北京市第四中学2013届高三上学期期中测试数学(理)试题
北京四中2013届高三上学期期中测验 物理试题
北京四中2013届高三上学期期中测试物理试题（考试时间为100分钟，试卷满分100分）一、选择题（本题共10小题；每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确。
全部选对的得4分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分。
）1．物体受到几个恒力的作用而作匀速直线运动。
如果撤掉其中的一个力而其他几个力保持不变，则（ ）A ．物体的运动方向一定不变B ．物体的动能一定不变C ．物体的速度的变化率一定不变D ．物体的动量的变化率一定不变【答案】CD物体原来处于平衡状态，撤去一个力后，其余的力的合力与撤去的力等值、反向、共线；若合力与速度同向，物体做匀加速直线运动；若合力与速度反向，物体做匀减速直线运动；若合力与速度不共线，物体做曲线运动；物体的合力一定不为零，一定有加速度。
综上所述可知选项CD 正确．2．三段不可伸长的细绳OA 、OB 、OC 能承受的最大拉力相同均为200N ，它们共同悬挂一重物，如图所示，其中OB 是水平的，A 端、B 端固定，θ=300。
则O 点悬挂的重物G 不能超过（ ） A ．100N B ．173N C ．346N D ．200N 【答案】A对结点O 受力分析可知，,,tan sin OC OB OA mg mg F mg F F θθ===，故OA F 的值最大，故随着悬挂重物质量的增加，细绳OA 承受的拉力最先达到最大值，将OA F =200N 代入可得mg =100N ，选项A 正确。
3．某同学站在观光电梯地板上，用加速度传感器记录了电梯由静止开始运动的加速度随时间变化情况，以竖直向上为正方向。
根据图像提供的信息，可以判断下列说法中正确的是（ ）A ．在5s ～15s 内，观光电梯在加速上升，该同学处于超重状态B ．在15s ～25s 内，观光电梯停了下来，该同学处于平衡状态C ．在25s ～35s 内，观光电梯在减速上升，该同学处于失重状态D ．在t =35s 时，电梯的速度为0【答案】ACD在5s ～15s 内，加速度为正，此时电梯在向上加速运动，处于超重状态，故A 正确；在15～25s 内，从加速度时间图象可知，此时的加速度为0，电梯向上做匀速直线运动，处于平衡状态，故B 错误．在25s ～35s 内，该同学加速度为负，减速上升，处于失重状态，故C 正确．a 0 -a 0 -2a 0 2a 0加速度时间图线的面积表示相应的速度的大小，由图象可知t=35s 时，观光电梯的速度为0，故D 正确．4．物体在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，若风速越大，则物体（ ）A ．下落的时间越短B ．下落的时间越长C ．落地时的速度越小D ．落地时速度越大【答案】D风速越大，物体水平方向的速度越大，由运动的独立性原理可知竖直方向的速度不变，故下落的时间不变，由于落地时水平方向上的速度随风速的增大而增大，故合速度增大，选D 。
北京市海淀区2013届高三上学期期中练习数学理试题(word版)
海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（理科） 2012. 11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合2{|1}A x x =≥，则U A =ð A ．(,1)-∞B ．(1,1)C ．(1,)+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞U2．下列函数中，在定义域内是减函数的是A ．1()f x x=-B ．()f x =C ．1()2x f x =D ．()tan f x x =3．在平面直角坐标系xoy 中，已知(0,0)O ，(0,1)A ，(1B ，则OA AB ⋅uu r uu u r的值为A ．1B 1C D 14．已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则3a = A ．1-B ．2-C ．4-D ．8-5．sin15cos15︒+︒的值为A ．12B C D 6．“0t ≥”是“函数2()f x x tx t =+-在(,)-∞+∞内存在零点”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7．已知函数1,0,()1,0,x f x x -<⎧=⎨≥⎩则不等式(1)1xf x -≤的解集为A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞C ．[1,2]D ．[1,1]-8．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈， 使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“好集合”．给出下列4个集合：①1{(,)|}M x y y x== ②{(,)|e 2}xM x y y ==-③{(,)|cos }M x y y x == ④{(,)|ln }M x y y x ==其中所有“好集合”的序号是 A ．①②④ B ．②③C ．③④D ．①③④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．1e d xx =⎰ ．10．设0.5a =π，3log 2b =，cos 2c =，则,,a b c 从大到小．．．．的顺序为 ． 11．函数211()(2)2x f x x x +=≤≤的值域为 ． 12．在ABC ∆中，点M 为边AB 的中点，若OP uu u r ∥OM uuu r ，且(0)OP xOA yOB x =+≠u u u r u u r u u u r，则yx= ． 13．已知函数()y g x =的图象由()sin 2f x x =的图象向右平移(0)ϕϕ<<π个单位得到，这两个函数的部分图象 如图所示，则ϕ= ．14．数列{}n a 中，如果存在k a ，使得“1k k a a ->且1k k a a +>”成立（其中2k ≥，k *∈N ），则称ka 为{}n a 的一个峰值．（Ⅰ）若2311n a n n =-+，则{}n a 的峰值为 ；（Ⅱ）若ln n a t n n =-，且{}n a 不存在峰值，则实数t 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且25a =-，520S =-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求使不等式n n S a >成立的n 的最小值．16．（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos(2)2f x x x π=-+． （Ⅰ）求()8f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间．17．（本小题满分13分）在ABC ∆中，4A π∠=，tan()7A B +=，AC = （Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积．18．（本小题满分13分）如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中4AE =米，6CD =米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上．（Ⅰ）设MP x =米，PN y =米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域； （Ⅱ）求矩形BNPM 面积的最大值．BMDF CA19．（本小题满分14分）已知函数32211()(21)()32f x x a x a a x =-+++． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的值；（Ⅱ）若m ∀∈R ，直线y kx m =+都不是曲线()y f x =的切线，求k 的取值范围； （Ⅲ）若1a >-，求()f x 在区间[0,1]上的最大值．20．（本小题满分14分）已知数集12{,,A a a =…,}n a 12(1a a =<<…,2)n a n <≥具有性质P ：对任意的(2)k k n ≤≤，,(1)i j i j n ∃≤≤≤，使得k i j a a a =+成立．（Ⅰ）分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P ，并说明理由； （Ⅱ）求证：122n a a a ≤++…1(2)n a n -+≥；（Ⅲ）若72n a =，求数集A 中所有元素的和的最小值．海淀区高三年级第一学期期中练习数 学 （理）参考答案及评分标准 2012．11说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） 9．e 1-10．a b c >>11．5[2,]212．113．π314．10；*11{|,2}1ln 2ln()N t t t n n n n≤=∈≥+或且 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（I ）设{}n a 的公差为d ，依题意，有 21515,51020a a d S a d =+=-=+=- ………………2分联立得11551020a d a d +=-⎧⎨+=-⎩解得161a d =-⎧⎨=⎩………………5分所以6(1)17n a n n =-+-⋅=- ………………7分 （II ）因为7n a n =-，所以1(13)22n n a a n n S n +-== ………………9分令(13)72n n n ->-，即215140n n -+> ………………11分 解得1n <或14n > 又*N n ∈，所以14n >所以n 的最小值为15 ………………13分16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()2cos cos(2)2f x x x =-+22cos sin 2x x =+ ………………2分1cos2sin 2x x =++………………4分π)14x =++ ………………6分所以πππ()sin()11844f =++=+ ………………7分（Ⅱ）因为π())14f x x =++所以2ππ2T == ………………9分 又sin y x =的单调递减区间为π3π2π,2π 22k k ++（），()Z k ∈ ………………10分 所以令ππ3π2π22π242k x k +<+<+ ………………11分解得π5πππ 88k x k +<<+………………12分 所以函数()f x 的单调减区间为π5π(π+,π) 88k k +，()Z k ∈ ………………13分17．（本小题满分13分）解：（I ）在ABC ∆中，因为πA B C ++= ………………1分所以tan tan[π()]tan()C A B A B =-+=-+ ………………3分 因为tan()7A B +=，所以tan 7C =- ………………4分又22sin tan 7cos sin cos 1C C C C C ⎧==-⎪⎨⎪+=⎩解得|sin |C =………………5分 因为(0,π),C ∈所以sin C =………………6分 （II ）因为π4A =，所以1tan tan()71tan B A B B ++==- 解得3tan 4B =………………8分 因为(0,π),C ∈ 所以3sin 5B =………………9分 由正弦定理sin sin b cB C=，代入得到7c = ………………11分 所以1sin 2ABC S bc A ∆=1π217sin 242=⨯⨯= ………………13分18.（本小题满分13分）解：（I ）作PQ AF ⊥于Q ，所以8,4PQ y EQ x =-=- ………………2分在EDF ∆中，EQ EFPQ FD= 所以4482x y -=- ………………4分 所以1102y x =-+，定义域为|48}{x x ≤≤ ………………6分 (II) 设矩形BNPM 的面积为S ，则21()(10)(10)5022x S x xy x x ==-=--+ ………………9分所以()S x 是关于x 的二次函数，且其开口向下，对称轴为10x =所以当(4,8)x ∈，()S x 单调递增 ………………11分 所以当8x =米时，矩形BNPM 面积取得最大值48平方米 ………………13分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 22()(21)()f x x a x a a '=-+++()[(1)]x a x a =--+………………2分令()0f x '=，得1(1)x a =+，2x a = 所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：………………4分 所以1a = ………………5分（II ）因为2211()()24a f x x +'=-- ………………6分因为m ∀∈R ，直线y kx m =+都不是曲线)(x f y =的切线所以2211()()24a f x x k +'=--≠对R x ∈成立 ………………7分 只要()f x '的最小值大于k 所以 14k <- ………………8分(III) 因为1,a >-所以10,a +>当1a ≥时，()0f x '≥对[0,1]x ∈成立所以当1x =时，()f x 取得最大值21(1)6f a =- ………………9分当01a <<时， 在(0,)x a ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增在(,1)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减所以当x a =时，()f x 取得最大值3211()32f a a a =+ ………………10分当0a =时， 在(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减所以当0x =时，()f x 取得最大值(0)0f = ………………11分 当10a -<<时，在(0,1)x a ∈+时，()0f x '<，()f x 单调递减 在(1,1)x a ∈+时，()0f x '>，()f x 单调递增又21(0)0,(1)6f f a ==-，当1a -<<()f x 在1x =取得最大值21(1)6f a =-当0a <<时，()f x 在0x =取得最大值(0)0f =当a =时，()f x 在0x =，1x =处都取得最大值0. ………………14分 综上所述，当1a ≥或1a -<<()f x 取得最大值21(1)6f a =-当01a <<时，()f x 取得最大值3211()32f a a a =+当a =时，()f x 在0x =，1x =处都取得最大值0当0a <≤时，()f x 在0x =取得最大值(0)0f =. 20.（本小题满分14分）解：(Ⅰ)因为 311≠+， 所以{1,3,4} 不具有性质P .因为 2=12, 3=1+2, 6=33⨯+，所以{1,2,3,6}具有性质P ………………4分 (Ⅱ)因为12={,,,}n A a a a ⋅⋅⋅具有性质P ：即对任意的(2),k k n ≤≤ , (1)i j i j n ∃≤≤≤，使得=+k i j a a a 成立， 又因为121<<<, 2n a a a n =⋅⋅⋅≥，所以,i k j k a a a a << 所以11,i k j k a a a a --≤≤，所以1=+2k i j k a a a a -≤即12n n a a -≤，122332212, 2,..., 2, 2n n n n a a a a a a a a ----≤≤≤≤ ………………6分 将上述不等式相加得21121+++2(+++)n n n a a a a a a --⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅所以1212+++n n a a a a -≤⋅⋅⋅………………9分(Ⅲ)最小值为147.首先注意到1=1a ，根据性质P ,得到21=2=2a a 所以易知数集A 的元素都是整数.构造={1,2,3,6,9,18,36,72}A 或者={1,2,4,5,9,18,36,72}A ，这两个集合具有性质P , 此时元素和为147.下面，我们证明147是最小的和假设数集1212={,,,}(<<<,2)n n A a a a a a a n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥，满足=1147nii S a=≤∑最小（存在性显然，因为满足=1147nii a≤∑的数集A 只有有限个）.第一步：首先说明集合1212={,,,}(<<<,2)n n A a a a a a a n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥中至少有８个元素: 由(Ⅱ)可知21322, 2.......a a a a ≤≤又1=1a ，所以2345672, 4, 8, 16, 32, 6472a a a a a a ≤≤≤≤≤≤<， 所以8n ≥第二步：证明12336,18,9n n n a a a ---===：若36A ∈，设=36t a ，因为723636n a ==+，为了使得=1nii S a=∑最小，在集合A中一定不含有元素k a ，使得36<72k a <，从而136n a -= ；假设36A ∉，根据性质P ，对72n a =，有,i j a a ，使得72n i j a a a ==+ 显然i j a a ≠, 所以144n i j a a a ++=而此时集合A 中至少还有5个不同于,,n i j a a a 的元素， 从而1()5149n i j S a a a a >+++=，矛盾， 所以36A ∈，进而=36t a ，且136n a -=；11同理可证：2318,9n n a a --== （同理可以证明：若18A ∈，则218n a -= 假设18A ∉.因为136,n a -=根据性质P ，有,i j a a ，使得136n i j a a a -==+ 显然i j a a ≠, 所以1144n n i j a a a a -+++=， 而此时集合A 中至少还有４个不同于1,,,n n i j a a a a -的元素 从而114148n n i j S a a a a a ->++++=，矛盾， 所以18A ∈，且218n a -= 同理可以证明：若9A ∈，则39n a -= 假设9A ∉因为218,n a -=根据性质P ，有,i j a a ，使得218n i j a a a -==+ 显然i j a a ≠, 所以12144n n n i j a a a a a --++++= 而此时集合A 中至少还有３个不同于12,,,,n n n i j a a a a a --的元素 从而1213147n n n i j S a a a a a a -->+++++=，矛盾， 所以9A ∈，且39n a -= ） 至此，我们得到了12336,18,9n n n a a a ---===. 根据性质P ，有,i j a a ，使得9i j a a =+ 我们需要考虑如下几种情形：①8,1i j a a ==, 此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素k a ，才能得到元素8，则148S >；②7,2i j a a ==，此时集合中至少还需要一个大于4的元素k a ，才能得到元素7， 则148S >；③6,3i j a a ==，此时集合={1,2,3,6,9,18,36,72}A 的和最小，为147； ④5,4i j a a ==，此时集合={1,2,4,5,9,18,36,72}A 的和最小，为147. ………14分。
北京四中2013届高三上学期期中测试物理试题
北京四中2013届高三上学期期中测试物理试题（考试时间为100分钟，试卷满分100分）一、选择题（本题共10小题；每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确。
全部选对的得4分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分。
）1．物体受到几个恒力的作用而作匀速直线运动。
如果撤掉其中的一个力而其他几个力保持不变，则（ ）A ．物体的运动方向一定不变B ．物体的动能一定不变C ．物体的速度的变化率一定不变D ．物体的动量的变化率一定不变2．三段不可伸长的细绳OA 、OB 、OC 能承受的最大拉力相同均为200N ，它们共同悬挂一重物，如图所示，其中OB 是水平的，A 端、B 端固定，θ=300。
则O 点悬挂的重物G 不能超过（ ）A ．100NB ．173NC ．346ND ．200N3．某同学站在观光电梯地板上，用加速度传感器记录了电梯由静止开始运动的加速度随时间变化情况，以竖直向上为正方向。
根据图像提供的信息，可以判断下列说法中正确的是（ ）A ．在5s ～15s 内，观光电梯在加速上升，该同学处于超重状态B ．在15s ～25s 内，观光电梯停了下来，该同学处于平衡状态C ．在25s ～35s 内，观光电梯在减速上升，该同学处于失重状态D ．在t =35s 时，电梯的速度为04．物体在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，若风速越大，则物体（ ） A ．下落的时间越短 B ．下落的时间越长 C ．落地时的速度越小 D ．落地时速度越大5． 如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道I ，然后在Q 点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则（ ）A ．该卫星的发射速度必定大于11. 2 km/sB ．卫星在同步轨道II 上的运行速度大于7. 9 km/sC ．在椭圆轨道I 上，卫星在P 点的速度大于在Q 点的速度D ．卫星在Q 点通过加速实现由轨道I 进入轨道II6．在地面上竖直向上抛出一个小球，如果考虑空气的阻力，并认为空气阻力恒定。
2023-2024学年北京四中高三(上)期中数学试题和答案
2023北京四中高三（上）期中数 学（试卷满分150分，考试时间为120分钟）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1. 已知集合{|51}A x x =-<≤<，2{|9}B x x =≤，则A B = （A ）[3,1)-（B ）[3,1]-（C ）(5,3]-（D ）[3,3]-2. 若复数()()3i 1i z =-+，则z = （A）（B）（C（D）3. 化简5sin(π)2cos(π)αα+=- （A ）tan α（B ）tan α-（C ）1（D ）1-4. 下列函数中，值域为(1)+∞，的是 （A ）1sin y x=（B）1y =+（C ）lg(||1)y x =+（D ）21x y =+5. 函数sin 2y x =的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位后经过点(3π，则ϕ的最小值为（A ）12π（B ）6π（C ）3π（D ）65π6. 若1a >，则141a a +-的最小值为 （A ）4 （B ）6（C ）8（D ）无最小值7. 已知函数35()log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是 （A ）(2,3)（B ）(3,4)（C ）(4,5) （D ）(5,6)8．已知函数()sin()f x x ϕ=+．则“(0)1f =”是“()f x 为偶函数”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件9. 已知a ，0b >，且1≠a ，1≠b ，若log 1a b >，则 （A ）(1)(1)0a b -->（B ）(1)()0a a b -->（C ）(1)()0b a b -->（D ）(1)()0b b a -->10. 已知()f x =21|1|,02,0x x x x x -+<⎧⎨-≥⎩，若实数[]2,0m ∈-，则1|()(|2f x f --在区间[,1]m m +上的最大值的取值范围是（A ）15[,]44（B ）13[,]42（C ）13[,22（D ）1[,2]2二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知α为第二象限角，且sin α=πtan()4α+=_______．12. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若1316,2a S a ==，则公差d =_______，n S 的最大值为_________． 13．设(),()f x g x 分别是定义域为R的奇函数和偶函数，当0x >时，()()()()0f x g x f x g x ''-->，且(3)0g -=，则不等式()()0f x g x >的解集为 .14. 如图，为了测量湖两侧的A ，B 两点之间的距离，某观测小组的三位同学分别在B 点，距离A 点30km 处的C 点，以及距离C 点10km 处的D 点进行观测. 甲同学在B 点测得30DBC ∠= ，乙同学在C 点测得45ACB ∠= ，丙同学在D 点测得45BDC ∠= ，则A ，B 两点间的距离为_______km.15. 设函数()f x 定义域为D ，对于区间I D ⊆，若存在1212,,x x I x x ∈≠，使得12()()f x f x k +=，则称区间I 为函数()f x 的k T 区间. 给出下列四个结论：①当2a <时，(,)-∞+∞是3x y a =+的4T 区间；②若[,]m n 是2y x x =-的4T 区间，则n m -的最小值为3；③当3ω≥时，[π,2π]是cos y x ω=的2T 区间；④当5π10πA ≤≤时，[π,+)∞不是2sin +1A xy x =的2T 区间； 其中所有正确结论的序号为 . 三、解答题：（本大题共6小题，共85分）16．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足234a b ==，6516a b ==．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求和：135b b b +++…21n b -+．17.（本小题满分13分）已知函数2π()cos 22sin (6f x x x =--．（Ⅰ）求π()2f 的值；（Ⅱ）求()f x 的对称轴；（Ⅲ）若方程()1f x =-在区间[0,]m 上恰有一个解，求m 的取值范围．18.（本小题满分14分）在△ABC 中，sin cos 02B b A a -=.（Ⅰ）求B ∠；（Ⅱ）若b =ABC 存在且唯一确定，并求a 及△ABC 的面积.条件①：c =条件②：sin sin 2sin A C B +=；条件③：21ac =.19．（本小题满分15分）已知函数()2e [(21)1]xf x x a x =-++.（Ⅰ）若12a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性；（Ⅲ）当0a >时，若对任意实数x ，2()(23)e a f x a >-恒成立，求a 的取值范围.20.（本小题满分15分）已知函数22ln ()(1)xf x a x x=+-.（Ⅰ）当0a =时，求()f x 的极值；（Ⅱ）当1a =时，求()f x 在[1,)+∞上的最小值；（Ⅲ）若()f x 在(1,e)上存在零点，求a 的取值范围.21.（本小题满分15分）已知集合12{,,,}(3)n S a a a n =≥ ，集合{(,)|,,}T x y x S y S x y ⊆∈∈≠，且满足,(,1,2,,,)i j a a S i j n i j ∀∈=≠ ，(,)i j a a T ∈与(,)j i a a T ∈恰有一个成立. 对于T 定义1,(,)(,)0,(,)T a b Td a b b a T ∈⎧=⎨∈⎩，以及1,()(,)nT i T i j j j i l a d a a =≠=∑，其中1,2,,i n = .例如22123242()(,)(,)(,)(,)T T T T T n l a d a a d a a d a a d a a =++++ .（Ⅰ）若1232244,(,),(,),(,)n a a a a a a T =∈，求2()T l a 的值及4()T l a 的最大值；（Ⅱ）从1(),,()T T n l a l a 中任意删去两个数，记剩下的数的和为M ，求M 的最小值（用n 表示）；（Ⅲ）对于满足()1(1,2,,)T i l a n i n <-= 的每一个集合T ，集合S 中是否都存在三个不同的元素,,e f g ，使得(,)(,)(,)3T T T d e f d f g d g e ++=恒成立？请说明理由.改：（Ⅱ）若6n =，从1(),,()T T n l a l a 中删去一个最大值和一个最小值，记剩下的数的和为M ，求M 的最小值；16,()()15T T n n l a l a =++= ，最大值5A ≤，最小值2B ≤，否则3615⨯>于是15528M ≥--=，构造16(),,()T T l a l a 为5，2，2，2，2，2构造121314151624253234434654566263{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}T a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =，即\,1,1,1,1,10,\,0,1,1,00,1,\,0,1,00,0,1,\,0,10,0,0,1,\,10,1,1,0,0,\⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，恰好取得等号.参考答案一、选择题CBDDB CBADC 二、填空题11. 1212. 2,12- 13. (3,0)(3,+)-∞14. 15. ①③④12题：前3分后2分15题：2分，3分，5分三、解答题16．（共13分）解：（Ⅰ）因为 21614,516,a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩ ……2分所以 11,3.a d =⎧⎨=⎩ ……4分从而 32n a n =-. ……6分（Ⅱ）因为2314514,16,b b q b b q ⎧==⎨==⎩ ……8分所以 121,4.b q =⎧⎨=⎩ ……10分所以22211211()4n n n n b b q q ----=⋅== ， ……11分所以135211441143n n n b b b b ---+++==- . ……13分17. 解：（1）5()22f π=- ……3分（2）()13f x x π=+- ……8分1()212x k k Z ππ=+∈ ……10分（3）5[,)36m ππ∈ ……13分18. 解：（Ⅰ）由正弦定理得，由题设得，，因为，所以所以.,. ……4分（Ⅱ）选条件①：c =由正弦定理sin sin b c B C =得sin C =，sin sin b A a B =sin cos02Ba B a -=2sincos cos 0222B B Ba a -=022B π<<cos 0.2B a ≠1sin22B =26B π=3B π=因为，所以cos C =sin sin()A B C =+=，进而a =1sin 2S bc A ==+……14分选条件②：由正弦定理得2a c b +==由余弦定理得2222cos ,18b a c ac B ac =+-=，所以1sin 2S ac B ==由18a c ac ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得a c ==……14分19. 解：（1）1y x =-+ ……4分（2）2()[(12)2](2)(1)x x f x e x a x a e x a x '=+--=-+ ……6分①12a >-，(,1),(2,)a -∞-+∞增，(1,2)a -减 ……8分②12a <-，(,2),(1,)a -∞-+∞增，(2,1)a -减 ……10分③12a =-，(,)-∞+∞增 ……11分（3）首先(2)f a 为()f x 在(1,)-+∞上的极小值，也是最小值。
2017届北京市第四中学高三上学期期中考试数学(理)试卷(解析版)
2016-2017学年北京市第四中学高三上学期期中考试数学（理）一、选择题：共8题1．已知全集,集合,则A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查集合的基本运算.由补集的定义可知，2．设命题,则为A. B.C. D.【答案】C【解析】本题主要考查全称命题与特称命题的否定.由特称命题否定的定义可知，答案为C.3．为了得到函数的图象,只需把函数y=lg x的图象上所有的点A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度【答案】C【解析】本题主要考查对数的运算性质的应用以及图象的变换问题.,所以为了得到函数的图象,只需把函数y=lg x的图象上所有的点向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度.答案C【备注】函数4．若,满足则的最大值为A.0B.1C.D.2【答案】D【解析】本题主要考查线性规划问题，考查了数形结合思想.作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由目标函数z与直线在y轴上的截距之间的关系可知，当直线过点A()时，目标函数取得最大值2.5．等比数列满足则A.21B.42C.63D.84【答案】B【解析】本题主要考查等比数列的通项公式，考查了计算能力.设公比为q，因为，所以,则，所以6．已知,则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查充分条件与必要条件、三角函数的诱导公式，考查了逻辑推理能力.当时，，当时，，因此“”是“”的充分不必要条件7．定义在上的偶函数满足,且在区间上单调递增,设,, ,则大小关系是A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查抽象函数的性质，考查了逻辑推理能力.因为,所以,所以偶函数的周期为2，又函数在区间上单调递增,所以函数在区间上单调递减,又,,,所以8．已知函数,若,则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查导数、函数的性质，考查了数形结合思想与逻辑推理能力.作出函数的图像与的图像，如图所示，由图像可知：函数的图像为过原点的直线，当直线介于直线l与x 轴之间时符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数在第二象限的部分解析式为,,因为，故,故直线l的斜率为，故只需直线的斜率a介于与0之间即可，即二、填空题：共6题9．设是虚数单位,则 .【答案】【解析】本题主要考查复数的四则运算.10．执行如图所示的框图,输出值 .【答案】12【解析】本题主要考查条件结构与循环结构的程序框图，考查了逻辑推理能力.运行程序：x=1;x=2;x=4,x=5;x=6;x=8,x=9;x=10;x=12,此时满足条件，循环结束，输出x=12.11．若等差数列满足,,则当________时,的前项和最大.【答案】8【解析】本题主要考查等差数列的通项公式、前项和公式与性质，考查了逻辑推理能力.在等差数列中，因为,,所以,即前8项均为正数，从第9项开始均为负数，所以当n=8时，的前项和最大.12．已知是定义在上的奇函数.当时,,则不等式的解集为______.【答案】【解析】本题主要考查函数的性质，考查了转化思想与逻辑推理能力.设,因为是定义在上的奇函数，所以是上的偶函数，且,时,解不等式可得x>4,所以不等式的解集为13．要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米200元,侧面造价是每平方米100元,则该容器的最低总造价是________元.【答案】1600【解析】本题主要考查函数的解析式与性质、基本不等式的应用，考查了分析问题与解决问题的能力.设长方体的底面的长为x m，则宽为m，总造价为y元，则，当且仅当，即x=2时，等号成立，故答案为1600元14．已知函数,任取,定义集合:,点,满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值,记.则(1) 若函数,则=______;(2)若函数,则的最小正周期为______.【答案】2 2【解析】本题主要考查新定义问题、集合、三角函数，考查了逻辑推理能力与计算能力.(1)若函数,则点P(t,t),Q(x,x),因为，所以，化简可得,即,即,因为，所以；(2)若函数,此时，函数的最小正周期为T=4，点P(),Q(),如图所示：当点P在A点时，点O在曲线OAB上，,，当点P在B点时，,，当点P在曲线上从B接近C时，逐渐减小，当点P在曲线上从C接近D时，逐渐增大，,，当点P在曲线上从D接近E时，逐渐减小，，，依次类推，发现的最小正周期为2，因此，本题正确答案为2.三、解答题：共6题15．集合,,,其中.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ);;所以;(Ⅱ),若,则,若,则;若,则,不满足,舍;若,则,不满足,舍;综上.【解析】本题主要考查集合的基本运算、集合间的基本关系、指数函数，考查了分类讨论思想与计算能力.(1)求出集合A、B，再利用交集的定义求解即可；(2),再分、、三种情况讨论求解即可.16．已知是等差数列,满足,,数列满足,,且是等比数列. (Ⅰ)求数列和的通项公式;(Ⅱ)求数列的前项和.【答案】(Ⅰ)设等差数列的公差为,由题意得.所以.设等比数列的公比为,由题意得,解得.所以.从而.(Ⅱ)由(Ⅰ)知.所以,数列的前项和为.【解析】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式，考查了逻辑推理能力与计算能力.(1) 设等差数列的公差为, 设等比数列的公比为,结合题意，求出d与q，则可得结论；(2)，利用等差数列与等比数列的通项公式与前项和公式求解即可.17．已知函数,.(Ⅰ)求函数的单调减区间;(Ⅱ)求函数在上的最大值与最小值.【答案】.(Ⅰ)令,解得,所以函数的单调减区间为.(Ⅱ)因为,所以,所以 ,于是 ,所以.当且仅当时取最小值;当且仅当,即时最大值.【解析】本题主要考查二倍角公式、两角和与差公式、三角函数的性质，考查了转化思想与计算能力.(1)化简,由正弦函数的单调性可得结论；(2)由题意可得,结合正弦函数的性质即可求出结果.18．已知函数,其中.(Ⅰ)若,求的单调区间;(Ⅱ)若的最小值为1,求的取值范围.【答案】定义域为..(Ⅰ)若,则,令,得(舍).所以时,的单调增区间为,减区间为.(Ⅱ),∵∴当时,在区间上∴在单调递增,所以的最小值为.当时,由解得,由解得∴的单调递减区间为,单调递增区间为所以在处取得最小值,注意到,所以不满足综上可知,若得最小值为1,则的取值范围是【解析】本题主要考查导数、函数的性质，考查了分类讨论思想与逻辑推理能力.(1)求导,并解不等式,,即可得出结论；(2),分、两种情况讨论函数的单调性，即可求出结论.19．设函数,曲线在点处的切线方程为.(Ⅰ)求;(Ⅱ)设,求的最大值;(Ⅲ)证明函数的图象与直线没有公共点.【答案】函数的定义域为由题意可得故(Ⅱ)则.所以当时当时故在单调递增在单调递减从而在的最大值为(Ⅲ)由知又于是函数的图象与直线没有公共点等价于而等价于设函数则所以当时当时故在单调递减在单调递增从而在的最小值为由(Ⅱ)知综上当时即【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义、函数的性质，考查了转化思想、逻辑推理能力与计算能力.(1)由题意可得，求解即可；(2)，判断函数的单调性，即可求出最大值；(3)由(1)知，由题意可得，等价于，设函数，求导并求出的最小值，结合(2)即可得出结论.20．对于集合,定义函数对于两个集合,定义集合. 已知,.(Ⅰ)写出和的值,并用列举法写出集合;(Ⅱ)用表示有限集合所含元素的个数,求的最小值;(Ⅲ)有多少个集合对,满足,且?【答案】(Ⅰ),,.(Ⅱ)根据题意可知：对于集合,①且,则;②若且,则.所以要使的值最小,2,4,8一定属于集合;1,6,10,16是否属于不影响的值;集合不能含有之外的元素.所以当为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时,取到最小值4.(Ⅲ)因为,所以.由定义可知：.所以对任意元素,,.所以.所以.由知：.所以.所以.所以,即.因为,所以满足题意的集合对的个数为.【解析】本题主要考查新定义问题、集合与集合间的基本关系、函数、集合的基本运算，考查了分类讨论思想与逻辑推理能力.(1)由题意易得结论；(2)根据题意可知：对于集合,若且,则;若且,则，由此可得结论；(3)由题意易得，由定义可知：，易知，由可得，则结论易得.。
北京四中2013届高三上学期期中测验
北京四中2013届高三上学期期中测试物理试题（考试时间为100分钟，试卷满分100分）一、选择题（本题共10小题；每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确。
全部选对的得4分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分。
）1．物体受到几个恒力的作用而作匀速直线运动。
如果撤掉其中的一个力而其他几个力保持不变，则（ ）A ．物体的运动方向一定不变B ．物体的动能一定不变C ．物体的速度的变化率一定不变D ．物体的动量的变化率一定不变2．三段不可伸长的细绳OA 、OB 、OC 能承受的最大拉力相同均为200N ，它们共同悬挂一重物，如图所示，其中OB 是水平的，A 端、B 端固定，θ=300。
则O 点悬挂的重物G 不能超过（ ） A ．100N B ．173N C ．346N D ．200N 3．某同学站在观光电梯地板上，用加速度传感器记录了电梯由静止开始运动的加速度随时间变化情况，以竖直向上为正方向。
根据图像提供的信息，可以判断下列说法中正确的是（ ） A ．在5s ～15s 内，观光电梯在加速上升，该同学处于超重状态 B ．在15s ～25s 内，观光电梯停了下来，该同学处于平衡状态C ．在25s ～35s 内，观光电梯在减速上升，该同学处于失重状态D ．在t =35s 时，电梯的速度为04．物体在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，若风速越大，则物体（ ）A ．下落的时间越短B ．下落的时间越长C ．落地时的速度越小D ．落地时速度越大5． 如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道I ，然后在Q 点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则（ ）A ．该卫星的发射速度必定大于11. 2 km/sB ．卫星在同步轨道II 上的运行速度大于7. 9 km/sC ．在椭圆轨道I 上，卫星在P 点的速度大于在Q 点的速度D ．卫星在Q 点通过加速实现由轨道I 进入轨道II6．在地面上竖直向上抛出一个小球，如果考虑空气的阻力，并认为空气阻力恒定。
北京市西城区2013届高三上学期期中考试(数学理)无答案
2012-2013学年度理科数学高三（上）期中试题2012.11 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题共8小题,每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．若全集U =R ，集合{10}A x x =+<，{30}B x x =-<，则集合()U C A ∩B ＝( )A ．{3}x x >B ．{13}x x -<<C ．{1}x x <-D ．{13}x x -≤<2.“2()6k k παπ=+∈Z ”是“1cos 22α=”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数y ）4．设32log ,log log a b c π=== ( )A. b c a >>B. a c b >>C. b a c >>D. a b c >>5．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 ( ) A.cos 2y x = B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =6．已知、a b 均为单位向量，它们的夹角为60 ，那么||-a b 等于（ ）A. 1B.C.D. 27．若偶函数()x f ()x ∈R 满足()()x f x f =+2且[]1,0∈x 时,(),x x f =则方程()x x f 3lo g =的根的个数是( )A. 2个B. 4个C. 3个D. 多于4个8.对于函数()f x ,若存在区间[,],(M a b a b =<，使得{|(),y y f x x M M =∈=，则称区间M 为函数()f x 的一个“稳定区间”.给出下列4个函数：①()e x f x =；②3()f x x =；③()cos2f x x π=；④()ln 1f x x =+.其中存在稳定区间的函数有( ) A.①② B.①③ C.②③ D.②④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京四中2013届高三上学期期中测验数学(理)试题
北京四中2012-2013年度第一学期高三年级期中数学测试（理)试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。
第一部分(选择题，共40分） 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共计40分．请把答案填写在答题卡的相应位置上． 1. 已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】{(3)0}{03}P x x x x x =-<=<<，={2}{22}Q x x x x <=-<<，所以{02}(0,2)P Q x x =<<=, 选B 。
2。
函数的定义域为( ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】要使函数有意义,则有23400x x x ⎧--+≥⎨≠⎩，即2+3400x x x ⎧-≤⎨≠⎩，解得41x -≤≤且0x ≠，选D 。
3．下列命题中是假命题的是( ） A ．都不是偶函数 B ．有零点C ．D ．上递减【答案】A【解析】当=2πϕ时,()=sin(2)=cos 22f x x x π+为偶函数,所以A 错误，选A 。
4．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】边7对角为θ，则由余弦定理可知2225871cos ==2582θ+-⨯⨯，所以=60θ，所以最大角与最小角的和为120，选B 。
5. 已知数列，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项,则判断框内的条件是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】通过分析，本程序框图为“当型“循环结构。
判断框内为满足循环的条件第1次循环，s=1+1=2 n=1+1=2；第2次循环,s=2+2=4 n=2+1=3；当执行第10项时,11n =， n 的值为执行之后加1的值，所以，判断条件应为进入之前的值。
故答案为:9n ≤或10n <，选B 。
6．已知函数的图象如图所示则函数的图象是( )【答案】A【解析】由函数的两个根为.x a x b ==，图象可知01,1a b <<<-。
北京市第四中学届高三上学期期中考试理科数学试题.pdf
（2）若函数
f
(x)
=
sin
π 2
x
，则
h(t)
的最小正周期为______.
2
三、解答题（共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 15．（本题满分 13 分）
集合 A = {x | x2 − 3x + 2 0} ， B = {x | 1 2x−1 8} ， C ={x | (x + 2)(x − m) 0}， 2
x ≥ 0 ，
A．0
B．1
C． 3
2
D．2
5．等比数列an 满足 a1 = 3, a1 + a3 + a5 = 21, 则 a3 + a5 + a7 =
A．21
B．42
C．63
D．84
6．已知 x R ，则“ = ”是“ sin(x +) = −sin x ”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
x
3 2
cos
x
−
1 2Biblioteka sinx=
2
3 sin xcos x − 2sin2 x
= 3 sin 2x + cos 2x −1 = 2( 3 sin 2x + 1 cos 2x) −1 = 2sin(2x + π ) −1.
2
2
6
（Ⅰ）令 + 2k 2x + 3 + 2k , k Z ，解得 + k x 2 + k ，
2
所以 A B = (1, 2) ；
（Ⅱ） A B = (0, 4) ，
若 m −2 ，则 C = (−2, m) ，若 A B = (0, 4) C ，则 m 4 ；
北京四中高三数学上学期期中测验试题 文 新人教B版
北京四中2012-2013年度第一学期高三年级期中数学试题试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题，共40分）一、选择题：（每小题5分，共40分, 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 1. 已知集合，，则（ ）A. B.C.D.【答案】B【解析】{(3)0}{03}P x x x x x =-<=<<,={2}{22}Q x x x x <=-<<，所以{02}(0,2)P Q x x =<<=I , 选B.2. “”是“”的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由1cos 2α=，得23k παπ=+或2,3k k Z παπ=-+∈，所以“”是“”的充分不必要条件，选B,3. 是等差数列的前项和，若，则（ ）A. 15B. 18C. 9D. 12【答案】D【解析】在等差数列中153535()5252022a a a S a +⨯====，所以34a =，所以2343312a a a a ++==，选D.4. 设为两个平面，为两条直线，且，有如下两个命题：①若；②若. 那么（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①、②都是真命题D ．①、②都是假命题 【答案】D【解析】若//αβ，则//l m 或,l m 异面，所以①错误。
同理②也错误，所以选D. 5. 若是所在平面内的一点，且满足()()0BO OC OC OA +-=u u u r u u u r u u u r u u u rg ，则一定是（ ）A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 直角三角形D. 斜三角形 【答案】C【解析】由()()0BO OC OC OA +-=u u u r u u u r u u u r u u u r g 得0BC AC =u u u r u u u r g ,即BC AC ⊥u u u r u u u r，所以90C ∠=o ,所以三角形为直角三角形，选C. 6．将函数的图象按向量平移后得到图象对应的函数解析式是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】图象按向量平移，相当于先向右平移2π个单位，然后在向上平移1个单位。
北京市第四中学高三上学期期中考试数学(理)试题
（试卷满分：150分考试时间：120分钟）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.（1）设集合，2{|320}N x x x=-+≤，则＝（A）{1} （B）{2}（C）{0，1} （D）{1，2}（2）设11533114,log,73a b c⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（A）（B）（C）（D）（3）已知i是虚数单位，，则“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（4）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（A）向右平移个单位（B）向左平移个单位（C）向右平移个单位（D）向左平移个单位（5）函数的图象大致为（A）（B）（C）（D）（6）设，向量，，，且，，则＝（A）（B）（C）（D）（7）已知11,1,()ln, 01,xf x xx x⎧-≥⎪=⎨⎪<<⎩若函数只有一个零点，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）④存在经过点的直线与函数的图象不相交.（A）①②（B）①③（C）②③（D）②④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.（8）在等差数列中，已知，则该数列前11项和＝. （9）如图，阴影区域是由函数的一段图象与x轴围成的封闭图形，则该阴影区域的面积是.（10）在△中，角的对边分别为.，，，则.（11）已知实数满足，则的最大值是.（12）若直线上存在点满足约束条件30,230,,x yx yx m+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数的取值范围为.（13）设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合的聚点.则在下列集合中①；②；①；④整数集.以0为聚点的集合有 .（请写出所有满足条件的集合的编号）三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （14） （本题满分13分）已知函数()sin )sin f x x x x =-,. （Ⅰ）求函数的最小正周期与单调增区间； （Ⅱ）求函数在上的最大值与最小值. （15） （本题满分13分）已知数列满足：，1221,N n n a a n *+=+∈.数列的前项和为，219,N 3n n S n -*⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求数列，的通项公式； （Ⅱ）设，.求数列的前项和. （16） （本题满分13分）已知函数2()(1)2ln(1)f x x a x =+-+.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若，，求函数图象上任意一点处切线斜率的取值范围.（Ⅰ）问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?（Ⅱ）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?（17） （本小题满分14分）已知函数32()ln(21)2(0).3x f x ax x ax a =++--≥（Ⅰ）若为的极值点，求实数a 的值； （Ⅱ）若在上为增函数，求实数a 的取值范围. （18） (本小题满分14分) 已知123{(,,,,)n n S A A a a a a ==，或1，，对于，表示U 和V 中对应位置的元素不同的个数．（Ⅰ）令，求所有满足，且的的个数；（Ⅱ）令，若，求证：(,)(,)(,)d U W d V W d U V +≥； （Ⅲ）给定，，若，求所有之和．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分三、解答题：本大题共6小题，共80分15.解：()2cos21f x x x=+-12cos2)12x x=+-.（Ⅰ）的最小正周期为令222,262k x k kπππππ-++≤+≤+∈Z，解得36k x kππππ-+≤≤+，所以函数的单调增区间为[,],36k k kππππ-+∈Z.（Ⅱ）因为，所以，所以，于是，所以.当且仅当时取最小值当且仅当，即时最大值.16．解:（Ⅰ）由得，又，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，于是11(1)2nna a n d+=+-=，.当时，1211196,3b S-⎛⎫==-=⎪⎝⎭当时，，231211299333n nn n n nb S S----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=---=⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又时，所以，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，所以21(1),N 3n n n n c a b n n -*⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭.所以1121111234(1)3333n n T n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1)17.解：（Ⅰ）函数的定义域为.22(1)2'()2(1)11x a a f x x x x ⎡⎤+-⎣⎦=+-=++ 当时，在上恒成立，于是在定义域内单调递增.当时，得12111()x x =-=--舍 当变化时，变化情况如下所以的单调递增区间是，单调递减区间是. 综上，当时，单调递增区间是，当时，的单调递增区间是，单调递减区间是.（Ⅱ）当时，2()(1)2ln(1)f x x x =+-+，令2()'()2(1)(1)1h x f x x x x==+-≠-+， 则，故为区间上增函数，所以，根据导数的几何意义可知. 18．解: （Ⅰ）∵,∴∴,∴63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=（） 根据得sin 1040m sin ACAB C B==,所以乙在缆车上的时间为（min ）. 设乙出发（）分钟后,甲、乙距离为,则222212(130)(10050)2130(10050)200(377050)13d t t t t t t =++-⨯⨯+⨯-+∴时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.（Ⅱ）由正弦定理sin sin BC AC A B =得12605sin 50063sin 1365AC BC A B==⨯=(m ).乙从出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710m 才能到达. 设乙步行速度为,则 .解得.∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在范围内.19. （Ⅰ）解：222[2(14)(42)]2()222121x ax a x a a f x x x a ax ax +--+'=+--=++ 1分因为x = 2为f (x )的极值点，所以 2分即，解得：a = 0 3分 又当a = 0时，，当时，时，从而x = 2为f (x )的极值点成立． 6分 （Ⅱ）解：∵f (x )在区间[3，+∞)上为增函数，∴22[2(14)(42)]()021x ax a x a f x ax +--+'=+≥在区间[3，+∞)上恒成立．8分①当a = 0时，在[3，+∞)上恒成立，所以f (x )在[3，+∞)上为增函数，故a = 0符合题意． 9分 ②当a > 0时，222(14)(42)0ax a x a +--+≥在区间[3，+∞)上恒成立．令22()2(14)(42)g x ax a x a =+--+，其对称轴为∵a > 0，∴，从而g (x )≥0在[3，+∞)上恒成立，只要g (3)≥0即可， 由2(3)4610g a a =-++≥a∵a > 0，∴． 13分综上所述，a 的取值范围为[0，] 14分 20. 解：（Ⅰ）； ………4分 （Ⅱ）证明：令， ∵或1，或1； 当，时， 当，时， 当，时， 当，时， 故 ∴123(||||||)n a a a a =++|++|123(||||||)n b b b b +++|++|112233(||||||)n n a b a b a b a b ≥-+-+--|++| ………9分（Ⅲ）解：易知中共有个元素，分别记为∵的共有个，的共有个． ∴=1111111122(2|0|2|1|2|0|2|120|21|)n n n n n n n n a a a a a a -------+-+-+---|++|+|=∴=． ……14分 法二：根据（Ⅰ）知使的共有个∴=012012nnn n n C C C n C ++++=12(1)(2)0n n n nn n n n C n C n C C --+-+-++两式相加得=。
北京市四中高三数学上学期期中试卷理(含解析)
北京四中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x 2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（） A ． {1} B ． {2} C ． {0，1} D ． {1，2}2．（5分）设a=，b=，c=，则（）A ． a ＞b ＞cB ． b ＞a ＞cC ． a ＞c ＞bD ． b ＞c ＞a3．（5分）已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a=b=1”是“（a+bi ）2=2i”的（） A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件 4．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x 的图象，可以将函数y=sin3x 的图象（） A ． 向右平移个单位 B ． 向左平移个单位 C ． 向右平移个单位D ． 向左平移个单位5．（5分）函数y=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）设x ，y ∈R ，向量=（x ，1），=（1，y ），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）A ．B ．C ．D ． 107．（5分）已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣kx+k只有一个零点，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，1）C．[0，1] D．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]8．（5分）设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≤|f（）|对一切x∈R 恒成立，则下列结论正确的是（）①f（）=0；②既不是奇函数也不是偶函数；③f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）；④存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．A．①②B．①③C．②③D．②④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=．10．（5分）如图，阴影区域是由函数y=cosx的一段图象与x轴围成的封闭图形，则该阴影区域的面积是．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且 a=15，b=10，A=60°，则cosB=．12．（5分）已知实数x，y满足2x+2y=1，则x+y的最大值是．13．（5分）若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围．14．（5分）设集X是实数集R上的子集，如果x0∈R满足：对∀a＞0，都∃x∈X，使得0＜|x ﹣x0|＜a，那么称x0为集合X的聚点，用Z表示整数集，则给出下列集合：①{|n∈Z，n≥0}；②{x|x∈R，x≠0}；③{|n∈Z，n≠0}；④整数集Z其中以0为聚点的集合的序号有（写出所有正确集合的序号）三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数f（x）=2（cosx﹣sinx）sinx，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，]上的最大值与最小值．16．（13分）已知数列{a n}满足：a1=1，2a n+1=2a n+1，n∈N+．数列{b n}的前n项和为S n，S n=9﹣，n∈N+．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n•b n，n∈N+．求数列{c n}的前n项和T n．17．（13分）已知函数f（x）=（1+x）2﹣2aln（1+x）（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，x∈[0，1]，求函数y=f（x）图象上任意一点处切线斜率k的取值范围．18．（13分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19．（14分）已知函数f（x）=ln（2ax+1）+﹣2ax（a∈R）．（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．20．（14分）已知S n={A|A=（a1，a2，a3，…a n）}，a i={0或1}，i=1，2，••，n（n≥2），对于U，V∈S n，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）令U=（0，0，0，0），存在m个V∈S5，使得d（U，V）=2，写出m的值；（Ⅱ）令，U，V∈S n，求证：d（U，W）+d（V，W）≥d（U，V）；（Ⅲ）令U=（a1，a2，a3，…a n），若V∈S n，求所有d（U，V）之和．北京四中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．解答：解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设a=，b=，c=，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=＞1，b=＜0，0＜c=＜1，∴a＞c＞b．故选：C．点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．3．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：复数相等的充要条件；充要条件．专题：简易逻辑．分析：利用复数的运算性质，分别判断“a=b=1”⇒“（a+bi）2=2i”与“a=b=1”⇐“（a+bi）2=2i”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论．解答：解：当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；当“（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=﹣1”，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件；故选A点评：本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题．4．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=sin3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数y=sin3x+cos3x=sin3（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：∵函数y=sin3x+cos3x=sin（3x+）=sin3（x+），∴将函数y=sin3x的图象向左平移个单位可得函数y=sin3x+cos3x的图象，故选：D．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．5．（5分）函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．考点：余弦函数的图象；奇偶函数图象的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由于函数y=为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A，利用极限思想（如x→0+，y→+∞）可排除B，C，从而得到答案D．解答：解：令y=f（x）=，∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴函数y=为奇函数，∴其图象关于原点对称，可排除A；又当x→0+，y→+∞，故可排除B；当x→+∞，y→0，故可排除C；而D均满足以上分析．故选D．点评：本题考查奇偶函数图象的对称性，考查极限思想的运用，考查排除法的应用，属于中档题．6．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）A．B．C．D．10考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：由两个向量垂直的性质可得2x﹣4=0，由两个向量共线的性质可得﹣4﹣2y=0，由此求出 x=2，y=﹣2，以及的坐标，从而求得||的值．解答：解：∵向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则有2x﹣4=0，﹣4﹣2y=0，解得 x=2，y=﹣2，故=（3，﹣1 ）．故有||==，故选B．点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．7．（5分）已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣kx+k只有一个零点，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，1）C．[0，1] D．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=k（x﹣1）只有一个交点，数形结合求得k 的范围．解答：解：由题意可得函数y=f（x）的图象（红线部分）和直线y=k（x﹣1）（蓝线部分）只有一个交点．直线y=k（x﹣1）经过定点（1，0），斜率为k．当 0＜x＜1时，f′（x）=＞1，当x≥1时，f′（x）=﹣∈[﹣1，0），如图所示：故 k∈（﹣∞，﹣1]∪[0，1]，故选：D．点评：本题主要考查函数的零点与方程根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．8．（5分）设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≤|f（）|对一切x∈R 恒成立，则下列结论正确的是（）①f（）=0；②既不是奇函数也不是偶函数；③f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）；④存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．A．①②B．①③C．②③D．②④考点：两角和与差的正弦函数；复合三角函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由题意知，f（）是f（x）的最大值或最小值，且f（x）的周期为π；①∵﹣=为个周期，∴f（）=0；②由f（）=sin（+θ）=0可得θ≠（k∈Z），则既不是奇函数也不是偶函数；③若f（）是f（x）的最大值，则[kπ+，kπ+]（k∈Z）是f（x）的单调减区间；④由﹣≤a≤，﹣≤b≤，结合三角函数的图象可得，不存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．解答：解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+θ），又∵f（x）≤|f（）|对一切x∈R 恒成立，∴f（）是f（x）的最大值或最小值，f（x）的周期为π，①∵﹣=为个周期，∴f（）=0；②由f（）=sin（+θ）=0，则θ≠（k∈Z），则既不是奇函数也不是偶函数；③若f（）是f（x）的最大值，则[kπ+，kπ+]（k∈Z）是f（x）的单调减区间；④∵﹣≤a≤，﹣≤b≤，∴不存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．故选A．点评：本题考查了三角函数的图象及由图象可得到的性质，用到了数形结合的思想，属于中档题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=88．考点：等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质知S11=（a1+a11）=，由此能够求出结果．解答：解：等差数列{a n}中，∵a4+a8=16，∴S11=（a1+a11）===88．故答案为：88．点评：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．10．（5分）如图，阴影区域是由函数y=cosx的一段图象与x轴围成的封闭图形，则该阴影区域的面积是2．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：由题意，利用定积分的几何意义，所求阴影区域的面积是S=﹣，即可得出结论．解答：解：由题意，阴影区域的面积是S=﹣=﹣sinx=2．故答案为：2．点评：本题考查了运用定积分求曲边梯形的面积，属于基础题．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且 a=15，b=10，A=60°，则cosB=．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由正弦定理可得，可求sinB，然后结合大边对大角及同角平方关系即可求解解答：解：∵a=15，b=10，A=60°由正弦定理可得，∴sinB===∵a＞b∴A＞B∴B为锐角∴cosB==故答案为：点评：本题主要考查了正弦定理及同角平方关系的简单应用，属于基础试题12．（5分）已知实数x，y满足2x+2y=1，则x+y的最大值是﹣2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：实数x，y满足2x+2y=1，利用基本不等式可得，化简即可得出．解答：解：∵实数x，y满足2x+2y=1，∴=2，化为x+y≤﹣2．当且仅当x=y=﹣1时取等号．则x+y的最大值是﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查了基本不等式的性质、指数运算性质，属于基础题．13．（5分）若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围（﹣∞，1]．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据，确定交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则m≤1，由此可得结论．解答：解：由题意，由，可求得交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，如图所示．可得m≤1则实数m的取值范围（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．点评：本题考查线性规划知识的运用，考查学生的理解能力，属于基础题．14．（5分）设集X是实数集R上的子集，如果x0∈R满足：对∀a＞0，都∃x∈X，使得0＜|x ﹣x0|＜a，那么称x0为集合X的聚点，用Z表示整数集，则给出下列集合：①{|n∈Z，n≥0}；②{x|x∈R，x≠0}；③{|n∈Z，n≠0}；④整数集Z其中以0为聚点的集合的序号有②③（写出所有正确集合的序号）考点：元素与集合关系的判断．专题：新定义．分析：由已知中关于集合聚点的定义，我们逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，进而得到答案．解答：解：①中，集合{|n∈Z，n≥0}中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，∴在a＜的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，∴0不是集合{|n∈Z，n≥0}的聚点②集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=＜a∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点③集合{|n∈Z，n≠0}中的元素是极限为0的数列，对于任意的a＞0，存在n＞，使0＜|x|=＜a∴0是集合{|n∈Z，n≠0}的聚点④对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x﹣0|=0或者|x﹣0|≥1，也就是说不可能0＜|x﹣0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点故答案为：②③．点评：本题考查的知识点是集合元素的性质，其中正确理解新定义﹣﹣集合的聚点的含义，是解答本题的关键．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数f（x）=2（cosx﹣sinx）sinx，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，]上的最大值与最小值．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据题意、二倍角的正弦、余弦公式、两角和的正弦公式运算化简f（x），（Ⅰ）由三角函数的周期公式求出周期，再由正弦函数的单调递增区间求出此函数的增区间；（Ⅱ）由x的范围求出求出的范围，再由正弦函数的性质求出次函数的最大值、最小值．解答：解：由题意得，f（x）=2sinxcosx﹣2sin2x===，（Ⅰ）f（x）的最小正周期为：T=，令得，，所以函数f（x）的单调增区间是；（Ⅱ）因为，所以，所以，即，所以0≤f（x）≤1，当且仅当x=0时，f（x）取最小值f（x）min=f（0）=0，当且仅当时，即时最大值．点评：本题考查正弦函数的单调性、最值，以及三角恒等变换的公式的应用，考查了整体思想的应用．16．（13分）已知数列{a n}满足：a1=1，2a n+1=2a n+1，n∈N+．数列{b n}的前n项和为S n，S n=9﹣，n∈N+．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n•b n，n∈N+．求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据数列的递推关系即可求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求出数列{c n}的通项公式，利用错位相减法即可求出数列{c n}的前n项和T n．解答：解：（Ⅰ）由2a n+1=2a n+1得a n+1﹣a n=，又a1=1，所以数列{a n}是以1为首项，为公差的等差数列，于是a n=a1+（n﹣1）d=，当n=1时，b1=S1=9﹣=9﹣3=6，当n≥2时，S n﹣1=，则b n=S n﹣S n﹣1=9﹣﹣[]=，又n=1时，=6=b1，所以b n=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=，b n=，所以c n=a n•b n=（n+1），所以T n=2×（）﹣1+3×（）0+4×（）1+...+（n+1）×（）n﹣2 (1)等式两边同乘以得T n=2×（）0+3×（）1+4×（）2+...+（n+1）×（）n﹣1 (2)（1）﹣（2）得T n=2×（）﹣1+（）0+（）1+…+×（）n﹣2﹣（n+1）×（）n﹣1=6+﹣（n+1）×（）n﹣1，所以T n=﹣（）n﹣2．点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列的求和，利用错位相减法是解决本题的关键．17．（13分）已知函数f（x）=（1+x）2﹣2aln（1+x）（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，x∈[0，1]，求函数y=f（x）图象上任意一点处切线斜率k的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求函数的定义域，然后求导函数，令导数等于0，判定导数符号从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）求切线斜率的取值范围即先求h（x）=f′（x）=2（1+x）﹣（x≠﹣1），的取值范围，可利用导数研究h（x）的范围，即可求出k的取值范围．解答：解：（Ⅰ）函数的定义域为（﹣1，+∞）．f′（x）=2（x+1）﹣=，当a≤0时，f′（x）≥0在（﹣1，+∞）上恒成立，于是f（x）在定义域内单调递增．当a＞0时，f′（x）=0得x1=﹣1+，x2=﹣1﹣＜﹣1（舍），当x变化时，f′（x），f（x）变化情况如下x （﹣1，﹣1+）﹣1+（﹣1+，+∞）f′（x）﹣+f（x）递减极小值递增所以f（x）的单调递增区间是（﹣1+，+∞），单调递减区间是（﹣1，﹣1+）．综上，当a≤0时，f（x）单调递增区间是（﹣1，+∞），当a＞0时，f（x）的单调递增区间是（﹣1+，+∞），单调递减区间是（﹣1，﹣1+）．（Ⅱ）当a=1时，f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）（，令h（x）=f′（x）=2（1+x）﹣（x≠﹣1），则h′（x）=2+＞0，故h（x）为区间[0，1）上增函数，所以h（x）=f′（x）∈[0，3]，根据导数的几何意义可知k∈[0，3]．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及导数的几何意义，同时考查了计算能力，属于中档题．18．（13分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）根据正弦定理即可确定出AB的长；（2）设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A 处130t m，由余弦定理可得；（3）设乙步行的速度为 v m/min，从而求出v的取值范围．解答：解：（1）在△ABC中，因为cosA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，从而sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC==由正弦定理，得AB===1040m．所以索道AB的长为1040m．（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2=（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×=200（37t2﹣70t+50）=200[37（t ﹣）2+]，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t=min时，甲、乙两游客距离最短．（3）由正弦定理，得BC===500m，乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）=550m，还需走710m才能到达C．设乙步行的速度为 v m/min，由题意得﹣3≤≤3，解得，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙不行的速度应控制在[]范围内．点评：此题考查了余弦定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，利用了分类讨论及数形结合的思想，属于解直角三角形题型．19．（14分）已知函数f（x）=ln（2ax+1）+﹣2ax（a∈R）．（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）令f′（x）=0解得a，再验证是否满足取得极值的条件即可．（2）由y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，可得f′（x）=≥0，在[3，+∞）上恒成立．对a分类讨论即可得出．解答：解：（1）=．∵x=2为f（x）的极值点，∴f′（2）=0，即，解得a=0．又当a=0时，f′（x）=x（x﹣2），可知：x=2为f（x）的极值点成立．（2）∵y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，∴f′（x）=≥0，在[3，+∞）上恒成立．①当a=0时，f′（x）=x（x﹣2）≥0在[3，+∞）上恒成立，∴f（x）在[3，+∞）上为增函数，故a=0符合题意．②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知：必须2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，∴2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0在区间[3，+∞）上恒成立．令g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），其对称轴为．∵a＞0，，从而g（x）≥0在区间[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可．由g（3）=﹣4a2+6a+1≥0，解得．∵a＞0，∴．综上所述，a的取值范围为．点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、分类讨论的思想方法等是解题的关键．20．（14分）已知S n={A|A=（a1，a2，a3，…a n）}，a i={0或1}，i=1，2，••，n（n≥2），对于U，V∈S n，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）令U=（0，0，0，0），存在m个V∈S5，使得d（U，V）=2，写出m的值；（Ⅱ）令，U，V∈S n，求证：d（U，W）+d（V，W）≥d（U，V）；（Ⅲ）令U=（a1，a2，a3，…a n），若V∈S n，求所有d（U，V）之和．考点：计数原理的应用．专题：计算题；证明题；综合题；压轴题；新定义．分析：（Ⅰ）根据d（U，V）可知m=C52；（Ⅱ）根据a i=0或1，i=1，2，••，n，分类讨论a i=0，b i=0时，|a i|+|b i|=0=|a i﹣b i|；当a i=0，b i=1时，|a i|+|b i|=1=|a i﹣b i|；当a i=1，b i=0时，|a i|+|b i|=1=|a i﹣b i|；当a i=1，b i=1时，|a i|+|b i|=2≥|a i﹣b i|=0，可证，|a i|+|b i|≥|a i﹣b i|，再相加即可证明结论；（Ⅲ）易知S n中共有2n个元素，分别记为v k（k=1，2，3，…，2n，v=（b1，b2，b3，…b n）b i=0的v k共有2n﹣1个，b i=1的v k共有2n﹣1个然后求和即可．解答：解：（Ⅰ）∵V∈S5，d（U，V）=2，∴C52=10，即m=10；（Ⅱ）证明：令U=（a1，a2，a3，…a n），V=（b1，b2，b3，…b n）∵a i=0或1，b i=0或1；当a i=0，b i=0时，|a i|+|b i|=0=|a i﹣b i|当a i=0，b i=1时，|a i|+|b i|=1=|a i﹣b i|当a i=1，b i=0时，|a i|+|b i|=1=|a i﹣b i|当a i=1，b i=1时，|a i|+|b i|=2≥|a i﹣b i|=0故，|a i|+|b i|≥|a i﹣b i|∴d（U，W）+d（V，W）=（a1+a2+a3+…+a n）+（b1+b2+b3+…+b n）=（|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|）+（|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|）≥|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|+…+|a n﹣b n|=d（U，V）；（Ⅲ）解：易知S n中共有2n个元素，分别记为v k（k=1，2，3，…，2n，v=（b1，b2，b3，…b n）∵b i=0的v k共有2n﹣1个，b i=1的v k共有2n﹣1个．∴d（U，V）=2n﹣1（|a1﹣0|+|a1﹣1|+|a2﹣0|+a2﹣1|+|a3﹣0|+|a3﹣1|+…+|a n﹣0|+|a n﹣1|=n2n ﹣1∴d（U，V）=n2n﹣1．点评：此题是个难题．本题是综合考查集合推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点．题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于S n的，其实S n中的元素就是一个n维的坐标，其中每个坐标值都是0或者1，也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是0和1，第二个定义d（U，V）．。
北京市朝阳区2013届高三上学期期中练习数学(理)试题
北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（理工类） 2012.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =, 集合{}1,3,5A =, {}1,2B =, 则A (U ðB )等于（ ） A ．∅ B ．{}5 C ．{}3 D ．{}3,52. 已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，若2342,216a a a =+=，则n a 等于（ ）A ．22-nB ．32n -C ．12-n D ．n23.已知平面向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ，且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．56π B ．23π C ． 3π D ．6π4.曲线e ()1xf x x =-在0x =处的切线方程为（ ）A ．10x y --=B ．10x y ++=C ．210x y --=D ．210x y ++=5.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AM =，点P 在AM 上，且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+的值为（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．4 6.函数33,0,(),0x x f x x x --<⎧=⎨≥⎩的图象与函数()ln(1)g x x =+的图象的交点个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47.函数()f x 是定义域为R 的可导函数，且对任意实数x 都有()(2)f x f x =-成立．若当1x ≠时，不等式(1)()0x f x '-⋅<成立，设(0.5)a f =，4()3b f =，(3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．b c a >>8.已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列.对于函数()y f x =，若数列{}ln ()n fa 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”.现有定义在(0,)+∞上的如下函数：①1()f x x=， ②2()f x x =， ③()e x f x =，④()f x = 则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ）A ．①②B ．③④C ．①②④D ．②③④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.设集合{|2}A x x =∈≤R ，B ={x ∈R ∣}1262x <<,则A B = . 10.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和．若569108,24a a a a +=+=，则公差d = ，10S = .11.已知角α的终边经过点(3,4)(0)a a a <，则sin α= ，tan(2απ-)= .12. 在ABC ∆中，若4BA BC ⋅=，ABC ∆的面积为2，则角B = .13. 已知函数()y f x =满足：(1)=f a （01a <≤），且()1,()1,()(1)2(),()1,f x f x f x f x f x f x -⎧>⎪+=⎨⎪≤⎩则(2)=f（用a 表示），若1(3)=(2)f f ，则a = . 14.已知函数()f x x x =.当[,1]x a a ∈+时，不等式(2)4()f x a f x +>恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知12,3,cos 3a b C ===． （Ⅰ）求△ABC 的面积； （Ⅱ）求sin()C A -的值． 16.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，131n n a S +=+，n *∈N . （Ⅰ）写出23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记n T 为数列{}n na 的前n 项和，求n T ；（Ⅲ）若数列{}n b 满足10b =，12log (2)n n n b b a n --=≥，求数列{}n b 的通项公式.17.（本小题满分13分）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕπ=+>><部分图象如图所示． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并写出其单调递增区间；（Ⅱ）设函数()()2cos 2g x f x x =+，求函数()g x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值． 18.（本小题满分13分）已知函数2()243f x ax x a =+--，a ∈R . （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在[]1,1-上的最大值；（Ⅱ）如果函数()f x 在区间[]1,1-上存在零点，求a 的取值范围. 19.（本小题满分14分）设函数()ln f x a x x1=+，a ∈R ． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当0a >时，若对任意0x >，不等式()2f x a ≥成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）当0a <时，设10x >，20x >，试比较)2(21x x f +与2)()(21x f x f +的大小并说明理由． 20.（本小题满分13分）给定一个n 项的实数列12,,,(N )n a a a n *∈ ，任意选取一个实数c ，变换()T c 将数列12,,,n a a a 变换为数列12||,||,,||n a c a c a c --- ，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c 可以不相同，第(N )k k *∈次变换记为()k k T c ，其中k c 为第k 次变换时选择的实数.如果通过k 次变换后，数列中的各项均为0，则称11()T c ，22()T c ，…，()k k T c 为 “k 次归零变换”.（Ⅰ）对数列：1,3,5,7，给出一个 “k 次归零变换”，其中4k ≤； （Ⅱ）证明：对任意n 项数列，都存在“n 次归零变换”；（Ⅲ）对于数列231,2,3,,nn ，是否存在“1n -次归零变换”？请说明理由.北京市朝阳区2012-2013学年度第一学期高三年级期中练习数学试卷答案（理工类）2012.11（注：两空的填空，第一空3分，第一空2分）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因为1cos3C=，所以sin C===．………………………2分所以，11sin2322ABCS ab C==⨯⨯=．………………………5分（Ⅱ）由余弦定理可得，2222cosc a b abC=+-1492233=+-⨯⨯⨯9=所以，3c=．…………………………………………7分又由正弦定理得，sin sinc aC A=，所以，2sin3sin39a CAc===．……………………9分因为a b<，所以A为锐角,所以，7cos9A===．……………………11分所以，sin()sin cos cos sinC A C A C A-=-71393927=⨯-⨯=．…………………………………13分16. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得，24a =，316a =. ……………………………………………2分由题意，131n n a S +=+，则当2n ≥时，131n n a S -=+.两式相减，得14n n a a +=（2n ≥）. ……………………………………………3分 又因为11a =，24a =，214a a =， 所以数列{}n a 是以首项为1，公比为4的等比数列， 所以数列{}n a 的通项公式是14n n a -=（n *∈N ）. ………………………………5分（Ⅱ）因为2112323124344n n n T a a a na n -=++++=+⨯+⨯++⋅ ，所以2314412434(1)44n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ， ……………………6分两式相减得，2114314444414nn nn n T n n ---=++++-⋅=-⋅- ， ………8分整理得，311499n n n T -=⋅+ (n *∈N ). ………………………………9分 （Ⅲ） 当2n ≥时，依题意得2122log b b a -=,3223log b b a -=,… , 12log n n n b b a --=.相加得，122232log log log n n b b a a a -=+++ . ……………………………12分 依题意122log log 42(1)n n a n -==-.因为10b =，所以[]212(1)(1)n b n n n =+++-=- （2n ≥）. 显然当10b =时，符合.所以(1)n b n n =-(n *∈N ). ……………………………………14分17. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由图可得2A =，22362T πππ=-=， 所以T =π，所以2ω=． …………………………………………………………2分 当6x π=时，()2f x =，可得 2sin(2)26ϕπ⋅+=， 因为||2ϕπ<，所以6ϕπ=． ………………………………………………………4分所以函数()f x 的解析式为()2sin(2)6f x x π=+．………………………………5分 函数()f x 的单调递增区间为[,]()36k k k πππ-π+∈Z ．…………………………7分 （Ⅱ）因为()()2cos 22sin(2)2cos 26g x f x x x x π=+=++2sin 2cos 2cos 2sin 2cos 266x x x ππ=++ …………………………8分23cos 2x x =+)3x π=+. ………………………10分因为[,]64x ππ∈-，所以50236x ππ≤+≤．当232x ππ+=，即12x π=时，函数()g x 有最大值为 ……………12分 当203x π+=，即6x π=-时，函数()g x 有最小值0． ………………13分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，则2()244f x x x =+-222(2)42(1)6x x x =+-=+-．因为[]1,1x ∈-，所以1x =时，()f x 的最大值(1)2f =．………………………3分 （Ⅱ）当0a =时，()43f x x =- ,显然在[]1,1-上有零点, 所以0a =时成立.……4分当0a ≠时，令168(3)8(1)(2)0a a a a ∆=++=++=,解得1,a =-2a =-． ………………………………………5分 （1） 当1a =-时, 22()2422(1)f x x x x =-+-=-- 由()0f x =，得1[1,1]x =∈-；当 2a =-时,221()4414()2f x x x x =-+-=--．由()0f x =，得1[1,1]2x =∈-， 所以当 0,1,2a =--时, ()y f x =均恰有一个零点在[]1,1-上.………………7分 （2）当(1)(1)(7)(1)0f f a a -=-+≤ ，即17a -≤≤时，()y f x =在[]1,1-上必有零点. ………………………………………8分（3）若()y f x =在[]1,1-上有两个零点, 则0,8(1)(2)0,111,(1)0,(1)0a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪-≥⎪⎪≥⎩或0,8(1)(2)0,111,(1)0,(1)0.a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪-≤⎪⎪≤⎩ …………………12分 解得7a ≥或2a <-．综上所述，函数()f x 在区间[]1,1-上存在极值点，实数a 的取值范围是1a ≥-或2a ≤-. ………………………………………13分19. （本小题满分14分）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞. ………………………………………1分 （Ⅰ）由题意21)(,0xx a x f x -='>， ………………………………………2分 （1）当0a >时，由0)(<'x f 得012<-x x a ，解得a x 1<，函数)(x f 的单调递减区间是)1,0(a ； 由0)(>'x f 得012>-xx a ，解得a x 1>，函数)(x f 的单调递增区间是),1(∞+a． …………………………………………4分（2）当0a ≤时， 由于0x >，所以21()0a f x x x '=-<恒成立，函数)(x f 的在区间(0),+∞上单调递减． ……………………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）因为对于任意正实数x ，不等式()2f x a ≥成立，即xx a a 1ln 2+≤恒成立． 因为0>a ，由（Ⅰ）可知 当a x 1=时，函数()ln f x a x x1=+有最小值a a a a a a a f ln 1ln )1(-=+=．…7分 所以a a a x f a ln )(2m in -=≤，解得10ea <≤．故所求实数a 的取值范围是1(0,]e． ………………………………………9分（Ⅲ）因为121212()ln 22x x x x f a x x ++2=++， 121212()()1(ln ln )22f x f x a x a x x x +11=+++．12121212121[ln(]22x x x x a x x a x x x x ++=)+=. ……………………………10分所以121212121212()()()ln 2222x x f x f x x x x x f a a x x x x ++++2-=+-+121212()2()x x a x x x x 2-=-+．（1）显然，当12x x =时，1212()()()22x x f x f x f ++=． ……………………11分 （2）当12x x ≠时，因为0,021>>x x 且0a <，所以221>+x x 21x x ，所以02ln,1221212121<+>+x x x x a x x x x ．………………12分又121212()02()x x x x x x 2--<+，所以121212()02()x x a x x x x 2--<+所以02)()()2(2121<+-+x f x f x x f ， 即2)()()2(2121x f x f x x f +<+． 综上所述，当12x x =时，1212()()()22x x f x f x f ++=；当12x x ≠时，2)()()2(2121x f x f x x f +<+ ．……………………………………………………14分 20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）方法1：1(4)T ：3,1,1,3;2(2)T ：1,1,1,1;3(1)T ：0,0,0,0．方法2：1(2)T ：1,1,3,5;2(2)T ：1,1,1,3;3(2)T ：1,1,1,1；4(1)T ：0,0,0,0．．……4分（Ⅱ）经过k 次变换后，数列记为()()()12,,,k k k n a a a ，1,2,k = ．取1121)2c a a =(+,则(1)(1)12121||2a a a a ==-，即经11()T c 后，前两项相等； 取(1)(1)2231()2c a a =+，则(2)(2)(2)(1)(1)123321||2a a a a a ===-，即经22()T c 后，前3项相等；… …设进行变换()k k T c 时，其中(1)(1)11()2k k k k k c a a --+=+，变换后数列变为 ()()()()()()12312,,,,,,,k k k k k k k k n a a a a a a ++ ，则()()()()1231k k k k k a a a a +==== ；那么，进行第1k +次变换时，取()()1121()2k k k k k c a a +++=+， 则变换后数列变为(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)123123,,,,,,,,k k k k k k k k k k na a a a a a a ++++++++++ ， 显然有(1)(1)(1)(1)(1)12312k k k k k k k a a a a a +++++++===== ；… …经过1n -次变换后，显然有(1)(1)(1)(1)(1)1231n n n n n n na a a a a ------===== ； 最后，取(1)n n n c a -=，经过变换()n n T c 后，数列各项均为0.所以对任意数列，都存在 “n 次归零变换”． ……………………………………9分 （Ⅲ）不存在“1n -次归零变换”. ………………………………………………10分证明：首先，“归零变换”过程中，若在其中进行某一次变换()j j T c 时，12min{,,,}j n c a a a < ，那么此变换次数便不是最少.这是因为，这次变换并不是最后的一次变换（因它并未使数列化为全零），设先进行()j j T c 后，再进行11()j j T c ++，由11|||||()|i j j i j j a c c a c c ++--=-+，即等价于一次变换1()j j j T c c ++，同理，进行某一步()j j T c 时，12max{,,,}j n c a a a > ；此变换步数也不是最小．由以上分析可知，如果某一数列经最少的次数的“归零变换”，每一步所取的i c 满足1212min{,,,}max{,,,}n i n a a a c a a a ≤≤ ． 以下用数学归纳法来证明，对已给数列，不存在“1n -次归零变换”． （1）当2n =时，对于1,4，显然不存在 “一次归零变换” ，结论成立．（由（Ⅱ）可知，存在 “两次归零变换”变换：1253(),()22T T ） （2）假设n k =时成立，即231,2,3,,kk 不存在“1k -次归零变换”．当1n k =+时，假设2311,2,3,,,(1)kk k k ++ 存在“k 次归零变换”．此时，对231,2,3,,k k 也显然是“k 次归零变换”，由归纳假设以及前面的讨论不难知231,2,3,,k k 不存在“1k -次归零变换”，则k 是最少的变换次数，每一次变换i c 一定满足1k i c k ≤≤，1,2,,i k = ．因为111212|||(1)|||(1)()k k k k k c c c k c c c +++----=+-+++1(1)0k k k k k +≥+->所以，1(1)k k ++绝不可能变换为0，与归纳假设矛盾．所以，当1n k =+时不存在“k 次归零变换”．由（1）（2）命题得证． ………………………………………13分。
北京四中2013届高三上学期期中测验 物理试题
北京四中2013届高三上学期期中测试物理试题（考试时间为100分钟，试卷满分100分）一、选择题（本题共10小题；每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确.全部选对的得4分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分。
）1．物体受到几个恒力的作用而作匀速直线运动。
如果撤掉其中的一个力而其他几个力保持不变，则( ）A ．物体的运动方向一定不变B ．物体的动能一定不变C ．物体的速度的变化率一定不变D ．物体的动量的变化率一定不变【答案】CD物体原来处于平衡状态，撤去一个力后，其余的力的合力与撤去的力等值、反向、共线;若合力与速度同向，物体做匀加速直线运动;若合力与速度反向，物体做匀减速直线运动；若合力与速度不共线，物体做曲线运动；物体的合力一定不为零，一定有加速度。
综上所述可知选项CD 正确．2．三段不可伸长的细绳OA 、OB 、OC 能承受的最大拉力相同均为200N ，它们共同悬挂一重物,如图所示，其中OB 是水平的,A 端、B端固定,θ=300。
则O 点悬挂的重物G 不能超过（ ）A ．100NB ．173NC ．346ND ．200N【答案】AmBAOC对结点O 受力分析可知，,,tan sin OCOB OA mg mgFmg F F θθ===，故OAF 的值最大，故随着悬挂重物质量的增加，细绳OA 承受的拉力最先达到最大值，将OAF =200N 代入可得mg =100N ，选项A 正确.3．某同学站在观光电梯地板上，用加速度传感器记录了电梯由静止开始运动的加速度随时间变化情况,以竖直向上为正方向。
根据图像提供的信息，可以判断下列说法中正确的是（ ）A ．在5s ～15s 内，观光电梯在加速上升，该同学处于超重状态B ．在15s ～25s 内，观光电梯停了下来，该同学处于平衡状态C ．在25s ～35s 内，观光电梯在减速上升,该同学处于失重状态D ．在t =35s 时，电梯的速度为0【答案】ACD在5s ～15s 内,加速度为正,此时电梯在向上加速运动，处于超重状态，故A 正确；在15～25s 内，从加速度时间图象可知,此时的加速度为0，电梯向上做匀速直线运动，处于平衡状态，故B 错误．在25s ～35s 内，该同学加速度为负,减速上升，处于失重状态，故C 正确．加速度时间图线的面积表示相应的速度的大小，由图象可知t=35s 时,观光电梯的速度为0,故D 正确．4．物体在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，若风速越大，则物体（ ）A ．下落的时间越短B ．下落的时间越长C ．落地时的速度越小D ．落地时速度越大a 0 -a 0 -2a 02a 0【答案】D风速越大，物体水平方向的速度越大，由运动的独立性原理可知竖直方向的速度不变，故下落的时间不变,由于落地时水平方向上的速度随风速的增大而增大，故合速度增大,选D。
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北京市四中2013届高三上学期期中测试数学（理）试题
试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题，共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．请把答案填写在答题卡的相应位置上．
1. 已知集合，，则（）
A．B．C．D．
2. 函数的定义域为（）
A．B．C．D．
3．下列命题中是假命题的是（）
A．都不是偶函数
B．有零点
C．
D．上递减
4．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（）
A．B．C．D．
5. 已知数列，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第
10项，则判断框内的条件是（）
A．B．C．D．
6．已知函数的图象如图所示则函数的图象是（）
7．函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）
A．B． 1 C．2D．
8．定义在R上的函数满足，当时，，则（）
A．B．
C．D．
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共计30分．请把答案填写在答题纸的相应位置上．
9．设为虚数单位，则______.
10．正项等比数列中，若，则等于______.
11. 已知的最小值是5，则z的最大值是______.
12. 设函数
______.
13. 已知函数，给出下列四个说法：
①若，则；②的最小正周期是；
③在区间上是增函数；④的图象关于直线对称．
其中正确说法的序号是______.
14．定义一种运算，令，且，则函数的最大值是______.
三、解答题：本大题共6小题，共计80分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边
作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于
两点．已知的横坐标分别为．
（1）求的值；
（2）求的值．
16.（本小题满分13分）
已知函数.
（1）求函数图象的对称轴方程；
（2）求的单调增区间.
（3）当时,求函数的最大值，最小值.
17.（本小题满分13分）
设等差数列的首项及公差d都为整数，前n项和为S n.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若求所有可能的数列的通项公式.
18.（本小题满分13分）
已知函数（）.
（1）若，试确定函数的单调区间；
（2）若函数在其图象上任意一点处切线的斜率都小于，求实数
的取值范围.
（3）若，求的取值范围.
19.（本小题满分14分）
已知函数（为自然对数的底数）．
（1）求的最小值；
（2）设不等式的解集为，若，且，求实数的取值范围
（3）已知，且，是否存在等差数列和首项为公比大于0的等比
数列，使得？若存在，请求出数列的通项公式．若不存在，
请说明理由．
20.（本小题满分14分）
已知A(,)，B(,)是函数的图象上的任意两点（可以重
合），点M在
直线上，且.
（1）求+的值及+的值
（2）已知，当时，+++，求；
（3）在（2）的条件下，设=，为数列{}的前项和，若存在正整数、，
使得不等式成立，求和的值.
【参考答案】
第一部分（选择题，共40分）
一、选择题（每小题5分，共40分）
1. B
2. D
3. A
4. B
5. B
6. A
7. A
8. D
提示：由题意可知，函数的图象关于y轴对称，且周期为2，故可画出它的大致图象，如图所示：
∵且
而函数在是减函数，
∴
第二部分（非选择题，共110分）
二、填空题：（每小题5分，共30分）
9. i
10. 16.
11. 10
12.
13. ③④
14. 1
提示：令，则
∴由运算定义可知，
∴当，即时，该函数取得最大值.
由图象变换可知，
所求函数的最大值与函数在区间上的最大值相同.
三、解答题：（本大题共6小题，共80分）
15.（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）由已知得：．
∵为锐角
∴．
∴．
∴．--------------------6分（Ⅱ）∵
∴．
为锐角，
∴，
∴．-----------13分
16. （本小题满分13分）
解：
（I）.…3分
令.
∴函数图象的对称轴方程是……5分
（II）
故的单调增区间为…8分
(III) ,……10分
.……11分当时,函数的最大值为1,最小值为.…13分
17.（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）由
又
故解得
因此，的通项公式是1，2，3，…，
（Ⅱ）由得
即
由①+②得－7d<11，即
由①+③得, 即,
于是又，故.
将4代入①②得
又，故
所以，所有可能的数列的通项公式是
1，2，3，….
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：当时，，所以，由，解得，
由，解得或，
所以函数的单调增区间为，减区间为和.（Ⅱ）解：因为，
由题意得：对任意恒成立，
即对任意恒成立，
设，所以，
所以当时，有最大值为，
因为对任意，恒成立，
所以，解得或，
所以，实数的取值范围为或.
（III）.
19.（本小题满分14分）
解：
（1）
由当；当
（2），
有解
由即上有解
令，
上减，在[1，2]上增
又，且
（3）设存在公差为的等差数列和公比首项为的等比数列，使
……10分
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又时，
故
②-①×2得，解得（舍） 故
，此时
满足
存在满足条件的数列 …… 14分
20.（本小题满分14分） 解：
（Ⅰ）∵点M 在直线x=上，设M
.
又＝，即
，
，
∴
+=1. ① 当=
时，=
，+
=
；
②
当
时，
，
+=+
==
=
综合①②得，+. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当+
=1时
, +
∴
，k=
.
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第 11 页 共 11 页 金太阳新课标资源网 n ≥2
时，+++ ， ①
， ② ①＋②得，2
=-2(n-1),则=1-n. 当n =1时，
=0满足=1-n. ∴=1-n. （Ⅲ）==，=1++=.
.
=2-，=-2+=2-，
∴，、m 为正整数，∴c=1， 当c=1时，，
∴1<<3，
∴m=1.。