2019年高考数学总复习 椭圆文新人教A版

课时规范练44 椭圆
基础巩固组
1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为()
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
2.(2017河南洛阳三模)已知集合M=,N=,M∩N=()
A.⌀
B.{(3,0),(0,2)}
C.[-2,2]
D.[-3,3]
3.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为()
A.=1
B.+y2=1
C.=1
D.=1
4.设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C 的离心率为()
A. B.
C. D.
5.(2017广东、江西、福建十校联考,文11)已知F1,F2是椭圆=1(a>b>0)的左右两个焦点,若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2,则该椭圆的离心率的取值范围是()
A. B.
C. D.
6.与圆C1:(x+3)2+y2=1外切,且与圆C2:(x-3)2+y2=81内切的动圆圆心P的轨迹方程为.
7.(2017湖北八校联考)设F1,F2为椭圆=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y 轴上,则的值为.
8.(2017广东佛山一模,文20)已知椭圆C:=1(a>b>0)过点M(2,1),且离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过原点的直线l1与椭圆C交于P,Q两点,且在直线l2:x-y+2=0上存在点M,使得△MPQ为等边三角形,求直线l1的方程.
〚导学号24190941〛
综合提升组
9.已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=()
A.3
B.6
C.9
D.12
10.已知O为坐标原点,F是椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()
A. B. C. D.
11.已知椭圆=1的左顶点为A,左焦点为F,点P为该椭圆上任意一点;若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2,离心率e=,则的取值范围是.
12.(2017湖北武汉二月调考,文20)已知椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率
为,F2与椭圆上点的连线中最短线段的长为-1.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)已知E上存在一点P,使得直线PF1,PF2分别交椭圆E于点A,B,若=2=λ(λ>0),求直线PB的斜率.
〚导学号24190942〛
创新应用组
13.(2017安徽马鞍山一模,文16)椭圆=1(a>b>0)的焦点为F1,F2,若椭圆上存在满足
的点P,则椭圆的离心率的范围是.
14.(2017山西太原二模,文20)如图,曲线C由左半椭圆M:=1(a>b>0,x≤0)和圆N:(x-
2)2+y2=5在y轴右侧的部分连接而成,A,B是M与N的公共点,点P,Q(均异于点A,B)分别是M,N上的动点.
(1)若|PQ|的最大值为4+,求半椭圆M的方程;
(2)若直线PQ过点A,且=0,,求半椭圆M的离心率.
答案：
1.A由题意知a=13,c=5,则b2=a2-c2=144.又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆方程为=1.
2.D集合M==[-3,3],N==R,则M∩N=[-3,3],故选D.
3.A由椭圆的定义可知△AF1B的周长为4a,所以4a=4,即a=,又由e=,得c=1,所以
b2=a2-c2=2,则C的方程为=1,故选A.
4.D如图所示,在Rt△PF1F2中,|F1F2|=2c,设|PF2|=x,则|PF1|=2x,
由tan 30°=,
得x= c.
由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=3x,∴a=x=c,
∴e=.
5.B∵F1,F2是椭圆=1(a>b>0)的左右两个焦点,
∴离心率0<e<1,F1(-c,0),F2(c,0),c2=a2-b2.
设点P(x,y),由PF1⊥PF2,
得(x-c,y)·(x+c,y)=0,
化简得x2+y2=c2,联立方程组
整理,得x2=(2c2-a2)·≥0,
解得e≥,又0<e<1,
∴≤e<1.故选B.
6.=1设动圆的半径为r,圆心为P(x,y),
则有|PC1|=r+1,|PC2|=9-r.
所以|PC1|+|PC2|=10>|C1C2|,
即P在以C1(-3,0),C2(3,0)为焦点,长轴长为10的椭圆上,
得点P的轨迹方程为=1.
7.由题意知a=3,b=.
由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6.
在△PF1F2中,因为PF1的中点在y轴上,O为F1F2的中点,
由三角形中位线性质可推得PF2⊥x轴,所以|PF2|=, 所以|PF1|=6-|PF2|=,
所以.
8.解 (1)由题意可知,椭圆的离心率为e=,即a2=4b2.
由椭圆过点M(2,1),代入可知=1,解得b2=2,则a2=8.
∴椭圆C的方程为=1.
(2)当直线l1的斜率k不存在时,P,Q两点为短轴的端点,直线l2与x轴的交点(-2,0)即点M,但△MPQ不是等边三角形.
当直线l1的斜率k存在时,设P(x0,y0),则Q(-x0,-y0),
当k=0时,直线PQ的垂直平分线为y轴,y轴与直线l2的交点为M(0,2),由
|PO|=2,|MO|=2,
∴∠MPO=60°.
则△MPQ为等边三角形,此时直线l1的方程为y=0.
当k≠0时,设直线l1的方程为y=kx,
由
整理得(1+4k2)x2=8,
解得|x0|=,
则|PO|=,
则PQ的垂直平分线为y=-x,
由
解得
则M,
∴|MO|=.
∵△MPQ为等边三角形,
则|MO|=|PO|,
∴,
解得k=0(舍去),k=,
∴直线l1的方程为y=x.
综上可知,直线l1的方程为y=0或y=x.
9.B∵抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),∴E的右焦点的坐标为(2,0).
设椭圆E的方程为=1(a>b>0),则c=2.
∵,∴a=4.
∴b2=a2-c2=12.
于是椭圆方程为=1.
∵抛物线的准线方程为x=-2,将其代入椭圆方程可得A(-2,3),B(-2,-3),∴|AB|=6.
10.A由题意,不妨设直线l的方程为y=k(x+a),k>0,分别令x=-c与x=0,得|FM|=k(a-c),|OE|=ka.
设OE的中点为G,
由△OBG∽△FBM,
得,
即,
整理,得,
故椭圆的离心率e=,故选A.
11.[0,12]因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2,所以a=2.
因为离心率e=,
所以c=1,b=.
则椭圆方程为=1,
所以点A的坐标为(-2,0),点F的坐标为(-1,0).
设P(x,y),则=(x+2,y)·(x+1,y)=x2+3x+2+y2.
由椭圆方程得y2=3-x2,
所以=x2+3x-x2+5
=(x+6)2-4.
因为x∈[-2,2],
所以∈[0,12].
12.解 (1)由题意e=, ①
a-c=-1, ②
由①②解得a=,c=1,
∴b==1.
∴椭圆E的标准方程是+y2=1.
(2)设点P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),直线l PA的方程为x=my-1.由消去x,得(m2+2)y2-2my-1=0,
则y0·y1=-.
∵,∴m=.
∴=-=-
=(m2+2)
=(x0+1)2+2
=(x0+1)2+2-=3+2x0.
∴3+2x0=2,解得x0=-,
∴P.
∴k PB==∓.
故直线PB的斜率为±.
13.∵椭圆的焦点为F1,F2,椭圆上存在满足的点P,
∴||·||cos<>=,
4c2=-2||·||cos<>,
||+||=2a,
可得+2||·||=4a2,
∴4c2=4a2-2||·||-b2.
∴2||·||=3a2-3c2
≤2,
当且仅当||=||时,等号成立.
可得,解得e≥.
又0<e<1,
∴e∈.
14.解 (1)A(0,1),B(0,-1),故b=1,|PQ|的最大值为4+=a+2+,解得a=2.
∴半椭圆M的方程为+y2=1(-2≤x≤0).
(2)设直线PQ方程为y=kx+1,与圆N的方程联立可得(k2+1)x2+(2k-4)x=0,
∴x A+x Q=.
∵x A=0,
∴Q.
∵=0,=(x Q,y Q-1),=(x P,y P-1),
∴x P+x Q=0,y P+y Q=2.
∴x P=,y P=.
∵,∴=x P x Q+(y P+1)(y Q+1)=+2+1 =(k2+1)(16k-12)=0,
解得k=,∴P.
代入椭圆方程可得=1,
解得a2=.
∴半椭圆M的离心率e=.。