空间向量的基
线性代数53向量空间的基和维
例 设A a1(2 2 1)T a2(2 1 2)T a3(1 2 2)T B b1(1 0 4)T b2(4 3 2)T 验证a1 a2 a3是R3的一 个基 并求b1 b2在这个基中的坐标
解 要说明a1, a2, a3是R3的一个基，只要证a1, a2, a3线性无关， 即A E
设b1 x11a1 x21a2 x31a3, b2 x12a1x22a2 x32a3, 则
r1 r2
由基的定义知两组向量组都线性无关，即
r1 s, r2 t 从而 s t
定义 向量空间V 的任一基向量的个数, 称为空间V 的维 （dimension）, 记这个数为 dimV
由于Rn有一组明显的自然基，
1 0
0
e1
0,
e2
1,
en
0
0
0
1
故有 dim Rn = n , 即Rn是n维向量空间.
Ax O
的解集 N(A) 是向量空间，现在进一步指出：它的通解中 元素的一般式中所含有任意常数的个数 n- r(A) 就是 N(A) 的维数 dimN(A), 即
dim N( A) n r( A)
dim N( A) dim R( A) n
基础解系就是N(A)的一组基，它们线性无关，并生成N(A).
即
A
y1 y2 y3
B
z1 z2 z3
于是
z1 z2 z3
B1A
y1 y2 y3
这就是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式
定理 设b1、…、bs 及 f1、…、ft 是向量空间的任两 组基，则必有 s=t. 证 利用等价向量组 根据向量空间基的定义可知两组基等价的，从而其秩相等：
注 （1）只有零向量的向量空间没有基 规定其维数为0 （2）若把向量空间V看作向量组 则向量空间V的基就是
向量空间的基与维数
向量空间的基与维数结论1 设，当下述三个条件有两条满足时，{}就是V的一个基.(i)零向量可由唯一地线性表示；(ii)V中每个向量都可由唯一地线性表示；(iii).结论 2 设,都是F上向量空间V的子空间. 若，,则，且.例 1 设和都是数域，且，则是上的向量空间.域F是F上向量空间，基是{1}，.C是R向量空间，{ 1 , i} 是基，.R是有理数域上的无限维向量空间，这是因为对任意的正整数t，是线性无关的，这里.令，则F是一个数域，F是Q上的向量空间.1)1,线性无关：设，. 则(否则，,矛盾)，因此.2) 1,,线性无关：设，，i=1,2,3 . ( 1 ),两端平方得,由于1,线性无关，故假如，则，且，即. 矛盾.因而故假如，则得，这与是无理数相矛盾. 因而将代入(1)，便得这说明1,,线性无关.3) 1,,,线性无关：设，，i=1,2,3,4 . 则有. ( 2 )假如不全为零，则得到“1,,线性相关”的结论，矛盾. 所以与应全为零，将代入(2)得又由1,线性无关得. 这样，我们证得了1,,,线性无关.故{1,,,}是F的一个基..例2 C[a,b]={f(x)|f(x)是定义在[a,b]上的连续实函数}. C[a,b]是R上的向量空间.对任意的正整数n，可证得线性无关：设，使( 3 )取n+1个实数，使a b.由(3)知.即其中而. 用左乘(4)两端，得这说明线性无关.故C[a,b]是R上无限维向量空间.引理设V是F上向量空间，是V的子空间，V，i=1,2,…,s. 试证明证对s作数学归纳.当s=1 时，结论显然成立.设，且对个V的不等于V的子空间结论成立.下考虑V的子空间，，. 由归纳假设知故存在1) 当时，，故；2) 当时，由于，因此显然,,…,.且存在，使（否则，如果,,…,，, ,,使,，所以，即有，这与矛盾）.这样，故例3 设.存在集合, 使S含无穷多个向量，且S中任意n个不同的向量都是V 的一个基.证取V的一个基，令. 对任意从中删去后剩下的个向量生成的V的子空间记为，则由引理知, 故存在令, 中任n个不同的向量线性无关，是V的基.设，有，且中任意n个不同的向量构成V的一个基.对任意，有.这样的子空间共有个. 由引理知存在令. 则||=k+1，且中任意n个不同的向量是V的基.这个过程进行下去，满足条件的无限集S即可找到.另证：设是V的一个基，令令让,,…,F互不相同，则由于其行列式是Vandermonde行列式，即故线性无关，是Ｖ的一个基. Ｓ中含无穷多个向量.例４设是Ｆ上n(>０)维向量空间V的子空间，且i=1,2,3,…,s. 则存在V的一个基，使得该基中每一个向量都不在中.证：对s作数学归纳.当时，取的一个基，，将其扩充为V的一个基. 可证明出线性无关，是V的基，且, i=1,2,…,r,设，且对个V的子空间结论成立. 现考虑V的s个子空间,由归纳假设知存在V的一个基，使1）如果，那么即满足要求;2）如果. 不妨设∈, , 由最多有一个F中的数，使, （否则，如果有两个不同的数, , 使，则，故，矛盾），所以除可能的之外，F 中有非零数，使同理有 F 中非零数，使显然易证线性无关，是V的基，且满足要求.例 5 设W是的由全体形如的向量所生成的子空间, 证明证令(j)是第i行第j列位置元素是1，而其余的个元素全是零的n阶方阵.对, i≠t,对, (j) ∈W.(j)容易验证}是线性无关的（共个向量）故而W中每个矩阵其迹为0. 因此，故引理 设是向量空间V 的子空间，则(i)(ii)例 6 设是F 上向量空间V 的子空间.(i) 证明：(ii)举一个例子，使上述严格不等式成立. 证(i)===(ii) 在中，令1w +2w +3w=（1，0，0）,(-1,0,1)）,而1w ⋂2w =2w ⋂3w =1w ⋂3w ={0}, 1w ⋂2w ⋂3w =={0},此时∑=31dim i i w =2<3=∑=31dim i i w -()∑≤≤≤⋂nj i jiw w 1dim +dim(1w⋂2w ⋂3w ).例7 设A )(F M m s ⨯∈,B )(F M n m ⨯∈.令0w ={α∈n F ∣AB α=10⨯s },1w = {B α∣α∈0w }, 求证1w 是m F 的子空间,且dim 1w =秩B-秩(AB).证 显然10⨯n ∈0w ,故B 10⨯n =10⨯m ∈1w ,即1w ≠∅, ∀1α,2α∈ 0w ,B 1α,B 2α是1w 的任意向量,∀1α,2α∈F,AB(2211ααa a +)= 2211AB AB ααa a +=0,∴2211ααa a +∈ 0w ,∴B(2211ααa a +)∈1w ⇒2211B B ααa a +∈1w ,因而1w 是m F 的子空间 .01当秩B=秩(AB)时,齐次线性方程组AB 1⨯n X =10⨯s 与B 1⨯n X =10⨯m 同解.因此1w ={0},故dim 1w =0=秩B －秩(AB).02以下我们假设秩B>秩(AB).ABX=0与BX=0不是同解的. 0w ≠{0},1w ≠{0}.)1秩B=n.此时0w ≠{0},设{1β，2β，…t β}为0w 的一个基,其中 t=n- 秩(AB) .则有1w =(B 1β，B 2β，…B t β). 设1b B 1β+2b B 2β+…+t b B t β=0,i b ∈F,i=1,2,…t. 则B(1b 1β+2b 2β+…+t b t β)=0,而BY=0只有零解,故1b 1β+2b 2β+…+t b t β=0, 又1β，2β，…t β线性无关.所以i b =0，i=1,2,…n. 这说明{B 1β，B 2β，…B t β}是1w 的一个基.dim 1w =t=n-秩(AB)=秩B-秩(AB).)2秩B<n.令'0w ={γ∈n F B γ=10⨯m }，'0w 是B 1⨯n Y =10⨯m 的解空间，dim '0w =n- 秩B>0.显然'0w ⊆0w .由于我们事先假设了秩B ≠秩(AB),所以'0w ≠0w .设{1β，2β，…P β}是'0w 的一个基. P=n-秩B>0.扩充成0w 的一个基，1β，2β，…P β,1+p β，…,t β, t=n-秩(AB). 而1w =(B 1β，B 2β，…B P β,B 1+p β，…,B t β)= (B 1+p β，…,B t β). 设j j tp j B b β∑+=1=0， j b ∈F, j=p+1,…,t.则B(j j tp j b β∑+=1)=0.即j j tp j b β∑+=1∈'w 故存在1b ,p b b ,...,2∈F ，使j j tp j b β∑+=1=i i pi b β∑=1.i i pi b β∑=1+jjtp j b β)(1∑+=-=0.而1β，2β，…P β,1+p β，…,t β线性无关，所以k b =0，k=1,2,,…,t; 这说明B 1+p β,B 2+p β，…,B t β线性无关,是1w 的一个基. 因此 dim 1w =t-p=[n-秩(AB)]-【n-秩B]= 秩B-秩(AB).例8 设1w ,2w 是向量空间v 的子空间,且dim(1w +2w )=dim(1w ⋂2w )+1 证明,下述两条必有一条成立: (ⅰ) 1w +2w =1w ,1w ⋂2w =2w ; (ⅱ) 1w +2w =2w ,1w ⋂2w =1w .。
空间向量的定义和基本定理
空间向量的定义和基本定理一、空间向量的定义和基本定理1、空间向量与平面向量一样，在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模。
2、空间向量基本定理（1）共线向量定理定理：对空间任意两个向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$($\boldsymbolb$≠0），$\boldsymbol a∥\boldsymbol b$的充要条件是存在实数$\lambda$，使$\boldsymbol a$=$λ\boldsymbol b$。
推论：如果$l$为经过已知点$A$且平行于已知非零向量$\boldsymbol a$的直线，那么对空间任一点$O$，点$P$在直线$l$上的充要条件是存在实数$t$，使$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t\boldsymbol \alpha$①。
其中向量$\boldsymbol a$叫做直线$l$的方向向量。
在$l$上取$\overrightarrow{A B}=\boldsymbol a$，则①式可化为$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t\overrightarrow{A B}$或$\overrightarrow{O P}=(1-t)\overrightarrow{O A}+t\o verrightarrow{O B}$②。
当$t=\frac{1}{2}$时，点$P$是线段$AB$的中点，则$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})$③。
①②式都叫做空间直线的向量表示，③式是线段$AB$的中点公式。
（2）共面向量定理定理：如果两个向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$不共线，那么向量$\boldsymbol p$与向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（$x$，$y$），使$\boldsymbol p$=$x\boldsymbol a$+$y\boldsymbol b$。
空间向量考点(全)
空间向量考点（全）1、空间向量的坐标及基本运算空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵坐标），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.=(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b =， ),,(332211b a b a b a b a ±±±=+，))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ，332211b a b a b a ++=⋅ ，向量平行：a ∥)(,,332211R b a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔ 。
向量垂直：0332211=++⇔⊥b a b a b a b a 。
222321a a a ++===⇒•=空间两个向量的夹角公式：232221232221332211||||,cos bb b a a a b a b a b a b a ba b a ++⋅++++=⋅•>=<ρρρρρ空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=. 2、法向量若向量所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥，如果α⊥那么向量a 叫做平面α的法向量. 3、向量的应用①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α的距离为||n ②.利用向量求异面直线间的距离d =(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n r，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).③.利用向量求直线AB 与平面所成角sin ||||AB m arc AB m β⋅=u u u r u r u u u r u r (m u r 为平面α的法向量). ④.利用法向量求二面角的平面角定理 21,n n 分别是二面设角βα--l 中平面βα,的法21,n 所成的角就向量，则是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n 反方，则为其夹角）.二面角l αβ--的平面角cos ||||m n arc m n θ⋅=u r r u r r 或cos ||||m narc m n π⋅-u r ru r r （m u r ，n r 为平面α，β的法向量）. ⑤.证直线和平面平行定理已知直线⊄a 平面α，α∈∈D C a B A ,,,，且C 、D 、E 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ,使μλ+=.（常设μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）. 4、向量的基本概念（1） 共线向量共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合. 注：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线.（×） [当0=b 时，不成立] ②向量,,共面即它们所在直线共面.（×） [可能异面]③若∥，则存在小任一实数λ，使λ=.（×）[与=不成立] ④若a 为非零向量，则0=.（√）[这里用到)0(≠b b λ之积仍为向量] （2） 共线向量定理AB对空间任意两个向量)0(,≠b b a ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ（具有唯一性），使b a λ=.（3） 共面向量：若向量a 使之平行于平面α或a 在α内，则a 与α的关系是平行，记作a ∥α.（4） 证明四点共面的常用方法.①共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，则向量与向量b a ,共面的充要条件是存在实数对x 、y 使b y a x P +=.②空间任一点．．．O ．和不共线三点．．．．．．A ．、．B ．、．C ．，则)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 是PABC四点共面的充要条件.（证：→+==++--=AC z AB y AP OC z OB y OA z y OP )1(P 、A 、B 、C 四点共面）4、向量的基本定理如果三个向量．．．．c b a ,,不共面．．．，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ，使z y x ++=.推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一的有序实数组x 、y 、z 使 OC z OB y OA x OP ++=(这里隐含x+y+z≠1).注：设四面体ABCD 的三条棱，,,,d AD c AC b AB ===其中Q 是△BCD 的重心，则向量)(31c b a AQ ++=用+=即证.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，则四点P 、A 、B 、C 是共面⇔1x y z ++=OABCD。
作为空间向量基底的条件公式
作为空间向量基底的条件公式The condition for a set of vectors to form a basis in a vector space can be determined by several criteria.向量空间中的一组向量形成基底的条件可以通过几个标准来确定。
First of all, for a set of vectors to form a basis, they must be linearly independent. This means that none of the vectors in the set can be represented as a linear combination of the other vectors. If one vector can be written as a linear combination of the others, then it is redundant and the set does not form a basis.首先，对于一组向量来形成基底，它们必须是线性无关的。
这意味着在集合中没有一个向量可以表示为其他向量的线性组合。
如果一个向量可以被写成其他向量的线性组合，那么它是多余的，这组向量就不构成基底。
Another important condition for a set of vectors to form a basis is that they must span the entire vector space. This means that any vector in the space can be represented as a linear combination of the basis vectors. If the set of vectors does not span the entire space, then it cannot be considered as a basis.另一个形成基底的重要条件是，它们必须跨越整个向量空间。
空间向量的基
e 'n ) 是Rn中两组不同的基。则它们是等价的
p11e1 p21e2 pn1en , p12 e1 p22 e2 pn 2en , p1n e1 p2 n e2 pnn en .
p1n p2 n pnn
即
p11 p12 p p (e '1 , e '2 , e 'n ) (e1 , e2 , en ) 21 22 pn1 pn 2
(2) V中任一向量都可由1 , 2 , , r 线性表示 .
r 称为向量空间V的维数，记为dimV r ,并称V为 r 维向量空间．
说明 （1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基． （2）若把向量空间V看作向量组，那末V的基就是向量组的最大无关 组, V的维数就是向量组的秩.
1 1 计算得P 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 从而P 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
4
2 0 2 1 1 1 1 3 (2)1 , 2 , 3 , 4 . 0 2 1 1 1 2 2 2 求基(1)到基(2)的过渡矩阵, 并求坐标变换公式.
p12 p22 pn 2
p11 p 21 其中矩阵 P pn1
p1n p2 n 称为由基 (e1 , e2 , en ) 到 基 (e '1 , e '2 , e 'n ) 的过渡矩阵。 pnn
数理学院
空间向量基本定理
答案：A′C― →＝B′C′― →－DD′― →＋AB― →
知识要点一：空间向量基本定理的理解 1．空间向量基本定理与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从 而分解结果也多了一“项”，解决问题的思路，步骤也基本相同． 2．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量 a，b，c 可以线性表示出空 间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的． 对于基底{a，b，c}除了应知道 a，b，c 不共面，还应明确： (1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所 有向量均可由基底唯一表示． (2)由于 0 可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量 不共面，就隐含着它们都不是 0.
解析：由基底定义知应选 D.
4． 如图， 在长方体 ABCDA′B′C′D′中向量 A′C― →可用向量 AB― DD′― →， →， B′C′― →表示为__________________．
解析：∵A′C― →＝A′D′― →＋D′D― →＋DC― →， 又∵A′D′― →＝B′C′― →，DC― →＝AB― →，D′D― →＝－DD′― → ∴A′C― →＝B′C′― →－DD′― →＋AB― →.
1 1 解析：MN― →＝MC1― →＋C1N― →＝ BC1― →－ AC1―→ 2 3 1 1 ＝ (AC1― →－AB― →)－ AC1― → 2 3 1 1 ＝ AC1―→－ AB― → 6 2 1 1 ＝ (AC―→＋AA1― →)－ AB―→ 6 2 1 1 1 ＝ a－ b＋ c 6 2 6 1 1 1 答案： a－ b＋ c 6 2 6
用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法 的平行四边形法则、加法、减法的三角形法则．
线性代数 空间向量的基和维
2 0 −5 −7 α1 = β1 − β 3 = 1 , α 2 = β 2 − β 3 = 0 −1 3 0 −1
容易验证他们线性无关， 容易验证他们线性无关，从而构成基础解系． 从而构成基础解系． 对应齐次方程组通解： 对应齐次方程组通解： c1α1 + c2α 2 非齐次方程组通解： 非齐次方程组通解： x = β1 + c1α1 + c2α 2
2 3 = + , x1 7 x 3 7 x 4 便得 令x3 = c1 , x4 = c2 , =5 +4 . x x x 2 7 3 7 4
x1 2 7 3 7 x2 = c 5 7 + C 4 7 1 2 x 1 0 3 0 1 x4
∴ r ( A) = r ( A).
反之， 反之，若 r ( A) = r ( A) ，则方程组（ 则方程组（2-12” 12”）有解， 有解，因 此 b∈R(A) .
定理8 设m × n相容非齐次方程组(2(2-12′)的解集 为S，对应齐次方程组的解空间为N(A),则有 若已知 x1、x2 ∈ S , 则 (1) A( x1 + x2 ) = 2b
dim N ( A) = n − r ( A)
dim N ( A) + dim R ( A) = n
或 （5-20）
例1 求齐次线性方程组 x1 + x2 − x3 − x4 = 0 2 x1 − 5 x2 + 3 x3 + 2 x4 = 0 7 x − 7 x + 3 x + x = 0 2 3 4 1 的基础解系与通解. 解 对系数矩阵 A 作初等行变换， 作初等行变换，变为行最简矩阵， 变为行最简矩阵，有
向量空间的基
向量空间的基在实际问题中有着广泛的应用，例如在机器学习、图像处理、信 号处理等领域中，经常需要用到向量空间的基来表示和处理数据。
报告范围
向量空间基的定义和性质
报告将首先给出向量空间基的定义，并探讨基的一些基本 性质，例如线性无关性、生成性等。
向量空间基的求解方法
报告将介绍如何求解一个向量空间的基，包括通过高斯消 元法、施密特正交化等方法来求解基。
03
基的定义
线性无关性
基向量组中的向量线性无关，即 不存在不全为零的标量使得基向 量的线性组合为零向量。
生成空间
基向量组能够生成整个向量空间 ，即空间中的任意向量都可以表 示为基向量的线性组合。
基的性质
唯一性
对于给定的向量空间，其基不是 唯一的，但不同的基所含向量的
个数相同，称为空间的维数。
线性表示
对未来研究的展望
高维向量空间的基
随着数据维度的增加，如何有效地构造和处理高维向量空间的基是一个值得研究的问题。
非线性基函数
目前对基的研究主要集中在线性空间，如何扩展到非线性空间，构造非线性基函数是一 个具有挑战性的研究方向。
基与深度学习结合
深度学习中的神经网络可以看作是一种特殊的基函数，研究如何将传统的基理论与深度 学习相结合，提高模型的性能和可解释性，是一个有意义的研究课题。
空间中的任意向量都可以唯一地 表示为基向量的线性组合。
坐标表示
若选定一组基，则空间中的每个 向量都可以对应一个坐标向量， 使得该向量可以表示为基向量的 线性组合，且组合系数即为坐标
向量的分量。
基的判定方法
观察法
通过观察向量组是否线性无关且能生成整个空间来判断是否为基。
判定定理
第7讲向量空间的基
三. 基变换、坐标变换 过渡矩阵、换基公式
设 1 , 2 , , r 和 1 , 2 , , r 是 r 维向量空间的
两组基 , 且有
最大无关组 , 即是 R 3 的一个基。
2. 求向量 2 e1 e2 3 e3 在基 e1 , e2 , e3 下的坐标。
因为
e1 ( 1,1, 0 ) e1 e2 ,
e2 ( 2, 3, 2 ) 2 e1 3 e2 2 e3 , e3 ( 1, 3, 2 ) e1 3 e2 2 e3 ,
1 ( 1,0,,0,0)T , 2 (0, 1,,0,0)T , , n (0, 0,,0, 1 )T
和另一组基
1 ( 1, 1,,1, 1 )T , 2 (0, 1,,1, 1 )T , , n (0, 0,, 0, 1 )T ,
求 Rn 中任一向量在这两个基 下的坐标关系。
解 R n , 设 在标准基1 , 2 ,, n 下的坐标为
( x1 , x2 , , xn ) x11 x2 2 xn n ,
设 在基 1 , 2 ,, n 下的坐标为
( y1 , y2 , , yn ) y1 1 y2 2 yn n 。
三. 基变换、坐标变换
在以下的叙述中 i, i均为列向量，且记
(1 , 2 ,, r ) ,
a11 a 21 A a r1 a12 a22 ar 2 a1r a2 r , ar r
(1 , 2 ,, r ) ,
向量空间的基,维数与坐标
若1,2, ,r 是向量空间V 的一组基，
则对 V ,存在唯一一组有序数 x1, x2, , xr
使得
x11 x22 xrr ，
x1, x2 , , xr 称为向量 在基 1,2, ,r 下的
坐标
记为 ( x1, x2 , , xr ).
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解
1 1 1 2
A
(1T
,
T 2
,
T 3
,
T 4
)
1
2
0
3
1 0 3 7
1 ~ 0
0
1 3 1
1 1 2
2 1 5
~
1 0 0
1 1 0
1 2 7
2 5 14
11 上一页 下一页 返 回
由行阶梯矩阵知 r( A) 3, 且1,2,3 线性无关,
知其为 R3 的一组基, 进一步将A变成行最简形：
,
en )
p21
p22
p1n
p2n
P 称为
P
pn1
pn2
pnn
（1）
由基 e1, e2 , , en 到基 e1, e2 , , en 的
过渡矩阵
前面已经提到：对于同一向量，基的不同，可能
引起坐标的变化，那么它们会怎样变化呢？
16 上一页 下一页 返 回
设向量 在上述两组基下的坐标分别为 ( x1, x2, , xn ) 和 ( x1, x2 , , xn ), 即 x1e1 x2e2 xnen x1e1 x2e2 xnen
例2 判别下列集合是否为向量空间.
V1 x 0, x2, , xn T x2, , xn R
空间向量知识点总结
空间向量知识点总结空间向量是高中数学中的重要内容，它为解决立体几何问题提供了一种全新的思路和方法。
下面我们来对空间向量的相关知识点进行一个系统的总结。
一、空间向量的基本概念1、空间向量的定义在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量。
2、空间向量的表示空间向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
向量通常用小写字母加箭头表示，如\（＼vec{a}＼）。
3、空间向量的模空间向量\（＼vec{a}＼）的模（长度）记作\（｜＼vec{a}｜＼），其计算公式为\（｜＼vec{a}｜＝＼sqrt{a_1^2 ＋ a_2^2 ＋ a_3^2}＼）（假设\（＼vec{a} ＝（a_1, a_2, a_3)＼））。
4、零向量长度为\（0\）的向量称为零向量，记作\（＼vec{0}＼），其方向是任意的。
5、单位向量模为\（1\）的向量称为单位向量。
若\（＼vec{a}＼）是非零向量，则与\（＼vec{a}＼）同向的单位向量为\（＼frac{＼vec{a}｝｛｜＼vec{a}｜｝＼）。
6、相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量。
7、相反向量长度相等但方向相反的向量称为相反向量。
二、空间向量的运算1、加法空间向量的加法满足三角形法则和平行四边形法则。
设\（＼vec{a}＼）、＼（＼vec{b}＼）为两个空间向量，则它们的和向量\（＼vec{c} ＝＼vec{a} ＋＼vec{b}＼）。
2、减法空间向量的减法是加法的逆运算，＼（＼vec{a} ＼vec{b} ＝＼vec{a} ＋（＼vec{b}）＼）。
3、数乘运算实数\（＼lambda\）与空间向量\（＼vec{a}＼）的乘积\（＼lambda\vec{a}＼）仍然是一个向量。
当\（＼lambda ＞ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）同向；当\（＼lambda ＜ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）反向；当\（＼lambda ＝0\）时，＼（＼lambda\vec{a} ＝＼vec{0}＼）。
空间向量基底的定义
空间向量基底的定义
空间向量基底是指一组向量，它们构成了一个空间的基本框架，且每一个向量都是该空间的基本坐标轴。
一个完整的空间向量基底至少包含3个基本向量，它们必须是线性无关的，也就是说，任何两个向量只有加上其他向量才能构成三维空间中的一个点。
因此，任何一个坐标空间中的定义向量都已经为我们提供了开始定义坐标系的关键因素。
使用空间向量基底定义的坐标系可以大大简化对复杂对象的表示，这对于解决科学上和实际问题都十分有用，便于求解复杂函数或系统的性质。
向量中基的概念
向量基的概念1. 向量基的定义向量基，也称为基底，是在向量空间中一组线性独立的非零向量，该组向量能够表示空间中的任意向量。
基底是由一组基向量构成的，这组基向量是线性独立的，即它们之间不存在线性关系（如倍数关系）。
2. 向量基的性质（1）基底是由一组线性独立的向量构成的。
（2）空间中的任意向量可以由基底中的向量线性表示。
（3）如果向量组是基底，则其元素个数是唯一的，并且这些元素是线性无关的。
3. 向量基的表示一个向量空间V的基底可以表示为B = {b1, b2, ..., bn}，其中bi是V中的向量。
基底可以用来表示空间中的任意向量v，即v可以表示为基底中向量的线性组合。
4. 向量基的维数向量空间的维数等于基底的元素个数。
如果一个向量空间的维数为n，则存在一个由n个线性无关的向量构成的基底。
5. 向量基的转换如果一个新的基底B' = {b1', b2', ..., bn'}可以通过原基底B = {b1, b2, ..., bn}进行线性变换得到，则称B'与B是等价的。
基底的转换是在向量空间中改变基底的表示方法，但不会改变空间中向量的表示结果。
6. 向量基的线性组合向量空间的任意一组向量可以由基底中的向量线性组合得到。
如果向量组B是基底，则任意向量v可以表示为B中向量的线性组合：v = a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn，其中ai是标量。
7. 向量基的线性无关性基底中的向量必须是线性无关的，即它们之间不存在倍数关系。
如果一组向量是线性相关的，则它们不能构成一个有效的基底。
线性无关性是基底的一个重要性质，它表明基底中的向量是独立的，不能被其他向量代替。
8. 向量基的应用向量基是线性代数中的基本概念之一，它被广泛应用于各种领域中，如物理学、工程学、经济学等。
例如，在物理学中，可以将速度、力等物理量视为向量，并用基底表示它们的方向和大小；在工程学中，可以使用基底表示图像、信号等数据。
找向量空间的一组基
找向量空间的一组基
向量空间是数学中非常重要的概念，它是一组由实数或复数组成的数据，也可以作为一种结构，用于描述和表示物理系统的某些特性。
向量空间的一组基被称为基向量，它们可以帮助我们把一个向量表示为基向量的线性组合。
基向量的定义是一组向量，它们可以互相线性独立，也就是说，任何一个向量不能由其他向量的线性组合而得到。
基向量的数量称为向量空间的维数，它们的数量决定了向量空间的维数。
向量空间的维数可以是任意整数，但它们可以被归纳为三种不同类型：二维，三维和四维。
二维向量空间的基有两个，三维向量空间的基有三个，四维向量空间的基有四个。
在二维向量空间中，基向量可以是任何一对不同的向量，而三维向量空间中的基向量是三个不同的向量，例如，i，j，k，四维向量空间中的基向量是四个不同的向量，例如i，j，k，l。
另外，还有一种特殊的基向量，称为正交基向量，它们的特点是两两之间的夹角正好是90度，也就是说，它们的点积
为零。
正交基向量可以用于描述物理系统中的不同属性。
最后，基向量有助于我们在向量空间中表示向量，它们可以帮助我们把一个复杂的向量表示为基向量的线性组合，这可以简化计算，更好地理解和描述系统的特性。
向量空间基变换与坐标变换
向量空间基变换与坐标变换在线性代数中，向量空间基变换与坐标变换是非常重要的概念。
向量空间基变换是指在同一向量空间中，通过改变基底，将向量的表示方式从一个基底转换为另一个基底的过程。
而坐标变换则是指在不同坐标系下，对同一个向量进行表示的转换。
本文将详细介绍向量空间基变换与坐标变换的概念、原理及其应用。
一、向量空间基变换1. 概念与原理向量空间是指由若干个向量组成的集合，它具有加法和数乘运算，并满足一定的性质。
向量空间的基是指它的一个线性无关生成集。
在同一向量空间中，可以存在多个不同的基底。
向量空间基变换是指通过改变基底，将向量的表示方式从一个基底转换为另一个基底的过程。
假设V是一个n维向量空间，B={b1, b2, ..., bn}和B'={b'1, b'2, ..., b'n}分别是V的两个基底。
对于向量v∈V，它在基底B下的坐标为[x1, x2, ..., xn]，在基底B'下的坐标为[x'1, x'2, ..., x'n]。
向量空间基变换的目标是求解坐标之间的关系式。
在向量空间基变换中，我们可以通过线性组合的方式将向量v的表示从基底B转换为基底B'。
具体而言，我们可以将向量v表示为v= x1b1 + x2b2 + ... + xnbn，然后将每个基底b_i表示为b_i = a_{i1}b'_1 + a_{i2}b'_2 + ... + a_{in}b'_n。
将这两个式子代入到v 的表示中，得到v = (x1a_{11} + x2a_{21} + ... + xna_{n1})b'_1 + (x1a_{12} + x2a_{22} + ... + xna_{n2})b'_2 + ... + (x1a_{1n} + x2a_{2n} + ... + xna_{nn})b'_n。
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1 , 2 , , r 是向量空间V的一个基，则 V 可表示为 （3）若向量组
V x 1 1 2 2 r r 1 , , r R
例如，在Rn中， (1 , 2 , n ) 是它的一组基 ，称为标准基，因此
Rn 是n维向量空间。
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设R n中的向量 在这两组基下的坐标分别为( x1 ,
xn )与( x '1 ,
x 'n )
则 (e1 , e2 ,
x1 x en ) 2 (e '1 , e '2 , xn
x '1 x' e 'n ) 2 (e1 , e2 , x 'n
4
2 0 2 1 1 1 1 3 (2)1 , 2 , 3 , 4 . 0 2 1 1 1 2 2 2 求基(1)到基(2)的过渡矩阵, 并求坐标变换公式.
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由定义可知，向量空间的基不是惟一的，但其维数是确定
的。并且向量空间可以由它的任一组基 (1 , 2 , n ) 生成。因 此，任给 V ，有惟一的表达式 x11
xn n ，称 ( x1 ,
xn )
为 在基 (1 , 2 , n ) 下的坐标。
由于基不是惟一的，所以同一向量在不同的基下的坐标是 不同的。下面我们来讨论同一向量在不同基下坐标之间的关系。
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设 (e1 , e2 , en ) 和 (e '1 , e '2 , 即可以相互表示。 e1 e 2 设 en
x '1 x' en ) P 2 x 'n
x1 x '1 x '1 x1 x x' x' x 2 2 或 2 P 1 2 从而 P x x ' x ' n n n xn
y1 x2 x3 x4 y x x 1 2 即 2 y3 x4 y4 x1 x2 x3 x4
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小结
（一）、向量空间的基和维数： 基：向量空间的一个极大线性无关组，不惟一。 维数：极大无关组中向量的个数。 求向量空间基和维数的方法：找到一个极大无关组． （二）、向量的坐标 坐标：基是向量空间的一个极大线性无关组，从而任 一向量可以被惟一线性表示。线性表示中的系 数就称为此向量在这组基下的坐标。 坐标变换：基不惟一，从而坐标随基的不同而改变。 确定变换公式？---找到两组基的过渡矩阵P。
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例 1 设1 (1, 1,1), 2 (1, 2,0), 3 (1,0,3), 4 (2, 3,7),
证明1 ,2 ,3可以作为R3的一组基,并求4关于1 ,2 ,3的坐标.
证
1 1 1 2 设A ( T 1 , T 2 , T 3 , T 4 ) 1 2 0 3 1 0 3 7
p12 p22 pn 2
p11 p 21 其中矩阵 P pn1
p1n p2 n 称为由基 (e1 , e2 , en ) 到 基 (e '1 , e '2 , e 'n ) 的过渡矩阵。 pnn
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则( 1 , 2 , 3 , 4 ) (1 , 2 , 3 , 4 )A1 (1 , 2 ,3 , 4 )=( 1 , 2 , 3 , 4 )B
于是(1 ,2 ,3 ,4 )=(1 , 2 , 3 , 4 )B (1 ,2 ,3 ,4 )A1 B 所以 (1 ,2 ,3 ,4 ) 到(1 ,2 ,3 ,4 )的过渡矩阵P A1 B
例 2 设有R 中的两组基: 1 1 1 1 2 1 2 1 (1)1 , 2 , 3 , 4 ; 1 1 1 0 0 1 1 1
1 0 0 1 初等行变换化为最简形得 0 1 0 1 0 0 1 2
可见1 , 2 , 3线性无关,因此可以作为R3的一组基,并 4关 于1 , 2 , 3的坐标为(1,-1,2).
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解
1 2 设A 1 0
1 1 1 2 1 1 2 1 , B 0 1 1 0 1 1 1 1
0 2 1 1 1 3 且( 1 , 2 , 3 , 4 )是R 4的标准基 2 1 1 2 2 2
那末，向量组 1 , 2 , , r 就称为向量空间 V 的一个基,
(2) V中任一向量都可由1 , 2 , , r 线性表示 .
r 称为向量空间V的维数，记为dimV r ,并称V为 r 维向量空间．
说明 （1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基． （2）若把向量空间V看作向量组，那末V的基就是向量组的最大无关 组, V的维数就是向量组的秩.
设向量 在基(1)下的坐标为(x1 ,x2 ,x3 ,x4 ), 在基(1)下的坐标为 (y1 ,y2 ,y3 ,y4 ), 则坐标变换公式为
y1 x1 y x 2 P 1 2 , y3 x3 y4 x4
e 'n ) 是Rn中两组不同的基。则它们是等价的
p11e1 p21e2 pn1en , p12 e1 p22 e2 pn 2en , p1n e1 p2 n e2 pnn en .
p1n p2 n pnn
即
p11 p12 p p (e '1 , e '2 , e 'n ) (e1 , e2 , en ) 21 22 pn1 pn 2
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第三章 第三讲
向量空间的基、维数与坐标
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定义1 设 V是向量空间，如果 r 个向量 1 , 2 , , r V无关;
1 1 计算得P 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 从而P 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1
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