广州市数学高二下学期文数期末考试试卷(I)卷(模拟)
广东省高二下学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案
2015-2016学年度第二学期期末测试高二数学试题（文科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若集合A ＝{x ｜－2＜x ＜1}，B ＝{x ｜0＜x ＜2}，则集合A ∩B ＝（ ） A ．{x ｜－1＜x ＜1} B ．{x ｜－2＜x ＜1} C ．{x ｜－2＜x ＜2} D ．{x ｜0＜x ＜1} 2．设复数z 满足（1－i ）z ＝2i ，则z ＝（ ）A ．－1－iB ．－1＋iC ．1＋iD ．1－i 3．已知命题:p x ∃∈R ，223x x ++=0，则p ⌝是（ ） A ．2,230x R x x ∀∈++≠ B ．2,230x R x x ∀∈++= C ．2,230x R x x ∃∈++≠ D ．2,230x R x x ∃∈++=4．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知cos α＝－45，且α∈（2π，π），则tan （4π－α）＝ A ．－17 B ．－7 C ．17D ．7 6．若双曲线22213y x a －＝（a ＞0）的离心率为2，则a 等于（ ）A ．2B ．C ．32D ．1 7.已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,222a b c bc =+-，4bc ，则△ABC 的面积为（ ）A ．12B ．1CD ．2 8．下面框图表示的程序所输出的结果是（ ）A ．1320B ．132C ．11880D ．121 9．如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何 体的表面积是（ ）A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π10．已知平面向量a ，b ，满足a ＝（1）,｜b ｜＝3，a ⊥（a －2b ），则｜a －b ｜＝（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．611．若圆C ：22x y ＋＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点（a ，b ）向圆所作的切线长的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．612．各项不为零的等差数列{n a }中，2a 3－27a ＋2a 11＝0，数列{n b }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16第Ⅱ卷（90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13—21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22－24题为选考题．考生根据要求作答． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．曲线f（x）＝3x－x＋3在点P（1，3）处的切线方程是_________．14．已知{na}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，则a1＝_________．15．已知定义在R上的偶函数()f x在[0,)+∞单调递增，且(1)0f=，则不等式(2)0f x-≥的解集是 .16.如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD-，该四棱锥的体积为3，则该半球的体积为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在△ABC中，b＝2，cosC＝34，△ABC．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin2A值．18．（本小题满分12分）为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机抽调了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：（Ⅰ）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有99％的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异；（Ⅱ）若对年龄在[5，15）的被调查人中各随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少?参考数据：19．（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠BCD ＝120°，四边形BFED 为矩形，平面BFED ⊥平面ABCD ，BF ＝1． （Ⅰ）求证：AD ⊥平面BFED ； （Ⅱ）已知点P 在线段EF 上，EPPF＝2．求三棱锥E －APD 的体积．20．（本小题满分12分）已知曲线C 的方程是221mx ny ＋＝（m ＞0，n ＞0），且曲线C 过A （4，2），B3）两点，O 为坐标原点． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）是曲线C 上两点，向量p ＝11），q x 2y 2），且p ·q ＝0，若直线MN 过（0，2），求直线MN 的斜率．21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝xe x m－．（Ⅰ）讨论函数y ＝f （x ）在x ∈（m ，＋∞）上的单调性； （Ⅱ）若m ∈（0，12]，则当x ∈[m ，m ＋1]时，函数y ＝f （x ）的图象是否总在函数g （x ）＝2x ＋x 图象上方?请写出判断过程．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，正方形ABCD 边长为2，以A 为圆心、DA 为半径的 圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连结BF 并延长交 CD 于点E ．（Ⅰ）求证：E 为CD 的中点； （Ⅱ）求EF ·FB 的值．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：22(1)1x y －＋＝．直线l 经过点P （m ，0），且倾斜角为6．以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C 的极坐标方程与直线l 的参数方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且｜PA ｜·｜PB ｜＝1，求实数m 的值．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f （x ）＝｜x ＋6｜－｜m －x ｜（m ∈R ）． （Ⅰ）当m ＝3时，求不等式f （x ）≥5的解集；（Ⅱ）若不等式f （x ）≤7对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．2015-2016学年度第二学期期末测试 高二数学参考答案（文科）一、选择题1-5 DBABD; 6-10 DCAAB; 11-12 CD 二、填空题13.210x y -+=; 14.1-; 15 (,1][3,)-∞+∞；16 3. 17.解：（Ⅰ）因为3cos 4C =，且0C <<π，所以sin C =．因为1sin 2S a b C =⋅⋅， 得1a =． …………………6分（Ⅱ）由余弦定理，2222cos c b a b a C =+-⋅⋅所以c =由正弦定理，sin sin c aC A=，得sin A =所以cos 8A =．所以sin 22sin cos A A A =⋅=． …………………12分 18．解：(Ⅰ)2乘2列联表……………………………2分()()()()2250(311729) 6.27372911329711K ⨯⨯-⨯=≈++++＜6.635………………4分所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异.………………5分(Ⅱ)设年龄在[5,15)中支持“生育二胎”的4人分别为a,b,c,d, 不支持“生育二胎”的人记为M, ………………6分则从年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有：（a,b ）, （a,c ）,（a,d ）, （a, M ）, （b,c ）, （b,d ）,（b, M ）, （c, d ）, （c, M ）,（d, M ）.…………8分设“恰好这两人都支持“生育二胎””为事件A ，………………9分则事件A 所有可能的结果有：（a,b ）, （a,c ）, （a,d ）, （b,c ）, （b,d ）, （c, d ）,∴()63.105P A ==………………11分 所以对年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人进行调查时,恰好这两人都支持“生育二胎”的概率为35.………………12分19．解：(1)在梯形ABCD 中，∵AB ∥CD ，1,AD DC CB ===120,o BCD ∠=∴ 2.AB = ∴2222cos60 3.o BD AB AD AB AD =+-⋅⋅=…………………2分 ∴222,AB AD BD =+∴.AD BD ⊥ ∵平面BFED ⊥平面,ABCD 平面BFED ⋂平面,ABCD BD =DE ⊂平面BEFD ，,DE DB ⊥ ∴,DE ABCD ⊥平面 …………………4分∴,DE AD ⊥又,DE BD D ⋂= ∴.AD BFED ⊥平面 …………………6分 （2）由（1）知BD ⊥平面,ADE …………………8分∵BD //EF , ∴,PE ADE ⊥平面且PE =…………………10分∴111||33239E APD P ADE ADE V V S PE --∆===⨯⨯=…………………12分20.解：（1）由题可得：1118211163m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得4, 1.m n ==所以曲线C 方程为22y 4x 1.+= ........4分（2）设直线MN 的方程为23+=kx y ，代入椭圆方程为1422=+x y 得：221(4)0.4++-=k x ∴441,43221221+-=+-=+k x x k k x x ， …………6分 ∴p q ⋅=u r r1122(2,)(2,)x y x y ⋅=042121=+y y x x …………8分 ∴0434)3(23441412222=++-⋅++-++-k k k k k k …………10分 即2,022±==-k k ................12分21.（本小题满分12分）解：（1）'22()(1)(),()()----==--x x x e x m e e x m f x x m x m '(,1)()0x m m f x ∈+<当时，，'(1,)()0x m f x ∈++∞>当时，，所以()∞f x m m m 在(,+1)上单调递减，在（+1,+）上单调递增..…………4分 （2）由（1）知()f x m m 在(,+1)上单调递减，所以其最小值为1(1)m f m e ++=.因为1(0,]2m ∈，()g x 在[,1]x m m ∈+最大值为2(1) 1.+++m m …………6分所以下面判断(1)f m +与2(1)1m m +++的大小，即判断x e 与x x )1(+的大小，其中311,.2⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦x m 令x x e x m x )1()(+-=，12)('--=x e x m x ，令'()()h x m x =，则'()2,=-x h x e'()20x x e =->，)('x m 单调递增；…………8分所以03)1('<-=e m ，04)23(23'>-=e m 使得012)(00'0=--=x e x m x所以)(x m 在()0,1x 上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0x 单调递增 …………10分 所以112)()(020020002000++-=--+=--=≥x x x x x x x e x m x m x01)(0200>++-=x x x 即x x e x )1(+>也即2(1)(1)1f m m m +>+++所以函数()y f x =的图象总在函数2()g x x x =+图象上方．……………..12分22．解：（Ⅰ）由题可知»BD 是以为A 圆心，DA 为半径作圆，而ABCD 为正方形，∴ED 为圆A 的切线.依据切割线定理得2ED EF EB =⋅. ………………………………2分∵圆O 以BC 为直径，∴EC 是圆O 的切线，同样依据切割线定理得2EC EF EB =⋅.……………………………4分故EC ED =.∴E 为CD 的中点. ……………………………5分（Ⅱ）连结CF ，∵BC 为圆O 的直径，∴CF BF ⊥ ………………………………6分 由BF CE BE BC S BCE ⋅=⋅=∆21211122BCES BC CE BE CF ∆=⨯=⨯得5CF ==…………………………8分 又在Rt BCE ∆中，由射影定理得24.5EF FB CF ⋅==……………………10分 23．解：(1)C 曲线的普通方程为:2222(1)1,2,x y x y x -+=+=即即22cos ρρθ=,:2cos C ρθ=即曲线的极坐标方程为. …………2分2().12x m t l t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩直线的参数方程为为参数 …………5分 (2)12,,,A B t t l 设两点对应的参数分别为将直线的参数方程代入222,x y x +=中2220,t t m m ++-=得2122t t m m =-所以, …………8分2|2|1,1,11m m m -==+由题意得得 …………10分24．解：（1）当3m =时，()5f x ≥即|6||3|5x x +--≥，①当6x <-时，得95-≥，所以x φ∈；②当63x -≤≤时，得635x x ++-≥，即1x ≥，所以13x ≤≤； ③当3x >时，得95≥，成立，所以3x >.…………………………………4分故不等式()5f x ≥的解集为{}|1x x ≥.…………………………………5分 （Ⅱ）因为|6||||6|x m x x m x +--≤++-＝|6|m + 由题意得67m +≤，则767m -≤+≤，…………8分 解得131m -≤≤,故m 的取值范围是[13,1]-.……………………………………………10分。
2024年高二下学期期末模拟数学试卷01(新题型)含参考答案
2023-2024学年高二下学期期末模拟数学试卷01(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)命题范围：第五章一元函数的导数及其应用----第八章成对数据的统计分析注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分(选择题共58分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(22-23高二下·江西赣州·阶段练习)已知f x =x2+2xf 1 ，则f1 =()A.0B.-4C.-2D.-32.(22-23高二下·江苏泰州·期末)口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.任取两球，用随机变量X表示取到的黑球数，则P X=2的值为()A.15B.110C.310D.353.(2023上·山东青岛·高三青岛二中校考期中)若1+x148的展开式中共有m个有理项，则m的值是()A.1B.2C.3D.44.(22-23高二下·河南郑州·阶段练习)某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮10次，每罚进一球记5分，不进记-1分，已知该同学的罚球命中率为60%，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为()A.30B.36C.20D.265.(22-23高二下·山东淄博·期末)某市高二年级进行了一次教学质量检测，考生共2万人，经统计分析数学成绩服从正态分布，其平均分为85分，60分以下的人数约15%，则数学成绩在85分至110分之间的考生人数约为()A.3000B.5000C.7000D.140006.(22-23高二下·山东菏泽·期末)有两箱零件，第一箱内有10件，其中有2件次品；第二箱内有20件，其中有3件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率是()A.790B.16C.740D.7207.(22-23高二下·山东淄博·期末)某医院要安排5名医生到A、B、C三个社区参加义诊，每位医生必须去一个社区，每个社区至少有一名医生．则不同的安排方法数为()A.150B.210C.240D.1808.(22-23高二下·江苏泰州·期末)在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若ξ是只取非负值的随机变量，则对∀a >0，都有P ξ≥a ≤E ξa.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A ，其概率为P A .则P A 的最大值为()A.271000B.2431000C.427D.49二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.(22-23高二下·湖北武汉·期末)下列说法正确的是()A.将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同B.线性回归直线y =b x +a 一定过样本点中心x ,yC.线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强D.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好10.(22-23高二下·江苏泰州·期末)关于二项式2x 2-1x5的展开式，下列说法正确的有()A.含x 5的项的系数为-80B.二项式系数和为32C.常数项为10D.只有第3项的二项式系数最大11.(22-23高二下·山东淄博·期末)事件A ，B 的概率分别为：P A =12，P B =13，则()A.若A ，B 为互斥事件，P A +B =56B.P A +B >56C.若A ，B 相互独立，P AB =13D.若P B A =13，则A ，B 相互独立第二部分(非选择题共92分)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.(22-23高二下·辽宁·阶段练习)某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩X ~N 90,δ2 ，且P X <60 =0.1，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀．若该校有1200名高三学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是．13.(22-23高二下·山东菏泽·期末)根据下面的数据：x 1234y31.652.57291.9求得y 关于x 的回归直线方程为y=20x +12，则这组数据相对于所求的回归直线方程的4个残差的方差为.14.(22-23高二下·北京昌平·期中)已知函数f x =e x ,(x >0)-x ,x ≤0，若直线y =kx +1与曲线y =f (x )有且只有一个公共点，则实数k的取值范围是四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．15.(22-23高二下·山东菏泽·期末)已知随机变量X的分布列为：X56789P0.1a0.2b0.3(1)若E X =385，求a、b的值；(2)记事件A：X≥7；事件B：X为偶数.已知P B A=16，求a，b的值.16.(2022·江苏南京·南京市宁海中学校考模拟预测)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个100元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个300元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个更合理？17.(22-23高二下·山东菏泽·期末)电商的兴起，促进了我市经济的发展.已知某电商平台对其牌下一家专营店在2022年3月至7月的营业收入y (单位：万元)进行统计，得到以下数据：月份x 34567营业收入y1012111220(1)依据表中给出的数据，用样本相关系数r 说明营业收入y 与月份x 的相关程度；(2)试用最小二乘法求出营业收入y 与月份x 的一元线性回归方程，并预测当x =8时该专营店的营业收入.r =ni =1(x i -x ) (y i -y )n i =1(x i -x )2 ni =1(y i -y )2 ，b =ni =1(x i -x ) (y i -y )n i =1(x i -x )2 =ni =1x i y i -nx y n i =1x 2i -nx 2a =y -b x，10≈3.162.以上各式仅供参考)18.(22-23高二下·江苏泰州·期末)某市举办大型车展，为了解该市人民对此次大型车展的关注情况，在该市随机地抽取男性和女性各100人进行调查统计，得到如下2×2列联表：关注不关注合计男性5050100女性3070100合计80120200(1)能否有99%的把握认为男性和女性对此次大型车展的关注程度有明显差差异？(2)有3位市民去参观此次大型车展，假设每人去新能源汽车展区的概率均为13，且相互独立.设这3位市民参观新能源汽车展区的人数为ξ，求ξ的概率分布和数学期望.附：χ2=n ad-bc2a+bc+da+cb+dPχ2≥x00.0500.0100.001 x0 3.841 6.63510.82819.(22-23高二下·山东淄博·期末)已知函数f x =2x3-3ax2+1a∈R．(1)讨论f x 的单调性；(2)若对∀x∈0,+∞，f x ≥0恒成立，求a的取值范围．2023-2024学年高二下学期期末模拟数学试卷01(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)命题范围：第五章一元函数的导数及其应用----第八章成对数据的统计分析注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分(选择题共58分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(22-23高二下·江西赣州·阶段练习)已知f x =x2+2xf 1 ，则f1 =()A.0B.-4C.-2D.-3【答案】D【分析】先求导函数，把x=1代入求得f 1 ，然后求得f1 =-3.【详解】由已知f x =2x+2f 1 ,f 1 =2+2f 1 ，则f 1 =-2，即f x =x2-4x，所以f1 =-3．故选：D．2.(22-23高二下·江苏泰州·期末)口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.任取两球，用随机变量X表示取到的黑球数，则P X=2的值为()A.15B.110C.310D.35【答案】B【分析】根据题意，由超几何分布的概率计算公式，代入计算即可得到结果.【详解】由题意可得，P X=2=C22C25=110.故选：B3.(2023上·山东青岛·高三青岛二中校考期中)若1+x148的展开式中共有m个有理项，则m的值是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】利用二项展开式通项即可得解.【详解】1+x 1 48的展开式通项为T r+1=C r8x r4，r=0,1,2,⋯,8，当r=0,4,8时，T1,T5,T9为有理项，故m=3.故选：C.4.(22-23高二下·河南郑州·阶段练习)某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮10次，每罚进一球记5分，不进记-1分，已知该同学的罚球命中率为60%，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为()A.30B.36C.20D.26【答案】D【分析】根据二项分布数学期望公式可求得该同学罚球命中次数的数学期望，结合罚球得分的规则可计算得到结果.【详解】记该同学罚球命中的次数为X ，则X ∼B 10,0.6 ，∴E X =10×0.6=6，∴该同学得分的数学期望为6×5+10-6 ×-1 =30-4=26.故选：D .5.(22-23高二下·山东淄博·期末)某市高二年级进行了一次教学质量检测，考生共2万人，经统计分析数学成绩服从正态分布，其平均分为85分，60分以下的人数约15%，则数学成绩在85分至110分之间的考生人数约为()A.3000B.5000C.7000D.14000【答案】C【分析】根据考生的数学成绩服从正态分布，数学成绩平均分为85分，得到正态曲线关于x =85对称，根据60分以下的人数约15%，高于110分的所占的比例也是15%，根据正态曲线的对称性，即可得到结果.【详解】∵考生的数学成绩服从正态分布，数学成绩平均分为85分，∴正态曲线关于x =85对称，∵60分以下的人数约15%，∴高于110分的所占的比例也是15%，∴数学成绩在85分至110分之间的考生人数所占百分比约50%-15%=35%，所以数学成绩在85分至110分之间的考生人数约为20000×35%=7000(人).故选：C6.(22-23高二下·山东菏泽·期末)有两箱零件，第一箱内有10件，其中有2件次品；第二箱内有20件，其中有3件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率是()A.790B.16C.740D.720【答案】C【分析】根据全概率公式计算可得.【详解】设事件A i 表示从第i i =1,2 箱中取一个零件，事件B 表示取出的零件是次品，则P B =P A 1B +P A 2B =P A 1 ⋅P (B |A 1)+P A 2 ⋅P (B |A 2)=12×210+12×320=740，即取出的零件是次品的概率为740.故选：C .7.(22-23高二下·山东淄博·期末)某医院要安排5名医生到A 、B 、C 三个社区参加义诊，每位医生必须去一个社区，每个社区至少有一名医生．则不同的安排方法数为()A.150B.210C.240D.180【答案】A【分析】先将5名医生分为三组，确定每组的人数，然后将这三组医生分配到A 、B 、C 三个社区，利用分步计数原理可得结果.【详解】将5名医生分为三组，每组人数分别为2、2、1或3、1、1，再将这三组医生分配到A 、B 、C 三个社区，由分步计数原理可知，不同的安排方法种数为C 25C 23A 22+C 35A 33=15+10 ×6=150.故选：A .8.(22-23高二下·江苏泰州·期末)在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若ξ是只取非负值的随机变量，则对∀a >0，都有P ξ≥a ≤E ξa.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A ，其概率为P A .则P A 的最大值为()A.271000B.2431000C.427D.49【答案】B【分析】记该市去年人均收入为X 万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为Y ,设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为p ，根据马尔可夫不等式可得0≤p ≤110，再根据二项分布求得P A =3p 1-p 2=3p 3-6p 2+3p ，令f (p )=3p 3-6p 2+3p ，求导判断单调性即可求得最大值.【详解】记该市去年人均收入为X 万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为Y .设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为p ，则根据马尔可夫不等式可得p =P X ≥100 ≤E X 100=10100=110，∴0≤p ≤110，因为Y ~B (3,p )，所以P A =P Y =1 =C 13p 1-p 2=3p 1-p 2=3p 3-6p 2+3p ，令f (p )=3p 3-6p 2+3p ，则f (p )=9p 2-12p +3=3(3p -1)(p -1)，∵0≤p ≤110,∴3p -1<0,p -1<0，即f (p )>0，∴f (p )在0,110上单调递增.∴f (p )max =f 110 =3×110×1-110 2=2431000，即P (A )max=2431000.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.(22-23高二下·湖北武汉·期末)下列说法正确的是()A.将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同B.线性回归直线y =b x +a 一定过样本点中心x ,yC.线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强D.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好【答案】ABD【分析】借助方差的性质、样本点中心的性质、线性相关系数的性质与残差的性质逐项判断即可得.【详解】对A ：由方差的性质可知，将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同，故A 正确；对B ：由a =y -b x ，故线性回归直线y =b x +a 一定过样本点中心x ,y，故B 正确；对C ：线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强，故C 错误；对D ：在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故D 正确.故选：ABD .10.(22-23高二下·江苏泰州·期末)关于二项式2x 2-1x5的展开式，下列说法正确的有()A.含x 5的项的系数为-80B.二项式系数和为32C.常数项为10D.只有第3项的二项式系数最大【答案】BC【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后逐个分析判断即可.【详解】二项式2x 2-1x5的展开式的通项公式为T r +1=C r 52x 2 5-r -1xr =C r 5⋅25-r ⋅-1 r x 10-52r，对于A ，令10-52r =5，得r =2，所以含x 5的项的系数为C 25⋅23⋅-1 2=80，所以A 错误，对于B ，二项式系数和为25=32，所以B 正确，对于C ，令10-52r =0，得r =4，所以常数项为C 45⋅2⋅-1 4=10，所以C 正确，对于D ，因为二项式2x 2-1x5的展开式共有6项，所以第3项和第4项的二项式系数最大，即C 25=C 35=10，所以D 错误，故选：BC11.(22-23高二下·山东淄博·期末)事件A ，B 的概率分别为：P A =12，P B =13，则()A.若A ，B 为互斥事件，P A +B =56B.P A +B >56C.若A ，B 相互独立，P AB =13 D.若P B A =13，则A ，B 相互独立【答案】AD【分析】利用互斥事件的定义及性质判断A 选项；利用和事件的关系判断B 选项；利用相互独立事件的定义及性质判断C 选项；利用条件概率公式，求解事件A 与B 的积事件，根据独立事件关系确定A 、B 的独立性可判断D .【详解】选项A ：若A ，B 为互斥事件，则P (AB )=0，所以P A +B =P A +P B -P (AB )=12+13-P (AB )=56，故A 正确；选项B ：P A +B =P A +P B -P (AB )=12+13-P (AB )≤56，故B 错误；选项C ：若A ，B 相互独立，所以P AB =1-P AB =1-P A ⋅P B =1-12×13=56，故C 错误；选项D ：因为P B A =P (AB )P (A )=13，所以P (AB )=P B |A ⋅P (A )=13×12=16=P (A )⋅P (B )，则A ，B 相互独立，故D 正确；故选：AD .【点睛】关键点点睛：通常判断两个事件是否相互独立，常用以下两种方法：1、事件独立性的定义：如果事件A 和事件B 相互不影响，则称事件A 和事件B 是相互独立的；2、乘法原理：如果事件A 和事件B 是相互独立，则它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积.第二部分(非选择题共92分)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.(22-23高二下·辽宁·阶段练习)某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩X ~N 90,δ2 ，且P X <60 =0.1，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀．若该校有1200名高三学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是．【答案】120【分析】由已知结合正态分布曲线的对称性得P X >120 =0.1，乘以总人数即可得出答案．【详解】由X ~N 90,δ2 ，得正态分布曲线的对称轴为x =90，因为P X <60 =0.1，所以P X >120 =0.1，则数学成绩为优秀的人数是1200×0.1=120，故答案为：120．13.(22-23高二下·山东菏泽·期末)根据下面的数据：x1234y31.652.57291.9求得y 关于x 的回归直线方程为y =20x +12，则这组数据相对于所求的回归直线方程的4个残差的方差为.【答案】0.105/21200【分析】分别计算出四个数据的估计值，即可求得残差，继而求得残差的平均数，根据方差公式即可求得答案.【详解】根据y =20x +12，分别将x =1,2,3,4代入求得y 分别为：32,52,72,92，则4个残差为-0.4,0.5,0,-0.1，残差的平均数为0，故残差的方差为s 2=14[(-0.4-0)2+(0.5-0)2+(0-0)2+(-0.1-0)2]=0.105，故答案为：0.10514.(22-23高二下·北京昌平·期中)已知函数f x =e x ,(x >0)-x ,x ≤0 ，若直线y =kx +1与曲线y =f (x )有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围是【答案】-1<k ≤1【分析】找到直线y =kx +1与y =e x 相切时的斜率k =1以及y =kx +1与y =-x 平行时的斜率k =-1，通过转动直线即可得到k 的范围.【详解】y =kx +1过定点(0,1)，f x =e x 求导有f x =e x ，f 0 =1，且f 0 =1，y =e x 在(0,1)处的切线斜率为1，要满足y =kx +1与曲线f (x )有且仅有一个公共点，当直线y =kx +1与y =-x 平行时，此时k =-1，转动直线y =kx +1可知-1<k ≤1.故答案为：-1<k ≤1.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．15.(22-23高二下·山东菏泽·期末)已知随机变量X 的分布列为：X56789P 0.1a 0.2b0.3(1)若E X =385，求a 、b 的值；(2)记事件A ：X ≥7；事件B ：X 为偶数.已知P B A =16，求a ，b 的值.【答案】(1)a =0.1，b =0.3；(2)a =0.3,b =0.1.【分析】(1)由随机变量分布列的性质和E X =385联立方程，解出即可；(2)由事件A ：X ≥7,可得P A =0.5+b ，又事件B ：X 为偶数,得P AB =P X =8 =b ，再根据条件概率可求得a ,b 的值.【详解】(1)由随机变量分布列的性质,有0.1+a +0.2+b +0.3=1, 得a +b =0.4，即b =0.4-a ,又E X =5×0.1+6×a +7×0.2+8×b +9×0.3=0.5+6a +1.4+80.4-a +2.7=7.8+2b =385，解得b =0.3,a =0.1.(2)由事件A ：X ≥7,得P A =P X =7 +P X =8 +P X =9 =0.2+b +0.3=0.5+b ，又事件B ：X 为偶数,得P AB =P X =8 =b ，所以P B A =P AB P A=b 0.5+b =16,解得b =0.1.由(1)知a +b =0.4,所以a =0.3.所以a =0.3,b =0.1.16.(2022·江苏南京·南京市宁海中学校考模拟预测)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个100元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个300元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个更合理？【答案】(1)分布列见解析；(2)选n=19更合理，理由见解析.【分析】(1)由柱状图，易得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求得其相应概率，列出分布列；(2)购买零件所需费用含两部分：一部分为购买零件的费用，令一部分为备件不足时额外购买的费用，结合(1)分别求出n=19、n=20时费用的期望即可下结论.【详解】(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，从而P(X=16)=0.2×0.2=0.04；P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16；P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24；P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24；P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2；P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08；P(X=22)=0.2×0.2=0.04；所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)购买零件所需费用含两部分：一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n=19时，费用的期望为：19×100+300×0.2+600×0.08+900×0.04=2044元，当n=20时，费用的期望为：20×100+300×0.08+600×0.04=2048元，因为2044<2048，所以选n=19更适合.17.(22-23高二下·山东菏泽·期末)电商的兴起，促进了我市经济的发展.已知某电商平台对其牌下一家专营店在2022年3月至7月的营业收入y(单位：万元)进行统计，得到以下数据：月份x34567营业收入y 1012111220(1)依据表中给出的数据，用样本相关系数r 说明营业收入y 与月份x 的相关程度；(2)试用最小二乘法求出营业收入y 与月份x 的一元线性回归方程，并预测当x =8时该专营店的营业收入.r =n i =1(x i -x ) (y i -y )n i =1(x i -x )2 n i =1(y i -y )2 ，b =n i =1(x i -x ) (y i -y )n i =1(x i -x )2 =ni =1x i y i -nx y n i =1x 2i -nx 2 a =y -b x ，10≈3.162.以上各式仅供参考)【答案】(1)r ≈0.79，营业收入y 与月份x 的相关程度很强(2)线性回归方程为y =2x +3，当x =8时该专营店的营业收入为19万元【分析】(1)计算出x 、y ，5i =1x i -x y i -y 、5i =1x i -x 2 、5i =1y i -y 2 ，代入r 可得答案；(2)用最小二乘法求出营业收入y 与月份x 的一元线性回归方程，并代入x =8可得答案.【详解】(1)x =3+4+5+6+75=5，y =10+12+11+12+205=13，5i =1(x i -x ) (y i -y )=3-5 10-13 +4-5 12-13 +5-5 11-13+6-5 12-13 +7-5 20-13 =20，5i =1x i -x 2 =3-5 2+4-5 2+5-5 2+6-5 2+7-5 2=10，5i =1y i -y2 =10-13 2+12-13 2+11-13 2+12-13 2+20-13 2=64，所以r =5i =1x i -x y i -y5i =1x i -x 2 5i =1y i -y 2 =2010×64≈0.79，因为r ≈0.79∈0.75,1 ，说明营业收入y 与月份x 的相关程度很强，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系；(2)由(1)，b =5i =1x i -x y i -y5i =1x i -x 2 =2010=2，a =y -b x =13-2×5=3，所以y 关于x 的线性回归方程为y =2x +3，当x =8时该专营店的营业收入为y =2×8+3=19万元.18.(22-23高二下·江苏泰州·期末)某市举办大型车展，为了解该市人民对此次大型车展的关注情况，在该市随机地抽取男性和女性各100人进行调查统计，得到如下2×2列联表：关注不关注合计男性5050100女性3070100合计80120200(1)能否有99%的把握认为男性和女性对此次大型车展的关注程度有明显差差异？(2)有3位市民去参观此次大型车展，假设每人去新能源汽车展区的概率均为13，且相互独立.设这3位市民参观新能源汽车展区的人数为ξ，求ξ的概率分布和数学期望.附：χ2=n ad -bc 2a +b c +d a +c b +dP χ2≥x 00.0500.0100.001x 0 3.841 6.63510.828【答案】(1)有(2)分布列见解析，数学期望为1【分析】(1)根据表中的数据利用公式χ2=n ad -bc 2a +bc +d a +c b +d 求解χ2，再根据临界值表进行判断即可，(2)由题意知ξ的可能取值为：0，1，2，3，而ξ∼B 3,13，所以利用二项分布的概率公式求出各自对应的概率，从而可求得ξ的概率分布和数学期望.【详解】(1)提出假设H 0：男性和女性对此次大型车展的关注程度没有明显差异.由列联表中的数据可得：χ2=20050×70-50×30 2100×100×80×120=253≈8.333，因为当H 0成立时，P χ2≥6.635 ≈0.010，这里的χ2≈8.000>6.635，所以我们有99%的把握认为男性和女性对此次大型车展的关注程度有明显差异.(2)由题意知ξ的可能取值为：0，1，2，3.因为ξ∼B 3,13，所以P ξ=k =C k 313 k 23 3-k ，其中k =0，1，2，3，故ξ的概率分布表为：ξ0123P 8274929127所以E ξ =0×827+1×49+2×29+3×127=1，所以随机变量ξ的数学期望为1.19.(22-23高二下·山东淄博·期末)已知函数f x =2x 3-3ax 2+1a ∈R ．(1)讨论f x 的单调性；(2)若对∀x ∈0,+∞ ，f x ≥0恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)-∞,1【分析】(1)首先求函数的导数，讨论导数零点的大小关系，从而判断函数的单调性；(2)参变分离可得a ≤23x +13x 2对∀x ∈0,+∞ 恒成立，令F x =23x +13x2，x ∈0,+∞ ，利用导数求出函数的最小值，即可得解.【详解】(1)f x =2x 3-3ax 2+1定义域为R ，f x =6x 2-6ax =6x x -a ，当a >0时，令f x >0，得x >a 或x <0，令f x <0，得0<x <a ，函数的单调递增区间是-∞,0 和a ,+∞ ，单调递减区间是0,a ；当a <0时，令f x >0，得x >0或x <a ，令f x <0，得a <x <0，函数的单调递增区间是-∞,a 和0,+∞ ，单调递减区间是a ,0 ；当a =0时，f x =6x 2≥0恒成立，函数在-∞,+∞ 单调递增.综上可知，当a >0时，函数的单调递增区间是-∞,0 和a ,+∞ ，单调递减区间是0,a ；当a <0时，函数的单调递增区间是-∞,a 和0,+∞ ，单调递减区间是a ,0 ；当a =0时，函数的单调递增区间是-∞,+∞ ，无减区间.(2)若函数f x =2x 3-3ax 2+1≥0，对∀x ∈0,+∞ 恒成立，即a ≤23x +13x2对∀x ∈0,+∞ 恒成立，令F x =23x +13x2，x ∈0,+∞ ，则F x =23-23x 3=2x 3-1 3x 3，当0<x <1时F x <0，当x >1时F x >0，所以F x 在区间0,1 上单调递减，在区间1,+∞ 上单调递增，所以F x 在x =1处取得极小值即最小值F x min =F 1 =1，所以a ≤1，即实数a 的取值范围为-∞,1 .。
广东省广州市重点高中2021-2022学年高二下学期期末考试数学模拟卷(一)含答案
种 C.20种A. B. C.D．C．234，空间中的动点P 满足22PB PC += ，则2⎤⎦C．4⎡⎣与抛物线x y 42=相交于B A ,两点，设直线C.2分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求），若()()30,20E X D X ==，则B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，若()1P p ξ>=，则(10P ξ-<≤次射击中，击中目标的次数为X ，且()10,0.9X B ~，则当项，则下列说法中正确的有（）B．所有项的系数和为123项D．有理项共5项11.如图，点M 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中的侧面11ADD A 上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（）A．有无数个点M 满足1CM AD ⊥B．当点M 在棱1DD 上运动时，1MA MB +的最小值为31+C．若12MB =，则动点M 的轨迹长度为π4D．在线段1AD 上存在点M ，使异面直线1MB 与CD 所成的角是3012.已知P 为双曲线22221x y a b-=右支上的一个动点（不经过顶点），1F ，2F 分别是双曲线的左，右焦点，12PF F △的内切圆圆心为I ，过2F 做2F A PI ⊥，垂足为A ，下列结论正确的是（）A．I 在定直线上B．1212PF F IF F S S △△为定值C．OA 为定值D．AP 为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知ABC 的外心为O，2AO AB AC =+ ，||||1AO AB == ，则AO AC ⋅=________．14.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，写出{}n a 的一个通项公式n a =________，满足下面两个条件：①{}n a 是单调递减数列；②{}n S 是单调递增数列.15.已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点12F F ､，椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，点P 为椭圆1C 与双曲线2C 的第一象限的交点，且123F PF π∠=，则1212e e e e +的取值范围是________．16.某市公租房的房源位于A ,B ,C 三个片区，设每位申请人只能申请其中一个片区的房子，申请其中任一个片区的房屋是等可能的，则该市的任4位申请人中，申请的房源在2个片区的概率是_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17.在ABC △中，5,cos 43B C π∠==．（1）求cos A 的值；（2）点D 为边BC 上的动点（不与C 点重合），设AD DC λ=，求λ的取值范围．18.已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且满足*21()n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；（2）若数列{}n b 满足|15|n n b S =-，求数列{}n b 的前n 项的和n T .19.如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，,E F 分别是PA ，PC 的中点.（1）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，求证：直线l //平面PAC ；（2）若2PC AB ==，点C 是 AB 的中点，求二面角E l C --的正弦值.20.为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中A 指标的值.养殖场将某周的5000只家禽血液样本中A 指标的检测数据进行整理，绘成如下频率分布直方图（1）根据频率分布直方图，估计这5000只家禽血液样本中A 指标值的中位数（结果保留两位小数）；（通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中A 指标的值X 服从正态分布()27.4,2.63.N （i）若其中一个养殖棚有1000只家禽，估计其中血液A 指标的值不超过10.03的家禽数量（结果保留整数）；（ii）在统计学中，把发生概率小于1%的事件称为小概率事件，通常认为小概率事件的发生是不正常的.该养殖场除定期抽检外，每天还会随机抽检20只，若某天发现抽检的20只家禽中恰有3只血液中A 指标的值大于12.66，判断这一天该养殖场的家禽健康状况是否正常，并分析说明理由.参考数据：①3170.022750.00001,0.977250.7≈≈；②若()2,X N μσ ，则;9545.0)22(;6827.0)(≈+≤≤-≈+≤≤-σμσμσμσμX P X P 21.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 短轴长为2，F 是C 的左焦点，B A ，是C 上关于x 轴对称的两点，ABF ∆周长的最大值为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）斜率为k 且不经过原点O 的直线l 与椭圆C 交于N M ,两点，若直线ON OM ,的斜率分别为21,k k ，且212k k k =，求直线l 的斜率，并判断22||||ON OM +的值是否为定值？若为定值，试求出此定值；否则，说明理由．22.已知函数2()4ln ,f x x x a x a =-+∈R ，函数()f x 的导函数为()f x '．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x '有两个零点()1212,x x x x <，且不等式()12f x mx ≥恒成立，求实数m 的取值范围．绝密★启用前2022年广州市重点高中高二下数学期末考试模拟卷（一）数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题（1）D （2）B （3）D （4）A （5）B （6）A（7）D （8）A二．多选题（9）BCD （10）BD （11）AC （12）ABC三．填空题（13）32（14）12n⎛⎫ ⎪⎝⎭（答案不唯一）（15）3,1,42⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭（16）271416解析：解析：总可能事件数：8134=，当其中一个人分到一个片区，其他三人分在另一个片区：24121314=C C C ，也可以：相当于031--不定项分配：2433003314=A C C C ，当其中二个人分到一个片区，其他二人分在另一个片区：相当于2-2-0分配到三个地方去：183322002224=A A C C C ，所以2714811824=+四、解答题：17.解：（1）在ABC △，5cos 3C =，所以22sin 1cos 3C C =-=.……………………………………………1分所以cos cos cos sin sin cos cos 4444A C C C C πππππ⎛⎫⎛⎫=--=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2225221023236-=⨯-⨯=（2）由（1）可知2210cos 06A -=<，所以2A π>．因为sin sin AD DC C DAC =∠，所以sin 2sin 3sin AD C DC DAC DACλ===∠∠．因为0DAC BAC <∠∠≤，所以sin (0,1]DAC ∠∈．…………10分所以2,3λ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．…………………………………………………………………………………………………12分18.解析：（1）由21n n S a =-得：1121S a =-，即11a =，由21n n S a =-得：1121n n S a ++=-，两式相减得:1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，即数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，则12n n a -=，则122112n n n S -==--.…………………………………………………………………………………………………6分（2）由（1）知：|216|nn b =-，则162(14)216(4)n n n n b n ⎧-≤≤=⎨->⎩，则当14n ≤≤时，12(162)(162)(162)nn T =-+-++- 122(12)16(222)1612n nn n -=-+++=-- 11622n n +=-+；当4n >时，124567(162)(162)(162)(216)(216)(216)(216)nn T =-+-++-+-+-+-++- 1242(222)16nT n =++++- 12(12)234162166612n n n n +-=⨯+-=-+-则111622(14)21666(4)n n n n n T n n ++⎧-+≤≤=⎨-+>⎩.…………………………………………………………………………………12分19.解析：（1）因为,E F 分别是,PA PC 的中点，所以//EF AC ，又因为AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，所以//EF 平面ABC又EF ⊂平面BEF ，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，所以//EF l ，而l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以//l 平面PAC（2）如图，因为AB 是圆O 的直径，点C 是 AB 的中点，2AB =所以CA CB ⊥，2CA CB ==因为直线PC ⊥平面ABC 所以,PC CA PC CB ⊥⊥所以以C 为原点，直线CA ，CB ，CP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，则(0,0,1)F ，(0,2,0)B ，2(,0,1)2E 所以(0,2,1)BF =-uu u r ，2(,2,1)2BE =- 设平面EFB 的法向量(,,)n x y z = ，则·0·0BF n BE n ⎧=⎨=⎩，即202202y z x y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则0,2x z ==得(0,1,2)n = 因为直线PC ⊥平面ABC 所以(0,0,1)CP =为平面ABC 的法向量所以26cos ,3||||3CP nCP n CP n <>===，所以二面角E l C --的正弦值为3320.解析：（1）由()()20.020.060.140.44,20.020.060.140.180.8⨯++=⨯+++=可得中位数在区间(]7,9内，设中位数为x ，则()20.020.060.14(7)20.5x ⨯+++-⨯=，解得7.03x =；（2）（i）由()27.4,2.63.X N 可得6827.0)03.1077.4()63.24.763.24.7(≈≤≤=+≤≤-X P X P ，则84135.05.02)03.1077.4()03.10(≈+≤≤=≤X P X P ，10000.84135841.35841⨯=≈只；（ii）9545.0)66.1214.2()63.224.763.224.7(≈≤≤=⨯+≤≤⨯-X P X P ，()10.954512.660.022752P X ->≈=，随机抽检20只相当于进行20次独立重复实验，设恰有3只血液中A 指标的值大于12.66为事件B ，则()173320()C 0.0227510.022750.007981%P B =⨯⨯-≈<，所以这一天该养殖场的家禽健康状况不正常.21.解：(1)设AB 与x 轴的交点为H ，右交点为2F .由题意||||2AF AH ≤，则a AF AF AH AF 2||||||||211=+≤+，当AB 过右焦点2F 时，ABF ∆周长取最大值2,84=∴=a a ，且1=b ，∴椭圆C 的标准方程为1422=+y x ，(2)设直线l 的方程为)0(=/+=m m kx y ，),(11y x M ，),(22y x N ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1422，得0)1(48)41(222=-+++m kmx x k ，221418k km x x +-=+∴，222141)1(4k m x x +-=.由题知21221221212121212)())((x x m x x km k xx m kx m kx x x y y k k k +++=++===，0)(221=++∴m x x km ，04182222=++-∴m k m k ..41,02=∴=/k m 此时2222214)418()(m k km x x =+-=+，)1(241)1(422221-=+-=m km x x ，则4141||||222221212222212122x x x x y x y x ON OM -++-+=+++=+52)]1(44[432]2)[(432)(4322212212221=+--=+-+=++=m m x x x x x x ，故直线l 的斜率为21±=k ，5||||22=+ON OM .22.【解析】方法一：（1）由2()4ln f x x x a x =-+得，函数的定义域为(0,)+∞，且224()24a x x af x x x x-=-='++，令()0f x '>，即2240x x a -+>，①当Δ1680a =-≤，即2a ≥时，2240x x a -+≥恒成立，所以()f x 在(0,)+∞单调递增；②当Δ0>，即2a <时，令12242242,22a ax x --+-==，当02a <<时，120x x <<，所()f x 在()()120,,x x +∞，上单调递增，在()12,x x 上单调递减；当0a ≤时，120x x <<，所以()f x 在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增．（2）由（1）可得，()f x '有两个零点()1212,x x x x <，则02a <<，且122x x +=，因为12x x <，所以1201,12x x <<<<，由不等式()12f x mx ≥，恒成立得()12f x m x ≤，只需()12minf x m x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，又()()222111111111211442ln 4ln 22x x x x x f x x x a x x x x -+--+==--1111422ln 2x x x x =-++-，设11114()22ln (01)2h x x x x x x =-++<<-，2(4)()2ln (2)x x h x x x +-'-=，由01x <<可得，()0h x '<，即()h x 在(0,1)单调递减，所以()(1)3h x h >=-，所以3m ≤-．方法二：（1）2224()240240,Δ168a x x af x x x x a ax x-+=-+==⇒-='+=-①当Δ0≤，即2a ≥时，()0,()f x f x ≥'在(0,)+∞上 ②当Δ0>，即2a <时（ⅰ）若0a ≤时，由22422402ax x a x +--+=⇒=当24202a x +-<<时，()0,()f x f x '< ；当2422ax +->时，()0,()f x f x '> （ⅱ）若02a <<时，由22422402ax x a x ±--+>⇒=当24202ax --<<时，()0,()f x f x '> ；当24224222a a x --+-<<时，()0,()f x f x '< ；当2422ax +->时，()0,()f x f x '> ．（2）()f x '有两个零点，由（1）知02a <<此时12,x x 是一元二次方程2240x ax a -+=的两个不等实根且122x x +=，12012x x <<<<，211240x x a -+=由()()1122minf x f x mx m x ⎡⎤≥⇒≤⎢⎥⎣⎦()()2221111111111112111442ln 4ln 422ln 222x x x x x f x x x a x x x x x x x x -+--+===--+---令4()22ln ,(0,1)2g x x x x x x =--+∈-，224(4)()12ln 22ln 0(2)(2)x x g x x x x x -=--++=+-'<-∴()g x 在(0,1)上 ，∴()(1)3g x g >=-即()123f x x >-∴3m ≤-．。
广东省广州市数学高二下学期文数期末考试试卷
广东省广州市数学高二下学期文数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·淄博模拟) 设全集，集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）设i为虚数单位，则（1+i）4的值为（）A . 4B . ﹣4C . 4iD . ﹣4i3. （2分） (2019高一上·泉港月考) 设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则（）．A . c>b>aB . b>c>aC . a>c>bD . a>b>c4. （2分）(2017·扶沟模拟) 设命题p：∀x＞0，log2x＜2x+3，则￢p为（）A . ∀x＞0，log2x≥2x+3B . ∃x＞0，log2x≥2x+3C . ∃x＞0，log2x＜2x+3D . ∀x＜0，log2x≥2x+35. （2分）已知实数x，y满足x＞y，则下列关系式恒成立的是（）A .B .C .D .6. （2分）用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A . a，b都能被5整除B . a，b都不能被5整除C . a，b不都能被5整除D . a不能被5整除7. （2分）某单位在月份用电量（单位：千度）的数据如表：月份x2356用电量3 4.5 5.57已知用电量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归方程 = x+1，由此可预测7月份用电量（单位：千度）约为（）A . 6B . 7C . 8D . 98. （2分）已知f(x)是R上的偶函数，若将f(x)的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，若f(2)=-1,则f(1)+f(2)+f(3)+......f(2009) = （）A . 0B . 1C . －1D . －1004.59. （2分）下图是某光缆的结构图,其中数字为某段的最大信息量,则从M到N的最大信息量为（）A . 6B . 7C . 12D . 2110. （2分）已知直线l，m，平面α，β满足l⊥α，m⊂β，则“l⊥m”是“α∥β”的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件11. （2分） (2019高一上·赣县月考) 已知函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，且在[1，+∞）上单调递减，f（0）=0，则f（x+1）＞0的解集为（）A . （1，+∞）B . （﹣1，1）C . （﹣∞，﹣1）D . （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）12. （2分） (2019高一上·郑州期中) 定义在上的函数满足：① ，② ，③ 且时，，则等于（）A . 1B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）函数f(x)＝的定义域为________．14. （1分）已知为数列的前项和，且，若，，给定四个命题① ；② ；③ ；④ .则上述四个命题中真命题的序号为________.15. （1分） (2017·漳州模拟) 甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第一名的是________．16. （1分） (2018高一上·河南月考) 下列结论：①y＝πx是指数函数②函数既是偶函数又是奇函数③函数的单调递减区间是④在增函数与减函数的定义中，可以把任意两个自变量”改为“存在两个自变量⑤ 与表示同一个集合⑥所有的单调函数都有最值其中正确命题的序号是________。
广州市2019-2020年高二下学期期末考试数学(文)试题
高二下册数学期末试题（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设命题，则为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据全称命题的否定解答.详解：由全称命题的否定得为：，故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 全称命题：,全称命题的否定（）：.2. 已知集合，则中元素的个数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先化简集合B,再求中元素的个数.详解：由题得B={-2,-1,0},所以={0}，故中元素的个数为1，故答案为：B.点睛：(1)本题主要考查集合的化简和集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 解答集合的题目时，首先要看集合“|”前集合元素的一般形式，如，表示的是函数的值域. 集合表示的是函数的定义域.3. 复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：先化简复数z,再看复数z在复平面内对应的点所在的象限.详解：由题得，所以复数z在复平面内对应的点为（2,4），故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数对应的点是（a,b）,点（a,b）所在的象限就是复数对应的点所在的象限.复数和点（a,b）是一一对应的关系.4. 下列四个函数中，在上为减函数的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：直接画出每一个选项对应的函数的图像，即得解.详解：对于选项A,函数的图像的对称轴为开口向上，所以函数在上为减函数.所以选项A是正确的.对于选项B,在在上为增函数，所以选项B是错误的. 对于选项C,在在上为增函数，所以选项C是错误的.对于选项D,,当x=0时，没有意义，所以选项D是错误的.故答案为：A.点睛：本题主要考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.5. 已知函数，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：首先根据题意，将自变量的值代入函数解析式，利用对数式和指数式的运算性质，求得关于的等量关系式，从而求得结果.详解：根据题意得，即，解得，故选D.点睛：该题考查的是有关已知函数值，求自变量的问题，在解题的过程中，需要将相关量代入解析式，得到参数所满足的条件，求解即可得结果.6. 函数在区间上的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先求导得到函数的单调性，即得函数的最小值.详解：由题得，因为x∈，所以所以函数f(x)在上单调递减，所以，故答案为：D.点睛：(1)本题主要考查求导和利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 一般地，函数在某个区间可导，＜0 在这个区间是减函数.7. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由，解得，所以“”是“”成立的必要不充分条件.故选B.8. 现有下面三个命题常数数列既是等差数列也是等比数列；；椭圆的离心率为.下列命题中为假命题的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：首先将题中所给的几个命题的真假作出判断，根据0常数列是等差数列但不是等比数列，得到是真命题，根据二次式和对数式的性质，可得是真命题，求出椭圆的离心率，可得是假命题，之后根据复合命题真值表得到结果.详解：，常数均为0的数列是等差数列，不是等比数列，故其为假命题；，当时，，所以，，故其为真命题；，椭圆表示焦点在轴上的椭圆，且，所以，所以其离心率，故其为假命题，所以为真命题，为真命题，为假命题，为真命题，故选C.点睛：该题考查的是有关命题的真假判断，所涉及到的知识点有简单命题的真假判断和复合命题的真假判断，而要判断复合命题的真假，对于三个简单命题的真值必须要作出正确判断，这就要求平时对基础知识要牢固掌握.9. “已知函数，求证：与中至少有一个不少于.”用反证法证明这个命题时，下列假设正确的是（）A. 假设且B. 假设且C. 假设与中至多有一个不小于D. 假设与中至少有一个不大于【答案】B【解析】分析：因为与中至少有一个不少于的否定是且，所以选B. 详解：因为与中至少有一个不少于的否定是且，故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)两个数中至少有一个大于等于a的否定是两个数都小于a.10. 设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先判断b是负数，再分析出a<1,c>1，即得解.详解：由题得，，.故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)比较实数的大小，一般先把所有的数分成正数和负数两个集合，再把正数和1比较，负数和“-1”比较.11. 函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵，∴函数为奇函数，排除B，D.又，故排除C，故选：A点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．12. 已知函数有个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：先构造函数，再利用导数求函数g(x)的单调区间和最值，再通过数形结合分析得到a的取值范围.详解：设，所以，所以函数g(x)的单调增区间为，单调减区间为，所以.当时，当即时，的图像和y=a-1有两个零点.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力数形结合的思想方法.(2)零点问题的处理常用的方法有方程法、图像法和方程+图像法,本题利用的是方程+图像法.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若函数，则__________．【答案】2【解析】分析:先求导,再令x=1即得解.详解：由题得故答案为：2.点睛：本题主要考查函数的求导，意在考查学生对该知识的掌握水平.14. 已知函数，则__________．【答案】【解析】分析：先计算，再计算的值.详解：由题得=所以故答案为：.点睛：（1）本题主要考查分段函数求值和对数指数的化简求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本运算能力.(2)分段函数求值，一般从里往外.15. 设复数满足，则的虚部为__________．【答案】-7【解析】分析：先求出复数z,再求z的虚部.详解：由题得，所以z的虚部为-7，故答案为：-7.点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的虚部概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数的实部是a,虚部为b，不是bi.16. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，甲说:我没去过城市；乙说:我去过的城市比甲多，但没去过城市；丙说:我们三人去过同一城市，由此可判断甲去过的城市为__________．【答案】A【解析】分析：一般利用假设分析法，找到甲去过的城市.详解：假设甲去过的城市为A,则乙去过的城市为A,C，丙去过A城市.假设甲去过的城市为B时，则乙说的不正确,所以甲去过城市不能为B.故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查推理证明，意在考查学生对该知识的掌握水平和推理能力.(2)类似本题的题目，一般都是利用假设分析推理法找到答案.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知复数.（1）若是纯虚数，求；（2）若，求.【答案】(1);(2)见解析.【解析】分析：（1）根据纯虚数的定义得到，解不等式组即得a的值.(2)由题得，解之得a的值，再求.详解：（1）若是纯虚数，则，所以（2）因为，所以，所以或.当时，，当时，.点睛：（1）本题主要考查复数的概念、复数的模和共轭复数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数为纯虚数不要把下面的b≠0漏掉了.18. 已知函数在区间上是减函数；关于的不等式无解.如果“”为假，“”为真，求的取值范围. 【答案】【解析】分析：先化简命题p,q得到m的取值范围，再分析“”为假，“”为真时，命题p，q的真假情况，得到m的不等式组，解之得m的取值范围.详解：若为真，则对称轴，即若为真，则，即，解得因为“”为假，“”为真，所以一真一假.若真假，则，得或若真假，则，得综上，所以或，即的取值范围是.点睛：（1）本题主要考查复合命题真假的判定，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.19. （1）在平面上，若两个正方形的边长的比为，则它们的面积比为.类似地，在空间中，对应的结论是什么？（2）已知数列满足，求，并由此归纳得出的通项公式（无需证明）.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】分析：（1）利用类比推理得到若两正方体的棱长的比为，则它们的体积之比为.（2）先根据递推式得到的值，再归纳出.详解：（1）对应的结论为：若两正方体的棱长的比为，则它们的体积之比为.（2）由，得，由此可归纳得到.点睛：（1）本题主要考查类比推理和不完全归纳法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.（2）在平面中类比时，长度的比与面积的比一般类比为空间长度的比与体积的比.20. 市某机构为了调查该市市民对我国申办2034年足球世界杯的态度，随机选取了位市民进行调查，调查结果统计如下:不支持支持合计男性市民女性市民合计（1）根据已知数据把表格数据填写完整；（2）利用(1)完成的表格数据回答下列问题:（i）能否有的把握认为支持申办足球世界杯与性别有关；（ii）已知在被调查的支持申办足球世界杯的男性市民中有位退休老人，其中位是教师，现从这位退体老人中随机抽取人，求至多有位老师的概率.参考公式：，其中.参考数据：【答案】(1)见解析;(2)（i）有的把握认为支持申办足球世界杯与性别有关. （ii）. 【解析】分析：（1）根据已知数据的关系把表格数据填写完整.(2) （i）利用公式求出,再根据参考数据表判定能否有的把握认为支持申办足球世界杯与性别有关. （ii）利用古典概型求至多有位老师的概率.详解：（1）不支持支持合计男性市民女性市民合计（2）（i）由已知数据可求得所以有的把握认为支持申办足球世界杯与性别有关.（ii）从人中任意取人的情况有种，其中至多有位教师的情况有种，故所求的概率.点睛：（1）本题主要考查独立性检验和古典概型，意在考查学生对这些知识的掌握能力和解决实际问题的能力.(2) 古典概型的解题步骤:①求出试验的总的基本事件数；②求出事件A 所包含的基本事件数；③代公式=.21. 已知函数.（1）当，求函数的单调区间；（2）若函数在上是减函数，求的最小值；【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是;(2).【解析】分析：（1）先求导，再利用导数求函数的单调区间.(2)先转化为在上恒成立，再转化为，再求≤0，即得a的最小值.详解：函数的定义域为，（1）函数，当且时，；当时，，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是（2）因在上为减函数，故在上恒成立.所以当时，，又，故当，即时，.所以，于是，故的最小值为.点睛：（1）本题主要考查导数求函数的单调区间，考查导数解决恒成立问题，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是转化为，其二是利用二次函数求得.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程设直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于两点，点，求的值.【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）直接利用极坐标公式把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)利用直线参数方程t的几何意义解答，求的值.详解：（1）由曲线的极坐标方程为，即，可得直角坐标方程.（2）把直线的参数方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程可得- 11 -∴.∴.点睛：（1）本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查直线参数方程t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和转化能力.(2) 过定点、倾斜角为的直线的参数方程（为参数）.当动点在定点上方时,. 当动点在定点下方时,.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】试题分析：（1）根据“零点分段法”分为，，三种情形，分别解出不等式，再取并集即可；（2）法一：对恒成立等价于对恒成立，利用绝对值三角不等式，求得取得最小值，即可求得的取值范围；法二：设，则，根据绝对值三角不等式求得得最小值，从而求得的取值范围.试题解析：（1）因为，所以当时，由得；当时，由得；当时，由得.综上，的解集为.（2）法一：由得，因为，当且仅当取等号，所以当时，取得最小值.所以当时，取得最小值，故，即的取值范围为.- 12 -法二：设，则，当时，取得最小值，所以当时，取得最小值，故时，即的取值范围为.点睛：含绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.- 13 -。
广东省广州市年高二下学期期末考试数学文
高二年下学期期末考试文科数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1、复数i ﹣1(i 是虚数单位)的虚部是( )A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i2、某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用框图表示，这种框图通常称为( )A ．程序流程图B ．工序流程图C ．知识结构图D ．组织结构图 3、点)3,1(-P ，则它的极坐标是( )A ．)3,2(πB ．)34,2(π C ．)3,2(π-D ．)34,2(π-4、已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是( )A ．yˆ=1.23x +4 B ．yˆ=1.23x ﹣0.08 C ．yˆ=1.23x +0.8 D ．y ˆ=1.23x +0.08 5、已知点M 的球坐标为)6,3,1(ππ，则它的直角坐标为( )A ．)6,3,1(ππ B ．)21,43,43( C ．)21,43,43( D ．)23,43,43( 6、对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出两个判断：①0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ；②a c c b b a ≠≠≠,,不能同时成立，下列说法正确的是( )A ．①对②错B ．①错②对C ．①对②对D ．①错②错7、某程序框图如图，该程序运行输出的值是( )A ．4B ．5C ．6D ．78、下列正确的是( )A ．类比推理是由特殊到一般的推理B ．演绎推理是由特殊到一般的推理C ．归纳推理是由个别到一般的推理D ．合情推理可以作为证明的步骤9、用反证法证明命题：“若a ，N b ∈，ab 能被5整除，则a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a ，b 有一个能被5整除D ．a ，b 有一个不能被5整除 10、在复平面内，复数201532i iZ +-=对应的点位于( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限11、设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则cb a Sr ++=2，类比这个结论可知：四面体S —ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S —ABC 的体积为V ，则R 等于( )A ．4321S S S S V+++B ．43212S S S S V+++C ．43213S S S S V+++D ．43214S S S S V+++12、将2n 个正整数1、2、3、 、2n （2≥n ）任意排成n 行n 列的数表．对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a 、b （a >b ）的比值ba，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当n =2时，数表的所有可能的“特征值”最大值为( )A ．3B ．2C ．23D ．34 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13、在极坐标系中，直线l 的方程为5cos =θρ，则点)3,4(π到直线l 的距离为14、在复平面内，记复数i +3对应的向量为OZ ，若向量OZ 绕坐标原点逆时针旋转060 得到新向量Z O '所对应的复数为_____________15、在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为θθρsin cos 22=和1cos =θρ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_____________16、已知是复数，且1||=z ，则|43|i z +-的最大值为 三、解答题：共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17、(本小题12分)已知复数ii i z -++-=2)1(3)1(2．(1) 求z 的共轭复数z ； (2) 若i b az -=+1，求实数a ，b 的值．18、(本小题12分)在直角坐标系xoy 中，以o 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为1)3cos(=-πθρ，M 、N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点。
2023-2024学年广东省广州市海珠区高二下学期期末教学质量检测数学试卷(含解析)
2023-2024学年广东省广州市海珠区高二下学期期末教学质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若S3=1，S6=4，则S9=( )A. 7B. 8C. 9D. 122.已知随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2)，且P(ξ<4)=0.6，则P(ξ<2)=( )A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.43.已知函数f(x)=x−ln x，则f(x)单调增区间是( )A. (−∞,0)B. (1,+∞)C. (−∞,0)∪(1,+∞)D. (0,1)4.五一假期期间，某单位安排5人值5天班，每人值班一天，要求甲不值第一天，乙不值第五天，则不同安排方法的种数有( )A. 42B. 72C. 78D. 965.2025有( )个不同的正因数A. 8B. 10C. 12D. 156.某企业进行节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据如表所示：x3456y 2.534 4.5根据表中数据得出y关于x的经验回归方程为y=0.7x+a，若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为( )A. 5.15吨B. 5.25吨C. 5.5吨D. 9.5吨7.下列四个不等式①ln x<x<e x，②e x−1≥x，③ln x≥x−1，④x ln x≥x−1中正确个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 48.有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有A，B，C，D，E，F，G，H共八个点，一枚棋子起始位置在点A处，抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为i(i=1,2,⋯,6)，则棋子前进i步(每一步是从一个点按顺时针方向前进到相邻的另一个点)，可以循环进行，抛掷三次骰子后，游戏结束.若结束时棋子恰好在点A处，那么游戏过关.问游戏结束时过关的概率为( )A. 118B. 112C. 16D. 18二、多选题：本题共3小题，共15分。
2023-2024学年高二下学期期末考试数学模拟试卷(含解析)
2023-2024学年度高二下学期期末考试数学模拟试卷一、单选题1．设，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．学校要安排一场文艺晚会的12个节目（2个小品节目、2个话剧节目、4个音乐节目、4个舞蹈节目）的演出顺序，要求2个小品节目必须相邻，2个话剧节目不能相邻，则不同的排法数为（ ）A ．B ．C ．D ．3．若偶函数满足，当时，，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5．在梯形ABCD 中，，，，E 为的中点，F 为上的动点（含端点），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．6．对方程表示的图形，下列叙述中正确的是（ ）A ．斜率为2的一条直线B ．斜率为的一条直线C ．斜率为2的一条直线，且除去点（,6）D ．斜率为的一条直线，且除去点（,6）7．我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上．已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（）A ．B C Da ∈R 23a <<()()160a a +-<2822810A A A 2922910A A A 282289A A A 292299A A A ()f x ()()20f x f x ++=()0,1x ∈()12xf x =+72f ⎛⎫= ⎪⎝⎭2745434()312,1,log ,1aa x a x y x x ⎧-+<=⎨≥⎩R a 10,3⎛⎫⎪⎝⎭10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦11,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭AB DC AD DC ⊥22AD AB DC ===BC DC AE AF ⋅58,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦92,2⎛⎫ ⎪⎝⎭83,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦72,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦623y x -=+12-3-12-3-138．已知是三角形的外心，若，且，则实数的最大值为（ ）A ．3B．C ．D ．二、多选题9．已知某省2023年各地市地区生产总值的占比如图所示，则根据图中关于该省2023年各地市地区生产总值占比的统计情况，下列结论正确的是（ ）A ．A 市2023年地区生产总值比B 市2023年地区生产总值多B ．图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为C ．图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为D ．若该省2024年各地市地区生产总值的增长率相等，则该省2024年各地市地区生产总值的占比不变10．数列满足，下列说法正确的是（ ）A ．可能为常数列B ．数列可能为公差不为0的等差数列C ．若，则D ．若，则的最大项为11．如图是一个所有棱长均为4的正八面体，若点在正方形内运动（包含边界），点在线段上运动（不包括端点），则（）A ．异面直线与不可能垂直B ．当时，点M O ABC ()22AC AB AB AO AC AO m AO AB AC⋅+⋅=sin sin B C +=m 35753240% 5.92%70% 4.58%{}n a 144n n n a a a +=-{}n a 1{}n a 13a =1011652i i a ==-∑123a ={}n a 3a M ABCD E PQ PM BQ PM MD ⊥C ．该八面体被平面所截得的截面积既有最大值又有最小值D三、填空题12．已知的展开式中含有常数项，则的一个可能取值是 ．13．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，，则点的横坐标为．14．如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段与分别以为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点是线段上的动点，点O 为线段的中点，点在以为直径的半圆弧上，且均为直角.若百米，则此步道的最大长度为百米.四、解答题15．如图，在直角中，PO ⊥OA ，PO =2OA ，将绕边PO 旋转到的位置，使，得到圆锥的一部分，点C 为的中点．(1)求证：；(2)设直线PC 与平面PAB 所成的角为，求．16．某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为．(1)若学生甲摸球2次，其总得分记为，求随机变量的分布列与期望；(2)学生甲、乙各摸5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励．已知甲前3CDE ()31,316nx n n x +⎛⎫-∈≤≤ ⎪⎝⎭N n 2Γ:4y x =F l M Γ,30MN l NFM ⊥∠=︒M ,CE DF ,OC OD ,C D AB ,AB CD ,E F AB ,OCE ∠ODF ∠1AB =POA POA POB 90AOB ∠=︒ AB PC AB ⊥ϕsin ϕ2313X X次摸球得了6分，求乙获得奖励的概率．17．已知函数．(1)求的单调区间；(2)若时，证明：当时，恒成立．18．已知、、是我方三个炮兵阵地，地在地的正东方向，相距6km ；地在地的北偏西，相距4km ．为敌方炮兵阵地．某时刻地发现地产生的某种信号，12s 后地也发现该信号（该信号传播速度为km/s ）．以方向为轴正方向，中点为坐标原点，与垂直的方向为轴建立平面直角坐标系．(1)判断敌方炮兵阵地可能分布在什么样的轨迹上，并求该轨迹的方程；(2)若地与地同时发现该信号，求从地应以什么方向炮击地？19．某农户购入一批种子，已知每粒种子发芽的概率均为0.9，总共种下n 粒种子，其中发芽种子的数量为X ．(1)要使的值最大，求n 的值；(2)已知切比雪夫不等式：设随机变量X 的期望为，方差为，则对任意均有，切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X 的分布末知的情况下，对事件的概率作出估计．①当随机变量X 为离散型随机变量，证明切比雪夫不等式（可以直接证明，也可以用下面的马尔科夫不等式来证明切比雪夫不等式）；②为了至少有的把握使种子的发芽率落在区间，请利用切比雪夫不等式估计农户种下种子数的最小值．注：马尔科夫不等式为：设X 为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有．2023-2024学年度高二下学期期末考试数学模拟试卷参考答案1．A()()1ln 1f x a x x =--+()f x 2a ≤1x >()1e xf x -<A B C A B C B 30︒P A P B 13BA x AB AB y P C B A P (10)P X =()E X ()D X 0λ>()2()()D X P X E X λλ-≥≤|()|X E X λ-≥80%(0.8,1)n ()E X 0λ>()()E X P X λλ≥≤【分析】利用集合观点，子集是全集的充分条件，只有真子集才是全集的充分不必要条件，就可以得到答案.【详解】由，得，因为是的真子集，所以是的充分不必要条件，故选：A ．2．B【分析】依据相邻捆绑法和不相邻插空法，结合排列数公式，即可求解.【详解】先捆绑2个小品节目，再和4个音乐节目、4个舞蹈节目排列，然后插入2个话剧节目，不同的排法数为．故选：B.3．C【分析】利用函数的奇偶性与周期性计算即可.【详解】由已知可得，即是函数的一个周期，所以.故选：C 4．C【分析】根据一次函数以及对数函数的单调性，结合分段函数的性质即可求解.【详解】函数在上单调递减，解得.故选：C.5．D【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用向量的数量积的坐标公式表示出，结合的范围即可得解.【详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，()()610a a -+<16a -<<()2,3()1,6-23a <<16a -<<2922910A A A ()()()()()()204204f x f x f x f x f x f x ++=⇒+++=⇒+=4T =()f x 171152122224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()312,1,log ,1a a x a x y x x ⎧-+<=⎨≥⎩R 310,01,312log 1,a a a a a -<⎧⎪∴<<⎨⎪-+≥⎩1153a ≤<AE AF ⋅x则，，，，，，所以，因为的取值范围是，所以的取值范围是.故选：D ．6．C【分析】根据方程成立的条件知，故它表示的直线中要去除一点.【详解】方程成立的条件知，当时，方程变形为，由直线方程的点斜式知它表示一条斜率为2的直线,但要除去点（,6），故选:C 7．C【分析】根据给定条件，列出变轨前后椭圆长半轴长和离心率的关系等式，即可求解得答案.【详解】设变轨前椭圆的长半轴长和离心率分别为，则半焦距为，设变轨后椭圆的长半轴长为，显然变轨后椭圆离心率为，半焦距为，依题意，，整理得，即，而，解得，故选：C 8．D【分析】设，，，，由题设条件得到的关系：，()0,0A ()2,0B ()1,2C ()0,2D 3,12E ⎛⎫⎪⎝⎭()(),201F x x ≤≤()33,1,,2,222AE AF x AE AF x ⎛⎫==⋅=+ ⎪⎝⎭x []0,1AE AF ⋅ 72,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦623y x -=+3x ≠-623y x -=+3x ≠-3x ≠-()623y x -=+3-,a e ea a '2e 2ea '()223a ea a ea a ea a ea -=-⎧⎨+=+''''⎩123(1)121e e e e ++=--22210e e +-=01e <<e =AB c =AC b =BAO θ∠=CAO α∠=b c m αθ、、、、cos cos 2b c mAO θα+=由是三角形的外心可得，，对，消去AO ，利用基本不等式求得m 的范围.【详解】如图所示：设，，，，由得，化简得，由是三角形的外心可知，是三边中垂线交点，得，，代入上式得，∴.根据题意知，是三角形外接圆的半径，可得，，代入得，∴，当且仅当“”时，等号成立.故选：D.9．ABD【分析】根据统计图及百分位数的定义一一判断即可.【详解】由图中统计数据，可得市2023年地区生产总值比B 市2023年地区生产总值多，故A 正确；因为，所以图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为，故B 正确；因为，所以图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为，故C 错误；若该省2024年各地市地区生产总值的增长率相等，则该省2024年各地市地区生产总值的占比不变，D 正确.故选：ABD 10．AD【分析】令，确定方程的解判断A ；利用等差数列定义计算判断BCD.O ABC cos 2cAO θ=cos 2b AOα=b c +=AB c =AC b =BAO θ∠=CAO α∠=()22AC AB AB AO AC AO m AO AB AC⋅+⋅=2cos cos 2b c c AO b AO m AO c bθα⋅⋅+⋅⋅=⋅cos cos 2b c mAO θα+=O ABC O cos 2cAO θ=cos 2b AOα=22bc mAO =22bcm AO =AO ABC sin 2b B AO =sin 2cC AO=sin sin B C +=b c +=222223222222b c b c bc m AO AO b c ++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=≤==+⎛⎫b c =A 1140% 4.4⨯=40% 5.92%1170%7.7⨯=70%10.1%1n n a a a +==【详解】对于A ，令，由，可得，解得，A 正确；对于B ，若数列为公差不为0的等差数列，由，得，则不会是非零常数，B 错误；对于C ，，因此数列是首项为1，公差为的等差数列，则，C 错误；对于D ，，则，即，当时，；当时，，且数列递减，因此数列的最大项为，D 正确.故选：AD 11．BD【分析】对于A ，当M 与点重合时垂直，故A 错；对于B ，由探求出M 的运动轨迹即可求解；对于C ，截面为正方形或等腰梯形，将截面等腰梯形的高作为变量将截面等腰梯形面积表达式求出来即可利用导数工具研究面积的最值，进而即可判断求解；对于D ，先求出最长棱的正方体的外接球，再求正八面体的内切球，当正方体最大外接球不超过几何体的内切球时，正方体可在八面体内自由转动，由此原理即可判断.【详解】连接，相交于点O ，则由正八面体性质可知O 为中点，且面，所以是正四面体对于A ，当M 与点重合时，因为，1n n a a a +==144n n n a a a +=-244a a =-2a =1{}n a 144n n n a a a +=-144n na a +=-111n n a a +-=2441144(1)4nn n n n na a a a a a -+-=--1111114422422422n n n n n n a a a a a a +====+------1{}2n a -121011110(1)11116521(1),222222i n i n n a a =++=+-===--∑123a =13125(1)2424n n n a -=-+-=-42225252n a n n =+=+--2n ≤2n a <3n ≥2n a >{}n a {}n a 3a B PM MD ⊥ABCD ,AC BD PQ PO ⊥ABCD PO P ABCD -==B 2PQ PO ==所以，所以，故A 错；对于B ，取中点G ，因为，所以，取中点，连接，则，且，故面，所以如图，M 点在高为2的圆锥底面圆周上，即M 点在为以为圆心直径为所以M 点的运动轨迹为圆心直径为，其中分别为中点，且，所以，即点M，故B 对；对于C ，由题意以及正八面体结构性质可知当E 与O 重合时，八面体被平面所截得的截面是正方形，当E 与O 不重合时，八面体被平面所截得的截面是等腰梯形，如图，四边形为被平面所截得的截面，连接中点、，则为等腰梯形的高，设为h ，取中点V ，连接,则由题意可求得，且O 在上，过R 作交于点K ，则由等面积法得，显然当S点由K 往V 靠近时等腰梯形的上底边和高均在增大，当截面为正方形截面面积最大为16，222PMBQ PQ +=PM ⊥BQ BD PM MD ⊥122GM PD ==OD 1O 1GO 1//GO PO 112GO PO ==1GO ⊥ABCD 1GO =1O OD =1O OD = ROS ,R S ,CD AD RS OD ===12π2ROS l =⨯=CDE ABCD CDE TCDU CDE TU CD ，S R SR TCDU AB ,,PV VR PR 4PV PR VR ===VR RK PV ⊥PV VR PO RK PV ==== TCDU TU SR ABCD当S 点由K 往P 靠近（不包含S 与K 、P 重合时）时，则，在此过程中设，则，且由题意，所以，故由正弦定理得：，因为所以，又，所以截面面积为，所以，，则，所以在上单调递减，无最小值，h ∈,,PSRPRS SRP ∠=α∠=β=θππ,π,0,22αβ⎛⎫⎛⎫∈∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2221cos 23PV PR VR PV PR +-θ== sin θ=sin sin PK h θ==αsin sin h PS β==βθsin α==cosα==()1sin sin sin cos cos sin sin 3βθαθαθααα=+=+=+=π2tan6TU PS β===43==()()4·823TU h S h f h ⎛+=== ⎝()83f h ⎫=='⎝t ⎛=∈ ⎝()23232332t f h t t t t ⎫⎫+⎪⎪=-=-≤=⎪⎪⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭'803⎛=-< ⎝()f h ()f h故被平面所截得的截面面积无最小值，故C 错；对于D ，过正八面体的两顶点P ，Q 和中点去截正八面体以及其内切球，则由正八面体性质得到正八面体与其内切球（半径为r ）截面图如图所示，其中四边形为菱形，棱长为正四面体是正四面体，所以由等面积法得，故正方体均可在该八面体内自由转动，故D 正确.故选：BD.12．4、8、12、16（任选一个为答案）【分析】根据二项式定理展开上述式子，找到满足题意的关于的取值规律，即可求出答案.【详解】根据二项式定理展开可得，因为展开式中含有常数项，所以，由此可得当为4的倍数时，即可满足题意，又因，故可取4、8、12、16.故答案为：4、8、12、16（任选一个为答案）13．【分析】过点作于点，由抛物线定义以及三角函数可用含的横坐标的式子表示，注意到，由此即可列方程求解.【详解】如图所示：CDE ,AB CD P ABCD -=PO P ABCD -=11222r r ⨯⨯=⨯⨯⇒=R r===n ()()341C 11C rrr n r r r n rr nn T x x x ---+=-=-404n r n r -=⇒=n 316n ≤≤n 13F FH NM ⊥H M M x ,NM HM ()112MN MH NH +==--=过点作于点，显然抛物线的焦点为，准线为，由抛物线定义有，结合得，而，所以.故答案为：.14【分析】设半圆步道直径为百米，连接，借助相似三角形性质用表示，结合对称性求出步道长度关于的函数关系，利用导数求出最大值即得.【详解】设半圆步道直径为百米，连接，显然，由点O 为线段的中点，得两个半圆步道及直道都关于过点垂直于的直线对称，则，又，则∽，有，即有，，求导得，由，得当时，，函数时，，函数递减，因此当.F FH NM ⊥H 2Γ:4y x =()1,0F :l =1x -MF MN =30NFM ∠=︒180230120NMF ∠=︒-⨯︒=︒()11,cos 6012M M MF MN x MH MF x ==+=︒=+()()111111223M M M MN MH x x x +=+++=--=⇔=13x ,AE BE x CE x x ,AE BE 90AEB ∠= ,AB CD ,CE DF O AB 11,22AC x BC x =-=+CE AB ⊥Rt ACE Rt ECB V 2CE AC BC =⋅DF CE ==()ππf x x x =102x <<()πf x '=()0f x '=x =0x <<()0f x '>()f x 12x <<()0f x '<()f x x =max ()f x =15．(1)证明见解析【分析】（1）本题首先易证PO ⊥平面AOB ，可得PO ⊥A B ，再证AB ⊥平面POC ；（2）根据线面夹角可知，利用空间向量计算处理．【详解】（1）证明：由题意知：，∴PO ⊥平面AOB ，又∵平面AOB ，所以PO ⊥A B ．又点C 为的中点，所以OC ⊥AB ，，所以AB ⊥平面POC ，又∵平面POC ，所以PC ⊥A B ．（2）以O 为原点，，，的方向分别作为x ，y，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，所以，，．设平面PAB 的法向量为，则取，则可得平面PAB 的一个法向量为，所以．sin cos ,n PC ϕ=u uu r r ,PO OA PO OB ⊥⊥0OA OC ⋂=AB ⊂ AB 0⋂=PO OC PC ⊂OA OB OP2OA =()2,0,0A ()0,2,0B ()0,0,4P )C ()2,2,0AB =-()2,0,4AP =-)4PC =-u u u r (),,n a b c =220,240,n AB a b n AP a c ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩1c =2a b ==()2,2,1n =sin cos ,n PC n PC n PCϕ⋅====u u u r r u u u r r u uu r r16．(1)分布列见解析，(2)．【分析】（1）依题得到的取值，求出对应的概率，列出分布列，求得均值；（2）记“甲最终得分为分”，；“乙获得奖励”,求得和，以及和，利用全概率公式计算即可得到.【详解】（1）由题意知学生甲摸球2次总得分的取值为2，3，4，则，，，所以的分布列为：234所以．（2）记“甲最终得分为分”，；“乙获得奖励”．，．当甲最终得9分时，乙获得奖励需要最终得10分，则；当甲最终得8分时，乙获得奖励需要最终得10分或9分，则8316729X m A =m 8,9,10m =B =()9P A ()8P A 9(|)P B A 8(|)P B A ()P B X ()2242339P X ==⨯=()122143C 339P X ==⨯⨯=()1114339P X ==⨯=X XP4949194418()2349993E X =⨯+⨯+⨯=m A =m 8,9,10m =B =()192214C 339P A =⨯⨯=()228224C 39P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭5559511(|)C ()(33P B A ==；故．即乙获得奖励的概率为．17．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可.【详解】（1）定义域为，当时，，故在上单调递减；当时，时，，单调递增，当时，，单调递减.综上所述，当时，在上单调递减；时，在上单调递增，在上单调递减.（2），且时，，令，下证即可.，再令，则，显然在上递增，则，即在上递增，故，即在上单调递增，故，问题得证18．(1)在以为焦点的双曲线右支上，(2)炮击的方位角为北偏东.551458551211(|)C ()C ()11()3333P B A =+⨯⨯=⨯()()()()()()()989988P B P A B P A B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯557414148161193933729⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭167291x >1e 21ln 0x x x --++>()f x (0,)+∞11()ax f x a x x'-=-=0a ≤1()0ax f x x-'=<()f x (0,)+∞0a >1,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭()0f x '>()f x 10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 0a ≤()f x (0,)+∞0a >()f x 1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭2a ≤1x >111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++1()e 21ln (1)x g x x x x -=-++>()0g x >11()e 2x g x x-'=-+()()h x g x '=121()e x h x x -'=-()h x '(1,)+∞0()(1)e 10h x h ''>=-=()()g x h x ='(1,)+∞0()(1)e 210g x g ''>=-+=()g x (1,)+∞0()(1)e 21ln10g x g >=-++=P ,A B ()221045x y x -=≥A 30【分析】（1）依题意可得，根据双曲线的定义可知在以、为焦点的双曲线右支上，即可求出轨迹方程；（2）首先求出点坐标，依题意点在线段的垂直平分线上，求出的垂直平分线方程，再联立（1）中轨迹方程，求出点坐标，即可求出，从而确定方向.【详解】（1）依题意，，又，即，故在以、为焦点的双曲线右支上，设双曲线方程为，则且，所以，所以双曲线方程为.（2）因为且，所以，所以，因为，所以点在线段的垂直平分线上，因为中点，所以直线的方程为，由 （1） 知点还在上，由，解得（负值已舍去），所以， 因此，故炮击的方位角为的北偏东.4PB PA -=P ()3,0A ()3,0B -C P BC BC P AP k ()3,0B -()3,0A 11243⨯=4PB PA -=P ()3,0A ()3,0B -()22221,0x y a b a b -=>()0x ≥3c =24a =5b =()221045x y x -=≥120ABC ︒∠=4BC =cos 60C y BC ︒==3cos 605C x BC ︒=--=-(C -PB PC =P BC BC k ==BC (D -PD )4y x =+P ()221045x y x -=≥)224145y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩8x y =⎧⎪⎨=⎪⎩(P PA k ==tan PAx ∠=60PAx ︒∠=A 3019．(1)(2)①证明见解析；②45【分析】（1）由题意可得，计算可求；（2）①法一：设的分布列为，其中，，记，则对任意，利用计算可证结论；法二：由马尔科夫不等式，得，计算可证结论．②，则，，进而可得，结合切比雪夫不等式，可得，求解即可.【详解】（1），由题意有，解得，由于为整数，故．（2）①证法1：设的分布列为，其中，，记，则对任意，．证法2：由马尔科夫不等式，得．②，则，．由题意，，即，，也即．由切比雪夫不等式，有，从而，，估计的最小值为45．11n =1010101010911010101010111C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1n n n n n n nn --+---⎧≥⎨≥⎩n X (),1,2,,i i P X x p i n === (0,)(1,2,,)i p i n ∈+∞= 11ni i p ==∑()E X μ=0λ>()2222(||)i i i i i x x x P X p p μμμμλλ-≥-≥--≥=≤∑∑22[()](|()|)E X E X P X E X λλ--≥≤~(,0.9)X B n ()0.9E X n =()0.09D X n =|0.9|0.1X n n -<20.0910.8(0.1)nn -≥101010(10)0.90.1n nP X C -==1010101010911010101010111C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1n n n n n n nn --+---⎧≥⎨≥⎩9110099n ≤≤n 11n =X (),1,2,,i i P X x p i n === (0,)(1,2,,)i p i n ∈+∞= 11ni i p ==∑()E X μ=0λ>()()()2222222222111()(||)i i i ni i i ii ii x x i i x D X P X p p x p x p μμμμμλμμλλλλ-≥-≥-≥=--≥=≤≤=--=∑∑∑∑()22222[()]()(|()|)[()]E X E X D X P X E X P X E X λλλλ≥--≥=-≤=~(,0.9)X B n ()0.9E X n =()0.09D X n =0.81Xn<<0.8n X n <<0.10.90.1n X n n -<-<|0.9|0.1X n n -<20.09(|()|0.1)1(|()|0.1)1(0.1)nP X E X n P X E X n n -<=--≥≥-20.0910.8(0.1)nn -≥45n ≥n。
2022-2023学年广东省广州市高二下学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年广东省广州市高二下学期期末数学试题一、单选题1．设集合{}03M x x =<<，163N x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则()R M N ⋂=ð（）A ．{}06x x <≤B ．133x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}36x x <≤D ．{}36x x ≤≤【答案】D【分析】先求集合M 的补集R M ð，再取R M ð与集合N 的交集即可.【详解】由{}03M x x =<<，可得{}R 03M x x x =≤≥或ð则(){}{}R 1036363M N x x x x x x x ⎧⎫⋂=≤≥⋂≤≤=≤≤⎨⎬⎩⎭或ð故选：D 2．复数4i1iz =+，则z =（）A ．22i --B ．22i-+C ．22i+D ．22i-【答案】D【分析】先计算z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】根据复数除法的运算法则可得41i z i =+()()()414422112i i i i i i -+===+-+，所以可得其共轭复数22z i =-.故选：D.3．函数(sin sin 2)y x x x =-的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除ABD ，即可.【详解】由()(sin sin 2)y f x x x x ==-，得()()()()()sin sin 2sin sin 2f x x x x x x x f x -=----=--+=⎡⎤⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故排除BD.当π2x =时，ππππ(sin sin π)02222y f ⎛⎫==-=> ⎪⎝⎭，排除A.故选：C.4．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为35π，则原圆锥的母线长为（）A ．2B ．5C ．4D ．25【答案】D【分析】设圆台的母线长为l ，根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线长，利用圆台的性质以及相似三角形即可求解.【详解】设圆台的母线长为l ，因为该圆台侧面积为35π，则由圆台侧面积公式可得π(12)3π35πl l +==，所以5l =，设截去的圆锥的母线长为l '，由三角形相似可得12l l l '='+，则25l l ''=+，解得5l '=，所以原圆锥的母线长5525l l '+=+=，故选：D .5．某兴趣小组研究光照时长x （h ）和向日葵种子发芽数量y （颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉()10,2D 后，下列说法正确的是（）A ．相关系数r 变小B ．决定系数2R 变小C ．残差平方和变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强【答案】D【分析】从图中分析得到去掉()10,2D 后，回归效果更好，再由相关系数，决定系数，残差平方和和相关性的概念和性质作出判断即可．【详解】从图中可以看出()10,2D 较其他点，偏离直线远，故去掉()10,2D 后，回归效果更好，对于A ，相关系数r 越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉()10,2D 后，相关系数r 变大，故A 错误；对于B ，决定系数2R 越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉()10,2D 后，决定系数2R 变大，故B 错误；对于C ，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，若去掉()10,2D 后，残差平方和变小，故C 错误；对于D ，若去掉()10,2D 后，解释变量x 与预报变量y 的相关性变强，且是正相关，故D 正确．故选：D ．6．已知函数()()e e 2x xx f x --=，则21log3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，342b f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，432c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c<a<bD ．a c b<<【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，然后再比较43342log 3,2,2-的大小，再根据函数的单调性可得结果【详解】()f x 的定义域为R ，因为()()()e e ee ()22x xxx x x f x f x ------===，所以()f x 为偶函数，所以()()2221log log 3log 33a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，443322c f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0x >时，()()()e e e e 2xx x xx f x ---++'=，因为0x >，所以e 1,0e 1x x -><<，所以e e 0x x -->，(e e )0x x x -+>，所以()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为2x y =在R 上单调递增，且340143-<<<，所以43013402222-<<<<，即433402122-<<<<，因为2log y x =在(0,)+∞上为增函数，且234<<，所以222log 2log 3log 4<<，即21log 32<<，所以4334202log 32-<<<，所以()433422log 32f f f -⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b a c <<，故选：A7．已知抛物线21:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率大于零的直线l 与1C 及抛物线22:4C y x =-的所有公共点从左到右分别为点A B C ､､，则BC =（）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【分析】设直线l 的方程为1(0)x my m =+>，代入22:4C y x =-，化简后由Δ0=求出m 的值，从而可得直线方程，再代入21:4C y x =化简，结合弦长公式可得答案.【详解】由题意可得()1,0F ，设直线l 的方程为1(0)x my m =+>，由题意可得直线l 与抛物线1C 必有2个交点，与抛物线2C 相切，联立方程组214x my y x=+⎧⎨=-⎩，可得2440y my ++=，所以2Δ16160m =-=，解得1m =，故直线l 的方程为1x y =+，与抛物线1C 方程联立214x y y x=+⎧⎨=⎩，得2610x x -+=，设()()1122,,,B x y C x y ，则126x x +=，所以1228BC x x =++=.故选：C.8．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点P 作两坐标轴的平行线，其在x 轴和y 轴上的截距,a b 分别作为点P 的x 坐标和y 坐标，记(),P a b .若斜坐标系中，x 轴正方向和y 轴正方向的夹角为θ，则该坐标系中()11,M x y 和()22,N x y 两点间的距离为（）A ．()()()()22121212122cos x x y y x x y y θ-+-+--B ．()()()()22121212122cos x x y y x x y y θ-+----C ．()()()()22121212122cos x x y y x x y y θ-+-+--D ．()()()()22121212122cos x x y y x x y y θ-+----【答案】A【分析】建立直角坐标系，求出直角坐标，即可得解.【详解】以O 为坐标原点,原x 轴正方向为x 轴，垂直于x 轴的方向为y 轴建立平面直角坐标系，则在直角坐标系下，()111cos s n ,i M x y y θθ+，()222cos s n ,i N x y y θθ+,则()()22211221cos cos sin sin MN x y x y y y θθθθ+---=+()()()()22121212122cos x x y y x x y y θ=-+-+--.故选：A.二、多选题9．下列结论正确的是（）A ．若随机变量X 服从两点分布，1(1)2P X ==，则()12E X =B ．若随机变量Y 的方差()2D Y =，则(32)8D Y +=C ．若随机变量ξ服从二项分布14,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，则1(3)4P ξ==D ．若随机变量η服从正态分布()25,N σ，(2)0.1P η<=，则(28)0.8P η<<=【答案】ACD【分析】根据二点分布的期望公式，可判定A 正确；根据方差的性质，可判定B 错误；根据二项分布的概率计算公式，可判定C 正确；根据正态分布曲线的对称性，可判定D 正确.【详解】对于A 中，由随机变量X 服从两点分布且1(1)2P X ==，则()11122E X =⨯=，故A 正确；对于B 中，由随机变量Y 的方差()2D Y =，可得()2(32)318D Y D X +==，故B 错误；对于C 中，由变量ξ服从二项分布14,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则334111(3)C ()(1)224P ξ==-=，所以C 正确；对于D 中，由随机变量η服从正态分布()25,N σ，(2)0.1P η<=，根据正态分布曲线的对称性，可得(28)1(2)0.8P P ηη<<=-<=，所以D 正确.故选：ACD.10．已知函数21()3sin cos cos 2f x x x x =-+，则下列说法正确的是（）A ．()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．函数()f x 的图象的对称轴方程为()ππZ 12x k k =+∈D ．函数()f x 的图象可由cos 2y x =的图象向左平移π12个单位长度得到【答案】AB【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数()f x ，再结合正弦函数的性质逐项判断作答.【详解】2131cos 21()3sin cos cos sin 22222x f x x x x x +=-+=-+31πsin 2cos 2sin 2226x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故A 正确；函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，故B 正确；由ππ2π()62x k k Z -=+∈，得ππ(Z)32k x k =+∈，故C 错误；由cos 2y x =的图象向左平移π12个单位长度，得ππcos 2cos 2cos 212623ππy x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2πsin sin π2π2π223sin 33x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝+⎭⎝⎦-⎭⎣，故D 错误.故选：AB11．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A 1：第一次取出的是红球；事件A 2：第一次取出的是白球；事件B ：取出的两球同色；事件C ：取出的两球中至少有一个红球，则（）A ．事件1A ，2A 为互斥事件B ．事件B ，C 为独立事件C ．()25P B =D ．()234P C A =【答案】ACD【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断AB ，由组合知识求得()P B 判断C ，根据条件概率的定义求得2(|)P C A 判断D ．【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A 正确；由于是红球有3个，白球有2个，事件B 发生时，两球同为白色或同为红色，2325223225C C ()3()C C ()4C P BC P C P B ===+，事件B 不发生，则两球一白一红，()1P C =，,B C 不独立，B 错；223225C C 2()C 5P B +==，C 正确；事件2A 发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件C 才发生，所以23(|)4P C A =，D 正确．故选：ACD ．12．已知函数()sin ln f x x x =+，将()f x 的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列{}n x ，对于正整数n ，则下列说法中正确的有（）A ．()1ππn n x n-<<B ．1πn n x x +-<C ．(21)π2n n x ⎧-⎫-⎨⎬⎩⎭为递减数列D ．()2(41)π1ln2n n f x ->-+【答案】AC【分析】()f x 的极值点为()f x '的变号零点，即为函数cos y x =与函数1y x=-图像在()0,∞+交点的横坐标.将两函数图像画在同一坐标系下.A 选项，利用零点存在性定理及图像可判断选项；BC 选项，由图像可判断选项；D 选项，注意到(41)π(41)π1ln22n n f --⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由图像可得()f x 单调性，后可判断选项.【详解】()f x 的极值点为()1cos f x x x'=+在()0,∞+上的变号零点.即为函数cos y x =与函数1y x=-图像在()0,∞+交点的横坐标.又注意到()0,x ∈+∞时，10x -<，N k ∈时，()1212cos π+ππ+πk k =-<-，N k *∈，022222πππ,∪π,πx k k ⎛⎫⎛⎫∈-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，cos 0x >.据此可将两函数图像画在同一坐标系中，如下图所示.A 选项，注意到N k ∈时，120222ππππf k k ⎛⎫'+=> ⎪⎝⎭+，()12102ππππf k k '+=-+<+，31203222ππππf k k ⎛⎫'+=> ⎪⎝⎭+.结合图像可知当21，N n k k *=-∈，()()112π,ππ,πn x n n n n ⎛⎫⎛⎫∈-⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当2，N n k k *=∈，()()()1112π,ππ,πn x n n n n ⎛⎫⎛⎫∈--⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故A 正确；B 选项，由图像可知325322π，πx x ><，则32πx x ->，故B 错误；C 选项，(21)π2n n x --表示两点(),0n x 与12π,0n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭间距离，由图像可知，随着n 的增大，两点间距离越来越近，即(21)π2n n x ⎧-⎫-⎨⎬⎩⎭为递减数列.故C 正确；D 选项，由A 选项分析可知，()241212π,π，N n n x n n *⎛⎫-∈-∈ ⎪⎝⎭，又结合图像可知，当()2412,πn n x x ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，1cos x x >-，即此时()0f x ¢>，得()f x 在()2412,πn n x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，则()2(41)π(41)π1ln 22n n n f x f --⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：本题涉及函数的极值点，因函数本身通过求导难以求得单调性，故将两相关函数画在同一坐标系下，利用图像解决问题.三、填空题13．函数()ln f x x x =⋅在e x =处的切线方程为．【答案】2ey x =-【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程.【详解】因为()ln f x x x =⋅，则()e e ln e e f =⋅=，又()ln 1f x x '=+，则()e ln e 12f '=+=，所以函数()ln f x x x =⋅在e x =处的切线方程为()e 2e y x -=-，即2e y x =-.故答案为：2ey x =-14．若12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是.【答案】60【分析】先根据二项式系数之和求出n ，然楼根据展开式的通式，令x 的次数为零即可得常数项.【详解】由12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64得264n=，解得6n =，即612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其展开式的通式为()()366621661C 212C rr r r r r rr T x xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令3602r-=得4r =，()42441612C 60T +∴=-=故答案为：60.15．某高中学校在新学期增设了“传统文化”､“数学文化”､“综合实践”､“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程.小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程.若两人所选的课程至多有一门相同，且小明必须选报“数学文化”课程，则两位同学不同的选课方案有种.（用数字作答）【答案】36【分析】分两类：所选课程恰有一门相同和没有相同，利用排列、组合分别求出每类的种数，再利用分类计数原理即可求出结果.【详解】当小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时：相同的课程为“数学文化”时，有24A 12=种，相同的课程不是“数学文化”时，有1134C C 12=种，所以小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时，共有24种，当小明和小华两位同学所选的课程没有相同时，有1243C C 12=,所以，两位同学不同的选课方案有241236+=，故答案为：3616．费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P 为双曲线（1F ，2F 为焦点）上一点，点P 处的切线平分12F PF ∠．已知双曲线C ：22142x y -=，O 为坐标原点，l 是点103,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭处的切线，过左焦点1F 作l 的垂线，垂足为M ，则OM =．【答案】2【分析】延长2PF 交1F M 延长线于点N ，结合题意得点M 为1F N 的中点，1PN PF =，从而得到212OM F N =，再结合双曲线的定义即可求解．【详解】如图，延长2PF 交1F M 延长线于点N ，因为点M 是12F PF ∠的角平分线上的一点，且1F M MP ⊥，所以点M 为1F N 的中点，所以1PN PF =，又点O 为12F F 的中点，且1224PF PF a -==，所以()()22111142222OM F N PN PF PN PF ==-=-+=．故答案为：2．四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，满足12542,30,2a b S b ===+是3b 与5b 的等差中项.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)设()(1)n n n n c a b =-+，求数列{}n c 的前20项和20T .【答案】(1)2n a n =，12n n b -=；(2)202+593【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，利用12a =，515452S a d ⨯=+求出d 值即可得到{}n a 的通项公式；再由题意得4352(2)b b b +=+，结合12b =可求出q 值，进一步可得{}n b 的通项公式；（2）由()392021(246840)12222T =-+-+-++-+-+-+ ，利用等比数列求和公式，结合分组求和即可求出20T ．【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，因为12a =，所以55410302S d ⨯=+=，解得2d =，所以22(1)2n a n n =+-=，由题意知：()43522b b b +=+，因为22b =，所以()2322222q q q +=+，解得2q =，所以12n n b -=；（2）由（1）得()11(1)22(1)2(1)2n n n n n n c n n --=-+=-⋅+-⋅，()392021(246840)12222T =-+-+-++-+-+-+ ()220200112212+59210201(2)33⎡⎤-⨯---⎣⎦=⨯+=+=--.18．近年来，绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注，成为了一种日益普及的生活理念和方式.可持续和绿色能源，是我们这个时代的呼唤，也是我们每一个人的责任.某环保可持续性食用产品做到了真正的“零浪费”设计，其外包装材质是蜂蜡.食用完之后，蜂蜡罐可回收用于蜂房的再建造.为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系，研究团队收集了黄､褐两种颜色的蜂蜡罐，对,M N 两个品种的蜜蜂各60只进行研究，得到如下数据：黄色蜂蜡罐褐色蜂蜡罐M 品种蜜蜂4020N 品种蜜蜂5010(1)依据小概率值0.05α=的独立性检验，分析蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐是否与蜜蜂种类有关联？(2)假设要计算某事件的概率()P B ，常用的一个方法就是找一个与B 事件有关的事件A ，利用公式：()()()()()()()P B P AB P AB P A P B A P A P B A =+=⋅+⋅求解，现从装有a 只M 品种蜜蜂和b 只N 品种蜜蜂的蜂蜡蠸中不放回地任意抽取两只，令第一次抽到M 品种蜜蜂为事件A ，第二次抽到M 品种蜜蜂为事件B ，求()P B （用,a b 表示()P B ）附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：α0.10.050.010.0050.001x α 2.706 3.841 6.6357.87910.828【答案】(1)蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联；(2)()a P B a b =+【分析】（1）由已知数据结合公式求2χ，比较其与临界值的大小，由此确定蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联，进一步求频率判断；（2）由古典概型概率公式和条件概率公式求()()()(),,,P A P B A P A P B A ，再代入所给公式求解.【详解】（1）根据列表得2212060040 4.444 3.841609309χ⨯==≈>⨯⨯，所以依据0.05α=的独立性检验，蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联，M 品种进入黄色蜂蜡罐的频率为23，M 品种进入褐色蜂蜡罐的频率为13，N 品种进入黄色蜂蜡罐的频率为56，N 品种进入褐色蜂蜡罐的频率为16，依据频率分析，M 品种的蜜蜂选择褐色蜂蜡罐的频率是N 品种的蜜蜂的两倍，所以品种M N ､的蜜蜂选择进入黄色蜂蜡罐与褐色蜂蜡罐有显著差异；（2）由已知上式知，()()()()1,,,11a a b a P A P B A P A P B A a b a b a b a b -====++-++-则()()()()()()()P B P AB P AB P A P B A P A P B A=+=⋅+⋅，所以1()11a a b a P B a b a b a b a b -=⋅+⋅++-++-，所以()()()()11a a b a P B a b a b a b +-==++-+，所以()a P B a b =+.19．如图，在平面四边形ABCD 中，4AC =，BC CD ⊥．(1)若2AB =，3BC =，15CD =，求△ACD 的面积；(2)若2π3B ∠=，π6D ∠=，求3162AD BC ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭的最大值．【答案】(1)7154(2)463【分析】（1）先用余弦定理求出cos ACB ∠，再利用面积公式求解；（2）设BCA θ∠=，运用正弦定理分别表示出,BC AD ，再利用恒等变换以及三角函数的性质求解.【详解】（1）在ABC 中，22216947cos 22438AC BC AB ACB AC BC +-+-∠===⋅⨯⨯，因为BC CD ⊥，所以7sin cos 8ACD ACB ∠=∠=，所以ACD 的面积117715sin 4152284S AC CD ACD =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=；（2）设BCA θ∠=，π03θ<<，则π2ACD θ∠=-，π3BAC θ∠=-．在ABC 中，2ππsin sin 33BC AC θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，则8πsin 33BC θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，在ACD 中，ππsin sin 62AD AC θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，则8cos AD θ=，所以31438π4cos sin 62333AD BC θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭434346πcos sin sin 3334θθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当π4θ=时，3162AD BC ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭取得最大值463；综上，ACD 的面积为7154，3162AD BC ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭的最大值463.20．如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，2AB AP ==，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点.(1)求证：平面EFG⊥平面PAC；(2)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为13，且G点不是线段PC的中点，求三棱锥E ABG-体积.【答案】(1)证明见解析(2)1 9【分析】（1）由面面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，用坐标法求出G点坐标，然后求解即可.【详解】（1）证明：如图：连接BD，在正方形ABCD中BD AC⊥，又PA⊥平面ABCD，故PA BD⊥.而PA，AC是平面PAC上的两条相交直线，所以BD⊥平面PAC.在PBD△中，EF为中位线，故EF BD∥.所以EF⊥平面PAC.又EF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PAC.（2）如图：以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()002P ,,，()0,2,0D ，()1,0,1E ，()0,1,1F ，()1,0,1AE =uuu r ，()0,1,1AF = ，设平面AEF 的一个法向量为()111,,m x y z = ，则00AE m AF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111100x z y z +=⎧⎨+=⎩，取()1,1,1m =- ，设101,2PG PC λλλ⎛⎫=<<≠ ⎪⎝⎭ ，则(0,0,2)(2,2,2)(2,2,22)AG AP PG AP PC λλλλλ=+=+=+-=- .则222621sin cos ,3344(22)m AG λθλλλ-===⨯++- ，整理得212810λλ-+=，解得16λ=或12λ=（舍去），故16PG PC = ，故G 到平面PAB 的距离1163h BC ==，故1226EBG S BE h =⋅=△.因为()()1,0,10,1,00AE BC ⋅=⋅= ，所以AE BC ⊥，又()()1,0,12,0,20AE BP ⋅=⋅-= ，所以AE BP ⊥，又BP BC P = ，所以EA ⊥平面PBC ，故A 到平面BEG 的距离为2EA =.三棱锥E ABG -体积为112123369E ABG A EBG EBG V V S EA --==⋅=⨯⨯=△.21．已知函数()()2ln 21f x a x x a x =+-+，其中0a >.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当102a <<时，判断函数()f x 零点的个数.【答案】(1)答案见解析(2)一个零点，理由见解析【分析】（1）求出()f x '，分12a =、102a <<、12a >讨论可得答案；（2）由（1）当102a <<时，函数()f x 的单调递增区间为()0,a ，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭可得函数()f x 的极大值()f a ，再利用导数证明()0f a <可得答案.【详解】（1）()()()()()212210x x a a f x x a x x x --'=+-+=>，令()0f x '=得21,2x x a ==，当12a =时，()0f x '≥，则函数()f x 在()0,∞+上单调递增，当102a <<时，0x a <<或12x >时，()0f x ¢>，12a x <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,a ，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当12a >时，102x <<或x a >时，()0f x ¢>，12x a <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),a +∞上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.综上所述，当12a =时，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当102a <<时，函数()f x 的单调递增区间为()0,a ，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当12a >时，函数()f x 的单调递增区间为在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),a +∞，单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）当102a <<时，函数()f x 仅有一个零点的个数，理由如下，由（1）得当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x 在()0,a ，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减；则函数()f x 的极大值为()()()2ln 21ln 1f a a a a a a a a a =+-+=--，且极小值为()12f f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，令()ln 1g x x x =--，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1110x g x x x -'=-=>，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()g x 在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()13ln 2022g x g ⎛⎫<=--< ⎪⎝⎭，所以当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()ln 10f a a a a =--<，()()()()224222e ln e e 21e e 1e 2f a a a =+-+=--，因为10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,1a ∈，22e 10,e 20a ->->，可得()2e 0f >，如下图，作出函数()f x 的大致图象，由图象可得当102a <<时，函数()f x 仅有一个零点的个数.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用导数研究函数的单调性与极值，考查数形结合思想与运算求解能力.22．已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点()23P ,，且它的离心率12e =（I ）求椭圆的标准方程；（II ）与圆()2211x y -+=相切的直线:l y kx t =+交椭圆于M 、N 两点，若椭圆上一点C 满足OM ON OC λ+= ，求实数λ的取值范围【答案】（1）22186x y +=；（2）()()2,00,2-⋃【分析】（1）根据题意先设出椭圆的标准方程，然后根据椭圆上的点及离心率可求出方程中的待定系数，进而可得所求的方程；（2）由直线和圆相切可得212t k t-=(t≠0)，然后将直线方程代入椭圆方程后得到关于x 的一元二次方程，根据根据系数的关系可得点C 的坐标，代入椭圆方程后整理得到2222222234111t k t t λ==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，根据t 的范围可得202λ<<，进而得到所求范围．【详解】（1）设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得2222243112a b c a c a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，，，解得2286a b ⎧=⎨=⎩，，所以椭圆的标准方程为22186x y +=.（2）因为直线l ：y ＝kx ＋t 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切，所以21t kk ++＝1，整理得212t k t-=(t≠0)．由22186y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－24＝0，因为直线l 与椭圆交于M ，N 两点，所以()()()2222226443442416243180k t k t k t ∆=-=-+>＋－，将212t k t-=代入上式可得0∆>恒成立．设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－2834kt k +，所以y 1＋y 2＝kx 1＋t ＋kx 2＋t ＝k(x 1＋x 2)＋2t ＝2634t k +，因为OC λ= ()1212,x x y y ++2286,3434kt t k k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭)，所以可得C ()()2286,3434kt t k k λλ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭，又因为点C 在椭圆上，所以()22222834k t k λ+＋()2222634t k λ+＝1,所以2222222234111t k t t λ==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为t 2＞0，所以221t ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋21t ＋1＞1，所以202λ<<，所以λ的取值范围为()()2,00,2-⋃.【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．。
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广州市数学高二下学期文数期末考试试卷（I）卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2019高三上·沈阳月考) 已知复数满足，则（）
A .
B .
C . 1
D . 5
2. （2分）若实数a ， b ， c均大于0，且a＋b＋c＝3，则的最小值为（）
A . 3
B . 1
C .
D .
3. （2分）已知函数，则=（）
A . -1
B . 0
C .
D . 1
4. （2分）已知数列{an}，它的前n项和为Sn ，若点恒在直线y=2x+3上，则数列的通项公式an=
（）
A . 4n+1
B . 2n+1
C . 4n﹣1
D . 2n﹣1
5. （2分）如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，∠A＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在（）
A . 直线AC上
B . 直线AB上
C . 直线BC上
D . △ABC内部
6. （2分）抛物线x2=8y的焦点坐标是（）
A . （0，2）
B . （0，-2）
C . （4，0）
D . （-4，0）
7. （2分） (2016高一下·邯郸期中) 假设吉利公司生产的“远景”、“金刚”、“自由舰”三种型号的轿车产量分别是1600辆、6000辆和2000辆，为检验公司的产品质量，现从这三种型号的轿车中抽取48辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取（）
A . 16，16，16
B . 8，30，10
C . 4，33，11
D . 12，27，9
8. （2分）已知中，sin2A=sin2B+sin2C,b cosB-c cosC=0,则是（）
A . 直角三角形
B . 等腰三角形
C . 等腰直角三角形
D . 等边三角形
9. （2分）直线x= 和x= 是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ的值为（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）已知是定义域为的奇函数，,的导函数的图象如图所示，若两正数满足，则的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）设x∈R，若函数f（x）=ex﹣ln2，则f′（0）=（）
A . -ln2
B . 1-ln2
C . 4
D . 1
12. （2分） (2017高二下·雅安开学考) 抛物线y2=4x，直线l过焦点且与抛物线交于A（x1 ， y1），B（x2 ，y2）两点，x1+x2=3，则AB中点到y轴的距离为（）
A . 3
B .
C .
D . 4
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2017高二下·故城期末) 在平行四边形中，为一条对角线，，
，则 ________．
14. （1分）已知若x，y满足约束条件，则z=y﹣x的最小值为________
15. （1分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a＞0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为________
16. （1分） (2018高二上·榆林期末) 函数，的最大值是________．
三、解答题 (共7题；共75分)
17. （15分） (2018高二上·扬州期中) 已知函数f（x）=|ax-2|+lnx（其中a为常数）
（1）若a=0，求函数g（x）= 的极值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）令F（x）=f（x）- ，当a≥2时，判断函数F（x）在（0，1]上零点的个数，并说明理由．
18. （10分）某工厂的A、B、C三个不同车间生产同一产品的数量（单位：件）如下表所示．质检人员用分层抽样的方法从这些产品中共抽取6件样品进行检测．
车间A B C
数量50150100
（1）求这6件样品中来自A、B、C各车间产品的数量；
（2）若在这6件样品中随机抽取2件进行进一步检测，求这2件商品来自相同车间的概率．
19. （5分） (2018高二上·佛山期末) 如图，在四棱锥中，、、均为等边三角形， .
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，求点到平面的距离.
20. （10分）(2018·株洲模拟) 已知椭圆与直线都经过点
.直线与平行，且与椭圆交于两点，直线与轴分别交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：为等腰三角形.
21. （15分）(2016·深圳模拟) 已知函数f（x）=（x+1）ex和函数g（x）=（ex﹣a）（x﹣1）2（a＞0）（e 为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）判断函数g（x）的极值点的个数，并说明理由；
（3）若函数g（x）存在极值为2a2，求a的值．
22. （10分）(2012·辽宁理) 选修4﹣4：坐标系与参数方程
在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．
（1）
在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；
（2）
求圆C1与C2的公共弦的参数方程．
23. （10分）(2017·湖北模拟) 已知函数f（x）=|x+a|+|x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．
（1）解不等式|g（x）|＜3；
（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共7题；共75分) 17-1、
17-2、
17-3、
18-1、
18-2、
19-1、20-1、
20-2、21-1、
21-2、
21-3、22-1、
22-2、23-1、
23-2、。