⎨⎧y ＝－7x ，x 2＋y 2＝1．得x ＝± 2 10，又x 2＜0，所以x 2＝－ 210． …………………6分（2）S 1＝12sin αcos α＝－14sin2α． …………………………………………8分因为α∈(π4，π2)，所以α＋π4∈(π2，3π4)．所以S 2＝－12sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝－14sin(2α＋π2)＝－14cos2α．……………………………10分因为S 1＝43S 2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43． …………………………………12分所以2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝2或tan α＝－12． 因为α∈(π4，π2)，所以tan α＝2．………14分17、解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AMsin(120°－θ)．因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ) ． ………………2分在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． …………………6分 AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ·MP ·cos ∠AMP ＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433 sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………8分 ＝163sin 2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833 sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． …………………………………………12分 当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值23．答：设计∠AMN 为60 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分解法二(构造直角三角形)： 设∠PMD ＝θ，在△PMD 中，∵PM ＝2，∴PD ＝2sin θ，MD ＝2cos θ． ……………2分 在△AMN 中，∠ANM ＝∠PMD ＝θ，∴MN sin60°＝AM sin θ，AM ＝433sin θ，∴AD ＝433sin θ＋2cos θ，(θ≥π2时，结论也正确)．……………6分 AP 2＝AD 2＋PD 2＝(433sin θ＋2cos θ)2＋(2sin θ)2＝163sin 2θ＋833sin θcos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ …………………………8分 ＝163·1－cos2θ2＋433sin2θ＋4＝433sin2θ－83cos2θ＋203＝203＋163sin(2θ－π6)，θ∈(0，2π3)． …………………………12分 当且仅当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值23．此时AM ＝AN ＝2，∠P AB ＝30° …………………………14分 解法三：设AM ＝x ，AN ＝y ，∠AMN ＝α．在△AMN 中，因为MN ＝2，∠MAN ＝60°， 所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN ·cos ∠MAN ，即x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ＝4． …………………………………………2分 因为MN sin60°＝AN sin α，即2sin60°＝ysin α，所以sin α＝34y ，cosα＝x 2＋4－y 22×2×x ＝x 2＋(x 2－xy )4x ＝2x －y 4． …………………………………………6分cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝12cos α－32sin α＝12·2x －y 4－32·34y ＝x －2y4．……………………………8分在△AMP 中，AP 2＝AM 2＋PM 2－2 AM ·PM ·cos ∠AMP ，即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×x －2y 4＝x 2＋4－x (x －2y )＝4＋2xy ．………………………………………12分因为x 2＋y 2－xy ＝4，4＋xy ＝x 2＋y 2≥2xy ，即xy ≤4． 所以AP 2≤12，即AP ≤23．A PMNBC第17题图D当且仅当x ＝y ＝2时，AP 取得最大值23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分 解法四(坐标法)：以AB 所在的直线为x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系． 设M (x 1，0)，N (x 2，3x 2)，P (x 0，y 0)．∵MN ＝2，∴(x 1－x 2)2＋3x 22＝4． …………………………………………2分 MN 的中点K (x 1＋x 22，32x 2)．∵△MNP 为正三角形，且MN ＝2．∴PK ＝3，PK ⊥MN ．∴PK 2＝(x 0－x 1＋x 22)2＋(y 0－32x 2)2＝3，k MN ·k PK ＝－1，即3x 2x 2－x 1·y 0－32x 2x 0－x 1＋x 22＝－1， …………………………………………6分∴y 0－32x 2＝x 1－x 23x 2(x 0－x 1＋x 22)，∴(y 0－32x 2)2＝(x 1－x 2)23x 22(x 0－x 1＋x 22)2 ∴(1＋(x 1－x 2)23x 22)(x 0－x 1＋x 22)2＝3，即43x 22(x 0－x 1＋x 22)2＝3，∴(x 0－x 1＋x 22)2＝94x 22． ∵x 0－x 1＋x 22＞0 ∴x 0－x 1＋x 22＝32x 2，∴x 0＝12x 1＋2x 2，∴y 0＝32x 1． …………………………………………8分∴AP 2＝x 20＋y 20＝(2x 2＋12x 1)2＋34x 21＝x 21＋4x 22＋2x 1x 2 ＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分 即AP ≤23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 解法五(变换法)：以AB 所在的直线为x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系． 设M (x 1，0)，N (x 2，3x 2)，P (x 0，y 0)．∵MN ＝2，∴(x 1－x 2)2＋3x 22＝4．即x 21＋4x 22＝4＋2x 1x 2∴4＋2x 1x 2≥4x 1x 2，即x 1x 2≤2． …………………4分 ∵△MNP 为正三角形，且MN ＝2．∴PK ＝3，PK ⊥MN ．MN →顺时针方向旋转60°后得到MP →． MP →＝(x 0－x 1，y 0)，MN →＝(x 2－x 1，3x 2)．∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 32－32 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－x 13x 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0－x 1y 0，即 x 0－x 1＝12(x 2－x 1)＋32x 2，y 0＝－32(x 2－x 1)＋32x 2．∴x 0＝2x 2＋12x 1，y 0＝32x 1． …………………………………………8分∴AP 2＝x 20＋y 20＝(2x 2＋12x 1)2＋34x 21＝x 21＋4x 22＋2x 1x 2 ＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分 即AP ≤23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 解法六(几何法)：由运动的相对性，可使△PMN 不动，点A 在运动．由于∠MAN ＝60°，∴点A 在以MN 为弦的一段圆弧(优弧)上，…………4分 设圆弧所在的圆的圆心为F ，半径为R ，由图形的几何性质知：AP 的最大值为PF ＋R ． …………8分 在△AMN 中，由正弦定理知：MN sin60°＝2R ，∴R ＝23， …………10分 ∴FM ＝FN ＝R ＝23，又PM ＝PN ，∴PF 是线段MN 的垂直平分线． 设PF 与MN 交于E ，则FE 2＝FM 2－ME 2＝R 2－12＝13．即FE ＝33，又PE ＝3． ……………………………12 ∴PF ＝43，∴AP 的最大值为PF ＋R ＝23． 答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 18、（1）解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c＝2，a 2c ＝2，解得c ＝1，a 2＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1．所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． …………………………………………2分（2）因为P (0，1)，F 1(－1，0)，所以PF 1的方程为x －y ＋1＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x 22＋y 2＝1， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－43，y ＝－13，所以点Q 的坐标为(－43，－13)． ……………………4分 解法一：因为k PF 1·k PF 2＝－1，所以△PQF 2为直角三角形． ……………………6分APMNBCF E因为QF 2的中点为(－16，－16)，QF 2＝523，所以圆的方程为(x ＋16)2＋(y ＋16)2＝2518． ……………………8分解法二：设过P ，Q ，F 2三点的圆为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，1＋D ＋F ＝0，179－43D －13E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧D ＝13，E ＝13，F ＝－43．所以圆的方程为x 2＋y 2＋13x ＋13y －43＝0． …………………………………………8分（3）解法一：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，QF 1→＝(－1－x 2，－y 2)．因为F 1P →＝λQF 1→，所以⎩⎨⎧x 1＋1＝λ(－1－x 2)，y 1＝－λy 2，即⎩⎨⎧x 1＝－1－λ－λx 2，y 1＝－λy 2，所以⎩⎨⎧(－1－λ－λx 2)22＋λ2y 22＝1，x 222＋y 22＝1，解得x 2＝1－3λ2λ． …………………………………………12分所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 2(－1－λ－λx 2)－λy 22＝－λ2x 22－(1＋λ)x 2－λ ＝－λ2(1－3λ2λ)2－(1＋λ)·1－3λ2λ－λ＝74－58(λ＋1λ) ． …………………………………………14分因为λ∈[12，2]，所以λ＋1λ≥2λ·1λ＝2，当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时，取等号． 所以OP →·OQ →≤12，即OP →·OQ →最大值为12． …………………………………………16分解法二：当PQ 斜率不存在时，在x 22＋y 2＝1中，令x ＝－1得y ＝± 22．所以11(1)(222OP OQ ⋅=-⨯-+-=，此时11,22λ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦…………………………2 当PQ 斜率存在时，设为k ，则PQ 的方程是y ＝k (x ＋1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1．得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， 韦达定理 22121222422==1212k k x x x x k k--+++，………………………………………4 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2) ，则212121212(1)(1)OP OQ x x y y x x k x x ⋅=+=+++22212122222222222(1)()224(1)12122 61215122(12)2k x x k x x k k k k k k k k k k k =++++--=+++++-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+=-<+分。
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位置上） 1．函数 f(x)＝lnx＋ 1－x的定义域为 ▲ ． 2．已知复数 z1＝－2＋i，z2＝a＋2i(i 为虚数单位，a ∈ R)．若 z1z2 为实数，则 a 的值为 ▲ ． 3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了 150 分到 450 分之间的 1000
名学生的成绩，并根据这 1000 名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内
S←1
6．执行如图所示的流程图，则输出的 k 的值为 ▲ ．
高三数学答案 第 1 页 共 18 页
6.培养学生观察、思考、对比及分析综合的能力。过程与方法1.通过观察蚯蚓教的学实难验点，线培形养动观物察和能环力节和动实物验的能主力要；特2征.通。过教对学观方察法到与的教现学象手分段析观与察讨法论、，实对验线法形、动分物组和讨环论节法动教特学征准的备概多括媒，体继课续件培、养活分蚯析蚓、、归硬纳纸、板综、合平的面思玻维璃能、力镊。子情、感烧态杯度、价水值教观1和.通过学理解的蛔1虫.过观适1、察于程3观阅 六蛔寄.内列察读 、虫生出蚯材 让标容生常3根蚓料 学本教活.见了 据身： 生，师的2的、解 问体巩鸟 总看活形线作 用蛔 题的固类 结雌动态形业 手虫 自形练与 本雄学、三动： 摸对 学状习人 节蛔生结、4物、收 一人 后和同类 课虫活构请一并蚯集 摸体 回颜步关 重的动、学、归蚓鸟 蚯的 答色学系 点形教生生让纳在类 蚓危 问。习从 并状学理列学线平的害 题蚯四线人 归、意特出四生形面生 体以蚓、形类 纳大图点常、五观动玻存 表及的鸟请动文 本小引以见引、察物璃现 ，预身类 3学物明 节有言及的导 、巩蚯的上状 是防体之生和历 课什根蚯环学 怎固蚓主和， 干感是所列环史 学么据蚓节二生 样练引要牛鸟 燥染否以举节揭 到不上适动、回 区习导特皮类 还的分分蚯动晓 的同节于物让答 分。学征纸减 是方节布蚓物起 一，课穴并学课 蚯生。上少 湿法?广的教， 些体所居归在生前 蚓回4运的 润；泛益学鸟色生纳.靠物完问 的答蛔动原 的4，处目类 习和活环.近在成题 前蚯虫的因 ？了以。标就 生体的节身其实并 端蚓寄快及 触解上知同 物表内特动体结验总 和的生利慢我 摸蚯适识人 学有容点物前构并结 后生在用一国 蚯蚓于与类 的什，的端中思线 端活人问样的 蚓飞技有 基么引进主的的考形 ?环体题吗十生行能着 本特出要几变以动境，？大 节活的1密 方征本“特节化下物.并会让为珍 近习形理切 法。课生征有以问的引小学什稀 腹性态解的 。2课物。什游题主.出起结生么鸟 面和结蛔关观题体么戏：要蚯哪利明？类 处适构虫系察：的特的特蚓些用确等 ，于特适。蛔章形殊形征这疾板，资 是穴点于可虫我态结式。种病书生料 光居是寄的们结构，五典？小物， 滑生重生鸟内学构，学、型5结的以 还活要生类部习与.其习巩的如鸟结爱 是的原活生结了功颜消固线何类构鸟 粗形因的存构腔能色化练形预适特护 糙态之结的，肠相是系习动防于点鸟 ？、一构现你动适否统。物蛔飞都为结。和状认物应与的。虫行是主构课生却为和”其结病的与题、本理不蛔扁的他构？特环以生8特乐虫形观部特8三征境小理页点观的动位点、梳相组等这；，哪物教相，引理适为方些2鸟，育同师.导知应单面鸟掌类结了；？生学识的位你握日构解2互.生。办特认线益特了通动观手征识形减点它过，察抄；吗动少是们理生蛔报5？物，与的解.参虫一了它和有寄主蛔与结份解们环些生要虫其构。蚯都节已生特对中。爱蚓会动经活征人培鸟与飞物灭相。类养护人吗的绝适这造兴鸟类？主或应节成趣的为要濒的课情关什特临？就危感系么征灭来害教；？；绝学，育，习使。我比学们它生可们理以更解做高养些等成什的良么两好。类卫动生物习。惯根的据重学要生意回义答；的3.情通况过，了给解出蚯课蚓课与题人。类回的答关：系线，形进动行物生和命环科节学动价环值节观动的物教一育、。根教据学蛔重虫点病1.引蛔出虫蛔适虫于这寄种生典生型活的线结形构动和物生。理二特、点设；置2.问蚯题蚓让的学生生活思习考性预和习适。于穴居生活的形态、结构、生理等方面的特征；3.线形动物和环节动物的主要特征。
纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：
柱体的体积公式：V＝Sh，其中 S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． 圆柱的侧面积公式：S 侧＝2πRh，其中 R 为圆柱的底面半径，h 为圆柱的高．
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定
a 0.005 0.004 0.003
0.001
频率
组距
O 150 200 250 300 350 400 450
a1
2014.03
成绩/分
k←1
S←S＋(k－1)2 k←k＋1
S＞6
Y 输出 k
结束(Βιβλιοθήκη 6 题图)N7．函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ 为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则 f(3)的值为
的学生人数共有 ▲ ．
(第 3 题图)
4．盒中有 3 张分别标有 1，2，3 的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号
开始
码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ ．
5．已知等差数列{an}的公差 d 不为 0，且 a1，a3，a7 成等比数列，则 d 的值为 ▲ ．
注意事项：
南京市 2014 届高三年级第二次模拟考试
数学
1．本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题~第 14 题）、解答题（第 15 题~第 20 题）两部分．本试卷满
分为 160 分，考试时间为 120 分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题
▲．
x2 y2 8．在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线 y2＝4x 的准线相交
于 A，B 两点．若△AOB 的面积为 2，则双曲线的离心率为 ▲ ． 9．表面积为 12π 的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ． 10．已知|O→A|＝1，|O→B|＝2，∠AOB＝23π，O→C＝12O→A＋14O→B，则O→A与O→C的夹角大小为 ▲ ． 11．在平面直角坐标系 xOy 中，过点 P(5，3)作直线 l 与圆 x2＋y2＝4 相交于 A，B 两点，若 OA⊥OB，则