A2牛顿功和动量20194

A F r r A B F t d r r r A BF 1 F 2 F 3 F 4 d r
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A Fr r A BFtd rA 1 A 2 A 3 A 4
功是力对空间的积累效应。
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(2) 求变力功的实例 弹簧弹力的功
F
F
r
X
(1) 变力的功 力在一个微分段ds上的功：
z

F
t
rt d r
d A F F t d r F t d r c o s t o
rtt
y
x
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z

F
t
rt d r
rtt
o
L rm v rm r m r2
匀速圆周运动时对圆心的角动量守恒
③ 质点对某点的角动量守恒，对另一点不一定守恒。
④ 质点对某点的角动量守恒，动量不一定守恒。
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例 用角动量守恒定律推导行星运动开普勒第二定律：行星对 太阳的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积.
解： 设在时间 t 内，行星的矢径扫过扇形面积s
dm u
火箭主体对地的速度 mdv u dm
dt dt
vt
v0uln

m m0

火箭主体对地的加速度
dvt
a

u
dm
dt mdt
火箭主体受推力
f tmaudm 火箭主体所受推力与u相反
dt
注意矢量符号
dm 0

d
m

0
质量流入 质量流出
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h
F t m v t m v 0 m v i 2 g h j
y
x
F
Av
F m v t tm v 0 m t v i2 g h j
煤粉受力矢量
F m t v i 2 g h j 4 0 2 .0 i 9 .8 j 8 0 i 1 2 5 .2 j
m
u dm m dt
udm dt
m

m0

dm dt
t
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动量定理 –––力的时间累积效应
Fdt dp Ip 2p 1 p
动量守恒定律
Fi 0
m i v i m 1 v 1 m 2 v 2 m n v n C
变质量系统运动方程
Fmdvudm dt dt
d m 0 质量流入

d
m
Hale Waihona Puke 0质量流出
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有质量进出的
变质量系统的运动方程
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应用动量定理处理质量流动问题
Fmdv udm dt dt
时刻 t
时刻 t d t
m

mdm
v
v dv
考虑外太空， 系统的合外力为零
0mdv udm dt dt
传送带受力矢量
F 8 0 2 1 2 5 .2 2 1 4 2 .4 N arctan12850.2237.4
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应用动量定理处理质量流动问题
研究对象：火箭主体和喷出气体
t时刻系统的动量： ptmv
t+dt 时刻系统的动量：
角动量的单位是：kg m2/s
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L r p r m v
动量矩

Lrmsvin
方向：垂直于 r, p 共同决定的平面
力矩 M rF
动量矩 Lrp
角动量的时间变化率：
dL dr p dr prdp
dt
dt
dt
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重力的功 不规则的光滑斜面，有一物体m，由平衡态下滑，
求物体下滑过程中合力的功。
hA
H
N
v
AF

rt r0
d m m (t d t) m (t) 0
时刻 t
时刻 t d t
m
v
mdm
v dv
p t d t m d m v d v d m u d m
主体动量
气体动量
u
u为-dm 对
设u’为-dm 对地的速度 uu(vdv) 主体的速度
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例 喷沙机车将沙沿水平方向喷进货车，机车与货车无联系，
但距离保持定值。喷沙速率为 dm/dt，沙对货车的速度为 u
，货车初始质量为 货 车的速度。
m0，初速度为零，地面光滑，求 u
解： 根据变质量系统方程:
t
时刻后
v
Fmdvudm dt dt
系统: 沙、货车
uF与 d0v同向
r t
M 0 L2 L1C
质点所受的合外力对某固定点的力矩 为零时，质点对该点的角动量守恒。
其中：
M rF0
Fr
F
F
力心
质点对力心的角动量永远守恒！
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注意:
① 同一运动质点对不同定点的角动量是不同的。
Lrprm v
② 质点作圆周运动时对圆心的角动量大小：
系统：主体+微元
当提起绳长为 y 时，拉力F 的功先损失一部分：
T y1 2 yv0 21 2 yv0 2yg y
得到
Tv02 gy
Tv02 gy 结果统一
内力不影响系统的动量，影响系统机械能
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6.动能定理
功的定义： A F F s r F r c o s F r
，货车初始质量为 货 车的速度。
m0，初速度为零，地面光滑，求 u
解： 根据变质量系统方程:
Fmdvudm
t
时刻后
v
dt dt
系统: 沙、货车
F0
mdvudm0 dt dt
货车受力： f m d v dt
v u ln m m0
f

m
d dt

u
ln
m m0

有质量进出的
Fmdv udm dt dt
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4.角动量 角动量定理
质点运动按描述量的不同，有不同的表述方法。
线量： r v a m v
角量：
所谓质点的角动量就是用角量描述质点的动量。
质点的动量： pmv
质点的角动量定义为：
L r p r m v
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2-11 我国第一颗人造地球卫星绕地球沿椭圆轨道运动，地球的中心 为该
椭圆的一个焦点，如图所示。已知地球的平均半径R=6378km ，人造卫星
距在地近面地最点近A1距的离速度l1 v41398.k1m 0，km 最s远距，离求人l2造卫23星84在k远m地点，A若2 人的造速卫度星。
2 T7
2 T9
2T10 2T11
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T
Fmdv udm dt dt
T
有质量进出的 变质量系统的运动方程
考虑拉直部分为研究主体，系统的合外力：T yg
dv0 0 dt
u v0
dm 0
Tyg0v0d d tyv0 2
主体对地的速度 v 0 常数
微质量元与主体作用是内力，系统动量守恒。
完全非弹性碰撞机械能的损失：微质量元相对主体动能损失
E k01 2 m v0 21 2 yv0 2
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T 考虑拉直部分为研究主体 T
完全非弹性碰撞机械能的损失：微元相对主体动能损失
E k01 2 m v0 21 2 yv0 2
右半段绳索长度为 时刻 t，系统动量为
l l x 2
Ax
B
l l x 2
x mg
pxmvlx 2gx x x t p p t
2
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2
例
解：
时刻 t， 系统动量为
pldxlx 2gx
dt 2
根据牛顿定理：
FlgTd d p td d p xd d x td d p xv
主体动量： m v d v d m v d v
气体动量： d m u d m v d v
t+dt 时刻系统的动量：p t d t m v d v d m u
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应用动量定理处理质量流动问题
ptmv
d m m (t d t) m (t) 0
时刻 t
时刻 t d t
p t d t m v d v d m u
m
v
u为-dm 相对火箭的速度
mdm
v dv
Fdt dpptdtpt
dm u
mdvdmu
d A F F t d r F t d r c o s t
各段的微功的代数和是总功
y
AF
rB F t
rA
dr
x
A Fr r A B F t d rr r A B F tc o std s
对于合力
F F 1 F 2 F 3 F 4
XB
m
m
X
Fkxfx
A
B
XA
m 在合力的作用下，由A到B点运动。
A FX X A B k xd x 1 2 kx 2X X B A 1 2 k X B 2 1 2 k X A 2