高考数学大一轮复习 第二章 基本初等函数、导数及其应用 第13课时 导数的应用与定积分课件 理 北师

审题视点 (1)求导后列表判断求解． (2)利用单调性作出判断，列不等式组求解． (3)对 t 分类讨论求区间[－3，－1]上的最小值．
解 (1)f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)． 由 f′(x)＝0，得 x1＝－1，x2＝a＞0. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，a) a (a，＋∞)
f′(x)ຫໍສະໝຸດ ＋0－0
＋
f(x)
极大值
极小值
故函数 f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调 递减区间是(－1，a)．
(2)由(1)知 f(x)在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0) 内单调递减，从而函数 f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当
5．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元 出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时， 利润最大．
解析：利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6 000， S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0得x＝115，这时利润达到最大．
，这个结论叫作微积
分基本定理，为了方便，我们常把F(b)－F(a)记成 F(x)|ab ，
即bf(x)dx＝F(x)|ab＝F(b)－F(a)． a
5．定积分的几何意义
(1)当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分
b
f(x)dx的几何
a
意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a， b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的 极值；②将f(x)的各极值与 f(a)、f(b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
2．定积分的定义 如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－ 1＜xi＜…＜xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区
a
(k为常数)；
(2)b[f1(x)±f2(x)]dx＝bf1(x)dx±bf2(x)dx；
a
a
a
(3)bf(x)dx＝cf(x)dx＋bf(x)dx(其中a<c<b)．
a
a
c
4．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝
f(x)，那么
b
f(x)dx＝
a
F(b)－F(a)
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第13课时 导数的应用与定积分
1．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一 般不超过三次)．
2．会利用导数解决某些实际问题．
1．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与 最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值， f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函 数的最大值，f(b)为函数的最小值．
n
n
间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式 f (ξi)Δxi＝
i＝1
i＝1
b－a n
f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫 bf(x)dx
作函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作
a
.
3．定积分的性质
kbf(x)dx
(1)bkf(x)dx＝
a
答案：115
考点一 函数的最值与导数 [例 1] 已知函数 f(x)＝13x3＋1－2 ax2－ax－a，x∈R，其中 a>0. (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求 a 的取值范围； (3)当 a＝1 时，设函数 f(x)在区间[t，t＋3]上的最大值为 M(t)， 最小值为 m(t)，记 g(t)＝M(t)－m(t)，求函数 g(t)在区间[－3，－1] 上的最小值．
解析：由函数最值的定义知，A、B、C 均不正确，D 正确． 答案：D
2．函数 f(x)＝2x3－3x2－12x＋5 在区间[0,3]上的最大值和最小
值分别是( )
A．5，－15
B．5，－4
C．－4，－15
D．5，－8
解析：f′(x)＝6x2－6x－12.令 f′(x)＝0，得 x1＝－1，x2＝2. 且－1∉[0,3]，2∈[0,3]，又 f(2)＝－15，f(0)＝5，f(3)＝－4，故 f(x) 在[0,3]上的最大值为 f(0)＝5，最小值为 f(2)＝－15，故选 A.
ff－－12＞＜00，， f0＜0.
解得 0＜a＜13.
所以 a 的取值范围是0，13.
(3)a＝1 时，f(x)＝13x3－x－1. 由(1)知 f(x)在[－3，－1]上单调递增，在[－1,1]上单调递减， 在[1,2]上单调递增．
①当 t∈[－3，－2]时，t＋3∈[0,1]，－1∈[t，t＋3]，f(x)在[t， －1]上单调递增，在[－1，t＋3]上单调递减．因此，f(x)在[t，t＋ 3]上的最大值 M(t)＝f(－1)＝－13，而最小值 m(t)为 f(t)与 f(t＋3)中 的较小者．由 f(t＋3)－f(t)＝3(t＋1)(t＋2)知，当 t∈[－3，－2]时， f(t)≤f(t＋3)，故 m(t)＝f(t)，所以 g(t)＝f(－1)－f(t)．而 f(t)在[－3， －2]上单调递增，因此 f(t)≤f(－2)＝－53.所以 g(t)在[－3，－2]上 的最小值为 g(－2)＝－13－－53＝43.
答案：A
3．(教材改编题)计算1x2dx＝( ) 0
1
1
A.4
B.3
C.12
D．1
解析：1x2dx＝13x3|01＝13×1－13×0＝13. 0
答案：B
4．由曲线 y＝x2，y＝ x围成的封闭图形的面积为________．
解析：S＝1( 0
x－x2)dx＝
2 3x
－13x301＝13.
答案：13
梯形的面积(图1阴影部分)．
图1
图2
(2)一般情况下，定积分
b
f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线
a
f(x)以及直线x＝a、x＝b之间的曲边梯形面积的和(图2阴影所
示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的
面积等于该区间上积分值的相反数．
[基础自测] 1．下列结论中正确的是( ) A．在区间[a，b]上，函数的极大值就是最大值 B．在区间[a，b]上，函数的极小值就是最小值 C．在区间[a，b]上，函数的最大值、最小值在 x＝a 和 x＝b 处取到 D．在区间[a，b]上，函数的极大(小)值有可能就是最大(小)值