2019广东佛山期末考试高二试卷理数 含答案
2019-2020学年广东省佛山市南海区高二下学期期末数学试题(解析版)
由题意得 ，将之代入回归方程 中得 ，得 ，故回归直线方程为 ，所以 ，A正确；
由于 ，所以该回归模型拟合的效果比较好，故对应的残差图中残差点应该比较均匀地分布在水平的带状区域中，B错误；
在线性回归模型中 表示解释变量对于预报变量的贡献率，R2≈0.96，则销售量的多少有96%是由广告支出费用引起的，C正确；
【解析】直接由平均数公式计算可得答案.
【详解】
由茎叶图可得8个班的比赛得分为：87,89,90,91,92,93,94,96
则这组数据的平均数是 ，
故选：A
【点睛】
本题考查根据茎叶图求平均数，考查计算能力，属于简单题.
6．在高台跳水运动中 时运动员相对于水面的高度（单位： ）是 ，则高台跳水运动中运动员在 时的瞬时速度是（）
【详解】
因为函数定义域为R，且 ，所以 为偶函数，排除A、B；又 ，排除D，即可确定答案为C.
故选：C
【点睛】
本题主要考查函数性质的应用体现学生数形结合思想，属于中档题.
5．若某校高二年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的平均数是（）
A．91.5B．91C．92D．92.5
【答案】A
A． B． C．13.1D．3.3
【答案】B
【解析】根据瞬时速度与导数的关系，先对 求导，再把 代入 进行运算即可
【详解】
解：由 ，得 ，
当 时， ，
所以高台跳水运动中运动员在 时的瞬时速度 ，
故选：B
【点睛】
此题考查导数的定义与运算，考查运算能力，属于基础题
7．某医院需从5名医护志愿者中选派3人去武汉三家不同的医院支援，每个医院各一人，则不同的安排方案总数为（）
A．8B．9C．10D．11
广东省佛山一中、石门中学、顺德一中、国华纪中四校高二数学下学期期末考试试题理(含解析)
广东省佛山一中、石门中学、顺德一中、国华纪中四校2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数()211z a a i =-+-（i 为虚数单位）是纯虚数，则复数13zi=+（ ） A.3155i + B.3155i - C. 3155i -+ D. 3155i -- 【答案】D 【解析】 【分析】通过复数z 是纯虚数得到1a =-，得到z ，化简得到答案. 【详解】复数()211z a a i =-+-（i 为虚数单位）是纯虚数210,1012a a a z i -=-≠⇒=-⇒=-2623113131055z i i i i i ---===--++ 故答案选D【点睛】本题考查了复数的计算，属于基础题型.2.某班有50人，从中选10人均分2组（即每组5人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（ ） A. 1055010C C ⋅B. 10550102C C ⋅C. 105250102C C A ⋅⋅D.55250452C C A ⋅⋅【答案】A 【解析】 【分析】根据先分组，后分配的原则得到结果.【详解】由题意，先分组，可得10550102C C ⋅，再一组打扫教室，一组打扫操场，可得不同的选派法有1052105501025010A =2C C C C ⋅⋅⋅. 故选：A ．【点睛】不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．3.学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学。
现从该小组中选出3位同学分别到A ，B ，C 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有（ ） A. 70种 B. 140种 C. 420种 D. 840种【答案】C 【解析】 【分析】将情况分为2男1女和2女1男两种情况，相加得到答案.【详解】2男1女时：213543240C C A ⨯⨯= 2女1男时：123543180C C A ⨯⨯=共有420种不同的安排方法 故答案选C【点睛】本题考查了排列组合的应用，将情况分为2男1女和2女1男两种情况是解题的关键.4.一辆汽车在平直的公路上行驶，由于遇到紧急情况，以速度()201241v t t t =-++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）紧急刹车至停止.则刹车后汽车行驶的路程（单位：m ）是（ ）A. 1620ln 4+B. 1620ln5+C. 3220ln 4+D.3220ln5+【答案】B 【解析】【分析】先计算汽车停止的时间，再利用定积分计算路程. 【详解】当汽车停止时，()2012401v t t t =-+=+，解得：4t =或2t =-（舍去负值）， 所以()()442002012412220ln 11s t dt t t t t ⎛⎫=-+=-++ ⎪+⎝⎭⎰1620ln5=+. 故答案选B【点睛】本题考查了定积分的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力.5.将三枚骰子各掷一次，设事件A 为“三个点数都不相同”，事件B 为“至少出现一个6点”，则概率(A |B)P 的值为（ ） A.6091B.12C.518D.91216【答案】A 【解析】考点：条件概率与独立事件．分析：本题要求条件概率，根据要求的结果等于P （AB ）÷P（B ），需要先求出AB 同时发生的概率，除以B 发生的概率，根据等可能事件的概率公式做出要用的概率．代入算式得到结果． 解：∵P（A|B ）=P （AB ）÷P（B ）， P （AB ）=3606=60216P （B ）=1-P （B ）=1-3356=1-125216=91216 ∴P（A/B ）=P （AB ）÷P（B ）=6021691216=6091故选A ．6.某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布()210,0.1N （单位：kg ）现抽取500袋样本，X 表示抽取的面粉质量在()10,10.2kg 的袋数，则X 的数学期望约为（ ）附：若()2,ZN μσ，则()0.6872P Z μσμσ-<≤+≈，()220.9545P Z μσμσ-<≤+≈A. 171B. 239C. 341D. 477【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布中特殊区间上的概率得到面粉质量在()10,10.2上的概率为0.47725，然后根据0(500,).47725XB 可求出X 的数学期望．【详解】设每袋面粉的质量为Z kg ，则由题意得()210,0.1Z N ，∴()()()111010.29.810.2220.4772522P Z P Z P Z μσμσ<≤=<≤=-<≤+≈. 由题意得0(500,).47725XB ，∴0.4772()500238.6255239E X =⨯=≈． 故选B ．【点睛】本题考查正态分布中特殊区间上的概率，解题时注意把所求概率转化为三个特殊区间上的概率即可．另外，由于面粉供应商所供应的某种袋装面粉总数较大，所以可认为X 的分布列近似于二项分布，这是解题的关键．7.若()21001121002a a x a x a x x +++=+-，则0123102310a a a a a ++++⋅⋅⋅+=（ ）A. 10B. -10C. 1014D. 1034【答案】C 【解析】 【分析】先求出0a ，对等式两边求导，代入数据1得到答案. 【详解】()21001121002a a x a x a x x +++=+-取10.002x a =⇒=对等式两边求导1231902923110(2)0a a a x x x x a +++⋅⋅⋅+⇒--=取1x =1231001231023102310140110a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+=⇒-=⇒ 故答案为C【点睛】本题考查了二项式定理，对两边求导是解题的关键.8.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取岀一个球放入乙罐，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲罐取岀的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确．．．的是（ ） A. 事件B 与事件1A 不相互独立 B. 1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件 C. ()35P B = D. ()17|11P B A =【答案】C 【解析】 【分析】依次判断每个选项得到答案.【详解】A.乙罐取出的球是红球的事件与前面是否取出红球相关，正确 B. 1A ，2A ，3A 两两不可能同时发生，正确C. ()5756131011101122P B =⨯+⨯=，不正确 D. ()11117()7211|1()112P BA P B A P A ⨯===，正确 故答案选C【点睛】本题考查了独立事件，互斥事件，条件概率，综合性强，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.9.已知*n N ∈，设215nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若992M N -=，则展开式中x 的系数为（ ）A. -250B. 250C. -500D. 500【答案】A 【解析】 【分析】分别计算各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，代入等式得到n ，再计算x 的系数.【详解】215nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式 取1x =得到4n M = 二项式系数之和为2n N = 429925n n M N n -=-=⇒=5251031551(5)()5(1)r r r r r r r r T C x C x x---+=-=- 取3r = 值为-250故答案选A【点睛】本题考查了二项式定理，计算出n 的值是解题的关键.10.针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的12，男生喜欢抖音的人数占男生人数的16，女生喜欢抖音的人数占女生人数23，若有99%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则男生至少有（ ） 参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.A. 12人B. 18人C. 24人D. 30人【答案】B 【解析】 【分析】设男生人数为x ，女生人数为2x，完善列联表，计算2 6.635K >解不等式得到答案. 【详解】设男生人数为x ，女生人数为x()()()()()22235326636 6.63517.69822x x x x x x x x x x n ad bc K a b c d a x c b d ⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭==>⇒>⨯⨯⨯-=++++男女人数为整数 故答案选B【点睛】本题考查了独立性检验，意在考查学生的计算能力和应用能力.11.在复平面内，复数(),z a bia Rb R =+∈∈对应向量OZ （O 为坐标原点），设OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边逆时针旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：()()cos sin cos sin nn nz r i r n i n θθθθ=+=+⎡⎤⎣⎦，则()101-+=（ ）A. 1024-B. 1024-+C. 512-D.512-+【答案】D 【解析】【分析】将复数化为()1111cos sin z r i θθ=+的形式，再利用棣莫弗定理解得答案. 【详解】()10101010222020112(cos sin )2(cos sin )2()51233332i i ππππ⎛⎫-+=+=+=-=-+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查复数的计算，意在考查学生的阅读能力，解决问题的能力和计算能力.12.函数()xae f x x =，[]1,2x ∈，且[]12,1,2x x ∀∈，12x x ≠，()()12121f x f x x x -<-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. 24,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 24,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. (],0-∞D. [)0,+∞【答案】A 【解析】 【分析】构造函数()()F x f x x =-，根据函数的单调性得到()'0F x ≤在[]1,2上恒成立，参数分离得到()()21xx a g x e x ≤=-，计算()g x 的最小值得到答案. 【详解】不妨设12x x <，()()12121f x f x x x -<-，可得：()()1122f x x f x x ->-.令()()F x f x x =-，则()F x 在[]1,2单调递减，所以()'0F x ≤在[]1,2上恒成立，()()21'10x ae x F x x -=-≤，当1x =时，a R ∈，当(]1,2x ∈时，()()21x x a g x e x ≤=-，则()()()2222'01xx x x g x e x --+=<-， 所以()g x 在[]1,2单调递减，是()()2min 42g x g e ==，所以24,a e ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，构造函数()()F x f x x =-是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年南海区高二下学期期末考试(理科)
18.约定乒乓球比赛无平局且实行 局 胜制，甲、乙二人进行乒乓球比赛，甲每局取胜的概率为 ．
(1)试求甲赢得比赛的概率； 当 (2) 时，胜者获得奖金 元，在第一局比赛甲获胜后，因特殊原因要终止比赛．试问应当
如何分配奖金最恰当？
19.为了研究家用轿⻋在高速公路上的速情况，交通部⻔对 名家用轿⻋驾驶员进行调查，得到其 在高速公路上行驶时的平均⻋速情况为：在 名男性驾驶员中，平均⻋速超过 的有 人，不超过 的有 人．在 名女性驾驶员中，平均⻋速超过 的有 人，不超 过 的有 人． (1)完成下面的列联表，并判断是否有 的把握认为平均⻋速超过 与性别有关，（结果 保留小数点后三位）
可能获利的数学期望是（ ）万元．（已知
，
）
A．
B．
C．
D．
10. 已知函数
，若 存在唯一的零点 ，且 ，则 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
11.甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有两位优 秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大 家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A．乙、丁可以知道自己的成绩 B．乙可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．丁可以知道四人的成绩
时， 取得最大值．
23. 已知不等式 (1)求集合 ； (2)设实数 ，
的解集为 ．
，证明：满足
式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
（ 是 的导函数），则不等 D．
二、填空题．
在 13. 的展开式中，含 项的系数为 ．
14.复数 （ 为虚数单位）的共轭复数是 ．
2019学年广东省高二上学期期末理科数学试卷【含答案及解析】
2019学年广东省高二上学期期末理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2. 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是（）A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数3. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A．若m ∥ α，n ⊥ β且α ⊥ β，则m ⊥ n________B．若m ⊥ α，n ⊥ β且m ⊥ n ，则α ⊥ βC．若α ⊥ β，m ∥ n 且n ⊥ β，则m ∥ α________D．若m ⊂α，n ⊂β且m ∥ n ，则α ∥ β4. 已知命题“函数f（x）、g（x）定义在R上，h（x）=f（x）•g（x），若f（x）、g （x）均为奇函数，则h（x）为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35. 已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y 2 =24x的准线上，则双曲线的方程为（）A． B．C． D．6. 若直线l：y=kx+1被圆C：x 2 +y 2 ﹣2x﹣3=0截得的弦最短，则直线l的方程是（）A．x=0 B．y=1 C．x+y﹣1=0 D．x﹣y+1=07. 已知某锥体的三视图（单位：cm）如图所示，则该锥体的体积为（）A．2cm 3 B．4cm 3 C．6cm 3 D．8cm 38. 若实数x、y满足，则Z= 的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣4 ] ∪ [ ，+∞）B．（﹣∞，﹣2 ] ∪ [ ，+∞）C．[﹣2， ]________D．[﹣4， ]9. 已知双曲线的左、右焦点分别是F 1 、F 2 ，其一条渐近线方程为y=x，点在双曲线上、则• =（）A．﹣12 B．﹣2 C．0 D．410. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线11. 如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，设内层椭圆方程为 + =1（a＞b＞0），若直线AC与BD的斜率之积为﹣，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．12. 设直线l与抛物线y 2 =4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5） 2 +y 2 =r 2 （r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（） A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）二、填空题13. 圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为___________ ．14. 已知，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_________ ．15. 已知抛物线C：y 2 =12x与点M（﹣3，4），过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k的值为_________ ．16. 已知F是双曲线C：x 2 ﹣ =1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）．当△ APF 周长最小时，该三角形的面积为____________________________ ．三、解答题17. 已知m ∈ R，直线l：mx﹣（m 2 +1）y=4m和圆C：x 2 +y 2 ﹣8x+4y+16=0．（1）求直线l斜率的取值范围；（2）直线l与圆C相交于A、B两点，若△ ABC 的面积为，求直线l的方程．18. 某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司该如何合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润，最大利润是多少元？19. 在五棱锥P﹣ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=2 a，BC=DE=a，∠ EAB= ∠ ABC= ∠ DEA=90°（1）求证：PA ⊥ 平面ABCDE；（2）求二面角A﹣PD﹣E的正弦值．20. 已知A，B，C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点．（Ⅰ ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．21. 如图，M是抛物线上y 2 =x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB．（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；（2）若M为动点，且∠ EMF=90° ，求△ EMF 的重心G的轨迹方程．22. 已知F 1 （﹣2，0），F 2 （2，0），点P满足|PF 1 |﹣|PF 2 |=2，记点P的轨迹为E．（1）求轨迹E的方程；（2）若直线l过点F 2 且与轨迹E交于P、Q两点．（i）无论直线l绕点F 2 怎样转动，在x轴上总存在定点M（m，0），使MP ⊥ MQ 恒成立，求实数m的值．（ii）在（i）的条件下，求△ MPQ 面积的最小值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
广东省佛山市第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试 数学(理)
2019-2020学年度第一学期期末考试高二数学（理科）本试卷由两部分组成。
第一部分：高二数学第一学期期中前的基础知识和能力考查，共57 分； 选择题包含第1 题、第3 题、第 6题、第7 题、第 8题，共25 分。
填空题包含第 13题、第 14题，共10分。
解答题包含第17 题、第18 题，共22分。
第二部分：高二数学第一学期期中后的基础知识和能力考查，共93 分。
选择题包含第 2题、第4题、第 5题、第9 题、第10 题、第11 题，第12 题，共35 分。
填空题包含第 15题,第 16题，共10 分。
解答题包含第 19题、第20 题、第21 题、第22 题，共48 分。
全卷共计150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数z ＝+2i ，则|z|＝（ ）A ．B ．2C ．D ．12．已知命题p ：∀x≥0，x≥sinx ，则⌝p 为（ ） A ．∀x ＜0，x ＜sinx B ．∀x≥0，x ＜sinx C ．∃x 0＜0，x 0＜sinx 0D ．∃x 0≥0，x 0＜sinx 03．设a ＝50.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 50.4，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c＜a4．若函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则（ ） A ．函数()f x 有1个极大值，2个极小值 B ．函数()f x 有2个极大值，2个极小值C ．函数()f x 有3个极大值，1个极小值D ．函数()f x 有4个极大值，1个极小值5．近几年来，在欧美等国家流行一种“数独”推理游戏，游戏规则如下：①9×9的九宫格子中，分成9个3×3的小九宫格，用1，2，3，…，9这9个数字填满整个格子，且每个格子只能填一个数；②每一行与每一列以及每个小九宫格里分别都有1，2，3，…9的所有数字．根据图中已填入的数字，可以判断A 处填入的数字是（ ） A ．1 B ．2 C ．8 D ．96．已知实数x ，y 满足约束条件20100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．1B ．52-C ．2-D ．1-7．已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图，为了得到()2cos 2g x x =的图象，可以将f （x ）的图象（ ） A ．向右平移个单位 B ．向左平移个单位 C ．向右平移个单位 D ．向左平移个单位8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若711a =，则13S ＝（ ）A ．66B ．99C ．110D ．1439．已知函数()sin f x x x =，则()7f π，(1)f -，()3f π-的大小关系为（ ）A ．()(1)()37f f f ππ->-> B ．(1)()()37f f f ππ->->C ．()(1)()73f f f ππ>->-D ．()()(1)73f f f ππ>->-10．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝4，AB ＝2，CC 1＝2，E ，F 分别为AC ，CC 1的中点，则直线EF 与平面AA 1B 1B 所成的角是（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11．设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线43200x y -+=过点F 且在第二象限与C 的交点为P ，O 为原点，若|OP|＝|OF|，则C 的离心率为（ ） A ．54B ．5C ．53D ．512．设函数f （x ）在R 上存在导数()f x '，对任意x ∈R ，有()()0f x f x --=，且x ∈[0，+∞）时()f x '＞2x ，若(2)()44f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，1]B ．[1，+∞）C ．（﹣∞，2]D ．[2，+∞）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省佛山市2018-2019学年上学期高二期末理科数学试卷(解析版)
广东省佛山市2018-2019学年上学期高二期末理科数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知点，，直线AB的倾斜角为，那么m的值为A. B. 1 C. 2 D. 5【答案】B【解析】解：由点，，得，又直线AB的倾斜角为，．则，解得．故选：B．由两点坐标求出直线的斜率，进一步求得m得答案．本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．2.抛物线的准线与x轴的交点的坐标为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：抛物线的准线为：，所以抛物线与x轴的交点的坐标．故选：B．求出抛物线的准线方程，然后求解准线与x轴的交点的坐标．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．3.双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：双曲线的，，可得渐近线方程为，即有．故选：A．由双曲线的方程的渐近线方程为，求得a，b，即可得到渐近线方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的性质，考查运算能力，属于基础题．4.设命题p：，则￢为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，则￢：，，故选：C．根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，利用特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键比较基础．5.过两直线：，：的交点且与平行的直线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：两直线：，：的交点为，解得，即；设与平行的直线方程为，则，解得，所求的直线方程为．故选：D．求出两直线、的交点坐标，再设与平行的直线方程为，代入交点坐标求出m的值，即可写出方程．本题考查了直线方程的应用问题，是基础题．6.若曲线是焦点在x轴上的椭圆，则下列结论正确的是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：方程即：示焦点在x轴上的椭圆，可得：，解得．故选：A．化简椭圆方程为标准方程，然后推出结果．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．7.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由三视图可知：该几何体由两部分组成：上面是一个圆柱；下面是一个长方体．这个几何体的表面积．故选：A．由三视图可知：该几何体由两部分组成：上面是一个圆柱；下面是一个长方体利用表面积计算公式即可得出．本题考查了圆柱与长方体的三视图、表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.已知命题p：“，直线都经过一定点”，命题q：“，方程表示圆”则下列命题为真的是A. B. ￢ C. ￢ D. ￢￢【答案】B【解析】解：由得，当时，，即直线过定点，则命题p是真命题，由得，则方程无法表示圆，即命题q是假命题，则￢是真命题，其余为假命题，故选：B．分别判断p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题p，q的真假是解决本题的关键．9.已知，且a，b为实数，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：当时，，对称轴为，此时为增函数，且，当时，，对称轴为，此时为增函数，且，综上函数为增函数，则“”是“”的充要条件，故选：C．根据条件判断函数的单调性，结合函数单调性性质进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数单调性的性质判断函数的单调性是解决本题的关键．10.已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的体积与球的体积之比为A. 27：32B. 3：8C. ：16D. 9：32【答案】D【解析】解：取圆锥的轴截面如下图所示，设球的半径为R，圆锥的高为h，底面圆的半径为r，则圆锥的母线长为2r，结合图形可得，所以，，圆锥的高为，所以，圆锥的体积为，。
2018-2019学年广东省佛山一中、石门中学、顺德一中、国华纪中高二下学期期末四校联考试题 数学(理)答案
若不裁员，则每天可揽件的上限为 450 件，代办点每日揽件数情况如下：
包裹件数范围
0～100 101～200 201～300 301～400 401～500
包裹件数（近似处理） 50
150
250
350
450
实际揽件数
50
150
250
350
450
频率
0.1
0.1
0.5
0.2
0.1
E(Y )
50 0.1150 0.1 250 0.5 350 0.2 450 0.1 260
F (e)
me
m e
4
0
，解得：
m
4e e2 1
………………………………………………12
分
20【解析】（1）由题意得样本中包裹件数在 101～300 之间的天数为 36，频率 f 36 3 ， 60 5
故可估计概率为
3
，
未来
5
天中，在
101～300
之间的天数服从二项分布，即
X
B(5, 3)
17．【解析】（1） f (x) 的定义域为 (0,1) (1, ) ……………………………………1 分
f
' ( x)
ln x 1 (ln x)2
，………………………………………………………………………………2
分
当 f ' (x) 0 时， x e ， f (x) 单调递增； ………………………………………………3 分
高二理科数学答案 第 3 页（共 8 页）
19【解析】（1） f (x) 的定义域为 (0, ) ……………………………………………1 分
广东省佛山市2018-2019学年上学期高二期末(理科)数学试卷含答案
广东省佛山市2018-2019学年上学期高二期末理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知点，，直线AB的倾斜角为，那么m的值为A. B. 1 C. 2 D. 52.抛物线的准线与x轴的交点的坐标为A. B. C. D.3.双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.4.设命题p：，则￢为A. ，B. ，C. ，D. ，5.过两直线：，：的交点且与平行的直线方程为A. B. C. D.6.若曲线是焦点在x轴上的椭圆，则下列结论正确的是A. B. C. D.7.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为A. B. C. D.8.已知命题p：“，直线都经过一定点”，命题q：“，方程表示圆”则下列命题为真的是A. B. ￢ C. ￢ D. ￢￢9.已知，且a，b为实数，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10.已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的体积与球的体积之比为A. 27：32B. 3：8C. ：16D. 9：3211.如图，已知椭圆C的中心为原点O，为C的左焦点，P为C上一点，满足且，则椭圆C的方程为A.B.C.D.12.如图，正方体的棱长为，动点P在对角线BD上，过点P作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形含三角形的周长为L，则L的最大值为A.B. 6C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.过点和点的直线方程为______．14.在体积为的四面体ABCD中，平面BCD，，，，则CD长度的所有值为______．15.在平面直角坐标系xOy中，点，若直线上存在点P使得，则实数m的取值范围是______．16.已知双曲线C的两条渐近线为，，过右焦点F作且交于点B，过点B作且交于点A，若轴，则双曲线C的离心率为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知圆C：，直线：，：若圆C上存在两点关于直线对称，求实数k的值；若，被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，求实数k的值．18.如图，正方体切掉三棱锥后形成多面体，过的截面分别交，于点E，F．证明：平面；求异面直线与EF所成角的余弦值．19.设抛物线C：的焦点为F，直线l：与抛物线交于A，B两点．求的值；能否在x轴上找到点P，使得？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．20.如图，在三棱柱中，，，D为BC的中点．证明：平面；求直线与平面所成角的正弦值．21.如图，某城市有一块半径为单位：百米的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路最初规划在拐角处图中阴影部分只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？22.已知椭圆C的两个焦点坐标分别为，，一个顶点为．求椭圆C的标准方程；点A的坐标为，，是C上的两点且，直线AM，AN关于x轴对称，求的面积S的取值范围．广东省佛山市2018-2019学年上学期高二期末理科数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）23.已知点，，直线AB的倾斜角为，那么m的值为A. B. 1 C. 2 D. 5【答案】B【解析】解：由点，，得，又直线AB的倾斜角为，．则，解得．故选：B．由两点坐标求出直线的斜率，进一步求得m得答案．本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．24.抛物线的准线与x轴的交点的坐标为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：抛物线的准线为：，所以抛物线与x轴的交点的坐标．故选：B．求出抛物线的准线方程，然后求解准线与x轴的交点的坐标．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．25.双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：双曲线的，，可得渐近线方程为，即有．故选：A．由双曲线的方程的渐近线方程为，求得a，b，即可得到渐近线方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的性质，考查运算能力，属于基础题．26.设命题p：，则￢为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，则￢：，，故选：C．根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，利用特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键比较基础．27.过两直线：，：的交点且与平行的直线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：两直线：，：的交点为，解得，即；设与平行的直线方程为，则，解得，所求的直线方程为．故选：D．求出两直线、的交点坐标，再设与平行的直线方程为，代入交点坐标求出m的值，即可写出方程．本题考查了直线方程的应用问题，是基础题．28.若曲线是焦点在x轴上的椭圆，则下列结论正确的是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：方程即：示焦点在x轴上的椭圆，可得：，解得．故选：A．化简椭圆方程为标准方程，然后推出结果．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．29.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由三视图可知：该几何体由两部分组成：上面是一个圆柱；下面是一个长方体．这个几何体的表面积．故选：A．由三视图可知：该几何体由两部分组成：上面是一个圆柱；下面是一个长方体利用表面积计算公式即可得出．本题考查了圆柱与长方体的三视图、表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．30.已知命题p：“，直线都经过一定点”，命题q：“，方程表示圆”则下列命题为真的是A. B. ￢ C. ￢ D. ￢￢【答案】B【解析】解：由得，当时，，即直线过定点，则命题p是真命题，由得，则方程无法表示圆，即命题q是假命题，则￢是真命题，其余为假命题，故选：B．分别判断p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题p，q的真假是解决本题的关键．31.已知，且a，b为实数，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：当时，，对称轴为，此时为增函数，且，当时，，对称轴为，此时为增函数，且，综上函数为增函数，则“”是“”的充要条件，故选：C．根据条件判断函数的单调性，结合函数单调性性质进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数单调性的性质判断函数的单调性是解决本题的关键．32.已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的体积与球的体积之比为A. 27：32B. 3：8C. ：16D. 9：32【答案】D【解析】解：取圆锥的轴截面如下图所示，设球的半径为R，圆锥的高为h，底面圆的半径为r，则圆锥的母线长为2r，结合图形可得，所以，，圆锥的高为，所以，圆锥的体积为，因此，圆锥的体积与球的体积之比为．故选：D．设球的半径为2R，用R表示圆锥的底面圆半径以及高，再利用锥体体积公式得出圆锥的体积的表达式，然后再结合球体的体积公式可得出答案．本题考查球体体积的计算，考查圆锥体积的计算，解决本题的关键在于利用球体的半径来表示圆锥中的几何量，考查计算能力，属于中等题．33.如图，已知椭圆C的中心为原点O，为C的左焦点，P为C上一点，满足且，则椭圆C的方程为A.B.C.D.【答案】C【解析】解：根据题意，设椭圆的右焦点为M，连接PM，则，由知，，，所以，又由知，，即．又由，，则，则，则，又由，则，则椭圆的方程为：，故选：C．设椭圆的右焦点为M，由及椭圆的对称性知，为直角三角形；由勾股定理计算可得；由椭圆的定义，可得a的值，结合椭圆的几何性质可得；然后根据椭圆标准方程的形式，直接写出椭圆的方程，即可得答案．本题考查椭圆的定义及其几何特征对于椭圆标准方程的求解，关键是根据题设或图形的几何特征，列出关于a，b，c的三个方程，这样才能确定，，属于中档题．34.如图，正方体的棱长为，动点P在对角线BD上，过点P作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形含三角形的周长为L，则L的最大值为A.B. 6C.D.【答案】B【解析】解：正方体的棱长为，，当时，即当截面过体对角线的中点时，此时截面为正六边形，其定点为各棱的中点，如图取最大值截面周长L取最大值为．故选：B．推导出，当时，当截面过体对角线的中点时，截面为正六边形，其定点为各棱的中点，L取最大值，由此能求出截面周长L的最大值．本题考查几何体中动点问题，截面周长问题转化思想，平移平面，找到截面最大时动点位置是关键考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）35.过点和点的直线方程为______．【答案】【解析】解：由题意可得，过点和点的截距式方程为：，即．故答案为：．直接写出直线的截距式方程化为一般式即可．本题考查直线的截距式方程，是基础题．36.在体积为的四面体ABCD中，平面BCD，，，，则CD长度的所有值为______．【答案】【解析】解：如图，在四面体ABCD中，平面BCD，为以BCD为底面的三棱锥的高，，，由，得．又，，得，得，．当时，，则；当时，，则．长度的所有值为，．故答案为：，．由已知求得的面积，再由面积公式求得，进一步求得，再由余弦定理求得CD长度．本题考查棱锥的结构特征，考查了棱锥的体积公式，训练了余弦定理的应用，是中档题．37.在平面直角坐标系xOy中，点，若直线上存在点P使得，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：设，，，，化为，，解得，，令，，，实数m的取值范围是，故答案为设，由，可得，利用两点之间的距离公式化为：，可得：，通过三角函数代换即可得出．本题考查了两点之间的距离公式、和差化积、三角函数的求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．38.已知双曲线C的两条渐近线为，，过右焦点F作且交于点B，过点B作且交于点A，若轴，则双曲线C的离心率为______．【答案】【解析】解：设双曲线的方程为，渐近线方程为：，：，由题意可设，由轴，令，代入的方程可得，即有，过右焦点F作且交于点B，由FB的方程，联立直线：，解得，再由，可得，即有，化为，由，可得：，由可得．故答案为：．设双曲线的方程为，渐近线方程为：，：，由代入的方程可得A的坐标；由两直线平行的条件可得直线FB的方程，联立直线的方程可得B的坐标，再由，运用直线的斜率公式和垂直的条件：斜率之积为，结合离心率公式计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，直线平行和垂直的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）39.已知圆C：，直线：，：若圆C上存在两点关于直线对称，求实数k的值；若，被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，求实数k的值．【答案】解：圆C：的圆心为，圆C上存在两点关于直线：对称，则直线过圆心，，解得；由直线：，得，则圆心C到直线的距离为，被圆C所截得的弦长为；又直线、被圆C所截得的弦长之比为1：2，被圆C所截得的弦长为1，由：，得；则圆心C到直线的距离，整理得，解得．【解析】由题意知直线过圆心C，代入点的坐标求出k的值；求出圆心C到直线的距离和被圆C所截得的弦长，再求出直线被圆C所截得的弦长与圆心C到直线的距离，列方程求出k的值．本题考查了直线与圆的方程应用问题，是中档题．40.如图，正方体切掉三棱锥后形成多面体，过的截面分别交，于点E，F．证明：平面；求异面直线与EF所成角的余弦值．【答案】证明：，，，，，，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面．解：由得平面，又平面，平面平面，，是异面直线与EF所成的角或所成角的补角，设正方休的棱长为a，则，，，在中，，异面直线与EF所成角的余弦值为．【解析】推导出，，从而四边形是平行四边形，进而，由此能证明平面．推导出，从而是异面直线与EF所成的角或所成角的补角，由此能求出异面直线与EF所成角的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．41.设抛物线C：的焦点为F，直线l：与抛物线交于A，B两点．求的值；能否在x轴上找到点P，使得？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】解：抛物线C：的焦点为，准线方程为，由直线l：，联立抛物线方程可得，解得，，即有，，则；假设在x轴上找到点，使得，由，，可得，即，即为，由，可得方程无解，故不存在P，使得．【解析】求得抛物线的焦点和准线方程，联立准线方程和抛物线方程，求交点，结合抛物线的定义，可得所求和；假设在x轴上找到点，使得，由两直线垂直的条件：斜率之积为，解方程可得结论．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立求交点，考查方程思想和运算能力，属于中档题．42.如图，在三棱柱中，，，D为BC的中点．证明：平面；求直线与平面所成角的正弦值．【答案】证明：设，则，，，，，且，，，，≌ ，，，，，，又，平面．解：由可如图建立空间直角坐标系，则0，，，0，，0，，a，，，0，，，设平面的法向量y，，则由，取，得，设直线与平面所成角为．则．直线与平面所成角的正弦值为．【解析】设，则，推导出≌ ，从而，再求出，由此能证明平面．建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．43.如图，某城市有一块半径为单位：百米的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路最初规划在拐角处图中阴影部分只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？【答案】解：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy．设，，则直线AB方程为，即．因为AB与圆C：相切，所以，化简得，即，因此，因为，，所以，于是．又，解得，或，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以AB最小值为，此时．答：当A，B两点离道路的交点都为百米时，小道AB最短．【解析】分别由两条道路所在直线建立直角坐标系设，，求得直线AB的方程和圆的方程，运用直线和圆相切的条件：，求得a，b的关系，再由两点的距离公式和基本不等式，解不等式可得AB的最小值，及此时A，B的位置．本题考查基本不等式在最值问题中的运用，同时考查直线和圆相切的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．44.已知椭圆C的两个焦点坐标分别为，，一个顶点为．求椭圆C的标准方程；点A的坐标为，，是C上的两点且，直线AM，AN关于x轴对称，求的面积S的取值范围．【答案】解：椭圆C的两个焦点坐标分别为，，一个顶点为．椭圆C的焦点在x轴上，可设标准方程为，，且，，椭圆C的标准方程为．设直线MN的方程为，，联立，整理，得，，，关于x轴对称的两条不同直线，的斜率之和为0，即，，，，解得，直线MN的方程为，直线MN过定点，又，令，则，，的面积的面积S的取值范围是【解析】椭圆C的焦点在x轴上，可设标准方程为，，且，，由此能求出椭圆C的标准方程．设直线MN的方程为，，联立，得，由此利用韦达定理、关于x轴对称的直线的性质、弦长公式、三角形面积公式，结合已知条件能求出的面积S的取值范围．本题考查椭圆标准方程的求法，考查三角形的面积的取值范围的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。
2019-2020学年佛山市名校数学高二第二学期期末检测试题含解析
2019-2020学年佛山市名校数学高二第二学期期末检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．()52112x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式的常数项为（） A ．112 B ．48 C ．-112 D ．-48【答案】D 【解析】 【分析】把51(2)x -按照二项式定理展开，可得()52112x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式的常数项．【详解】 由于()()52205142332455555111111121()2()4()8()1632x x C C C C C x x x x x x ⎛⎫⎛⎫---⋅-⋅+⋅-⋅+⋅- ⎪⎭= ⎪⎝⎝⎭故展开式的常数项为3583248C -+=-，故选D ．【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查了二项式展开式，属于基础题.2．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，'(1)()0x f x -<，设(0)a f =，1)2(b f =，(3)c f =，则（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】x ∈（-∞，1）时，x-1＜0，由（x-1）•f'（x ）＜0，知f'（x ）＞0， 所以（-∞，1）上f （x ）是增函数． ∵f （x ）=f （2-x ）， ∴f （3）=f （2-3）=f （-1） 所以f （-1）＜（0）＜1()2f ， 因此c ＜a ＜b ． 故选B ．A ．若,,则B ．若，，，则C ．若,,则D ．若,,则【答案】C 【解析】 【分析】结合空间中点线面的位置关系，对选项逐个分析即可选出答案. 【详解】 对于选项A ，当,，有可能平行，也有可能相交，故A 错误； 对于选项B ，当，，，有可能平行，也可能相交或者异面，故B 错误；对于选项C ，当,,根据线面垂直的判定定理可以得到，故C 正确；对于选项D ，当,,则或者，故D 错误；故答案为选项C. 【点睛】本题考查了空间中直线与平面的位置关系，考查了学生的空间想象能力，属于基础题. 4．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A ．//,,αβm αnβ烫，则//m nB ．//,//m m n α，则//n αC ．,//,m n m αβα⊥⊥，则//n βD ．,//m m n α⊥，则n α⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理依次判断各个选项即可. 【详解】两平行平面内的直线的位置关系为：平行或异面，可知A 错误；//m α且//m n ，此时//n α或n α⊂，可知B 错误；αβ⊥，//m n ，m α⊥，此时n β⊥或n β⊂，可知C 错误；两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条必垂直于该平面，D 正确. 本题正确选项：D本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查学生对于定理的掌握程度，属于基础题. 5．盒子里共有7个除了颜色外完全相同的球，其中有4个红球3个白球，从盒子中任取3个球，则恰好取到2个红球1个白球的概率为（ ）． A ．2435B ．1835C ．1235D ．635【答案】B 【解析】由题意得所求概率为214337C C 6318C 3535P ⋅⨯===．选B ． 6．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下根据上表可得回归方程$9.49.1y x =+，则实数a 的值为（ ） A ．37.3 B ．38C ．39D ．39.5【答案】C 【解析】 【分析】求出(),x y ，代入回归方程，即可得到实数a 的值。
2018-2019学年广东省佛山市顺德区高二下学期期末数学理试题 解析版
绝密★启用前广东省佛山市顺德区2018-2019学年高二下学期期末数学理试题一、单选题1．复数(12)i i +的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i -C ． 2i -+D ．2i --【答案】D 【解析】 【分析】化简复数，再计算共轭复数. 【详解】(12)22z i i i z i =+=-+⇒=--故答案选D 【点睛】本题考查了复数的计算和共轭复数，属于简单题. 2．曲线32y x x =-+在0x =处的切线方程为（ ） A ．21y x =+ B ．21y x =-C ．2y x =-+D ．2y x =--【答案】C 【解析】 【分析】求导，把0x =分别代入导函数和原函数，得到斜率和切点，再计算切线方程. 【详解】32 2'31y x x y x =-+⇒=-将0x =代入导函数方程，得到1k =- 将0x =代入曲线方程，得到切点为：(0,2) 切线方程为：2y x =-+ 故答案选C 【点睛】本题考查了曲线的切线，意在考查学生的计算能力.3．已知离散型随机变量X 的分布列如下，则 ()D X =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】先计算 ()E X ，再根据公式计算得到 ()D X 【详解】111()024242 4E X =⨯+⨯+⨯=222111()(02)(22)(42)2424D X =⨯-+⨯-+⨯-=故答案选B 【点睛】本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力.4．若点()000,P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>内，则被0P 所平分的弦所在的直线方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+，通过类比的方法，可求得：被()1,1P 所平分的双曲线2214x y -=的弦所在的直线方程是（ ） A ．430x y -+= B ．450x y +-= C ．450x y --= D ．430x y ++=【答案】A 【解析】 【分析】通过类比的方法得到直线方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-，代入数据得到答案.【详解】0P 所平分的弦所在的直线方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+，通过类比的方法，可求得双曲线的0P 所平分的弦所在的直线方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-代入数据()1,1P ，得到：1143044x y x y -=-⇒-+= 故答案选A 【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的推理能力.5．抛物线21y x =+和直线3y x =+所围成的封闭图形的面积是（ ）A ．132B ．112C ．92D ．72【答案】C 【解析】 【分析】先计算抛物线和直线的交点，再用定积分计算面积. 【详解】21211,23y x x x y x ⎧=+⇒=-=⎨=+⎩ 所围成的封闭图形的面积是：112232222119(31)(2)21322x x dx x x dx x x x --⎛⎫⎰+--=⎰-++=-++= ⎪-⎝⎭ 故答案为C 【点睛】本题考查了定积分的应用，意在考查学生应用能力和计算能力.6．函数222()x x f x x--=的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】取特殊值排除选项得到答案. 【详解】222()x xf x x --=3(1)02f -=-< ，排除B ，3(1)2f =排除D ,()x f x →+∞→+∞排除C 故答案选A 【点睛】本题考查了函数的图像，取特殊值可以简化运算. 7．已知()*111()123f n n N n =++++∈，用数学归纳法证明()*2,2nn f n N >∈时，从假设n k =推证1n k =+成立时，需在左边的表达式上多加的项数为（ ） A ．21k - B ．2kC ．21k +D ．1【答案】B 【解析】 【分析】分别计算n k =和1n k =+时的项数，相减得到答案.()*111()123f n n N n =++++∈ n k =时，()11121223k k f =++++，共有2k 项.1n k =+时，()1111121322k k f ++=++++，共有12k +项.需在左边的表达式上多加的项数为：1222k k k +-= 故答案选B 【点睛】本题考查了数学归纳法，意在考查学生的计算能力.8．从某大学中随机选取8名女大学生，其身高x （单位：cm ）与体重y （单位：kg ）数据如下表：若已知y 与x 的线性回归方程为0.85 5.1ˆ87yx =-，那么选取的女大学生身高为175cm 时，相应的残差为（ ）A ．0.96-B ．0. 96C ．63. 04D ． 4.04-【答案】B 【解析】 【分析】将175代入线性回归方程计算理论值，实际数值减去理论数值得到答案. 【详解】已知y 与x 的线性回归方程为0.85 5.1ˆ87yx =- 当175x =时：63.04y = 相应的残差为：6463.040.96-= 故答案选B 【点睛】本题考查了残差的计算，意在考查学生的计算能力. 9．若函数2()ln f x x x x=++在区间[],2t t +上是单调函数，则t 的取值范围是（ ） A ．[1,2]B ．[1,)+∞C ．[2,)+∞D ．(1,)+∞【解析】 【分析】求导，计算函数的单调区间，根据区间[],2t t +上是单调函数得到答案. 【详解】22222122(2)(1)()ln '()1(0)x x x x f x x x f x x x x x x x+-+-=++⇒=+-==> 1x ≥单调递增，01x <<单调递减.函数2()ln f x x x x=++在区间[],2t t +上是单调函数 区间[],2t t +上是单调递减不满足 只能区间[],2t t +上是单调递增. 故1t ≥ 故答案选B 【点睛】本题考查了函数的单调性，排除单调递减的情况是解题的关键.10．把编号分别为1，2，3，4，5的五张电影票全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的电影票超过一张，则必须是连号，那么不同分法的种数为（ ） A ．36 B ．40 C ．42 D ．48【答案】A 【解析】 【分析】将情况分为113和122两种情况，相加得到答案. 【详解】当分的票数为1,1,3这种情况时：1232318C A ⨯⨯=当分的票数为1,2,2这种情况时：一张票数的人可以选择1,3,5：1232318C A ⨯⨯=不同分法的种数为36 故答案选A 【点睛】本题考查了排列组合，将情况分为两类可以简化运算.11．已知4324355210(2)(1)x x a x a x a x a x a +=++++++，则40a a +=（ ）A ．36B ．40C ．45D ．52【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，分别计算4a 和0a ，相加得到答案. 【详解】4324355210(2)(1)x x a x a x a x a x a +=++++++14115525a C C =⨯-=502131a =-=4036a a +=故答案选A 【点睛】本题考查了二项式的计算，意在考查学生的计算能力. 12．已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，且(1)0f -=，若对任意的(0,)x ∈+∞，都有'()()x f x f x ⋅>成立，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．(1,0)(1,)-??B ．(1,0)(0,1)-C ．(,1)(0,1)-∞-D ．(,1)(1,)-∞-+∞【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数()()f x F x x= ，判断函数的单调性和奇偶性，根据其性质解不等式得到答案. 【详解】对任意的(0,)x ∈+∞，都有'()()x f x f x ⋅>成立 构造函数2()'()(()')()0()x f f x F x F x F x x x f xx =⇒=>⇒⋅-在(0,)+∞上递增. ()f x 是偶函数()F x ⇒为奇函数，在(,0)-∞上单调递增.(1)(1)0F F -==当0x >时：()0()01f x F x x >⇒>⇒>当0x <时：()0()01f x F x x >⇒<⇒->(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞故答案选D 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，解不等式，构造函数()()f x F x x=是解题的关键.第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．i 是虚数单位，若复数(12)()i a i ++是纯虚数，则实数a =____________. 【答案】2 【解析】 【分析】化简复数，实部为0，计算得到答案. 【详解】(12)()2(12)i a i a a i ++=-++为纯虚数2a =故答案为2 【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题. 14．已知函数ln ()x f x x =，则1'f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭____________. 【答案】22e 【解析】 【分析】求导，代入数据得到答案. 【详解】2ln 1ln ()'()x xf x f x x x -=⇒=2212'21()f e e e⎛⎫== ⎪⎝⎭ 故答案为：22e 【点睛】本题考查了导数的计算，意在考查学生的计算能力.15．若nx ⎛⎝的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中常数项等于____________. 【答案】1516【解析】 【分析】根据题意先计算6n =，再用展开式的通项公式计算常数项. 【详解】若nx ⎛⎝的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等.246n n C C n =⇒=36621661(2)r rrr rr r T C xC x--+== 当4r =时为常数项，为1516故答案为：1516【点睛】本题考查了二项式的计算，先判断6n =是解题的关键.16．已知平面上1个三角形最多把平面分成2个部分，2个三角形最多把平面分成8个部分，3个三角形最多把平面分成20个部分，4个三角形最多把平面分成38个部分，5个三角形最多把平面分成62个部分…，以此类推，平面上n 个三角形最多把平面分成 ____________个部分. 【答案】2332n n -+ 【解析】 【分析】设面上n 个三角形最多把平面分成n a 个部分，归纳出16(1)n n a a n --=-，利用累加法的到答案. 【详解】设面上n 个三角形最多把平面分成n a 个部分.123452,8,20,38,62a a a a a =====21661a a -==⨯ 321262a a -==⨯ 431863a a -==⨯ 542464a a -==⨯归纳：16(1)n n a a n --=- 利用累加法：112211()()...()6(1)6(2)...62n n n n n a a a a a a a a n n ---=-+-++-+=-+-+++2332n n n a -+=故答案为：2332n n -+ 【点睛】本题考查了归纳推理，累加法，综合性强，意在考查学生归纳推理和解决问题的能力.三、解答题17．某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数. ①212ii+- ②4334i i -++ ③11ii---+ （i 是虚数单位）（Ⅰ）从三个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据三个式子的结构特征及（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论. 【答案】（I ）i （II ）结论为a bii b ai+=-（,a b ∈R 且,a b 不同时为零），证明见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）将三个式子化简答案都为i . （II ）观察结构归纳结论为a bii b ai+=-，再利用复数的计算证明结论. 【详解】 （I ）2(2)(12)24212(12)(12)5i i i i i i i i i +++++-===--+43(43)(34)121691234(34)(34)25i i i i i i i i i -+-+--+++===++-1(1)(1)1211(1)(1)2i i i i i i i i ------+-===-+-+-- （II ）根据三个式子的结构特征及（I ）的计算结果，可以得到：a bii b ai+=-（,a b ∈R 且,a b 不同时为零） 下面进行证明： 要证明a bii b ai+=- 只需证()a bi i b ai +=- 只需证a bi a bi +=+ 因为上式成立，所以a bii b ai+=-成立. （或直接利用复数的乘除运算得出结果） 【点睛】本题考查了复数的计算和证明，意在考查学生的归纳能力.18．某高中高二年级1班和2班的学生组队参加数学竞赛，1班推荐了2名男生1名女生，2班推荐了3名男生2名女生. 由于他们的水平相当，最终从中随机抽取4名学生组成代表队.（Ⅰ）求1班至少有1名学生入选代表队的概率；（Ⅱ）设X 表示代表队中男生的人数，求X 的分布列和期望. 【答案】（I ）1314（II ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）用1减去没有1班同学入选的概率得到答案.（Ⅱ）X 的所有可能取值为1，2，3，4，分别计算对应概率得到分布列，再计算期望. 【详解】（I ）设1班至少有1名学生入选代表队为事件A则 4548513()117014C P A C =-=-= （II ）X 的所有可能取值为1，2，3，41353481(1)14C C P X C ===，2253483(2)7C C P X C ===， 3153483(3)7C C P X C ===，45481(4)14C P X C ===.因此X 的分布列为13315()12341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了概率的计算，分布列和数学期望，意在考查学生的应用能力和计算能力. 19．随着人们生活水平的日益提高，人们对孩子的培养也愈发重视，各种兴趣班如雨后春笋般出现在我们日常生活中. 据调查，3～6岁的幼儿大部分参加的是艺术类，其中舞蹈和绘画比例最大，就参加兴趣班的男女比例而言，女生参加兴趣班的比例远远超过男生. 随机调查了某区100名3～6岁幼儿在一年内参加舞蹈或绘画兴趣班的情况，得到如下表格：（Ⅰ）估计该区3～6岁幼儿参加舞蹈兴趣班的概率；（Ⅱ）通过所调查的100名3～6岁幼儿参加兴趣班的情况，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99. 9%的把握认为参加舞蹈兴趣班与性别有关.附：22(),()()()()n ad bcK n a b c da cb d a bc d-==+++ ++++.【答案】（I）0.6（II）有99. 9%的把握认为参加舞蹈兴趣班与性别有关，详见解析【解析】【分析】（Ⅰ）画出韦恩图，计算参加舞蹈班的人数，再计算概率.（Ⅱ）补全列联表，计算2K，与临界值表作比较得到答案.【详解】（I）画出韦恩图得：600.6100P==（II）22100(2001000)160025.410.8286040307063K -===>⨯⨯⨯所以，有99. 9%的把握认为参加舞蹈兴趣班与性别有关. 【点睛】本题考查了概率的计算，列联表，意在考查学生的计算能力.20．已知函数3()4f x ax bx =++，当2x =-时，函数()f x 有极大值8. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若不等式()0f x mx +>在区间[1,3]上恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（I ）31()344f x x x =-+（II ）(0,)+∞ 【解析】 【分析】（Ⅰ）求导，当2x =-时，导函数为0，原函数为8，联立方程解得,a b （Ⅱ）参数分离，设214()34g x x x=-+-，求在区间[1,3]上的最大值得到答案. 【详解】（I ）2'()3f x ax b =+∵当2x =-时，函数()f x 有极大值8∴'(2)120(2)8248f a b f a b =+=⎧⎨-=--+=⎩，解得143a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴所以函数()f x 的解析式为31()344f x x x =-+. （II ）∵不等式31()3404f x mx x x mx +=-++>在区间[]1,3上恒成立 ∴21434m x x >-+-在区间[]1,3上恒成立 令214()3,[1,3]4g x x x x=-+-∈，则由33222148(8)'()223x x g x x x x x -+--=-+==解'()0g x >得12x ≤<，解)'(0g x <得23x <≤所以当12x ≤<时，()g x 单调递增，当23x <≤时，()g x 单调递减 所以对[1,3]x ∀∈，都有()(2)0g x g ≤=，所以0m >，即实数m 的取值范围是(0,)+∞. 【点睛】本题考查了极值的性质，参数分离，恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.21．某玻璃工厂生产一种玻璃保护膜，为了调查一批产品的质量情况，随机抽取了10件样品检测质量指标（单位：分）如下：38，43，48，49，50，53，57，60，69，70. 经计算得101153.710i i x x ===∑，9.9s ==,生产合同中规定：质量指标在62分以上的产品为优质品，一批产品中优质品率不得低于15%.（Ⅰ）以这10件样品中优质品的频率估计这批产品的优质品率，从这批产品中任意抽取3件，求有2件为优质品的概率；（Ⅱ）根据生产经验，可以认为这种产品的质量指标服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数，2σ近似为样本方差，利用该正态分布，是否有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求？ 附：若()2~,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+≈【答案】（I ）12125（II ）有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求，详见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）10件样品中优质品的频率为15，记任取3件，优质品数为Y ，则1~3,5Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，计算得到答案.（Ⅱ）记这种产品的质量指标为X ，由题意知()2~53.7,9.9X N ,(62)0.15P X >>得到答案. 【详解】（I ）10件样品中优质品的频率为15，记任取3件，优质品数为Y ， 则1~3,5Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2231412(2)55125P Y C ⎛⎫===⎪⎝⎭（II ）记这种产品的质量指标为X ，由题意知()2~53.7,9.9X N则(43.863.6)()0.6827P X P X μσμσ<≤=-<≤+≈ ∵10.6827(62)(63.6)0.158650.152P X P X ->≥>==> ∴有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求. 【点睛】本题考查了二项分布，正态分布，意在考查学生的应用能力和计算能力.。
2019年佛山一中四校联考高二下学期期末考试(理科)
C．
D．
9.已知 ，设
的展开式的各项系数之和为 ，二项式系数之和为 ，若
，则展开式中 的系数为（ ）
A．
B．
C．
D．
10.针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的 女生人数是男生人数的 ，男生喜欢抖音的人数占男生人数的 ，女生喜欢抖音的人数占女生人 数的 ，若有 的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则男生至少有（ ）
21. 已知函数
，
，若曲线 和曲线 都过
点 ，且在点 处有相同切线 ．
求 (1) 和 的解析式，并求 的单调区间；
设 (2) 为 的导数，当 ， 时，证明：
．
22.在平面直⻆坐标系 中，曲线 的参数方程为
（ 为参数）．以坐标原点 为极
点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
．
(1)写出 的普通方程和 的直⻆坐标方程； (2)设点 在 上，点 在 上，求 的最小值及此时 的直⻆坐标．
对近 天，每件揽件数量统计如下表：
以上数据做近似处理，将频率视为概率．
(1)计算该代办点未来 天内不少于 天揽件数在 ～ 之间的概率； (2)① 估计该代办点对每件包裹收取的快递费的平均值；
② 根据以往的经验，该代办点快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的 用作其他费用．目前该代办点前台有工作人员 人，每人每天揽件不超过 件，日工资 元． 代办点正在考虑是否将前台工作人员裁减 人，试计算裁员前后代办点每日利润的数学期望，若 你是决策者，是否裁减工作人员 人？
(1)学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选 课情况，对抽取到的 名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须一个科目且只 能选择一个科目），如下表是根据调查结果得到的 列联表．请求出 和 ，并判断是否有 的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；
2019-2020学年广东省佛山市高二上学期期末数学试题(含答案解析)
2019-2020学年广东省佛山市高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知直线l 经过点()1,2P -，且倾斜角为135︒，则直线l 的方程为（ ） A ．30x y +-= B ．10x y +-=C ．10x y -+=D ．30x y -+=【答案】B【解析】由倾斜角求出斜率，写出直线方程的点斜式，化成一般式. 【详解】直线l 倾斜角为135︒，则斜率为-1，且经过点()1,2P -， 直线l 方程为2(1)y x -=-+，即10x y +-=. 故选:B 【点睛】本题考查求直线方程，属于基础题. 2．已知命题p ：，，则为A ．，B ．，C ．，D ．，【答案】D【解析】根据全称命题的否定为特称命题可得答案． 【详解】 解：命题p ：，，则为，，故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全特称命题的否定方法是解答的关键． 3．已知抛物线2y x =上的点M 到其焦点的距离为2，则M 的横坐标是（ ） A ．32B ．52C ．74D ．94【答案】C【解析】求出抛物线的准线方程，设点M 的横坐标，利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】抛物线2y x =焦点1(,0)4F ，准线方程为14x =-，设点M 的横坐标为0x ，根据抛物线的定义，0017||2,44MF x x =+=∴=. 故选:C 【点睛】本题考查抛物线定义在解题中的应用，属于基础题.4．圆22460x y x +--=与圆22460x y y +--=的位置关系为（ ） A ．外离 B ．相切C ．相交D ．内含【答案】C【解析】求出两圆的圆心和半径，判断圆心距和两半径和与差的绝对值的关系，即可得出结论. 【详解】22460x y x +--=化为22(2)10x y -+=，圆心1(2,0)C ，半径110r =； 22460x y y +--=化为22(2)10x y +-=，圆心2(0,2)C ，半径210r =120||22210C C <=<.故选:C 【点睛】本题考查两圆的位置关系，属于基础题.5．过点()3,2的双曲线C 的渐近线方程为0x y ±=，则C 的方程为（ ） A ．221x y -= B ．225x y -= C ．221y x -= D ．225y x -=【答案】B【解析】根据渐近线方程，设出双曲线方程，将点()3,2代入，即可求解. 【详解】双曲线C 的渐近线方程为0x y ±=， 设双曲线C 的方程为22(0)x y λλ-=≠将点()3,2代入，得5λ=. 故选:B 【点睛】本题考查已知双曲线渐近线方程求标准方程，合理设双曲线方程是解题的关键，属于基础题. 6．函数()21f x x a =-，则“0a ≥”是“[]01,1x ∃∈-，使()00f x ≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先求出“[]01,1x ∃∈-，使()00f x ≥”成立时，a 的取值范围，与“0a ≥”比较，即可得出结论. 【详解】[]01,1x ∃∈-，使()00f x ≥即200()10f x x a =-≥，需[]max 1,1,()101x f x a a ∈-=+≥∴≥-，， “0a ≥”是“[]01,1x ∃∈-，使()00f x ≥”的充分不必要条件. 故选:A 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，考查存在不等式成立，属于基础题.7．已知m 是平面α的一条斜线,直线l 过平面α内一点A ,那么下列选项中能成立的是( ) A ．l α⊂,且l m ⊥ B ．l α⊥,且l m ⊥ C ．l α⊥,且l ∥m D ．l α⊂,且l ∥m【答案】A【解析】将选项BCD 一一当做条件，都会得出与题中矛盾的结论，故选项BCD 错误，选项A 得不出矛盾，选项A 正确. 【详解】解：若l α⊥,且l m ⊥，则m ∥α或m α⊂，不符合题意，选项B 错误；若l α⊥,且l ∥m ，则m α⊥，不符合题意，选项C 错误；若l α⊂,且l ∥m ，则m ∥α，不符合题意，选项D 错误. 故选：A. 【点睛】本题考查了空间中线面平行与垂直关系的判定与性质，属于基础题.8．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1AD 与1B D 所成角的余弦值为（ ）A ．110-B ．110C ．3010-D ．3010【答案】D【解析】建立空间直角坐标系，求出11,,,A D D B 坐标，利用空间向量法，求出11,AD DB 所成角余弦的绝对值，即为所求. 【详解】设122AA AB ==，以D 为坐标原点， 以1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系O xyz -，则11(1,0,0),(0,0,2),(1,1,2)A D B ，11(1,02),(1,1,2)AD DB =-=，111111330cos ,1056AD DB AD DB AD DB ⋅<>===⨯⋅. 因此，异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为3010. 故选:D【点睛】本题考查用空间向量法求异面直线所成的角，属于基础题.9．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，122BB =E ，F ，M 分别为11A B ，11A D ，11B C 的中点，过点M 的平面α与平面AEF 平行，且与长方体的面相交，则交线围成的几何图形的面积为（ ）A ．65B ．66C ．12D ．24【答案】A【解析】过点M 作两条相交的直线与平面AEF 平行，这两条相交线确定的平面即为α，作出平面α与长方体交线，可得交线围成图形为等腰梯形，求出等腰梯形的面积，即可求解. 【详解】取11C D 中点N ，连11,,,,MN BM BD DN B D ， 点E ，F ，M 分别为11A B ，11A D ，11B C 的中点，11111////,,2EF MN B D EF MN B D ∴==由长方体111,//,//AC BD B D MN BD ∴∴， ,MN BD ∴确定平面MNDB ，//,EF MN EF ∴⊄平面MNDB ，MN ⊂平面MNDB ，//EF ∴平面MNDB ，同理可证//AF 平面MNDB ，,,EFAF F EF AF =⊂平面AEF ，∴ 平面//AEF 平面MNDB ，平面MNDB 即为所求的平面α，111122,2322MN B D BD BM DN =====， 平面α与长方体交线围成的图形是等边梯形MNDB 等腰梯形的高为12210-=， 面积为1(2242)10652⋅+⋅=. 故选:A【点睛】本题考查面面平行的判定，以及平面与空间图形的相交线组成的图形，属于较中档题.10．已知()0,F c 为双曲线Γ：()222210,0y x a b a b-=>>的上焦点，若圆F ：()222x y c a +-=上恰有三个点到Γ的一条渐近线的距离为23a，则Γ的离心率为（ ） A 10B 13 C 10 D 13 【答案】A【解析】圆F 圆心为双曲线焦点，可求出圆心到渐近线的距离，若圆F 上恰有三个点到Γ的一条渐近线的距离为23a ，则与渐近线平行且与渐近线距离为23a 的直线与圆F 相切，可求出圆心到切线的距离且等于a ，得出,ab 关系，进而得出结论. 【详解】双曲线Γ：()222210,0y x a b a b-=>>的一条渐近线方程为0ax by -=，圆心(0,)F c 到直线0ax by -=22b a b=+，圆F 上恰有三个点到Γ的一条渐近线的距离为23a ， 则与渐近线平行且与渐近线距离为23a的直线l 与圆F 相切， 圆心到切线l 的距离为211,,333b b a a b a a +===，2101()3b e a ∴=+=. 故选:A 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的简单几何性质，考查数形结合思想，属于中档题.二、多选题11．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC ∆的顶点()4,0-A ，()0,4B ，其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标可以是（ ） A ．()2,0 B ．()0,2C ．()2,0-D ．()0,2-【答案】AD【解析】设(,)C x y ，依题意可确定ABC ∆的外心为(0,2)M ，可得出,x y 一个关系式，求出ABC ∆重心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出,x y 另一个关系式，解方程组，即可得出结论. 【详解】设(,),C x y AB 的垂直平分线为y x =-，ABC ∆的外心为欧拉线方程为20x y -+=与直线y x =-的交点为(1,1)M -，22||||10,(1)(1)10MC MA x y ∴==∴++-=，①由()4,0A -，()0,4B ，ABC ∆重心为44(,)33x y -+， 代入欧拉线方程20x y -+=，得20x y --=，② 由 ①②可得2,0x y ==或 0,2x y ==-. 故选:AD 【点睛】本题以数学文化为背景，考查圆的性质和三角形重心，属于较难题.12．在平面直角坐标系中，曲线C 上任意点P 与两个定点()2,0A -和点()2,0B 连线的斜率之和等于2，则关于曲线C 的结论正确的有（ ） A ．曲线C 是轴对称图形 B ．曲线C 上所有的点都在圆222x y +=外 C ．曲线C 是中心对称图形 D ．曲线C 上所有点的横坐标x 满足2x >【答案】BC【解析】根据已知条件求出曲线C 的方程，即可求得结论. 【详解】设点(,),2,222PA PB y y P x y x k k x x ≠±+=+=+-， 得24,0xy x x =-=不满足方程，4(2)y x x x=-≠±图像如下图所示：曲线对应的函数是奇函数，图像关于原点对称，无对称轴， 选项C 正确，选项A 不正确；222216288282x y x x +=+-≥>，选项B 正确； 当1x =时，3y =-则选项D 不正确. 故选:BC【点睛】本题考查求曲线方程，并研究曲线的几何性质，属于较难题.三、填空题13．将边长为1的正三角形绕其一边所在直线旋转一周，所得几何体的体积为______. 【答案】4π 【解析】所得的几何体为同底等高的圆锥组合体，根据圆锥的体积公式，即可求解. 【详解】将边长为1的正三角形绕其一边所在直线旋转一周， 312的两个同底圆锥组合体，其体积为21311(()3224ππ⨯⨯+=. 故答案为:4π 【点睛】本题考查旋转体的体积，属于基础题.14．已知直线1:0,l x ay a +-=()2:2310l ax a y ---=互相垂直，则a 的值为______ . 【答案】02或.【解析】根据两条直线垂直的条件，得到a 所满足的等量关系式，解方程，求得a 的值. 【详解】因为直线1:0,l x ay a +-= ()2:2310l ax a y ---=互相垂直， 则有1[(23)]0a a a ⨯+⨯--=，即2230a a a -+=，进一步化简得220a a -=，解得0a =或2a =，故答案是0或2. 【点睛】该题所考查的是有关两条直线垂直的条件，利用11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=++=与垂直的条件是12120A A B B +=，得到关于a 所满足的等量关系式，求得结果.15．表面积为16π的球面上有A 、B 、C 三点，且2AB AC ==2BC =，则球心到平面ABC 的距离为______. 3【解析】求出球的半径，ABC ∆为直角三角形，求出ABC ∆的外接圆的半径，根据截面圆的性质，即可求解. 【详解】球的表面积为16π，可得球半径2R =， 2AB AC ==2222,BC AB BC BC =∴+=，ABC ∆∴为直角三角形，ABC ∆的外接圆的半径112r BC ==， 球心到平面ABC 的距离为球心与ABC ∆的外接圆圆心的距离为22213-=.故答案为3 【点睛】本题考查球截面的性质，球心与截面圆（小圆）圆心连线垂直截面圆所在的平面是解题的关键，属于基础题. 16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是正方体棱上一点，1PB PC λ+=. ①若4λ=，则满足条件的点P 的个数为______；②若满足1PB PC λ+=的点P 的个数为6，则λ的取值范围是______. 【答案】4 ()(22,4223,42+【解析】（1）由题意可得点P 是以222c =为焦距，以2a =为长半轴的椭圆与正方体与棱的交点，可求解； （2）利用三角形两边之和大于第三边，以及点P 的个数为6个时，短半轴范围，即可求解. 【详解】（1）正方体的棱长为112,22,4BC PB PC ∴=+=，P ∴是以222c =为焦距，以2a =为长半轴的椭圆，P 在正方体的棱上，P ∴应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可得，满足条件的点为1,B C ， 以及棱,AB CD 各有一点满足条件， 故满足条件的点P 的个数为4； （2）11||22PB PC BC λ+=>= 当椭圆短半轴2b <1111,,,BC CC C B B B ,11,AB C D各有一个交点，与其它棱无交点，满足题意，2222,42244b λλλ=-<<∴<<当2b =2,4a λ==由（1）得不合题意.当2,223b λ>≤+时，根据正方体的性质，至多只有4个点在棱上，不合题意； 当223,6b λ>+<时，椭圆与棱111111,,,,,AD DD D A A A A B CD各有一个交点，满足题意，2226,424b λλ=-<∴<，22342λ∴+<<；当6b ≥4个交点，不合题意.综上 224λ<<或22342λ+<<故答案为:（1）4；（2）()(22,4223,42+【点睛】本题以正方体为载体，考查了椭圆定义的灵活应用，属于难题.四、解答题17．已知点()0,4A -，()2,0B ，()4,4C ，()5,1D -. （1）判断A 、B 、C 、D 四点能否围成四边形，并说明理由； （2）求ACD ∆的面积.【答案】（1）A 、B 、C 、D 四点不能围成四边形,详见解析（2）30 【解析】（1）利用斜率判断是否存在三点共线；（2）求出AC 所在的直线方程，再求出点D 到直线AC 的距离，运用面积公式，即可求解.【详解】（1）因为()04220AB k --==-，40242BC k -==-，即AB BC k k =， 所以A 、B 、C 三点共线，故A 、B 、C 、D 四点不能围成四边形.（2）由（1）可知2AC k =，所以直线AC 的方程为24y x =-，即240x y --=，点()5,1D -到直线AC 的距离()2514355d ⨯---==，又()()22404445AC =-+--=⎡⎤⎣⎦， 所以ACD ∆的面积为1145353022AC d =⨯⨯=. 【点睛】 本题考查点共线问题，可用：①求斜率；②求出某两点所在的直线方程，其它点代入验证；③用向量坐标判断是否共线.18．如图，四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，点E 、F 分别在CD 、BC 上，G 为PA 中点，且PE ⊥平面ABCD .（1）若PF BC ⊥，求证：平面PBC ⊥平面PEF ；（2）求证：//PC 平面BDG .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）由已知PE ⊥平面ABCD ，可得PE BC ⊥，结合PF BC ⊥，可证BC ⊥平面PEF ，即可证明结论；（2）连AC 交BD 于O ，连OG ，可得//OG PC ，即可证明结论.【详解】（1）因为PE ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PE BC ⊥，又PF BC ⊥，PE PF P =，PE ⊂平面PEF ，PF ⊂平面PEF ，所以BC ⊥平面PEF .又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PEF .（2）连接AC 交BD 于O ，连接OG ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以OA OC =，又G 为PA 中点，所以//OG PC ，又OG ⊂平面BDG ，PC ⊄平面BDG ，所以//PC 平面BDG .【点睛】本题考查空间垂直和平行的证明，属于基础题.19．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：210x y --=，圆C 的圆心在直线l 上，半径为2.（1）若圆C 被x 轴截得的弦长为3C 的方程；（2）已知()2,0P ，圆C 上存在点Q ，使得PQ OQ =，求圆心C 横坐标的取值范围.【答案】（1）圆C 的方程为()2214x y ++=或()()22114x y -+-=（2）[]1,3- 【解析】（1）根据已知条件设圆心坐标为(,21)a a -，求出圆心到x 轴的距离，结合弦长公式，即可求解； （2）,PQ OQ Q =在线段OP 的垂直平分线上，又点Q 在圆上 转化为圆与OP 的垂直平分线有交点，利用圆与直线的位置关系，即可求解.【详解】（1）设圆C ：()()22214x a y a -+--=⎡⎤⎣⎦，因为圆C 被x 轴截得的弦长为3所以圆心C 到x 轴的距离()2431d =-=，即211d a =-=，解得0a =或1a =，所以圆C 的方程为()2214x y ++=或()()22114x y -+-=. （2）题意等价于OP 的中垂线1x =与圆C 有公共点，所以圆心C 到直线1x =的距离不大于半径2，即12a -≤.解得13a -≤≤，即圆心C 横坐标的取值范围为[]1,3-.【点睛】本题考查圆与直线的位置关系，要注意点到直线距离的灵活运用，属于中档题.20．已知抛物线C ：24y x =，过定点()0,1P 的直线为l .（1）若l 与C 仅有一个公共点，求直线l 的方程；（2）若l 与C 交于A 、B 两点，直线OA 、OB 的斜率分别为1k 、2k ，试探究1k 与2k 的数量关系.【答案】（1）直线l 的方程为0x =或1y =或1y x =+（2）124k k +=【解析】（1）点()0,1P 在抛物线外，对直线l 斜率是否存在分类讨论，当斜率存在时设出直线方程，与抛物线方程联立，利用方程组只有一个解，即可得出结论；（2）由（1）中结合韦达定理，确定,A B 关系，利用斜率公式，即可求解.【详解】（1）当直线l 的斜率不存在时，l ：0x =，显然满足题意；当直线l 的斜率存在时，设l ：1y kx =+，联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩，消去y 整理得()()222410*k x k x +-+= 当0k =时，方程()*只有唯一解，满足题意，此时l 的方程为1y =.当0k ≠时，()222440k k ∆=--=，解得1k =，此时l 的方程为1y x =+.综上，直线l 的方程为0x =或1y =或1y x =+.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由()* 可知12224k x x k -+=-，1221x x k =， 又111111y kx k x x +==，222221y kx k x x +==， 所以12121212121124kx kx x x k k k x x x x ++++=+=+=， 即1k 与2k 满足的数量关系为：124k k +=.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，当点在抛物线外，过点直线与抛物线只有一个交点的直线有三条，考查定值问题，属于中档题.21．如图，梯形ABCD 中，//AB DC ，4AB =，2AD DC CB ===，将BCD ∆沿BD 折到'BC D ∆的位置，使得平面'BC D ⊥平面ABCD .（1）求证：'AD BC ⊥；（2）求二面角'B AC D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）77- 【解析】（1）利用长度关系可证AD BD ⊥，根据面面垂直的性质定理，可得AD ⊥平面'BC D ，即可求证结论；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面'ADC 与平面'ABC 的法向量，运用空间向量法,即可求解.【详解】（1）在梯形ABCD 中，过D 作DH AB ⊥于H ，则1AH =，又2AD =，所以3DH =60DAH ∠=︒，30ABD ∠=︒，故90ADB ∠=︒，即AD BD ⊥.又平面'BC D ⊥平面ABCD ，平面'BC D 平面ABCD BD =，AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面'BC D ，又'BC ⊂平面'BC D ，所以'AD BC ⊥.（2）以D 为原点，建立空间直角坐标系D xyz -如图所示，则()2,0,0A ，()0,23,0B ，()'3,1C ，()2,0,0DA =，()'3,1AC =-，()2,23,0AB =-，设平面'ADC 的法向量()1111,,n x y z =，则110'0n DA n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 即111120230x x z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，解得11103x z =⎧⎪⎨=⎪⎩， 令11y =，得(10,1,3n =-， 设平面'ABC 的法向量()2222,,n x y z =，则220'0n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 即222222230230x x z ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩，解得222233x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令21y =，得(23,1,3n =， 所以1212127cos ,27n n n n n n ⋅-<>===⨯，结合图形可知，二面角'B AC D --为钝角，它的余弦值为77-.【点睛】本题考查空间垂直的转换证明线线垂直，考查用空间向量法求二面角，考查计算能力，属于中档题. 22．某高速公路隧道设计为单向三车道，每条车道宽4米，要求通行车辆限高5米，隧道全长1.5千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状（如图所示）.（1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 至少是多少米？（结果取整数）（2）如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（结果取整数） 11 3.3≈，椭圆的面积公式为S ab π=，其中a ，b 分别为椭圆的长半轴和短半轴长.【答案】（1）此隧道设计的拱宽l 至少是22米（2）当拱高为7米、拱宽为18米时，土方工程量最小 【解析】（1）建立直角坐标系，设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，根据对称性6b =，将点(6,5)代入椭圆方程，即可求解；（2）由点(6,5)在椭圆上或在椭圆内，得2236251a b+≤，利用基本不等式，即可求出椭圆的面积S 的最小值，根据体积公式，即可求解.【详解】（1）建立直角坐标系xOy 如图所示，则点()6,5P 在椭圆22221x y a b +=上， 将6b h ==与点()6,5P 代入椭圆方程，得11a = 此时221.811l a ==≈，因此隧道设计的拱宽l 至少是22米.（2）由椭圆方程22221x y a b+=，得2236251a b +≤， 因为2236252651a b ab ⨯⨯≥+≥，即60ab ≥，302ab S ππ=≥， 由于隧道长度为1.5千米，故隧道的土方工程量 1.545V S π=≥， 当V 取得最小值时，有65a b =且60ab =，得62a =52b = 此时212216.97l a ==≈，7.07h b =≈.①若8h b ==，此时217l a ==，此时1331785148ab V πππ⨯⨯===， ②若7h b ==，此时218l a ==，此时2339747.2544ab V πππ⨯⨯===， 因为12V V >，故当拱高为7米、拱宽为18米时，土方工程量最小.【点睛】本题考查椭圆的实际运用，考查椭圆的标准方程，并以椭圆为背景，考查利用利用基本不等式求值，属于较难题.。
广东省佛山市南海区2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题
佛山市南海区2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.若复数z 满足()12z i i =+，则z 的虚部为（ ） A. 1 B. 2C. iD. 2i【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法法则将复数z 表示为一般形式，可得出复数z 的虚部. 【详解】()21222z i i i i i =+=+=-+，因此，复数z 的虚部为1，故选：A.【点睛】本题考查复数的概念与复数的乘法运算，对于复数问题，一般是利用复数的四则运算将复数表示为一般形式，进而求解，考查计算能力，属于基础题.2.用反证法证明：若整系数一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 有有理数根，那么a 、b 、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ） A. 假设a 、b 、c 都是偶数 B. 假设a 、b 、c 都不是偶数 C. 假设a 、b 、c 至多有一个偶数 D. 假设a 、b 、c 至多有两个偶数 【答案】B 【解析】 【分析】根据反证法的概念，可知假设应是所证命题的否定，即可求解，得到答案。
【详解】根据反证法的概念，假设应是所证命题的否定，所以用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程()200++=≠ax bx c a 有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数”时，假设应为“假设,,a b c 都不是偶数”，故选B 。
【点睛】本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，准确作出所证命题的否定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
3.一工厂生产某种产品的生产量x （单位：吨）与利润y （单位：万元）的部分数据如表所示：从所得的散点图分析可知，y 与x 线性相关，且回归方程为 1.23y x a =+，则a =（ ） A. 2.15- B. 1.15-C. 0.08D. 2.15【答案】C 【解析】 【分析】根据表格中的数据计算出x 和y ，再将点(),x y 的坐标代入回归直线方程可求出实数a 的值. 【详解】由题意可得2345645x ++++==， 2.2 3.8 5.5 6.5755y ++++==，由于回归直线过样本中心点(),x y ，则有1.2345a ⨯+=，解得0.08a =，故选：C. 【点睛】本题考查利用回归直线方程求原始数据，解题时要充分利用“回归直线过样本中心点(),x y ”这一结论的应用，考查运算求解能力，属于基础题.4.===⋅⋅⋅=m、n 均为正实数），根据以上等式，可推测m 、n 的值，则m n +等于（ ）A. 40B. 41C. 42D. 43【答案】B 【解析】 【分析】根据前面几个等式归纳出一个关于k 的等式，再令6k =可得出m 和n 的值，由此可计算出m n +的值.【详解】==，==，==)2,k k N *=≥∈，当6k ==26135m ∴=-=，6n =，因此，41m n +=， 故选：B.【点睛】本题考查归纳推理，解题时要根据前几个等式或不等式的结构进行归纳，考查推理能力，属于中等题.5.甲射击时命中目标的概率为0.75，乙射击时命中目标的概率为23，则甲乙两人各自射击同一目标一次，则该目标被击中的概率为（ ） A.12B. 1C.56D.1112【答案】D 【解析】 【分析】记事件:A 甲乙两人各自射击同一目标一次，该目标被击中，利用独立事件的概率乘法公式计算出事件A 的对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式可得出事件A 的概率. 【详解】记事件:A 甲乙两人各自射击同一目标一次，该目标被击中， 则事件:A 甲乙两人各自射击同一目标一次，两人都未击中目标， 由独立事件的概率乘法公式得()321114312P A ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()()111111212P A P A ∴=-=-=，故选：D. 【点睛】本题考查独立事件的概率乘法公式，解题时要弄清楚各事件之间的关系，可以采用分类讨论，本题采用对立事件求解，可简化分类讨论，属于中等题. 6.定积分22x e dx =⎰（ ）A. 2eB. 1e -C. 22e -D.1122e - 【答案】C【分析】找出函数2x y e =的原函数，然后微积分定理可求出22x e dx ⎰的值.【详解】2212x xe e '⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，22220222x x e dx ee ==-⎰，故选：C.【点睛】本题考查简单复合函数定积分的计算，解题的关键就是要找到被积函数的原函数，考查计算能力，属于中等题.7.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ） A. 20种 B. 30种 C. 40种 D. 60种【答案】A 【解析】【详解】根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三； 分3种情况讨论可得，甲在星期一有A 42=12种安排方法， 甲在星期二有A 32=6种安排方法， 甲在星期三有A 22=2种安排方法， 总共有12+6+2=20种； 故选A ．8.()52x x y ++的展开式中，33x y 的系数为（ ）A. 10B. 20C. 30D. 60【答案】B 【解析】将二项式表示为()()5522x x yx x y ⎡⎤++=++⎣⎦，利用二项展开式通项()525rr r C x x y -⋅+，可得出3r =，再利用完全平方公式计算出()22x x +展开式中3x 的系数，乘以35C 可得出结果.【详解】()()5522x x y x x y ⎡⎤++=++⎣⎦，其展开式通项为()525rr r C x x y -⋅+，由题意可得3r =，此时所求项为()()222334323552C x xy C x x x y ⋅+=⋅++，因此，()52x x y ++的展开式中，33x y 的系数为35221020C =⨯=，故选：B.【点睛】本题考查三项展开式中指定项的系数，解题时要将三项视为两项相加，借助二项展开式通项求解，考查运算求解能力，属于中等题.9.一台机器在一天内发生故障的概率为0.1，若这台机器一周5个工作日不发生故障，可获利4万元；发生1次故障获利为0万元；发生2次或2次以上故障要亏损1万元，这台机器一周5个工作日内可能获利的数学期望是（ ）万元．（已知40.90.6561=，50.90.5905=） A. 3.4736 B. 3 C. 2.2805 D. 1.231【答案】C 【解析】 【分析】设获利为随机变量X ，可得出X 的可能取值有1-、0、4，列出随机变量X 的分布列，利用数学期望公式计算出随机变量X 的数学期望EX .【详解】设获利为随机变量X ，则随机变量X 的可能取值有4、0、1-，由题意可得()()5410.10.5905P X ==-=，()14500.10.90.32805P X C ==⨯⨯=，则()110.59050.328050.08145P X =-=--=. 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：因此，随机变量X 的数学期望为40.590500.3280510.08145 2.28055EX =⨯+⨯-⨯=， 故选：C.【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算，解题的关键就是根据已知条件列出随机变量的分布列，考查运算求解能力，属于中等题.10.已知函数f(x)＝ax 3－3x 2＋1，若f(x)存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为( ) A. (2，＋∞) B. (－∞，－2) C. (1，＋∞) D. (－∞，－1) 【答案】B 【解析】 【分析】求导后讨论0a =、0a >、0a <时的单调性，结合函数只有一个零点，求出参量取值范围 【详解】函数()3231f x ax x =-+则()()23632f x ax x x ax =='--，令()0f x '=则()320x ax -=⑴当0a =时，()2310f x x =-+=，存在两个零点，不符合题意，故0a ≠⑵当0a >时，20a >，()f x ∴在()0，-∞，2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，在20a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减 2x a∴=是()f x 的极小值点，0x =是()f x 的极大值点，且()010f =>， 当x 趋于负无穷时，函数值也趋于负无穷∴此时函数()f x 必有一负零点，不符合题意⑶当0a <时，20a <，()f x ∴在2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，，()0+∞，上单调递减，在20a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增 2x a∴=是()f x 的极小值点，0x =是()f x 的极大值点， 要使函数()f x 仅有一正零点，结合函数图像，可知20f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 代入可得：22410f a a ⎛⎫=->⎪⎝⎭，解得2a <- 综上，则a 的取值范围为()2-∞-，故选B【点睛】本题主要考查了利用导函数求解函数单调区间和零点，在计算过程中需要对参量进行分类讨论，有一定的计算量，属于中档题。
广东省佛山市数学高二下学期理数期末考试试卷
广东省佛山市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·东北三省模拟) 已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高二下·宁夏月考) 计算的结果是（）A .B .C .D .3. （2分） (2020高二上·林芝期末) 双曲线的焦距是（）A . 3B . 6C .D .4. （2分） (2019高一下·乌鲁木齐期末) 函数，则（）A . -1B . 1C .D .5. （2分）已知=(2,2),=(4,1),=(x,0),则当最小时x的值是（）A . -3B . 3C . -1D . 16. （2分）已知是夹角为60°的两个单位向量，若，，则与的夹角为（）A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°7. （2分）(2018·茂名模拟) 某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（）A .B .C .D .8. （2分） (2015高一上·秦安期末) 两圆x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的位置关系是（）A . 相离B . 相交C . 内切D . 外切9. （2分） (2016高二上·成都期中) 如果椭圆+ =1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A . x﹣2y=0B . x+2y﹣4=0C . 2x+3y﹣12=0D . x+2y﹣8=010. （2分）已知、是圆上的两个点，是线段上的动点，当的面积最大时，则的最大值是（）A . -1B . 0C .D .11. （2分）已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二下·仙桃期末) 已知抛物线，过点的任意一条直线与抛物线交于两点，抛物线外一点，若∠ ∠ ，则的值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）重庆好食寨鱼火锅底料厂用辣椒、花椒等原材料由甲车间加工水煮鱼火锅底料，由乙车间加工麻辣鱼火锅底料．甲车间加工1吨原材料需耗费工时10小时，可加工出14箱水煮鱼火锅底料，每箱可获利80元；乙车间加工1吨原材料需耗费工时6小时，可加工出8箱麻辣鱼火锅底料，每箱可获利100元．甲、乙两车间每天总获利最大值为________元．14. （1分） (2017高二下·眉山期末) 己知a= （sinx+cosx）dx，在（1+x）（a+x）5的展开式中，x3的系数为________（用数字作答）．15. （1分）(2018·榆社模拟) 设，双曲线：与圆：相切，，，若圆上存在一点满足，则点到轴的距离为________.16. （1分） (2016高一下·佛山期中) 如图所示，在△ABC中，D为边AC的中点，BC=3BE，其中AE与BD交于O点，延长CO交边AB于F点，则 =________．三、解答题 (共6题；共44分)17. （10分）(2017·衡阳模拟) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且Sn=2an﹣n．（Ⅰ）证明数列{an+1}是等比数列，求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记bn= + ，求数列{bn}的前n项和Tn ．18. （2分）(2017·包头模拟) 已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4．（Ⅰ）求证：BD⊥A1C；（Ⅱ）求二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值；（Ⅲ）在线段CC1上是否存在点P，使得平面A1CD1⊥平面PBD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19. （2分）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx（1）求f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）求f（x）在区间上的最大值和最小值．20. （10分）(2017·龙岩模拟) 某公司有A，B，C，D，E五辆汽车，其中A、B两辆汽车的车牌尾号均为1，C、D两辆汽车的车牌尾号均为2，E车的车牌尾号为6，已知在非限行日，每辆车可能出车或不出车，A、B、E三辆汽车每天出车的概率均为，C、D两辆汽车每天出车的概率均为，且五辆汽车是否出车相互独立，该公司所在地区汽车限行规定如下：车牌尾号0和51和62和73和84和9限行日星期一星期二星期三星期四星期五（1）求该公司在星期一至少有2辆汽车出车的概率；（2）设X表示该公司在星期二和星期三两天出车的车辆数之和，求X的分布列及数学期望．21. （10分） (2017高三下·新县开学考) 已知椭圆的离心率为，其左顶点A在圆O：x2+y2=16上．（Ⅰ）求椭圆W的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆W上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q．是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．22. （10分）已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）对任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共44分) 17-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、22-1、。
广东省佛山市2018-2019学年上学期高二期末理科数学试卷(含解析)
广东省佛山市2018-2019学年上学期高二期末理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知点A(m,2)，B(3,4)，直线AB的倾斜角为45∘，那么m的值为()A. −1B. 1C. 2D. 52.抛物线y2=4x的准线与x轴的交点的坐标为()A. (−12,0) B. (−1,0) C. (−2,0) D. (−4,0)3.双曲线x216−y24=1的渐近线方程为()A. x±2y=0B. 2x±y=0C. 4x±y=0D. x±4y=04.设命题p：∃x∈R，e x>x+1.则￢p为()A. ∀x∈R，e x>x+1B. ∃x∈R，e x≤x+1C. ∀x∈R，e x≤x+1D. ∃x∈R，e x=x+15.过两直线l1：x−3y+1=0，l2：x+2y+6=0的交点且与3x+y−1=0平行的直线方程为()A. x−3y+1=0B. 3x+y+7=0C. x−3y−1l=0D. 3x+y+13=06.若曲线mx2+ny2=1(m,n∈R)是焦点在x轴上的椭圆，则下列结论正确的是()A. 0<m<nB. 0<n<mC. m2>n2D. 1m <1n7.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为()A. 38+4πB. 38+5πC.6π D. 38+7π38+8.已知命题p：“∀a∈R，直线ax−y−3a=0都经过一定点”，命题q：“∃t∈R，方程x2+y2+2ty+2t2=0表示圆”.则下列命题为真的是()A. p∧qB. p∧(￢q)C. (￢p)∨qD. (￢p)∨(￢q)9.已知f(x)=x(|x|+1)，且a，b为实数，则“a>b”是“f(a)>f(b)”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10.已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的体积与球的体积之比为()A. 27：32B. 3：8C. 3√3：16D. 9：3211.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(−5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=6，则椭圆C的方程为()A. x236+y216=1B. x240+y215=1C. x249+y224=1D. x245+y220=112.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为√2，动点P在对角线BD上，过点P作垂直于BD1的平面α，记这样得到的截面多边形(含三角形)的周长为L，则L的最大值为()A. 3√2B. 6C. 3√6D. 9√2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.过点A(4,0)和点B(0,−2)的直线方程为______．14.在体积为√32的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB=1，BC=2，BD=3，则CD长度的所有值为______．15.在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0)，B(4,0).若直线x−y+m=0上存在点P使得PB=2PA，则实数m的取值范围是______．16.已知双曲线C的两条渐近线为l1，l2，过右焦点F作FB//l1且交l2于点B，过点B作BA⊥l2且交l1于点A，若AF⊥x轴，则双曲线C的离心率为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知圆C：(x−2)2+y2=4，直线l1：y=kx−1，l2：y=√3x(1)若圆C上存在两点关于直线l1对称，求实数k的值；(2)若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，求实数k的值．18.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1切掉三棱锥C−B1C1D1后形成多面体ABCDD1B1A1，过A1D的截面分别交CD1，B1D1于点E，F．(1)证明：B1C//平面A1DEF；(2)求异面直线A1C与EF所成角的余弦值．19.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l：2x−3y+4=0与抛物线交于A，B两点．(1)求|AF|+|BF|的值；(2)能否在x轴上找到点P，使得∠APB=90∘？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．20.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=∠BAA1=∠CAA1=60∘，AB=AC=2AA2，D为BC的中点．3(1)证明：AD⊥平面A1BC；(2)求直线A 1C与平面A1B1D所成角的正弦值．21.如图，某城市有一块半径为1(单位：百米)的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB.问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？22.已知椭圆C的两个焦点坐标分别为F1(−√3,0)，F2(√3,0)，一个顶点为B(0,−1)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)点A的坐标为(4,0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)是C上的两点且x1≠x2，直线AM，AN关于x轴对称，求△AMN的面积S的取值范围．广东省佛山市2018-2019学年上学期高二期末理科数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）23.已知点A(m,2)，B(3,4)，直线AB的倾斜角为45∘，那么m的值为()A. −1B. 1C. 2D. 5【答案】B【解析】解：由点A(m,2)，B(3,4)，得k AB=4−23−m =23−m，又直线AB的倾斜角为45∘，∴k AB=tan45∘=1．则23−m=1，解得m=1．故选：B．由两点坐标求出直线的斜率，进一步求得m得答案．本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．24.抛物线y2=4x的准线与x轴的交点的坐标为()A. (−12,0) B. (−1,0) C. (−2,0) D. (−4,0)【答案】B【解析】解：抛物线y2=4x的准线为：x=−1，所以抛物线与x轴的交点的坐标(−1,0)．故选：B．求出抛物线的准线方程，然后求解准线与x轴的交点的坐标．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．25.双曲线x216−y24=1的渐近线方程为()A. x±2y=0B. 2x±y=0C. 4x±y=0D. x±4y=0【答案】A【解析】解：双曲线x216−y24=1的a=4，b=2，可得渐近线方程为y=±12x，即有2y=±x．故选：A．程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的性质，考查运算能力，属于基础题．26. 设命题p ：∃x ∈R ，e x >x +1.则￢p 为( )A. ∀x ∈R ，e x >x +1B. ∃x ∈R ，e x ≤x +1C. ∀x ∈R ，e x ≤x +1D. ∃x ∈R ，e x =x +1【答案】C【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题， 则￢p ：∀x ∈R ，e x ≤x +1， 故选：C ．根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，利用特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键.比较基础．27. 过两直线l 1：x −3y +1=0，l 2：x +2y +6=0的交点且与3x +y −1=0平行的直线方程为( )A. x −3y +1=0B. 3x +y +7=0C. x −3y −1l =0D. 3x +y +13=0【答案】D【解析】解：两直线l 1：x −3y +1=0，l 2：x +2y +6=0的交点为{x +2y +6=0x−3y+1=0，解得{y =−1x=−4，即(−4,−1)；设与3x +y −1=0平行的直线方程为3x +y +m =0， 则3×(−4)+(−1)+m =0， 解得m =13，所求的直线方程为3x +y +13=0． 故选：D ．求出两直线l 1、l 2的交点坐标，再设与3x +y −1=0平行的直线方程为3x +y +m =0，代入交点坐标求出m 的值，即可写出方程． 本题考查了直线方程的应用问题，是基础题．28. 若曲线mx 2+ny 2=1(m,n ∈R)是焦点在x 轴上的椭圆，则下列结论正确的是()A. 0<m <nB. 0<n <mC. m 2>n 2D. 1m <1n【答案】A【解析】解：方程mx2+ny2=1即：x 21 m +y21n=1示焦点在x轴上的椭圆，可得：1m >1n>0，解得n>m>0．故选：A．化简椭圆方程为标准方程，然后推出结果．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．29.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为()A. 38+4πB. 38+5πC. 38+6πD. 38+7π【答案】A【解析】解：由三视图可知：该几何体由两部分组成：上面是一个圆柱；下面是一个长方体．∴这个几何体的表面积=4π×1+1×(2×3+2×4)+2×3×4=38+4π．故选：A．由三视图可知：该几何体由两部分组成：上面是一个圆柱；下面是一个长方体.利用表面积计算公式即可得出．本题考查了圆柱与长方体的三视图、表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．30.已知命题p：“∀a∈R，直线ax−y−3a=0都经过一定点”，命题q：“∃t∈R，方程x2+y2+2ty+2t2=0表示圆”.则下列命题为真的是()A. p∧qB. p∧(￢q)C. (￢p)∨qD. (￢p)∨(￢q)【答案】B【解析】解：由ax−y−3a=0得a(x−3)−y=0，当x=3时，y=0，即直线过定点(3,0)，则命题p是真命题，由x2+y2+2ty+2t2=0得x2+(y+t)2=−t2≤0，则方程无法表示圆，即命题q 是假命题，则p∧(￢q)是真命题，其余为假命题，分别判断p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题p，q的真假是解决本题的关键．31.已知f(x)=x(|x|+1)，且a，b为实数，则“a>b”是“f(a)>f(b)”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：当x≥0时，f(x)=x(x+1)=x2+x，对称轴为x=−12，此时f(x)为增函数，且f(x)≥0，当x<0时，f(x)=x(−x+1)=−x2+x，对称轴为x=12，此时f(x)为增函数，且f(x)<f(0)=0，综上函数f(x)为增函数，则“a>b”是“f(a)>f(b)”的充要条件，故选：C．根据条件判断函数f(x)的单调性，结合函数单调性性质进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数单调性的性质判断函数f(x)的单调性是解决本题的关键．32.已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的体积与球的体积之比为()A. 27：32B. 3：8C. 3√3：16D. 9：32【答案】D【解析】解：取圆锥的轴截面如下图所示，设球的半径为R，圆锥的高为h，底面圆的半径为r，则圆锥的母线长为2r，结合图形可得2r=2Rcos30∘=√3R，所以，r=√32R，圆锥的高为ℎ=√(2r)2−r2=√3r=√3×√32R=32R，所以，圆锥的体积为13πr2ℎ=13π×(√32R)2×32R=3πR38，因此，圆锥的体积与球的体积之比为3πR384πR33=38⋅34=932．故选：D．设球的半径为2R，用R表示圆锥的底面圆半径以及高，再利用锥体体积公式得出圆锥的体积的表达式，然后再结合球体的体积公式可得出答案．本题考查球体体积的计算，考查圆锥体积的计算，解决本题的关键在于利用球体的半径来表示圆锥中的几何量，考查计算能力，属于中等题．33.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(−5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=6，则椭圆C的方程为()A. x236+y216=1B. x240+y215=1C. x249+y224=1D. x245+y220=1【答案】C【解析】解：根据题意，设椭圆的右焦点为M，连接PM，则|FM|=2|OF|=10，由|OP|=|OF|=|OM|知，∠PFM=∠FPO，∠OMP=∠OPM，所以∠PFM+∠OMP=∠FPO+∠OPM，又由∠PFM+∠OMP+∠FPO+∠OPM=180∘知，∠FPO+∠OPM=90∘，即PF⊥PM．又由|FM|=10，|PF|=6，则|PM|=√100−36=8，则2a=|PF|+|PM|=14，则a=7，又由c=5，则b2=a2−c2=49−25=24，则椭圆的方程为：x249+y224=1，故选：C．设椭圆的右焦点为M，由|OP|=|OF|及椭圆的对称性知，△PFM为直角三角形；由勾股定理计算可得|PM|；由椭圆的定义2a=|PF|+|PM|，可得a的值，结合椭圆的几本题考查椭圆的定义及其几何特征.对于椭圆标准方程的求解，关键是根据题设或图形的几何特征，列出关于a ，b ，c 的三个方程，这样才能确定a 2，b 2，属于中档题．34. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为√2，动点P 在对角线BD 上，过点P 作垂直于BD 1的平面α，记这样得到的截面多边形(含三角形)的周长为L ，则L 的最大值为( )A. 3√2B. 6C. 3√6D. 9√2【答案】B【解析】解：∵正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为√2， ∴BD 1=√2+2+2=√6，当BP =√62时，即当截面过体对角线BD 1的中点时，此时截面为正六边形，其定点为各棱的中点，(如图)L 取最大值∴截面周长L 取最大值为6×√(√22)2+(√22)2=6．故选：B ．推导出BD 1=√6，当BP =√62时，当截面过体对角线BD 1的中点时，截面为正六边形，其定点为各棱的中点，L 取最大值，由此能求出截面周长L 的最大值．本题考查几何体中动点问题，截面周长问题.转化思想，平移平面，找到截面最大时动点位置是关键.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 35. 过点A(4,0)和点B(0,−2)的直线方程为______． 【答案】x −2y −4=0【解析】解：由题意可得，过点A(4,0)和点B(0,−2)的截距式方程为：x4+y−2=1，即x −2y −4=0．故答案为：x −2y −4=0．直接写出直线的截距式方程化为一般式即可． 本题考查直线的截距式方程，是基础题．36. 在体积为√32的四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，AB =1，BC =2，BD =3，则CD 长度的所有值为______．【答案】√7,√19 【解析】解：如图，在四面体ABCD 中，∵AB ⊥平面BCD ，∴AB 为以BCD 为底面的三棱锥的高， ∵V A−BCD =√32，AB =1，∴由13S △BCD ⋅AB =√32，得S △BCD =3√32． 又BC =2，BD =3，得12×2×3×sinB =3√32，得sinB =√32，∴cosB =±12．当cosB =12时，CD 2=22+32−2×2×3×12=7，则CD =√7； 当cosB =−12时，CD 2=22+32−2×2×3×(−12)=19，则CD =√19． ∴CD 长度的所有值为√7，√19． 故答案为：√7，√19．由已知求得△BCD 的面积，再由面积公式求得sinB ，进一步求得cosB ，再由余弦定理求得CD 长度．本题考查棱锥的结构特征，考查了棱锥的体积公式，训练了余弦定理的应用，是中档题．37. 在平面直角坐标系xOy 中，点A(1,0)，B(4,0).若直线x −y +m =0上存在点P 使得PB =2PA ，则实数m 的取值范围是______． 【答案】[−2√2,2√2] 【解析】解：设P(x,x +m)， ∵2PA =PB ， ∴4|PA|2=|PB|2，∴4(x −1)2+4(x +m)2=(x −4)2+(x +m)2， 化为(x +m)2=4−x 2， ∴4−x 2≥0，解得x ∈[−2,2]，∴m =−x ±√4−x 2，令x =2cosθ，θ∈[0,π]，∴m =−2cosθ±2sinθ=±2√2sin(θ±π4)∈[−2√2,2√2]，实数m 的取值范围是[−2√2,2√2]， 故答案为[−2√2,2√2].设P(x,x +m)，由2PA =PB ，可得4|PA|2=|PB|2，利用两点之间的距离公式化为：(x +m)2=4−x 2，可得：m =−x ±√4−x 2，x ∈[−2,2].通过三角函数代换即可得出．本题考查了两点之间的距离公式、和差化积、三角函数的求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．38. 已知双曲线C 的两条渐近线为l 1，l 2，过右焦点F 作FB//l 1且交l 2于点B ，过点B作BA ⊥l 2且交l 1于点A ，若AF ⊥x 轴，则双曲线C 的离心率为______． 【答案】2√33【解析】解：设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)， 渐近线方程为l 1：y =ba x ，l 2：y =−ba x ， 由题意可设F(c,0)，由AF ⊥x 轴， 令x =c ，代入l 1的方程可得y =bc a，即有A(c,bca )，过右焦点F 作FB//l 1且交l 2于点B ，由FB 的方程y =b a (x −c)，联立直线l 2：y =−ba x ， 解得B(c 2,−bc2a )，再由BA ⊥l 2，可得k AB =ab ， 即有bc a −(−bc2a)c−c 2=ab ，化为a 2=3b 2，由b 2=c 2−a 2，可得： c 2=43a 2，由e =ca 可得e =2√33．故答案为：2√33． 设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)，渐近线方程为l 1：y =b a x ，l 2：y =−ba x ，由x =c 代入l 1的方程可得A 的坐标；由两直线平行的条件可得直线FB 的方程，联立直线l 2的方程可得B 的坐标，再由BA ⊥l 2，运用直线的斜率公式和垂直的条件：斜率之积为−1，结合离心率公式计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，直线平行和垂直的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）39. 已知圆C ：(x −2)2+y 2=4，直线l 1：y =kx −1，l 2：y =√3x(1)若圆C 上存在两点关于直线l 1对称，求实数k 的值；(2)若l 1，l 2被圆C 所截得的弦的长度之比为1：2，求实数k 的值． 【答案】解：(1)圆C ：(x −2)2+y 2=4的圆心为C(2,0)， 圆C 上存在两点关于直线l 1：y =kx −1对称， 则直线l 1过圆心，∴2k −1=0，解得k =12；(2)由直线l2：y=√3x，得√3x−y=0，则圆心C到直线l2的距离为d2=√3√3+1=√3，∴l2被圆C所截得的弦长为2√4−3=2；又直线l1、l2被圆C所截得的弦长之比为1：2，∴l1被圆C所截得的弦长为1，由l1：y=kx−1，得kx−y−1=0；则圆心C到直线l1的距离d1=√k2+1=√4−(12)2，整理得k2−16k−15=0，解得k=8±5√3．【解析】(1)由题意知直线l1过圆心C，代入点的坐标求出k的值；(2)求出圆心C到直线l2的距离和被圆C所截得的弦长，再求出直线l1被圆C所截得的弦长与圆心C到直线l1的距离，列方程求出k的值．本题考查了直线与圆的方程应用问题，是中档题．40.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1切掉三棱锥C−B1C1D1后形成多面体ABCDD1B1A1，过A1D的截面分别交CD1，B1D1于点E，F．(1)证明：B1C//平面A1DEF；(2)求异面直线A1C与EF所成角的余弦值．【答案】证明：(1)∵AB//CD，AB=CD，AB//A1B1，AB=A1B1，∴CD//A1B1，CD=A1B1，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴B1C//A1D，又B1C⊄平面A1FED，A1D⊂平面A1FED，∴B1C//平面A1DEF．解：(2)由(1)得B1C//平面A1DEF，又B1C⊂平面B1CD1，平面B1CD1∩平面A1DEF=EF，∴B1C//EF，∴∠A1CB1是异面直线A1C与EF所成的角(或所成角的补角)，设正方休的棱长为a，则A1B1=a，B1C=√2a，A1C=√3a，∴在Rt△A1B1C中，cos∠A1CB1=B1CA1C =√2a√3a=√63，∴异面直线A1C与EF所成角的余弦值为√63．【解析】(1)推导出CD//A1B1，CD=A1B1，从而四边形A1B1CD是平行四边形，进而B1C//A1D，由此能证明B1C//平面A1DEF．(2)推导出B1C//EF，从而∠A1CB1是异面直线A1C与EF所成的角(或所成角的补角)，由此能求出异面直线A1C与EF所成角的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．41.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l：2x−3y+4=0与抛物线交于A，B两点．(1)求|AF|+|BF|的值；(2)能否在x轴上找到点P，使得∠APB=90∘？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=−1，由直线l：2x−3y+4=0，联立抛物线方程可得y2−6y+8=0，解得y1=2，y2=4，即有A(1,2)，B(4,4)，则|AF|+|BF|=(1+1)+(4+1)=7；(2)假设在x轴上找到点P(a,0)，使得∠APB=90∘，由A(1,2)，B(4,4)，可得k AP k BP=−1，即21−a ⋅44−a=−1，即为a2−5a+12=0，由△=25−48<0，可得方程无解，故不存在P，使得∠APB=90∘．【解析】(1)求得抛物线的焦点和准线方程，联立准线方程和抛物线方程，求交点，结合抛物线的定义，可得所求和；(2)假设在x轴上找到点P(a,0)，使得∠APB=90∘，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，解方程可得结论．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立求交点，考查方程思想和运算能力，属于中档题．42. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BAC =∠BAA 1=∠CAA 1=60∘，AB =AC =23AA 2，D 为BC 的中点．(1)证明：AD ⊥平面A 1BC ；(2)求直线A 1C 与平面A 1B 1D 所成角的正弦值．【答案】证明：(1)设AB =2a ，则AA 1=3a ， ∵AB =AC =2a ，∠BAC =60∘，∴BC =2a ，AD ⊥BC ，且AD =√3a ，∵AB =AC =2a ，∠BAA 1=∠CAA 1=60∘，AA 1=AA 1=3a ， ∴△ABA 1≌△ACA 1，A 1B =A 1C =√4a 2+9a 2−2×2a ×3a ×cos60∘=√7a ，∴A 1D ⊥BC ，∵A 1D =√7a 2−a 2=√6a ，∴AD 2+A 1D 2=AA 12，∴AD ⊥A 1D ，又BC ∩A 1D =D ，∴AD ⊥平面A 1BC ． 解：(2)由(1)可如图建立空间直角坐标系，则A 1(0,0，√6a)，C(0,−a,0)，D(0,0，0)，A(√3a,0，0)，B(0,a ，0)， ∴A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−a,−√6a)，DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，√6a)，A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3a,a,0)， 设平面A 1B 1D 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则由{n ⃗ ⋅DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√6az =0n ⃗ ⋅A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3ax +ay =0，取x =1，得n ⃗ =(1,√3,0)， 设直线A 1C 与平面A 1B 1D 所成角为θ． 则sinθ=|A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n⃗⃗ |=√3a√7a⋅2=√2114． ∴直线A 1C 与平面A 1B 1D 所成角的正弦值为√2114．【解析】(1)设AB =2a ，则AA 1=3a ，推导出△ABA 1≌△ACA 1，从而A 1D ⊥BC ，再求出AD ⊥A 1D ，由此能证明AD ⊥平面A 1BC ．(2)建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A 1C 与平面A 1B 1D 所成角的正弦值． 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．43. 如图，某城市有一块半径为1(单位：百米)的圆形景观，圆心为C ，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB.问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？【答案】解：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy．设A(a,0)，B(0,b)(0<a<1,0<b<1)，则直线AB方程为xa +yb=1，即bx+ay−ab=0．因为AB与圆C：(x−1)2+(y−1)2=1相切，所以√b2+a2=1，化简得ab−2(a+b)+2=0，即ab=2(a+b)−2，因此AB=√a2+b2=√(a+b)2−2ab=√(a+b)2−4(a+b)+4=√(a+b−2)2，因为0<a<1，0<b<1，所以0<a+b<2，于是AB=2−(a+b)．又ab=2(a+b)−2≤(a+b2)2，解得0<a+b≤4−2√2，或a+b≥4+2√2，因为0<a+b<2，所以0<a+b≤4−2√2，所以AB=2−(a+b)≥2−(4−2√2)=2√2−2，当且仅当a=b=2−√2时取等号，所以AB最小值为2√2−2，此时a=b=2−√2．答：当A，B两点离道路的交点都为2−√2(百米)时，小道AB最短．【解析】分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy.设A(a,0)，B(0,b)(0<a< 1,0<b<1)，求得直线AB的方程和圆的方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，求得a，b的关系，再由两点的距离公式和基本不等式，解不等式可得AB的最小值，及此时A，B的位置．本题考查基本不等式在最值问题中的运用，同时考查直线和圆相切的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．44. 已知椭圆C 的两个焦点坐标分别为F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)，一个顶点为B(0,−1)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点A 的坐标为(4,0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)是C 上的两点且x 1≠x 2，直线AM ，AN 关于x 轴对称，求△AMN 的面积S 的取值范围．【答案】解：(1)∵椭圆C 的两个焦点坐标分别为F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)，一个顶点为B(0,−1)．∴椭圆C 的焦点在x 轴上，可设标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1，(a >b >0)， 且b =1，a 2=12+(√3)2=4， ∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设直线MN 的方程为x =kx +m ，(k ≠0)， 联立{x =ky +m x 24+y 2=1，整理，得(k 2+4)y 2+2kmy +m 2−4=0，∴y 1+y 2=−2km k 2+4，y 1y 2=m 2−4k +4，∵关于x 轴对称的两条不同直线l 1，l 2的斜率之和为0，即y 1x 1−4+y 2x 2−4=0，∴y 1ky 1+m−4+y1ky 2+m−4=0，∴2ky 1y 2+(m −4)(y 1+y 2)=0，∴2k(m 2−4)k 2+4−2km(m−4)k 2+4=0，解得m =1，∴直线MN 的方程为x =ky +1，直线MN 过定点B(1,0)， 又|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√(−2k k 2+4)2−4⋅(−3)k 2+4=4√1k 2+4−1(k 2+4)2，令1k 2+4=t ，则t ∈(0,14)，∴|y 1−y 2|=4√t −t 2∈(0,√3)， ∴△AMN 的面积S =12|AB||y 1−y 2|=32|y 1−y 2|∈(0,3√32). ∴△AMN 的面积S 的取值范围是(0,3√32). 【解析】(1)椭圆C 的焦点在x 轴上，可设标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1，(a >b >0)，且b =1，a 2=12+(√3)2=4，由此能求出椭圆C 的标准方程． (2)设直线MN 的方程为x =kx +m ，(k ≠0)，联立{x =ky +m x 24+y 2=1，得(k 2+4)y 2+2kmy +m 2−4=0，由此利用韦达定理、关于x 轴对称的直线的性质、弦长公式、三角形面积公式，结合已知条件能求出△AMN 的面积S 的取值范围．本题考查椭圆标准方程的求法，考查三角形的面积的取值范围的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。
广东省佛山市2019-2020年度高二上学期期末数学试卷(理科)(I)卷
广东省佛山市2019-2020年度高二上学期期末数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）给出下列四个命题，其中正确的是（）①在空间若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c．A . ①②③B . ②④C . ③④D . ②③2. （2分）已知命题：关于的函数在上是增函数，命题：函数为减函数，若为真命题，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高三上·大连期末) 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .4. （2分）下列命题为“p或q”的形式的是（）A . ＞2B . 2是4和6的公约数C . ∅≠{0}D . A⊆B5. （2分） (2017高一上·长沙月考) 已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·襄阳模拟) 若圆x2+y2﹣12x+16=0与直线y=kx交于不同的两点，则实数k的取值范围为（）A . （﹣，）B . （﹣，）C . （﹣，）D . （﹣，）7. （2分）一简单多面体的三视图如图所示，则该简单多面体的体积为（）A .B .C .D .8. （2分）设,则“且”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件9. （2分）已知非零向量，的夹角为，且||=1，|﹣2|=1，则||=（）A .B . 1C .D . 210. （2分）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为，一个焦点的坐标是，则椭圆的标准方程为（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·新课标Ⅲ卷文) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1 ， A2 ，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,且双曲线的离心率为,则此双曲线的方程为（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·湖北期中) 已知条件p：x≥a，q：{x|x＜﹣3或x＞3}，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．14. （1分） (2016高二上·苏州期中) 已知一个圆经过直线l：2x+y+4=0与圆C：x2+y2+2x﹣4y=0的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为________．15. （1分）在▱ABCD中， = ， = ，M为BC的中点，则 =________（用、来表示）16. （1分） (2017高二上·邢台期末) 椭圆的右顶点和上顶点分别为A和B，右焦点为F．若|AF|、|AB|、3|BF|成等比数列，则该椭圆的离心率为________．三、解答题： (共6题；共45分)17. （5分） (2015高二上·孟津期末) 已知a＞0，a≠1，设p：函数y=loga（x+1）在（0，+∞）上单调递减；q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．如果p且q为假命题，p或q为真命题，求a的取值范围．18. （10分） (2017高二上·宜昌期末) 已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题．（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式的解集为N，若x∈N是x∈M的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19. （10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=60°，F为PC的中点，AF⊥PC．（1）求证：PB⊥BC；（2）求点D到平面PCB的距离．20. （10分） (2016高二下·重庆期末) 已知定点M（﹣），N是圆C：（x﹣）2+y2=16（C为圆心）上的动点，MN的垂直平分线与NC交于点E．（1）求动点E的轨迹方程C1；（2）直线l与轨迹C1交于P，Q两点，与抛物线C2：x2=4y交于A，B两点，且抛物线C2在点A，B处的切线垂直相交于S，设点S到直线l的距离为d，试问：是否存在直线l，使得d= ？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．21. （5分） (2017高三下·鸡西开学考) 如图，平面ABEF⊥平面ABC，四边形ABEF为矩形，AC=BC．O为AB 的中点，OF⊥EC．（Ⅰ）求证：OE⊥FC：（Ⅱ）若 = 时，求二面角F﹣CE﹣B的余弦值．22. （5分）(2017·延边模拟) 已知三角形ABC中，B（﹣1，0），C（1，0），且|AB|+|AC|=4．（Ⅰ）求动点A的轨迹M的方程；（Ⅱ）P为轨迹M上动点，△PBC的内切圆面积为S1 ，外接圆面积为S2 ，当P在M上运动时，求的最小值．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共45分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、第11 页共13 页第12 页共13 页21-1、22-1、第13 页共13 页。
广东省佛山市第五高级中学2019-2020学年高二数学理上学期期末试卷含解析
广东省佛山市第五高级中学2019-2020学年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b 等于（）A．4B．4C．4D．参考答案：C【考点】正弦定理．【专题】计算题．【分析】先根据三角形内角和求得A，进而利用正弦定理以及a，sinA和sinB求得b．【解答】解：A=180°﹣60°﹣75°=45°由正弦定理可知，∴b==4故选C【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．2. 曲线3x2－y＋6=0在x=－处的切线的倾斜角是A. B.－ C.π D.－π参考答案：C略3. 从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取四个数字，其中奇数偶数至少各一个，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A．1296 B．1080 C．360 D．300参考答案：D【考点】D3：计数原理的应用．【分析】①若这个四位数中有一个奇数三个偶数，利用分步计数原理求得满足条件的四位数的个数；②若这个四位数中有二个奇数二个偶数，分当偶数不包含0和当偶数中含0两种情况，分别求得满足条件的四位数的个数，可得此时满足条件的四位数的个数；③若这个四位数中有三个奇数一个偶数，分当偶数不包含0和当偶数中含0两种情况，分别求得满足条件的四位数的个数，可得此时满足条件的四位数的个数．再把以上求得的三个值相加，即得所求．【解答】解：①若这个四位数中有一个奇数三个偶数，则有?=3种；先排0，方法有3种，其余的任意排，有=6种方法，再根据分步计数原理求得这样的四位数的个数为3×3×6=54个．②若这个四位数中有二个奇数二个偶数，当偶数不包含0时有C22C32A44=72，当偶数中含0时有C21C32C31A33=108，故组成没有重复数字的四位数的个数为72+108=180个．③若这个四位数中有三个奇数一个偶数，当偶数不包含0时有??A44=48，当偶数中含0时有1××A33=18个．故此时组成没有重复数字的四位数的个数为48+18=66个．综上可得，没有重复数字的四位数的个数为 54+180+66=300个，故选D．4. 已知等差数列满足，则有（）A． B．C．D．参考答案：D5. 若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a ＝－1，b＝－1参考答案：A略6. 若的三个内角满足，则( )A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形参考答案：C7. 已知点P（x，y）在椭圆上运动，设，则d的最小值为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】由设P（2cosα， sinα），则设=﹣cosα=﹣cosα，当sinα=0，cosα=1时，d的最小值．【解答】解：椭圆焦点在x轴上，由点P（x，y）在椭圆上，设P（2cosα， sinα），则设=﹣cosα，=﹣cosα，当sinα=0，cosα=1时，d的最小值为=﹣1=2﹣1，d的最小值2﹣1，故选B．8. 已知变量满足，则的最大值为（）A. 6B. 7C. 8D. 9参考答案：D9. 对具有线性相关关系的变量x，y测得一组数据如下表：根据上表，利用最小二乘法得他们的回归直线方程为=10.5x+，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为（）A．210 B．211.5 C．212 D．212.5参考答案：B【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心，然后确定回归直线方程，即可求解预测当x=20时，y的估计值．【解答】解：由题意可知： ==5，==54．因为回归直线方程经过样本中心，所以54=10.5×5+， =1.5，回归直线方程为： =10.5x+1.5，当x=20时，y的估计值为：10.5×20+1.5=211.5．故选：B．10. 下列说法正确的是（）A．任何两个变量都具有相关关系；B．球的体积与该球的半径具有相关关系；C．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系；D．一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系。
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[说明]若在（1）已求出 A(1, 2) ， B(4, 4) ，给分如下：
假设存在．设 P(a, 0) ，又由（1）得 A(1, 2) ， B(4, 4) ，则 PA (1 a, 4), PB (4 a, 4) ………8 分
若存在点 P ，使得 APB 90 ，则 PA PB 0 ，即 (1 a) (4 a) 2 4 0 ………………9 分
，则 kPA
kPB
2 1 a
4 4
a
1，………9
分
整理得 a2 5a 12 0 ，则 25 48 0 ，此方程无解，不存在这样的点 P …………………11 分
若直线 PA 或 PB 的斜率不存在，显然不成立．故不存在这样的点 P ． ……………………………12 分
B1
∴ CD / / A1B1 ， CD A1B1 ，四边形 A1B1CD 是平行四边形……………2 分
A1
D1
F
E
∴ B1C / / A1D ………………………………………………………………3 分
A
D
B
C
又 B1C 平面 A1FED ， A1D 平面 A1FED ，∴ B1C / / 平面 A1FED ．……………………………5 分
（2）由（1） B1C / / 平面 A1FED ，又 B1C 平面 B1CD1 ，平面 B1CD1 平面 A1FED EF ，
∴ B1C / / EF ……………………………………………………………………………………………8 分
则 A1CB1 为异面直线 A1C 与 EF 所成的角或补角 …………………………………………………9 分
由
l1
:
y
kx
1，得
kx
y
1
0
，则圆心
C
到直线 l1
的距离
d1
|
2k 1| k2 1
4 (1)2 2
整理得 k 2 16k 15 0 ，解得 k 8 5 3 ． ………………………………………………………10 分
18．【解析】（1）∵ AB / /CD ， AB CD ； AB / / A1B1 ， AB A1B1 ，
若存在点 P ，使得 APB 90 ，则 PA PB 0 ，即 (x1 a) (x2 a) y1 y2 0 (*) ……………8 分
由
2x
3y
4
0 ，得
y1
2 3
x1
4 3
，
y2
2 3
x2
4 3
；由（1）得
x1
x2
5
，
x1x2
4
，………10
分
代入(*)式，整理得 a2 5a 12 0 ，此方程无解，故不存在这样的点 P ． ………………………12 分
2x
联立
y
2
3y 4x
4
0
，整理得
x2
5x
4
0 ，所以
x1
x2
5
…………………………………3 分
结合抛物线定义知 AF BF x1 x2 2 7 ． …………………………………………………6 分
[另解] 依题意，得 F (1, 0) ，设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) …………………………………………………1 分
2
（2）由 l2 : y
3x ，得
3x y 0 ，则圆心 C 到直线 l2 的距离 d2
23 31
3，
∴ l2 被圆 C 所截得的弦长为 2 4 3 2 ……………………………………………………………6 分 ∵ l1, l2 被圆 C 所截得的弦的长度之比为1: 2 ，∴ l1 被圆 C 所截得的弦长为1．……………………7 分
所以 AF BF (x1 1)2 y12 (x2 1)2 y22 0 4 9 16 2 5 7 ．……………6 分
（2）假设存在．设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ， P(a, 0) ，则 PA (x1 a, y1), PB (x2 a, y2 ) ……7 分
2x
联立
y
2
3y 4x
4
0
，整理得
x2
5x
4
0 ，解得
x1
1,
x2
4
………………………………3 分
由 y2 4x ，得 y12 4 ， y22 16 ， ……………………………………………………………………4 分
（或者由 2x 3y 4 0 ，得 y1 2 ， y2 4 ，则 A(1, 2) ， B(4, 4) ………………………………4 分）
整理得 a2 5a 12 0 ，则 25 48 0 ，此方程无解，故不存在这样的点 P ． ……………12 分
[另解]假设存在点 P(a, 0) ，使得 APB 90 ，则直线 PA PB ． …………………………………7 分
若直线
PA,
PB
的斜率存在，由（1）得
A(1, 2) ，
B(4, 4)
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2019 年佛山市普通高中高二教学质量检测
数 学(理科)参考答案与评分标准
一、选择题：本题共 12 小题．每小题 5 分，共 60 分．
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案 B
B
A
C
D
A
A
B
C
D
C
B
二、填空题：本大题共 4 小题．每小题 5 分，满分 20 分． 13． x 2 y 4 0 14． 7或 19 （填写其中一个或两个） 15．[2 2, 2 2] 16． 2 3 3
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【解析】（1）由圆 C : (x 2)2 y2 4 ，得圆心 C(2, 0) ………………………………………1 分
∵圆 C 上存在两点关于直线 l1 对称，∴直线 l1 过圆心 C ……………………………………………2 分 则 0 2k 1，解得 k 1 ． …………………………………………………………………………4 分
设正方体的棱长为 a ，则 A1B1 a ， B1C 2a ， A1C 3a ，所以在 Rt△ A1B1C 中，
高二教学质量检测 理科数学答案 第 1 页 共 4 页
cos A1CB1
B1C A1C
2a 3a
6 3
，即异面直线
A1C
与
EF
所成角的余弦值为
6 ．………………12 分 3
19．【解析】（1）依题意，得 F (1, 0) ，设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ………………………………………1 分