12.问题之解何处来_徐章韬

上面是解方程，构 造 方 程 解 决 问 题 ．根 与 系 数 的 关 系 ，是 方 程 研 究 的 重 要 内 容 之 一 ，也 要 精 心 选 择 习 题 ，反 映 这 个 事 实 ．
例３ 设 Ｐ（ｘ），Ｑ（ｘ），Ｒ（ｘ）及 Ｓ（ｘ）都 是 多 项式，且满足 Ｐ（ｘ５）＋ｘＱ（ｘ５）＋ｘ２ Ｒ（ｘ５）＝（ｘ４＋ ｘ３ ＋ｘ２ ＋ｘ＋１）Ｓ（ｘ），试 证 ：（ｘ－１）Ｐ（ｘ）．
例１ 方 程 ｘ１０ ＋ （１３ｘ－１）１０ ＝０ 有 １０ 个 复
根ｒ１，ｒ１，ｒ２，ｒ２，ｒ３，ｒ３，ｒ４，ｒ４，ｒ５，ｒ５，其 中ｒｉ是ｒｉ 的
５
∑ 共 轭 复 数 ，求
１ 的值 ．
ｉ＝１ ｒｉｒｉ
分析与 解 解 析 几 何 中 有 一 招 叫 “设 而 不
求”，这 招 也 可 以 迁 移 至 此 ．由 ｘ１０ ＋ （１３ｘ－１）１０
题．在复平面中，设 Ａ、Ｂ、Ｃ 对应的复数分 别 为ＺＡ
＝ｉ，ＺＢ ＝０，ＺＣ ＝ 槡３ ．取 点 Ｄ，使 得 ∠ＡＤＢ ＝
∠ＢＤＣ＝ ∠ＡＤＣ＝１２０°，如 图 １． 题设即：
烄ｘ２＋ｙ２－２ｘｙｃｏｓ１２０°＝１
烅ｙ２＋ｚ２－２ｙｚｃｏｓ１２０°＝ （槡３）２
烆ｚ２＋ｘ２－２ｚｘｃｏｓ１２０°＝２２ 令ｘ＝ＡＤ，ｙ＝ＢＤ，ｚ＝ＣＤ，
＝ｘ＋２（１＋ｚ＋ｚ２＋ｚ３＋ｚ４＋ｚ５＋ｚ６） －２（１＋ｚ＋ｚ２＋ｚ４），
整理得，ｘ２＋ｘ＋２＝０，解得ｘ＝ －１２±槡７ｉ．
此题还有其它解 法，如 用 对 偶 法，令 Ａ＝ｚ＋ ｚ２＋ｚ４，Ｂ＝ｚ３＋ｚ５＋ｚ６，也 能 解 决 之 ．然 而，如 何 要 如 此 用 对 偶 法 ，上 述 解 法 也 能 给 出 合 理 的 解 释 ．
故
ｚｚ１２
＋ｚｚ２３
＋ｚｚ３１
＝ｚｚ１２
ｚ２ ＋ｚ３
＋ｚｚ３１
，
又 ｚ１ ＝ ｚ２ ＝ ｚ３ ＝１，
所 以ｚｉｚｉ＝１（ｉ＝１，２，３），
把 ｚｉ＝ｚ１ｉ 代入上式整理得
ｚ２１ｚ３＋ｚ２２ｚ１＋ｚ２３ｚ２＝ｚ２２ｚ３＋ｚ２３ｚ１＋ｚ２１ｚ２，
分 解 因 式 得 ，（ｚ１－ｚ２）（ｚ２－ｚ３）（ｚ３－ｚ１）＝０，
复数源于解三 次 方 程 的 求 根 问 题，意 大 利 数
学家邦贝利用 槡－１使无意义的数变得有意义了，
这标志着复数的产生 ．［６］这 就 是 复 数 的 源 头 ．在
进行竞赛数学 的 教 学 时，要 精 心 选 择 习 题 反 映 上
述 事 实 ，并 用 方 程 的 思 想 和 观 点 解 决 之 ．
４ｓｉｎθ＋２φｓｉｎθ２ｓｉｎφ２ ＝０，解 得
θ＝２ｋπ，或φ＝２ｋπ，或θ＋φ＝２ｋπ，ｋ∈Ｚ， 因 而 有ｚ１ ＝ｚ２ ，或ｚ１ ＝ｚ３ ，或ｚ３ ＝ｚ２ ．
复 数 、向 量 和 三 角 之 间 有 深 刻 的 内 在 关 联 性 ，
齐民友先生曾有过精彩 的 论 述 ．［７－８］选 编 这 样 的
烄 ｚ１ ＝ ｚ２ ＝ ｚ３ ＝１
烅ｚ１ 烆ｚ２
＋ｚｚ２３
＋ｚｚ３１
＝１
，
求 ａｚ１＋ｂｚ２＋ｃｚ３ 的值．
分析与解 此 题 有 多 种 解 法，利 用 复 数 自 身
的特征，如模、共 轭 等 性 质，能 获 得 具 有 复 数 风 味
的解法 ．共轭反映的其实是对称性，由此入手，
有 ｚｚ１２ ＋ｚｚ２３ ＋ｚｚ３１ ∈Ｒ，
（２） ｚｚ１２＋＋ＡＡ＝
ｚ１＋Ａ ｚ２＋Ａ
．
把ｚ１ 看作未知 量，解 出 来，代 入 （１）（２）的 两
边 ，即 可 证 得 ．
例２ 设ｚ 是 １ 的 ７ 次 方 根，ｚ≠１，求ｚ＋ｚ２
＋ｚ４ 的值．
分析与解 初 见 此 题，我 们 不 知 如 何 解 ．回
想初中，有这样的习题：已知 ｘ＝槡２－１，求 ｘ３＋ｘ
关于 复 数 的 教 育 意 义，及 其 教 学 解 读 在 文 献［３－４］中有体现 ．上 述 见 解 要 形 成 一 个 系 统，用 以应对竞赛数学的问题还需进一步对课程内容进 行深刻的解读 ．下面以复数课程的教育教学价值 为 线 索 ，阐 明 问 题 解 决 之 道 来 自 何 处 ． ２．１ 复 数 之 源 ：方 程 思 想 显 威 力
（ ） ＝０，得
ｘ １３ｘ－１
１０
＝ －１，记 ｙ１０ ＝
－１
的十个复
数分别是ωｉ，ωｉ（ｉ＝１，２，３，４，５），则１３ｘｘ－１＝ωｉ 或 ωｉ（ｉ＝１，２，３，４，５），它 们 都 是 一 次 方 程，不 妨 设
１３ｒｒｉｉ－１＝ωｉ，则
ｒｉ １３ ｒｉ－１
＝ωｉ，由
此
推
知
ｒｉ
＝
∑ １３ωωｉｉ－１，或ｒｉ＝１３ωωｉｉ－１．这 样
复数有多种表 征 方 式，其 实 是 说 复 数 有 多 种
“化虚为实”的手法 ．比如，此 题就可以复 数 的 三 角形式来做．
记ｅｉθ
＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ，可
设ｚ１ ｚ２
＝ｅｉθ
，ｚ２ ｚ３
＝ｅｉφ
，则
ｚ３ ｚ１
＝ｅ－ｉ（θ＋φ），由
题
设
有ｅｉθ
＋ｅｉφ
＋ｅ－ｉ（θ＋φ）＝１，两
边
取 虚 部 有 ，ｓｉｎθ＋ｓｉｎφ－ｓｉｎ（θ＋φ）＝０，化 简 得
与实数有关的问题 ．当复数成为我们认识结构的 有机组成部分 时，就 可 以 用 复 数 的 眼 光 审 理 与 实
数有关的 问 题，这 样，虚 与 实 的 双 向 关 系 就 沟 通
了，既可以化虚 为 实，也 可 以 化 实 为 虚；既 可 以 由
实 探 虚 ，也 可 以 由 虚 探 实 ．
烄ｘ２＋ｘｙ＋ｙ２＝１ 例 ５ 若 ｘ，ｙ，ｚ＞０，已 知烅ｙ２＋ｙｚ＋ｚ２＝３
２０１５年 第５４卷 第１期 数学通报
４１
问题之解何处来
徐章韬 陈传理
（华 中 师 范 大 学 数 学 与 统 计 学 学 院 ４３００７９）
１ 引 言 问题和解是数学的重要特征之一 ．对竞赛数
学而 言，问 题 之 解 的 意 义 更 为 突 出 ．问 题 之 解 从 何而来？在前 面 的 文 献 中 ［１－２］ ，我 们 论 述 了 竞 赛 数学和常规教 学 的 关 系：在 吃 透 了 课 堂 教 学 内 容 的基础上也能 产 生 教 学 上 的 见 解，这 些 见 解 也 能 用之 于 竞 赛 数 学 的 问 题 之 解 ．基 于 以 上 实 践，我 们 有 理 由 相 信 ，要 真 正 做 好 竞 赛 数 学 ，离 不 开 对 课 程内容的教学 解 读，在 做 好 课 程 内 容 教 学 解 读 的 基 础 之 上 ，能 够 理 清 竞 赛 数 学 的 逻 辑 脉 络 ，并 产 生 一些 好 的 问 题 解 决 之 法 ．本 文 以 复 数 为 例，来 谈 谈上述主张． ２ 深 刻 解 读 课 程 内 容 ，问 题 之 解 此 中 来
５
１ ｉ＝１ｒｉｒｉ
＝５×１７０
５
∑ －１３ （ωｉ ＋ωｉ）＝８５０． ｉ＝１ 用这 种 似 拙 实 巧 的 方 法 还 可 以 顺 利 解 决
１９８７ 年 高 考 复 数 题 ． 设复数 ｚ１ 和 ｚ２ 满 足 关 系 式 ｚ１ ｚ２ ＋Ａ珡ｚ１ ＋
Ａ ｚ２＝０，其中 Ａ 为不等于０的复数 ．证明： （１） ｚ１＋Ａ ｚ２＋Ａ ＝ Ａ ２；
着 千 丝 万 缕 的 联 系 ，基 于 此 ，我 们 用 方 程 的 思 想 观
点来解此题 ．令 ｘ＝ｚ＋ｚ２＋ｚ４，则 ｘ２＝ｚ２＋ｚ４＋ ｚ８＋２ｚ３＋２ｚ５＋２ｚ６，
利用复数单位数根的性质有，
ｘ２＝ｚ＋ｚ２＋ｚ４＋２（ｚ３＋ｚ５＋ｚ６）
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数学通报 ２０１５年 第５４卷 第１期
烆ｚ２＋ｚｘ＋ｘ２＝４
求ｘ＋ｙ＋ｚ 的值．
分析与解 这道
题 的 解 法 较 多，通 常
的 解 法 是 降 次，因 式
分解、换 元 法、数 形 结
合、面 积 法，甚 至 建 立
直 角 坐 标 系，运 用 解
析 法、向 量 法 等 ．但
图１
如果对复数比 较 熟 悉 的 话，还 能 用 复 数 法 解 决 这
ｗ＝ｃｏｓ１２０°＋ｉｓｉｎ１２０°＝ － １２ ＋槡２３ｉ
则 有 ：ｘ＋ｙ＋ｚ＝ＡＤ＋ＢＤ＋ＣＤ ＝｜ＺＤ －ＺＡ｜＋｜ＺＤ －ＺＢ｜＋｜ＺＤ －ＺＣ｜ ＝｜（ＺＤ －ＺＡ ）ｗ＋（ＺＤ －ＺＢ ）＋（ＺＤ －ＺＣ ）ｗ２｜ （这里 ＤＡ、ＤＣ 旋转相应角度后与ＤＢ 共线） ＝｜ＺＡｗ ＋ＺＢ ＋Ｚｃｗ２｜
故ｚ１＝ｚ２，或ｚ２＝ｚ３，ｚ３＝ｚ１．
若ｚ１＝ｚ２
，代
入ｚ１ ｚ２
＋ｚｚ２３
＋ｚｚ３１Βιβλιοθήκη ＝１，得ｚｚ３１＝
±ｉ，
最后得到结果 槡（ａ＋ｂ）２＋ｃ２，
类似地，有 槡（ｃ＋ｂ）２＋ａ２，槡（ａ＋ｃ）２＋ｂ２．
抓 住 了 共 轭 、模 就 是 抓 住 了 复 数 的 几 何 特 征 ，
表面 上 是 数 字 在 运 算，其 实 说 的 是 几 何 推 理 ．同 样 地 ，抓 住 模 ，对 １９８７ 年 高 考 复 数 题 ，采 用 两 边 平 方法，也 可 轻 松 获 证 ．模 在 本 质 上 其 实 就 是 绝 对 值 ，学 生 在 处 理 绝 对 值 问 题 时 ，经 常 采 用 两 边 平 方 法 ，这 种 方 法 离 学 生 的 实 际 很 近 ．
分析与解 只 要 说 明 Ｐ（１）＝０ 即 可 ．方 程 ｘ５－１＝０的根为１，ω，ω２，ω３，ω４，这 里ω 是 任 一 ５ 次单位根，故 有 １＋ω＋ω２ ＋ω３ ＋ω４ ＝０，同 时，对 任意的整数ｋ，（ωｋ）５＝（ω５）ｋ ．依次将ｘ＝ω，ω２，ω３ 代 入 ，可 得
Ｐ（１）＋ωＱ（１）＋ω２ Ｒ（１）＝０， Ｐ（１）＋ω２ Ｑ（１）＋ω４ Ｒ（１）＝０， Ｐ（１）＋ω３ Ｑ（１）＋ω６ Ｒ（１）＝０． 这说明一元二次方程 Ｐ（１）＋Ｑ（１）ｘ＋Ｒ（１）· ｘ２＝０有三个不同的根ω，ω２，ω３，由多项式相 等 定 理，知 Ｐ（１）＝Ｑ（１）＝Ｒ（１）＝０，故（ｘ－１）Ｐ（ｘ）， 同时也能推得， （ｘ－１）Ｑ（ｘ），（ｘ－１）Ｒ（ｘ），（ｘ－１）Ｓ（ｘ）． 复数既然起源 于 方 程，那 么 就 要 精 选 以 复 数 为 背 景 的 习 题 ，在 “解 方 程 ——— 构 造 方 程 ——— 根 与 系 数 的 关 系 ”中 充 分 体 现 了 方 程 的 思 想 和 方 法 ，从 而获得对复数之源的充分认识． ２．２ 复 数 之 特 ：多 元 表 征 ，化 虚 为 实 ，由 实 探 虚 复数有多种表 征 法，如 复 数 的 表 示 方 法 有 代 数 形 式 ，三 角 形 式 ，指 数 形 式 ；在 复 平 面 上 ，复 数 还 能与向量建立一一对应，等等 ．凡此种种，都在于 “化虚为实”，让复数“看得 见，摸 得 着”．正 如 历 史 上 ，高 斯 在 复 平 面 上 用 几 何 法 表 示 复 数 后 ，复 数 终 于广 为 接 受 ．复 数 之 特 还 在 于 复 数 有 模，能 刻 画 距离，复数有共轭复数，反映了某种对称性 ．要认 识 复 数 ，就 要 精 选 例 题 ，反 映 复 数 自 身 的 特 征 ． 例４ 给 定 实 数 ａ，ｂ，ｃ，已 知 复 数 ｚ１，ｚ２，ｚ３ 满足