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湖北省部分重点中学2015届高三上学期十月联考数学(理)试卷

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湖北省2015届高三上学期10月联考数学试题及详解(理)

湖北省2015届高三上学期10月联考数学试题及详解(理)

教学合作2015届高三年级十月联考试题数学（理科）本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷 （选择题，50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、已知集合2{|{|0}2x A x y B x x +===≤-，则A B = A ．[]1,1- B ．[)1,2- C ．[)1,2 D ．[]2,1-- 2、下列命题中真命题的个数是（1）若命题,p q 中有一个是假命题，则()p q ⌝∧是真命题．（2）在ABC ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“90C =”的必要不充分条件． （3）C 表示复数集，则有2,11x C x ∀∈+≥． A ．0 B ．1 C ．2 D ．33、已知四个函数：①sin y x x =；②cos y x x =；③cos y x x =；④2x y x =⋅的图象如下，但顺序打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数正确的一组是A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①4、已知12515111(),log ,log 533a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >> 5、将函数2cos2y x x -的图象向右平移4π个单位长度，所得图象对应的函数()g xA1 B ．对称轴方程是7,12x k k Z ππ=+∈ C ．是周期函数，周期2T π=D ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 6、已知函数()log (01)a f x x a =<<的导函数()f x '，(),(1)()A f a b f a f a '==+-(1),(2)(1)C f a D f a f a '=+=+-+，则,,,A B C D 中最大的数是A ．AB ．BC ．CD ．D 7、已知a b <，若函数()(),f x g x 满足()()b baaf x dxg x dx =⎰⎰，则称()(),f x g x 为区间[],a b 上的一组“等积分”函数，给出四组函数：①()()2,1f x x g x x ==+； ②()()sin ,cos f x x g x x ==； ③()()234f xg x x π==； ④函数()(),f x g x 分别是定义在[]1,1-上的奇函数且积分值存在． 其中为区间[]1,1-上的“等积分”函数的组数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．48、已知2221a b c ++=，21c x x m ++≤-++对任意实数,,,a b c x 恒成立，则实数m的取值范围是A ．[)8,+∞B ．(][),42,-∞-+∞ C ．(][),18,-∞-+∞ D ．[)2,+∞9、已知由不等式组00240x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪--≤⎩，确定的平面区域Ω的面积为7，定点M 的坐标为()1,2-，若N ∈Ω，O 为坐标原点，则OM ON ⋅的最小值是A ．8-B ．7-C ．6-D ．4- 10、已知函数()()2212,3ln 2f x x axg x a x b =+=+设两曲线()(),y f x y g x ==有公共点，且在该点处的切线相同，则(0,)a ∈+∞时，实数b 的最大值是A ．6136eB ．616eC ．2372eD ．2332e第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上11、已知向量a 与向量b 的夹角为120，若()(2)a b a b +⊥-且2a =，则b 在a 上的投影为 12、已知偶函数()f x 在(],0-∞上满足：当(]12,,0x x ∈-∞且12x x ≠时，总有12120()()x x f x f x -<-，则不等式()()1f x f x -<的解集为 13、点O 是锐角ABC ∆的外心，812,3AB AC A π===，若AO xAB yAC =+，则23x y +=14、定义在正整数集上的函数()f n 满足（1）(())43()f f n n n N +=+∈；（2）(125)()f m m N +=∈，则有()f m = (2015)f = 15、（选修4-4：坐标系与参数方程） 曲线C 的参数方程是22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数，且(,2)θππ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的方程为sin()04πρθ+=，取线C 与曲线D 的交点为P ，则过交点P 且与曲线C 相切的极坐标方程是三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 16、（本小题满分12分）已知集合U R =，集合{|(2)(3)0}A x x x =--<，函数2(2)lg x a y a x-+=-的定义域为集合B ．（1） 若12a =，求集合()U A C B ；（2） 命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．17、（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(cos ,sin )m A A =，向量(2sin ,cos )n A A =- 若2m n +=． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆外接圆的半径为2，2b =，求边c 的长．18、（本小题满分12分）据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风已知向正南方向移动，其移动速度(/)v km h 与时间()t h 的函数图象如图所示，过线段OC 上一 点(,0)T t 作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为()t h 内 台风所经过的路程()s km ．（1）当4t =时，求s 的值，并将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；（2）若N 城位于M 地正南方向，且距N 地650km ，试判断这场台风师父会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多出时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．19、（本小题满分12分）某地一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：小时）的变化近似满足函数关系：()[]244sin ,0,24f t t t t ωω=--∈，且早上8时的温度为24C ，(0,)8πω∈．（1）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？（2）当地有一通宵营业的超市，我节省开支，跪在在环境温度超过28C 时，开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？20、（本小题满分13分）已知函数()()22(),(1)f x x x a g x x a x =-=-+-（其中a 为常数）（1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值，并写出函数()y f x =的单调区间；（2）求方程()()0f x g x -=在区间[]1,3-上实数解的个数．21、（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：当1x >时，12ln x x x<-； （Ⅱ）若不等式(1)ln(1)a t a t++>对任意的正实数t 恒成立，求正实数a 的取值范围； （Ⅲ）求证：19291()10e<教学合作2015届高三年级十月联考试题数学（理科）答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．解析：D 依题意；化简集合{|13}A x x x =≤-≥或，{|22}B x x =-≤<， 利用集合的运算可得：{|21}AB x x =-≤≤-.故选D.2．解析：C 命题（1）（2）是真命题，（3）是假命题，故选C3．解析：A ①sin y x x =是偶函数，其图象关于y 轴对称；②cos y x x =是奇函数，其图象关于原点对称；③|cos |y x x =是奇函数，其图象关于原点对称．且当0x >时，0y ≥；④2xy x =⋅为非奇非偶函数，且当0x >时，0y >；当0x <时，0y <；故选A.4．解析：B 由指数函数和对数函数的性质可知01,0,01a b c <<<<<，而1211()52a ==<，155511log log 3log 32c ==>=，所以有c a b >>，故选B.5．解析：D化简函数得2cos 22sin(2)6y x x x π=-=-，所以2()2sin(2)3g x x π=-易求最大值是2，周期是π，由22()32x k k Z πππ-=+∈，得对称轴方程是7()122k x k Z ππ=+∈ 由27222()2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤-≤+⇔+≤≤+∈，故选D. 6．解析：A 由于函数()log (01)a f x x a =<<是可导函数且为单调递减函数，,A C 分别表示函数在点,1a a +处切线的斜率，因为(1)()(1)f a f a B a a +-=+-，(2)(1)(2)(1)f a f a D a a +-+=+-+，故,B D 分别表示函数图象上两点(,()),(1,(1))a f a a f a ++和两点(1,(1)),(2,(2))a f a a f a ++++连线的斜率，由函数图象可知一定有A B C D <<<，四个数中最大的是D ，故选D .7．解析：C 对于①，1101111()2||2()22f x dx x dx x dx xdx ---==-+=⎰⎰⎰⎰，或者利用积分的几何意义（面积）直接可求得11()2f x dx -=⎰，而11121111()(+1)()|22g x dx x dx x x ---==+=⎰⎰，所以①是一组“等积分”函数；对于②，1111()sin 0f x dx xdx --==⎰⎰，而1111()cos 2sin10g x dx xdx --==≠⎰⎰，所以②不是一组“等积分”函数；对于③，由于函数()f x 的图象是以原点为圆心，1为半径的半圆，故111()2f x dx π--==⎰⎰，而1112311131()|442g x dx x dx x πππ---===⎰⎰，所以③是一组“等积分”函数；对于④，由于函数(),()f x g x 分别是定义在[1,1]-上的奇函数且积分值存在，利用奇函数的图象关于原点对称和定积分的几何意义，可以求得函数的定积分1111()()0f x dx g x dx --==⎰⎰，所以④是一组“等积分”函数，故选C8．解析：B 由柯西不等式得, 9))(432()232(2222=++++≤++c b a c b a ,即3232≤++c b a ,2c +的最大值为3，当且仅当22221c a b c ==++=⎩时等号成立；所以21||c x x m ++≤-++对任意实数,,,a b c x 恒成立等价于1||3x x m -++≥对任意实数x 恒成立，又因为1|||(1)()||1|x x m x x m m -++≥--+=+对任意x 恒成立，因此有即13m +≥，解得24m m ≥≤-或，故选B.9．解析： B 依题意：画出不等式组0040x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域（如右图所示）可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为8，由直线2y kx =+恒过点(0,2)B ，且原点的坐标恒满足2y kx -≤，当0k =时，2y ≤，此时平面区域Ω的面积为6，由于67<，由此可得0k <.由240y kx y x -=⎧⎨--=⎩可得242(,)11k D k k ---，依题意应有122||121k ⨯⨯=-，因此1k =-（3k =，舍去）故有(1,3)D -，设(,)N x y ，故由2z OM ON x y =⋅=-，可化为1122y x z =-，112<所以当直线1122y x z =-过点D 时，截距12z -最大，即z 取得最小值7-，故选B ． 10．解析：D依题意：()2f x x a '=+，23()a g x x'=，因为两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，设为00(,)P x y ，所以220000020000001()()23ln 23()()23f x g x x ax a x b a f x g x x a x a x a x ⎧=⇔+=+⎪⎪⎨⎪''=⇔+=⇔==-⎪⎩或，因为00x >，0a > 所以0x a =，因此22220001523ln 3ln (0)22b x ax a x a a a a =+-=->构造函数225()3ln (0)2h t t t t t =->，由()2(13l n )h t t t'=-，当130t e <<时，()0h t '>即()h t 单调递增；当13t e >时，()0h t '<即()h t 单调递减，所以1233max3()()2h t h e e ==即为实数b 的最大值.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上. 11．解析： 因为向量a 与向量b 的夹角为︒120，所以b 在a 上的投影为01||cos120||2b b =-，问题转化为求||b ，因为2()(2)()(2)02||||40a b a b a b a b b b +⊥-⇔+⋅-=⇔--= 故331||4b +=所以b 在a 上的投影为.12．解析：1{|}2x R x ∈> 依题意：偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，直接构造函数2()f x x =，问题转化为解不等式22(1)x x -<，解之得：12x >， 所以不等式(1)()f x f x -<的解集为1{|}2x R x ∈>.另解：依题意：偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增， 由于(1)()f x f x -<，即1(|1|)(||)|1|||2f x f x x x x -<⇔-<⇔> 所以不等式(1)()f x f x -<的解集为1{|}2x R x ∈>. 13．解析：53如图，O 点在,AB AC 上的射影是点,D E ，它们分别为,AB AC 的中点，由数量积的几何意义，可得||||32AB AO AB AD ⋅=⋅=，||||72AC AO AC AE ⋅=⋅=依题意有2644832AB AO xAB yAC AB x y ⋅=+⋅=+=，即432x y +=，同理24814472AC AO xAB AC yAC x y ⋅=⋅+=+=，即263x y += 综上，将两式相加可得：695x y +=，即5233x y +=14．解析：503 (2分) 1615m +（3分） 注意到(())43f f n n =+和(125)f m =， 易求得()((125))41253503f m f f ==⨯+=；因为(())43f f n n =+，所以((()))(43)4()3f f f n f n f n =+=+ 故有2(2015)(45033)4(503)34(41253)34(125)4331615f f f f f m =⨯+=+=⨯++=+⨯+=+15．解析： sin 2ρθ=-曲线Γ即直线的普通方程为0x y +=，又曲线C 即圆心为()2,0C ，半径为2的半圆，其方程为22(2)4x y -+=，注意到(,2)θππ∈，所以0y <，联立方程组得220(2)40x y x y y +=⎧⎪-+=⎨⎪<⎩，解之得22x y =⎧⎨=-⎩，故交点P 的坐标为(2,2)-.过交点P 且与曲线C 相切的直线的普通方程是2y =-，对应的极坐标方程为sin 2ρθ=-.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 解析：（1）因为集合{|23}A x x =<<，因为12a =函数29(2)4lg =lg12x x a y a x x --+=--，由9412x x -->0，可得集合19={|}24B x x <<…………2分 19{|}24U B x x x =≤≥或ð， …………………………………………4分故9(){|3}4UA B x x =≤<ð. ……………………………6分 （2）因为q 是p 的必要条件等价于p 是q 的充分条件，即A B ⊆由{|23}A x x =<<，而集合B 应满足2(2)0x a a x-+>-， 因为22172()024a a a +-=-+> 故2{|2}B x a x a =<<+， ……………………8分 依题意就有：2223a a ≤⎧⎨+≥⎩， ………………………………………10分 即1a ≤-或12a ≤≤所以实数a 的取值范围是∞(-,-1][1,2]. …………………12分17．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）依题意：(cos sin sin )m n A A A A +=-+，因为||2m n +=所以 22(cos sin (cos sin )4A A A A -++=，化简得：sin cos tan 1A A A =⇒=，故有4A π=. …………………6分（Ⅱ）依题意，在ABC ∆中，由正弦定理24sin aR A==，所以a = 由余弦定理可得：2222cos a b c b c A =+-⋅⋅，化简得：240c --=，解得：c =分18．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）由图象可知：直线OA 的方程是：3v t =，直线BC 的方程是：270v t =-+当4t =时，12v =，所以1412242s =⨯⨯=. …………………………………2分 当010t ≤≤时，213322s t t t =⨯⨯=； ………………………3分 当1020t <≤时，11030(10)30301502s t t =⨯⨯+-⨯=-…………………4分 当2035t <≤时，21150300(20)(27030)705502s t t t t =++⨯-⨯-++=-++ …………5分 综上可知s 随t 变化的规律是223[0,10]230150(10,20]70550(20,35]tt s t t t t t ⎧∈⎪⎪⎪=-∈⎨⎪⎪-+-∈⎪⎩………………………………………7分（Ⅱ）[0,10]t ∈，2max 3101506502s =⨯=<， …………………………………………8分 (10,20]t ∈,max 3020150450650s =⨯-=< …………………………9分当(20,35]t ∈时，令270550650t t -++=，解得30t =，（40t =舍去） (11)分即在台风发生后30小时后将侵袭到N 城. ……………………12分19．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）依题意()244sin 248sin()3f t t t t πωωω=--=-+ ……………………2分 因为早上8时的温度为24C ，即(8)24f =，11sin(8)08()()3383k k k Z ππωωπωπ+=⇒+=⇒=-∈……………………3分 (0,)8πω∈，故取1k =，12πω=， 所求函数解析式为()248sin(),(0,24]123f t t t ππ=-+∈. …………………………………5分 由sin()1123t ππ+=-，7(,)12333t ππππ+∈，可知3141232t t πππ+=⇒=， 即这一天在14时也就是下午2时出现最高温度，最高温度是32C .…………7分 （Ⅱ）依题意：令248sin()28123t ππ-+=，可得 1sin()1232t ππ+=- ……………………………9分 7(,)12333t ππππ+∈，71236t πππ∴+=或111236t πππ+=， 即10t =或18t =，………………11分故中央空调应在上午10时开启，下午18时（即下午6时）关闭…………12分20．（本小题满分13分）解析：（Ⅰ）2322()()2f x x x a x ax a x =-=-+，则22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--， ……………………1分令()0f x '=，得x a =或3a ，而二次函数()g x 在12a x -=处有极大值， ∴112a a a -=⇒=-或1323a a a -=⇒=； 综上：3a =或1a =-． ………………………4分 当3a =时，()y f x =的单调增区间是(,1],[3,)-∞+∞，减区间是(1,3)……5分当1a =-时，()y f x =的单调增区间是1(,1],[,)3-∞--+∞，减区间是1(1,)3--； ………………6分 （Ⅱ）22()()()[(1)]f x g x x x a x a x a -=---+-+2()()(1)x x a x a x =-+-+2()[(1)1]x a x a x =-+-+， …………8分2()(1)1h x x a x =+-+， (1)(3)a a ∆=+- 1 当13a -<<时，0∆<，()0h x =无解，故原方程的解为[1,3]x a =∈-，满足题意，即原方程有一解，[1,3]x a =∈-； …………………9分 2 当3a =时，0∆=，()0h x =的解为1x =，故原方程有两解，1,3x =； 3 当1a =-时，0∆=，()0h x =的解为1x =-，故原方程有一解，1x =-； 4 当3a >时，0∆>，由于(1)14,(0)1,(3)133h a h h a -=+>==- 若1313303a a -≤⇒≥时，()0h x =在[1,3]-上有一解，故原方程有一解； 若13133033a a ->⇒<<时，()0h x =在[1,3]-上无解，故原方程有无解； 5 当1a <-时，0∆>，由于(1)10,(0)1,(3)1330h a h h a -=+<==->()0h x =在[1,3]-上有一解，故原方程有一解； …………………11分 综上可得：当1333a <<时，原方程在[1,3]-上无解；当3a <或133a ≥时，原方程在[1,3]-上有一解；当3a =时，原方程在[1,3]-上有两解.……………13分21．（本小题满分14分）解析： （Ⅰ）令函数1()2ln f x x x x=-+，定义域是{|1}x R x ∈> 由22221(1)()10x f x x x x --'=--=≤，可知函数()f x 在(1,)+∞上单调递减 故当1x >时，1()2ln (1)0f x x x f x =-+<=，即12ln x x x <-. ……………………………3分（Ⅱ）因为0,0t a >>，故不等式(1)ln(1)a t a t ++>可化为ln(1)at t t a+>+……()* 问题转化为()*式对任意的正实数t 恒成立，构造函数()ln(1)(0)at g t t t t a=+->+， 则2221[(2)]()1()(1)()a t t a a g t t t a t t a --'=-=++++，……………6分 （1）当02a <≤时，0,(2)0t a a >-≤，()0g t '∴≥即()g t 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0g t g >=，即不等式ln(1)at t t a +>+对任意的正实数t 恒成立. （2）当2a >时，(2)0a a ->因此(0,(2))()0t a a g t '∈-<，，函数()g t 单调递减；((2),+)()0t a a g t '∈-∞>，，函数()g t 单调递增， 所以min (2)()((2))2ln(1)1a a g t g a a a a -=-=--- 2,11a a >∴->，令11x a =->， 由(Ⅰ)可知2min (2)11()2ln(1)2ln 2ln ()01a a x g t a x x x a x x--=--=-=--<-，不合题意. 综上可得，正实数a 的取值范围是(0,2]. ………………10分 （Ⅲ）要证19291()10e <，即证910119ln 2ln 19ln 219ln(1)21099e <-⇔>⇔+>， 由（Ⅱ）的结论令2a =，有2(1)ln(1)2t t++>对0t >恒成立， 取19t =可得不等式119ln(1)29+>成立， 综上，不等式19291()10e<成立. ………………………………14分。

湖北省教学合作2015届高三上学期10月联考数学(理)试题

湖北省教学合作2015届高三上学期10月联考数学(理)试题

教学合作2015届高三年级十月联考试题数学（理科）本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷 （选择题，50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、已知集合2{|{|0}2x A x y B x x +===≤-，则A B = A ．[]1,1- B ．[)1,2- C ．[)1,2 D ．[]2,1-- 2、下列命题中真命题的个数是（1）若命题,p q 中有一个是假命题，则()p q ⌝∧是真命题．（2）在ABC ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“90C =”的必要不充分条件． （3）C 表示复数集，则有2,11x C x ∀∈+≥． A ．0 B ．1 C ．2 D ．33、已知四个函数：①sin y x x =；②cos y x x =；③cos y x x =；④2x y x =⋅的图象如下，但顺序打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数正确的一组是A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①4、已知12515111(),log ,log 533a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >> 5、将函数2cos2y x x -的图象向右平移4π个单位长度，所得图象对应的函数()g x A1 B ．对称轴方程是7,12x k k Z ππ=+∈ C ．是周期函数，周期2T π= D ．在区间7[,]1212ππ上单调递增6、已知函数()log (01)a f x x a =<<的导函数()f x '，(),(1)()A f a b f a f a '==+-(1),(2)(1)C f a D f a f a '=+=+-+，则,,,A B C D 中最大的数是A ．AB ．BC ．CD ．D 7、已知a b <，若函数()(),f x g x 满足()()bbaaf x dxg x dx =⎰⎰，则称()(),f x g x 为区间[],a b 上的一组“等积分”函数，给出四组函数：①()()2,1f x x g x x ==+； ②()()sin ,cos f x x g x x ==； ③()()234f xg x x π==； ④函数()(),f x g x 分别是定义在[]1,1-上的奇函数且积分值存在． 其中为区间[]1,1-上的“等积分”函数的组数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．48、已知2221a b c ++=，21c x x m++≤-++对任意实数,,,a b c x 恒成立，则实数m的取值范围是A ．[)8,+∞B ．(][),42,-∞-+∞ C ．(][),18,-∞-+∞ D ．[)2,+∞9、已知由不等式组00240x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪--≤⎩，确定的平面区域Ω的面积为7，定点M 的坐标为()1,2-，若N ∈Ω，O 为坐标原点，则OM ON ⋅的最小值是A ．8-B ．7-C ．6-D ．4- 10、已知函数()()2212,3ln 2f x x axg x a x b =+=+设两曲线()(),y f x y g x ==有公共点，且在该点处的切线相同，则(0,)a ∈+∞时，实数b 的最大值是A ．6136eB ．616eC ．2372eD ．2332e第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上11、已知向量a 与向量b 的夹角为120，若()(2)a b a b +⊥-且2a =，则b 在a 上的投影为 12、已知偶函数()f x 在(],0-∞上满足：当(]12,,0x x ∈-∞且12x x ≠时，总有12120()()x x f x f x -<-，则不等式()()1f x f x -<的解集为 13、点O 是锐角ABC ∆的外心，812,3AB AC A π===，若AO xAB yAC =+，则23x y +=14、定义在正整数集上的函数()f n 满足（1）(())43()f f n n n N +=+∈；（2）(125)()f m m N +=∈，则有()f m = (2015)f = 15、（选修4-4：坐标系与参数方程） 曲线C 的参数方程是22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数，且(,2)θππ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的方程为sin()04πρθ+=，取线C 与曲线D 的交点为P ，则过交点P 且与曲线C 相切的极坐标方程是三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 16、（本小题满分12分）已知集合U R =，集合{|(2)(3)0}A x x x =--<，函数2(2)lg x a y a x-+=-的定义域为集合B ．（1） 若12a =，求集合()U A C B ； （2） 命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．17、（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(cos ,sin )m A A =，向量(2sin ,cos )n A A =- 若2m n +=． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆外接圆的半径为2，2b =，求边c 的长．18、（本小题满分12分）据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风已知向正南方向移动，其移动速度(/)v km h 与时间()t h 的函数图象如图所示，过线段OC 上一 点(,0)T t 作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为()t h 内 台风所经过的路程()s km ．（1）当4t =时，求s 的值，并将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；（2）若N 城位于M 地正南方向，且距N 地650km ，试判断这场台风师父会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多出时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．19、（本小题满分12分）某地一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：小时）的变化近似满足函数关系：()[]244sin ,0,24f t t t t ωω=--∈，且早上8时的温度为24C ，(0,)8πω∈．（1）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？（2）当地有一通宵营业的超市，我节省开支，跪在在环境温度超过28C 时，开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？20、（本小题满分13分）已知函数()()22(),(1)f x x x a g x x a x =-=-+-（其中a 为常数）（1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值，并写出函数()y f x =的单调区间；（2）求方程()()0f x g x -=在区间[]1,3-上实数解的个数．21、（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：当1x >时，12ln x x x<-； （Ⅱ）若不等式(1)ln(1)a t a t++>对任意的正实数t 恒成立，求正实数a 的取值范围；（Ⅲ）求证：19291()10e<教学合作2015届高三年级十月联考试题数学（理科）答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．解析：D 依题意；化简集合{|13}A x x x =≤-≥或，{|22}B x x =-≤<， 利用集合的运算可得：{|21}AB x x =-≤≤-.故选D.2．解析：C 命题（1）（2）是真命题，（3）是假命题，故选C3．解析：A ①sin y x x =是偶函数，其图象关于y 轴对称；②cos y x x =是奇函数，其图象关于原点对称；③|cos |y x x =是奇函数，其图象关于原点对称．且当0x >时，0y ≥；④2x y x =⋅为非奇非偶函数，且当0x >时，0y >；当0x <时，0y <；故选A.4．解析：B 由指数函数和对数函数的性质可知01,0,01a b c <<<<<，而1211()52a ==<，155511log log 3log 32c ==>=，所以有c a b >>，故选B.5．解析：D化简函数得2cos 22sin(2)6y x x x π=-=-，所以2()2sin(2)3g x x π=-易求最大值是2，周期是π，由22()32x k k Z πππ-=+∈，得对称轴方程是7()122k x k Z ππ=+∈ 由27222()2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤-≤+⇔+≤≤+∈，故选D. 6．解析：A 由于函数()log (01)a f x x a =<<是可导函数且为单调递减函数，,A C 分别表示函数在点,1a a +处切线的斜率，因为(1)()(1)f a f a B a a +-=+-，(2)(1)(2)(1)f a f a D a a +-+=+-+，故,B D 分别表示函数图象上两点(,()),(1,(1))a f a a f a ++和两点(1,(1)),(2,(2))a f a a f a ++++连线的斜率，由函数图象可知一定有A B C D <<<，四个数中最大的是D ，故选D .7．解析：C 对于①，1101111()2||2()22f x dx x dx x dx xdx ---==-+=⎰⎰⎰⎰，或者利用积分的几何意义（面积）直接可求得11()2f x dx -=⎰，而11121111()(+1)()|22g x dx x dx x x ---==+=⎰⎰，所以①是一组“等积分”函数；对于②，1111()sin 0f x dx xdx --==⎰⎰，而1111()cos 2sin10g x dx xdx --==≠⎰⎰，所以②不是一组“等积分”函数；对于③，由于函数()f x 的图象是以原点为圆心，1为半径的半圆，故111()2f x dx π--==⎰⎰，而1112311131()|442g x dx x dx x πππ---===⎰⎰，所以③是一组“等积分”函数；对于④，由于函数(),()f x g x 分别是定义在[1,1]-上的奇函数且积分值存在，利用奇函数的图象关于原点对称和定积分的几何意义，可以求得函数的定积分1111()()0f x dx g x dx --==⎰⎰，所以④是一组“等积分”函数，故选C8．解析：B 由柯西不等式得, 9))(432()232(2222=++++≤++c b a c b a ,即3232≤++c b a ,即2c +的最大值为3，当且仅当22221c a b c ==++=⎩时等号成立；21||c x x m ++≤-++对任意实数,,,a b c x 恒成立等价于1||3x x m -++≥对任意实数x 恒成立，又因为1|||(1)()||1|x x m x x m m -++≥--+=+对任意x 恒成立，因此有即13m +≥，解得24m m ≥≤-或，故选B.9．解析： B 依题意：画出不等式组0040x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域（如右图所示）可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为8，由直线2y kx =+恒过点(0,2)B ，且原点的坐标恒满足2y kx -≤，当0k =时，2y ≤，此时平面区域Ω的面积为6，由于67<，由此可得0k <.由240y kx y x -=⎧⎨--=⎩可得242(,)11k D k k ---，依题意应有122||121k ⨯⨯=-，因此1k =-（3k =，舍去）故有(1,3)D -，设(,)N x y ，故由2z OM ON x y =⋅=-，可化为1122y x z =-，112<所以当直线1122y x z =-过点D 时，截距12z -最大，即z 取得最小值7-，故选B ． 10．解析：D依题意：()2f x x a '=+，23()a g x x'=，因为两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，设为00(,)P x y ，所以220000020000001()()23ln 23()()23f x g x x ax a x b a f x g x x a x a x a x ⎧=⇔+=+⎪⎪⎨⎪''=⇔+=⇔==-⎪⎩或，因为00x >，0a > 所以0x a =，因此22220001523ln 3ln (0)22b x ax a x a a a a =+-=-> 构造函数225()3ln (0)2h t t t t t =->，由()2(13l n )h tt t '=-，当130t e <<时，()0h t '>即()h t 单调递增；当13t e >时，()0h t '<即()h t 单调递减，所以1233max 3()()2h t h e e ==即为实数b 的最大值.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.11．解析： 因为向量a 与向量b 的夹角为︒120，所以b 在a 上的投影为01||cos120||2b b =-，问题转化为求||b ，因为2()(2)()(2)02||||40a b a b a b a b b b +⊥-⇔+⋅-=⇔--= 故331||b +=所以b 在a 上的投影为.12．解析：1{|}2x R x ∈> 依题意：偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，直接构造函数2()f x x =，问题转化为解不等式22(1)x x -<，解之得：12x >， 所以不等式(1)()f x f x -<的解集为1{|}2x R x ∈>.另解：依题意：偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增， 由于(1)()f x f x -<，即1(|1|)(||)|1|||2f x f x x x x -<⇔-<⇔> 所以不等式(1)()f x f x -<的解集为1{|}2x R x ∈>. 13．解析：53如图，O 点在,AB AC 上的射影是点,D E ，它们分别为,AB AC 的中点，由数量积的几何意义，可得|||A B A O A⋅=⋅，||||72AC AO AC AE ⋅=⋅=依题意有2644832AB AO x AB y AC AB x y ⋅=+⋅=+=，即432x y +=，同理24814472AC AO x AB AC y AC x y ⋅=⋅+=+=，即263x y += 综上，将两式相加可得：695x y +=，即5233x y +=14．解析：503 (2分) 1615m +（3分） 注意到(())43f f n n =+和(125)f m =， 易求得()((125))41253503f m f f ==⨯+=；因为(())43f f n n =+，所以((()))(43)4()3f f f n f n f n =+=+ 故有2(2015)(45033)4(503)34(41253)34(125)4331615f f f f f m =⨯+=+=⨯++=+⨯+=+15．解析： sin 2ρθ=-曲线Γ即直线的普通方程为0x y +=，又曲线C 即圆心为()2,0C ，半径为2的半圆，其方程为22(2)4x y -+=，注意到(,2)θππ∈，所以0y <，联立方程组得220(2)40x y x y y +=⎧⎪-+=⎨⎪<⎩，解之得22x y =⎧⎨=-⎩，故交点P 的坐标为(2,2)-.过交点P 且与曲线C 相切的直线的普通方程是2y =-，对应的极坐标方程为sin 2ρθ=-.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 解析：（1）因为集合{|23}A x x =<<，因为12a =函数29(2)4lg =lg12x x a y a x x --+=--，由9412x x -->0， 可得集合19={|}24B x x <<…………2分19{|}24U B x x x =≤≥或ð， …………………………………………4分故9(){|3}4UA B x x =≤<ð. ……………………………6分 （2）因为q 是p 的必要条件等价于p 是q 的充分条件，即A B ⊆由{|23}A x x =<<，而集合B 应满足2(2)0x a a x-+>-， 因为22172()024a a a +-=-+> 故2{|2}B x a x a =<<+， ……………………8分 依题意就有：2223a a ≤⎧⎨+≥⎩， ………………………………………10分 即1a ≤-或12a ≤≤所以实数a 的取值范围是∞(-,-1][1,2]. …………………12分17．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）依题意：(cos sin sin )m n A A A A +=-+，因为||2m n += 所以22(cos sin (cos sin )4A A A A -++=，化简得：sin cos tan 1A A A =⇒=，故有4A π=. …………………6分（Ⅱ）依题意，在ABC ∆中，由正弦定理24sin aR A==，所以a = 由余弦定理可得：2222cos a b c b c A =+-⋅⋅，化简得：240c --=，解得：c =分18．（本小题满分12分） 解析：（Ⅰ）由图象可知：直线OA 的方程是：3v t =，直线BC 的方程是：270v t =-+ 当4t =时，12v =，所以1412242s =⨯⨯=. …………………………………2分 当010t ≤≤时，213322s t t t =⨯⨯=； ………………………3分 当1020t <≤时，11030(10)30301502s t t =⨯⨯+-⨯=-…………………4分 当2035t <≤时，21150300(20)(27030)705502s t t t t =++⨯-⨯-++=-++ …………5分综上可知s 随t 变化的规律是223[0,10]230150(10,20]70550(20,35]tt s t t t t t ⎧∈⎪⎪⎪=-∈⎨⎪⎪-+-∈⎪⎩………………………………………7分 （Ⅱ）[0,10]t ∈，2max 3101506502s =⨯=<， …………………………………………8分 (10,20]t ∈,max 3020150450650s =⨯-=< …………………………9分当(20,35]t ∈时，令270550650t t -++=，解得30t =，（40t =舍去）…………………………11分 即在台风发生后30小时后将侵袭到N 城. ……………………12分19．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）依题意()244sin 248sin()3f t t t t πωωω=--=-+ ……………………2分 因为早上8时的温度为24C ，即(8)24f =， 11sin(8)08()()3383k k k Z ππωωπωπ+=⇒+=⇒=-∈……………………3分 (0,)8πω∈，故取1k =，12πω=， 所求函数解析式为()248sin(),(0,24]123f t t t ππ=-+∈. …………………………………5分 由sin()1123t ππ+=-，7(,)12333t ππππ+∈，可知3141232t t πππ+=⇒=， 即这一天在14时也就是下午2时出现最高温度，最高温度是32C .…………7分 （Ⅱ）依题意：令248sin()28123t ππ-+=，可得 1sin()1232t ππ+=- ……………………………9分 7(,)12333t ππππ+∈，71236t πππ∴+=或111236t πππ+=， 即10t =或18t =，………………11分故中央空调应在上午10时开启，下午18时（即下午6时）关闭…………12分20．（本小题满分13分）解析：（Ⅰ）2322()()2f x x x a x ax a x =-=-+，则22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--， ……………………1分 令()0f x '=，得x a =或3a ，而二次函数()g x 在12a x -=处有极大值， ∴112a a a -=⇒=-或1323a a a -=⇒=； 综上：3a =或1a =-． ………………………4分 当3a =时，()y f x =的单调增区间是(,1],[3,)-∞+∞，减区间是(1,3)……5分 当1a =-时，()y f x =的单调增区间是1(,1],[,)3-∞--+∞，减区间是1(1,)3--； ………………6分 （Ⅱ）22()()()[(1)]f x g x x x a x a x a -=---+-+2()()(1)x x a x a x =-+-+ 2()[(1)1]x a x a x =-+-+， …………8分2()(1)1h x x a x =+-+， (1)(3)a a ∆=+- 1 当13a -<<时，0∆<，()0h x =无解，故原方程的解为[1,3]x a =∈-，满足题意，即原方程有一解，[1,3]x a =∈-； …………………9分 2 当3a =时，0∆=，()0h x =的解为1x =，故原方程有两解，1,3x =； 3 当1a =-时，0∆=，()0h x =的解为1x =-，故原方程有一解，1x =-； 4 当3a >时，0∆>，由于(1)14,(0)1,(3)133h a h h a -=+>==- 若1313303a a -≤⇒≥时，()0h x =在[1,3]-上有一解，故原方程有一解； 若13133033a a ->⇒<<时，()0h x =在[1,3]-上无解，故原方程有无解； 5 当1a <-时，0∆>，由于(1)10,(0)1,(3)1330h a h h a -=+<==->()0h x =在[1,3]-上有一解，故原方程有一解； …………………11分综上可得：当1333a <<时，原方程在[1,3]-上无解；当3a <或133a ≥时，原方程在[1,3]-上有一解；当3a =时，原方程在[1,3]-上有两解.……………13分21．（本小题满分14分）解析： （Ⅰ）令函数1()2ln f x x x x=-+，定义域是{|1}x R x ∈> 由22221(1)()10x f x x x x--'=--=≤，可知函数()f x 在(1,)+∞上单调递减 故当1x >时，1()2ln (1)0f x x x f x =-+<=，即12ln x x x <-. ……………………………3分（Ⅱ）因为0,0t a >>，故不等式(1)ln(1)a t a t ++>可化为ln(1)at t t a+>+……()* 问题转化为()*式对任意的正实数t 恒成立， 构造函数()ln(1)(0)at g t t t t a=+->+， 则2221[(2)]()1()(1)()a t t a a g t t t a t t a --'=-=++++，……………6分 （1）当02a <≤时，0,(2)0t a a >-≤，()0g t '∴≥即()g t 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0g t g >=，即不等式ln(1)at t t a +>+对任意的正实数t 恒成立. （2）当2a >时，(2)0a a ->因此(0,(2))()0t a a g t '∈-<，，函数()g t 单调递减；((2),+)()0t a a g t '∈-∞>，，函数()g t 单调递增， 所以min (2)()((2))2ln(1)1a a g t g a a a a -=-=--- 2,11a a >∴->，令11x a =->， 由(Ⅰ)可知2min (2)11()2ln(1)2ln 2ln ()01a a x g t a x x x a x x--=--=-=--<-，不合题意. 综上可得，正实数a 的取值范围是(0,2]. ………………10分 （Ⅲ）要证19291()10e <，即证910119ln 2ln 19ln 219ln(1)21099e <-⇔>⇔+>， 由（Ⅱ）的结论令2a =，有2(1)ln(1)2t t++>对0t >恒成立，取19t =可得不等式119ln(1)29+>成立， 综上，不等式19291()10e <成立. ………………………………14分。

2015年湖北数学高考卷理科含问题详解

2015年湖北数学高考卷理科含问题详解

实用文档绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.607的共轭复数为．为虚数单位，1ii．．．．A．B．C．1D．i1i??2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为A．134石B．169石C．338石D．1365石n的展开式中第4项与第83．已知项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为)(1?x1211109．D．B．A ．C 2222实用文档22????．设，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是，4)XN(N,Y(),2211??A．)Y?)?P(P(Y?12??．B)?)?P(P(X?X12，C．对任意正数t)?t)?P(YP(X?t，D．对任意正数t)?t)?P(YP(X?t 题图第4p 成等比数列；，5．设.：若3n?a,,a,a,a?Ra,a,n121n22222222q：，则)a?a?)(aa??a(aa?)(?aa?a?a??an1231n223n?1?2n1qpq是的必要条件的充分条件，但不是A．qpq是的充分条件的必要条件，但不是B．qp C．的充分必要条件是qpq既不是的必要条件的充分条件，也不是D．0,x?1,??0,x?x?0,sgn上的增函数，．已知符号函数，则是61)(a?x)?f(f(x)ax)g(x)?f(R??0.x??1,?．B．A x??sgnsgn[g(sgn[g(x)]?sgnxx)]．C．D)]f(x(x)]?sgn[g(x)]sgn[f(x)]??sgn[sgn[g11”的为事件“”的概率，7．在区间上随机取两个数，记为事件“yx,1][0,pp?y||x?y?x?21221为事件“”的概率，则概率，p?xy 32A．B．p?p?p?p?pp332121．C．D pp?p?p??pp231123同时增加个单位的双曲线8．将离心率为的实半轴长和虚半轴长0)m(mb(a?b)?aCe11的双曲线，则长度，得到离心率为Ce22时，；当B．当时，，A．对任意的baa?b?ba,ee?ee?ee?221121时，．当C．对任意的，时，；当D ba?ba?eee?ee?e?ba,21122122}?Z2,x,y|?2,|y|?yB?{(x,)|x}y?1,x Z y?,,A?{(xy)x?，定义集合9．已知集合，}B)?,(x,yA(,{(x?xy?y)x,y)??AB?中元素的个数为，则B?A212211213045 D．77 B．49 C．A．n2x，若存在实数的最大整数. ，使得，…，表示不超过，．设10n]?[t]?2[tt R?x1[?t[]x]，则正整数同时成立的最大值是n．．．．6 ．．．．A3 B4 C5 D实用文档分．请将答案填在答题卡对应分，共25二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5．．．．．题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．．．14题）（一）必考题（11—．，则11．已知向量，3?||OA??OA?ABOBOAπx2 12．函数的零点个数为．|ln(x?1)f(x)?4cos2sincos(?x)?x?|22 D的处时测得公路北侧一山顶在西偏北．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到1330A，则此山的高度方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为3075Bm.?CD yBDCN M AC O x TBA第13题图题图第14AB的上方），与14．如图，圆与轴相切于点轴正半轴交于两点（，在yB,AC0)(1,Tx2AB?．且；（Ⅰ）圆的标准方程为C．．22两点，下列三个结论：任作一条直线与圆相交于（Ⅱ）过点1x?y?O:NM,ANBNBMANAMAMA．；①②；③2????22?MBNBMBMBNANA其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（选修4-1：几何证明选讲）P AAPBC是圆的割线，是圆的切线，如图，为切点，BPC AB . 且，则PBBC?3?AC A16．（选修4-4：坐标系与参数方程）第15题图xOyOxl的极坐标方已知直线以在直角坐标系中，为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.实用文档1?x?t?,??t tlCABC???,两程为为参数) ，，曲线相交于( 的参数方程为与0)??3cos(sin?1?y?t??t?点，则 .?||AB三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分11分）π????在某一个周期内的图象某同学用“五点法”画函数)0,|x??)(|?(fx)?Asin(2时，列表并填入了部分数据，如下表：π3π???x0 π2π22ππ5x63??)?Asin(x 55?（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解)xf(．．．．．．．．．．．析式；??个单位长度，得到的图图象上所有点向左平行移动（Ⅱ）将)xy?fy?(x)g(?0)(5π?的最小值. . 象若，求图象的一个对称中心为)gy?(x0),(12实用文档18．（本小题满分12分）dnq．已知，，，项和为等比数列的公比为设等差数列的公差为，，前d?q2a?{a}bb{b}?S21n1nn．100S?10（Ⅰ）求数列，的通项公式；}{{a}b nn a n n项和．时，记，求数列的前（Ⅱ）当?c1?dT{c}nnn b n 19．（本小题满分12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．P底面，中，侧棱如图，在阳马ABCD?PABCD?PD于作交的中点且，过棱，PCPD?CDPBEFE?PBE点，连接F.,BE,DF,BDDEF．试判断四面体是（Ⅰ）证明：DEF平面PB?DBEF（只需写否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角CD；若不是，说明理由；出结论）π，（Ⅱ）若面与面所成二面角的大小为ABCDDEF3BADC 19题图第求的值．BC分）（本小题满分1220．小12吨，使用设备某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品．生产1吨产品需鲜牛奶BA,A元．要求每小时，获利12001.5吨产品需鲜牛奶吨，使用设备1.5时，获利1000元；生产1B. 12小时2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过天产品的产量不超过产品产量的BA,AB W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为假定每天可获取的鲜牛奶数量W18 12 15 P0.20.3 0.5（单位：元）该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z 是一个随机变量．的分布列和均值；（Ⅰ）求Z元的概100001天的最大获利超过3（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求天中至少有率．分）（本小题满分1421．NOMNON处铰链与转动，长杆可绕所示．一种作图工具如图1是滑槽的中点，短杆通过OAB ABDDONMNAB 内作上的栓子在滑槽可沿滑槽，滑动，且．当栓子连接，3MN??DN?ON1DNCMN也不动）不动时，处的笔尖画出的曲线记为．以为绕转动一周（带动往复运动时，，OO．．原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．ABx实用文档C的方程；（Ⅰ）求曲线（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线llQP,0l:x?2yxl:?2y?0?21OPQ的面积是否存在最小值？若有且只有一个公共点，试探究：△总与曲线C存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．yNNBOAD O x DM M2题图1第第21题图2114分）22．（本小题满分1n，e为自然对数的底数．的各项均为正数，已知数列}a{)a(n?b?n(1?)N n?nn n1xn与e的大小；（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较e?f(x)?1x?)(1?nbbbbbbbbb n22131211的公式，并给出证明；，由此推测计算（Ⅱ）计算，，aaaaaaaaa n312212111（Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为,, 证明：.)aac?(anSe?}}a{{cTST nn21nnnnnnn实用文档绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试题参考答案分）50小题，每小题5分，共一、选择题（本大题共101．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．D 9．C 10．B二、填空题（本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分）．12．2 1311．96100122．；（Ⅱ）①②③14．15（Ⅰ）．1622)?1)??(y(x?522三、解答题（本大题共6小题，共75分）分）（1117．π??. 数据补全如下表：（Ⅰ）根据表中已知数据，解得??2,?A?5,6??0 Eπ2πF3π2Eπ2π且函数表达式为.)??5sin(2xf(x)6ππ?.，得（Ⅱ）由（Ⅰ）知)2?)x?5sin(2x(x)?5sin(2x?)?g(f66因为的对称中心为，. Z?k0),ksiny?xπ(πππk??，，解得令 .Zk????kπ?x?2x?26212ππ5πk5π?，由于函数的图象关于点成中心对称，令)y?g(x??(,0)?1221212πππk???取得最小值时，. 由.可知，当解得，1k?Zk?0???23618．（12分）10a?45d?100,2a?9d?20,??11（Ⅰ）由题意有，即??ad?2,ad?2,??11实用文档1?9,a?79),?a?(2n??1,n?a?2?1,a?1n????9n1故解得或或????21n?22,d?.2b?.?d?????1n?.()b?9?n9? n?9?1n?21?n，于是，故，知（Ⅱ）由，2b?1d?1n?a?2?c nnn1n?21n?35792①，???T?1???n1n?23422222935n?11712. ②????T???n532n42222222②可得①-12n?12n?3111，??3?????T?2nn?22nn2222222n?3.故T??6nn?12分）1219．（）（解法1（Ⅰ）因为底面，所以，BCABCD?PD?PD由底面为长方形，有，而，D?PDCDCDBCABCD?所以. 而，所以. DEBC?PCDBC?平面平面DEPCD?又因为，点是的中点，所以. PCDEPC?CD?PDE而，所以平面. 而，所以. CPCBC?PBCDE?PBDE?PBCPB?平面，所以平面.又，DEEF?EEFPB?PBDEF?由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，PBCBDEFPB??DEDEF即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为. DFB?EFB，?DEF，?DEB?，BDEF（Ⅱ）如图1，在面内，延长与交于点，则是平面与平面ABCDDGPBCBCGDEFFE的交线. 由（Ⅰ）知，，所以. DGPB?DEF平面PB?又因为底面，所以. 而，所以.PPDPB?DGABCD?PD?PDPBD平面DG?故是面与面所成二面角的平面角，ABCDDEFBDF?2???1BD?，设，，有?BCPD?DC?1πPDB, 得, 由在Rt△, 中PB?DF??FDB?DPF?3πBD2??. 解得则, 2?3tanDPFtan?????1?3PD实用文档2DC1所以.???2BCπ2DC所成二面角的大小为与面时，. 故当面ABCDDEF?2BC3）（解法2设分别为为原点，射线轴的正半轴，建立空间直角坐标系. （Ⅰ）如图2，以zx,y,DPDA,DC,D???的，则，，点是，1),1,PB?(?PC?PD?DC?1BCP(,0,,0,0,1)(,B1,0))(0,1,0CD(0,0),E1111中点，所以，，),,)DE(0,E?(0,2222. ，即于是0?PB?DEDE?PB.，而，所以又已知EDEEF?PB?EFDEFPB?平面., 因, 则, 所以1)?PC?(0,1,0PC?DE?PCDE?PBC平面DE?由的四个面都是直角三角形，，平面，可知四面体平面PBCBDEFPB?DEFDE?.是一个鳖臑，其四个面的直角分别为即四面体DFB?DEF，?EFB，?DEB，?BDEFzPP219题解答图第19题解答图1第，所以（Ⅱ）由是平面的一个法向量；1)?(0,0,DPABCDABCD?平面PD?1)??,BP1,?(. ，所以由（Ⅰ）知，是平面的一个法向量DEFDEF?PB平面π，若面与面所成二面角的大小为ABCDDEF31π1DP?BP??cos?则，23||DP?BP||2?2?21DC ? . 解得所以2?.???2BC实用文档π2DC. 所成二面角的大小为时，故当面与面ABCDDEF?2BC3分）20．（12（Ⅰ）设每天两种产品的生产数量分别为，相应的获利为，则有yx,BA,z2x?1.5y?W,??x?1.5y?12,?（1）?2x?y?0,??x?0, y?0.?目标函数为．yx?1200z?1000yyy1210888(3,6)B(3,6)B(2.4,4.8)B(6,4)C12(0,0)A12C(6,0)xA(0,0)(7.5,0)(9,0)xDCOO12(0,0)AxO3题解答图第202题解答图第201 题解答图第20当时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为．12W?(6, 0)CA(0, 0), B(2.4, 4.8),5z将变形为，y1000x?1200z??xy??612005zy轴上的截距最大，在当时，直线：l4.8y?x?2.4, ??xy?61200最大获利．8160?1200??z?2.4?10004.8Z?max当时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为．15W?(7.5, 0)B(3, 6), CA(0, 0),5z将变形为，y1200xz?1000???xy?612005z当时，直线：在轴上的截距最大，yl6?x?3, y?y?x?61200最大获利．10200?6?1200?Z?z?31000?max当时，（1）表示的平面区域如图3，18W?四个顶点分别为.(9, 0)D(3, 6), C(6, 4), A(0, 0), B5z将变形为，y1200z?1000x???xy?612005zy轴上的截距最大，：当时，直线在l4y?x?6,?xy??61200最大获利．10800?1200?46?Zz??1000?max故最大获利的分布列为Z8160 1020010800 Z0.20.50.3 P实用文档因此，9708.10800?0.2??8160?0.3?10200?0.5?E(Z)，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率0.7??0.2p?P(Z?10000)?0.51元的概率为天中至少有1天最大获利超过10000由二项分布，3 330.973.1?0.3??1?(1?p)?p1．（14分）21 （Ⅰ）设点，，依题意，2)?D(t,0)(|t|),y(x,y),M(xN00，且，1|?|DN|?|ONDN?2MD yPND xOQM21题解答图第22?1,?y?(x?t)?00所以，且)y?2(x?t,?(t?x,y)?00221.?y?x??00,2t2t?x?x??0即且0.?(t?2x)t?0.2yy???0 0，由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于tND22yxyx22，，代入于是，故，可得1?y?xx?2t1???x?,y?000004162422yx的方程为即所求的曲线C1.??4161. ，都有）当直线的斜率不存在时，直线为或（Ⅱ）（14?xx?4?ll84?4?S??OPQ?212）当直线的斜率存在时，设直线，（l)??:y?kx?m(kl2,?kx?my?222. 由消去，可得y0168kmx?4m(1?4k?)x???2216,4y?x??总与椭圆有且只有一个公共点，因为直线Cl2222220?m64k16)m?4(1?4k?)(4??，即①所以. 4k?m?16,my?kx??mmmm?22.；同理可得又由可得),Q)P(,(?0,y?x?2k1?22k1?2k1?21?k?||m2的距离为和，可得由原点到直线O|xx1|PQ|??k?|PQ?dQP2k1?2m222mm111?|PQ|?Sd?|m||x?x|??|m|??. ②Q?OPQP2k412121222?k?k?实用文档21k?42m2. 将①代入②得，8?S?OPQ?22k?4114k?212?4k12当时，；8?)?8(1?)S?8(?kOPQ?2214k?4k?142124k1?2.时，当)?8(?1?S?8()?k0?OPQ?22k1k?41?4421222，所以，则因，，1k?0?1?481?)??2S0?k??8(?OPQ?22kk4141??4.当且仅当时取等号0k?S8.的最小值为所以当时，0k?OPQ?OPQ8.的面积取得最小值在四个顶点处相切时，△）（2）可知，当直线与椭圆综合（1Cl分）22．（14x?.，（Ⅰ）的定义域为e1?(x)f?)??(??,f(x)?，即时，单调递增；当0x?))(x?0xf(f?.时，单调递减当，即0?x)f(xx)?0f(. 的单调递增区间为，单调递减区间为故)??,0)??f(x)(0,(x. 时，当，即ex??10?x0?f(0)?f(x)1111n . ①令，即，得e?1?ex?)?(1?n nnnbbbbb11222121112（Ⅱ）；；3???1)?2?2(1??)1?1??2)??(2??1(12a1aaaa21211bbbbbb133********. 4?(3?3??3(1?)1)???3aaaaaa312213bbb nn21②由此推测：.1)(?n?aaa n12.下面用数学归纳法证明②. ，②成立1）当时，左边右边（?1n?2?bbb kk12. 时，②成立，即（2）假设当k?n1)k?(?aaa k1211k?时，当，由归纳假设可得1?n?ka1)(1?)(b?k?1k?k?11k?bbbbbbbb11??1kkk1k2k12kk?1?1. 2)??1)(1?)?(k1)??(k??(k1kaaaaaaaa?1k?k?12kk112.所以当时，②也成立1?n?kn. 都成立21）（），可知②对一切正整数根据（几何平均不等式，的定义及①得（Ⅲ）由的定义，②，算术-bc nn1111)aa(?)aaa?)a()a(?a(?a??c?c??cT?c n321n11112223n321n实用文档1111)(bbbb(bb))(bb)(b n321n32112211?????14?n23b?b?b?b?bb?bb?bn12312211?????1)n4??22n?3(3?11111111??????b[?b][?]???b2n14?122?33nn(?1)3?1)?n(n(1)n?2?n11111)?b?b(1?(()?b?)??n211?nn1n?2n?1bbb11121nn21?a?))?(1???a)a????(1(1?2n12n21n1.???eaa?eaeS?e2nn1.即SeT?nn。

湖北省部分重点中学2015届高三上学期起点考试数学理试

湖北省部分重点中学2015届高三上学期起点考试数学理试

湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期高三起点考试数 学 试 卷（理 科）【试卷综评】全面考查了考试说明中要求的内容，明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向,适度综合考查，提高试题的区分度.通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高的要求.突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 . i 为虚数单位，512iz i=+, 则z 的共轭复数为 ( ) A. 2-i B. 2+i C. -2-i D. -2+i2i =+，故z 的共轭复数为2i -，故选A.【思路点拨】先把原式化简，再利用共轭复数的概念即可求得结果.2．若二项式82a x x骣琪+琪桫的展开式中的常数项为70，则实数a 可以为（ ） DA ．2B ．12C ．【知识点】二项式定理；二项式系数的性质．【答案解析】B 解析 ：解：二项式定理的通项公式可得：()888218822rrr r r r r r a T C x C x a x ---+骣琪==琪桫，令820,4r r -==，所以常数项为4448270C a =，解得1a =. (第3题图)【知识点】程序框图，等差数列的前n 项和公式.【答案解析】C 解析 ：解：框图首先给循环变量n 赋值1，给累加变量p 赋值1， 执行n=1+1=2，p=1+（2×2-1）=1+3=4； 判断4＞20不成立，执行n=2+1=3，p=1+3+（2×3-1）=1+3+5=9； 判断9＞20不成立，执行n=3+1=4，p=1+3+5+（2×4-1）=1+3+5+7=16； …由上可知，程序运行的是求首项为1，公差为2的等差数列的前n 项和，由()2121202n n p n +-==>，且n ∈N *，得n=5．故选C ．【思路点拨】框图首先给循环变量n 赋值1，给累加变量p 赋值1，然后执行运算n=n+1，p=p+2n-1，然后判断p ＞20是否成立，不成立循环执行n=n+1，p=p+2n-1，成立时算法结束，输出n 的值．且由框图可知，程序执行的是求等差数列的前n 项和问题．当前n 项和大于20时，输出n 的值．4.直线:1l y k x =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“△ABO 的面积为12”的（ ） .A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件【知识点】充分、必要条件的判断.【答案解析】A 解析 ：解：若1k =，则直线与圆交于()()0,1,1,0两点，所以111122ABO S =创= ,充分性成立；若△ABO 的面积为12，易知1k =?，必要性不成立，故选A.【思路点拨】看两命题是否能够互相推出，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．5． 已知函数 y = 2sin x 的定义域为[a,b] ,值域为[-2,1] ，则 b-a 的值不可能是( ) A.56π B.π C . 76π D. 2π 【知识点】正弦函数的图象;利用图象求函数的值域. 【答案解析】D 解析 ：解：函数2sin y x =在R 上有22y-＃函数的周期T =2p ,值域[]2,1-含最小值不含最大值，故定义域[],a b 小于一个周期 b a 2p -＜,故选D【思路点拨】结合三角函数R 上的值域，当定义域为[],a b ，值域为[]2,1-，可知[],a b 小于一个周期，从而可得结果．6.若,x y满足2020x ykx yy+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x=-的最小值为－2，则k的值为（）A. 1B.－1C. 2D. --2 【知识点】简单线性规划．【答案解析】B解析：解：由约束条件2020x ykxyy+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩作出可行域如图，由20kx y-+=，得2xk=-，∴B2,0k骣琪-琪桫．由z y x=-得y x z=+．由图可知，当直线y x z=+过B2,0k骣琪-琪桫时直线在y轴上的截距最小，即z最小．7.在空间直角坐标系Oxyz中，已知()2,0,0A，()2,2,0B，()0,2,0C，(1D，若1S，2S，3S分别表示三棱锥D A B C-在xO y，yO z，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A123S S S== B12S S=且31S S≠C13S S=且32S S≠ D23SS=且13S S≠【知识点】空间直角坐标系．【答案解析】D解析：解：设()2,0,0A，()2,2,0B，()0,2,0C，(1D，则各个面上的射影分别为A'，B'，C'，D'，在xOy坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，2，0），C'（0，2，0），8．已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C，则2C 的渐近线方程为( )A . 0x ?B.0y ±= C.20x y ±= D.20x y ±===0?选A.【思路点拨】由已知椭圆、双曲线的几何性质可得双曲线的渐近线方程.9.已知向量 ,a b 满足1,a = a 与b 的夹角为3p，若对一切实数x , 2xa b a b +?恒成立，则b的取值范围是( )。

湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学四校联考2015届高

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湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学四校联考2015届高三上学期10月月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）复数z=的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）若a=log23，b=log32，，则下列结论正确的是（）A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a3．（5分）已知两个集合A={x|y=ln（﹣x2+x+2）}，，则A∩B=（）A．B．C．（﹣1，e）D．（2，e）4．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q5．（5分）以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（）A．③④B．①②C．②③D．②④6．（5分）若O为△ABC所在平面内任一点，且满足（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC一定是（）A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形7．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，4]时，f（x）=x﹣2，则（）A．f（sin）＜f（cos）B．f（sin）＞f（cos）C．f（sin1）＜f（cos1）D．f（sin）＞f（cos）8．（5分）关于函数，有下列命题：①其表达式可写成；②直线图象的一条对称轴；③f（x）的图象可由g（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到；④存在α∈（0，π），使f（x+α）=f（x+3α）恒成立则其中真命题为（）A．②③B．①②C．②④D．③④9．（5分）我们常用以下方法求形如y=f（x）g（x）的函数的导数：先两边同取自然对数得：lny=g（x）lnf（x），再两边同时求导得到：•y′=g′（x）lnf（x）+g（x）••f′（x），于是得到y′=f（x）g（x）[g′（x）]lnf（x）+g（x）••f′（x），运用此方法求得函数y=x（x＞0）的极值情况是（）A．极小值点为eB．极大值点为eC．极值点不存在D．既有极大值点，又有极小值点10．（5分）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x）=ax（a为常数），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知对于任意k∈（0，1），g（x）=ax是函数f（x）=的一个承托函数，记实数a的取值范围为集合M，则有（）A．e﹣1∉M，e∉M B．e﹣1∉M，e∈M C．e﹣1∈M，e∉M D．e﹣1∈M，e∈M二、填空题：（本大题共4小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上）（一）必做题（11～14题）11．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若log2a2+log2a8=1，则a5=．12．（5分）计算定积分（x2+sinx）dx=．13．（5分）已知函数f（x）=sin3x+2015x，对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围为．14．（5分）已知函数f（x）=．则（ⅰ）f（f（x））=；（ⅱ）给出下列四个命题：①函数f（x）是偶函数；②存在x i∈R（i=1，2，3），使得以点（x i，f（x i））（i=1，2，3）为顶点的三角形是等边三角形；③存在x i∈R（i=1，2，3），使得以点（x i，f（x i））（i=1，2，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形；④存在x i∈R（i=1，2，3，4），使得以点（x i，f（x i））（i=1，2，3，4）为顶点的四边形是菱形．其中，所有真命题的序号是．一、选修4-4坐标系与参数方程选讲15．（5分）已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为．一、选修4-1几何证明选讲16．如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知，PC=4，圆心O 到BC的距离为，则圆O的半径为．三．解答题：（本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知函数，x∈R．（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别a，b，c，且c=3，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求a，b的值．18．（12分）已知等差数列{a n}的前三项和为12，且a1，a2，a4成公比不为1的等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=，是否存在正整数，使得b1+b2+…+b n＞，对∀n＞M（n∈N+）恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由．19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点．（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由．20．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）．现已知此商品每件售价为500元，且该厂年内生产此商品能全部销售完．（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？21．（13分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），P为椭圆G的上顶点，且∠PF1O=45°．（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1：y=kx+m1与椭圆G交于A，B两点，直线l2：y=kx+m2（m1≠m2）与椭圆G交于C，D两点，且|AB|=|CD|，如图所示．（ⅰ）证明：m1+m2=0；（ⅱ）求四边形ABCD的面积S的最大值．22．（14分）设函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R），g（x）=．（Ⅰ）当a=b=0时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程y=h（x）；并证明f（x）≥h（x）（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，若f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学四校联考2015届高三上学期10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）复数z=的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi的形式，然后求法共轭复数即可．解答：解：复数z====﹣1+i．所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i．故选D．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．2．（5分）若a=log23，b=log32，，则下列结论正确的是（）A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的单调性将a、b、c与0和1进行比较，从而可得a、b、c的大小关系．解答：解：∵a=log23＞log22=1，0=log31＜b=log32＜log33=1，＜log41=0，∴c＜b＜a故选D．点评：本题主要考查了对数函数的单调性，以及对数值的比较大小，同时考查运算求解的能力，属于基础题．3．（5分）已知两个集合A={x|y=ln（﹣x2+x+2）}，，则A∩B=（）A．B．C．（﹣1，e）D．（2，e）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A中函数的定义域确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B 的交集即可．解答：解：由A中的函数y=ln（﹣x2+x+2）}，得到﹣x2+x+2＞0，即x2﹣x﹣2＜0，整理得：（x﹣2）（x+1）＜0，即﹣1＜x＜2，∴A=（﹣1，2），由B中的不等式变形得：（2x+1）（e﹣x）≤0，且e﹣x≠0，即（2x+1）（x﹣e）≥0，且x≠e，解得：x≤﹣或x＞e，即B=（﹣∞，﹣]∪（e，+∞），则A∩B=（﹣1，﹣]．故选：B．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．4．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据指数函数的单调性判断命题p的真假；利用函数的零点判定定理判断命题q 的真假，再由复合命题真值表依次判断可得答案．解答：解：∵当x＜0时，2x＞3x，∴命题p为假命题；∵f（x）=x3+x2﹣1，图象连续且f（0）•f（1）＜0，∴函数f（x）存在零点，即方程x3=1﹣x2有解，∴命题q为真命题，由复合命题真值表得：p∧q为假命题；p∧￢q为假命题；（￢p）∧q为真命题；￢p∧￢q为假命题．选故C．点评：本题考查了简单命题的真假判定，复合命题的真假判定规律，熟练掌握复合命题真值表是解答本题的关键．5．（5分）以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（）A．③④B．①②C．②③D．②④考点：利用导数研究函数的单调性．专题：规律型．分析：利用导数大于0可得其单调递增区间，导数小于0可得其单调递减区间，①②③④的正确性．解答：解：①该三次函数的导函数的图象为开口方向向下的抛物线，该抛物线在x轴下方的区间对应原函数的递减区间，该抛物线在x轴上方的区间对应原函数的递增区间，符合要求，正确；②同理可分析②正确；③从其导函数图象来看，原函数在（﹣∞，0）单调递增，在（0，a）单调递减（a为图中虚线处的横坐标），图与题意不符，故③错误；④同理可分析④错误；故选A．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，着重考查函数图象与其导函数图象之间的对应关系，考查分析问题的能力与数形结合的思想，属于中档题．6．（5分）若O为△ABC所在平面内任一点，且满足（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC一定是（）A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形考点：三角形的形状判断；向量在几何中的应用．专题：解三角形；平面向量及应用．分析：利用向量的运算法则将等式中的向量，，用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的形状解答：解：∵（﹣）•（+﹣2）=（﹣）•[（﹣）+（﹣）]=（﹣）•（+）=•（+）=（﹣）•（+）=||2﹣||2=0∴||=||，∴△ABC为等腰三角形．故答案为：B点评：本题考查三角形的形状判断，着重考查平面向量的数量积及应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．7．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，4]时，f（x）=x﹣2，则（）A．f（sin）＜f（cos）B．f（sin）＞f（cos）C．f（sin1）＜f（cos1）D．f（sin）＞f（cos）考点：奇偶性与单调性的综合；函数的周期性．专题：证明题；压轴题；探究型．分析：观察题设条件与选项．选项中的数都是（0，1）的数，故应找出函数在（0，1）上的单调性，用单调性比较大小．解答：解：x∈[3，4]时，f（x）=x﹣2，故偶函数f（x）在[3，4]上是增函数，又定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），故函数的周期是2所以偶函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，所以f（x）在（0，1）上是减函数，观察四个选项A中sin＜cos，故A不对；B选项中sin＞cos，故B不对；C选项中sin1＞cos1，故C对；D亦不对．综上，选项C是正确的．故应选C．点评：本题考查函数的周期性与函数的单调性比较大小，构思新颖，能开拓答题者的思维深度．8．（5分）关于函数，有下列命题：①其表达式可写成；②直线图象的一条对称轴；③f（x）的图象可由g（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到；④存在α∈（0，π），使f（x+α）=f（x+3α）恒成立则其中真命题为（）A．②③B．①②C．②④D．③④考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；诱导公式的作用；正弦函数的对称性．专题：压轴题；阅读型．分析：①将两函数解析式化简整理，若表示同一个函数，则①正确，否则错误．②若时，f（x）取得最值，则②正确．否则错误．③根据左加右减原则，写出平移后图象对应的解析式，进行对照可以断定正误④考虑先取特殊值，比如取α=等进行验证．解答：解：=（sin2x﹣cos2x）．=（cos2x﹣sin2x）．与原函数不为同一个函数，①错误．②时，f（x）=sin[2×（）﹣]=sin（﹣）=﹣1，函数取得最小值，所以直线图象的一条对称轴．②正确③将g（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到，得到图象对应的解析式是y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）=﹣cos2x，与f（x）不为同一个函数．③错误．④取α=，f（x+α）=f（x+）==sin（2x+），f（x+3α）=f （x+3•）==sin（2x+3π﹣）=sin（2x+2π+π﹣）=sin（2x+），所以存在取α=∈（0，π），使f（x+α）=f（x+3α）恒成立．④正确．故选C．点评：本题考查三角函数图象性质，三角函数式的化简，三角函数图象变换．在图象平移变换中，针对的是x的变化，③中，平移后相位应由2x变化为2（x﹣）即为2x﹣，而不是2x﹣．9．（5分）我们常用以下方法求形如y=f（x）g（x）的函数的导数：先两边同取自然对数得：lny=g（x）lnf（x），再两边同时求导得到：•y′=g′（x）lnf（x）+g（x）••f′（x），于是得到y′=f（x）g（x）[g′（x）]lnf（x）+g（x）••f′（x），运用此方法求得函数y=x（x＞0）的极值情况是（）A．极小值点为eB．极大值点为eC．极值点不存在D．既有极大值点，又有极小值点考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：根据定义，先求原函数的导数，令导数大于0，解不等式即可解答：解：由题意知y′=•（•lnx+••1）=•，（x＞0）令y'＞0，得1﹣lnx＞0∴0＜x＜e，x＞e，y′＜0所以极大值点为e，故选：B．点评：本题考查函数的导数的应用，极值的求法，基本知识的考查．10．（5分）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x）=ax（a为常数），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知对于任意k∈（0，1），g（x）=ax是函数f（x）=的一个承托函数，记实数a的取值范围为集合M，则有（）A．e﹣1∉M，e∉M B．e﹣1∉M，e∈M C．e﹣1∈M，e∉M D．e﹣1∈M，e∈M考点：函数最值的应用．专题：函数的性质及应用．分析：函数g（x）=ax（a为常数）是函数f（x）的一个承托函数，即说明函数f（x）的图象恒在函数g（x）的上方（至多有一个交点），根据函数，再分离参数，确定函数的单调性，求最值，即可得到结论．解答：解：令F（x）=﹣ax，则F（x）=﹣ax≥0对于任意k∈（0，1）恒成立由题意，x＞0时，a≤，x＜0时，a≥，下面考虑a≤，令h（x）=，则h′（x）=由h′（x）＜0得x＜k，由h′（x）＞0得x＞k，所以h（x）在（0，k）上单调递减，在（k，+∞）上单调递增，所以当x=k时h（x）取得最小值h（k）=，∴∵k∈（0，1），∴a≤ex＜0时，h′（x）＜0，h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，∴a≥0，∴0≤a≤e∴e﹣1∈M，e∈M故选D．点评：本题考查新定义，考查函数恒成立问题，考查分析问题解决问题的能力，对于恒成立问题往往转化为函数最值问题处理．二、填空题：（本大题共4小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上）（一）必做题（11～14题）11．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若log2a2+log2a8=1，则a5=．考点：等比数列的性质；对数的运算性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由对数的运算性质结合已知得到log2（a2a8）=1，求出a2a8=2，再由等比数列的性质得答案．解答：解：由log2a2+log2a8=1，得log2（a2a8）=1，∴a2a8=2．∵数列{a n}是等比数列，∴a52=a2a8=2．所以a5=故答案为：．点评：本题考查对数的运算性质和等比数列的性质，考查运算能力，属于基础题．12．（5分）计算定积分（x2+sinx）dx=．考点：定积分．专题：计算题．分析：求出被积函数的原函数，再计算定积分的值．解答：解：由题意，定积分===．故答案为：．点评：本题考查定积分的计算，确定被积函数的原函数是关键．13．（5分）已知函数f（x）=sin3x+2015x，对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围为（﹣2，）．考点：函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：运用导数，先求出单调性和奇函数，再根据单调性得到不等式，运用一次函数的单调性，求出x的范围．解答：解：由f（x）=sin3x+2015x，f′（x）=3sin2x•cosx+2015＞0，则f（x）为增函数且为奇函数，f（mx﹣2）+f（x）＜0即为f（mx﹣2）＜﹣f（x）=f（﹣x），由题意得到mx﹣2＜﹣x在m∈[﹣2，2]恒成立，即有﹣2x﹣2＜﹣x且2x﹣2＜﹣x，解得，﹣2＜x＜．故答案为：（﹣2，）．点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，注意运用主元法思想，考查运算能力，属于中档题．14．（5分）已知函数f（x）=．则（ⅰ）f（f（x））=1；（ⅱ）给出下列四个命题：①函数f（x）是偶函数；②存在x i∈R（i=1，2，3），使得以点（x i，f（x i））（i=1，2，3）为顶点的三角形是等边三角形；③存在x i∈R（i=1，2，3），使得以点（x i，f（x i））（i=1，2，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形；④存在x i∈R（i=1，2，3，4），使得以点（x i，f（x i））（i=1，2，3，4）为顶点的四边形是菱形．其中，所有真命题的序号是①②④．考点：命题的真假判断与应用．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：（ⅰ）对x分类：x∈Q和x∈C R Q，再由解析式求出f（f（x））的值；（ⅱ）①对x分类：x∈Q和x∈C R Q，分别判断出f（﹣x）=f（x），再由偶函数的定义判断出①正确；②不正确；由③解析式做出大致图象：根据图象和等腰直角三角形的性质，进行判断即可；④取两个自变量是有理数，使得另外两个无理数差与两个有理数的差相等，即可得出此四边形为平行四边形．解答：解：（ⅰ）由题意知，f（x）=，当x∈Q时，f（x）=1∈Q，则f（f（x））=1；当x∈C R Q时，f（x）=0∈Q，则f（f（x））=1，综上得，f（f（x））=1；（ⅱ）对于①与②，当x∈Q时，则﹣x∈Q，故f（﹣x）=1=f（x），当x∈C R Q时，则﹣x∈C R Q，故f（﹣x）=0=f（x），∴函数f（x）是偶函数，①正确；②不正确；对于③，根据f（x）=，做出函数的大致图象：假设存在等腰直角三角形ABC，则斜边AB只能在x轴上或在直线y=1上，且斜边上的高始终是1，不妨假设A，B在x轴上，如图故斜边AB=2，故点A、B的坐标不可能是无理数，否则O点不再是中点，故不存在，另外，当AB在y=1上，C在x轴时，由于AB=2，则C的坐标应是有理数，故假设不成立，即不存在符合题意的等腰直角三角形，③错误；对于④，根据③做出的图形知，取两个自变量是有理数，使得另外两个无理数差与两个有理数的差相等，即可画出平行四边形，且是对角线相互垂直，可以做出以点（x i，f（x i））（i=1，2，3，4）为顶点的四边形为菱形，④正确．故答案为：①②④点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查对函数定义的理解与综合应用，考查抽象思维与逻辑思维能力，属于难题．一、选修4-4坐标系与参数方程选讲15．（5分）已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为（1，）．考点：参数方程化成普通方程；直线的参数方程；椭圆的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：利用同角三角函数的基本关系及代入的方法，把参数方程化为普通方程，再利用消去参数t化曲线的参数方程为普通方程，最后解方程组求得两曲线的交点坐标即可．解答：解：曲线参数方程（0≤θ＜π）的直角坐标方程为：；曲线（t∈R）的普通方程为：；解方程组：得：∴它们的交点坐标为（1，）．故答案为：（1，）．点评：本题考查同角三角函数的基本关系，参把数方程化为普通方程的方法，以及求两曲线的交点坐标的方法，考查运算求解能力．属于基础题．一、选修4-1几何证明选讲16．如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知，PC=4，圆心O 到BC的距离为，则圆O的半径为2．考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：计算题．分析：根据已知中从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知，PC=4，我们由切割线定理及求出PB的长，进而求出弦BC的长，然后根据半径弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，即可求出答案．解答：解：∵PA为圆的切线，PBC为圆的割线，由线割线定理得：PA2=PB•PC又∵，PC=4，∴PB=2，BC=2又∵圆心O到BC的距离为，∴R=2故答案为：2点评：本题考查圆的切割线定理与垂径定理，属于中等题．其中根据切割线定理求出弦BC的长是解答本题的关键．三．解答题：（本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知函数，x∈R．（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别a，b，c，且c=3，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求a，b的值．考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：综合题．分析：（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简三角函数，即可求函数f（x）的最大值和最小正周期；（2）先求出C，再利用sin（A+C）=2sinA，结合正弦、余弦定理，可求a，b的值．解答：解：（1）…．（3分）∵，∴，∴f（x）的最大值为0，最小正周期是…（6分）（2）由，可得∵0＜C＜π，∴0＜2C＜2π，∴∴，∴∵sin（A+C）=2sinA，∴由正弦定理得①…（9分）由余弦定理得∵c=3∴9=a2+b2﹣ab②由①②解得，…（12分）点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查正弦、余弦定理的运用，属于中档题．18．（12分）已知等差数列{a n}的前三项和为12，且a1，a2，a4成公比不为1的等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=，是否存在正整数，使得b1+b2+…+b n＞，对∀n＞M（n∈N+）恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由．考点：数列的求和；等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）由题意可得，由此能求出a n=2n．（Ⅱ）b n==，从而b1+b2+…+b n=2﹣（）n﹣1，进而得到＞2﹣，由此能求出M的最小值为8．解答：解：（I）由题意可得：，设{a n}的公差为d，则，解得a1=2，d=2或a1=4，d=0．∵a1，a2，a4成公比不为1的等比数列，∴d=2，故a n=2n．（Ⅱ）∵b n==，∴b1+b2+…+b n==2﹣（）n﹣1，∵b1+b2+…+b n，∴＞2﹣，∴（）n﹣1＜，∴＜，解得n≥9，∴M≥8，故M的最小值为8．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查实数值的最小值的求法，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点．（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）利用CM与BN交于F，连接EF．证明AN∥EF，通过直线与平面平行的判定定理证明AN∥平面MEC；（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设x在线段AM上是否存在点P，使二面角P ﹣EC﹣D的大小为．再通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，结合向量的数量积求出二面角P﹣EC﹣D的大小，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．解答：解：（I）CM与BN交于F，连接EF．由已知可得四边形BCNM是平行四边形，所以F是BN的中点．因为E是AB的中点，所以AN∥EF．…（7分）又EF⊂平面MEC，AN⊄平面MEC，所以AN∥平面MEC．…（9分）（II）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DE⊥AB．又四边形ADNM是矩形，面ADNM⊥面ABCD，∴DN⊥面ABCD，如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），E（，0，0），C（0，2，0），P（，﹣1，h），=（，﹣2，0），=（0，﹣1，h），设平面PEC的法向量为=（x，y，z）．则，∴，令y=h，∴=（2h，h，），又平面ADE的法向量=（0，0，1），∴cos＜，＞===，解得h=，∴在线段AM上是否存在点P，当h=时使二面角P﹣EC﹣D的大小为．点评：本题考查存在性问题，直线与平面平行的判断，二面角的求法，考查空间想象能力与计算能力．20．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）．现已知此商品每件售价为500元，且该厂年内生产此商品能全部销售完．（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：（1）根据年利润=销售额﹣投入的总成本﹣固定成本分0＜x＜80和当x≥80两种情况得到L与x的分段函数关系式；（2）当0＜x＜80时根据二次函数求最大值的方法来求L的最大值，当x≥80时，利用基本不等式来求L的最大值．解答：解：（1）当0＜x＜80，x∈N*时，当x≥80，x∈N*时，L（x）=﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）∴．（2）当0＜x＜80，x∈N*时，，当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950当x≥80，x∈N，∵，∴当，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000＞950．综上所述，当x=100时L（x）取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．点评：考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力．21．（13分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），P为椭圆G的上顶点，且∠PF1O=45°．（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1：y=kx+m1与椭圆G交于A，B两点，直线l2：y=kx+m2（m1≠m2）与椭圆G交于C，D两点，且|AB|=|CD|，如图所示．（ⅰ）证明：m1+m2=0；（ⅱ）求四边形ABCD的面积S的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题．分析：（Ⅰ）根据F1（﹣1，0），∠PF1O=45°，可得b=c=1，从而a2=b2+c2=2，故可得椭圆G的标准方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．（ⅰ）直线l1：y=kx+m1与椭圆G联立，利用韦达定理，可求AB，CD的长，利用|AB|=|CD|，可得结论；（ⅱ）求出两平行线AB，CD间的距离为d，则，表示出四边形ABCD的面积S，利用基本不等式，即可求得四边形ABCD的面积S取得最大值．解答：（Ⅰ）解：设椭圆G的标准方程为．因为F1（﹣1，0），∠PF1O=45°，所以b=c=1．所以，a2=b2+c2=2．…（2分）所以，椭圆G的标准方程为．…（3分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．（ⅰ）证明：由消去y得：．则，…（5分）所以===．同理．…（7分）因为|AB|=|CD|，所以．因为m1≠m2，所以m1+m2=0．…（9分）（ⅱ）解：由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则．因为m1+m2=0，所以．…（10分）所以=．（或）所以当时，四边形ABCD的面积S取得最大值为．…（12分）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，考查三角形的面积，同时考查利用基本不等式求最值，正确求弦长，表示出四边形的面积是解题的关键．22．（14分）设函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R），g（x）=．（Ⅰ）当a=b=0时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程y=h（x）；并证明f（x）≥h（x）（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，若f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）把a=b=0代入函数解析式，求y=f（x）在点（0，f（0））处的导数，得到切线方程y=h（x）然后构造函数F（x）=f（x）﹣h（x），利用导数求其最小值为F（0），则结论即可证明；（Ⅱ）当b=﹣1时，f（x）≥g（x）等价于，构造函数G（x）=，求其导函数，分a≥﹣1和a＜﹣1讨论，讨论可知a≥﹣1时f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，a＜﹣1时不合题意；（Ⅲ）把要证的结论转化为证，然后结合（Ⅱ）与（Ⅰ）中的结论采用换元的办法证得，故（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．解答：解：（Ⅰ）当a=0，b=0时，f（x）=e x，f′（x）=e x，∴f′（0）=1，f（0）=1，∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1=1（x﹣0），即：y=h（x）=x+1；证明：令F（x）=f（x）﹣h（x）=e x﹣x﹣1，∴F′（x）=e x﹣1≥0，∴F（x）=e x﹣x﹣1单调递增，又F（0）=0，∴F（x）≥F（0），即e x≥x+1（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，f（x）≥g（x）等价于，令G（x）=，∴G′（x）=e x﹣x+a，当a≥﹣1时，由（1）知G′（x）=e x﹣x+a≥e x﹣x﹣1≥0，∴G（x）=单调递增，又G（0）=0，∴．当a＜﹣1时，G′′（x）=e x﹣1＞0，∴G′（x）=e x﹣x+a单增，又G′（0）=1+a＜0，∴存在x0∈[0，+∞），使G′（x0）=0，即，∴G（x）在（0，x0）上单减，在（x0，+∞）上单增，又∵G（0）=0，∴x∈（0，x0）时，G（x）＜0不合题意，故a≥﹣1；（Ⅲ）要证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1），即证，也就是．由（Ⅱ），令a=﹣1可知：，令，则，∴，又由（Ⅰ）可知：e x＞1+x（x＞0），∴x＞ln（1+x），令，∴，∴，∴，即，故（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．点评：本题考查了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论、数学转化等数学思想方法，综合考查了学生的推理运算，逻辑思维等能力，是难度较大的题目．。

湖北省重点高中2015届高三上学期期中联考数学(理)试题及答案

湖北省重点高中2015届高三上学期期中联考数学(理)试题及答案

2014年秋季湖北省重点高中联考高三理科数学试卷（理科）考试时间：2014年11月7日上午8:00-10:00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列四个值中，与2014cos 的值最接近的是 A ．23-B ．21-C ．21D ．232．对于集合∈+==k k x x S ，12{N }和集合}{S b a b a x x T ∈⊕==，，， 若满足S T ⊆，则集合T 中的运算“⊕”可以是A ．加法B ．减法C ．乘法D ．除法3．对于定义在实数集R 上的狄利克雷函数⎩⎨⎧∈∉=），（），（Q x Q x x D 10)(，则下列说法中正确的是A ．)(x D 的值域是]10[，B ．)(x D 的最小正周期是1C ．)(xD 是奇函数 D ．)(x D 是偶函数 4．正项等比数列{n a }的公比为2，若16113=a a ，则102log a 的值是A ．3B ．4C ．5D ．65．函数2)232cos(32sin)(++⋅=πx x x f 的图象的相邻两条对称轴之间的距离是 A ．83π B ．43π C ．23π D ．π36．设向量a 、b 、c 是三个非零向量，若c b a m +=的取值范围是A ．]30[，B ．{0，1，2，3}C ．)0[∞+，D ．{0，3} 7．设ABC ∆的三边是连续的三个正整数，且最大角是最小角的2倍，则A B C ∆的最小的边长是A ．3B ．4C ．5D ．68．已知最小正周期为2的函数)(x f 在区间]11[，-上的解析式是2)(x x f =，则函数)(x f 在实数集R 上的图象与函数x x g y 5log )(==的图象的交点的个数是A ．3B ．4C ．5D ．69．设等差数列{n a }满足：11211-<a a ，且其前n 项的和n S 有最大值，则当数列{n S }的前n 项 的和取得最大值时，此时正整数n 的值是A ．11B ．12C ．22D ．2310．若函数a e xx f x-=)(与x 轴有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是 A ．01<<-a e B ．ea 1<C ．0<<-a eD ．ea 10<< 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对．．．．应题号．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．已知函数)(x f 是奇函数，且当0<x 时，xx x f 12)(2-=，则)1(f 的值是 .12．计算：⎰exdx 1ln = .13．已知在ABC ∆中，若6=AB ，5=AC ，且点O 是ABC ∆的外接圆的圆心， 则⋅的值是 .14．设函数xx xx x x f cos 22)4sin(2)(22++++=π在实数集R 上的最大值是M ，最小值是m ， 则m M +的值为 .15．对于任意的正整数j ，k ]91[，∈，定义)1(3--=k j a jk ，如：6)14(3334-=-⨯-=a ，对于任意不小于2的正整数m ，n ，设+++=321j j j jn a a a b ……+jn a ，+++=n n n m n b b b S 321……+mn b ，则55S = .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分11分）已知平面向量），（2x =，)4,(+-=x x . （1）求||的最小值；（2）若b a λ=（λ为实数），求b a -17.（本小题满分12分）已知平面向量)cos 2,3(x a =，)cos ,2(sin x x b =，b a x f ⋅=)(，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 。

2015年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)

2015年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2015年湖北，理1，5分】i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 【答案】A【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-，共轭复数为i ，故选A ．【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查．（2）【2015年湖北，理2，5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） （A ）134石 （B ）169石 （C ）338石 （D ）1365石 【答案】B【解析】依题意，这批米内夹谷约为281534169254⨯=石，故选B ．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．（3）【2015年湖北，理3，5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） （A ）122（B ）112 （C ）102 （D ）92【答案】D 【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以37n n C C =，解得10n =，所以二项式(1)n x + 中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=，故选D ．【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用 以及计算能力．（4）【2015年湖北，理4，5分】设211(,)X N μσ，222(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）（A ）21()()P Y P Y μμ≥≥≥ （B ）21()()P X P X σσ≤≤≤（C ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤ （D ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】C【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称，所以12μμ<，从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤，故选C ．【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．（5）【2015年湖北，理5，5分】设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥．若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则（ ） （A ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （B ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 （C ）p 是q 的充分必要条件 （D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A【解析】对命题12:,,,n p a a a 成等比数列，则公比()13n n aq n a -=≥且0n a ≠；对命题q ，①当时，成立；②当时，根据柯西不等式，等式成立，则，所以成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要 0=n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++0≠n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==12,,,n a a a条件．故选A ．（6）【2015年湖北，理6，5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）（A ）sgn[()]sgn g x x = （B ）sgn[()]sgn g x x =- （C ）sgn[()]sgn[()]g x f x = （D ）sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令()f x x =，所以()()1g x a x =-，因为1a >，所以()g x 是R 上的减函数，由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0,sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪===-⎨⎪-<⎩，故选B ．（7）【2015年湖北，理7，5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ） （A ）123p p p << （B ）231p p p << （C ）312p p p << （D ）321p p p << 【答案】B【解析】因为[],0,1x y ∈，对事件“12x y -≥”如图（1）阴影部分1S ， 对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分2S ，对事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分3S ，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<，正方形的面积为111⨯=，根据几何概型公式可得231p p p <<，故选B ．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小．（8）【2015年湖北，理8，5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）（A ）对任意的,a b ，12e e > （B ）当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <（C ）对任意的,a b ，12e e < （D ）当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D【解析】依题意，22211a b b e a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()22221a m b m b m e a m ++++⎛⎫==+ ⎪+⎝⎭，因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++，由于0m >，0a >，0b >， 当a b >时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e <；当a b <时，1b a >，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e >．所以当a b >时，12e e <，当a b <时，12e e >，故选D ．【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．（9）【2015年湖北，理9，5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B⊕中元素的个数为（ ）（A ）77 （B ）49 （C ）45 （D ）30 【答案】C【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D中的整点（除去四个顶点），即77445⨯-=个，故选C ．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了几何的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素．（10）【2015年湖北，理10，5分】设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数． 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B【解析】由[]1t =得12t ≤<，由2[]2t =得223t ≤<，由43t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<，可得225t ≤<，所以225t ≤<； 由3[]3t =得334t ≤<，所以5645t ≤<，由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<，与5645t ≤<矛盾，故正整数n 的最大值是4，故选B ．【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11-14题）（11）【2015年湖北，理11，5分】已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅= ． 【答案】9 【解析】因为OA AB ⊥，3OA =，()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．（12）【2015年湖北，理12，5分】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 ． 【答案】2 【解析】因为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫=----=+--+=-+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图，由图知，两函数图像右2个交点，所以函数()f x 由2个零点．【点评】本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用．（13）【2015年湖北，理13，5分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m ．【答案】1006【解析】依题意，30BAC ∠=︒，105ABC ∠=︒，在ABC ∆中，由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒，所以45ACB ∠=︒，因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒，即3002BC =m ，在Rt BCD ∆中，因为30CBD ∠=︒，3002BC =，所以tan303002CD BC ︒==，所以1006CD =m ． 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．（14）【2015年湖北，理14，5分】如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A的上方），且2AB =．（1）圆C 的标准．．方程为 ；（2）过点A 任作一条直线 与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③22NB MA NAMB+=．其中正确结论的序号是 ． （写出所有正确结论的序号） 【答案】（1）()()22122x y -+-=；（2）①②③【解析】（1）依题意，设()1,C r （r 为圆的半径），因为2AB =，所以22112r =+=，所以圆心()1,2C ，故圆的标准方程为()()22122x y -+-=．（2）解法一：联立方程组()()22122x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得021x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或021x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩，因为B 在A 的上方，所以()0,21A -，()0,21B +，领直线MN 的方程为0x =，此时()0,1M -，()0,1N ，所以2MA =，22MB =+，22NA =-，2NB =，因为22212NA NB-==-，22122MA MB==-+，所以NA MA NBMB =所以()22212122222NB MA NAMB-=-=+--=-+，()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，正确结论的序号是①②③．解法二：因为圆心()1,2C ，()0,2E ∴，又2AB =，且E 为AB 中点，∴()0,21A -，()0,21B +，M ，N 在圆22:1O x y +=，∴可设()cos ,sin M αα，()cos ,sin N ββ，()()22cos 0sin 21NA ββ⎡⎤∴=-+--⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+--+-()()()422221sin 2221221sin ββ=---=---()()2212sin β=--，()()22cos 0sin 21NB ββ⎡⎤∴=-+-+⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+-+++()()()422221sin 2221221sin ββ=+-+=+-+()()2212sin β=+-，()()()()2212sin 2121212212sin NA NBββ---∴===-++-，同理21MA MB=-．所以NA MA NBMB=，所以()22212122222NB MA NA MB -=-=+--=-+，()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，正确结论的序号是①②③．【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）（15）【2015年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，P A 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC=_______．【答案】12【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割定理知，()2PA PB PC PB PB BC =⋅=+，因为3BC PB =，所以224PA PB =，即2PA PB =，由A PAB PC ∆∆∽，所以12AB PB AC PA ==． 【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力．（16）【2015年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l 与C 相交于A ，B 两点，则||AB =．【答案】25【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=，所以sin 3cos 0ρθρθ-=，所以30y x -=，即3y x =；由11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去t 得224y x -=，联立方程组2234y x y x =⎧⎨-=⎩，解得2232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即232,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，232,B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，由两点间的距离公式得22223232252222AB ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础的计算题．三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2015年湖北，理17，11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期（1．．．．．．．．．．．（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象． 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值．解：（1）根据表中已知数据，解得π5,2,A ωϕ===-．数据补全如下表：且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-．（2）由（1）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-． 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z ． 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6． 【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查．（18）【2015年湖北，理18，12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公、比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：（1）由题意知：1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩，即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩，得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故1212n n na nb -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=， 于是2341357921122222n n n T --=+++++ ① 2345113579212222222n n n T -=+++++ ② 由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-，故12362nn n T -+=-． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．（19）【2015年湖北，理19，12分】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE ．（1）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．解：解法一：（1）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，所以BC PCD ⊥平面． 而DE PCD ⊂平面，所以BC DE ⊥． 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点， 所以DE PC ⊥． 而PC BC C =，所以DE ⊥平面PBC ． 而PB PBC ⊂平面，所以PB DE ⊥． 又PB EF ⊥，DE EF E =，所以PB ⊥平面DEF ．由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形， 即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，． （2）如图1，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线．由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥． 又因为PD ⊥底面ABCD ，所以 PD DG ⊥． 而PD PB P =，所以DG PBD ⊥平面．故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设1PD DC ==，BC λ=，有21BD λ=+，在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 2πtan tan 133BD DPF PD λ=∠==+=, 解得2λ=．所以12.DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，22DC BC =． 解法二：（1）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系． 设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ，(,1,1)PB λ=-，点E 是PC 的中点，所以11(0,,)22E ，11(0,,)22DE =，于是0PB DE ⋅=，即PB DE ⊥． 又已知EF PB ⊥，而DE EF E =，所以PB DEF ⊥平面． 因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ⋅=, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面．由DE ⊥平面 PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑， 四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，． （2）由PD ABCD ⊥平面，所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量；由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量． 若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，则2π11cos 32||||2BP DP BP DP λ⋅===⋅+， 解得2λ=． 所以12.DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，2DC BC =． 【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题．（20）【2015年湖北，理20，12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时．Z （单位：元）是一个随机变量．（1）求Z 的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．解：（1）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1） 目标函数为 10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=．当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D ． 将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．（2）由（1）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力．（21）【2015年湖北，理21，14分】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求曲线C 的方程；（2）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探 究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．解：（1）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，2MD DN =，且||||1DN ON ==，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且22002200()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为22 1.164x y +=（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=．②当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+． ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++．由原点O 到直线PQ 的距离为21d k =+和2||1||P Q PQ k x x =+-，可得22111222||||||||222121214OPQ P Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-． ②将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--． 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--． 因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQS k ∆=-+≥-， 当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8．综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8．【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．（22）【2015年湖北，理22，14分】已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ，e 为自然对数的底数．（1）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1(1)n n+与e 的大小；（2）计算11b a ，1212b ba a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212n n b b b a a a 的公式，并给出证明；（3）令112()nn n c a a a =，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T ，证明：e n n T S <．解：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x f x '=-．当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增；当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减． 故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞．当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e xx +<． 令1x n=，得111e n n +<，即1(1)e n n +<． ①（2）11111(1)1121b a =⋅+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=；2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=． 由此推测：1212(1).n n nb b b n a a a =+ ② 下面用数学归纳法证明②．①当1n =时，左边=右边2=，②成立．②假设当n k =时，②成立，即1212(1)k kk b b b k a a a =+． 当1n k =+时，1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++，由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++．所以当1n k =+时，②也成立．根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立．（3）由n c 的定义，②，算术-几何平均不等式，n b 的定义及①得123n n T c c c c =++++=111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++ 121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++ 1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++1212n b b b n <+++1212111(1)(1)(1)12n n a a a n =++++++12e e e n a a a <+++=e n S ． 即e n n T S <．【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法法证明数列不等式，是压轴题．。

2015年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)

2015年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2015年湖北，理1，5分】i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 【答案】A【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-，共轭复数为i ，故选A ．【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查． （2）【2015年湖北，理2，5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） （A ）134石 （B ）169石 （C ）338石 （D ）1365石 【答案】B【解析】依题意，这批米内夹谷约为281534169254⨯=石，故选B ．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础． （3）【2015年湖北，理3，5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） （A ）122（B ）112 （C ）102 （D ）92【答案】D 【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以37n nC C =，解得10n =，所以二项式(1)n x + 中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=，故选D ．【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用 以及计算能力．（4）【2015年湖北，理4，5分】设211(,)X N μσ，222(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）（A ）21()()P Y P Y μμ≥≥≥ （B ）21()()P X P X σσ≤≤≤（C ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤ （D ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】C【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称，所以12μμ<，从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤，故选C ．【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．（5）【2015年湖北，理5，5分】设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥．若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则（ ） （A ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （B ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 （C ）p 是q 的充分必要条件 （D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A【解析】对命题12:,,,n p a a a 成等比数列，则公比()13n n aq n a -=≥且0n a ≠；对命题q ，①当时，成立；②当时，根据柯西不等式，等式成立，则，所以成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要 条件．故选A ．0=n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++0≠n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==12,,,n a a a（6）【2015年湖北，理6，5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）（A ）sgn[()]sgn g x x = （B ）sgn[()]sgn g x x =- （C ）sgn[()]sgn[()]g x f x = （D ）sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B 【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令()f x x =，所以()()1g x a x =-，因为1a >，所以()g x 是R 上的减函数，由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0,sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪===-⎨⎪-<⎩，故选B ．（7）【2015年湖北，理7，5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ） （A ）123p p p << （B ）231p p p << （C ）312p p p << （D ）321p p p << 【答案】B【解析】因为[],0,1x y ∈，对事件“12x y -≥”如图（1）阴影部分1S ， 对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分2S ，对事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分3S ，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<，正方形的面积为111⨯=，根据几何概型公式可得231p p p <<，故选B ．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小．（8）【2015年湖北，理8，5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m > 个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）（A ）对任意的,a b ，12e e > （B ）当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < （C ）对任意的,a b ，12e e < （D ）当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D【解析】依题意，22211a b b e a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()22221a m b m b m e a m ++++⎛⎫==+ ⎪+⎝⎭， 因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++，由于0m >，0a >，0b >， 当a b >时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e <；当a b <时，1b a >，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e >．所以当a b >时，12e e <，当a b <时，12e e >，故选D ．【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础． （9）【2015年湖北，理9，5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）（A ）77 （B ）49 （C ）45 （D ）30【答案】C【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点）， 即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即 25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D中的整点（除去四个顶点），即77445⨯-=个，故选C ．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了几何的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素．（10）【2015年湖北，理10，5分】设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数． 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6【答案】B【解析】由[]1t =得12t ≤<，由2[]2t =得223t ≤<，由43t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<，可得225t ≤<，所以225t ≤<；由3[]3t =得334t ≤<，所以5645t ≤<，由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<，与5645t ≤<矛盾，故正整数n 的最大值是4，故选B ．【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11-14题）（11）【2015年湖北，理11，5分】已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅= ． 【答案】9【解析】因为OA AB ⊥，3OA =，()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．（12）【2015年湖北，理12，5分】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 ． 【答案】2【解析】因为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫=----=+--+=-+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图，由图知，两函数图像右2个交点，所以函数()f x 由2个零点．【点评】本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用．（13）【2015年湖北，理13，5分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶 在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m ．【答案】1006 【解析】依题意，30BAC ∠=︒，105ABC ∠=︒，在ABC ∆中，由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒，所以45ACB ∠=︒，因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒，即3002BC =m ，在Rt BCD ∆中， 因为30CBD ∠=︒，3002BC =，所以tan303002CD BC ︒==，所以1006CD =m ． 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．（14）【2015年湖北，理14，5分】如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =．（1）圆C 的标准．．方程为 ；（2）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③22NB MA NAMB+=．其中正确结论的序号是 ． （写出所有正确结论的序号） 【答案】（1）()()22122x y -+-=；（2）①②③ 【解析】（1）依题意，设()1,C r （r 为圆的半径），因为2AB =，所以22112r =+=，所以圆心()1,2C ，故圆的标准方程为()()22122x y -+-=．（2）解法一：联立方程组()()22122x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得021x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或021x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩，因为B 在A 的上方， 所以()0,21A -，()0,21B +，领直线MN 的方程为0x =，此时()0,1M -，()0,1N ，所以2MA =， 22MB =+，22NA =-，2NB =，因为22212NA NB-==-，22122MA MB==-+，所以NA MA NB MB =所以()22212122222NB MA NAMB-=-=+--=-+，()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，正确结论的序号是①②③．解法二：因为圆心()1,2C ，()0,2E ∴，又2AB =，且E 为AB 中点，∴()0,21A -，()0,21B +， M ，N 在圆22:1O x y +=，∴可设()cos ,sin M αα，()cos ,sin N ββ， ()()22cos 0sin 21NA ββ⎡⎤∴=-+--⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+--+-()()()422221sin 2221221sin ββ=---=---()()2212sin β=--，()()22cos 0sin 21NB ββ⎡⎤∴=-+-+⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+-+++()()()422221sin 2221221sin ββ=+-+=+-+()()2212sin β=+-，()()()()2212sin 2121212212sin NA NBββ---∴===-++-，同理21MA MB=-．所以NA MA NBMB=，所以()22212122222NB MA NA MB -=-=+--=-+，()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，正确结论的序号是①②③．【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．） （15）【2015年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，P A 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC=_______．【答案】12【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割定理知，()2PA PB PC PB PB BC =⋅=+，因为3BC PB =，所以224PA PB =，即2PA PB =，由A PAB PC ∆∆∽，所以12AB PB AC PA ==． 【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力． （16）【2015年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l 与C 相交于A ，B 两点，则||AB = ．【答案】【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=，所以sin 3cos 0ρθρθ-=，所以30y x -=，即3y x =；由11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去t得224y x -=，联立方程组2234y x y x =⎧⎨-=⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即A ⎝⎭，B ⎛ ⎝⎭，由两点间的距离公式得AB = 【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础的计算题．三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2015年湖北，理17，11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期（1．．．．．．．．．．．（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象． 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值．解：（1）根据表中已知数据，解得π5,2,A ωϕ===-．数据补全如下表：且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-．（2）由（1）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-． 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ．由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称， 令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z ． 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6． 【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查．（18）【2015年湖北，理18，12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公、比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：（1）由题意知：1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩，即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩，得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故1212n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是2341357921122222n n n T --=+++++ ① 2345113579212222222n n n T -=+++++ ② 由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-，故12362nn n T -+=-． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． （19）【2015年湖北，理19，12分】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑． 如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作 EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE ． （1）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．解：解法一：（1）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，所以BC PCD ⊥平面． 而DE PCD ⊂平面，所以BC DE ⊥． 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥． 而PC BC C =，所以DE ⊥平面PBC ． 而PB PBC ⊂平面，所以PB DE ⊥． 又PB EF ⊥，DE EF E =，所以PB ⊥平面DEF ．由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，． （2）如图1，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线．由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥． 又因为PD ⊥底面ABCD ，所以 PD DG ⊥． 而PD PB P =，所以DG PBD ⊥平面．故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设1PD DC ==，BC λ=，有21BD λ=+，在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 2πtan tan 133BDDPF PD λ=∠==+=, 解得2λ=．所以12.DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，2DC BC =． 解法二：（1）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系． 设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ，(,1,1)PB λ=-，点E 是PC 的中点，所以11(0,,)22E ，11(0,,)22DE =，于是 0PB DE ⋅=，即PB DE ⊥． 又已知EF PB ⊥，而DE EF E =，所以PB DEF ⊥平面． 因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ⋅=, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面．由DE ⊥平面 PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，． （2）由PD ABCD ⊥平面，所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量；由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量． 若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，则π1cos 32||||BP DP BP DP λ⋅===⋅， 解得λ 所以1DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC = 【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题．（20）【2015年湖北，理20，12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利 1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过 12小时．Z （单位：元）是一个随机变量．（1）求Z 的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．解：（1）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1） 目标函数为 10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=． 当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=．当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0, 0),(3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D ． 将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．故最大获利Z 的分布列为Z8160 10200 10800 P0． 3 0．5 0．2 （2）由（1）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力．（21）【2015年湖北，理21，14分】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求曲线C 的方程；（2）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探 究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值； 若不存在，说明理由．解：（1）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，2MD DN =，且||||1DN ON ==，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且22002200()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为22 1.164x y +=（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=．②当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+． ①又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++．由原点O 到直线PQ 的距离为21d k =+和2||1||P Q PQ k x x =+-，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-． ② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--． 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--．因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k ∆=-+≥-， 当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8． 综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8．【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．（22）【2015年湖北，理22，14分】已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ，e 为自然对数的底数．（1）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1(1)n n+与e 的大小；（2）计算11b a ，1212b ba a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212n n b b b a a a 的公式，并给出证明；（3）令112()nn n c a a a =，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T ，证明：e n n T S <．解：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e xf x '=-．当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增；当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减． 故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞．当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e xx +<． 令1x n=，得111e n n +<，即1(1)e n n +<． ①（2）11111(1)1121b a =⋅+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=；2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=． 由此推测：1212(1).n n nb b b n a a a =+ ② 下面用数学归纳法证明②．①当1n =时，左边=右边2=，②成立．②假设当n k =时，②成立，即1212(1)k kk b b b k a a a =+． 当1n k =+时，1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++，由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++．所以当1n k =+时，②也成立．根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立．（3）由n c 的定义，②，算术-几何平均不等式，n b 的定义及①得123n n T c c c c =++++=111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++ 121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++1212n b b b n <+++1212111(1)(1)(1)12n n a a a n =++++++12e e e n a a a <+++=e n S ． 即e n n T S <．【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法法证明数列不等式，是压轴题．。

数学_2015-2016学年湖北省部分重点中学高三(上)第一次联考数学试卷(理科)(含答案)

数学_2015-2016学年湖北省部分重点中学高三(上)第一次联考数学试卷(理科)(含答案)

2015-2016学年湖北省部分重点中学高三（上）第一次联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．）1. 复数2−3i （i 为虚数单位）的虚部是（ ） A −2 B 2 C −3i D −32. 已知集合M ={x|y =ln(x 2−3x −4)}，N ={y|y =√x 2−1}，则M ∩N =( ) A (−∞, −1) B (0, +∞) C (4, +∞) D (0, 4)3.已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个命题： ①若l ⊥m ，m ⊥n ，则l//n ；②若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥n ； ③若m//α，n//β，α//β，则m//n ；④若l 与α，β所成角相等，且m ⊥α，n ⊥β，则l 与m ，n 所成角相等． 其中真命题是（ ）A ①和②B ①和③C ②和④D ①和④4. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 值为−4，则输出y 值是（ ）A 7B 4C −1D 05. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，已知线段F 1F 2被点(b, 0)分成3:1的两段，则此双曲线的离心率为（ ） A √32B2√33 C √52 D2√556. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝6，s 3=∫ 304xdx ，则公比q 的值为（ ） A 1 B −12C 1或−12D −1或−127. 若第四届中国好声音最后的5人必须与甲、乙、丙3个公司中的某一个公司签约，要求每个公司至少签约1人，最多签约2人，则有签约方案（ ）种． A 30 B 60 C 90 D 180 8. 下列命题正确的个数是（ ）①命题“∃x 0∈R ，x 02+1>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1≤3x”；②函数f(x)=cos 2ax −sin 2ax 的最小正周期为π”是“a =1”的必要不充分条件；③x 2+2x ≥ax 在x ∈[1, 2]上恒成立⇔(x 2+2x)min ≥(ax)min 在x ∈[1, 2]上恒成立； ④“平面向量a →与b →的夹角是钝角”的充分必要条件是“a →⋅b →<0”．A 1B 2C 3D 49. 已知圆C 1：(x −2)2+(y −3)2=1，圆C 2：(x −3)2+(y −4)2=9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ）A √17−1B 5√2−4C 6−2√2D √1710. 若函数f(x)=x(x −c)2在x =2处有极大值，则常数c 为( ) A 2 B 6 C 2或6 D −2或−611. 已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A 8πB 16πC 32πD 64π12. 若函数f(x)=cos2x +asinx 在区间(π6, π2)是减函数，则实数a ∈( )A (−∞, 2)B (−∞, 2]C (4, +∞)D [4, +∞)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在题中的横线上． 13. 在(1−x)5+(1−x)6+(1−x)7+(1−x)8展开式中，含x 3的项的系数是________． 14. 若不等式组{x −y ≥0x +2y ≤2y ≥0x +y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则实数a ∈________．15. 已知等差数列{a n }，满足a 2=3，a 5=9，若数列{b n }满足b 1=3，b n+1=a b n ，则{b n }的通项公式b n =________16. 下列说法中错误的序号是________．①若函数f(x)=ax 2+(2a +b)x +2，x ∈[2a −1, a +4]是偶函数，则b =2；②函数f(x)=√x 2−2015−√2015−x 2既是奇函数又是偶函数；③已知f(x)是R 上的奇函数，且当x ∈(0, +∞)时，f(x)=x(1+x)，则当x ∈R 时，f(x)=x(1+|x|)；④已知f(x)是R 上的奇函数，且当x ∈(0, +∞)时f(x)单调递增，则f(x)在R 上为增函数； ⑤已知f(x)是定义在R 上不恒为零的函数，且对∀x ，y ∈R 都满足f(x ⋅y)=xf(y)+yf(x)，则f(x)是奇函数．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 设△ABC 中的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =2，(a +b)(sinA −sinB)=(c −b)sinC ．(I)若b=2，求c边的长；(II)求△ABC面积的最大值，并指明此时三角形的形状．18. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=1，AA1=AB=2，点E是线段AB的中点，点M为线段D1C上的动点．，（1）当点M是D1C的中点时，求证直线BM // 平面D1DE；（2）若点M是靠近C点的四等分点，求直线EM与平面D1DE所成角的大小．19. 连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为a i，若存在正整数k，使a1+a2+...+a k=6，则称k为你的幸运数字．（1）求你的幸运数字为3的概率；（2）若k=1，则你的得分为6分；若k=2，则你的得分为4分；若k=3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记0分，求得分ξ的分布列和数学期望．20. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(−1, 0)，F2(1, 0)，且椭圆C经过点P(43,13 )．(Ⅰ)求椭圆C的离心率：(Ⅱ)设过点A(0, 2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且2|AQ|2=1 |AM|2+1|AN|2，求点Q的轨迹方程．21. 已知及是实数集，e是自然对数的底数，函数f(x)=1+In(x+1)x的定义域为{x|x>0, x∈R}（1）解关于x的不等式f(x2+1)>2e−1：（2）若常数k是正整数，当x>0时，f(x)>kx+1恒成立，求k的最大值．二.请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1几何证明选讲]22. 过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC与圆交于B，C．若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=________．[选修4-4坐标系与参数方程]23. 在平面直角坐标xoy系中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcosθ=2sin2θ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若曲线C1:{x=3+rcosαy=−2+rsinα（α为参数）与曲线C所表示的图形都相切，求r的值．[选修4-5不等式选讲]24. 已知关于x的不等式|ax−1|+|ax−2a|≥3(a>0)（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．2015-2016学年湖北省部分重点中学高三（上）第一次联考数学试卷（理科）答案1. D2. C3. C4. D5. B6. C7. C8. B9. B10. B11. A12. B13. −12114. ∈(0,43]∪[2,+∞)15. 2n+116. ④17. 解：(I)由正弦定理得：(a+b)(a−b)=(c−b)c，即a2−b2=c2−bc−−−−−−−−因为a=2且b=2，所以解得：c=2．---------------------(II)由(I)知cosA=b2+c2−a22bc =12，则A=60∘−−−−−−−−−−−−−−−−−−因为a=2，∴ b2+c2−bc=4≥2bc−bc=bc，------------------∴ S△ABC=12bcsinA≤12⋅4⋅sin60∘=√3，此时三角形是正三角形---18. 证明：（1）以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则A(1, 0, 0)，B(1, 2, 0)，E(1, 1, 0)， C(0, 2, 0)，D 1(0, 0, 2)，∵ 点M 是D 1C 的中点，∴ M(0, 1, 1)， DE →=(1,1,0)，DD 1→=(0,0,2) 设平面D 1DE 的法向量为n →=(x,y,z)，则{n →⋅DD 1→=0˙，∴ {x +y =02z =0，取x =1，得n →=(1,−1,0)，∵ BM →=(−1, −1, 1)，∴ BM →⋅n →=0，∵ BM ⊄平面D 1DE ，∴ 直线BM // 平面D 1DE ． 解：（2）∵ D 1(0, 0, 2)，C(0, 2, 0)，点M 是靠近C 点的四等分点， ∴ 由题有M(0, 32, 12)，∴ EM →=(−1, 12,12)，∵ 平面D 1DE 的法向量为n →=(1, −1, 0)， ∴ cos⟨EM →，n →>=|EM →|⋅|n →|˙=−1−12⋅=−√32， ∴ <EM →，n →>=150∘，∴ 直线EM 与平面D 1DE 所成的角为60∘． 19. 解：（1）设“连续抛掷k 次骰子，和为6”为事件A ，则它包含事件A 1、A 2，A 3，其中A 1：三次恰好均为2；A 2：三次中恰好1，2，3各一次．A 3：三次中有两次均为1，一次为4，A 1，A 2为互斥事件，则k =3的概率： P(A)=P(A 1)+P(A 2)+P(A 3)=C 33(16)3+C 31⋅16⋅C 21⋅16⋅C 11⋅16+C 32(16)2⋅16=5108．（2）由已知得ξ的可能取值为6，4，2，0， P(ξ=6)=16，P(ξ=4)=(16)2+C 21⋅16⋅16+C 21⋅16⋅16=536， P(ξ=2)=C 33(16)3+C 31⋅16⋅C 21⋅16⋅C 11⋅16+C 32(16)2⋅16=5108．P(ξ=0)=1−16−536−5108=3554，∴ Eξ=6×16+4×536+2×5108+0×70108=8954．20. （I ）∵ 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(−1, 0)，F 2(1, 0)，且椭圆C 经过点P(43,13)．∴ c ＝1，2a ＝PF 1+PF 2=√(43+1)2+19+√(43−1)2+19=2√2，即a =√2 ∴ 椭圆的离心率e =ca =√2=√22⋯4分 (II)由(I)知，椭圆C 的方程为x 22+y 2=1，设点Q 的坐标为(x, y)（1）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0, 1)、(0, −1)两点，此时点Q 的坐标为(0, 2−3√55) （2）当直线l 与x 轴不垂直时，可设其方程为y ＝kx +2，因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1, kx 1+2)，(x 2, kx 2+2)，则 |AM|2=(1+k 2)x 12，|AN|2=(1+k 2)x 22，又|AQ|2＝(1+k 2)x 2，2|AQ|2=1|AM|2+1|AN|2 ∴ 2(1+k 2)x 2=1(1+k 2)x 12+1(1+k 2)x 22，即2x 2=1x 12+1x22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 12x22⋯①将y ＝kx +2代入x 22+y 2=1中，得(2k 2+1)x 2+8kx +6＝0…②由△＝(8k)2−24(2k 2+1)>0，得k 2>32由②知x 1+x 2=−8k 2k 2+1，x 1x 2=62k 2+1，代入①中化简得x 2=1810k 2−3⋯③因为点Q 在直线y ＝kx +2上，所以k =y−2x，代入③中并化简得10(y −2)2−3x 2＝18由③及k 2>32可知0<x 2<32，即x ∈(−√62, 0)∪(0, √62)由题意，Q(x, y)在椭圆C 内，所以−1≤y ≤1，又由10(y−2)2−3x2＝18得(y−2)2∈(95, 94)且−1≤y≤1，则y∈(12, 2−3√55]综上得，点Q的轨迹方程为10(y−2)2−3x2＝18，其中x∈(−√62, √62)，y∈(12, 2−3√55]…13分21. 解：（1）∵ f(e−1)=2e−1∴ 不等式f(x2+1)>2e−1可以化为f(x2+1)>f(e−1)∴ f′(x)=1x2[xx+1−1−ln(x+1)]=−1x2[1x+1+ln(x+1)]∴ 当x>0时，f′(x)<0，∴ 函数f(x)在区间(0, +∞)上是减函数，∵ f(x2+1)>f(e−1)，∴ x2+1<e−1，∴ −√e−2<x<√e−2，∴ 不等式的解集是{x|−√e−2<x<√e−2}（2）∵ 当x>0时，f(x)>kx+1恒成立，令x=1，得k<2(1+ln2)∵ k是整数，∴ k=3．下面证明当k=3，x>0时，f(x)>kx+1恒成立，即当x>0时，(x+1)ln(x+1)+1−2x>0恒成立，令g(x)=(x+1)ln(x+1)+1−2x则g′(x)=ln(x+1)−1当x>e−1时，g′(x)>0，当0<x<e−1时，g′(x)<0∴ 当x=e−1时，g(x)取得最小值g(e−1)=3−e>0∴ 当x>0时，(x+1)ln(x+1)+1−2x>0恒成立，∴ 正整数k的最大值是3．22. 423. 解：（1）由ρcosθ=2sin2θ得ρcosθ=4sinθ⋅cosθ，∴ cosθ=0或ρ=4sinθ，即ρcosθ=0或ρ2=4ρsinθ所以曲线C的直角坐标方程是：x=0或x2+(y−2)2=4；------- （2）曲线C1的普通方程为(x−3)2+(y+2)2=r2，又与与曲线C都相切，则有{r=332+(2+2)2=(r+2)2，所以r=3．-----24. （1）当a=1时，不等式化为：|x−1|+|x−2|≥3，要求其解集，需分类讨论如下：①当x≥2时，x−1+x−2≥3，解得x≥3；②当1≤x<2时，(x−1)+2−x≥3，无解；③当x<1时，−(x−1)−(x−2)≥3，解得x≤0，综合以上讨论得，x∈(−∞, 0]∪[3, +∞)；（2）若此不等式的解集为R，则对任意x∈R都有|ax−1|+|ax−2a|≥3成立，即[|ax−1|+|ax−2a|]min≥3，再根据绝对值三角不等式，|ax−1|+|ax−2a|≥|(ax−1)−(ax−2a)|=|2a−1|，因此，|2a−1|≥3且a>0，解得a≥2，即实数a的取值范围为[2, +∞)．。

湖北省百所重点中学2015届高三数学十月联合考试试题 理(含解析)新人教A版

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湖北省百所重点中学2015届高三十月联合考试试题理科试题【试卷综评】本次试卷从题型设置、考察知识的范围等方面保持稳定，试题难度适中，试题在考查高中数学基本概念、基本技能和基本方法等数学基础知识，突出三基，强化三基的同时，突出了对学生能力的考查，注重了对学科的内在联系和知识的综合、重点知识的考查，以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。

试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用。

突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。

全面考查了考试说明中要求的内容。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1、已知集合2{|20}{|1}1xM x x x N x x =-+>=<-，则MN 等于A ．()0,2 B ．()0,1 C ．()1,2 D ．()1,1-【知识点】交集及其运算．L4【答案解析】B 解析：由M 中不等式变形得：x （x ﹣2）＜0，解得：0＜x ＜2，即M=（0，2）；由N 中不等式变形得：﹣1＜0，即＜0，解得：x ＜1，即N=（﹣∞，1），则M∩N=（0，1）．故选B【思路点拨】求出M 与N 中不等式的解集确定出M 与N ，找出两集合的交集即可．【题文】2、2014cos()3π的值为A ．12B ．32C ．12-D ． 32-【知识点】运用诱导公式化简求值．L4 【答案解析】C 解析：cos （）=cos （670+）=cos=cos （π+）=﹣cos=﹣，故选：C ．【思路点拨】原式中角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【题文】3、已知a 为常数，则使得11aa dxx >⎰成立的一个充分而不必要条件是（ ）A ．0a >B ．0a <C ．a e >D ．a e <【知识点】微积分基本定理；必要条件、充分条件与充要条件的判断．L4【答案解析】C 解析：由积分运算法则，得=lnx =lne ﹣ln1=1因此，不等式即11aa dxx >⎰即a ＞1，对应的集合是（1，+∞），将此范围与各个选项加以比较，只有C 项对应集合（e ，+∞）是（1，+∞）的子集∴原不等式成立的一个充分而不必要条件是a ＞e ，故选： C【思路点拨】由定积分计算公式，求出函数f （x ）=的一个原函数F （x ）=lnx ，从而利用微积分基本定理得到=lne ，结合充分条件、必要条件的定义，即可得到不等式成立的一个充分而不必要条件．【题文】4、已知α为第三象限角，且2sin cos 2,sin 2m m ααα+==，则m 的值为A ．33B ．33-C ．13-D ．23-【知识点】两角和与差的正弦函数．L4【答案解析】B 解析：把sinα+cosα=2m 两边平方可得1+sin2α=4m2，又sin2α=m2，∴3m2=1，解得m=，又α为第三象限角，∴m=，故选：B【思路点拨】把sinα+cosα=2m 两边平方可得m 的方程，解方程可得m ，结合角的范围可得答案．【题文】5、在ABC ∆中，角角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若223a b bc -=且sin 23sin C B =，则A 等于A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π【知识点】余弦定理．L4 【答案解析】A 解析：由sinC=2sinB ，由正弦定理可知：c=2b ，代入a2﹣b2=bc ，可得a2=7b2，所以cosA==，∵0＜A ＜π，∴A=．故选：A ．【思路点拨】利用正弦定理化三角函数为三角形边的关系，然后通过余弦定理求解即可．【题文】6、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足3()()2f x f x -=+，且当302x <≤时，()2log (31)f x x =+，则()2015f 等于A ．1-B ．2-C ．1D ．2【知识点】函数奇偶性的性质．L4【答案解析】B 解析：由f （x ）为奇函数可得f （﹣x ）=﹣f （x ），再由条件可得f （﹣x ）=f （+x ），所以，f （3+x ）=f （x ）．所以，f （2015）=f （671×3+2）=f （﹣1）=﹣f （1）=﹣2．故选：B ．【思路点拨】由已知得f （3+x ）=f （x ），所以f （2015）=f （671×3+2）=f （﹣1）=﹣f （1）=﹣2．【题文】7、给出下列命题，其中错误的是 A ．在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B > B ．在锐角ABC ∆中， sin sin A B >C ．把函数sin 2y x =的图象沿x 轴向左平移4π个单位，可以得到函数cos 2y x =的图象 D ．函数sin 3cos (0)y x x ωωω=+≠最小正周期为π的充要条件是2ω=【知识点】命题的真假判断与应用．L4 【答案解析】 D 解析：对于A ．在△ABC 中，若A ＞B ，则a ＞b ，即由正弦定理有sinA ＞sinB ，故A 正确；对于B ．在锐角△ABC 中，A+B ＞，则A ＞﹣B ，由y=sinx 在（0，）上递增，则sinA ＞sin （﹣B ）=cosB ，故B 正确；对于C ．把函数y=sin2x 的图象沿x 轴向左平移个单位，可以得到函数y=sin2（x）=sin （2x）=cos2x 的图象，故C 正确；对于D ．函数y=sinωx+cosωx（ω≠0）=2sin （ωx ），最小正周期为π时，ω也可能为﹣2，故D 错． 故选D ．【思路点拨】由正弦定理和三角形中大角对大边，即可判断A ；由锐角三角形中，两锐角之和大于90°，运用正弦函数的单调性，即可判断B ；运用图象的左右平移，只对自变量x 而言，再由诱导公式，即可判断C ；由两角和的正弦公式化简，再由周期公式，即可判断D ． 【题文】8、已知幂函数()1()n f x x n N -=∈的图象如图所示，则()y f x =在1x =的切线与两坐标轴围成的面积为A ．43B ．74C ．94 D ．4【知识点】幂函数的性质．L4【答案解析】C 解析：根据幂函数的图象可知，n﹣2＜0，且为偶数，又n∈N，故n=0，所以f（x）=x﹣2，则f′（x）=﹣2x﹣3，所以切线的斜率为f′（1）=﹣2，切线方程为y﹣1=﹣2（x﹣1），即2x+y﹣3=0，与两坐标轴围成的面积为=，故选：C．【思路点拨】先根据幂函数的图象和性质，得到n=﹣2，再根据导数求出切线的斜率，求出切线方程，问题得以解决．【题文】9、已知,a b R∈，函数()tanf x x=在4xπ=-处于直线2y ax bπ=++相切，设()xg x e=2bx c++，若在区间[]1,2上，不等式()22m g x m≤≤-恒成立，则实数mA．有最小值e- B．有最小值e C．有最大值e D．有最大值1e+【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．L4【答案解析】D 解析：f（x）=tanx的导数f′（x）=（）′==，则a=f′（﹣）==2，将切点（﹣，﹣1）代入切线方程，即﹣1=﹣2+b+，即有b=﹣1．则g（x）=ex﹣x2+2，令h（x）=g′（x）=ex﹣2x，h′（x）=ex﹣2，在[1，2]上h′（x）＞0恒成立，即h（x）在[1，2]上递增，即g′（x）在[1，2]上递增，则有g′（x）≥g′（1）=e﹣2＞0，则g（x）在[1，2]上递增，g（1）最小，g（2）最大，不等式m≤g（x）≤m2﹣2恒成立，即有，解得m≤﹣e或e≤m≤e+1．即m的最大值为e+1．故选D．【思路点拨】求出f（x）的导数，求出切线的斜率，得a=2，将切点（﹣，﹣1）代入切线方程，求得b=﹣1，再求g（x）的导数，判断g（x）在[1，2]上的单调性，求出最值，再由不等式m≤g（x）≤m2﹣2恒成立，即有，解出m的取值范围，即可判断．【题文】10、对于函数()f x，若,,a b c R∀∈，()()(),,f a f b f c为某一三角形的三边长，则称()f x为“可构造三角形函数”，已知函数()1xxe tf xe+=+是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是A ．[)0,+∞B ．[]0,1C ．[]1,2D ．1[,2]2【知识点】指数函数综合题．L4【答案解析】D 解析：由题意可得f （a ）+f （b ）＞f （c ）对于∀a ，b ，c ∈R 都恒成立，由于f （x ）==1+，①当t ﹣1=0，f （x ）=1，此时，f （a ），f （b ），f （c ）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．②当t ﹣1＞0，f （x ）在R 上是减函数，1＜f （a ）＜1+t ﹣1=t ，同理1＜f （b ）＜t ，1＜f （c ）＜t ，由f （a ）+f （b ）＞f （c ），可得 2≥t，解得1＜t≤2．③当t ﹣1＜0，f （x ）在R 上是增函数，t ＜f （a ）＜1，同理t ＜f （b ）＜1，2＜f （c ）＜1， 由f （a ）+f （b ）＞f （c ），可得 2t≥1，解得1＞t≥．综上可得，≤t≤2，故选：A ．【思路点拨】因对任意实数a 、b 、c ，都存在以f （a ）、f （b ）、f （c ）为三边长的三角形，则f （a ）+f （b ）＞f （c ）恒成立，将f （x ）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由t ﹣1的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k 转化为f （a ）+f （b ）的最小值与f （c ）的最大值的不等式，进而求出实数k 的取值范围． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答案卡中的横线上【题文】11、已知,3sin 22cos 2παπαα<<=，则cos()απ-=【知识点】二倍角的正弦；诱导公式的作用．L4【答案解析】223 解析：∵，3sin2α=2cosα，∴6sinα•cosα=2cosα，解得 sinα=，∴cosα=﹣223．故cos （α﹣π）=cos （π﹣α）=﹣cosα=223，故答案为223．【思路点拨】由条件利用二倍角公式求得sinα=，再利用同角三角函数的基本关系求出cosα 的值，再利用诱导公式求出cos （α﹣π）的值． 【题文】12、化简2log2lg 5lg 2lg 2+-的结果为【知识点】对数的运算性质．L4【答案解析】25 解析：原式=+lg5lg2+lg22﹣lg2=25+lg2（lg5+lg2）﹣lg2=25．【思路点拨】利用对数的运算法则、lg2+lg5=1即可得出．【题文】13、已知:p 关于x 的方程210x mx ++=有两个不等的负实数根；:q 关于x 的方程244(2)10x m x +-+=的两个实数根，分别在区间()0,2与()2,3内（1）若p ⌝是真命题，则实数m 的取值范围为 （2）若()()p q ⌝∧⌝是真命题，则实数m 的取值范围为 【知识点】复合命题的真假．L4【答案解析】(],2-∞;131,,2128⎛⎤⎡⎤-∞-⋃- ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ 解析：（1）若p 为真，则，解得：m ＞2，若￢p 是真命题，则p 是假命题，故实数m 的取值范围是：（﹣∞，2]；（2）对于q ：设f （x ）=4x2+4（m ﹣2）x+1，由q 为真可得，解得：﹣＜m ＜﹣，若q 为假，则m≤﹣或m≥﹣，∴若（￢p ）∧（￢q ）是真命题，则有m≤﹣或﹣m≤2，即m 的范围是：（﹣∞，﹣]∪[﹣，2]；故答案为：（﹣∞，2]，（﹣∞，﹣]∪[﹣，2]．【思路点拨】（1））若p 为真，求出m 的范围，若￢p 是真命题，则p 是假命题，从而得出m 的范围；（2）由q 为真可得m 的范围，若q 为假，求出m 的范围，若（￢p ）∧（￢q ）是真命题，从而求出m 的范围．【题文】14、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2B a b =+，若ABC ∆的面积为32S c=，则ab 的最小值为【知识点】正弦定理．L4 【答案解析】12 解析：在△ABC 中，由条件里用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin （B+C ）+sinB ，即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB ，∴2sinBcosC+sinB=0， ∴cosC=﹣，C=．由于△ABC 的面积为S=ab•sinC=ab=c ，∴c=ab ．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，整理可得a2b2=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b 时，取等号，∴ab≥12，故答案为：12．【思路点拨】由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosC=﹣，C=．根据△ABC的面积为S=ab•sinC=c ，求得c=ab ．再由余弦定理化简可得a2b2=a2+b2+ab≥3ab，由此求得ab 的最小值．【题文】15、已知函数()2111[0,]24221,122x x f x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪+⎝⎦⎩，()3sin()22(0)32g x a x a a ππ=+-+>，给出下列结论：①函数()f x 的值域为2[0,]3； ②函数()g x 在[]0,1上是增函数；③对任意0a >，方程()()f xg x =在[]0,1内恒有解；④若存在[]12,0,1x x ∈，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是44[,]95． 其中所有正确的结论的序号是【知识点】分段函数的应用．菁优L4【答案解析】①②④解析：当x ∈[0，]时，f （x ）=﹣x 是递减函数，则f （x ）∈[0，]，当x ∈（，1]时，f （x ）==2（x+2）+﹣8，f′（x ）=2﹣＞0，则f （x ）在（，1]上递增，则f （x ）∈（，]．则x ∈[0，1]时，f （x ）∈[0，]，故①正确； 当x ∈[0，1]时，g （x ）=asin （x+）﹣2a+2（a ＞0）=﹣acosx ﹣2a+2，由a ＞0，0≤x≤，则g （x ）在[0，1]上是递增函数，故②正确；由②知，a ＞0，x ∈[0，1]时g （x ）∈[2﹣3a ，2﹣]，若2﹣3a ＞或2﹣＜0，即0＜a ＜或a ＞，方程f （x ）=g （x ）在[0，1]内无解，故③错；故存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则解得≤a≤．故④正确．故答案为：①②④．【思路点拨】求得f（x）的各段的值域，再求并集，即可判断①；化简g（x），判断g（x）的单调性即可判断②；求出g（x）在[0，1]的值域，求出方程f（x）=g（x）在[0，1]内无解的a的范围，即可判断③；由③得，有解的条件为：g（x）的最小值不大于f（x）的最大值且g（x）的最大值不小于f（x）的最小值，解出a的范围，即可判断④．三、解答题：本大题共5小题，满分65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤【题文】16、（本小题满分11分）已知函数()sin()(,0,0,||)2f x A x x R Aπωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示．（1）试确定函数()f x的解析式；（2）若1()23afπ=，求2cos()3πα-的值．【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用．【答案解析】（1）f（x）=2sin （πx+）；（2）﹣解析：（1）由图可知，A=2，=﹣=，又ω＞0，∴T==2，∴ω=π；由图可知，f（x）=Asin （ωx+φ）经过（，2），∴ω+φ=，即+φ=，∴φ=，∴f （x）=2sin（πx+）；（2）∵f（）=，∴2sin（+）=，∴sin（+）=cos[﹣（+）]=cos（﹣）=，∴cos（﹣α）=2﹣1=2×﹣1=﹣．【思路点拨】（1）由图可知，A=2，=，可求得ω，再利用ω+φ=可求得φ，从而可求得f（x）的解析式；（2）由（1）知f（x）的解析式，结合已知f（）=，可求得α的三角函数知，最后利用两角差的余弦计算即可求cos（﹣α）的值．【题文】17、（本小题满分12分）2014世界园艺博览会在青岛举行，某展销商在此期间销售一种商品，根据市场调查，当每套商品售价为x 元时，销售量可达到150.1x -万套，供货商把该产品的供货价格分为来那个部分，其中固定价格为每套30元，浮动价格与销量（单位：万套）成反比，比例系数为k ，假设不计其它成本，即每套产品销售利润=售价-供货价格（1）若售价为50元时，展销商的总利润为180元，求售价100元时的销售总利润；（2）若10k =，求销售这套商品总利润的函数()f x ，并求()f x 的最大值．【知识点】函数模型的选择与应用．L4【答案解析】（1）330（万元）（2）f （x ）= ﹣0.1x2+18x ﹣460，（0＜x ＜150），350（万元）． 解析：（1）售价为50元时，销量为15﹣0.1×50=10万套，此时每套供货价格为30+（元）， 则获得的总利润为10×（50﹣30﹣）=180，解得k=20，∴售价为100元时，销售总利润为；（15﹣0.1×1000（100﹣30﹣）=330（万元）．（2）由题意可知每套商品的定价x 满足不等式组，即0＜x ＜150，∴f （x ）=[x ﹣（30+）]×（15﹣0.1x ）=﹣0.1x2+18x ﹣460，（0＜x ＜150），∴f′（x ）=﹣0.2x+18，令f′（x ）=0可得x=90，且当0＜x ＜90时，f′（x ）＞0，当90＜x ＜150时，f′（x ）＜0， ∴当x=90时，f （x ）取得最大值为350（万元）． 【思路点拨】（1）由题意可得10×（50﹣30﹣）=180，解得k=20，即可求得结论；（2）由题意得f （x ）=[x ﹣（30+）]×（15﹣0.1x ）=﹣0.1x2+18x ﹣460，（0＜x＜150），利用导数判断函数的单调性即可求得最大值． 【题文】18、（本小题满分12分）如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且(,)62ππα∈，将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ，记1122(,),(,)A x yB x y ．（1）若113x =，求2x ；（2）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足一次为C 、D ，记AOC ∆的面积为1S ，BOD ∆的面积为2S ，若122S S =，求角α的值．【知识点】两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义．【答案解析】（1）1266-（2）解析：（1）解：由三角函数定义，得 x1=cosα，．因为，，所以．所以 ．（2）解：依题意得 y1=sinα，． 所以，．依题意S1=2S2 得 ，即sin2α=﹣2[sin2αcos +cos2αsin ]=sin2α﹣cos2α，整理得 cos2α=0．因为，所以，所以，即．【思路点拨】（1）由三角函数定义，得 x1=cosα=，由此利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再根据，利用两角和的余弦公式求得结果．（2）依题意得 y1=sinα，，分别求得S1 和S2 的解析式，再由S1=2S2 求得cos2α=0，根据α的范围，求得α的值． 【题文】19、（本小题满分12分）已知函数()2(0)2mx n f x m x +=≠+是定义在R 上的奇函数．（1）若0m >，求()f x 在(,)m m -上递增的充要条件；（2）若()21sin cos cos 22f x θθθ≤++-对任意的实数θ和正实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．L4【答案解析】（1）0＜m≤．（2）（﹣∞，0）∪（0，2]． 解析：（1）∵函数f （x ）=（m≠0）是定义在R 上的奇函数．∴f （0）=0，即=0，∴n=0，∴f （x ）=，显然f （﹣x ）=﹣f （x ）成立，故n=0时f （x ）为R 上的奇函数， ∴f′（x ）==，∵m ＞0，∴﹣m ＜0， 由f′（x ）＞0可得x2﹣2＜0，解得﹣＜x ＜，即f （x ）的递增区间是（﹣，），由题意只需（﹣m ，m ）⊆（﹣，），∴0＜m≤， ∴f （x ）在（﹣m ，m ）上递增的充要条件是0＜m≤． （2）设g （x ）=sinθc0sθ+cos2θ+﹣，∵f （x ）≤sinθcosθ+cos2θ+﹣对任意的实数θ和正实数x 恒成立，∴f （x ）≤g（x ）min 恒成立，∵g （x ）=sinθc0sθ+cos2θ+﹣=sin2θ+﹣=sin2θ+cos2θ+=sin （2θ+）+，∴g （x ）min=﹣+=，∴只需f （x ）≤，即≤，∵x ＞0，∴只需≤，即m≤（x+）恒成立，而（x+）≥×2=2，当且仅当x=时取得最小值2，∴m≤2，又m≠0，∴实数m 的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，2]．【思路点拨】（1）利用导数判断函数的单调性，由f′（x ）＞0解得即可；（2）设g （x ）=sinθc0sθ+cos2θ+﹣，由题意得只需f （x ）≤g（x ）min 恒成立，利用三角变换求得g （x ）的最小值，列出不等式解得即可．【题文】20、（本小题满分14分）已知()(ln 1)x f x e x =+（1）求()()y f x f x '=-的单调区间与极值； （2）若0k <，试分析方程()()2f x f x kx k e '=+-+在[)1,+∞上是否有实根，若有实数根，求出k 的取值范围；否则，请说明理由．【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．菁L4【答案解析】（1）y=f （x ）﹣f′（x ）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞），∴当x=1时，y 取极大值﹣e ，函数无极小值．（2）方程f′（x ）=f （x ）+kx ﹣k2+e 在[1，+∞]上无实根．解析：（1）函数f （x ）=ex （lnx+1）的定义域为（0，+∞），f′（x ）=+ex ，则 y=f （x ）﹣f′（x ）=，∴y′=，由y′=0可得x=1．当x ＞1时，y′＜0；当x ＜1时，y′＞0；∴y=f （x ）﹣f′（x ）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞），∴当x=1时，y 取极大值﹣e ，函数无极小值．（2）方程f′（x ）=f （x ）+kx ﹣k2+e 可变为f′（x ）﹣f （x ）﹣kx+k2﹣e=0 进一步化为﹣kx+k2﹣e=0，令g （x ）=﹣kx+k2﹣e ，g′（x ）=． ∵x≥1，∴x ﹣1≥0，而ex ＞0，∴，又k ＜0，∴g′（x ）=＞0，∴g （x ）在[1，+∞]上单调递增，且g （x ）的最小值为g （1）=k2﹣k ，则方程f′（x ）=f （x ）+kx ﹣k2+e 在[1，+∞]上最多只有一个实根，∴要使方程f′（x ）=f （x ）+kx ﹣k2+e 在[1，+∞]上有一个实根，只需k2﹣k ≤0，解得0≤k≤1，这与k ＜0矛盾，故方程f′（x ）=f （x ）+kx ﹣k2+e 在[1，+∞]上无实根．【思路点拨】（1）先求出f （x ）的导数，代入y=f （x ）﹣f′（x ）得出函数表达式，再去研究单调性与极值，（2）把方程f′（x ）=f （x ）+kx ﹣k2+e 化简，构造函数，用导数研究方程有无实根．【题文】21、（本小题满分14分）已知()ln(,1mf x n x m nx=++为常数)，在1x=处的切线方程为20x y+-=．（1）求()y f x=的单调区间；（2）若任意实数1[,1]xe∈，使得对任意的1[,2]2t∈上恒有()3222f x t t at≥--+成立，求实数a的取值范围；（3）求证：对任意正整数n，有124()(ln1ln2ln)2 231nn nn+++++++≥+．【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性。

湖北省教学合作2015届高三年级十月联考试题数学(理)

湖北省教学合作2015届高三年级十月联考试题数学(理)

湖北省教学合作2015届高三年级十月联考试题数学（理）本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷 （选择题，50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、已知集合2{|{|0}2x A x y B x x +===≤-，则A B = A ．[]1,1- B ．[)1,2- C ．[)1,2 D ．[]2,1-- 2、下列命题中真命题的个数是（1）若命题,p q 中有一个是假命题，则()p q ⌝∧是真命题．（2）在ABC ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“90C =”的必要不充分条件． （3）C 表示复数集，则有2,11x C x ∀∈+≥． A ．0 B ．1 C ．2 D ．33、已知四个函数：①sin y x x =；②cos y x x =；③cos y x x =；④2xy x =⋅的图象如下，但顺序打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数正确的一组是A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①4、已知12515111(),log ,log 533a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >> 5、将函数2cos2y x x =-的图象向右平移4π个单位长度，所得图象对应的函数()g x A1 B ．对称轴方程是7,12x k k Z ππ=+∈C ．是周期函数，周期2T π=D ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 6、已知函数()log (01)a f x x a =<<的导函数()f x '，(),(1)()A f a b f a f a '==+-(1),(2)(1)C f a D f a f a '=+=+-+，则,,,A B C D 中最大的数是A ．AB ．BC ．CD ．D 7、已知a b <，若函数()(),f x g x 满足()()b baaf x dxg x dx =⎰⎰，则称()(),f x g x 为区间[],a b 上的一组“等积分”函数，给出四组函数：①()()2,1f x x g x x ==+； ②()()sin ,cos f x x g x x ==； ③()()234f xg x x π==； ④函数()(),f x g x 分别是定义在[]1,1-上的奇函数且积分值存在． 其中为区间[]1,1-上的“等积分”函数的组数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．48、已知2221a b c ++=21c x x m +≤-++对任意实数,,,a b c x 恒成立，则实数m 的取值范围是A ．[)8,+∞B ．(][),42,-∞-+∞ C ．(][),18,-∞-+∞ D ．[)2,+∞9、已知由不等式组00240x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪--≤⎩，确定的平面区域Ω的面积为7，定点M 的坐标为()1,2-，若N ∈Ω，O 为坐标原点，则OM ON ⋅的最小值是A ．8-B ．7-C ．6-D ．4- 10、已知函数()()2212,3ln 2f x x axg x a x b =+=+设两曲线()(),y f x y g x ==有公共点，且在该点处的切线相同，则(0,)a ∈+∞时，实数b 的最大值是A ．6136eB ．616eC ．2372eD ．2332e第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上11、已知向量a 与向量b 的夹角为120，若()(2)a b a b +⊥-且2a =，则b 在a 上的投影为 12、已知偶函数()f x 在(],0-∞上满足：当(]12,,0x x ∈-∞且12x x ≠时，总有12120()()x x f x f x -<-，则不等式()()1f x f x -<的解集为13、点O 是锐角ABC ∆的外心，812,3AB AC A π===，若AO xAB yAC =+，则23x y +=14、定义在正整数集上的函数()f n 满足（1）(())43()f f n n n N +=+∈；（2）(125)()f m m N +=∈，则有()f m =(2015)f =15、（选修4-4：坐标系与参数方程） 曲线C 的参数方程是22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数，且(,2)θππ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的方程为sin()04πρθ+=，取线C 与曲线D 的交点为P ，则过交点P 且与曲线C 相切的极坐标方程是三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 16、（本小题满分12分）已知集合U R =，集合{|(2)(3)0}A x x x =--<，函数2(2)lg x a y a x-+=-的定义域为集合B ．（1） 若12a =，求集合()U A C B ； （2） 命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．17、（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(cos ,sin )m A A =，向量(2sin ,cos )n A A =-若2m n +=． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆外接圆的半径为2，2b =，求边c 的长．18、（本小题满分12分）据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风已知向正南方向移动，其移动速度(/)v km h 与时间()t h 的函数图象如图所示，过线段OC 上一 点(,0)T t 作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为()t h 内 台风所经过的路程()s km ．（1）当4t =时，求s 的值，并将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；（2）若N 城位于M 地正南方向，且距N 地650km ，试判断这场台风师父会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多出时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．19、（本小题满分12分）某地一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：小时）的变化近似满足函数关系：()[]244sin ,0,24f t t t t ωω=--∈，且早上8时的温度为24C ，(0,)8πω∈．（1）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？（2）当地有一通宵营业的超市，我节省开支，跪在在环境温度超过28C 时，开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？20、（本小题满分13分）已知函数()()22(),(1)f x x x a g x x a x =-=-+-（其中a 为常数）（1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值，并写出函数()y f x =的单调区间； （2）求方程()()0f x g x -=在区间[]1,3-上实数解的个数．21、（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：当1x >时，12ln x x x<-； （Ⅱ）若不等式(1)ln(1)a t a t++>对任意的正实数t 恒成立，求正实数a 的取值范围； （Ⅲ）求证：19291()10e<教学合作2015届高三年级十月联考试题数学（理科）答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．解析：D 依题意；化简集合{|13}A x x x =≤-≥或，{|22}B x x =-≤<， 利用集合的运算可得：{|21}AB x x =-≤≤-.故选D.2．解析：C 命题（1）（2）是真命题，（3）是假命题，故选C3．解析：A ①sin y x x =是偶函数，其图象关于y 轴对称；②cos y x x =是奇函数，其图象关于原点对称；③|cos |y x x =是奇函数，其图象关于原点对称．且当0x >时，0y ≥；④2xy x =⋅为非奇非偶函数，且当0x >时，0y >；当0x <时，0y <；故选A.4．解析：B 由指数函数和对数函数的性质可知01,0,01a b c <<<<<，而1211()52a ==<，155511log log 3log 32c ==>=，所以有c a b >>，故选B.5．解析：D化简函数得2cos 22sin(2)6y x x x π=-=-，所以2()2sin(2)3g x x π=-易求最大值是2，周期是π，由22()32x k k Z πππ-=+∈，得对称轴方程是7()122k x k Z ππ=+∈由27222()2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤-≤+⇔+≤≤+∈，故选D. 6．解析：A 由于函数()log (01)a f x x a =<<是可导函数且为单调递减函数，,A C 分别表示函数在点,1a a +处切线的斜率，因为(1)()(1)f a f a B a a+-=+-，(2)(1)(2)(1)f a f a D a a +-+=+-+，故,B D 分别表示函数图象上两点(,()),(1,(1))a f a a f a ++和两点(1,(1)),(2,(2))a f a a f a ++++连线的斜率，由函数图象可知一定有A B C D <<<，四个数中最大的是D ，故选D .7．解析：C 对于①，1101111()2||2()22f x dx x dx x dx xdx ---==-+=⎰⎰⎰⎰，或者利用积分的几何意义（面积）直接可求得11()2f x dx -=⎰，而11121111()(+1)()|22g x dx x dx x x ---==+=⎰⎰，所以①是一组“等积分”函数；对于②，1111()sin 0f x dx xdx --==⎰⎰，而1111()cos 2sin10g x dx xdx --==≠⎰⎰，所以②不是一组“等积分”函数；对于③，由于函数()f x 的图象是以原点为圆心，1为半径的半圆，故111()2f x dx π--==⎰⎰，而1112311131()|442g x dx x dx x πππ---===⎰⎰，所以③是一组“等积分”函数；对于④，由于函数(),()f x g x 分别是定义在[1,1]-上的奇函数且积分值存在，利用奇函数的图象关于原点对称和定积分的几何意义，可以求得函数的定积分1111()()0f x dx g x dx --==⎰⎰，所以④是一组“等积分”函数，故选C8．解析：B 由柯西不等式得, 9))(432()232(2222=++++≤++c b a c b a ,即3232≤++c b a ,2c ++的最大值为3，当且仅当22221c a b c ==++=⎩时等号成立；21||c x x m +≤-++对任意实数,,,a b c x 恒成立等价于1||3x x m -++≥对任意实数x 恒成立，又因为1|||(1)()||1|x x m x x m m -++≥--+=+对任意x 恒成立，因此有即13m +≥，解得24m m ≥≤-或，故选B.9．解析： B 依题意：画出不等式组0040x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域（如右2y kx =+恒图所示）可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为8，由直线过点(0,2)B ，且原点的坐标恒满足2y kx -≤，当0k =时，2y ≤，此时平面区域Ω的面积为6，由于67<，由此可得0k <.由240y kx y x -=⎧⎨--=⎩可得242(,)11k D k k ---，依题意应有122||121k ⨯⨯=-，因此1k =-（3k =，舍去） 故有(1,3)D -，设(,)N x y ，故由2z OM ON x y =⋅=-，可化为1122y x z =-，112<所以当直线1122y x z =-过点D 时，截距12z -最大，即z 取得最小值7-，故选B ． 10．解析：D依题意：()2f x x a '=+，23()a g x x'=，因为两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，设为00(,)P x y ，所以220000020000001()()23ln 23()()23f x g x x ax a x b a f x g x x a x a x a x ⎧=⇔+=+⎪⎪⎨⎪''=⇔+=⇔==-⎪⎩或，因为00x >，0a > 所以0x a =，因此22220001523ln 3ln (0)22b x ax a x a a a a =+-=-> 构造函数225()3ln (0)2h t t t t t =->，由()2(13l n )h t t t '=-，当130t e <<时，()0h t '>即()h t 单调递增；当13t e >时，()0h t '<即()h t 单调递减，所以1233max3()()2h t h e e ==即为实数b 的最大值.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.11．解析： 因为向量a 与向量b 的夹角为︒120，所以b 在a 上的投影为01||cos120||2b b =-，问题转化为求||b ，因为2()(2)()(2)02||||40a b a b a b a b b b +⊥-⇔+⋅-=⇔--= 故331||b +=所以b 在a 上的投影为.12．解析：1{|}2x R x ∈> 依题意：偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，直接构造函数2()f x x =，问题转化为解不等式22(1)x x -<，解之得：12x >， 所以不等式(1)()f x f x -<的解集为1{|}2x R x ∈>.另解：依题意：偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增， 由于(1)()f x f x -<，即1(|1|)(||)|1|||2f x f x x x x -<⇔-<⇔> 所以不等式(1)()f x f x -<的解集为1{|}2x R x ∈>. 13．解析：53如图，O 点在,AB AC 上的射影是点,D E ，它们分别为,AB AC 的中点，由数量积的几何意义，可得||||32AB AO AB AD ⋅=⋅=，||||72AC AO AC AE ⋅=⋅=依题意有2644832AB AO xAB yAC AB x y ⋅=+⋅=+=，即432x y +=，同理24814472AC AO xAB AC yAC x y ⋅=⋅+=+=，即263x y += 综上，将两式相加可得：695x y +=，即5233x y +=14．解析：503 (2分) 1615m +（3分） 注意到(())43f f n n =+和(125)f m =， 易求得()((125))41253503f m f f ==⨯+=；因为(())43f f n n =+，所以((()))(43)4()3f f f n f n f n =+=+ 故有2(2015)(45033)4(503)34(41253)34(125)4331615f f f f f m =⨯+=+=⨯++=+⨯+=+ 15．解析： sin 2ρθ=-曲线Γ即直线的普通方程为0x y+=，又曲线C即圆心为()2,0C，半径为2的半圆，其方程为22(2)4x y-+=，注意到(,2)θππ∈，所以0y<，联立方程组得22(2)4x yx yy+=⎧⎪-+=⎨⎪<⎩，解之得22xy=⎧⎨=-⎩，故交点P的坐标为(2,2)-.过交点P且与曲线C相切的直线的普通方程是2y=-，对应的极坐标方程为sin2ρθ=-.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）解析：（1）因为集合{|23}A x x=<<，因为12a=函数29(2)4lg=lg12xx aya x x--+=--，由9412xx-->0，可得集合19={|}24B x x<<…………2分19{|}24UB x x x=≤≥或ð，…………………………………………4分故9(){|3}4UA B x x=≤<ð. ……………………………6分（2）因为q是p的必要条件等价于p是q的充分条件，即A B⊆由{|23}A x x=<<，而集合B应满足2(2)x aa x-+>-，因为22172()024a a a+-=-+>故2{|2}B x a x a=<<+，……………………8分依题意就有：2223aa≤⎧⎨+≥⎩，………………………………………10分即1a≤-或12a≤≤所以实数a 的取值范围是∞(-,-1][1,2]. …………………12分17．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）依题意：(cos sin sin )m n A A A A +=-+，因为||2m n += 所以22(cos sin (cos sin )4A A A A -++=，化简得：sin cos tan 1A A A =⇒=，故有4A π=. …………………6分（Ⅱ）依题意，在ABC ∆中，由正弦定理24sin aR A==，所以a = 由余弦定理可得：2222cos a b c b c A =+-⋅⋅，化简得：240c --=，解得：c =分18．（本小题满分12分） 解析：（Ⅰ）由图象可知：直线OA 的方程是：3v t =，直线BC 的方程是：270v t =-+ 当4t =时，12v =，所以1412242s =⨯⨯=. …………………………………2分 当010t ≤≤时，213322s t t t =⨯⨯=； ………………………3分 当1020t <≤时，11030(10)30301502s t t =⨯⨯+-⨯=-…………………4分 当2035t <≤时，21150300(20)(27030)705502s t t t t =++⨯-⨯-++=-++ …………5分综上可知s 随t 变化的规律是223[0,10]230150(10,20]70550(20,35]tt s t t t t t ⎧∈⎪⎪⎪=-∈⎨⎪⎪-+-∈⎪⎩………………………………………7分（Ⅱ）[0,10]t ∈，2max 3101506502s =⨯=<， …………………………………………8分 (10,20]t ∈,max 3020150450650s =⨯-=< …………………………9分当(20,35]t ∈时，令270550650t t -++=，解得30t =，（40t =舍去）…………………………11分即在台风发生后30小时后将侵袭到N 城. ……………………12分19．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）依题意()244sin 248sin()3f t t t t πωωω=--=-+ ……………………2分 因为早上8时的温度为24C ，即(8)24f =， 11sin(8)08()()3383k k k Z ππωωπωπ+=⇒+=⇒=-∈……………………3分 (0,)8πω∈，故取1k =，12πω=， 所求函数解析式为()248sin(),(0,24]123f t t t ππ=-+∈. …………………………………5分 由sin()1123t ππ+=-，7(,)12333t ππππ+∈，可知3141232t t πππ+=⇒=， 即这一天在14时也就是下午2时出现最高温度，最高温度是32C .…………7分（Ⅱ）依题意：令248sin()28123t ππ-+=，可得 1sin()1232t ππ+=- ……………………………9分 7(,)12333t ππππ+∈，71236t πππ∴+=或111236t πππ+=， 即10t =或18t =，………………11分故中央空调应在上午10时开启，下午18时（即下午6时）关闭…………12分20．（本小题满分13分）解析：（Ⅰ）2322()()2f x x x a x ax a x =-=-+，则22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--， ……………………1分 令()0f x '=，得x a =或3a ，而二次函数()g x 在12a x -=处有极大值， ∴112a a a -=⇒=-或1323a a a -=⇒=； 综上：3a =或1a =-． ………………………4分 当3a =时，()y f x =的单调增区间是(,1],[3,)-∞+∞，减区间是(1,3)……5分当1a =-时，()y f x =的单调增区间是1(,1],[,)3-∞--+∞，减区间是1(1,)3--； ………………6分 （Ⅱ）22()()()[(1)]f x g x x x a x a x a -=---+-+2()()(1)x x a x a x =-+-+ 2()[(1)1]x a x a x =-+-+， …………8分2()(1)1h x x a x =+-+， (1)(3)a a ∆=+- 1 当13a -<<时，0∆<，()0h x =无解，故原方程的解为[1,3]x a =∈-，满足题意，即原方程有一解，[1,3]x a =∈-； …………………9分 2 当3a =时，0∆=，()0h x =的解为1x =，故原方程有两解，1,3x =； 3 当1a =-时，0∆=，()0h x =的解为1x =-，故原方程有一解，1x =-； 4 当3a >时，0∆>，由于(1)14,(0)1,(3)133h a h h a -=+>==- 若1313303a a -≤⇒≥时，()0h x =在[1,3]-上有一解，故原方程有一解； 若13133033a a ->⇒<<时，()0h x =在[1,3]-上无解，故原方程有无解； 5 当1a <-时，0∆>，由于(1)10,(0)1,(3)1330h a h h a -=+<==->()0h x =在[1,3]-上有一解，故原方程有一解； …………………11分 综上可得：当1333a <<时，原方程在[1,3]-上无解；当3a <或133a ≥时，原方程在[1,3]-上有一解；当3a =时，原方程在[1,3]-上有两解.……………13分21．（本小题满分14分）解析： （Ⅰ）令函数1()2ln f x x x x=-+，定义域是{|1}x R x ∈> 由22221(1)()10x f x x x x--'=--=≤，可知函数()f x 在(1,)+∞上单调递减 故当1x >时，1()2ln (1)0f x x x f x =-+<=，即12ln x x x<-. ……………………………3分 （Ⅱ）因为0,0t a >>，故不等式(1)ln(1)a t a t ++>可化为ln(1)at t t a +>+……()* 问题转化为()*式对任意的正实数t 恒成立， 构造函数()ln(1)(0)at g t t t t a=+->+， 则2221[(2)]()1()(1)()a t t a a g t t t a t t a --'=-=++++，……………6分 （1）当02a <≤时，0,(2)0t a a >-≤，()0g t '∴≥即()g t 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0g t g >=，即不等式ln(1)at t t a +>+对任意的正实数t 恒成立. （2）当2a >时，(2)0a a ->因此(0,(2))()0t a a g t '∈-<，，函数()g t 单调递减；((2),+)()0t a a g t '∈-∞>，，函数()g t 单调递增， 所以min (2)()((2))2ln(1)1a a g t g a a a a -=-=--- 2,11a a >∴->，令11x a =->， 由(Ⅰ)可知2min (2)11()2ln(1)2ln 2ln ()01a a x g t a x x x a x x--=--=-=--<-，不合题意. 综上可得，正实数a 的取值范围是(0,2]. ………………10分 （Ⅲ）要证19291()10e <，即证910119ln 2ln 19ln 219ln(1)21099e <-⇔>⇔+>， 由（Ⅱ）的结论令2a =，有2(1)ln(1)2t t++>对0t >恒成立，取19t =可得不等式119ln(1)29+>成立， 综上，不等式19291()10e <成立. ………………………………14分。

湖北省部分重点中学2015届高三第一次联考数学(理)试题 Word版含答案

湖北省部分重点中学2015届高三第一次联考数学(理)试题 Word版含答案

湖北省部分重点中学2015届高三第一次联考数学试卷（理）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、复数11z i=+的共轭复数是（ ）A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +2、已知实数,x y 满足1212y y x x ≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则目标函数22z x y =+的最小值为（ ）A．2 C ．1 D ．53、模几何体的正视图与俯视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的侧视图可以 是（ ）4、阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ） A ．6 B ．-6 C ．0 D ．185、已知()2(,)f x x bx c b c R =++∈，命题甲：函数()()2log g x f x =的值域为R ；命题乙：0x R∃∈使0()0f x <成立，则甲是乙的（ ）条件。

A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要6、过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上任意一点P 作与实轴平行的直线，交两渐近线于,M N 两点，若23PM PN b ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B ．3 D ．37、从编号为001，002，，500的500个产品中用系统抽样的的方法抽取一个样本，已知样本编号从小到大依次为007，032，，则样本中最大的编号应该为（ ）A ．483B ．482C ．481D ．4808、已知函数()23420151(0)2342015x x x x f x x x =+-+-++>，则()f x 在定义域上的单调性是（ ） A ．在()0,+∞单调递增 B ．在()0,+∞单调递减C ．在(0,1)单调递增，()1,+∞单调递减D ．在(0,1)单调递减，()1,+∞单调递增 9、设函数()4sin(31)f x x x =+-，则下列区间中()f x 不存在零点的是（ ） A ．[]0,1 B ．[]2,1-- C ．[]3,4 D ．[]3,2-- 10、非空数集123{,,,,}n A a a a a =(,0)n n N a *∈>中，所有元素的算术平均数即为()E A ，即()123na a a a E A n++++=，若非空数集B 满足下列两个条件：①B A ⊆;②()()E B E A =，则称B 为A 的一个“包均值子集”，据此，集合{}1,2,3,4,5,6,7的子集中是“包均值子集”的概率是（ ） A ．15128 B ．19128 C ．1164D ．63128二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡对应的题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

湖北省百所重点中学2015届高三十月联合考试数学(理)试题

湖北省百所重点中学2015届高三十月联合考试数学(理)试题

湖北省百所重点中学2015届高三十月联合考试试题理科试题考生注意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟2、请将各题答案填在卷后面的答案卡上．3、本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数（60%）；三角函数与平面向量（40%）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{|20}{|1}1xM x x x N x x =-+>=<-，则M N 等于A ．()0,2B ．()0,1C ．()1,2D ．()1,1- 2、2014cos()3π的值为A ．12 B ．2 C ．12- D ． 2-3、已知a 为常数，则使得11aa dx x>⎰成立的一个充分而不必要条件是（ ） A ．0a > B ．0a < C ．a e > D ．a e <4、已知α为第三象限角，且2sin cos 2,sin 2m m ααα+==，则m 的值为A ．．13- D ．-5、在ABC ∆中，角角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22a b -且sin C B =， 则A 等于 A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π6、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足3()()2f x f x -=+，且当302x <≤时，()2log (31)f x x =+，则()2015f 等于A ．1-B ．2-C ．1D ．2 7、给出下列命题，其中错误的是A ．在ABC ∆中，若AB >，则sin sin A B > B ．在锐角ABC ∆中， sin sin A B >C ．把函数sin 2y x =的图象沿x 轴向左平移4π个单位，可以得到函数cos 2y x =的图象 D．函数sin (0)y x x ωωω=≠最小正周期为π的充要条件是2ω= 8、已知幂函数()1()n f x x n N -=∈的图象如图所示，则()y f x =在1x =的 切线与两坐标轴围成的面积为 A ．43 B ．74 C ．94D ．4 9、已知,a b R ∈，函数()tan f x x =在4x π=-处于直线2y ax b π=++相切，设()x g x e =2bx c ++，若在区间[]1,2上，不等式()22m g x m ≤≤-恒成立，则实数mA ．有最小值e -B ．有最小值eC ．有最大值eD ．有最大值1e +10、对于函数()f x ，若,,a b c R ∀∈，()()(),,f a f b f c 为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构造三角形函数”，已知函数()1x x e t f x e +=+是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是A ．[)0,+∞B ．[]0,1C ．[]1,2D ．1[,2]2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答案卡中的横线上 11、已知,3sin 22cos 2παπαα<<=，则cos()απ-=12、化简2log2lg5lg2lg2+-的结果为13、已知:p 关于x 的方程210x mx ++=有两个不等的负实数根；:q 关于x 的方程244(2)10x m x +-+=的两个实数根，分别在区间()0,2与()2,3内（1）若p ⌝是真命题，则实数m 的取值范围为 （2）若()()p q ⌝∧⌝是真命题，则实数m 的取值范围为14、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2c o s 2B a b =+，若ABC ∆的面积为S =，则ab 的最小值为15、已知函数()2111[0,]24221,122x x f x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪+⎝⎦⎩，()3sin()22(0)32g x a x a a ππ=+-+>，给出下列结论：①函数()f x 的值域为2[0,]3； ②函数()g x 在[]0,1上是增函数；③对任意0a >，方程()()f x g x =在[]0,1内恒有解；④若存在[]12,0,1x x ∈，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是44[,]95． 其中所有正确的结论的序号是三、解答题：本大题共5小题，满分65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16、（本小题满分11分）已知函数()sin()(,0,0,||)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示．（1）试确定函数()f x 的解析式； （2）若1()23a f π=，求2cos()3πα-的值．17、（本小题满分12分）2014世界园艺博览会在青岛举行，某展销商在此期间销售一种商品，根据市场调查，当每套商品售价为x 元时，销售量可达到150.1x -万套，供货商把该产品的供货价格分为来那个部分，其中固定价格为每套30元，浮动价格与销量（单位：万套）成反比，比例系数为k ，假设不计其它成本，即每套产品销售利润=售价-供货价格（1）若售价为50元时，展销商的总利润为180元，求售价100元时的销售总利润； （2）若10k =，求销售这套商品总利润的函数()f x ，并求()f x 的最大值． 18、（本小题满分12分）如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且(,)62ππα∈，将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ，记1122(,),(,)A x y B x y ．（1）若113x =，求2x ；（2）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足一次为C 、D ，记AOC ∆的面积为1S ，BOD ∆的面积为2S ，若122S S =，求角α的值．19、（本小题满分12分） 已知函数()2(0)2mx nf x m x +=≠+是定义在R 上的奇函数．（1）若0m >，求()f x 在(,)m m -上递增的充要条件；（2）若()21sin cos cos 2f x θθθ≤+对任意的实数θ和正实数x 恒成立，求实数m 的取值 范围．20、（本小题满分14分） 已知()(ln 1)x f x e x =+（1）求()()y f x f x '=-的单调区间与极值；（2）若0k <，试分析方程()()2f x f x kx k e '=+-+在[)1,+∞上是否有实根，若有实数根，求出k 的取值范围；否则，请说明理由．21、（本小题满分14分） 已知()ln (,1mf x n x m n x =++为常数)，在1x =处的切线方程为20x y +-=． （1）求()y f x =的单调区间；（2）若任意实数1[,1]x e ∈，使得对任意的1[,2]2t ∈上恒有()3222f x t t at ≥--+成立， 求实数a 的取值范围；（3）求证：对任意正整数n ，有124()(ln1ln 2ln )2231nn n n +++++++≥+．。

湖北省教学合作2015届高三数学10月联考试题 理(含解析)新人教A版

湖北省教学合作2015届高三数学10月联考试题 理(含解析)新人教A版

教学合作2015届高三年级十月联考试题数学（理科）【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。

本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟 第Ⅰ卷 （选择题，50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】1、已知集合22{|23},{|0}2x A x y x x B x x +==--=≤-，则A B =A ．[]1,1- B ．[)1,2- C ．[)1,2 D ．[]2,1--【知识点】交集及其运算．A1【答案解析】D 解析：依题意；化简集合{|13}A x x x =≤-≥或，{|22}B x x =-≤<， 利用集合的运算可得：{|21}AB x x =-≤≤-.故选D.【思路点拨】求出集合A ，B 的等价条件，即可得到结论．【题文】2、下列命题中真命题的个数是（1）若命题,p q 中有一个是假命题，则()p q ⌝∧是真命题．（2）在ABC ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“90C =”的必要不充分条件．（3）C 表示复数集，则有2,11x C x ∀∈+≥． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2 【答案解析】C 解析：命题（1）（2）是真命题，（3）是假命题，故选C【思路点拨】根据p ∧q ，￢p 的真假和p ，q 真假的关系，二倍角的正弦公式，复数的概念即可判断这几个命题的真假．【题文】3、已知四个函数：①sin y x x =；②cos y x x =；③cos y x x =；④2xy x =⋅的图象如下，但顺序打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数正确的一组是A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②① 【知识点】函数的图象与图象变化．B10【答案解析】A 解析：①sin y x x =是偶函数，其图象关于y 轴对称；②cos y x x =是奇函数，其图象关于原点对称；③|cos |y x x =是奇函数，其图象关于原点对称．且当0x >时，0y ≥；④2xy x =⋅为非奇非偶函数，且当0x >时，0y >；当0x <时，0y <；故选A.【思路点拨】从左到右依次分析四个图象可知，第一个图象关于Y 轴对称，是一个偶函数，第二个图象不关于原点对称，也不关于Y 轴对称，是一个非奇非偶函数；第三、四个图象关于原点对称，是奇函数，但第四个图象在Y 轴左侧，函数值不大于0，分析四个函数的解析后，即可得到函数的性质，进而得到答案．【题文】4、已知12515111(),log ,log 533a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．c a b >> C ．a c b >> D ．c b a >> 【知识点】对数值大小的比较．菁B7【答案解析】B 解析：由指数函数和对数函数的性质可知01,0,01a b c <<<<<，而1211()52a ==<，155511log log 3log 32c ==>=，所以有c a b >>，故选B. 【思路点拨】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．【题文】5、将函数2cos 2y x x =-的图象向右平移4π个单位长度，所得图象对应的函数()g xA1 B ．对称轴方程是7,12x k k Z ππ=+∈C ．是周期函数，周期2T π=D ．在区间7[,]1212ππ上单调递增【知识点】两角和与差的正弦函数；函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．C5 C4【答案解析】D 解析：化简函数得2cos 22sin(2)6y x x x π=-=-，所以2()2sin(2)3g x x π=-易求最大值是2，周期是π，由22()32x k k Z πππ-=+∈，得对称轴方程是7()122k x k Z ππ=+∈由27222()2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤-≤+⇔+≤≤+∈，故选D.【思路点拨】由两角差的正弦公式化简函数，再由图象平移的规律得到2()2sin(2)3g x x π=-，易得最大值是2，周期是π，故A ，C 均错；由22()32x k k Z πππ-=+∈，求出x ，即可判断B ；再由正弦函数的增区间，即可得到g （x ）的增区间，即可判断D ．【题文】6、已知函数()log (01)a f x x a =<<的导函数()f x '，(),(1)()A f a b f a f a '==+-(1),(2)(1)C f aD f a f a '=+=+-+，则,,,A B C D 中最大的数是A ．AB ．BC ．CD ．D 【知识点】导数的运算．B11 【答案解析】D 解析：由于函数()log (01)a f x x a =<<是可导函数且为单调递减函数，,A C 分别表示函数在点,1a a +处切线的斜率，因为(1)()(1)f a f a B a a +-=+-，(2)(1)(2)(1)f a f a D a a +-+=+-+，故,B D 分别表示函数图象上两点(,()),(1,(1))a f a a f a ++和两点(1,(1)),(2,(2))a f a a f a ++++连线的斜率，由函数图象可知一定有A B C D <<<，四个数中最大的是D ，故选D .【思路点拨】设利用导数及直线斜率的求法得到A 、B 、C ，D 分别为对数函数的斜率，根据对数函数的图象可知大小，得到正确答案． 【题文】7、已知a b <，若函数()(),f x g x 满足()()bbaaf x dxg x dx=⎰⎰，则称()(),f x g x 为区间[],a b 上的一组“等积分”函数，给出四组函数：①()()2,1f x x g x x ==+； ②()()sin ,cos f x x g x x==；③()()234f x g x x π==；④函数()(),f x g x 分别是定义在[]1,1-上的奇函数且积分值存在．其中为区间[]1,1-上的“等积分”函数的组数是A ．1B ．2C ．3D ．4 【知识点】微积分基本定理．B13 【答案解析】C 解析：对于①，111111()2||2()22f x dx x dx x dx xdx ---==-+=⎰⎰⎰⎰，或者利用积分的几何意义（面积）直接可求得11()2f x dx -=⎰，而11121111()(+1)()|22g x dx x dx x x ---==+=⎰⎰，所以①是一组“等积分”函数；对于②，1111()sin 0f x dx xdx --==⎰⎰，而1111()cos 2sin10g x dx xdx --==≠⎰⎰，所以②不是一组“等积分”函数；对于③，由于函数()f x 的图象是以原点为圆心，1为半径的半圆，故111()2f x dx π--==⎰⎰，而1112311131()|442g x dx x dx x πππ---===⎰⎰，所以③是一组“等积分”函数；对于④，由于函数(),()f x g x 分别是定义在[1,1]-上的奇函数且积分值存在，利用奇函数的图象关于原点对称和定积分的几何意义，可以求得函数的定积分1111()()0f x dxg x dx --==⎰⎰，所以④是一组“等积分”函数，故选C【思路点拨】利用“等积分”函数的定义，对给出四组函数求解，即可得出区间[﹣1，1]上的“等积分”函数的组数【题文】8、已知2221a b c ++=，21c x x m+≤-++对任意实数,,,a b c x恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．[)8,+∞ B ．(][),42,-∞-+∞ C ．(][),18,-∞-+∞ D ．[)2,+∞【知识点】一般形式的柯西不等式．N4 【答案解析】 B 解析：由柯西不等式得,9))(432()232(2222=++++≤++c b a c b a ,即3232≤++c b a ,2c +的最大值为3，当且仅当22221c a b c ==++=⎩时等号成立；所以21||c x x m +≤-++对任意实数,,,a b c x 恒成立等价于1||3x x m -++≥对任意实数x恒成立，又因为1|||(1)()||1|x x m x x m m -++≥--+=+对任意x 恒成立，因此有即13m +≥，解得24m m ≥≤-或，故选B.【思路点拨】由柯西不等式求得3232≤++c b a ，可得1||3x x m -++≥对任意实数x 恒成立．再根据|x ﹣1|+|x+m|≥|m+1|，可得13m +≥，由此求得m 的范围．【题文】9、已知由不等式组00240x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪--≤⎩，确定的平面区域Ω的面积为7，定点M 的坐标为()1,2-，若N ∈Ω，O 为坐标原点，则OM ON ⋅的最小值是A ．8-B ．7-C ．6-D ．4- 【知识点】简单线性规划．E5【答案解析】B 解析：依题意：画出不等式组040x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域（如右图所示）可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为8，由直线2y kx =+恒过点(0,2)B ，且原点的坐标恒满足2y kx -≤，当0k =时，2y ≤，此时平面区域Ω的面积为6，由于67<，由此可得0k <.由240y kx y x -=⎧⎨--=⎩可得242(,)11k D k k ---，依题意应有122||121k ⨯⨯=-，因此1k =-（3k =，舍去）故有(1,3)D -，设(,)N x y ，故由2z OM ON x y =⋅=-，可化为1122y x z =-，112<所以当直线1122y x z =-过点D 时，截距12z -最大，即z 取得最小值7-，故选B ．【思路点拨】首先作出不等式组40x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域，然后根据直线2y kx =+恒过点B （0，2），且原点的坐标恒满足2y kx -≤，当k=0时，y≤2，此时平面区域Ω的面积为6，由于6＜7，由此可得k ＜0．联立方程组求出D 的坐标，根据三角形的面积公式求得k 的值，最后把OM ON ⋅转化为线性目标函数解决．【题文】10、已知函数()()2212,3ln 2f x x ax g x a x b =+=+设两曲线()(),y f x y g x ==有公共点，且在该点处的切线相同，则(0,)a ∈+∞时，实数b 的最大值是A ．6136eB ．616eC ．2372eD ．2332e【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．B12【答案解析】D 解析：依题意：()2f x x a '=+，23()a g x x '=，因为两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，设为00(,)P x y ，所以220000020000001()()23ln 23()()23f x g x x ax a x b a f x g x x a x a x ax ⎧=⇔+=+⎪⎪⎨⎪''=⇔+=⇔==-⎪⎩或，因为00x >，0a >所以0x a=，因此22220001523ln 3ln (0)22b x ax a x a a a a =+-=->构造函数225()3ln (0)2h t t t t t =->，由()2(13ln )h t t t '=-，当130t e <<时，()0h t '>即()h t 单调递增；当13t e >时，()0h t '<即()h t 单调递减，所以1233max3()()2h t h e e==即为实数b 的最大值.【思路点拨】分别求出函数f （x ）的导数，函数g （x ）的导数．由于两曲线y=f （x ），y=g（x ）有公共点，设为00(,)P x y ，则有00()()f xg x =，且00()()f xg x ''=，解出x0=a ，得到b 关于a 的函数，构造函数225()3ln (0)2h t t t t t =->，运用导数求出单调区间和极值、最值，即可得到b 的最大值．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上 【题文】11、已知向量a 与向量b 的夹角为120，若()(2)a b a b +⊥-且2a =，则b 在a上的投影为【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．F3【答案解析】18-解析：因为2()(2)()(2)02||||40a b a b a b a b b b +⊥-⇔+⋅-=⇔--=,故331||4b +=所以b在a 上的投影为.1{|}2x R x ∈>53503sin 2ρθ=- 【思路点拨】因为向量a 与向量b 的夹角为︒120，所以b 在a上的投影为01||cos120||2b b =-，问题转化为求||b 。

湖北省稳派联考高三数学上学期10月调研试卷 理(含解析)

湖北省稳派联考高三数学上学期10月调研试卷 理(含解析)

湖北省稳派名校联考2015届高三上学期10月调研数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若集合中元素的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个2．（5分）下列有关命题的说法中，错误的是（）A．若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题B．“x=1”是“x≥1”的充分不必要条件C．“”是“”的必要不充分条件D．若命题p：”∃实数x0，使x02≥0”则命题¬p：“对于∀x∈R，都有x2＜0”3．（5分）如图，直线l和圆c，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90度）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．（5分）若，则tan2α=（）A．B．C．D．5．（5分）函数的值域为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1] C．（0，1] D．[0，1]6．（5分）已知函数在区间[0，1]内至少出现2次极值，则ω的最小值为（）A．B．C．D．7．（5分）若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角为（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）=的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．（5分）由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=所围成的平面图形（图中的阴影部分）的面积是（）A．1 B．C．D．210．（5分）已知x1，x2（x1＜x2）是方程4x2﹣4kx﹣1=0（k∈R）的两个不等实根，函数定义域为[x1，x2]，g（k）=f（x）max﹣f（x）min，若对任意k∈R，恒只有成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分11．（5分）计算：4cos70°+tan20°=．12．（5分）已知函数f（x）=log2（x2﹣ax+a2）的图象关于x=2对称，则a的值为．13．（5分）对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为准奇函数，下列函数中是准奇函数的是（把所有满足条件的序号都填上）①f（x）=②f（x）=x2③f（x）=tanx④f（x）=cos（x+1）14．（5分）设函数f（θ）=sinθ+cosθ，其中θ的顶点与坐标原点重合，始终与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y）且0≤θ≤π．（1）若点P的坐标为，则f（θ）的值为（2）若点P（x，y）为平面区域Ω：内的一个动点，记f（θ）的最大值为M，最小值m，则log M m=．15．（5分）设f′（x）和g′（x）分别是f（x）和g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≤0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性相反．若函数f（x）=x3﹣2ax与g（x）=x2+2bx在开区间（a，b）上单调性相反（a＞0），则b﹣a的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说、证明过程或演算步骤）16．（11分）设命题p：函数y=log a（x+1）（a＞0，a≠1）在x∈（0，+∞）上单调递减；命题q：3x﹣9x＜a对一切的x∈R恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．17．（12分）在平行四边形ABCD中，A（1，1），=（6，0），M是线段AB的中点，线段CM 与BD交于点P．（1）若=（2，5），求点C的坐标；（2）当||=||时，求点P的轨迹．18．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）若f（x）满足下列条件：①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）恒成立；②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立，求f（x）的解析式；（2）若对任意x1，x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），试证明：存在x0∈（x1，x2），使f（x0）=[f（x1）+f（x2）]成立．19．（12分）已知函数f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜）的图象在y轴上的截距为，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x0，2）和（x0+π，﹣2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且锐角A满足，又已知a=7，sinB+sinC=，求△ABC的面积．20．（14分）如图，△ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3（百米），底AB的长为4（百米）．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S1和S2．（1）若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；（2）求的最小值．21．（14分）若函数f（x）是定义域D内的某个区间I上的增函数，且F（x）=在I 上是减函数，则称y=f（x）是I上的“非完美增函数”，已知f（x）=lnx，g（x）=2x++alnx（a∈R）（1）判断f（x）在（0，1]上是否是“非完美增函数”；（2）若g（x）是[1，+∞）上的“非完美增函数”，求实数a的取值范围．湖北省稳派名校联考2015届高三上学期10月调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若集合中元素的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个考点：集合中元素个数的最值．专题：计算题；集合．分析：先求出集合A，由集合B的定义求出元素即可．解答：解：∵集合，∴A={1，2，3，4，5，6}B={1，2，4}；故选：A．点评：本题考查了集合的化简与集合中元素的求法，属于基础题．2．（5分）下列有关命题的说法中，错误的是（）A．若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题B．“x=1”是“x≥1”的充分不必要条件C．“”是“”的必要不充分条件D．若命题p：”∃实数x0，使x02≥0”则命题¬p：“对于∀x∈R，都有x2＜0”考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：对于A，根据“或命题”真假的判断方法判断；对于B，判断充要性要双向推理，即从左右互推进行判断；对于C，思路同上；对于D，特称命题的否定：一是量词的改变，二是结论的否定，依此判断．解答：解：对于A：或命题为假，当且仅当两个命题都为真，故A为真命题；对于B：当x=1时，显然有x≥1成立，但是由x≥1，未必有x=1，故前者是后者的充分不必要条件；对于C：当sinx=时，x=或，故C为假命题；对于D：该命题的否定符合特称命题的否定方法，故D项为真命题．故选：C．点评：该题目借助于命题真假的判断重点考查了复合命题的真假判断、命题充要性的判断、及特称命题的否定等知识，要注意准确理解概念和方法．3．（5分）如图，直线l和圆c，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90度）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（）A．B．C．D．考点：直线与圆相交的性质．专题：图表型；规律型；数形结合法．分析：由图象可以看出，阴影部分的面积一开始增加得较慢，面积变化情况是先慢后快然后再变慢，由此规律找出正确选项解答：解：观察可知面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D符合要求故选D点评：本题考查直线与圆相交的性质，解答本题的关键是根据所给的图形得出直线扫过的阴影部分的面积变化规律，利用函数的思想找出正确答案，本题考查识图的能力以及根据实际问题选择函数模型的能力．4．（5分）若，则tan2α=（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正切函数；二倍角的正切．专题：三角函数的求值．分析：由题意和两角和与差的正切函数可的tanα，再由二倍角的正切公式可得tan2α解答：解：∵，∴tanα=tan[﹣（﹣α）]==，∴tan2α==故选：C点评：本题考查两角和与差的正切函数，涉及二倍角的正切公式，属基础题．5．（5分）函数的值域为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1] C．（0，1] D．[0，1]考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：通过换元t=，则x=1﹣t2，y=﹣t2﹣t+1，t∈[0，+∞），转化为二次函数求解即可．解答：解；设t=，则x=1﹣t2，y=﹣t2﹣t+1，t∈[0，+∞），∵轴t=﹣，可判断在t∈[0，+∞）上单调递减，∴当t=0时，y=1，故选：B点评：本题考查了二次函数的性质，注意变量的范围．6．（5分）已知函数在区间[0，1]内至少出现2次极值，则ω的最小值为（）A．B．C．D．考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先根据三角函数的诱导公式将原函数变成y=sinωx，所以ωx=时该函数第一次取极值，时该函数第二次取极值，所以，x=1时，ω便取最小值．解答：解：y=；∴时取第一次极值，时取第二次极值；∴，x取最大值1时，ω取最小值．故选：B．点评：考查三角函数的诱导公式，及正弦函数的极值．7．（5分）若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角为（）A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，由于两个非零向量|+|=|﹣|=2||，利用向量的平行四边形法则和矩形的定义可知：四边形ABCD是矩形，且==cos∠BAC，进而得出．解答：解：如图所示，∵两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，∴四边形ABCD是矩形，且==cos∠BAC．∴∠OBA=．∵∠COB=∠OAB+∠OBA．∴∠COB=．∴向量+与﹣的夹角为．故选：C．点评：本题考查了向量的平行四边形法则和矩形的定义、直角三角形的边角关系，属于中档题．8．（5分）函数f（x）=的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：分段函数的零点要讨论，对第一部分要作图．解答：解：①x≤0时，f（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4=0，解得，x=﹣1或x=3（舍去）．②x＞0时，由y=lnx与y=x2﹣2x的图象可知，其有（0，+∞）上有两个交点，故有两个解；则函数f（x）=的零点个数为3．故选C．点评：本题考查了分段函数的零点个数，属于中档题．9．（5分）由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=所围成的平面图形（图中的阴影部分）的面积是（）A．1 B．C．D．2考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：先将围成的平面图形的面积用定积分表示出来，然后运用微积分基本定理计算定积分即可．解答：解：曲线 y=sin x，y=cos x 的一个交点的横坐标为：，由曲线 y=sin x，y=cos x 与直线 x=0，x=所围成的平面图形（图中的阴影部分）的面积是s=∫（cosx﹣sinx）dx+∫（sinx﹣cosx）dx=（sinx+cosx）|+（﹣cosx﹣sinx）|=﹣1+﹣1=2．故选D．点评：本题主要考查了定积分在求面积中的应用，运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数，属于基础题．10．（5分）已知x1，x2（x1＜x2）是方程4x2﹣4kx﹣1=0（k∈R）的两个不等实根，函数定义域为[x1，x2]，g（k）=f（x）max﹣f（x）min，若对任意k∈R，恒只有成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．考点：函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：先求f′（x）=，根据x1，x2（x1＜x2）是方程4x2﹣4kx﹣1=0（k∈R）的两个不等实根，结合图象可知，当x∈[x1，x2]时，4x2﹣4kx﹣1≤0，则可判断导数分子的符号，因此可判断导数的符号，由此得到g（k），则利用分离常数的方法求结论中a的范围，此时只需求出关于k的函数的最值即可．解答：解：由已知f′（x）=，又因为x1，x2（x1＜x2）是方程4x2﹣4kx﹣1=0（k∈R）的两个不等实根，结合图象可知，当x∈[x1，x2]时，4x2﹣4kx﹣1≤0，所以﹣[4x2﹣4kx﹣1﹣3]恒成立，故f′（x）＞0在[x1，x2]恒成立，故f（x）在定义域内是增函数，所以g（k）=f（x）max﹣f（x）min=f（x2）﹣f（x1）=①，又因为x1，x2（x1＜x2）是方程4x2﹣4kx﹣1=0（k∈R）的两个不等实根，所以，代入①式化简后得：g（k）=，由对任意k∈R，恒成立得：，结合k2≥0，所以，故a的取值范围是a．故选A．点评：本题考查了不等式的恒成立问题，一般是分离参数转化为函数的最值求解，本题的关键是利用已知条件判断出函数f（x）的单调性，再用韦达定理实现对g（k）表达式的化简．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分11．（5分）计算：4cos70°+tan20°=．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：根据三角函数的化简原则，切化弦，再根据50°=30°+20°由两角和的余弦公式求出解来．解答：解：4cos70°+tan20°========．故答案为：点评：本题考查了三角函数的化解与求值问题，解题的关键是根据诱导公式化简后，能发现50°=30°+20°的关系．12．（5分）已知函数f（x）=log2（x2﹣ax+a2）的图象关于x=2对称，则a的值为4．考点：奇偶函数图象的对称性．专题：计算题；数形结合．分析：由题意，先研究函数的定义域，当a=0时不合题意，当a≠0时，定义域为R，故函数的对称轴即内层函数的对称轴解答：解：由题意，a=0时不合题意当a≠0时，△=﹣3a2＜0，定义域为R，又内层函数的对称轴为x=∵函数f（x）=log2（x2﹣ax+a2）的图象关于x=2对称∴x==2∴a=4故答案为4点评：本题考查函数图象的对称性，求解本问题的关键是由函数的解析式得出函数的对称轴即内层函数的对称轴，由此关系建立方程求出参数的值即可．13．（5分）对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为准奇函数，下列函数中是准奇函数的是③④（把所有满足条件的序号都填上）①f（x）=②f（x）=x2③f（x）=tanx④f（x）=cos（x+1）考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：判断对于函数f（x）为准奇函数的主要标准是：若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为准奇函数．解答：解：对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为准奇函数①使得x取定义域内的每一个值，不存在f（x）=﹣f（2a﹣x）所以f（x）不是准奇函数②当a=0时，f（x）=﹣f（2a﹣x），而题中的要求是a≠0，所以f（x）不是准奇函数③当a=时使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（π﹣x），则称f（x）为准奇函数．④当a=π时使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2π﹣x），则称f（x）为准奇函数故选：③④点评：本题考查的知识点：新定义的理解和应用．14．（5分）设函数f（θ）=sinθ+cosθ，其中θ的顶点与坐标原点重合，始终与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y）且0≤θ≤π．（1）若点P的坐标为，则f（θ）的值为2（2）若点P（x，y）为平面区域Ω：内的一个动点，记f（θ）的最大值为M，最小值m，则log M m=0．考点：两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题；三角函数的求值．分析：首先由两角和的正弦公式，化简f（θ）．（1）由P的坐标为，则θ=，代入，即可得到；（2）画出平面区域Ω，由图象得到0，即有≤，再由正弦函数的性质即可得到最值．解答：解：f（θ）=sinθ+cosθ=2（sinθ+cosθ）=2sin（）．（1）由P的坐标为，则θ=，f（θ）=2sin（）=2sin=2；（2）平面区域Ω：如图：则P位于点（0，1）处，θ最大，位于点（1，0）处最小，即0，即有≤，则f（θ）的最大值为M=f（）=2，最小值为m=f（0）=1，则log M m=log21=0．故答案为：2，0．点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查不等式组表示的平面区域，考查正弦函数的性质，属于中档题．15．（5分）设f′（x）和g′（x）分别是f（x）和g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≤0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性相反．若函数f（x）=x3﹣2ax与g（x）=x2+2bx在开区间（a，b）上单调性相反（a＞0），则b﹣a的最大值为．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：由条件知g′（x）＞0恒成立，得f′（x）≤0恒成立，从而求出a、b的取值范围，建立b﹣a的表达式，求出最大值．解答：解：∵f（x）=x3﹣2ax，g（x）=x2+2bx，∴f′（x）=x2﹣2a，g′（x）=2x+2b；由题意得f′（x）g′（x）≤0在（a，b）上恒成立，∵a＞0，∴b＞a＞0，∴2x+2b＞0恒成立，∴x2﹣2a≤0恒成立，即﹣≤x≤；又∵0＜a＜x＜b，∴b≤，即0＜a≤，解得0＜a≤2；∴b﹣a≤﹣a=﹣+，当a=时，取“=”，∴b﹣a的最大值为．故答案为：．点评：本题考查了利用导数判定函数的单调性问题，也考查了不等式的解法问题，是易错题．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说、证明过程或演算步骤）16．（11分）设命题p：函数y=log a（x+1）（a＞0，a≠1）在x∈（0，+∞）上单调递减；命题q：3x﹣9x＜a对一切的x∈R恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：命题p：函数y=log a（x+1）（a＞0，a≠1）在x∈（0，+∞）上单调递减，得出0＜a ＜1，命题q：3x﹣9x＜a对一切的x∈R恒成立，得a＞，p且q为真时，可得：＜a＜1，最后可得出命题“p且q”为假命题时，实数a的取值范围．解答：解：∵命题p：函数y=log a（x+1）（a＞0，a≠1）在x∈（0，+∞）上单调递减，∴x+1∈[1，+∞），0＜a＜1，∵命题q：3x﹣9x＜a对一切的x∈R恒成立，∴f（x）=3x﹣（3x）2，t=3x，y=﹣t2+t，t＞0，当t=时，y的最大值，即必须得a＞，∵p且q为真时，可得：＜a＜1，∴命题“p且q”为假命题时，实数a的取值范围为（0，）∪（1，+∞），点评：本题综合考查了函数，不等式，简易逻辑等知识灵活运用，巧用对立事件求解．17．（12分）在平行四边形ABCD中，A（1，1），=（6，0），M是线段AB的中点，线段CM 与BD交于点P．（1）若=（2，5），求点C的坐标；（2）当||=||时，求点P的轨迹．考点：轨迹方程；平行向量与共线向量．专题：综合题；平面向量及应用．分析：（1）利用向量的坐标运算、中点坐标公式、向量相等即可得出；（2）利用三点共线可得斜率关系，再利用模相等即可得出．解答：解：（1）∵A（1，1），=（6，0），∴B（7，1），∵M是AB的中点，∴M（4，1）．∵=（2，5），∴D（3，6），∵=（6，0），∴=（6，0），∴C（9，6）（2）设点P的坐标是（x，y），D（a，b），则C（a+6，b），∵||=||，∴（a﹣1）2+（b﹣1）2=36（*）由B，D，P共线，得①，由C，P，M共线，得②由①②化简得a=3x﹣14，b=3y﹣2，代入（*）化简得（x﹣5）2+（y﹣1）2=4．点评：本题考查了向量的坐标运算、中点坐标公式、向量相等、三点共线可得斜率关系、模相等等基础知识，考查了计算能力，属于中档题．18．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）若f（x）满足下列条件：①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）恒成立；②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立，求f（x）的解析式；（2）若对任意x1，x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），试证明：存在x0∈（x1，x2），使f（x0）=[f（x1）+f（x2）]成立．考点：函数恒成立问题；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）可得二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，于是b=2a，再由f（x）min=f（﹣1）=0，可得c=a，从而可求得函数f（x）的解析式；（2）令g（x）=f（x）﹣[f（x1）+f（x2）]，可证得g（x1）g（x2）＜0，由零点存在定理可知存在x0∈（x1，x2），使f（x0）=[f（x1）+f（x2）]成立．解答：解：（1）∵x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立，∴1≤f（1）≤2|1﹣1|+1=1，∴f（1）=1；∵f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），∴f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，∴﹣=﹣1，b=2a．∵当x∈R时，函数的最小值为0，∴a＞0，f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，∴f（x）min=f（﹣1）=0，∴a=c．∴f（x）=ax2+2ax+a．又f（1）=1，∴a=c=，b=．∴f（x）=x2+x+=（x+1）2；（2）令g（x）=f（x）﹣[f（x1）+f（x2）]，则g（x1）=f（x1）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x1）﹣f（x2）]，g（x2）=f（x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x2）﹣f（x1）]，∵f（x1）≠f（x2）∴g（x1）g（x2）＜0，所以g（x）=0在（x1，x2）内必有一个实根，即存在x0∈（x1，x2）使f（x0）=[f（x1）+f（x2）]成立．点评：本题主要考查二次函数求解析式，里面有三个未知数所以要寻求三个条件来解，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力，以及运算求解的能力．19．（12分）已知函数f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜）的图象在y轴上的截距为，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x0，2）和（x0+π，﹣2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且锐角A满足，又已知a=7，sinB+sinC=，求△ABC的面积．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由题意易得A=2，由T=π，可得ω=1，再由截距为可得2sinφ=，结合角的范围可得φ=，可得解析式；（2）结合（1）易得A=由正弦定理可得sinB=，sinC=，代入已知可得b+c=13，在结合余弦定理可得bc的值，由三角形的面积公式可得．解答：解：（1）由最值点可得A=2，设函数的周期为T，由三角函数的图象特点可得T==π，解得ω=1，又图象在y轴上的截距为，∴2sinφ=，∴sinφ=，又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=2sin（x+）；（2）∵锐角A满足，∴2sin（A+﹣）=，解得sinA=，∴A=；由正弦定理可得==，变形可得sinB=，sinC=，∴sinB+sinC=（b+c）=，∴b+c=13，再由余弦定理可得72=b2+c2﹣2bc×，=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=169﹣3bc，∴bc=40，∴△ABC的面积S=bcsinA=×40×=10．点评：本题考查三角函数解析式的求解，涉及正余弦定理和三角形的面积公式，属中档题．20．（14分）如图，△ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3（百米），底AB的长为4（百米）．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S1和S2．（1）若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；（2）求的最小值．考点：函数的最值及其几何意义；解三角形的实际应用．专题：计算题；应用题．分析：（1）根据题意可知F不在BC上，根据余弦定理求出cosA的值，然后根据余弦定理求出EF的长即可；（2）若E、F分别在AC和AB上，设AE=x，AF=y，然后利用三角形的面积公式求出S2和S1=S 三角形ABC﹣S2=，再根据基本不等式求出比值的最值即可，若E、F分别在AC和BC上，设CE=x，CF=y，同上根据基本不等式求出比值的最值即可．解答：解：（1）因为：AE=CE= AE+4＞CE+3 所以F不在BC上，AE+AF+EF=CE+CB+FB+EF所以AE=CE AF=CB+BF 4﹣BF=BF+3 BF=cosA==所以EF2=AE2+AF2﹣2AE×AF×cosA=所以EF=E为AC中点时，此时小路的长度为（2）若E、F分别在AC和AB上，sinA=设AE=x，AF=y，所以S2=xysinA=S1=S三角形ABC﹣S2=2﹣S2因为x+y=3﹣x+4﹣y+3所以x+y=5=﹣1xy≤当且仅当x=y=时取等号所以=当且仅当x=y=时取等号最小值是若E、F分别在AC和BC上，sinC=设CE=x，CF=y同上可得≥当且仅当x=y=取等号若E、F分别在AC和BC上，最小值是点评：本题主要考查了解三角形的实际应用，以及利用基本不等式求最值问题，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．21．（14分）若函数f（x）是定义域D内的某个区间I上的增函数，且F（x）=在I 上是减函数，则称y=f（x）是I上的“非完美增函数”，已知f（x）=lnx，g（x）=2x++alnx（a∈R）（1）判断f（x）在（0，1]上是否是“非完美增函数”；（2）若g（x）是[1，+∞）上的“非完美增函数”，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．专题：导数的综合应用．分析：（1）依据“非完美增函数”的定义判断即可；（2）由题意可得g（x）在[1，+∞）上为增函数，G（x）==2++在[1，+∞）上是减函数，利用导数研究函数的单调性，即可求得结论．解答：解：（1）由于f（x）=lnx，在（0，1]上是增函数，且F（x）==，∵F′（x）=，∴当x∈（0，1]时，F′（x）＞0，F（x）为增函数，∴f（x）在（0，1]上不是“非完美增函数”；（2）∵g（x）=2x++alnx，∴g′（x）=2﹣+=，∵g（x）是[1，+∞）上的“非完美增函数”，∴g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，∴g′（1）≥0，∴a≥0，又G（x）==2++在[1，+∞）上是减函数，∴G′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，即﹣+≤0在[1，+∞）恒成立，即ax﹣axlnx﹣4≤0在[1，+∞）恒成立，令p（x）=ax﹣axlnx﹣4，则p′（x）=﹣alnx≤0恒成立（∵a≥0，x≥1），∴p（x）=ax﹣axlnx﹣4在[1，+∞）上单调递减，∴p（x）max=p（1）=a﹣4≤0，解得：a≤4；综上所述0≤a≤4．点评：本题以新定义的形式考查函数的单调性，考查运用所学知识分析解决新问题的能力．。

湖北省枣阳一中2015届高三上学期10月月考数学(理)试卷

湖北省枣阳一中2015届高三上学期10月月考数学(理)试卷

枣阳一中2015届高三上学期10月数学模拟试题数学（理科）全卷满分150分，考试时间为120分钟第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( ) A 、 ()2,4 B 、()2,4- C 、()4,2- D 、()4,22、设等差数列{}n a 的前项和为n S ，若94=a ，116=a ，则9S 等于 A 、180 B 、90 C 、72 D 、1003、设{}62|≤≤=x x A ，{}32|+≤≤=a x a x B ，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 A 、[]3,1 B 、),3[+∞ C 、),1[+∞ D 、()3,14、要得到一个奇函数，只需将x x x f cos 3sin )(-=的图象A 、向右平移6π个单位 B 、向右平移3π个单位 C 、向左平移3π个单位 D 、向左平移6π个单位5、已知a 、b 为非零向量，则“a ⊥b ”是“函数)()()(a b x b a x x f -∙+=为一次函数 的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 6、函数x x x y sin cos +=的图象大致为y =A B C D7、若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--两个零点分 别位于区间A 、 (,)a b 和(,)b c 内B 、 (,)a -∞和(,)a b 内C 、 (,)b c 和(,)c +∞内D 、 (,)a -∞和(,)c +∞内8、已知函数⎩⎨⎧+≤+-=0),1(ln 02)(2＞x x x ，x x f ，若ax x f ≥)(，则a 的取值范围是( )A 、 ](0，∞-B 、 ](1，∞-C 、 []12，-D 、 []02，-9、已知函数x x f 2sin1)(π+=，若有四个不同的正数i x 满足M x f i =)(（M 为常数），且8<i x ，)4,3,2,1(=i ，则4321x x x x +++的值为( )A 、10B 、14C 、12D 、12或2010、已知G 是ABC ∆的重心，点P 是GBC ∆内一点，若AC AB AP μλ+=，则μλ+的取值范围是( )A 、)1,21( B 、）23,1( C 、)1,32( D 、)2,1(第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11、已知函数()f x ＝32,0tan ,02x x x x π⎧<⎪⎨-≤<⎪⎩ , 则(())4f f π＝ ． 12、已知等差数列}{n a 的前n 项和是n a n S n 22112--=，则使2010-<n a 的最小正整数n 等于 .13、点A 是函数()sin f x x =的图象与x 轴的一个交点（如图所示），若图中阴影部分的面积等于矩形OABC 的面积，那么边AB 的长等于 .14、已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处有极值为10，则=)2(f . 15、已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，()1f x '<，则不等式()221f x x <+的解集 为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、（本小题满分12分）设向量(2,sin ),(1,cos ),a b θθθ==为锐角。

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湖北省部分重点中学2015届高三上学期十月联考数学（理）试卷考试时间：2014年10月16日上午8：00-10：00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}1,A x x x R =≤∈，{}2,B y y x x R ==∈，则AB =( )A. {}|11x x -≤≤B. {}|01x x ≤≤C. {}|0x x ≥D. ∅A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限3．已知二项式2(2nx +（*n N ∈）展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为( ) A ．180 B ．360 C ．1152 D ．23044.三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为( )A. 8B. 4C.5.两个正数,a b 的等差中项是92，一个等比中项是且a b >，则抛物线2b x y a=-的焦点坐标是( )A ．2(0,)5- B ．2(,0)5-C ．1(0,)5-D ．1(,0)5-6．函数25()2sin log 8f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的零点个数为( ) A.1 B. 2 C.3 D.4 7.十一黄金周期间，5位同学各自随机从“三峡明珠，山水宜昌”、“千古帝乡，智慧襄阳”、“养生山水，长寿钟祥”三个城市中选择一个旅游，则三个城市都有人选的概率是( )A.5081B. 2081C. 81125D. 271258．已知直线0x y k --=(0)k >与圆224x y +=交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，且有正视图||3||OA OB AB +≥，那么k 的取值范围是( )A. )+∞B.C. )+∞ D.9.对于函数3()3f x x x a =++，在曲线221xy x =+上存在点(,)s t ，使得(())f f t t =，则a 的取值范围是( )A.(3,0)-B.[]3,0-C.(3,3)-D.[]3,3-10.记{}max ,a b 为两数,a b 的最大值，当正数,x y 变化时，2212max ,,4t x y x y ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题: 本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡相应题号后的横线上.答错位置、书写不清、模棱两可均不得分.11.执行如右图所示的程序框图，若输出的b 的值为127，则图中判断框内①处应填的整数为 ．12.ABC ∆中sin :sin :sin 6A B C =,则ABC ∆最大角与最小角的和是____．13．已知曲线1()()n f x xn N +*=∈与直线1x =交于点P ，若设曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则201512015220152014log log log x x x +++的值为_______．14.在平面直角坐标系xOy 中，若动点(,)P a b 到两直线1:l y x =和2:2l y x =-+，则22a b +的最大值为__________．15.已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，在正方体的表面上与点A 曲线，则该曲线的长度为___________．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本题满分12分）设函数2()cos cos f x x x x a =++. (I) 求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；(II) 当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最大值与最小值的和为32，求()f x 的解析式；(III) 将满足（Ⅱ）的函数()f x 的图像向右平移12π个单位，纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍，再向下平移12个单位，得到函数()g x ，求()g x 图像与x 轴的正半轴、直线x π=所围成图形的面积.17．（本题满分12分）已知公比不为1的等比数列{}n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且445566,,a S a S a S +++成等差数列. (I)求等比数列{}n a 的通项公式；(II)对*n N ∈,在n a 与1n a +之间插入3n 个数，使这32n +个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为n b ，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（本题满分12分）低碳生活，从“衣食住行”开始．在国内一些网站中出现了“碳足迹”的应用，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量，如家居用电的二氧化碳排放量（千克）＝耗电度数0.785⨯，家用天然气的二氧化碳排放量（千克）＝天然气使用立方数0.19⨯等．某校开展“节能减排，保护环境，从我做起！”的活动，该校高一、六班同学利用假期在东城、西城两个小区进行了逐户的关于“生活习惯是否符（I 的概率；（II ）该班同学在东城小区经过大力宣传节能减排的重要意义，每周“非低碳家庭”中有20%的家庭能加入到“低碳家庭”的行列中．宣传两周．．后随机地从东城小区中任选5个家庭，记ξ表示5个家庭中“低碳家庭”的个数，求E ξ和D ξ．19．（本题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，1,2==AD AB ,M 为DC 的中点. 将ADM ∆ 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM . （I ）求证：BM AD ⊥ ；（II ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角D AM E --的余弦值为20．（本题满分13分）如图，椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点. AF 的最大值是M ，BF 的最小值是m ，满足234M m a ⋅=.(I) 求该椭圆的离心率；(II) 设线段AB 的中点为G ，AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点，O 是坐标原点. 记GFD ∆的面积为1S ，OED ∆的面积为2S ，求1222122S S S S +的取值范围.若对任意正整数p ，.试判断)(x S n 是否是湖北省部分重点中学2014-2015学年度第一学期十月联考A高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1.B;2.D;3.A;4.C;5.C;6.C;7.A;8.B;9.D;10.B二、填空题: 本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.8; 12.23π; 13. 1-; 14.8; 15. 6三、解答题：本大题共6小题，共75分.16． 解：（Ⅰ）cos 211()2sin(2)2262x f x x a x a π+=++=+++，…………2分 ∴()f x 的最小正周期为π……………………………………………………………………3分由3222262k x k πππππ+≤+≤+，得263k x k ππππ+≤≤+()k Z ∈ 故函数()f x 的单调递减区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦……………………………4分注：上面函数()f x 的单调递减区间写成开区间或半开半闭区间也正确.. (II) ,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,512,,sin(2),166662x x ππππ⎡⎤⎡⎤∴+∈-∴+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最大值与最小值的和为322a +……………………6分由题意，33222a +=，0a ∴=………………………………………………………………7分故1()sin(2)62f x x π=++……………………………………………………………………8分(III) 函数1()sin(2)62f x x π=++的图像向右平移12π个单位，纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍，再向下平移12个单位，得到函数()sin g x x =……………………………10分∴()g x 图像与x 轴的正半轴、直线x π=所围成图形的面积为22002sin 2cos 2xdx x ππ=-=⎰…………………………………………………………………………………………………12分 17．解：（I ）因为445566,,a S a S a S +++成等差数列，所以55446655a S a S a S a S +--=+--，…………………………………………………2分 即654230a a a -+=，所以22210q q -+=，因为1q ≠，所以12q =，………………4分 所以等比数列{}n a 的通项公式为12n n a =…………………………………………………6分 （II ）1333()242n nn n n a a b ++=⋅=，……………………………………………… 9分133()39322[()1]44212n n n T +-==--…………………………………………………… 12分18．解（I ）设事件“4个家庭中恰好有两个家庭是‘低碳家庭’”为A ， ………1分则有以下三种情况：“低碳家庭”均来自东城小区，“低碳家庭”分别来自东城、西城两个小区，“低碳家庭”均来自西城小区．6分 的比例如下：………8分由题意，两周后东城小区5个家庭中的“低碳家庭”的个数ξ服从二项分布，即17~(5,)B ξ………………………………………………………………………10分 11分12分 平面ABCM ，1,2==AD AB ，M 为DC 的中点，AD DM ∴=，取AM 的中点O ，连结OD ，则DO ⊥平面ABCM ，取AB 的中点N ，连结ON ，则ON AM⊥，以O 为原点，,,OA ON OD的正方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图空间直角坐标系…………………………………………………………2分((((0,0,)2222A B M D --,则22(,0,),(0,2,0)22AD BM =-=,所以0,AD BM AD BM =∴⊥……………6分 （Ⅱ）设DE DB λ=,的一个法向量=010n （，，）2(ME MD DB λ=+=,(AM =-的一个法向量为(,,m x y =⎩1,1y z ==-所以(0,1,m =5,5m n m n m n⋅==⋅20.解：(I) 设(,0)(0)F c c ->，则根据椭圆性质得,,M a c m a c =+=-而234M m a ⋅=，所以有22234a c a -=，即224a c =，2a c =，因此椭圆的离心率为12c e a ==…………………………4分.(II) 由(I)可知2a c =，b =，椭圆的方程为2222143x y c c+=.根据条件直线AB 的斜率一定存在且不为零，设直线AB 的方程为()y k x c =+，并设1122(,),(,)A x y B x y 则由2222()143y k x c x y c c=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得 222222(43)84120k x ck xk c c +++-=…………………………………………5分从而有21212122286,(2)4343ck ckx x y y k x x c k k +=-+=++=++，………………6分所以22243(,)4343ck ck G k k -++.因为DG AB ⊥，所以2223431443D ckk k ckx k +⋅=---+，2243D ck x k =-+.由Rt FGD ∆与Rt EOD ∆相似，所以2222222212222243()()943434399()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k k -+++++===+>-+. …………………10分 令12S t S =，则9t >，从而1222122229114199S S S S t t =<=+++，即1222122S S S S +的取值范围是9(0,)41.………………………………………………………………………………………13分21．解：（I ）函数ln ()x f x x =的定义域为(0,)+∞，21ln '()xf x x -=…………………1分 设切点为00(,)x y ，则切线的斜率为021ln x x -，所以切线方程为00021ln ()x y y x x x --=-……………………………………………………………………2分，又因为原点在切线上，所以000201ln x y x x -=，即000200ln 1ln x x x x x -=，解得0x 3分故所求的直线方程为2xy e=………………………………………………………………4分 （II ）令()0g x =，得()l n m f xx =，令()()l n x f x x ϕ=，则222l n l n '()x xx x ϕ-=，由'()0x ϕ=，得1x =或2x e =………………………………………………………………5分又因为在区间1(,1)e上'()0x ϕ<，在区间2(1,)e 上'()0x ϕ>，在区间2(,)e +∞上'()0x ϕ<……………………………………………………………………………………6分所以函数()x ϕ在区间1(,1)e上递减，在区间2(1,)e 上递增，在区间2(,)e +∞上递减且2214(1)0,()()e e ee ϕϕϕ==>=…………………………………………………………7分 故当0m <或m e >时，函数()g x 没有零点；当0m =或24m e e<≤时，函数()g x 有一个零点；当240m e<≤时，函数()g x 有两个零点.………………………………………9分（III ）由（II ）知当1x >时，22ln 4x x e≤恒成立，即224ln x x e ≤对任意1x >恒成立，又*,n p N ∈，所以当1x >时，[]224ln ()()n p x n p x e+≤+成立…………………………10分又当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，24()4()n p x n p e+≤+故当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，[]2ln ()4()n p x n p +≤+…11分 而对[]23ln (1)()()(1)n p n n x S x S x n ++-=++[]23ln (2)(2)n x n ++++[]23ln ()()n p x n p ++ 34(1)(1)n n +≤+34(2)(2)n n ++++34()()n p n p +++3331114(1)(2)()n n n p ⎡⎤=++⎢⎥+++⎣⎦11111444()(1)(1)(2)(1)()n n n n n p n p n n p n ⎡⎤<+++=-<⎢⎥++++-++⎣⎦…………13分综上，()n S x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上是“高效”的.……………………………………………14分。

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