2018年初三数学专题复习一、数式运算、因式分解、分式、数的开方

一、数式运算、因式分解、分式、数的开方【新课标要求】 1.有理数(1)理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小.(2)从代数意义、几何意义两方面理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法. (3)理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主). (4)理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算. (5)运用有理数的运算解决简单的问题. 2.实数(1)了解平方根、算术平方根、立方根的概念，掌握用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根.(2)了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数(对应的负数)的立方根.(3)了解无理数和实数的概念、实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值. (4)掌握用有理数估计一个无理数的大致范围.(5)了解实际问题中的近似计算，会按问题的要求对结果取近似值.(6)了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则，掌握实数的简单四则运算. 3.代数式(1)理解用字母表示数的意义，能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示. (2)对一些简单代数式的实际背景或几何意义进行解释.(3)掌握求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，选择所需要的公式，并会代入具体的值进行计算. 4.整式与分式(1)了解整数指数幂的意义和基本性质；掌握用科学记数法表示数.(2)理解整式及相关概念，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算(一次式与二次式相乘).(3)能推导乘法公式：22()()a b a b a b +-=-；222()2a b a ab b ±=±+，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算.(4)能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)、十字相乘法、分组分解法进行因式分解.(5)了解分式及相关概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除运算.【课时分布】本单元在第一轮复习时大约需7课时.下表为内容及课时安排(仅供参考).【基础知识专题讲解】 专题1：实数的概念与分类 1.无理数的概念及实数的分类：0⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎩正整数整数负整数有理数实数——有限小数或无限循环小数正分数分数负分数无理数——无限不循环小数2.研究实数的工具——数轴：明确实数与数轴上的点一一对应(数形结合).3.相反数：若a ,b 互为相反数，则0a b +=.4.绝对值：(1)几何意义：在数轴上表示数a 对应的点与原点的距离. (2)代数意义：(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩5.倒数：若a ,b 互为倒数，则ab =1.(注意互逆运用)6.三种非负数：)20n a a a ≥；(n 为整数).例1 在1，0，2，−3这四个数中，最大的数是( ). A .1 B .0 C .2 D .−3 【考点】有理数大小比较【分析】根据有理数比较法则或利用数轴解决 【解】选C例2 设边长为3的正方形的对角线长为a ，下列关于a 的四种说法：①a 是无理数；②a 可以用数轴上的一个点来表示；③ 3<a <4；④a 是18的算术平方根.其中，所有正确说法的序号是( ). A .①④ B .②③ C .①②④ D .①③④ 【考点】无理数的概念、无理数大小估计、数的开方运算、勾股定理.【分析】由勾股定理，得： 4.2a =，所以③错误，其它都正确. 【解】选C .例3 已知：m 、n 为两个连续的整数，且m ＜n ，则m +n = . 【考点】估计无理数的大小.的取值范围，得出m 、n 的值，进而可得出结论. 【解】7.【说明】实数概念复习注意以下几点：1.对于有理数和无理数的理解认识要从数的表示形式入手，特别是对于227这样的有理数；2.初中遇到的无理数有三种形式：①特定结构的数，如5.020 020 002…；②开方开不尽的数，等；③特定意义的数，如π，sin 45°等.它们的本质特征都是无限不循环小数；3.判断一个实数是有理数还是无理数，不能只看表面，要经过化简后才能下结论.例如：0化简后等于1，因此0+不是无理数；4.要会用有理数估计一个无理数的大小，体现数学中的转化思想，培养估算意识.专题2：实数的运算 【基本知识】 1.运算法则(略).2.运算律：交换律、结合律、分配律.3.运算顺序：先乘方、开方，然后乘除，最后加减，同级运算从左到右依次进行，有括号的先算括号里面的.例4 计算：计算：0113(π2014)()2---+.【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂.【分析】本题涉及零指数幂、绝对值、负指数幂等考点.针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.例5 某商场促销方案规定：商场内所有商品案标价的80%出售，同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额.注：300~400表示消费金额大于300元且小于或等于400元，其他类同.根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。

例如，若购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400⨯(1-80%)+30=110(元). 购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？ 【考点】运用有理数运算解决简单的问题. 【分析】按实际问题列出式子计算. 【解】购买一件标价为1000元的商品，消费金额为800元，顾客获得的优惠额为1000⨯(1-80%)+150=350(元). 【说明】实数运算复习注意点：1.乘方运算注意事项：注意分清底数；注意书写格式，若底数为负数或分数，书写时一定要加括号，注意运算顺序，运算时要先算乘方；2.有理数运算的合理性：几个分数、小数相加，尽量化成小数相加；几个分数、小数相乘，尽量化成分数相乘；能“整”不“分”、能“正”不“负”.专题3：近似数与科学记数法1.近似数的表示方法：精确到哪一位或者精确到小数点后第几位；2.把一个数表示成10n a ⨯ (110a ≤<，n 为不等于0的整数)的形式. 例6 据统计，2014年全国约有939万人参加高考，939万人用科学记数法 表示为 人.【考点】科学记数法——表示较大的数.【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数.确定n 的值是易错点，由于939万有7位，所以可以确定n =7﹣1=6.【解】939万=9 390 000=9.39×106.故答案为：9.39×106. 【说明】科学记数法的规律：①原数的绝对值大于10时，原数利用科学记数法写成10n a ⨯形式，注意110a ≤<，n 等于原数的整数位数减1;②原数的绝对值小于1时，原数利用科学记数法写成10n a ⨯形式，注意110a ≤<，n 等于原数左边第一个非零数字前所有零的个数(包括小数点前面的零).例如0.000123=1.23×10-4.专题4：整式的有关概念1.定义：单项式和多项式统称整式.2.单项式：数字与字母的积所组成的代数式叫单项式，单独一个数字或字母也是单项式.单项式的属性有系数和次数.3.多项式：几个单项式的和叫做多项式.多项式的属性有次数和项数.4.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项例7 1(32)n m xy --是关于x ，y 的5次单项式，且系数为1，则m = ，n = .【考点】单项式相关概念.【分析】从单项式的次数和系数概念入手列出方程解决. 【解】m =1，n =5.m 4n +22m +n n【考点】合并同类项【分析】根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得m 、n 的值，根据乘方，可得答案. 【解】若−2a m b 4与5a n +2b 2m +n 可以合并成一项，则224m n m n =+⎧⎨+=⎩解得2m n =⎧⎨=⎩， m n =20=1， 故选：D .【说明】1.单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：2143a b -，应写成2133a b -；2.圆周率π是一个无理数，在判断某一项的系数时，应将π作为系数，如22πx 的系数是2π，次数2；3.计算单项式的次数时，要把所有字母的指数相加. 如单项式253x y -的系数是53-，次数是3；4.多项式中的项若不含字母，只是一个数字，则此项为常数项，写项时不要漏掉.专题5：整式的化简与求值1.整式的加减：有括号先去括号，再合并同类项.2.整式的乘法：(1)幂的运算法则；(2)整式乘法常见类型；(3)乘法公式.3.整式的除法例9 化简：(a +b )(a −b )+2b 2. 【考点】平方差公式；合并同类项.【分析】先根据平方差公式算乘法，再合并同类项即可.【解】原式=a 2−b 2+2b 2=a 2+b 2.例10 下列计算正确的是( ).【分析】根据合并同类项法则、积的乘方、完全平方公式、单项式乘单项式判断即可. 【解】 A .2a 3与a 2不是同类项不能合并，本项错误；B .(3a )2=9a 2，本项错误；C .(a +b )2=a 2+2ab +b 2，本项错误；D .2a 2•a 3=2a 5，正确， 故选：D . 【说明】1.在中考中，直接考查整式乘法的题目并不多，而是在很多其它问题的解决中用到乘法公式，这就要求熟悉乘法公式的特点，看清项数及公式形式中的a 、b ，准确进行计算；2.要准确认识平方差和完全平方公式，必须结合面积法证明这两个公式，这种证明方法在初中数学中体现了数形结合的思想；3.在化简求值时要注意：当字母是负数时，代入后应加上括号；当字母是分数时，遇到乘方也要加括号.专题6：因式分解1.因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式乘积形式，叫做因式分解，也叫做分解因式；2.因式分解法常用方法：(1)提公因式法：()ma mb mc m a b c ++=++；(2)公式法：22()()a b a b a b -=+-；2222()a ab b a b ±+=±； 3322()()a b a b a ab b +=+-+；3322()()a b a b a ab b -=-++； (3)十字相乘法：2()()()x p q x pq x p x q +++=++.例11 分解因式：分解因式：m 3﹣2m 2n +mn 2. 【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【分析】首先提取公因式m ，进而利用完全平方公式分解因式得出即可. 【解】m 3−2m 2n +mn 2=m (m 2−2mn +n 2)=m (m −n )2. 故答案为：m (m −n )2.例12 已知x −y =3，求代数式(x +1)2−2x +y (y −2x )的值. 【考点】整式的混合运算——化简求值.【分析】先把代数式计算，进一步化简，再整体代入x −y . 【解】∵x −y =3，∴(x +1)2−2x +y (y −2x )=x 2+2x +1−2x +y 2−2xy =x 2+y 2−2xy +1=(x −y )2+1=2+1=3+1=4.【说明】1.分解因式是研究代数式的一种手段，不是目的.分解因式的思路和方法始终贯穿在数学变换中，通过分解因式将多项式合理变形，是求代数式的值的常用的解题方法，许多有关整式、分式以及二次根式的化简与计算都离不开分解因式公因式；2.因式分解的思考方法是：先提公因式，再由项数定方法(二项考虑平方差公式、三项考虑完全平方公式或十字相乘法、四项以上考虑分组分解法)，最后考虑分解到不能分解为止；3.提取公因式后所得结果应为：n 项式=公因式×新的n 项式；公因式可能是单项式也可能是多项式.对多项式在教学中要注意下述变形：a b b a +=+，()b a a b -=--，22()()b a a b -=-，33()()b a a b -=--，(1)(2)(1)(2)a a a a --=--；4.运用公式的关键是熟悉公式的结构特点，了解公式中a 、b 的广泛含义，才能准确、迅速解题.专题7：分式的概念形如AB(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子叫做分式；整式和分式统称为有理式.1.若分式A B 有意义，则0B ≠；2.若分式AB 无意义，则0B =；3.若分式A B =0，则0,0A B =≠；4.若分式AB ＞0，则A ，B 同号；5.若分式AB＜0，则A ，B 异号.6.分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。