第十五讲 行程问题

105，此时，甲在一个顶点上，所以， 在 T1 时刻，甲跑过的路程为 5T1 20a－ 5T1 20a－ 105 是a的倍数，即
5T1 20a－105 105 20－ k（k是正整数） a a a
由（ 3 ）知20－k
105 105 3, 所以， 20－k 1或2，a 105或52.5。 a 42 答：正方形跑道的周长 为210米或420米。
乙走的路程
A C
甲走的路程 B D
如图，车先送甲班到D点后，再回来接乙班，在C点与乙班相遇，乙班走了 AC这段路，同样的时间内，车走了AD＋DC段路。则 AC：（AD＋DC）=3：48 也就是 AC：（AD＋CD＋DC）=1:16 所以 AC：2CD=1:15 （ 1） 同理 BD：（2CD＋BC）=4：48 得 BD：2CD=1:11 （ 2） 由（1）、（2）知，BD：AC=15:11 答：甲班学生步行的距离与乙班学生步行的距离之比是15:11。
分析 由于从甲地到乙地的上坡路，就是乙地到甲地的下坡路。从甲地到乙地的下坡 路，就是从乙地到甲地的上坡路。把甲地到乙地，再返回甲地的路看成一个全程，则 上坡与下坡的路程相等。 1 1 9 ＋ 7 16 （小时） 解 汽车从甲地到乙地，再由乙地到甲地共费时 2 2 由于每千米上坡路费时 小时，每千米下坡路费时 小时，从而从甲地到乙地的路 1 1 1 程等于 16 （ ＋ ） 210 （千米） 2 20 35 1 1 9－7 1 （小时） 又从甲地到乙地比由乙地返回甲地多费时 2 2 则从甲地到乙地的上坡路多于下坡路。这上坡路与下坡路的差额应等于 1 1 1 1 （ － ） 70 （千米） 2 20 35 下坡路长是（210－70）÷2=70（千米） 上坡路长是210－70=140（千米） 答：甲、乙两地间的公路有210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路。
T2 是三人同时处在跑道的同一位置的时刻， 解 出发时记为0时刻，正方形边长为a米， T1 是题设的甲首次看到乙和丙都在自己同一条边的前方的时刻，则 T2－T1 21 由题设 5T2－4T2 4n12a B A
C D n12 是甲追及乙的圈数， 是乙追及丙的圈数）所以 n12 n23 。第一次相遇 （其中 取 n12 n23 1 （即甲比乙多跑一圈，乙比丙多跑一圈， T2 时刻是他们出发后，甲和 乙第一次处在同一位置的时刻；也是乙和丙第一次处在同一位置的时刻）
由题意和线段图可知，第一种走法与第二种走法比较，摩托车多行了12－ 8=4（小时），这样自行车就少行了21－9=12（小时），即摩托车4小时行的 路程等于自行车12小时行的路程，摩托车1小时行的路程相当于自行车 12÷4=3（小时）行的路程，将第一种走法和第二种走法中自行车的时间用 摩托车来替换即可求解。 解（21－9）÷（12－8）=3（小时） 12＋9÷3=15（小时） 或 21÷3＋8=15（小时） 答：全程骑摩托车需要15小时到达乙地。
解 （1）舰模从A码头顺流而下960米，航行时间= =4（分），20－4=16 200 ＋40 （分）。因此，舰模出发后第16分钟又回到A码头。 （2）既然舰模出发后第16分钟又回到A码头，在这16分钟中，舰模顺流行驶的路程 与逆流行驶的路程相同。 （3）设在16分钟中，舰模顺流航行的时间为t，逆流航行的时间是16－t，顺流航行 的速度是200＋40=240（米/分），逆流航行的速度是200－40=160（米/分），应当 有240×t=160×（16－t），t=6.4（分） （4）因此，出发20分钟后舰模的总的航程是 6.4×240＋（20－6.4）×160＋960=4672（米） （5）设两个码头的距离是L米，则有， 4672=2mL＋960，m是整数， 4672 －960 1856 m , 2L L 1856 1856 由于L 960, 所以， 1 m 1.9，即m 1 ，L 1856 米。 L 960
960
答：A码头和B码头之间的距离是1856米。
【例4】从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车 上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶 35千米。车从甲地开往乙地 1 7 需9小时，从乙地开往甲地需 小时，问甲、乙两地间的公路有多少千米？ 2 从甲地到乙地需行驶多少千米的上坡路？
A D C
400千米
E
B
1 1 1 1 依据可知：AD= AC，AD= DC，EB= CE,所以AD＋EB= （DC＋ 3 2 2 2 CE ） = 1 1 DE,即从A市到小镇D与傍晚休息点E到B市的路程和是 400千米的 ， 2 2 2 400千米是AD与EB的和的 2 倍， 400 千米是总路程的 。 1 1＋2 解 方法一：400× ＋400=600（千米） 2 方法二：400÷2 2＋400=600（千米） 方法三：400÷ =600（千米） 3 答：A、B两市相距600千米。
【例2】甲、乙、丙三只蚂蚁从A、B、C三个不同的洞穴同时出发，分别向 洞穴B、C、A爬行，同时到达后，继续向洞穴C、A、B爬行，然后返回自 己出发的洞穴。如果甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的路径相同，爬行的总距离都 是7.3米，所用时间分别是6分钟、7分钟和8分钟，则蚂蚁乙从洞穴到达洞穴 B到达洞穴C时爬行了多少米？蚂蚁丙从洞穴C到达洞穴A时爬行了多少米？
7.3 168 7.3 168 7.3 168 2.8 （米）、 2.4 （米）和 2.（米） 1 6 73 7 73 8 73
答：蚂蚁乙从洞穴B到达C时爬行了2.4米，蚂蚁丙从洞穴C到达洞穴A时爬行了2.1米。
【例3】A码头在B码头的上游，“2005号”遥控舰模从A码头出发，在两个 码头之间往返之间往返航行。已知舰模在静水中的速度是每分钟200米，水 流的速度是每分钟40米。出发20分钟后，舰模位于A码头下游960米处，并 向B码头行驶。求A码头和B码头之间的距离是多少米？
【例1】在400米环形跑道上，A、B两点相距100米，甲、乙两人分别从A、 B两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，他们每 人跑100米，都要停10秒钟。求甲追上乙需多少时间？
A
B
分析 如果甲、乙两人不停地跑，可以计算出甲追上乙的时间，再加上中间 停留的时间就是所求时间。 解 如果甲、乙跑步不停留，甲追上乙需要 100÷（5－4）=100（秒） 甲跑100秒，共跑 5×100=500（米） 他在跑出100米、200米、300米、400米处共停留了4次，到了500米处恰好 追上乙，不必计停留时间。所以求甲追上乙需要的时间是 100＋4×10=140（秒） 答：甲追上乙需要140秒。
【例7】某人去甲地去乙地。如果他从甲地先骑摩托车行12小时，再换骑自 行车9小时，恰好到达乙地。如果他从甲地先骑自行车行21小时，再换骑摩 托车行8小时，也恰好到达乙地。问全程骑摩托车需要几小时？ 分析 第二种走法如果选骑摩托车行8小时，再骑自行车行21小时，也同样恰 好到达乙地。作示意图如下：
摩托车12小时 甲地 摩托车8小时 甲地 自行车21小时 乙地 自行车9小时 乙地
【例8】摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到 C市吃午饭。由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行了原计划的三分之一。 过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息。司机说，再走从C市到 这里路程的二分之一就到达目的地了。问A、B两市相距多少千米？ 分析 如下图所示，设小镇为D点，傍晚到达E点
T2 4n12a 4T2－3T2 4n23a T2 4n23a
T2 4a T1 4a－21
（ 1 ） （ 2 ）
在T1 时刻乙和丙都在甲的前方，则甲必在正方形的一个顶点（否则就不是开始）。每 秒钟甲与乙的距离拉近1米，21秒后甲追上乙，这就是甲和乙第一次处在同一位置， 此时就是T2 时刻，在 T1 时刻甲在乙后方21米。同理，在T1 时刻，乙在丙后方21米， 因此，甲在丙后方42米，因此他们在同一边上，所以， a≥42 （3）
【例5】如图，正方形跑道ABCD。甲、乙、丙三人同时从A点出发同向跑 步，他们的速度分别为每秒5米、4米、3米。若干时间后，甲开始看到乙和 丙都与自己在正方形的同一条边上，且他们在自己的前方。从甲这一次看到 取3.14 乙、丙在自己的前方的开始时刻起，又经过21秒，甲、乙、丙三人处在跑道 的同一位置，这是出发后三人第一次处在同一位置。问正方形的周长的可能 值是多少米？
解 由于甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的总距离都是7.3米，所用时间分别是6分钟、7分钟 7 .3 7 .3 7 . 3 和8分钟，所以甲、乙、丙三只蚂蚁的爬行速度分别是每分钟 ， ， 米。又因为 6 7 8 三只蚂蚁同时出发爬行，爬行一周的路径又相同，所以，当它们同时到达各自的下一 个洞穴时，它们共爬行了7.3米，他们的时间就是 7.3 7.3 7.3 168 7.3 （ ， ， ） （分钟） 6 7 8 73 因此，甲、乙、丙三只蚂蚁分别到达洞穴B、C、A时，爬行的距离分别是
【例6】班与乙班学生同时从学校出发去某公园，甲班步行的速度是每小 时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米。学校有一辆汽车，它的速度是每 小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。为了使这两班学生在最短的 时间内到达，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是多少？ 分析 假设甲班先乘汽车，一段时间后，甲班步行，汽车回头去接乙班。要使 时间最短，则甲班步行与乙班乘车应同时到达公园。考虑乙班与汽车相遇时， 乙班所走路程与汽车所走路程的比，再考虑甲班与汽车分开后，甲班所走路 程与汽车所走路程的比。