D_2018年人教版七年级上思维特训(十九)含答案：1_2n(n-1)的应用
2018七年级数学思维训练1至12（含答案）
2018七年级数学思维训练1⾄12（含答案）2018年七年级数学思维训练1⼀．选择题1．a --是（）（A ）正数（B ）负数（C ）⾮正数（D ）⾮负数 2.如图，在下⾯的数轴上表⽰数（—2）—（—5）的点是（）（A ）M （B ）N . （C ）P. （D ）Q.3.49914991+-----的值的负倒数是（）（A ）314. （B ）133-（C ）1. （D ）—14.)9187()8176()7165()6154()5143(+++++++++)10198(-+ （）（A ）0. （B ）5.65. （C ）6.05 （D ）5.85 5.22)34(34?--?-等于（）（A ）0 （B ）72 （C ）—180 （D ）108 6.x 的54与31的差是（）（A ）x x 3154- （B ）3154-x （C ）)31(54-x （D ）345+x7.n 是整数，那么被3整除并且商恰为n 的那个数是（）（A ）3n （B ）3+n （C ）n 3 （D ）3n 8.如果2:3:=y x 并且273=+y x ，则y x ,中较⼩的是（A ）3 （B ）6（C ）9（D ）129.20°⾓的余⾓的141等于（）（A ） )731( （B ） )7311( （C ）)767( （D ）5°10.7)71()7(71?-÷-?等于（）（A ）1 （B ）49 （C ）—7 （D ）7⼆、A 组填空题11．绝对值⽐2⼤并且⽐6⼩的整数共有__________________个。
12．在⼀次英语考试中，某⼋位同学的成绩分别是93，99，89，91，87．81，100，95，则他们的平均分数是__________________。
13．||||2014-2015|-2016|-2017|-2018|=__________________。
14．数：-1．1，-1．01，-1．001，-1．0101，-1．00101中最⼤的⼀个数与最⼩的⼀个数的⽐值是__________。
(完整word)七年级数学思维拓展训练校本教材
七年级上数学思维拓展训练第一章兴趣数学七桥问题（一笔画问题）18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。
如图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。
当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。
七桥问题引起了著名数学家欧拉（1707—1783）的关注。
他把具体七桥布局化归为图所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线只画一次不准重复），并且最后返回起点？欧拉经过研究得出的结论是：图是不能一笔画出的图形。
这就是说，七桥问题是无解的。
这个结论是如何产生呢？如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。
如果画笔经过一个n次，那么就有2n条线与该点相连结。
因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。
如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。
综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。
图2中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相连结，图中有4个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。
欧拉定理：如果一个图是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。
一笔画：■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
■⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
2018年秋人教版七年级上思维特训：绝对值与分类讨论(含答案)[1]
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思维特训绝对值与分类讨论方法点津·1．由于去掉绝对值符号时，要分三种情况：即正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，所以涉及绝对值的运算往往要分类讨论．用符号表示这一过程为：错误!＝错误!2．由于在数轴上到原点的距离相等的点（非原点)有两个,一个点表示的数是正数,另一个点表示的数是负数,因此知道某个数的绝对值求该数时，往往需要分两种情况讨论．用符号表示这个过程为:若错误!＝a（a〉0)，则x＝±a。
3．分类讨论的原则是不重不漏，一般步骤为：①分类；②讨论；③归纳．典题精练·类型一以数轴为载体的绝对值的分类讨论1．已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b,且｜a＋4｜＋(b－1）2＝0.现将点A,B之间的距离记作|AB|,定义｜AB｜＝｜a －b|。
(1)|AB｜＝________；(2)设点P在数轴上对应的数是x，当|PA|－|PB|＝2时，求x的值．2．我们知道：点A，B在数轴上分别表示有理数a,b，A,B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离AB＝|a－b｜，所以式子|x－3｜的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．根据上述材料，回答下列问题：（1)｜5－（－2）｜的值为________;（2）若|x－3｜＝1，则x的值为________；(3）若|x－3|＝|x＋1｜，求x的值；(4)若|x－3|＋|x＋1｜＝7，求x的值．类型二与绝对值化简有关的分类讨论问题3．在解决数学问题的过程中,我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程,请仔细阅读，并解答下列问题：【提出问题】三个有理数a，b,c满足abc＞0，求错误!＋错误!＋错误!的值．【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a，b,c都是正数，即a＞0,b＞0，c＞0时，则错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝1＋1＋1 ＝3；②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0，则错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝1－1－1＝－1.所以错误!＋错误!＋错误!的值为3或－1。
2018年秋人教版七年级数学上思维特训及参考答案(7-9)
- 1 -思维特训(七) 含有字母的绝对值的化简 方法点津 ·1．绝对值的性质：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a >0），0（a ＝0），－a （a <0）.2．有理数的加法法则：若a >b >0，则a ＋b >0；若0>b >a ，则a ＋b <0；若a ，b 异号，|a |>|b |，则a ＋b 的符号与a 的符号保持一致．典题精练 ·类型一 以数轴为背景的绝对值的化简1．(1)一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到________的距离；(2)若|a|＝－a ，则a________0；(3)有理数a ，b 在数轴上的位置如图7－S －1所示，请化简：|a|＋|b|＋|a ＋b|.图7－S －12．已知数a ，b ，c 在数轴上的位置如图7－S －2所示，化简：|a ＋b|－|a －b|＋|a ＋c|.图7－S －2- 2 -3．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图7－S －3所示，化简：|a ＋c|－|a －b|＋|b ＋c|－|b|.图7－S －34．有理数a ，b ，c在数轴上的位置如图7－S －4所示，化简：3|a －b|＋|a ＋b|－|c －a|＋2|b －c|.图7－S －45．已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图7－S －5所示，化简：|b －c ＋a|＋|a ＋c|－|b －a ＋c|－|a ＋b ＋c|.图7－S －5类型二以符号为背景的绝对值的化简6．已知x＜0，y＞0，z＜0，且|x|＜|y|，|y|＞|z|，化简：|x＋z|－|y＋z|＋|x＋y|－|x－y＋z|.7．(1)若－2≤a≤2，化简：|a＋2|＋|a－2|＝______；(2)若a≥－2，化简：|a＋2|＋|a－2|；(3)化简：|a＋2|＋|a－2|.- 3 -详解详析1．解：(1)原点(2)因为|a|＝－a，所以a≤0.(3)由a，b在数轴上的位置可知，a＜－1＜0＜b＜1，所以a＜0，b＞0，a＋b＜0，所以|a|＝－a，|b|＝b，|a＋b|＝－a－b，所以原式＝－a＋b－a－b＝－2a.2．解：根据题意，得－2＜c＜－1，0＜a＜1，2＜b＜3，所以a＋b＞0，a－b＜0，a＋c＜0，所以原式＝a＋b－[－(a－b)]＋[－(a＋c)]＝a＋b＋a－b－a－c＝a－c.3．解：由图可知：a＋c＜0，a－b＞0，b＋c＜0，b＜0，所以原式＝－(a＋c)－(a－b)－(b＋c)＋b＝－a－c－a＋b－b－c＋b＝－2a＋b－2c.4．解：由图可知c＞0，a＜b＜0，则a－b＜0，a＋b＜0，c－a＞0，b－c＜0，所以原式＝－3(a－b)－(a＋b)－(c－a)－2(b－c)＝－3a＋3b－a－b－c＋a－2b＋2c＝－3a＋c.5．解：由图可知b－c＋a＜0，a＋c＜0，b－a＋c＞0，a＋b＋c＜0，- 4 -则原式＝－b＋c－a－a－c－b＋a－c＋a＋b＋c＝－b. 6．解：因为x＜0，y＞0，z＜0，|x|＜|y|，|y|＞|z|，所以x＋z＜0，y＋z＞0，x＋y＞0，x－y＋z＜0，所以原式＝－x－z－y－z＋x＋y＋x－y＋z＝x－y－z. 7．解：(1)因为－2≤a≤2，所以a＋2≥0，a－2≤0，所以|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋2－a＝4.故答案为4.(2)①如果－2≤a≤2，那么|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋2－a＝4；②如果a＞2，那么|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋a－2＝2a.(3)①如果a＜－2，那么|a＋2|＋|a－2|＝－a－2＋2－a＝－2a；②如果－2≤a≤2，那么|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋2－a＝4；③如果a＞2，那么|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋a－2＝2a.- 5 -思维特训(八) 整体法求整式的值方法点津·1．整体思想：就是从问题的整体性质出发，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理．2．根据条件进行求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．典题精练·类型一已知一个代数式的值进行整体求值1．若mn＝m＋3，则2mn＋3m－5mn＋10＝________．2．理解与思考：在某次作业中有这样的一道题：“如果式子5a＋3b的值为－4，那么式子2(a＋b)＋4(2a ＋b)的值是多少？”小明是这样来解的：原式＝2a＋2b＋8a＋4b＝10a＋6b.把等式5a＋3b＝－4的两边同乘2，得10a＋6b＝－8.仿照小明的解题方法，完成下面的问题：(1)如果a2＋a＝0，那么a2＋a＋2018＝________；(2)已知14x－21x2＝－14，求9x2－6x－5的值；(3)已知a－b＝－3，求3(a－b)－5a＋5b＋5的值；(4)请你仿照以上各题的解法，解决下列问题(写出必要的解题过程)：若a－b＝4，求如图8－S－1所示两个长方形的面积差，即S1－S2的值．图8－S－1- 6 -- 7 -类型二 已知两个代数式的值进行整体求值3．“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知m ＋n ＝－2，mn ＝－4，则2(mn －3m)－3(2n －mn)的值为________．4．若a ＋c ＝2017，b ＋d ＝－2018，则(a ＋b ＋c －d)＋(a ＋b ＋d －c)＋(a ＋c ＋d －b)－(a －b －c －d)＝________．5．阅读下面例题的解题过程，再解答下面的问题．例题：已知m －n ＝100，x ＋y ＝－1，求(n ＋x)－(m －y)的值．解：(n ＋x)－(m －y)＝n ＋x －m ＋y ＝n －m ＋x ＋y ＝－(m －n)＋(x ＋y)＝－100－1＝－101.问题：(1)已知a ＋b ＝－7，ab ＝10，求(3ab ＋6a ＋4b)－(2a －2ab)的值；(2)已知a 2＋2ab ＝－2，ab －b 2＝－4，求2a 2＋72ab ＋12b 2的值．6．用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数(整体)．根据提示解答下列问题．已知A ＋B ＝3x 2－5x ＋1，A －C ＝－2x ＋3x 2－5，当x ＝2时，求B ＋C 的值．- 8 -- 9 -详解详析1．1[解析] 原式＝－3mn ＋3m ＋10，把mn ＝m ＋3代入，得原式＝－3m －9＋3m ＋10＝1.2．解：(1)a 2＋a ＋2018＝0＋2018＝2018.(2)由14x －21x 2＝－14，得21x 2－14x ＝14，即3x 2－2x ＝2，则原式＝3(3x 2－2x)－5＝6－5＝1.(3)3(a －b)－5a ＋5b ＋5＝3(a －b)－5(a －b)＋5＝－2(a －b)＋5.当a －b ＝－3时，原式＝11.(4)两个长方形的面积差是S 1－S 2＝4(5a －2b)－3(6a －2b)＝20a －8b －(18a －6b)＝2a －2b ＝2(a －b)．当a －b ＝4时，S 1－S 2＝2×4＝8.3．－8[解析] 因为m ＋n ＝－2，mn ＝－4，所以原式＝2mn －6m －6n ＋3mn ＝5mn －6(m ＋n)＝－20＋12＝－8.4．－2 [解析] 因为a ＋c ＝2017，b ＋d ＝－2018，所以原式＝a ＋b ＋c －d ＋a ＋b ＋d －c ＋a ＋c ＋d －b －a ＋b ＋c ＋d ＝2a ＋2b ＋2c ＋2d ＝2(a ＋b ＋c ＋d)＝－2.5．解：(1)(3ab ＋6a ＋4b)－(2a －2ab)＝3ab ＋6a ＋4b －2a ＋2ab＝5ab ＋4a ＋4b＝5ab ＋4(a ＋b)．当a ＋b ＝－7，ab ＝10时，原式＝5×10＋4×(－7)＝22.(2)把a 2＋2ab ＝－2左右两边同乘2，得2a 2＋4ab ＝－4，把ab －b 2＝－4左右两边同乘12，- 10 -得12ab －12b 2＝－2. 所以2a 2＋72ab ＋12b 2＝2a 2＋4ab －(12ab －12b 2)＝－4－(－2)＝－2. 6．解：因为A ＋B ＝3x 2－5x ＋1，A －C ＝－2x ＋3x 2－5， 所以B ＋C＝(A ＋B)－(A －C)＝3x 2－5x ＋1－(－2x ＋3x 2－5)＝3x 2－5x ＋1＋2x －3x 2＋5＝－3x ＋6，把x ＝2代入上式，得B ＋C ＝－6＋6＝0.思维特训(九) 整式加减中的“无关”问题方法点津·一般来说，整式的值与整式所含字母的取值是有关的，当字母取唯一数值时，得到的整式的值也是唯一的，但当整式不含这个字母时，整式的值便与这个字母的取值无关．典题精练·类型一同一字母取不同数值时，整式的值不变此种情况说明整式的值与此字母的取值无关，即整式化简后的结果中这个字母的系数为0.1．一天，数学老师布置了一道数学题：已知x＝2018，求整式(x3－6x2－7x＋8)－(－x2－3x＋2x3－3)＋(x3＋5x2＋4x－1)的值，小明观察后提出：“已知x＝2018是多余的．”你认为小明的说法有道理吗？请说明理由．2．课堂上李老师给出了一道整式求值的题目，李老师把要求的整式(7a3－6a3b＋3a2b)－(－3a3－6a3b＋3a2b＋10a3－3)写在黑板上，让王红同学给出一组a，b的值，老师自己说答案，当王红说完：“a＝65，b＝－2005”后，李老师不假思索，立刻就说出答案为3.同学们莫名其妙，觉得不可思议，但李老师用坚定的口吻说：“这个答案准确无误”．你能说出其中的道理吗？- 11 -3．已知x2＋ax－2y＋7－(bx2－2x＋9y－1)的值与x的取值无关，求a＋b的值．4．已知2x2＋ax－y＋6－bx2＋3x－5y－1的值与字母x的取值无关，且A＝4a2－ab＋4b2，B＝3a2－ab＋3b2，求3A－[2(3A－2B)－3(4A－3B)]的值．类型二同一字母取值互为相反数时，整式的值不变此种情况说明整式化简后的结果要么不含有这个字母，要么只含这个字母的偶次方项或绝对值项．5．小强与小亮在同时计算这样一道题：当a＝－3时，求整式7a2－[5a－(4a－1)＋4a2]－(2a2－a＋1)的值．小亮正确求得结果为7，而小强在计算时，错把a＝－3看成了a＝3，但他计算的结果也正确，你能说明为什么吗？- 12 -- 13 -6．有这样一道计算题：求3x 2y ＋[2x 2y －(5x 2y 2－2y 2)]－5(x 2y ＋y 2－x 2y 2)的值，其中x ＝12，y ＝－1.小明同学把“x ＝12”错看成“x ＝－12”，但计算结果仍正确；小华同学把“y ＝－1”错看成“y ＝1”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明．详解详析1．解：小明的说法有道理．理由如下：原式＝x3－6x2－7x＋8＋x2＋3x－2x3＋3＋x3＋5x2＋4x－1＝(1－2＋1)x3＋(－6＋1＋5)x2＋(－7＋3＋4)x＋(8＋3－1)＝10.由此可知整式的值与x的取值无关，所以小明的说法有道理．2．解：原式＝7a3－6a3b＋3a2b＋3a3＋6a3b－3a2b－10a3＋3＝3.整式的结果与a，b的取值无关，恒为3.3．解：原式＝(1－b)x2＋(a＋2)x－11y＋8，因为整式的值与x的取值无关，所以1－b＝0，a＋2＝0，解得a＝－2，b＝1，则a＋b＝－2＋1＝－1.4．解：2x2＋ax－y＋6－bx2＋3x－5y－1＝(2－b)x2＋(a＋3)x－6y＋5，由结果与x的取值无关，得到2－b＝0，a＋3＝0，解得a＝－3，b＝2，则原式＝3A－6A＋4B＋12A－9B＝9A－5B＝9(4a2－ab＋4b2)－5(3a2－ab＋3b2)＝36a2－9ab＋36b2－15a2＋5ab－15b2＝21a2－4ab＋21b2＝189＋24＋84＝297.5．解：原式＝7a2－5a＋4a－1－4a2－2a2＋a－1＝a2－2，当a＝3和a＝－3时，整式的结果都为9－2＝7，故小亮正确求得结果为7，而小强在计算时，错把a＝－3看成了a＝3，但计算的结果也正确．- 14 -6．解：原式＝3x2y＋2x2y－5x2y2＋2y2－5x2y－5y2＋5x2y2＝－3y2，整式化简后的结果不含x，所以整式的值与x的取值无关．当y＝±1时，y2＝1，原式＝－3.- 15 -。
2018年秋人教版七年级数学上思维特训(十二)含答案：古代问题
思维特训(十二) 古代问题方法点津 ·1．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中的一种．该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就．2．《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著．它是一部应用数学书，是以珠算为主要的计算工具，列有595个应用题的数字计算，都不用筹算方法，而是用珠算演算．3．《算学启蒙》分上、中、下三卷，元大德己亥(1299年)朱世杰撰，共20门，凡259问．4．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．约成书于四、五世纪，也就是大约一千五百年前，作者生平和编写年份不详．典题精练 ·类型一 《九章算术》1．《九章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：“假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？”设有x 个人共同买鸡，根据题意列一元一次方程正确的是( )A ．9x ＋11＝6x －16B ．9x －11＝6x ＋16C .x －119＝x ＋166D .x ＋119＝x －166类型二 《算法统宗》2．在明朝程大位《算法统宗》中，有这样的一首诗：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首诗描述的这个宝塔，其古称浮屠，本题说它一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，则该塔塔顶灯的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．73．唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说．《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士，如何知原有．注：古代一斗是10升．大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．(1)列方程求壶中原有多少升酒．(2)设壶中原有a0升酒，在第n个店饮酒后壶中余a n升酒，如第一次饮酒后所余酒为a1＝(2a0－5)升，第二次饮酒后所余酒为a2＝2a1－5＝[22a0－(22－1)×5]升，…①用含a n－1的式子表示a n＝__________，再用含a0和n的式子表示a n＝________；②按照这个约定，如果在第4个店喝光了壶中酒，请借助①中的结论求壶中原有多少升酒．类型三《算学启蒙》4．我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》(1299年)一书中，有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”译文是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？类型四《孙子算经》5．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．其内容为：“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”类型五其他古代问题6．甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半群，得你一只来方凑，玄机奥妙谁参透？(注：小半为四分之一的意思)诗的意思是：甲赶着一群羊在前面走，乙牵着一只羊跟在后面．乙问甲说：“你这群羊有一百只吗？”甲回答：“我如果再得这么一群羊，再得这么一群羊的一半，又得这群羊的四分之一，把你牵的羊也给我，我恰好有一百只．”请问这群羊有多少只？7．我问开店李三公，多少客人在店中，一房七客多七客，一房九客一房空．请你仔细算一算，多少房间多少客？诗的意思是：我问开店的李三公：“有多少客人来住店？”李三公回答说：“一个房间内若住7个客人，则余下7人没处住；一个房间内若住满9人，则又空出一个房间．”求共有多少客房，多少客人？8．有一次，古希腊数学家毕达哥拉斯正在课堂上讲课，突然有旁人问：“先生，您能告诉我有多少人在听课吗？”毕达哥拉斯没有直接说出人数，而是十分风趣地答道：“在下面听课的学生当中，有一半是搞数学研究的，14是从事音乐工作的，17是具体职业不清楚的，另外还有3名女性．”从毕达哥拉斯的回答中，你能算出一共有多少学生正在听课吗？9．牛顿是举世闻名的伟大数学家、物理学家，他创立了微积分(另一个创立者是莱布尼茨)、经典力学，在代数学、光学、天文学等方面也作出了重要贡献，牛顿用数学的语言、方法描述和研究自然规律，他呕心沥血，写成的光辉著作《自然哲学的数学原理》，照亮了人类科学文明的大道，牛顿在他的《普遍的算术》一书中写道：“要解答一个含有数量间的抽象关系的问题，只要把题目由日常语言转化为代数语言就行了．”(1)下表是由牛顿给出的1个例子改写、简化而成的，请填写下表(不必化简)：(2)你能求出商人原来有多少钱吗？详解详析1．B[解析] 利用鸡的价钱相等建立一元一次方程，如果每人出九钱，那么多了十一钱，所以鸡的价钱可以表示为9x －11；如果每人出六钱，那么少了十六钱，所以鸡的价钱还可以表示为6x ＋16，所以有9x －11＝6x ＋16.2．C[解析] 设塔顶有x 盏灯．依题意，得x ＋2x ＋4x ＋8x ＋16x ＋32x ＋64x ＝381，解得x ＝3.3．解：(1)设壶中原有x 升酒．根据题意，得2[2(2x －5)－5]＝5，解得x ＝358. 答：壶中原有358升酒． (2)①a 1＝2a 0－5，a 2＝2a 1－5＝22a 0－(22－1)×5，a 3＝2a 2－5＝23a 0－(23－1)×5，…，所以a n ＝2a n －1－5＝2n a 0－(2n －1)×5.②由题意，得a 4＝24a 0－(24－1)×5＝16a 0－75＝0，解得a 0＝7516. 答：如果在第4个店喝光了壶中酒，那么壶中原有7516升酒． 4．解：设快马x 天可以追上慢马．由题意，得240x －150x ＝150×12，解得x ＝20.答：快马20天可以追上慢马．5．解：设共有客人x 名．根据题意，得12x ＋13x ＋14x ＝65，解得x ＝60. 答：共有客人60名．6．解：设这群羊有x 只．根据题意，得x ＋x ＋12x ＋14x ＋1＝100，解得x ＝36.答：这群羊有36只．7．解：设有x 间客房．由题意，得7x ＋7＝9(x －1)，解得x ＝8.则客人为7×8＋7＝63(人)．即有8间客房、63名客人．8．解：设有x 名学生正在听课．由题意，得12x ＋14x ＋17x ＋3＝x ， 解得x ＝28.答：一共有28名学生正在听课．9．解：(1)表中从上到下依次填：(x －100)＋13(x －100)－100，(x －100)＋13(x －100)－100＋13[(x －100)＋13(x －100)－100]，(x －100)＋13(x －100)－100＋13[(x －100)＋13(x －100)－100]＝x. (2)由(1)得(x －100)＋13(x －100)－100＋13[(x －100)＋13(x －100)－100]＝x ， 解得x ＝400.答：商人原来有400镑钱．。
七年级新思维数学试卷答案
1. 下列各数中，不是有理数的是（）A. -2.5B. √2C. 0.1010010001…D. -1/3答案：B解析：有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数、分数和小数。
选项B的√2是无理数，不能表示为两个整数之比。
2. 若a、b是实数，且a+b=0，则下列各式中，正确的是（）A. a=0B. b=0C. a=-bD. ab=0答案：C解析：由题意知，a+b=0，则a=-b。
3. 下列各式中，正确的是（）A. 3^2 = 9B. (-2)^3 = -8C. 2^0 = 1D. (-3)^2 = 9答案：B解析：A选项中的3^2=9是正确的，B选项中的(-2)^3=-8也是正确的，C选项中的2^0=1是正确的，D选项中的(-3)^2=9也是正确的。
但题目要求选择正确的式子，故选B。
4. 若a、b、c是三角形的三边长，则下列各式中，正确的是（）A. a+b>cB. a-b>cC. a+b>cD. a-b>c答案：C解析：根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，故选C。
5. 下列各式中，正确的是（）A. √9=±3B. √16=4C. √25=5D. √36=6答案：C解析：A选项中的√9=±3是错误的，因为√9=3；B选项中的√16=4是正确的；C 选项中的√25=5是正确的；D选项中的√36=6是正确的。
故选C。
1. 若x^2=9，则x=_________。
答案：±3解析：由平方根的定义可知，若x^2=9，则x=±3。
2. 若a=2，b=-3，则a^2+b^2=_________。
答案：13解析：将a、b的值代入公式，得a^2+b^2=2^2+(-3)^2=4+9=13。
3. 若x=5，则(x+2)^2=_________。
答案：49解析：将x的值代入公式，得(x+2)^2=5+2)^2=49。
4. 若x=3，则|x-2|=_________。
思维特训(十九) 12n(n-1)的应用
思维特训(十九) 12n (n －1)的应用方法点津 ·1．数学模型下列问题中，n 表示整数，且n ≥2.(1)同一平面内有任意三个点不在同一条直线上的n 个点――→过其中任意两点画直线所画直线的条数为12n (n －1)； (2)一条直线上有n 个点――→以其中任意两个点为端点的线段所得线段的条数为12n (n －1)； (3)平面内有n 条直线――→保证两两相交最多交点的个数为12n (n －1)； (4)有公共顶点的n 条射线――→任意两条均不重合形成角的个数为12n (n －1)． 2．知识迁移(1)n 个球队――→单循环比赛（即每两个队都要打一场比赛）比赛场数为12n (n －1)； (2)n 个人――→每两人握一次手共握手的次数为12n (n －1)． 典题精练 ·1．我们知道过两点有且只有一条直线．阅读下面的文字，分析其内在含义，然后回答问题：如图19－S －1，同一平面内，任意三点不在同一直线上的四个点A ，B ，C ，D ，过每两个点画一条直线，一共可以画出多少条直线呢？我们可以这样来分析：过A 点可以画出三条通过其他三点的直线，过B 点也可以画出三条通过其他三点的直线．同样，过C 点、D 点也分别可以画出三条通过其他三点的直线．这样，一共得到3×4＝12(条)直线，但其中每条直线都重复过一次，如直线AB 和直线BA 是一条直线，因此，图中一共有3×42＝6(条)直线．请你仿照上面的分析方法，回答下列问题：图19－S－1(1)若平面内有五个点A，B，C，D，E，其中任何三点都不在一条直线上，过每两点画一条直线，一共可以画出________条直线；若平面上有符合上述条件的六个点，一共可以画出________条直线；若平面上有符合上述条件的n个点，一共可以画出________条直线(用含n的式子表示)．(2)若某校初中24个班之间进行篮球比赛，第一阶段采用单循环比赛(每两个班之间比赛一场)，类比上面的分析计算第一阶段比赛的总场次是多少．2．操作：如图19－S－2①，有五条射线与一条直线分别交于A1，A2，A3，A4，A5五点．(1)请用字母表示以O为端点的所有射线；(2)直线AB上的线段共有多少条？(3)以O为顶点的角有多少个？拓展：如图①，如果n条射线与一条直线分别相交于A1，A2，A3，A4，…，A n点，那么直线AB上的线段共有多少条？以O为顶点的角有多少个？图19－S－23．已知：如图19－S－3.图19－S－3(1)如图19－S－3①，两条直线相交，最多有________个交点；如图①，三条直线相交，最多有________个交点；如图①，四条直线相交，最多有________个交点；如图①，五条直线相交，最多有________个交点．(2)归纳、猜想：30条直线相交，最多有多少个交点？(3)小明有12种不同颜色的颜料，在颜料的调色中，若只能将它们中的任意两种颜料按2①1的比例混合调配，那么小明画一幅图，总共有几种不同颜色的颜料可供使用？4．如图19－S－4，点A1，A2，A3，A4，A5，…，A n在直线l上．图19－S－4(1)探索：①图(a )中直线l 上有2个点，则图中有________条线段；①图(b )中直线l 上有3个点，则图中有________条线段；①图(c )中直线l 上有n 个点，则图中有________条线段．(2)应用上面发现的规律解决下列问题：①某学校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行单循环赛，预计全部赛完共需________场比赛；①某会议有20人参加，每两人握手一次，共握手________次．5．阅读理解：我们知道：一条线段有两个端点，线段AB 和线段BA 表示同一条线段．若在直线l 上取了三个不同的点，则以它们为端点的线段共有________条，若取了四个不同的点，则共有线段________条……依此类推，若取了n 个不同的点，则共有线段________条(用含n 的式子表示)．类比探究：以一个锐角的顶点为端点向这个角的内部引射线．图19－S －5(1)如图19－S －5，若引出两条射线，则所得图形中共有________个锐角；(2)若引出n 条射线，则所得图形中共有________个锐角(用含n 的式子表示)．拓展应用：一条铁路上共有8个火车站点，若一列火车往返过程中必须停靠每个车站，则铁路局需为这条线路准备多少种车票？详解详析1．解：(1)5个点，共画5×（5－1）2＝10(条)直线， 6个点，共画6×（6－1）2＝15(条)直线， n 个点，共画12n(n －1)条直线．(2)一共24个队，每个队进行23场比赛，但每两个队的比赛重复数一次，所以应除以2，即第一阶段比赛的总场次是24×23÷2＝276(场)．2．解：操作：(1)射线OA 1，OA 2，OA 3，OA 4，OA 5. (2)10条． (3)10个．拓展：直线AB 上的线段共有12n(n －1)条；以O 为顶点的角有12n(n －1)个． 3．解：(1)两条直线相交，最多有1个交点．三条直线相交，最多有3个交点．四条直线相交，最多有6个交点．五条直线相交，最多有10个交点．(2)30条直线相交，最多有30×292＝435(个)交点． (3)总共有12×(12－1)＝132(种)不同的颜料可供使用．4．解：探索：(1)①有1条线段． ①有3条线段．①有n （n －1）2条线段． (2)①全部赛完共需6×52＝15(场)比赛． ①共握手20×192＝190(次)． 5．解：阅读理解：3 6n （n －1）2类比探究：(1)引出两条射线，共有4条射线，锐角的个数为6.(2)引出n 条射线，共有(n ＋2)条射线，锐角的个数为（n ＋1）（n ＋2）2. 拓展应用：将8个火车站点看作一条直线上的8个点，则共有线段的条数为8×（8－1）2＝28，故需要车票的种数为28×2＝56.。
2018年秋人教版七年级数学上思维训练1“填幻方”问题含答案
2018年秋人教版七年级数学上思维训练1“填幻方”问题含答案方法点津·一、杨辉法中国南宋时期杰出的数学家杨辉在《续古摘奇算法》中介绍了一种排三阶幻方的编写方法，如图1－S－1.九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出．图1－S－1也就是将1～9九个自然数依次斜排为三行三列(如图①)，再把上下两个数(1和9)对换，左右两个数(7和3)对换(如图②)，最后将四角上的数向四个角挺出，就得到三级幻方(如图③)．注意：“九子斜排”的时候，要么都按照从下向上的顺序依次填写，要么都按照从上向下的顺序依次填写，如果打乱顺序，结果可能就错了．二、口诀法一填首行正中央，依次斜上莫要忘，上出下填右出左，若是重了填下方．具体解释如下：如图1－S－2，“一填首行正中央”，指的是1～9这九个数按照从小到大的顺序，第一个数要填在第一行的正中间一个方格中；“依次斜上莫要忘”，指的是后面一个数字填在前一个数的右上方；“上出下填右出左”，指的是如果向上超出幻方，就填在这一列的最下方，如果向右超出幻方，就填在这一行的最左边一个方格中；“若是重了填下方”，若是发现要填的方格已经有数字了，那么就填在前一个数字的正下方．对于数字“7”它正好位于行和列的交叉位置，我们当作重复对待，填在前一个数字“6”的正下方．这种方法适合三阶、五阶、七阶等所有奇数阶幻方．图1－S－2典题精练·1．我国古代的“河图”是由3×3的方格构成的，每个方格内均有数目(个数为1～9)不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．如图1－S－3给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图是( )图1－S－3图1－S－42．在3×3的方格上做填字游戏，要求每行、每列及每条对角线上的三个方格中的数字和都等于S，填在图中三格中的数字如图1－S－5所示，若要填成，则S＝________.图1－S－53．教材在七年级数学(上册)的第21页介绍了填幻方，这部分内容就是传说中的“龟背图”，也就是“九宫图”．如图1－S－6，根据所给的“九宫图”请你找找规律，利用发现的规律将3，5，－7，1，7，－3，9，－5，－1这九个数字分别填入图中的九个方格中，使得横、竖、斜对角的三个数字和相等．图1－S－64．将5，7，9，11，13，15，17，19，21填入如图1－S－7所示的小方格中，使之成为一个3×3的幻方，即各行、各列以及各对角线上3个数的和都相等．图1－S－75．试将－2，－1，0，1，2，3，4，5，6填入如图1－S－8所示的3×3的方格中，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和相等．图1－S－86．将－15，－12，－9，－6，－3，0，3，6，9填入如图1－S－9所示的3×3方格中，使大方格的横、竖、斜对角的3个数字之和都相等.图1－S－97．图1－S－10是一个3×3的幻方，每行的三个数、每列的三个数、每斜对角上的三个数相加的和均相等．如何把9个连续整数迅速填入一个3×3方格中，使每行、每列、每斜对角上的三个数相加的和均相等，是我们祖先早就在研究的问题．古代的“洛书”、汉朝徐岳的“九宫算”就揭示出祖先们得到的神奇填写方法．图①是把－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4填入一个3×3方格中，使每行、每列、每斜对角上的三个数相加的和均相等的一种方法．(1)请观察图①中数字的填写规律，将下列各数组中的9个数分别填入图②③④所示的3×3方格中，使得每行的三个数、每列的三个数、每斜对角上的三个数相加的和均相等．第一组：6，5，4，3，2，1，0，－1，－2；第二组：9，8，7，6，5，4，3，2，1；第三组：－8，－6，－4，－2，0，2，4，6，8.图1－S－10(2)拓展探究：在图1－S－11所示的9个空格中，填入5个2和4个－2，使得每行、每列、每斜对角上的三个数的乘积都是8.图1－S－11(3)拓展探究：将25，24，23，22，21，20，19，18，17，16，15，14，13，12，11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1这25个数分别填入图1－S－12所示的25个空格中，使得每行、每列、每斜对角上的五个数相加的和均相等.图1－S－12详解详析1．C2．30[解析] 如图，因为每行、每列及每条对角线上的三个方格中的数字和都等于S，所以x ＋10＋y＝8＋y＋13，所以x＝11.所以b＋11＋a＝8＋10＋a，所以b＝7，所以S＝b＋10＋13＝30.3.解：填法不唯一，如图：4．解：填法不唯一，如图：5．解：填法不唯一，根据杨辉法填图如下：故答案如下：6.解：填法不唯一，填图如下：7.解：(1)如图所示(填法不唯一)：(2)填法不唯一，填写如图所示：(3)填写如图所示(填法不唯一)：。
人教版七年级数学上思维特训(十九)含答案：2分之一n(n-1)的应用
思维特训(十九) 12n (n －1)的应用 方法点津 ·1．数学模型下列问题中，n 表示整数，且n ≥2.(1)同一平面内有任意三个点不在同一条直线上的n 个点――→过其中任意两点画直线所画直线的条数为12n (n －1)； (2)一条直线上有n 个点――→以其中任意两个点为端点的线段所得线段的条数为12n (n －1)； (3)平面内有n 条直线――→保证两两相交最多交点的个数为12n (n －1)； (4)有公共顶点的n 条射线――→任意两条均不重合形成角的个数为12n (n －1)． 2．知识迁移(1)n 个球队――→单循环比赛（即每两个队都要打一场比赛）比赛场数为12n (n －1)； (2)n 个人――→每两人握一次手共握手的次数为12n (n －1)． 典题精练 ·1．我们知道过两点有且只有一条直线．阅读下面的文字，分析其内在含义，然后回答问题：如图19－S －1，同一平面内，任意三点不在同一直线上的四个点A ，B ，C ，D ，过每两个点画一条直线，一共可以画出多少条直线呢？我们可以这样来分析：过A 点可以画出三条通过其他三点的直线，过B 点也可以画出三条通过其他三点的直线．同样，过C 点、D 点也分别可以画出三条通过其他三点的直线．这样，一共得到3×4＝12(条)直线，但其中每条直线都重复过一次，如直线AB 和直线BA 是一条直线，因此，图中一共有3×42＝6(条)直线．请你仿照上面的分析方法，回答下列问题：图19－S－1(1)若平面内有五个点A，B，C，D，E，其中任何三点都不在一条直线上，过每两点画一条直线，一共可以画出________条直线；若平面上有符合上述条件的六个点，一共可以画出________条直线；若平面上有符合上述条件的n个点，一共可以画出________条直线(用含n的式子表示)．(2)若某校初中24个班之间进行篮球比赛，第一阶段采用单循环比赛(每两个班之间比赛一场)，类比上面的分析计算第一阶段比赛的总场次是多少．2．操作：如图19－S－2①，有五条射线与一条直线分别交于A1，A2，A3，A4，A5五点．(1)请用字母表示以O为端点的所有射线；(2)直线AB上的线段共有多少条？(3)以O为顶点的角有多少个？拓展：如图②，如果n条射线与一条直线分别相交于A1，A2，A3，A4，…，A n点，那么直线AB上的线段共有多少条？以O为顶点的角有多少个？图19－S－23．已知：如图19－S－3.图19－S－3(1)如图19－S－3①，两条直线相交，最多有________个交点；如图②，三条直线相交，最多有________个交点；如图③，四条直线相交，最多有________个交点；如图④，五条直线相交，最多有________个交点．(2)归纳、猜想：30条直线相交，最多有多少个交点？(3)小明有12种不同颜色的颜料，在颜料的调色中，若只能将它们中的任意两种颜料按2∶1的比例混合调配，那么小明画一幅图，总共有几种不同颜色的颜料可供使用？4．如图19－S－4，点A1，A2，A3，A4，A5，…，A n在直线l上．图19－S－4(1)探索：①图(a)中直线l上有2个点，则图中有________条线段；②图(b)中直线l上有3个点，则图中有________条线段；…③图(c)中直线l上有n个点，则图中有________条线段．(2)应用上面发现的规律解决下列问题：①某学校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行单循环赛，预计全部赛完共需________场比赛；②某会议有20人参加，每两人握手一次，共握手________次．5．阅读理解：我们知道：一条线段有两个端点，线段AB 和线段BA 表示同一条线段．若在直线l 上取了三个不同的点，则以它们为端点的线段共有________条，若取了四个不同的点，则共有线段________条……依此类推，若取了n 个不同的点，则共有线段________条(用含n 的式子表示)．类比探究：以一个锐角的顶点为端点向这个角的内部引射线．图19－S －5(1)如图19－S －5，若引出两条射线，则所得图形中共有________个锐角；(2)若引出n 条射线，则所得图形中共有________个锐角(用含n 的式子表示)．拓展应用：一条铁路上共有8个火车站点，若一列火车往返过程中必须停靠每个车站，则铁路局需为这条线路准备多少种车票？详解详析1．解：(1)5个点，共画5×（5－1）2＝10(条)直线， 6个点，共画6×（6－1）2＝15(条)直线， n 个点，共画12n(n －1)条直线． (2)一共24个队，每个队进行23场比赛，但每两个队的比赛重复数一次，所以应除以2， 即第一阶段比赛的总场次是24×23÷2＝276(场)．2．解：操作：(1)射线OA 1，OA 2，OA 3，OA 4，OA 5. (2)10条． (3)10个．拓展：直线AB 上的线段共有12n(n －1)条；以O 为顶点的角有12n(n －1)个． 3．解：(1)两条直线相交，最多有1个交点．三条直线相交，最多有3个交点．四条直线相交，最多有6个交点．五条直线相交，最多有10个交点．(2)30条直线相交，最多有30×292＝435(个)交点． (3)总共有12×(12－1)＝132(种)不同的颜料可供使用．4．解：探索：(1)①有1条线段． ②有3条线段．③有n （n －1）2条线段． (2)①全部赛完共需6×52＝15(场)比赛． ②共握手20×192＝190(次)． 5．解：阅读理解：3 6n （n －1）2类比探究：(1)引出两条射线，共有4条射线，锐角的个数为6.(2)引出n 条射线，共有(n ＋2)条射线，锐角的个数为（n ＋1）（n ＋2）2. 拓展应用：将8个火车站点看作一条直线上的8个点，则共有线段的条数为8×（8－1）2＝28，故需要车票的种数为28×2＝56.。
七年级数学(上)思维特训(1)：“填幻方”问题(含答案)
思维特训（一）“填幻方”问题方法点津一、杨辉法中国南宋时期杰出的数学家杨辉在《续古摘奇算法》中介绍了一种排三阶幻方的编写方法，如图1 —S— 1.九子斜排，上下对易,左右相更，四维挺出.也就是将1〜9九个自然数依次斜排为三行三列（如图①），再把上下两个数（1和9）对换,左右两个数（7和3）对换（如图②），最后将四角上的数向四个角挺出，就得到三级幻方（如图③）•注意：“九子斜排”的时候，要么都按照从下向上的顺序依次填写，要么都按照从上向下的顺序依次填写，如果打乱顺序，结果可能就错了.、口诀法一填首行正中央，依次斜上莫要忘, 上出下填右出左，若是重了填下方.具体解释如下:如图1 —S—2, “一填首行正中央”，指的是1〜9这九个数按照从小到大的顺序，第一个数要填在第一行的正中间一个方格中；“依次斜上莫要忘”，指的是后面一个数字填在前一个数的右上方；“上出下填右出左”，指的是如果向上超出幻方，就填在这一列的最下方，如果向右超出幻方，就填在这一行的最左边一个方格中；“若是重了填下方”，若是发现要填的方格已经有数字了，那么就填在前一个数字的正下方•对于数字“ 7它正好位于行和列的交叉位置，我们当作重复对待，填在前一个数字“ 6的正下方•这种方法适合三阶、五阶、七阶等所有奇数阶幻方.nn图 1 —S- 2典题精练1 •我国古代的“河图”是由 3X 3的方格构成的，每个方格内均有数目 （个数为1〜9） 不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等•如图 1 —S —3给出了 “河图”的部分点图，请你推算出 P 处所对应的点图是（ ）图 1 — S- 42.在3X 3的方格上做填字游戏， 要求每行、每列及每条对角线上的三个方格中的数字和都等于S,填在图中三格中的数字如图1 — S- 5所示，若要填成，则 S = _________ .10813图 1 — S- 53•教材在七年级数学（上册）的第21页介绍了填幻方，这部分内容就是传说中的“龟背图”，也就是“九宫图” •如图1 — S — 6,根据所给的“九宫图”请你找找规律，利用发现的 规律将3, 5,— 7, 1 ,乙一3, 9, — 5, — 1这九个数字分别填入图中的九个方格中，使得 横、竖、斜对角的三个数字和相等.图 1 — S- 6■ ■- • • ■ ■ ■ ■ • « «» • •■ • • • •图 1 — S- 3•D4•将5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21填入如图1 —S—7所示的小方格中，使之成为一个3X3的幻方，即各行、各列以及各对角线上3个数的和都相等.图 1 —S- 75. 试将一2,—1, 0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6填入如图1 —S- 8所示的3X 3的方格中，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和相等.6. 将一15,—12,—9, —6, —3, 0, 3, 6, 9 填入如图1 —S- 9 所示的3X 3 方格中, 使大方格的横、竖、斜对角的3个数字之和都相等.7. 图1—S—10是一个3 X 3的幻方，每行的三个数、每列的三个数、每斜对角上的三个数相加的和均相等.如何把9个连续整数迅速填入一个3X3方格中，使每行、每列、每斜对角上的三个数相加的和均相等，是我们祖先早就在研究的问题.古代的“洛书”、汉朝徐岳的“九宫算”就揭示出祖先们得到的神奇填写方法.图①是把一4,—3,—2,—1, 0, 1, 2, 3, 4填入一个3X 3方格中，使每行、每列、每斜对角上的三个数相加的和均相等的一种方法.(1) 请观察图①中数字的填写规律，将下列各数组中的9个数分别填入图②③④所示的3 X3方格中，使得每行的三个数、每列的三个数、每斜对角上的三个数相加的和均相等.第一组：6, 5, 4, 3, 2, 1, 0,— 1 , —2;第二组：9, 8,乙6, 5, 4, 3, 2, 1 ;第三组：—8, - 6, - 4,—2, 0, 2, 4, 6, 8.①③④图1-S- 10⑵拓展探究：在图1 - S- 11所示的9个空格中，填入5个2和4个—2，使得每行、每列、每斜对角上的三个数的乘积都是8.图1-S- 11(3)拓展探究：将25, 24, 23, 22, 21, 20, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11,10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1这25个数分别填入图1-S- 12所示的25个空格中，使得每行、每列、每斜对角上的五个数相加的和均相等详解详析1. C2. 30［解析］如图，因为每行、每列及每条对角线上的三个方格中的数字和都等于S,所以x + 10 + y = 8 + y + 13,所以x = 11所以 b +11 + a = 8+ 10+ a,所以 b = 7,所以S= b + 10+ 13 =30.3•解：填法不唯一，如图:4. 解：填法不唯一，如图:5. 解：填法不唯一，根据杨辉法填图如下:故答案如下:6•解：填法不唯一，填图如下:7•解：（1）如图所示（填法不唯一）:"~0~| 00S E.5.□□A SSS30團②图③图④（2）填法不唯一，填写如图所示：H E RS JS S（3）填写如图所示（填法不唯一）:。
人教版七年级数学上思维特训(十九)含答案：2分之一n(n-1)的应用
思维特训(十九) 12n (n －1)的应用 方法点津 ·1．数学模型下列问题中，n 表示整数，且n ≥2.(1)同一平面内有任意三个点不在同一条直线上的n 个点――→过其中任意两点画直线所画直线的条数为12n (n －1)； (2)一条直线上有n 个点――→以其中任意两个点为端点的线段所得线段的条数为12n (n －1)； (3)平面内有n 条直线――→保证两两相交最多交点的个数为12n (n －1)； (4)有公共顶点的n 条射线――→任意两条均不重合形成角的个数为12n (n －1)． 2．知识迁移(1)n 个球队――→单循环比赛（即每两个队都要打一场比赛）比赛场数为12n (n －1)； (2)n 个人――→每两人握一次手共握手的次数为12n (n －1)． 典题精练 ·1．我们知道过两点有且只有一条直线．阅读下面的文字，分析其内在含义，然后回答问题：如图19－S －1，同一平面内，任意三点不在同一直线上的四个点A ，B ，C ，D ，过每两个点画一条直线，一共可以画出多少条直线呢？我们可以这样来分析：过A 点可以画出三条通过其他三点的直线，过B 点也可以画出三条通过其他三点的直线．同样，过C 点、D 点也分别可以画出三条通过其他三点的直线．这样，一共得到3×4＝12(条)直线，但其中每条直线都重复过一次，如直线AB 和直线BA 是一条直线，因此，图中一共有3×42＝6(条)直线．请你仿照上面的分析方法，回答下列问题：图19－S－1(1)若平面内有五个点A，B，C，D，E，其中任何三点都不在一条直线上，过每两点画一条直线，一共可以画出________条直线；若平面上有符合上述条件的六个点，一共可以画出________条直线；若平面上有符合上述条件的n个点，一共可以画出________条直线(用含n的式子表示)．(2)若某校初中24个班之间进行篮球比赛，第一阶段采用单循环比赛(每两个班之间比赛一场)，类比上面的分析计算第一阶段比赛的总场次是多少．2．操作：如图19－S－2①，有五条射线与一条直线分别交于A1，A2，A3，A4，A5五点．(1)请用字母表示以O为端点的所有射线；(2)直线AB上的线段共有多少条？(3)以O为顶点的角有多少个？拓展：如图②，如果n条射线与一条直线分别相交于A1，A2，A3，A4，…，A n点，那么直线AB上的线段共有多少条？以O为顶点的角有多少个？图19－S－23．已知：如图19－S－3.图19－S－3(1)如图19－S－3①，两条直线相交，最多有________个交点；如图②，三条直线相交，最多有________个交点；如图③，四条直线相交，最多有________个交点；如图④，五条直线相交，最多有________个交点．(2)归纳、猜想：30条直线相交，最多有多少个交点？(3)小明有12种不同颜色的颜料，在颜料的调色中，若只能将它们中的任意两种颜料按2∶1的比例混合调配，那么小明画一幅图，总共有几种不同颜色的颜料可供使用？4．如图19－S－4，点A1，A2，A3，A4，A5，…，A n在直线l上．图19－S－4(1)探索：①图(a)中直线l上有2个点，则图中有________条线段；②图(b)中直线l上有3个点，则图中有________条线段；…③图(c)中直线l上有n个点，则图中有________条线段．(2)应用上面发现的规律解决下列问题：①某学校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行单循环赛，预计全部赛完共需________场比赛；②某会议有20人参加，每两人握手一次，共握手________次．5．阅读理解：我们知道：一条线段有两个端点，线段AB 和线段BA 表示同一条线段．若在直线l 上取了三个不同的点，则以它们为端点的线段共有________条，若取了四个不同的点，则共有线段________条……依此类推，若取了n 个不同的点，则共有线段________条(用含n 的式子表示)．类比探究：以一个锐角的顶点为端点向这个角的内部引射线．图19－S －5(1)如图19－S －5，若引出两条射线，则所得图形中共有________个锐角；(2)若引出n 条射线，则所得图形中共有________个锐角(用含n 的式子表示)．拓展应用：一条铁路上共有8个火车站点，若一列火车往返过程中必须停靠每个车站，则铁路局需为这条线路准备多少种车票？详解详析1．解：(1)5个点，共画5×（5－1）2＝10(条)直线， 6个点，共画6×（6－1）2＝15(条)直线， n 个点，共画12n(n －1)条直线． (2)一共24个队，每个队进行23场比赛，但每两个队的比赛重复数一次，所以应除以2， 即第一阶段比赛的总场次是24×23÷2＝276(场)．2．解：操作：(1)射线OA 1，OA 2，OA 3，OA 4，OA 5. (2)10条． (3)10个．拓展：直线AB 上的线段共有12n(n －1)条；以O 为顶点的角有12n(n －1)个． 3．解：(1)两条直线相交，最多有1个交点．三条直线相交，最多有3个交点．四条直线相交，最多有6个交点．五条直线相交，最多有10个交点．(2)30条直线相交，最多有30×292＝435(个)交点． (3)总共有12×(12－1)＝132(种)不同的颜料可供使用．4．解：探索：(1)①有1条线段． ②有3条线段．③有n （n －1）2条线段． (2)①全部赛完共需6×52＝15(场)比赛． ②共握手20×192＝190(次)． 5．解：阅读理解：3 6n （n －1）2类比探究：(1)引出两条射线，共有4条射线，锐角的个数为6.(2)引出n 条射线，共有(n ＋2)条射线，锐角的个数为（n ＋1）（n ＋2）2. 拓展应用：将8个火车站点看作一条直线上的8个点，则共有线段的条数为8×（8－1）2＝28，故需要车票的种数为28×2＝56.。
【初中数学】人教版七年级上册思维特训（五） “非负数的和为0”问题(练习题)
人教版七年级上册思维特训（五）“非负数的和为0”问题(270)1.如图是一个数值转换器的示意图，当输入的x与y满足(x+1)2与（y−12）2互为相反数时，请列式求出输出的结果．2.已知|1−a2|+(−b+3)2+|c+5|=0，求3a−b+2c的值．3.已知|ab−2|与(b−1)2互为相反数，试求式子1ab +1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+…+1(a+2017)(b+2017)的值．4.老师提倡同学们自己出题并解答，下面是佳佳同学自己写出的两道题及解答过程：题目1：已知(a−3)2+|b−1|=0，求a，b的值．解：∵(a−3)2+|b−1|=0，∴a−3=0，b−1=0，∴a=3，b=1.题目2：已知(a−3)2+|b−1|=1，求a，b的值．解：∵(a−3)2+|b−1|=1，∴(a−3)2=0，|b−1|=1或(a−3)2=1，|b−1|=0.∴a=3，b=0或a=3，b=2或a=4，b=1或a=2，b=1.老师说：“题目1的解答过程跳步了，题目2在编写时应该再添加已知条件．”请阅读以上材料，解答下列问题：(1)补全题目1的解答过程；(2)依据题目2的解答过程，题目2中应添加的已知条件是．5.若|a+2|+|b−1|=0，求b−a的值．6.若|a−2|与|b+3|互为相反数，求a+b的值．7.已知(b+3)2+(a−2)2=0，求b a的值．参考答案1.【答案】:解：由题意，得(x +1)2+(y −12)2=0，解得x =−1，y =12．当输入x =−1，y =12时，有(−1)2+(2×12+1)−2=3−2=1【解析】:解：由题意，得(x +1)2+(y −12)2=0，解得x =−1，y =12．当输入x =−1，y =12时，有(−1)2+(2×12+1)−2=3−2=12.【答案】:解：由|1−a 2|+(−b +3)2+|c +5|=0，可得a =2，b =3，c =−5， 所以3a −b +2c =3×2−3+2×(−5)=−7【解析】:解：由|1−a 2|+(−b +3)2+|c +5|=0，可得a =2，b =3，c =−5，所以3a −b +2c =3×2−3+2×(−5)=−77.【答案】:解：∵(b +3)2+(a −2)2=0，∴b +3=0，a −2=0，∴b =−3，a =2，∴b a =9【解析】:解：∵(b +3)2+(a −2)2=0，∴b +3=0，a −2=0，∴b =−3，a =2，∴b a =93.【答案】:解：∵|ab −2|与(b −1)2互为相反数，∴(b −1)2=0，|ab −2|=0，∴b −1=0,ab −2=0,解得b =1，a =2.∴\({\dfrac{1}{ab}}+{\dfrac{1}{(a+1)(b+1)}}+{\dfrac{1}{(a+2)(b+2)}}+…+ {\dfrac{1}{(a+2017)(b+2017)}}\)=12×1+13×2+14×3+…+12019×2018=1−12+12−13+13−14+…+12018−12019=1−12019=2018 2019【解析】:解：∵|ab−2|与(b−1)2互为相反数，∴(b−1)2=0，|ab−2|=0，∴b−1=0,ab−2=0,解得b=1，a=2.∴\({\dfrac{1}{ab}}+{\dfrac{1}{(a+1)(b+1)}}+{\dfrac{1}{(a+2)(b+2)}} +…+ {\dfrac{1}{(a+2017)(b+2017)}}\)=12×1+13×2+14×3+…+12019×2018=1−12+12−13+13−14+…+12018−12019=1−12019=2018 20194(1)【答案】∵(a−3)2+|b−1|=0，∴(a−3)2=0，|b−1|=0，∴a−3=0，b−1=0.∴a=3，b=1(2)【答案】a，b为整数5.【答案】:解：∵|a+2|+|b−1|=0，∴a+2=0，b−1=0，∴a=−2，b=1，∴b−a=1−(−2)=3【解析】:解：∵|a+2|+|b−1|=0，∴a+2=0，b−1=0，∴a=−2，b=1，∴b−a=1−(−2)=36.【答案】:解：由题意，得|a−2|+|b+3|=0，∴a−2=0，b+3=0，∴a=2，b=−3，∴a+b=2−3=−1【解析】:解：由题意，得|a−2|+|b+3|=0，∴a−2=0，b+3=0，∴a=2，b=−3，∴a+b=2−3=−1。
人教版七年级上册数学专题 训练：找规律之图形变化类(一)(含答案)
七年级上册数学专题培优训练：找规律之图形变化类（一）1．如图是由一些火柴棒搭成的图案：（1）摆第1个图案用根火柴棒，摆第2个图案用根火柴棒，摆第3个图案用根火柴棒．（2）按照这种方式摆下去，摆第n个图案用多少根火柴棒（n为正整数）？（3）摆2021根火柴棒时是第几个图案？2．观察图示，解答问题．（1）由上而下第8行，白球有个，黑球有个；（2）若第n（n为正整数）行白球与黑球的总数记作y，求y与n的关系式；（3）求出第2020行白球和黑球的总数．3．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成6个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推．（1）图1的阴影部分的面积是；（2）受此启发，得到++++的值是；（3）若按这个方式继续分割下去，受前面问题的启发，可求得+++…+的值为；（4）请你利用图2，再设计一个能求+++…+的值的几何图形．4．【规律探索】如图所示的是由相同的小正方形组成的图形，每个图形的小正方形个数为S，n是正整数．观察下列图形与等式之间的关系n【规律归纳】（1）S 9﹣S 8＝ ；S n ﹣S n ﹣1＝ ； （2）S 9+S 8＝ ；S n +S n ﹣1＝ ； 【规律应用】 （3）计算的结果为 ．5．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法． 例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，…，按此规律，求图8、图n 有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1＝6个；图2中黑点个数是6×2＝12个；图3中黑点个数是6×3＝18个；…，所以容易求出图8、图n 中黑点的个数分别是 、 ．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题： （1）第6个点阵中有 个圆圈；第n 个点阵中有 个圆圈． （2）小圆圈的个数会等于331吗？请求出是第几个点阵．6．如图是一列用若干根火柴棒摆成的由正方形组成的图案．（1）完成下表的填空：正方形的个数 1 2 3 4 5 6火柴棒的根数 4 7 10 13（2）第n个图形有根火柴棒．（3）小亮用若干根火柴棒按如图所示的方式摆图案，摆完了第1个后，摆第2个，接着摆第3个，第4个，……，当他摆完第n个图案时剩下了20根火柴棒，要刚好摆完第（n+1）个图案还差8根．问最后摆的第（n+1）个图案是第几个图案？7．下列小金鱼图案是用长度相同的小木棒按一定规律拼搭而成，第一条小金鱼图案需8根小木棒，第二条小金鱼图案需14根小木棒，…，按此规律，（1）第n条小金鱼图案需要小木棒根；（2）如果有30000根小木棒，按照如图所示拼搭第1条，第2条……，直到第100条金鱼，请通过计算说明这些木棒是否够用．8．探究题．观察图形，解答下列问题．（1）图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，那么第八层有几个小圆圈？第n层呢？（2）某一层上有65个圆圈，这是第几层？（3）图中从第一层到第n层一共有多少个圆圈？（4）计算：1+3+5+…+99的和；（5）计算：101+103+105+…+199的和．9．如图是用棋子摆成的“上”字．（1）依照此规律，第4个图形需要黑子、白子各多少枚？（2）按照这样的规律摆下去，摆成第n个“上”字需要黑子、白子各多少枚？（3）请探究第几个“上”字图形白子总数比黑子总数多15枚．10．如图1，给定一个正方形，要通过画线将其分割成若干个互不重叠的正方形．第1次画线分割成4个互不重叠的正方形，得到图2；第2次画线分割成7个互不重叠的正方形，得到图3……以后每次只在上次得到图形的左上角的正方形中画线．尝试：第3次画线后，分割成个互不重叠的正方形；第4次画线后，分割成个互不重叠的正方形．发现：第n次画线后，分割成个互不重叠的正方形；并求第2020次画线后得到互不重叠的正方形的个数．探究：若干次画线后，能否得到1001个互不重叠的正方形？若能，求出是第几次画线后得到的；若不能，请说明理由．参考答案1．解：（1）观察图形的变化可知：摆第1个图案用5+1＝6根火柴棒，摆第2个图案用5×2+1＝11根火柴棒，摆第3个图案用5×3+1＝16根火柴棒；故答案为：6，11，16；（2）结合（1）可知：摆第n个图案用（5n+1）根火柴棒；（3）因为5n+1＝2021，解得n＝404，所以摆2021根火柴棒时是第404个图案．2．解：（1）第一行1个白球，1个黑球，第二行2个白球，3个黑球，第三行3个白球，5个黑球，…所以可得第n行白球有n个，黑球有2n﹣1个．第8行，白球有8个，黑球有15个；故答案为：8，15；（2）第n（n为正整数）行白球数为n个，黑球数为：（2n﹣1）个，所以总数y与n的关系式为：y＝n+2n﹣1＝3n﹣1；（3）第2020行白球和黑球的总数为：3×2020﹣1＝6059．3．解：（1）∵观察图形发现部分①的面积为：；部分②的面积为＝；…∴图1的阴影部分的面积是；故答案为：；（2）++++＝1﹣＝；故答案为：；（3）+++…+＝1﹣；故答案为：1﹣； （4）如图为+++…+的值的几何图形，4．解：（1）根据图形与等式之间的关系可知：S 2﹣S 1＝2； S 3﹣S 2＝3； S 4﹣S 3＝4；… 发现规律：S n ﹣S n ﹣1＝n ；∴S 9﹣S 8＝9； 故答案为9、n ； （2）S 2+S 1＝22；S 3+S 2＝32； S 4+S 3＝42；… 发现规律：S n +S n ﹣1＝n 2；∴S 9+S 8＝92＝81； 故答案为81、n 2；（3）结合（1）（2）可知：＝＝．故答案为．5．解：图1中黑点个数是6×1＝6个； 图2中黑点个数是6×2＝12个； 图3中黑点个数是6×3＝18个； …，所以图8、图n 中黑点的个数分别是48，6n ； 故答案为：48，6n ；（1）观察点阵可知： 第1个点阵中有1个圆圈；第2个点阵中有7个圆圈；7＝2×3×1+1； 第3个点阵中有19个圆圈；19＝3×3×2+1； 第4个点阵中有37个圆圈；37＝4×3×3+1； 第6个点阵中有圆圈个数为：6×3×5+1＝91（个）； 发现规律：第n 个点阵中有圆圈个数为：n ×3（n ﹣1）+1＝3n 2﹣3n +1． 故答案为：91；n ×3（n ﹣1）+1＝3n 2﹣3n +1． （2）会；第11个点阵． 3n 2﹣3n +1＝331 整理得，n 2﹣n ﹣110＝0解得n 1＝11，n 2＝﹣10（负值舍去），答：小圆圈的个数会等于331，是第11个点阵．6．解：（1）观察图形的变化可知：第1个图形有3×1+1＝4根火柴棒．第2个图形有3×2+1＝7根火柴棒．第3个图形有3×3+1＝10根火柴棒．…第5个图形有3×5+1＝16根火柴棒．第6个图形有3×6+1＝19根火柴棒．故答案为：16，19；（2）由（1）可知：第n个图形有（3n+1）根火柴棒．故答案为：（3n+1）；（3）因为摆完第n个图案时剩下了20根火柴棒，要刚好摆完第（n+1）个图案还差8根．所以3（n+1）+1＝20+8，解得n＝8，所以最后摆的第（n+1）个图案是第9个图案．7．解：（1）第一条小金鱼图案需8根小木棒，即8＝6×1+2；第二条小金鱼图案需14根小木棒，即14＝6×2+2；第三条小金鱼图案需20根小木棒，即20＝6×3+2…，发现规律，第n条小金鱼图案需要小木棒（6n+2）根；故答案为：（6n+2）；（2）拼搭第1条，第2条……，直到第100条金鱼，所需小木棒：8+14+20+…+602＝＝30500＞30000．答：这些木棒不够用．8．解：（1）第八层有15个小圆圈，第n层有（2n﹣1）个小圆圈；（2）令2n﹣1＝65，得，n＝33．所以，这是第33层；（3）1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2；（4）1+3+5+…+99＝502＝2500；（5）101+103+105+...+199＝（1+3+5+...+199）﹣（1+3+5+ (99)＝1002﹣502＝7500．9．解：（1）依照此规律，第4个图形需要黑子5枚，白子14枚；（2）按照这样的规律摆下去，摆成第n个“上”字需要黑子（n+1）枚，白子（3n+2）枚；（3）设第m个“上”字图形白子总数比黑子总数多15枚，则3m+2＝m+1+15，解得m＝7．所以第7个“上”字图形白子总数比黑子总数多15枚．10．解：尝试：3×3+1＝10，3×4+1＝13；故答案为：11，13；发现：通过尝试可知：第n次画线后，分割成的正方形为：3n+1；当n＝2020时，3n+1＝6061，即第2020次画线后得到互不重叠的正方形的个数是6061；故答案为：（3n+1）；探究：不能．设每次画线后得到互不重叠的正方形的个数为m，则m＝3n+1．若m＝1001，则1001＝3n+1．解得．这个数不是整数，所以不能．。
人教版七年级上思维特训(一)含答案：“填幻方”问题
思维特训(一)“填幻方”问题方法点津·一、杨辉法中国南宋时期杰出的数学家杨辉在《续古摘奇算法》中介绍了一种排三阶幻方的编写方法，如图1－S－1.九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出．图1－S－1也就是将1～9九个自然数依次斜排为三行三列(如图①)，再把上下两个数(1和9)对换，左右两个数(7和3)对换(如图②)，最后将四角上的数向四个角挺出，就得到三级幻方(如图③)．注意：“九子斜排”的时候，要么都按照从下向上的顺序依次填写，要么都按照从上向下的顺序依次填写，如果打乱顺序，结果可能就错了．二、口诀法一填首行正中央，依次斜上莫要忘，上出下填右出左，若是重了填下方．具体解释如下：如图1－S－2，“一填首行正中央”，指的是1～9这九个数按照从小到大的顺序，第一个数要填在第一行的正中间一个方格中；“依次斜上莫要忘”，指的是后面一个数字填在前一个数的右上方；“上出下填右出左”，指的是如果向上超出幻方，就填在这一列的最下方，如果向右超出幻方，就填在这一行的最左边一个方格中；“若是重了填下方”，若是发现要填的方格已经有数字了，那么就填在前一个数字的正下方．对于数字“7”它正好位于行和列的交叉位置，我们当作重复对待，填在前一个数字“6”的正下方．这种方法适合三阶、五阶、七阶等所有奇数阶幻方．图1－S－2典题精练·1．我国古代的“河图”是由3×3的方格构成的，每个方格内均有数目(个数为1～9)不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．如图1－S－3给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图是()图1－S－3图1－S－42．在3×3的方格上做填字游戏，要求每行、每列及每条对角线上的三个方格中的数字和都等于S，填在图中三格中的数字如图1－S－5所示，若要填成，则S＝________.图1－S－53．教材在七年级数学(上册)的第21页介绍了填幻方，这部分内容就是传说中的“龟背图”，也就是“九宫图”．如图1－S－6，根据所给的“九宫图”请你找找规律，利用发现的规律将3，5，－7，1，7，－3，9，－5，－1这九个数字分别填入图中的九个方格中，使得横、竖、斜对角的三个数字和相等．图1－S－64．将5，7，9，11，13，15，17，19，21填入如图1－S－7所示的小方格中，使之成为一个3×3的幻方，即各行、各列以及各对角线上3个数的和都相等．图1－S－75．试将－2，－1，0，1，2，3，4，5，6填入如图1－S－8所示的3×3的方格中，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和相等．图1－S－86．将－15，－12，－9，－6，－3，0，3，6，9填入如图1－S－9所示的3×3方格中，使大方格的横、竖、斜对角的3个数字之和都相等.图1－S－97．图1－S－10是一个3×3的幻方，每行的三个数、每列的三个数、每斜对角上的三个数相加的和均相等．如何把9个连续整数迅速填入一个3×3方格中，使每行、每列、每斜对角上的三个数相加的和均相等，是我们祖先早就在研究的问题．古代的“洛书”、汉朝徐岳的“九宫算”就揭示出祖先们得到的神奇填写方法．图①是把－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4填入一个3×3方格中，使每行、每列、每斜对角上的三个数相加的和均相等的一种方法．(1)请观察图①中数字的填写规律，将下列各数组中的9个数分别填入图②③④所示的3×3方格中，使得每行的三个数、每列的三个数、每斜对角上的三个数相加的和均相等．第一组：6，5，4，3，2，1，0，－1，－2；第二组：9，8，7，6，5，4，3，2，1；第三组：－8，－6，－4，－2，0，2，4，6，8.图1－S－10(2)拓展探究：在图1－S－11所示的9个空格中，填入5个2和4个－2，使得每行、每列、每斜对角上的三个数的乘积都是8.图1－S－11(3)拓展探究：将25，24，23，22，21，20，19，18，17，16，15，14，13，12，11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1这25个数分别填入图1－S－12所示的25个空格中，使得每行、每列、每斜对角上的五个数相加的和均相等.图1－S－12详解详析1．C2．30[解析] 如图，因为每行、每列及每条对角线上的三个方格中的数字和都等于S，所以x ＋10＋y＝8＋y＋13，所以x＝11.所以b＋11＋a＝8＋10＋a，所以b＝7，所以S＝b＋10＋13＝30.3.解：填法不唯一，如图：4．解：填法不唯一，如图：5．解：填法不唯一，根据杨辉法填图如下：故答案如下：6.解：填法不唯一，填图如下：7.解：(1)如图所示(填法不唯一)：(2)填法不唯一，填写如图所示：(3)填写如图所示(填法不唯一)：。
人教版七年级上册数学能力提升、创新应用及解答：1.1正数和负数
第一章有理数1.1正数和负数能力提升1.团团和圆圆共同写了下列四组数:①-3,2.3,;②,0,2;③,0.3,7;④,2.其中,3个数都不是负数的是()A.①②B.②④C.③④D.②③④2.如果+20%表示增加20%,那么-6%表示()A.增加14%B.增加6%C.减少6%D.减少26%3.下列判断正确的是()①+a一定不为0;②-a一定不为0;③a>0;④a<0A.①②B.③④C.①②③④D.都不正确4.观察下列一组数:-1,2,-3,4,-5,6,…,则第100个数是()A.100B.-100C.101D.-101★5.小嘉全班在操场上围坐成一圈.若以班长为第1人,依顺时针方向算人数,小嘉是第17人;若以班长为第1人,依逆时针方向算人数,小嘉是第21人,则小嘉班的人数共有()A.36B.37C.38D.396.已知一个乒乓球的标准质量为2.70 g,把质量为2.72 g的乒乓球记为+0.02 g,则质量为2.69 g的乒乓球应记为.7.墨西哥素有“仙人掌王国”之称.每食100 g仙人掌可以产生 2-千焦的热量,2-千焦的含义是产生的热量在千焦至千焦之间.8.前进5 m记为+5 m,再前进-5 m,则总共走了 m,这时距离出发地 m.9.张老师以班级平均分为基准成绩,超过基准成绩记为正,不足记为负.他把甲、乙、丙、丁四位同学的成绩简记为+8,-6,+12,-3(单位:分).又知道甲同学的成绩为85分,问其他三名同学的成绩是多少?10.某条河某星期周一至周日的水位变化量(单位:m)分别为+0.1,+0.4,-0.25,-0.1,+0.05,+0.25,-0.1,其中正数表示当天水位比前一天上升了,且上周日的水位是50 m.(1)水位哪天最高,哪天最低,分别为多少?(2)与上周日相比,本周日的水位是上升了还是下降了?上升(下降)了多少?创新应用★11.观察下面一列数,探究其规律:-1,,-,-,….请问:(1)第7个数、第8个数、第9个数分别是什么?(2)第100个数是多少?它是正数还是负数?(3)分数是不是这列数中的数?如果是,是第几个数?(4)如果把这一列数无限地排列下去,将与哪个数越来越接近?参考答案能力提升1.D2.C3.D a可正、可负、可为0.4.A5.A6.-0.01 g7.25308.100前进-5m相当于后退5m,所以总共走了10m,又回到出发地,即距离出发地0m.9.分析:本题可根据甲的成绩为85分,计算班级的平均分,再结合乙、丙、丁的记分,分别求出他们的成绩.解:因为甲的成绩为85分,且甲的记分为+8,所以班级平均分是85-8=77(分).所以乙的成绩是77-6=71(分);丙的成绩是77+12=89(分);丁的成绩是77-3=74(分).10.解:(1)周二水位最高,周一水位最低,分别为50.5m和50.1m.(2)0.1+0.4-0.25-0.1+0.05+0.25-0.1=0.35(m),因此,与上周日相比,本周日的水位上升了,上升了0.35m.创新应用11.解:(1)第7个数是-,第8个数是,第9个数是-.(2)第100个数是是正数.(3)分数是这列数中的数,且是第2016个数;不是这列数中的数,当分母为奇数时,这个数应是负数.(4)如果把这列数无限地排列下去,将与0越来越接近.。
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思维特训(十九) n (n －1)的应用
12方法点津 ·
1．数学模型
下列问题中，n 表示整数，且n ≥2.
(1)同一平面内有任意三个点不在同一条直线上的n
个点所画直线的条数为――→过其中任意两点画直线 n (n －1)；
12(2)一条直线上有n 个点所得线段的条数为n (n －1)；
――→以其中任意两个 点为端点的线段12(3)平面内有n 条直线最多交点的个数为n (n －1)；
――→保证两两相交
12(4)有公共顶点的n
条射线形成角的个数为
n (n －1)．――→任意两条均不重合 122．知识迁移(1)n 个球队比赛场数为n (n －1)；
――→单循环比赛 （即每两个队都要打一场比赛）12(2)n 个人共握手的次数为n (n －1)．
――→每两人握一次手
12典题精练 ·
1．我们知道过两点有且只有一条直线．
阅读下面的文字，分析其内在含义，然后回答问题：
如图19－S －1，同一平面内，任意三点不在同一直线上的四个点A ，B ，C ，D ，过每两个点画一条直线，一共可以画出多少条直线呢？我们可以这样来分析：
过A 点可以画出三条通过其他三点的直线，过B 点也可以画出三条通过其他三点的直线．同样，过C 点、D 点也分别可以画出三条通过其他三点的直线．这样，一共得到3×4＝12(条)直线，
但其中每条直线都重复过一次，如直线AB 和直线BA 是一条直线，因此，图中一共有＝6(条)直线．请你仿照上面的分析方法，回答下列问题：
3×42
图19－S －1
(1)若平面内有五个点A ，B ，C ，D ，E ，其中任何三点都不在一条直线上，过每两点画一条直线，一共可以画出________条直线；
若平面上有符合上述条件的六个点，一共可以画出________条直线；
若平面上有符合上述条件的n 个点，一共可以画出________条直线(用含n 的式子表示)．
(2)若某校初中24个班之间进行篮球比赛，第一阶段采用单循环比赛(每两个班之间比赛一场)，类比上面的分析计算第一阶段比赛的总场次是多少．
2．操作：如图19－S －2①，有五条射线与一条直线分别交于A 1，A 2，A 3，A 4，A 5五点．
(1)请用字母表示以O 为端点的所有射线；
(2)直线AB 上的线段共有多少条？
(3)以O 为顶点的角有多少个？
拓展：如图②，如果n 条射线与一条直线分别相交于A 1，A 2，A 3，A 4，…，A n 点，那么直线AB 上的线段共有多少条？以O 为顶点的角有多少个？
图19－S－2
3．已知：如图19－S－3.
图19－S－3
(1)如图19－S－3①，两条直线相交，最多有________个交点；
如图②，三条直线相交，最多有________个交点；
如图③，四条直线相交，最多有________个交点；
如图④，五条直线相交，最多有________个交点．
(2)归纳、猜想：30条直线相交，最多有多少个交点？
(3)小明有12种不同颜色的颜料，在颜料的调色中，若只能将它们中的任意两种颜料按2∶1的比例混合调配，那么小明画一幅图，总共有几种不同颜色的颜料可供使用？
4．如图19－S－4，点A1，A2，A3，A4，A5，…，A n在直线l上．
图19－S－4
(1)探索：
①图(a)中直线l上有2个点，则图中有________条线段；
②图(b)中直线l上有3个点，则图中有________条线段；
…
③图(c)中直线l上有n个点，则图中有________条线段．
(2)应用上面发现的规律解决下列问题：
①某学校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行单循环赛，预计全部赛完共需________场比赛；
②某会议有20人参加，每两人握手一次，共握手________次．
5．阅读理解：
我们知道：一条线段有两个端点，线段AB和线段BA表示同一条线段．
若在直线l上取了三个不同的点，则以它们为端点的线段共有________条，若取了四个不同的点，则共有线段________条……依此类推，若取了n个不同的点，则共有线段________条(用含n 的式子表示)．
类比探究：
以一个锐角的顶点为端点向这个角的内部引射线．
图19－S－5
(1)如图19－S－5，若引出两条射线，则所得图形中共有________个锐角；
(2)若引出n条射线，则所得图形中共有________个锐角(用含n的式子表示)．
拓展应用：
一条铁路上共有8个火车站点，若一列火车往返过程中必须停靠每个车站，则铁路局需为这条线路准备多少种车票？
详解详析
1．解：(1)5个点，共画
＝10(条)直线，
5×（5－1）26个点，共画
＝15(条)直线，6×（6－1）2n 个点，共画n(n －1)条直线．
12(2)一共24个队，每个队进行23场比赛，但每两个队的比赛重复数一次，所以应除以2，即第一阶段比赛的总场次是24×23÷2＝276(场)．
2．解：操作：(1)射线OA 1，OA 2，OA 3，OA 4，OA 5. (2)10条． (3)10个．
拓展：直线AB 上的线段共有n(n －1)条；以O 为顶点的角有n(n －1)个．
12123．解：(1)两条直线相交，最多有1个交点．三条直线相交，最多有3个交点．四条直线相交，最多有6个交点．五条直线相交，最多有10个交点．
(2)30条直线相交，最多有＝435(个)交点．
30×292(3)总共有12×(12－1)＝132(种)不同的颜料可供使用．
4．解：探索：
(1)①有1条线段． ②有3条线段．
③有条线段．
n （n －1）2(2)①全部赛完共需
＝15(场)比赛．
6×52②共握手＝190(次)．20×1925．解：阅读理解：3 6
n （n －1）2
类比探究：(1)引出两条射线，共有4条射线，锐角的个数为6.
(2)引出n 条射线，共有(n ＋2)条射线，锐角的个数为.
（n ＋1）（n ＋2）2拓展应用：将8个火车站点看作一条直线上的8个点，则共有线段的条数为＝28，
8×（8－1）2故需要车票的种数为28×2＝56.。