中考数学培优满分专题突破专题5图形中的函数关系
2022中考数学压轴题专题突破05 一次函数问题
一、单选题1．晓琳和爸爸到太子河公园运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，晓琳继续前行5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家.晓琳和爸爸在整个运动过程中离家的路程y1（米），y2（米）与运动时间x（分）之间的函数关系如图所示，下列结论：①两人同行过程中的速度为200米/分；②m的值是15，n的值是3000；③晓琳开始返回时与爸爸相距1800米；④运动18分钟或30分钟时，两人相距900米.其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C④设爸爸返回的解析式为y2=kx+b，把（15，3000）（45，0）代入得,解得∴y2=-100x+4500∴当0≤x≤20时，y1=200xy1-y2=900∴200x-（-100x+4500）=900∴x=18当20≤x≤45时，y1=ax+b，将（20，4000）（45，0）代入得,∴y1=-160x+7200y1-y2=900 ,（-160x+7200）-（-100x+4500）=900,x=30∴④正确故选：C．【关键点拨】本题考查了一次函数的应用，明确横纵坐标的实际意义是解题得关键.2．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A和点B，直线l2：y=kx（k≠0）与直线l1在第一象限交于点C．若∠BOC=∠BCO，则k的值为（）A．B．C．D．2【答案】B得：k，即k．故选B．【关键点拨】本题考查了两直线相交或平行问题，两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．3．某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元与上网时间x(h)的函数关系如图所示，则下列判断错误的是A．每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多C．每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱D．每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱【答案】D将（50，50）、（55，65）代入y B=mx+n，得：，解得：，∴y B=3x-100（x≥50），当x=70时，y B=3x-100=110＜120，∴结论D错误．故选D．【关键点拨】本题考查了函数的图象、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用一次函数的有关知识逐一分析四个选项的正误是解题的关键．4．如图，已知直线l：y=2x，分别过x轴上的点A1（1，0）、A2（2，0）、…、A n（n，0），作垂直于x轴的直线交l于点B1、B2、…、B n，将△OA1B1，四边形A1A2B2B1、…、四边形A n−1A n B n B n−1的面积依次记为S1、S2、…、S n，则S n=（）A．n2B．2n+1C．2n D．2n−1【答案】D5．如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（）A．（0，0）B．（，）C．（，）D．（，）【答案】B【关键点拨】本题考查了一次函数的性质，坐标与图形性质，垂线段最短，等腰直角三角形等知识，熟练掌握垂线段最短是解决本题的关键.6．如图，直线y=kx+3经过点（2，0），则关于x的不等式kx+3＞0的解集是（）A．x＞2B．x＜2C．x≥2D．x≤2【答案】B【关键点拨】本题考查了一次函数的图象与性质和一元一次不等式及其解法，解题的关键是掌握一次函数与一元一次不等式之间的内在联系.7．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第一象限，点、的坐标分别为、，，，直线交轴于点，若与关于点成中心对称，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴A（4，3），设直线AB解析式为y=kx+b，则，解得，∴直线AB解析式为y=x﹣1，令x=0，则y=﹣1，∴P（0，﹣1），又∵点A与点A'关于点P成中心对称，∴点P为AA'的中点，设A'（m，n），则=0，=﹣1，∴m=﹣4，n=﹣5，∴A'（﹣4，﹣5），故选：A．【关键点拨】本题考查了中心对称和等腰直角三角形的运用，利用待定系数法得出直线AB的解析式是解题的关键.8．春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒.在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过的集中药物喷洒，再封闭宿舍，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示.下面四个选项中错误的是（）A．经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到B．室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了C．当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒.此次消毒完全有效D．当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内【答案】C【关键点拨】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型.9．已知一系列直线分别与直线相交于一系列点，设的横坐标为，则对于式子，下列一定正确的是( ) A．大于1 B．大于0 C．小于－1 D．小于0【答案】B【解析】由题意x i=-，x j=-，∴式子＞0，故选：B．【关键点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．10．如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F 运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（）A．B．2 C．D．2【答案】CBE=，∵四边形ABCD是菱形，∴EC=a-1，DC=a，Rt△DEC中，a2=22+（a-1）2.解得a=.故选：C．【关键点拨】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．11．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（）A．5B．10C．15D．20【答案】A【解析】作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．连接BC．【关键点拨】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用直线与圆的位置关系解决问题，属于中考填空题中的压轴题．12．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，AE的垂直平分线分别交AD，BC及AB的延长线于点F，G，H，连接HE，HC，OD，连接CO并延长交AD于点M．则下列结论中：①FG=2AO；②OD∥HE；③；④2OE2=AH•DE；⑤GO+BH=HC正确结论的个数有（）A．2B．3C．4D．5【答案】B同理可得：直线CO的方程为：，可得M点坐标（，2），可得：①FG=,AO==,故FG=2AO，故①正确；②：由O点坐标，D点坐标（2，2），可得OD的方程：，由H点坐标(0,)，E点坐标（2，1），可得HE方程：，由两方程的斜率不相等，可得OD不平行于HE，故②错误；③由A(0,2)，M（，2），H(0,)，E（2，1），可得：BH=,EC=1,AM=,MD=,故=，故③正确；④：由O点坐标，E（2，1），H(0,)，D(2,2),可得：,AH=,DE=1,有2OE2=AH•DE，故④正确；【关键点拨】本题主要考查一次函数与矩形的综合，及点与点之间的距离公式，难度较大，灵活建立直角坐标系是解题的关键.二、填空题13．如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个由六个边长为1的正方形组成的图案，其中点A，B的坐标分别为(3,5)，(6,1)．若过原点的直线l将这个图案分成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式为_____．【答案】【解析】【关键点拨】本题考查了中心对称图形的性质、待定系数法求解析式，熟知过中心对称图形对称中心的直线把这个图形分成面积相等的两个图形是解题的关键.14．如图，一次函数y=﹣x﹣2与y=2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式组的解集为_____．【答案】﹣2＜x＜2【解析】∵一次函数y=﹣x﹣2的图象过点P（n，﹣4），∴﹣4=﹣n﹣2，解得n=2，∴P（2，﹣4），又∵y=﹣x﹣2与x轴的交点是（﹣2，0），∴关于x的不等式组的解集为故答案为：【关键点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确确定出n的值，是解答本题的关键．15．如图，直线与两坐标轴分别交于、两点，将线段分成等份，分点分别为，，P3,，… ，过每个分点作轴的垂线分别交直线于点，，，… ，用，，，…，分别表示，，…，的面积，则___________.【答案】【关键点拨】本题考查一次函数的应用，规律型−点的坐标、三角形的面积、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分割法求阴影部分面积．16．如图，直线y1=-x+a与y2=bx-4相交于点P,已知点P的坐标为（1，-3），则关于x的不等式-x+a<bx-4的解集是_______.【答案】【关键点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解决这类题目的关键是找出两个函数图像的交点坐标，再根据图象的位置确定x的取值范围.17．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，依次进行下去，则点的横坐标为__．【答案】【关键点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出题目中点的横坐标的变化规律．18．如图所示，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b=0的解是_____．【答案】x=2【解析】∵一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），∴关于x的方程ax+b=0的解是x=2，故答案为：x=2．【关键点拨】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．19．规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．则下列说法正确的是________．（写出所有正确说法的序号）①当x=1.7时，[x]+（x）+[x）=6；②当x=﹣2.1时，[x]+（x）+[x）=﹣7；③方程4[x]+3（x）+[x）=11的解为1＜x＜1.5；④当﹣1＜x＜1时，函数y=[x]+（x）+x的图象与正比例函数y=4x的图象有两个交点．【答案】②③④∵﹣1＜x＜1时，∴当﹣1＜x＜﹣0.5时，y=[x]+（x）+x=﹣1+0+x=x﹣1，当﹣0.5＜x＜0时，y=[x]+（x）+x=﹣1+0+x=x﹣1，当x=0时，y=[x]+（x）+x=0+0+0=0，当0＜x＜0.5时，y=[x]+（x）+x=0+1+x=x+1，当0.5＜x＜1时，y=[x]+（x）+x=0+1+x=x+1，∵y=4x，则x﹣1=4x时，得x=；x+1=4x时，得x=；当x=0时，y=4x=0，∴当﹣1＜x＜1时，函数y=[x]+（x）+x的图象与正比例函数y=4x的图象有三个交点，故④错误，故答案为：②③．20．一天早晨，小玲从家出发匀速步行到学校，小玲出发一段时间后，她的妈妈发现小玲忘带了一件必需的学习用品，于是立即下楼骑自行车，沿小玲行进的路线，匀速去追小玲，妈妈追上小玲将学习用品交给小玲后，立即沿原路线匀速返回家里，但由于路上行人渐多，妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的一半，小玲继续以原速度步行前往学校，妈妈与小玲之间的距离y（米）与小玲从家出发后步行的时间x（分）之间的关系如图所示（小玲和妈妈上、下楼以及妈妈交学习用品给小玲耽搁的时间忽略不计）．当妈妈刚回到家时，小玲离学校的距离为_____米．【答案】200【关键点拨】本题考查了一次函数的图象的性质的运用，路程=速度×时间之间的关系的运用，分别求小玲和妈妈的速度是关键，解答时熟悉并理解函数的图象．21．已知直线l1：y=（k﹣1）x+k+1和直线l2：y=kx+k+2，其中k为不小于2的自然数．（1）当k=2时，直线l1、l2与x轴围成的三角形的面积S2=______；（2）当k=2、3、4，……，2018时，设直线l1、l2与x轴围成的三角形的面积分别为S2，S3，S4，……，S2018，则S2+S3+S4+……+S2018=______．【答案】 1【解析】当y=0时，有（k-1）x+k+1=0，解得：x=-1-，∴直线l1与x轴的交点坐标为（-1-，0），同理，可得出：直线l2与x轴的交点坐标为（-1-，0），∴两直线与x轴交点间的距离d=-1--（-1-）=-．联立直线l1、l2成方程组，得：，解得：，∴直线l1、l2的交点坐标为（-1，-2）．（1）当k=2时，d=-=1，∴S2=×|-2|d=1．故答案为：1．【关键点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中图形的变化类，利用一次函数图象上点的坐标特征求出两直线与x轴交点间的距离是解题的关键．22．如图，射线OM在第一象限，且与x轴正半轴的夹角为60°，过点D（6,0)作DA⊥OM于点A，作线段OD的垂直平分线BE交x轴于点E,交AD于点B,作射线OB.以AB为边在△AOB的外侧作正方形ABCA1,延长A1C交射线OB于点B1,以A1B1为边在△A1OB1的外侧作正方形A1B1C1A2,延长A2C1交射线OB于点B2,以A2B2为边在△A2OB2的外侧作正方形A2B2C2A3……按此规律进行下去，则正方形A2017B2017C2017A2018的周长为______________.【答案】【关键点拨】本题考查规律型问题、解直角三角形、点的坐标等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，根据获取的规律解决问题．23．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为________．【答案】∴A(,0);∴OA=,设D(x,) ,∴E(x,- x+2),延长DE交OA于点F，∴EF=-x+2,OF=x,在Rt△OEF中利用勾股定理得：,解得：x1=0(舍），x2=；∴EF=1,∴S△AOE=·OA·EF=2.故答案为：.【关键点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．也考查了菱形的性质.三、解答题24．某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，一件A型丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元．（1）求一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？（2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．①求m的取值范围．②已知A型的售价是800元/件，销售成本为2n元/件；B型的售价为600元/件，销售成本为n元/件．如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w（元）与n（元）的函数关系式.【答案】（1）一件A型、B型丝绸的进价分别为500元，400元；（2）①，②．（2）①根据题意得：，的取值范围为：，②设销售这批丝绸的利润为，根据题意得：，，（Ⅰ）当时，，时，销售这批丝绸的最大利润；（Ⅱ）当时，，销售这批丝绸的最大利润；（Ⅲ）当时，当时，销售这批丝绸的最大利润．综上所述：．【关键点拨】本题综合考察了分式方程、不等式组以及一次函数的相关知识．在第（2）问②中，进一步考查了，如何解决含有字母系数的一次函数最值问题．25．“低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游．周末，小红相约到郊外游玩，她从家出发0.5小时后到达甲地，玩一段时间后按原速前往乙地，刚到达乙地，接到妈妈电话，快速返回家中．小红从家出发到返回家中，行进路程y（km）随时间x（h）变化的函数图象大致如图所示．（1）小红从甲地到乙地骑车的速度为km/h；（2）当1.5≤x≤2.5时，求出路程y（km）关于时间x（h）的函数解析式；并求乙地离小红家多少千米？【答案】（1）20；（2）乙地离小红家30千米.当x=2.5时，解得y=30，∴乙地离小红家30千米.【关键点拨】本题考查一次函数的应用，读懂图象信息，掌握待定系数法是解题的关键.26．某工厂甲、乙两车间接到加工一批零件的任务，从开始加工到完成这项任务共用了9天，乙车间在加工2天后停止加工，引入新设备后继续加工，直到与甲车间同时完成这项任务为止，设甲、乙车间各自加工零件总数为y（件），与甲车间加工时间x（天），y与x之间的关系如图（1）所示．由工厂统计数据可知，甲车间与乙车间加工零件总数之差z（件）与甲车间加工时间x（天）的关系如图（2）所示．（1）甲车间每天加工零件为_____件，图中d值为_____．（2）求出乙车间在引入新设备后加工零件的数量y与x之间的函数关系式．（3）甲车间加工多长时间时，两车间加工零件总数为1000件？【答案】80770∴，解得，∴y=130x﹣400（4≤x≤9）（3）由题意得：80x+130x﹣400=1000，解得：x=答：甲车间加工天时，两车间加工零件总数为1000件【关键点拨】一次函数实际应用问题，关键是根据一次函数图象的实际意义和根据图象确定一次函数关系式解答．27．如图，已知A（6，0），B（8，5），将线段OA平移至CB，点D在x轴正半轴上（不与点A重合），连接OC，AB，CD，BD．（1）求对角线AC的长；（2）设点D的坐标为（x，0），△ODC与△ABD的面积分别记为S1，S2．设S=S1﹣S2，写出S关于x的函数解析式，并探究是否存在点D使S与△DBC的面积相等？如果存在，用坐标形式写出点D的位置；如果不存在，说明理由．【答案】（1）AC=；（2）点D的坐标为（x，0）（x＞6）．∴S=S1﹣S2=-（）=5x﹣15，当点D在OA的延长线上时，S1=，S2==，∴S=S1﹣S2=-（）=15，由上可得，S=，∵S△DBC==15，∴点D在OA的延长线上的任意一点都满足条件，∴点D的坐标为（x，0）（x＞6）．【关键点拨】本题考查一次函数的应用、勾股定理的应用、平移的性质、两点间的距离公式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．28．某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元．（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元；（2）若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？【答案】（1）A型空调和B型空调每台各需9000元、6000元；（2）共有三种采购方案，方案一：采购A型空调10台，B型空调20台，方案二：采购A型空调11台，B型空调19台，案三：采购A型空调12台，B型空调18台；（3）采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210000元．（2）设购买A型空调a台，则购买B型空调（30-a）台，，解得，10≤a≤12，∴a=10、11、12，共有三种采购方案，方案一：采购A型空调10台，B型空调20台，方案二：采购A型空调11台，B型空调19台，方案三：采购A型空调12台，B型空调18台；【关键点拨】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的思想解答．29．“绿水青山就是金山银山”，随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高.孝感市槐荫公司根据市场需求代理、两种型号的净水器，每台型净水器比每台型净水器进价多200元，用5万元购进型净水器与用4.5万元购进型净水器的数量相等.（1）求每台型、型净水器的进价各是多少元；（2）槐荫公司计划购进、两种型号的净水器共50台进行试销，其中型净水器为台，购买资金不超过9.8万元.试销时型净水器每台售价2500元，型净水器每台售价2180元.槐荫公司决定从销售型净水器的利润中按每台捐献元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设槐荫公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为，求的最大值.【答案】（1）型净水器每台进价2000元，型净水器每台进价1800元.（2）的最大值是元.【解析】（1）设A型净水器每台的进价为m元，则B型净水器每台的进价为（m-200）元，根据题意得：，解得：m=2000，经检验，m=2000是分式方程的解，∴m-200=1800．答：A型净水器每台的进价为2000元，B型净水器每台的进价为1800元．【关键点拨】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出W关于x的函数关系式．30．某市制米厂接到加工大米任务，要求5天内加工完220吨大米，制米厂安排甲、乙两车间共同完成加工任务，乙车间加工中途停工一段时间维修设备，然后改变加工效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工大米数量y（吨）与甲车间加工时间s（天）之间的关系如图（1）所示；未加工大米w（吨）与甲加工时间x（天）之间的关系如图（2）所示，请结合图象回答下列问题：（1）甲车间每天加工大米吨，a=．（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工大米数量y（吨）与x（天）之间函数关系式．（3）若55吨大米恰好装满一节车厢，那么加工多长时间装满第一节车厢？再加工多长时间恰好装满第二节车厢？【答案】（1）20，15；（2）y=35x﹣55；（3）再过1天装满第二节车厢.【解析】（1）由图象可知，第一天甲乙共加工220﹣185=35吨，第二天，乙停止工作，甲单独加工185﹣165=20吨，则乙一天加工35﹣20=15吨，a=15，故答案为：20，15；（2）设y=kx+b，把（2，15），（5，120）代入得，解得：，∴y=35x﹣55（2≤x≤5）；【关键点拨】本题为一次函数实际应用问题，应用了待定系数法、分类讨论思想等，解答要注意通过对这两个函数图象实际意义对比分析得到问题答案．31．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，直线y=﹣x+与x轴、y 轴分别交于B、C两点，四边形ABCD为菱形．（1）如图1，求点A的坐标；（2）如图2，连接AC，点P为△ACD内一点，连接AP、BP，BP与AC交于点G，且∠APB=60°，点E 在线段AP上，点F在线段BP上，且BF=AE，连接AF、EF，若∠AFE=30°，求AF2+EF2的值；（3）如图3，在（2）的条件下，当PE=AE时，求点P的坐标．【答案】（1）A（﹣，0）．（2）49；（3）P（﹣，3）【解析】（1）如图1中，（2）如图2中，连接CE、CF．∵OA=OB，CO⊥AB，∴AC=BC=7，∴AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠APB=60°，∴∠APB=∠ACB，∵∠PAG+∠APB=∠AGB=∠CBG+∠ACB，∴∠PAG=∠CBG，∵AE=BF，∴△ACE≌△BCF，∴CE=CF，∠ACE=∠BCF，∴∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠ACF+∠BCF=∠ACB=60°，∴△CEF是等边三角形，∴∠CFE=60°，EF=FC，∵∠AFE=30°，∴∠AFC=∠AFE+∠CFE=90°，在Rt△ACF中，AF2+CF2=AC2=49，∴AF2+EF2=49．（3）如图3中，延长CE交FA的延长线于H，作PQ⊥AB于Q，PK⊥OC于K，在BP设截取BT=PA，连接AT、CT、CF、PC．∴△CPE≌△H AE，∴∠PCE=∠H，∴PC∥FH，∵∠CAP=∠CBT，AC=BC，∴△ACP≌△BCT，∴CP=CT，∠ACP=∠BCT，∴∠PCT=∠ACB=60°，∴△CPT是等边三角形，∴CT=PT，∠CPT=∠CTP=60°，∵CP∥FH，∴∠HFP=∠CPT=60°，∵∠APB=60°，∴△APF是等边三角形，∴∠CFP=∠AFC-∠∠AFP=30°，∴∠TCF=∠CTP-∠TFC=30°，∴∠TCF=∠TFC，∴TF=TC=TP，【关键点拨】本题考查一次函数综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．32．某书店现有资金7700元，计划全部用于购进甲、乙、丙三种图书共20套，其中甲种图书每套500元，乙种图书每套400元，丙种图书每套250元．书店将甲、乙、丙三种图书的售价分别定为每套550元，430元，310元．设书店购进甲种图书x套，乙种图书y套，请解答下列问题：（1）请求出y与x的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；（2）若书店购进甲、乙两种图书均不少于1套，则该书店有几种进货方案？（3）在（1）和（2）的条件下，根据市场调查，书店决定将三种图书的售价作如下调整：甲种图书的售价不变，乙种图书的售价上调a（a为正整数）元，丙种图书的售价下调a元，这样三种图书全部售出后，所获得的利润比（2）中某方案的利润多出20元，请直接写出书店是按哪种方案进的货及a的值．【答案】（1）y=﹣x+18（2）三种购买方案（3）甲种图书6套，乙种图书8套，丙种图书6套，a=10即有三种购买方案：①甲、乙、丙三种图书分别为3套，13套，4套，②甲、乙、丙三种图书分别为6套，8套，6套，③甲、乙、丙三种图书分别为9套，3套，8套，（3）若按方案一：则有13a﹣4a=20，解得a=（不是正整数，不符合题意），若按方案二：则有8a﹣6a=20，解得a=10（符合题意），若按方案三：则有3a﹣8a=20，解得a=﹣4（不是正整数，不符合题意），所以购买方案是：甲种图书6套，乙种图书8套，丙种图书6套，a=10．【关键点拨】本题主要考查一次函数与不等式等知识的综合，注意运算的准确性及灵活根据题意进行方案选择.33．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．（1）当t=秒时，点Q的坐标是；（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值．【答案】（1）（4，0）；（2）①当0＜t≤1时，S =t2；②当1＜t≤时，S =﹣t2+18t；③当＜t≤2时，S =﹣3t2+12；（3）OT+PT的最小值为．（2）当点Q在原点O时，OQ=6，∴AP=OQ=3，∴t=3÷3=1，①当0＜t≤1时，如图1，令x=0，∴y=4，∴B（0，4），∴OB=4，∵A（6，0），∴OA=6，∴CN=t，∴S=S正方形PQMN﹣S△CDN=（3t）2﹣t×t=t2；②当1＜t≤时，如图2，同①的方法得，DN=t，CN=t，∴S=S矩形OENP﹣S△CDN=3t×（6﹣3t）﹣t×t=﹣t2+18t；③当＜t≤2时，如图3，S=S梯形OBDP=（2t+4）（6﹣3t）=﹣3t2+12；（3）如图4，由运动知，P（6﹣3t，0），Q（6﹣6t，0），∴M（6﹣6t，3t），∵T是正方形PQMN的对角线交点，∴T（6﹣t，t）∴点T是直线y=﹣x+2上的一段线段，（﹣3≤x＜6），作出点O关于直线y=﹣x+2的对称点O'交此直线于G，过点O'作O'F⊥x轴，则O'F就是OT+PT的最小值，由对称知，OO'=2OG，【关键点拨】此题是一次函数综合题，主要考查了正方形的面积，梯形，三角形的面积公式，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键，找出点T的位置是解本题（3）的难点．34．如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标为（0，10）．点E的坐标为（20，0），直线l1经过点F和点E，直线l1与直线l2 、y=x相交于点P．（1）求直线l1的表达式和点P的坐标；（2）矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上，点A与点F重合，点B在线段OF上，边AD平行于x 轴，且AB=6，AD=9，将矩形ABCD沿射线FE的方向平移，边AD始终与x 轴平行．已知矩形ABCD以每秒个单位的速度匀速移动（点A移动到点E时止移动），设移动时间为t秒（t＞0）．①矩形ABCD在移动过程中，B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线l1或l2上，请直接写出此时t的值；②若矩形ABCD在移动的过程中，直线CD交直线l1于点N，交直线l2于点M．当△PMN的面积等于18时，请直接写出此时t的值．【答案】（1）直线l1的表达式为y=﹣x+10，点P坐标为（8，6）；（2）①t值为或；②当t=时，△PMN的面积等于18.（2）①如图，当点D在直线上l2时，∵AD=9∴点D与点A的横坐标之差为9，∴将直线l1与直线l2的解析式变形为x=20﹣2y，x=y，∴y﹣（20﹣2y）=9，解得：y=，∴x=20﹣2y=，。
中考数学一轮复习课件：专题五 函数与图象
函数解析式的求法
例 3：(2014 年广东梅州)已知反比例函数 y＝kx的图象经过 点 M(2,1).
(1)求该函数的表达式； (2)当 2＜x＜4 时，求 y 的取值范围(直接写出结果).
解：(1)∵反比例函数 y＝kx的图象经过点 M(2,1)， ∴k＝2×1＝2. ∴该函数的表达式为 y＝2x. (2)∵y＝2x，∴x＝2y. ∵2＜x＜4，∴2＜2y＜4，解得12＜y＜1.
(3)解：如图Z5-7：
图 Z5-7 由(2)知 AC＝BC＝2 5，又 AQ＝5, 则在 Rt△ACQ 中，由勾股定理，得 CQ＝ AQ2－AC2＝ 52－2 52＝ 5. 过点 C 作 CF⊥AQ 于点 F，
∵S△ACQ＝12AC·CQ＝12AQ·CF，
∴CF＝ACA·QCQ＝2
5× 5
5＝2.
在 Rt△ACF 中，由勾股定理得
AF＝ AC2－CF2＝ 2 52－22＝4. 由垂径定理可知 AP＝2AF.∴AP＝8.
[名师指点]本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的 图象与性质、待定系数法、全等三角形、勾股定理、勾股定理 的逆定理、垂径定理等知识点.本题设计考点清晰，层次合理： 第(1)问主要考查全等三角形和待定系数法；第(2)问主要考查勾 股定理及其逆定理；第(3)问主要考查垂径定理与勾股定理.
如图 Z5-6，过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E，则 DE＝OD－OE ＝1，CD＝OD－OC＝5.
在 Rt△BDE 中，由勾股定理得 BD＝ BE2＋DE2＝ 22＋12 ＝ 5；
在 Rt△BCE 中，由勾股定理得 BC＝ BE2＋CE2＝ 22＋42 ＝2 5.
在△BCD 中，BD＝ 5，BC＝2 5，CD＝5， ∵BD2＋BC2＝CD2， ∴△BCD 为直角三角形，∠CBD＝90°. ∴∠CBD＝∠ACB＝90°. ∴AC∥BD.
2020年中考数学压轴题突破专题5 二次函数与线段和角的数量关系问题
2020年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练专题05 二次函数与线段和角的数量关系问题【真题再现】1．（2019年宿迁28题）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠P AB＝2∠ACO．求点P的坐标；（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．2．（2019年盐城27题）如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．（1）求A、B两点的横坐标；（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．3．（2018年常州28题）如图，二次函数y bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y 轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．（1）b＝，点B的坐标是；（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB＝1：2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．4．（2019年苏州28题）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．（1）求a的值；（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠P AQ＝∠AQB，求点Q的坐标．5．（2018年无锡28题）已知：如图，一次函数y＝kx﹣1的图象经过点A（3，m）（m＞0），与y轴交于点B．点C在线段AB上，且BC＝2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．若AC＝CD．（1）求这个一次函数的表达式；（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（，0），求这条抛物线的函数表达式．6．（2017年苏州28题）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．（1）求b、c的值；（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．【专项突破】【题组一】1．（2020•无锡模拟）如图，已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C．过点A的直线y＝kx+2k（k≠0）与这个二次函数的图象的另一个交点为F，与该图象的对称轴交于点E，与y轴交于点D，且DE＝EF．（1）求点A的坐标；（2）若△BDF的面积为12，求这个二次函数的关系式；（3）设二次函数的顶点为P，连接PF，PC，若∠CPF＝2∠DAB，求此时二次函数的表达式．2．（2020•镇江模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．3．（2020•滨湖区模拟）已知二次函数y＝ax2+4amx（m＞0）的对称轴与x轴交于点B，与直线l：y交于点C，点A是该二次函数图象与直线l在第二象限的交点，点D是抛物线的顶点，已知AC：CO＝1：2，∠DOB＝45°，△ACD的面积为2．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若点P为抛物线对称轴上的一个点，且∠POC＝45°，求点P坐标．4．（2020•营口模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2+mx+n交x轴于点A（﹣2，0）和点B，交y 轴于点C（0，2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M在抛物线上，且S△AOM＝2S△BOC，求点M的坐标；（3）如图2，设点N是线段AC上的一动点，作DN⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DN长度的最大值．【题组二】5．（2019•梁溪区校级二模）已知，在平面直角坐标系中，直线l与y轴相交于点A（0，m），其中m＜0，与x轴相交于点B（4，0）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点B，它与直线l相交于另一点C．（1）若AC：BC＝1：3，求a的值（用含m的代数式表示）；（2）在（1）的条件下，若抛物线的顶点为F，其对称轴与直线l和x轴分别相交于点D、E，当以F、C、D为顶点的三角形与△BED相似时，求抛物线的函数表达式．6．（2019•邗江区校级二模）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝4．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC 于点F，当S△COF：S△CDF＝4：3时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣2），点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2019•靖江市校级一模）如图，抛物线y＝mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B 两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB＝∠OAD，且点D为线段AE的中点．①求m的值；②此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n4my1250成立，求实数n的最小值．8．（2019•姑苏区校级二模）已知抛物线经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（0，3），点D为抛物线在第一象限内图象上一动点，连接AD，交y轴于点E，将点C关于线段AD作轴对称，对称点为C'，连接AC'．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1如果点C'落在x轴，求点E坐标；（3）如图2，连接AC、BC，BC与AD交于点F，拖动点D，点C'落在第四象限，作FG∥AC，交x轴于点M，交AC'于点G，若∠AGF＝90°，求点M的横坐标．【题组三】9．（2019•宿豫区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且抛物线经过点D（2，3）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将该抛物线向下平移，使得新抛物线的顶点G在x轴上．原抛物线上一点M平移后的对应点为点N，如果△AMN是以MN为底边的等腰三角形，求点N的坐标；（3）若点P为抛物线上第一象限内的动点，过点B作BE⊥OP，垂足为E，点Q为y轴上的一个动点，连接QE、QD，试求QE+QD的最小值．10．（2019•灌南县二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点A（﹣1，0）、C（2，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点，①若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，直接写出点M的坐标；②连接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．11．（2019•润州区二模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与直线AB相交，与x轴、y轴交于A（2，0）、B．（1）求点O关于AB的对称点P的坐标；（2）若点P在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的关系式．（3）在（2）的条件下，在△ABP内存在点M，使得MA+MB+MP的值最小，则相应点M的坐标为．12．（2019•洪泽区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+5经过A（1，0）和B（5，0），与y轴交于点C点为点D，连接BC，BD．点P是抛物线对称轴上的一个动点（1）a＝，b；（2）若∠CPB＝90°，求点P的坐标；（3）是否存在点P，使得以P、D、B为顶点的三角形中有两个内角的和等于∠ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（4）如图②，抛物线对称轴交x轴于点E，设∠BDE的度数为a，点M是线段BC上动点，作射线AM，将AM绕A点逆时针旋转2a度，旋转后的射线交直线BC与点N，请直接写出MN的最小值．（直接写出结果）【题组四】13．（2019•高港区三模）定义：两条长度相等，且它们所在的直线互相垂直，我们称这两条线段互为等垂线段．如图①，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）若线段AB与线段BC互为等垂线段．求A、B、C的坐标．（2）如图②，点D是反比例函数y的图象上任意一点，点E（m，1），线段DE与线段AB互为等垂线段，求m的值；（3）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、B两点．①用含a的代数式表示b．②点P为平面直角坐标系内的一点，在抛物线上存在点Q，使得线段PQ与线段AB互为等垂线段，且它们互相平分，请直接写出满足上述条件的a值．14．（2019•丹阳市一模）如图（1），二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0）的图象与x轴、直线y＝x的交点分别为点A（4，0）、B（5，5）．（1）a＝，b＝，∠AOB＝°；（2）连接AB，点P是抛物线上一点（异于点A），且∠PBO＝∠OBA，求点P的坐标；（3）如图（2），点C、D是线段OB上的动点，且CD＝2．设点C的横坐标为m．①过点C、D分别作x轴的垂线，与抛物线相交于点F、E，连接EF．当CF+DE取得最大值时，求m的值并判断四边形CDEF的形状；②连接AC、AD，求m为何值时，AC+AD取得最小值，并求出这个最小值．15．（2019•建湖县二模）如图，二次函数y＝ax2﹣3ax+c的图象与x轴交于点A、B，与y 轴交于点C直线y＝﹣x+4经过点B、C．（1）求抛物线的表达式；（2）过点A的直线交抛物线于点M，交直线BC于点N．①点N位于x轴上方时，是否存在这样的点M，使得AM：NM＝5：3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角∠ANB等于∠ACB的2倍时，请求出点M的横坐标．16．（2019•无锡二模）已知，如图，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）图象的顶点为C与x 轴交于A、B两点（点A在点B左侧），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx对称．（1）求A、B两点坐标及直线l的解析式；（2）求二次函数解析式；（3）如图2，过点B作直线BD∥AC交直线l于D点，M、N分别为直线AC和直线l 上的两动点，连接CN，NM、MD，求D的坐标并直接写出CN+NM+MD的最小值．【题组五】17．（2019•兴化市二模）已知，关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax（a＞0）的顶点为C，与x 轴交于点O、A，关于x的一次函数y＝﹣ax（a＞0）．（1）试说明点C在一次函数的图象上；（2）若两个点（k，y1）、（k+2，y2）（k≠0，±2）都在二次函数的图象上，是否存在整数k，满足？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由；（3）若点E是二次函数图象上一动点，E点的横坐标是n，且﹣1≤n≤1，过点E作y 轴的平行线，与一次函数图象交于点F，当0＜a≤2时，求线段EF的最大值．18．（2019•清江浦区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点B（﹣3，0）和C（4，0）与y轴交于点A．（1）a＝，b＝；（2）点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿AB向B运动，同时，点N从点B 出发以每秒1个单位长度的速度沿BC向C运动，当点M到达B点时，两点停止运动．t 为何值时，以B、M、N为顶点的三角形是等腰三角形？（3）点P是第一象限抛物线上的一点，若BP恰好平分∠ABC，请直接写出此时点P的坐标．19．（2019•常州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+m交y轴于点C，与抛物线y＝ax2+bx交于点A（4，0）、B（，）．（1）直线l的表达式为：，抛物线的表达式为：；（2）若点P是二次函数y＝ax2+bx在第四象限内的图象上的一点，且2S△APB＝S△AOB，求△AOP的面积；（3）若点Q是二次函数图象上一点，设点Q到直线l的距离为d，到抛物线的对称轴的距离为d1，当|d﹣d1|＝2时，请直接写出点Q的坐标．20．（2019•东台市模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+3的图象经过点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C，顶点是D．（1）求抛物线的表达式和顶点D的坐标；（2）在x轴上取点F，在抛物线上取点E，使以点C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；（3）将此抛物线沿着过点（0，2）且垂直于y轴的直线翻折，E为所得新抛物线x轴上方一动点，过E作x轴的垂线，交x轴于G，交直线l：y x﹣1于点F，以EF为直径作圆在直线l上截得弦MN，求弦MN长度的最大值．【题组六】21．（2019•昆山市二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（2，0），B（﹣3，0），交y轴于点C，且经过点D（﹣6，﹣6），连接AD，BD．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）若点M为X轴上方的抛物线上一点，能否在点A左侧的x轴上找到另一点N，使得△AMN与△ABD相似？若相似，请求出此时点M、点N的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与A，D重合），过点P作PQ∥y轴交直线AD于点Q，以PQ为直径作⊙E，则⊙E在直线AD上所截得的线段长度的最大值等于．（直接写出答案）22．（2019•泰兴市一模）如图1，抛物线l1：：y1＝a（x﹣2）2与直线l2：y2＝﹣am（x﹣2）+b（a，m，b为常数，a≠0，m＜0）交于A，B两点，直线l2交x轴交于点C．点A的坐标为（m+2，n）．（1）若a＝﹣1，m＝﹣3，则A的坐标为，b＝，点B的坐标为；（2）已知点M（0，﹣4），N（3，﹣4），抛物线l1与线段MN有两个公共点，求a的取值范围；（3）①如图1，求证：AB＝3AC；②如图2，设抛物线顶点为F，直线l2交抛物线的对称轴于点D，直线l3：y3＝2am（x﹣2）+d（d为常数，d≠0）经过点A，并交抛物线的对称轴于点E，若∠BFD＝p∠AED （p为常数），则p的值是否发生变化？若不变，请求出p的值；若变化，请说明理由．23．（2019•铜山区二模）已知，如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象交x轴于A（﹣1，0），交y轴于点C（0，3），D是抛物线的顶点，对称轴DF经过x轴上的点F（1，0）．（1）求二次函数关系式；（2）对称轴DF与BC交于点M，点P为对称轴DF上一动点．①求AP PD的最小值及取得最小值时点P的坐标；②在①的条件下，把△APF沿着x轴向右平移t个单位长度（0≤t≤4）时，设△APF与△MBF重叠部分面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并求出S的最大值．24．（2019•靖江市一模）如图1，将抛物线y＝ax2（a＜0平移到顶点M恰好落在直线y＝x+3上，且抛物线过直线与y轴的交点A，设此时抛物线顶点的横坐标为m（m＞0）．（1）用含m的代数式表示a；（2）如图2，Rt△CBT与抛物线交于C、D、T三点，∠B＝90°，BC∥x轴，CD＝2．BD ＝t．BT＝2t，△TDC的面积为4．①求抛物线方程；②如图3，P为抛物线AM段上任一点，Q（0，4），连结QP并延长交线段AM于N，求的最大值．参考答案【真题再现】1．（2019年宿迁28题）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠P AB＝2∠ACO．求点P的坐标；（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【分析】（1）把点A、C坐标代入抛物线解析式即求得b、c的值．（2）点P可以在x轴上方或下方，需分类讨论．①若点P在x轴下方，延长AP到H，使AH＝AB构造等腰△ABH，作BH中点G，即有∠P AB＝2∠BAG＝2∠ACO，利用∠ACO 的三角函数值，求BG、BH的长，进而求得H的坐标，求得直线AH的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P坐标．②若点P在x轴上方，根据对称性，AP一定经过点H 关于x轴的对称点H'，求得直线AH'的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P坐标．（3）设点Q横坐标为t，用t表示直线AQ、BN的解析式，把x＝﹣1分别代入即求得点M、N的纵坐标，再求DM、DN的长，即得到DM+DN为定值．【解析】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（1，0），C（0，﹣3）∴解得：∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3（2）①若点P在x轴下方，如图1，延长AP到H，使AH＝AB，过点B作BI⊥x轴，连接BH，作BH中点G，连接并延长AG交BI于点F，过点H作HI⊥BI于点I∵当x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1∴B（﹣3，0）∵A（1，0），C（0，﹣3）∴OA＝1，OC＝3，AC，AB＝4∴Rt△AOC中，sin∠ACO，cos∠ACO∵AB＝AH，G为BH中点∴AG⊥BH，BG＝GH∴∠BAG＝∠HAG，即∠P AB＝2∠BAG∵∠P AB＝2∠ACO∴∠BAG＝∠ACO∴Rt△ABG中，∠AGB＝90°，sin∠BAG∴BG AB∴BH＝2BG∵∠HBI+∠ABG＝∠ABG+∠BAG＝90°∴∠HBI＝∠BAG＝∠ACO∴Rt△BHI中，∠BIH＝90°，sin∠HBI，cos∠HBI ∴HI BH，BI BH∴x H＝﹣3，y H，即H（，）设直线AH解析式为y＝kx+a∴解得：∴直线AH：y x∵解得：（即点A），∴P（，）②若点P在x轴上方，如图2，在AP上截取AH'＝AH，则H'与H关于x轴对称∴H'（，）设直线AH'解析式为y＝k'x+a'∴解得：∴直线AH'：y x∵解得：（即点A），∴P（，）综上所述，点P的坐标为（，）或（，）．（3）DM+DN为定值∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴为：直线x＝﹣1∴D（﹣1，0），x M＝x N＝﹣1设Q（t，t2+2t﹣3）（﹣3＜t＜1）设直线AQ解析式为y＝dx+e∴解得：∴直线AQ：y＝（t+3）x﹣t﹣3当x＝﹣1时，y M＝﹣t﹣3﹣t﹣3＝﹣2t﹣6∴DM＝0﹣（﹣2t﹣6）＝2t+6设直线BQ解析式为y＝mx+n∴解得：∴直线BQ：y＝（t﹣1）x+3t﹣3当x＝﹣1时，y N＝﹣t+1+3t﹣3＝2t﹣2∴DN＝0﹣（2t﹣2）＝﹣2t+2∴DM+DN＝2t+6+（﹣2t+2）＝8，为定值．点睛：本题考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式，解一元二次方程、二元一次方程组，等腰三角形的性质，三角函数的应用．第（2）题由于不确定点P位置需分类讨论；（2）（3）计算量较大，应认真理清线段之间的关系再进行计算．2．（2019年盐城27题）如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．（1）求A、B两点的横坐标；（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，即可求解；（2）分OA＝AB、OA＝OB两种情况，求解即可；（3）求出m＝﹣k2﹣k，在△AHM中，tanαk tan∠BEC k+2，即可求解．【解析】（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，解得：x＝1和2，故点A、B的坐标横坐标分别为1和2；（2）OA，①当OA＝AB时，即：1+k2＝5，解得：k＝±2（舍去2）；②当OA＝OB时，4+（k+2）2＝5，解得：k＝﹣1或﹣3；故k的值为：﹣1或﹣2或﹣3；（3）存在，理由：①当点B在x轴上方时，过点B作BH⊥AE于点H，将△AHB的图形放大见右侧图形，过点A作∠HAB的角平分线交BH于点M，过点M作MN⊥AB于点N，过点B作BK⊥x轴于点K，图中：点A（1，2）、点B（2，k+2），则AH＝﹣k，HB＝1，设：HM＝m＝MN，则BM＝1﹣m，则AN＝AH＝﹣k，AB，NB＝AB﹣AN，由勾股定理得：MB2＝NB2+MN2，即：（1﹣m）2＝m2+（k）2，解得：m＝﹣k2﹣k，在△AHM中，tanαk tan∠BEC k+2，解得：k，此时k+2＞0，则﹣2＜k＜0，故：舍去正值，故k；②当点B在x轴下方时，同理可得：tanαk tan∠BEC（k+2），解得：k或，此时k+2＜0，k＜﹣2，故舍去，故k的值为：或．点睛：本题为二次函数综合应用题，涉及到一次函数、解直角三角形的知识，其中（3），通过tan2α求出tanα，是此类题目求解的一般方法．3．（2018年常州28题）如图，二次函数y bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y 轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．（1）b＝，点B的坐标是（，0）；（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB＝1：2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．【分析】（1）由点A的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出b的值，代入y ＝0求出x值，进而可得出点B的坐标；（2）（解法一）代入x＝0求出y值，进而可得出点C的坐标，由点A、C的坐标利用待定系数法可求出直线AC的解析式，假设存在，设点M的坐标为（m，m+2），分B、P 在直线AC的同侧和异侧两种情况考虑，由点B、M的坐标结合PM：MB＝1：2即可得出点P的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论；（解法二）代入x＝0求出y值，进而可得出点C的坐标，由点A、C的坐标利用待定系数法可求出直线AC的解析式，过点B作BB′∥y轴交直线AC于点B′，过点P作PP′∥y轴交直线AC于点P′，由点B的坐标可得出BB′的值，结合相似三角形的性质可得出PP′的值，设点P的坐标为（x，x2x+2），则点P′的坐标为（x，x+2），结合PP′的值可得出关于x的含绝对值符号的一元二次方程，解之即可得出结论；（3）（解法一）作∠CBA的角平分线，交y轴于点E，过点E作EF⊥BC于点F，设OE ＝n，则CE＝2﹣n，EF＝n，利用面积法可求出n值，进而可得出，结合∠AOC＝90°＝∠BOE可证出△AOC∽△BOE，根据相似三角形的性质可得出∠CAO＝∠EBO，再根据角平分线的性质可得出∠CBA＝2∠EBO＝2∠CAB，此题得解；（解法二）将BC沿y轴对折，交x轴于点B′，根据点A、B、C的坐标可得出点B′的坐标，进而可得出AB′＝B′C＝BC，根据等腰三角形的性质结合三角形的外角性质，可得出∠CBA＝2∠CAB．【解析】（1）∵点A（﹣4，0）在二次函数y bx+2的图象上，∴4b+2＝0，∴b．当y＝0时，有x2x+2＝0，解得：x1＝﹣4，x2，∴点B的坐标为（，0）．故答案为：；（，0）．（2）（方法一）当x＝0时，y x2x+2＝2，∴点C的坐标为（0，2）．设直线AC的解析式为y＝kx+c（k≠0），将A（﹣4，0）、C（0，2）代入y＝kx+c中，得：，解得：，∴直线AC的解析式为y x+2．假设存在，设点M的坐标为（m，m+2）．①当点P、B在直线AC的异侧时，点P的坐标为（m，m+3），∵点P在抛物线y x2x+2上，∴m+3（m）2（m）+2，整理，得：12m2+20m+9＝0．∵△＝202﹣4×12×9＝﹣32＜0，∴方程无解，即不存在符合题意得点P；②当点P、B在直线AC的同侧时，点P的坐标为（m，m+1），∵点P在抛物线y x2x+2上，∴m+1（m）2（m）+2，整理，得：4m2+44m﹣9＝0，解得：m1，m2，∴点P的横坐标为﹣2或﹣2．综上所述：存在点P，使得PM：MB＝1：2，点P的横坐标为﹣2或﹣2．（方法二）当x＝0时，y x2x+2＝2，∴点C的坐标为（0，2）．设直线AC的解析式为y＝kx+c（k≠0），将A（﹣4，0）、C（0，2）代入y＝kx+c中，得：，解得：，∴直线AC的解析式为y x+2．过点B作BB′∥y轴交直线AC于点B′，过点P作PP′∥y轴交直线AC于点P′，如图1﹣1所示．∵点B的坐标为（，0），∴点B′的坐标为（，），∴BB′．∵BB′∥PP′，∴△PP′M∽△BB′M，∴，∴PP′．设点P的坐标为（x，x2x+2），则点P′的坐标为（x，x+2），∴PP′＝|x2x+2﹣（x+2）|＝|x2x|，解得：x1＝﹣2，x2＝﹣2，∴存在点P，使得PM：MB＝1：2，点P的横坐标为﹣2或﹣2．（3）（解法一）∠CBA＝2∠CAB，理由如下：作∠CBA的角平分线，交y轴于点E，过点E作EF⊥BC于点F，如图2所示．∵点B（，0），点C（0，2），∴OB，OC＝2，BC．设OE＝n，则CE＝2﹣n，EF＝n，由面积法，可知：OB•CE BC•EF，即（2﹣n）n，解得：n．∵，∠AOC＝90°＝∠BOE，∴△AOC∽△BOE，∴∠CAO＝∠EBO，∴∠CBA＝2∠EBO＝2∠CAB．（解法二）∠CBA＝2∠CAB，理由如下：将BC沿y轴对折，交x轴于点B′，如图3所示．∵点B（，0），点C（0，2），点A（﹣4，0），∴点B′（，0），∴AB′（﹣4），B′C，∴AB′＝B′C＝BC，∴∠CAB＝∠ACB′，∠CBA＝∠CB′B．∵∠AB′B＝∠CAB+∠ACB′，∴∠CBA＝2∠CAB．点睛：题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、勾股定理、一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）由点A的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征求出b的值；（2）（解法一）分B、P在直线AC的同侧和异侧两种情况找出点P的坐标；（解法二）利用相似三角形的性质找出PP′；（3）（解法一）构造相似三角形找出两角的数量关系；（解法二）根据等腰三角形的性质结合三角形的外角性质找出∠CBA＝2∠CAB．4.（2019年苏州28题）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．（1）求a的值；（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠P AQ＝∠AQB，求点Q的坐标．【分析】（1）由y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0，可求出A、B 坐标结合三角形的面积，解出a＝﹣3；（2）三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，求出两边垂直平分线，解交点可求出；（3）作PM⊥x轴，则S△BAP AB•PM4d由S△PQB＝S△P AB可得A、Q到PB的距离相等，得到AQ∥PB，求出直线PB的解析式，以抛物线解析式联立得出点P坐标，由于△PBQ≌△ABP，可得PQ＝AB＝4，利用两点间距离公式，解出m值．【解析】（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0解得x1＝a，x2＝1由图象知：a＜0∴A（a，0），B（1，0）∵S△ABC＝6∴解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）（2）∵A（﹣3，0），C（0，3），∴OA＝OC，∴线段AC的垂直平分线过原点，∴线段AC的垂直平分线解析式为：y＝﹣x，∵由A（﹣3，0），B（1，0），∴线段AB的垂直平分线为x＝﹣1将x＝﹣1代入y＝﹣x，解得：y＝1∴△ABC外接圆圆心的坐标（﹣1，1）（3）作PM⊥x轴交x轴于M，则S△BAP AB•PM4d∵S△PQB＝S△P AB∴A、Q到PB的距离相等，∴AQ∥PB设直线PB解析式为：y＝x+b∵直线经过点B（1，0）所以：直线PB的解析式为y＝x﹣1联立解得：∴点P坐标为（﹣4，﹣5）又∵∠P AQ＝∠AQB，∴∠BP A＝∠PBQ，∴AP＝QB，在△PBQ与△BP A中，，∴△PBQ≌△ABP（SAS），∴PQ＝AB＝4设Q（m，m+3）由PQ＝4得：解得：m＝﹣4，m＝﹣8（当m＝﹣8时，∠P AQ≠∠AQB，故应舍去）∴Q坐标为（﹣4，﹣1）点睛：本题考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，抛物线和直线“曲直”联立解交点，利用三角形的全等和二次函数的性质把数与形有机的结合在一起，转化线段长求出结果．5.（2018年无锡28题）已知：如图，一次函数y＝kx﹣1的图象经过点A（3，m）（m＞0），与y轴交于点B．点C在线段AB上，且BC＝2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．若AC＝CD．（1）求这个一次函数的表达式；（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（，0），求这条抛物线的函数表达式．【分析】（1）利用三角形相似和勾股定理构造方程，求AC和m（2）由∠APQ＝90°，构造△PQD∽△APE构造方程求点P坐标可求二次函数解析式．【解析】（1）过点A作AF⊥x轴，过点B作BF⊥CD于H，交AF于点F，过点C作CE ⊥AF于点E设AC＝n，则CD＝n∵点B坐标为（0，﹣1）∴CH＝n+1，AF＝m+1∵CH∥AF，BC＝2AC∴即：整理得：nRt△AEC中，CE2+AE2＝AC2∴5+（m﹣n）2＝n2把n代入5+（m）2＝（）2解得m1＝5，m2＝﹣3（舍去）∴n＝3∴把A（3，5）代入y＝kx﹣1得k∴y x﹣1（2）如图，过点A作AE⊥CD于点E设点P坐标为（2，n），由已知n＞0由已知，PD⊥x轴∴△PQD∽△APE∴∴解得n1＝7，n2＝﹣2（舍去）设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k∴y＝a（x﹣2）2+7把A（3，5）代入y＝a（x﹣2）2+7解得a∴抛物线解析式为：y【点评】本题综合考查二次函数和一次函数性质．在解答过程中，应注意利用三角形相似和勾股定理构造方程，求出未知量．2．（2017年苏州28题）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．（1）求b、c的值；（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．【分析】（1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得b的值；由OB＝OC，可用c表示出B点坐标，代入抛物线解析式可求得c的值；（2）可设F（0，m），则可表示出F′的坐标，由B、E的坐标可求得直线BE的解析式，把F′坐标代入直线BE解析式可得到关于m的方程，可求得F点的坐标；（3）设点P坐标为（n，0），可表示出P A、PB、PN的长，作QR⊥PN，垂足为R，则可求得QR的长，用n可表示出Q、R、N的坐标，在Rt△QRN中，由勾股定理可得到关于n的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n的值，则可求得Q点的坐标，【解析】（1）∵CD∥x轴，CD＝2，∴抛物线对称轴为x＝1．∴．∵OB＝OC，C（0，c），∴B点的坐标为（﹣c，0），∴0＝c2+2c+c，解得c＝﹣3或c＝0（舍去），∴c＝﹣3；（2）设点F的坐标为（0，m）．∵对称轴为直线x＝1，∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）．由（1）可知抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴E（1，﹣4），∵直线BE经过点B（3，0），E（1，﹣4），∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y＝2x﹣6．∵点F在BE上，∴m＝2×2﹣6＝﹣2，即点F的坐标为（0，﹣2）；（3）存在点Q满足题意．设点P坐标为（n，0），则P A＝n+1，PB＝PM＝3﹣n，PN＝﹣n2+2n+3．作QR⊥PN，垂足为R，∵S△PQN＝S△APM，∴，∴QR＝1．①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n﹣1，n2﹣4n），R点的坐标为（n，n2﹣4n），N点的坐标为（n，n2﹣2n﹣3）．∴在Rt△QRN中，NQ2＝1+（2n﹣3）2，∴时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为；②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1，n2﹣4）．同理，NQ2＝1+（2n﹣1）2，∴时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为．综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为或．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得抛物线的对称轴是解题的关键，在（2）中用F点的坐标表示出F′的坐标是解题的关键，在（3）中求得QR的长，用勾股定理得到关于n的二次函数是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．【专项突破】【题组一】1．（2020•无锡模拟）如图，已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C．过点A的直线y＝kx+2k（k≠0）与这个二次函数的图象的另一个交点为F，与该图象的对称轴交于点E，与y轴交于点D，且DE＝EF．（1）求点A的坐标；（2）若△BDF的面积为12，求这个二次函数的关系式；（3）设二次函数的顶点为P，连接PF，PC，若∠CPF＝2∠DAB，求此时二次函数的表达式．。
中考数学培优满分专题突破专题5图形中的函数关系
专题5 图形中的函数关系常考类型分析专题类型突破类型1 动点产生的函数关系【例1】如图1和图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，cos∠ABC探究如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝，AC＝，△ABC的面积S△ABC＝；拓展如图2，点D在AC上(可与点A，C重合)，分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足为E，F.设BD＝x，AE＝m，CF＝n.(当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0)(1)用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；(2)求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值；(3)对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．发现请你确定一条直线，使得A，B，C三点到这条直线的距离之和最小(不必写出过程)，并写出这个最小值．满分技法►函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律，是初中数学的重要内容．动点问题反映的是一种函数思想，是一类开放性题目．解决这类问题的关键是动中求静，根据点的运动变化过程，对其不同情况进行分类求解．满分变式必练►1.如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为( )2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长度的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动．伴随着P，Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB－BC－CP于点E.点P，Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒(t＞0)．(1)当t＝2时，AP＝，点Q到AC的距离是；(2)在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；(不必写出t的取值范围)(3)在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；(4)当DE经过点C 时，请直接写出t的值．3.如图，已知抛物线y＝ax2＋2x＋c与y轴交于点A(0,6)，与x轴交于点B(6,0)，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．(1)求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；(2)当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB＝75°，求出此时点P的坐标；(3)当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动，与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止，当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t 的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？类型2 动线产生的函数关系【例2】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.BC的平行线从点A开始向下平移，分别与AB，AC相交于D，E两点，直至与BC重合．随着直线DE的平移，点D在AB边上以每秒2个单位长度的速度运动，设运动的时间为x秒，AE的长为y.(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？【思路分析】 (1)运动时间为x秒，需把它转化为线段长度，则有AD＝2x.由DE∥BC，形成“A”型基本图形，得到两个三角形相似，推出包含x，y的比例式，变形为用含有x的代数式表示y的形式，即得到y关于x的函数关系式；(2)△BDE的面积把BD和AE都用含有x的代数式表示出来，得到S与x的函数关系式，利用函数性质求S的最大值以及相应的x的值．满分技法►在直线平移、旋转过程中，导致相应的线段、角度、面积等几何元素的位置和大小随之改变，在运动变化过程中形成的图形的形状不断改变，根据不同范围内形状的改变确定每一段函数的关系式，根据函数性质求出最值或三角形的形状的存在性．满分变式必练►1.如图所示，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，点B运动的路径的长度为 .2.如图1，△ABC中，∠C＝90°，线段DE在射线BC上，且DE＝AC，线段DE沿射线BC运动，开始时，点D与点B重合，点D到达点C时运动停止，过点D作DF＝DB，与射线BA相交于点F，过点E作BC的垂线，与射线BA相交于点G.设BD＝x，四边形DEGF与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示(其中0＜x≤1,1＜x≤m，m＜x≤3时，函数的解析式不同)．(1)填空：BC的长是；(2)求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．解：(1)3(2)①如图1，当0≤x≤1时，作DM⊥AB于点M. ∵BC＝3，AC＝2，∠C＝90°，3.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的边AD在x轴上，点C在y轴的负半轴上，直线BC∥AD，且BC＝3，OD＝2.将经过A，B两点的直线l：y＝－2x－10向右平移，平移后的直线与x轴交于点E，与直线BC交于点F，设AE的长为t(t≥0)．(1)四边形ABCD的面积为；(2)设四边形ABCD被直线l扫过的面积(阴影部分)为S，请直接写出S关于t的函数解析式．(2)①当0≤t<3时，∵BC∥AD，AB∥EF，∴四边形ABFE是平行四边形．∴S＝AE·OC＝4t.②当3≤t<7时，如图，∵C(0，－4)，D(2,0)，∴直线CD的解析式为y＝2x－4.∵E′F′∥AB，BF′∥AE′，∴BF′＝AE′＝t.∴F′(t－3，－4)．直线E′F′的解析式为y＝－2x＋2t－10.类型3 动图产生的函数关系【例3】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6，BC＝8，AB＝点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长度的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边△EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒(t＞0)．(1)设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式；(不必写t的取值范围)(2)当BP＝1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积；(3)随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．【思路分析】 (1)根据路程公式直接写出PQ的长度y与t之间的函数关系式；(2)当BP＝1时，有两种情况：①点P从点M向点B运动，通过计算可知，MP＝MQ＝3，即PQ＝6，连接EM，根据等边三角形的性质可求得EM＝此时EM＝AB，重叠部分面积为△PEQ的面积；②点P从点B向点M运动，此时t＝5，MP＝3，MQ＝5，△PEQ的边长为8，过点P作PH⊥AD 于点H，在Rt△PHF中，已知PH＝∠HPF＝30°，可求FH，PF，进而求得FE，FG，证明等边△EFG中，点G与点D重合，此时重叠部分面积为梯形FPCG的面积；根据梯形面积公式求解即可；(3)由图可知，当t＝4时，P、B重合，Q、C重合，线段AD被覆盖长度达到最大值，由(2)可知，当t＝5时，线段EQ经过D点，长度也是最大值，故t的范围在4与5之间．提示：当点P到达点B时，即t＝4时，点Q同时到达点C，等边△EPQ的边长为8，此时线段AD被覆盖的长度最大．仿照(2)中第二种情况，可以求得线段AD被覆盖的长度的最大值为2，右侧未被覆盖的长度为1，所以当点P到达点B后返回直至BP＝1的过程中，仍有线段AD被覆盖的长度的最大值为2(由(2)中第二种情况的计算结果也可以看到这一点)，因此，该最大值在4≤t≤5时持续一个时段．满分技法►在三角形、四边形、曲线(双曲线、抛物线)在平移、旋转、折叠过程中，把动态当作静态来对待，把图形间重叠部分的面积或相似表示的数量关系用函数关系表达出来，再利用函数的性质解决．满分变式必练►1.如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′，B′.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是( )2.如图，在△ABC中，BC＝12，AB＝10，动点D从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB向点B 运动，DE∥BC，交AC于点E，以DE为边，作正方形DEFG.设运动时间为t.(1)t为何值时，正方形DEFG的边GF在BC上；(2)当GF运动到△ABC外时，EF，DG分别与BC交于点P，Q，是否存在时刻t，使得△CEP 与△BDQ的面积之和等于△ABC面积的(3)设△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为S，试求S的最大值．3.如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，▱ABCD中，D(6,0)，函数的图象过点E(4,0)，与y轴交于点G，动点P从O 点沿y轴正方向以每秒2个单位的速度出发，同时，以P为圆心的圆，半径从6个单位起以每秒1个单位的速度缩小，设运动时间为t.(1)若⊙P与直线EG相切，求⊙P的面积；(2)以CD为边作等边△CDQ，若⊙P内存在Q点，求t的取值范围．。
中考数学核心考点强化突破函数与几何综合运用含解析
中考数学核心考点强化突破：函数与几何综合运用类型1 存在性问题存在性问题一般有以下题型：是否存在垂直、平行——位置关系；等腰、直角三角形、(特殊)平行四边形——形状关系；最大、最小值－－数量关系等．1．如图,已知二次函数y 1＝－x 2＋134x ＋c 的图象与x 轴的一个交点为A(4,0),与y 轴的交点为B,过A 、B 的直线为y 2＝kx ＋b.(1)求二次函数的解析式及点B 的坐标；(2)由图象写出满足y 1＜y 2的自变量x 的取值范围；(3)在两坐标轴上是否存在点P,使得△ABP 是以AB 为底边的等腰三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,说明理由．解：(1)将A(4,0)代入y 1＝－x 2＋134x ＋c,得－42＋134×4＋c ＝0,解得c ＝3.∴所求二次函数的解析式为y 1＝－x 2＋134x ＋3.∵当x ＝0时,y 1＝3,∴点B 的坐标为(0,3)． (2)满足y 1＜y 2的自变量x 的取值范围是：x ＜0或x ＞4.(3)存在,理由如下：作线段AB 的中垂线l,垂足为C,交x 轴于点P 1,交y 轴于点P 2.∵A(4,0),B(0,3),∴OA＝4,OB ＝3.∴在Rt △AOB 中,AB＝OA 2＋OB 2＝5.∴AC＝BC ＝52.∵Rt △ACP 1与Rt △AOB 有公共∠OAB ,∴Rt △ACP 1∽Rt △AOB.∴AP 1AB ＝AC OA ,即AP 15＝524,解得AP 1＝258.而OP 1＝OA －AP 1＝4－258＝78,∴点P 1的坐标为(78,0)．又∵Rt △P 2CB 与Rt △AOB 有公共∠OBA ,∴Rt △P 2CB∽Rt △AOB.∴P 2B AB ＝BC BO ,即P 2B 5＝523,解得P 2B ＝256.而OP 2＝P 2B －OB ＝256－3＝76,∴点P 2的坐标为(0,－76)．∴所求点P 的坐标为(78,0)或(0,－76)．2．如图,抛物线y ＝ax 2＋bx －3经过点A(2,－3),与x 轴负半轴交于点B,与y 轴交于点C,且OC ＝3OB.(1)求抛物线的解析式；(2)点D 在y 轴上,且∠BDO＝∠BAC ,求点D 的坐标；(3)点M 在抛物线上,点N 在抛物线的对称轴上,是否存在以点A,B,M,N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在,请说明理由．解：(1)由y ＝ax 2＋bx －3得C(0.－3),∴OC＝3,∵OC＝3OB,∴OB＝1,∴B(－1,0),把A(2,－3),B(－1,0)代入y ＝ax 2＋bx －3得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b －3＝－3a －b －3＝0,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2,∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3； (2)设连接AC,作BF⊥AC 交AC 的延长线于F,∵A(2,－3),C(0,－3),∴AF∥x 轴,∴F(－1,－3),∴BF＝3,AF ＝3,∴∠BAC＝45°,设D(0,m),则OD ＝|m|,∵∠BDO＝∠BAC ,∴∠BDO＝45°,∴OD＝OB ＝1,∴|m|＝1,∴m＝±1,∴D 1(0,1),D 2(0,－1)；(3)设M(a,a 2－2a －3),N(1,n),①以AB 为边,则AB∥MN ,AB ＝MN,如图2,过M 作ME⊥对称轴于E,AF⊥x 轴于F,则△ABF≌△NME ,∴NE＝AF ＝3,ME ＝BF ＝3,∴|a－1|＝3,∴a＝4或a ＝－2,∴M(4,5)或(－2,5)；②以AB 为对角线,BN ＝AM,BN∥AM ,如图3,则N 在x 轴上,M 与C 重合,∴M(0,－3),综上所述,存在以点A,B,M,N 为顶点的四边形是平行四边形,M(4,5)或(－2,5)或(0,－3)．类型2 几何最值、定值问题3．如图,在平面直角坐标系中,平行四边形ABOC 如图放置,将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′.抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3经过点A 、C 、A′三点．(1)求A 、A′、C 三点的坐标；(2)求平行四边形ABOC 和平行四边形A′B′OC′重叠部分的面积；(3)点M 是第一象限内抛物线上的一动点,问点M 在何处时,△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M 的坐标．解：(1)当y ＝0时,－x 2＋2x ＋3＝0,解得x 1＝3,x 2＝－1,∴C(－1,0),A′(3,0)．当x ＝0时,y ＝3,∴A(0,3)．(2)设A′C′与OB 相交于点D.∵C(－1,0),A(0,3),∴B(1,3)．∴OB＝32＋12＝10.∴S △BOA ＝12×1×3＝32.又∵平行四边形ABOC 旋转90°得到平行四边形A′B′OC′, ∴∠ACO＝∠OC′D.又∵∠ACO＝∠ABO ,∴∠ABO＝∠OC′D.又∵∠C′OD＝∠AOB ,∴△C′OD∽△BOA.∴S △C′OD S △BO A ＝(OC′OB )2＝(110)2.∴S △C′OD ＝320. (3)设M 点的坐标为(m,－m 2＋2m ＋3),连接OM.S △AMA′＝S △MOA′＋S △MOA －S △AOA′＝12×3×(－m 2＋2m ＋3)＋12×3×m－12×3×3＝－32m 2＋92m ＝－32(m －32)2＋278.(0＜m ＜3)当m ＝32时,S △AMA′取到最大值278,∴M(32,154)．4．如图,已知抛物线y ＝ax 2－23ax －9a 与坐标轴交于A,B,C 三点,其中C(0,3),∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D,交BC 于点E,过点D 的直线l 与射线AC,AB 分别交于点M,N.(1)直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；(2)点P 为抛物线的对称轴上一动点,若△PAD 为等腰三角形,求出点P 的坐标；(3)证明：当直线l 绕点D 旋转时,1AM ＋1AN 均为定值,并求出该定值．解：(1)∵C(0,3)．∴－9a ＝3,解得：a ＝－13.令y ＝0得：ax 2－2x －9a ＝0,∵a≠0,∴x 2－2x －9＝0,解得：x ＝－3或x ＝33.∴点A 的坐标为(－3,0),B(33,0)．∴抛物线的对称轴为x ＝ 3. (2)∵OA＝3,OC ＝3,∴tan∠CAO＝3,∴∠CAO＝60°.∵AE 为∠BAC 的平分线,∴∠DAO＝30°.∴DO ＝33AO ＝1.∴点D 的坐标为(0,1)设点P 的坐标为(3,a)． 依据两点间的距离公式可知：AD 2＝4,AP 2＝12＋a 2,DP 2＝3＋(a －1)2.当AD ＝PA 时,4＝12＋a 2,方程无解．当AD ＝DP 时,4＝3＋(a －1)2,解得a ＝2或a ＝0,当a ＝2时,点A,D,P 三点共线,不能构成三角形,∴a≠2,∴点P 的坐标为(3,0)．当AP ＝DP 时,12＋a 2＝3＋(a －1)2,解得a ＝－4.∴点P 的坐标为(3,－4)．综上所述,点P 的坐标为(3,0)或(3,－4)．(3)设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋3,将点A 的坐标代入得：－3m ＋3＝0,解得：m ＝3,∴直线AC 的解析式为y ＝3x ＋3.设直线MN 的解析式为y ＝kx ＋1.把y ＝0代入y ＝kx ＋1得：kx ＋1＝0,解得：x ＝－1k ,∴点N 的坐标为(－1k ,0)．∴AN＝－1k ＋3＝3k －1k.将y ＝3x ＋3与y ＝kx ＋1联立解得：x ＝2k －3.∴点M 的横坐标为2k －3.过点M 作MG⊥x 轴,垂足为G.则AG ＝2k －3＋3.∵∠MAG＝60°,∠AGM＝90°,∴AM＝2AG ＝4k －3＋23＝23k －2k －3.∴1AM ＋1AN ＝k －323k －2＋k 3k －1＝3k －323k －2＝3（3k －1）2（3k －1）＝32类型3 反比例函数与几何问题5．如图,P 1,P 2是反比例函数y ＝k x(k ＞0)在第一象限图象上的两点,点A 1的坐标为(4,0)．若△P 1OA 1与△P 2A 1A 2均为等腰直角三角形,其中点P 1,P 2为直角顶点．①求反比例函数的解析式．②(Ⅰ)求P 2的坐标．(Ⅱ)根据图象直接写出在第一象限内当x 满足什么条件时,经过点P 1,P 2的一次函数的函数值大于反比例函数y ＝k x 的函数值．解：①过点P 1作P 1B⊥x 轴,垂足为B,∵点A 1的坐标为(4,0),△P 1OA 1为等腰直角三角形,∴OB＝2,P 1B ＝12OA 1＝2,∴P 1的坐标为(2,2),将P 1的坐标代入反比例函数y ＝k x (k ＞0),得k ＝2×2＝4,∴反比例函数的解析式为y ＝4x；②(Ⅰ)过点P 2作P 2C⊥x 轴,垂足为C∵△P 2A 1A 2为等腰直角三角形,∴P 2C ＝A 1C,设P 2C ＝A 1C ＝a,则P 2的坐标为(4＋a,a),将P 2的坐标代入反比例函数的解析式y ＝4x 中,得a ＝44＋a,解得a 1＝22－2,a 2＝－22－2(舍去),∴P 2的坐标为(2＋22,22－2)；(Ⅱ)在第一象限内,当2＜x ＜2＋22时,一次函数的函数值大于反比例函数的函数值．6．如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合,点C 的坐标为(0,3),点A 在x 轴的负半轴上,点D,M 分别在边AB,OA 上,且AD ＝2DB,AM ＝2MO,一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点D 和M,反比例函数y ＝m x的图象经过点D,与BC 的交点为N. (1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)若点P 在直线DM 上,且使△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等,求点P 的坐标．解：(1)∵正方形OABC 的顶点C(0,3),∴OA＝AB ＝BC ＝OC ＝3,∠OAB＝∠B＝∠BCO＝90°,∵AD＝2DB,∴AD＝23AB ＝2,∴D(－3,2),把D 坐标代入y ＝m x 得：m ＝－6,∴反比例函数解析式为y ＝－6x,∵AM＝2MO,∴MO＝13OA ＝1,即M(－1,0),把M 与D 的坐标代入y ＝kx ＋b 中得：⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，－3k ＋b ＝2，解得：k ＝b ＝－1,则直线DM 解析式为y ＝－x －1 (2)把y ＝3代入y ＝－6x得：x ＝－2,∴N(－2,3),即NC ＝2,设P(x,y),∵△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等,∴12(OM ＋NC)·OC＝12OM|y|,即|y|＝9,解得：y ＝±9,当y ＝9时,x ＝－10,当y ＝－9时,x ＝8,则P 坐标为(－10,9)或(8,－9)．。
初中数学函数图像考点解析
初中数学函数图像考点解析在初中数学的学习中，函数图像是一个非常重要的知识点，它能够直观地展现函数的性质和特点，帮助我们更好地理解和解决相关问题。
接下来，让我们一起深入探讨一下初中数学函数图像的考点。
一、一次函数图像一次函数的表达式为 y ＝ kx ＋ b（k、b 为常数，k ≠ 0），其图像是一条直线。
当 k ＞ 0 时，函数图像从左到右上升，y 随 x 的增大而增大；当 k＜ 0 时，函数图像从左到右下降，y 随 x 的增大而减小。
b 的值决定了直线与 y 轴的交点。
当 b ＞ 0 时，直线与 y 轴交于正半轴；当 b ＜ 0 时，直线与 y 轴交于负半轴；当 b ＝ 0 时，直线经过原点。
例如，函数 y ＝ 2x ＋ 1，因为 k ＝ 2 ＞ 0，所以函数图像从左到右上升，且与 y 轴交于点(0, 1)。
在解决一次函数图像的问题时，通常需要根据给定的条件求出 k 和b 的值，从而确定函数表达式，进而画出函数图像或根据图像求解相关问题。
二、二次函数图像二次函数的一般式为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a、b、c 为常数，a ≠ 0），其图像是一条抛物线。
当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下。
抛物线的对称轴为直线 x ＝ b ／ 2a。
抛物线的顶点坐标为(b ／ 2a, （4ac b²) ／ 4a)。
例如，函数 y ＝ x² 2x 3，其中 a ＝ 1 ＞ 0，抛物线开口向上，对称轴为 x ＝ 1，顶点坐标为(1, －4)。
在考察二次函数图像时，常常涉及到顶点坐标、对称轴、最值以及与 x 轴、y 轴的交点等问题。
三、反比例函数图像反比例函数的表达式为 y ＝ k ／ x（k 为常数，k ≠ 0），其图像是双曲线。
当 k ＞ 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内y 随 x 的增大而减小；当 k ＜ 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。
中考数学 精讲篇 专题突破五 新函数图象及其性质探究题
12 ②当 x＝1 时，函数 y＝（x－1）2＋2有最大值 ，最大值为 6；( ) ③在自变量的取值范围内，函数 y 的值随自变量 x 的增大而增大．( )
(3)已知函数 y＝23x＋83的图象如图所示．结合你所画 12 2 8
类型二：曲线式函数图象的性质探究
(重庆：A 卷，B 卷 2021—2020T22)
3．(2021·九龙坡区校级模拟)函数图象在探索函 数的性质中有非常重要的作用．现在就一类特殊的
a 函数展开探索：y＝x＋x，探索函数图象和性质过 程如下：
x … －6 －4 －2 －1 1 n 4 6 …
y
… －230 m
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y … －6 －4 －2 0 －2 －4 －6 …
(1)观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个 函数解析式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相 同，只有最高点和对称轴发生了变化，写出点 A，B 的坐标和函数 y＝－ 2|x＋2|的对称轴； (2)探索思考：平移函数 y＝－2|x|的图象可以得到函数 y＝－2|x|＋2 和 y＝－2|x＋2|的图象，分别写出平移的方向和距离； (3)拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数 y＝－2|x－3|＋1 的 图象．若点(x1，y1)和(x2，y2)在该函数图象上，且 x2>x1>3.比较 y1，y2 的大小．
的函数图象，直接写出不等式（x－1）2＋2＞3x＋3的 解集．
解：(1)2；6；函数图象如图所示． (2)①√；②√；③×.
(3)x<－3 或－1<x<2.
解：(1)A(0，2)，B(－2，0)，对称轴为直线 x＝－2；
2023年中考数学专项突破之函数的实际应用课件(共50张PPT)
方法点拨
解决这类问题一般遵循这样的方法：
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三
二次函数的实际应用
(1)运用转化的思想.由于函数与几何结合的问题都具有较强的综合性,因此在解决这
类问题时,要善于把“新知识”转化为“旧知识”,把“未知”转化为“已知”,把
“抽象”的问题转化为“具体”的问题,把“复杂”的问题转化为“简单”的问题.
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三
二次函数的实际应用
题型讲解
二次函数在中考数学中常常作为压轴题,具有一定的综合性和较大的难度,学生往往
因缺乏思路,感到无从下手,难以拿到分数.事实上,我们只要理清思路,方法得当,稳步
推进,力争少失分、多得分,同时需要心态平和,切忌急躁,当思维受阻时,要及时调整
思路和方法,并重新审视题意,注意挖掘隐蔽的条件和内在联系,既要防止钻牛角尖,又
解：∵a=0.1时,s=500,
k
∴500= ,解得k=50.
0.1
则该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式是s=
50
.a返回主目录源自(2)当平均耗油量为0.08升/千米时,该轿车可以行驶多少千米？
50
50
解：将a=0.08代入s= ,得s=
=625.
a
0.08
答：当平均耗油量为0.08升/千米时,该轿车可以行驶625千米.
提高1元,则每天少售出40本乙种笔记本,为使每天获取的利润更多,店主决定把两种笔
记本的价格都提高x元,在不考虑其他因素的条件下,当x定为多少元时,才能使该文具
若y是x的反比例函数,其图象如图所示：
(1)求y与x的函数解析式；
分析：用待定系数法确定反比例函数解析式.
k
解析：设y与x的函数关系式为y= (k≠0),
初中数学图形运动中的函数关系问题(word版+详解答案)
图形运动中的函数关系问题【考题研究】在图形运动的问题中，随着图形的运动，图形中的线段长度、面积大小都在变化，从而找出这些变化的规律就是近年来中考出现的大量图形运动问题的题目.解图形运动问题关系的关键是用含自变量x的代数式表示出有关的量，如与x有关的线段长，面积的大小等. 这类题考查学生数形结合、化归、分类讨论、方程等数学思想.【解题攻略】图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用．类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边．如图1，已知点A的坐标为(3, 4)，点B 是x轴正半轴上的一个动点，设OB＝x，AB＝y，那么我们在直角三角形ABH中用勾股定理，就可以得到y 关于x的函数关系式．类型二，图形的翻折．已知矩形O ABC在坐标平面内如图2所示，AB＝5，点O沿直线EF翻折后，点O 的对应点D落在AB边上，设AD＝x，OE＝y，那么在直角三角形AED中用勾股定理就可以得到y关于x的函数关系式．由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．【解题类型及其思路】图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题．计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面积公式；二是不规则图形的面积通过割补进行计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相似三角形的面积比等于相似比的平方．前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单．一般情况下，在求出面积S 关于自变量x 的函数关系后，会提出在什么情况下（x 为何值时），S 取得最大值或最小值．【典例指引】类型一 【确定图形运动中的线段的函数关系式及其最值】【典例指引1】如图，在ABC ∆中，90A ∠=o ，3AB =，4AC =，点,M Q 分别是边,AB BC 上的动点（点M 不与,A B 重合），且MQ BC ⊥，过点M 作BC 的平行线MN ，交AC 于点N ，连接NQ ，设BQ 为x ．（1）试说明不论x 为何值时，总有QBM ∆∽ABC ∆；（2）是否存在一点Q ，使得四边形BMNQ 为平行四边形，试说明理由；（3）当x 为何值时，四边形BMNQ 的面积最大，并求出最大值．【举一反三】如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，10AD =，E 是CD 边上一点，连接AE ，将矩形ABCD 沿AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上点F 处，延长AE 交BC 的延长线于点G ．（1）求线段CE 的长；（2）如图2，M ，N 分别是线段AG ，DG 上的动点（与端点不重合），且DMN DAM ∠=∠，设AM x =，DN y =．①写出y 关于x 的函数解析式，并求出y 的最小值；②是否存在这样的点M ，使DMN V 是等腰三角形？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由． 类型二 【确定图形运动中的图形周长的函数关系式及其最值】【典例指引2】如图，在平面直角坐标系中，直线4y x =-分别与x 轴，y 轴交于点A 和点C ，抛物线23y ax x c =-+经过,A C 两点，并且与x 轴交于另一点B .点D 为第四象限抛物线上一动点(不与点,A C 重合)，过点D 作DF x ⊥轴，垂足为F ，交直线AC 于点E ，连接BE .设点D 的横坐标为m .(1)求抛物线的解析式;(2)当ECD EDC ∠=∠时，求出此时m 的值;(3)点D 在运动的过程中，EBF △的周长是否存在最小值？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由.【举一反三】如图，直线y=﹣x+分别与x 轴、y 轴交于B 、C 两点，点A 在x 轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax 2+bx+经过A ，B 两点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M 是直线BC 上方抛物线上的一点，过点M 作MH ⊥BC 于点H ，作MD ∥y 轴交BC 于点D ，求△DMH 周长的最大值．类型三 【确定图形运动中的图形面积的函数关系式及其最值】【典例指引3】如图，抛物线23y ax bx =++（a ，b 是常数，且a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．并且A ，B 两点的坐标分别是A(－1，0)，B(3，0)（1）①求抛物线的解析式；②顶点D 的坐标为_______；③直线BD 的解析式为______；（2）若P 为线段BD 上的一个动点，其横坐标为m ，过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，求当m 为何值时，四边形PQOC 的面积最大？（3）若点M 是抛物线在第一象限上的一个动点，过点M 作MN ∥AC 交x 轴于点N ．当点M 的坐标为_______时，四边形MNAC 是平行四边形．【举一反三】如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0）、C （3，0），点B 为抛物线顶点，直线BD 为抛物线的对称轴，点D 在x 轴上，连接AB 、BC ，∠ABC ＝90°，AB 与y 轴交于点E ，连接CE ．（1）求项点B的坐标并求出这条抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，设△PEC的面积为S，点P的横坐标为m，求S关于m的函数关系武，并求出S的最大值；（3）如图2，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【新题训练】1．如图，已知直线AB经过点（0，4），与抛物线y=14x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是2．(1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．(2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在请说明理由．(3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？2．如图，抛物线y=ax2 +bx+ 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．3．如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．（1）求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋mx＋n经过点A(3，0)、B(0，－3)，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．(2)若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．(3)是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，．点在函数图像上，轴，且，直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点．（1）求、的值；（2）如图①，连接，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标；（3）如图②，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点．试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，连接BD，将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△A′B′D′（B′与B重合），且点D′刚好落在BC的延长上，A′D′与CD相交于点E．（1）求矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分（如图中阴影部分A′B′CE）的面积；（2）将△A′B′D′以2cm/s的速度沿直线BC向右平移，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分的面积为ycm2，移动的时间为x秒，请你求出y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．7．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C （0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y ax x c =-+与直线y kx b =+都经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，该抛物线的顶点为C ．（1）求此抛物线和直线AB 的解析式；（2）设直线AB 与该抛物线的对称轴交于点E ，在射线EB 上是否存在一点M ，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，使点M 、N 、C 、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，当PAB ∆面积最大时，求点P 的坐标，并求PAB ∆面积的最大值．10．如图①,已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （0，3)、B （1，0），其对称轴为直线l ：x=2，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连结PE 、PO ，当m 为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P 使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.11．在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；（3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．12．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(1,0)A ，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，=3OC ．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)过点A 作AM BC ⊥，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；(3)点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当PBC ∆面积最大时，求点P 的坐标；(4)若点Q 为线段OC 上的一动点，问：12AQ QC +是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线212y x bx c =-++过点(3,2)A ，且与直线72y x =-+交于B 、C 两点，点B 的坐标为(4,)m ．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE x ⊥轴交直线BC 于点E ，点P 为对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD PA +的最小值；（3）设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ︒∠=？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是AD 边上的动点，从点A 开始沿AD 向D 运动．以BE 为边，在BE 的上方作正方形BEFG ，EF 交DC 于点H ，连接CG 、BH ．请探究： （1）线段AE 与CG 是否相等？请说明理由．（2）若设AE=x ，DH=y ，当x 取何值时，y 最大？最大值是多少？ （3）当点E 运动到AD 的何位置时，△BEH ∽△BAE ？15．如图，抛物线2y ax bx c =++的图象过点(10)(30)(03)A B C ﹣，、，、，.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△PAC 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及△PAC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得PAM PAC S S ∆∆＝？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，已知抛物线y=13x 2+bx+c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （﹣9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．图形运动中的函数关系问题【考题研究】在图形运动的问题中，随着图形的运动，图形中的线段长度、面积大小都在变化，从而找出这些变化的规律就是近年来中考出现的大量图形运动问题的题目.解图形运动问题关系的关键是用含自变量x的代数式表示出有关的量，如与x有关的线段长，面积的大小等. 这类题考查学生数形结合、化归、分类讨论、方程等数学思想.【解题攻略】图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用．类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边．如图1，已知点A的坐标为(3, 4)，点B 是x轴正半轴上的一个动点，设OB＝x，AB＝y，那么我们在直角三角形ABH中用勾股定理，就可以得到y 关于x的函数关系式．类型二，图形的翻折．已知矩形O ABC在坐标平面内如图2所示，AB＝5，点O沿直线EF翻折后，点O 的对应点D落在AB边上，设AD＝x，OE＝y，那么在直角三角形AED中用勾股定理就可以得到y关于x的函数关系式．由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．【解题类型及其思路】图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题．计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面积公式；二是不规则图形的面积通过割补进行计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相似三角形的面积比等于相似比的平方．前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单．一般情况下，在求出面积S关于自变量x的函数关系后，会提出在什么情况下（x为何值时），S取得最大值或最小值．【典例指引】类型一 【确定图形运动中的线段的函数关系式及其最值】【典例指引1】如图，在ABC ∆中，90A ∠=o ，3AB =，4AC =，点,M Q 分别是边,AB BC 上的动点（点M 不与,A B 重合），且MQ BC ⊥，过点M 作BC 的平行线MN ，交AC 于点N ，连接NQ ，设BQ 为x ．（1）试说明不论x 为何值时，总有QBM ∆∽ABC ∆；（2）是否存在一点Q ，使得四边形BMNQ 为平行四边形，试说明理由； （3）当x 为何值时，四边形BMNQ 的面积最大，并求出最大值．【答案】（1）见解析；（2）当BQ MN =时，四边形BMNQ 为平行四边形；（3）当458x =时，四边形BMNQ 的面积最大，最大值为752． 【解析】 【分析】（1）根据题意得到∠MQB=∠CAB ，根据相似三角形的判定定理证明； （2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；（3）根据勾股定理求出BC ，根据相似三角形的性质用x 表示出QM 、BM ，根据梯形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数性质计算即可． 【详解】解：（1）∵MQ BC ⊥， ∴90MQB ︒∠=，∴MQB CAB ∠=∠，又QBM ABC ∠=∠， ∴QBM ∆∽ABC ∆；（2）当BQ MN =时，四边形BMNQ 为平行四边形， ∵//MN BQ ，BQ MN =， ∴四边形BMNQ 为平行四边形； （3）∵90,3,4A AB AC ︒∠===，∴225BC AB AC =+=，∵QBM ∆∽ABC ∆，∴QB QM BM AB AC BC ==，即345x QM BM==， 解得，45,33QM x BM x ==，∵//BC MN ，∴MN AM BC AB=，即53353x MN -=， 解得，2559MN x =-， 则四边形BMNQ 的面积2125432457552932782x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴当458x =时，四边形BMNQ 的面积最大，最大值为752． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键． 【举一反三】如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，10AD =，E 是CD 边上一点，连接AE ，将矩形ABCD 沿AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上点F 处，延长AE 交BC 的延长线于点G ．（1）求线段CE 的长；（2）如图2，M ，N 分别是线段AG ，DG 上的动点（与端点不重合），且DMN DAM ∠=∠，设AM x =，DN y =．①写出y 关于x 的函数解析式，并求出y 的最小值；②是否存在这样的点M ，使DMN V 是等腰三角形？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3CE =；（2）①当45x =时，y 有最小值，最小值2=；②存在．满足条件的x 的值为8510-或115． 【解析】 【分析】()1由翻折可知：10.AD AF DE EF ===，设EC x =，则8.DE EF x ==-在Rt ECF V 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．()2①证明ADM V ∽GMN V ，可得ADAMMG GN=，由此即可解决问题．②有两种情形：如图31-中，当MN MD =时.如图32-中，当MN DN =时，作MH DG ⊥于.H 分别求解即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，∴10AD BC ==，8AB CD ==， ∴90B BCD ∠=∠=︒，由翻折可知：10AD AF ==．DE EF =，设EC x =，则8DE EF x ==-． 在Rt ABF V 中，226BF AF AB =-=，∴1064CF BC BF =-=-=，在Rt EFC V 中，则有：()22284x x -=+， ∴3x =， ∴3EC =． （2）①如图2中，∵AD CG ∥，∴AD DECG CE =， ∴1053CG =， ∴6CG =，∴16BG BC CG =+=，在Rt ABG V 中，2281685AG +=， 在Rt DCG V 中，226810DG =+=， ∵10AD DG ==， ∴DAG AGD ∠=∠，∵DMG DMN NMG DAM ADM ∠=∠+∠=∠+∠，DMN DAM ∠=∠， ∴ADM NMG ∠=∠， ∴ADM GMN V V ∽， ∴AD AMMG GN=， 1085xyx =--，∴21451010y x x =+．当45x =时，y 有最小值，最小值2=．②存在．有两种情形：如图3-1中，当MN MD =时，∵MDN GMD ∠=∠，DMN DGM ∠=∠， ∴DMN DGM V V ∽， ∴DM MNDG GM=， ∵MN DM =， ∴10DG GM ==， ∴8510x AM ==-．如图3-2中，当MN DN =时，作MH DG ⊥于H ．∵MN DN =， ∴MDN DMN ∠=∠， ∵DMN DGM ∠=∠， ∴MDG MGD ∠=∠， ∴MD MG =， ∵BH DG ⊥， ∴5DH GH ==， 由GHM GBA V V ∽，可得GH MGGB AG=，∴51685=， ∴552MG =， ∴5511585x AM ==-=． 综上所述，满足条件的x 的值为8510-或115． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．类型二 【确定图形运动中的图形周长的函数关系式及其最值】【典例指引2】如图，在平面直角坐标系中，直线4y x =-分别与x 轴，y 轴交于点A 和点C ，抛物线23y ax x c =-+经过,A C 两点，并且与x 轴交于另一点B .点D 为第四象限抛物线上一动点(不与点,A C重合)，过点D 作DF x ⊥轴，垂足为F ，交直线AC 于点E ，连接BE .设点D 的横坐标为m .(1)求抛物线的解析式;(2)当ECD EDC ∠=∠时，求出此时m 的值;(3)点D 在运动的过程中，EBF △的周长是否存在最小值？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 234y x x =--；(2)当ECD EDC ∠=∠时，4m =(3)存在. 1.5m =时，BEF V 的周长最小. 【解析】 【分析】(1)易求(),)40 04(A C -，，，根据待定系数法，即可得到答案； (2)过点E 作EH y ⊥轴，垂足为H ，易得：Q 点()()2,34, ,4D m m m E m m ---，进而可知：,EH HC m ∴==()()224 344ED m m m m m =----=-+，EC =，根据ECD EDC ∠=∠时，EC ED =，列出方程，即可求解；(3)易证：BFE △的周长=BF FE BE BF AF BE AB BE ++=++=+，可知：当BE 最小，即BE AC ⊥时，BFE △的周长最小，进而可求出BEF V 的周长最小时，m 的值. 【详解】(1)在4y x =-中，当0x =时，4y =-；当0y =时，4x =，40())0,( 4A C ∴-，，.把()()4,0,0,4A C -代入23y ax x c =-+中， 得：161204a c c -+=⎧⎨=-⎩，解得14a c =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式是234y x x =--；(2)过点E 作EH y ⊥轴，垂足为H .4OA OC ==Q ，45OAC OCA ∴∠=∠=︒， 45HEC HCE ∴∠=∠=︒.Q 点()()2,34, ,4D m m m E m m ---，,EH HC m ∴==()()224 344ED m m m m m =----=-+，EC =， ∴当ECD EDC ∠=∠时，EC ED =，2 4m m =-+，解得：10m =(舍去)，24m =.∴当ECD EDC ∠=∠时，42m =-；(3)存在.在抛物线234y x x =--中，当0y =时，2340x x --=，解得121,4x x =-=，∴点B 坐标为()1,0-.45FAE FEA ∠=∠=︒Q ， EF AF ∴=.设BFE △的周长为l ，则l BF FE BE BF AF BE AB BE =++=++=+，AB Q 的值不变，∴当BE 最小，即BE AC ⊥时，BFE △的周长最小. Q 当BE AC ⊥时，45EBA BAE ∠=∠=︒，BE AE ∴=，2.5BF AF ∴==，1.5m ∴=时，BEF V 的周长最小.【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合问题，把动点E 的坐标用未知数m 表示出来，是解题的关键，体现了数形结合的思想方法. 【举一反三】如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．【答案】（1）（﹣1，0）（2）y=﹣x2+x+（3）【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，∴B（3，0），C（0，），∴OB=3，OC=，∴tan∠BCO==，∴∠BCO=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACO=30°，∴=tan30°=，即=，解得AO=1，∴A（﹣1，0）；（2）∵抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+；（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，∴DH=DM，MH=DM，∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，∴当DM有最大值时，其周长有最大值，∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，∴可设M（t，﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，DM有最大值，最大值为，此时DM=×=，即△DMH 周长的最大值为．考点：1、二次函数的综合应用，2、待定系数法，3、三角函数的定义，4方程思想类型三 【确定图形运动中的图形面积的函数关系式及其最值】【典例指引3】如图，抛物线23y ax bx =++（a ，b 是常数，且a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．并且A ，B 两点的坐标分别是A(－1，0)，B(3，0)（1）①求抛物线的解析式；②顶点D 的坐标为_______；③直线BD 的解析式为______；（2）若P 为线段BD 上的一个动点，其横坐标为m ，过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，求当m 为何值时，四边形PQOC 的面积最大？（3）若点M 是抛物线在第一象限上的一个动点，过点M 作MN ∥AC 交x 轴于点N ．当点M 的坐标为_______时，四边形MNAC 是平行四边形．【答案】（1）①2y x 2x 3=-++；②(1，4)；③26y x =-+；（2）当94m =时，S 最大值=8116；（3）(2，3)【解析】 【分析】（1）①把点A 、点B 的坐标代入23y ax bx =++，求出a ，b 即可；②根据顶点坐标公式24(,)24b ac ba a--求解；③设直线BD 的解析式为y kx n =+，将点B 、点D 的坐标代入即可；（2）求出点C 坐标，利用直角梯形的面积公式可得四边形PQOC 的面积s 与m 的关系式，可求得面积的最大值；（3）要使四边形MNAC 是平行四边形只要//MC AN 即可，所以点M 与点C 的纵坐标相同，由此可求得点M 坐标.【详解】解：（1）①把A （－1，0），B （3，0）代入23y ax bx =++，得30,9330.a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得1,2.a b =-⎧⎨=⎩∴22 3.y x x =-++②当2122b x a =-=-=-时，24124444ac b y a ---===-所以顶点坐标为（1，4）③设直线BD 的解析式为y kx n =+，将点B （3，0）、点D （1，4）的坐标代入得304k n k n +=⎧⎨+=⎩，解得26k n =-⎧⎨=⎩所以直线BD 的解析式为2 6.y x =-+（2）∵点P 的横坐标为m ，则点P 的纵坐标为26m -+． 当0x =时，003 3.y =++=∴C （0，3）． 由题意可知：OC=3，OQ=m ，PQ=26m -+．∴s=1(263)2m m -++⋅ =292m m -+=2981()416m --+.∵－1＜0，1＜94＜3，∴当94m =时，s 最大值=81.16如图，MN ∥AC ，要使四边形MNAC 是平行四边形只要//MC AN 即可.设点M 的坐标为223)(,x x x -++， 由2y x 2x 3=-++可知点(0,3)C//MC AN Q2233x x ∴-++=解得2x =或0（不合题意，舍去）2234433x x ∴-++=-++=当点M 的坐标为（2，3）时，四边形MNAC 是平行四边形． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的解析式及顶点、一次函数的解析式、二次函数在三角形和平行四边形中的应用，将二次函数的解析式与几何图形相结合是解题的关键. 【举一反三】如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0）、C （3，0），点B 为抛物线顶点，直线BD 为抛物线的对称轴，点D 在x 轴上，连接AB 、BC ，∠ABC ＝90°，AB 与y 轴交于点E ，连接CE ．（1）求项点B 的坐标并求出这条抛物线的解析式；（2）点P 为第一象限抛物线上一个动点，设△PEC 的面积为S ，点P 的横坐标为m ，求S 关于m 的函数关系武，并求出S 的最大值；（3）如图2，连接OB ，抛物线上是否存在点Q ，使直线QC 与直线BC 所夹锐角等于∠OBD ，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）点B坐标为（1，2），y＝﹣12x2+x+32；（2）S＝﹣34m2+2m+34，S最大值2512；（3）点Q的坐标为（﹣13，109）．【解析】【分析】（1）先求出抛物线的对称轴，证△ABC是等腰直角三角形，由三线合一定理及直角三角形的性质可求出BD的长，即可写出点B的坐标，由待定系数法可求出抛物线解析式；（2）求出直线AB的解析式，点E的坐标，用含m的代数式表示出点P的坐标，如图1，连接EP，OP，CP，则由S△EPC＝S△OEP+S△OCP﹣S△OCE即可求出S关于m的函数关系式，并可根据二次函数的性质写出S 的最大值；（3）先证△ODB∽△EBC，推出∠OBD＝∠ECB，延长CE，交抛物线于点Q，则此时直线QC与直线BC 所夹锐角等于∠OBD，求出直线CE的解析式，求出其与抛物线交点的坐标，即为点Q的坐标．【详解】解：（1）∵A（﹣1，0）、C（3，0），∴AC＝4，抛物线对称轴为x＝132-+＝1，∵BD是抛物线的对称轴，∴D（1，0），∵由抛物线的对称性可知BD垂直平分AC，∴BA＝BC，又∵∠ABC＝90°，∴BD＝12AC＝2，∴顶点B坐标为（1，2），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+2，将A（﹣1，0）代入，得0＝4a+2，解得，a＝﹣12，∴抛物线的解析式为：y＝﹣12（x﹣1）2+2＝﹣12x2+x+32；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（﹣1，0），B（1，2）代入，得2k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得，k＝1，b＝1，∴y AB＝x+1，当x＝0时，y＝1，∴E（0，1），∵点P的横坐标为m，∴点P的纵坐标为﹣12m2+m+32，如图1，连接EP，OP，CP，则S△EPC＝S△OEP+S△OCP﹣S△OCE＝12×1×m+12×3（﹣12m2+m+32）﹣12×1×3＝﹣34m2+2m+34，＝﹣34（m﹣43）2+2512，∵﹣34＜0，根据二次函数和图象及性质知，当m＝43时，S有最大值2512；（3）由（2）知E（0，1），又∵A（﹣1，0），∴OA＝OE＝1，∴△OAE是等腰直角三角形，∴AE，又∵AB＝BC＝∴BE＝AB﹣AE∴12 BEBC==，又∵12 ODBD=，∴BE ODBC BD=，又∵∠ODB＝∠EBC＝90°，∴△ODB∽△EBC，∴∠OBD＝∠ECB，延长CE，交抛物线于点Q，则此时直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD，设直线CE的解析式为y＝mx+1，将点C（3，0）代入，得，3m+1＝0，∴m＝﹣13，∴y CE＝﹣13x+1，联立21322113y x xy x⎧=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得，3xy=⎧⎨=⎩或13109xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点Q的坐标为（﹣13，109）．。
初中数学培优专题之——一元二次方程与二次函数的关系
初中数学培优专题之一元二次方程与二次函数的关系方程与函数有着密切的联系，我们可以利用方程（组）解决函数问题，也可以利用函数解决方程（组）问题.我们知道，二次函数的一般形式是c bx ax y ++=2)0(≠a ，而一元二次方程的一般形式是02=++c bx ax )0(≠a .显然当二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 中0=y 时就能得到一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a ，所以一元二次方程与二次函数是特殊与一般的关系.一、知识链接 透彻理解数学概念，提升你的数学内涵 ！1.利用一元二次方程解决二次函数问题：（1）对于二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 来说，当0=y 时，就得一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a ，因此我们可以利用一元二次方程求二次函数图像与x 轴的交点坐标.进一步我们还可以探讨一元二次方程ac b 42-=∆的取值与二次函数图像与x 轴的交点坐标的情况之间的关系：①当042>-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点；②当042=-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有唯一交点（这个唯一交点就是抛物线的顶点）； ③当042<-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴没有交点（抛物线要不全部在x 轴上方，要不全部在x 轴下方）.(2)我们还可以利用一元二次方程根与系数的关系解决有关二次函数图像与x 轴交点横坐标的有关求值问题：当一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根1x 、2x 时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于两点A(1x ,0)、B(2x ,0)，此时有a b x x -=+21，1x ·acx =2.此时抛物线与x 轴两交点的距离为： AB=21x x -=221)(x x -212214)(x x x x -+=224aacb -=a ∆=（公式①）. （3）推广：我们可以利用一元二次方程来研究抛物线与c bx ax y ++=2与直线b kx y +=（当0≠k 时为一次函数的图像，当0=k 时为平行于x 轴或与x 轴重合的一条直线b y =）的交点情况.2.利用二次函数解决一元二次方程问题一方面，反过来，我们可以根据抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点情况去判断一元二次方程02=++c bx ax 的根的情况.另一方面，我们还可以利用二次函数图像比较直观地去解决有关一元二次方程的解的问题以及有关系数的值的问题.二、典例精讲 参与数学解题过程，品味数学内在魅力 ！例1 （2010年福州市中考题）已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是( )A ．a ＞0B ．c ＜0C ．b 2－4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＞0分析：a 决定抛物线的开口方向，c 决定抛物线与y 轴的交点情况，抛物线的对称轴由a 、b 共同决定，b 2－4ac 决定抛物线与x 轴的交点情况．本题中，由于抛物线开口方向向下，因此a ＜0；抛物线与y 轴的交点（0，c ）在x 轴上方，因此c ＞0；由于抛物线对称轴在y 轴右侧，所以x=－b2a＞0，所以b ＞0；由于抛物线与x 轴有两个交点，所以b 2－4ac ＞0．a ＋b ＋c 是x ＝1时的函数值，而图像上点（1，a ＋b ＋c ）在x 轴上方，所以a ＋b ＋c ＞0．答案：D ．技巧提升：本题是二次函数图像信息探究问题．解决这类问题就应熟练掌握a 、b 、c 、x ＝－b2a、a ＋b ＋c 、b 2－4ac 等与抛物线的位置特征之间的关系．例2 （2010年徐州市中考题）平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（ ）A ．向上平移4个单位B ．向下平移4个单位C ．向左平移4个单位D ．向右平移4个单位分析：因为二次函数y=(x-2009)(x-2008)的图象与x 轴交于点（2008，0）和（2009，0），这两点间的距离为1，而二次函数y=(x-2009)(x-2008)的图象可由二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象向下平移4个单位得到．答案：B ．技巧提升：本题也可以倒过来想，容易知道抛物线y=(x-2009)(x-2008)+4经过点（2009，4）、（2008，4），这两点的距离围为1，要将这两点平移到x 轴上，应将图像向下平移4个单位．研究抛物线平移问题，一般我们要抓住特征对应点来分析．例3 （2010年镇江市中考题）已知实数x ，y 满足x 2＋3x ＋y －3＝0，则x ＋y 的最 大值为 .分析：可以利用二次函数最值方法来求，由x 2＋3x ＋y －3＝0得，x ＋y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，所以当x ＝－1时，x ＋y 最大值为4；也可以尝试用换元法解决，设k y x =+，则原方程可化为0322=-++k x x ，因为这个关于x 必有实数根，所以0)3(44≥--=∆k ，解得4≤k ，所以k （即x ＋y ）的最大值为4.答案：4.技巧提升：第一种分析方法，由等式是一个关于x 的二次方程，也是关于y 的一次方程，所以可以联想到把式子转化为“x＋y”关于x 的二次函数，利用函数知识求解；第二种分析方法将问题转化为求关于x 的一元二次方程的参数k 的取值范围问题来解决，有异曲同工之效．例4 （2010年日照市中考题）如图10-2，是二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是 .分析：由于已知了抛物线与x 轴的一交点为A （3，0），且与对称轴x ＝1的距离为2，所以根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x 轴的另一交点应在对称轴左侧，且与直线x ＝1的距离也为2，其坐标应为（－1，0）.观察图像可知，当－1＜x ＜3时，抛物线在x 轴下方，所以不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是－1＜x ＜3答案:－1＜x ＜3.技巧提升：不等式ax 2＋bx ＋c ＞ 0 （或＜ 0 ）的解集就是二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象在 x 轴上（下）方的点所对应的 x 的取值范围，因此不等式ax 2＋bx ＋c ＞ 0 （或＜ 0 ）的解集与抛物线与x 轴的交点的横坐标有关，所以解决一般这类问题要先利用一元二次方程求出抛物线与x 轴的交点坐标．例5 （2010年咸宁市中考题）已知二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴两交点的坐标分别为（m ，0），（3m -，0）（0m ≠）．（1）证明243c b =；（2）若该函数图象的对称轴为直线1x =，试求二次函数的最小值．分析：本题是二次函数问题，可借助一元二次方程与二次函数的关系来解决． 解：（1）证明：法一：依题意，m ，3m -是一元二次方程20x bx c +-=的两根．根据一元二次方程根与系数的关系，得(3)m m b +-=-，(3)m m c ⨯-=-．∴2b m =，23c m =， ∴224312c b m ==．法二：由题意得⎩⎨⎧=--=-+039022c bm m c bm m ，①—②得0482=+-bm m ，因为0m ≠，所以m b 2=．代入①得0222=-+c m m ，所以23m c =，所以2124m c =，22123m b =，所以243b c =．法三：由抛物线的轴对称性可知其对称轴为2)3(2m m b x -+=-=，可得m b 2=（下同法二）．（2）解：法一：依题意，12b-=，∴2b =-． 由（1）得2233(2)344c b ==⨯-=．∴2223(1)4y x x x =--=--． ∴二次函数的最小值为4-．法二：因为函数图象与x 轴两交点的坐标分别为（m ，0），（3m -，0），所以由抛物线的轴对称性可知抛物线的对称轴是直线m x -=，所以1=-m ，所以1-=m ，故抛物线与x 轴的两交点为)0,1(-、)0,3(，所以抛物线的解析式为32)3)(1(2--=-+=x x x x y ， 当1=x 时，4321-=--=最小y ，∴二次函数的最小值为4-．技巧提升：本题两小题都给出了不同的解法，应注意体会不同解法的异同．一题多解，多中选优，平时解题的思考会带来解题能力的提升．例6 （2010年杭州市中考题）定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为 [2m,1-m ,-1–m]的函数的一些结论：①当m ＝-3时，函数图象的顶点坐标是(31，38)； ② 当m>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③ 当m<0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小；④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有（ ）A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②④分析：把m ＝－3代入[2m ，1–m , –1–m]，得a ＝－6，b ＝4，c ＝2，函数解析式为y ＝－6x 2+4x+2，易求出其图像顶点为(31，38)，故①正确；当a=2m 、b=1-m 、c=-1-m 时，△=b 2－4ac ＝(1－m)2－4×2m×(－1－m)＝(3m+1)2，根据公式①可知函数图象截x 轴所得的线段长度为21x x -a ∆=mm 2)13(2+==m m 213+，当m ＞0时，21x x -=m m m 2123213+=+＞32，故②正确；∵m ＜0，∴抛物线开口向下.∵抛物线对称轴为x ＝－2b a＝122m m --⨯＝1144m-，∴在对称轴左侧，即当m x 4141-<时，y 随x 的增大而增大，对称轴右侧，即当m x 4141->时，y 随x 的增大而减小.在∵14<1144m-,所以当x >41时，图像有可能一部分在对称轴左侧，一部分在对称轴右侧，故③不正确；对于抛物线y=2mx 2+(1-m)x-1-m 时，当x=1时，y=2m+1－m+(－1－m)＝0，∴当m≠0时，抛物线一定经过(1，0)这个点，故④正确．答案：B.技巧提升：本题综合考查了二次函数的各个方面的知识，比如二次函数图像顶点公式、二次函数的增减性、函数图像上的顶点问题、抛物线与x 轴交点之间的距离等.其中第③个问题体现了一元二次方程与二次函数关系的核心知识，应引起重视.例7 （2008年扬州市中考题改编）若关于x 的一元二次方程0522=++ax x 的两根在1与2之间（不含1和2），则a 的取值范围是 ．分析：这是一个一元二次方程问题，如果直接用一元二次方程的根来列不等式组，需要列5个不等式，也就是：0402>-=∆a 、04402>-+-a a 、14402<-+-a a 、04402>---a a 、14402<---a a ，这样将会很麻烦．那么如何解才能比较简单呢？如果我们利用二次函数图像来帮助分析，解法将简单得多．令522++=ax x y ，如图10-3我们可以画出这个函数的大致图像．根据图像对称轴在y 轴右侧，可知04>-a ，解得0<a ．再根据0402>-=∆a 可得102-<a ．根据图像特征可知图像上横坐标为1和2的两个点的纵坐标都是正数，所以可得⎩⎨⎧>+⋅+⨯>+⋅+⨯052220511222a a ，可解得213->a ．这样就能得到a 的取值范围是102213-<<-a ．答案：102213-<<-a ． 技巧提升：利用一元二次方程解决二次函数问题，这种题型比较多，也容易想到.而反过来，利用二次函数解决一元二次方程问题，这种题型就比较少了，遇到的时候也不容易想到.以后遇到一元二次方程问题，用方程知识不好解决时，可以尝试用用二次函数．例8 （2010年潍坊市中考题）已知函数y 1＝x 2与函数y 2＝－12x ＋3的图象大致如图10-4，若y 1＜y 2，则自变量x 的取值范围是（ ）A ．－12 ＜x ＜2B ．x ＞2或x ＜－32C ．－2＜x ＜32D ．x ＜－2或x ＞32分析：当y 1＜y 2时，在图象中反映的是直线在抛物线的上方，也就是两函数图像两个交点之间的部分，所以我们要求出这两个函数图像的交点．由⎪⎩⎪⎨⎧+-==3212x y x y 解得⎩⎨⎧=-=4211y x 、⎪⎩⎪⎨⎧==492322y x ，因此满足要求的自变量x 的取值范围应该是－2＜x ＜32．答案：C ．技巧提升：作为选择题，解答本题时，也可以不解方程组．先根据直线在抛物线的上方排除答案B 、D ，再根据两函数图像的右交点更靠近对称轴（y 轴）可排除答案A ．例9 （2007年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）． 若二次函数()233y x a x =+-+的图象与线段AB 恰有一个交点，则a 的取值范围是 ．分析：要注意抛物线()233y x a x =+-+与线段AB 恰有一个交点应包含两种情况：⑴抛物线()233y x a x =+-+与x 轴只有一个交点，这个交点恰好在线段AB 上．由判别式012)3(2=--=∆a 0∆=解得3a =±．当3a =+时，12x x ==3a =-12x x ==意．⑵抛物线()233y x a x =+-+与x 轴有两个交点，其中只有一个在线段AB 上．设抛物线与x 轴的两个交点为C （0,1x ）、D )0,(2x （21x x <），则321=x x ．若只有点D 在线段AB 上，则101<<x ，212≤≤x ，显然321<x x ，不合题意；若只有点C 在线段AB 上，则211≤≤x ，22>x ．当点D 与点A 、B 都不重合时，函数如图10-5所示，从图像可以看出，图像上横坐标为1的点在x 轴上方，横坐标为2的点在x 轴下方，所以⎩⎨⎧<+-+>+-+03)3(2403)3(1a a ，解得112a -<<-．当当点D 与点A 重合时，由031)3(12=+⨯-+a ，得1a =-，此时11=x ，32=x ，符合题意；当点D 与点B 都重合时，由032)3(22=+⨯-+a ，得12a =-，此时21=x ，232=x ，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是1-≤12a <-，或者3a =-答案：1-≤12a <-，或者3a =-技巧提升：本题中要注意对不同情况进行分类讨论，既要考虑到一般情况，还要考虑到特殊情况．例10 （2010年全国初中数学联合竞赛试题）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．分析：函数图象与x 轴两交点的横坐标就是方程04)1(2=-+++p k px x 的两根，可考虑利用一元二次方程根与系数的关系来解决．解：由题意知，方程04)1(2=-+++p k px x 的两根21,x x 中至少有一个为整数． 由根与系数的关系可得4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x ，从而有p k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++ ①（1）若1k =，则方程为0)2(22=-++p px x ，它有两个整数根2-和2p -． （2）若1k >，则01>-k .因为12x x p +=-为整数，如果21,x x 中至少有一个为整数，则21,x x 都是整数. 又因为p 为质数，由①式知2|1+x p 或2|2+x p ．不妨设2|1+x p ，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m-+=， 故121(2)(2)k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+． 又12x x p +=-，所以14k p mp m--+=+，即41)1(=-++mk p m ②如果m 为正整数，则(1)(11)36m p +≥+⨯=，10k m ->，从而1(1)6k m p m-++>，与②式矛盾. 如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m -<，从而1(1)0k m p m-++<，与②式矛盾. 因此，1>k 时，方程04)1(2=-+++p k px x 不可能有整数根． 综上所述，1=k ．技巧提升：由于方程两根之和为质数p ，所以只要有一个根是整数，则另一个根也必然是整数.我们也可以从方程根的特征来分析．根据一元二次方程求根公式可知方程04)1(2=-+++p k px x 的根应为216)1(42++-±-=p k p p x ，要使得其根为整数，根的判别式16)1(42++-p k p 的值必须是完全平方数．由于p 是质数，因此当16)1(42++-p k p 的值是完全平方数时，关于p 的二次三项式16)1(42++-p k p 必然等于2)(n p ±（n 为非负整数），也就是说16)1(42++-p k p 应成为关于p 的一个完全平方式，因此可得其064)1(162=-+=∆k ，可解得11=k ，32-=k （舍去）．三．学力训练1．选择题：2104（图10-8）.其中正确的结论有（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．①③④D ．①③ （3）（“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题）把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）A ．512 B ．49 C ．1736D ．12 （4）(2008年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛试题)在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数y ＝－x 2＋6x －274的图象与x 轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 2．填空题：（1）（2010年新疆维吾尔自治区中考题）抛物线y ＝-x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是_______．（2）（2010年玉溪市中考题）如图10-9是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断①c ＞0；② a +b +c ＜0；③ 2a -b ＜0；④b 2+8a ＞4a c 中正确的是（填写序号） ．（3）（2006年全国初中数学联合竞赛辽宁卷）函数y = x 2 -2006|x |+ 2008的图象与x 轴交点的横坐标之和等于__________．(4)（2010年全国初中数学联合竞赛题）二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = ．3. （2010年佛山市中考题）（1）请在坐标系中画出二次函数x x y 22-=的大致图象；（2）根据方程的根与函数图象的关系，将方程122=-x x 的根在图上近似的表示出来（描点）；（3）观察图象，直接写出方程122=-x x 的根．（精确到0.1）（图10-10）4.（2010年长沙市中考题）已知：二次函数22y ax bx =+-的图象过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b ），其中a>b>0且a 、b 为实数．（1）求一次函数的表达式（用含b 的式子表示）； （2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为1x 、2x ，求12||x x -的范围．5.（2010年肇庆市中考题）已知二次函数12+++=c bx x y 的图象过点P （2，1）． （1）求证：42--=b c ；（2）求bc 的最大值；（3）若二次函数的图象与x 轴交于点1(x A ，)0，2(x B ，)0，ABP ∆的面积是43， 求b ．6． (2007年全国初中数学联合竞赛试题)设n m ,为正整数，且2≠m ，二次函数mtx mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为1d ，二次函数nt x n t x y 2)2(2+-+-=的图象与x 轴的两个交点间的距离为2d .如果21d d ≥对一切实数t 恒成立，求n m ,的值.7.（2009年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）已知抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，且3222221-+=+t t x x . （1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值.8．（2010年全国初中数学联合竞赛试题）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a . （1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为 C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积.第10讲．一元二次方程与二次函数的关系 参考答案1．选择题：（1）D ；（2）C ；（3）C ；（4）C ； 2．填空题：（1）－3＜x ＜1；(2) ②、④；（3）0；(4) 19． 3.解：（1）如图所示；（2）如图所示，抛物线x x y 22-=与直线y=1的两个交点的横坐标就是方程122=-x x 的两根，也就是x 轴上点C 、点D 所表示的数；（3）方程的122=-x x 根为≈1x -0.4、≈2x 2.4. 4.解：（1）设一次函数的表达式为y ＝kx(k 为常数，k≠0) ．∵一次函数图象经过原点和点（1，－b ），∴把点（1，－b ），代入y ＝kx ，得－b ＝k,即k ＝－b ．∴一次函数的表达式为y ＝－bx ．（2）∵y=ax 2+bx －2过（1，0）即a+b=2由2(2)2y bxy b x bx =-⎧⎨=-+-⎩得22(2)20ax a x +--=①∵△＝224(2)84(1)120a a a -+=-+>∴方程①有两个不相等的实数根，∴方程组有两组不同的解， ∴两函数有两个不同的交点．（3）∵两交点的横坐标x 1、x 2分别是方程①的解 ∴122(2)24a a x x a a--+==122x x a -=∴12x x -== 或由求根公式得出∵a>b>0，a+b=2， ∴2>a>1 令函数24(1)3y a=-+， ∵在1<a<2时y 随a 增大而减小，∴244(1)312a<-+<，∴2<<∴122x x <-< 5.解：（1）∵12+++=c bx x y 的图象过点P （2，1） ∴1241+++=c b ∴42--=b c（2）)42(--=b b bc 2)1(2)2(222++-=+-=b b b 当1-=b 时，2-=c此时，=∆)1(42+-c b 0541)12(4)1(2>=+=+---= ∴当1-=b 时，bc 有最大值，最大值为2。
2023年中考数学专项突破之函数的图象与性质课件 52张PPT
就是含有字母x的二次函数.
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例题3
已知,点M为二次函数y=-(x-b)2+4b+1图象的顶点,直线y=mx+5分别交x轴、y轴于点
A,B.
(1)判断顶点M是否在直线y=4x+1上,并说明理由;
(2)如图1,若二次函数图象也经过点A,B,且mx+5>-(x-b)2+
即为所求;(3)根据反函数的图象和性质,当点P在第一象限时,p>0;当点P在第三象限
时,p≤-2.
解析：(1)把A(2,m),B(n,-2)代入y= 得k2=2m=-2n,即m=-n,则A(2,-n),
如图,过A作AE⊥x轴于E,过B作BF⊥y轴于F,延长AE,BF交于D,
∵A(2,-n),B(n,-2),
方法点拨
解答此类问题需要掌握二次函数的概念、图象和性质,画出草图观察分析,将函数
的平移、最值、增减性等贯穿在草图中,此类问题就会迎刃而解.
解题技巧
解决这类问题一般遵循这样的方法:
(1)求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需将二次函数转化为一元二次方
程;
(2)求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶
点入口.两车距学校的路程s(单位:km)和行驶时间t(单位:min)之间的函数关系如
图所示.
请结合图象解决下面问题:
(1)学校到自然保护区的路程为 40 km,大客车途中停留了
5min, a=
;15
(2)在小轿车司机驶过自然保护区入口时,大客车离景点入口还有多远?
(3)小轿车司机到达自然保护区入口时发现本路段限速80 km/h,请你帮助小轿车司
中考数学高频考点图形运动中的函数关系问题教学案
中考数学高频考点图形运动中的函数关系问题图形运动的过程中,求面积随某个量变化的函数关系,是中考数学的热点问题.一．计算面积常见的有四种方法：一是规则图形的面积用面积公式;二是不规则图形的面积通过割补进行计算;三是同高(或同底)三角形的面积比等于对应边(或高)的比;四是相似三角形的面积比等于相似比的平方.前两种方法容易想到,但是灵活使用第三种和第四种方法,可以使得运算简单.一般情况下,在求出面积S关于自变量x的函数关系后,会提出在什么情况下(x为何值时),S取得最大值或最小值.二．关于面积的最值问题,有许多经典的结论.1. 周长一定的矩形,当正方形时,面积最大.2. 面积一定的矩形,当正方形时,周长最小.3. 周长一定的正多边形,当边数越大时,面积越大,极限值是圆.4. 如图1,锐角△ABC的内接矩形DEFG的面积为y, AD=x,当点D是AB的中点时,面积y最大.5. 如图2,点P在直线AB上方的抛物线上一点,当点P位于AB的中点E的正上方时,△PAB的面积最大.6. 如图3,△ABC中,∠A和对边BC是确定的,当AB=AC时,△ABC的面积最大.三．真题巩固：1.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、 B、 C 三点,其中点A的坐标为(0, 8),点B的坐标为(-4, 0).(1) 求该二次函数的表达式及点C的坐标;(2) 点D的坐标为(0, 4),点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点,连结CD、 CF,以CD、 CF为邻边作平行四边形CDEF.设平行四边形CDEF的面积为S.①求S的最大值;②在点F的运动过程中,当点E落在该二次函数的图象上时,请直接写出此时S的值.解析：1. 把点F的横坐标x设为自变量,用x表示△CDF的面积.2. 连结OF“割补”△CDF比较简便.3. 如果设点F的坐标为(m, n),根据FE与CD平行且相等,通过坐标平移可以表示点E的坐标,再把点F、 E的坐标分别代入抛物线的解析式,联立方程组求m的值.2.如图1,在平面直角坐标系中,点B在x轴正半轴上,OB的长度为2m,以OB为边向上作等边三角形AOB,抛物线l: y=ax2+bx+c经过O、 A、 B三点.(1) 当m=2时,a= ,当m=3时,a= ;(2) 根据(1)中的结果,猜想a与m的关系,并证明你的结论;(3) 如图2,在(1)的基础上,作x轴的平行线交抛物线l于P、 Q两点,PQ的长度为2n,当△APQ为等腰直角三角形时,a与n的关系式为;(4) 利用(2)、 (3)中的结论,求△AOB与△APQ的面积比.图1 图2解析：1. 点A和点B的坐标可以用m表示,那么设抛物线的顶点式或交点式,可以用m表示抛物线的解析式.2. 点Q的坐标可以用m、 n表示,代入抛物线的解析式可以得到m、 n的关系.3.如图1,四边形OABC各顶点的坐标分别为O(0, 0), A(3, 3), B(9, 5), C(14, 0).动点P与Q同时从点O出发,运动时间为t秒,点P沿OC方向以1个单位/秒的速度向点C运动,点Q沿折线OA—AB—BC运动,在OA、 AB、 BC上运动的速度分别为3、、(单位长度/秒).当P、 Q中的一点到达点C时,两点同时停止运动.(1) 求AB所在直线的函数表达式;(2) 如图2,当点Q在AB上运动时,求△CPQ的面积S关于t的函数表达式及S的最大值;(3) 在P、 Q的运动过程中,若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点,求相应的t 的值.图1 图2解析：1. 先求线段OA、 AB、 BC的长,把点Q在三条线段上的运动时间罗列出来.2. 直线OA、 BC与x轴的夹角为60°,直线AB与x轴的夹角为30°.3. 点Q在AB上时,AQ=速度×时间=(t-2).点Q在BC上时,BQ=速度×时间=(t-6), CQ=(10-t).4.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,OA=4, OC=3.动点P从点C出发,沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动;同时,动点Q从点O出发,沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动.设点P、 Q的运动时间为t秒.(1) 当t=1秒时,求经过O、 P、 A三点的抛物线的解析式;(2) 当t=2秒时,求tan∠QPA的值;(3) 当线段PQ与线段AB相交于点M,且BM=2AM时,求t的值;(4) 连结CQ,当点P、 Q在运动过程中,记△CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S,求S 与t的函数关系式.解析：1. 第(1)题:设交点式比较简便,代入点P的坐标求二次项系数a就好了.2. 第(2)题:点P恰好与点B重合,∠QPA就在直角三角形中.3. 第(3)题:根据“8字型”相似列方程,为第(4)题提供方法依据.4. 第(4)题:分三种情况讨论.5.如图,已知△ABC中,∠C=90°,点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动,到达点B停止运动.在点M的运动过程中,过点M作直线MN交AC于点N,且保持∠NMC=45°,再过点N作AC的垂线交AB于点F,连结MF.将△MNF关于直线NF对称后得到△ENF.已知AC=8cm, BC=4cm.设点M的运动时间为t(s), △ENF与△ANF重叠部分的面积为y(cm2).(1) 在点M的运动过程中,能否使得四边形MNEF为正方形?如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由;(2) 求y关于t的函数解析式及相应的t的取值范围;(3) 当y取得最大值时,求sin∠NEF的值.解析：1. 用含t的式子可以把线段CM、 CN、 BM、 FN的长都表示出来.2. △MNC和△MNE保持等腰直角三角形的形状,MN、 EN、 EM也可以用t表示.3. 当EN与AB交于点D时,可以用t表示出高DG.6.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(2, 2),且对称轴为直线x=1,顶点为B.(1) 求抛物线的解析式及顶点B的坐标;(2) 若点M在抛物线的对称轴上,且在点B的上方,设它的纵坐标为m,连结AM,用含m的代数式表示∠AMB的余切值;(3) 将该抛物线向上或向下平移,使得新抛物线的顶点落在x轴上,原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q,如果OP=OQ,求点Q的坐标.解析:1. 第(1)题:设抛物线的顶点式比较简便.2. 第(2)题:构造以AM为斜边的直角三角形就可以了,直角顶点在对称轴上.3. 第(3)题:点P、 Q的横坐标相等,纵坐标互为相反数.7.已知抛物线y=x2+bx-3(b是常数)经过点A(-1, 0).(1) 求该抛物线的解析式和顶点坐标;(2) 点P(m, t)为该抛物线上的一个动点,点P关于原点的对称点为P'.① 当点P'落在该抛物线上时,求m的值;② 当点P'在第二象限内,P'A2取得最小值时,求m的值.解析:1. 第(2)①题:将P、 P'两点的坐标分别代入抛物线的解析式,列关于m、 t的方程组,解方程组求得m的两个值.事实上,点P和点P'的位置是可以互换的.2. 第(2)②题:用m表示P'A2,得到一个关于m的四次函数.求四次函数的最小值,会让我们束手无策.其实通过设元降次,四次函数可以转化为二次函数.8.如图,抛物线y=mx2-16mx+48m(m>0)与x轴交于A、 B两点(点B在点A的左侧),与y轴交于点C,点D是抛物线上的一个动点,且位于第四象限,连结OD、 BD、 AC、 AD,延长AD 交y轴于点E.(1) 若△AOC为等腰直角三角形,求m的值;(2) 若对任意m>0, C、 E两点总关于原点对称,求点D的坐标(用含m的式子表示);(3) 当点D运动到某一位置时,恰好使得∠ODB=∠OAD,且点D为线段AE的中点,此时对于该抛物线上任意一点P(x0, y)总有n+≥-4,-.m-12y-50成立,求实数n的最小值.解析:1. 由抛物线的解析式可以得到A、 B两点的坐标是确定的.2. 第(1)题由OC=OA就可以解决.3. 第(2)题作DH⊥x轴,根据直角边对应成比例列方程.4. 第(3)题跨界太大,生涩难懂,一步一步慢慢来.第一步,由角相等容易得到三角形相似.第二步,中点D的坐标可用m表示出来.前两步结合,可以求出确定的m.第三步分两步走,① 把m代入到抛物线的解析式中,求这个二次函数的最小值y.② 把m代入到不等号后面的式子中,就得到一个关于y0的二次三项式(设S为关于y的二次函数),二次项系数是负数,怎样求这个二次函数的最大值呢?要结合抛物线的对称轴和y的取值范围综合考虑,求得S的最大值. 第四步,解不等式n+,-.≥S的最大值,得到n的最小值.9. 在同一直角坐标系中,抛物线C1: y=ax2-2x-3与抛物线C2: y=x2+mx+n关于y轴对称,C2与x轴交于A、 B两点,其中点A在点B的左侧.(1) 求抛物线C1、 C2的函数表达式;(2) 求A、 B两点的坐标;(3) 在抛物线C1上是否存在一点P,在抛物线C2上是否存在一点Q,使得以AB为边,且以A、B、 P、 Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出P、 Q两点的坐标;若不存在,请说明理由.解析:1. 这是一道无图题,但是处处需要数形结合.2. 第(3)题:根据PQ与AB平行且相等,用t表示点P的横坐标,那么点Q的横坐标也可以用t的式子表示,这样就可以根据纵坐标相等列关于t的方程了.3. 第(3)题:用t表示点Q的横坐标分两种情况:点Q在点P的左侧或右侧.10.如图,抛物线y=-x2+,,-.-.x+3与x轴交于A、 B两点(点A在点B的左侧),与y 轴交于点C,连结AC、 BC.点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动,同时,点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动,当一个点停止运动时,另一个点也随之停止运动,连结PQ.过点Q作QD⊥x轴,与抛物线交于点D,与BC交于点E.连结PD,与BC交于点F.设点P的运动时间为t秒(t>0).(1) 求直线BC的函数表达式;(2) ① 直接写出P、 D两点的坐标(用含t的代数式表示,结果需化简);② 在点P、 Q运动的过程中,当PQ=PD时,求t的值;(3) 试探究在点P、 Q的运动过程中,是否存在某一时刻,使得点F为PD的中点.若存在,请直接写出此时t的值与点F的坐标;若不存在,请说明理由.解析:1. 由A、 B、 C三点坐标,可以判断△ABC是30°角的直角三角形.2. 用t先表示点Q、 P的坐标,把点Q的横坐标代入抛物线和直线BC的解析式,可以用m 表示点D、 E的坐标.3. 第(3)题中,点F是倾斜的线段PD的中点,构造“8字型”,转化为两条竖直线段相等,就可以列关于t的方程了.。
初中数学函数与图像关系解读
初中数学函数与图像关系解读函数是数学中非常重要的概念，它描述了一种特定的关系。
函数与图像的关系是数学学习中的一个重要内容，通过图像可以直观地观察函数的性质和规律。
本文将解读初中数学中函数与图像的关系，旨在帮助同学们更好地理解和应用函数概念。
一、函数的定义与性质函数是一个非常常见的数学概念，它描述了两个集合之间的一种对应关系。
在数学中，我们通常用f(x)来表示函数，其中x为自变量，f(x)为函数值或因变量。
函数具有以下性质：1. 定义域与值域：函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指因变量的取值范围。
函数在定义域内的每个自变量都有且只有一个对应的函数值。
2. 单调性：函数可以是递增的（单调递增）或递减的（单调递减）。
3. 奇偶性：函数可以是奇函数或偶函数。
奇函数满足f(x)=-f(-x)，偶函数满足f(x)=f(-x)。
4. 对称轴：奇函数的对称轴为原点(0,0)，偶函数的对称轴为y轴。
二、函数与图像的对应关系函数与图像是密切相关的，通过观察图像可以发现函数的许多特点。
下面将介绍函数与图像的常见对应关系：1. 递增与递减：当函数递增时，其图像从左到右是上升的；当函数递减时，其图像从左到右是下降的。
2. 极值点：函数的极小值点位于图像的局部最低点，极大值点位于图像的局部最高点。
3. 零点：函数的零点对应于图像与x轴的交点，即函数值为0的点。
4. 对称性：奇函数的图像具有关于原点(0,0)的对称性，而偶函数的图像具有关于y轴的对称性。
5. 渐近线：函数的渐近线是指其图像趋近于的直线。
常见的渐近线有水平渐近线和垂直渐近线。
三、常见函数与图像关系的例子1. 一次函数 y = kx + b一次函数的图像是一条直线，当k>0时，函数递增，当k<0时，函数递减。
斜率k表示直线的倾斜程度，b表示直线与y轴的交点。
2. 二次函数 y = ax^2 + bx + c二次函数的图像是一条抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
中考数学函数关系考点归纳
开学前校园安全隐患排查整治方案为了确保学生和教职员工的安全，我们制定了开学前校园安全隐患排查整治方案。
以下是我们排查整治的内容：一、疫情防控我们将重点排查疫情防控责任和防控制度的落实情况。
我们将逐人摸排师生的健康情况，并每天统计师生的健康情况。
我们还将排查“四类”重点人群及居家健康监测情况，以及口罩、消毒液、红外额温仪或红外热成像仪、食堂和公共卫生间等区域的水龙头数量、洗手液或肥皂配备情况。
我们还将排查校园消杀和全封闭管理情况，以及学校值班人员、疫情报告人员、校医、食堂从业人员配备培训情况和应急预案制定和责任人落实情况。
二、安防体系建设我们将重点排查安全管理机构、专兼职保卫人员和必要的防卫性器械、通讯设备的配备情况。
我们还将排查值班巡逻情况，校园一键式报警装置、视频监控装置建设情况，学校周边的安全警示牌、交通信号灯、斑马线、减速带等安全设施的配备情况，以及学校门口隔离栏、升降柱等硬质防冲撞设施设置建设情况。
我们还将排查实行封闭管理情况。
三、消防安全我们将重点排查消防安全责任制落实情况，学校建筑物电气线路是否存在违规敷设、违规使用大功率电器、消防设施损坏、疏散通道不畅、消防通道管理责任落实不到位、标识设置不到位等问题。
四、食品安全我们将重点排查学校食堂从业人员健康状况情况，开展疫情防控知识技能培训情况，配备卫生及疫情防控物资情况，综合整治食堂及周围环境卫生情况，改善食堂条件及就餐环境情况。
我们还将排查执行食品原料定点采购、索证索票、食品留样、食品原材料入库验收和出入库台帐登记制度情况。
五、校车及交通安全我们将重点排查校车许可、安全监管职责履行情况，车辆检修、保养及校车标识、灭火器、安全锤、安全门、安全带等安全设施情况，驾驶员、随车照管人员安全教育培训工作情况，校园内交通标识和减速带等设施是否齐全，是否合理设置停车泊位，有无乱停乱放现象。
六、设施设备方面，需要重点检查学校的网络、多媒体设备、教学终端、体育设施、校舍、围墙和厕所等各项教学和生活设施设备是否经过检修和维护。
455初三数学专题(图形运动中的函数关系问题3星)
图形运动中的函数关系问题1.培养学生动态思维能力；2.培养学生学会从动态图形中寻找因果关系；3.培养学生分析问题、解决问题的能力。
知识结构【备注】：此部分知识点梳理，根据下列图表引导学生总结“建立函数关系的方法”和“函数关系常见题型”，建议时间在5分钟左右。
一．建立函数关系式方法：二．动点产生的函数关系常见题型：例1.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，点P 在边AC 上（点P 与A 、C 不重合），过点P 作PE // BC ，交AD 于点E ．设AP =x ，DE =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围。
（★★★）AE【参考教法】：可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题。
一．你来找一下题目中由哪些不变的量或者是比较特殊的条件，试试看： 1.哪些边已知？ 提示：AC =4，BC =3。
2.有没有特殊角？ 提示：∠C =90°。
3.有没有特殊图形？ 提示：Rt △ABC 、PE // BC 形成相似基本型。
二．求解函数关系式：1.寻找一下x 和y 分别表示什么？ 提示：AP =x ，DE =y ，都表示线段的长度。
2.x 和y 是否存在直接关系？ 提示：存在，比例关系。
2.怎么求解？ 提示：利用相似基本型产生的比利式求解 因为PE // BC ，则AP AE AC AB =，即545x y-=。
3.别忘记求解定义域。
（让学生计算看看）【备注】：1.以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；2.在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；3.可以根据各题的“教法指导”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来；4.例题讲解，可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面有答案提示；5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等；6.部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；7.每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题4-5分钟。
中考数学模拟试题三十二函数关系与函数像的分析与绘制
中考数学模拟试题三十二函数关系与函数像的分析与绘制中考数学模拟试题三十二：函数关系与函数图像的分析与绘制函数关系与函数图像在数学中扮演着重要的角色，是中学数学中的重要知识点。
通过分析函数关系和绘制函数图像，我们可以更加深入地理解数学中的函数概念。
本文将就函数关系与函数图像的分析与绘制进行详细探讨。
1. 函数关系的定义与性质函数关系是指自变量和因变量之间的一种对应关系。
通常用字母表达，比如y = f(x)。
其中，x表示自变量，y表示因变量，f表示函数。
函数关系是数学中的基础概念，它具有以下性质：1.1 一对多关系：一个自变量可能对应多个因变量，但一个因变量只对应一个自变量。
1.2 定义域和值域：函数关系的定义域是指自变量的取值范围，值域是指函数对应的因变量的取值范围。
1.3 奇偶性：函数关系可以根据自变量和因变量的奇偶性来分类，分别为偶函数、奇函数和既不是奇函数也不是偶函数的函数关系。
1.4 单调性和极值点：函数关系可以通过观察自变量的变化对应的因变量的变化来确定函数的单调性和极值点。
2. 函数图像的绘制方法绘制函数图像是帮助我们更好地理解函数关系的重要方法之一。
下面介绍绘制函数图像的一般步骤：2.1 确定定义域：首先，我们要确定自变量的取值范围，即函数关系的定义域。
通常通过观察函数关系的定义式来确定。
2.2 确定对应的因变量的取值范围：根据自变量的取值范围，通过函数关系的定义式，计算对应的因变量的取值范围，即值域。
2.3 绘制坐标系：以自变量和对应的因变量的取值范围为基础，绘制出直角坐标系。
2.4 确定特殊点：根据函数关系的性质，找出特殊点，比如极值点、零点、拐点等。
2.5 绘制曲线：根据函数关系的定义式，依次计算自变量对应的因变量的值，并将这些点依次连接起来，形成曲线。
3. 函数关系的实际应用函数关系是数学中的基础知识，在实际生活中也有着广泛的应用。
以下是一些常见的实际应用场景：3.1 物理学中的函数关系：在物理学中，很多物理量之间的关系可以用函数关系来表达，比如位移与时间的关系、速度与时间的关系等。
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专题5 图形中的函数关系
常考类型分析
专题类型突破
类型1 动点产生的函数关系
【例1】如图1和图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，cos∠ABC
探究如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝，AC＝，△ABC的面积S△ABC＝；拓展如图2，点D在AC上(可与点A，C重合)，分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足为E，F.设BD＝x，AE＝m，CF＝n.(当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0)
(1)用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；
(2)求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值；
(3)对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．
发现请你确定一条直线，使得A，B，C三点到这条直线的距离之和最小(不必写出过程)，并写出这个最小值．
满分技法►函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律，是初中数学的重要内容．动点问题反映的是一种函数思想，是一类开放性题目．解决这类问题的关键是动中求静，根据点的运动变化过程，对其不同情况进行分类求解．
满分变式必练►
1.如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为( )。