流体力学动力学
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流体力学流体动力学完美版PPT
h ' h
气〔ρ〕-液〔ρ’〕 h ' h
解：水温40℃，汽化压强为7.38kPa 大气压强 pa 97.3103 10m
g 99.229.807
汽化压强
pgv 979.3.22891.803070.76m
p 12 v 1 2 ag 注z2意 z ：1 z 2-p z2 1 ——2 v 2 2 下 游p 断w面高 度减上游断面高度〔±〕； ——用相对ρ压a-ρ强—计—算外的界气大体气伯密努度利减方管程内
常与连续性微分方程 ux uy uz 0 联立 x y z
2.粘性流体运动微分方程〔粘性作用→切应力〕
f 1 p 2 u d u u u u d t t
——纳维-斯托克斯方程〔N-S方程〕
分量式
X 1 p x 2 u x u tx u x u x x u y u y x u z u z x
pAagz2z1v 2 29v 2 2
1 9 2 .8 1 .2 0 .8 9 .8 4 0 0 0 .8 v 2 9 0 .8 v 2
2
2
1 1 18 528 .6 7 2.48 即 27 2 6.6 724 .48
Y 1 p y 2 u y u ty u x u x y u y u y y u z u z y Z 1 p z 2 u z u tz u x u x z u y u y z u z u z z
元流的伯努利方程
1.理想流体元流的伯努利方程 〔1〕推导方法一
将〔1〕、〔2〕、〔3〕各式分别乘以dx、dy、 dz，并相加
g 2g
单位重量流体的机械能守恒〔总水头不变〕
2.粘性流体元流的伯努利方程
z1pg 12 u1 g 2 z2pg 22 ug 2 2hw'
4-2流体动力学 流体力学
u x dy u y dx = 0
u y u x = y x
ψ ψ , uy = ux = y x
dψ = u x dy u y dx
ψ ψ dψ = dx + dy x y
流函数的极坐标表达式
dψ = ur rdθ uθ dr
ψ 1 ψ , uθ = ur = r θ r
特征1
平面无旋流的流函数也满足拉普拉斯方程
(2) 源环流与汇环流 将强度为q的源流和强度为Г 的环流都放置在坐标原点上, 使流体既作圆周运动,又作径 向运动,称为源环流. 水在离心式水泵压水室(蜗 壳)叶轮内的流动,空气在 风机内的流动,均可看作源 环流. 源环流 水在水力涡轮机中的流动为 汇环流.
(3)等强度源流和汇流的叠加——偶极流
Γ ur = 0 , uθ = 2πr
Γ ψ = ln r 2π Γ = θ 2π 环流是圆周运动,但却不是有旋运动.
(4) 直角内的流动 设无旋运动的速度势为 若设 = a (x2 - y2 ) 则有 ψ = 2axy
此流动的流线是双曲线族.当ψ>0 时,x,y的符号相同,流线在I,III 象限内;ψ<0时,x,y的符号相 反,流线在II,IV象限内.当ψ = 0 时,x=0或y=0,说明流线是坐标轴, 称为零流线.原点处速度为零,称为 驻点. 若把零流线x,y轴的正值部分用固体壁面来代替,就得到 直角内的流动;若把x轴用固体壁面代替,则表示垂直流 向固体壁面的流动.
q , uθ = 0 ur = 2πr
q q q dr = lnr = ln x 2 + y 2 = ∫ u r dr + uθ rdθ = ∫ 2πr 2π 2π
q q q y arctan ψ = ∫ u r rdθ uθ dr = ∫ rdθ = θ= 2πr 2π 2π x
4工程流体力学 第四章流体动力学基础
因为 F 沿 y 轴正向，所以 Fy 取正值
Fy F V•n dS = -V0 dS
= =
=
ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS
CS
S0
S1
S2
v = -V0 sin
0
0
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续18）
由于V1，V2在y方向上无分量，
忽略粘性摩擦力，控制体所受表面力包括两
端面及流管侧表面所受的压力，沿流线方向总压
力为：
FSl
pS p δpS δS
p
δp 2
δS
Sδ p 1 δpδS 2
流管侧表面所受压力在流 线方向分量，平均压强
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续27z）
控制体所受质量力只有重力，沿流线方向分
Q2
Q0 2
1 cosθ
注意：同一个问题，控制体可以有不同的取法，
合理恰当的选取控制体可以简化解题过程。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续23）
微元控制体的连续 方程和动量方程
从流场中取一段长度为l 的流管元，因
为流管侧面由流线组成，因此无流体穿过；流 体只能从流管一端流入，从另一端流出。
CS
定义在系统上 的变量N对时 间的变化率
定义在固定控制 体上的变量N对 时间的变化率
N变量流出控制 体的净流率
——雷诺输运定理的数学表达式，它提供了对
于系统的物质导数和定义在控制体上的物理量
变化之间的联系。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程 一、连续方程
在流场内取一系统其体积为 ，则系统内
的流体质量为：
根据物质导数的定义，有：
Fy F V•n dS = -V0 dS
= =
=
ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS
CS
S0
S1
S2
v = -V0 sin
0
0
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续18）
由于V1，V2在y方向上无分量，
忽略粘性摩擦力，控制体所受表面力包括两
端面及流管侧表面所受的压力，沿流线方向总压
力为：
FSl
pS p δpS δS
p
δp 2
δS
Sδ p 1 δpδS 2
流管侧表面所受压力在流 线方向分量，平均压强
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续27z）
控制体所受质量力只有重力，沿流线方向分
Q2
Q0 2
1 cosθ
注意：同一个问题，控制体可以有不同的取法，
合理恰当的选取控制体可以简化解题过程。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续23）
微元控制体的连续 方程和动量方程
从流场中取一段长度为l 的流管元，因
为流管侧面由流线组成，因此无流体穿过；流 体只能从流管一端流入，从另一端流出。
CS
定义在系统上 的变量N对时 间的变化率
定义在固定控制 体上的变量N对 时间的变化率
N变量流出控制 体的净流率
——雷诺输运定理的数学表达式，它提供了对
于系统的物质导数和定义在控制体上的物理量
变化之间的联系。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程 一、连续方程
在流场内取一系统其体积为 ，则系统内
的流体质量为：
根据物质导数的定义，有：
流体力学 4-4流体动力学
面壁的冲力F是多少？
解：设射流的初始速度为v0，因为
Q1，v0
x
壁面光滑，水平射流的速度只改变 方向不改变大小；
光滑壁面对射流的反力R垂直于壁
y
Q0，v0
θ o
面，合外力在x方向上为0，列x方
F =-R
向的动量方程可得
0 ( ρQ1v0 ρQ2v0 ) ρQ0v0 cos θ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Q2，v0 例4－7图
C 断面形心出的流速 D 断面上压力中心处的流速
§4-4 动量方程及其应用
在工程实际中有时要计算流体与固体相互作用的力，动量 方程提供了流体与固体相互作用的动力学规律。
一、稳定流动量方程 从物理学中的动量定律知道，单位时间内物体的动量变化 等于作用于该物体上外力的总和。
2 2
1
v2 II
1
III
v1 I 1
22
1
图4－15 控制体及系统
如图示是一个稳定流动。首
因此可认为：
（1）控制体内液流的能量损失 hw 0
（2）水平射流与壁面在接触后， 射流只是改变方向，不改变大小；
（3）由于壁面的对称性，水平射 流的反作用力R平行于射流方向。
v
Q/2
Q
θ F=-R
v
θx
Q/2 v
图4－19
例4-6 试求图示的射流对挡板的作用力。
解：设水平射流的流量为Q，因曲面 对称且正迎着射流，则两股流量可 认为相等，都为Q/2，x方向动量方 程为
（4）
考虑到 v1 v1n1及v2 v 2 n2 ，上式可写成
R 1Q1v1n1 2Q2v2n2 p1 A1n1 p2 A2n2 Fb ( p1 A1 1Q1v1 )n1 ( p2 A2 2Q2v2 )n2 Fb
流体力学 4-2流体动力学
问题分析：
A断面：zA =0 m pA =1.96×105Pa vA=? B断面：zB =3 m pB =? C断面：zC =3.2m pC =0 水头损失：hwA-C=0.6m vC=?
d A 0.05m
d C 0.02m
vB=? d B 0.05m
hwA-B=0.5m
hwB-C=0.1m
动能修正系数的物理意义:总流有效断面上的实际动能对按 平均流速算出的假想动能的比值。α是由于断面上速度分 布不均匀引起的，不均匀性愈大,α值越大。 在圆管紊流运动中 α=1.05 ～ 1.10 ，在圆管层流运动中， α=2。在工程实际计算中，由于流速水头本身所占的比例 较小，故一般常取α=1。
2 2 p1 u1 p2 u2 ' z1 z2 h w12 g 2g g 2g
上面计算过程中基准面为A断面，压力为相对压力, 当选取C断面为基准面，压力取绝对压力时: A断面：zA =-3.2m pA =2.97×105Pa vA=?
B断面：zB =-0.2m pB=? C断面：zC = 0m vB=? pC = 1.01×105Pa vC=?
解得：
vA vB 2.89m / s vC 18.06m / s pB 262700Pa (绝对压力) pB 161700Pa (相对压力) Q vC AC 5.68L / s
§4-2 实际流体总流的伯努利方程
一、实际流体总流的伯努利方程
对于实际（粘性）流体，流动时存在
① 流体间的摩擦阻力
② 某些局部管件引起的附加阻力
因而导致实际流体流动过程中，其总机械能沿
流动方向不断减小。如果实际流体从截面1流向截
面2，则截面2处的总机械能必定小于截面1处的总
流体力学 第三章 流体动力学
按周界性质： ①总流四周全部被固体边界限制——有压流。如 自来水管、矿井排水管、液压管道。 ②总流周界一部分为固体限制，一部分与气体接 触——无压流。如河流、明渠。 ③总流四周不与固体接触——射流。如孔口、管 嘴出流。
7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流
量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s） 表示。显然，对于均质不可压缩流体有
元流体积流量 总流的体积流量
Qm Qv
dQv vdA
Qv
dQ vdA vA
b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般
不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度
都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的
流量与实际流量相同。
vAQv
vdA
A
8 均匀流与非均匀流
流管——在流场中任意取不与流线重合的封 闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管 状表面
流束——流管内的流体
5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
1
例：
注意：只有均匀流的过流断面才是平面
2
1
Hale Waihona Puke 1处过流断面2处过流断
2
面
6.元流与总流 元流——过流断面无限小的流束 总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转
流线微分方程： 流线上任一点的切线方向 (dr)与该点速度矢量 (v)一致
i jk drv dx dy dz0
dx dy dz vx vy vz
vx vy vz
——流线微分方程
（2）迹线——质点运动的轨迹 迹线微分方程：对任一质点
7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流
量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s） 表示。显然，对于均质不可压缩流体有
元流体积流量 总流的体积流量
Qm Qv
dQv vdA
Qv
dQ vdA vA
b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般
不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度
都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的
流量与实际流量相同。
vAQv
vdA
A
8 均匀流与非均匀流
流管——在流场中任意取不与流线重合的封 闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管 状表面
流束——流管内的流体
5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
1
例：
注意：只有均匀流的过流断面才是平面
2
1
Hale Waihona Puke 1处过流断面2处过流断
2
面
6.元流与总流 元流——过流断面无限小的流束 总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转
流线微分方程： 流线上任一点的切线方向 (dr)与该点速度矢量 (v)一致
i jk drv dx dy dz0
dx dy dz vx vy vz
vx vy vz
——流线微分方程
（2）迹线——质点运动的轨迹 迹线微分方程：对任一质点
流体力学ppt课件-流体动力学
g
g
2g
水头
，
z
p
g
v2
2g
总水头， hw 水头损失
第二节 热力学第一定律——能量方程
水头线的绘制
总水头线
hw
对于理想流体，总水
1
v12 2g
2
v22 2g
头线是沿程不变的，
测压管水头线
p2
为一水平直线，对于
g
实际流体，总水头沿 程降低，但测压管水
p1 g
头线沿程有可能降低、
z2
不变或者升高。
z1
v2 A2 e2
u22 2
gz2
p2
v1A1 e1
u12 2
gz1
p1
微元流管即为流线，如果不 可压缩理想流体与外界无热 交换，热力学能为常数，则
u2 gz p 常数
2
这个方程是伯努利于1738年首先提出来的，命名为伯努利 方程。伯努利方程的物理意义是沿流线机械能守恒。
第二节 热力学第一定律——能量方程
皮托在1773年用一根弯成直角的玻璃管，测量了法国塞纳河 的流速。原理如图所示，在液体管道某截面装一个测压管和 一个两端开口弯成直角的玻璃管（皮托管），皮托管一端正 对来流，一端垂直向上，此时皮托管内液柱比测压管内液柱 高h，这是因为流体流到皮托管入口A点受到阻滞，速度降为 零，流体的动能变化为压强势能，形成驻点A，A处的压强称 为总压，与A位于同一流线且在A上游的B点未受测压管的影 响，其压强与A点测压管测得的压强相等，称为静压。
第四章 流体动力学
基本内容
• 雷诺输运公式 • 能量方程 • 动量方程 • 流体力学方程应用
第一节 雷诺输运方程
• 前面解决了流体运动的表示方法,但要在流 体上应用物理定律还有困难.
流体力学第五章流体动力学微分形式基本方程
或 D w 0
Dt
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（5.3a）
第五章 流体动力学微分形式基本方程
第一节 连续性方程
对于稳定流动， 0，于是式（5.1）变为
t wx wy wz 0
x
y
z
即
w 0
对于不可压缩流体， 为常数，则连续性方程为
wx wy wz 0 x y z
即
w 0
和为零，六面体中流体的质量是不变的，即
wx
wy
wz
0
t x
y
z
（5.1）
式（5.1）就是流体的连续性方程。将上式展开，并且注意到
d dt
t
wx
x
wy
y
wz
z
则连续性方程也可写成 1 d wx wy wz 0 dt x y z
（5.2）
写成向量形式 (w) 0
t
（5.3）
Fr
1
p r
w t
wr
w r
w r
w
wz
w z
wr w r
F
1
p r
（5.9）
wz t
wr
wz r
w r
wz
wz
wz z
Fz
1
p z
式中 Fr 、F 、Fz 分别为单位质量的体积力在r、、z方向的分量。
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第五章 流体动力学微分形式基本方程
第二节 理想流体运动方程
其中，f1至f6是给定的函数。 对于稳定流动，流场中各点的物理量不随时间改变，所以不存在初始条
件。
边界条件是指所求物理量在边界上的取值。如对静止的固体壁面，由于
fluid dynamics 流体力学 流体动力学-解释说明
fluid dynamics 流体力学流体动力学-概述说明以及解释1.引言1.1 概述流体力学是研究流动流体（液体和气体）运动规律的一门学科，其研究对象涵盖了自然界中众多的现象和现实工程问题。
流体力学的发展对于理解自然现象和解决工程问题具有重要的意义，并在多个领域产生了深远的影响。
随着科学技术的不断进步和发展，流体力学已经成为众多跨学科领域中不可或缺的一部分，例如气象学、海洋学、空气动力学、地质学以及生物学和医学等。
流体力学的研究成果也被广泛应用于各种工程领域，如航空航天、汽车制造、建筑设计和能源开发等。
通过对流体的运动规律和性质进行深入研究，人们不仅能够更好地理解自然界中的现象，还能够应用这些知识解决众多的实际问题。
本文将介绍流体力学的基础概念、原理以及在工程中的应用，旨在帮助读者更全面地了解流体力学的重要性和影响，并展望其在未来的发展方向和对人类社会的影响。
1.2 文章结构文章结构部分将介绍本文的整体框架和安排。
首先将介绍流体力学基础概念，包括流体的性质和行为规律。
接着将深入探讨流体动力学原理，包括流体运动的描述和流体受力分析。
最后，将介绍流体力学在工程中的应用，包括船舶设计、空气动力学和液压技术等领域的相关应用。
通过以上内容的安排，读者可以逐步了解流体力学的基本原理和在实际工程中的应用价值。
1.3 目的：本文旨在通过研究流体力学的基础概念和原理，以及在工程中的实际应用，探讨流体力学在各个领域中的重要性和影响。
通过对流体力学的深入理解，可以帮助工程师和科学家们更好地设计和优化流体系统，从而提高工程效率，减少能源消耗，保护环境。
同时，本文也旨在展望流体力学领域的未来发展方向，指出其对未来科技进步和社会发展的重要影响，以及可能带来的新的挑战和机遇。
通过本文的研究，我们希望能够对流体力学的重要性和未来发展趋势有更深入的认识，为相关领域的研究和实践提供有益的参考和启发。
2.正文2.1 流体力学基础概念流体力学是研究流体在静止和运动条件下的行为和性质的科学领域。
流体动力学
除了质量、动量与能量守恒方程之外，另外还有热力学的状态方程，使得压力成为流体其他热力学变量的函 数，而使问题得以被限定。
组成内容
研究运动流体的规律和运动流体与边界之间相互作用的流体力学分支。流体动力学的主要内容包括：流体动 力学基本方程、无粘性不可压缩流体动力学、粘性不可压缩流体动力学、气体动力学和透平机械气体动力学。
若流体足够致密，可以成为一连续体，并且不含有离子化的组成，速度相对于光速是很慢的，则牛顿流体的 动量方程为“纳维-斯托克斯方程”。其为非线性微分方程，描述流体的流所带有的应力是与速度及压力呈线性相 依。未简化的纳维-斯托克斯方程并没有一般闭形式解，所以只能用在计算流体力学，要不然就需要进行简化。方 程可以通过很多方法来简化，以容易求解。其中一些方法允许适合的流体力学问题能得到闭形式解。
流动种类：定常流动、非定常流动 流动形态：层流、紊流 流动稳定性：不可压缩流动、可压缩流动、粘性流动、无粘流动
研究点
01
应力张量
02
应力张量和 变形速率张 量的关系
04
涡旋的动力 学性质
06
动量定理
03
动量方程和 能量方程
05
伯努利积分 和拉格朗日 积分
根据无粘性流体对于剪切变形没有抗拒能力和静止流体不能承受剪应力的事实可以断言：在无粘性流体或静 止流体中，剪应力为零，而正应力（即法向应力）pxx=pyy=pzz=－p。p称为无粘性流体或静止流体的压力函数， 它表征无粘性流体或静止流体在任一点的应力状态。在流体动力学中可以用px、py、pz或九个量pij（i，j=1，2， 3）的组合可完全地描写一点的应力状况。pij组成的二阶张量称为应力张量。
涡旋的动力学性质主要体现在开尔文定理和亥姆霍兹定理上。如果流体是无粘性、正压的（见正压流体）， 且外力有势，则涡旋不生不灭，而且涡线、涡管总是由相同的流体质点组成，涡管强度不随时间变化。只有流体 的粘性、斜压性和外力无势这三个因素才能使涡旋产生、发展变化和消亡.
组成内容
研究运动流体的规律和运动流体与边界之间相互作用的流体力学分支。流体动力学的主要内容包括：流体动 力学基本方程、无粘性不可压缩流体动力学、粘性不可压缩流体动力学、气体动力学和透平机械气体动力学。
若流体足够致密，可以成为一连续体，并且不含有离子化的组成，速度相对于光速是很慢的，则牛顿流体的 动量方程为“纳维-斯托克斯方程”。其为非线性微分方程，描述流体的流所带有的应力是与速度及压力呈线性相 依。未简化的纳维-斯托克斯方程并没有一般闭形式解，所以只能用在计算流体力学，要不然就需要进行简化。方 程可以通过很多方法来简化，以容易求解。其中一些方法允许适合的流体力学问题能得到闭形式解。
流动种类：定常流动、非定常流动 流动形态：层流、紊流 流动稳定性：不可压缩流动、可压缩流动、粘性流动、无粘流动
研究点
01
应力张量
02
应力张量和 变形速率张 量的关系
04
涡旋的动力 学性质
06
动量定理
03
动量方程和 能量方程
05
伯努利积分 和拉格朗日 积分
根据无粘性流体对于剪切变形没有抗拒能力和静止流体不能承受剪应力的事实可以断言：在无粘性流体或静 止流体中，剪应力为零，而正应力（即法向应力）pxx=pyy=pzz=－p。p称为无粘性流体或静止流体的压力函数， 它表征无粘性流体或静止流体在任一点的应力状态。在流体动力学中可以用px、py、pz或九个量pij（i，j=1，2， 3）的组合可完全地描写一点的应力状况。pij组成的二阶张量称为应力张量。
涡旋的动力学性质主要体现在开尔文定理和亥姆霍兹定理上。如果流体是无粘性、正压的（见正压流体）， 且外力有势，则涡旋不生不灭，而且涡线、涡管总是由相同的流体质点组成，涡管强度不随时间变化。只有流体 的粘性、斜压性和外力无势这三个因素才能使涡旋产生、发展变化和消亡.
液压流体力学第五章流体动力学基础
液压流体力学
南京工程学院
夏庆章
20150720
第五章 流体动力学基础
• • • • • • 流体动力学概述 5.1理想流体的运动微分方程式 5.3理想流体的伯努利方程式 5.4实际流体总流的伯努利方程式 5.7伯努利方程的应用 5.8动量、动量矩定理及其应用
流体动力学概述
流体动力学是研究流体在外力作用下的运
动规律即研究流体动力学物理量和运动学 物理量之间的关系的科学。 流体动力学主要研究内容就是要建立流体 运动的动量平衡定律、动量矩平衡定律和 能量守恒定律（热力学第一定律）。
5.1 理想流体的运动微分方程式
1、选取控制体：在所研究的运动流体中，任取一 微小平行六面体，如图5-1所示。六面体边长分别 为dx、dy、dz，平均密度为 ，顶点A 处的压强 为 p。 2、受力分析 质量力：fxdxdydz , fydxdydz , fzdxdydz 表面力：设A点压强为p时，则与其相邻的ABCD 、 ADEH、ABGH三个面上的压强均为p，而与这三个 面相对应的EFGH、 BCFG、 CDEF 面上的压强可 由泰勒级数展开略去二阶以上无穷小量而得到，分 p p p p dz p dx p dy 别为 z x y
p V p V z1 1 1 z 2 2 2 h w g 2 g g 2 g
2 2
式（5-1）的几何解释如图5-1所示，实际总水头线沿微元流 束下降，而静水头线则随流束的形状上升或下降。
图5-1 伯努利方程的几何解释
二、黏性流体总流的伯努利方程 流体的实际流动都是由无数微元流束所组成的有效截面为 有限值的总流流动，例如流体在管道中和渠道中的流动等。 微元流束的有效截面是微量，因而在同一截面上流体质点 的位置高度 z 、压强 p 和流速 V 都可认为是相同的。而 总流的同一有效截面上，流体质点的位置高度 z 、压强 p 和流速 V 是不同的。总流是由无数微元流束所组成的。 因此，由黏性流体微元流束的伯努利方程来推导总流的伯 努利方程，对总流有效截面进行积分时，将遇到一定的困 难，这就需要对实际流动作某些必要的限制。为了便于积 分，首先考虑在什么条件下总流有效截面上各点的 p z 常数？这只有在有效截面附近处有缓变流动时 g 才能符合这个要求。
南京工程学院
夏庆章
20150720
第五章 流体动力学基础
• • • • • • 流体动力学概述 5.1理想流体的运动微分方程式 5.3理想流体的伯努利方程式 5.4实际流体总流的伯努利方程式 5.7伯努利方程的应用 5.8动量、动量矩定理及其应用
流体动力学概述
流体动力学是研究流体在外力作用下的运
动规律即研究流体动力学物理量和运动学 物理量之间的关系的科学。 流体动力学主要研究内容就是要建立流体 运动的动量平衡定律、动量矩平衡定律和 能量守恒定律（热力学第一定律）。
5.1 理想流体的运动微分方程式
1、选取控制体：在所研究的运动流体中，任取一 微小平行六面体，如图5-1所示。六面体边长分别 为dx、dy、dz，平均密度为 ，顶点A 处的压强 为 p。 2、受力分析 质量力：fxdxdydz , fydxdydz , fzdxdydz 表面力：设A点压强为p时，则与其相邻的ABCD 、 ADEH、ABGH三个面上的压强均为p，而与这三个 面相对应的EFGH、 BCFG、 CDEF 面上的压强可 由泰勒级数展开略去二阶以上无穷小量而得到，分 p p p p dz p dx p dy 别为 z x y
p V p V z1 1 1 z 2 2 2 h w g 2 g g 2 g
2 2
式（5-1）的几何解释如图5-1所示，实际总水头线沿微元流 束下降，而静水头线则随流束的形状上升或下降。
图5-1 伯努利方程的几何解释
二、黏性流体总流的伯努利方程 流体的实际流动都是由无数微元流束所组成的有效截面为 有限值的总流流动，例如流体在管道中和渠道中的流动等。 微元流束的有效截面是微量，因而在同一截面上流体质点 的位置高度 z 、压强 p 和流速 V 都可认为是相同的。而 总流的同一有效截面上，流体质点的位置高度 z 、压强 p 和流速 V 是不同的。总流是由无数微元流束所组成的。 因此，由黏性流体微元流束的伯努利方程来推导总流的伯 努利方程，对总流有效截面进行积分时，将遇到一定的困 难，这就需要对实际流动作某些必要的限制。为了便于积 分，首先考虑在什么条件下总流有效截面上各点的 p z 常数？这只有在有效截面附近处有缓变流动时 g 才能符合这个要求。
流体力学 水力学 流体动力学
6 1.5 6 8 4 12.9m / s2
5
2
例：已知速度场 u 4y 6xt i 6y 9xt j。试问：
（1）t=2s时，在（2,4）点的加速度是多少？
（2）流动是恒定流还是非恒定流？（3）流动
是均匀流还是非均匀流？
解：
ax
ux t
非均匀流：
在流动过程当中，各运动要素随着空间位置而改变 的流动。
B B
A
A
非均匀流按照流线的不平行和弯曲的程度，又分 为渐变流和急变流。
渐变流：
流线之间的夹角很小，流线近乎平行且流线的曲 率半径很大，曲率很小，流线近乎直线的流动。
急变流：流线之间的夹角很大，或者流线的曲率 半径很小的流动。
五、 一维流、二维流、三维流
ds
ds
ds
ux dx , uy dy , uz dz V ds V ds V ds
dx dy dz ux uy uz
例：已知速度场 ux ax,uy ay,uz 0，式 中 y 0 ，a为常数。试求：（1）流线方 程；（2）迹线方程。
解：流线的微分方程：
dx ax
dy ay
，积分得：ln x
ln
y ln C, xy
C
迹线的微分方程： dx dy dt ax ay
积分得：
x y
C1eat C2eat
,
xy
C
三、流管、微小流束、总流、过流断面、流量、断面平 均流速
流管：设想在流场中由无数根流线组成的微小的封闭的 管子。
§3.2 恒定总流的连续性方程 （质量守恒方程）
流体力学3-动力学
二、流体动力学基本概念
1. 流束：指在流体中沿流动方向分离出一块基本元面积dA、长为 L的一束流体。 元流（微细流）：指断面无穷小的流束。 总流：指无数微细流的总和。
微元流束
图 3-2 总流和微元流束
3. 流速
质点流速（点速）：指过流断面上各质点的速度，以“u”表示，m/s 断面平均流速（流速）： 指过流断面上各质点的速度的平均值，以“W” 表示，m/s 4.流量：指单位时间内通过某一断面积流体的量。 ① 体积流量（Q）：指单位时间内通过某一断面积流体的体积。m3/s ② 质量流量(m):指单位时间内通过某一断面积流体的质量。Kg/s ③ 重量流量（G）：指单位时间内通过某一断面积流体的重量。 三者之间关系： m = ρQ G = mg = ρQg 体积流量Q与流速W之间关系： Q = WA （A—流体通过的某一断面面积）
Q1 = Q2
W1 A1 = W2 A2
Q1 = Q2 + Q3
分流时：
W1 A1 = W2 A2 + W3 A3
Q1 + Q2 = Q3
合流时：
W1 A1 + W2 A2 = W3 A3
§3-4 流体流动伯努利方程
伯努利方程从功能原理出发，描述流体在外力作用下是按照什 么规律来运动的，从而求出流速的绝对值等。
ρw12
2
= ( ρ − ρ a ) gZ 2 + P2 +
2 ρ w2
2
+ ∆ P1− 2
对于1，3 断面的伯努利方程如下：
不同条件下临界流速Wk不同；但是临界雷诺数Rek都是相同的， 其值约为2000，
Re ≤ 2000 层流 2000 < Re < 4000 过渡态 Re ≥ 4000 紊流
流体力学——流体动力学
0.849 2 pv 9.8 6.4 2 9.8 63.1kPa
3.11 如图， 水泵的提水高度 z＝20m， 抽水流量 Q＝35 L/s， 已知吸水管和压水管的直径相同， d＝180mm，离心泵的效率 η1＝0.82，电动机的效率 η2＝0.95，设总水头损失 hw＝1.5mH2O， 求电动机应有的功率 P。 （参考分数：12 分）
1 v1 θ 1 2
解：由连续性方程得
2 v2
d1 0.1 v2 v1 d 1.5 0.075 2.67 m/s 2
2
2
Q A1v1 0.0118 m3/s
列 1、2 断面能量方程，得
0
p1
v1 v 00 2 0 2g 2g
700 4
pA
1v12
2g
pA＝25.1kN 3.14 如图，虹吸管从水池引水至 C 端流入大气，已知 a＝1.6m，b＝3.6m。若不计损失，试 求： （1）管中流速 v 及 B 点的绝对压强 pB。 （2）若 B 点绝对压强水头下降到 0.24m 以下时， 将发生汽化，设 C 端保持不动，问欲不发生汽化，a 不能超过多少？（参考分数：12 分）
1v1 A1 2 v2 A2
2 1v1 A1
v 2 A2 5.218kg/m3
得
Qm 1v1 A1 0.768kg/s
3.7 一变直径管段 AB，直径 dA＝0.2m，dB＝0.4m，高差 Δh＝1.5m。今测得 pA＝30kN/m2， pB＝40kN/m2，B 处断面平均流速 vB＝1.5m/s。试判断水在管中的流动方向。
P
QH
12
流体力学第三章流体动力学(1)
（2）流线的作法
流线的作法如下：在流速场中任取一点1（如下图），绘出
在某时刻通过该点的质点的流速矢量u1，再在该矢量上取距
点1很近的点2处，标出同一时刻通过该处的另一质点的流速
矢量u2……如此继续下去，得一折线1 2 3 4 5 6……，若
折线上相邻各点的间距无限接近，其极限就是某时刻流速场 中经过点1的流线。
(b)非恒定流
mt1 流线 mt2
迹线 mt3
且与迹线重合。
3. 均匀流和非均匀流 划分依据：按流速的大小和方向是否沿程变化
（1）均匀流
流速沿程不变的流动称为均匀流
在均匀流时不存在迁移加速度，即 auuo s
其流线为彼此平行的直线
例：等直径直管中的液流或者断面形状和水深不变的长直渠道中的水流 都是均匀流。
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
质点的加速度由两部分组成：
auuu t s
欧拉加速度
ax
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ay
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
az
uz t
ux
பைடு நூலகம்
uz x
uy
uz y
uz
uz z
①时变加速度（当地加速度）——流动过程中液体由于速度 随时间变化而引起的加速度； ——等号右边第一项是时变 加速度 ②位变加速度（迁移加速度）——流动过程中液体由于速度 随位置变化而引起的加速度。 ——后三项是位变加速度
（1） （a,b,c）=Const , t为变数，可以得出某个指定质点在任意时刻 所处的位置。 （2） （a,b,c）为变数, t =Const ，可以得出某一瞬间不同质点在空 间的分布情况。
流体力学 流体动力学基础
即
x xa,b, c,t
y ya,b, c,t
（3—1）
z za,b, c,t
式中a，b，c，t 统称为拉格朗日变量，不同的运动质点， 起始坐标不同。
用拉格朗日法分析流体运动，在数学上将会遇到困难。 除少数情况外（如研究波浪运动），在流体运动中多采用欧拉 法。
5
二、欧拉法 定义：
uy
u y y
uz
u y z
fz
p
z
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
（3—17）
上面二式即是理想流体运动的微分方程式，也叫做欧拉 运动微分方程式。
式中x，y，z，t为四个变量， , ux , u y,uz 为x，y，z，t的函
数，是未知量。 f x, f y , f z 也是x，y，z的函数，一般是已知的。
一、理想流体的伯努利方程
在稳定条件下
ux uy uz p 0 t t t t
将式（3—16）中各式分别乘以 dx, dy, dz 。相加得
(
fxdx
f ydy
fzdz)
1
( p x
dx
p y
dy
流经过流断面的体积流量Q除以过流断面面积A，即
Q Au ndA
A
A
（3—11）
即为断面平均速度。
五、一元流动、二元流动、与三元流动
定义：
运动要素是一个坐标的函数，称为一元流动。 运动要素是二个坐标的函数，称为二元流动。 运动要素是三个坐标的函数，称为三元流动。
16
§3-4 连续方程式
x xa,b, c,t
y ya,b, c,t
（3—1）
z za,b, c,t
式中a，b，c，t 统称为拉格朗日变量，不同的运动质点， 起始坐标不同。
用拉格朗日法分析流体运动，在数学上将会遇到困难。 除少数情况外（如研究波浪运动），在流体运动中多采用欧拉 法。
5
二、欧拉法 定义：
uy
u y y
uz
u y z
fz
p
z
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
（3—17）
上面二式即是理想流体运动的微分方程式，也叫做欧拉 运动微分方程式。
式中x，y，z，t为四个变量， , ux , u y,uz 为x，y，z，t的函
数，是未知量。 f x, f y , f z 也是x，y，z的函数，一般是已知的。
一、理想流体的伯努利方程
在稳定条件下
ux uy uz p 0 t t t t
将式（3—16）中各式分别乘以 dx, dy, dz 。相加得
(
fxdx
f ydy
fzdz)
1
( p x
dx
p y
dy
流经过流断面的体积流量Q除以过流断面面积A，即
Q Au ndA
A
A
（3—11）
即为断面平均速度。
五、一元流动、二元流动、与三元流动
定义：
运动要素是一个坐标的函数，称为一元流动。 运动要素是二个坐标的函数，称为二元流动。 运动要素是三个坐标的函数，称为三元流动。
16
§3-4 连续方程式
流体力学 水力学 流体动力学
流体力学、水力学和流 体动力学的关系
汇报人：
目录
添加目录标题
01
流体力学概述
02
流体动力学的基本概 念
04
流体力学、水力学和 流体动力学的关系
05
水力学的基本概念
总结与展望
03
06
添加章节标题
流体力学概述
流体的定义和特性
流体：一种可以流动的物质包括液体和气体 流体的特性：流动性、可压缩性、热传导性、表面张力等 流体力学：研究流体的力学性质和运动规律的学科 流体力学的应用：工程、气象、海洋、航天等领域
流体动力学的研究对象和主要内容
研究对象：流体包括液体和气体
主要内容：流体的流动规律、流体与固体的相互作用、流体与流体之间的相互作用等
研究方法：理论分析、实验研究和数值模拟等 应用领域：航空航天、海洋工程、环境工程、生物医学等
流体动力学的应用领域
航空航天：飞机、火箭、卫星等飞行器 的设计、制造和运行
交叉融合：流体力学、水力学和流体动力学之间的交叉融合将更加紧密共同推动学科 发展。
应用领域：流体力学、水力学和流体动力学将在更多领域得到应用如航空航天、海 洋工程、环境科学等。
计算流体力学：计算流体力学将得到进一步发展提高计算效率和准确性为工程实践提 供更好的支持。
实验研究：实验研究将继续在流体力学、水力学和流体动力学中发挥重要作用为理 论研究和工程实践提供数据支持。
流体力学与水力学的应用领域不同流体力学广泛应用于航空航天、能源、环境等领域而水力学广泛 应用于水利、海洋、环境等领域。
水力学与流体动力学的关系
流体力学是研究 流体（液体和气 体）的力学性质 和运动规律的学 科包括水力学和
流体动力学。
水力学是研究液 体（如水）的力 学性质和运动规 律的学科是流体 力学的一个分支。
汇报人：
目录
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01
流体力学概述
02
流体动力学的基本概 念
04
流体力学、水力学和 流体动力学的关系
05
水力学的基本概念
总结与展望
03
06
添加章节标题
流体力学概述
流体的定义和特性
流体：一种可以流动的物质包括液体和气体 流体的特性：流动性、可压缩性、热传导性、表面张力等 流体力学：研究流体的力学性质和运动规律的学科 流体力学的应用：工程、气象、海洋、航天等领域
流体动力学的研究对象和主要内容
研究对象：流体包括液体和气体
主要内容：流体的流动规律、流体与固体的相互作用、流体与流体之间的相互作用等
研究方法：理论分析、实验研究和数值模拟等 应用领域：航空航天、海洋工程、环境工程、生物医学等
流体动力学的应用领域
航空航天：飞机、火箭、卫星等飞行器 的设计、制造和运行
交叉融合：流体力学、水力学和流体动力学之间的交叉融合将更加紧密共同推动学科 发展。
应用领域：流体力学、水力学和流体动力学将在更多领域得到应用如航空航天、海 洋工程、环境科学等。
计算流体力学：计算流体力学将得到进一步发展提高计算效率和准确性为工程实践提 供更好的支持。
实验研究：实验研究将继续在流体力学、水力学和流体动力学中发挥重要作用为理 论研究和工程实践提供数据支持。
流体力学与水力学的应用领域不同流体力学广泛应用于航空航天、能源、环境等领域而水力学广泛 应用于水利、海洋、环境等领域。
水力学与流体动力学的关系
流体力学是研究 流体（液体和气 体）的力学性质 和运动规律的学 科包括水力学和
流体动力学。
水力学是研究液 体（如水）的力 学性质和运动规 律的学科是流体 力学的一个分支。
流体力学 流体动力学
流体力学流体动力学
流体力学主要分为两个分支：稳态流体力学和非稳态流体力学。
稳态流体力学研究流体在恒定状态下的运动，而非稳态流体力学则研究流体在变化状态下的运动。
流体动力学则是研究流体运动中的力学特性，包括流体的速度、压力、密度等。
它还可以帮助我们理解和解释各种自然现象，例如气旋和洋流等。
流体力学和流体动力学在现代科学中有着广泛的应用，包括工业设计、航空航天、气象预测、海洋科学等。
在各个领域，这两个学科都是非常重要的基础学科。
- 1 -。
流体力学(流体动力学)
伯诺里方程各项的物理意义和几何意义
§4－2
欧拉运动微分方程的积分
一、兰伯－葛罗米柯型运动微分方程
欧拉运动微分方程 (2) Fra bibliotek一式的右边有：
du x u x u x u x u x ux uy uz dt t x y z
2 u x 1 u x u x u x uy uz t 2 x y z
(3)
这组方程式称为兰伯－葛罗米柯型运动微分方程式。它比欧拉 运动微分方程式便于积分。
二、理想流体沿流线的伯诺里方程(伯诺里积分)
假设条件 （1）流动为恒定流。此时
u x u y u z p 0 t t t t
（2）流体是不可压缩的，密度ρ= 常数。
（3）流体受有势质量力作用，具有势函数U。即
实际流体的运动微分方程式
一、实际流体的内应力
实际流体运动时，表面力不仅有法向应力，还有切向应力。 任意一点取垂直于 y 轴的平面，作用在此平面上的表面力： 法向应力－pyy（负号表示压力方向与 y 轴方向相反）； 切应力τyx 、τyz 。（第一个角标表示应力所在的面与哪个坐
标轴垂直，第二个角标表示应力方向） 。
u x u 2 1 p X 2(u z y u y z ) x t x 2 u y u 2 1 p Y 2(u x z u z x ) y t y 2 2 1 p u z u Z 2(u y x u x y ) z t z 2
（2）
对于不可压缩和可压缩流体，欧拉运动微分方程均适用。
在不可压缩流体中，ρ= 常数，未知量为ux、uy、uz和p共四个， 要解这个方程必须借助于连续性方程。
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p px, y, z, t
（4—11）
2.应力和变形速度的关系
粘性流体的应力与变形速度有关，其中法向应力与线变形 速度有关，切应力则与角变形速度有关。
流动中某点的动压强是过该点三个相互正交平面上法向应
力的平均值，同某一平面上的法向应力有一定差值，称为附加
法向应力，以 p' xx, ' yy, p' zz表示，它是流体微团在法线方向
N—S方程表示作用在单位质量流体上的质量力、表面力 (压力和粘性力) 的相平衡。由N—S方程式和连续性微分方程式 组成的基本方程组，原则上可以求解速度场和压强场p,可以说 粘性流体的运动分析，归结为对N—S方程的研究。
[例4—1] 理想流体速度场为 ux ay,uy bx,uz 0, a,b
u z y
u x z
u y z
u z x
xy
yx
u y x
u x y
（4—13）
3．粘性流体运动微分方程
采用类似于推导理想流体运动微分方程式（4—6）的方 法，取微小平行 六面体，根据牛顿第二定律建立以应力(包括切应 力)表示的运动微分方程式，并以式(4—12)、式(4—13)代人整
理，使得到粘性液体运动微分方程：
上发生线变形(伸长或缩短)引起的。
p p
xx yy
p p
pxx pyy
p
2
u x x
p
2
u y y
pzz
p
pzz
p
2
u z z
（4—12）
切应力与角变形速度的关系，在简单剪切流动中符合牛顿
内摩擦定律
u du
dy
将牛顿内摩擦定律推广到一般空间流动,得出
yz zx
zy xz
的压强为：p M
p
1 2
p x
dx
pN
p
1 2
p x
dx
受压面上的压力为：
PM pM dydz
PN pN dydz
质量力： FBx Xdxdydz
（4—1） （4—2）
（4—3）
（4—4） （4—5）
由牛顿第二定律
Fx
m
dux dt
得：
[(
p
1 2
p x
dx
) -(
p
1 2
p x
dx
)
] dydz
+ Xdxdydz
dxdydz dux
dt
化简得：
X Y
1
1
p x
p y
du x dt
du y dt
Z
1
p z
du z dt
将加速度项展成欧拉法表达式 :
X Y
1
1
p x
p y
u x t
u y t
ux ux
u x x
u y x
uy uy
u x y
u y y
uz uz
a,b同号，流线是双曲线a,b异号,流线是圆。
(3)由欧拉运动微分方程式，不计质量力：
1
p x
uy
ux y
abx
1
p y
ux
u y x
aby
将方程组化为全微分形式: 1 (p dx p dy) ab(xdx ydy)
x y
1 dp ab(xdx ydy)
积分，得
p ab x2 y 2 c'
u x z
u y z
Z
1
p z
u z t
ux
u z x
uy
u z y
uz
u z z
用矢量表示为：
f
1
p
u t
u u
（4—6）
（4—7） （4—8）
上式即理想流体运动微分方程式，又称欧拉运动 微分方程式。该式是牛顿第二定律的表达式，因此是 控制理想流体运动的基本方程式。
1755年欧拉在所著的《流体运动的基本原理》中 建立了欧拉运动微分方程式，及上一节所述的连续性
为常数。试求：（1）流动是否可能实现；（2）流线方程；
（3）等压面方程(质量力忽略不计)
[解] (1)由连续性微分方程 ux uy uz 0
x y z
满足连续性条件，流动是可能实现的。
(2)由流线方程 得：
dx dy
ux
uy
dx dy
ay bx
bxdx aydy
积分得流线方程 bx2 ay2 c
微分方程式。对于理想流体的运动，含 ux, uy, uz 有和
ｐ四个未知量，由式(3—30)和式(3—36)组成的基本
方程组，满足未知量和方程式数目一致，流动可以求 解。因此说，欧拉运动微分方程和连续性微分方程奠 定了理想流体动力学的理论基础。
第二个角标表示应力的方向，则法向应力
p xx p yy p zz
第四章 流体动力学基础
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
流体的运动微分方程 元流的伯努利方程 总流的伯努利方程 总流的动量方程 理想流体的无旋流动
第一节 流体的运动微分方程
连续性微分方程是控制流体运动的运动 学方程，还需建立控制流体运动的动力学方 程这就是液体的运动微分方程。这就是流体 的运动微分方程这就是液体的运动微分方程。 一、理想流体运动微分方程
进—步研究证明，任一点任意三个正交面上的法向应力之和都
不变，即 pxx p yy pzz p p p
（4—9）
据此，在粘性流体中，把某点三个正文面上的法向应力的
平均值定义为该点的动压强以p表示：
p
1 3
p xx p yy p zz
（4—10）
如此定义，粘性流体的动压强也是空间坐标和时间变量的函数
式中： 2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
——拉普拉斯算子。
自欧拉提出理想流体运动微分方程以来，法国工程师纳维
(Claude.Louis.Marie.Henri. Navier，1785.2.10~1836.8.21，法国力
学家、工程师 )、英国数学家斯托克斯(Stokes 1819~1903 )等人 经过近百年的研究，最终完成现在形式的粘性流体运动微分方 程，又称为纳维—斯托克斯方程(简写为N—S方程)。
2
令p=常数 即得等压面方程
x2 y2 c
等压面是以坐标原点为中心的圆。
X Y
1
1
p x
2 u x
p y
2 u
y
u x t
u y t
ux ux
u x x
u y x
uy uy
u y y
u y y
uz uz
u z z
u y z
Z
1
p z
2uz
u z t
ux
u z x
uy
u z y
uz
u z z
用矢量表示为
f
1
p 2u
u t
u u
（4—14） （4—15）
在运动的理想流体中，取微小平行六面 体(质点)，正交的三个边长dx,dy,dz,分别平行 于x,y,z坐标轴(图4—1)。设六面体的中心点
o‘，速度压强ｐ，分析该微小六面体ｘ方向
的受力和运动情况。 1.表面力：理想流体内不存在切应力．只有
压强ｘ方向受压面(abcd面和a‘b’c‘d’面)形心
点
图4—1连续性微分方程