流体力学动力学

a,b同号，流线是双曲线a,b异号,流线是圆。
(3)由欧拉运动微分方程式，不计质量力：
1
p x
uy
ux y
abx
1
p y
ux
u y x
aby
将方程组化为全微分形式: 1 (p dx p dy) ab(xdx ydy)
x y
1 dp ab(xdx ydy)
积分，得
p ab x2 y 2 c'
u z y
u x z
u y z
u z x
xy
yx
u y x
u x y
（4—13）
3．粘性流体运动微分方程
采用类似于推导理想流体运动微分方程式（4—6）的方 法，取微小平行 六面体，根据牛顿第二定律建立以应力(包括切应 力)表示的运动微分方程式，并以式(4—12)、式(4—13)代人整
理，使得到粘性液体运动微分方程：
上发生线变形(伸长或缩短)引起的。
p p
xx yy
p p
pxx pyy
p
2
u x x
p
2
u y y
pzz
p
pzz
p
2
u z z
（4—12）
切应力与角变形速度的关系，在简单剪切流动中符合牛顿
内摩擦定律
u du
dy
将牛顿内摩擦定律推广到一般空间流动,得出
yz zx
zy xz
式中： 2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
——拉普拉斯算子。
自欧拉提出理想流体运动微分方程以来，法国工程师纳维
(Claude.Louis.Marie.Henri. Navier，1785.2.10~1836.8.21，法国力
学家、工程师 )、英国数学家斯托克斯(Stokes 1819~1903 )等人 经过近百年的研究，最终完成现在形式的粘性流体运动微分方 程，又称为纳维—斯托克斯方程(简写为N—S方程)。
2
令p=常数 即得等压面方程
x2 y2 c
等压面是以坐标原点为中心的圆。
X Y
1
1
p x
2 u x
p y
2 u
y
u x t
u y t
ux ux
u x x
u y x
uy uy
u y y
u y y
uz uz
u z z
u y z
Z
1
p z
2uz
u z t
ux
u z x
uy
u z y
uz
u z z
用矢量表示为
f
1
p 2u
u t
u u
（4—14） （4—15）
p px, y, z, t
（4—11）
2.应力和变形速度的关系
粘性流体的应力与变形速度有关，其中法向应力与线变形 速度有关，切应力则与角变形速度有关。
流动中某点的动压强是过该点三个相互正交平面上法向应
力的平均值，同某一平面上的法向应力有一定差值，称为附加
法向应力，以 p' xx, p' yy, p' zz表示，它是流体微团在法线方向
N—S方程表示作用在单位质量流体上的质量力、表面力 (压力和粘性力) 的相平衡。由N—S方程式和连续性微分方程式 组成的基本方程组，原则上可以求解速度场和压强场p,可以说 粘性流体的运动分析，归结为对N—S方程的研究。
[例4—1] 理想流体速度场为 ux ay,uy bx,uz 0, a,b
进—步研究证明，任一点任意三个正交面上的法向应力之和都
不变，即 pxx p yy pzz p p p
（4—9）
据此，在粘性流体中，把某点三个正文面上的法向应力的
平均值定义为该点的动压强以p表示：
பைடு நூலகம்
p
1 3
p xx p yy p zz
（4—10）
如此定义，粘性流体的动压强也是空间坐标和时间变量的函数
在运动的理想流体中，取微小平行六面 体(质点)，正交的三个边长dx,dy,dz,分别平行 于x,y,z坐标轴(图4—1)。设六面体的中心点
o‘，速度压强ｐ，分析该微小六面体ｘ方向
的受力和运动情况。 1.表面力：理想流体内不存在切应力．只有
压强ｘ方向受压面(abcd面和a‘b’c‘d’面)形心
点
图4—1连续性微分方程
微分方程式。对于理想流体的运动，含 ux, uy, uz 有和
ｐ四个未知量，由式(3—30)和式(3—36)组成的基本
方程组，满足未知量和方程式数目一致，流动可以求 解。因此说，欧拉运动微分方程和连续性微分方程奠 定了理想流体动力学的理论基础。
第二个角标表示应力的方向，则法向应力
p xx p yy p zz
为常数。试求：（1）流动是否可能实现；（2）流线方程；
（3）等压面方程(质量力忽略不计)
[解] (1)由连续性微分方程 ux uy uz 0
x y z
满足连续性条件，流动是可能实现的。
(2)由流线方程 得：
dx dy
ux
uy
dx dy
ay bx
bxdx aydy
积分得流线方程 bx2 ay2 c
u x z
u y z
Z
1
p z
u z t
ux
u z x
uy
u z y
uz
u z z
用矢量表示为：
f
1
p
u t
u u
（4—6）
（4—7） （4—8）
上式即理想流体运动微分方程式，又称欧拉运动 微分方程式。该式是牛顿第二定律的表达式，因此是 控制理想流体运动的基本方程式。
1755年欧拉在所著的《流体运动的基本原理》中 建立了欧拉运动微分方程式，及上一节所述的连续性
第四章 流体动力学基础
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
流体的运动微分方程 元流的伯努利方程 总流的伯努利方程 总流的动量方程 理想流体的无旋流动
第一节 流体的运动微分方程
连续性微分方程是控制流体运动的运动 学方程，还需建立控制流体运动的动力学方 程这就是液体的运动微分方程。这就是流体 的运动微分方程这就是液体的运动微分方程。 一、理想流体运动微分方程
+ Xdxdydz
dxdydz dux
dt
化简得：
X Y
1
1
p x
p y
du x dt
du y dt
Z
1
p z
du z dt
将加速度项展成欧拉法表达式 :
X Y
1
1
p x
p y
u x t
u y t
ux ux
u x x
u y x
uy uy
u x y
u y y
uz uz
的压强为：p M
p
1 2
p x
dx
pN
p
1 2
p x
dx
受压面上的压力为：
PM pM dydz
PN pN dydz
质量力： FBx Xdxdydz
（4—1） （4—2）
（4—3）
（4—4） （4—5）
由牛顿第二定律
Fx
m
dux dt
得：
[(
p
1 2
p x
dx
) -(
p
1 2
p x
dx
)
] dydz