组合数学 第五章

第五章 区组设计与编码

1.拉丁方与正交拉丁方

拉丁方：由1，2，…，n 构成n ×n 方阵n n ij a ⨯)(，如果每行每列中1，2，…，n 各出现一次，则称此方阵为拉丁方。 如： ⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=12212

n ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=12

3312231

21

3132321

3

n 正交换丁方：设()()

n

n ij

n

n ij a A a A ⨯⨯==)

2(2)

1(1是两个n ×n 的拉丁方，如果矩阵

()()

n

n ij

ij

a a

⨯)

2()1(,中2n 个数偶())

2()1(,ij

ij a a 互不相同，n j i ,,2,

1, =，

则称1A 和2A 正交，或称1A 和2A 是互相正交的拉丁方。 如：⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=12

3312

231

,213132

32121A A 由于⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛)1,2()

2,1()3,3()3,1()1,3()

2,2()2,3()3,2()1,1(中元素两两不同，故21A A ⊥ 36名军官问题：ij a 表示军官的军衔为i ，军官所在的团为j ，()66),(⨯j i 要求第一个数字构成拉丁方，第二个数字也构成拉丁方，并且正交。 定理：两两相互正交的n 阶拉丁方的个数不超过n-1个

pf ：设k A A A ,,,21 是两两相互正交的n 阶拉丁方，往证1-≤n k 。设n a a a 21是1，

2，…，n 的一个全排列，()

,,,2,1,)

(k l a A n

n l ij

l ==⨯对1A 作如下置换

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛n a a a n

2

1

21，得一方阵()

n

n ij a A ⨯=)

1(1，则1A 与k A A ,2正交。

事实上，如果1A 不与2A 正交，则

()()

n

n ij

ij

a a

⨯)

2()

1(,中至少有一对数偶出现次数超过1次，设该对数偶为),(m l a a ，则

),(m a l 在(

))

2()

1(,ij

ij a a 中至少出现2次，与2

1

,A

A 正交矛盾，由此不妨设k A A A ,,,21 的

第一行均为),,2,1(n ，任取,1k m l ≤<≤则方阵

()()

n

n m ij

ij

a a

⨯)

()1(,的第一行均是),,(),2,1(),1,1((r n 从而1不能出现在k A A A ,,,21 的

第2行第1列元素，故这些元素只能取2，3，…, n 中一个，而且取法不能相同，故n k ≤。 2.域与有限域 域：),(,:)

1(,+→⨯+≠V V V V V φ Abel 群

b a b a +→),( （2） ),(:*

*

*∙→⨯∙V V

V

V Abel 群

ab b a →),( }0/{*

V V

=

（3）分配律成立 ac ab c b a +=+)( ca ba a c b +=+)( 则称),,(⋅+V 为域

例： Q ，R ，C ， {}Q b a bi a i Q ∈+=,|)( 二元域}1,0{2=F ， p 元域}1,,2,1,0{-=p F p 有限域：元素个数有限的域叫做有限域

比如： },,2,1,0{p F p =模p 的剩余类域， 取)(x f 是][x F p 中n 次不可约多项式，则

{

}

p i n n p q F a x

a x a a x f x F F ∈+++==

-1

10))

((]

[

}{110p i n n F a a a a ∈+++=-αα 为n p q =元域

如：,1)(},1,0{22++==x x x f F 则)(x f 在][2x F 中不可约， },|{))

((]

[2101024F a a x a a x f x F F ∈+==

}1,,1,0{x x +=

4F 中元素的加法与乘法取模)(x f 的运算

11)1(2

=++=+=+x x x

x x x

可以证明：有限域中元素的个数必为素数的方幂。

定理：p p n ,α=为素数，3,1≥≥n α，则存在n-1个互相正交的n 阶拉丁方。 Pf ：取n 阶有限域},,,{110-==n p n F F αααα ，其中 1,010==-n αα

令 ()1,,2,1)

(-==⨯n k a A n

n k ij k

其中.1,,2,1,0,)

(-=+⋅=n j i a j

i k k ij

α

αα

则121,,,-k A A A 是正交拉丁方。

k A 是拉丁方

否则k A 中必存在某行（列）有两个元素相同，不妨设 情形1： )

()

(k ih k ij

a a =

则 k i k j

i k αααα

αα+=+，,h j

αα

=h j =

情形2： )

()

(k ij k hj a a = j i k j

h k αααα

αα+=+，i k h k αααα=，i h αα=

h i = i A 与)(j i A j ≠相互正交