空间角与距离2
空间角与空间距离
高三数学第二轮复习教学案第十二课时 空间角与空间距离班级 学号 姓名【考纲解读】1.掌握两条直线所成的角、直线和平面所成的角及二面角的平面角的概念，并会求 这些角.2.掌握两条异面直线间的距离（只要求会计算已给出公垂线时的距离）直线和平面间的距离及两个平面间的距离的概念,并会求直线和平面间的距离,两个平面间的距离. 【教学目标】1.能够运用转化的思想化空间角为平面角;化线面间距离，面面间距离等为点到线或 线到面的距离.2.培养学生空间想象能力,并能把空间想象能力与运算能力,逻辑思维能力相结合. 【例题讲解】 例题1(1) 如图:⊥PA 平面ο90,=∠ACB ABC 且a BC AC PA ===, 则异面直线PB 与 AC 所成角的正切值等于________;(2) 下面是关于三棱锥的四个命题: ①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥; ②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥; ③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥,其中,真命题的编号是___________.(写出的所有真命题的编号). (3)四棱锥ABCD P -中,PD ⊥底面ABCD ABCD ,为正方形,且1==AB PD ,G 为ABC ∆的重心,则PG 与底面ABCD 所成的角为 ( )A43B 34172arccosC 232arctanD 33arcsin(4)已知球的表面积为20π,球面上有C B A ,,三点,如果32,2===BC AC AB ,则球心到平面ABC 的距离为 ( )A 1 B2C3D 2(5)DP 垂直于正六边形ABCDEF 所在平面,若正六边形边长为,a 且PD=,a 则点P 到BC 的距离为 ( ) A a 3B a 2Ca 27D a 例2在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中,F E ,分别是BC ，11D A 的中点 （1）求证：四边形EDF B 1是菱形； （2）求直线C A 1与DE 所成的角； （3）求直线AD 与平面EDF B 1所成的角； （4）求面EDF B 1与面ABCD 所成的角.E C C 1A BD D 1A 1B 1F A BCP例3若斜三棱柱111C B A ABC -的侧面⊥11ACC A 底面,90,ο=∠ABC ABC32,2==AC BC ，且C A A A C A AA 1111,=⊥（1）求侧棱1BB 到侧面C C AA 11的距离； （2）求B A 1与平面ABC 所成的角； （3）求侧棱1CC 到侧面11ABB A 的距离；例4 在三棱锥ABC P -中，ABC ∆是正三角形，ο90=∠PCA ，D 为PA 的中点， 二面角B AC P --为ο120，32,2==AB PC .（1）求证：;BD AC ⊥（2）求BD 与底面ABC 所成的角； （3）求三棱锥ABC P -的体积.A BC A 1B 1C 1ABCDP高三数学第二轮复习教学案第十三课时 立体几何的探索性问题班级 学号 姓名【考纲解读】考查学生归纳、判断等各方面的能力，培养学生的创新意识. 【教学目标】1.能够运用归纳、猜想、分析、化归等方法探索出命题条件，然后给予证明;2.能够综合运用条件探索出要求的结论，或判断结论是否存在. 【例题讲解】 例题11.正方体1111D C B A ABCD -棱长为1，点M 在棱AB 上，且31=AM ，点P 是平面ABCD 上的动点，且点P 到直线11D A 的距离与点到点M 的距离的平方差为1，则点P 的轨迹是 （ ）A 抛物线B 双曲线C 直线D 椭圆2.在侧棱长为a 的正四棱锥中，棱锥的体积最大时，底面边长为 （ ）A a 332Ba 3C a 33Da3.在三棱柱111C B A ABC -中，P 为1AA 上一点，求c c BB p V 11-：111C B A ABC V -=（ ）A32B31 C 61 D 3 4.正四棱锥ABCD P -的底面ABCD 在球O 的大圆面上，顶点P 在球面上，已知球的体积为π332，则正四棱锥ABCD P -的体积的最大值为_______. 5.在直三棱柱111C B A ABC -中，点N M ,分别在11,BC AB 上，且λ==11BC BNAB AM （)10<<λ，那么以下四个结论中正确的有_________.(1)MN AA ⊥1 (2)MN AC // (3)//MN 平面ABC （4）MN 与AC 是异面直线6．在正三棱柱111C B A ABC -中，P 为B A 1上的点，当PBPA 1=______时，使得AB PC ⊥.例2正方形ABCD 的四边CB CD AD AB ,,,上分别取H G F E ,,,四点，使得2:1::::====HB CH GD CG FD AF EB AE ，把正方形沿对角线BD 折起，如图：（1）求证：EFGH 是矩形；（2）当二面角C BD A --为多大时，EFGH 为正方形.例3 在直三棱柱111C B A ABC -中，AC AB =，F 为棱BB 1上一点，1:2:1=FB BF ，a BC BF 2==，D 为BC 的中点.(1) 若E 为线段AD 上（不同于D A ,）的任意一点，求证：1FC EF ⊥.(2) 试问：若a AB 2=，在线段AD 上的点E 能否使EF 与平面1BB C C 1成ο60角？证明你的结论。
专题8.8 立体几何中的向量方法(二)—求空间角与距离(重难点突破)(解析版)
专题8.7 立体几何中的向量方法（二）求空间角与距离一、考纲要求1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.二、考点梳理考点一 异面直线所成的角设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则a 与b 的夹角β l 1与l 2所成的角θ范围 (0，π) ⎝⎛⎦⎤0，π2 求法cos β＝a ·b|a ||b |cos θ＝|cos β|＝|a ·b ||a ||b |考点二 求直线与平面所成的角设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n |.考点三 求二面角的大小(1)如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈AB →，CD →〉.(2)如图②③，n 1，n 2 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角). 【特别提醒】1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|，不要误记为cos θ＝|cos 〈a ，n 〉|.2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等，还是互补.三、题型分析例1. （黑龙江鹤岗一中2019届期末）如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，则OA 与BC 所成角的余弦值为( )A.3－225B.2－26C.12D.32【答案】A【解析】因为BC →＝AC →－AB →，所以OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝－162＋24. 所以cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225.即OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.【变式训练1-1】、（天津新华中学2019届高三质检）如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长； (2)求证：AC 1⊥BD ；(3)求BD 1与AC 夹角的余弦值.【解析】(1) 记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝⎛⎭⎫12＋12＋12＝6， ∴|AC →1|＝6，即AC 1的长为 6. (2)证明 ∵AC 1→＝a ＋b ＋c ，BD →＝b －a ，∴AC 1→·BD →＝(a ＋b ＋c )·(b －a )＝a ·b ＋|b |2＋b ·c －|a |2－a ·b －a ·c ＝b ·c －a ·c ＝|b ||c |cos 60°－|a ||c |cos 60°＝0.∴AC 1→⊥BD →，∴AC 1⊥BD .(3)解 BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66.例2、（2018年天津卷）如图，且AD =2BC ，,且EG =AD ，且CD =2FG ，，DA =DC =DG =2.（I ）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：；（II ）求二面角的正弦值；（III ）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).【解析】依题意，可以建立以D 为原点， 分别以，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D （0，0，0），A （2，0，0），B （1，2，0），C （0，2，0），E （2，0，2），F （0，1，2），G （0，0，2），M （0，，1），N （1，0，2）．（Ⅰ）依题意=（0，2，0），=（2，0，2）．设n0=(x，y，z)为平面CDE的法向量，则即不妨令z=–1，可得n0=（1，0，–1）．又=（1，，1），可得，又因为直线MN平面CDE，所以MN∥平面CDE．（Ⅱ）依题意，可得=（–1，0，0），，=（0，–1，2）．设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，则即不妨令z=1，可得n=（0，1，1）．设m=（x，y，z）为平面BCF的法向量，则即不妨令z=1，可得m=（0，2，1）．因此有cos<m，n>=，于是sin<m，n>=．所以，二面角E–BC–F的正弦值为．（Ⅲ）设线段DP的长为h（h∈［0，2］），则点P的坐标为（0，0，h），可得．易知，=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，故，由题意，可得=sin60°=，解得h=∈［0，2］．所以线段的长为.【变式训练2-1】、（吉林长春市实验中学2019届高三模拟）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥PB于点F.求证：(1)PA ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .【证明】以D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .设DC ＝a .(1)连接AC 交BD 于点G ，连接EG .依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，C (0，a,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2. 因为底面ABCD 是正方形，所以G 为AC 的中点故点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0，所以PA ―→＝(a,0，－a )，EG ―→＝⎝⎛⎭⎫a2，0，－a 2， 则PA ―→＝2EG ―→，故PA ∥EG .而EG ⊂平面EDB ，PA ⊄平面EDB ，所以PA ∥平面EDB . (2)依题意得B (a ，a,0)，所以PB ―→＝(a ，a ，－a )．又DE ―→＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2， 故PB ―→·DE ―→＝0＋a 22－a 22＝0，所以PB ⊥DE ，所以PB ⊥DE .由题可知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ，所以PB ⊥平面EFD .例3、如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．已知AB ＝2，AD ＝22，PA ＝2，求异面直线BC 与AE 所成的角的大小．【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，22，0)，E(1，2，1)，AE →＝(1，2，1)，BC →＝(0，22，0)．设AE →与BC →的夹角为θ，则cosθ＝AE →·BC →|AE →|·|BC →|＝42×22＝22，所以θ＝π4，所以异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.【变式训练3-1】、 如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为________．【答案】55【解析】 不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2，可得C(0，0，0)，B(0，0，1)，C 1(0，2，0)，A(2，0，0)，B 1(0，2，1)，所以BC 1→＝(0，2，－1)，AB 1→＝(－2，2，1)，所以cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝BC 1→·AB 1→|BC 1→|·|AB 1→|＝4－15×9＝15＝55＞0，所以BC 1→与AB 1→的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角，所以直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55.【变式训练3-2】、如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1，平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，A 1A ＝A 1C ＝AC ，E ，F 分别是AC ，A 1B 1的中点． (1)证明：EF ⊥BC ；(2)求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值．【解析】 (1)证明：连接A 1E ，因为A 1A ＝A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC . 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ，所以A 1E ⊥平面ABC .如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E -xyz . 不妨设AC ＝4，则A 1(0,0,23)，B (3，1,0)，B 1(3，3,23)，F ⎝⎛⎭⎫32，32，23，C (0,2,0)． 因此，EF ―→＝⎝⎛⎭⎫32，32，23，BC ―→＝(－3，1,0)．由EF ―→·BC ―→＝0得EF ⊥BC .(2)设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ.由(1)可得BC ―→＝(－3，1,0)，A 1C ―→＝(0,2，－23)．设平面A 1BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧BC ―→·n ＝0，A 1C ―→·n ＝0，得⎩⎨⎧－3x ＋y ＝0，y －3z ＝0.取n ＝(1, 3，1)，故sin θ＝|cos 〈EF ―→，n 〉|＝|EF ―→·n ||EF ―→|·|n |＝45，∴cos θ＝35.因此，直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为35.。
空间几何中的角和距离的计算
空间角和距离的计算(1)一线线角1. 直三棱柱A i B i C i-ABC , / BCA=90 0,点D〔，F i 分别是A i B i 和A i C i 的中点，若BC=CA=CC 1, 求BD i与AF i所成角的余弦值.2. 在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，/ BAD=90 °, AD // BC, AB=BC=a , AD=2a , 且PAL面ABCD , PD与底面成30°角.(1) 若AE ± PD , E为垂足，求证：BE ± PD;(2) 若AE ±PD,求异面直线AE与CD所成角的大小.二.线面角i .正方体ABCD-A i B i C i D i中，E, F分别为BB i、CD的中点，且正方体的棱长为2.(1) 求直线DiF和AB和所成的角；(2) 求D i F与平面AED所成的角.2. 在三棱柱A i B1C1-ABC中，四边形AA侣侣是菱形，四边形BCC i B i是矩形，C i Bi± AB , AB=4 , C i B i=3, ZABB i=600,求AC i与平面BCC i B i所成角的大小.三.二面角i .已知A i B i C i-ABC是正三棱柱，D是AC中点.(1) 证明AB i //平面DBC i;(2) 设AB i±BC i,求以BC i为棱，DBC i与CBC i为面的二面角的大小.2. ABCD 是直角梯形，Z ABC=90°, SAX面ABCD , SA=AB=BC=i , AD=0.5 .(1) 求面SCD与面SBA所成的二面角的大小；(2) 求SC与面ABCD所成的角.3. 已知A i B i C i-ABC是三棱柱，底面是正三角形, —C 的大小. ZA i AC=60°, / A i AB=45°,求二面角B— AA iB iC iB・A i空间角和距离的计算⑵四空间距离计算(点到点、异面直线间距离)1. 在棱长为a的正方体ABCD-A 1B1C1D1中，P是BC的中点,DP 交AC 于M, B1P 交BC1 于N.(1) 求证：MN上异面直线AC和BC1的公垂线；(2) 求异面直线AC和BC1间的距离.(点U线，点到面的距离)2. 点P为矩形ABCD所在平面外一点，PAL面ABCD , Q为线段AP的中点，AB=3 , CB=4 ,PA=2,求：(1) 点Q到直线BD的距离；(2) 点P到平面BDQ的距离.3. 边长为a的菱形ABCD中，/ ABC=60 0, PCX平面ABCD , E是PA的中点，求E到平面PBC 的距离.(线到面、面到面的距离)4, 已知斜三棱柱A i B1C1-ABC 的侧面A i ACC 1 与底面ABC 垂直，/ ABC=90 0, BC=2 , AC=2 J3 ,且AA i±A i C, AA i=A i C.(1) 求侧棱AA i与底面ABC所成角的大小；(2) 求侧面A i ABB 1与底面ABC所成二面角的大小;(3) 求侧棱B i B和侧面A i ACC i距离.5. 正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1,且平面ABCD、ABFE互相垂直，点M在AC 上移动，点N在BF上移动，若CM=NB=a ( 0 a ^2 ).(1) 求MN的长；(2) 当a为何值时，MN的长最小.。
必修2空间角和空间距离
空间角和空间距离空间角(1)两条异面直线所成的角：两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线c∥a，d∥b，我们把直线c和d所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角。
注意：①两条异面直线a，b所成的角的范围是（0°，90°]．②两条异面直线所成的角与点O的选择位置无关，这可由前面所讲过的“等角定理”直接得出．③由两条异面直线所成的角的定义可得出异面直线所成角的一般方法：(i)在空间任取一点，这个点通常是线段的中点或端点．(ii)分别作两条异面直线的平行线，这个过程通常采用平移的方法来实现．(iii)指出哪一个角为两条异面直线所成的角(锐角或直角)，这时我们要注意两条异面直线所成的角的范围．（2）直线与平面所成的角1)直线与平面斜交时，直线与平面所成的角是指这条直线和它在平面上的射影所成的锐角．2)直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为．3)直线与平面平行或在平面内时，直线与平面所成的角为．显然，直线与平面所成的角的范围为．4）求一条斜线和平面所成的角：做出这条斜线在平面内的射影，再确定斜线和射影所成角的大小即可。
斜线在平面内的射影：从斜线上除斜足外的任意一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，斜线上任意一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。
（3）二面角(1)二面角的定义一条直线出发的二个半平面所形成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，二个半平面称为二面角的面．(2)二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做二面角的平面角．注意：①二面角的平面角两边必须都与棱垂直．②二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置关系所确定的，与定义中棱上任一点的选择无关，也就是二面角的平面角不只一个，但这些平面角的大小是相等的．③二面角的平面角的范围是，当两个半平面重合时，；相交时；共面时．平面角是直角的二面角叫做直二面角．(3)二面角的平面角的确定与求法①直接法：这种方法的思路是：先作出二面角的平面角，然后通过解三角形，求出平面角的大小，即为所求的二面角的大小．②公式法：射影面积公式，如果平面多边形的面积为S，它在平面内的射影面积为，平面多边形与平面所夹的锐二面角为，那么．空间距离（1）两条异面直线间的距离：两条异面直线a、b，设A是a上面某点、B是b上面某点，连接AB，使得a⊥AB，b⊥AB，则直线AB叫做异面直线a和b的公垂线，公垂线段AB的长度叫做异面直线a与b之间的距离。
向量法求空间距离和角
用向量方法求空间角和距离在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题．1 求空间角问题空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角． （１）求异面直线所成的角设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos ||||||a ba b （２）求线面角设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量， 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin ||||||l nl n （３）求二面角法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角l αβ--的平面角α=arccos||||a ba b法二、设12,,n n 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l αβ--的平面角α=1212arccos||||n n n n 2 求空间距离问题构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离法一、设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A到α的距离|||||cos |||AB n d AB n θ==法二、设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO ．（２）求异面直线的距离法一、找平面β使b β⊂且a β，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离．法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥，n b ⊥），则异面直线a 、b 的距离|||||cos |||AB n d AB n θ==（此方法移植于点面距离的求法）．例１．如图，在棱长为２的正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱1111,A D A B 的中点． （Ⅰ）求异面直线1DE FC 与所成的角； （II ）求1BC 和面EFBD 所成的角； （III ）求1B 到面EFBD 的距离解：（Ⅰ）记异面直线1DE FC 与所成的角为α， 则α等于向量1DE FC 与的夹角或其补角，（II ）如图建立空间坐标系D xyz -， 则(1,0,2)DE =，(2,2,0)DB =设面向量为(,,1)n x y = 由0DE n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得(2,2,1)n =- 又1(2,0,2)BC =- 记1BC 和面EFBD 所成的角为θ 则 1112sin |cos ,|||2||||BC n BC n BC n θ⋅=〈〉== ∴ 1BC 和面EFBD 所成的角为4π． （III ）点1B 到面EFBD 的距离ｄ等于向量1BB 在面EFBD 的法向量上的投影的绝对值，1||||BB n d n ∴==13 11||||111111cos ||()()||||||222||,arccos55DE FC DE FC DD D E FB B C DE FC αα∴=++=-==∴=设计说明：１．作为本专题的例１，首先选择以一个容易建立空间直角坐标系的多面体―――正方体为载体，来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解． ２．解决(1)后，可让学生进一步求这两条异面直线的距离，并让学生体会一下：如果用传统方法恐怕很难（不必多讲，高考对公垂线的作法不作要求）． ３．完成这３道小题后，总结：对于易建立空间直角坐标系的立几题，无论求角、距离还是证明平行、垂直（是前者的特殊情况），都可用向量方法来解决， 向量方法可以人人学会，它程序化，不需技巧．例2．如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形B B A A '' 是矩形，。
2025届高考数学一轮复习讲义立体几何与空间向量之 空间角和空间距离
形，则在正四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中，异面直线 AK 和 LM 所成的角的大小为
(
D )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
[解析] 根据题意还原正四棱柱的直观图，如图所示，取 AA 1的中点 G ，连接 KG ，
则有 KG ∥ LM ，所以∠ AKG 或其补角为异面直线 AK 和 LM 所成的角.由题知 AG ＝
A 1 C 1＝5， BC 1＝4 2 ，所以 cos
52 ＋52 −(4 2）2
9
1
∠ BA 1 C 1＝
＝ ＜ ，所以60°＜
2×5×5
25
2
∠ BA 1 C 1＜90°，则过点 D 1作直线 l ，与直线 A 1 B ， AC 所成的角均为60°，即过一
点作直线，使之与同一平面上夹角大于60°的锐角的两边所在直线所成的角均成
2 z －1＝0的交线，试写出直线 l 的一个方向向量 (2，2，1)
的余弦值为
65
9
.
，直线 l 与平面α所成角
[解析] 由平面α的方程为 x ＋2 y －2 z ＋1＝0，可得平面α的一个法向量为 n ＝(1，
⑫ [0， ] ，二面角的
2
n1，n2＞｜.
范围是⑬
[0，π] .
易错警示
1. 线面角θ与向量夹角＜ a ， n ＞的关系
π
2
π
2
如图1(1)，θ＝＜ a ， n ＞－ ；如图1(2)，θ＝ －＜ a ， n ＞.
图1
2. 二面角θ与两平面法向量夹角＜ n 1， n 2＞的关系
图2(2)(4)中θ＝π－＜ n 1， n 2＞；图2(1)(3)中θ＝＜ n 1， n 2＞.
空间几何中的角度与距离计算
空间几何中的角度与距离计算在空间几何中，角度与距离的计算是非常重要的。
通过正确计算角度和距离，我们能够准确描述和分析物体的位置、运动以及相互关系。
本文将介绍空间几何中常用的角度计算方法和距离计算方法。
一、角度计算在空间几何中，角度是表示物体之间相对方向关系的重要指标。
常见的角度计算方法有以下几种：1. 余弦定理余弦定理是计算三角形内角的常用方法之一。
在空间几何中，如果已知三点的坐标，可以通过余弦定理计算出这三个点所形成的夹角。
余弦定理的公式如下：cos A = (b² + c² - a²) / (2bc)其中，A为夹角的大小，a、b、c为夹角对应的边长。
2. 矢量法矢量法是一种基于向量运算的角度计算方法。
通过将空间中的两个向量进行运算，可以得到它们之间的夹角。
常见的向量法角度计算包括点乘法和叉乘法。
（1）点乘法：两个向量的点乘结果等于它们的模长相乘再乘以它们之间的夹角的余弦值。
可以通过点乘法计算向量之间的夹角。
（2）叉乘法：两个向量的叉乘结果等于它们的模长相乘再乘以它们之间的夹角的正弦值。
可以通过叉乘法计算向量之间的夹角。
3. 三角函数在空间几何中，三角函数也是用于角度计算的常用方法之一。
通过正弦、余弦和正切等三角函数的运算，可以计算出角度的大小。
三角函数的计算方法需要先将坐标系进行转换，然后根据坐标的数值，利用相应的三角函数公式进行计算。
二、距离计算在空间几何中，距离是表示物体之间远近程度的重要指标。
常见的距离计算方法有以下几种：1. 欧几里得距离欧几里得距离是空间几何中最常用的距离计算方法。
对于二维或三维空间中的两个点，欧几里得距离可以通过计算它们在各坐标轴上的差值的平方和再开方的方式得到。
欧几里得距离的公式如下：d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²]其中，d为距离，(x₁, y₁, z₁)和(x₂, y₂, z₂)分别为两个点的坐标。
人教版高中数学选修2-1课件-第课时空间角与空间距离
由题意知D→A1＝(1，0，1)是平面 ABD1 的一个法向量，
D→C1＝(0，1，1)是平面 BCD1 的一个法向量．
所以 cos〈D→A1，D→C1〉＝
→→ DA1·DC1 →→
＝12，
|DA1|·|DC1|
所以〈D→A1，D→C1〉＝60°.
(2)二面角的求法． ①几何法：作出二面角的平面角，然后通过解三角形 获解． ②向量法：设二面角 α-l-β 的大小为 θ，两个半平面的 法向量分别为 n1，n2. 当平面 α，β 的法向量与 α，β 的关系如下图所示时， 二面角 α-l-β 的平面角即为两法向量 n1，n2 的夹角〈n1，n2〉．
第三章 空间向量与立体几何
第 3 课时 空间角与空间距离 [学习目标] 1.向量法求解线线、线面、面面的夹角 (重点)． 2.线线、线面、面面的夹角与向量的应用(难 点)． 3.两点间的距离，点到平面的距离(重点)．
[知识提炼·梳理] 1．两异面直线所成角的求法 (1)平移法：即通过平移其中一条(也可两条同时平 移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获 解． (2)向量法：设直线 l1，l2 的方向向量分别为 a，b，a 与 b 的夹角为 φ，则 l1 与 l2 所成角 θ 满足 cos θ＝|cos φ| ＝||aa|·|bb||.
设 AC 的中点为 M，连接 BM，
则 BM⊥AC， 又由题意知 BM⊥CC1， 又 AC∩CC1＝C， 所以 BM⊥平面 A1C1C， 即B→M＝(1，1，0)是平面 A1C1C 的一个法向量． 设平面 A1B1C 的法向量为 n＝(x，y，z)． A→1C＝(－2，2，－2)，A→1B1＝(－2，0，0)，
高二数学 《空间的角和距离》
高二数学 《空间的角和距离》
利用图形的几何性质 掌握运用向量求角、距离的方法
新疆
新疆
王新敞
王新敞
奎屯
奎屯
高二数学 《空间的角和距离》
五、课后作业：
4.（2009 全国Ⅱ）如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB⊥AC,D、E 分别为 AA1、B1C 的中点， DE⊥平面 B1BCC1 （Ⅰ）证明：AB=AC （Ⅱ）设二面角 A-BD-C 为 60°,求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小
新疆 王新敞
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高二数学 《空间的角和距离》
高二数学 《空间的角和距离》
（Ⅱ）设平面 BCD 的法向量 AN (x, y, z), 则 AN BC 0, AN BD 0.
又 BC =（-1，1， 0），
BD
=（-1，0，c）,故
x x
y0 cz 0
令 x=1,
则 y=1,
z=
1
,
AN
PE
3
∵AE⊥PD，| AE | 1 | AD | a, E(0, 1 a, 3 a)
2
22
A
Dy
BE (a, 1 a, 3 a), PD (0,2a, 2 3a),
B
C
22
3
X
BE
PD
0
(a)
a 2
2a
3a 2 高二2数学 (《空间3的a角) 和距0,离》BE
PD
，即
BE⊥PD 新疆 王新敞 奎屯
求空间的角和距离
方法总结 ⒈ 解立体几何问题的基本思路：化立体几何问题为平面几何问题． ⒉ 熟练掌握所学习的定义、定理，掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的
空间角与距离的计算
由△PAD 为等腰直角三角形得 PN⊥AD. 由 DC⊥AD，BC∥AD，BC＝12AD，N 是 AD 的中点得 BN⊥AD.所以 AD⊥平面 PBN. 由 BC∥AD 得 BC⊥平面 PBN， 则平面 PBC⊥平面 PBN. 过点 Q 作 PB 的垂线， 垂足为 H，连接 MH，易知 QH⊥平面 PBC， 所以 MH 是 MQ 在平面 PBC 上的射影， 所以∠QMH 是直线 CE 与平面 PBC 所成的角．
令 y＝1，则 n＝(0,1，－1)，
BF＝1，EPPF＝2，所以 EP＝233，设 D 到面 PEA 的距离为 d，
因为 VA－EDP＝VD－AEP，即13·AD·S△EDP＝13·d·S△AEP，所以 d＝
AD·S△EDP＝ S△AEP
1×
3 3
＝
33× 2
2 2.
【通法指导】 诚如上文所说，求点面距问题可以采用等积转换和向量 法求解，除此之外个别问题也可采用垂面法(利用面面垂直性 质定理)和等价转移法(利用线面平行)求解．当然，一些求几 何体体积问题，也是对点面距问题的相应考查．
因为A→P＝－1，2
3
3，1，A→E＝(－1,0,1)
，
所以xy＝＝z0，， 令 z＝1，则 n＝(1,0,1)． 因为D→A＝(1,0,0)，
所以
D
到面
APE
的距离为
d＝|D→|An·|n|＝
|1| ＝ 2
2 2.
解法二：由(1)知，AD⊥平面 BFED，所以 AD⊥EP，
AD⊥ED.又因为 EP⊥ED，所以 EP⊥平面 ADE.BD＝ 3，
【题型分析】 如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1， ∠BCD＝120°，四边形 BFED 为矩形，平面 BFED⊥平面 ABCD，BF＝1.
向量法求解空间距离与空间角
向量法求解空间距离与空间角要求能掌握用向量法解决空间距离与空间角问题。
一、 空间向量与空间距离由向量的数量积||||cos AB b AB b θ⋅=⋅可知，向量AB 在向量b （直线l 的方向向量）方向上的射影（投影）是||cos ||AB b AB b θ⋅=，也就是说向量AB 在向量b （直线l 的方向向量）方向上的射影（投影）是线段AB 在直线l 上射影线段的长。
1、 点面距离公式：平面α的法向量为n ，P 是平面α外一点，点M 为平面α内任一点，则P 到平面α的距离d 就是MP在向量n 方向上射影的绝对值，即||||n MP d n ⋅=。
2、 线面距离公式： 平面α∥直线l ，平面α的法向量为n ，P ∈直线l ，点M 为平面α内一点，则直线l 与平面α的距离d 就是MP 在向量n 方向上射影的绝对值，即||||n MP d n ⋅=。
3、 面面距离公式：平面α∥平面β，平面α的法向量为n，点M 为平面α内一点，点P 为β平面β内一点，则平面α与平面β的距离d就是MP 在向量n 方向上射影的绝对值，即||||n MP d n ⋅=。
4、向量法求解距离问题的步骤： ① 建立适当的空间直角坐标系；② 将相应线段及平面的法线等用向量或坐标表示出来； ③ 利用向量的相应距离公式求解。
5、典例评析： 例1、（03广东）已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=1，AA 1=2，点E 是CC 1的中点，F 是BD 1中点。
（1）证明：EF 是BD 1与CC 1的公垂线； （2）求点D 1到面BDE 的距离。
二、 空间向量与空间的角 1、 异面直线所成的角：异面直线a 、b 的方向向量分别为m 、n，其向量的夹角为θ，直线a 、b 的所成的角为α，(0,]2πα∈，则||cos |cos |||||m n m n αθ⋅== ，即||cos ||||m n arc m n α⋅=。
空间几何中的距离与角度
空间几何中的距离与角度空间几何是研究点、线、面以及它们之间的关系和性质的数学分支。
在空间几何中，距离与角度是两个基本的概念，它们在几何学的发展和应用中起着重要的作用。
本文将深入探讨距离与角度在空间几何中的概念、计算方法以及在实际问题中的应用。
一、距离的概念与计算方法1. 距离的概念在空间几何中，距离是指两点之间的间隔或者长度。
距离可以用于衡量空间中的物体与物体之间的相对位置和远近关系。
根据点与点之间的特定关系，可以得到不同类型的距离，如直线距离、曲线距离、欧氏距离等。
2. 距离的计算方法在空间几何中，计算两点之间的距离通常需要借助数学的计算方法。
以直线距离为例，当给定两点的坐标时，可以使用勾股定理计算它们之间的直线距离。
假设有两个点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，则它们之间的直线距离可以表示为√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)。
二、角度的概念与计算方法1. 角度的概念在空间几何中，角度是指由两条线段或者线段与平面之间所形成的夹角。
角度可以用于描述物体之间的相对方向和夹角关系。
根据角度的性质，可以分为锐角、直角、钝角等不同类型。
2. 角度的计算方法在空间几何中，计算角度的方法多种多样。
当给定两条线段的坐标时，可以使用向量的内积来计算它们之间的夹角。
假设有两个向量A(u1, u2, u3)和B(v1, v2, v3)，它们之间的夹角可以计算为cosθ = (u1v1 + u2v2 + u3v3) / (|A| |B|)，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模。
三、距离与角度在实际问题中的应用1. 距离的应用在实际问题中，距离在测量、导航、工程设计等领域都有广泛的应用。
例如，在地理测量中，人们可以根据两个地点之间的距离来确定最短路径或者计算行驶的时间。
在导航系统中，人们可以利用距离来计算车辆到目的地的距离，帮助导航定位。
在工程设计中，距离的概念被用于计算构建物之间的间隔或者确定物体的位置。
高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法
高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法立体几何是数学中的一个分支，其重点研究的是三维空间中点、线、面和体之间的关系。
在立体几何中，空间角和空间距离是非常关键的概念。
本文将详细探讨高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法。
一、空间角的概念与计算方法1. 空间角的概念空间角指的是由两个非共面向量所张成的角度，在立体几何中具有重要的意义。
空间角的大小是依据两个向量的夹角计算得来的。
2. 空间角的计算方法在计算空间角时，我们首先需要求出两个向量的点积。
设向量a=(a1,a2,a3)和向量b=(b1,b2,b3)，则它们的点积为a*b=a1b1+a2b2+a3b3。
接下来，我们可以利用余弦定理来计算角度，即cosθ=(a*b)/(|a||b|)，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模长，θ表示向量a和向量b之间的夹角。
二、空间距离的概念与计算方法1. 空间距离的概念空间距离指的是三维空间中两个点之间的距离，也是立体几何中经常涉及到的一个概念。
2. 空间距离的计算方法我们可以借助勾股定理来计算空间距离。
设点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)是三维空间中的两个点，它们之间的距离为d，则d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)。
三、空间角和空间距离的应用空间角和空间距离在立体几何中的应用非常广泛，例如在计算棱台的侧面积、计算四面体内切圆半径、求解圆锥截面面积等问题中，我们都需要用到空间角和空间距离的知识。
比如，在计算棱台的侧面积时，我们需要首先求出两条棱所在的平面之间的空间角，然后根据棱长和计算出的角度，就可以快速计算出棱台的侧面积。
在计算四面体内切圆半径时，我们需要先计算出四面体各面的法线向量，然后根据法线向量计算面上的角度，最后用勾股定理求出四面体内切圆的半径。
在求解圆锥截面面积时，我们需要用到空间角和空间距离的知识，以找出圆锥截面的边界和计算截面的面积。
2019版数学(理)一轮讲义：第45讲 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离 含答案
第45讲立体几何中的向量方法（二）——求空间角和距离考纲要求考情分析命题趋势1．两条异面直线所成角的求法设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则2设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成角为θ，a 与n 的夹角为β，则sin θ＝｜cos β｜＝__错误!__。
3．求二面角的大小（1)如图①，AB ，CD 分别是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ为__〈错误!，错误!〉__。
（2）如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足｜cos θ｜＝__｜cos <n 1，n 2>|__,二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角）．4．利用空间向量求距离(供选用）（1）两点间的距离设点A （x 1，y 1，z 1），点B (x 2，y 2，z 2），则|AB |＝｜错误!|＝__错误!__.(2）点到平面的距离如图所示,已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离为|错误!|＝错误!.1．思维辨析（在括号内打“√”或“×”）．(1）两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(×）（2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(×)（3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．（×）(4)两异面直线夹角的范围是错误!,直线与平面所成角的范围是错误!，二面角的范围是［0，π］．(√）2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－错误!，则l与α所成的角为(A）A．30°B．60°C．120°D．150°解析∵cos 〈m，n〉＝－错误!，0°≤〈m，n〉≤180°，∴<m，n>＝120°，∴l与α所成角为90°－(180°－120°）＝30°，故选A．3．正三棱柱（如右图，底面是正三角形的直棱柱）ABC－A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为2错误!，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为__30°__.解析取A1B1的中点E,连接C1E，AE，由正三棱柱性质得平面A1B1C1⊥平面A1B1BA，又∵C1E⊥A1B1，A1B1是平面A1B1C1与平面A1B1BA的交线，∴C1E⊥平面A1B1BA，则∠C1AE为所求．又∵A1B1＝2，AA1＝22，∴AE＝3，C1E＝错误!，∴tan ∠C1AE＝错误!＝错误!，∴∠C1AE＝30°,∴AC1与平面ABB1A1所成角为30°.4．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB＝4，AC＝6，BD ＝8,CD＝2错误!，则该二面角的大小为__60°__。
空间中的角和距离
2、作辅助线的技巧： 、作辅助线的技巧：
有了中点配中点， 有了中点配中点，两点连线中位线 ； 等腰三角形出现，顶底中点相连线； 等腰三角形出现，顶底中点相连线； 有了垂面作垂线，水到渠成理当然。 有了垂面作垂线，水到渠成理当然。
在三棱锥S 4、（07海南）如图 ，在三棱锥S − ABC 、（07海南） 07海南 中，侧面SAB与侧面 SAC均为等边三角形 ， 侧面SAB与侧面 SAC均为等边三角形 SAB ∠BAC = 90 ,O为BC中点。 BC中点 中点。 平面ABC ABC; （1）证明：SO ⊥ 平面ABC; 证明： 的余弦值。 (2)求二面角A − SC − B的余弦值。 求二面角A
直线与平面所成的角
范围： ° 范围： [0°，90°]（ 0°指线面平行或线在面内） ° （ °指线面平行或线在面内） 方法： 、 方法：1、定义法 第一步：在直线上找一点作 第一步：在直线上找一点作此平面的垂线 图形中现有的面的垂线 垂线） （或找图形中现有的面的垂线） 或：求直线上一点到此平面的距离 第二步： 第二步：找直线在此平面上的射影 第三步： 第三步：构造直角三角形 第四步： 第四步：解三角形
就是二面角α-l-β的平面角） 的平面角） （则∠ AOB就是二面角 就是二面角 的平面角
β A O θ B α
第四步： 第四步：解直角三角形
l
F
的正弦值。 （3）求二面角 ）求二面角A-ED-B的正弦值。 的正弦值
三垂线法: 三垂线法 过点C作 垂直 于点F，连接AF， 垂直ED于点 过点 作CF垂直 于点 ，连接 ，则∠AFC 即为二面角A-ED-B的平面角，所以在Rt△ACF中求 即为二面角 的平面角，所以在 △ 中求 的平面角 sin∠AFC即可。 即可。 ∠ 即可
人教版高考总复习一轮数学精品课件 主题三 几何与代数 第八章 第2课时 求空间角与距离
证明在等腰梯形中, = 4, = = 2,则∠ = 60∘ ,
则 = 2 3,所以2 + 2 = 2 , ⊥ .又 = 4, = 2，由
2 + 2 = 16 = 2 ,得到 ⊥ .
.设直线和所成的角为
6
6
6
3
3
2 6
,则cos = |cos⟨,⟩| =
1
2
3
3
×
2
2
=
2
.
3
规律方法
用向量法求异面直线所成角的一般步骤
（1）选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；
（2）确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量；
（3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
用公式 cos⟨,⟩ =
得结论
⋅
π
2
利用sin = |cos⟨,⟩|,直线和平面所成角的范围是[0, ],即可得出直线和平面所
成的角
［对点训练3］如图,在四棱锥 − 中,底面四边形
满足 = = 2, = = 5,∠ = 90∘ ,棱上的点
= − = −
1
,
2
=
1
(
2
+ ).
设向量与的夹角为,则直线和所成角的余弦值等于 cos .
⋅ =
1
2
1
−
8
+
1
2
1
1
−
4
8
1
2
1
2
1
4
1
2
1
4
+ ⋅ ( − ) = 2 − ⋅ + ⋅ − ⋅ =
空间几何的角度与距离关系解析
空间几何的角度与距离关系解析在空间几何中，角度和距离是重要的概念，它们之间存在着密切的关系。
本文将从几何的角度出发，探讨角度与距离之间的关系，并分析其在实际应用中的重要性。
一、角度的概念角度是指由平面上的两条射线或线段所围成的空间形状。
我们通常用度数（°）或弧度（rad）来表示角度的大小。
角度的度数表示了两条射线或线段的偏移程度，从而衡量了它们之间的夹角。
角度在几何中的应用非常广泛。
它不仅可以用于描述线段之间的关系，还可以通过角度的比较来分析空间中的形状和方向。
二、距离的概念距离是指空间中两个点之间的间隔长度。
在几何中，我们常用欧几里得距离来计算点之间的距离，即直线距离。
距离的概念在空间几何中是非常基础和重要的。
它不仅可以用于测量线段的长度，还可以通过距离的比较来判断点的相对位置和几何图形的大小。
三、角度与距离的关系角度与距离之间存在着一定的关系。
在二维空间中，当两条射线或线段的夹角增大时，它们之间的距离也会增大；当夹角减小时，它们之间的距离也会减小。
这说明在同一半径下，角度和距离是正相关的。
在三维空间中，角度和距离的关系更加复杂。
除了夹角的大小外，还需要考虑到第三个维度的影响。
在正交坐标系下，两个点之间的距离可以用勾股定理来计算，而角度则可以通过向量运算来确定。
四、角度与距离的应用角度与距离的关系在实际应用中有着广泛的应用。
在建筑设计中，我们需要根据角度和距离来确定房屋的朝向和布局。
在地图制作中，我们需要根据角度和距离来确定地理位置和方位。
在导航系统中，我们需要利用角度和距离来计算最短路径和导航指引。
除此之外，角度与距离的关系还被应用于航空、物理学、地理学等多个领域。
它们在测量、导航、定位等方面发挥着不可替代的作用。
五、总结角度与距离是空间几何中重要的概念，它们之间存在着密切的关系。
角度衡量了线段之间的偏移程度，而距离衡量了点之间的间隔长度。
在二维和三维空间中，角度与距离的关系不同，但都具有一定的规律。
高中数学例题：利用空间向量求空间角和距离 (2)
高中数学例题：利用空间向量求空间角和距离1．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，F，G分别是棱A1B1，AB，A1D1的中点．(1)求证：GE⊥平面FCC1；(2)求点A1到平面BFC1的距离；(3)求直线CD到平面BFC1的距离．解：因为AB＝4，BC＝CD＝2，F是棱AB的中点，ABCD为等腰梯形，所以易得BF＝BC＝CF，即△BCF为正三角形，所以∠BAD＝∠ABC＝60°，取AF的中点M，连接DM，则DM⊥AB，所以DM⊥CD.故以D为坐标原点，以DM，DC，DD1所在直线分别为x轴、y 轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(3，－1,0)，F(3，1,0)，C(0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (3，1,2)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，2，B (3，3,0)． 所以CF →＝(3，－1,0)，CC 1→＝(0,0,2)，FC 1→＝(－3，1,2)．(1)证明：设平面FCC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CF →＝0，n ·CC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，2z ＝0，取n ＝(1，3，0)． 因为GE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0，则GE →＝32n ， 所以GE →∥n ，所以GE ⊥平面FCC 1.(2)解：FB →＝(0,2,0)，设平面BFC 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·FB →＝0，m ·FC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 1＝0，－3x 1＋y 1＋2z 1＝0，取m ＝(2,0，3)． 因为A 1(3，－1,2)，所以A 1F →＝(0,2，－2)，所以点A 1到平面BFC 1的距离d ＝|A 1F →·m ||m |＝|2×0＋0×2＋3×(－2)|22＋02＋(3)2＝2217. (3)解：因为CD ∥AB ，CD ⊄平面BFC 1，AB ⊂平面BFC 1， 所以CD ∥平面BFC 1.又D ∈CD ，所以点D 到平面BFC 1的距离等于直线CD 到平面BFC 1的距离．由(2)可知，平面BFC 1的一个法向量为m ＝(2,0，3)． 又DF →＝(3，1,0)，所以点D 到平面BFC 1的距离d ＝|DF →·m ||m |＝|2×3＋0×1＋3×0|22＋02＋(3)2＝2217. 所以直线CD 到平面BFC 1的距离为2217.。
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一．1．（辽宁卷）若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题．．．
是（ ） A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥ B ．若m αγ= n βγ= ，m n ∥，则αβ∥ C ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥
D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥
2．(全国II) 如图，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与两平面α、β所成的角分别为
4π和6
π。
过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为'A 、',B 若AB=12,则''A B =( )
（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）9
四川卷）已知二面角l αβ--的大小为060，,m n 为异面直线，且
,m n αβ⊥⊥，则,m n 所成的角为( )
（A ）030 （B ）060 （C ）090 （D ）0120
4．在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则点A 1到平面MBD 的距离是( ) A.
a B.
a C.
a D.
a
5．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E 是CC 1的中点，则E 到A 1B 的距离是( ) A.
a B.
a C.
a D.
a
6．把边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起,使直线AC 和平面BCD 所成的角为45°,
则点A 到平面BCD 的距离是 A.1 B.
C.2
D.
7已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长是1，则直线1DA 与AC
二解答题 1如图，在四棱锥
S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，
侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点． （1）证明EF ∥平面SAD ；
（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小．
2如图,在底面为直角梯形的四棱锥,
//,BC AD ABCD P 中-,90︒=∠ABC
E
B
C
平面⊥PA ABCD,32,2,4===AB AD PA ,BC =6.
(Ⅰ)求证:;PAC BD 平面⊥(Ⅱ)求二面角A PC D --的大小.
3如图，PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2， 又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°. （Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ; （Ⅱ）求二面角B AC M --的大小;
4在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且2A
C B C B
D A
E ===，M 是AB 的中点．（I ）求证：CM EM ⊥；（II ）求CM 与平面CDE 所成的角．
5如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=． （Ⅰ）证明：1AC ⊥平面BED ； （Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小．
6．如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB=4,BC=3,CC 1=2. (1)
求证:平面A 1BC 1∥平面ACD 1;(2)求(1)中两个平行平面间的距离;(3)求点B 1到平面A 1BC 1的距离.
E
D
C
M
A
（第4题）
A
B C
D E
A 1
B 1
C
1
D 1
1、如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45 ．
（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅱ） 求二面角C BD A --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离． .2如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长
都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ；
（Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小；（Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离．
3．如图，直二面角D-AB-E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE =EB ，F 为CE 上的
点，且BF ⊥平面ACE .
(1)求证：AE ⊥平面BCE ； (2)求二面角B-AC-E 的大小； (3)求点D 到平面ACE 的距离.
4如图，P 为平行四边形ABCD 外一点，AB
⊥且PA AB =，点E 是PD 的中点.
（1）求证：//PB 平面AEC ；
（2）求：二面角E －AC －D 的大小.
5、如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为
等腰梯形，AB ∥DC,AC ⊥BD,AC 与BD 相交于点O ，且顶点 P 在底面上的射影恰为O 点，又BO=2,PO=2,PB ⊥PD. (Ⅰ)求异面直接PD 与BC 所成角的余弦值； (Ⅱ)求二面角P －AB －C 的大小； (Ⅲ)设点M 在棱PC 上，且
,PM
MC
λλ=问为何值时，PC ⊥平面BMD. A B
C
D
1
A
1
C
1
B
O
F。