高一苏教版数学必修二学案：15立体几何综合(1)
2021-2022学年新教材高中数学 全书要点速记学案(含解析)苏教版必修第二册
全书要点速记(教师用书独具)第9章平面向量要点1 向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，记作0．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：零向量与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．要点2 向量的运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则交换律：a ＋b＝b＋a；结合律：(a ＋b)＋c＝a ＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算几何意义a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；λ(μa)＝(λμ)a；当λ<0时，λa与a 的方向相反；当λ＝0时，λa＝0(λ＋μ)a ＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb数量积设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫作a与b的数量积，记作a·b向量a与向量b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积a·b＝b·a；(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(a＋b)·c＝a·c＋b·c要点3 两个重要定理(1)向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa．(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．其中两个不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底．要点4 平面向量的坐标表示(1)向量及向量的模的坐标表示①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝x2－x12＋y2－y12．(2)平面向量的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．(3)平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0．要点5 平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ．结论符号表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21夹角cos θ＝a·b|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤x21＋y21x22＋y22第10章三角恒等变换要点1 两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))；(2)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))；(3)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))；(4)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))；(5)tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T(α－β))；(6)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T(α＋β))．要点2 二倍角公式(1)基本公式：①sin 2α＝2sin αcos α；②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；③tan 2α＝2tan α1－tan 2α．(2)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2；sin 2α＝1－cos 2α2．第11章 解三角形要点1 正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2Ra 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 变形①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sinC ；②sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R ，sin C ＝c2R；③a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin Ccos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab要点2 三角形常用面积公式 (1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．第12章 复数要点1 复数的有关概念 (1)复数的概念及分类：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫作复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)模：向量OZ →的模叫作复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，则|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．要点2 复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系．要点3 复数的运算(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ．(2)z ·z －＝|z |2＝|z －|2，|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|，|z n |＝|z |n ．要点4 复数的乘方与i n (n ∈N *)的周期性 (1)复数范围内正整数指数幂的运算性质 设对任何z ，z 1，z 2∈C 及m ，n ∈N *，则z m z n ＝z m ＋n ，(z m )n ＝z nm ，(z 1z 2)n ＝z n 1z n2．(2)虚数单位i n (n ∈N *)的周期性i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ． *要点5 复数的三角形式 (1)复数的三角形式：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模为r ，辐角为θ，则z ＝r (cos θ＋isin θ)，其中r ＝a 2＋b 2，cos θ＝a r ，sin θ＝br．则r (cos θ＋isin θ)称为复数z 的三角形式．(2)复数的三角形式的运算设复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)． ①z 1z 2＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]；②z 1z 2＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)](其中z 2≠0)． 第13章 立体几何初步要点1 多面体的结构特征 名称棱柱棱锥棱台图形含义一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分侧棱 平行且相等相交于一点但不一定相等 延长线交于一点侧面 形状平行四边形 三角形梯形要点2 旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球图形母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三全等的等腰梯圆角形形侧面展开图矩形扇形扇环要点3 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l要点4 柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝1 3 Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝4πR2V＝43πR3要点5 用斜二测画法画水平放置平面图形的直观图的规则(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz ＝90°，且∠yOz＝90°．(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于点O′，并使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面．(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段．(4)已知图形中平行于x 轴或z 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．要点6 四个基本事实基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行． 要点7 直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线的判定定理定理文字语言符号表示 图形语言异面直线的判定定理过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线若l ⊂α，A ∉α，B ∈α，B ∉l ，则直线AB 与l 是异面直线(3)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a 与b 所成的角或夹角．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2．(4)等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 要点8 线面平行的判定定理和性质定理判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)⎭⎪⎬⎪⎫l∥aa⊂αl⊄α⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)⎭⎪⎬⎪⎫l∥αl⊂βα∩β＝b⇒l∥b要点9 面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)⎭⎪⎬⎪⎫a∥βb∥βa∩b＝Pa⊂αb⊂α⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b⇒a∥b要点10 线面垂直的判定定理与性质定理判定 定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a ，b ⊂αa ∩b ＝O l ⊥al ⊥b⇒l ⊥α性质 定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b要点11 直线和平面所成的角 (1)定义平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°角．(2)范围：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．要点12 平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫作二面角的平面角．(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α第14章统计要点1 简单随机抽样(1)简单随机抽样的概念：一般地，从个体数为N的总体中逐步不放回地取出n个个体作为样本(n<N)，如果每个个体都有相同的机会被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样．常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数表法．(2)分层抽样的概念：当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各部分在总体中所占的比实施抽样，这样的抽样方法叫作分层抽样．要点2 频率直方图(1)频率直方图的定义把横轴均分成若干段，每一段对应的长度称为组距，然后以此线段为底作矩形，它的高等于该组的频率组距，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组的频率，这些矩形就构成了频率直方图．(2)频率折线图：如果将频率直方图中各个矩形的上底边的中点顺次连接起来，并将两端点向外延伸半个组距，就得到频率折线图，简称折线图．(3)频率直方图的相关计算：①频率组距×组距＝频率．②频数样本容量＝频率． ③平均数：在频率直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替．④中位数：在频率直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． ⑤众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据． 要点3 用样本估计总体的集中趋势参数 名称优点缺点平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大 中位数不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响对极端值不敏感众数体现了样本数据的最大集中点众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感要点4 用样本估计总体的离散程度参数(1)极差：一组数据的最大值与最小值的差称为极差．极差刻画了一组数据的离散程度，一组数据的极差越小，说明这组数据相对集中． (2)方差和标准差：设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，则称s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2为这个样本的方差，其算术平方根s ＝1n∑i ＝1nx i －x －2为样本的标准差，分别简称为样本方差、样本标准差．样本方差(标准差)越大，数据的离散程度越大；方差、标准差越小，数据的离散程度越小．(3)样本方差的其它计算公式①s 2＝1n(∑i ＝1n x 2i －n x －2)；②若取值为x 1，x 2，…，x n 的频率分别为p 1，p 2，…，p n ．则其方差为s 2＝∑i ＝1np i (x i－x －)2＝p 1(x 1－x －)2＋p 2(x 2－x －)2＋…＋p n (x n －x －)2．(4)分层抽样的方差如果总体分为k 层，第j 层抽取的样本为x j 1，x j 2，…，jjn j ，第j 层的样本量为n j ，样本平均数为x －j ，样本方差为s 2j ，j ＝1，2，3…，k ，记∑j ＝1kn j ＝n ，那么所有数据的样本方差为．要点5 百分位数(1)一组数据的k 百分位数的含义一般地，一组数据的k 百分位数是这样一个值p k ，它使得这些数据至少有k %的数据小于或等于p k ．(2)计算有n 个数据的大样本的k 百分位数的步骤 第1步，将所有数值按从小到大的顺序排列． 第2步，计算k ·n100；第3步，如果结果为整数，那么k 百分位数位于第k ·n100位和下一位数之间，通常取两个位置上数值的平均数为k 百分位数；第4步，如果k ·n100不是整数，那么将其向上取整(即其整数部分加上1)，在该位置上的数值为k 百分位数．(3)四分位数：我们把中位数、25百分位数和75百分位数称为四分位数．第15章 概率要点1 样本空间、随机事件等概念(1)试验：对某随机现象进行的实验、观察称为随机试验，简称试验． (2)样本点、样本空间、随机事件、基本事件等概念 ①把随机试验的每一个可能的结果称为样本点； ②所有样本点组成的集合称为样本空间，记为Ω； ③样本空间的子集称为随机事件，简称事件．④当一个事件仅包含一个样本点时，该事件为基本事件．Ω(全集)是必然事件，∅(空集)为不可能事件．要点2 事件的构成、事件的并与交①事件A 、B 的并(和)：对于事件A 、B 、C 之间的关系为C ＝A ∪B ，因此“事件A 与B 至少有一个发生即为事件C 发生”．我们称C 是A 与B 的并，也称C 是A 与B 的和，记作C ＝A ＋B ．②事件A 、B 的交(积)：对于事件A 、B 、C 之间的关系为C ＝A ∩B ，因此“事件A 与B 同时发生即为事件C 发生”．我们称C 是A 与B 的交，也称C 是A 与B 的积，记作C ＝AB ．要点3 随机事件的概率 (1)频数与频率在一定条件下，重复进行了n 次试验，如果某一随机事件A 出现了m 次，则事件A出现的频数是m ，称事件A 出现的次数与试验总次数的比mn为随机事件A 出现的频率．(2)概率的统计定义一般地，对于给定的随机事件A ，在相同的条件下，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们把这个常数作为随机事件A 发生的概率，记作P (A )．因此，若随机事件A 在n 次试验中发生了m 次，当试验的次数n 很大时，可以用事件A 发生的频率m n 来估计随机事件的概率，即P (A )≈mn．(3)必然事件和不可能事件的概率把必然事件Ω和不可能事件∅当成随机事件的两种特殊情况来考虑，则P (Ω)＝1，P (∅)＝0．所以对任何一个事件A ，都有0≤P (A )≤1． 要点4 古典概型(1)在样本空间为Ω＝{ω1，ω2，ω3，…，ωn }的一次试验中，每个基本事件{ωk }(k ＝1，2，3，…，n )发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．(2)具有以下两个特点：①样本空间Ω只含有有限个样本点； ②每个基本事件的发生都是等可能的．将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型．(3)在古典概型中，如果样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn }(其中，n 为样本点的个数)，那么每一个基本事件{ωk }(k ＝1，2，…，n )发生的概率都是1n．如果事件A 由其中m 个等可能基本事件组合而成，即A 中包含m 个样本点，那么事件A 发生的概率为P (A )＝m n．要点5 互斥事件 (1)互斥事件的定义一次试验中，样本空间Ω＝{ω1，ω2，ω3，…，ωn }，随机事件A ，B ⊆Ω，满足AB ＝∅，即事件A 、B 不可能同时发生，称A ，B 为互斥事件，如果事件A 和事件B 互斥，是指事件A 和事件B 在一次试验中不能同时发生，也就是说，事件A 和事件B 同时发生的交(和)概率为0，即P (AB )＝0．(2)对立事件的定义一次试验中，样本空间Ω＝{ω1，ω2，ω3，…，ωn }，随机事件A ，C ⊆Ω，满足AC＝∅且A＋C＝Ω，即互斥事件A，C中必有一个发生，称A，C为对立事件，记作C＝A－或A＝C－．(3)概率加法公式①如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．这就是概率满足的第三个基本性质．②一般地，如果事件A1，A2，…，A n中任意两个事件都是互斥事件，那么称事件A1，A2，…，A n两两互斥．那么P(A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)，即彼此互斥事件和的概率等于每个事件概率的和．(4)对立事件的一个重要公式对立事件A与A－必有一个发生，故A＋A－是必然事件，从而P(A)＋P(A－)＝P(A＋A－)＝1．由此，我们可以得到一个重要公式：P(A－)＝1－P(A)．要点6 相互独立事件(1)相互独立事件的概念一般地，如果事件A是否发生不影响事件B发生的概率，那么称A、B为相互独立事件．(2)相互独立事件的概率计算①两个事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B)．②若事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)．(3)相互独立事件的性质如果事件A与B相互独立，那么A与B－，A－与B，A－与B－也相互独立．。
高中数学必修2——立体几何平行和垂直(学案)
立体几何平行和垂直知识讲解知识点1 点、线、面一、平面的基本性质二、空间直线的位置关系1．位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2．平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行．3．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．4．异面直线所成的角(或夹角)(1)定义：设ba,是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线bbaa//',//'，把'a与'b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角．I,,Pl P l且且三、直线与平面的位置关系llAα//l知识点2 线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
推理模式：,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭注意：⑴三垂线指AO PO PA ,,都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用。
知识点3 线面垂直定义：如果一条直线l 和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直其中直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。
直线l 与平面α垂直记作：α⊥l 。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
知识点4 面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
苏教版高中数学必修二—学同步教学案立体几何§空间几何体
§1．1空间几何体1．1．1 棱柱、棱锥和棱台1．1．2 圆柱、圆锥、圆台和球【课时目标】认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．1．一般地，由一个________________沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．平移起止位置的两个面叫做棱柱的________，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的________，两侧面的公共边叫________．2．当棱柱的一个底面__________________时，得到的几何体叫做棱锥(如图所示)．3．棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，______和________之间的部分．4．将________、________________、______________分别绕着它的________、______________、____________________所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台，这条直线叫做______，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做________，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做________，无论旋转到什么位置，这条边都叫做________．5．________绕着它的______所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做______，简称______．一、填空题1．将梯形沿某一方向平移形成的几何体是________．2．有下列命题：①棱柱的底面一定是多边形；②棱台的底面一定是梯形；③棱柱被平面截成的两部分可以都是棱柱；④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确命题的序号是________．3．棱台具备的性质是________(填序号)．①两底面相似；②侧面都是梯形；③侧棱都相等；④侧棱延长后都交于一点．4．下列命题中正确的是________(填序号)．①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；④用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台．5．以任意方式截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是________．6．右图所示的几何体是由下列哪个平面图形通过旋转得到的________(填序号)．7．下列叙述中错误的是________．(填序号)①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．8．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是______(填序号)．9．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是______．二、解答题10．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．11．如图所示，已知△ABC，以AB为轴，将△ABC旋转360°．试指出这个旋转体是由怎样的简单几何体构成的？画出这个旋转体的直观图．能力提升12．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列______图形．(填序号)13．如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？1．学习本节知识，要注意结合集合的观点来认识各种几何体的性质，还要注意结合动态直观图从运动变化的观点认识棱柱、棱锥和棱台的关系．2．在讨论旋转体的性质时轴截面具有极其重要的作用，它决定着旋转体的大小、形状，旋转体的有关元素之间的关系可以在轴截面上体现出来．轴截面是将旋转体问题转化为平面问题的关键．3．几何体表面距离最短问题需要把表面展开在同一平面上，然后利用两点间距离的最小值是连结两点的线段长求解．第1章立体几何初步§1.1空间几何体1．1.1棱柱、棱锥和棱台1．1.2圆柱、圆锥、圆台和球答案知识梳理1．平面多边形底面侧面侧棱2．收缩为一个点3．截面底面4．矩形直角三角形直角梯形一边一直角边垂直于底边的腰轴底面侧面母线5．半圆直径球体球作业设计1．四棱柱 2.①③3．①②④解析用棱台的定义去判断．4．③解析①、②的反例图形如图所示，④显然不正确．5．球体 6.①7.①②③④8．(1)(5)解析一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．9．①②10．解截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．EF，B′C′，BC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′—DCFD′.其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．A′D′，EF，BC，AD为侧棱．11．解这个旋转体可由一个大圆锥挖去一个同底面的小圆锥而得到，直观图如图所示．12．②13．解把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连结AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π，∴AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋(2π)2＝21＋π2，即蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.1．1．3中心投影和平行投影【课时目标】1．了解中心投影和平行投影．2．能画出简单空间图形(柱、锥、台、球及其组合体)的三视图．3．能识别三视图所表示的立体模型．1．平行投影与中心投影的不同之处在于：平行投影的投影线是________，而中心投影的投影线________．2．三视图包括__________、__________和__________，其中几何体的____________和__________高度一样，__________与____________长度一样，__________与__________宽度一样．一、选择题1．人在灯光下走动，当人逐渐远离灯光时，其影子的长度将________．2．两条相交直线的平行投影是________．3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(填序号)________．4．一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是________(填序号)．5．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是________________________________．6．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________．7．用小正方体搭成一个几何体，如图是它的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体的个数最多为________个．8．根据如图所示俯视图，找出对应的物体．(1)对应________；(2)对应________；(3)对应________；(4)对应________；(5)对应________．9．如图1所示，E，F分别为正方体的面AD1，BC1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是图2中的________．(填上可能的序号)二、解答题10．在下面图形中，图(b)是图(a)中实物画出的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出左视图(尺寸不作严格要求)．11．如图是截去一角的长方体，画出它的三视图．能力提升12．如图，螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图．13．用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？在绘制三视图时，要注意以下三点：1．若两相邻物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓都用实线画出，不可见轮廓用虚线画出．2．一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度和主视图一样．左视图放在主视图的右面，高度和主视图一样，宽度和俯视图一样，简记为“长对正，高平齐，宽相等”．3．在画物体的三视图时应注意观察角度，角度不同，往往画出的三视图不同．1．1.3中心投影和平行投影答案知识梳理1．平行的交于一点2．主视图左视图俯视图左视图主视图俯视图主视图左视图俯视图作业设计1．变长解析中心投影的性质．2．两条相交直线或一条直线3．②④解析在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．4．① 5.四棱锥6．2 4解析三棱柱的高同左视图的高，左视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底边长为4.7．78．(1)D(2)A(3)E(4)C(5)B9．②③解析图②为四边形BFD1E在正方体前后及上下面上的正投影，③为其在左右侧面上的正投影．10．解图(a)是由两个长方体组合而成的，主视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线(用虚线表示)，左视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图所示．11．解该图形的三视图如图所示．12．解该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，主视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，左视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合)．它的三视图如图所示．13．解由于主视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图①所示，此种情况共用小立方块17块．而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字，其他方框内的数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的摆法只需小立方块11块．1．1．4直观图画法【课时目标】1．了解斜二测画法的概念．2．会用斜二测画法画出一些简单的平面图形和立体图形的直观图．用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤：(1)在空间图形中取互相________的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz＝________，且∠yOz＝________．(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于O′，并使∠x′O′y′＝______(或______)，∠x′O′z′＝________，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面．(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段．(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度________；平行于y轴的线段，长度为原来的________．一、填空题1．下列结论：①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍然相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．其中正确的有__________(填序号)．2．具有如图所示直观图的平面图形ABCD的形状是____________．3．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是________ cm．4．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是______(填序号)．5．△ABC面积为10，以它的一边为x轴画出直观图，其直观图的面积为________．6．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于__________．7．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是______________．8．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为____________．9．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为______．二、解答题10．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．11．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．能力提升12．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为________．13．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．直观图与原图形的关系1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等；而求原图形的面积可把直观图还原为原图形；此类题易混淆原图形与直观图中的垂直关系而出错，在原图形中互相垂直的直线在直观图中不一定垂直，反之也是．所以在求面积时应按照斜二测画法的规则把原图形与直观图都画出来，找出改变量与不变量．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的24倍．2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．1．1．4 直观图画法 答案知识梳理 (1)垂直 90° 90° (2)45° 135° 90° (4)不变 一半 作业设计 1．①②⑤解析 由斜二测画法的规则判断． 2．直角梯形 3．8 解析根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形OABC 为平行四边形，OB ＝22，OA ＝1，AB ＝3，从而原图周长为8 cm ．4．③ 5．522 解析 设△ABC 面积为S ，则直观图面积S ′＝24S ＝522．6．2＋ 2解析 如图1所示，等腰梯形A ′B ′C ′D ′为水平放置的原平面图形的直观图，作D ′E ′∥A ′B ′交B ′C ′于E ′，由斜二测直观图画法规则，直观图是等腰梯形A ′B ′C ′D ′的原平面图形为如图2所示的直角梯形ABCD ，且AB ＝2，BC ＝1＋2，AD ＝1，所以S ABCD ＝2＋2．图1 图27．①②解析 斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．8．2．5解析 由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC ＝A ′C ′＝3，BC ＝2B ′C ′＝4，计算得AB ＝5，所求中线长为2．5．9．22解析画出直观图，则B ′到x ′轴的距离为22·12OA ＝24OA ＝22． 10．解 (1)作出长方体的直观图ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图a 所示；(2)再以上底面A 1B 1C 1D 1的对角线交点为原点建立x ′，y ′，z ′轴，如图b 所示，在z ′上取点V ′，使得V ′O ′的长度为棱锥的高，连结V ′A 1，V ′B 1，V ′C 1，V ′D 1，得到四棱锥的直观图，如图b ；(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图c ．11．解 (1)如图a 所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy ．如图b 所示，画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°．(2)在图a 中，过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E ．在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，A ′E ′＝AE ＝323≈2．598 cm ；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴，使E ′D ′＝12ED ，再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且使D ′C ′＝DC ＝2 cm ．(3)连结A ′D ′、B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图c 所示，则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．12．62a 2 解析 画△ABC 直观图如图(1)所示：则A′D′＝32a，又∠x′O′y′＝45°，∴A′O′＝62a．画△ABC的实际图形，如图(2)所示，AO＝2A′O′＝6a，BC＝B′C′＝a，∴S△ABC＝12BC·AO＝62a2．13．解四边形ABCD的真实图形如图所示，∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，∴在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，∴S四边形ABCD＝AC·AD＝22．。
苏教版高中数学必修2教案立体几何全部教案
第一章：空间几何体1.1.1柱、锥、台、球的结构特征一、教学目标1．知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、教学用具（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。
（2）实物模型、投影仪四、教学思路（一）创设情景，揭示课题1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。
教师对学生的活动及时给予评价。
2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。
根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。
（二）、研探新知1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。
2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。
在此基础上得出棱柱的主要结构特征。
（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。
概括出棱柱的概念。
4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。
5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。
苏教版高中数学必修二—学同步教学案立体几何平面的基本性质
§1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质【课时目标】 1．了解平面的概念及表示法．2．了解公理1、2、3及推论1、2、3，并能用文字语言、图形语言和符号语言分别表述．1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．用符号表示为：________________．2．公理2：如果________________________________，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的______________．用符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫P ∈αP ∈β⇒α∩β＝l 且P ∈l ． 3．公理3：经过不在同一条直线上的三点，________________________．公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．(1)推论1 经过________________________________________，有且只有一个平面． (2)推论2 经过____________，有且只有一个平面． (3)推论3 经过____________，有且只有一个平面．一、填空题 1．下列命题： ①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚； ③有一个平面的长是50 m ，宽是20 m ；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念． 其中正确命题的个数为________． 2．若点M 在直线b 上，b 在平面β内，则M 、b 、β之间的关系用符号可记作____________． 3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．4．已知α、β为平面，A 、B 、M 、N 为点，a 为直线，下列推理错误的是__________(填序号)．①A ∈a ，A ∈β，B ∈a ，B ∈β⇒a ⊂β；②M ∈α，M ∈β，N ∈α，N ∈β⇒α∩β＝MN ； ③A ∈α，A ∈β⇒α∩β＝A ；④A 、B 、M ∈α，A 、B 、M ∈β，且A 、B 、M 不共线⇒α、β重合． 5．空间中可以确定一个平面的条件是________．(填序号) ①两条直线； ②一点和一直线； ③一个三角形； ④三个点．6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有__________个．7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．(1)AD/∈α，a ⊂α________．(2)α∩β＝a，PD/∈α且PD/∈β________．(3)a⊄α，a∩α＝A________．(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．8．已知α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．9．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________．二、解答题10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．能力提升12．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明三条直线必相交于一点．13．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC 、BD 交于点M ，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点．求证：(1)C 1、O 、M 三点共线； (2)E 、C 、D 1、F 四点共面； (3)CE 、D 1F 、DA 三线共点．1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点，或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．§1．2 点、线、面之间的位置关系1．2．1 平面的基本性质答案知识梳理1．两点⎭⎪⎬⎪⎫A ∈αB ∈α⇒AB ⊂α 2．两个平面有一个公共点 一条直线3．有且只有一个平面 (1)一条直线和这条直线外的一点 (2)两条相交直线 (3)两条平行直线作业设计 1．1解析 由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确．2．M ∈b ⊂β 3．1,2或3 4．③解析 ∵A ∈α，A ∈β，∴A ∈α∩β．由公理可知α∩β为经过A 的一条直线而不是A ．故α∩β＝A的写法错误．5．③6．1或4解析四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．7．(1)C(2)D(3)A(4)B8．A∈m解析因为α∩β＝m，A∈a⊂α，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线m上．9．③10．解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC．同理，可证E∈平面SBD．∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连结SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．11．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．12．证明∵l1⊂β，l2⊂β，l1P l2，∴l1∩l2交于一点，记交点为P．∵P∈l1⊂β，P∈l2⊂γ，∴P∈β∩γ＝l3，∴l1，l2，l3交于一点．13．证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B．∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．∴E、C、D1、F四点共面．(3)由(2)可知：四点E、C、D1、F共面．又∵EF＝12A1B．∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．则P∈D1F⊂平面ADD1A1，P∈CE⊂平面ADCB．∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．∴CE、D1F、DA三线共点．。
《新课程标准高中数学必修②复习讲义》第一、二章-立体几何
一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体（一)空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做顶点.旋转体--把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中,这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥,台，球的结构特征 1。
棱柱1。
1棱柱—-有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1。
2相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等,侧面是平行四边形;②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
1。
4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，,则，222sin sin sin 1αβγ++=222cos cos cos 2αβγ++=.1.5侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长,h 为棱柱的高)2.圆柱2。
1圆柱—-以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的母线截面（轴截面）是全等的矩形.2。
苏教版高中数学必修二第课时立体几何初步学案(1)(9)
让学生学会学习听课随笔第13课时平面与平面位置关系学习要求1.理解并掌握两平面平行, 两平面相交的定义.2.会画平行或相交平面的空间图形, 并会用符号表示.3.掌握两个平面平行的判定定理和性质定理, 并能运用其解决一些具体问题. 自学评价１. 两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点符号表示图形表示２．两个平面平行的判定定理：符号表示：３．两个平面平行的性质定理：已知：求证：证明：４．思考：(1)一个平面内的直线是否平行于另一个平面(2)分别在两个平行平面内的两条直线是否平行？５．两个平行平面间的距离６．直线和平面的距离： 【精典范例】例1：如图, 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, 求证: 平面C 1DB//平面AB 1D 1.例2.求证: 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面, 那么它也垂直于另一个平面.例3.求证: 如果一条直线垂直于两个平面, 那么这两个平面平行．. 已知 求证： 证明：A 1思维点拨：两个平面平行的判定定理和性质定理体现了在一定条件下，线线平行，线面平行，面面平行之间可以互相转化．追踪训练1.判断下列命题是否正确，并说明理由： (1).若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则α与β平行； (2) 若平面α内的有无数条直线与平面β平行，则α与β平行； (3)平行于同一条直线的两个平面平行； (4)过已知平面外一点，有且仅有一个平面与已知平面平行； (5) 过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面。
2.六棱柱的表面中，互相平行的面最多有多少对？3.如图，设E,F,E 1,F 1分别是长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱AB,CD,A 1B 1,C 1D 1的中点，求证：平面ED 1//平面BF 14.求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等。
A 1听课随笔。
高一数学立体几何教案设计 高一数学立体几何解题技巧(3篇)
高一数学立体几何教案设计高一数学立体几何解题技巧(3篇)高一数学立体几何教案设计高一数学立体几何解题技巧篇一教学环节教学内容师生互动设计意图课题引入让同学们观察几个几何体，从感性上对几何体有个初步的认识，并总结出空间立体几何研究的几个基本元素。
学生观察、讨论、总结，教师引导。
提高学生的学习兴趣新课讲解基础知识能力拓展探索研究一、构成几何体的基本元素。
点、线、面二、从集合的角度解释点、线、面、体之间的相互关系。
点是元素，直线是点的集合，平面是点的集合，直线是平面的子集。
三、从运动学的角度解释点、线、面、体之间的相互关系。
1、点运动成直线和曲线。
2、直线有两种运动方式：平行移动和绕点转动。
3、平行移动形成平面和曲面。
4、绕点转动形成平面和曲面。
5、注意直线的两种运动方式形成的曲面的区别。
6、面运动成体。
四、点、线、面、之间的相互位置关系。
1、点和线的位置关系。
点a2、点和面的位置关系。
3、直线和直线的位置关系。
4 、直线和平面的位置关系。
5、平面和平面的位置关系。
通过对几何体的观察、讨论由学生自己总结。
引领学生回忆元素、集合的相互关系，讨论、归纳点、线、面之间的相互关系。
通过课件演示及学生的讨论，得出从运动学的角度发现点、线、面之间的相互关系。
引导学生由生活中的实际例子总结出点、线、面之间的相互位置关系，让学生有个感性认识。
培养学生的观察能力。
培养学生将所学知识建立相互联系的能力。
让学生在观察中发现点、线、面之间的相互运动规律，为以后学习几何体奠定基础。
培养学生将学习联系实际的习惯，锻炼学生由感性认识上升为理性知识的能力。
课堂小结1、学习了构成几何体的基本元素。
2、掌握了点、线、面之间的`相互关系。
3、了解了点、线、面之间的相互的位置关系。
由学生总结归纳。
培养学生总结、归纳、反思的学习习惯。
课后作业试着画出点、线、面之间的几种位置关系。
学生课后研究完成。
检验学生上课的听课效果及观察能力。
附：1.1.1构成空间几何体的基本元素学案（一）、基础知识1、几何体：________________________________________________________________2、长方体：________________________________ ___________________________ _____3、长方体的面：____________________________________________________________4、长方体的棱：____________________________________________________________5、长方体的顶点：__________________________________________________________6、构成几何体的基本元素：__________________________________________________7、你能说出构成几何体的几个基本元素之）●（间的关系吗？（二）、能力拓展1、如果点做连续运动，运动出来的轨迹可能是______________________ 因此点是立体几何中的最基本的元素，如果点运动的方向不变，则运动的轨迹是_____________ 如果点运动的轨迹改变，则运动的轨迹是________ ____ 试举几个日常生活中点运动成线的例子___ ________________________________2、在空间中你认为直线有几种运动方式_______________________________________分别形成_______________________________________________________你能举几个日常生活中的例子吗？3、你知道直线和线段的区别吗？_______________________________________如果是线段做上述运动，结果如何？_______________________________________.现在你能总结出平面和面的区别吗？______________________________________________ （三）、探索与研究1、构成几何体的基本元素是_________,__________,____________.2、点和线能有几种位置关系_________________________你能画图说明吗？3、点和平面能有几种位置关系_______________________你能画图说明吗？4、直线和直线能有几种位置关系________________________你能画图说明吗？高一数学立体几何教案设计高一数学立体几何解题技巧篇二1.感知立体图形在空间的存在形式，正确点数立方体。
金版学案高中数学第1章立体几何初步1.11.1.1棱柱棱锥和棱台课件苏教版必修2
在正方形 A′B′C′D′中，B′C′＝4 cm，则 O′B′＝2 2 cm，O′E′＝2 cm . 在直角梯形 O′OBB′中， BB′＝ OO′2＋（OB－O′B′）2
＝ 172＋（8 2－2 2）2 ＝19 (cm) .
在直角梯形 O′OEE′中， EE′＝ OO′2＋（OE－O′E′）2
＝ 172＋（8－2）2 ＝5 13 (cm)． 即这个棱台的侧棱长为 19 cm，斜高为 5 13 cm .
规律总结 正棱台中两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成 一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的对 角线的一半组成一个直角梯形；斜高、侧棱和两底面边长 的一半组成一个直角梯形．正棱台的计算问题，实际上就 是这几个直角梯形中的计算问题．
答案：北
题型 3 多面体的相关量的计算 [典例 3] 如图所示，正四棱台的高是 17 cm，两底面的边长分别是 4 cm 和 16 cm， 求这个棱台的侧棱长和斜高． 分析：由于棱台是由棱锥平行于底面的平面截得的， 因此正棱锥中的有关直角三角形对应到正棱台中将转化为 直角梯形，只要找出包含侧棱和斜高的直角梯形即可求解．
题型 1 对多面体概念的理解与应用
[典例 1] 根据下列关于几何体的描述，说出几何体 的名称：
(1)由五个面围成，其中一个面是四边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形；
(2)由八个面围成，其中两个面互相平行且全等的正 六边形，其余各面都是平行四边形；
(3)由五个面围成，其中上下两个面都是相似三角形， 其余各面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后交于一点．
1．一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何 体叫作多面体．
2．由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几 何体叫作棱柱，平移起止位置的两个面叫作底面，简称 底；其余各面叫作棱柱的侧面；相邻两个侧面的公共边 叫作棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫作棱柱的顶 点．
苏教版高中数学必修二第课时立体几何初步教案(1)
让学生学会学习听课随笔第11课时直线与平面垂直(2)学习要求1.了解直线和平面所成角的概念和范围;2.能熟练地运用直线和平面垂直的判定定理和性质定理. 【课堂互动】自学评价１. 斜线的定义: 斜足定义: 斜线段定义: ２．直线和平面所成角的定义：线面角的范围：【精典范例】例1：.如图，已知AC ，AB 分别是平面α的垂线和斜线，C ，B 分别是垂足和斜足，a Ìα，求证：a ⊥BC证明：见书3６例3例2.求证: 如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直, 那么这条直线就和这条直线在这个平面内的射影垂直.已知：求证：证明：证明：略BC α aA点评：上述两题是三垂线定理及其逆定理，今后在证明其它问题时可直接使用。
例３.如图, ∠BAC 在平面α内, 点P Ïα, ∠PAB=∠PAC . 求证: 点P 在平面α上的射影在∠BAC 的平分线上.证明：见书3６例４思考：你能设计一个四个面都是直角的四面体吗? 思维点拨：要证线面垂直，通常是从线线垂直来证明，而要证明线面垂直，通常又是从线线垂直来证明，即线线垂直和线面垂直互相转化．追踪训练1.如图，∠BCA=90°，PC ⊥面ABC ，则在三角形ABC ，三角形PAC 的边所在的直线中：(1)与PC 垂直的直线有AC,AB,BC(2)与AP 垂直的直线有BCA P O C E FB α P听课随笔C BA2.若直线a与平面α不垂直，那么在平面内α与直线a垂直的直线 (B )A.只有一条B.有无数条C.是平面α内的所有直线D.不存在3.从平面外一点向平面引斜线段，如果斜线段长相等，那么它们在平面内的射影相等吗？答：相等4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，Ｐ为DD１的中点，O为底面ABCD的中心，求证：B１O⊥平面PAC点拨：使B１O垂直与平面ABC内的两条相交直线．【选修延伸】Ｒt△ABC的斜边ＢＣ在平面Ｍ内，两直角边和平面Ｍ所成的角分别是４５°和３０°，求斜边的高ＡＤ和平面Ｍ所成的角答：ＡＤ和平面Ｍ所成的角60°听课随笔总结：要求斜线AD与平面M所成的角，找出斜线ＡＤ在平面Ｍ内的射影是关键．解题步骤：①作，②证，③求。
苏教版数学高一-高一 必修二学案 15立体几何综合(1)
立体几何综合（1） 学案班级 学号 姓名一、教学目标1．熟练掌握相关公理、推论、定理； 2．会分析立体几何问题的证明思路； 3．会规范书写立体几何的证明过程.二、典型例题例1．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ， AC BD ⊥于O . （1）证明：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）设E 为线段PC 上一点，若AC BE ⊥，求证：//PA 平面BED .例2．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，点D 为BC 中点，点E 为BD 中点，点F 在1AC 上，且14AC AF =.（1）求证：平面ADF ⊥平面11BCC B ； （2）求证：//EF 平面11ABB A .例3． 在三棱柱111ABC A B C -中，已知底面ABC 是边长为a的正三角形，侧棱12AA a =，点,,,D E F O 分别为1AA 11AP D边11,,,AB AC AA BC 的中点，1A O ⊥底面ABC ． （1）求证：线段DE ∥平面11BB C C ； （2）求证：FO ⊥平面11BB C C ．五、课后复习1．在直三棱柱111ABC A B C -中， AB BC ⊥， D 为棱1CC 上任意一点.（1）求证：直线11//A B 平面ABD ； （2）求证：平面ABD ⊥平面11BCC B .2．如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，D 为BC 的中点，1AD DC ⊥．（1）求证：平面ABC ⊥平面11BCC B ； （2）求证：1//A B 平面1ADC ．1AA 1D1A3．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知平面11AAC C ⊥平面ABCD 且3AB BC CA ===，1AD CD ==. （1） 求证：1BD AA ⊥；（2） 若E 为棱BC 的中点，求证：//AE 平面11DCC D .4．如图，四边形ABCD 为正方形，平面ABCD ⊥平面ABE ，BE BC =，F 为CE 的中点，且AE BE ⊥． （1）求证：//AE 平面BFD ； （2）求证：BF AC ⊥．E C 11B 1A C DA 1。
苏教版高中数学必修二空间几何体学案(1)
空间几何体圆柱、圆锥、圆台和球学习目标：1．认识圆柱、圆锥和圆台和球的结构特征；2．了解圆柱、圆锥和圆台和球的概念；学习重点：圆柱、圆锥和圆台和球的概念和结构特征．学习难点：组合体的结构特征；学习过程：一、圆柱、圆锥、圆台和球1．问题情境：（1）下列几何体有什么共同特征？结论：这些图形都是空间中的轴对称图形，可以通过旋转而生成．（2）我们初中研究过的圆柱、圆锥也可以通过这种方法生成，那么它们分别是什么样的平面图形通过旋转而成的？数学理论：将矩形、直角三角形分别绕着它的一边、一直角边所在直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥．（3）其实在日常的生产和生活中，还有很多的几何体是这样得到的，我们日常生活中用到的一次性纸杯是我们初中学过的圆柱或圆锥吗?如果不是，它又是如何生成的？数学理论：我们将直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做圆台．2．数学应用（1）探究一：还有其他方法可以生成圆柱吗？结论：可以利用圆面沿与圆面垂直方向移动形成．（2）探究二：圆柱、圆锥、圆台之间有何关系？①平行于底面截圆锥可以得到圆台；结论：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台.②将圆柱的一个底面变为其圆心时形成的几何体是圆锥.（3）探究三：球是通过什么图形旋转得到的？二、旋转体和旋转面的概念一般地，一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体.三、组合体的概念1．数学理论：我们观察周围的物体，除了柱、锥、台、球等基本几何体外，还有大量的几何体是由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的，这些几何体叫做组合体。
如图所展示的机械图可以看成由一些基本几何体构成的组合体。
对组合体可以通过把它们分解为一些基本几何体来研究.2．数学应用例1如图，将直角梯形ABCD 绕AB 、DC 、AD 边所在直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？A BC D AB C D A B C D（1）（2）（3）例2指出下图中的几何体是由哪些简单几何体构成的？四、小结（1）圆柱、圆锥和圆台和球的概念；（2）圆柱、圆锥和圆台和球的结构特征；（3）组合体的结构特征；五、作业补充：直角△ABC中，∠A＝90°，将△ABC分别绕AB，AC，BC三边所在直线旋转一周，由此形成的几何体是什么简单几何体或是由哪些简单几何体构成的？。
苏教版高中数学必修二学案精品立体几何第课时
听课随笔
ABCD的体积．
例5.设P、A、B、C是球O表面上的四点, PA、PB、PC两两垂直, 且PA=PB=PC=1, 则球的体积为_____ , 球的表面积为____ .
例6．平面四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝a,∠Ｂ＝90°，∠ＤＣＢ＝135°，沿对角线ＡＣ将四边形折成直二面角，求证：
（１）求证：ＡＢ⊥面ＢＣＤ
（２）求面ＡＢＤ与面ＡＣＤ成的角．
追踪训练
1.已知a//b,且c与a,b都相交，求证：a,b,c 共面．
2.空间四边形ABCD中, AB=CD , 且AB与CD成60°角, E、F分别为AC、BD的中点, 则EF与AB所成角的度数为.
3.设长方体三棱长分别为a,b,c,若长方体所有棱长的和为24,一条对角线长为5,体积为2,则1/a+1/b+1/c= ( ) A 11/4 B 4/11
C 11/2
D 2/11
4.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5:2:8,体积为14, 则棱台的高为( )
A 3
B 2
C 5
D 4
5. 一个正四面体的所有棱长都为20.5,四个顶点都在同一个球面上, 则这个球的表面积为( )
A 3π
B 4π
C 5π
D 6π。
高中数学(苏教版)必修2精品教学案全集：立体几何 部分参考(含单元测试)答案
参考答案（部分）第1课时 棱柱、棱锥、棱台1．A 2．D 3．B 4．5，9，3，6 5．4，4 ，三 6．不能，没有四个面的棱台，至少有5个面．7．略．8．（1）平行四边形（2）三角形9．可能是：三角形，四边形，五边形和六边形第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球1．C 2．C 3．B 4．C 5．不是，绕x 轴旋转一周所得的几何体，为圆柱内挖去一个圆锥，绕y 轴旋转一周所得的几何体为圆锥。
6．一个圆柱内挖去一个圆锥7．（1）矩形（2）扇形，扇环（3）不能8．一个圆柱加一个圆锥（2）直角三角形内接矩形第3课时 中心投影和平行投影1．C 2．左 3．略 4．3，左后最上方 5．略 6．略第4课时 直观图画法1．D 2． D3．26164．略 5．略 6．略 7．略 第5课时 平面的基本性质(1)1．A 2． C 3． B 4．B 5．1 6.略 7．略第6课时 平面的基本性质(2)1．B 2． A 3． B 4．C 5．D 6.略 7．略第7课时 空间两条直线的位置关系1．C 2． D 3． B 4．3 5．40°或140° 6.略 7略8．(1)略 (2) 略(3)AC=BD 且,AC ⊥BD第8课时 异面直线1．B 2．C 3．60° 4．相交或异面 5．①③ 6.提示:反证法 760°7．2个 8.一定异面 证略 9.不一定第９课时 直线和平面的位置关系1．B 2．Ｂ 3．平行 4．在平面ABB 1A 1中，过点Ｍ作GH//BB 1,GH 分别交AB, A 1 B 1于点E,G ，连接EH,GF ，则平面γ与次三棱柱表面的交线是GH,EH,GF,EF 5．证明：因为ＡＣ//ＢＤ，所以ＡＣ与ＢＤ可确定一个平面β，然后证四边形ＡＢＣＤ为平行四边形，则ＡＣ＝ＢＤ 6.（１）证：ＥＦ／／ＧＨ，（２）略7．取ＢＤ中点Ｅ，连接ＡＥ，ＮＥ，证ＡＭＮＥ为平行四边形。
第10课时 直线平面垂直1．B 2．Ｂ 3．a ⊥b 4．D ＰＡＢ ，D ＰＡＤ ，D ＰＤＣ ，D ＰＢＣ5．ＢＤ１⊥ＡＣ，ＢＤ１⊥Ｂ１Ｃ，ＢＤ１⊥平面ＡＣＢ１6.证明：过Ｐ作ＰＧ⊥平面ＡＢＣ，Ｇ为垂足，连接ＡＧ，ＣＧ，ＢＧ，则ＰＧ⊥ＡＧ，ＰＧ⊥ＣＧ，ＰＧ⊥ＢＧ，∵ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ∴DＰＧＡ≌DＰＧＣ≌DＰＧＢ∴ＡＧ＝ＢＧ＝ＣＧ∴Ｇ与Ｏ重合∴ＰＯ⊥平面ＡＢＣ7．已知：一点Ａ和平面α求证：经过点Ａ和平面α垂直的直线只有一条证明：假使过点Ａ至少有平面α的两条垂线：ＡＢ，ＡＣ那么ＡＢ和ＡＣ是两条相交直线，它们确定一个平面β设β∩α＝a∴ＡＢ⊥α，ＡＣ⊥α∴在内有两条直线与a垂直，矛盾所以：经过点Ａ和平面α垂直的直线只有一条8.证明：∵b⊥平面α∴b与平面α相交设b∩α＝Ａ则a与A确定一个平面β设β∩α＝a′∵a//α∴a// a′又∵b⊥α∴b⊥a′∴b⊥a第11课时直线和平面垂直（２）4．ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ 5．①②③④⑤1．Ｄ 2．C 3．26.连接ＡＯ并延长交ＢＣ于Ｄ∵Ｏ为重心∴ＡＤ⊥ＢＣ而ＰＯ平面ＡＢＣ∴ＢＣ⊥ＰＡ7.(1) ∵ＰＡ⊥平面ABCD而BC⊥AB,CD⊥AD∴BC⊥PB,CD⊥PD∴D PBC, D PDC是Ｒt D。
苏教版高中数学必修二第课时立体几何初步教案(5)
第五课时 平面的基本性质 【学习导航】知识网络学习要求1.初步了解平面的概念.2.了解平面的基本性质(公理1-3)3.能正确使用集合符号表示有关点 、线、面的位置关系.4.能运用平面的基本性质解决一些简单的问题 【课堂互动】自学评价1．平面的概念： .2．平面的表示法３．公里１：符号表示4. 公里2：符号表示 ５．公里３：符号表示问题：举出日常生活中不共线的三点确定一个平面的例子．【精典范例】例1：已知E 、F 、G 、H 分别为空间四边形(四个顶点不共面的四边形)ABCD 各边AB 、AD 、BC 、CD 上的点, 且直线EF 和GH 交于点P , 求证: B 、D 、P 在同一条直线上.证明：∵P ∈EF,而E ∈AB,F ∈AD∴EF Ì平面ABD∴P ∈平面ABD同理，P ∈平面BDC∴P ∈平面ABD ∩平面BDC∴B 、D 、P 在同一条直线上思维点拔：证明多点共线，通常利用公里2，即两相交平面交线的唯一性；证明点在相交平面的交线上，必须证明这些点分别在两个平面内。
追踪训练如图, 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为AB,AA 1中点，求证CE,D 1F,DA 三条直线交于一点。
证略．A E F DB G HC P C A 1F例2.如图, 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, 下列命题是否正确? 并说明理由. ①AC 1在平面CC 1B 1B 内;②若O 、O 1分别为面ABCD 、A 1B 1C 1D 1的中心B 1BDD 1的交线为OO 1 .③由点A 、O 、C 可以确定平面;④由点A 、C 1、B 1确定的平面与由点A 、C 1面.解（１）不正确（２）正确（３）不正确（４）正确．追踪训练1. 为什么许多自行车后轮旁装一只撑脚？2. 用符号表示“点A 在直线l 上，l（ Ｂ ） A 11Ａ．ＡÎl,lÏαB．ＡÎl,lËαC．ＡÌl,lËαD．ＡÌl,lÏα3.下列叙述中，正确的是（Ｄ）Ａ．因为ＰÎα，ＱÎα，所以ＰＱÎαＢ．因为ＰÎα,ＱÎβ，所以αÇβ＝ＰＱＣ．因为ＡＢÌα,ＣÎＡＢ，ＤÎＡＢ，所以ＣＤÎαＤ．因为ＡＢÌα,ＡＢÌβ，所以ＡÎαÇβ，且ＢÎαÇβ。
苏教版高中数学必修二学案精品立体几何第课时(5)
３．已知正四棱柱的底面边长为３，侧面的对角线长为 ，则这个正四棱柱的侧面积为．
４．一个正三棱锥的侧面都是直角三角形, 底面边长为a , 求它的表面积.
５．一个正六棱台的两个底面的边长分别等于8cm和18cm ,侧棱长等于13cm ,求它的侧面积.
学生质疑
教师释疑
第17课时空间几何体的表面积(1)
一、【学习导航】
知识网络
学习要求
1.理解棱柱棱锥棱台的侧面积公式的推导。
2.会求一些简单多面体的表面积.
自学评价
1.侧面展开图:
2.直棱柱
3.直棱柱侧面积公式
4.正棱柱
5.正棱锥
6.正棱锥侧面积公式
7.正棱台
8.正棱台侧面积公式
9.三个公式之间的系
【精典范例】
例1：一个正六棱锥的侧面都是正方形,底面边长为a,求它的表面积.
【解】
例2：设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶,高是0.85m ,底面的边长是1.5m ,制造这种塔顶需要多少平方米铁板? (保留两位有效数字)
【解】
思维点拨
记清记准各种侧面积公式，然后结合几何体性质解题．
追踪训练
1．下列图形中，不是正方体的展开图的是 （ ）
少图
２．如图，Ｅ，Ｆ分别为正方形ＡＢＣＤ的边ＢＣ，ＣＤ的中点，沿图中虚线折起来，它能围成怎样的几何体？
苏教版高中数学必修二立体几何综合复习
课题：立体几何综合复习江苏省外国语学校【教学目标】1.理解柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式。
2.能运用已获得的公理、定理、常用结论解答一些空间位置关系的简单命题。
【重点与难点】1.有关几何体的表面积与体积的计算。
2.有关线、面的位置关系的证明和角、距离的计算。
【教学过程】一、热身训练1.(2008年高考四川卷改编)直线l⊂平面α，经过α外一点A与l、α都成30°角的直线有且只有__2____条2.(2010年苏南四市调研)已知m、n是平面α外的两条直线，且m∥n，则“m∥α”是“n ∥α”的__充要___条件．3.对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是___③__．①如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥α；②如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交；③如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n；④如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n.4.设α、β、γ为平面，给出下列条件：①a、b为异面直线，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α内不共线的三点到β的距离相等；③α⊥γ，β⊥γ.则其中能使α∥β成立的条件的个数是__1______．①成立5.(2010年南通调研)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则四面体A－B1CD1的外接球的体积为___．二、知识要点1．平行直线(1)定义：不相交的两条直线叫做平行线．(2)平行公理4：平行于的两条直线互相平行．其符号语言为：⇒a∥c.2．直线与平面平行(1)定义：直线a和平面α，叫做直线与平面平行．(2)线面平行的判定定理：如果的一条直线和的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．其符号语言为：.(3)线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，的平面和这个平面相交，那么这条直线就和平行．其符号语言为： .(4)线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一平面，那么这两条直线平行，其符号语言为：.3．平面与平面平行(1)定义：如果两个平面，那么这两个平面叫做平行平面．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有平行于另一个平面，那么这两个平面平行．其符号语言为：.(3)判定定理的推论：如果一个平面内的分别平行于另一个平面内的，则这两个平面平行．其符号语言为：.(4)线面垂直的性质：如果两平面垂直于同一直线，则这两个平面平行．其符号语言为：.(5)面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．其符号语言为：。
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立体几何综合（1） 学案
班级 学号 姓名
一、教学目标
1．熟练掌握相关公理、推论、定理； 2．会分析立体几何问题的证明思路； 3．会规范书写立体几何的证明过程.
二、典型例题
例1．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ， AC BD ⊥于O . （1）证明：平面PBD ⊥平面PAC ；
（2）设E 为线段PC 上一点，若AC BE ⊥，求证：//PA 平面BED .
例2．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，点D 为BC 中点，点E 为BD 中点，点F 在1AC 上，且14AC AF =. （1）求证：平面ADF ⊥平面11BCC B ； （2）求证：//EF 平面11ABB A .
例3． 在三棱柱111ABC A B C -中，已知底面ABC 是边长
1
A
A 1
1
A
A P D
为a 的正三角形，
侧棱12
AA a =
，点,,,D E F O 分别为边11,,,AB AC AA BC 的中点，
1A O ⊥底面ABC ．
（1）求证：线段DE ∥平面11BB C C ； （2）求证：FO ⊥平面11BB C C ．
五、课后复习
1．在直三棱柱111ABC A B C -中， AB BC ⊥， D 为棱1CC 上任意一点.
（1）求证：直线11//A B 平面ABD ； （2）求证：平面ABD ⊥平面11BCC B .
2．如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，D 为BC 的中点，1AD DC ⊥．
（1）求证：平面ABC ⊥平面11BCC B ；
1
A
A 1
D
1
A
（2）求证：1//A B 平面1ADC ．
3．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知平面11AAC C ⊥平面ABCD 且
3AB BC CA ===，1AD CD ==. （1） 求证：1BD AA ⊥；
（2） 若E 为棱BC 的中点，求证：//AE 平面11DCC D .
4．如图，四边形ABCD 为正方形，平面ABCD ⊥平面ABE ，BE BC =，
F 为CE 的中点，且AE BE ⊥． （1）求证：//AE 平面BFD ； （2）求证：BF AC ⊥．
E C 1
1
B 1
A C D
A 1。