北师大版高中数学必修一课时跟踪检测：第四章 §1 1.2 利用二分法求方程的近似解
高一数学北师大版必修1教学教案第四章1-2利用二分法求方程的近似解(7)
数学课堂教学中落实核心素养的教学设计以“利用二分法求方程的近似解”为例本文以北师大版《普通高中课程标准实验教科书数学1(必修)》第四章第一节，“利用二分法求方程的近似解”为例，探讨怎样在数学课堂教学中落实和发展学生的数学核心素养。
一．基于数学核心素养的教学内容分析本节内容是第四章第一节的第二课时内容，在第一课时中学生已经学习了“函数的零点与其对应方程解的关系”，为第二节求方程的实数解提供了思维上的准备，即利用函数来研究方程的实数解。
本节的教学应着重引导学生理解二分法的思想，二分法求方程近似解的具体步骤，充分体会函数与方程、数形结合和逼近思想；同时体会几何画板，Excel，MATLAB在数学教学中的工具性作用。
二．设计目标1.通过具体实例，体会二分法的思想，掌握用二分法求解具体方程近似解的一般步骤，培养学生的数学推理、数学建模、直观想象、数学运算以及数据分析等数学核心素养。
2.通过对二分法原理的探索，引导学生用联系的观点理解函数与方程的关系，以及数学建模在这一探索中的作用；二分法在线路检修、实验设计、资料查询等实际生活中的应用，充分认识数学源于生活，又服务于生活。
3.通过具体实例的研究，体会二分法程序化的解决问题思想，为算法的学习作准备，以及信息技术在本节中的有力支持；体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一；在二分法原理的探索发现过程中，培养学生坚韧的意志品质。
三．教学重点和难点重点：利用二分法求方程的近似解难点：二分法原理的探索；对方程近似解的精度把握和理解四．教学手段借助合作讨论，使学生积极主动地参与学习；使用计算器或计算机，旨在加强数学与信息技术的交融，提倡学生利用课余时间学习计算机语言。
五．教学过程创设情境，揭示课题上帝赐予他的童年占1/6；又过1/12他两颊长出了胡须；再过1/7，点燃了新婚的蜡烛；五年之后喜得贵子。
可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便入黄泉。
悲伤只有用数学研究去弥补，又过4年，他走完了人生的旅途。
高中北师大版数学课件必修一 第4章-1.2利用二分法求方程的近似解
1．维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
【提示】 首先从 AB 的中点 C 查，随带话机向两端测 试，若发现 AC 正常，断定故障在 BC 段，再取 BC 中点 D， 再测 CD 和 BD.
2．在有限次重复相同的步骤下，能否最快地查出故障． 【提示】 能．
1．二分法 对于图像在区间[a，b]上连续不断且满足 f(a)· f(b)＜0 的 函数 y＝f(x)，每次取区间的 中点 ，将区间一分为二，再 经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．
【答案】 B
若函数 y＝f(x)同时满足下列三个条件： 1．函数 f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续曲线； 2．函数 f(x)在区间(a，b)上有唯一的零点； 3．f(a)· f(b)<0. 则用二分法一定能够求出函数 y＝f(x)的零点．
下列函数中能用二分法求零点的是(
)
【解析】 选项 A 中，函数无零点，选项 B、D 不符合 用二分法求函数的零点的条件，不能用二分法求零点，选项 C 可用二分法求函数的零点．
用二分法求函数零点( 方程实数解) 的近似值，首先要选 好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使长度尽 量小；其次，要依据题目给定的精度，及时检验计算所得到 的区间是否满足这一精度，以决定是否停止计算．
求方程 x3－x－1＝0 在区间[1,1.5]内的一个实数解．(精 度为 0.1)
【解】 记 f(x)＝x3－x－1，因为 f(1)＝－1<0，f(1.5)＝ 0.875>0，所以方程 x3－x－1＝0 在区间[1,1.5]内有实数解． 利用二分法得到方程 x3－x－1＝0 有解区间的表：
二分法的理解
下列函数图像与 x 轴均有交点，其中不能用二 分法求图中函数零点的是( )
高一数学北师大版必修1教学教案第四章1-2利用二分法求方程的近似解(2)
第五单元近现代中国的先进思想第20课西学东渐【课程标准】了解鸦片战争后中国人学习西方、寻求变革的思想历程，理解维新变法思想在近代中国社会发展进程中所起的作用。
一、开眼看世界1．背景(2)2．目的3．人物(1)志》，成为近代中国“开眼看世界的第一人”。
(2)魏源：编写，提出了“师夷长技以制夷”的思想。
4．影响(1)(2)逐渐成为中国近代的思想主流。
【误区警示】在民族危机之下，林则徐、魏源主张学习西方，但是林则徐、魏源是封建地主阶级的代表人物，因此其主要目的是维护清政府的封建统治，并不是要改变社会制度。
二、体用之争1．时间：19世纪60～90年代。
2．焦点：是否兼采西方文化变革救世。
3．表现(1)(2)顽固派：反对“西学为用”，维持既有的政治文化格局。
(3)4．评价(1)(2)为西学在中国的传播创造了良好的舆论环境。
【误区警示】 地主阶级抵抗派和洋务派虽都属于地主阶级派别，但两者的侧重点不同，前者主张“师夷长技以制夷”，侧重于抵抗外来侵略；而洋务派主张“师夷长技以自强”，既维护清朝统治，镇压人民的反抗斗争，也含有抵御外侮的意图。
三、维新思潮1．早期维新派的转变(1)(2)(3)17政治制度方面起到了启蒙作用。
2．维新思潮的形成(1)背景：19世纪90(2)代表(1)内容(2)影响②为中国文化的发展开辟了一条新的道路。
【误区警示】 维新派与洋务派思想的分歧根本上是由不同的阶级立场决定的。
但无论是洋务派的“中体西用”思想，还是维新派的维新变法思想都在一定时期推动了中国社会的发展和进步，都应该给予积极的评价。
[讨论交流1] 下图是我国南方某城市的一个雕塑，你能判断这个城市的名称以及涉及的历史大事吗？试答：城市：广州。
事件：虎门销烟。
[讨论交流2] 林则徐为什么被称为近代中国“开眼看世界的第一人”？试答：鸦片战争后，为了解西方，抵御外来侵略，一批满怀爱国热忱和经世之志的先进中国人开始冲破传统的“贵中华”“贱夷狄”的思想藩篱，以新的眼光审视世界。
北师大版数学必修一第4章 1.2
数
∴Δ＝b2－4＝0，即 b＝±2，故选 C．
学
必
修
①
·
北
师
大
版
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第四章 函数的应用
2．下列函数中能用二分法求零点的是 导学号 00814943 ( C )
数
学
必
修 ①
[解析] 从图像上看，A的函数无零点；B、D中的函数都是不变号零点，不
·
北 师
能运用二分法．故选C．
大
版
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第四章 函数的应用
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第四章 函数的应用
〔跟踪练习 1〕 导学号 00814947 下列图像与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( A )
数 学
[解析] A、B、C、D 四个选项中只有 A 的图像没有穿过 x 轴，此零点属不
必
修 ①
变号零点，不能用二分法求解．
·
北
师
大
版
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第四章 函数的应用
命题方向2 ⇨二分法求函数零点的近似值
试判断方程 x3＋3x－5＝0 在区间(0,3)内是否有实数解？若有，求出
该解的近似值(精确到 0.01). 导学号 00814948
[思路分析] 可利用函数零点存在性的判定方法判断方程在(0,3)内有实数解，
然后再利用二分法求出其近似值．
[规范解答] 设函数 f(x)＝x3＋3x－5，由于 f(0)＝－5<0，f(3)＝31>0，因此
么下一个有根区间是___[_2_,2_._5_] __. 导学号 00814945
数 学
[解析] 由计算器可算得 f(2)＝－1，f(3)＝16，f(2.5)＝5.625，f(2)·f(2.5)<0，所
高一数学北师大版必修1教学教案第四章1-2利用二分法求方程的近似解(8)
教学设计利用二分法求方程的近似解教学内容分析本节选自《普通高中课程标准实验教科书•数学1》北师大版第三章第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系．教材分三步来进行：第一步，从学生认为较简单的利用函数y=f(x)的图像,判定在区间[1,5]有零点,再次利用二分法求出方程f(x)=0的近似解.由具体到一般，建立方程的根与相应函数的零点的联系．然后推广为一般方程与相应函数的情形.在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；第二步,介绍定义二分法,满足精度的近似解.对方程的近似解提出要求,即满足一定要求的近似解,不能比近似解大于ε,也不能比近似解小于ε.在真实值未知的情况下,要达到满足要求的近似解似乎不可能.第三步,在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解．它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间的依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念．求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据．学生学习情况分析同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法．其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”．设计理念本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际——理论——实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导——学生探索相结合的教学方法，注重提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程．教学目标1．理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法.2．体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法；让学生能够了解近似逼近思想，培养学生探究问题的能力和创新能力，以及严谨的科学态度；3．体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；感受正面解决问题困难时，通过迂回的方法使问题得到解决的快乐．教学重点与难点教学重点：能够用二分法求相应方程的近似解，根所在区间的确定及逼近的思想．教学难点：对二分法的理论支撑的理解，区间长度的缩小．教学过程教学基本流程图教学情境设计教学设计学情预设设计意图知识链接创设情境•引出课题1．趣味游戏,猜一个在1到100之间的整数.2．竞猜中，“高了”、“低了”的含义是什么？如何确定价格的最可能的范围？3．如何才能更快地猜中商品的预定价格？4.这个游戏对你的启发是什么?5.复习函数的零点的定义.6.复习函数的零点的存在性定理.7.合作探究这节课应解决怎样的问题?迫使学生思考如果一个方程存在零点,那么如何才能求出这个零点?实在不能求出这个零点,退而求其次,是否可以求出这个方程的一个近似解,最好是与真实值足够接近的近似解.让学生主动发现问题,提出问题,解决问题.8.让学生解一元一次方程,一元二次方程,学生很容易解决这样的问题,然后给出一个学生无法解决的一元三次方程,学生会感到非常遗憾,努力想解决这个问题.给出问题,激发兴趣,寻求方法,解决问题.有解,如何运用某种方法找到这个解,如果无法求出真实解,那么能否求出满足一定要求的近似解.知道存在,如何找出.和趣味游戏多么的相似啊！“二分”的思路是什么？1．教师从学生熟悉的电视节目，引导学生体会、分析、归纳迅速猜价的方法．2．学生能够主动参与游戏，并且参与游戏的同学可以比较并总结经验．学生会有很多种方案．3．对于“问题3”学生能够顺利地得出“主持人的“高了，低了”的回答是判断价格所在区间的依据”这个结论．4．此时教师通过“问题3”引导学生进行比较哪种方法更快更好．从中学生可以得到用二分法解决问题的思路——二分指的是将解所在区间平均地分为两个区间.(1)．利用视屏与游戏的形式，学生会踊跃参与；商品价格竞猜也是学生熟悉的，竞猜的方法会很多样，可以进行竞赛．(2)．通过问题3，启发学生寻找确定区间的依据，为后面探索“用二分法求方程近似解”的时候埋下伏笔．(3)．通过游戏，让学生经历游戏过程，感受数学来自生活，激发学生的学习兴趣；引导学生善于发现身边的数学，培养学生的归纳演绎的能力；学会将实际情境转化为数学模型．(4)．通过比较不同的方法得出最快的竞猜的方法——二分法．师生探究•构建新知1．上节课我们学了什么定理.它的作用是什么？还有什么问题没有解决？2．已知函数f(x)＝2x3+3x3=0,求它的一个实数解,精度为0.01 3．精度的含义是什么？怎样的区间才算满足设定的精度？4．区间(0.625,0.75)的精度为多少？5．如何将零点所在的范围缩小(即如何将精度缩小)？缩小的依据是什么？6．如何利用“猜价格”——“二分法”的逼近思想来缩小区间？ 7．近似解是多少？(1)．教师通过对上节课的内容进行复习，并且有前面游戏作为伏笔，学生能够初步体会出“连续函数零点存在定理”是判断方程的根所在区间的依据．(2)．通过“问题3”应用具体的题目引导学生进行思考．学生通过引导将方程的解与商品的价格联系到一起，运用刚才的游戏的经验，得到缩小区间的想法．(3)．学生对精度的概念可能不知．教师可以借助数轴解释说明精度的含义，引导学生思考什么时候停止操作．(4)．教师通过“问题求方程的近似解”引导学生将“二分法”与“零点存在定理”相结合得到零点所在的区间,并且这个区间的长度越来越小,端点逐步逼近方程的解,可以得到一个近似解．并且确定结束的区间.(5)．学生按照游戏的方法也就是按照“二分法”的思路，不断缩小零点存在的区间，进行具体操作，填出表格．表格刚开始的前几行学生可能会比较慢，也有可能会出错；通过多次的重复以及经验的总结，后面的表格可以正确地、快速地回答出来；使得最后的“应用二分法求函数的零点”的方法的总结更加顺利．(6)．对于深度思考,学生不太容易得到比较简洁的结论．教师可以进行解释说明：“由于整个区间内的数均满足精确度的条件，因此区间内的所有数均可以作为近似解，最后得到方程的近似解.设计意图1．趣味游戏,开门见山，延续上一节课的内容继续深入地研究，使得知识有一个链接，让学生能够很容易地将新知识建构到旧的知识体系中．2．运用求方程的近似解，将学生的思路与前面已经解决的问题联系起来，引导学生层层深入，抽丝拨茧，学习如何分析问题、如何利用新的知识解决问题；培养学生分析问题、解决问题的能力，以及运用知识、驾驭知识的能力．3．师生的互动,有利于一边引导学生一边总结知识．将二分法应用于解决实际问题，即将新知识应用于解决新问题．培养学生实际应用的能力，加强解决问题的严谨性，总结知识的逻辑性．使得最后方法的总结能够顺利进行．4．有了前面的商品竞猜过程的经历，学生比较容易入手，分析比较容易到位，从而降低思维的难度.5.辨析思考,让学生思考,二分法能够解决什么问题,不能解决什么问题,它的局限性是什么?使学生清楚二分法的使用范围.6.方法延伸,二分法不但能解决课堂内的数学问题,而且能解决课堂外的数学趣味题,更增加学生学习数学的兴趣.7.思想延伸,能够求出方程的近似解,而没有求出方程的真实解,多么遗憾的一件事啊！那么如何求出方程的真实解?既然区间的长度越来越小,如果长度无限小,区间的端点就无限逼近真实值.那么就得到了方程的真实值.多么奇妙的一件事啊,看起来无法求出方程的近似解,最终,不但求出了近似解,而且求出了真实值.8.小结,这节课你学到了什么?有什么收获？有什么困惑？有什么数学思想和方法？迫使学生思考，梳理，总结，提炼，迫使学生回头望，进行讨论。
高一数学北师大版必修1教学教案第四章1-2利用二分法求方程的近似解(5)
《利用二分法求方程的近似解》教学设计一、教材分析与学情分析1、本节课教材分析本节内容选自北师大版高一数学上学期《必修1》第四章第§1.2节．是学生在学习了方程解的存在性的基础上，进一步用函数研究方程，即利用二分法求方程的近似解，使学生进一步体会函数与方程的关系，使学生感受函数的核心地位.同时为必修3学习算法做准备.本节课的主要任务是探究二分法基本原理，给出用二分法求方程近似解的基本步骤，使学生学会借助计算器用二分法求给定精度的方程的近似解．通过探究让学生体验从特殊到一般的认识过程，渗透逐步逼近和无限逼近思想（极限思想），体会“近似是普遍的、精确则是特殊的”辩证唯物主义观点．引导学生用联系的观点理解有关内容，通过求方程的近似解感受函数、方程、不等式以及算法等内容的有机结合，使学生体会知识之间的联系．所以本节课的本质是让学生体会函数与方程的思想、数形结合的思想、逼近的思想和初步感受程序化地处理问题的算法思想．2、本节课地位、作用“二分法”的理论依据是“函数零点的存在性定理”，本节课是上节学习内容《利用函数性质判定方程解的存在》的自然延伸；是数学必修3算法教学的一个前奏和准备；同时渗透数形结合思想、函数与方程、逼近思想和算法思想等.3、学生情况分析学生已初步理解了函数图象与方程的根之间的关系，具备一定的用数形结合思想解决问题的能力，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了知识准备．但学生仅是比较熟悉一元二次方程解与函数零点的关系，对于高次方程、超越方程与对应函数零点之间的联系的认识比较模糊，计算器的使用不够熟练，这些都给学生学习本节内容造成一定困难.二、教学目标根据教材内容和学生的实际情况，本节课的三维教学目标设定如下：【知识与技能】：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的一种方法，会用二分法求某些具体方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系，体会程序化解决问题的思想.【过程与方法】：借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为下一步学习算法做知识准备．【情感态度与价值观】：通过探究、展示、交流，养成良好的学习品质，增强合作意识.通过具体问题体会逼近过程，感受精确与近似的相对统一.三、教学重点、难点重点：二分法原理及其探究过程，用二分法求方程的近似解.难点：对二分法原理的探究，对精度、近似值的理解.四、教法、学法与教学手段教法分析：教师要处理好传授知识和培养能力的关系，要关注个体差异，满足不同层次学生的需要，因此，在教学中必须以充分暴露整个思维过程，认知过程为主要宗旨，通过问题引导、讨论交流、动手实践等探究活动来形成师生互动.因此，本节课我采用问题探索、师生互动探究式的教学方法.学法分析：相对教师的教法，学生应当采用自主探究、研讨发现的学习方法.老师要鼓励、引导学生自主探索，使学生在讨论、分析、交流、实践等多种活动加深对二分法的感受和理解，同时鼓励主要通过小组活动方式，对所学的内容进行分析，归纳总结、讨论和交流，让学生经历知识的形成过程和发展过程，这就极大的发挥了学生的积极性和主动性. 学法指导：分组合作、互动探究、搭建平台、分散难点.教学手段：计算机、投影仪、计算器.五、教学过程（一）设置情景，问题引入在数学学习中，解方程是我们经常遇到的问题.问题1：你会求哪些类型方程的解？有哪些方程不会求解？ 你会求下列方程的根吗？对于前两个方程，学生很快找出解决办法，最后一个方程学生无法根据之前学过的知识进行求解，这时教师适时总结：一元一次方程、一元二次方程我们会解，但是对于超越方程、高次方程从方程角度难以求出方程的根．教师追问：那么，第三个方程是不是就无解呢？ 生：不是.师：如果有解，该如何求出它的解或近似解？引出本节课的课题.【设计意图】：从学生熟悉的方程入手，引入求方程根的话题，引起学生的认知冲突，激起进一步探究的欲望.问题2：方程ln 260x x +-=是否有解？能不能求方程的近似解？为了解决这个问题，先回顾上节课的内容.复习回顾：（1）方程的根与函数零点的关系.（2）函数零点存在性定理.方程()0f x =有实根⇔函数()y f x =有零点.所以求方程ln 260x x +-=⇔求函数()ln 26f x x x =+-的零点.教师用几何画板展示出函数()ln 26f x x x =+-的图像让学生直观判断有没有零点.【点拨】：当从方程角度直接入手难以求出方程的根时，我们可以转化为求该方程相应函数的零点的问题.（二）互动探究，获得新知以求方程ln 260x x +-=的近似解（精度为0.1）为例进行探究. 探究1：怎样确定解所在的区间？（1）图像法：教师用几何画板展示.（2）试值法：f (x )=ln x +2x 6方程ln 260()ln 26x x f x x x +-==+-相应的函数是，由上面两种方法我们得出函数()ln 26f x x x =+-在区间（2,3）内有一个零点，这一节课的重点就是如何找出这个零点的位置.教师引导分析：根据我们的分析，我们可以将“求方程ln 260x x +-=的近似解”问题转变为“找函数()ln 26f x x x =+-在区间（2,3）内的近似零点”问题.【设计意图】：进一步理清思路，明确问题，使问题由“求”变为“找”，问题的提出，进一步激发学生利用二分法探究问题的热情. 探究2：怎样缩小解所在的区间？为了解决这个问题，我们先来看个视频和玩个小游戏：播放视频并邀请学生现场模拟吉林卫视《心动价给你》中猜商品价格环节：游戏规则：某 的价格在400—2000元之间，猜测它的价格，猜对了将给予奖励．每次猜后主持人会给出“高了”还是“低了”的提示，在20秒内且误差不超过10元时算猜对.让学生思考：（1）主持人给出高了还是低了的提示有什么作用？（2）误差不超过10元，怎么理解？（3）如何猜才能最快猜出商品的价格？经过三个问题的引导，大家很快便总结出猜价格的方法：不断取中点值与真实值比较，懂得判断真实值所属区间，区间长度不断缩短，x1 2 3 4 ()f x 4 1.307 1.099 3.386直到“猜值”与真实值的误差小于10元为止.这种方法在数学中我们叫做“二分法”.【设计意图】：使学生更加轻松有趣的学习，通过猜价格游戏来引出二分法的概念，让学生更容易接受二分法的思想和体会到学习二分法的使用价值，学生理解用二分法的思想缩小解所在的区间.回到例题“求方程ln260x x+-=的近似解.（精度为0.1）”.探究3：你有进一步缩小函数零点范围的方法吗？引导学生：通过刚刚游戏中取“中点”的方法逐步缩小零点所在的范围（区间）。
北师大高中数学必修一课时跟踪检测：第四章 §1 1.2 利用二分法求方程的近似解 含解析
第四章 §1 1．2 利用二分法求方程的近似解课时跟踪检测一、选择题1．若函数f (x )唯一的零点在区间(1,3)，(1,4)，(1,5)内，那么下列命题中错误的是( )A ．函数f (x )在(1,2)或[2,3)内有零点B ．函数f (x )在(3,5)内无零点C ．函数f (x )在(2,5)内有零点D ．函数f (x )在(2,4)内不一定有零点 答案：C2．已知函数y ＝ƒ(x )，则函数ƒ(x )的图像与直线x ＝a 的交点( ) A ．有1个 B ．有2个 C ．有无数个D ．至多有一个解析：∵函数y ＝ƒ(x )在定义域内图像是连续不断的，当a 在定义域内时，有一个交点，当a 不在定义域内时，没有交点，故至多有一个交点．答案：D3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋6x －1(a ≠0)有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a >－9且a ≠0B ．a >－9C ．a <－9D ．a >0或a <0答案：A4．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与函数y ＝lg x 的图像的交点的横坐标(精确到0.1)约是( )A ．1.3B ．1.4C ．1.5D ．1.6 解析：设f (x )＝lg x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，经计算f (1)＝－12<0，f (2)＝lg 2－14>0，所以方程lg x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0在[1,2]内有解．应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知D 符合要求．答案：D5．用二分法求函数f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点时，初始区间大致可选在( )A ．(0,2)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(2,4)解析：∵f (0)＝－4<0，f (1)＝－1<0， f (2)＝7>0，f (3)>0，f (4)>0，则有f (1)·f (2)<0. 答案：B6．设函数y ＝x 2与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图像交点为(x 0，y 0)，则x 0所在区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 解析：令f (x )＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则f (0)＝－4<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝3>0，∴f (x )的零点在区间(1,2)内，即函数y ＝x 2与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图像交点的横坐标x 0∈(1,2)．答案：B 二、填空题7．用二分法求方程ln x －2＋x ＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c ＝32，则下一个有根的区间是________．解析：设f (x )＝ln x －2＋x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 32－2＋32＝ln 32－12＝ln 32－ln e ＝ln32e <ln 1＝0.f (2)＝ln 2－2＋2＝ln 2>0.∴下一个有根的区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，28．若方程x 3－x ＋1＝0在区间(a ，b )上有一根(a ，b 是整数，且b －a ＝1)，则a ＋b ＝__________.解析：设f (x )＝x 3－x ＋1，则f (－2)＝－5<0.f(－1)＝1>0，得a＝－2，b＝－1，∴a＋b＝－3.答案：－39．根据表格中的数据，若函数f(x)＝ln x－x＋2在区间(k，k＋1)(k∈N＋)内有一个零点，则k的值为________．解析：由于函数f(x)＝ln x－x＋2在区间(k，k＋1)(k∈N＋)内有一个零点，f(3)＝ln 3－1＝1.1－1＝0.1>0，f(4)＝ln 4－2＝1.39－2＝－0.61<0，∴f(3)f(4)<0，故函数在(3,4)上有一个零点，故k＝3，故答案为3.答案：3三、解答题10．若某一方程有一无理根在区间D＝(2,4)内，若用二分法求此根的近似值，将D等分到第几次，所得近似值可精确到0.1?解：不妨忽略先后顺序，第一次取区间(2,3)，第二次取区间(2,2.5)，第三次取区间(2,2.25)，第四次取区间(2,2.125)，第五次取区间(2,2.062 5)，|2.062 5－2|<0.1.∴将D等分到第5次，所得近似值可精确到0.1.11．求证方程3x＝2－xx＋1在(0,1)内必有一个实数解．证明：设ƒ(x)＝3x－2－xx＋1＝3x－3x＋1＋1，则ƒ(x)在(0,1)内是增函数．∵ƒ(0)＝30－30＋1＋1＝－1<0，ƒ(1)＝31－31＋1＋1＝52>0，∴ƒ(0)·ƒ(1)<0，∴函数ƒ(x)在区间(0,1)内有且只有一个零点，即方程3x＝2－xx＋1在(0,1)内必有一个实数解．12．已知函数ƒ(x)＝|x2－2x|－a.(1)若函数ƒ(x)没有零点，求实数a的取值范围；(2)若函数ƒ(x)有两个零点，求实数a的取值范围；(3)若函数ƒ(x)有三个零点，求实数a的取值范围；(4)若函数ƒ(x)有四个零点，求实数a的取值范围．解：令ƒ(x)＝0，则|x2－2x|＝a，构造函数g(x)＝|x2－2x|＝|(x－1)2－1|，作出g(x)的图像，如图所示．令y＝a，由图可知：(1)若函数ƒ(x)没有零点，则a<0.(2)若函数ƒ(x)有两个零点，则a＝0或a>1.(3)若函数ƒ(x)有三个零点，则a＝1.(4)若函数ƒ(x)有四个零点，则0<a<1.13．中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间．选手开始报价：1 000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际中，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？解：取价格区间[500,1 000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750,1 000]的中点875；否则取另一个区间(500,750)的中点；若遇到小数，取整数．照这样的方案，游戏过程猜测价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可以猜中价格．。
北师大版高中数学必修一第四章1.2.docx
1.2利用二分法求方程的近似解课时目标 1.理解二分法求方程近似解的原理.2.能根据具体的函数，借助于学习工具，用二分法求出方程的近似解.3.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．1．二分法的概念每次取区间的中点，将区间__________，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求_________________ _______________________________________________________．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)(1)确定区间[a，b]，使____________．(2)求区间(a，b)的中点，x1＝__________.(3)计算f(x1)．①若f(x1)＝0，则________________；②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．(4)继续实施上述步骤，直到区间[a n，b n]，函数的零点总位于区间[a n，b n]上，当a n和b n 按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．一、选择题1．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是()A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关2．下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()3．对于函数f (x )在定义域内用二分法的求解过程如下：f (2 007)<0，f (2 008)<0，f (2 009)>0，则下列叙述正确的是( )A ．函数f (x )在(2 007,2 008)内不存在零点B ．函数f (x )在(2 008,2 009)内不存在零点C ．函数f (x )在(2 008,2 009)内存在零点，并且仅有一个D ．函数f (x )在(2 007,2 008)内可能存在零点4．设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定5．利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 …y ＝2x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556 …y ＝x 2 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56 …那么方程2x ＝x 2的一个根位于下列哪个区间内( )A ．(0.6,1.0)B ．(1.4,1.8)C ．(1.8,2.2)D ．(2.6,3.0)6．已知x 0是函数f (x )＝2x ＋11－x 的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7．若函数f (x )的图像是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f (x )的零点所在的区间为________．(只填序号)①(－∞，1]；②[1,2]；③[2,3]；④[3,4]；⑤[4,5]；⑥[5,6]；⑦[6，＋∞)．x 1 2 3 4 5 6f (x ) 136.123 15.542 －3.930 10.678 －50.667 －305.6788.用“二分法”求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x 0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．9．在用二分法求方程f (x )＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f (0.625)<0，f (0.75)>0，f (0.6875)<0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确度为0.1)．三、解答题10．确定函数f (x )＝12log x ＋x －4的零点所在的区间．11．证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确度0.1)能力提升12．下列是关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的说法：①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．那么以上叙述中，正确的个数为()A．0 B．1 C．3 D．413．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？1．能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．2．二分法实质是一种逼近思想的应用．区间长度为1时，使用“二分法”n 次后，精确度为12n . 3．求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．精确度为ε，是指在计算过程中得到某个区间(a ，b )后，若其长度小于ε，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，否则应继续计算，直到|a －b |<ε为止．1．2 利用二分法求方程的近似解知识梳理1．一分为二 方程的近似解 2.(1)f (a )·f (b )<0 (2)a ＋b 2(3)①x 1就是函数的零点作业设计1．B [依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]2．A [由选项A 中的图像可知，不存在一个区间(a ，b )，使f (a )·f (b )<0，即A 选项中的零点不是变号零点，不符合二分法的定义．]3．D4．B [∵f (1)·f (1.5)<0，x 1＝1＋1.52＝1.25， 且f (1.25)<0，∴f (1.25)·f (1.5)<0，则方程的根落在区间(1.25,1.5)内．]5．C [设f (x )＝2x －x 2，根据列表有f (0.2)＝1.149－0.04>0，f (0.6)>0，f (1.0)>0，f (1.4)>0，f (1.8)>0，f (2.2)<0，f (2.6)<0，f (3.0)<0，f (3.4)<0.因此方程的一个根在区间(1.8,2.2)内．]6．B [∵f (x )＝2x －1x －1，f (x )由两部分组成，2x 在(1，＋∞)上单调递增，－1x －1在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x )在(1，＋∞)上单调递增．∵x 1<x 0，∴f (x 1)<f (x 0)＝0，又∵x2>x0，∴f(x2)>f(x0)＝0.]7．③④⑤8．[2,2.5)解析令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(2.5)＝15.625－10＝5.625>0.∵f(2)·f(2.5)<0，∴下一个有根的区间为[2,2.5)．9．0.75或0.687 5解析因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.1，所以0.75或0.687 5都可作为方程的近似解．10．解(答案不唯一)log x，y2＝4－x，则f(x)的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图像，设y1＝12如图．由图知，y1与y2在区间(0,1)内有一个交点，当x＝4时，y1＝－2，y2＝0，f(4)<0，当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4，f(8)＝1>0，∴在(4,8)内两曲线又有一个交点．故函数f(x)的两零点所在的区间为(0,1)，(4,8)．11．证明设函数f(x)＝2x＋3x－6，∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又∵f(x)是增函数，∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．设该解为x0，则x0∈[1,2]，取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，∴x0∈(1,1.5)，取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1,1.25)，取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.444<0，f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125,1.25)，取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0，f(1.187 5)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.187 5,1.25)．∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，∴1.187 5可作为这个方程的实数解．12．A[∵①中x0∈[a，b]且f(x0)＝0，∴x0是f(x)的一个零点，而不是(x0,0)，∴①错误；②∵函数f(x)不一定连续，∴②错误；③方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，∴③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，∴④也错误．]13．解第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．∴最多称四次．。
高一数学必修1教师用书：第四章 §1 函数与方程 1.2 利用二分法求方程的近似解(北师大)
x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，
f(1.25)<0，则方程的根落在区间
()
A．(1,1.25)内
B．(1.25,1.5)内
C．(1.5,2)内
D．不能确定
解析：由题意知f(x)在(1,2)内连续且f(1.25)<0，f(1.5)>0，
所以方程的根在(1.25,1.5)内．
至此，可以看出[1.312 5,1.343 75]内的所有值，若精确 到0.1都是1.3，∴方程在区间[1,1.5]的实数解精确到0.1的近 似解是1.3.
[例2] 用二分法求函数y＝x3－3的一个正零点(精确 到0.01)．
[思路点拨]
[精解详析] 由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可取 区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，见表 如下：
问题1：维修线路的工人师傅怎样工作最合理？ 提示：首先从AB的中点C查，随带话机向两端测试， 若发现AC正常，断定故障在BC段，再取BC中点D，再 测CD和BD. 问题2：在有限次重复相同的步骤下，能否最快地查 出故障？ 提示：能．
对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二 ， 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方 法叫做二分法．
3．为求函数f(x)＝lnx＋2x－6在(2,3)内的零点的近似值 (精确到0.1)，已得到数据如下表：
次数 第1次 第2次 第3次 第4次
左端点 2 2.5 2.5 2.5
左端点函数值 －1.306 9
－0.083 709 268 －0.083 709 268 －0.083 709 268
【创新设计】高中数学(北师大版必修一)配套练习：4.1.2利用二分法求方程的近似解(含答案解析)
1.2 利用二分法求方程的近似解课时目标 1.理解二分法求方程近似解的原理.2.能根据具体的函数，借助于学习工具，用二分法求出方程的近似解.3.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．1．二分法的概念每次取区间的中点，将区间__________，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求_________________ _______________________________________________________．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)(1)确定区间[a，b]，使____________．(2)求区间(a，b)的中点，x1＝__________.(3)计算f(x1)．①若f(x1)＝0，则________________；②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．(4)继续实施上述步骤，直到区间[a n，b n]，函数的零点总位于区间[a n，b n]上，当a n和b n按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．一、选择题1．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是()A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关2．下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()3．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2 007)<0，f(2 008)<0，f(2 009)>0，则下列叙述正确的是( )A ．函数f(x)在(2 007,2 008)内不存在零点B ．函数f(x)在(2 008,2 009)内不存在零点C ．函数f(x)在(2 008,2 009)内存在零点，并且仅有一个D ．函数f(x)在(2 007,2 008)内可能存在零点4．设f(x)＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定5．利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：A ．(0.6,1.0)B ．(1.4,1.8)C ．(1.8,2.2)D ．(2.6,3.0)6．已知x 0是函数f(x)＝2x ＋11－x的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( ) A ．f(x 1)<0，f(x 2)<0 B ．f(x 1)<0，f(x 2)>0C ．f(x 1)>0，f(x 2)<0D ．f(x 1)>0，f(x 2)>0二、填空题7．若函数f(x)的图像是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号)①(－∞，1]；②[1,2]；③[2,3]；④[3,4]；⑤[4,5]；⑥[5,6]；⑦[6，＋∞)．8.用“0 2.5，那么下一个有根的区间是________．9．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确度为0.1)．三、解答题log x＋x－4的零点所在的区间．10．确定函数f(x)＝1211．证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确度0.1)能力提升12．下列是关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的说法：①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．那么以上叙述中，正确的个数为()A．0 B．1 C．3 D．413．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？1．2 利用二分法求方程的近似解知识梳理1．一分为二 方程的近似解 2.(1)f(a)·f(b)<0 (2)a ＋b 2(3)①x 1就是函数的零点作业设计1．B [依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]2．A [由选项A 中的图像可知，不存在一个区间(a ，b)，使f(a)·f(b)<0，即A 选项中的零点不是变号零点，不符合二分法的定义．]3．D4．B [∵f(1)·f(1.5)<0，x 1＝1＋1.52＝1.25， 且f(1.25)<0，∴f(1.25)·f(1.5)<0，则方程的根落在区间(1.25,1.5)内．]5．C [设f(x)＝2x －x 2，根据列表有f(0.2)＝1.149－0.04>0，f(0.6)>0，f(1.0)>0，f(1.4)>0，f(1.8)>0，f(2.2)<0，f(2.6)<0，f(3.0)<0，f(3.4)<0.因此方程的一个根在区间(1.8,2.2)内．]6．B [∵f(x)＝2x －1x －1，f(x)由两部分组成，2x 在(1，＋∞)上单调递增，－1x －1在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．∵x 1<x 0，∴f(x 1)<f(x 0)＝0， 又∵x 2>x 0，∴f(x 2)>f(x 0)＝0.]7．③④⑤8．[2,2.5)解析 令f(x)＝x 3－2x －5，则f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(2.5)＝15.625－10＝5.625>0.∵f(2)·f(2.5)<0，∴下一个有根的区间为[2,2.5)．9．0.75或0.687 5解析 因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.1，所以0.75或0.687 5都可作为方程的近似解．10．解 (答案不唯一)设y 1＝12log x ，y 2＝4－x ，则f(x)的零点个数即y 1与y 2的交点个数，作出两函数图像，如图．由图知，y1与y2在区间(0,1)内有一个交点，当x＝4时，y1＝－2，y2＝0，f(4)<0，当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4，f(8)＝1>0，∴在(4,8)内两曲线又有一个交点．故函数f(x)的两零点所在的区间为(0,1)，(4,8)．11．证明设函数f(x)＝2x＋3x－6，∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又∵f(x)是增函数，∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．设该解为x0，则x0∈[1,2]，取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，∴x0∈(1,1.5)，取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1,1.25)，取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.444<0，f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125,1.25)，取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0，f(1.187 5)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.187 5,1.25)．∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，∴1.187 5可作为这个方程的实数解．12．A[∵①中x0∈[a，b]且f(x0)＝0，∴x0是f(x)的一个零点，而不是(x0,0)，∴①错误；②∵函数f(x)不一定连续，∴②错误；③方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，∴③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，∴④也错误．] 13．解第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．∴最多称四次．。
2019—2020年最新人教B版高中数学必修1北师大版必修一4.1.2《利用二分法求方程的近似解》同步试题.doc
第四章§1 1.2利用二分法求方程的近似解一、选择题1．函数f(x)＝－x2＋4x－4在区间[1,3]上( )A．没有零点B．有一个零点C．有两个零点D．有无数个零点[答案] B[解析] ∵f(x)＝－(x－2)2＝0，∴x＝2∈[1,3]，故选B.2．函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的变号零点个数为( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] C[解析] 左起3个为变号零点而第4个是不变号零点，故选C.3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )A．[－2,1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[1,2][答案] A[解析] 二分法求变号零点时所取初始区间[a，b]，使f(a)·f(b)<0，显然：f(－2)＝－3，f(1)＝6.∴f(－2)·f(1)<0.4．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是不间断的，并且f(a)·f(b)<0，则这个函数在该区间上( )A．只有一个零点B．有二个零点C．不一定有零点D．至少有一个零点[答案] D[解析] 若y＝f(x)在[a，b]上单调，f(a)·f(b)<0说明只有一个零点且为变号零点．若不单调，零点个数有可能多于一个．故选D.5．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0，在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( )A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)C．(1.5,2) D．不能确定[答案] A[解析] ∵f(1.5)>0，f(1.25)<0，∴根落在区间(1.25,1.5)间，故选A.6．函数f(x)＝x3－x2－x＋1在[0,2]上( )A．有3个零点B．有2个零点C．有1个零点D．没有零点[答案] C[解析] ∵f(0)＝1>0，f(1)＝0，f(2)＝3>0，∴有一个零点．二、填空题7.若函数y ＝mx 2＋x －2没有零点，则实数m 的取值范围是________．[答案] (－∞，－18)[解析] 当m ＝0时，函数有零点，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0Δ＝1＋8m<0，解得m<－18.8．已知函数f(2x)＝3x 2＋1，则f(x ＋5)有________个零点．[答案] 0[解析] ∵f(2x)＝3x 2＋1，∴f(x)＝3x 24＋1，∴y ＝f(x ＋5)＝3x ＋524＋1，令y ＝0，方程无解． 即f(x ＋5)无零点． 三、解答题9．求证：方程5x2－7x－1＝0的根一个在区间(－1,0)上，另一个在区间(1,2)上．[解析] 设f(x)＝5x2－7x－1，则f(－1)·f(0)＝11×(－1)＝－11<0，f(1)·f(2)＝(－3)×5＝－15<0.而二次函数f(x)＝5x2－7x－1是连续的，∴f(x)在(－1,0)和(1,2)上各有一个零点，即方程5x2－7x－1＝0的根一个在(－1,0)上，另一个在(1,2)上．10．求函数y＝x3－4x的零点，并画出它的图像．[解析] ∵x3－4x＝x(x2－4)＝x(x－2)(x＋2)，∴函数y＝x3－4x的零点为0，－2,2，这三个零点把x 轴分成4个区间：(－∞，－2]，(－2,0]，(0,2]，(2，＋∞)，在这4个区间内，取x的一些值(包括零点)．列出这个函数的对应值表：在直角坐标系中描点作图，图像如图所示：一、选择题1．根据表格中的数据，可以断定方程e x －(x ＋2)＝0(e ≈2.7)的一个根所在的区间是( )A.(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)[答案] C[解析] 判断e x－(x＋2)＝0的一个根所在的区间转化为f(x)＝e x－(x＋2)零点的位置，∵f(1)＝e1－(1＋2)<0，f(2)＝7.39－4>0.∴零点在(1,2)内．2．对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内( )A．一定有零点B．一定没有零点C．可能有两个零点D．至多有一个零点[分析] 利用二次函数在区间(a，b)内的图像确定．[答案] C[解析] 如图，若函数f(x)的图像及给定的区间(a，b)如图(1)或图(2)所示，可知A错，若如图(3)所示，可知B错、D错，C对．二、填空题3．已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下的对应值表：则下列判断正确的是________．(1)函数f(x)在区间(－1,0)内至少有一个零点；(2)函数f(x)在区间(2,3)内至少有一个零点；(3)函数f(x)在区间(5,6)内至少有一个零点；(4)函数f(x)在区间(－1,7)内有三个零点．[答案] (1)(2)(3)[解析] 观察对应值表，不难得到f(－1)·f(0)<0，f(2)·f(3)<0，f(5)·f(6)<0，故函数f(x)在区间(－1,0)，(2,3)，(5,6)内至少各有一个零点．而(－1,7)内至少有三个零点．故应填(1)(2)(3)．4．(2015·北京高考)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ＜1，4x －ax －2a x ≥1.①若a ＝1，则f(x)的最小值为________；②若f(x)恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________． [答案] ①－1 ②12≤a<1或a ≥2[解析]①a＝1时f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1， x<1，4x －1x －2x ≥1.函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，函数值大于1，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32为减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞为增函数，当x ＝32时，f(x)取得最小值为－1；②若函数f(x)＝2x －a 在x<1时与x 轴有一个交点，则a>0，并且当x ＝1时，f(1)＝2－a>0，则0<a<2，函数f(x)＝4(x －a)(x －2a)与x 轴有一个交点，所以2a ≥1且a<1⇒12≤a<1；若函数f(x)＝2x －a 与x 轴无交点，则函数f(x)＝4(x －a)(x －2a)与x 轴两个交点，当a ≤0时f(x)与x 轴无交点，f(x)＝4(x －a)(x －2a)在x ≥1与x 轴无交点，不合题意；当f(1)＝2－a ≥0时，a ≥2，f(x)与x 轴有两个交点，x ＝a 和x ＝2a ，由于a ≥2，两交点横坐标均满足x ≥1；综上所述a 的取值范围12≤a<1或a ≥2. 三、解答题5．图像连续不间断的函数f(x)的部分对应值如表所示：试判断函数f(x)在哪几个区间内一定有零点？[解析] ∵f(2)＝8>0，f(3)＝－2<0，函数f(x)图像又是连续不间断的，∴一定存在x0∈(2,3)，使f(x0)＝0，即f(x)在(2,3)内有零点．同理，f(x)在区间(3,4)，(6,7)，(8,9)上也有零点，而且是变号零点．6．中央电视台曾有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1000元之间．选手开始报价：1000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了，表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价的过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？[解析] 取价格区间[500,1000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750,1000]的中点875；否则取另一个区间[500,750]的中点；若遇到小数，则取整数．照这样的方案，游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可以猜中价格．7．求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确到0.1)．[解析] 由于f(1)＝1－1－1＝－1<0，f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875>0，∴f(x)在区间[1,1.5]内存在零点，取区间[1,1.5]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：∵区间[1.3125,1.34375]两个端点精确到0.1的近似值都是1.3，∴原函数精确到0.1的近似零点为1.3.。
2016秋数学北师大版必修1练习：第四章§1.1.2 利用二分法求方程的近似解 含解析
[A基础达标]1．下列函数图像与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是( )解析:选D。
D中函数的零点都是不变号零点．2．用二分法求函数f（x）＝2x－3的零点时,初始区间可选为( ）A．(－1，0）B．(0,1)C．(1，2）D．（2，3）解析:选C。
f（－1）＝－错误!〈0，f（0）＝－2<0,f(1)＝－1〈0，f（2）＝1〉0,f（3)＝5〉0，则f（1)·f（2）〈0，即初始区间可选（1，2)．3．在用二分法求函数f（x)在区间(a，b)内的唯一零点x0的过程中，取区间（a，b)的中点c＝错误!,若f(c)＝0，则函数f(x)在区间（a，b）内的唯一零点x0( ）A．在区间（a，c）内 B．在区间（c，b）内C．在区间（a，c）或（c,b）内D．等于错误!解析：选D。
因为f（c）＝0，而c＝错误!,所以x0＝错误!.4．函数y＝错误!错误!与函数y＝lg x的图像的交点的横坐标（精度为0。
1)约是( ）A．1。
6 B．1。
7C．1。
8 D．1。
9解析：选D。
设f(x)＝lg x－错误!错误!，经计算f(1)＝－错误!＜0，f （2）＝lg 2－错误!＞0，所以方程lg x－错误!错误!＝0在[1，2］内有解．应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知选项D符合要求．5．在用“二分法"求函数f（x)零点近似值时，第一次所取的区间是［－2，4]，则第三次所取的区间可能是( ）A．［1,4] B．[－2，1］C.错误!D.错误!解析：选D。
因为第一次所取的区间是[－2,4］，所以第二次所取的区间可能为[－2,1］，［1，4］,所以第三次所取的区间可能为错误!,错误!,错误!,错误!。
6．函数f（x）＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出,则a，b的关系是________．解析:因为函数f（x）＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，所以函数f(x）＝x2＋ax＋b的图像与x轴只有一个交点,所以Δ＝a2－4b＝0,所以a2＝4b。
高中数学 第四章 函数应用 4.1.2 利用二分法求方程的近似解学业分层测评 北师大版必修1(20
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4。
1。
2 利用二分法求方程的近似解（建议用时：45分钟）［学业达标]一、选择题1。
用“二分法”可求近似解，对于精度ε说法正确的是（)A．ε越大，零点的精度越高B．ε越大,零点的精度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关【解析】依“二分法”的具体步骤可知,ε越大，零点的精度越低．【答案】B2。
在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是[－2，4］，则第三次所取的区间可能是（)A．[1,4] B．[－2，1]C．［－2，2.5］D．［－0。
5,1］【解析】因第一次所取的区间是[－2,4]，所以第二次的区间可能是［－2，1］,[1，4］;第三次所取的区间可能为［－2,－0。
5］，［－0.5，1］，［1，2。
5]，[2.5,4］,只有选项D在其中，故选D.【答案】D3。
设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2,3)内近似解的过程中得f(2。
25)＜0，f（2。
75)＞0，f(2。
5)＜0,f（3）＞0，则方程的根落在区间（）A．（2,2。
25）B．(2。
25，2。
5）C．(2.5,2。
75) D．（2.75,3)【解析】由二分法的步骤知方程的根落在区间（2。
2021北师大版数学必修1课时跟踪训练：第四章 1.2 利用二分法求方程的近似解
[A组学业达标]1．下列函数图像中，能用二分法求零点的是()解析：依据二分法求零点的原理可知C正确．答案：C2．用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为()A．(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)解析：f(－1)＝－52＜0，f(0)＝－2＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝1＞0，f(3)＝5＞0，则f(1)·f(2)＜0，即初始区间可选(1,2)．答案：C3．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2 007)＜0，f(2 008)＜0，f(2 009)＞0，则下列叙述正确的是()A．函数f(x)在(2 007,2 008)内不存在零点B．函数f(x)在(2 008,2 009)内不存在零点C．函数f(x)在(2 008,2 009)内存在零点，并且仅有一个D．函数f(x)在(2 007,2 008)内可能存在零点解析：f(2 007)＜0，f(2 008)＜0时，并不一定f(x)在(2 007,2 008)内无零点，A错；又∵f(2 009)＞0，∴f(2 008)·f(2 009)＜0，故f(x)在(2 008,2 009)内存在零点，且不一定仅有一个，故B、C错误；选D.答案：D4．根据表中的数据，可以判定方程e x－x－2＝0的一个根所在的区间为()x －1012 3A.(－1,0)D ．(2,3)解析：设f (x )＝e x －(x ＋2)，则由题设知f (1)＝－0.28＜0，f (2)＝3.39＞0， 故有一个根在区间(1,2)内． 答案：C5．设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在区间(1,2)内近似解的过程中得到f (1)＜0，f (1.5)＞0，f (1.25)＜0，则方程的根落在区间( ) A ．(1,1.25) B ．(1.25,1.5) C ．(1.5,2)D ．不能确定解析：由已知f (1)＜0，f (1.5)＞0，f (1.25)＜0， ∴f (1.25)·f (1.5)＜0，因此方程的根落在区间(1.25,1.5)内，故选B. 答案：B6．已知函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2，f (1)·f (2)＜0，用二分法逐次计算时，若x 0是[1,2]的中点，则f (x 0)＝________.解析：由题意知f (x 0)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫1＋22＝f (1.5)，代入解析式计算得0.625. 答案：0.6257．若函数f (x )的图像是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f (x )的零点所在的区间为________．(只填序号)①(－∞，1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4] ⑤[4,5] ⑥[5,6] ⑦[6，＋∞)解析：根据零点存在定理，f (x )在[2,3]，[3,4]，[4,5]内都有零点． 答案：③④⑤8．在用二分法求方程f (x )＝0在[0,1]上的近似解时，经计算f (0.625)＜0，f (0.75)＞0，f(0.687 5)＜0，则可得出方程的一个近似解为________．(精确度0.1)解析：因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5＜0.1，所以[0.687 5，0.75]内的任意一个值都可作为方程的近似解．答案：0.75(答案不唯一)9．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个近似零点，其参考数据如下表：解析：因为f(1.562 5)·f(1.556 25)＜0，所以函数的零点在区间(1.556 25,1.562 5)内，因为|1.562 5－1.556 25|＝0.006 25＜0.01，所以方程3x－x－4＝0的一个近似解可取为1.562 5.10．求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1)．解析：设f(x)＝x2－2x－1，因为f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，所以可以确定区间(2,3)作为计算的初始区间．用二分法逐步计算，列表如下：因此方程x 2＝2x ＋1的一个近似解可取2.437 5.[B 组 能力提升]11．已知f (x )＝1x －ln x 在区间(1,2)内有一个零点x 0，若用二分法求x 0的近似值(精确度0.2)，则最多需要将区间等分的次数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析：f (1)＝1＞0，f (2)＝12－ln 2＜0. 由二分法求函数零点近似值的步骤可知：分第一次，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＞0，所以x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，区间长度⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－32＝0.5＞0.2；分第二次，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫74＞0，所以x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2，区间长度⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－74＝0.25＞0.2. 分第三次，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫158＜0，所以x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫74，158，区间长度⎪⎪⎪⎪⎪⎪74－158＝18＜0.2.故最多分三次可以使x 0的近似值达到精确度0.2. 答案：A12．为了求函数f (x )＝2x ＋3x －7的零点，某同学利用计算器得到自变量x 和函数f (x )的部分对应值(精确到0.000 1)如下表所示：A ．1.5B ．1.4C ．1.3D ．1.2解析：函数f (x )＝2x ＋3x －7的零点在区间(1.375，1.437 5)内，且|1.375－1.437 5|＝0.062 5＜0.1，所以方程2x ＋3x ＝7的近似解(精确度0.1)可取为1.4.答案：B13．用二分法求函数f (x )＝ln x －2＋x 在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c ＝32，则下一个含零点的区间是________．解析：∵f (1)＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 32－12＜0，∴下一个含零点的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，214．如图，一块电路板的线路AB 之间有64个串联的焊接点(不含端点A ，B )，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测________次．解析：第1次取中点把焊点数减半为642＝32，第2次取中点把焊点数减半为322＝16，第3次取中点把焊点数减半为162＝8，第4次取中点把焊点数减半为82＝4，第5次取中点把焊点数减半为42＝2，第6次取中点把焊点数减半为22＝1，所以至多需要检测的次数是6. 答案：615．某市A 地到B 地的电话线路发生故障，这是一条10 km 长的线路，每隔50 m 有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？解析：如图，可首先从中点C 开始查起，用随身携带的工具检查，若发现AC 段正常，则断定故障在BC 段；再到BC 段的中点D 检查，若CD 段正常，则故障在BD 段；再到BD 段的中点E 检查，如此，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半，经过7次查找，即可将故障范围缩小到50～100 m 之间，即可迅速找到故障所在．16．某教育基金会50年前成立时共有基金440万元，基金会将这部分基金用于投资，每年将投资收益的一半用于资助教育事业．已知今年这个基金会投入教育事业68万元，问此基金的平均年收益率为多少(精确度为0.01)? 解析：设平均年收益率为x ，由题意， 得440⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 249·x 2＝68，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 249·x －1755＝0. 令f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 249·x －1755，∵f (0)＝－1755＜0， f (1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1249－1755＞0， ∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 249·x －1755在区间[0,1]上有唯一的零点，利用二分法求得函数零点精确度为0.01的近似值约为x ≈0.06，所以平均年收益率约为6%.。
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第四章 §1 1．2 利用二分法求方程的近似解
课时跟踪检测
一、选择题
1．若函数f (x )唯一的零点在区间(1,3)，(1,4)，(1,5)内，那么下列命题中错误的是( )
A ．函数f (x )在(1,2)或[2,3)内有零点
B ．函数f (x )在(3,5)内无零点
C ．函数f (x )在(2,5)内有零点
D ．函数f (x )在(2,4)内不一定有零点 答案：C
2．已知函数y ＝ƒ(x )，则函数ƒ(x )的图像与直线x ＝a 的交点( ) A ．有1个 B ．有2个 C ．有无数个
D ．至多有一个
解析：∵函数y ＝ƒ(x )在定义域内图像是连续不断的，当a 在定义域内时，有一个交点，当a 不在定义域内时，没有交点，故至多有一个交点．
答案：D
3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋6x －1(a ≠0)有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )
A ．a >－9且a ≠0
B ．a >－9
C ．a <－9
D ．a >0或a <0
答案：A
4．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
与函数y ＝lg x 的图像的交点的横坐标(精确到0.1)约是( )
A ．1.3
B ．1.4
C ．1.5
D ．1.6 解析：设f (x )＝lg x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
，经计算f (1)＝－12<0，f (2)＝lg 2－14>0，所以方程
lg x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
＝0在[1,2]内有解．应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知
D 符合要求．
答案：D
5．用二分法求函数f (x )＝x 3
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －2
的零点时，初始区间大致可选在( )
A ．(0,2)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(2,4)
解析：∵f (0)＝－4<0，f (1)＝－1<0，
f (2)＝7>0，f (3)>0，f (4)>0，则有f (1)·f (2)<0. 答案：B
6．设函数y ＝x 2与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －
2的图像交点为(x 0，y 0)，则x 0所在区间是( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
解析：令f (x )＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x －2，则f (0)＝－4<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝3>0，∴f (x )
的零点在区间(1,2)内，即函数y ＝x 2与y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x －2的图像交点的横坐标x 0∈(1,2)．
答案：B 二、填空题
7．用二分法求方程ln x －2＋x ＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c ＝3
2，则下一个有根的区间是________．
解析：设f (x )＝ln x －2＋x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32＝ln 32－2＋32＝ln 32－12＝ln 32－ln e ＝ln
32e <ln 1＝0.f (2)＝ln 2－2＋2＝ln 2>0.∴下一个有根的区间是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
32，2.
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
32，2
8．若方程x 3－x ＋1＝0在区间(a ，b )上有一根(a ，b 是整数，且b －a ＝1)，则a ＋b ＝__________.
解析：设f (x )＝x 3－x ＋1，则f (－2)＝－5<0. f (－1)＝1>0，得a ＝－2，b ＝－1，∴a ＋b ＝－3. 答案：－3
9．根据表格中的数据，若函数f (x )＝ln x －x ＋2在区间(k ，k ＋1)(k ∈N ＋)内
有一个零点，则k的值为________．
解析：由于函数f(N
＋
)内有一个零点，f(3)＝ln 3－1＝1.1－1＝0.1>0，f(4)＝ln 4－2＝1.39－2＝－0.61<0，∴f(3)f(4)<0，故函数在(3,4)上有一个零点，故k＝3，故答案为3.
答案：3
三、解答题
10．若某一方程有一无理根在区间D＝(2,4)内，若用二分法求此根的近似值，将D等分到第几次，所得近似值可精确到0.1?
解：不妨忽略先后顺序，第一次取区间(2,3)，第二次取区间(2,2.5)，第三次取区间(2,2.25)，第四次取区间(2,2.125)，第五次取区间(2,2.062 5)，|2.062 5－2|<0.1.∴将D等分到第5次，所得近似值可精确到0.1.
11．求证方程3x＝2－x
x＋1
在(0,1)内必有一个实数解．
证明：设ƒ(x)＝3x－2－x
x＋1
＝3x－
3
x＋1
＋1，则ƒ(x)在(0,1)内是增函数．
∵ƒ(0)＝30－
3
0＋1
＋1＝－1<0，ƒ(1)＝31－
3
1＋1
＋1＝
5
2>0，∴ƒ(0)·ƒ(1)<0，∴
函数ƒ(x)在区间(0,1)内有且只有一个零点，即方程3x＝2－x
x＋1
在(0,1)内必有一个实数解．
12．已知函数ƒ(x)＝|x2－2x|－a.
(1)若函数ƒ(x)没有零点，求实数a的取值范围；
(2)若函数ƒ(x)有两个零点，求实数a的取值范围；
(3)若函数ƒ(x)有三个零点，求实数a的取值范围；
(4)若函数ƒ(x)有四个零点，求实数a的取值范围．
解：令ƒ(x)＝0，则|x2－2x|＝a，构造函数g(x)＝|x2－2x|＝|(x－1)2－1|，作出g(x)的图像，如图所示．
令y＝a，由图可知：
(1)若函数ƒ(x)没有零点，则a<0.
(2)若函数ƒ(x)有两个零点，则a＝0或a>1.
(3)若函数ƒ(x)有三个零点，则a＝1.
(4)若函数ƒ(x)有四个零点，则0<a<1.
13．中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间．选手开始报价：1 000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际中，游戏报价过程体现了“逼近”的数
学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
解：取价格区间[500,1 000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750,1 000]的中点875；否则取另一个区间(500,750)的中点；若遇到小数，取整数．照这样的方案，游戏过程猜测价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可以猜中价格．
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