第17章量子力学

Planck 普朗克 Einstein 爱因斯坦
Bohr 玻尔
deBroglie 德布罗易
Heisenberg 海森伯
Born 玻恩
Schrdinger 薛定谔
Dirac 狄拉克
2
§17-1
物质的波粒二象性
1.德布罗意波（1924提出，1929年获诺贝尔奖）
波动性: 表现在传播过程中(干涉、衍射) 光的本性
20 20
kg m s
15
1
(m0=1.6710-27kg)
34
作用量： pr 7.3 10
10 10
7.3 10
~h
所以，对于原子核中的质子，要用量子力学处理。 ③电视显象管中的电子，其动能(10keV)比其静能0.51MeV 小得多，可用非相对论近似：
34 2
0.01 0.5 10
1.32 10
29
m/s
可见子弹的横向速度, 和子弹的飞行速度每秒几百米相比,
这一横向速度引起的运动方向的偏转是微不足道的。 这表示，不确定关系对宏观物体来说，实际上不起作用， 所以宏观物体可以用经典理论来研究它的运动。
25
例题3 对于下述情形中的粒子，是否要用量子力学处理？①原
解： 根据题设，电子德布罗意波长
由德布罗意公式 p
E k E m0 c
2
0.02nm
h

2
,由此可以算出电子的动能Ek为
2 2 2
( pc ) ( m0c ) m0c
4keV
14
即电子的加速电压应是4kV。
3.物质波的统计解释
•如何理解实物粒子的波粒二象性？ •实物粒子对应的波是一种什么波？ •历史上有代表性的观点: (1).波粒二象性中粒子性是基本的，而波动性是粒子间的相 互作用产生的。
根据德布罗意关系，电子y方向动量不确定量p y hL Nhomakorabea2

2
h L
波列

yp y h
L
22
2. 位置和动量的不确定关系
1927年, 海森伯提出了不确定关系, 即 微观粒子在任一方向上的位置与该方 向上的动量不可能同时具有确定值。二者 的不确定关系满足
x px h
若<<c, 则 Ek m0 2 m0c 2
2
1
p
2m0 Ek (<<c)
1
④物质波数量级
计算子弹的德布罗意波长，m 0.01kg， υ 300 m s
解：

h m
2.21 10
34
m 2.21 10
24

A
宏观物体的小到实验难以测量的程度，因此宏观物体 仅表现出粒子性。
19
§17-2 不确定关系
对于微观粒子，能否同时用确定的坐标和动量来描述它 的运动？
1.电子的单缝衍射
电子衍射前,
x
p
电子束
px=0, py=p
...
p

y
缝后, 若只考虑中央明纹，
0 p x p sin
因此，电子动量在x方向上的不确定量为
px= psin
20
对第一级衍射暗纹，有
5
计算电子经过U1= 100V和 U2= 5×104V的电压加速后的德 布罗意波长。
解： (1) U1= 100V，电子加速后获得的动能
E k 100eV m0 c 0.51 10 eV
2 6
这时电子的速度远小于光速c，其动量和动能的表达式均可用 经典公式。
p 2m0 Ek 5.39 10
16
玻恩在1926年提出，和实物粒子相联系的
物质波是一种概率波。
•光栅衍射
玻恩 M.Born(1882-1970) 1954年获诺贝尔奖
波动理论：亮暗相间的条纹 光子理论：光 — 光子流
E h , I Nh N
17
所以屏上条纹亮暗分布实际上就是光子数分布。
设想： 光强逐渐减小，以至于光子一 个一个通过，光子是怎样运动 的？通过缝的哪一个位置落到 屏上的哪一点? 不确定！ 即落在那一点都有可能，但存在一定的概率，显然 亮纹： 光子到达概率大； 次亮纹： 光子到达概率小； 暗纹： 光子到达概率为零。即 光强分布 —— 光子落点概率分布, “光(子)波” —— 概率波。
. . .. . .. . .
实验否定: 电子一个个通过单缝，长时间积累也出现衍射效应.
15
(2).波粒二象性中波动性是基本的，而粒子是不同频率的波叠 加而成的“波包”。
实验否定: 介质中频率不同的波 u 不同，波包在运动时应发散， 但未见电子“发胖”。 那么，实物粒子到底是波还是粒子？ 显然，波和粒子在经典框架内无法统一！
12
3)其它实验
1929年 斯特恩氢分子衍射
1936年 中子束衍射 1961年 1986年 电子单缝、双缝、多缝衍射 证实固体中电子的波动性
单缝
双缝
三缝
四缝
微观粒子的波粒二象性是得到实验证实的科学结论
13
4)粒子波动性的应用: •电子衍射用于固体表面性质的研究;
•中子衍射用于研究含氢的晶体;
•电子显微镜、扫描隧道显微镜。 例题3 用电子显微镜观察直径为0.02m的病毒，为了形成 很清晰的像，准备让电子德布罗意波长比病毒直径小1000倍， 试问电子的加速电压是多少？
经量子力学严密推导，得
ΔxΔp x 2
(
海森堡 WERNER HEISENBERG (1901-1976) 1932年获诺贝尔奖
x代表位置不确定量， px代表x方向上的动量不确定量。
h 2
)
因该关系式只做数量级的估计，故也可写为: xpx
23
说明
x px h
24
例题2 子弹质量m=0.01kg , 枪口的直径为0.5cm，试用不确定 关系计算子弹射出枪口时的横向速度。
解： 枪口的直径就是子弹射出枪口时的横向位置不准确度
Δx 0.5 10 m
2
按不确定关系:
x
xpx h, 则子弹横向速度的不确定量为
h
m x

6.63 10
E=mc2=hv
p m h
德布罗意公式
m
mo 1 υ c
2 2

这种和实物粒子相联系的波称为德布罗意波(也称物质波), 其 波长称为德布罗意波长。
讨论 ①德布罗意关系式通过h把粒子性和波动性联系起来。
②德布罗意公式中粒子的能量E是总能量。 ③德布罗意公式中的两个关系式是彼此独立的。
4
I

0
5
54
10
15
20
U
②加速电压U=54V, 散射角=50º
时, 探测器B中的电流有极值。
10
理论解释：
根据德布罗意关系，电子在加速电压U=54V时，其德布罗意 波长为：

h p h 2me eU 12 . 25 54

1.67 A
另一方面，根据x光衍射理论，电子束在晶体表面衍射产生 极大值应满足布喇格公式，即
子中的电子，原子尺度约为0.1nm的数量级，其中电子动能约 为10eV的数量级。②原子核中的质子，原子核尺度约为10fm， 其中质子动能约为10MeV。③电视显象管中的电子，其动能约 为10keV。
解：计算微观粒子的作用量pr
①原子中的电子， Ek<<0.51MeV，可用非相对论近似：
p 2m0 Ek 1.71 10
24
kg m s
10
1
作用量： pr 1.71 10
24
10
1.71 10
34
~h
所以，对于原子中的电子，要用量子力学处理。
26
②原子核中的质子，其动能(10MeV)比其静能938.3MeV小得
多，可用非相对论近似：
p 2m0 Ek 7.3 10
18
•类比：电子单缝衍射 让电子一个一个地通过 同样，每次电子的起点，终
点，轨道均不确定，只能作
概率性判断。
. . .. . .. . .
强度大： 电子到达概率大；强度小： 电子到达概率小 •结论 (1)由于波粒二象性，微观粒子既不是经典概念的粒子，在空 间没有确定的轨道和位置；它也不是经典概念的波，因为物 质波不是实在的物理量在空间的传播。 (2)物质波的强度分布反映实物粒子出现在空间各处的概率， 所以与实物粒子相联系的物质波——概率波。
24
kg m s
1
根据德布罗意关系

h p

1.23 A
6
(2) U2= 5×104V ，电子加速后获得的动能
E k 5 10 eV ~ m0 c 0.51MeV (应考虑相对论效应)
4 2

p
1 c
E ( m0 c )
2 2 2
1 c
E k ( E k 2 m0 c )
(1)对于微观粒子，坐标和动量不能同时确定。如果x的位置完 全确定(x0)，则粒子相应的动量就完全不确定(px)； 反之亦然。 (2)不确定关系是微观世界的一条客观规律, 是波粒二象性的必 然结果。不是由于理论不完善或仪器不准确引起的。 (3)不确定关系给出了宏观与微观物理世界的界限。 如果在所研究的问题中，不确定关系施加的限制不起作 用(即h可以忽略不计)，该问题可用经典力学处理，否则要用 量子力学处理。 如果系统中与h有相同量纲[Js]的物理量(称为作用量，如 mvr) 远大于h时， h可以忽略不计，不确定关系将不起作用。