2016年27届亚太杯决赛五年级解析
2015亚太数学竞赛第一回合
5 4 6
7 3 8 9 2 1
【第 20 题】 如图 ABCD 是正方形，点 E 和 F 分别是 AB 、 BC 边上的中点。 DE 和 DF 交对角线 AC 于点 M 、 N 。如 果正方形 ABCD 的面积是 48cm 2 ，试求五边形 EBFNM 的面积。
A M E N D
B
F
C
【第 21 题】 四支足球队参加单循环赛，每两队之间赛一场。每场胜队得 3 分，负队得 0 分，平局两队各得 1 分。已知全 部比赛结束后，四个队的积分刚好是四个连续正整数，求这四个数的乘积。
【第 11 题】 如图所示是将一个多面体全部展开后得到的平面图。请问这个多面体有多少条棱？
【第 12 题】 已知 229 是一个由九个不同数字组成的九位数。请问哪个数字没有出现？
【第 13 题】 某班共有学生 52 人，其中 30 人会游泳， 35 人会骑自行车， 42 人会打乒乓球。请问这个班至少有多少名学 生这三项运动都会？
Ⅱ
22 ） 7
Ⅰ 28
14
14
【第 17 题】
请问：在一个 6 6 的格子图中，共有多少个形如
的图形？
【第 18 题】 两个自然数相除，商是 15 ，余数是 5 。已知被除数、除数、商和余数之和是 2169 。求被除数。
【第 19 题】 现有两种腰长为 1 的等腰三角形，一种是顶角为 30 的锐角等腰三角形，另一种是顶角为 90 的直角等腰三 角形。依下图所示，现将这两种三角形绕着一个点，以顺时针方向摆放，规则如下：第 1 第 2 个是锐角等 腰三角形，第 3 个是直角三角形；第 4 第 5 个是锐角三角形，第 6 个是直角三角形，如此重复。如果第 n 个 三角形刚好和第 1 个三角形完全重合，试求 n 的最小值。
2014亚太杯五年级决赛答案
22、周长为36的三角形的三条边长均为合数，则这样的三角形有 个。
【分析】最长边应在12到17之间 由于要求三边长均为合数 一、最长边为16 此时，另两边之和为20，可以为（16、4）（14、6）（12、8）（10、10）共有4 种 二、最长边为15 此时，另两边之和为21，可以为（15、6）（12、9）共有2种 三、最长边为14 此时，另两边之和为22，可以为（14、8）（12、10）共有2种 四、最长边为12 此时，另两边之和为24，可以为（12、12）共有1种 综上，共有9种。
23、如图，过点D作DO平分∠ADC，过点B作BO平分∠ABC，BO与DO交于点
O，已知∠A＝35°，∠O＝42°。则∠C＝ 。
C
D
O
A
B
【分析】如下图，连接BD
由三角形内角和为180°，有
CDB DBC C 180 2ODA ADB DBC C 180 ABD ADB A 180 2OBC CBD ADB A 180 ODB OBD O 180
25届亚太杯上海赛区决赛五年级考题
1、计算 (27 0.92 0.85) (231.7 1.8) = 。 【分析】原式 =(0.9 30 23 0.02 21.7 0.5) (231.7 0.9 2)=0.3
2、十进制中697改写成七进制为（2）014 7 ， 今天是2014年2月23日，计算： (2014)7 (223)7 = 。（结果用七进制表示） 【分析】原式 =(2240）7
中间三个数的平均数为22。
4、如图，正方形ABCD的边长为10，O为其中心，OE⊥OF，则阴影部分面积
为。
A
D
F O
B
E
C
【分析】如下图，作OG⊥BC于G，OH⊥CD于H，由于O为中心，所以G、H分别为BC、
五年级数学数学竞赛试题答案及解析
五年级数学数学竞赛试题答案及解析1.我国首艘航母辽宁舰的弦号是16，这个数共有个因数．【答案】5【解析】分析：找一个数的因数，可以一对一对的找，把16写成两个数的乘积，那么每一个乘积中的因数都是16的因数，然后从小到大依次写出即可．解答：因为16=1×16=2×8=4×4，所以这个数共有5个因数：1、2、4、8、16．【考点】找一个数的因数的方法．2.同时是2、 3、 5的倍数的数是（）A、75B、18C、120【答案】C【解析】同时是2和5的倍数特征是：个位是0。
只有120符合条件，1+2+0=3,3是3的倍数，120同时也是3的倍数，故本题选C。
3.在15、18、25、30、19中，2的倍数有，5的倍数有，3的倍数有，既是2、5又是3的倍数有．【答案】18、30；15、25、30；15、18、30；30．【解析】根据2、3、5的倍数特征分析解答；①个位上是0、2、4、6、8的数就是2的倍数；②个位上是0或5的数就是5的倍数；③各个数位上的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；④个位上是0，各个数位上的和是3的倍数，这样的数是2、5、3的倍数．解：在15、18、25、30、19中，2的倍数有 18、30；5的倍数有 15、25、30；3的倍数有 15、18、30；既是2、5 又是3的倍数有：30．故答案为：18、30；15、25、30；15、18、30；30．【点评】本题主要考查2、3、5的倍数特征，注意牢固掌握2、3、5的倍数特征，灵活运用．4.按要求填数．627 97 100 0 1 41 35 4 3 2奇数：．偶数：．质数：．合数：．【答案】627，97，1，41，35，3；100，0，4，2；97，41，3，2；627，100，35，4．【解析】根据质数与合数、奇数与偶数的意义，是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；由此解答．解：奇数：627，97，1，41，35，3．偶数：100，0，4，2．质数：97，41，3，2．合数：627，100，35，4．故答案为：627，97，1，41，35，3；100，0，4，2；97，41，3，2；627，100，35，4．【点评】解答本题主要明确自然数，合数、质数、奇数、偶数的概念．5.五年级（1）班学生进行队列表演，每行12人或16人都正好整行，已知这个班的学生不到50人，这个班有多少人？【答案】48人．【解析】由题意得：要求这个班有多少人，因为这个班的学生不到50人，所以也就是求12和16的最小公倍数是多少，根据求两个数的最小公倍数的方法进行解答即可．解：12=2×2×3，16=2×2×2×2，因为这个班的学生不到50人，所以12和16的最小公倍数为：2×2×3×2×2=48；答：这个班有48人．【点评】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．6.如果b是a的2倍（a≠0），那么a、b的最大公因数是a，最小公倍数是b．．（判断对错）【答案】×【解析】a、b必须是不为0的自然数，b是a的整数倍，求两个数为倍数关系时的最大公约数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数；最小公倍数是较大的数；由此解答问题即可．解：由题意得，b÷a=2（a≠0），a、b如果是0.2和0.4不是自然数，则不存在a和b的最大公因数是a，最小公倍数是b．故答案为：错误．【点评】此题主要考查求两个部位0的自然数数为倍数关系时的最大公约数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数；最小公倍数是较大的数．7.四（1）班的优秀学生进行照相，4人一组或5人一组都正好分完，这批学生至少有多少人？【答案】20人．【解析】由“4人一组或5人一组都正好分完，”可知这批学生人数既是4的倍数又是5的倍数，即求4和5的最小公倍数，据此解答即可．解：4和5的最小公倍数为：4×5=20答：这批学生至少有20人．【点评】此题主要考查最小公倍数的应用：是互质数的两个数，最小公倍数即这两个数的乘积．8.两个数的（）的个数是无限的。
小晨精品2016第27届亚太初赛五年级详解1【XCJP】
2016 年第27 届亚太小学奥林匹克（上海赛区初赛）五年级A卷90 分钟（总分：150 分）2015 年12 月21 日下午18: 30 20 :00（注意事项）1 尽量解答所有问题。
2 不准使用数学用表或计算器。
3 答案请另填写在所提供的第一回合的作答卷上。
4 只有正确答案才能得分。
【第1 题】计算：91.5 19.8 80.2 ________ 。
【分析与解】计算，加法结合律。
91.5 19.8 80.2 91.5 19.8 80.2 91.5 100 191.5【第2 题】计算：若A* B表示A3B A B，那么8*9 ________ 。
【分析与解】定义新运算。
8*9 8 398 9595【第3 题】某班学生手中分别拿红、黄两种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34 人，手中有黄旗的共有26 人，手中有红、黄两种小旗的有9 人，那么这个班共有_______ 人。
（每个学生手上都拿着小旗）【分析与解】容斥原理。
由容斥原理，这个班共有34 26 9 51人。
如图，每个小方格都是边长为1的正方形，图中共有_______ 个不同的正方形。
【分析与解】图形计数。
将原图右上角补一个小方格，使之变成5 3 的方格网。
11的小方格有5 3 15 个；2 2 的小方格有4 2 8个；3 3 的小方格有31 3 个；其中包含右上角阴影小方格有3个（11的小方格、2 2 的小方格、3 3 的小方格各1个）；故原图中共有15 8 3 3 23个不同的正方形。
从一个正方形的木板上锯下宽1m的一个长方形木条后，剩下的长方形面积为6m2 ，那么锯下的长方形木条面积是_______ 平方米。
1m6m2【分析与解】几何，面积。
设原来正方形的边长为x米（x1）；则剩下的长方形的长为x米、宽为x1米；故x x1 6 ；经尝试，当x3时，方程成立；当x1时，x越大，x x1越大；故x 6 是方程的唯一正整数解。
锯下的长方形木条面积是31 3 平方米。
五年级-亚太杯-2016-决赛试卷
4
亚 太 小 学 数 学 奥 林 匹 克 （上海赛区决赛） 五年级 2 小 时 （总 分： 150 分） 2016 年 2 月 21 日 下 午 15：30 – 17：30
（注 意 事 项） 1 尽 量 解 答 所 2 不 准 使 用 数 3 答 案 请 另 填 4 只 有 正 确 答
有 学 写 案
问 用 在 才
333个 3
三位数之和是
。 个。 。
17、1，2，…，2016 中，能被 7 整除且被 5 除余 2 的数共有
18、 把 2016 拆成 19 个不同的自然数的和,其中最大数与最小数的差的最小值是
19、 如图，四边形 ABCD 中, AB AD, BC 16, BAD 90, ABC BCD 75 ，则四边 形 ABCD 的面积是 。
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
厘米。
2016 年第 27 届亚太小学数学奥林匹克邀请赛上海赛区决赛（五年级）
24、 如图， 已知 AB AC 3, BC CD, BAC 45, BCD 90 则 AD2 = 25、 。
将正整数排成下图形式 第一行 1 第二行 2 3 第三行 4 5 6 第四行 7 8 9 10 第五行 11 12 13 14 15 …… … … … … … … 三个数 A，B，C 称为一组三角形数，若 A 为第 i 行中的数，B,C 为第 i＋1 行中的两 个相邻的数,且 A 在 B,C 中间正上方的位置。 若有一组三角形数满足A＋B＋C＝2410， 则A是 。
10、 4 堆小球共有 2016 颗，如果从每堆中取走相同数目的小球以后，第一堆全部取完，第 二堆还剩下 20 颗小球，第三堆剩下的小球数是第四堆剩下的小球数的 3 倍，那么第四 堆原来有 颗小球。 11、 一次考试，男生的平均分比总平均分低 2 分，女生的平均分比总平均分高 3 分.男生的 人。 总分数是 2106 分，女生的总分数是 1494 分，则男生有 12、 1 ， 2 ， 3 ，…， 2016 中，最多能取出 不同的数的和都不是 7 的倍数。 个数，使得取出的这些数中任意两个
五年级数学杯赛答案
答案应为：441.0
注：441 为错误答案，保留一位小数概念不清
10. 1 2 解析： 这个游戏的题的策略是奇数性的利用。只要取成 3 号格和 1 号格里的球数 相同即可确保获胜。 所以，要确保获胜，先手必须将 1 号格中的 2 个小球移入 0 号格。后手无论怎么移，都会导致这两格球数不一样，先手只须保持两格一样 即可最后获胜。 11. 2 80
8. 3 解析： 这个图形的外围 5 个顶点，至少需要三种颜色才能做到有公共线段的两点 颜色不同；所以，至少需要三种颜色，用三种颜色涂各点可得如上图，所以，皮 特森图的色数为 3。 9. 36
2
曹老师奥数 15195810017
竞赛真题集
解析；令一个小正方形的面积为 1，则最小本原格点三角形的面积为 0.5 题目中的区域面积为 18，所以，最多可以划分为 18÷0.5=36 个本原格点三角 形 最少可以划分为 5 个本原格点三角形。最少的情况如下图：
4. 36 解析：根据题意分 2 种情况讨论， ①若小张或小赵入选，则有选法 C21C21A33=24； ②若小张、小赵都入选，则有选法 A2 A3 =12， 共有选法 12+24=36 种， 5. 10
25 8 =8， =2,8 2=10 3 解析： 3
曹老师奥数 15195810017
竞赛真题集
杯赛试题集参考答案
1.2016 年第十四届“走进美妙的数学花园”青少年展示交流活动--趣味数学解 题技能展示大赛初赛.................................................2 2. 2015 年第十三届“走进美妙的数学花园”青少年展示交流活动--趣味数学解 题技能展示大赛初赛................................................5 3. 2014 年第十二届“走进美妙的数学花园”青少年展示交流活动--趣味数学解 题技能展示大赛初赛.................................................9 4.第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题（小学高年级组）........10 5. 第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题（小学高年级组）.......13 6. 第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（小学高年级组）.......16 7. 第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题 （小学高年级组） ..........20 8. 第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛决题 （小学高年级组） ..........24 9. 第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（小学高年级组）.........27 10. 2016 年第十四届小学“希望杯”全国数学邀请赛第一试.............. 30 11. 2016 年第十四届小学“希望杯”全国数学邀请赛第二试.............. 33 12. 2015 年第十三届小学“希望杯”全国数学邀请赛第一试.............. 35 13. 2015 年第十三届小学“希望杯”全国数学邀请赛第二试.............. 40 14. 2014 年第十二届小学“希望杯”全国数学邀请赛第一试.............. 42 15. 2014 年第十二届小学“希望杯”全国数学邀请赛第二试.............. 45 16. 2013 年第十一届小学“希望杯”全国数学邀请赛第一试.............. 49 17. 2013 年第十一届小学“希望杯”全国数学邀请赛第二试.............. 46 18. 2016 年“数学花园探秘”科普活动 五年级组初试试卷 A............. 49 19. 2016 年“数学花园探秘”科普活动 五年级组决试试卷 A............. 54 19. 2016 年书人教育春季五年级数学期中测试卷.........................54 20. 2015 年书人教育春季五年级数学期中测试卷.........................59 21. 2014 年书人教育春季五年级数学期中测试卷.........................64 22. 2014 年书人教育春季五年级数学期末测试卷.........................68 23. 2016 年书人教育春季五年级数学期末测试卷.........................73 24. 2015 年书人教育春季五年级数学期末测试卷.........................76 25. 参考答案
小学数学第27届亚太初赛四年级A卷试题
2016年第27届亚太小学奥林匹克（上海赛区初赛）四年级A 卷90分钟（总分：150分）2015年12月21日下午18:3020:00-（注意事项）1 尽量解答所有问题。
2 不准使用数学用表或计算器。
3 答案请另填写在所提供的第一回合的作答卷上。
4 只有正确答案才能得分。
【第1题】47258________⨯⨯=。
【第2题】对于任何两个数a 和b ，定义新预案算“⊕”为：1a b a b ⊕=⨯-，那么()532________⊕⊕=。
【第3题】一队学生站成19行19列的方阵，去掉5行5列，变成一个14行14列的方阵，要减少________学生。
【第4题】如图，每个小方格都是边长为1的正方形，图中有________个含有阴影小方格的正方形。
如图，正方形ABCD 的边长是4厘米，现在把它分成四个小长方形，长方形AEOG 与长方形FCHO 这2个小长方形的周长之和________厘米。
O H G FE DCB A【第6题】小马虎在做一道加法题时，把一个加数十位上的6与个位的9看反了，结果和是174，那么正确的结果应该是________。
【第7题】小明家的小狗喝水时间很规律，每隔5分钟喝一次水，第一次喝水的时间是8点整，当小狗第20次喝水时，时间是________。
【第8题】若干名学生参加跳远和游泳比赛，其中跳远比赛获奖的有16人，游泳比赛获奖的20人，两项比赛都获奖的有7人。
那么有________名学生获奖。
【第9题】201519表示2015个19连乘，那么所得的积的末位数字是________。
【第10题】3572015++++ 的结果________。
（填写“奇数”或“偶数”）十进制()1023在六进制中表示为()635，()()()661013512________+=。
【第12题】用加减乘除四则运算及添括号将1、2、7、7四个数列式计算得到24。
（每个数都要用一次且只能用一次）__________________________________________________。
五年级数学竞赛教师解析版 内部培训资料 含答案 亚太杯全国邀请赛五年级培训资料
知识提要第一讲速算与巧算8．要熟记2x5=10，4x25=100，8x125=1000，一个数乘10，就是在这个数后面加上一个零；乘100，就是在这个在每次数学竞赛中．都有一定数量的计算题，计算题一般可以分为两类：一类是基本题，主要考查同学们对基本知识的理解和掌握的程度；另一类则是综合性较强和灵活性较大的题目．主要是考查同学们灵活、综合应用知识的能力，这就要求同学们必须要有扎实的基础知识和熟练的技能技巧．简便运算主要是应用加法交换律、结合律；减法的性质；一个数减去几个数的和，可以从被减数中依次减去各个减数；一个数连续减去几个数，可以从被减数里一次减去各个减数的和；乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律：除法的性质等进行简便运算．技巧运算主要根据试题的特点，寻找某种规律或应用某些公式把算式变形，从而达到运算简便的目的．常用方法主要有以下几种方法：1．交换法：看哪几个数能凑成整十、整百，就交换它们的位置，把它们凑在一起计算，交换位置时要连同它前面的运算符号一起交换．2．拆数法：就是把一个数拆成两个数或几个数，使分拆后的数能和其他数凑成整十、整百．3．结合法：就是把能凑成整十、整百的数用括号结合在一起，使计算简便．4．去括号法：如果括号前面是加号，去括号后，原数的加、减符号都不变；如果括号前面是减号，去括号后，原来括号里的加号要变为减号，原来的减号要变为加号．5．添括号法：如果需要改变运算顺序，就要添加括号．如果括号前面是加号，括到括号里面的各个数都不用改变符号．如果括号前面是减号，括到括号里面的数原来的加号要变成减号，原来是减号要变成加号．6．基准数法：如果n个数都接近某个数，就把原来的，n个数都看作是这个数．再比较．多加了几要减去几，少加了几，再加上几；多减了几，就加上几，少减了几就减去几．计算结果不变．7．利用等差数列求和法进行简算．数后面加上两个零；乘1000，就是在这个数后面加上三个零．基本技巧一、基本运算律l．加法交换律：a+b=b+a；2．加法结合律：（a+b)+c=a+(b+c)；3．减法的性质：a-b-c=a-(b+c)；4．乘法交换律：axb=bxa；5．乘法结合律：axbxc=(axb)×c=ax(b×c)；6．乘法分配律：ax(b+c)=axb+axc，ax(b-c)=axb-axc；7．除法的性质：a÷b÷c=a÷(b×c)．二、数列及特殊公式1．等差数列(1)通项公式：a=a+（n-1）d；n1(2)求项数公式：n=+1；(3)求和公式：S=．2．等比数列：a=a×q n-1；Sn=(q≠1)．n13．1+2+3+…+n=×n×(n+1)；12+22+32+…+n2=×n×(n+1)×(2n+1)．4．1+2+3+…+n+…+3+2+1=n2．三、常用的运算性质(1)积不变的性质：若一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数缩小（或扩大）相同的倍数，则积不变．(2)商不变的性质：被除数和除数同时乘以（或除以）一个相同的数（0除外），商不变．四、一些特殊计算的解题技巧(1)一个两位数乘以11技巧：在这个两位数的数字之间，写这个两位数的数字之和，如果和满十，要向前一位进一，个位仍写在两数中间，如：81x11=891，73x11=8038+17+3(2)一个三位数乘以101技巧：先将三位数加上它的百位数，再自左至右写下这个三位数的后两位数字．如：436x101=44036，348x101=35148．436+4348+3典例精讲例1、计算：321x250x125x32．分析：可将32分解成4x8后，再根据乘法的交换律和结合律进行简便运算．解：原式=321x250x125x8x4=321x(250x4)x(125x8)=321xl000xl000=321000000．例2、计算:2006+200．6+20．06+2．006+994+99．4+9．94+0．994．分析1：通过审题就能够发现2006和994可以凑整为3000，200．6和99．4可以凑整为300，其余各项依次类推．解法1：原式=(2006+994)+(200．6+99．4)+(20．06+9．94)+(2．006+0．994)=3000+300+30+3=333 3．分析2：通过观察，可以发现式子的前半部分和后半部分分别有整数公因数2006和994．解法2：原式=2006×(1+0．1+0．01+0．001)+994×(1+0．1+0．01+0．001)=(2006+994)x1．111=3333．例3、计算:3．56x32+2．5x35．6+0．356x430．分析：可根据“积不变的性质”将算式进行改写：原式=35．6x3．2+2．5x35．6+35．6x4．3．这样每一个乘法算式中都含有相同因数35．6，可用乘法分配律进行合并．解：原式=35．6x3．2+2．5x35．6+35．6x4．3=35．6x(3．2+2．5+4．3)=35．6xl0=356．例4、计算：1995×73+×730+153．3．分析：“73”好像是关键，如果可以提取73．那不是很简单吗？解：原式=1995．5x73+0．24x73x10+73x2．1=73x(1995．5+2．4+2．1)=73x2000=146000．注：(1)提取公因数的两大特征：一是要有“公因数”，“疑似”公因数也不错，我们可以借助下面两招对它加工．二是要有互补数．(2)axb=（ax10）×（），axbxc=ax(bxc)．(3)变招xc=xa例5、计算：（0．523x3+0．227x3）×11-×11．分析：(1)本题中含有几种运算，先算什么？(2)括号内的式子有何特点，能提公因数吗？其余的呢？你能试试吗？相信你能行．解：原式=[3×(0．523+0．227)]x11-×11=(3x0．75)×11-x11=(×)×11-x11=×11-x11=11×=22．例6、计算：1064÷28+1736÷28．分析：1064和1736都除以28．可以将两数合并后再除以28．解：原式=(1064+1736)÷28=2800÷28=100．第二讲巧找规律知识提要1．按一定规律排列的一串数．通常称为数列，从数列中找规律，常见的有三种情况：一种情况是根据前后两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；另一种情况是根据相隔两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；第三种是分群数列．2．关于一些数、图形和事物的变化是循环出现的，这种特殊的规律问题称为周期问题．解答这类问题，关键掌握以下几点：(1)数、图形或事物的变化是不是具有周期性；(2)每个周期的长度是多少；(3)每个周期内变化的次序；(4)解答此类问题，用问句中的数据除以周期的长度，并把所得余数同一个周期内某种状态相对应．常用规律1．两个整数和与积的尾数分别等于这两个整数尾数的和与积的尾数．2．求若干个整数连乘的积的末尾有多少个零．要研究这些整数中含有多少个因数2和多少个因数5，一般求较少的一个即可．3．对分数串问题要注意观察是不是分群数列；观察分子、分母的变化，观察是不是呈等差或等比数列的形式出现．4．研究循环小数中重复出现的周期现象．首先找出变化周期．确定循环小数的循环节长度及每一循环节中的数字结构，找出规律，灵活解答问题．5．整数计算的个位数字有一些常见的规律：(1)一个数的平方，其个位数字只能是0、1、4、5、6、9；(2)设a是任意整数，a5与a的个位数字相同；(3)一个整数，如果它的个位数字是1，5或6，那么这个整数的平方的个位数字也是1，5或6；(4)两个连续自然数的乘积的个位数字只能是0，2，6．典例精讲例1、在下列图中填出所缺的数．(1)(2)分析：图形有趣吧！仔细观察两组图像什么？哈！(1)题像不像张衡发明的地震仪，就是癞蛤蟆少了几只，你发现大圆中的数与四周小圆中数的区别了吗？它们之间有什么样的关系呢？先看一下一个图形中各数之间的关系，再看其他图形中的数是否也符合这个关系，记住几个图形中的关系要一致！(2)题的“拖拉机”怎么样，后轮（圆）与“拖拉机”之间留有空隙，这给你什么启示？设想一下，找出规律．解：(1)分析图形中数据可知：(5+4+6+2)x2=34，(3+4+6+7)x2=40，(5+7+3+4)x2=38，(1+3+5+7)x2=32．规律：4个小圆内数的和等于大圆内数的一半．则最后一个图形中大圆中的数为：(8+4+2+6)×2=40．(2)由图中数据可知：(3-1)x6=12，(5-2)x2=6，（6-3）×7=21．. .规律：两个三角形中的数之差（大数减小数）与正方形中 的数相乘，结果应等于圆内的数．则空白处应填(7-3)x4=16．例 2、一串数排成一行，前两个数都是 1．从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，即 1，1，2，3，5，8，13，…，这串数的前 2009 个数中，共有 5 的倍数多少个？分析：(1)这串数按要求写下去会发现什么规律呢？(2)问“5 的倍数”，你有什么想法？会找到规律吗？(3)把这串数按要求多写出一些，除以 5 的余数看看吧！ 你会发现奇迹的！解：在此数列中，除以 5 的余数为 1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3， 0，…，可见，依上面的顺序余数的排列规律是 20 个为一周期， 每 20 个数中是 5 的倍数的有 4 个．2009-20=100．．．9．即这串数的前 2009 个数中．5 的倍数共有 4xl00+1=401（个）．例 3、下面的算式是按某种规律排列的：1+1，2+3，3+5，4+7，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17，…，问：(1)第 2009 个算式是()+()；(2)第几个算式的和是 3000．分析：观察每一个式子有什么特点？有几个加数，每一个 加数有规律吗？沿着这个思路，你也会发现新大陆！解：(1)第 1 个加数依次为 1，2，3，4，1，2，3，4，…，每 4 个数循环一次，重复出现．因为 20094 商 502 余 1，所 以第 2009 个算式中的第 1 个加数是 1．这些算式中的第 2 个加数依次是 1，3，5，7，9，…，形若 3+x=3000，则 x=2997．根据等差数列的项数公式， 得(2997-l)÷2+1=1499，这说明 2997 是等差数列 1，3，5，7， 9，…中的第 1499 个数，又 1499-4=374……3，说明第 1499 个算式中的第 1 个加数是 3，所以，第 1499 个算式为3+2997=3000．因此，第 1499 个算式的和是 3000．例 4、有一串数按下面的规律排列：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，…问从左边第一个数起，数 100 个数， 这 100 个数的和是多少？分析：观察这组数，我们发现这些数的排列有这样的规律：把它们三个三个地分组(1，2，3)、(2，3，4)、(3，4，5)、 (4，5，6)、…，每一组数都是由 3 个连续自然数组成，它们 的和等于中间一个数的 3 倍．100÷3=33……1，也就是说，第100 个数在第 34 组中，并且是 34，求前 100 个数的和，就是 求前 33 组数的和与 34 的和是多少．解：由题意，得 2x3+3x3+4x3+…+34x3+34=3x(2+3+……+34)+34=3× ×(2+34)×(34-2+1)+34=3× ×36x33+34=1782+34=1816．例 5、我国古代数学家祖冲之在数学上的重大贡献是推算 出圆周率 π 的值在 3．1415926 与 3．1415927 之间，比欧洲早 1000 多年， 是 π 的近似值， 化为小数后小数点后的第 2010 位上的数字是多少？分析： 是纯循环小数，循环节是多少？解： =3．142857，循环节的长度为 6．成了首项为 1，公差为 2 的等差数列．根据等差数列的通项公 式可知第 2009 个算式的第 2 个加数是：1+(2009-1)x2=1+4016=4017．即第 2009 个算式是 1+4017．(2)由于“和”3000 是偶数，根据这些算式所得和的排列规 律可知，只有 1+x=3000 或 3+x=3000．其中 x 是数列 1，3，5，7，9，…中的某个数．下面用试验法求出 x 值．若 1+x=3000．则 x=2999，根据等差数列的项数公式，得(2999-1)÷2+1=1500，这说明 2999 是数列 1，3，5，7，9，…中的第 1500 个数，而 1500-4=375．这说明第 1500 个 算式中的第一个加数是 4．与假设 1+x=3000 矛盾．所以 x≠2999．2010÷6=335．因为循环节的第 6 个数字是 7．所以为小数后的第 2010 位上的数字是 7．化□□x□13□ □□x □□错误!□□ □知识提要第三讲定义新运算例 3、有一个数学运算符号“#”，使下列算式成立： 3#4=2，5#3=7，3#5=1，8#2=14．求 9#3=?18#24=?学数学离不开运算，运算可以说是一种规定，一种对 应．在小学数学竞赛中，常出现一些按新定义进行运算的问 题．解这类题虽不需要新的数学知识．但必须仔细阅读题目， 认真理解新运算的意义，严格按新规定进行运算，这样才能求 得正确的结果．什么是定义新运算呢？就是用一种特定的符号来表示特定分析：解这类题目的关键是弄清新运算的实质．通过给出 的几个算式，你有什么新发现吗？要认真啊！解：由已知算式可知：3#4=3x2-4=2，5#3=5x2-3=7，3#5=3x2-5=1，8#2=8x2-2=14．故我们发现 A#B=2A-B ．因此：9#3=2x9-3=15，18#24=2x18-24=12．的运算，在特殊的场合下有特殊的作用，它们与我们常用的“+、-、×、÷”这些运算有可能不相同．运算时要严格按照新 运算的定义进行代换，再进行计算，具体程序如下：5 例 4、如果 6△2=6+7=13，△4 3=4+5+6=15，△4=5+6+7+8=26，而 6△2+4△3+5△4=(6+7)+(4+5+6)1．代换：即按照定义符号的运算方式方法进行代换，注 +(5+6+7+8)=13+15+26=54．意此程序不能轻易改变原有的运算顺序．那么，1△50+2△50+3△50+…+50△50 的值是多少？2．计算：对代换后的算式准确地计算其结果．典例精讲例 1、对于任意两个数 a 、b ，定义运算“※”：a ※ b=2a+3b ．分析：由题中几例可知，△a 6 表示 6 个连续自然数的和 且 a 是最小的一个，解：△l 50=1+2+3+4+…+48+49+50==1275，计算：5※6 的值．分析：根据题中的定义运算“※”知，a ※b=2a+3b ．要求2△50=2+3+4+5+…+50+515※6，即当 a=5，b=6 时 a ※b 的值，把给出的数值代入并计 算可得．= =1325，解：5※6=2x5+3x6=10+18=28．3 △50=3+4+5+…+51+52例 2、假设一种运算符号 ， y 表示把 x 和 y 加起来被4 除．= =1375，…………(1)求 17 的值：(2)求 2 （3 5）的值，50 △50=50+51+52+---+98+99分析：明确 y=(x+y)÷4．解：(1)13 17=(13+17)÷430÷4=7．5．(2)25)=2 [(3+5)÷4]= =3725．所以 1△50+2△50+3△50+…+50△50=1275+1325+1375+…+3725（ ）=2 (8÷4)=2 2=(2+2)÷4=1．=第四讲数字谜=125000知识提要在一个数学算式里，缺少一些数字，或用别的符号字母、文字来代替算式中的某些数字．要我们求出算式中缺少的数字或被替代的数字是什么？我们称它为数字谜．数字谜是与数字有关的一种有趣的数学问题，一般情况下，相同的汉字、字母或符号代表相同的数字，不同的汉字、字母、符号代表不同的数字，解答这类问题一般分三步：审清题意，寻找突破口，试验解答．（1)审清题意．分析算式中隐含的数量关系及数的性质．（2)选择题中有特征的部分作为解题的突破口．先做一些局部推理．（3)在确定所求的数字时，可采用试验法，为了减少试验的次数，要掌握估算的方法，对数字进行合理的估计，逐步排除一些取值的可能，缩小取值范围，尽快得到准确答案．典例精讲例1、在图1的算式中，汉字“河、北、数、学、素、质、杯”代表1、2、3、4、5、6、7、8、9中的7个数字．不同的汉字代表不同的数字，使得加法算式成立．“河、北、数、学、素、质、杯”所代表的7个数字的和等于多少？分析：(1)你对l，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字很熟悉是吗？那你了解它们吗？知道它们中任意两个数字之和的最大值和最小值吗？(2)“2009”特殊吧！仔细研究它．解：根据加法法则：“河”=1．“学”+“杯”9．“数”+“质”=10．“北”+“素”=9．所以“河”+“北”+“数”+“学”+“素”+“质”+“杯”=1+9+10+9=29．例2、在图2的算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字表示相同的数字，如果巧+解+数+字+谜=30．求出“数字谜”所代表的三位数是什么？分析：(1)“金字塔”式竖式，你找到突破口了吗？(2)个位上的“谜”字擦亮你的眼睛了吗？它是几？(3)沿着这个思路向下推理，“金字塔”你也能征服．解：(1)由个位五个“谜”字的和的末位数字还是“谜”，可知谜字只可能是0或5，如果谜=0，那么字=0，与题中条件不符，所以谜=5．(2)五个“谜”的和为25，向十位进2．又因为四个“字”的和加上2的末位数字还是“字”，所以字=6．(3)四个“字”的和加上2等于26，向百位进2，则满足条件的“数”可能是4或9．如果数=4，向千位进1，则解=9．故解+数+字+谜=9+4+6+5=24，又因为巧+解+数+字+谜=30，所以巧=30-24=6．则“巧”和“字”相等，不符合条件．故数只能为9．向千位进2，那么解=8，巧=30-8-9-6-5=2．符合题意．综上所述，“数字谜”所代表的三位数是965．例3、图3的残缺算式中只知道三个“4”．那么补全后它的乘积是．分析：为了好说话，让我们用字母表示数，如图4所示．A中4出现在最高位，可以利用此突破，好好想想！解：如图4，(1)由cx4a=A，A百位数为4，可知c=8或9，若c=8，则c×a必须向前进8，不可能，所以c=9．(2)c=9时，ax9至少向前进4，即ax9≥40，知a≥5，故a=5，6，7，8，9．(3)对a=5，6，7，8，9进行逐一验算．若a=5，则A=405，f=4，但5xb末位数字不可能为4，排除．若a=6，则A=414，f=3，但6xb末位数字不可能为3，排除．若a=7，则A=423，f=2，7xb末位数字为2，则b=6，所以乘积为3243．若a=8，则A=432，f=l，但8xb末位数字不可能为1．排除．若a=9，则A=441，f=0，但9xb末位数字不可能为0，排除．□即残缺算式为 48x69=3243．所以补全后残缺算式的乘积是 3243．例 4、已知图 5 的除法算式中，每个 表示一个数字，那 么被除数应是．分析：此题属于数字谜中的复杂题型．题目给出的已知数字只有两个．不能直接使用个位分析法与高位分析法．但可以 结合数位考虑利用数值大小估值的方法进行分析．解：在必要的地方填上字母，如图 6 所示．(1)易知 d=0，因为 8xab=B ，而 B 是两位数，所以可估 算推知 ab=10，11，12．(2)又因为 cxab=A ，A 为 3 位数，结合 ab=10，11，12可知 c=9 且 ab=12．将其他各数补充完整即可．则被除数=12x9807=117684．知识提要第五讲数的整除性质 5 如果数 a 能被数 b 整除．那么 am 也能被 bm 整除， 即如果 b ｜a ，那么 bm ｜am(m 为非 0 整数)．在整数范围内，两个数相除，余数为零（没有余数）或不 为零．两种结果必定有一种成立，如果余数为零．我们就说被 除数能被除数整除，即整数 a 除以整数 b(a≠0)，除得的商正 好是整数，我们就说 a 能被 b 整除（也可以说 6 能整除 a ）， 记为 b|a ．如果数 a 能被数 b(6≠0)整除，a 就叫做 b 的倍数，6 就叫做 a 的因数（或约数）．由于 0÷b=0(b≠0)，就是说零能被任何非零整数整除．因 此．零是任意非零整数的倍数．1 是任意一个整数的因数，也就是说，对于整数 a ，都能 保证 1｜a 成立．同样，由于 a÷a=1（a≠0），也就保证一个 非零整数必能整除它本身，也就是 a ｜a(a≠0)．1．整除的性质性质 1 如果数 a 和数 b 都能被数 c 整除，那么它们的和或 差也能被 c 整除，即如果 c ｜a ，c ｜b ，那么 c ｜（a±b ）．性质 2 如果数 a 能被数 b 整除．b 又能被数 c 整除，那么 a 也能被 c 整除．即如果 b ｜a ，c ｜b ，那么 c ｜a ．性质 3 如果数 a 能被数 6 与数 c 的积整除．那么 a 也能被b 或c 整除．即如果 bc ｜a ，那么 b ｜a ，c ｜a ．性质 4 如果数 a 能被数 b 整除．也能被数 c 整除，且数 b和数 c 互质，那么 a 一定能被 b 与 c 的乘积整除．即如果 b ｜a ，c ｜a 且(b ，c)=l ，那么 bc ｜a ．性质 6 如果数 a 能被数 b 整除．且数 c 能被数 d 整除，那么 ac 也能被 bd 整除，即如果 b ｜a ，且 d ｜c ，那么 bd ｜ac ．2．数的整除具有如下的特征：(1)能被 2 或 5 整除的数的特征：个位上的数字分别能被2 或 5 整除．(2)能被 4 或 25 整除的数的特征：末两位数能被 4 或 25整除．(3)能被 8 或 125 整除的数的特征：末三位数能被 8 或125 整除．(4)能被 3 或 9 整除的数的特征：各位数字之和能被 3 或 9 整除．(5)能被 11 整除的数的特征：奇数位数字之和与偶数位数 字之和的差（以大减小）能被 11 整除．(6)能被 7、11、13 整除的数的特征：末三位以前的数字所表示的数与末三位数字所表示的数的差（以大减小）能被 7、 11、13 整除．典例精讲例 1、按要求填空：□□ □□□5500…0 这个数，只要判断，44□55 能被□18□0□在 1278、4632、54684、119375、37625、93648、87615、1448764 中，(1)能被 9 整除的数有；(2)能被 4 整除 的数有；(3)能被 25 整除的数有；(4)能被 125 整除的数有；(5)能被 7 整除的数有；；(6)能被 11 整除的数有；(7)能被 8 整除的数有．分析：要判断上述数能被哪些数整除，可以用直接试商的方法．也可以从能被特殊数整除的数的特征入手，因能被 4、 25、125、8 整除的数的特征简易判断，所以先判断哪些数能 被 4、25、125、8 整除，然后判断能被 9 整除的数的特征， 最后选择能被 7 和 11 整除的数．解：(1)能被 9 整除的数有：1278、54684、87615；(2)能被 4 整除的数有：4632、54684、93648、1448764：(3)能被 25 整除的数有：119375、37625；(4)能被 125 整除的数有：119375、37625；(5)能被 7 整除的数有：54684，37625；(6)能被 11 整除的数有：87615；(7)能被 8 整除的数有：4632、93648．例 4、一个 41 位数，444…4 555…5 能被 7 整除，那20 个 420 个 5么中间方格内的数是几？分析：我们可以将这个 4l 位数，分成三部分来考虑能否被 7 整除 444…4 555…5=444…400…0+44 5500…0+20 个 420 个 518 个 423 个 018 个 055…5．18 个 5因为 444444=4x111111，555555=5x111111，而 111111=3x7x11x13x37．这样 18 个 4 和 18 个 5 分别 组成的数也都能被 7 整除．解：原数=444...400...0+44 5500...0+55 (5)18 个 423 个 018 个 018 个 5能被 7 整除 只要能被 7 整 能被 7 整除除，原数就能例 2、若四位数 8a9a 能被 15 整除，则 a 代表的数字是多 而 44被 7 整除少？分析：3 和 5 是两个互质数，如果一个数能被两个互质数中的每个数整除．那么这个数也能被这两个互质数的积整除．解：因为 15 是 3 和 5 的倍数，所以 8a9a 既能被 3 整除， 也能被 5 整除，因为能被 5 整除的数的个位数字是 0 或 5．能 被 3 整除的数的各位数字的和是 3 的倍数．所以当 a=0 时，8+a+9+a=17，不是 3 的倍数，所以a≠0，当 a=5 时，8+a+9+a=27，是 3 的倍数，所以 a 代表的数字是 5．例 3、各位数字是 0、1 或 2，且能被 225 整除的最小自然数是多少？分析：因为 225=25x9．所以分别考虑能被 25 和 9 整除的数的特征．解：因为 225=25x9，所以所求的自然数一定能被 25 和9 整除，要能被 25 整除，最后两位就是 00．要能被 9 整除， 所有数字的和是 9 的倍数，为了使得自然数位数尽可能少，只 能是 4 个 2 和 1 个 1，这样得到 1222200．即满足条件的最小 的自然数是 1222200．个7 整除即可，44 55→ 55-44= 11 要能被 7 整除，判断□11 中应填上 5，所以中间方格应填上“5”．例 5、三位数 1a2 加 326 得 4b8，如果 4b8 是 3 的倍数．a+b 的值是．分析：因为 4b8 是 3 的倍数，所以 4+b+8=12+b 是 3 的倍数，容易求出 b 的值，则 4b8 可知，根据题意可求出 a 值， 则 a+b 的值也得知．解：因为 4b8 是 3 的倍数，所以 4+b+8=12+b 是 3 的倍数，b=0、3、6、9．若 b=0，则 4b8=408，又 1a2+326=408，a 无解；若 b=3，则 4b8=438，又 1a2+326=438，a=1，则 a+b=1+3=4；若 b=6，则 4b8=468，又 1a2+326=468，a=4，则 a+b=6+4=10；若b=9，则4b8=498，又1a2+326=498，a=7，则a+b=9+7=16．综上所述，a+b的值是4或10或16．例6、从2至9这8个数字中选出七个数字分别组成被12整除的最大与最小的七位数．分析：能被12整除的数，必能被3和4整除．为了保证能被3整除，这七个数字之和应能被3整除．又2+3+…+9=44，因此，只能去掉2或8．要保证能被4整除，必须末两位数字所组成的两位数能被4整除．解：(1)作为最大的七位数，应该去掉2，即取3、4、5、6、7、8、9，较大的数字应居高位，最小的3和6组成36能被4整除，于是最大的七位数为9875436；(2)作为最小的七位数应去掉较大的8，即取2、3、4、5、6、7、9，使较大的数在低位．最大的96能被4整除，于是最小的七位数是2345796．第六讲分解质因数知识提要一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，再不能被其他自然数整除，那么它就叫做质数（也叫做素数）．如果除了1和它本身，还能被其他自然数整除．那么它就叫做合数．但要注意1既不是质数，也不是合数．如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．把一个数分解质因数的方法是：用这个数的质因数逐次去除，直到除得的商是质数为止．常用的是100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个，其中2是惟一的偶数，5是惟一的个位是5的质数．分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征，同学们必须熟练掌握100以内及其他常用合数的分解质因数．部分特殊数的分解：111=3x37；1001=7xllx13；11111=41x271；10001=73x137；1995=3x5x7x19；1998=2x3x3x3x37；2007=3x3x223；2008=2x2x2x251；2007+2008=4015=5xllx73:10101=3x7x13x37．典例精讲例1、792共有多少个因数？分析：如果要求一个比较小的数的因数的个数，我们只要列出它的所有因数，然后数一数就知道了．但要写出792的所有因数不是一件容易的事，如果比792更大的数就更不容易．那怎样能非常简捷地求出792的因数个数呢？我们先将792分解质因数：792=23x32x11．显然792的任何一个因数只能合有质因数2、3、11．对于792的某个因数a，质因数2可能不出现，也可能出现1个、2个或3个，共4种可能；同理，质因数3在a中也可能不出现，也可能出现1个或2个共3种．最后用乘法原理即可求出792共有多少个因数．解：因为792=23x32x11，所以792的因数个数为：(3+1)×(2+1)×(1+1)=24（个）．例2、求1x2x3x4x5x…x100的积的末尾连续有多少个零？分析：如果硬算计算量太大，可以这样想：2x5=10，22x52=100，23x53=1000，在相乘的各个因数中．如果把它们分解质因数，有1个2和1个5相乘积的末尾就会出现一个0，2个2和2个5相乘积的末尾就会出现两个0，而1—100各数的乘积中所含质因数2的个数一定比5多，所以只要找质因数5的个数就可以确定积的末尾有多少个零．解：100÷5=20（有20个5的倍数就合有20个质因数5），100÷25=4（因为25中含有两个质因数5．而在5的倍数中计算过一次还应再算一次）．20+4=24．即算式1x2x3x4x-xl00的乘积末尾连续有24个零．例3、将14、33、35、30、75、39、143、169这八个数平均分成两组，使这两组乘积相等，怎样分？分析：由题意知，用分解质因数方法求解．解：先将各数分解质因数如下：14=2x7，33=3x11，35=5x7，30=2x3x5，75=3x5x5，39=3x13，143=11x13，169=13x13．其中质因数3，5，13各四个，质因数2，7，11各两个．在分组时应将相同的质数分在两个组内，即每组中应有质因数3，5，13各两个；2，7，11各一个．由于其中有两个5169（ ”和两个 13 属于同一个数，故分时应先考虑，于是得到如下两 个组：75（3x5x5），143(11x13)， 第一组：14（2x7）；39(3x13)．第二组： 13x13），35(5x7)，33（3x11）；30(2x3x5)．由此可得以下两种不同的方法：（1）75，14，143，39；35，30，169，33；（2）75，14，169，33；35，30，143，39．例 4、把 26、33、34、35、63、85、91、143 分成若干 组，要求每组中任意两个数的最大公因数是 1，那么至少要分 几组?分析：要使每组中任意两个数的最大公因数都是“1，就必须保证每组中的数没有相同的质因数．解：先把这 8 个数分解质因数．26=2x13，33=3x11，34=2x17，35=5x7，63=3x3x7，85=5x17，91=7x13，143=11x13．从中我们可以看出，每一个数都有 2 个不同的质因数，并 且 35，63，91 中都有质因数 7；26，91，143 中都有质因数13，显然有相同质因数的 3 个数不能同在一组，因此至少要 分 3 组才有可能把这两组 3 个数分开．例 5、有一些长方形，它们的长和宽为互质数．而这些长方形的面积都是 1992cm 2，这样的长方形有多少个？分析：因为长方形面积等于长×宽．我们应首先将 1992写成两个整数之积的形式，然后再从中选出互质的几组来，这 就是本题的解答．要想找到哪两个数的乘积是 1992．我们可以将之分解质因数，再从质因数中适当搭配就行了，为使分成的两数为互质 数，我们应从以下的几种情况去寻找：①两个不同指数；②1 与另一个自然数；③两个相邻的自然数；④不含相同因数的两 个合数．解：将 1992 分解质因数是 23x3x83．为使 1992 分成两个互质数之积，其一应为 1×1992；又 2 的因数不应在两因数中都具有，故还可以分为 23x(3x83)， 即 8x249；(23x3)x83，即 24x83 及(23x83)x3，即 664x3．故本题一共有 4 组解：lcmx1992cm ，3cmx664cm ，8cmx249cm ，24cmx83cm ．例 6、4950 乘以一个自然数 a ，乘积是某个数的平方，a最小是多少？分析：如果 4950xa 的积等于某数的平方，那么积里所包含的质因数个数应该是偶数．4950=2x3x3x5x5x11，观察 4950 的质因数发现：质因数 3，5 的个数是偶数，2，11 的个 数是奇数．根据某数平方的特点，这个数最少应该含有两个 2，3，5，11，缺少一个 2，一个 11，那么 a 最小为 11x2=22．解：因为 4950=2x3x3x5x5x11．所以 a 的最小值为：2x11=22．例 7、春天到了，赵老师带领本班学生上山种树，学生们恰好平均分成 3 组，师生共植树 175 棵，赵老师植树棵数与 所有学生都一样多．一共有多少学生植树？（学生平均每人植 树不超过 20 棵）分析：由于 175=平均每人植树棵数×人数．所以 175 分解质因数后，可以根据题意推断出人数及每人植树棵数．175=5x5x7=25x7=5x35．根据题意，分析 35x5，5 只能是平均每人植树棵数，35 减去 1 得 34，34 人不能平均分成 3 份．所以这个组合不符合题意．再看 25x7，7 只能是平均每人植树棵树．25 人减去 1 人得 24，24 人可以平均分成 3 组，符合题意，即有学生 24 人 植树．解：175=5x5x7=25x7=35x5．经检验 25x7，符合题意，即共有 25 人植树，其中学生有 24 人．例 8、某商店出售 0．25 元的笔记本，根本没人买，但经过降价后，立即把全部笔记本卖光了，共卖得 13．91 元，每 个笔记本降价多少元？共卖了多少本笔记本？分析：13．91 元=1391 分，而 1391=13x107，所以 13与 107 必有一个是单价．一个是本数．解：13．91 元=1391 分，而 1391=13x107，因为是降价，所以单价只能是 13 分，而本数是 107 本．降价金额是：0．25-0．13=0．12 元，答：每本笔记本降价 0．12 元，共卖了 107 本笔记本．。
2015第26届亚太决赛四年级详解
【第 9 题】 四名嫌疑人——甲、乙、丙和丁在凶杀现场接受审讯。每个人都被问了一个问题。他们的回答如下： 甲：“乙是凶手。” 乙：“丁才是凶手。” 丙：“我没有杀人。” 丁：“乙在说谎。” 已知这四个人中只有一人说了真话。则凶手是 ________ 。 【分析与解】 逻辑推理。 因为乙和丁的话意思完全相反； 所以这两句中肯定有一句是真话、有一句是假话； 因为这四个人中只有一人说了真话； 所以甲和丙说的话都是假话； 丙：“我没有杀人。”这是假话可得凶手是丙。
x
x2 20
y 2
60
y 20
；解得
x
y
40 10
；
妈妈今年 40 岁。
【第 8 题】 如图：每种图形代表一个数值。每行图形代表的数值之和等于此行右侧，每列图形代表的数值之和等于此 列下侧。那么，问号处的数字应该是 ________ 。
48 46 70 54 54 ? 54 48
【第 2 题】
如果 a * a a b a b ，那么 6 * 6 * 6 ________ 。
【分析与解】 定义新运算。
6*6 66 6 6 3 ；
6 *6 * 6 6 *3 6 3 6 3 2 。
【第 3 题】 如图：空白的三角中应填入 ________ 。
★ 13 ， ▲ 7 ； ◯2 ★▲ 21 2 13 7 62 ； 即问号处的数字应该是 62 。 （方法二）
▲★3 46 ① ；
◯3 ▲ 70 ② ；
② ① 3 ，得 ◯★ 8 ③ ；
★2 ▲◯ 54 ④ ；
2016第27届亚太初赛四年级1
【第 25 题】 由数字1， 2 ， 7 可以组成 ________ 个无重复数字的自然数。
【第 26 题】 甲、乙二人沿着同一条 200 米的跑道赛跑，甲由起跑线上起跑，乙在甲后 20 米处起跑，当甲离终点还有 20 米时，乙追上甲，那么当乙跑到终点时，甲离终点还有 ________ 米。
【第 27 题】 在1 ~ 100 的全部自然数中（包括1和100 ），不是 5 的倍数也不是 7 的倍数的数有 ________ 个。
【第 28 题】 某班的小书库里有 A 、 B 、 C 、 D 四类书，规定每个同学最多可以借两本，这个班有 45 名同学。那么至 少有 ________ 个同学所借的书类型完全相同？（不能不借）
【第 29 题】 掷出 2 个骰子，将 2 个骰子掷出的点数相加，和最有可能得到的数字是 ________ 。（每个骰子是正方体，6 个面上分别是1到 6 ，例如：第一个骰子掷出 3 ，第二个骰子掷出 5 ，那么两个点数的和就是 8 ）
【第 5 题】 如图，正方形 ABCD 的边长是 4 厘米，现在把它分成四个小长方形，长方形 AEOG 与长方形 FCHO 这 2 个 小长方形的周长之和 ________ 厘米。
A
G
D
E O
F
B
H
C
【第 6 题】 小马虎在做一道加法题时，把一个加数十位上的 6 与个位的 9 看反了，结果和是174 ，那么正确的结果应 该是 ________ 。
A
D
H
E
甲
乙 G
F
B
C
【第 14 题】 小敏有 140 元，小花有 100 元，小花给小敏 ________ 元，小敏的钱数就是小花的 2 倍多 3 元。
2015第26届亚太决赛五年级试题
亚太小学数学奥林匹克（上海赛区决赛）五年级2 小时（总分：150 分）2015年3月1日下午15：30 – 17：30（注意事项）1 尽量解答所有问题.2 不准使用数学用表或计算器.3 答案请另填写在所提供的决赛的作答卷上.4 只有正确答案才能得分.本试卷共有4 页（包括本页）1、计算3.75×1.28×12.5=_______.2、我国农历有用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪，按顺序代表年份的习惯，即若今年是鼠年，明年就是牛年，后年就是虎年，以此类推. 现知道，1949年是牛年，那么，到2020年是_______年.3、五年级1班56人，2班44人，某次数学考试中，两班全体同学的平均分为80分. 2班的平均分比1班的平均分高5分. 问：那么2班的平均分是_______.4、如果xy x y x y*=+，那么8*（8*8）=_______. 5、小明在240米长的环形跑道上跑了一圈. 已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑3米，那么小明后一半路程用了_______秒.6、两个质数的和是60，则这两个质数的乘积最大值是_______.7、十进制中数57改写成四进制为()4321，计算：()41003+()41012=()7_____（结果用七进制表示）.8、某班同学外出春游，买车票59张，共花299元，其中单程每张4元，往返每张7元，问单程票与往返票相差_______张.9、有一个六位数2015□□能被66整除，则这个六位数为_______.10、冬天到了，有一片牧草，草每天匀速地在减少. 这片牧草可供20头牛吃6天，可供10头牛吃10天. 那么可供_______头牛吃15天.11、亚太杯开考啦!现在给四年级学生安排考场，如果每间教室安排20人考试，则有200人没有地方考试；如果教室数量增加1倍，且人数增加了40人，若这时每个教室安排15人，则会空出22间教室，增加人数后一共有_______人.12、五个学生（分别以A ，B ，C ，D ，E 表示）参加考试，其中只有一个得到满分，并且他们相互之间知道分数，老师问这五个学生，五个学生分别作了回答，回答如下：A 说：“C 是满分.”B ：“我不是满分.”C ：“满分不会是E .”D ：“A 撒了谎.”E ：“B 说的是真话.”已知只有3人说了真话，则满分是______.13、如图：用若干个小正立方体拼成右图所示的造型. 其中有一个小孔分别由左至右、由上至下以及由前至后穿透整个造型.拼成此造型共需使用_____个小正立方体.14、如图：一个大的长方形其周长为240厘米. 它被分成图中所示的许多相同的长方形，每一个长方形的周长是46厘米. 这些长方形的边长是整数厘米，则大长方形的面积为_______平方厘米.15、用加减乘除四则运算及添括号将3、6、6、7、9五个数列式计算得到103.（每个数都要用一次且只能用一次）=103 16、如图：根据三图的递变规律，找出下一幅图应该是____.A B C D E17、如图：四边形ABCD 中，AB =BC +AD ，∠BCD =52°，且∠ADB +∠CBD = 180°，请问∠BAD 为_______度.18、如图：“？”中的数字应该是_______.19、如图：3次射击总得分可以得到75.假定每次射击都能得分（包括得0分）.那么，有_______种方法可以使3次射击总得分为75.20、如图：在一个5×5的方格中，有25个数. 现在从左下角方格开始选取数字，只能往上或者往右，到右上角方格结束. 这样共选取了9个数字，共有____种选法得到9个数的和为38.21、如图：正方形ABCD ，其中AB =6 cm ，AE =2 cm ，BF =1 cm ，CG =2 cm ，DH =2 cm ，链接EG 和FH ，交于点O ，问：三角形OEF 的面积为_____.22、小明和小华在做游戏，从81张分别标上数1，2，3，…，81的卡片中，小明抽取了一张卡片叫小华猜. 小华问了三个问题，问题一：你的卡片数小于41吗？问题二：你卡片上的数能被4整除吗? 问题三：你卡片上的数是完全平方数吗？小华根据小明的回答，得出了唯一的结论，则这张卡片上的数是_______.23、由1、2、3、4、5、6、7、8组成一个八位数，并且它们每个数位上的数各不相同. 则可以被1111整除的八位数有_______个.24、在正整数N 的右端增加了二位数字，组成了一个新的数，这个数等于由1到N 的所有正整数的和. 则N 是_______.25、如图：直角梯形ABCD 中,∠B =∠C =90°，AB =10 cm ，BC =12 cm ,CD =15 cm ,P 为梯形内部一点，其中S △P AB = S △PCD ，S △PBC = S △P AD ，那么点P 到直线AD 的距离与点P 到直线BC 的距离之和为______cm .26、如图：有这样一座小城——它的道路布局被设计成正方形的网格状，现在在这座城内7个不同的路口处，住着7位朋友（以“●”标示）想聚在一起喝杯咖啡. 请你在地图上确定一个路口作为他们的集合地，要求能让所有人走得总路程最短. 请用符号（a,b）表示______. 例：A点表示为（5,2）.27、某班级有男女生各30名，现在将他们排成一排，女生在前，男生在后，分别编为1-60号，现在将男女生顺序打乱重新排队，30位女生还是在前，按编号从小到大，奇数在前，偶数在后，如1、3、5、…、29、2、4、…、28、30；男生按编号被3整除余1的10个数排在最前面，然后被3整除余2的10个数放在中间，被3整除的10个数放在最后，如31、34、…、60.现在数出夹在每两个编号相差为30的人中间的人数，共有30个数字. 则所得到的30个数的和是______.28、黑板上写着乘积a1·a2·…·a2015，其中a1，a2，…，a2015都是正整数. 如果将其中的一个乘号改为加号（保持其余乘号），我们发现在所得的2014个和数中有301个是偶数. 则在a1，a2，…，a2015中至多有______个偶数.29、如图：直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=12 cm，BC=16 cm，直角三角形CDE中，∠CDE=90°，CD=15 cm，DE=20 cm，若M为AB的中点，则三角形DMB的面积为______ cm 2.30、甲、乙两个机器人同时从A、B两地出发，在A、B之间不停地往返行走. A、B两地相距90米，出发时，两人速度相同，乙的速度始终不变.，第一次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度的12第二次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度的1，3，第三次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度的14，第四次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度的15第五次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度，，第六次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度的12，……第七次迎面相遇后，甲的速度变为出发速度的13甲按照上述规律变化速度. 则第2015次迎面相遇地点距A地________米.。
五年级几何巧求周长和面积教师版
知识要点巧求周长长方形周长公式：长方形周长=（长+宽）2⨯，记作：C 长方形()2a b =+⨯； 正方形周长公式：正方形周长=边长4⨯，记作：C 正方形4a =⨯； 巧求周长时，常用到“平移线段法”和“标向法”。
巧求面积长方形面积公式：长方形面积=长⨯宽，记作：S 长方形a b =⨯；正方形面积公式：正方形面积=边长⨯边长，记作：S 正方形2a a a =⨯=；三角形面积公式：三角形面积12=⨯底⨯高，记作：S 三角形12a h =⨯⨯；平行四边形面积公式：平行四边形面积=底⨯高，记作：S 平行四边形a h =⨯；梯形面积公式：梯形面积12=⨯（上底+下底）⨯高，记作：S 梯形()12a b h =⨯+⨯；巧求面积时，常用到“割补法”（将图形平移、对称、旋转）。
巧求周长和面积常见巧求周长和面积问题1. 20个边长为3厘米的小正三角形按如图的方式拼成一个平行四边形。
这个平行四边形的周长是多少厘米？…【分析】平行四边形的周长()20222222366parallelog ram triangle triangle triangle C a a a ⎡⎤=÷⨯+⨯==⨯=⎣⎦厘米。
2. 用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形（如图所示）拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是244厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？【分析】大平行四边形上、下两边的长为()244222120-⨯÷=厘米，观察上边，每6厘米有两个平行四边形的边，所以共有小平行四边形1206240÷⨯=个， 三角形的数量与小平行四边形的数量相等，也是40个。
3. 用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形（如图所示）拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是236厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？【分析】大平行四边形上、下两边的长为()236222116-⨯÷=厘米，观察上边，每6厘米有两个平行四边形的边，1166192÷=L L ，有三角形19238⨯=个， 小平行四边形38139+=个。
2015第26届亚太决赛四年级详解
★ 13 ， ▲ 7 ； ◯2 ★▲ 21 2 13 7 62 ； 即问号处的数字应该是 62 。 （方法二）
▲★3 46 ① ；
◯3 ▲ 70 ② ；
② ① 3 ，得 ◯★ 8 ③ ；
★2 ▲◯ 54 ④ ；
③ ④ ，得 ◯2 ★▲ 62 ； 即问号处的数字应该是 62 。
【第 9 题】 四名嫌疑人——甲、乙、丙和丁在凶杀现场接受审讯。每个人都被问了一个问题。他们的回答如下： 甲：“乙是凶手。” 乙：“丁才是凶手。” 丙：“我没有杀人。” 丁：“乙在说谎。” 已知这四个人中只有一人说了真话。则凶手是 ________ 。 【分析与解】 逻辑推理。 因为乙和丁的话意思完全相反； 所以这两句中肯定有一句是真话、有一句是假话； 因为这四个人中只有一人说了真话； 所以甲和丙说的话都是假话； 丙：“我没有杀人。”这是假话可得凶手是丙。
2015 年第 26 届亚太小学奥林匹克
（上海赛区决赛）
四年级
120 分钟 （总分：150 分） 2015 年 3 月1日 下午12 : 30 14 : 30
（注意事项） 1 尽量解答所有问题。 2 不准使用数学用表或计算器。 3 答案请另填写在所提供的第一回合的作答卷上。 4 只有正确答案才能得分。
2015年第26届亚太杯初赛四年级—解析
总分：150 分
考点：聪明格游戏 聪明格是一种数字游戏，又堪称升级版的数独，诞生日本。它在数学上的要求比数独要高得多， 它把数独规则与加减乘除四则运算相结合，使大脑在各种谜题中来回穿梭。 解析：左上角只有 1 个数字（无运算符号）时，就将此数字填入此方格中,那么 1 下面的两个空 格只能是 2 和 3 或者 3 和 4（两数差为 1） 。第二列的上面两个和是 6，那么这两个数只能是 2 和 4.再根据题目要求利用唯一法、矛盾法排除筛选填出每个空格。
8、如图，边长为 4 的正方形纸片的四个角处减掉两个长方，形和两个正方形后的图形为阴影 。 部分，则阴影部分的周长为
考点：巧求周长 解析：经过平移，变成与原来正方形一样的形状，这时周长和原来正方形的周长一样，即为 4 ×4=16.
9、三棵树上共有 48 只小乌鸦，后来第一棵树上有一半的小乌鸦飞到了第二棵树上；之后， 第 二棵树上又有与第三棵树同样数目的小乌鸦飞到了第三棵树上；最后，第三棵树上又有 10 只 小乌鸦飞到了第一棵树上，此时三棵树上的小乌鸦一样多，问一开始第一颗树上 有 只小乌鸦。 考点：还原问题。 解析:经过三次变化后， 三棵树上的小乌鸦有 48÷3=16 只， 利用倒推法， 第一棵树上有（16-10） ×2=12 只。 第一棵树 第二颗树 第三颗树 初始状态 第一次变化后 第二次变化后 第三次变化后 12 6 6 16 23 29 16 16 13 13 26 16
21、甲、乙、丙三人，他们的籍贯分别是河南、河北、上海，他们的职业分别是教师、公务员、 演员．已知：⑴甲不是河南人，乙不是河北人；⑵河北人不是演员，上海人是教师；⑶甲不是 公务员；⑷乙的家乡在丙的南面．请问：乙的职业是______. 考点：逻辑推理 解析：由条件（2）河北人不是演员，上海人是教师得：河南人是演员，河北人是公务员。 教师 公务员 演员 河南 × × √ 河北 × √ × 上海 √ × × 由条件（1）得：甲不是河南人；因为公务员是河北人，再由条件（3）甲不是公务员得：甲不 是河北人，所以甲是上海人，甲是教师。由条件（4）乙的家乡在丙的南面，联系实际只能是河 南在河北的南面，所以乙是河南人，职业是演员。 河南 河北 上海 甲 × × √ 乙 √ × × 丙 × √ ×
2016年27届亚太杯决赛五年级解析
27届亚太杯上海赛区决赛五年级解析1、 定义新运算“*”：()()x y x y x y *=+⨯-，那么()6*3*2= 。
【解析】3*2(32)(32)5=+⨯-=，6*(3*2)6*5(65)(65)11==+⨯-=2、 计算:（102.4＋89.6—38×5）×（2016—126×16）= 。
【解析】原式(102.489.6385)(20162016)0=+-⨯⨯-=3、如图，将一个周长为24厘米的大长方形的纸片剪成9个小长方形的纸片，那么这9个小长方形纸片的周长之和是 厘米。
【解析】原来长方形的周长由2长、2宽组成，横切2刀增加了4长，竖切2刀增加了4宽，所以9个小长方形周长总和为6长6宽，是大长方形周长的3倍，为24372⨯=4、 1，2，3，…，2016中，既不是5的倍数，又不是7的倍数的数有 个。
【解析】201654031÷= ，所以1到2016中5的倍数有403个20167288÷=，所以1到2016中7的倍数有288个2016355721÷= ，所以1到2016中既是5的倍数又是7的倍数的数有57个所以1到2016中，既不是5的倍数，又不是7的倍数的数有2016(40328857)1382-+-=个5、 在2016后面补上两个数码，组成一个六位数，它既能被8整除，也能被9整除，则此六位数最小是 。
【解析】201600722800÷=，所以这个六位数最小就是2016006、 如下图所示，把边长为1厘米的正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体。
当这三个长方体的体积比是1：2：3时，三个长方体的表面积之和是 平方厘米。
【解析】这里体积比是迷惑条件，切两刀共增加4个面，原来有6个面，所以三个长方体表面积之和为2(46)110+⨯=7、 对于数字4、6、7、9，用加、减、乘、除、添括号中的运算符号，组成一个算式，使得算式的结果是24，算式为 。
数学竞赛五年级试题及答案解析一
数学竞赛五年级试题及答案解析一一、拓展提优试题1．用一根34米长的绳子围成一个矩形，且矩形边长都是整数米，共有种不同的围法（边长相同的矩形算同一种围法）．2．（7分）对于a、b，定义运算“@”为：a@b＝（a+5）×b，若x@1.3＝11.05，则x＝．3．某数学竞赛有10道题，规定每答对一题得5分，答错或不答扣2分．A、B 两人各自答题，得分之和是58分，A比B多得14分，则A答对道题．4．解放军战士在洪水不断冲毁大坝的过程中要修好大坝，若10人需45分钟，20人需要20分钟，则14人修好大坝需分钟．5．如图，魔术师在一个转盘上的16个位置写下来了1﹣16共16个数，四名观众甲、乙、丙、丁参与魔术表演．魔术师闭上眼，然后甲从转盘中选一个数，乙、丙、丁按照顺时针方向依次选取下一个数，图示是一种可能的选取方式，魔术师睁开眼，说：“选到偶数的观众请举手．”，这时候，只有甲和丁举手，这时候魔术师就大喝一声：“我知道你们选的数了！”．你认为甲和丁选的数的乘积是．6．（8分）图中所示的图形是迎春小学数学兴趣小组的标志，其中，ABCDEF 是正六边形，面积为360，那么四边形AGDH的面积是．7．同时掷4个相同的小正方体（小正方体的六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，则朝上一面的4个数字的和有种．8．大于0的自然数n是3的倍数，3n是5的倍数，则n的最小值是．9．三位偶数A、B、C、D、E满足A＜B＜C＜D＜E，若A+B+C+D+E＝4306，则A最小．10．观察下表中的数的规律，可知第8行中，从左向右第5个数是．11．小猫咪A、B、C、D、E、F排队依次从猫妈妈手中领鱼干，每只小猫咪每次领一条，领完后在道队尾继续排队领，直到鱼干发完．若猫妈妈有278条鱼干，则最后一个领到鱼干的小猫咪是．12．（8分）有一个特殊的计算器，当输入一个数后，计算器先将这个数乘以3，然后将其结果是数字逆序排列，接着再加2后显示最后的结果，小明输入了一个四位数后，显示结果是2015，那么小明输入的四位数是．13．（8分）一个大于1的正整数加1能被2整除，加2能被3整除，加3能被4整除，加4能被5整除，这个正整数最小是．14．（8分）在如图每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．那么，两个乘数的和是．15．（8分）小胖把这个月的工资都用来买了一支股票．第一天该股票价格上涨，第二天下跌，第三天上涨，第四天下跌，此时他的股票价值刚好5000元，那么小胖这个月的工资是元．16．观察下面数表中的规律，可知x＝．17．如图是一个由26个相同的小正方体堆成的几何体，它的底层由5×4个小正方体构成，如果把它的外表面（包括底面）全部涂成红色，那么当这个几何体被拆开后，有3个面是红色的小正方体有块．18．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，且图中两个阴影部分＝．（甲和乙）的面积差是5.04，则S△ABC19．某场考试共有7道题，每道题问的问题都只与这7道题的答案有关，且答案只能是1、2、3、4中的一个．已知题目如下：①有几道题的答案是4？②有几道题的答案不是2也不是3？③第⑤题和第⑥题的答案的平均数是多少？④第①题和第②题的答案的差是多少？⑤第①题和第⑦题的答案的和是多少？⑥第几题是第一个答案为2的？⑦有几种答案只是一道题的答案？那么，7道题的答案的总和是．20．从1、2、3、4、5中任取3个组成一个三位数，其中不能被3整除的三位数有个．21．商店对某饮料推出“第二杯半价”的促销办法．那么，若购买两杯这种饮料，相当于在原价的基础上打折．∆的面积等于5平方22．如图所示，P为平行四边形ABDC外一点。
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13、 甲、乙两人分别从山顶和山脚同时出发，沿同一山道行进.两人上山的速度都是 15 米/分，下山的速度都是 24 米/分.甲到达山脚后立即返回，乙到达山顶后休息 12 分 钟后返回，两人在距山顶 720 米处再次相遇，则山道长为______米。 【解析】两人上山速度相同，下山速度相同，甲走一个来回是先下山再上山；乙走一个 来回是先上山再下山，走一个来回所用时间相同 但是乙到达山顶后休息了 12 分钟，也就是说，当甲回到山顶后，乙还需要 12 分钟才能回到山脚 两人相遇后，甲还要走 720 米， 720 15 48 分钟才能到达山顶 乙比甲晚 12 分钟回到山脚， 所以乙需要 48 12 60 分钟， 再走 24 60 1440 米 才能回到山脚 所以，山道长 1440 720 2160 米
3、如图，将一个周长为 24 厘米的大长方形的纸片剪成 9 个小长方形的纸片，那么这 9 个 小长方形纸片的周长之和是 厘米。
【解析】原来长方形的周长由 2 长、2 宽组成，横切 2 刀增加了 4 长，竖切 2 刀增加了 4 宽，所以 9 个小长方形周长总和为 6 长 6 宽，是大长方形周长的 3 倍，为 24 3 72 4、 1 ， 2 ， 3 ，…， 2016 中，既不是 5 的倍数，又不是 7 的倍数的数有 个。 【解析】 2016 5 4031 ，所以 1 到 2016 中 5 的倍数有 403 个 2016 7 288 ，所以 1 到 2016 中 7 的倍数有 288 个 2016 35 57 21 ，所以 1 到 2016 中既是 5 的倍数又是 7 的倍数的数有 57 个 所 以 1 到 2016 中 ， 既 不 是 5 的 倍 数 ， 又 不 是 7 的 倍 数 的 数 有 2016 (403 288 57) 1382 个 5、 在 2016 后面补上两个数码，组成一个六位数，它既能被 8 整除，也能被 9 整除， 则此六位数最小是 。 【解析】 201600 72 2800 ，所以这个六位数最小就是 201600 6、 如下图所示，把边长为 1 厘米的正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三 个长方体。当这三个长方体的体积比是 1：2：3 时，三个长方体的表面积之和是 平方厘米。
27 届亚太杯上海赛区决赛五年级解析
1、 定义新运算“ * ” ： x y x y x y ，那么 6* 3* 2 【解析】 3* 2 (3 2) (3 2) 5 ， 6*(3* 2) 6*5 (6 5) (6 5) 11 2、 计算:（102.4＋89.6—38×5）×（2016—126×16）= 【解析】原式 (102.4 89.6 38 5) (2016 2016) 0 。 。
Байду номын сангаас
。 8、 若质数 p 既是某两个质数的和，又是某两个质数的差，则 p = 【解析】由于 p 可以写成两个质数的和，所以最小为 2 2 4 ，所以 p 是一个不小于 4 的质数，所以 p 一定是奇数，只能是一奇加一偶，所以要想写成两个质数的和 只能是 p 2 a 同理，由于 p 是奇数，所以要想写成两个质数的差只能是 p b 2 这时我们发现 a, p, b 这三个质数构成了一个公差为 2 的等差数列 易知这三个数中一定有一个 3 的倍数，由于三个都是质数，所以其中一定有一 个 3，所以这三个质数只能是 3、5、7，所以 p 5 9、 用 1，2，3，4 这四个数字组成的四位数中，比 2016 大且无重复数字的四位数有 个。 【解析】要比 2016 大，那么千位只能是 2、3、4，而千位是 2、3、4，这个数就比 2016 大，有 3 3 2 1 18 个 10、 4 堆小球共有 2016 颗，如果从每堆中取走相同数目的小球以后，第一堆全部取完， 第二堆还剩下 20 颗小球，第三堆剩下的小球数是第四堆剩下的小球数的 3 倍，那 么第四堆原来有 颗小球。 【解析】 设每堆取走 a 个， 第四堆剩下 b 个， 所以第一堆原来有 a 个， 第二堆原来有 a 20 个，第三堆原来有 a 3b 个，第四堆原来有 a b 个 由题意，有 a a 20 a 3b a b 2016 a b 499 ，所以第四堆原来有 499 个 11、 一次考试，男生的平均分比总平均分低 2 分，女生的平均分比总平均分高 3 分.男 生的总分数是 2106 分，女生的总分数是 1494 分，则男生有 人。 【解析】由于男生平均分比总平均分低 2 分，女生平均分比总平均分高 3 分，所以男女 生人数比为 3 : 2 ，记男生人数为 3 份，女生人数为 2 份 那么各取出 1 份男生和 1 份女生 那么这些男生总分为 2106 3 702 ，这些女生总分为 1494 2 747 此时，男女生人数相同，平均分相差 2 3 5 分，总分相差 747 702 45 分， 所以 1 份有 45 5 9 人 所以男生有 3 9 27 人 个数，使得取出的这些数中任意两 12、 1 ， 2 ， 3 ，…， 2016 中，最多能取出 个不同的数的和都不是 7 的倍数。 【解析】 2016 7 288 ，所以 1 到 2016 中除以 7 余 1 的有 288 个，余 2 的有 288 个， 余 3 的有 288 个，余 4 的有 288 个，余 5 的有 288 个，余 6 的有 288 个，余 0 的有 288 个 所以余 1、余 6 的两组只能取 1 组；余 2、余 5 的两组只能取 1 组；余 3、余 4 的两组只能取 1 组；余 0 的只能取 1 个 所以最多取出 288 288 288 1 865 个
【解析】这里体积比是迷惑条件，切两刀共增加 4 个面，原来有 6 个面，所以三个长方 体表面积之和为 (4 6) 12 10 7、 对于数字 4 、 6 、 7 、 9 ，用加、减、乘、除、添括号中的运算符号，组成一个算 式，使得算式的结果是 24 ，算式为 。 【解析】 (7 9) 4 6 24