数学北师大必修四课件：第一章 三角函数 1.3
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北师大版高中数学必修4第一章1.1《周期现象》课件(共18张PPT)
试判断下列现象是否属于周期现象。如果 是，请指出最小正周期：
（1）地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化
（2）钟表的分针的运动
（3）连续抛一枚硬币，出现正面向上
周期函数的现实意义 宏观经济调控: 行业分周期性行业和非周期性行业 天文地理： 比如哈雷彗星回归76周年 生物： 高级物种的周期性(人有生，老，病，死 ，人类物种呢） 还有等等各种有趣科学
课后作业
习题1.1 第1、2、3题
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
结论：
对于函数 y=f(x)，如果存在), 称这种函数为“周期函数”，T为周期.
其中，正周期中的最小数T，称为最小正周期 例如：潮汐现象的函数H(t)中，12h、24h、36h 都是一个周期，但是最小的是12h，所以这函数 H(t)的最小正周期是12h.
地球围绕着太阳转，地球到太阳的距离y是 时间t的函数吗？这个函数y＝f (t) 是不是周期 函数？若是，指出最小正周期。
下图是钟摆示意图，摆心A到铅垂线MN的距 离y是时间t的函数，即y=g(t)
我们选定自行车车轮边缘上一点A，的中心记 为O，OA与竖直方向的夹角记为α(0o≤α<360o) .当 自行车沿直线做匀速运动时，变量α是时间 t 的 函数吗？
北师大版
必修四
第一章 三角函数
§1 周期现象
江西省乐平中学 数学教研组
2018_2019学年高中数学第一章三角函数1.7.1正切函数的定义1.7.2正切函数的图像与性质课件北师大版必修4ppt
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定义域
___x|_x_∈__R__，__x_≠__π2_＋__k_π_，__k_∈__Z___
值域 周期性 奇偶性
单调性
__R__
周期为 kπ(k∈Z，k≠0)
期为_π__
__奇__函__数___
，最小正周
•单击此处编辑母版文本样sin式α
cos α
一
三
二
四
AT
【预习评价】
•
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1．若角 α 的终边上有一点 P(2x－1,3)，且 tan
α＝15，则 x 的值为(
)
A．7
B．8
C．15
4 D.5
解析 由正切函数的定义 tan α＝2x－3 1＝15，解之得 x＝8.
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课堂小结 1．作正切曲线简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线 x＝
－π2，x＝π2，然后描出三个点(0,0)，(π4，1)，(－π4，－1)，用光 滑的曲线连接得到一条曲线，再平移至各个单调区间内即可．
2．正切函数与正弦、余弦函数都是三角函数，但应用它们的性质
时应注意它们的区别．
(1)正弦、余弦函数是有界函数，值域为[－1,1]，正切函数是无
①若角 α 是第一象限角，则由 tan α＝12，角 α 的终边上必有一 点 P(2,1)，
∴r＝|OP|＝ 22＋12＝ 5.
∴sin
α＝yr＝
1＝ 5
55，cos
α＝xr＝
2 ＝2 5
5
5 .
②若角 α 是第三象限角，则由 tan α＝12知，角 α 的终边上必有一点
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.4.3 正切函数的性质与图象
[规律方法] 正切型函数单调性求法与正、余弦型函数求法一 样，采用整体代入法，但要注意区间为开区间且只有单调增区 间或单调减区间．利用单调性比较大小要把角转化到同一单调 区间内．
【活学活用 2】 (1)求函数 y＝3tanπ4－2x的单调递减区间． (2)比较 tan 65π 与 tan－173π的大小．
课堂小结 1．正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为 x＝kπ＋π2，k∈Z， 相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．
2．正切函数的性质 (1)正切函数 y＝tan x 的定义域是xx≠kπ＋π2，k∈Z ，值域是 R. (2)正切函数 y＝tan x 的最小正周期是 π，函数 y＝Atan(ωx＋ φ)(Aω≠0)的周期为 T＝|ωπ |. (3)正切函数在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上递增，不能写成闭区 间．正切函数无单调减区间.
xπ6＋2kπ≤x≤43π＋2kπ，k∈Z
.
(3)令2x－π3＝0，则 x＝23π. 令2x－π3＝π2，则 x＝53π. 令2x－π3＝－π2，则 x＝－π3. ∴函数 y＝tan2x－π3的图象与 x 轴的一个交点坐标是23π，0， 在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是 x＝－π3， x＝53π.从而得函数 y＝f(x)在一个周期－π3，53π内的简图(如图)．
【例 2】 (1)求函数 y＝tan－12x＋π4的单调区间； (2)比较 tan 1、tan 2、tan 3 的大小． [思路探索] (1)可先将原式转化为 y＝－tan12x－π4，从而把12x－π4 整体代入－π2＋kπ，π2＋kπ，k∈Z 这个区间内，解出 x 便可． (2)可先把角化归到同一单调区间内，即利用 tan 2＝tan (2－π)， tan 3＝tan (3－π)，最后利用 y＝tan x 在－π2，π2上的单调性判 断大小关系．
九年级数学北师大版初三下册--第一单元1.3《三角函数的计算》课件
C．16°27′
D．16°21′
5 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，用科
学计算器求∠A约等于( D )
A．24°38′
B．65°22′
C．67°23′
D．22°37′
知2－练
6 【中考·陕西】如图，有一滑梯AB，其水平宽度 AC为5.3 m，铅直高度BC为2.8 m，则∠A的度数 约为___2_7_.8_°__(用科学计算器计算，结果精确到 0.1°)．
∴CE＝CD＋DE＝CD＋BF＝BC sin 30°＋AB
sin 40°＝100 sin 30°＋300 sin 40°≈242.8(m)．
所以，山高约242.8 m.
（来自教材）
知1－练
3 【2017·威海】为了方便行人推车过某天桥，市政 府在10 m高的天桥一侧修建了40 m长的斜道(如图 所示)，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜 角的度数，具体按键顺序是( A ) A. 2ndF sin 0 ·2 5 ＝ B. Sin 2ndF 0 ·2 5 ＝ C. sin 0 ·2 5 ＝ D. 2ndF cos 0 ·2 5 ＝
知1－讲
(2)求非整数度数的锐角三角函数值，若度数的单位是用 度、分、秒表示的，在用科学计算器计算其三角函数 值时，同样先按sin ，cos 或tan 键，然后从高位到低位 依次按出表示度的键，再按°′ ″键，然后，从高位到 低位依次按出表示分的键，再按°′ ″键，然后，从高 位到低位依次按出表示秒的键，再按°′ ″键，最后按 ＝键，屏幕上就会显示出结果．
知3－讲
解：解方程2x2＋5x－3＝0，得x1＝－3，x2＝
1. 2
∵0＜cos α＜1，且cos α是方程2x2＋5x－3＝0的一个根，
北师大版数学必修四：第一章《三角函数》章节归纳梳理ppt课件
2sin 2 sin 2sin cos cos 2sin 2 sin 2sin 1 cos 1 2sin 1 sin tan
若 17 ，
6 1 1 则 f ( 17 ) 17 6 tan( ) tan(3 ) 6 6 1 1 3. 3 tan 6 3
三角函数的图像
对三角函数的图像的几点认识 本章在必修一学习基本初等函数图像画法的基础上,进一 步学习了三角函数图像的画法，完善了函数图像的画法理论，
主要包括以下内容.
(1)描点法.用列表、描点、连线的方式研究未知函数的图像 特征. (2)利用性质画简图,对于熟悉的函数可直接根据特殊点、线 画简图.如“五点法”“三点二线法”等.
【审题指导】解答本题的关键是利用诱导公式和因式分解的 方法化简求值.
【规范解答】f 2sin cos cos
2sin 2 sin( )
2sin cos cos
正弦、余弦、正切函数的诱导公式 对正弦、余弦、正切函数的诱导公式的理解
和应用
(1)理解方法：借助单位圆，根据角终边的对称性和三角函数 的定义理解. (2)记忆方法：奇变偶不变，符号看象限
(3)应用方法：用诱导公式一方面可化任意角为0°～90°的 角，另一方面可实现正弦与余弦之间的互化.因此在应用诱导 公式时，要根据题目的要求恰当选择公式.
4
小的θ 值是( (A)
3 4
) (B)
4
(C)
4
(D)
3 4
(2)已知角α 的终边与角-330°的终边关于原点对称，则其中 绝对值最小的角α 是_______. 【审题指导】(1)解答的关键是判断出θ与
高中数学必修四 第一章三角函数 1.4.2.2 正弦函数、余弦函数的性质
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
解:(1)定义域为 R.
f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin xcos x=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(2)要使函数有意义,自变量 x 的取值应满足 1+sin x≠0,∴sin
x≠-1.∴x≠2kπ−
π 2
,
������
∈Z.
∴函数的定义域为
2������-
π 4
的单调递增区间是
������π-
π 8
,������π
+
3π 8
, ������∈
Z.
(2)由 2kπ≤3x+ π6≤2kπ+π,得
2������ 3
π
−
1π8≤x≤23������
π
+
5π 18
,
������∈Z,
所以函数 y=cos
3������
+
π 6
的单调递减区间是
2������ 3
x
在(0,π)上单调递减,
∴cos
π 8
>
cos
π 7
,
即cos
-
π 8
> cos 137π.
(2)sin
21π 5
=
sin
4π
+
π 5
= sin π5,
sin
42π 5
=
sin
8π
+
2π 5
= sin 25π.
∵0<
π 5
<
2π 5
<
π 2
,
且y=sin
x在
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.2.2 同角三角函数的基本关系
互动探究 探究点1 同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？
提示 同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都
有意义．所以sin2α＋cos2α＝1对于任意角α∈R都成立，而
sin cos
αα＝tan
α并不是对任意角α∈R都成立，这时α≠kπ＋π2，k∈
Z.
探究点2 在利用平方关系求sin α或cos α时，其正负号应怎样确 定？
＝tan
tan2αsin2α α－sin αtan
αsin
α＝tatnanαα－sisninαα＝左边，
∴原等式成立．
[规律方法] (1)证明三角恒等式的实质：清除等式两端的差异， 有目的的化简． (2)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简． (3)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【活学活用2】 化简：
1－2sinα2cosα2＋ 1＋2sinα2cosα20<α<π2.
解 原式＝
cosα2－sinα22＋
cosα2＋sinα22
＝cosα2－sinα2＋cosα2＋sinα2.
∵α∈0，π2，∴α2∈0，π4.
利用tan α＝csoins αα和sin2α＋cos2α＝1向等号左边式子进行转化；
也可利用tan
α＝
sin cos
α α
将等号左、右两边式子进行切化弦，结
合sin2α＋cos2α＝1达到两边式子相等的目的．
证明
∵右边＝ tan
tan2α－sin2α α－sin αtan αsin
α
＝tantaαn2－α－sintaαn2tαacnoαs2sαin α＝tantαan－2αsi1n－αctaons2ααsin α
高中数学第一章三角函数1.4.2单位圆与周期性1.4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质课件北师大版必修4
易错案例 正、余弦函数基本性质的应用 【典例】若x是三角形的最小内角,则正弦函数y=sinx的值域为_____.
【失误案例】
【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗? 提示:错误的根本原因是角的范围错误,忽视了“最小内角”对角范围 的限制.
【自我矫正】因为x是三角形的最小内角,
则0<x≤
3
2.图像的利用 在求解函数的值域时,结合单位圆,能避免出错,如本例中x∈ (0，] 时,
3
最大值与最小值的求解,作出单位圆后,结果就很清晰了.
(2)周期函数一定存在最小正周期吗? 提示:不一定.如常数函数是周期函数,但是没有最小正周期.
2.关于周期函数,下列说法正确的是________(填序号). ①周期函数的定义域可以是有限集; ②周期函数的周期只有唯一一个; ③周期函数的周期可以有无数多个; ④周期函数的周期可正可负. 【解析】由周期函数的定义可得①②是错误的,③④是正确的. 答案:③④
【解析】因为f(x)是周期为4的函数,所以f(-3)=f(-3+4)
=f(1)= 1 . 2
答案: 1 2
【知识探究】 知识点1 周期函数 观察图形,回答下列问题:
问题1:周期函数的定义域有什么特点? 问题2:周期函数的函数值、图像有什么样的特征?
【总结提升】 对于周期函数的四点认识 (1)对于定义域内的任意x,都有x+T属于定义域; (2)并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,不一定有最 小正周期; (3)如果T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,且n≠0)也是函数的周期. (4)每相隔周期的整数倍,图像要重复出现.
x
1， 2
结合单位圆(如图所示)知x的取值范围是 2k x 7 2k,k Z.
九年级数学北师大版初三下册--第一单元1.3《三角函数的计算》课件
1.用计算器求下列各式的值： (1)tan320;(2)sin24.530; (3)sin62011′;(4)tan39039′39″.
102..6如24图9,2物0华.9大09厦7离30小.8伟84家4640m0,.小82伟91
从自家的窗中眺望大厦,并测得大厦顶
部仰角是450,而大厦底部的俯角是370
当缆车继续从点B到达点D时,它又
走过了200m.缆车由点B到点D的行驶
路线与水平面的夹角为∠β=420,由
E
此你不能计算什么?
如图, 水平宽度BE或上升高度DE
BE 148.63m DE 133.83m
老师提示:用计算器求三角函数值时,结果一般有10个数位. 本书约定,如无特别声明,计算结果一般精确到万分位.
求(结该果大精厦确的到的0高.1度m).大厦高约105.2m
结束寄语
• 一个人就好象一个分数,他的实 际才干就好比分子,而他对自己 的估计就好比分母,分母越大, 则分数的值就越小.
BAC
1000,
BC
46.6,
AC
38.76SABC
D
381.65.
A
7 如图,根据图中已
知数据,求AD. AD 13.85
250 550┌
B 20 C
D
随堂练习
真知在实践中诞生
8 如图,根据图中已知数据,
A
求△ABC其余各边的长,各角 a
的度数和△ABC的面积.
B
α┍ D
β
C
BD a cos, AD a sin , DC a sin , AC a sin ,
A
又 tan 450 AD , AC
AC AD 2 6 2 2. tan 450
高中数学第一章三角函数1.6余弦函数的图像与性质课件北师大版必修4
•§6 余弦函数的图像与性质
•学习目标 1.了解余弦函数与正弦函数之间的关系.2. 理解“五点法”作出余弦函数的图像(重点).3.掌握余弦 函数的图像性质及其运用(难点)．
知识点 1 余弦函数的图像 余弦函数 y＝cos x(x∈R)的图像叫余弦曲线． 根据诱导公式 sinx＋π2＝cos x，x∈R.只需把正弦函数 y＝sin x， x∈R 的图像向左平移π2个单位长度即可得到余弦函数图像(如 图)．
• 答案 B
• 3．函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图像和直线y＝1围成 一个封闭的平面图形，这个封闭图形的面积是 ________．
• 解析 如图，可把x轴下方图形补到x轴上方阴影 部分，此时所围面积可变成一个矩形．
• 答案 2π
4．使 cos x＝11－＋mm有意义的实数 m 的取值范围是________． 解析 －1≤11－＋mm≤1；即11＋－mm≤1；|1＋m|≤|1－m|且 m≠1， 得 m≤0.
答案 D
(2)作出函数 y＝1－13cos x 在[－2π，2π]上的图像． 解 ①列表：
x y＝cos x
0
π 2
π
3π 2
2π
1 0 －1 0 1
y＝1－13cos x
2 3
1
4 3
1
2 3
②作出 y＝1－13cos x 在 x∈[0,2π]上的图像．由于该函数为偶函数， 作关于 y 轴对称的图像．从而得出 y＝1－13cos x 在 x∈[－2π，2π] 上的图像．
•规律方法 对于余弦函数的性质，要善于结合余弦函 数图像并类比正弦函数的相关性质进行记忆，其解题 规律方法与正弦函数的对应性质解题方法一致．
【训练 2】 (1)求函数 y＝1－12cos x 的单调区间； (2)比较 cos－π7与 cos187π的大小． 解 (1)∵－12＜0， ∴y＝1－12cos x 的单调性与 y＝cos x 的单调性相反． ∵y＝cos x 的单调增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，减区间是[2kπ， 2kπ＋π](k∈Z)． ∴y＝1－12cos x 的单调减区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，增区间 是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
•学习目标 1.了解余弦函数与正弦函数之间的关系.2. 理解“五点法”作出余弦函数的图像(重点).3.掌握余弦 函数的图像性质及其运用(难点)．
知识点 1 余弦函数的图像 余弦函数 y＝cos x(x∈R)的图像叫余弦曲线． 根据诱导公式 sinx＋π2＝cos x，x∈R.只需把正弦函数 y＝sin x， x∈R 的图像向左平移π2个单位长度即可得到余弦函数图像(如 图)．
• 答案 B
• 3．函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图像和直线y＝1围成 一个封闭的平面图形，这个封闭图形的面积是 ________．
• 解析 如图，可把x轴下方图形补到x轴上方阴影 部分，此时所围面积可变成一个矩形．
• 答案 2π
4．使 cos x＝11－＋mm有意义的实数 m 的取值范围是________． 解析 －1≤11－＋mm≤1；即11＋－mm≤1；|1＋m|≤|1－m|且 m≠1， 得 m≤0.
答案 D
(2)作出函数 y＝1－13cos x 在[－2π，2π]上的图像． 解 ①列表：
x y＝cos x
0
π 2
π
3π 2
2π
1 0 －1 0 1
y＝1－13cos x
2 3
1
4 3
1
2 3
②作出 y＝1－13cos x 在 x∈[0,2π]上的图像．由于该函数为偶函数， 作关于 y 轴对称的图像．从而得出 y＝1－13cos x 在 x∈[－2π，2π] 上的图像．
•规律方法 对于余弦函数的性质，要善于结合余弦函 数图像并类比正弦函数的相关性质进行记忆，其解题 规律方法与正弦函数的对应性质解题方法一致．
【训练 2】 (1)求函数 y＝1－12cos x 的单调区间； (2)比较 cos－π7与 cos187π的大小． 解 (1)∵－12＜0， ∴y＝1－12cos x 的单调性与 y＝cos x 的单调性相反． ∵y＝cos x 的单调增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，减区间是[2kπ， 2kπ＋π](k∈Z)． ∴y＝1－12cos x 的单调减区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，增区间 是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
高中数学必修四-《三角函数的定义》课件
180 ( )°≈________ 57.30° 57°18′ 2．1弧度＝______ ＝_________ π
360° ＝2π ____rad
180° ＝ _____rad π
π 180 1° ＝ _____rad
3．设扇形的半径为 r，弧长为 l， α 为其圆心角的 弧度数．
1 1 2 l· r ＝ __________ · α· r αr 则 l＝ ______ ，S 扇＝ ______ 2 2
思考感悟
2．三角函数在各象限的符号由什么来确定？
提示：由三角函数定义可知三角函数在各象限的
符号由角α 终边上任意一点的坐标来确定．
课堂互动讲练
考点突破 三角函数的定义及应用
三角函数定义是学好三角函数的最基础工具， 利用定义解决问题是我们必须掌握的基本方 法．
例1
已知角α 的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，
变式训练 3 求下列函数的定义域． (1)y＝ sinx· tanx； 2 (2)y＝ lgsinx＋ 9－ x .
解： (1)∵sinx· tanx≥ 0， ∴ sinx 与 tanx 同号或 sinx· tanx＝ 0，故 x 是第 一、四象限的角或终边在 x 轴上的角． ∴函数的定义域为 π π { x|2kπ－ ＜ x＜ 2kπ＋ 或 x＝ kπ， k∈ Z} ． 2 2 sinx＞ 0 (2)由题意得 ， 2 9－ x ≥ 0源自例2 判断下列各式的符号：
15π 13π (1)sin145° cos( － 210° ) ； (2)sin tan( － )； 7 3 (3)sin1· cos2· tan3.
【思路点拨】 明确各角所在的象限，进而判断 三角函数的符号．
【 解 】 (1) ∵ 145° 是 第 二 象 限 的 角 ， ∴ sin 145° >0. ∵－ 210° ＝－ 360° ＋ 150° ，∴－ 210° 是第二象限 的角， ∴ cos(－ 210° )<0. ∴ sin 145° cos(－ 210° )<0. 15π π 15π (2)∵ ＝ 2π＋ ，∴ 是第一象限的角， 7 7 7 15π ∴ sin >0. 7
360° ＝2π ____rad
180° ＝ _____rad π
π 180 1° ＝ _____rad
3．设扇形的半径为 r，弧长为 l， α 为其圆心角的 弧度数．
1 1 2 l· r ＝ __________ · α· r αr 则 l＝ ______ ，S 扇＝ ______ 2 2
思考感悟
2．三角函数在各象限的符号由什么来确定？
提示：由三角函数定义可知三角函数在各象限的
符号由角α 终边上任意一点的坐标来确定．
课堂互动讲练
考点突破 三角函数的定义及应用
三角函数定义是学好三角函数的最基础工具， 利用定义解决问题是我们必须掌握的基本方 法．
例1
已知角α 的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，
变式训练 3 求下列函数的定义域． (1)y＝ sinx· tanx； 2 (2)y＝ lgsinx＋ 9－ x .
解： (1)∵sinx· tanx≥ 0， ∴ sinx 与 tanx 同号或 sinx· tanx＝ 0，故 x 是第 一、四象限的角或终边在 x 轴上的角． ∴函数的定义域为 π π { x|2kπ－ ＜ x＜ 2kπ＋ 或 x＝ kπ， k∈ Z} ． 2 2 sinx＞ 0 (2)由题意得 ， 2 9－ x ≥ 0源自例2 判断下列各式的符号：
15π 13π (1)sin145° cos( － 210° ) ； (2)sin tan( － )； 7 3 (3)sin1· cos2· tan3.
【思路点拨】 明确各角所在的象限，进而判断 三角函数的符号．
【 解 】 (1) ∵ 145° 是 第 二 象 限 的 角 ， ∴ sin 145° >0. ∵－ 210° ＝－ 360° ＋ 150° ，∴－ 210° 是第二象限 的角， ∴ cos(－ 210° )<0. ∴ sin 145° cos(－ 210° )<0. 15π π 15π (2)∵ ＝ 2π＋ ，∴ 是第一象限的角， 7 7 7 15π ∴ sin >0. 7
北师大版数学必修四课件：第1章§9 三角函数的简单应用
6
x 0.2
画出y=sin( 6
x)的图像，(如图所示)由图像可得
y
1
π y=sin( 6
x)
y=0.2
20
O
-1
5
10
15
x
0.4≤ x≤5.6， 或
12.4≤x≤17.6.
故该船在0：24至5：36和12：24至17：36期间可以进港. (3) 若2≤x≤24, x时刻吃水深度为h(x)=4－0.3(x－2)， 由f(x)≥h(x)+1.5，得 sin x 0.44 0.12x.
QOP 为 ;水车旋转一圈所需的时间为 T;由已知 T
车转动的角度为 ，如图所示， QOP t
40
t (rad )
过 P 点向水面作垂线，交水面于点 M， PM 的长度为 P 点的高度 h。过水车中心 O 作 PM 的垂线，交 PM 于点 N， QON 为 . 从图中不难看出： h PM PN NM R sin( ) b 这是一个三角函数确定的数学模型 .
例2.海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫 潮汐，一般的早潮叫潮,晚潮叫汐,在通常情况下,船在涨
潮时候驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋,下面
给出了某港在某季节每天几个时刻的水深.
时刻 0:00 水深/m 5.0 时刻 9:00 水深/m 2.5 时刻 18:00 水深/m 5.0
6
画出y=sin 6 x 和y=0.44－0.12x的图像(如图)，
y 1 O -1 5 10
π y=sin( 6 x)
15
20
x
y=0.12x+0.44
由图像可知当x=6.7时，即6：42时，该船必须停止卸货， 将船驶向较深的水域.
2017-2018北师大版高中数学必修四课件：正切函数的定义、正切函数的图像与性质
栏目导 引
第一章
三角函数
(3)正切函数的简图可用“三点两线”画出来， “三点”是指(0， π π π π 0)， － ，－1 ， ， 1 ；“两线”是指 x＝ 和 x＝－ . 2 2 4 4 π 作简图时只需先作出一个周期中的两条渐近线 x＝－ ， x＝ 2 π π π ，然后描出三点 (0，0)， ， 1 ， － ，－1，用光滑的 2 4 4 曲线连接得一条曲线，再平行移动至各个周期内即可．
第一章
三角函数
2．正切线 (1)定义：
在直角坐标系中，设 单位圆 与x轴的非负半轴的交点为A(1， A(1，0)作x轴的垂线，与角α的终边或其终边 0)，过点____________
线段AT 的延长线相交于T点，则称____________ 为角α的正切线． (2)画法：
栏目导 引
第一章
三角函数
6
π π 解析：由题意知 x＋ ≠ kπ ＋ (k∈ Z)， 6 2 π 即 x≠ ＋ kπ (k∈ Z)． 3
π 故定义域为x x≠kπ ＋ ， k∈ Z， 3
3 π f ＝_______________． 6
π π π 且f ＝ tan ＋ ＝ 3. 6 6 6
栏目导 引
第一章
三角函数
2． y＝ tan(x＋π )是 ( A ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：因为 y＝ tan(x＋π )＝ tan x，所以 y＝tan(x＋π )是奇函 数．
栏目导 引
第一章
三角函数
π x x≠kπ ＋ ，k∈ Z π 3 ___________________ 3．函数 f(x)＝tan x＋ 的定义域是 ，
北师大版高中数学必修4第一章《三角函数》任意角的三角函数及其诱导公式
1 1
0 1 0 1 0 1 0 0 0
6
2）同终边角的同名三角函数值相等. Sin(2kπ+α)= Sinα
cos(2kπ+α)= cosα
tan(2kπ+α)= tanα 2kπ是三角函数的周期 诱导公式1
7
练习：确定下列函数值的符号
1）sin1900的符号是——？
2）cos(-3920)的符号是——？
16
Sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)= -Sinα Sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)= Sinα
=> tan(π/2+α)= -cotα => tan(π/2-α)=cotα
17
常用的正弦、余弦、正切诱导公式 1、同终边诱导公式 Sin(2kπ+α)=sin α cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tan α 2、负角诱导公式 Sin(-α)=- sin α cos(-α)=cos α tan(-α)= - tan α 3、四象限诱导公式 Sin(2π-α)=-sin α cos(2π-α)=cos α tan(2π-α)= - tan α
y
P(a,b)
x
y
x
P(a,b)பைடு நூலகம்
Sin(2kπ+α)= Sinα
-π/4
-9π/4
4
小结：正弦函数是周期函数，周期是 2k 其中最小正周期为 2
余弦函数是周期函数，周期是 2k 其中最小正周期为 2
5
你记住了吗？
度 弧 度
0 0 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600
高中数学第一章三角函数2角的概念的推广课件北师大版必修4
[典例] 有下列说法： ①相差 360°的整数倍的两个角，其终边不一定相同； ②{α|α 是锐角} {β|0°≤β＜90°}； ③第二象限角都是钝角； ④小于 90°的角不一定都是锐角； ⑤三角形的内角必是第一、二象限角． 其中，正确的说法是________(填上所有正确的序号)．
[解析]
题号 正误
[针对训练]
1．下列说法正确的是 A．锐角不一定是第一象限的角 B．终边相同的角一定相等 C．终边与始边重合的角是零角 D．钟表的时针旋转而成的角是负角
()
解析：选 D 锐角大于 0°且小于 90°，一定是第一象限角， A 不正确；30°与 390°角的终边相同，但不相等，B 不正确； 360°角的终边也与始边重合，C 不正确；只有 D 正确．
考点二 求与角 α 终边相同的角
[典例] 写出与 25°角终边相同的角的集合，并求出该集 合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角 β.
[解] [法一 赋值法] 与 25°角终边相同的角的集合为 S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．
令 k＝－3，则有 β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件； 令 k＝－2，则有 β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件； 令 k＝－1，则有 β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件； 故符合条件的角有－1 055°，－695°.
复习课件
高中数学第一章三角函数2角的概念的推广课件北师大版必修4
2021/4/17
高中数学第一章三角函数2角的概念的推广课件北师大版必 修4
§2 角的概念的推广 一、预习教材·问题导入
1．正角、负角、零角是如何定义的？ 2．象限角的含义是什么？ 3．终边相同角的含义是什么？
[解析]
题号 正误
[针对训练]
1．下列说法正确的是 A．锐角不一定是第一象限的角 B．终边相同的角一定相等 C．终边与始边重合的角是零角 D．钟表的时针旋转而成的角是负角
()
解析：选 D 锐角大于 0°且小于 90°，一定是第一象限角， A 不正确；30°与 390°角的终边相同，但不相等，B 不正确； 360°角的终边也与始边重合，C 不正确；只有 D 正确．
考点二 求与角 α 终边相同的角
[典例] 写出与 25°角终边相同的角的集合，并求出该集 合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角 β.
[解] [法一 赋值法] 与 25°角终边相同的角的集合为 S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．
令 k＝－3，则有 β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件； 令 k＝－2，则有 β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件； 令 k＝－1，则有 β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件； 故符合条件的角有－1 055°，－695°.
复习课件
高中数学第一章三角函数2角的概念的推广课件北师大版必修4
2021/4/17
高中数学第一章三角函数2角的概念的推广课件北师大版必 修4
§2 角的概念的推广 一、预习教材·问题导入
1．正角、负角、零角是如何定义的？ 2．象限角的含义是什么？ 3．终边相同角的含义是什么？
2020-2021学年高一数学北师大版必修四第一章1.3 弧度制 课件
(2) －7＝－7=-(118005)°.
12 12
( 225 ) 2
类型二 用弧度表示角及其范围(逻辑推理)
【典例】1.若θ角的终边与 8 的终边相同,则在[0,2π]内终边与 角的终
5
4
边相同的角是________.
2.图中阴影部分表示的角度的集合为________(包括边界).
【思路导引】用终边相同角表示并计算,注意范围.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)1弧度的角的大小与其所在的圆的半径的大小有关. ( )
(2)根据弧度的定义,180°一定等于π弧度. ( )
(3)弧度数为2的角所在圆的半径为1,则其所对的弧长为2.
()
提示:(1)×.1弧度的角的大小与圆的大小无关,只要弧长等于半径,则弧所对的
【解题策略】
角度与弧度互化的策略
(1)原则:牢记180°=π rad,充分利用1°=
180
算.
rad和1 rad=（ 1 8 0 )
进行换
(2)方法:设一个角的弧度数为α,角度数为n,则α rad=α·（ 1 8 0 ) ;
n°=n· rad.
180
(3)注意点:①用“弧度”为单位度量角时,“弧度”二字或“rad”可以省略
(组)求解.
(3)弧长、面积的最值问题:利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长或面积,利
圆心角就是1弧度的角.
(2)√.由角度与弧度的互化可知其正确.
(3)√.由弧长公式得弧长为2×1=2.
2.圆的半径是6 cm,则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是 ( )
A. cm2
2
B. 3 cm2
2
C.π cm2
12 12
( 225 ) 2
类型二 用弧度表示角及其范围(逻辑推理)
【典例】1.若θ角的终边与 8 的终边相同,则在[0,2π]内终边与 角的终
5
4
边相同的角是________.
2.图中阴影部分表示的角度的集合为________(包括边界).
【思路导引】用终边相同角表示并计算,注意范围.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)1弧度的角的大小与其所在的圆的半径的大小有关. ( )
(2)根据弧度的定义,180°一定等于π弧度. ( )
(3)弧度数为2的角所在圆的半径为1,则其所对的弧长为2.
()
提示:(1)×.1弧度的角的大小与圆的大小无关,只要弧长等于半径,则弧所对的
【解题策略】
角度与弧度互化的策略
(1)原则:牢记180°=π rad,充分利用1°=
180
算.
rad和1 rad=（ 1 8 0 )
进行换
(2)方法:设一个角的弧度数为α,角度数为n,则α rad=α·（ 1 8 0 ) ;
n°=n· rad.
180
(3)注意点:①用“弧度”为单位度量角时,“弧度”二字或“rad”可以省略
(组)求解.
(3)弧长、面积的最值问题:利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长或面积,利
圆心角就是1弧度的角.
(2)√.由角度与弧度的互化可知其正确.
(3)√.由弧长公式得弧长为2×1=2.
2.圆的半径是6 cm,则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是 ( )
A. cm2
2
B. 3 cm2
2
C.π cm2
必修四第一章三角函数-1.3三角函数的诱导公式
1.3三角函数的诱导公式学习过程知识点1：诱导公式（二）sin （180°+α）=－sin α cos （180°+α）=－cos α tg （180°+α）=tg α（2）结构特征：①函数名不变，符号看象限（把α看作锐角时） ②把求（180°+α）的三角函数值转化为求α的三角函数值。
知识点2：诱导公式（三）sin （－α）=－sin α cos （－α）=cos α tg （－α）=－tg α结构特征：①函数名不变，符号看象限（把α看作锐角） ②把求（－α）的三角函数值转化为求α的三角函数值 知识点3：诱导公式（四） Sin(π－α)＝Sin α Cos(π－α)＝－cos α Ten(π－α)＝－tan α知识点4：诱导公式（五） sin()cos ;cos()sin 22ππαααα-=-= 知识点5：诱导公式（六）sin()cos ;cos()sin 22ππαααα+=+= 学习结论1．诱导公式（二）sin （180°+α）=－sin α cos （180°+α）=－cos α tg （180°+α）=tg α 2．诱导公式（三）sin （－α）=－sin α cos （－α）=cos α tg （－α）=－tg α 3．诱导公式（四） Sin(π－α)＝Sin α Cos(π－α)＝－cos α Ten(π－α)＝－tan α 4．诱导公式（五） sin()cos ;cos()sin 22ππαααα-=-= 5、诱导公式（六）sin()cos ;cos()sin 22ππαααα+=+=典型例题例1、例题1已知角α的终边经过P(3a，-4a)(a≠0)，求α角的正弦、余弦、正切、余切函数值．解析:设P点到原点O的距离为r．当a＜0时，r=5|a|=-5a．这时，例题2 设α角终边上的一点P的坐标是(x，y)，P点到原点的距离是r．(1)已知r，α，求P点的坐标；(2)已知α，y，求r；(3)已知α，x，求y．例题3已知|cosθ|≤|sinθ|，求θ的取值范围．解析:由三角函数的定义，知其中(x，y)是角θ终边上任意一点P的坐标，r是P点到原点的距离．因为r＞0，要使|cosθ|≤|sinθ|，只须|x|≤|y|．所以，θ角的终边落在如图所示的阴影部分内，即例题4化简下列各式：(1)sin(α-π)sec(-α+4π)tg(α-3π)+tg2(3π-α)²csc2(2π+α)解析: (1) 原式=sin[-(-π-α)]sec(4π-α)tg[-(3π-α)] +tg2(3π-α)²csc2(2π+α)=-sin α²sec α²tg α+tg2α²csc2α =-tg2α+tg2α²csc2α=-tg2α(1-csc2α) =-tg2α²(-ctg2α)=1(2) 原式=sin α²tg α²csc α(-ctg α)=-1三角函数的诱导公式(基础训练)1、 下列四个命题中可能成立的一个是（ ） A 、21cos 21sin ==αα且 B 、1cos 0sin -==αα且 C 、1cos 1tan -==αα且 D 、α是第二象限时，αααcos tan sia -= 答案：B解析：因为1cos 0sin -==αα且当απ=时成立。
高中数学第一章三角函数1.7.1正切函数的定义1.7.2正切函数的图像与性质课件1北师大版必修4
第十页，共38页。
【即时(jíshí) 训练】
α
C
第十一页，共38页。
探究点2 正切线和正切函数的周期 正切线(qiēxiàn)
如图，单位(dānwèi)圆与x 轴正半轴的交点为A(1 ,0) ，任意角α的终边与单位 (dānwèi)圆交于点P，过点 A(1 ,0)作x轴的垂线，与 角的终边或终边的延长线 从相图交中于可T点以.看出： 当角α位于第一和第三象限时，T点位于x轴的上方； 当角α位于第二(dì èr)和第四象限时，T点位于x轴的下方 .
今天我们学习(xuéxí)正切函数的图像及性质.
第五页，共38页。
1.了解任意角的正切函数的概念(gàiniàn).(重点) 2.能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像.(重点) 3.根据正切函数的图像熟练推导出正切函数的性质.(难点 ) 4.能熟练掌握正切函数的图像与性质.(重点)
第六页，共38页。
v =tan
u
第三页，共38页。
y
1 P（u，v）
-1
1 三角函数
OM x
-1
v=sin
u=cos 什么(shén
v =tan me)函数呢？
u
第四页，共38页。Biblioteka y1 P（u，v）
-1
1 三角函数
OM x
-1
v=sin
u=cos
v =tan
u
通常,我们(wǒ men)把以角作为自变量,以点P的纵坐 标与横坐标的比值为函数值的函数称作正切函数。
且
与 y 轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线组成.
渐
渐
近
近
线
线
3
O
2
第十八页，共38页。
【即时(jíshí) 训练】
α
C
第十一页，共38页。
探究点2 正切线和正切函数的周期 正切线(qiēxiàn)
如图，单位(dānwèi)圆与x 轴正半轴的交点为A(1 ,0) ，任意角α的终边与单位 (dānwèi)圆交于点P，过点 A(1 ,0)作x轴的垂线，与 角的终边或终边的延长线 从相图交中于可T点以.看出： 当角α位于第一和第三象限时，T点位于x轴的上方； 当角α位于第二(dì èr)和第四象限时，T点位于x轴的下方 .
今天我们学习(xuéxí)正切函数的图像及性质.
第五页，共38页。
1.了解任意角的正切函数的概念(gàiniàn).(重点) 2.能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像.(重点) 3.根据正切函数的图像熟练推导出正切函数的性质.(难点 ) 4.能熟练掌握正切函数的图像与性质.(重点)
第六页，共38页。
v =tan
u
第三页，共38页。
y
1 P（u，v）
-1
1 三角函数
OM x
-1
v=sin
u=cos 什么(shén
v =tan me)函数呢？
u
第四页，共38页。Biblioteka y1 P（u，v）
-1
1 三角函数
OM x
-1
v=sin
u=cos
v =tan
u
通常,我们(wǒ men)把以角作为自变量,以点P的纵坐 标与横坐标的比值为函数值的函数称作正切函数。
且
与 y 轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线组成.
渐
渐
近
近
线
线
3
O
2
第十八页，共38页。
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探究二
探究三
首页 探究四
Z 自主预习 IZHUYUXI
H 合作学习 EZUOXUEXI
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
反思感悟
用弧度制表示象限角、轴线角、终边相同的角的方法
1.用弧度制表示象限角如下:
第一象限角为
������
2������π
<
������
<
2������π
+
π 2
,������∈Z
;
第二象限角为
������
2������π
+
π 2
<
������
< 2������π + π,������∈Z
;
第三象限角为
������
2������π
+
π
<
������
<
2������π
+
3π 2
,������∈Z
;
第四象限角为 ������
2������π
+
3π 2
<
������
<
2������π
180 π
°=120°.
(3)∵-1 485°=-5×360°+315°,
而 315°=315×1π80 rad=74π rad,且 0≤74π<2π, ∴-1 485°可以表示为 2×(-5)π+74π.
探究一
探究二
探究三
首页 探究四
Z 自主预习 IZHUYUXI
H 合作学习 EZUOXUEXI
答案:C
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
探究一
探究二
探究三
首页 探究四
Z 自主预习 IZHUYUXI
H 合作学习 EZUOXUEXI
(2)解:①因为-1 480°=-1 480×1π80=-749π=-10π+169π,
又3π
2
<
169π<2π,
所以 α 与169π终边相同,是第四象限的角.
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
首页
Z 自主预习 IZHUYUXI
H 合作学习 EZUOXUEXI
一二三四
二、角度与弧度的互化
因为周角在角度制下是360°,在弧度制下是2π rad,所以360°=2π
rad,180°=π rad,1°=
rad≈0.0171π8405 rad,
1
rad=
180 π
反思感悟1.不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是 一个与圆的半径的大小无关的定值.
2.用角度制和弧度制度量零角,单位不同,但量数相同(都是0);用 角度制和弧度制度量任一非零角,单位不同,量数也不同.
3.以弧度为单位表示角的大小时,“弧度”或“rad”通常省略不写,但 以度为单位表示角的大小时,“度”或“°”不能省去.
量角的方法,二者是辩 证统一的.
一二三四
首页
Z 自主预习 IZHUYUXI
H 合作学习 EZUOXUEXI
一、弧度 在单位圆(半径为1的圆)中,长度为1的弧所对的圆心角称为1弧 度角.它的单位符号是rad,读作弧度. 【做一做1】 下列各说法中,正确的是( ) A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度为半径的弧 C.1弧度是1°的弧与1°的角之和 D.1弧度角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 答案:D
探究一
探究二
探究三
首页 探究四
Z 自主预习 IZHUYUXI
H 合作学习 EZUOXUEXI
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
解析:对于A,终边在x轴上角的集合是{α|α=kπ,k∈Z},故A正确;
对于 B,终边在 y 轴上角的集合是
首页
Z 自主预习 IZHUYUXI
H 合作学习 EZUOXUEXI
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探究三
探究四
弧度制的概念
【例1】 下列说法错误的是( )
A.弧度角与实数之间建立了一一对应的关系
B.1
度的角是周角的3610,1
弧度的角是周角的 1
2π
C.根据弧度的定义,180°一定等于π弧度
D.无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径
+
2π,������∈Z
或
������
2������π-
π 2
<
������
<
2������π,������∈Z
.
探究一
探究二
探究三
首页 探究四
Z 自主预习 IZHUYUXI
H 合作学习 EZUOXUEXI
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
2.用弧度制表示轴线角如下:
终边落在x轴上的角为α=kπ(k∈Z);
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
反思感悟角度式π rad=180°是关键;
(2)方法:度数×1π80=弧度数;弧度数×
180 π
°=度数;
(3)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度;
(4)角度化为弧度时,其结果写成π的形式,没特殊要求,切不可进行
首页
Z 自主预习 IZHUYUXI
H 合作学习 EZUOXUEXI
一二三四
四、弧度制下的三个公式
1.弧度数公式:|α|=
������ ������
,即圆心角的弧度数的绝对值等于该圆心
角所对弧长与所在圆的半径的比值.
2.弧长公式:l=|α|r,即弧长等于所对圆心角弧度数的绝对值与半
径的积.采用角度制时的相应公式为l=
示.
探究一
探究二
探究三
首页 探究四
Z 自主预习 IZHUYUXI
H 合作学习 EZUOXUEXI
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
解:(1)∵1°=1π80 rad,
∴112°30'=112.5°=112.5×1π80 rad=58π rad.
(2)∵1 rad=
180 π
°,∴23π
rad=23π ×
的大小有关
解析:无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的
半径的大小无关,而是与弧长和半径的比值有关,故D项错误.
答案:D
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
探究一
探究二
探究三
首页 探究四
Z 自主预习 IZHUYUXI
H 合作学习 EZUOXUEXI
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
终边落在y轴上的角为α=kπ+
π 2
(k∈Z).
3.用弧度制表示终边相同的角的集合为
{β|β=2kπ+α,k∈Z}.
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探究二
探究三
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变式训练2下面表述不正确的是( )
A.终边在x轴上角的集合是{α|α=kπ,k∈Z}
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解:(1)如图①所示,以 OB 为终边的角为 330°,可看成是-30°,
化为弧度,即-π6,而 75°=75×1π80 rad=51π2 rad,于是,所求集合
S=
������
2������π-
π 6
<
������
<
2������π
+
5π 12
,������∈Z
.
(2)如图②所示,以 OB 为终边的角为 225°,可看成是-135°,化
为弧度, 即-34π,而 135°=135×1π80 rad=34π rad, 于是,所求集合 S= ������ 2������π- 34π≤θ≤2kπ+34π ,������∈Z .
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三、弧度制 1.一般地,正角的弧度数是一个正数;负角的弧度数是一个负数; 零角的弧度数是0.这种以弧度作为单位来度量角的单位制,叫作弧 度制. 2.在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系: 每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过 来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角) 与它对应.
§3 弧度制
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课标阐释
思维脉络
1.理解弧度的意义,掌 握 1 弧度角的定义. 2.能进行角度和弧度的 换算,熟记特殊角的弧 度数. 3.掌握弧度制下的弧长 公式,会利用弧度解决 某些简单的实际问题. 4.通过学习,要理解角 度制与弧度制都是度
210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
7������ 5������ 4������ 3������ 5������ 7������ 11������ 2π
6432346
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一二三四
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②因为与 α 终边相同的角可以写为 γ=169π+2kπ(k∈Z),
又-4π≤γ<0,所以当 k=-1 时,γ=-29π;
当 k=-2 时,γ=-209π.
所以与 α 终边相同的角为-29π或-209π.
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