高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第396—400题(含答案解析)

高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第381—385题(含答案解析)

感知高考刺金381题已知圆()22:24C x y -+=，点P 在直线:1l y x =+上运动，若圆C 上存在两点,A B ，使得0PA PB ≤成立，则点P 运动的轨迹长度为．解：090PA PB APB ≤⇔∠≥对于圆外一定点P ，当,PA PB 都和圆C 相切时，APB ∠最大当90APB ∠=时，四边形PACB 构成正方形，此时22PC =所以点P 在圆()2228x y -+=内运动，点P 又在直线:1l y x =+上运动，故点P 的轨迹就是:1l y x =+在圆()2228x y -+=内部分，可求得其长度为14感知高考刺金382题已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()1232f x x a x a a =-+--，若集合()(){}|10,x f x f x x -->∈=∅R ，则实数a 的取值范围是．解：两个一次绝对值之和的图象是平底锅，且()00f =当0a ≤时，()f x x =，显然符合题意当0a >时，画出图象如图所示，()(){}|10,x f x f x x -->∈=∅R 等价于函数()1y f x =-的图象任何一点都不能在()y f x =图象的上方，而()1y f x =-的图象是将()y f x =图象向右平移一个单位得到的。

故61a ≤，即106a <≤，综上得16a ≤感知高考刺金383题已知函数()()2326f x x a x a =-++，其中0a >，若有实数b 使得()0f b ≤且()210f b +≤同时成立，则实数a 的取值范围是．解：因为()()()()232623f x x a x a x a x =-++=--，开口向上，()0f b ≤且()210f b +≤ 且21b b +>，所以满足2213a b b ≤<+≤或2312b b a ≤<+≤ 因为是存在实数b，故max 2b a ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭2min152b a ⎛⎫+≥= ⎪⎝⎭感知高考刺金384题已知实数.m n 满足n =，则的最小值是．解：()221054m n n n =+=≥可以视为点上半个椭圆()221054m n n +=≥上的点(),P m n 到点()0,1A 和到()1,0B 的距离之和注意到点()1,0B 恰好是椭圆()221054m n n +=≥的右焦点，设左焦点为()1,0F -所以PB PF +=PA PB PA PF AF +=+≥=当且仅当点,,P A F 三点共线时取得等号，此时点P 是直线AF 与椭圆在第一象限内的交点。

2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第346—350题(含答案解析)

感知高考刺金346题设非零向量,,a b c r r r 满足a b a b +=-r r r r 且1a b a b c ==++=r r r r r ，则a c a r r g r 的取值范围是．解：由a b a b +=-r r r r 得a b ⊥r r ，且1a b ==r r又()1a b c c a b ++=---=r r r r r r ，即c OC =r u u u r 的终点C 在以()a b OD -+=r r u u u r 的终点D 为圆心，1为半径的圆上cos a c c a θ=r r r g r 就是c r 在a r 上的投影，显然[]2,0a c a ∈-r r g r感知高考刺金347题已知()222,0,,f x mx m m m x =++≠∈∈R R ，若1x y +=，则()()f y f x 的取值范围是．解：()()222222222222m y m f y my m f x mx m m x m ⎛⎫+-- ⎪ ⎪++⎝⎭==⎛⎫+++-- ⎪ ⎪⎝⎭()()f y f x 的取值范围问题等价于曲线1x y +=上的点(),P x y 与点2222,22m m A m m ⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭连线的斜率的范围问题．此时点A 在()(),22,y x x ⎤⎡=∈-∞+∞⎦⎣U 上，由图可知：()()21,22f y f x ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣感知高考刺金348题若点G 为ABC ∆的重心，且AG BG ⊥，则sin C 的最大值为．解：如图，点G 在以AB 为直径的圆上运动，且由于点G 为ABC ∆的重心，所以3OC OG = 故点G 在以O 为圆心，以32AB 长为半径的圆上运动，问题转化为圆上一点与线段AB 形成的张角问题。

如图，画一个最小圆，即CO AB ⊥时，其余的'C 都在圆外，根据圆外角小于圆上角，可知当CO AB ⊥时，C ∠最大，即sin C 最大此时由11sin 22ABC S AB CO AC BC C ∆=⋅=⋅⋅得3sin 5C = 或二倍角公式3sin 2sin cos 22251010θθθ==⋅⋅=感知高考刺金349题在ABC ∆中，过中线AD 中点E 作一直线分别交边AB ，AC 于,M N 两点，设AM xAB =u u u u r u u u r ，()0AN y AC xy =≠u u u r u u u r ，则4x y +的最小值为．解：因为D 是BC 中点，所以1122AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r 又因为E 为AD 中点，所以11114444AE AB AC AM AN x y=+=+u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r 因为,,M E N 三点共线，所以11144x y+= 所以()11594444444y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭当且仅当33,84x y ==时等号成立。

2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题含答案解析)

感知高考刺金361题设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，22t ⎡⎤=⎣⎦，…，n t n⎡⎤=⎣⎦同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是．解：由[]1t =得12t ≤<由22t ⎡⎤=⎣⎦得223t ≤< 由44t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<，所以22t ≤<由33t ⎡⎤=⎣⎦得334t ≤<，所以56t ≤<由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<与56t ≤<n 的最大值是4感知高考刺金362题过点()1,1M -的直线l 交圆()22:11C x y -+=于点,A B ，O 为坐标原点，若在线段AB 上的Q 满足112MA MB MQ+=，则min OQ = ．解：设()11,A x y ，()22,B x y ，(),Q m n ，直线():11l y k x =++则11MA +，21MB =+，1MQ + 由112MA MB MQ +=得12112111x x m +=+++ 由()()221111x y y k x ⎧-+=⎪⎨=++⎪⎩得()()()2222122210k x k k x k +++-++= 所以21222221k k x x k +-+=-+，()212211k x x k +=-+ 所以421k m =-+所以()42111n m m ⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭整理得点(),Q m n 满足的轨迹方程为210m n --=所以min OQ ==感知高考刺金363题如图，已知点D 为ABC ∆的边BC 上一点，3BD DC =u u u r u u u r，()*n E n ∈N 为AC 边上一列点，满足()11324n n n n n E A a E B a E D +=-+u u u u r u u u u r u u u u r，其中数列{}n a 满足0n a >，11a =，则{}n a 的通项公式为．解：由3BD DC =u u u r u u u r可得1344n n n E D E B E C =+u u u u r u u u u r u u u u r又()11324n n n n n E A a E B a E D +=-+u u u u r u u u u r u u u u r，且n n E C E A λ=u u u u r u u u u r故()113132444n n n n n n E D E B a E B a E D λ+⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r即()131********n n n n a E B a E D λλ+⎛⎫⎡⎤+=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭u u u u r u u u u r 因为,n n E B E D u u u u r u u u u r 不共线，故()1310416313204n na a λλ+⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，两式相除消去λ得132n n a a +=+，又11a =，所以1231n n a -=⋅-感知高考刺金364题若点A 在圆C :22(1)(2)4x y -++=上运动,点B 在y 轴上运动,则对定点(3,2)P 而言,||PA PB +u u u r u u u r的最小值为．解法1：设11(,)A x y ,2(0,)B y ,则112(6,4)PA PB x y y +=-+-u u u r u u u r.若设||r PA PB =+u u u r u u u r ,则由题意可得222112(6)(4)x y y r -++-=.即,点A 在以2(6,4)D y -为圆心,以r 为半径的圆D :2222(6)(4)x y y r -++-=上.由圆C与圆D 有公共点A 可得2222||(61)(6)5r CD y +≥=-+-≥,从而3r ≥.解法2：设11(,)A x y ,2(0,)B y ,则112(6,4)PA PB x y y +=-+-u u u r u u u r.从而,22211211||(6)(4)(6)63PA PB x y y x x +=-++-≥-=-≥u u u r u u u r.解法3：由点A 在圆C 上可设(12cos ,22sin )A θθ+-+,(0,)B t ,则(2cos 5,2sin 6)PA PB t θθ+=-+-u u u r u u u r.故222||(2cos 5)(2sin 6)(2cos 5)52cos 3PA PB t θθθθ+=-++-≥-=-≥u u u r u u u r. 解法4：设Q 为AB 的中点,则2PA PB PQ +=u u u r u u u r u u u r,过,,P Q A 作y 轴的垂线,垂足分别为',','P Q A .由于13|'||||'||||'|||22PP PQ QQ PQ AA PQ ≤+=+≤+, 因此33|||'|22PQ PP ≥-=,即||2||3PA PB PQ +=≥u u u r u u u r u u u r .解法5：设'B 为点B 关于点P 的对称点，则|||'||'|PA PB PA PB B A +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r .由于点'B 在直线6x =上,点A 在圆C :22(1)(2)4x y -++=上可得|'|523B A ≥-=u u u u r.解法6：同解法5，设'A 为点A 关于点P 的对称点,则|||'||'|PA PB PB PA A B +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r .由于点'A 在圆'C :22(5)(6)4x y -+-=上,点B 在y 轴上可得|'|523A B ≥-=u u u u ryxB'PCOA B感知高考刺金365题设实数,x y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则112u x y =+的取值范围为．解：可行域如图所示，()1,2A ，()4,2B ，()3,1C ，所以14,12x y ≤≤≤≤设点(),P x y 是可行域内一动点，目标函数112u x y=+既是关于x 的减函数，又是关于y 的减函数所以当点P 与点C 重合时，此时x 取得最大值4，同时y 取得最大值2，此时u 取得最小值为1114222+=⋅ 对于每一个固定的y 的值，要使u 取得最大值，应使x 取得最小值，即点P 应位于线段AB 上，此时()5212x y y =-≤≤()()111152522252u y x y y y y y =+=+=--()12y ≤≤ 所以()max 54u y =，此时()1,2P 与点A 重合综上所述，1524u ≤≤感知高考刺金366题已知点,A B 是双曲线22122x y -=右支上两个不同的动点，O为坐标原点，则OA OB u u u r u u u rg的最小值为．解法一：韦达定理当AB k 存在时，设:AB l y kx b =+()222221122022x y k x kbx b y kx b⎧-=⎪⇒----=⎨⎪=+⎩212122222,11kb b x x x x k k ++==-- ()()()()221212*********OA OB x x y y x x kx b kx b k x x kb x x b =+=+++=++++u u u r u u u r g()2222222222222241221111b k b k k b k k k k ++=+++==+>----当AB k 不存在是，222x y x m⎧-=⎨=⎩，则22121222OA OB x x y y m m =+=+-=u u u r u u u r g综上，2OA OB ≥u u u r u u u rg解法二：由于,A B 两点运动，故采取“一定一动”的原则，不妨先在B 点确定的情况下，让A 点运动到最小值，然后再让B 点运动，即取最小值的最小值。

高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第361—365题(含答案解析)

感知高考刺金361题设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，22t ⎡⎤=⎣⎦，…，n t n⎡⎤=⎣⎦同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是．解：由[]1t =得12t ≤<由22t ⎡⎤=⎣⎦得223t ≤< 由44t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<，所以22t ≤<由33t ⎡⎤=⎣⎦得334t ≤<，所以56t ≤<由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<与56t ≤<n 的最大值是4感知高考刺金362题过点()1,1M -的直线l 交圆()22:11C x y -+=于点,A B ，O 为坐标原点，若在线段AB 上的Q 满足112MA MB MQ+=，则min OQ = ．解：设()11,A x y ，()22,B x y ，(),Q m n ，直线():11l y k x =++则11MA +，21MB =+，1MQ + 由112MA MB MQ +=得12112111x x m +=+++ 由()()221111x y y k x ⎧-+=⎪⎨=++⎪⎩得()()()2222122210k x k k x k +++-++= 所以21222221k k x x k +-+=-+，()212211k x x k +=-+ 所以421k m =-+ 所以()42111n m m ⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭整理得点(),Q m n 满足的轨迹方程为210m n --=所以min OQ ==感知高考刺金363题如图，已知点D 为ABC ∆的边BC 上一点，3BD DC =，()*n E n ∈N 为AC 边上一列点，满足()11324n n n n n E A a E B a E D +=-+，其中数列{}n a 满足0n a >，11a =，则{}n a 的通项公式为．解：由3BD DC =可得1344n n n E D E B E C =+ 又()11324n n n n n E A a E B a E D +=-+，且n n E C E A λ= 故()113132444n n n n n n E D E B a E B a E D λ+⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦即()13131324164n n n n a E B a E D λλ+⎛⎫⎡⎤+=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 因为,n n E B E D 不共线，故()1310416313204n n a a λλ+⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，两式相除消去λ得132n n a a +=+，又11a =，所以1231n n a -=⋅-感知高考刺金364题若点A 在圆C :22(1)(2)4x y -++=上运动,点B 在y 轴上运动,则对定点(3,2)P 而言,||PA PB +的最小值为．解法1：设11(,)A x y ,2(0,)B y ,则112(6,4)PA PB x y y +=-+-.若设||r PA PB =+,则由题意可得222112(6)(4)x y y r -++-=.即,点A 在以2(6,4)D y -为圆心,以r 为半径的圆D :2222(6)(4)x y y r -++-=上.由圆C 与圆D 有公共点A 可得2222||(61)(6)5r CD y +≥=-+-≥,从而3r ≥.解法2：设11(,)A x y ,2(0,)B y ,则112(6,4)PA PB x y y +=-+-.从而,22211211||(6)(4)(6)63PA PB x y y x x +=-++-≥-=-≥.解法3：由点A 在圆C 上可设(12cos ,22sin )A θθ+-+,(0,)B t ,则(2cos 5,2sin 6)PA PB t θθ+=-+-.故222||(2cos 5)(2sin 6)(2cos 5)52cos 3PA PB t θθθθ+=-++-≥-=-≥. 解法4：设Q 为AB 的中点,则2PA PB PQ +=,过,,P Q A 作y 轴的垂线,垂足分别为',','P Q A .由于13|'||||'||||'|||22PP PQ QQ PQ AA PQ ≤+=+≤+, 因此33|||'|22PQ PP ≥-=,即||2||3PA PB PQ +=≥. 解法5：设'B 为点B 关于点P 的对称点，则|||'||'|PA PB PA PB B A +=-=.由于点'B 在直线6x =上,点A 在圆C :22(1)(2)4x y -++=上可得|'|523B A ≥-=.解法6：同解法5，设'A 为点A 关于点P 的对称点,则|||'||'|PA PB PB PA A B +=-=.由于点'A 在圆'C :22(5)(6)4x y -+-=上,点B 在y 轴上可得|'|523A B ≥-= yxB'P C O AB感知高考刺金365题设实数,x y满足2025020x yx yy--≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则112ux y=+的取值范围为．解：可行域如图所示，()1,2A，()4,2B，()3,1C，所以14,12x y≤≤≤≤设点(),P x y是可行域内一动点，目标函数112ux y=+既是关于x的减函数，又是关于y的减函数所以当点P与点C重合时，此时x取得最大值4，同时y取得最大值2，此时u取得最小值为1114222+=⋅对于每一个固定的y的值，要使u取得最大值，应使x取得最小值，即点P应位于线段AB上，此时()5212x y y=-≤≤()()111152522252u yx y y y y y=+=+=--()12y≤≤所以()max54u y=，此时()1,2P与点A重合综上所述，1524u≤≤。

高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第266—370题(含答案解析)

感知高考刺金266题在平面直角坐标系xOy 中，,A B 是x 轴正半轴上的两个动点，P （异于原点）为y 轴上一个定点，若以AB 为直径的圆与圆()2221x y +-=相外切，且APB ∠的大小为定值，则OP = ．解：设以AB 为直径的圆的圆心为(),0t ，半径为r ，则可设()(),0,,0A t r B t r -+ 由两圆相外切得()2241t r +=+ 而tan t r OPB OP +∠=，tan t r OPA OP -∠= ()2222tan tan 22tan tan 1tan tan 23OPB OPA r OP r OP APB OPB OPA OPB OPA OP t r OP r ∠-∠⋅⋅∠=∠-∠===+∠⋅∠+-+- 因为APB ∠是定值，所以tan APB ∠为常数，所以OP感知高考刺金267题已知等比数列{}n a 的公比1q >，其前n 项和为n S ，若4221S S =+，则6S 的最小值为．解法1：从等比数列的基本量入手由4221S S =+得()()4211121111a q a q q q --=+--，得1421121a q q q =--+- 所以()()()()()62426421622222111111111a q q q q q q q S q q q q --++-++====----- 令21q t -=，则6333S t t=++≥当且仅当21q =时取得等号。

解法2：从等比数列的性质入手因为等比数列有性质：()()242264S S S S S -=⋅-将4221S S =+代入，得622133S S S =++又因为4221S S =+得34121a a a a +=++，即()2211S q -=，因为1q >，所以20S >所以6221333S S S =++≥，当且仅当2S =感知高考刺金268题已知22:4O x y +=，点()4,0M ，过原点的直线（不与x 轴重合）与O 交于,A B 两点，则ABM ∆的外接圆的面积的最小值为．解：2sin AB R ABM=∠，要求外接圆的面积的最小值，即求R 的最小值，即求sin ABM ∠的最大值设()2cos ,2sin A αα，()2cos ,2sin B αα--()2cos 4,2sin MA αα=-，()2cos 4,2sin MB αα=--- 由极化恒等式知22164124AB MA MB MO =-=-=故3cos 5ABM ∠==≥ 故4sin 5ABM ∠≤ 所以4254sin 5AB R ABM =≥=∠，所以52R ≥，254S π≥感知高考刺金269题已知数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，记n n n n n n n c a T b S a b =⋅+⋅-⋅，若20152015S =，201520142015T =，则数列{}n c 的前项和为．解：当1n =时，11111c a b S T =⋅=⋅当2n ≥时，()()()()111111n n n n n n n n n n n n n n n c S S T T T S S S T T S T S T ------=-⋅+-⋅--⋅-=⋅-⋅()()()12311221133222015201520142014201520152014n c c c c S T S T S T S T S T S T S T S T ++++=+-+-++-==感知高考刺金270题钝角ABC ∆中，()2222sin 1sin sin sin C A C B -=-，则()sin A B -= ．解：由()2222sin 1sin sin sin C A C B -=-得22222sin sin sin sin sin A C A C B ⋅=+- 故222222sin sin sin sin cos sin 2sin sin 22A C B a c b A B B A C ac π+-+-⎛⎫====- ⎪⎝⎭故2A B π=-或2A B ππ+-= 由于ABC ∆为钝角三角形，故2A B π-=，所以()sin 1A B -=。

高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第91—95题(含答案解析)

感知高考刺金911．若,x y 满足()()22221log 4cos 434cos xy y y xy ⎡⎤+=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则c o s y x = 。

解：()()()222221log 4cos 432114cos xy y y y xy ⎡⎤+=-+-=--+≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦又()()22221log 4cos log 214cos xy xy ⎡⎤+≥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以()()2221log 4cos 14cos xy xy ⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦即()()2214cos 24cos 2xy xy y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得()1cos 22xy y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或()1cos 22xy y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以()2cos422cos 211y x x =-=-评注：本题是夹逼原理的应用。

2．已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出产品个。

解：33371035n n C C C -≥，即()()12310985n n n --≥⋅⋅，解得9n ≥感知高考刺金921．已知ABC ∆是边长为的正三角形，EF 为ABC ∆的外接圆O 的一条直径，M 为ABC ∆的边上的动点，则ME MF 的取值范围是。

解：ABC ∆的外接圆O 的半径为2 由极化恒等式可得22244EF ME MF MO MO =-=- 由图易得[]1,2OM ∈，所以[]3,0ME MF ∈-2．已知P 箱中有红球1个，白球9个，Q 箱中有白球7个，（P 、Q 箱中所有的球除颜色外完全相同）．现随意从P 箱中取出3个球放入Q 箱，将Q 箱中的球充分搅匀后，再从Q 箱中随意取出3个球放入P 箱，则红球从P 箱移到Q 箱，再从Q 箱返回P 箱中的概率等于。

解：121219************C C C C P C C =⋅=感知高考刺金931．在ABC ∆中，6AC =，7BC =，1cos 5A =，O 是ABC ∆的内心，若OP xOA yOB =+，其中01,01x y ≤≤≤≤，则动点P 的轨迹所覆盖的面积为。

高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第196—200题(含答案解析)

感知高考刺金196向量模块6．在ABC ∆中，5BC =，,G O 分别为三角形的重心和外心，且5OG BC =，则ABC ∆的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．上述三种情况都有可能解：()155552OG BC OC CG BC OC BC CG BC CG BC =⇔+=⇒+=⇒=-又()13CG CA CB =+，所以()11532CA CB BC +=-故502CA CB =-<，故C ∠为钝角，所以ABC ∆是钝角三角形．感知高考刺金197向量模块7．已知向量0a b =，()()0a c b c --=，3a c -=，1b c -=，则a c +的最大值是．解：数形结合，如图所示可知60ABD ACD ∠=∠=故222cos603a c a c +-= 即223a c a c +-=，得223a c a c a c +-=≥又由恒等式222222a c a c a c ++-=+知 22222343a c a c a c +=+-≥-注意这里出现不等式打架，故调整思路为：222223329a c a c a c +=+-=+≤ 故3a c +≤感知高考刺金198解析几何模块1．已知椭圆2222:1x y E a b+=的右焦点为2F ，直线l 与曲线()222:0C x y b x +=>相切于点M ，且交椭圆E 于,P Q 两点，则2F PQ ∆的周长为．解：设()()()1222,,,,,0P x y Q x y F c ，因为PQ 与圆()222:0C x y b x +=>相切于点M 所以2222222221111121x cx PM OP OM x y b x b b a a ⎛⎫=-=+-=+--= ⎪⎝⎭同理2cx QM a= 所以()222222222212111111122212x c c PF x c y x cx c b x cx a a x a a a ⎛⎫⎛⎫=-+=-++-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2122,c cPF a x QF a x a a=-=-2222212122F PQ C PF QF PQ PF QF PM QM c c c c a x a x x x aa a a a ∆=++=+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭感知高考刺金199解析几何模块2．在平面直角坐标系中，已知圆()()22:21C x a y a -+-+=，点()0,2A ，若圆C 上存在点M ，满足2210MA MO +=，则实数a 的取值范围是．解法一：设(),M x y ，则M 的轨迹为()()22220210x y x y -+-++=，化简得()2214x y +-=若圆C 上存在点M ，满足2210MA MO +=只需圆C 与()2214x y +-=有公共点所以13CN ≤≤，即()22133a a ≤+-≤，解得[]0,3a ∈解法二：由平行四边形四边平方和等于对角线之和，可得()222222420MA MO MN +=+= 故2MN =（其中N 为AO 中点），故()2214x y +-=，下同解法一．感知高考刺金200解析几何模块3．若对任意α∈R ，直线:cos sin 2sin 46l x y πααα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭与圆()()22:1C x m y -+=均无公共点，则实数m 的取值范围是．解：1d => 故对任意α∈R ，()22sin 416m πα⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭恒成立等价于对任意α∈R ，()22sin 56m πα⎛⎫-+> ⎪⎝⎭或()22sin 36m πα⎛⎫-+< ⎪⎝⎭恒成立显然对任意α∈R ，()22sin 56m πα⎛⎫-+> ⎪⎝⎭不恒成立故只有对任意α∈R ，()22sin 36m πα⎛⎫-+< ⎪⎝⎭恒成立即223m -<，得15,22m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭。

高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第346—350题(含答案解析)

感知高考刺金346题设非零向量,,a b c 满足a b a b +=-且1a b a b c ==++=，则a c a 的取值范围是．解：由ab a b +=-得a b ⊥，且1a b == 又()1a b c c a b ++=---=，即c OC =的终点C 在以()a b OD -+=的终点D 为圆心，1为半径的圆上 cos a cc aθ=就是c 在a 上的投影，显然[]2,0a c a ∈-感知高考刺金347题已知()222,0,,f x m x m m m x =++≠∈∈R R ，若1x y +=，则()()f y f x 的取值范围是．解：()()222222222222m y m f y my m f x mx m m x m ⎛⎫+-- ⎪ ⎪++⎝⎭==⎛⎫+++-- ⎪ ⎪⎝⎭()()f yf x 的取值范围问题等价于曲线1x y +=上的点(),P x y 与点2222,22m m A m m ⎛⎫++-- ⎪⎪⎝⎭连线的斜率的范围问题．此时点A 在()()2,y x x ⎡=∈-∞+∞⎣上，由图可知：()()1f y f x ⎡∈⎢⎣感知高考刺金348题若点G 为ABC ∆的重心，且AG BG ⊥，则sin C 的最大值为．解：如图，点G 在以AB 为直径的圆上运动，且由于点G 为ABC ∆的重心，所以3OC OG =故点G 在以O 为圆心，以32AB 长为半径的圆上运动，问题转化为圆上一点与线段AB 形成的张角问题。

如图，画一个最小圆，即CO AB ⊥时，其余的'C 都在圆外，根据圆外角小于圆上角，可知当CO AB ⊥时，C ∠最大，即sin C 最大此时由11sin 22ABC S AB CO AC BC C ∆=⋅=⋅⋅得3sin 5C = 或二倍角公式3sin 2sin cos 2225θθθ===感知高考刺金349题在ABC ∆中，过中线AD 中点E 作一直线分别交边AB ，AC 于,M N 两点，设AM xAB =，()0AN yAC xy =≠，则4x y +的最小值为．解：因为D 是BC 中点，所以1122AD AB AC =+ 又因为E 为AD 中点，所以11114444AE AB AC AM AN x y=+=+ 因为,,M E N 三点共线，所以11144x y+= 所以()11594444444y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭ 当且仅当33,84x y ==时等号成立。

2018数学高考一轮复习刺金四百题：第396—400题(含答案解析)

感知高考刺金396题已知椭圆22221x y a b +=，12,F F 是椭圆的左、右焦点，,A C 是椭圆上关于x 轴对称的两点，B为短轴的端点，线段AB 恰好过右焦点，若1AB CF ⊥，则椭圆的离心率e = ．解：设()0,B b ，()2,0F c ，()2,BF c b =-，()22,F A BF c b λλλ==-，()(),,A A x c y c b λλ-=-即,A A x c c y b λλ=+=-，则(),C c c b λλ+ 所以12F C bk c c λλ=+，2F B bk c =-1212F C F B bb k kc c c λλ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪+⎝⎭2222cb c λ⇒=- 点A 在椭圆上，所以2222222222222211c c c b b c b c a b ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=化简得2245a c a e =⇒=感知高考刺金397题【2017新课标卷II,理14】若x,y 满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，,则z x y =+的最大值为____________。

解：第一步：由约束条件，画出可行域，如图先确定满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，的可行域，作出3条直线，围成一个三角形区域；第二步：把目标函数()0z ax by b =+≠化为a z y xb b =-+，作直线a y x b =- 将目标函数z x y =+变形为y x z =-+，作直线y x =-；第三步：平移直线a y x b =-，确定目标函数最值把直线y x =-进行平行,确定平移到什么位置截距最大,然后把该点坐标代入z x y =+求最大值.当z 取最大值时，直线y x z =-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到D （1，12），则z x y =+的最大值为23感知高考刺金398题【2017新课标卷II,理14】函数23()sin 4f x x x =+-([0,])2x π∈的最大值是____________．解：()22311cos cos 44f x x x x x =-+-=-++=2(cos 1x --+,由[0,]2x π∈可得cos [0,1]x ∈,当cos x =时,函数()f x 取得最大值1．点评：本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题,二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”,它们常结合在一起,有关二次函数的问题,数形结合、密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面进行分析．感知高考刺金399题【2017全国Ⅱ，文8】函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是____________。

高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第356—360题(含答案解析)

感知高考刺金356题已知实数,x y 满足关系式1xy x y --=，则22x y +的最小值是．解法一：题干中出现的全是两数的和、平方和与乘积，所以考虑用均值不等式链条。

()()()2222221223x y x y xy xy xy xy +=+-=--=--由()()()2224146103x y xy xy xy xy xy xy +≥⇒-≥⇒-+≥⇒≥+或3xy ≤-所以()()2222233236x y xy +=--≥--=-点评：这里注意因为题干中没有告诉我们,x y 的正负性，所以不能直接用1x y xy +=-≥xy 的取值范围，所以改为用重要不等式来222a b ab +≥来做。

虽然答案正好一样，但做法要注意。

解法二：遇到xy 结构，所以用代数的极化恒等式变形。

令,x a b y a b =+=-，则问题转变为已知22210a b a ---=，求()222a b +的最小值。

因为()2222442a b a a +=--所以还需要计算定义域，即2221011b a a a a =--≥⇒≤≥所以()(2min 44216a a f --=-=-解法三：设,1x y a xy a +==+，则,x y 视为210z az a -++=的两根所以2440a a ∆=--≥所以2a ≥+或2a ≤-()()22222222136x y x y xy a a a +=+-=--=--≥-当且仅当2a =-时取得最小值。

感知高考刺金357题已知点P 为圆1O 与圆2O 的公共点，圆()()2221:1O x a y b b -+-=+，圆()()2222:1O x c y d d -+-=+，若8ac =，a c b d=，则点P 与直线:34250l x y --=上任意一点M 之间的距离的最小值为．解：设(),P m n ，1a c b d k==，则b ak =，d ck = 所以()()22221m a n ka k a -+-=+，即()2222210a m kn a m n -+++-=同理()2222210c m kn c m n -+++-=所以,a c 是方程()2222210x m kn x m n -+++-=的两个实根所以2218ac m n =+-=所以点P 的轨迹方程为229x y +=所以点P 到直线:34250l x y --=的最短距离为min 532PM =-=感知高考刺金358题已知向量,a b 满足23a b += ，22a b -= ，则a b 的取值范围是．解：（一）几何角度由()223a b a b +=--= 和12b a -= 可以画图，找到向量模长的几何意义。

高考数学一轮复习感知高考刺金四百题

感知高考刺金11．已知P 是ABC ∆内任一点,且满足AP xAB y AC =+,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ．解法一：令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++,由系数和1x yx y x y+=++,知点Q 在线段BC 上．从而1AP x y AQ+=<．由x 、y 满足条件0,0,1,x y x y >>⎧⎨+<⎩易知2(0,2)y x +∈．解法二：因为题目没有特别说明ABC ∆是什么三角形，所以不妨设为等腰直角三角形，则立刻变为线性规划问题了．2．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点, y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有个．答案：30个感知高考刺金21．定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1[ 1.3]2=-=-，,当*[0)()x n n N ∈∈，时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ,则式子90n a n+的最小值为．【答案】13．【解析】当[)0,1n ∈时,[]0x x ⎡⎤=⎣⎦,其间有1个整数；当[),1n i i ∈+,1,2,,1i n =-时,[]2(1)i x x i i ⎡⎤≤<+⎣⎦,其间有i 个正整数,故(1)112(1)12n n n a n -=++++-=+,9091122na n n n +=+-, 由912n n=得,当13n =或14时,取得最小值13． 2．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两倍同学要站在一起，则不同的站法有种．答案：192种感知高考刺金31．已知直线l ⊥平面α，垂足为O ．在矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，若点A 在l 上移动，点B 在平面α上移动，则O ，D 两点间的最大距离为．解：设AB 的中点为E ，则E 点的轨迹是球面的一部分，1OE =，DE =所以1OD OE ED ≤+=当且仅当,,O E D 三点共线时等号成立．2．将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有种．答案：30种感知高考刺金41．在平面直角坐标系xOy 中，设定点(),A a a ，P 是函数()10y x x=>图象上一动点．若点,P A之间的最短距离为a 的所有值为．解：函数解析式（含参数）求最值问题()222222211112222AP x a a x a x a x a a x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-++-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为0x >，则12x x+≥，分两种情况：（1）当2a ≥时，min AP =，则a （2）当2a <时，min AP ==1a =-2．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有种．答案：90种感知高考刺金51．已知,x y ∈R ，则()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为．解：构造函数1y x =，22y x=-，则(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点分别在两个函数图象上，故所求看成两点(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭之间的距离平方，令222080222y x m x mx m m y x =+⎧⎪⇒++=⇒∆=-=⇒=⎨=-⎪⎩，所以y x =+是与1y x =平行的22y x=-的切线，故最小距离为2d = 所以()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为42．某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有种．答案：140种感知高考刺金61．已知定圆12,O O 的半径分别为12,r r ，圆心距122O O =，动圆C 与圆12,O O 都相切，圆心C 的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的离心率分别为12,e e ，则1212e e e e +的值为（） A ．1r 和2r 中的较大者 B ．1r 和2r 中的较小者 C ．12r r + D ．12r r - 解：取12,O O 为两个焦点，即1c =若C 与12,O O 同时相外切（内切），则121221CO CO R r R r r r -=--+=- 若C 与12,O O 同时一个外切一个内切，则121221CO CO R r R r r r -=---=+ 因此形成了两条双曲线．此时21211212212111221122r r r r e e e e r r r r +-++=-+，不妨设21r r >，则12212e e r e e +=2．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有种．答案：6种感知高考刺金71．已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N ，且M 、N 均在第一象限，当直线1//MF ON 时，双曲线的离心率为e ，若函数()222f x x x x=+-，则()f e = ．解：()222,x y c M a b by x a ⎧+=⎪⇒⎨=⎪⎩ 1F M b k a c =+，所以ON b k a c =+，所以ON 的方程为b y x a c=+，所以22221x y a a c a b N b y xa c ⎧-=⎪⎛⎫+⎪⇒⎨⎪=⎪+⎩又N 在圆222x y c +=上，所以222c ⎛⎫⎛⎫+=所以322220e e e +--=，所以()2222f e e e e=+-=2．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有个．答案：28个感知高考刺金81．已知ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，其中边c 为最长边，且191ab+=，则c 的取值范围是．解：由题意知，,a c b c ≤≤，故1919101a b c c c=+≥+=，所以10c ≥ 又因为a b c +>，而()1991016b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭所以16c <故综上可得1016c ≤<2．从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种．解： 48种感知高考刺金91．在平面直角坐标系xoy 中，已知点A 是半圆()224024x y x x +-=≤≤上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC =时，则点C 的纵坐标的取值范围是．解：设()22cos ,2sin A θθ+，()22cos ,2sin C λλθλθ+，1λ>，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦由20OA OC =得：522cos λθ=+所以()()[]5sin 055sin 2sin 5,522cos 1cos cos 1C y θθθθθθ-=⋅⋅==∈-++--2．编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是种．答案：20种感知高考刺金101．点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，3,2AC BC ==，将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使'B DC ∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后'AB 的最小值是．解：过点'B 作'B E CD ⊥于E ，连结,BE AE ，设'BCD B CD α∠=∠=，则有'2sin ,2cos ,2B E CE ACE πααα==∠=-在AEC ∆中由余弦定理得22294cos 12cos cos 94cos 12sin cos 2AE παααααα⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭在'RT AEB ∆中由勾股定理得22222''94cos 12sin cos 4sin 136sin 2AB AE B E ααααα=+=+-+=-所以当4πα=时，'AB 取2．从1到10这是个数中，任意选取4个数，其中第二大的数是7的情况共有种．答案：45种感知高考刺金111．已知函数()421421x x x x k f x +⋅+=++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围是．解：()421111421212x x x x xk k f x +⋅+-==+++++ 令()110,13212x x g x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦++ 当1k ≥时，()213k f x +<≤，其中当且仅当0x =时取得等号所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需223k +≥，所以14k ≤≤ 当1k <时，()213k f x +≤<，其中当且仅当0x =时取得等号所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需2213k +⋅≥，所以112k -≤<综上可得，142k -≤≤2．在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有种．答案：55种感知高考刺金121．已知函数()2221f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是．解：()()()222111f x x ax a x a x a =-+-=---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 所以()0f x <的解集为()1,1a a -+所以若使()()0f f x <的解集为空集就是1()1a f x a -<<+的解集为空，即min ()1f x a ≥+ 所以11a -≥+，即2a ≤-2．某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3人不同的代表队，则不同获奖情况种数共有种．答案：31116322C C C C 种感知高考刺金131．已知定义在R 上的函数()f x 满足①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图象在区间[]3,3-上的交点个数为．2．若5(1)ax -的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是．答案：2感知高考刺金141．()f x 是定义在正整数集上的函数，且满足()12015f =，()()()()212f f f n n f n +++=，则()2015f = ．解：()()()()212f f f n n f n +++=，()()()()()212111f f f n n f n +++-=--两式相减得()()()()2211f n n f n n f n =--- 所以()()111f n n f n n -=-+ 所以()()()()()()()()201520142201420132012121201512015201420131201620152014320161008f f f f f f f f =⋅⋅=⋅⋅⋅== 2．某次文艺汇演，要将A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：有种．答案：144种感知高考刺金151．若,a b 是两个非零向量，且a b a b λ==+，λ⎤∈⎥⎣⎦，则b 与a b -的夹角的取值范围是．解：令1a b ==，则1a b λ+=设,a b θ=，则由余弦定理得()22221111cos 1cos 22λπθθλ+--==-=-又λ⎤∈⎥⎣⎦，所以11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以由菱形性质得25,,36b a b ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦2．若(nx 的展开式中第三项系数等于6，则n = ．答案：12感知高考刺金161．函数()22f x x x =+，集合()()(){},|2A x y f x f y =+≤，()()(){},|B x y f x f y =≤，则由AB 的元素构成的图形的面积是．解：()()(){}()()(){}22,|2,|114A x y f x f y x y x y =+≤=+++≤()()(){}()()(){},|,|22B x y f x f y x y x y x y =≤=-++≤画出可行域，正好拼成一个半圆，2S π=2．甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两公司各承包2项，共有承包方式种．答案：1680种感知高考刺金171．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，112AE AB =，在面ABCD 中取一个点F ，使1EF FC +最小，则这个最小值为．解：将正方体1111ABCD A B C D -补全成长方体，点1C 关于面ABCD 的对称点为2C ，连接2EC 交平面ABCD 于一点，即为所求点F ，使1EF FC +最小．其最小值就是2EC ．连接212,AC B C ，计算可得2121AC B C AB ==，所以12AB C ∆为直角三角形，所以2EC = 2．若()62601261mx a a x a x a x +=++++ 且123663a a a a ++++=，则实数m 的值为．答案：1或-3感知高考刺金181．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的两条渐近线于点,P Q ．若点P 是线段1F Q 的中点，且12QF QF ⊥，则此双曲线的离心率等于．解法一：由题意1F P b =，从而有2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又点P 为1F Q 的中点，()1,0F c -，所以222,a ab Q c c c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭所以222ab b a c c a c ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，整理得224a c =，所以2e =解法二：由图可知，OP 是线段1F P 的垂直平分线，又OQ 是12Rt F QF ∆斜边中线，所以1260FOP POQ QOF ∠=∠=∠=，所以2e = 解法三：设(),,0Q a m b m m >，则()1,Q F c a m b m =---，()2,QF c am bm =--由()()12,,0QF QF c am bm c am bm ⊥⇒-----=，解得1m = 所以(),Q a b ，,22a c b P -⎛⎫ ⎪⎝⎭所以22b b a ca -=-⋅，即2c a =，所以2e = 2．现有甲、已、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、已、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为．答案：18感知高考刺金191．已知O 为坐标原点，平面向量,,OA OB OC 满足：24OA OB ==，0OA OB =，()()20OC OA OC OB --=，则对任意[]0,2θπ∈和任意满足条件的向量OC ，cos 2sin OC OA OB θθ-⋅-⋅的最大值为．解：建立直角坐标系，设()()(),,4,0,0,2C x y A B 则由()()20OC OA OC OB --=，得22220x y x y +--=(cos 2sin OC OA OB x θθ-⋅-⋅=等价于圆()()22112x y -+-=上一点与圆2216x y +=上一点连线段的最大值即为42．已知数列{n a }的通项公式为121n n a -=+，则01n a C +12n a C +33n a C ++1nn n a C += ．答案：23n n +感知高考刺金201．已知实数,,a b c 成等差数列，点()3,0P -在动直线0ax by c ++=（,a b 不同时为零）上的射影点为M ，若点N 的坐标为()2,3，则MN 的取值范围是．解：因为实数,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，方程0a x b y c ++=变形为2()20ax a c y c +++=，整理为()2(2)0a x y c y +++=所以2020x y y +=⎧⎨+=⎩，即12x y =⎧⎨=-⎩，因此直线0ax by c ++=过定点()1,2Q -画出图象可得90PMQ ∠=，PQ =点M 在以PQ 为直径的圆上运动，线段MN 的长度满足FN MN FN ≤≤即55MN ≤2．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是个．答案：48感知高考刺金211．已知函数是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()()2502161122xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩．若关于x 的方程()()20,,f x af x b a b ++=∈⎡⎤⎣⎦R ，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是．解：设()t f x =，问题等价于()20g t t at b =++=有两个实根12,t t ，12501,14t t <≤<<或1255,144t t =<<所以()()0091014504g g h a g ⎧⎪>⎪⎪≤⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩或()5124591024504a g h a g ⎧<-<⎪⎪⎪>⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩综上， 5924a -<<-或914a -<<-2．在24的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有项．答案：5感知高考刺金221．已知椭圆221:132x y C +=的左、右焦点为12,F F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线与2l 的交点的轨迹为曲线2C ，若()()()11221,2,,,,A B x y Cx y 是2C 上不同的点，且AB BC ⊥，则2y 的取值范围是．解：由题意22:4C y x =设:(2)1AB l x m y =-+代入22:4C y x =，得()24840y my m -+-= 所以142y m =-，()()2144121x m m m =-+=- 设()21:(42)21BC l x y m m m =--++-代入22:4C y x =，得()2248164210y y m m m ⎡⎤+++--=⎢⎥⎣⎦所以122442y y m y m+=-+=- 所以(][)2442,610,y m m=--+∈-∞-+∞2． 5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有________种．(用数字作答)答案：72感知高考刺金231．数列{}n a 是公比为23-的等比数列，{}n b 是首项为12的等差数列．现已知99a b >且1010a b >，则以下结论中一定成立的是．（请填上所有正确选项的序号） ①9100a a <；②100b >；③910b b >；④910a a >解：因为数列{}n a 是公比为23-的等比数列，所以该数列的奇数项与偶数项异号，即：当10a >时，2120,0k k a a -><；当10a <时，2120,0k k a a -<>；所以9100a a <是正确的；当10a >时，100a <，又1010a b >，所以100b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的．故知：910b b >当10a <时，90a <，又99a b >，所以90b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的．故知：910b b >综上可知，①③一定是成立的．2．设5nx （的展开式的各项系数之和为M , 二项式系数之和为N ，若M -N ＝240, 则展开式中x 3的系数为．答案：150感知高考刺金241．已知集合(){}2,|21A x y y xbx ==++，()(){},|2B x y y a x b ==+，其中0,0a b <<，且AB 是单元素集合，则集合()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤对应的图形的面积为．解：()()()2221221202y x bx x b a x ab y a x b ⎧=++⎪⇒+-+-=⎨=+⎪⎩ ()()2222241201b a ab a b ∆=---=⇒+=所以由2210,0a b a b ⎧+=⎪⎨<<⎪⎩得知，圆心(),a b 对应的是四分之一单位圆弧MPN （红色）．此时()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤所对应的图形是以这四分之一圆弧MPN 上的点为圆心，以1为半径的圆面．从上到下运动的结果如图所示：是两个半圆（ABO 与ODE ）加上一个四分之一圆（AOEF ），即图中被绿实线包裹的部分。

高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第391—395题(含答案解析)

感知高考刺金391题在平面直角坐标系xOy 中，,A B 为x 轴正半轴上两个动点，点P （异于原点）为y 轴上的定点，若以AB 为直径的圆与圆()2221x y +-=相外切，且APB ∠的大小为定值，则线段OP 的长为．解：设以AB 为直径的圆的圆心为(),0t ，半径为r则()(),0,,0A t r B t r -+1r + 而tan t r OPB OP +∠=，tan t r OPA OP-∠= ()222222tan tan 231t r t r r OP r OP OP OP APB OPB OPA t r t r OP t r OP r OP OP+--⋅⋅∠=∠-∠===+-+-+-+⋅ 因为APB ∠的大小为定值，故上式与r无关，则OP =tan APB ∠ 点评：这又是一个山高模型的好题。

感知高考刺金392题已知()()2131124f x ax x t x t =---≤≤+，若()()max min 14f x f x -≥对任意t ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是．解：()21324f x ax x =--与2y ax =的图象完全“全等”，即可以通过平移完全重合。

因为11t x t -≤≤+且t ∈R ，即用一个区间宽度为2的任意区间去截取函数图象，使得图象的最高点与最低点间的纵坐标之差大于14因此取纵坐标之差最小的状态为()()211f x ax x =-≤≤，此时()()max min 104f x f x a -=-≥ 故14a ≥ 点评：本题是考查了二次函数的本质，要充分理解“a 管开口”这句话的真正含义，不仅只管抛物线开口方向，还决定了开口的大小程度。

同类型关于“一只碗”的题还有很多，大家要注意，掌握好了，在选择填空题中可以秒杀。

但大题要注意书写，至少说清楚每个步骤后面的奥秘。

感知高考刺金393题已知点()3,4P 和圆()22:24C x y -+=，,A B 是圆C 上两个动点，且AB =，则()O P O A O B +（O 为坐标原点）的取值范围是．解：取AB 的中点为(),D x y ，则弦心距1CD ==，所以点D 的运动轨迹为()2221x y -+=，()268OP OA OB OP OD x y +==+由()2221cos 2,sin x y x y θθ-+=⇒=+=所以()()[]686cos 8sin 1210sin 122,22OP OA OB x y θθθϕ+=+=++=++∈点评：圆的问题，弦心距是必添的辅助线，千万不能忘记。

高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第1—5题(含答案解析)

感知高考刺金11．已知P 是ABC ∆内任一点,且满足AP xAB y AC =+,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ．解法一：令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++,由系数和1x y x y x y+=++,知点Q 在线段BC 上．从而1APx y AQ +=<．由x 、y 满足条件0,0,1,x y x y >>⎧⎨+<⎩易知2(0,2)y x +∈．解法二：因为题目没有特别说明ABC ∆是什么三角形，所以不妨设为等腰直角三角形，则立刻变为线性规划问题了．2．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点, y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有个．答案：30个感知高考刺金21．定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1[ 1.3]2=-=-，,当*[0)()x n n N ∈∈，时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ,则式子90n a n+的最小值为．【答案】13．【解析】当[)0,1n ∈时,[]0x x ⎡⎤=⎣⎦,其间有1个整数；当[),1n i i ∈+,1,2,,1i n =-时,[]2(1)i x x i i ⎡⎤≤<+⎣⎦,其间有i 个正整数,故 (1)112(1)12n n n a n -=++++-=+,9091122na n n n +=+-, 由912n n=得,当13n =或14时,取得最小值13． 2．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两倍同学要站在一起，则不同的站法有种．答案：192种感知高考刺金3 1．已知直线l ⊥平面α，垂足为O ．在矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，若点A 在l 上移动，点B 在平面α上移动，则O ，D 两点间的最大距离为．解：设AB 的中点为E ，则E 点的轨迹是球面的一部分，1OE =，DE =所以1OD OE ED ≤+=当且仅当,,O E D 三点共线时等号成立．2．将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有种．答案：30种感知高考刺金41．在平面直角坐标系xOy 中，设定点(),A a a ，P 是函数()10y x x=>图象上一动点．若点,P A之间的最短距离为a 的所有值为．解：函数解析式（含参数）求最值问题()222222211112222AP x a a x a x a x a a x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-++-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 因为0x >，则12x x+≥，分两种情况：（1）当2a ≥时，min AP ==，则a（2）当2a <时，min AP ==1a =-2．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有种．答案：90种感知高考刺金51．已知,x y ∈R ，则()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为．解：构造函数1y x =，22y x =-，则(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点分别在两个函数图象上，故所求看成两点(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭之间的距离平方，令222080222y x m x mx m m y x =+⎧⎪⇒++=⇒∆=-=⇒=⎨=-⎪⎩，所以y x =+1y x =平行的22y x =-的切线，故最小距离为2d =所以()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为4 2．某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有种．答案：140种。

高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第91—95题(含答案解析)

感知高考刺金911．若,x y 满足()()22221log 4cos 434cos xy y y xy ⎡⎤+=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则cos4y x =。

解：()()()222221log 4cos 432114cos xy y y y xy ⎡⎤+=-+-=--+≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦又()()22221log 4cos log 214cos xy xy ⎡⎤+≥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以()()2221log 4cos 14cos xy xy ⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦即()()2214cos 24cos 2xy xy y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得()1cos 22xy y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或()1cos 22xy y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以()2cos422cos 211y x x =-=-评注：本题是夹逼原理的应用。

2．已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出产品个。

解：33371035n n C C C -≥，即()()12310985n n n --≥⋅⋅，解得9n ≥感知高考刺金921．已知ABC ∆是边长为的正三角形，EF 为ABC ∆的外接圆O 的一条直径，M 为ABC ∆的边上的动点，则ME MF 的取值范围是。

解：ABC ∆的外接圆O 的半径为2 由极化恒等式可得22244EF ME MF MO MO =-=- 由图易得[]1,2OM ∈，所以[]3,0ME MF ∈-2．已知P 箱中有红球1个，白球9个，Q 箱中有白球7个，（P 、Q 箱中所有的球除颜色外完全相同）．现随意从P 箱中取出3个球放入Q 箱，将Q 箱中的球充分搅匀后，再从Q 箱中随意取出3个球放入P 箱，则红球从P 箱移到Q 箱，再从Q 箱返回P 箱中的概率等于。

解：121219************C C C C P C C =⋅=感知高考刺金931．在ABC ∆中，6AC =，7BC =，1cos 5A =，O 是ABC ∆的内心，若OP xOA yOB =+，其中01,01x y ≤≤≤≤，则动点P 的轨迹所覆盖的面积为。

高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第256—260题(含答案解析)

感知高考刺金256题已知非零向量a 和b 互相垂直，则a b +和2a b +的夹角余弦值的最小值是．解：()()2222222cos24a b a ba b a b ab a b θ++==+⋅+++令22,a x b y ==，则cos 3θ=感知高考刺金257题已知正数,a b 满足1910a b a b +++=，则a b +的取值范围是．解：设a b t +=，则1910t a b +=-又因为()1991916b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥ ⎪⎝⎭即()1016tt -≥，解得28t ≤≤当且仅当13,22a b ==时，2a b +=；当且仅当2,6a b ==时，8a b +=感知高考刺金258题已知实数,0x y >，若22x y +，则3x y +的最小值是．解法一：待定系数法1,02y x λλλ⎛⎫+> ⎪⎝⎭ 1122212222y x y x y x x y λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭待定系数法，令11:21:322λλ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得13λ= 故1237x y +≥，当且仅当91,77x y ==时取得解法二：()()()(32321321x y x y x y x y λλλλλ+-=+---+-令10=，即76λ=时，1237x y +≥，当且仅当91,77x y ==时取得解法三：三角换元设a b =2222a ab b ++=，求223a b +的最小值令cos a r θ=，b θ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0r >，2223a b r += 故问题又转化为已知222222cos sin sin cos 23r r θθθθ+=，求2r 的最小值于是2222261cos sin cos sin 23536r πθθθθθ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭ 因为0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故2212,37r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦评注：这里又遇到)22a +的结构，故可三角换元设cos a r θ=，b θ=，10月1日每日征解有相同的处理方法。

高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第376—380题(含答案解析)

感知高考刺金376题设函数()3,f x x a a a x=--+∈R ，若关于x 的方程()2f x =有且仅有三个不同的实数根，且它们成等差数列，则实数a 的取值构成的集合是．解：3322x a a x a a x x--+=⇒-+=+ 方程的根有且仅有三个，即左右两个函数的交点有且仅有三个，故考查函数1,2,x x a y x a a a x x a≥⎧=-+=⎨-<⎩与232y x =+的图象这里要注意1y x a a =-+的图象虽然随着a 的变化在移动，但是有规律的移动，“V ”型图的尖底(),a a 是沿着y x =移动的，而232y x =+的图象是确定不变的。

由322a x x+=-解得()11x a =- ()21x a =-+ 由32x x+=解得31x =-，43x = 故画出图象只有两种情况（两个交点在第三象限，一个在第一象限（此时0a <）或三个交点都在第一象限（此时0a >））即1312x +=-⋅（如左图）或1232x x +=（如右图）即()9155a a --⇒=-或()()1321a a -=-+24810340a a a a ⇒-⇒--=⇒=又因为此时0a >，故a =综上，95333,5a ⎧⎫+⎪⎪∈-⎨⎬⎪⎪⎩⎭感知高考刺金377题已知锐角ABC ∆的内角3A π=，点O 为三角形外接圆的圆心，若OA xOB yOC =+，则2x y -的取值范围是．解法一：这是典型的求平面向量基本定理系数和问题，常用“作三点共线”的办法来解决。

由3A π=，得23BOC π∠=，不妨如图固定,,O B C 三点，因为ABC ∆是锐角三角形，所以点A 在'DC 上运动，取OB 的中点为'B()2''OA xOB yOC xOB y OC =+=+-这样就构造出了系数和2x y -作直线OA 与直线''B C 交于E ，于是作出了',',B C E 三点共线。

高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第301—305题(含答案解析)

感知高考刺金301已知正数,x y 满足()()11124x y y x y x+=++，则xy 的最大值为．解：()()112424x yxy xy x y y x y x x y x y⎡⎤=+=+⎢⎥++++⎣⎦ 解法一：令2,4x y u x y v +=+=，得42,77u v v ux y --==则426142477777x y u v v u v u x y x y u v u v --⎛⎫+=+=-+≤ ⎪++⎝⎭当且仅当u v =，即3x y =时取得等号。

解法二：112424x y y x x y x y x y+=+++++令yt x =，则()2222115149211161442122414924924t t t t t t t t t t t t t t+++++++=+==++++++++ 令15142t m +=，则4215m t -=原式2211444242424249249215151515m mm m m m =+=+----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2122512251941964644761964428764476m m m m m=+=+≤+=++++ 当且仅当74m =，即13t =时取得等号感知高考刺金302设函数()()()()()0101111(),,(),1,222x n n n f x f x f x f x f x n n N-==-=-≥∈，则方程()()12n f x n n =+有个实数根．解：令1()()2n g n n =+，问题化为观察)(x f n 与)(n g 图像的交点有几个．由于)(0x f 是偶函数，故)(x f n 是偶函数，只要考虑0x ≥时的交点个数．n =1时，)(1x f 的图像是把)(0x f 的图像下移12，再把x 轴下的图像往上翻而得，1max 1()2f x =，有1个零点，以零点为界，)(1x f 呈“减增”状态，最后趋于12，如图1，有2个交点；n =2时，)(2x f 的图像是把)(1x f 的图像下移212⎛⎫⎪⎝⎭，再把x 轴下的图像往上翻而得，2max 21()2f x =，有2个零点，以2个零点为界，)(2x f 呈“减增减增”状态，最后趋于212⎛⎫⎪⎝⎭，如图2，有22个交点；……n = n ≥2时，max 11()()()()22n n n f x g n n =>=+，且有12n -个零点以12n -个零点为界，)(x f n 呈“减增减增…减增”状态，最后趋于12n⎛⎫⎪⎝⎭，故)(x f n 的每1个零点都对应产生2个两函数图像的交点，∴有1222n n -⋅=个交点，再由对称性知x <0时，也有2n 个交点，故共有12n +个交点，从而原方程有12n +个实根感知高考刺金303已知数列{}n a 满足1234n n n a a a ++=+*()n ∈N ．设*( n n n a b n a λλμμ-=∈-N , , 为均不等于2的且互不相等的常数，若数列{}n b 为等比数列，则λμ的值为．解：11123344222323424n n n n n n n n n a a a a b a a a a λλλλλμμμμμ++++⎡⎤--+⎢⎥-+--===⎢⎥-+--⎢⎥+--⎢⎥+⎣⎦因为数列{}n b 为等比数列，所以342λλλ--=-，342μμμ--=-，且公比为22λμ--，故λμ, 为方程342x x x --=-的两不等实根，从而3λμ=-．感知高考刺金304已知22()9,f x x x kx =-++若关于x 的方程()0f x =在()0,4上有两个实数解，则k 的取值范围是 .解：()0f x =可以转化为22|9|x x kx -+=-，记22()|9|g x x x =-+，则()0f x =在()0,4上有两个实数解，可以转化为函数2229,03()929,34x g x x x x x <≤⎧=-+=⎨-<<⎩与()h x kx =-的图象，结合图像和特殊点(3,9),(4,23)A B 可知23(,3)4k ∈--感知高考刺金305已知向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，2=b ，则⋅a c 的值为．解：易得1123tan tan()1 11123C A B +=-+==-⨯-，sin sin sin A B C =从而2 1===由得，a c ac 45⋅=则 a c 评注：这个题要注意向量的夹角是共起点的，所以要特别留意取本身还是补角。

高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第236—240题(含答案解析)

★已知函数()()2,t f x x t t t =--∈R ，设a b <，()()()()()()(),,a a b ba b f x f x f x f x f x f x f x <⎧⎪=⎨≥⎪⎩，若函数()y f x x a b =++-有四个零点，则b a -的取值范围是．解：()()2,t f x x t t t =--∈R 是开口形状确定，顶点(),t t -在y x =-上运动的抛物线，于是当,a b 取不同值时所对应的函数()f x 图象如图所示，是“W 型”的图象交点横坐标由()()22x a a x b b --=--解得12a b x +-= 函数()y f x x a b =++-有四个零点，可视为直线y x b a =-+-与函数()y f x =有四个交点，故只需两条抛物线的“交叉点”到直线y x =-的竖直距离大于b a -即可。

故21122b a b a b a ----⎛⎫+>- ⎪⎝⎭，解得25b a ->+感知高考刺金237题在ABC ∆中，若2AB =，2210AC BC +=，则ABC ∆的面积取得最大值时，最长的边长等于．解法一：设CH h =，AH x =，由题知2210a b +=，2c =，12ABC S ch h ∆== 因为()()22222222223144h b x a x h x x x =-=--⇒=-++=--+≤ 故()max 2ABC S ∆=，当且仅当1x =时，取得最大值，此时5,2a b c ===解法二：由余弦定理知2222239cos sin 2AC BC AB AC BC C C AC BC AC BC+-⋅-==⇒=⋅⋅ 故22222111sin 9922222ABC AC BC S AC BC C AC BC ∆⎛⎫+=⋅⋅=⋅-≤-= ⎪ ⎪⎝⎭ 当且仅当5AC BC ==时，等号成立，故最长边为5如图，,C D 在半径为1的O 上，线段AB 是O 的直径，则AC BD 的取值范围是．解法一：极化恒等式角度 ()AC BD AD DC BD DC DB =+=- 显然当,DC DB 均为O 的直径时，DC DB 最大为4；取BC 的中点M ，则由极化恒等式知()2222221111222DM OM OD DC DB DM BM DM OM +=-=+-≥-≥-=-故14,2AC BD ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 解法二：投影角度AC BD AC CE =要求max AC BD ，显然在AC 确定的情况下，CE 最大。

高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第41—45题(含答案解析)

感知高考刺金411．已知m ∈R ，函数()()221,1log 1,1x x f x x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩，()2221g x x x m =-+-，若函数()y f g x m =-⎡⎤⎣⎦有6个零点，则实数m 的取值范围是．解：令()g x t =，则函数()y f g x m =-⎡⎤⎣⎦有6个零点等价于()f t m =恰有三个实根且对应()g x t =有6个实根．函数()()221,1log 1,1x x f x x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩与y m =图象有三个交点，其横坐标分别为123,,t t t ．如图所示，其中最小的根112m t +=- 结合图象可知，要满足()g x t =有6个实根需使()1min 1222m t g x m +=->=-，且0m > 解得305m <<2．集合{}321234|101010A x x a a a a ==⨯+⨯+⨯+，其中{}1,2,3,4,14,i a i i ∈≤≤∈N ，则集合A 中满足条件：“i a 中1a 最小，且12233441,,,a a a a a a a a ≠≠≠≠”的元素有个．解：本题可理解为涂色问题，四个格子，相邻两格不同数字，头尾两个数字也不同，且第一格数字最小．第一格填1，则第二格有13C 种选择，第三格填的数字与第一格相同填1，则第四格有13C 种选择，因此共9种选择；第一格填2，则第二格有12C 种选择，第三格填的数字与第一格相同填2，则第四格有12C 种选择，因此共4种选择；第一格填3，则第二格有1种选择填4，第三格填的数字与第一格相同填3，则第四格有1种选择填4，因此共1种选择；第一格填1，则第二格有13C 种选择，第三格填的数字与第一格不同有12C 种选择，，则第四格有12C 种选择，因此共12种选择；第一格填2，则第二格有12C 种选择，第三格填的数字与第一格不同有11C 种选择，，则第四格有1种选择，因此共2种选择；因此共有94112228++++=种．感知高考刺金421．已知函数()()20f x ax bx c a =++≠的图象过点()1,0，且对任意的x ∈R 都有不等式()23231x f x x x --≤≤+-成立．若函数()()222y f x f x mx m =---有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是．解：由题夹逼形式知，令23231x x x --=+-，解得1x =-．当1x =-时，()212f -≤-≤-，即()12f -=-，所以2a b c -+=-又()10f =，即0a b c ++=所以1,1b c a ==--再由2231231x ax x a x x --≤+--≤+-对任意的x ∈R 恒成立即2420ax x a ++-≥且()2220a x x a ---≤对任意的x ∈R 恒成立所以()()164204420020a a a a a a --≤⎧⎪+-≤⎪⎨>⎪⎪-<⎩，解得1a =，所以()22f x x x =+-函数()()222y f x f x mx m =---有三个不同的零点即(][)()()22222222,,21,222222224,2,1mx m x y x x x x mx m x m x m x ⎧+∈-∞-+∞⎪=+---+--=⎨--+-+∈-⎪⎩有三个不同零点则必有2220mx m +=在(][),21,x ∈-∞-+∞上有一解，且()22222240x m x m --+-+=在()2,1x ∈-上有两解．由2220mx m +=在(][),21,x ∈-∞-+∞上有一解得2m -≤-或1m -≥，即2m ≥或1m ≤-．由()22222240x m x m --+-+=在()2,1x ∈-上有两解转化为2222422x x mx m ++=+有两解即二次函数与一次函数相切的临界状态由()()22228420m m ∆=++-=解得m =结合图象得1271m ⎛⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2．若21n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()*n N ∈的二项展开式中第5项为常数项，则n =．答案：T 5＝C n 4(x 2)n －4·(1x)4＝C n 4x 2n －12，令2n －12＝0，得n ＝6 感知高考刺金431．在平面直角坐标系xoy 中，若动点(),Pa b 到直线1:l y x =，2:1l y x =-+的距离分别为12,d d满足122d d +=22a b +的最大值为．解：12d d == 122d d +==214a b a b -++-= 画出可行域如图，是个平行四边形ABCD ．22a b +可以视为平行四边形ABCD 上的点(),P a b 到原点的距离的平方故当(),P a b 取35,22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭或53,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，()22max 172a b += 2．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成_______个数字不重复且2，3相邻的四位数．答案：60感知高考刺金441．对于实数,a b ，定义运算“∆”：()2a b a b ∆=-．已知实数12,x x 满足y =y 的最小值为．解：y=等价于1y xx=+上的点()11,P x y与y=上的点()22,Q x y连线段的最小值，也就等价于圆心()0,0O与1y xx=+上的点()11,P xy连线长度的最小值减1．所以OP=当且仅当11x=时，min1y=2．若3162323n nC C++=2012((3)n nnn N x a a x a x a x*∈-=++++)且，则012(1)nna a a a-+-+-=．答案：256感知高考刺金451．在面积为2的ABC∆中，,E F分别是,AB AC 的中点，点P在直线EF上，则2PC PB BC+的最小值是．解：取BC的中点为D，连接PD，则由极化恒等式得22222222334444BC BC AD BCPC PB BC PD BC PD+=-+=+≥+此时当且仅当PD BC⊥时取等号22222332234444AD BC AD BCPC PB BC+≥+≥=2．某高校外语系有8名志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项比赛的翻译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有种．答案：45种。

高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第101—105题(含答案解析)

感知高考刺金1011．在ABC ∆和AEF ∆中，B 是EF 的中点，1AB EF ==，6BC =，CA =，若2AB AE AC AF +=，则EF 与BC 的夹角余弦值为。

解法一：2AB AE AC AF +=，则()()2AB AB BE AC AB BF +++= ()22AB AB BE AC AB AC BF +++=因为21AB =，3311AB AC ==-，BE BF =- 所以()112BF AC AB +--=所以2BF BC = 所以16cos 22θ⋅=，所以2cos 3θ= 解法二：设,,AEx AF y CF z=== 则222114122x x x +-⋅⋅= 22232904x y z +-+= 又因为AB 为AEF ∆中线，所以()222242AB EF AE AF +=+，即2252x y += 所以21324z = 在CBF ∆中，113632244cos 13262θ+-==⋅⋅ 2．一个口袋里装着一个红球、一个黄球、一个蓝球、一个白球，这些小球除了颜色之外，没有区别，从中一次性摸出2个球。

若摸得红球记3分，摸得黄球记2分，摸得蓝球记1分，摸得白球得0分，则得分和至少为4分的概率是。

解：得分和至少为4分的情况为摸出红和黄或摸出红和蓝，故24213P C ==感知高考刺金1021．将正方形的四个角（四个全等的小等腰直角三角形）分别沿其底边向同侧折起，使其与原所在平面成直二面角，则所形成的空间图形的12条棱所在的直线中，共有异面直线对。

解：可以将空间图形放回正方体内，问题就转化为8条侧面对角线与底面4条棱所在直线组成几对异面直线。

以对角线BE 为一条，共有,,AH GD FC 三条对角线异面，共有38122⋅=对还有,AD CD 两条底边棱异面，共有2816⋅=对所以共有28对。

2．某次中俄军演中，中方参加演习的有4艘军舰，3架飞机；俄方有5艘军舰，2架飞机。