2017-2018北京市第十五中学高三(理科)数学12月摸底试卷答案

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2020届北京市西城区十五中2017级高三一模考试数学试卷及含解析

2020届北京市西城区十五中2017级高三一模考试数学试卷★祝考试顺利★一、选择题1.若集合{}2|20A x x x =+<,{}|||1B x x =>,则A B =I ( )A. {}|21x x -<<-B. {}|10x x -<<C. {}|01x x <<D. {}|12x x <<【答案】A【分析】分别求出集合A 、B,再取其交集得出答案.【详解】因为集合{}2|20A x x x =+< 解之得{}20A x x =-<<{}1B x x = 所以{}11B x x x =><-或所以{}|21A B x x ⋂=-<<-故选A.2.已知a 、b R ∈,且a b >,则（） A. 11a b < B. sin sin a b > C. 1133a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. 22a b >【答案】C【分析】利用特殊值法和函数单调性可判断出各选项中不等式的正误.【详解】对于A 选项,取1a =,1b =-,则a b >成立,但11a b>,A 选项错误；对于B 选项,取a π=,0b =,则a b >成立,但sin sin0π=,即sin sin a b =,B 选项错误；对于C 选项,由于指数函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减,若a b >,则1133a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,C 选项正确；对于D 选项,取1a =,2b =-,则a b >,但22a b <,D 选项错误.故选：C.3.已知直线20x y ++=与圆22220x y x y a ++-+=没有公共点,则实数a 的取值范围为（）A. (,0]-∞B. [0,)+∞C. ()0,2D. (,2)-∞ 【答案】C【分析】首先得出圆的圆心和半径,然后由圆心到直线的距离大于半径建立不等式求解.【详解】圆22220x y x y a ++-+=即为22(1)(1)2x y a ++-=-．所以圆心为()1,1-,因为直线20x y ++=与圆22220x y x y a ++-+=没有公共点,所以直线与圆相离0>>,解得02a <<． ∴实数a 的取值范围为()0,2故选：C【点睛】设圆的半径为r ,圆心到直线的距离为d ,当直线与圆相离时有d r >,当直线与圆相切时有d r =,当直线与圆相交时有d r <.4.设a r 是单位向量,b r 是非零向量,则“a b ⊥r r ”是“()1a a b ⋅+=r r r ”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由向量的数量积运算可得a b ⊥r r ,即可得到答案.。

2017-2018北京西城35中高三上12月月考【理】【详解】数学试卷

北京市西城35中2018届高三12月月考数学（理）试题一、选择题1．极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是（）．A ．直线、直线B ．圆、圆C ．直线、圆D ．圆、直线【答案】D【解析】由cos ρθ=，得2cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入上式得220x y x +-=，故极坐标方程表示的图形为圆；由123x ty t =--⎧⎨=+⎩消去参数t 整理得310x y ++=，故参数方程表示的图形为直线．故选D ．2．直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位，所得到的直线（）．A ．1133y x =-+B ．113y x =-+C ．33y x =-D ．113y x =+【答案】A【解析】试题分析：将直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒所得到的直线为13y x =-，再向右平移1个单位，所得到的直线1(1)3y x =--，即1133y x =-+．故选A ．【考点】图象的变换．3．若集合{}|23M x x =-<<，{}1|21x N x +=≥，则M N = （）．A ．(3,)+∞B ．(1,3)-C ．[)1,3-D ．(]2,1--【答案】C【解析】由题意得{}{}{}1|21|10|1x N x x x x x +==+=-≥≥≥，{}|13M N x x =-< ≤．故选C ．【点睛】研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步．第二步常常是不等式，求得不等式的解集．在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零．解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响．元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系．4．为了得到函数3lg 10x y +=的图象，只需要把函数lg y x =的图象上所有的点（）．A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】C【解析】试题分析：因为3lglg(3)110x y x +==+-，所以得到函数3lg 10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点左平移3个单位再向下平移1个单位．故选C ．【考点】1对数的运算；2图像平移．5．设函数π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象为C ，下面结论中正确的是（）．A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．图象C 关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．图象C 向右平移π2个单位后关于原点对称 D ．函数()f x 的区间ππ,122⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数【答案】B【解析】A 项．()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 项错误； B 项．πππ2sin 20663f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于点对称π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 项正确；C 项．π()2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭向右平移π2个单位后得到π2sin 23y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，不关于原点对称，故C 项错误；D 项．ππ,122x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，ππ2π2,323x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，当πππ2,322x ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，即π5π,1212x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时，()f x 单调递增，当ππ2π2,323x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，即5ππ,122x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减，故D 错误；综上．故选B ．【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、以及图象的对称性，sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题；最小正周期为2πϕ，正弦函数的图象过对称中心，正弦函数sin y u =的增区间满足ππ2π2π22k u k -++≤≤，k ∈Z 等．6．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且n ，n a ，n S 成等差数列()n +∈N ，则4a =（）．A ．1B ．4C ．7D ．15【答案】D【解析】∵n ，n a ，n S 成等差数列，∴2n n a n S =+，当1n =时，1121a S =+，11a =，当2n ≥时，1211n n a n S -=-+-，， ∴1221n n n a a a --=+，即121n n a a -=+， ∴112(1)n n a a +-=+，∴1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴12n n a +=， ∴21n n a =-， ∴442115a =-=．故选D ．7．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，给出下面四个命题： ①m n ∥，m n αα⊥⇒⊥ ②αβ∥，m α⊂，n m n β⊂⇒∥ ③m n ∥，m n αα⇒∥∥④αβ∥，m n ∥，m n αβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是（）．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③【答案】C【解析】命题②m ，n 结果可能异面，故②错误；命题③结果可能n α⊂，故③错误；命题①显然正确；命题④m n ∥，n m n ααβαβ⊥⎫⊥⇒⇒⊥⎬⎭∥，故④正确；综上正确命题为①④．故选C ．【点睛】本题主要考查线面垂直的判定与性质、线面平行的性质和面面平行的性质等知识，涉及数形结合思想和分类与整合思想，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题型．解决此种主要采取特例法和排除法，例如：命题②m ，n 结果可能异面，故②错误；命题③结果可能n α⊂，故③错误．8．在空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，则该四面体的体积为（）．A ．2B ．43C D ．23【答案】D【解析】112212323V =⨯⨯⨯⨯=．故选D ．9．设命题:p n ∃∈N ，22n n >，则p ⌝为（）．A ．n ∀∈N ，22n n >B ．n ∃∈N ，22n n ≤C ．n ∀∈N ，22n n ≤D ．n ∃∈N ，22n n <【答案】C【解析】∵命题:p n ∃∈N ，22n n >， ∴p ⌝为：n ∀∈N ，22n n ≤．故选C ．10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-，则不等式()0xf x >的解集为（）．A ．(,4)(4,)-∞-+∞B ．(4,0)(4,)-+∞C ．(,4)(0,4)-∞-D ．(4,4)-【答案】A【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-，∴当0x <时，()(4)f x x x =-+，当0x >时，2()0()0404xf x f x x x x >⇔>⇔->⇔>，当0x <时，()0()0(4)04xf x f x x x x >⇔<⇔-+<⇔<-，∴不等式()0xf x >的解集为(,4)(4,)-∞-+∞ ．故选A ．二、填空题11．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =4c =，60A =︒，则b =__________．【答案】1或3【解析】由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，将a =4c =，60A =︒，代入得2430b b -+=，解得1b =或3b =，故答案为1或3．【点睛】此题考查了余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．在ABC △中，涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解． 12．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是__________．【答案】500π35=，故球的体积为34π500π533⨯=，故答案为500π3．13．已知向量a ，b 满足||||1a b == 且34,55a b ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则a 与b 的夹角为__________．【答案】120︒【解析】∵||||1a b == 且34,55a b ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴22()||||2||||cos 1a b a b a b θ+=++=，∴1cos 2θ=-，120θ=︒，即a 与b的夹角为120︒，故答案为120︒．14．已知方程22240x y x y m +--+=表示圆，则m 的取值范围为__________．【答案】(,5)-∞【解析】若方程22240x y x y m +--+=表示圆，则41640m +->，解得5m <，故m 的取值范围为(,5)-∞．故答案为(,5)-∞．15．如图，已知边长为4的正方形ABCD ，E 是BC 边上一动点（与B 、C 不重合），连结AE ，作E F A E⊥交BCD ∠的外角平分线于F ．设BE x =，记()f x EC CF =⋅，则函数()f x 的值域是__________．【答案】(]0,4【解析】如图，作FG BC ⊥，交BC 延长线于G ，则CG FG =，D A BCE F易证得E ABE GF ∽△△， ∴AB BEEG FG=，设FG CG m ==，则4EG EC CG x m =+=-+， ∴44xm x x m m===-+．∴π()(4)cos (4)4f x EC CF x x x =⋅=-⋅=- ，由题知04x <<，所以0()4f x <≤，故()f x 的值域是(]0,4．故答案为(]0,4．16．已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≤≤，使(0)z x ay a =+>取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为__________．【答案】1【解析】∵z x ay =+，则11y x z a a =-+，z a 为直线1zy x a a=-+在y 轴上的截距，要使目标函数的最优解有无穷多个，则截距最小时的最优解有无数个，∵0a >，把x ay z +=平移，使之与可行域的边界AC 重合即可， ∴1a -=-，1a =，故答案为1．【点睛】本题主要考查了简单线性规划的应用、二元一次不等式（组）与平面区域等知识，解题的关键是明确z 的几何意义，属于中档题；先根据约束条件画出可行域，由z x ay =+，利用z 的几何意义求最值，要使得取得最小值的最优解有无数个，只需直线z x ay =+与可行域的边界AC 平行时，从而得到a 值即可．GFE C BA D17．已知平面量(2,1)a ，(1,3)b =-，若向量()a a b λ⊥+ ，则实数λ的值是__________．【答案】5-【解析】∵(2,1)a = ，(1,3)b =-， ∴(2,13)a b λλλ⊥=-+， ∵()a a b λ⊥+ ， ∴()0a a b λ⋅+=，∴2(2)130λλ-++=，解得5λ=-，故答案为5-．18．如图中的曲线为2()2f x x x =-，则阴影部分面积为__________．【答案】83【解析】由定积分的几何意义可得：0210448()d ()d 333S f x x f x x -⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭⎰⎰，故答案为83．三、解答题19．设函数2()ln ()f x x ax x a =+-∈R ．（1）若1a =，求函数()f x 的单调区间．（2）若函数()f x 在区间(]0,1上是减函数，求实数a 的取值范围．（3）过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，证明：切点的横坐标为l ．【答案】（1）单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）1a -≤．（3）见解析．【解析】（1）当1a =时，2()ln (0)f x x x x x =+->，1(21)(1)()21x x f x x x x-+'=+-=，令()0f x '>，则12x >，令()0f x '<，则102x <<，∴函数()f x 的单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）1()2f x x a x '=+-，∵()f x 在区间(]0,1上是减函数，∴()0f x '≤对任意(]0,1x ∈恒成立，即12a x x-≤对任意(]0,1x ∈恒成立，令1()2g x x x =-，则min ()a g x ≤，易知()g x 在(]0,1上单调递减，∴min ()(1)1g x f ==-， ∴1a -≤．（3）设切点为(,())M t f t ，1()2f x x a x'=+-，∴切线的斜率12k t a t =+-，又切线过原点，()f t k t=，∴()12f t t a t t =+-，即22ln 21t at t t at +-=+-， ∴21ln 0t t -+=，存在性，1t =满足方程21ln 0t t -+=，所以1t =是方程21ln 0t t -+=的根唯一性，设2()1ln t t t ϕ=-+，则1()20t t tϕ'-+>，∴()t ϕ在(0,)+∞上单调递增，且(1)0ϕ=，∴方程21ln 0t t -+=有唯一解1t =，综上，过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，则切点的横坐标为1．【分析】（1）当1a =时，求出函数的导函数(21)(1)()x x f x x -+'=，分别令()0f x '>和()0f x '<，解出不等式得单调区间．（2）函数()f x 在区间(]0,1上是减函数，即()0f x '≤对任意(]0,1x ∈恒成立，利用分离参数法可得最后结果．（3）设切点为(,())M t f t ，对函数进行求导，根据导数的几何意义得12k t a t=+-，根据切线过原点，可得斜率为()f t k t =，两者相等化简可得21ln 0t t -+=，先证存在性，再通过单调性证明唯一性．【点睛】本题主要考察了导数与函数单调性的关系，导数的几何意义，属于中档题；由()0f x '>，得函数单调递增，()0f x '<得函数单调递减；函数单调递减等价于()0f x '≤恒成立，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为()a h x >或()a h x <恒成立，即max ()a h x >或min ()a h x <即可，利用导数知识结合单调性求出max ()h x 或min ()h x 即得解．20．已知圆C 过点(0,1)，，且圆心C 在y 轴上．（1）求圆C 的标准方程．（2）若过原点的直线l 与圆C 无交点，求直线l 斜率的取值范围．【答案】（1）22(3)4x y +-=．（2）k <<．【解析】（1）∵圆心C 在y 轴上， ∴可设的标准方程为222()x y b γ+-=，∵圆C 过点(0,1)和点，∴2222(1)3(4)b r b r⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得32b γ=⎧⎨=⎩， ∴圆C 的标准方程为22(3)4x y +-=．（2）设过原点的直线l 的方程为y kx =，即0kx y -=， ∵l 与圆C 无交点，∴圆心(0,3)到直线l 的距离大于γ，2>，解得k <<．【分析】（1）由于圆心在y 轴上，利用待定系数法可设标准方程为222()x y b γ+-=，将点代入方程．可得方程组，解出方程组即可；（2）设直线的方程为y kx =，直线与圆无交点，等价于圆心到直线的距离大于半径，列出不等式即可．21．已知向量(sin ,2)a x =- ，(1,cos )b x = 互相垂直，其中π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求sin x ，cos x 的值．（2）若5cos()x θθ-=，π02θ<<，求cos θ的值．【答案】（1．（2．【解析】（1）∵a b ⊥， ∴sin 2cos 0a b x x ⋅=-=，即sin 2cos x x =，又∵22sin cos 1x x +=，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin x =cos x =．（2）∵5cos()5(cos cos sin sin )x x x θθθθθθ-=+=-=， ∴sin cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，π02θ<<，∴cos θ=【分析】（1）两向量垂直等价于数量积为0，即s i n2c o s x x =，结合三角恒等式及x 的取值范围可得sin x ，cos x 的值．（2）利用两角差的余弦展开可得sin cos θθ=，结合三角恒等式可得结果．22．如图，在三棱柱111ABC A B C -，1AA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，1AC AB AA ==，E ，F 分别是棱BC ，1A A 的中点，G 为棱1CC 上的一点，且1C F ∥平面AEG ．（1）求1CGCC 的值．（2）求证：1EG AC ⊥．（3）求二面角1A AG E --的余弦值．【答案】（1）12．（2）见解析．（3）．【解析】（1）因为1C F ∥平面AEG ，又1C F ⊂平面11ACC A ，平面11ACC A 平面AEG AG =，所以1C F AG ∥．因为F 为1AA 中点，且侧面11ACC A 为平行四边形，所以G 为1CC 中点，所以112CG CC =．（2）因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥，又AB AC ⊥，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则由1AB AC AA ==可得(2,0,0)C ，(0,2,0)B ，1(2,0,2)C ，1(0,0,2)A ，因为E ，G 分别是BC ，1CC 的中点，所以(1,1,0)E ，(2,0,1)G ．1(1,1,1)(2,0,2)0EG CA ⋅=-⋅-=．所以1EG CA ⊥ ，所以1EG AC ⊥．（3）设平面AEG 的法向量(,,)n x y z =，则G AB CEF C 1B 1A110,0,n AE n AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20,x y x z +=⎧⎨+=⎩ 令1x =，则1y =-，2z =-，所以(1,1,2)n =--．由已知可得平面1A AG 的法向量(0,1,0)m =．所以cos ,||||n m n m n m ⋅==⋅，由题意知二面角1A AG E --为钝角，所以二面角1A AG E --的余弦值为．【分析】（1）求1CGCC 的值，关键是找G 在1CC 的位置，注意到1C F ∥平面AEG ，有线面平行的性质，可得1C F AG ∥，由已知F 为1AA 中点，由平面几何知识可得G 为1CC 中点，从而可得1CGCC 的值．（2）求证：1EG AC ⊥，有图观察，用传统方法比较麻烦，而本题由于1AA ⊥底面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥，又AB AC ⊥，这样建立空间坐标比较简单，故以A 为原点，以AC ，AB ，1AA 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，取2AB =，可写出个点坐标，从而得向量EG ，1CA的坐标，证10EG CA ⋅=即可．（3）求二面角1A AG E --的余弦值，由题意可得向量AB是平面1A AG 的一个法向量，只需求出平面AEG 的一个法向量，可设平面AEG 的法向量(,,)n x y z =，利用0,0,n AE n AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即可求出平面AEG 的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求出二面角1A AG E -=的余弦值．【考点】线面平行的性质，线线垂直的判断，二面角的求法．23．已知等比数列{}n a 中，11a =，48a =．（1）求数列{}n a 的通项公式．（2）若3a ，5a 分别为等差数列{}n b 的第6项和第8项，求123||||||||()n b b b b n +++∈N *．【答案】（1）12n n a -=．（2）21232329,5,||||||||329140,6,n n n n n b b b b n n n n ⎧-+∈⎪+++=⎨++∈⎪⎩NN **≤≥．【解析】（1）∵在等比数列{}n a 中，11a =，48a =， ∴2q =，∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，n ∈N *．（2）∵3a ，5a 分别为等差数列{}n b 的第6项和第8项， ∴634b a ==，8516b a ==，设等差数列{}n b 的公差为d ，则：1171654b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得126b =-，6d =，∴等差数列{}n b 的通项公式1(1)632n b b n d n =+-=-，当5n ≤时，21212||||||()329n n b b b b b b n n +++=-+++=-+ ，当6n ≥时，22121256||||||()70(32970)329140n n b b b b b b b b n n n +++=-++++++=+-+=-+ ．综上所述：21232329,5,||||||||329140,6,n n n n n b b b b n n n n ⎧-+∈⎪++++=⎨++∈⎪⎩N N≤≥**．【分析】（1）利用等比数列的定义可得2q =，故而可得等比数列通项公式．（2）根据3a ，5a 的值可求出等差数列{}n b 的通项公式632n b n =-，分为5n ≤和6n ≥两种情况可得数列前n 项和．。

北京市2017届高三数学(理)综合练习54 Word版含答案

北京市2017届高三综合练习数学（理）选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1、已知集合{}30<<∈=x x A R ，{}42≥∈=x x B R ，则=B A I A. {}32<<x x B. {}32<≤x x C. {}322<≤-≤x x x 或 D. R2．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是它的前n 项和.若21=a ，123=S ，则=4S A ．10 B ．16 C ．20 D ．243. 在极坐标系下，已知圆C 的方程为2cos ρθ=，则下列各点在圆C 上的是 A ．1,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ． 1,6π⎛⎫⎪⎝⎭C ．32,4π⎫⎪⎭D ． 52,4π⎫⎪⎭4．执行如图所示的程序框图，若输出x 的值为23，则输入的x 值为A ．0B ．1C ．2D ．11 5．已知平面l =I αβ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误．．的是 A ．若β//m ，则l m // B ．若l m //，则β//m C ．若β⊥m ，则l m ⊥ D ．若l m ⊥，则β⊥m6. 已知非零向量,,a b c 满足++=a b c ０，向量,a b 的夹角为120o，且||2||=b a ，则向量a 与c 的夹角为A ．︒60B ．︒90C ．︒120D ． ︒1507.如果存在正整数ω和实数ϕ使得函数)(cos )(2ϕω+=x x f （ω，ϕ为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么ω的值为A ．1B ．2C ． 3 D. 48．已知抛物线M ：24y x =，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，21x x =+是否3n ≤1n n =+x输入开始1n =x 输出结束112yOx0>r ）.过点（1，0）的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BD AC =的直线l 只有三条的必要条件是A ．(0,1]r ∈B ．(1,2]r ∈C ．3(,4)2r ∈D ．3[,)2r ∈+∞非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．复数3i1i-+= . 10.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为 . （用“>”连接）11．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，BE 切⊙O 于点B ， D 是CE 与⊙O 的交点.若︒=∠70BAC ，则=∠CBE ______；若2=BE ，4=CE ，则=CD .12.已知平面区域}11,11|),{(≤≤-≤≤-=y x y x D ，在区域D 内任取一点，则取到的点位于直线y kx =（k R ∈）下方的概率为____________ .13.若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：①22-=x y ② 22(1)1x y -+= ③ 2212x y += ④ 221x y -=与直线l 一定有公共点的曲线的序号是 . （写出你认为正确的所有序号）14．如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ， △CPD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为； '()f x 的零点是 .CBD乙丙O频率组距0.00020.00040.00080.0006甲三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1tan 2B =，1tan 3C =，且1c =. (Ⅰ)求tan A ； (Ⅱ)求ABC ∆的面积.16. （本小题共14分）在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，//EF BC ，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==， G 是BC 的中点．(Ⅰ) 求证：//AB 平面DEG ；(Ⅱ) 求证：BD EG ⊥；(Ⅲ) 求二面角C DF E --的余弦值.17. （本小题共13分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. (Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列； (Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.18. （本小题共13分）已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x+=-∈ （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，求a 的取值范围.A DFEB G C19. （本小题共14分）已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>经过点3(1,),2M 其离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线1:(||)2l y kx m k =+≤与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点.求OP 的取值范围.20. （本小题共13分）已知每项均是正整数的数列A ：123,,,,n a a a a L ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =⋅⋅⋅，设j j k k k b +++=Λ21 (1,2,3)j =L ，12()m g m b b b nm =+++-L (1,2,3)m =⋅⋅⋅.（Ⅰ）设数列:1,2,1,4A ，求(1),(2),(3),(4),(5)g g g g g ；（Ⅱ）若数列A 满足12100n a a a n +++-=L ，求函数)(m g 的最小值.答案及评分参考选择题（共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）非选择题（共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.12i - 10. s 1>s 2>s 3 11. 70o ； 3 12.1213. ① ③ 14. (2,4); 3 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（共13分）解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B CB C B C ++=-, …………………1分代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯ . …………………3分因为180A B C =--o , …………………4分所以tan tan(180())tan()1A B C B C =-+=-+=-o . (5)分（II ）因为0180A <<o o ，由（I ）结论可得：135A =o . …………………7分因为11tan tan 023B C =>=>，所以090C B <<<o o . …………8分所以sin 5B =sin 10C =. (9)分由sin sin a cA C=得a = (11)分所以ABC∆的面积为：11sin 22ac B =. ………………13分16. （共14分）解：(Ⅰ)证明：∵//,//AD EF EF BC ， ∴//AD BC .又∵2BC AD =,G 是BC 的中点， ∴//AD BG ，∴四边形ADGB 是平行四边形，∴ //AB DG . ……………2分 ∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴//AB 平面DEG . …………………4分 (Ⅱ) 解法1证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，又,AE EB EB EF E ⊥=I ，,EB EF ⊂平面BCFE ，∴AE ⊥平面BCFE . ………………………5分过D 作//DH AE 交EF 于H ，则DH ⊥平面BCFE .∵EG ⊂平面BCFE ， ∴DH EG ⊥. ………………………6分∵//,//AD EF DH AE ，∴四边形AEHD 平行四边形， ∴2EH AD ==，∴2EH BG ==，又//,EH BG EH BE ⊥，∴四边形BGHE 为正方形，∴BH EG ⊥， ………………………7分又,BH DH H BH =⊂I 平面BHD ，DH ⊂平面BHD ,∴EG ⊥平面BHD . ………………………8分 ∵BD ⊂平面BHD ,∴BD EG ⊥. ………………………9分解法2∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，EF BE ⊥，又AE EB ⊥,∴,,EB EF EA 两两垂直. ……………………5分HA DFEB G C以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系. 由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0），C （2，4，0），F （0，3，0），D （0，2，2）， G （2，2，0）. …………………………6分∴(2,2,0)EG =u u u r ，(2,2,2)BD =-u u u r，………7分∴22220BD EG ⋅=-⨯+⨯=u u u r u u u r, ………8分∴BD EG ⊥. …………………………9分(Ⅲ)由已知得(2,0,0)EB =u u u r是平面EFDA 的法向量. …………………………10分设平面DCF 的法向量为(,,)x y z =n ，∵(0,1,2),(2,1,0)FD FC =-=u u u r u u u r，∴00FD n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ，即2020y z x y -+=⎧⎨+=⎩，令1z =,得(1,2,1)=-n . …………………………12分设二面角C DF E --的大小为θ，则cos cos ,6EB =<>==u u u r θn ， …………………………13分 ∴二面角C DF E --的余弦值为6- …………………………14分17. （共13分）解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A …………………………1分事件A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ……………2分151332104106)(=⨯+=A p …………………………4分(Ⅱ) 由题可知X 可能取值为0,1,2,3.30463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===, 12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===. (8)分……………9分(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ……………10分事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以，3111()()303810P B =⋅=. ……………13分18. （共13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， ………………………1分当1a =时，()ln f x x x =-，11()1x f x-'=-=， ………………………2分………………………3分所以()f x 在1x =处取得极小值1. ………………………4分（Ⅱ）1()ln ah x x a x x+=+-， 22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==………………………6分 ①当10a +>时，即1a >-时，在(0,1)a +上()0h x '<，在(1,)a ++∞上()0h x '>，所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增； ………………………7分 ②当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)+∞上()0h x '>，所以，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增. ………………………8分（III ）在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，即在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()0h x <，即函数1()ln ah x x a x x+=+-在[]1,e 上的最小值小于零. ………………………9分由（Ⅱ）可知①即1e a +≥，即e 1a ≥-时， ()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为(e)h ，由1(e)e 0eah a +=+-<可得2e 1e 1a +>-，因为2e 1e 1e 1+>--，所以2e 1e 1a +>-； ………………………10分 ②当11a +≤，即0a ≤时， ()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 最小值为(1)h ，由(1)110h a =++<可得2a <-； ………………………11分 ③当11e a <+<，即0e 1a <<-时，可得()h x 最小值为(1)h a +，因为0ln(1)1a <+<，所以，0ln(1)a a a <+< 故(1)2ln(1)2h a a a a +=+-+>此时，(1)0h a +<不成立. ………………………12分综上讨论可得所求a 的范围是：2e 1e 1a +>-或2a <-. ………………………13分19. （共14分）解：（Ⅰ）由已知可得222214a b e a -==，所以2234a b = ① ……………1分又点3(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914a b += ② ……………2分由①②解之，得224,3a b ==.故椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 (Ⅱ) 当0k =时，(0,2)P m 在椭圆C上，解得2m =±，所以||OP =……6分当0k ≠时，则由22,1.43y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 化简整理得：222(34)84120k x kmx m +++-=，222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+->③ ……………8分设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则 012012122286,()23434km mx x x y y y k x x m k k=+=-=+=++=++. ……………9分由于点P 在椭圆C 上，所以 2200143x y +=. ……………10分从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式. ………11分又||OP ===== ………………………12分因为102k <≤，得23434k <+≤，有2331443k ≤<+，2OP <≤. ………………………13分综上，所求OP的取值范围是. ………………………14分 (Ⅱ)另解：设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，由,A B在椭圆上，可得2211222234123412x y x y ⎧+=⎨+=⎩①②………………………6分 ①—②整理得121212123()()4()()0x x x x y y y y -++-+=③ ………………………7分由已知可得OP OA OB=+u u u r u u u r u u u r ，所以120120x x x y y y +=⎧⎨+=⎩④⑤……………………8分由已知当1212y y k x x -=- ,即1212()y y k x x -=-⑥ ………………………9分把④⑤⑥代入③整理得0034x ky =- ………………………10分与22003412x y +=联立消0x 整理得202943y k =+ ……………………11分由22003412x y +=得2200443x y =-，所以222222000002413||4443343OP x y y y y k =+=-+=-=-+ ……………………12分因为12k ≤，得23434k ≤+≤，有2331443k ≤≤+，故2OP ≤≤. ………………………13分所求OP的取值范围是. ………………………14分 20. （共13分）解：（1）根据题设中有关字母的定义，12342,1,0,1,0(5,6,7)j k k k k k j ======L12342,213,2103,4,4(5,6,7,)m b b b b b m ==+==++====L112123123412345(1)412(2)423,(3)434,(4)444,(5)45 4.g b g b b g b b b g b b b b g b b b b b =-⨯=-=+-⨯=-=++-⨯=-=+++-⨯=-=++++-⨯=-（2）一方面，1(1)()m g m g m b n ++-=-，根据“数列A 含有n 项”及j b 的含义知1m b n +≤，故0)()1(≤-+m g m g ，即)1()(+≥m g m g ① …………………7分另一方面，设整数{}12max ,,,n M a a a =L ，则当m M ≥时必有m b n =，所以(1)(2)(1)()(1)g g g M g M g M ≥≥≥-==+=L L所以()g m 的最小值为(1)g M -. …………………9分下面计算(1)g M -的值：1231(1)(1)M g M b b b b n M --=++++--L1231()()()()M b n b n b n b n -=-+-+-++-L233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++-L L L L 23[2(1)]M k k M k =-+++-L12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++L L123()n M a a a a b =-+++++L123()n a a a a n =-+++++L …………………12分 ∵123100n a a a a n ++++-=L ， ∴(1)100,g M -=-∴()g m 最小值为100-. …………………13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。

2018届高三上学期期末联考数学(理)试题有答案-精品

2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门仙桃潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。

通州区2017-2018学年度第一学期高三数学期末考试参考答案(理)1

…………………… 7 分
因为 x 轴平分 MPN ，所以 MPO 所以 kMP kNP 0.
NPO .
所以 y1 x1 m
y2 x2 m
0.
所以 y1 x2
m
y2 x1 m
0.
所以 k x1 1 x2 m k x2 1 x1 m 0.
所以 2k x1x2 k km x1 x2 2km 0.
所以 2k
x
x ln x ，所以 g x
2 x ln x 2 .
2x
令 h x 2 x ln x 2，所以 h x
x
1 .
x
所以当 x 1 时， h x 0.
所以 h x 在 1, 上单调递增 . 所以 h x h 1 0.
所以当 x 1 时， g x 0.
所以 g x 在 1,
所以 a 1.
上单调递增 . 所以 g x g 1 1.
21
…………………… 14 分
18. 解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在 x 轴上，过点 0, 1 ，离心率 e
2
，
2
所以 b 1 ， c
2 .
a2
所以由 a 2 b 2 c2 ，得 a 2 2.
所以椭圆 C 的标准…………………… 3 分 …………………… 4 分
C125
C
2 20
21
.
38
所以 X 的分布列为
……………………
X
0
1
2
11 分
1
15
21
P
19
38
38
所以随机变量 X 的数学期望 E X
0 1 1 15 2 21
19
38
38

2017-2018年北京市第十五高三(理科)数学期中试卷及答案

北京十五中高三数学理科期中考试试卷2017.11考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

全卷满分150分，考试时间为120分钟。

请将第Ⅰ卷的答案填涂在机读卡上，第Ⅱ卷的答案作答在答题纸上。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；把答案填涂在机读卡上．．．．．．．．．．） 1．设集合A ＝{x |－12＜x ＜2}，B ＝{x |x 2≤1}，则A ∪B ＝( )A ．{x |－1≤x ＜2}B ．{x |－12＜x ≤1} C ．{x |x ＜2} D ．{x |1≤x ＜2}2．复数1－i1－2i的虚部为( )A ．15B ．35C ．－15D ．－353．函数f (x )＝2x ＋12x 2－x －1的定义域是( )A ．1|2x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭B ．1|2x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭ C ．1|12x x x ⎧⎫≠-≠⎨⎬⎩⎭且 D ．1|12x x x ⎧⎫>-≠⎨⎬⎩⎭且4．在平面直角坐标系xoy 中，已知(0,0)O ，(0,1)A ，B ，则OA AB ⋅uu r uu u r的值为( )A ．1B 1C D 15．已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则3a = ( )A ．1-B ．2-C ．4-D ．8-6．sin15cos15︒+︒的值为 ( )A ．12B ．4C ．2D ．27．“0t ≥”是“函数2()f x x tx t =+-在(,)-∞+∞内存在零点”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．一张报纸，其厚度为a ，现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)7次，这时，报纸的厚度为( )A ．8aB ．64aC ．128aD ．256a9．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．22B ．42C ．2D ．410．若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值是( )A ．0B ．1C ．2D ．5212．某地某年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与11．某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能．．．是（）（A ）（B ）（C ）（D ）正视图招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是( )(A)计算机行业好于化工行业. (B) 建筑行业好于物流行业.(C) 机械行业最紧张. (D) 营销行业比贸易行业紧张.第Ⅱ卷（非选择题，共25分）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案作答在答题纸上．．．．．．．．．．） 13．等差数列{a n }中，若a 2＋a 8＝2，则a 5＝________．14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，log 3x ，x >0，则f [f (－3)]＝________．15．函数()sin(2)4f x x π=+的单调递增区间是________．16．设,其中实数满足,若的最大值为12,则实数．17．已知95个数a 1，a 2，a 3，…，a 95， {1,1},195,i a i ∈-≤≤则a 1a 2+a 1a 3+…+a 94a 95的最小正值是．三、解答题：（本大题共5个小题，共65分）18．（本小题满分13分）已知函数，．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．y kx z +=y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x z =k 2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--x R ∈()f x ()f x [,]44ππ-已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，52=b ，4B π=，552cos =C ．（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积．20．（本小题满分13分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，M 为棱AC 中点. AB BC =，2AC =，1AA =（Ⅰ）求证：1B C //平面1A BM ；（Ⅱ）求证：1AC ⊥平面1A BM ；（Ⅲ）在棱1BB 的上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面C C AA 11？如果存在，求此时1BNBB 的值；如果不存在，说明理由．21．（本题满分13分）设()y f x =是()xg x e =在点(0,1)处的切线．（Ⅰ）求()y f x =的解析式；（Ⅱ）求证：()()f x g x ≤；（Ⅲ）设()()ln[()]h x g x f x ax =+-，其中a ∈R ．若()1h x ≥对[0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围．ABCC 1A 1B 1M对于数集},,,,1{21n x x x X Λ-=，其中n x x x <<<<Λ210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X具有性质P ．例如}2,1,1{-=X 具有性质P ．（Ⅰ）若x ＞2，且},2,1,1{x -具有性质P ，求x 的值；（Ⅱ）若X 具有性质P ，求证：1X ，且当x n ＞1时，x 1=1；（Ⅲ）若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q （q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21Λ的通项公式．北京十五中高三年级、数学理科试卷答案2017.11一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A D B D C A C 题号9101112二、填空题13、1 14、2 15、3[,],88k k k Z ππππ-+∈ 16、2 17、13三、解答题18、解：（Ⅰ），∴ 的最小正周期．……………6分（Ⅱ）由44x ππ-≤≤，得32444x πππ-≤+≤，所以sin(2)124x π≤+≤，1)4x π-≤+∴ 函数在区间，最小值为．………13分19、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在ABC ∆中，π<<C 0，且552cos =C ，所以55sin =C ．因为B bC c sin sin =，且 52=b ，4B π=，所以22225552sin sin =⨯==BCb c ．所以c = ……………………6分（Ⅱ）因为B ac c a b cos 2222-+=，所以01242=--a a ，所以6=a 或2-=a （舍）．()=sin 2cos cos 2sin sin 2cos cos 2sin cos 23333f x x x x x x ππππ++-+sin 2cos 2)4x x x π=+=+()f x 22T ππ==()f x [,]44ππ-1-所以6sin 21==∆B ac S ABC ． ……………………13分 20、解：（Ⅰ）连结1AB 交1A B 于O ，连结OM ．在1B AC ∆中，因为M ，O 分别为AC ， 1AB 中点，所以OM //1B C ．又因为OM ⊂平面1A BM ，1B C ⊄平面1A BM ，所以1B C //平面1A BM ． ……………………3分（Ⅱ）因为侧棱1AA ⊥底面ABC ，BM ⊂平面ABC ，所以1AA BM ⊥．又因为M 为棱AC 中点，AB BC =，所以BM AC ⊥．因为1AA AC A =I ，所以BM ⊥平面11ACC A ．所以1BM AC ⊥．因为M 为棱AC 中点，2AC =，所以1AM =．又因为1AA =，所以在1Rt ACC ∆和1Rt A AM∆中，11tan tan AC C AMA ∠=∠．所以11AC C A MA ∠=∠，即111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=o．所以11A M AC ⊥．因为1BM A M M =I ，所以1AC ⊥平面1A BM ． ……………………8分（Ⅲ）当点N 为1BB 中点时，即112BN BB =，平面1AC N ⊥平面11AAC C ． OMB 1A 1C 1CB A设1AC 中点为D ，连结DM ，DN ．因为D ，M 分别为1AC ，AC 中点，所以DM //1CC ，且112DM CC =．又因为N 为1BB 中点，所以DM //BN ，且DM BN =．所以BM //DN ，因为BM ⊥平面11ACC A ，所以DN ⊥平面11ACC A ．又因为DN ⊂平面1AC N ，所以平面1AC N ⊥平面11ACC A ．……………13分21、解：（Ⅰ）设()e x g x =，则'()e xg x =，所以'(0)1g =．所以()1f x x =+． ……………3分（Ⅱ）令()()()m x g x f x =-．()m x 满足(0)0m =，且'()'()1e 1x m x g x =-=-．当<0x 时，'()<0m x ，故()m x 单调递减；当0x >时，'()0m x >，故()m x 单调递增．所以，()(0)0m x m ≥=(x ∀∈R ）．所以()()f x g x ≤．……………8分（Ⅱ）()h x 的定义域是{|1}x x >-，且1()e 1xh x a x '=+-+． ① 当2a ≤时，由（Ⅰ）得 e 1xx ≥+，MB 1A 1C 1CBADN所以 11()e 12011xh x a x a a x x '=+-≥++-≥-≥++．所以 ()h x 在区间[0,)+∞上单调递增，所以 ()(0)1h x h ≥=恒成立，符合题意． ② 当2a >时，由[0,)x ∈+∞，且()h x '的导数2221(1)e 1()e 0(1)(1)x xx h x x x +⋅-''=-=≥++，所以 ()h x '在区间[0,)+∞上单调递增．10分因为 (0)20h a '=-<，1(ln )01ln h a a'=>+，于是存在0(0,)x ∈+∞，使得0()0h x '=．12分所以 ()h x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x +∞上单调递增，所以 0()(0)1h x h <=，此时()1h x ≥不会恒成立，不符合题意．综上，a 的取值范围是(,2]-∞．13分22、．[解]（1）选取)2,(1x a =，Y 中与1a 垂直的元素必有形式),1(b -.所以x =2b ，从而x =4. ……3分（2）证明：取Y x x a ∈=),(111.设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a . 由0)(1=+x t s 得0=+t s ，所以s 、t 异号.因为-1是X 中唯一的负数，所以s 、t 中之一为-1，另一为1，故1X . 假设1=k x ，其中n k <<1，则n x x <<<101.选取Y x x a n ∈=),(11，并设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a ，即01=+n tx sx ，则s 、t 异号，从而s 、t 之中恰有一个为-1. 若s =-1，则11x t tx x n ≥>=，矛盾；若t =-1，则n n x s sx x ≤<=1，矛盾.所以x 1=1. ……8分（3）[解法一]猜测1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .记},,,1,1{2k k x x A Λ-=，k =2, 3, …, n . 先证明：若1+k A 具有性质P ，则k A 也具有性质P .任取),(1t s a =，s 、tk A .当s 、t 中出现-1时，显然有2a 满足021=⋅a a ；当1-≠s 且1-≠t 时，s 、t ≥1.因为1+k A 具有性质P ，所以有),(112t s a =，1s 、1t 1+k A ，使得021=⋅a a ，从而1s 和1t 中有一个是-1，不妨设1s =-1.假设1t 1+k A 且1t k A ，则11+=k x t .由0),1(),(1=-⋅+k x t s ，得11++≥=k k x tx s ，与sk A 矛盾.所以1t k A .从而k A 也具有性质P .现用数学归纳法证明：1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .当n =2时，结论显然成立；假设n=k 时，},,,1,1{2k k x x A Λ-=有性质P ，则1-=i i q x ，i =1, 2, …, k ；当n=k +1时，若},,,,1,1{121++-=k k k x x x A Λ有性质P ，则},,,1,1{2k k x x A Λ-=也有性质P ，所以},,,,1,1{111+-+-=k k k x q q A Λ.取),(11q x a k +=，并设),(2t s a =满足021=⋅a a ，即01=++qt s x k .由此可得s与t 中有且只有一个为-1.若1-=t ，则1≥s ，所以q x sq k ≤=+1，这不可能；所以1-=s ，k k k q q q qt x =⋅≤=-+11，又11-+>k k q x ，所以kk q x =+1. 综上所述，1-=i i q x 1-=i i q x ，i =1, 2, …, n . ……13分[解法二]设),(111t s a =，),(222t s a =，则021=⋅a a 等价于2211st t s -=.记|}|||,,|{t s X t X s B ts >∈∈=，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于原点对称.注意到-1是X 中的唯一负数，},,,{)0,(32n x x x B ---=-∞ΛI 共有n -1个数，所以),0(∞+I B 也只有n -1个数. 由于1221x x x x x x x x n n n n n n<<<<--Λ，已有n -1个数，对以下三角数阵1221x x x x x x x x n n n n n n <<<<--Λ113121x x x x x x n n n n n -----<<<Λ……12x x注意到12111x x x x x x n n >>>-Λ，所以12211x x x x x x n n n n ===---Λ，从而数列的通项公式为111)(12--==k k x xk q x x ，k =1, 2, …, n . ……13分精品文档随意编辑。

北京市2017届高三数学(理)综合练习18 Word版含答案

7 83 5 5 72 38 9 4 5 5 6 1 2 9 7 8 乙甲北京市2017届高三综合练习数学（理）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）23sin()6π-= （A ）（B ）12-（C ）12（D ）2（2）设4log a =π，14log b =π，4c =π，则a ，b ，c 的大小关系是（A ） b c a >> （B ）a c b >> （C ） a b c >> （D ）b a c >>（3）已知{}n a 为各项都是正数的等比数列，若484a a ⋅=，则567a a a ⋅⋅=（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）64（4）甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，12,s s 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（A ）12x x >，12s s < （B ）12x x =，12s s <（C ）12x x =，12s s = （D ）12x x <，12s s >（5）已知p ，q 是简单命题，那么“p q ∧是真命题”是“p ⌝是真命题”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）若实数y x ,满足不等式组330101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，，，则2||z x y =+的取值范围是（A ）[1,3]- （B ）[1,11] （C ）]3,1[ （D ）]11,1[-（7）定义在R 上的函数()f x 满足)()6(x f x f =+.当)1,3[--∈x 时，2)2()(+-=x x f ,当)3,1[-∈x 时，x x f =)(，则(1)(2)(3)(2015)f f f f ++++= （A ）336 （B ）355 （C ）1676 （D ）2015（8）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为012a a a ，其中{0,1}i a ∈（0,1,2i =），传输信息为00121h a a a h ，001h a a =⊕，102h h a =⊕，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=．例如原信息为111，则传输信息为01111．传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是（A ）11010 （B ）01100 （C ）10111 （D ）00011第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）若1)nx的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n = ，展开式中的常数项为．（用数字作答）（10）已知正数,x y 满足x y xy +=，那么x y +的最小值为．（11）若直线12(32x t t y t =-+⎧⎨=-⎩，为参数)与曲线4cos (sin x a y a θθθ=+⎧⎨=⎩，为参数，0a >)有且只有一（12）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>截抛物线24y x =的准线所得线段长为b ，则a = ．（13）已知非零向量,a b 满足||1=b ，a 与-b a 的夹角为120，则||a 的取值范围是．（14）如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若,p q 分别是M到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(,)p q 是点M 的“距离坐标”．(p ,q )给出下列四个命题：① 若0p q ==，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个．② 若0pq =，且0p q +≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有2个． ③ 若0pq ≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有4个． ④ 若p q =，则点M 的轨迹是一条过O 点的直线．其中所有正确命题的序号为．三、解答题（共6小题，共80分。

北京市第十五中学2018届高三会考模拟练习二数学试题 Word版含答案

2017-2018年高三理科会考模拟练习二一、选择题：1. 函数的最小正周期是（）A. 1B. 2C.D.【答案】D【解析】最小正周期是 ,选D.2. 已知集合，，如果，那么实数等于（）A. B. 0 C. 2 D. 4【答案】C【解析】因为,所以,选C.3. 如果向量，，那么等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,选B.4. 在同一直角坐标系中，函数与的图象之间的关系是A. 关于轴对称B. 关于轴对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称【答案】A【解析】因为函数任一点关于轴对称点在上,反之亦然,所以函数与的图象之间的关系是关于轴对称,选A.5. 执行如图所示的程序框图．当输入时，输出的值为（）A.B. 0C. 2D.【答案】C【解析】执行循环为，输出2，选C.6. 已知直线经过点，且与直线平行，那么直线的方程是（）A. B.C. D.【答案】A7. 某市共有初中学生270000人，其中初一年级，初二年级，初三年级学生人数分别为99000，90000，81000，为了解该市学生参加“开放性科学实验活动”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为3000的样本，那么应该抽取初三年级的人数为（）A. 800 B. 900 C. 1000 D. 1100【答案】B【解析】由分层抽样得应该抽取初三年级的人数为，选B.8. 在中，，AC=2，BC=3，那么AB等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由余弦定理得，选C.9. 口袋中装有大小和材质都相同的6个小球，其中有3个红球，2个黄球和1个白球，从中随机模出1个小球，那么摸到红球或白球的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：根据题意，口袋中有6个球，其中3个红球、2个黄球和1个白球，则红球和白球共有4个，故从中随机摸出1个球，那么摸到红球或白球的概率是=，故选D．考点：本题主要考查古典概型的概率计算。

点评：简单题，古典概型概率的计算，关键是明确基本事件总数及导致事件发生的基本事件数，此类问题，可借助于“树图法”不重不漏地写出各个基本事件。

2017届高三下学期二模考试(理)数学试题(附答案)

2 3．若 x ,y 满足 ⎨ x + y ≤ 0 ,则 x + 2 y 的最大值为（）⎪ y ≥ 0 2D ．216B．北京市东城区 2017 届高三下学期二模数学试卷（理科）一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1．已知集合 A = {x | x ﹣4＜0} ,则 RA =（）A ． {x | x ≤ -2或x ≥ 2}B ． {x | x ＜-2或x ＞2}C ．{x | -2＜x ＜2}D ．{x | -2 ≤ x ≤ 2}2．下列函数中为奇函数的是（）A ． y = x + cosxB ． y = x + sin xC ． y = xD ． y = e - x⎧ x - y + 1 ≥ 0⎪ ⎩A ． -1B ．0C ． 14．设 a, b 是非零向量,则“ a, b 共线”是“ | a + b |=| a | + | b | ”的（）A ．充分而不必要条件 C ．充分必要条件B ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知等比数列{a n }为递增数列, S n 是其前 n 项和．若 a + a = 1 5 17 2, a a = 4 ,则 S =（） 2 4 6A ． 2727 863 63 C ． D ．4 26．我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202﹣1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的n = 5,v = 1, x = 2 ,则程序框图计算的是（）A ． 25 + 24 + 23 + 22 + 2 + 1B ． 25 + 24 + 23 + 22 + 2 + 5C ． 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 2 + 1D ． 24 + 23 + 22 + 2 + 147．动点P从点A出发,按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周,A,P两点间的距离Y与动点P所走过的路程X的关系如图所示,那么动点P所走的图形可能是（）A．B．C．D．8．据统计某超市两种蔬菜A,B连续n天价格分别为a,a,a,⋯,a,和b,b,b,,令123n123M={m|a＜b,m=1,2,,n},若M中元素个数大于3n,则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格, m m记作：A,B,现有三种蔬菜A,B,C,下列说法正确的是（）A．若A<B,B<C,则A<CB．若A<B,B<C同时不成立,则A<C不成立C．A<B,B<A可同时不成立D．A<B,B<A可同时成立二、填空题共6小题,每小题5分,共30分．9．复数i(2-i)在复平面内所对应的点的坐标为_______．10．在极坐标系中,直线ρcosθ+3ρsinθ+1=0与圆ρ=2a cosθ(a＞0)相切,则a=_______．11．某校开设A类选修课4门,B类选修课2门,每位同学需从两类选修课中共选4门,若要求至少选一门B类课程,则不同的选法共有_______种．（用数字作答）12．如图,在四边形ABCD中,∠ABD=45︒,∠ADB=30︒,BC=1,DC=2,cos∠BCD=角形ABD的面积为_______．14,则BD=_______；三13．在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点14．已知函数f(x)⎨min{|x-1|,|x-3|},x∈(2,4]{}⎩min|x-3|,|x-5|,x∈(4,+∞)（Ⅱ）若（x）在⎢,⎥上单调递减,求f(x)的最大值．flE A B,A在x轴上方．若直线的倾斜角为60︒,则OA=_______．⎧|x-1|,x∈(0,2]⎪⎪①若f(x)=a有且只有一个根,则实数a的取值范围是_______．②若关于x的方程f(x+T)=f(x)有且仅有3个不同的实根,则实数T的取值范围是_______．三、解答题共6小题,共80分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程．15．已知函数f(x)=3sin2x+a cos2x(a∈R)．（Ⅰ）若f(π)=2,求a的值；6⎡π7π⎤⎣1212⎦16．小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据,该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比,40%以下为舒适,40%﹣60%为一般,60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园,并游览2天．（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅱ）设X是小明游览期间遇上舒适的天数,求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）17．如图,在几何体ABCDEF中,平面A D⊥平面C四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60︒,EA=ED=AB=2EF,EF∥AB,M为BC中点．（Ⅰ）求证：FM∥平面BDE；（Ⅱ）求直线CF与平面BDE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱CF上是否存在点G,使BG⊥DE？若存在,求CGCF的值；若不存在,说明理由．n维T向量．对于两个n维T向量A,B,定义（A,B）=∑|a-b|．d,),0),A为12维T向量序列中的项,求出所有的m．18．设函数f(x)=(x2+ax-a)e-x(a∈R)．（Ⅰ）当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(-1))处的切线方程；（Ⅱ）设g(x)=x2-x-1,若对任意的t∈[0,2],存在s∈[0,2]使得f(s)≥g(t)成立,求a的取值范围．19．已知椭圆C：x2y2+a2b2=1(a＞b＞0)的短轴长为23,右焦点为F(1,0),点M是椭圆C上异于左、右顶点A,B的一点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线AM与直线x=2交于点N，线段B N的中点为E．证明：点B关于直线EF的对称点在直线MF 上．20．对于n维向量A=(a,a,⋯,a),若对任意i∈{1,2,12n,n}均有a=0或a=1,则称A为i ini ii=1（Ⅰ）若A=(1,0,1,0,1)，B=(0,1,1,1,0)，求d(A B的值．（Ⅱ）现有一个5维T向量序列：A,A,A,⋯,若A1=(1,1,1,1,1)且满足：d(A,A+1)=2,i∈N*．求证：1231i i该序列中不存在5维T向量(0,0,0,0,0)．（Ⅲ）现有一个12维T向量序列：A,A,A,,若A(1,1,,1)且满足：d(A,A)=m,m∈N*,i=1,2,3,,1231i i+112个若存在正整数j使得A(0,0,j12个j北京市东城区2017届高三下学期二模考试（理）数学试卷答案1．A2．B3．C4．B5．D6．A7．C8．C9．(1,2)10．111．1412．2；3-113．2114．①(1,+∞)；②(-4,-2)(2,4)15．解（Ⅰ）因为f(π)=3sin2631+a=2．22故得：a=1．ππ+a cos2=2, 66（Ⅱ）由题意：f(x)=3+a2sin(2x+θ),其中tanθ=a 3 ,∴函数的周期T=π,且7πππ-=, 12122所以当x=π12时,函数f(x)取得最大值,即f(x)maxππ=f()=3+a2sin(+θ)=3+a2,126π∴sin(+θ)=1,6πa∴θ=+2kπ,k∈Z.∴tanθ==3,∴a=3.33因此f(x)的最大值为23．16．解：设A表示事件“小明8月11日起第i日连续两天游览主题公园”(i=1,2, i1根据题意,P(A)=,且事件A与A互斥．i i j ,9)．993 故 X 的期望 E( X ) = 0 ⨯ + 1⨯（Ⅰ）设 B 为事件“小明连续两天都遇上拥挤”,则 B = AA ．47所以 P(B) = P( A4A ) = P( A ) + P( A ) = 27 4 7．（Ⅱ）由题意,可知 X 的所有可能取值为 0,1,2,P( X = 0) = P( A 4A71A ) = P( A ) + P( A ) + P( A ) = ,8 4 7 8P( X = 1) = P( A3A 5A6A ) = P( A ) + P( A ) + P( A ) + P( A ) = 9 3 5 6 9 4 9, P( X = 2) = P( A1A ) = P( A ) + P( A ) = 2 1 2 2 9．所以 X 的分布列为X0 1 2P13 4 9 2 91 3 42 8+ 2 ⨯ = ．9 9 9（Ⅲ）从 8 月 16 日开始连续三天游览舒适度的方差最大．17．证明：（Ⅰ）取CD 中点 N , 连结 M N 、FN ．因为 N , M 分别为 C D, BC 中点, 所以MN ∥BD ．又BD ⊂ 平面BDE, 且MN ⊄ 平面BDE, 所以MN ∥平面BDE ,因为 EF / / AB, AB = 2EF , 所以EF ∥CD, EF = DN ．所以四边形 EFND 为平行四边形．所以 FN ∥ED ．又 ED ⊂ 平面BDE 且FN ⊄ 平面BDE , 所以 FN ∥平面BDE , 又 FNMN = N , 所以平面MFN ∥平面BDE ．又 FM ⊂ 平面MFN , 所以FM ∥平面BDE ．解：（Ⅱ）取AD 中点O , 连结EO, BO ．因为 EA = ED, 所以EO ⊥ AD ．因为平面 ADE ⊥ 平面ABCD, 所以EO ⊥ 平面ABCD, EO ⊥ BO ．因为 AD = AB, ∠DAB = 60︒, 所以△ADB 为等边三角形．因为 O 为AD 中点, 所以AD ⊥ BO ．因为 EO, BO, AO 两两垂直, 设AB = 4,以 O 为原点, O A, O B, O E 为x, y , z 轴,如图建立空间直角坐标系 O - xyz ．-6-/15⎪ ⎩ ⎩由题意得, A (2,0,0 ), B(0,2 3,0) , C (-4,2 3,0) , D (-2,0,0 ), E (0,0,2 3) , F (-1, 3,2 3) ．CF = (3,- 3,2 3) , CE = (2,0,2 3) , BE = (3,-2 3,2 3) ．设平面 BDE 的法向量为 n =(x, y , z ),⎧n BE = 0 ⎧⎪ y - z = 0 则 ⎨ ,即 ⎨ ,⎪n DE = 0⎪ x + 3z = 0令 z = 1,则y = 1 , x = - 3 ．所以 n = (- 3,1,1) ．设直线 CF 与平面 BDE 成角为 α , sin α =| cos < CF ,n >|= 10 10,所以直线 CF 与平面ADE 所成角的正弦值为 10 10．（Ⅲ）设 G 是CF 上一点,且 CG = λ CF , λ ∈[0,1] ．因此点 G(3λ - 4, - 3λ + 2 3,2 3λ) ．BG = (3λ - 4, - 3λ,2 3λ) ．由 BG DE = 0 ,解得 λ = 49．所以在棱 CF 上存在点G 使得BG ⊥ DE ,此时CG 4= ．CF 9' ' ' ' ' 2] 2] '18．解：（Ⅰ）当 a = 0时,f (x )= x 2e - x ,∴ f (x )=( - x 2 + 2 x )e - x ,∴ f ( - 1)= - 3e ．又∵ f ( - 1)= e ,∴曲线 y = f ( x )在点(-1, f (-1)) 处的切线方程为：y - e = -3e(x + 1),即3ex + y + 2e = 0 ．（Ⅱ）“对任意的 t ∈ [0,2 ], 存在 s ∈ [0, 2]使得 f (s )≥ g (t )成立”,等价于“在区间[0,2 ]上, f (x )的最大值大于或等于g (x )的最大值”．∵ g ( x ) = x 2 - x - 1 = ( x - 1 )2 - 25 4,∴ g (x )在[0,2 ]上的最大值为g (2)= 1 ．f (x )=(2 x + a ) e - x -(x 2 + ax - a ) e - x = -e x [ x 2 +(a - 2)x - 2a] = e - x (x - 2)(x + a ) ,令 f (x )= 0, 得x = 2, 或x = -a ．①当 -a ＜0,即a ＞0时,f (x )＞0在[0，上恒成立 ,f (x )在[0，上为单调递增函数,f (x )的最大值为f (2)=(4 + a ) 1 e 2,由(4 + a ) 1 e 2≥ 1,得a ≤ e 2 - 4②当 0＜ - a ＜2,即 - 2＜a ＜0 时,当 x ∈(0,- a )时,f (x )＜0, f (x )为单调递减函数,当 x ∈ (-a, -2)时,f '(x)＞0, f ( x ) 为单调递增函数．∴ f ( x )的最大值为f (0) = -a 或f (2) = (4 + a) 1e 2,-8-/15设点 M (x , y ),由 ⎨x 2 y 2 ,整理得(4k 2 + 3)x 2 + 16k 2 x + 16k 2 - 12 = 0 , ⎪ + = 1 ' 2] 2] , 3 + 4k 3 + 4k ①当 MF ⊥ x 轴时, x = 1,此时k = ± ．2 则 M (1,± ), N (2, ±2), E (2, ±1)．时,直线 MF 的斜率为 k=y 16k 2 + (4k 2 - 1)2 =由 -a ≥ 1,得a ≤ -1;由(4 + a)1≥ 1 ,得 a ≤ e 2-4 ．e 2又∵ -2＜a ＜0,∴- 2＜a = 1 ．③当 -a ＞2,即a ＜-2 时,f (x )＜0在[0，上恒成立 ,f (x )在[0，上为单调递减函数,f (x )的最大值为f (0)= -a ,由 -a ≥ 1, 得a ≤ -1 ,又因为 a ＜-2,所以a ＜-2 ．综上所述,实数 a 的值范围是{x | a ≤ -1或a ≥ e 2 - 4} ．19．解：（Ⅰ）由题意得 2b = 2 3 ,则 b = 3 , c = 1,则a 2 = b 2 + c 2 = 4, 则a = 2 ,x 2 y 2 ∴椭圆 C 的方程为+= 1；43（Ⅱ）证明：“ 点B 关于直线 EF 的对称点在直线 MF 上”等价于 “ E F 平分 ∠MFB ”．设直线 AM 的方程为y = k (x + 2)(k ≠ 0),则N (2,4 k ) E (2,2 k ) ．⎧ y = k ( x + 2)⎪ 0 0⎩ 4 316k 2 - 12 -8k 2 + 6由韦达定理可知 -2 x = ,则 x =0 2 0 2, y = k (x + 2)= 0 0 12k 3 + 4k 2 ,132此时,点 E 在∠BFM 的角平分线所在的直线 y = x - 1或y = - x + 1 ,即 EF 平分∠MFB ．②当 k ≠ 1 4k 0 = ,2 x - 1 1 - 4k 2 0所以直线 MF 的方程为4kx +(4k 2 - 1)y - 4k = 0 ．所以点 E 到直线 MF 的距离d = | 8k + 2k (4k 2 - 1) - 4k | | 4k + 2k (4k 2 - 1)| (4k 2 + 1)2=| 2k(4k 2 + 1)| | 4k 2 + 1| = 2k = BE ．即点 B 关于直线 EF 的对称点在直线 MF 上,20．解：（Ⅰ）由于 A = (1,0,1,0,1) , B = (0,1,1,1,0) ,由定义 d ( A,B) = ∑ | a - b | , i + = 2 ,0) , A 为 12 维 T 向量序列中的项 , 此时 m综上可知：点 B 关于直线 EF 的对称点在直线 MF 上．n i ii =1可得 d (A, B )= 4 ．（Ⅱ）反证法：若结论不成立,即存在一个含 5 维 T 向量序列, A , A , A ,123, A ,n使得 A = (1,1,1,1,1) A = (0,0,0,0,0,0) ．1m因为向量 A = (1,1,1,1,1)的每一个分量变为 0,都需要奇数次变化,1不妨设 A 的第 (i = 1,2,3,4,5 )个分量1变化了2n -1 次之后变成 0, 1i所以将 A 中所有分量 1 变为 0 共需要:1(2 n - 1) + (2 n - 1) + (2 n - 1) + (2 n - 1) （2n -1）（n + n + n + n + n - 2）-1次,此数为奇数．1234512345又因为 d (A , A )= m , m ∈ N * ,说明 A 中的分量有 2 个数值发生改变,ii +1i进而变化到 A , 所以共需要改变数值 2(m -1)次,此数为偶数,所以矛盾．i +1所以该序列中不存在 5 维 T 向量(0,0,0,0,0 )．（ Ⅲ ）存在正整数 j 使得 A = (0,0,j12个=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12．j3．解：作出 x ，y 满足 ⎨ x + y ≤ 0 表示的平面区域,⎪ y ≥ 0 得到如图的三角形及其内部,由 ⎨, x + y = 0 F = ∴ z 最大值 = F (- , ) = (26 - 1)解析1．解：集合 A = {x | x 2-4＜0} = {x | -2＜x ＜2} ,则 RA = {x | x ≤ -2或x ≥ 2} ．故选：A ．2．解：对于 A 非奇非偶函数,不正确；对于 B ,计算,正确,对于 C ,非奇非偶函数,不正确；对于 D ,偶函数,不正确, 故选：B ．⎧ x - y + 1 ≥ 0 ⎪⎩⎧ x - y + 1 = 0 ⎩1 1解得 A (- , ) ,2 2设 z = （x ，y ） x + 2 y ,将直线 l ：z = x + 2 y 进行平移,当 l 经过点 A 时,目标函数 z 达到最大值1 12 2 1 2．故选：C ．4．解：“ | a + b |=| a | + | b | ” “ a, b 共线”,反之不成立,例如 a = -b ≠ 0 ．∴ a , b 是非零向量,则“ a , b 共线”是“ | a + b |=| a | + | b | ”的必要不充分条件．故选：B ．5．解：设递增的等比数列{a1解得 a =, a = 8 ．125n }的公比为 q ,∵ a 1+ a = 5 172 , a a = 4 = a a ,2 4 1 5解得 q = 2 ,1 则 S = 2663= ．2 - 1 2故选：D ．-11-/1512 i 2 i ．2) θ θ 2 0) θn = 5，v = 1，x = 2，i = 4 满足条件 i ≥0,执行循环体,v =3,i =3满足条件 i ≥ 0 ,执行循环体, v = 7，i = 2满足条件 i ≥ 0 ,执行循环体, v = 15，i = 1 满足条件 i ≥ 0 ,执行循环体, v = 31，i = 0 满足条件 i ≥ 0 ,执行循环体, v = 63，i =﹣ 不满足条件 i ≥ 0 ,退出循环,输出 v 的值为 63 ．由于 25+24+23+22+2+1=63．故选：A ．7．解：由题意可知：对于 A 、B ，当P 位于A ，B 图形时,函数变化有部分为直线关系,不可能全部是曲线, 由此即可排除 A 、B ,对于 D ,其图象变化不会是对称的,由此排除 D , 故选 C ．8．解：若 a = b ，i = 1，， n ,ii则 A < B ，B < A 同时不成立,故选 C ．9．解：复数（﹣）= 2i + 1 在复平面内所对应的点的坐标为（1,2）故答案为： (1，．10．解：直线 ρ=2acosθ（a ＞0）化为直角坐标方程： x + 3 y + 1 = 0 ．圆 ρ = 2a cos （a ＞0）即 ρ 2 = 2ρ a cos （a ＞0）, 可得直角坐标方程： x 2 + y 2 = 2ax , 配方为：（x - a ） + y 2 = a 2 ．可得圆心 (a ，，半径 a ．∵直线 ρcos θ + 3ρsin θ + 1 = 0 与圆 ρ = 2acos （a ＞0）相切,∴ | a + 1|= a ，a ＞0 ,解得 a = 1 ．2故答案为：1．11．解：根据题意,分 2 种情况讨论：①．选择 1 门 B 类课程,需要选择 A 类课程 3 门,则 B 类课程有 C 1 = 2 种选法,A 类课程有 C 3 = 4 种选法,24此时有 2 ⨯ 4 = 8 种选择方法；②．选择 2 门 B 类课程,需要选择 A 类课程 2 门,则 B 类课程有 C 2 = 1 种选法,A 类课程有 C 2 = 6 种选法,24此时有 1×6=6 种选择方法；3 y + 1 ,⎪⎪ y = 3 y + 1 ,解得： ⎨ 3 , , ⎨ 解：① f ( x ) ⎨| x - 3|, x ∈ (2,4] , ⎪| x - 5|, x ∈ (4, +∞) x ⎩2则一共有 8+6=14 种不同的选法；故答案为：14．12．解： △CBD 中,由余弦定理,可得, BD = 1 + 4 - 2 ⨯1⨯ 2 ⨯ 1= 2 ,4△ABD 中,利用正弦定理,可得 AD = 2sin 45︒ sin105︒= 2 3 - 2 ,1 1∴三角形 ABD 的面积为 ⨯ 2 ⨯ (2 3 - 2) ⨯ = 3 - 1,2 2故答案为 2, 3 - 1．13．解：抛物线 y 2 = 4 x 的焦点 F 的坐标为（1,0）∵直线 l 过F ,倾斜角为 60︒ ,即斜率 k = tan α = 3 ,∴直线 l 的方程为： y =3( ﹣1) ,即 x =3⎧ 3 ⎧ 2 3⎪ x = ⎧⎪ y = 2 3 ⎨⎪ y 2 = 4 x⎪⎩ x = 3 ⎪ x = 1 ⎪⎩ 3由点 A 在x 轴上方，则A(3， 3) ,则 OA = (3)2 + (2 3) 2 = 21 ,则 OA = 21 ,故答案为： 21 ．14．⎧| x - 1|, x ∈ (0,2]⎪ ⎩作出 f (x) 的函数图象如图所示：f42+4)15．（Ⅰ）根据f()=2，即可求a的值；⎢12,12⎥上单调递减,可得最大值．（29)此时CG1]'=f2]2]f≥g2]f x g g2]由图象可知当a＞1时，f(x)=a只有1解．②∵关于x的方程f(x+T)=f(x)有且仅有3个不同的实根,∴将（x）的图象向左或向右平移T个单位后与原图象有3个交点,∴2＜T＜4,即﹣＜T＜﹣或2＜T＜4．故答案为：①(1，∞)，②(﹣4,-2)(2，．π6（Ⅱ）利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asinωx+ϕ）的形式,结合三角函数的图象和性质,f(x)在⎡π7π⎤⎣⎦16．设A表示事件“小明8月11日起第i日连续两天游览主题公园”(i=1，，，．根据题意P(A)=i i 且事件A与A互斥．i j 1 9,,（Ⅰ）设B为事件“小明连续两天都遇上拥挤”,则B=A4A．利用互斥事件的概率计算公式即可得出．7（Ⅱ）由题意,可知X的所有可能取值为0,1,2,结合图象,利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出．（Ⅲ）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大．17．（Ⅰ）取CD中点N，连结M N、FN，推导出四边形EFND为平行四边形．从而FN//ED．进而FN//平面BDE，由此能证明平面MFN//平面BDE，从而FM//平面BDE．（Ⅱ）取AD中点O，连结EO，BO．以O为原点，OA，OB，OE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出直线CF与平面ADE所成角的正弦值．（Ⅲ）设G是CF上一点,且CG=λCF,λ∈[0，．利用向量法能求出在棱CF上存在点G使得BG⊥DE, 4=．CF918．（Ⅰ）当a=0时，f（x）（-x2+2x）e-x,由此能求出曲线y=（x）在点（-1，f(-1))处的切线方程．（Ⅱ）“对任意的t∈[0，，存在s∈[0，使得（s）（t）成立”,等价于“在区间[0，上，（x）的最大值大于或等于（）的最大值”．求出（x）在[0，上的最大值为g = ' = = ' + (4k - 1) 20．（Ⅰ）由于 A =（10101，），B =（01110，）,由定义 d ( A,B) = ∑ | a - b |,求 d （A ，B ）的值．，，，，，，（2） 1．f （x ） e - （x - 2）（x + a ），令f （x ） 0，得x = 2，或x = -a ．由此利用分类讨论思想结合导数性质能求出实数 a 的值范围．19．（Ⅰ）由题意可知 b = 3，c = 1，a = b + c = 4 ,即可求得椭圆方程；222（Ⅱ）由“点 B 关于直线 EF 的对称点在直线 MF 上”等价于 “ E F 平分∠MFB ”设直线 A M 的方程,代入椭圆方程 , 由韦达定理求得 M 点坐标，分类讨论，当 MF ⊥ x 轴时，求得 k 的值 , 即可求得N 和E 点坐标，求得点E 在∠BFM 的角平分线所在的直线 y = x - 1或y = - x + 1 ,则 EF 平分∠MFB ,当 k ≠ 12时,即可求得直线 MF 的斜率及方程 ,利用点到直线的距离公式 ,求得 d = | 8k + 2k (4k 2 - 1)- 4k|16k 2 2 2=| BE | ,则点 B 关于直线 EF 的对称点在直线 MF 上．n iii =1（Ⅱ）利用反证法进行证明即可；（Ⅲ）根据存在正整数 j 使得 A = (0,0,j12个,0) , A 为12维T 向量序列中的项，求出所有的 m ．j-15-/15。

2017-2018年北京十五中高三数学理科5月月考试卷及答案

北京十五中高三年级数学理科月考试卷2018.5考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

全卷满分150分，考试时间为120分钟。

请将第Ⅰ卷的答案填涂在机读卡上，第Ⅱ卷的答案作答在答题纸上。

第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；把答案填涂在机读卡上．．．．．．．．．．） 1．已知集合{}101，，A =-，{}|11B x x =-≤<，则A B = （）(A){}0 (B){}1,0- (C){}0,1 (D){}1,0,1- 2．设,,a b c R ∈,且a b >,则( )（A ）ac bc >（B ）11a b< （C ）22a b > （D ）33a b >3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是 ( )（A ）1y x= (B) x y e -= （C ）21y x =-+ (D) lg ||y x =4．在复平面内，复数(2)i i -对应的点位于 ( )（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限5．在△ABC 中，3,5a b ==,1sin 3A =,则sin B = ( )（A ）15 （B ）59 （C （D ）16．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ( )（A ）1 （B ）23（C ）1321（D ）610987北京市第十五中学2018年高三月考试题班级___________ 姓名____________ 学号___________----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------7．双曲线221y x m-=的充分必要条件是 ( )A ．12m >B ．1m ≥C ．1m >D ．2m > 8．在平面上，，,.若，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题，共30分）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案作答在答题纸上．．．．．．．．．．） 9．若抛物线22y px =的焦点坐标为（1,0）则p =____；准线方程为_____. 10．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为__________.11．若等比数列{}n a 满足243520,40a a a a +=+=，则公比q =__________；前n 项n S =_____.12．设D 为不等式组02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，表示的平面区域，区域D 上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为___________.13．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝_________.14．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形； ④到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线. 其中正确的命题是____________.（写出所有正确命题的序号）12AB AB ⊥121OB OB ==12AP AB AB =+12OP <OA 0,2⎛ ⎝⎦,22⎛ ⎝⎦2⎛ ⎝2⎛ ⎝三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数2(=sin cos sin f x x x x -），R x ∈. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[,]16a π上递增，求实数a 的取值范围.16．（本小题满分13分）经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm ．（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼．．．．．．．．中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计．．．这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望E ξ．17．（本小题满分14分）如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ，DC // AB ，BC CD ⊥，EA ED ⊥，且4AB =，2BC CD EA ED ====. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段CE 上是否存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE ，请说明理由.1235567889 135567罗非鱼的汞含量（ppm ）18．（本小题满分13分）设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)2y e x =-+.（Ⅰ）求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >.19．（本小题满分14分）抛物线2:4C y x =，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点. （Ⅰ）设l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；（Ⅱ）设||2||FA BF =，求直线l 的方程.20．（本小题满分13分）在无穷数列{}n a 中，11a =，对于任意*n ∈N ，都有*n a ∈N ，1n n a a +<. 设*m ∈N ，记使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b . （Ⅰ）设数列{}n a 为1，3，5，7，，写出1b ，2b ，3b 的值；（Ⅱ）若{}n b 为等差数列，求出所有可能的数列{}n a ；（Ⅲ）设p a q =，12p a a a A +++=，求12q b b b +++的值.（用,,p q A 表示）北京十五中高三数学理科月考答案2018.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.注：若有两空，则第一个空第二个空三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（I ）21cos 21(=sin cos sin sin 222x f x x x x x --=+），…………………………2分 1)42x π=+-，…………………………4分 ()f x 的最小正周期为π，…………………6分（II ）当16x π=时，则322416482x πππππ+=⨯+=<，…………………8分又函数()f x 在[,]16a π上递增，则242a ππ+≥-，即38a π≥-，…………………10分则实数a 的取值范围为3[,)816a ππ∈-. ………………13分 (16)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A ，则1251031545()91C C P A C ==，∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为4591. ……………4分（Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率51()153P B ==， ………5分 ξ可能取0，1，2，3. ……………6分则3318(0)1327P C ξ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ，213114(1)1339P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，223112(2)1339P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，33311(3)327P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．…………10分其分布列如下：……………12分所以842101231279927Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………13分 (17)（本小题满分14分）解：（I）由BC CD⊥，2BC CD==.,可得BD=2分由EA ED⊥，且2EA ED==，可得AD=又4AB=．所以BD AD⊥．…………………4分又平面EAD⊥平面ABCD，平面ADE平面ABCDAD=，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面ADE．…………………6分（II）如图建立空间直角坐标系D xyz-，则(0,0,0)D，B，(C ，E，(2,BE=-，(2,0,DE=，(DC=．设(,,)x y z=n是平面CDE的一个法向量，则0DE⋅=n，0DC⋅=n，…………………8分即0,0.x zx y+=⎧⎨-+=⎩令1x=，则(1,1,1)=-n．…………………9分设直线BE与平面CDE所成的角为α，则||sin|cos,|||||BEBEBE⋅=<>===⋅αnnn．所以BE和平面CDE所成的角的正弦值3．…………………10分（III）设CF CE=λ，[0,1]λ∈．(DC=，CE=，DB=.x则2(21,1,)DF DC CF DC CE =+=+=--+λλλλ．设(,,)x'y'z'=m 是平面BEF 一个法向量，则0EB ⋅=n ，0EF ⋅=n ，…………………12分即0,(21)(1)0.y'x'y'z'=⎧⎨-+-++=⎩λλλ令1x'=，则21(1,0,)λλ-=-m ．若平面BEF ⊥平面CDE ，则0⋅=m n ，即2110λλ-+=，1[0,1]3λ=∈.……13分所以，在线段CE 上存在一点F 使得平面BEF ⊥平面CDE .……………14分(18)（本小题满分13分）解：(Ⅰ)函数f (x )的定义域为(0,+∞), f '(x)=ae x ln x+e x -e x-1+e x-1. ……………2分由题意可得f(1)=2,f '(1)=e. 故a =1,b =2. ……………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f(x)=e x ln x+e x-1,从而f(x)>1等价于xln x>xe -x -. ……………5分设函数g(x)=xln x,则g'(x)=1+ln x. ……………6分所以当x ∈时,g'(x)<0;当x ∈∞ 时,g'(x)>0.故g(x)在上单调递减,在∞ 上单调递增,从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g=-. ……………8分设函数h(x)=xe -x -,则h'(x)=e -x (1-x). ……………10分所以当x ∈(0,1)时,h'(x)>0;当x ∈(1,+∞)时,h'(x)<0.故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=-. ……………12分综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1. ……………13分 (19)（本小题满分14分）方法一：（Ⅰ）解：由题意，得(1,0)F ，直线l 的方程为1y x =-.由214y x y xì=-ïïíï=ïî, 得2610x x -+=, 设A , B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , AB 中点M 的坐标为00(,)M x y ,则121122331212x x y x y x =+=-=-=+=-=-,故点(3(3A B ++-- --------------------------3分所以120003,122x x x y x +===-=, 故圆心为(3,2)M ,直径||8AB =,所以以AB 为直径的圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=；----------------------6分（Ⅱ）解：因为||2||FA BF =, 三点A , F , B 共线且点A , B 在点F 两侧, 所以2FA BF =,设A , B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , 则1122(1,),(1,)FA x y BF x y =-=--,所以121212(1),2.x x y y ì-=-ïïíï=-ïî ○1 因为点A , B 在抛物线C 上,所以2211224,4y x y x ==, ○2 -------------------------10分由○1○2，解得111122222,2,11,,22x x y y x x y y 祆==镲镲镲镲==-镲镲镲眄镲==镲镲镲镲镲=-=镲铑或所以11(2,(,(2,(22A B A B --或, ------------------------13分故直线l的方程为0,y --或0y +-.-------------------------14分方法二：（Ⅰ）解：由题意，得(1,0)F ，直线l 的方程为1y x =-.由214y x y xì=-ïïíï=ïî, 得2610x x -+=, 设A , B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , AB 中点M 的坐标为00(,)M x y , 因为264320,D =-=>所以12126,1x x x x +==,所以120003,122x x x y x +===-=, 故圆心为(3,2)M , ------------------------3分由抛物线定义，得1212||||||()()822p pAB AF BF x x x x p =+=+++=++=, 所以12||8AB x x p =++=(其中p =2).所以以AB 为直径的圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=； -------------------6分（Ⅱ）解：因为||2||FA BF =, 三点A , F , B 共线且点A , B 在点F 两侧, 所以2FA BF =,设A , B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , 则1122(1,),(1,)FA x y BF x y =-=--,所以121212(1),2.x x y y ì-=-ïïíï=-ïî ○1 -----------------------9分设直线AB 的方程为(1)y k x =-或1x =(不符合题意，舍去). 由2(1)4y k x y xì=-ïïíï=ïî，消去x 得 2440ky y k --=，因为直线l 与C 相交于A , B 两点，所以0k ¹,则216160k D =+>, 12124,4y y y y k+==-, ○2 由○1○2，得方程组121212442y y k y y y y ìïï+=ïïïï=-íïï?-ïïïïî，解得12k y y ìï=-ïïï=-íïïï=ïïî或12k y y ìï=ïïï=íïïï=-ïïî-----------13分故直线l的方程为0,y --或0y +-.---------------14分 (20)（本小题满分13分）（Ⅰ）解：11b =，21b =，32b =. ……………… 3分（Ⅱ）解：由题意，得1231n a a a a =<<<<<，结合条件*n a ∈N ，得n n a ≥. ……………… 4分又因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，使得1n a m +≤成立的n 的最大值为1m b +，所以11b =，*1()m m b b m +∈N ≤. ……………… 5分设2 a k =，则 2k ≥.假设2k >，即2 >2a k =，则当2n ≥时，2n a >；当3n ≥时，1n k a +≥. 所以21b =，2k b =. 因为{}n b 为等差数列，所以公差210d b b =-=，所以1n b =，其中*n ∈N . 这与2(2)k b k =>矛盾，所以22a =. ……………… 6分又因为123n a a a a <<<<<，所以22b =，由{}n b 为等差数列，得n b n =，其中*n ∈N . ……………… 7分因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以n n a ≤，由n n a ≥，得n n a =. ……………… 8分（Ⅲ）解：设2 (1)a k k =>，因为123n a a a a <<<<<，所以1211k b b b -====，且2k b =，所以数列{}n b 中等于1的项有1k -个，即21a a -个； ……………… 9分设3 ()a l l k =>，则112l k k b b b -+====，且3l b =，所以数列{}n b 中等于2的项有l k -个，即32a a -个； ……………… 10分 ……以此类推，数列{}n b 中等于1p -的项有1p p a a --个. ……………… 11分第 11 页（共11页）所以1221321(1())))2((p q p b b b a a a a a p a p -++=-+--+-+++ 121(1)p p a a p a a p -=-----++ 121()p p p pa p a a a a -=+-++++ (1)p q A =+-.即12(1)q q A b b b p ++++=-. ……………… 13分。

北京西城北师大实验2017届高三上12月月考数学(理)试题含解析

北京师范大学附属实验中学12月高三月考试题数学(理科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选中符合题目要求的一项 1．已知全集U =R ,集合{}2|1A x x =≥，则UA =（）．A ．(,1)-∞B ．(1,1)-C ．(1,)+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞【答案】B【解析】解:∵集合{}{2|1|1A x x x x ==-≥≤或}1x ≥,∴{}|11UA x x =-<<．故选B ．2．在平面直角坐标系xOy 中,已知(0,0)O ，(0,1)A ，B ，则OA OB ⋅的值为（）．A ．1 B 1C D 1【答案】B【解析】解:=(0,1)OA ,(1,1)OB =，∴31OA OB ⋅=-．故选B ．3．已知数列{}na 的前n 项和122n nS+=-，则3a =（）．A ．1-B ．2-C ．4-D ．8- 【答案】D 【解析】解：4334332(22)(22)228a S S =-=---=-=-．故选D ．4．为了得到函数sin cos y x x =+的图像,只需把sin cos y x x =-的图像上所有的点（）．A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度【答案】C【解析】解:由πsin cos 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，πsin cos 4y x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因此,为了得到sin cos y x x =+的图像，只需将sin cos y x x =-的图像上所有的点向左平移π2个单位长度．故选C ．5．“0t ≥”是“函数2()f x xtx t=+-在(,)-∞+∞内存在零点”的( ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：当函数2()f x x tx t=+-在(,)-∞+∞内存在零点时，有240tt ∆=+≥，即4t -≤或0t ≥，所以“0t ≥" 是“函数2()f x x tx t=+-在(,)-∞+∞内存在零点”的充分而不必要体条件．故选A ．6．已知函数1,0()1,0x f x x -<⎧=⎨⎩≥，则不等式(1)xf x -≤1的解集为( ）． A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞ C ．[1,2] D ．[1,1]- 【答案】D【解析】解:∵1,0()1,0x f x x -<⎧=⎨⎩≥, ∴1,1(1)1,1x f x x -<⎧-=⎨⎩≥, 当1x ≥时，(1)11xf x x -⇔≤≤， ∴1x =，当1x <时,(1)111xf x x x -⇔-⇔-≤≤≥， ∴11x -<≤，综上所述，(1)1xf x -≤的解集为[1,1]-．故选D ．7．已知直线:1()l y kx k k =+-∈R ，若存在实数k ，使直线l 与曲线C 交于两点A、B ，且||||AB k =,则称曲线C 具有性质P ,给定下列三条曲线方程:①|1|y x =--； ②222210xy x y +--+=；③2y x =．其中，具有性质P 的曲线的序号是（）．A ．①②B ．②C ．③D ．②③ 【答案】D【解析】解:①．|1|y x =--与直线l 至多一个交点,故①不具性质P ． ②．222210xy x y +--+=,圆心为(1,1)，半径为1，直线1y kx k =+-过定点(1,1)，故存在2k =±，使直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且||AB k =，具有性质P ． ③2y x =过点(1,1)，直线:1l y kx k =+-过定点(1,1)，故存在k ，使得直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且||||AB k =，具有性质P ．综上，具有性质P 的曲线的序号是②③．故选D ．8．甲、乙、丙、丁、戊五人出差,分别住在1、2、3、4、5号房间，现已知：（1）甲与乙不是邻居；(2）乙的房号比丁小；（3）丙住的房是双数；（4）甲的房号比戊大3．根据上述条件，丁住的房号是（）．A．2号B．3号C．4号D．5号【答案】B【解析】解:根据题意可知,1、2、3、4、5号房间分别住的是乙、戊、丁、丙、甲,故丁住的房号是3．故选B．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9．设a∈R，若复数(1i)(+i)a+在复平面内对应的点位于实轴上,则a=__________．【答案】1-【解析】解:复数(1i)(+i)=(1)(+1)i+-,a a a因为该复数在复平面内对应的点在数轴上,所以10a+=．故1a=-．10．设2log 3a =，4log 6b =,6log 9c =，则a 、b 、c 从大到小的顺序为__________．【答案】a b c >>【解析】解：2log 3a =,421log 6log 6log2b ===∴a b >，8221log 9log 9log 3c ===∴b a >， ∴a b c >>．11．在ABC △中，点M 为边AB 的中点，若OP OM ∥，且(0)OP xOA yOB x =+≠，则y x=__________．【答案】1【解析】解：∵M 是AB 的中点， ∴1()2OM OA OB =+，又∵1()2OP OM OA OB xOA yOB λλ==+=+，∴12x λ=,12y λ=,∴1yx =．12．双曲线22:12x C y -=的离心率为__________;若椭圆2221(0)x y a a +=>与双曲线C 有相同的焦点,则a =__________．【答案】2【解析】解：∵双曲线22:12x C y -=，∴焦点坐标为(，，双曲线的离心率e =，∵椭圆的焦点与双曲线的焦点相同， ∴213a-=，∴2a =．13．已知点(2,)P t 在不等式组4030x y x y --⎧⎨+-⎩≤≤，表示的平面区域内，则点(2,)P t 到直线34100x y ++=距离的最大值为__________．【答案】4【解析】解:∵点(2,)P t 在不等式组4030x y x y --⎧⎨+-⎩≤≤，表示的平面区域内， ∴240230t t --⎧⎨+-⎩≤≤，解得21t -≤≤，点P 到直线34100x y ++=的距离|164|5t d +=，(21)t -≤≤，当1t =时，点P 到直线34100x y ++=的距离最大，max4d=．14．设a ∈R ，定义x 为不小于实数x 的最小整数（如π4=，π3-=-），若n ∈Z ，则满足n a n+=的实数a 的取值范围是__________;若a ∈R ，则方程1122x x +=-的根为__________．【答案】(,0]-∞；4- 【解析】∵n a n+=，∴n n a +≥，故0a ≤，设122x k -=∈Z ,则214k x +=,233114k x k ++=++， ∴原方程等价于2314k +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，即23214k +-<-≤，从而11722k -<-≤，∴5k =-或4-，相应的x 为94-，74-，故所有实根之和为97444⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭．三、解答题:本大题共6小题，共80分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数2π()2sincos 22f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求π8f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间．【答案】见解析【解析】解：(Ⅰ）函数2π()2sincos 22f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1cos 2sin 2x x =-+π214x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴πππ211884f ⎛⎫⎛⎫=⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得:π()214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期2ππ2T ==,令ππ3π2π22π242k x k +-+≤≤，则3π5πππ88k x k +=≤≤，k ∈Z ，∴函数()f x 的单调递减区间为3π5ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,()k ∈Z ．16．在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设π3A =，sin 3sin B C =．(Ⅰ）若a ，求b 的值．（Ⅱ)求tan C 的值．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵sin 3sin B C =， ∴由正弦定理可得：3b c =，由余弦定理可得:2222cos a b c bc A=+-，π3A =，a =，∴227b c bc=+-， ∴222733b b b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得3b =．（Ⅱ）∵π3A =，∴2π3B C =-，∴2πsin 3sin 3C C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 3sin 2C C C +=，∴5sin 2C C =，∴tan C =17．已知定圆22:(3)4C xy +-=,定直线:360m x y ++=,过(1,0)A -的一条动直线l 与直线m 相交于N ，与圆C 相交于P ，Q 两点,M 是PQ 中点． (Ⅰ）当l 与m 垂直时,求证：l 过圆心C ． (Ⅱ)当||PQ =l 的方程．（Ⅲ）设t AM AN =⋅，试问t 是否为定值,若为定值,请求出t 的值；若不为定值,请说明理由．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）由已知13mk =-,故3lk=，∴直线l 的方程为3(1)y x =+，将圆心(0,3)C 代入方程3(1)y x =+成立，故l 过圆心C ．（Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时,易知1x =-符合题意, 当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为(1)y k x =+， ∴||PQ =∴||1CM =，即1=，解得43k =,此时，4(1)3y x =+，即4340x y -+=，故直线l 的方程为1x =-或4340x y -+=．（Ⅲ）当l 与x 轴垂直时,易得(1,3)M -，51,3N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又(1,0)A -，则(0,3)AM =，50,3AN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故5AM AN ⋅=-, 即5t =-，当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =+, 代入圆的的方程得：2222(1)(26)650k xk k x k k ++-+-+=,则2122261k kx x k -++=+，2122321M x x k k x k +-+==+，223(1)1M M k ky k x k +=+=+，即222233,11k k k k M k k ⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭，222313,11k k k AM k k ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭，又由(1)360y k x x y =+⎧⎨++=⎩得365,1313k k N k k ---⎛⎫⎪++⎝⎭，则55,1313k AN k k --⎛⎫= ⎪++⎝⎭，故t AM AN =⋅2221555(3)(1)(13)(1)(13)k k k k k k k k ---+=+++++225(13)(1)(13)(1)k k k k -++=++ 5=-，综上所述，t 的值为定值,且5t =-．18．已知函数21()4f x x=+，1()ln(2e )2g x x =．（Ⅰ）求函数()()y f x g x =-的最小值．（Ⅱ）是否存在一次函数()h x ，使得对于(0,)x ∀∈+∞，总有()()f x h x ≥，且()()h x g x ≥成立？若存在,求出()h x 的表达式；若不存在，说明理由．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）()()y f x g x =-的定义域为{}|0x x >，211()()ln(2e )42y x g x xx =-=+-,2141222x y x x x-'=-=,易知102x <<时,0y '<，12x >时，0y '>，∴()()y f x g x =-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ∴当12x =时，()()y f x g x =-取得最小值为0．（Ⅱ）由（Ⅰ)知，1118222f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1122h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故可证1()22kh x kx =+-，代入()()f x h x ≥,得21024k xkx -+-≥恒成立,∴2(1)0k ∆=-≤,∴1k =，()h x x =，设1()ln(2e )2G x x x =-，则1()12G x x'=-，当102x <<时，()0G x '<，当12x >时，()0G x '>，∴()G x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∴1()02G x G ⎛⎫= ⎪⎝⎭≥,即()()h x g x ≥对一切0x >恒成立,综上，存在一次函数()h x ,使得对于(0,)x ∀∈+∞，总有()()f x h x ≥，且()()h x g x ≥,()h x x =．19．已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,0)A ，(0,1)B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率．（Ⅱ）设P 为第三个象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证:四边形ABNM 的面积为定值．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ)∵椭圆2222:1x y C a b+=，过点(2,0)A ，(0,1)B 两点，∴2a =，1b =，c∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=，离心率ce a==（Ⅱ）设P 点坐标为000(,)(0,0)x y xy <<，则直线PB 的方程为0011y y x x --=⋅，N点坐标为00,01xy⎛⎫⎪-⎝⎭,直线PA 的方程为00(2)2y y x x =--，M点坐标为020,2y x⎛⎫⎪-⎝⎭，则001221ABNx Sy ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭△，0000212212MNAx y Sy x ⎛⎫=⋅⋅ ⎪--⎝⎭△，所以ABNMABN MNA SS S =+△△△00002121212x y y x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭ 20000(22)12(1)(2)x y y x +-=⋅-- 220000000000444481222x y x x y y x y x y ++-+-=⋅--+①，又∵220014x y +=，∴22044xy +=，代入①得:00000000444481222ABNM x x y y S x y x y +-+-=⋅--+ 0000)00004(221222x x y y x y x y -+-=⋅--+ 2=．故四边形ABNM 的面积为定值2．20．若无穷数列{}na 满足：只要(,*)pq aa p q =∈N ,必有11p q aa ++=，则称{}na 具有性质P ．（Ⅰ）若{}na 具有性质P ,且11a =，22a=,43a =，52a=，67821aa a ++=,求3a ．（Ⅱ)若无穷数列{}nb 是等差数列，无穷数列{}nc 是公比为正数的等比数列,151b c==,5181b c ==,n n na b c =+判断{}na 是否具有性质P ，并说明理由．(Ⅲ)设{}nb 是无穷数列，已知1sin (*)n n n ab a n +=+∈N ，求证：“对任意1a ，{}na 都具有性质P "的充要条件为“{}nb 是常数列”．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ)∵{}na 具有性质P ，已知252aa ==，∴36aa =，47aa =，58aa =,∴678345a a a a a a ++=++，又43a=,52a =,66821a a a ++=，∴3213216a=--=．(Ⅱ)设{}nb 公差为d ,{}nc 公比为0q >，∵51480b b d -==，∴20d =， ∴2019nbn =-，∵451181cq c==，∴13q =，∴513n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴5120193n n n n a b c n -⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，∵182a =,582a=而2212748a=+=,6130410133a =+=，15a a =但26aa ≠，故{}na 不具有性质P ．（Ⅲ）充分性：已知{}nb 是常数列，设nbc=，则1sin n n ac a +=+,若存在p 、q 使得pqaa =，则11sin sin p p q q ac a c a a ++=+=+=，故{}na 具有性质P ，必要性:若对任意1a ，{}n a 具有性质P ，则211sin ab a =+，设函数1()f x x b =-，()sin g x x =，由()f x ,()g x 图像可得，对任意的1b ，二者的图像必有一个交点，∴一定能找到一个1a ,使得111sin a b a -=，∴2111sin ab a a =+=，∴1nn a a +=，故1211sin sin n n n n n nbaa a ab ++++-=-=，∴{}nb 是常数列，综上“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ” 的充要条件为“{}nb 是常数数列”．。

北京市西城区2017-2018学年度高三上学期期末理科数学试卷及答案

北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2018.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|03}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则A B = （A ）{|13}x x -<< （B ）{|10}x x -<< （C ）{|02}x x <<（D ）{|23}x x <<2．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）1y x =-+（B ）|1|y x =-（C ）sin y x =（D ）12y x =3．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）2 （B ）6 （C ）30 （D ）2704．已知M 为曲线C ：3cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）上的动点．设O 为原点，则OM 的最大值是（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）45．实数,x y 满足10,10,10,x x y x y -⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≥≥≥ 则2x y -的取值范围是（A ）[0,2] （B ）(,0]-∞ （C ）[1,2]- （D ）[0,)+∞6．设,a b 是非零向量，且,a b 不共线．则“||||=a b ”是“|2||2|+=+a b a b ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点．若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（A ）(,1)-∞-（B ）(,2)-∞-（C ）(1,)-+∞（D ）(2,)-+∞8．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L ，记作[H ]+）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L ，记作[OH ]-）的乘积等于常数1410-．已知pH 值的定义为pH lg[H ]+=-，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ][OH ]+-可以为（参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈）（A ）12（B ）13（C ）16（D ）110第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在复平面内，复数2i1i-对应的点的坐标为____．10．数列{}n a 是公比为2的等比数列，其前n 项和为n S ．若212a =，则n a =____；5S =____．11．在△ABC 中，3a =，3C 2π∠=，△ABC 的面积为334，则 c =____．12．把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有____种．（用数字作答）13．从一个长方体中截取部分几何体，得到一个以原长方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图所示．该几何体的表面积是____．14．已知函数2,2,()1, 3.x x x c f x c x x ⎧+-⎪=⎨<⎪⎩≤≤≤若0c =，则()f x 的值域是____；若()f x 的值域是1[,2]4-，则实数c 的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()2sin cos(2)3f x x x =-+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间π[0,]2上的最大值．16．（本小题满分13分）已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表．表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻 1月1日 7:36 4月9日 5:46 7月9日 4:53 10月8日 6:17 1月21日 7:31 4月28日 5:19 7月27日 5:07 10月26日 6:36 2月10日 7:14 5月16日 4:59 8月14日 5:24 11月13日 6:56 3月2日 6:47 6月3日 4:47 9月2日 5:42 12月1日 7:16 3月22日6:156月22日4:469月20日5:5912月20日7:31表2：某年2月部分日期的天安门广场升旗时刻表日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻 2月1日 7:23 2月11日 7:13 2月21日 6:59 2月3日 7:22 2月13日 7:11 2月23日 6:57 2月5日 7:20 2月15日 7:08 2月25日 6:55 2月7日 7:17 2月17日 7:05 2月27日 6:52 2月9日7:152月19日7:022月28日6:49（Ⅰ）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7:00的概率；（Ⅱ）甲，乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记X为这两人中观看升旗的时刻早于7:00的人数，求X 的分布列和数学期望()E X ．（Ⅲ）将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7:31化为31760）．记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为2s ，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为2*s ，判断2s 与2*s 的大小．（只需写出结论）17．（本小题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11AA C C ，12AA AB AC ===，160A AC ︒∠=.过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F . （Ⅰ）求证：1AC ⊥平面1ABC ；（Ⅱ）求证：四边形1AA EF 为平行四边形；（Ⅲ）若23BF BC =，求二面角1B AC F --的大小.18．（本小题满分13分）已知函数()e sin 1axf x x =⋅-，其中0a >．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）证明：()f x 在区间[0,π]上恰有2个零点．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)A ，且离心率为32．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线3y kx =+与椭圆C 交于,M N 两点．若直线3x =上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．20．（本小题满分13分）数列n A ：12,,,(4)n a a a n ≥满足：11a =，n a m =，10k k a a +-=或1(1,2,,1)k n =- ．对任意,i j ，都存在,s t ，使得i j s t a a a a +=+，其中,,,{1,2,,}i j s t n ∈ 且两两不相等．（Ⅰ）若2m =，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号； ① 1,1,1,2,2,2； ② 1,1,1,1,2,2,2,2； ③ 1,1,1,1,1,2,2,2,2 （Ⅱ）记12n S a a a =+++ ．若3m =，证明：20S ≥；（Ⅲ）若2018m =，求n 的最小值．北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2018.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．D 3．C 4．D 5．D 6．C 7．B 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．(1,1)- 10．32n -，31411．1312．8 13．36 14．1[,)4-+∞；1[,1]2注：第10，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()2sin cos(2)3f x x x =-+ππ1cos2(cos2cos sin 2sin )33x x x =--⋅-⋅ [ 4分] 33sin 2cos 2122x x =-+[ 5分] π3sin(2)13x =-+， [ 7分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ==． [8分] （Ⅱ）因为 π02x ≤≤，所以 ππ2π2333x --≤≤． [10分] 当 ππ232x -=，即5π12x =时， [11分] ()f x 取得最大值为31+． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记事件A 为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，[ 1分]在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7:00，所以 153(A)204P ==．[ 3分] （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2． [ 4分] 记事件B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，则 51(B)153P ==，2(B)1(B)3P P =-=． [5分] 4(0)(B )(B )9P X P P ==⋅=； 12114(1)C ()(1)339P X ==-=； 1(2)(B)(B)9P X P P ==⋅=． [ 8分] 所以 X 的分布列为：X 0 1 2 P4949194412()0129993E X =⨯+⨯+⨯=． [10分]注：学生得到X ~1(2,)3B ，所以12()233E X =⨯=，同样给分．（Ⅲ）22*s s <． [13分]17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 AB ⊥平面11AA C C ，所以 1A C AB ⊥． [ 1分]因为三棱柱111ABC A B C -中，1AA AC =，所以四边形11AA C C 为菱形，所以 11A C AC ⊥． [ 3分]所以 1AC ⊥平面1ABC ． [ 4分] （Ⅱ）因为 11//A A B B ，1A A ⊄平面11BB C C ，所以 1//A A 平面11BB C C ． [ 5分]因为平面1AA EF 平面11BB C C EF =，所以 1//A A EF ． [ 6分] 因为平面//ABC 平面111A B C ，平面1AA EF 平面ABC AF =，平面1AA EF 平面1111A B C A E =，所以 1//A E AF ． [ 7分] 所以四边形1AA EF 为平行四边形． [ 8分]（Ⅲ）在平面11AA C C 内，过A 作Az AC ⊥．因为 AB ⊥平面11AA C C ，如图建立空间直角坐标系A xyz -． [ 9分] 由题意得，(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，1(0,1,3)A ，1(0,3,3)C ．因为23BF BC =，所以 244(,,0)333BF BC −−→−−→==-，所以 24(,,0)33F ．由（Ⅰ）得平面1ABC 的法向量为1(0,1,3)A C −−→=-．设平面1AC F 的法向量为(,,)x y z =n ，则10,0,AC AF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即330,240.33y z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令1y =，则2x =-，3z =-，所以 (2,1,3)=--n ． [11分]所以 111||2|cos ,|2||||AC AC AC −−→−−→−−→⋅〈〉==n n n ． [13分] 由图知二面角1B AC F --的平面角是锐角，所以二面角1B AC F --的大小为45︒． [14分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，()e sin 1xf x x =⋅-，所以 ()e (sin cos )xf x x x '=+． [ 2分]因为 (0)1f '=，(0)1f =-， [ 4分]所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =-． [ 5分]（Ⅱ）()e (sin cos )axf x a x x '=+． [ 6分]由 ()0f x '=，得 sin cos 0a x x +=． [ 7分] 因为 0a >，所以π()02f '≠． [ 8分]当 ππ(0,)(,π)22x ∈ 时，由 sin cos 0a x x +=，得 1tan x a=-．所以存在唯一的0π(,π)2x ∈，使得 01tan x a=-． [ 9分] ()f x 与()f x '在区间(0,π)上的情况如下：x0(0,)x 0x0(,π)x()f x ' +-()f x↗极大值 ↘所以 ()f x 在区间0(0,)x 上单调递增，在区间0(,π)x 上单调递减． [11分]因为π020π()()e 1e 102a f x f >=->-=， [12分]且 (0)(π)10f f ==-<，所以 ()f x 在区间[0,π]上恰有2个零点． [13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得 2a =，32c e a ==，所以 3c =． [ 2分] 因为 222a b c =+， [ 3分] 所以 1b =， [ 4分] 所以椭圆C 的方程为 2214x y +=． [ 5分] （Ⅱ）若四边形PAMN 是平行四边形，则 //PA MN ，且 ||||PA MN =. [ 6分] 所以直线PA 的方程为(2)y k x =-，所以 (3,)P k ，2||1PA k =+． [ 7分] 设11(,)M x y ，22(,)N x y ．由 223,44,y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 得22(41)8380k x kx +++=， [ 8分]由0∆>，得 212k >．且1228341k x x k +=-+，122841x x k =+． [ 9分] 所以 221212||(1)[()4]MN k x x x x =++-.22226432(1)(41)k k k -=++． [10分]因为 ||||PA MN =，所以 222226432(1)1(41)k k k k -+=++．整理得 421656330k k -+=， [12分]解得 32k =±，或 112k =±． [13分]经检验均符合0∆>，但32k =-时不满足PAMN 是平行四边形，舍去．所以 32k =，或 112k =±． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）②③． [ 3分] 注：只得到 ② 或只得到 ③ 给[ 1分]，有错解不给分．（Ⅱ）当3m =时，设数列n A 中1,2,3出现频数依次为123,,q q q ，由题意1(1,2,3)i q i =≥． ① 假设14q <，则有12s t a a a a +<+（对任意2s t >>），与已知矛盾，所以 14q ≥．同理可证：34q ≥． [ 5分] ② 假设21q =，则存在唯一的{1,2,,}k n ∈ ，使得2k a =．那么，对,s t ∀，有 112k s t a a a a +=+≠+（,,k s t 两两不相等），与已知矛盾，所以22q ≥． [ 7分]综上：1324,4,2q q q ≥≥≥，所以 3120i i S iq ==∑≥． [ 8分]（Ⅲ）设1,2,,2018 出现频数依次为122018,,...,q q q ．同（Ⅱ）的证明，可得120184,4q q ≥≥，220172,2q q ≥≥，则2026n ≥．取12018220174,2q q q q ====，1,3,4,5,,2016i q i == ，得到的数列为：:1,1,1,1,2,2,3,4,,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018n B ． [10分]下面证明n B 满足题目要求．对,{1,2,,2026}i j ∀∈ ，不妨令i j a a ≤，① 如果1i j a a ==或2018i j a a ==，由于120184,4q q ==，所以符合条件； ② 如果1,2i j a a ==或2017,2018i j a a ==，由于120184,4q q ==，220172,2q q ==，所以也成立；③ 如果1,2i j a a =>，则可选取2,1s t j a a a ==-；同样的，如果2017,2018i j a a <=，则可选取1,2017s i t a a a =+=，使得i j s t a a a a +=+，且,,,i j s t 两两不相等； ④ 如果12018i j a a <<≤，则可选取1,1s i t j a a a a =-=+，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．综上，对任意,i j ，总存在,s t ，使得i j s t a a a a +=+，其中,,,{1,2,,}i j s t n ∈ 且两两不相等．因此n B 满足题目要求，所以n 的最小值为2026． [13分]。

北京西城35中2017届高三上学期12月月考数学(理)试题

高三年级12月月考数学试卷一、选择题： 1．若集合{}|23M x x =-<<，{}1|21x Nx +=≥，则MN =（）． A ．(3,)+∞B ．(1,3)-C ．[1,3)-D ．(2,1]--【答案】C 【解析】{}{}{}1|21|10|1x N x x x x x +==+=-≥≥≥，∴{}|13MN x x =-<≤．故选C ．2．设命题:p n ∃∈N ，22nn >，则p ⌝为（）． A ．n ∀∈N ，22nn > B ．n ∃∈N ，22nn ≤ C ．n ∀∈N ，22nn ≤ D ．n ∃∈N ，22nn<【答案】C【解析】特称命题的否定需将特称量词变为全称量词，同时否定结论，所以命题:p n ∃∈N ，22nn >，则p ⌝为n ∀∈N ，22nn ≤．故选C ．3．极坐标方程co s ρθ=和参数方程123x ty t=--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是（）． A ．直线、直线 B ．圆、圆C ．直线、圆D ．圆、直线【答案】D【解析】极坐标方程co s ρθ=化为直角坐标方程为22x yx +-=，表示圆，参数方程123x ty t=--⎧⎨=+⎩，化为普通方程为310x y ++=，表示直线．故选D ．4．为了得到函数3lg10x y+=的图象，只需要把函数lg yx=的图象上所有的点（）．A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】C 【解析】函数3lglg (3)110x yx +==+-，所以为了得到3lg10x y +=的图象，只需把函数lg yx=的图象上所有的点，向左左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度．故选C ．5．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，给出下面四个命题： ①m n ∥，m n αα⇒⊥⊥ ②αβ∥，mα⊂，nm nβ⊂⇒∥ ③m n ∥，m n αα⇒∥∥④αβ∥，m n ∥，m n αβ⇒⊥⊥ 其中正确命题的序号是（）．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③【答案】C【解析】①若m n ∥，m α⊥，则n α⊥，①正确； ②若αβ∥，mα⊂，nβ⊂，则m n ∥或m ，n 异面，②错误；③若m n ∥，m α∥，则n α∥或nα⊂，③错误； ④若αβ∥，m n ∥，m α⊥，则n β⊥，④正确．综上，正确命题的序号为①④，故选C ．6．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且n ，n a ，n S 成等差数列()n +∈N ，则4a =（）．A ．1B ．4C ．7D ．15【答案】D【解析】∵n ，n a ，n S 成等差数列， ∴2n na n S =+，当1n =时，1121a S =+，11a =，当2n ≥时，1211n n a n S -=-+-，∴1221n n n a a a --=+，即121n n a a -=+，∴112(1)n n a a +-=+，∴1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，∴12nn a +=，∴21nna =-，∴442115a =-=．故选D ．7．设函数π2s in 23yx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象为C ，下面结论中正确的是（）．A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．图象C 关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．图象C 向右平移π2个单位后关于原点对称D ．函数()f x 的区间ππ,122⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数【答案】B【解析】A 项．()f x 的最小正周期2ππ2T==，故A 项错误； B项．πππ2s in 20663f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于点对称π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 项正确； C项．π()2s in 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向右平移π2个单位后得到π2s in 23yx ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，不关于原点对称，故C 项错误；D项．ππ,122x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，ππ2π2,323x⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，当πππ2,322x⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，即π5π,1212x ⎛⎤∈-⎥⎝⎦时，()f x 单调递增，当ππ2π2,323x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，即5ππ,122x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()f x 单调递减，故D 错误．综上，故选B ．8．直线3yx=绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位，所得到的直线（）．A ．1133yx =-+B ．113yx =-+ C ．33yx =- D ．113yx =+【答案】A 【解析】直线3y x=绕原点逆时针旋转90︒的直线13yx=-，将13yx=-再向右平移1个单位得到1(1)3y x =--，即1133y x =-+．故选A ．9．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x>时，2()4f x x x=-，则不等式()0xfx >的解集为（）． A ．(,4)(4,)-∞-+∞ B ．(4,0)(4,)-+∞C ．(,4)(0,4)-∞- D ．(4,4)-【答案】A 【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x>时，2()4f x x x=-，∴当0x <时，()(4)f x x x =-+，当0x >时，2()0()0404x fx f x x x x >⇔>⇔->⇔>，当0x<时，()0()0(4)04xf x f x x x x >⇔<⇔-+<⇔<-，∴不等式()0xf x >的解集为(,4)(4,)-∞-+∞．故选A ．10．在空间直角坐标系Ox y z-中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，则该四面体的体积为（）．A ．2B ．43C 3D ．23【答案】D【解析】112212323V=⨯⨯⨯⨯=．故选D ．二、填空题： 11．已知平面量(2,1)a =，(1,3)b=-，若向量()a ab λ+⊥，则实数λ的值是__________．【答案】5-【解析】∵(2,1)a =，(1,3)b=-，∴(2,13)a b λλλ=-+⊥，∵()a ab λ+⊥，∴()0a ab λ⋅+=，∴2(2)130λλ-++=，解得，5λ=-．12．已知方程22240x yx y m +--+=表示圆，则m 的取值范围为__________．【答案】(,5)-∞ 【解析】若方程22240x yx y m +--+=表示圆，则41640m+->，解得5m<，故m 的取值范围为(,5)-∞．13．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是__________．【答案】500π35=，故球的体积为34π500π533⨯=．14．如图中的曲线为2()2f x x x=-，则阴影部分面积为__________．【答案】83【解析】021448()d ()d 333S f x x f x x -⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭⎰⎰．15．已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≤≤，使(0)zx ay a =+>取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为__________．【答案】1 【解析】∵zx ay=+，则11yx zaa=-+，z a为直线1z yx aa=-+在y 轴上的截距，要使目标函数的最优解有无穷多个，则截距最小时的最优解有无数个， ∵0a>，把x ay z+=平移，使之与可行域的边界A C 重合即可，∴1a -=-，1a =．16．在A B C △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若a=4c=，60A=︒，则b=__________．【答案】1或3【解析】由余弦定理可得2222co s a b c b c A=+-，将a =4c=，60A=︒，代入得2430b b -+=，解得1b=或3b =．17．已知向量a ，b 满足||||1a b==且34,55a b ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则a 与b 的夹角为__________．【答案】120︒ 【解析】∵||||1ab ==且34,55a b ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴22()||||2||||c o s 1ab a b a b θ+=++=，∴1c o s 2θ=-，120θ=︒．18．如图，已知边长为4的正方形A B C D ，E 是B C 边上一动点（与B 、C 不重合），连结A E ，作EFAE⊥交B C D ∠的外角平分线于F ．设BEx=，记()f x E C C F=⋅，则函数()f x 的值域是__________．FDABC【答案】(0,4]【解析】如图，作F G B C⊥，交B C 延长线于G ，则C G F G =，易证得A B E E G F △∽△， ∴A B B E E GF G=，设F G C G m ==，则4E GE C C G x m=+=-+，∴44x m xx mm=⇒=-+，∴π()(4)co s(4)4f x E C C F x x x =⋅=-⋅⋅=-，由题知04x <<，所以0()4f x <≤，故()f x 的值域是(0,4]．EGBADF三、解答题：19．已知圆C 过点(0,1)，4)，且圆心C 在y 轴上．（1）求圆C 的标准方程．（2）若过原点的直线l 与圆C 无交点，求直线l 斜率的取值范围．【答案】见解析【解析】（1）∵圆心C 在y 轴上， ∴可设⊙C 的标准方程为222()x y b γ+-=，∵⊙C 过点(0,1)和点4)，∴2222(1)3(4)b b γγ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得32b γ=⎧⎨=⎩，∴⊙C的标准方程为22(3)4x y+-=．（2）设过原点的直线l的方程为y kx=，即0kx y-=，∵l与圆C无交点，∴圆心(0,3)到直线l的距离大于γ，2>，解得22k-<<20．已知向量(s in,2)a x=-，(1,c o s)b x=互相垂直，其中π0,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求sin x，c o s x的值．（2）若5c o s()o sxθθ-=，π2θ<<，求co sθ的值．【答案】见解析【解析】（1）∵a b⊥，∴sin2co s0a b x x⋅=-=，即sin2cosx x=，又∵22sin co s1x x+=，π0,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴s in5x=，c o s5x=．（2）∵5co s()5(co s co s sin sin)x x xθθθ-=+s sθθθ=-=∴sin cosθθ=，又22sin co s1θθ+=，π2θ<<，∴c o s2θ=．21．已知等比数列{}na中，11a=，48a=．（1）求数列{}na的通项公式．（2）若3a，5a分别为等差数列{}n b的第6项和第8项，求123||||||||(*)nb b b b n+++∈N．【答案】见解析【解析】（1）∵在等比数列{}na中，11a=，48a=，∴2q=，∴数列{}na的通项公式为12nna-=，*n∈N．（2）∵3a，5a分别为等差数列{}n b的第6项和第8项，∴634b a==，，8516b a==，设等差数列{}nb的公差为d，则：1171654b db d+=⎧⎨+=⎩，解得，12b b=-，6d=，∴等差数列{}nb的通项公式1(1)32nb b n d b n=+-=-，当5n ≤时，21212||||||()329n n b b b b b b n n+++=-+++=-+，当6n ≥时，121256||||||()n nb b b b b b b b +++=-++++++2270(32970)329140n n n =+-+=-+．综上所述：21232329,5,*||||||||329140,6,*n n n n n b b b b n n n n ⎧-+∈⎪+++=⎨++∈⎪⎩N N ≤≥．22．如图，在三棱柱111A B CA B C -，1A A ⊥底面A B C ，A B A C⊥，1A CA B A A ==，E ，F分别是棱B C ，1A A 的中点，G 为棱1C C 上的一点，且1C F ∥平面A E G ．（1）求1C G C C 的值．（2）求证：1E G A C⊥．（3）求二面角1A A G E--的余弦值．A 1B 1C 1G F A BCE【答案】【解析】（1）∵1C F ∥平面A E G ，又1C F⊂平面11A C C A ，平面11A C C A 平面A E GA G=，∴1C FA G∥，∵F 为1A A 的点，且侧面11A C C A 为平行四边形， ∴G 为1C C 中点， ∴112C G C C =．（2）证明：∵1A A ⊥底面A B C ，1A A A B⊥，1A A A C⊥，又A B A C⊥，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系Ax y z-，设2AB=，则由1A BA C A A ==可得(2,0,0)C ，(0,2,0)B ，1(2,0,2)C ，1(0,0,2)A ， ∵E ，G 分别是B C ，1C C 的中点，∴(1,1,0)E ，(2,0,1)G ， ∴1(1,1,1)(2,0,2)0E G C A ⋅=-⋅-=，∴1E GC A ⊥， ∴1E G A C⊥．（3）设平面A E G 的法向量为(,,)nx y z=，则：n A E n A G ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y x z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z=-，∴(1,1,2)n=--，由已知可得平面1A A G 的法向量(0,1,0)m=，∴6c o s ,6||||n m n m n m ⋅<>==-⋅，由题意知二面角1A A G E--为钝角，∴二面角1A A G E--的余弦值为6-．z 123．设函数2()ln ()f x x a x x a =+-∈R ．（1）若1a=，求函数()f x 的单调区间．（2）若函数()f x 在区间(0,1]上是减函数，求实数a 的取值范围．（3）过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，证明：切点的横坐标为1．【答案】见解析【解析】（1）当1a =时，2()ln (0)f x x x x x =+->，1(21)(1)()21x x f x x xx-+'=+-=，令()0f x '>，则12x>，令()0f x '<，则102x <<，∴函数()f x 的单调减区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，单调增区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭．（2）1()2f x x a x'=+-，∵()f x 在区间(0,1]上是减函数，∴()0f x '≤对任意(0,1]x ∈恒成立，即12a x x -≤对任意(0,1]x ∈恒成立，令1()2g x xx=-，则m in()a g x ≤，易知()g x 在(0,1]上单调递减， ∴m in()(1)1g x f ==-，∴1a -≤．（3）设切点为(,())Mt f t ，1()2f x x a x'=+-，∴切线的斜率12kt a t=+-，又切线过原点，()f t k t=，∴()12f t t a tt=+-，即22ln 21t a t t t a t +-=+-，∴21ln 0t t -+=，存在性，1t =满足方程21ln 0t t -+=，所以1t=是方程21ln 0t t -+=的根唯一性，设2()1ln t t tϕ=-+，则1()20t t t ϕ'-+>， ∴()t ϕ在(0,)+∞上单调递增，且(1)0ϕ=，∴方程21ln 0t t -+=有唯一解1t =．综上，过坐标原点O 作曲线()yf x =的切线，则切点的横坐标为1．。

北京市2018届高三数学理综合练习12 含答案

北京市2017届高三综合练习数学（理）注意事项： 1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

2．本次考试所有答题均在答题卡上完成。

选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。

非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。

作图题用2B 铅笔作图，要求线条、图形清晰。

3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题、草稿纸上答题无效。

4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合2{|1},{}A x x B a =<=，若AB φ=，则a 的取值范围是（）A ．(,1)(1,)-∞-+∞B ．(][),11,-∞-+∞C ．（-1，1）D ．[-1，1]2．若变量x ，y 满足条件0,21,43,y x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则35z x y =+的取值范围是（）A ．[)3,+∞B ．[8,3]-C ．(],9-∞D ．[8,9]-3．6的二项展开式中，常数项是（）A ．10B ．15C ．20D ．304．已知向量(sin ,cos ),(3,4)a b θθ==，若a b ⊥，则tan 2θ等于（）A ．247B ．67C ．2425-D ．247-5．若正四棱锥的正视图和侧视图如右图所示，则该几何体的表面积是（） A ．4B ．4+C ．8D ．4+6．学校组织一年级4个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区中任选一个游览，则恰有2个班选择了甲景区的选法共有（） A ．2243A ⋅种 B ．2243A A ⋅种C ．2243C ⋅种D ．2243C A ⋅种7．已知a b <，函数()sin ,()cos .f x x g x x ==命题:()()0p f a f b ⋅<，命题:()(,)q g x a b 在内有最值，则命题p 是命题q 成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知定义在R 上的函数()y f x =满足(2)()f x f x +=，当11x -<≤时，3()f x x =，若函数()()log ||a g x f x x =-至少有6个零点，则a （）A ．155a a ==或B ．[)1(0,)5,5a ∈+∞ C ．11[,][5,7]75a ∈D ．11[,][5,7]75a ∈第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市2017届高三数学(理)综合练习52 Word版含答案

北京市2017届高三综合练习数学（理）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{3,4},{2,3,5}A B ==，那么集合()U A B Uð等于（）A.{1,2,3,4,5}B.{3,4}C.{1,3,4}D.{2,3,4,5}2. 设i 是虚数单位，复数tan 45z =-o sin 60i ×o，则2z 等于（） A.734i - B.134i - C.734i + D.134i + 3. 若数列{}n a 是公比为4的等比数列，且12a =，则数列2{log }n a 是（） A.公差为2的等差数列 B.公差为lg 2的等差数列 C.公比为2的等比数列 D.公比为lg 2的等比数列4. 设a 为常数，函数2()43f x x x =-+. 若()f x a +为偶函数，则a 等于（） A.-2 B. 2 C. -1 D.1 5. 已知直线a 和平面a ，那么//a a 的一个充分条件是（）A.存在一条直线b ，//,a b b a ÌB.存在一条直线b ，,a b b a ^^C.存在一个平面,,//a ββαβ⊂D.存在一个平面,,a ββαβ⊥⊥ 6. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰十角三角形。

若该几何体的体积为V ，并且可以用n 个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V ，n 的值是（） A ．2,32==n VB ．3,364==n V C ．6,332==n VD ．V=16，n=47．设 ,a b ÎR ，且(1)<0b a b ++，(1)<0b a b +-，则 ( )A.1a >B.1a <-C. 11a -<<D. ||1a > 8. 函数f (x )的定义域为D ，若对于任意12,x x D Î，当12x x <时，都有12()()f x f x £，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数f (x )在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件： ○1(0)0f =； ○21()()32xf f x =； ○3(1)1()f x f x -=-. 则1()2010f 等于（） A.1128 B.1256 C. 1512 D.164二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上 .9.在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对(,)x y 的概率是 . 10.522()x x+的展开式中2x 的系数是___________；其展开式中各项系数之和为________.(用数字作答) 11.若数列}{),,(11}{*1n nn n a d N n d a a a 则称数列为常数满足∈=-+为调和数列。

北京市2017届高三数学(理)综合练习35 Word版含答案

北京市2017届高三综合练习数学（理）第I 卷选择题(共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数1z i =+，则2z=（） A ． i 2- B ．i 2 C ．i +1 D ．i -12.已知函数()f x =的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M∩N=（）Ａ．{|1}x x >- Ｂ．{|1}x x < Ｃ．{|11}x x -<< Ｄ．∅3 ABC ∆中，3A π∠=，3BC =，AB ，则C ∠=（）6πB ．4π C ．34π D ．4π或34π4. 如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为（） A.12π B ．2C．4D ．4π5.设向量→a 与→b 的夹角为θ，→a =（2，1），3→b +→a =（5，4），则θcos =（）A.54B ．31C ．1010 D ．10103 6. 若变量x y ，满足24025000x y x y x y ⎧+⎪+⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≤≤≥≥则32z x y =+的最大值是（）A ．90B ．80C ．70D ．400.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距7．如图，过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若3,2==AF BF BC 且，则此抛物线的方程为（） A ．x y 32= B ．x y 32= C ．x y 62=D ． x y 92=8．设奇函数]1,1[)(-在x f 上是增函数，且12)(,1)1(2+-≤-=-at t x f f 若函数对所有的]1,1[-∈x 都成立，当]1,1[-∈a 时，则t 的取值范围是（）A ．22≤≤-tB ．2121≤≤-t C ．022=-≤≥t t t 或或 D ．02121=-≤≥t t t 或或第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9.6(x 的展开式中的常数项是（用数字作答） 10. 如图，平行四边形ABCD 中，2:1:=EB AE ，若AEF ∆的面积等于1cm 2,则CDF ∆的面积等于 cm 2． 11.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500,3000)（元）/月收入段应抽出人.12．右面框图表示的程序所输出的结果是_______ .AFE D CB13. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t =+⎧⎨=-⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[0,2]θπ∈），则圆C 的圆心坐标为_______，圆心到直线l 的距离为______.14．给出以下几个命题： ①由曲线y=x 2与直线y=2x 围成的封闭区域的面积为34.②已知点A 是定圆C 上的一个定点，线段AB 为圆的动弦，若)(21+=， O 为坐标原点，则动点P 的轨迹为圆；③把5本不同的书分给4个人，每人至少1本，则不同的分法种数为A 54·A 41=480种. ④若直线l //平面α，直线l ⊥直线m ，直线l ⊂平面β，则β⊥α，其中，正确的命题有 . （将所有正确命题的序号都填在横线上）三、解答题：本大题共6小题，共计80分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 15. （本题满分12分）已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域.16（本题满分13分）如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2，BD =22. （Ⅰ）求证：BD PAC ⊥平面；（Ⅱ）求二面角B PD C --的余弦值；（III ）在线段PD 上是否存在一点Q ,使CQ 与平面PBD 所成的角的正弦值为962，若存在，指出点Q 的位置，若不存在，说明理由.DPAC17. （本小题满分13分）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为32，乙队中3人答对的概率分别为21,32,32且各人正确与否相互之间没有影响.用ξ表示甲队的总得分.（Ⅰ）求随机变量ξ分布列和数学期望； (Ⅱ)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB ). 18．（本小题满分14分）已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点.（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围.19. (本题满分14分)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2.其中F 2也是抛物线C 2：24y x =的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且25||3MF =.（1）求C 1的方程；（2）平面上的点N 满足12MN MF MF =+，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点，若OA ·OB =0，求直线l 的方程.20. (本题满分14分)已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，*n ∈N ）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设14(1)2(na n n nb λλ-=+-⋅为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n b b >+1成立．数学（理科）模拟答案及评分标准一.选择题(共40分)9．15 10. 9 11. 25 12. 1320 13.（0，2）； 14. ①② 三.解答题 15．解：（I ）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =+-+ 221cos 22sin cos 2x x x x =+- 1cos 22cos 222x x x =+- s i n (2)6x π=- ………………………………………… 4分2T 2ππ==周期∴.……………………………………………6分由2(),()6223k x k k Z x k Z πππππ-=+∈=+∈得∴函数图象的对称轴方程为 ()3x k k Z ππ=+∈.…………… 8分（II ）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈- ………………………………… 9分因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以当3x π=时，()f x 取最大值 1.又1()()1222f f ππ-=<=，当12x π=-时，()f x 取得最小值所以函数 ()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[.16.（Ⅰ）在R t △BAD 中，AD =2，BD =22，∴AB =2，ABCD 为正方形，因此BD ⊥AC . ∵PA ⊥平面ABCD, ∴BD ⊥PA .∵,,AC PAC PA PAC AC PA A ⊂⊂⋂=平面平面, ∴BD PAC ⊥平面.………………………… 4分得332=d . ……………………………………………………………5分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系,则(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P(2,2,0)BD =-u u u r ，(0,2,2)PD =-u u u r ，(2,0,0)CD =u u u r易求平面D P C 的法向量为()1,1,0=,平面PBD 的法向量为()1,1,1= …………………………………………… 7分cos ,m n <>==r r ，二面角B PD C --的余弦值3. …………………………………………… 9分（III ）因为Q 在DP 上，所以可设()10<<=λλ，又()2,2,0-= ,()()()λλλλλ2,22,02,2,00,2,0-=-+=+=+=∴()λλ2,22,0-∴Q ,()()λλλλ,,122,2,2--=--=∴CQ .……………………… 10分由（Ⅱ）可知平面PBD 的法向量为()1,1,1=n ，所以设CQ 与平面PBD 所成的角为θ，则有：22131cos sin λθ+===…………………………………… 11分所以有69221312=+λ，1612=λ，10<<λ ， 41=∴λ ………12分所以存在且DP DQ 41=. ……………………………………………………………13分 17．（I ）由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3,且03312322333321(0)(1),327222(1)(1),339224(2)()(1),33928(3)(),327P C P C P C P C ξξξξ==⨯-===⨯⨯-===⨯-===⨯=所以ξ的分布列为………………………………………………… 5分ξ的数学期望为12480123 2.279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………7分（II ）用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，,AB C D =⋃,C D 互斥.22342221112111110()()(1),333323323323P C C ⎡⎤=⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦…………9分54(),3P D =………………………………………………………………………… 11分 4551043434()()().333243P AB P C P D =+=+== ………………………… 13分18.解：（Ⅰ）因为()'2101a f x x x =+-+………………………………………… 2分所以()'361004a f =+-=因此16a =. ………………………………………………………………… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ()()()216l n 110,1,fx x x x x =++-∈-+∞()()2'2431x x f x x-+=+.………………………………………………………… 6分当()()1,13,x ∈-+∞时，()'0f x >;当()1,3x ∈时，()'0f x <.所以()f x 的单调增区间是()()1,1,3,-+∞;()f x 的单调减区间是.()1,3……………………………………………………… 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0fx =.……………………………………………… 10分所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =-.……………12分所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<.因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--.……………………………………… 14分19．解：（Ⅰ）由2C ：24y x =知2(10)F ，．……………………………………………1分设11()M x y ，，M 在2C 上，因为253MF =，所以1513x +=，得123x =，1y =．………………………………………………………………… 3分 M 在1C 上，且椭圆1C 的半焦距1c =，于是222248193 1.a bb a ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，………………………5分消去2b 并整理得 4293740a a -+=，解得2a =（13a =不合题意，舍去）．故椭圆1C 的方程为22143x y +=． ………………………………………………… 7分（Ⅱ）由12MF MF MN +=知四边形12MFNF 是平行四边形，其中心为坐标原点O ，因为l MN ∥，所以l 与OM 的斜率相同，故l的斜率323k ==．设l的方程为)y x m =-．……………………………………………………… 8分由223412)x y y x m ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，，………………………………………………………………… 9分消去y 并化简得 22916840x mx m -+-=．…………………………………… 10分设11()A x y ，，22()B x y ，，12169mx x +=，212849m x x -=.……………………11分因为OA OB ⊥，所以12120x x y y +=．121212126()()x x y y x x x m x m +=+--2121276()6x x m x x m =-++22841676699m m m m -=⋅-⋅+21(1428)09m =-=．……………… 12分所以m =．此时22(16)49(84)0m m ∆=-⨯->，故所求直线l 的方程为y -y + …………………… 14分 20.解：（I ）由已知，()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ）， ………………2分即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），且211a a -=． ∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．∴1n a n =+．……………………………………………………………………………4分（II ）∵1n a n =+，∴114(1)2n n n n b λ-+=+-⋅，要使n n b b >+1恒成立，∴()()112114412120nn n n n n n n b b λλ-++++-=-+-⋅--⋅>恒成立，∴()11343120n nn λ-+⋅-⋅->恒成立，∴()1112n n λ---<恒成立．……………………………………………………………6分（ⅰ）当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立，…………………………………………7分当且仅当1n =时，12n -有最小值为1，∴1λ<．………………………………………………………………………………9分（ⅱ）当n 为偶数时，即12n λ->-恒成立，………………………………………10分当且仅当2n =时，12n --有最大值2-，∴2λ>-．……………………………………………………………………………12分即21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-．综上所述，存在1λ=-，使得对任意*n ∈N ，都有1n n b b +>．…………………14分。

2017-2018年北京十五中高三(理科)数学3月月考试卷及答案

北京十五中高三数学理科月考试卷考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

全卷满分150分，考试时间为120分钟。

请将第Ⅰ卷的答案填涂在机读卡上，第Ⅱ卷的答案作答在答题纸上。

第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；把答案填涂在机读卡上．．．．．．．．．．） 1. 复数10i12i=- ( )A.42i -B. 42i -+C. 24i +D. 24i -2. 若集合{}21,A m =，{}3,4B =，则“2m =”是“{}4=B A I ”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且2,1==a b ，则向量a 与b 的夹角为 ( )A.6π B. 3π C. 32π D. 65π 4. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()n n S a n *=-∈N ，则5a = ( )A. 16-B. 16C. 31D. 325. 关于两条不同的直线m ,n 与两个不同的平面α,β，下列命题正确的是 ( ) A ．βα//,//n m 且βα//，则n m // B ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则m //n C ．βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥D ．βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //6. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的离心率2e =，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为 ( )A ．2212x y -= B ．22123x y -= C. 2214x y -= D. 221x y -=7. 某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为万件. 从第二年开始，商场对A 种产品征收销售额的%x 的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年增加了70%1%x x ⋅-元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是( )A. 2B. 6.5C. 8.8D. 108. 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时，2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象有两个不同的公共点，则实数a 的值为 ( )A.n ()n ∈ZB.2n ()n ∈ZC. 2n 或124n - ()n ∈ZD. n 或14n -()n ∈Z第Ⅱ卷（非选择题，共30分）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案作答在．．．．．．答题纸上．．．．） 9.若sin 3θ=,(,)2θπ∈π，则tan θ= . 10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .（第10题图）11. 执行如图所示的程序框图，若输入k 的值是4，则输出S 的值是 .（第11题图）12. 设,x y 满足约束条件0, , 230,y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩则目标函数2z x y =-的最大值是；13. 已知函数213(),2,()24log ,02x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩，，函数()()g x f x k =-恰有两个零点，则实数k 的取值范围是 .14. 已知集合{}22(,)4A x y x y =+≤，集合B =(){},,x y y m x m ≥为正常数.若O 为坐标原点，M ，N 为集合A 所表示的平面区域与集合B 所表示的平面区域的边界的交点,则MON ∆的面积S 与m 的关系式为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．正视图侧视图（15）（本小题满分13分）已知函数π()cos()4 f x x=-.（Ⅰ）若3()5fα=，其中π3π,44α<<求πsin4α⎛⎫-⎪⎝⎭的值；（II）设()()2g x f x f xπ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，求函数()g x在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. (16)（本小题满分13分）空气质量指数5.2PM (单位:3/g mμ)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数5.2PM进行监测,获得5.2PM日均浓度指数数据如茎叶图所示:（Ⅰ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；(Ⅱ) 在乙城市15个监测数据中任取2个,设X为空气质量类别为优或良的天数,求X的分布列及数学期望.(17)（本小题满分14分）如图，已知菱形ABCD的边长为6，60BAD∠=o,AC BD O=I.将菱形ABCD沿对角线AC折起，使32BD=，得到三棱锥B ACD-.（Ⅰ）若点M是棱BC的中点，求证://OM平面ABD；（Ⅱ）求二面角A BD O--的余弦值；（Ⅲ）设点N是线段BD上一个动点，试确定N点的位置，使得42CN=，并证明你的结论.3 0 2 2 44 8 9 66 1 5 17 88 2 3 09 8甲城市3 2 0 45 56 47 6 9 78 8 0 79 1 8 0 9乙城市M(18)（本小题满分13分）已知常数a ＞0，函数f (x )＝ln(1＋ax )－2xx ＋2.（Ⅰ）讨论f (x )在区间(0，＋∞)上的单调性；（Ⅱ）若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，且f (x 1)＋f (x 2)＞0，求a 的取值范围．(19)（本小题满分14分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，B 为短轴的端点，△12A BA的面积为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点P 是椭圆C 上异于1A ，2A 的任意一点，直线1A P ，2A P 与直线4x =分别交于M ，N 两点，证明：以MN 为直径的圆与直线2PF 相切于点2F （2F 为椭圆C 的右焦点)．(20)（本小题满分13分）已知集合*12{|(,,,),,1,2,,}(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥N L L ．对于12(,,,)n A a a a =L ，12(,,,)n n B b b b S =∈L ，定义1122(,,,)n n AB b a b a b a =---u u u rL ； 1212(,,,)(,,,)()n n a a a a a a =∈R L L λλλλλ；A 与B 之间的距离为1(,)||ni i i d A B a b ==-∑．（Ⅰ）当5n =时，设(1,2,1,2,5)A =，(2,4,2,1,3)B =，求(,)d A B ；（Ⅱ）证明：若,,n A B C S ∈，且0∃>λ，使AB BC λ=u u u r u u u r，则(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=；（Ⅲ）记20(1,1,,1)I S =∈L ．若A ，20B S ∈，且(,)(,)13d I A d I B ==，求(,)d A B 的最大值．北京十五中高三数学理科月考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.注：若有两空，则第一个空第二个空三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为π3()cos()45f αα=-=，且ππ042α<-<， …………1分所以π4sin 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭. .…………6分. （II ）()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+=ππsin()cos()44x x +⋅+ =1πsin(2)22x +=1cos 22x . .…….…..10分当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 则当0x =时，()g x 的最大值为12；当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ………13分 (16)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为321510=，………2分乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为31155=， ………4分在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为923132=⨯. ………6分(Ⅱ)X 的取值为2,1,0，………8分73)0(21521005===C C C X P ，2110)1(21511015===C C C X P ，212)0(21501025===C C C X P ………10分X 的分布列为：数学期望321221170=⨯+⨯+⨯=EX ………13分(17)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点，所以O 是AC 的中点.又点M 是棱BC 的中点，所以OM 是ABC ∆的中位线，//OM AB . ………………1分因为OM ⊄平面ABD ,AB ⊂平面ABD ,所以//OM 平面ABD .………………4分（Ⅱ）解：由题意，3OB OD ==，因为BD =所以90BOD ∠=o，OB OD ⊥. ………………4分又因为菱形ABCD ，所以OB AC ⊥，OD AC ⊥. 建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.(0,3,0),A D (0,0,3)B .所以((AB AD =-=-u u u r………………6分设平面ABD 的法向量为n =(,,)x y z ，则有0,0AB AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rn n即：30,30z y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 令1x =，则y z ==n=. ………………7分因为,AC OB AC OD ⊥⊥,所以AC ⊥平面BOD . 平面BOD 的法向量与AC 平行，所以平面BOD 的法向量为0(1,0,0)=n . ………………8分000cos ,⋅〈〉===n n n n n n 因为二面角A BD O --是锐角，所以二面角A BD O --的余弦值为7. ……………9分（Ⅲ）解：因为N 是线段BD 上一个动点，设111(,,)N x y z ，BN BD λ=u u u r u u u r，则111(,,3)(0,3,3)x y z λ-=-，所以1110,3,33x y z λλ===-， ……………10分则(0,3,33)N λλ-，,33)CN λλ=-u u u r，由CN ==29920λλ-+=，…………11分解得13λ=或3λ=， ……………12分所以N 点的坐标为(0,2,1)或(0,1,2). ……………14分（也可以答是线段BD 的三等分点，2BN ND =u u u r u u u r 或2BN ND =u u u r u u u r）(18)（本小题满分13分）(1)f ′(x )＝a1＋ax －2（x ＋2）－2x （x ＋2）2＝ax 2＋4（a －1）（1＋ax ）（x ＋2）2.(*)……………2分当a ≥1时，f ′(x )>0，此时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．当0<a <1时，由f ′(x )＝0得x 1＝21－a a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝－21－a a 舍去.当x ∈(0，x 1)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在区间(0，x 1)上单调递减，在区间(x 1，＋∞)上单调递增．……………4分综上所述，当a ≥1时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；当0＜a ＜1时，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，21－a a 上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫21－a a ，＋∞上单调递增．……………6分(2)由(*)式知，当a ≥1时，f ′(x )≥0，此时f (x )不存在极值点，因而要使得f (x )有两个极值点，必有0<a <1.又f (x )的极值点只可能是x 1＝21－a a 和x 2＝－21－aa，且由f (x )的定义可知，x >－1a且x ≠－2，所以－21－a a >－1a ，－21－a a ≠－2，解得a ≠12.此时，由(*)式易知，x 1，x 2分别是f (x )的极小值点和极大值点．而f (x 1)＋f (x 2)＝ln(1＋ax 1)－2x 1x 1＋2＋ln(1＋ax 2)－2x 2x 2＋2＝ln[1＋a (x 1＋x 2)＋a 2x 1x 2]－4x 1x 2＋4（x 1＋x 2）x 1x 2＋2（x 1＋x 2）＋4＝ln(2a －1)2－4（a －1）2a －1＝ln(2a －1)2＋22a －1－2.令2a －1＝x .由0<a <1且a ≠12知，当0<a <12时，－1<x <0；当12<a <1时，0<x ＜1. 记g (x )＝ln x 2＋2x－2.(i)当－1<x <0时，g (x )＝2ln(－x )＋2x －2，所以g ′(x )＝2x －2x 2＝2x －2x2<0，因此，g (x )在区间(－1，0)上单调递减，从而g (x )<g (－1)＝－4<0.故当0<a <12时，f (x 1)＋f (x 2)<0.(ii)当0<x <1时，g (x )＝2ln x ＋2x－2，所以g ′(x )＝2x －2x 2＝2x －2x2<0，因此，g (x )在区间(0，1)上单调递减，从而g (x )>g (1)＝0.故当12<a <1时，f (x 1)＋f (x 2)>0.综上所述，满足条件的a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.……………13分 (19)（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由已知1.2ab c a ⎧=⎪⎨=⎪⎩…2分解得2a =，b =…4分故所求椭圆方程为22143x y +=． ……5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知()12,0A -，()22,0A ，设椭圆右焦点()21,0F ．设()()00,2P x y x≠±，则2203412x y +=．于是直线1A P 方程为 ()0022y y x x =++，令4x =，得0062M yy x =+；所以(M 4,0062y x +)，同理(N 4,0022y x -)． ……7分所以2F M =u u u u r (3,0062y x +)，2F N =u u u u r (3,0022y x -). 所以 22F M F N ⋅=u u u u r u u u u r (3,0062y x +)⋅(3,0022y x -)000062922y y x x =+⨯+-()220022003123129944x y x x -=+=+-- ()20209499904x x -=-=-=-．所以 22F M F N ⊥，点2F 在以MN 为直径的圆上． ……9分设MN 的中点为E ，则(4,E 00204(1)4y x x --)． …………10分又2F E =u u u u r (3,00204(1)4y x x --)，()2001,,F P x y =-u u u u r所以22F E F P ⋅=u u u u r u u u u r (3,00204(1)4y x x --)()()()20000020411,314y x x y x x -⋅-=-+-()()()()()20020123131313104x x x x x x --=-+=---=-．所以 22F E F P ⊥． …………13分因为2F E 是以MN 为直径的圆的半径，E 为圆心，22F E F P ⊥，故以MN 为直径的圆与直线2PF 相切于右焦点． …………14分(20)（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当5n =时，由51(,)||iii d A B a b ==-∑，得 (,)|12||24||12||21||53|7d A B =-+-+-+-+-=，所以 (,)7d A B =． ………………3分（Ⅱ）证明：设12(,,,)n A a a a =L ，12(,,,)n B b b b =L ，12(,,,)n C c c c =L ．因为 0∃>λ，使AB BC λ=u u u r u u u r，所以 0∃>λ，使得 11221122(,,)((,,)n n n n b a b a b a c b c b c b ---=---L L λ,,，所以 0∃>λ，使得 ()i i i i b a c b λ-=-，其中1,2,,i n =L ．所以 i i b a -与(1,2,,)i i c b i n -=L 同为非负数或同为负数． ………………6分所以 11(,)(,)||||n niiiii i d A B d B C a b b c ==+=-+-∑∑1(||||)ni i i i i b a c b ==-+-∑1||(,)ni i i c a d A C ==-=∑． ………………8分（Ⅲ）解法一：201(,)||iii d A B b a ==-∑．设(1,2,,20)i i b a i -=L 中有(20)m m ≤项为非负数，20m -项为负数．不妨设1,2,,i m =L 时0i i b a -≥；1,2,,20i m m =++L 时，0i i b a -<．所以 201(,)||iii d A B b a ==-∑121212201220[()()][()()]m m m m m m b b b a a a a a a b b b ++++=+++-+++++++-+++L L L L因为 (,)(,)13d I A d I B ==，所以202011(1)(1)iii i a b ==-=-∑∑，整理得 202011iii i a b ===∑∑．所以 2012121(,)||2[()]iim m i d A B b a b bb a a a ==-=+++-+++∑L L ．……………10分因为 1212201220()()m m m b b b b b b b b b +++++=+++-+++L L L (1320)(20)113m m ≤+--⨯=+；又 121m a a a m m +++≥⨯=L ，所以 1212(,)2[()]m m d A B b b b a a a =+++-+++L L 2[(13)]26m m ≤+-=．即 (,)26d A B ≤． ……………12分对于 (1,1,,1,14)A =L ，(14,1,1,,1)B =L ，有 A ，20B S ∈，且(,)(,)13d I A d I B ==，(,)26d A B =．综上，(,)d A B 的最大值为26． ……………13分解法二：首先证明如下引理：设,x y ∈R ，则有||||||x y x y +≤+．证明：因为 ||||x x x -≤≤，||||y y y -≤≤，所以 (||||)||||x y x y x y -+≤+≤+，即 ||||||x y x y +≤+．所以 202011(,)|||(1)(1)|iiiii i d A B b a b a ===-=-+-∑∑201(|1||1|)i i i b a =≤-+-∑202011|1||1|26i i i i a b ===-+-=∑∑． ……………11分上式等号成立的条件为1i a =，或1i b =，所以 (,)26d A B ≤． ……………12分对于 (1,1,,1,14)A =L ，(14,1,1,,1)B =L ，有 A ，20B S ∈，且(,)(,)13d I A d I B ==，(,)26d A B =．综上，(,)d A B 的最大值为26． ……………13分。

北京第15中学2018-2019学年高二数学理模拟试题含解析

北京第15中学2018-2019学年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 经过空间任意三点作平面( )A．只有一个B．可作二个C．可作无数多个D．只有一个或有无数多个参考答案：D【考点】平面的基本性质及推论．【专题】空间位置关系与距离．【分析】讨论三点在一条直线上时和三点不在同一条直线上时，过三点的平面能作多少即可．【解答】解：当三点在一条直线上时，过这三点的平面能作无数个；当三点不在同一条直线上时，过这三点的平面有且只有一个；∴过空间的任意三点作平面，只有一个或有无数多个．故选：D．【点评】本题考查了空间中确定平面的条件是什么，解题时应根据平面的基本公理与推理进行解答，是基础题．2. 如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆。

在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A. B. C. D.参考答案：A3. 已知，若，则实数的值为（）A． B． C．D．参考答案：C4. 盒中装有6个大小相同的小球，其中4个黄色的，2个红色的，从中任取3个，若至少有一个是红色的不同取法种数是m，则二项式的展开式中的系数为 ( )A. 3600B.3840C. 5400D.6000参考答案：B5. 已知对任意实数，有，且时，，则时（）A． B．C． D．参考答案：6. p：|x|＞2是q：x＜﹣2的（）条件A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要[参考答案：略7. 点到直线的最大距离（）A.2B.C.D.参考答案：D略8. 已知下列三个命题：①方程的判别式小于或等于零；②矩形的对角线互相垂直且平分；③2是质数，其中真命题是（）A.①和②B.①和③C.②和③D.只有①参考答案：B9. 若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A． B． C． D．参考答案：A10. 设函数，若对于任意∈[0，2]都有成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．.参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴的交点为，点A在抛物线上且，则的面积是．参考答案：8略12. 已知点M（0，﹣1），N（2，3）．如果直线MN垂直于直线ax+2y﹣3=0，那么a等于．参考答案：1【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的斜率．【分析】利用相互垂直的直线的斜率之间关系即可得出．【解答】解：∵点M（0，﹣1），N（2，3），∴k MN==2，∵直线MN垂直于直线ax+2y﹣3=0，∴2×=﹣1，解得a=1．故答案为1．【点评】本题考查了相互垂直的直线的斜率之间关系，属于基础题．13. 已知，根据这些结果，猜想参考答案：略14. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上，且PF2⊥x轴，则F2到直线PF1的距离为．参考答案：略15. 若将函数表示为，其中，，，…，为实数，则＝____________．参考答案：1016. ______.参考答案：10【分析】由指数幂运算法则以及对数运算法则即可得出结果.【详解】原式.故答案为10【点睛】本题主要考查对数运算以及指数幂运算，熟记运算法则即可，属于基础题型. 17. 如果复数（其中是虚数单位）是实数，则实数___________．参考答案：.三、解答题：本大题共5小题，共72分。

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北京十五中高三年级数学理科月考试卷答案2017.12
三、解答题：
15、解：(1) 2f()3sin +acos 7224πππ==，则13+a 72
=，解得a=8. ……3分所以2x f(x)=3sinx+8cos 3sinx+4cosx+42
=，则f(x)=5sin(x+)+4ϕ，且cos φ =35，sin φ =4
5
……5分
所以函数f(x)的最小正周期为2π.……6分 (2)由x ∈[-
2
π
，
2π]，得x+φ∈[-2π+φ，2
π
+φ]，则5sin （x+φ）∈[-3，5]，f(x)∈[1，9] ……12分
则函数f(x)的值域为[1，9] ……13分 16、解：（Ⅰ）因为3
cos 4
C =
，且0C <<π，
所以sin C =．因为1
sin 2
S a b C =
⋅⋅，得1a =．…………………6分
（Ⅱ）由余弦定理，2
2
2
2cos c b a b a C =+-⋅⋅
所以c =
由正弦定理，
sin sin c a C A =，得sin 8
A =
所以cos 8
A =
．
所以sin 22sin cos A A A =⋅=
．…………………13分
17、(I) 连接A C 1交AC 1于点O ，连接EO 因为1ACC A 1为正方形，所以O 为A C 1中点，又E 为CB 中点，所以EO 为1A BC ∆的中位线，所以1//EO A B
………………2分
又EO ⊂平面1AEC ，1A B ⊄平面1AEC 所以1//A B 平面1AEC
………………4分
（Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系所以111(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,2,2),(1,1,0),A A B B C C E 设(0,0,)(02)M m m ≤≤，所以11(2,0,2),(1,1,2)B M m C E =--=--
，
因为11B M C E ⊥，所以110B M C E ⋅=
，解得1m =，所以1AM =………9分（Ⅲ）因为1(1,1,0),(0,2,2)AE AC ==
，
设平面1AEC 的法向量为(,,)n x y z =
，则有1
00AE n AC n ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩ ，得00x y y z +=⎧⎨+=⎩，
令1,y =-则1,1x z ==，所以可以取(1,1,1)n =-
，………………10分
因为AC ⊥平面1ABB A 1,取平面1ABB A 1的法向量为(0,2,0)AC =
………11分
所以cos ,||||
AC n AC n AC n ⋅<>==
平面1AEC 与平面1ABB A 1
14分 18、解：【解析】（1）函数
()f x 的定义域为(,)-∞+∞，
22()2(2)()x x x x f x e ae a e a e a '=--=+-，
①若0a =，则2()x
f x e =，在(,)-∞+∞单调递增.
②若0a >，则由()0f x '=得ln x a =.
当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a
∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增. ③若0a <，则由()0f x '=得ln()2
a x =-.
当(,ln())2a
x ∈-∞-时，()0f x '<；当(l n (
),)2
a x ∈-+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,ln())2a -∞-单调递减，在(ln(),)2
a
-+∞单调递增.
（2）①若0a =，则2()x f x e =，所以()0f x ≥.
②若0a >，则由（1）得，当ln x a =时，()f x 取得最小值，最小值为2(ln )ln f a a a =-.从而当且仅当2
ln 0a a -≥，即1a ≤时，()0f x ≥.
③若0a <，则由（1）得，当l n ()2
a
x =-
时，()f x 取得最小值，最小值为23(ln())[ln()]242a a f a -=--.从而当且仅当23[ln()]042
a a --≥，即3
42e a ≥-时()0f x ≥. 综上，a 的取值范围为3
4
[2e ,1]-.
19、
(1)∵过点(0,1)，∴b ＝1.
∵c a ＝3
2，即a 2－b 2a 2＝34. ∴a ＝2，c ＝ 3.
∴椭圆的方程为x 24
＋y 2
＝1.………………………4分
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
4＋y 2＝1，x ＝my ＋1，
得(my ＋1)2＋4y 2＝4，即(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0.
记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则A ′(x 1，－y 1)，且y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3
m 2＋4.…………8分
特别地，令y 1＝－1，则x 1＝0，m ＝1，y 2＝3
5
.
此时A ′(0,1)，B (85，3
5)，直线A ′B ：x ＋4y －4＝0与x 轴的交点为S (4,0)．
若直线A ′B 与x 轴交于一个定点，则定点只能为S (4,0)．以下证明对于任意的m ，直线A ′B 与x 轴交于定点S (4,0)．事实上，经过点A ′(x 1，－y 1)，B (x 2，y 2)的直线方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x －x 1
x 2－x 1.
令y ＝0，得x ＝x 2－x 1y 2＋y 1y 1＋x 1.只需证明x 2－x 1
y 2＋y 1y 1＋x 1＝4，
即证m (y 2－y 1)y 1
y 2＋y 1＋my 1－3＝0，
即证2my 1y 2－3(y 1＋y 2)＝0.
因为2my 1y 2－3(y 1＋y 2)＝－6m m 2＋4－－6m
m 2＋4＝0，
所以2my 1y 2－3(y 1＋y 2)＝0成立．
这说明，当m 变化时，直线A ′B 与x 轴交于定点S (4,0)．…………………14分
20、解：（I ）当n =7，k =2时，分组方法只能是其中一组3个点，另一组4个点，
于是m (G )=33345C C +=…………4分
（Ⅱ）当n =13，k =3时，由于13=3+3+7=3+4+6=3+5+5=4+4+5
于是m (G )=33333737C C C ++= 或m (G )=33334625C C C ++= 或m (G )=33335521C C C ++=
或m (G )=333
44518C C C ++=
由上可知：所求m (G )的最小值为18．…………8分
（III ）由（Ⅱ）可受到启发：分组越均匀，m (G )的值越小．
设m (G )的最小值为0m ，G 由分组12100,,,X X X 得到，其中()1,2,,100i X i = 为第i 组的点构成的集合．设()1,2,,100i i X x i == ．
则121002010x x x +++= ，且121003
3
3
0x x x m C C C =+++ ．
下面证明：当1100i j ≤≠≤时，有1i j x x -≤
（即m (G )取最小时，任意两组的点的个数之差不超过1）．
事实上，若存在1100i j ≤≠≤，使得2i j x x -≥，不妨设i j x x >．
则作点集P 的另一种分组12100,,,Y Y Y ，其中()1,2,,100i Y i = 为第i 组的点构成的集
合．使得()()()
,1
1k
k k i j
x k i k j y Y x k i x k j ⎧≠≠⎪
==-=⎨⎪+=⎩．于是，对于由分组12100,,,Y Y Y 得到的图案G '，有()121003
3
3
y y y m G C C C '=+++ ．从而()0m G m '-
3333
i j i j y y x x C C C C =+-- 3333
11i j i j
x x x x C C C C -+=+-- ()
332323
111i j j i i j
x x x x x x C C C C C C ---=++-+- 22
10j
i x x C C -=-<()1j i x x <- ∴()0m G m '<，这与0m 的最小性矛盾．故：对任何1100i j ≤≠≤，都有1i j x x -≤．又2010=100⨯20+10=90⨯20+10⨯21，
∴m (G )的最小值33
020219010115900m C C =⨯+⨯=．…………13分。

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