天津市2018-2019年高考理科数学第二次模拟考试试题
天津市耀华中学2019届高三二模考试数学试卷(理科)Word版含解析
天津市耀华中学2018-2019学年高考数学二模试卷（理科）金榜题名，高考必胜!蝉鸣声里勾起高考记忆三年的生活，每天睡眠不足六个小时，十二节四十五分钟的课加上早晚自习，每天可以用完一支中性笔，在无数杯速溶咖啡的刺激下，依然活蹦乱跳，当我穿过昏暗的清晨走向教学楼时，我看到了远方地平线上渐渐升起的黎明充满自信，相信自己很多考生失利不是输在知识技能上而是败在信心上，觉得自己不行。
临近考试前可以设置完成一些小目标，比如说今天走1万步等，考试之前给自己打气，告诉自己“我一定行”!最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。
最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
一．选择题：共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z=在复平面上对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的( )A．必要不充分条件B．充分必要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（，+∞）4．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象( )A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度5．数列{a n}满足a1=1，a2=，并且a n（a n﹣1+a n+1）=2a n+1a n﹣1（n≥2），则该数列的第2015项为( )A．B．C．D．6．设直线l ：y=2x+2，若l 与椭圆x 2+=1的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使△PAB 的面积为﹣1的点P 的个数为()A ．0B ．1C ．2D ．37．已知函数f （x ）满足f （x ）=x 2﹣2（a+2）x+a 2，g （x ）=﹣x 2+2（a ﹣2）x ﹣a 2+8．设H 1（x ）=max{f （x ），g （x ）}，H 2（x ）=min{f （x ），g （x ）}（max （p ，q ）表示p ，q 中的较大值，min （p ，q ）表示p ，q 中的较小值），记H 1（x ）的最小值为A ，H 2（x ）的最大值为B ，则A ﹣B=( )A ．a 2﹣2a ﹣16B ．a 2+2a ﹣16C ．﹣16D ．168．已知定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x ）=且f （x+2）=f（x ），g （x ）=，则方程f （x ）=g （x ）在区间上的所有实根之和为( )A ．﹣8B ．﹣7C ．﹣6D ．0二．填空题：共6个小题，每小题5分，共30分．9．为了了解2015届高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是__________．10．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为__________．11．求曲线y=，y=2﹣x，y=﹣x所围成图形的面积为__________．12．在极坐标系中，圆C1的方程为ρ=4cos（），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C2的参数方程（θ为参数），若圆C1与C2相切，则实数a=__________．13．若至少存在一个x＞0，使得关于x的不等式x 2＜2﹣|x﹣a|成立，则实数a的取值范围为__________．14．设O是△ABC的外心，a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且b 2﹣2b+c2=0，则?的取值范围是__________．三．解答题：共6个小题，总计80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值．16．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利﹣80元）．已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X 元，求X 的分布列，并求出均值E （X ）．17．正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A ﹣DC ﹣B（Ⅰ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）求二面角E ﹣DF ﹣C 的余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？证明你的结论．18．已知函数f （x ）=log 3（ax+b ）的图象经过点A （2，1）和B （5，2），记a n =3f （n ），n ∈N*（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设，T n =b 1+b 2+…b n ，若T n ＜m （m ∈Z ），求m 的最小值；（3）求使不等式≥对一切n ∈N *，均成立的最大实数p ．19．已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为的椭圆过点（，）．（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．20．已知函数f （x ）=e x（其中e 为自然对数的底数，且e=2.71828…），g （x ）=x+m （m ，n ∈R ）．（Ⅰ）若T （x ）=f （x ）g （x ），m=1﹣，求T （x ）在上的最大值φ（n ）的表达式；（Ⅱ）若n=4时方程f （x ）=g （x ）在上恰有两个相异实根，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若m=﹣，n∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n．天津市耀华中学2015届高考数学二模试卷（理科）一．选择题：共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z=在复平面上对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置．解答：解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．点评：本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具．2．△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的( )A．必要不充分条件B．充分必要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：解三角形．分析：利用充要条件的概念即可判断是什么条件，从而得到答案．要注意三角形内角和是π，不要丢掉这个大前提．解答：解：在△ABC中，“sinA＞”?“＞A＞”?“A＞”．必要性成立；反之，“A＞不能?“sinA＞”，如A=时，sinA=sin=sin＜sin=，即sinA，即充分性不成立，∴可判断A＞是sinA＞的必要而不充分条件．。
2018年天津市河北区高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年天津市河北区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知全集为R，集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜1}，则集合（∁R A）∩B 等于（）A．{x|x＜0}B．{x|x≤0}C．{x|x＞1}D．{x|x≥1} 2．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．23．（5分）命题p：“∀x≥0，2x＞x2”的否定￢p为（）A．∃x0＜x02B．∀x≥0，2x＜x2C．∃x0≤x02D．∀x≥0，2x≤x24．（5分）二项式（x﹣）6的展开式的第二项为（）A．6x4B．﹣6x4C．12x4D．﹣12x4 5．（5分）若实数x，y满足条件，则z＝3x+y的最大值为（）A．7B．8C．9D．146．（5分）已知点A（﹣1，0）、B（1，0）分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右顶点，点M在双曲线上，且△ABM是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线的方程为（）A．x2﹣＝1B．x2﹣＝1C．x2﹣＝1D．x2﹣y2＝17．（5分）若正数a，b满足，的最小值为（）A．1B．6C．9D．168．（5分）已知函数f（x）＝，若存在互不相等的实数a，b，c，d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝m．则以下三个结论：①m∈[1，2）；②a+b+c+d∈[e﹣3+e﹣1﹣2，e﹣4﹣1），其中e为自然对数的底数；③关于x的方程f（x）＝x+m恰有三个不相等的实数解．正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值是．10．（5分）若复数为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值为．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B＝2C，2b＝3c，则cos C的值为．12．（5分）若点P（3，m）在以F为焦点的抛物线（t为参数）上，则|PF|等于．13．（5分）由曲线y＝与直线y＝x﹣2及y轴所围成的封闭图形的面积是．14．（5分）在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，BC＝2，若P为线段CD上一点，且满足＝，＝5，则λ的值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+）+2sin x cos x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．16．（13分）某地拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案；两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个问题中，甲公司可正确回答其中的4道题，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，且甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．（Ⅰ）求甲、乙两家公司共答对2道题的概率；（Ⅱ）设X为乙公司正确回答的题数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1和四棱锥D﹣BB1C1C构成的几何体中，∠BAC＝90°，AB＝1，BC＝BB1＝2，C1D＝CD＝，平面CC1D⊥平面ACC1A1．（Ⅰ）求证：AC⊥DC1；（Ⅱ）若M为DC1中点，求证：AM∥平面DBB1；（Ⅲ）在线段BC上（含端点）是否存在点P，使直线DP与平面DBB1所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．18．（13分）已知等差数列{a n}中，a1＝1，且a1，a2，a4+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前2n项和T2n．19．（14分）设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足F1为线段BF2的中点，且AB⊥AF2．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若过A、B、F2三点的圆与直线l：x﹣y﹣3＝0相切，求椭圆C的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线与椭圆C交于M，N 两点，在x轴上是否存在P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．20．（14分）已知函数f（x）＝﹣ax+（a﹣1）lnx，其中a＞2．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对于任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，恒有＞﹣1，求a的取值范围；（Ⅲ）设a∈（3，4），x n＝，n∈N*，求证：|f（x n+1）﹣f（x1）|＜．2018年天津市河北区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知全集为R，集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜1}，则集合（∁R A）∩B 等于（）A．{x|x＜0}B．{x|x≤0}C．{x|x＞1}D．{x|x≥1}【解答】解：∁R A＝{x|x≤0}；∴（∁R A）∩B＝{x|x≤0}．故选：B．2．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．2【解答】解：由三视图知：几何体为直三棱柱，其中侧棱长为1，底面时边长为2的正三角形，∴几何体的体积V＝＝．故选：A．3．（5分）命题p：“∀x≥0，2x＞x2”的否定￢p为（）A．∃x0＜x02B．∀x≥0，2x＜x2C．∃x0≤x02D．∀x≥0，2x≤x2【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：“∀x≥0，2x＞x2”的否定￢p为∃x0≤x02，故选：C．4．（5分）二项式（x﹣）6的展开式的第二项为（）A．6x4B．﹣6x4C．12x4D．﹣12x4【解答】解：二项式的展开式的第二项：＝﹣12x4．故选：D．5．（5分）若实数x，y满足条件，则z＝3x+y的最大值为（）A．7B．8C．9D．14【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝3x+y得y＝﹣3x+z，平移直线y＝﹣3x+z，由图象可知当直线y＝﹣3x+z经过点A时，直线y＝﹣3x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，3），代入目标函数z＝3x+y得z＝3×2+3＝9．即目标函数z＝3x+y的最大值为9．故选：C．6．（5分）已知点A（﹣1，0）、B（1，0）分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右顶点，点M在双曲线上，且△ABM是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线的方程为（）A．x2﹣＝1B．x2﹣＝1C．x2﹣＝1D．x2﹣y2＝1【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0），如图所示，|AB|＝|BM|，∠ABM＝120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，则∠MBN＝60°，在Rt△BMN中，|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，即有|BN|＝2a cos60°＝a，|MN|＝2a sin60°＝a，故点M的坐标为M（2a，a），代入双曲线方程得﹣＝1，即为a2＝b2，由A（﹣1，0），B（1，0）为双曲线的双曲线左右顶点，则a＝b＝1，∴双曲线的标准方程：x2﹣y2＝1，故选：D．7．（5分）若正数a，b满足，的最小值为（）A．1B．6C．9D．16【解答】解：∵正数a，b满足，∴a＞1，且b＞1；变形为＝1，∴ab＝a+b，∴ab﹣a﹣b＝0，∴（a﹣1）（b﹣1）＝1，∴a﹣1＝；∴a﹣1＞0，∴＝+9（a﹣1）≥2＝6，当且仅当＝9（a﹣1），即a＝1±时取“＝”（由于a＞1，故取a＝），∴的最小值为6；故选：B．8．（5分）已知函数f（x）＝，若存在互不相等的实数a，b，c，d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝m．则以下三个结论：①m∈[1，2）；②a+b+c+d∈[e﹣3+e﹣1﹣2，e﹣4﹣1），其中e为自然对数的底数；③关于x的方程f（x）＝x+m恰有三个不相等的实数解．正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：作出函数的图象如图，若直线y＝m与函数y＝f（x）的图象相交于四个不同的点，由图可知m∈[1，2），故（1）正确；设y＝m与函数y＝f（x）的交点自左至右依次为a，b，c，d，由﹣2﹣lnx＝1，得x＝e﹣3，由﹣2﹣lnx＝2，得x＝e﹣4，∴c∈（e﹣4，e﹣3]，又﹣2﹣lnc＝2+lnd，∴cd＝e﹣4，∴a+b+c+d＝﹣2+c+在（e﹣4，e﹣3]上是递减函数，∴a+b+c+d∈[e﹣3+e﹣1﹣2，e﹣4﹣1），故（2）正确；设斜率为1的直线与y＝lnx+2相切于（x0，lnx0+2），则由，可得x0＝1，则切点为（1，2），此时直线方程为y﹣2＝1×（x﹣1），即y＝x+1，∴当m＝1时，直线y＝x+m与函数y＝f（x）有4个不同交点，即关于x的方程f（x）＝x+m有四个不等实根，故（3）错误．∴正确结论的个数是2个．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值是30．【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝0，i＝1满足条件i＜6，执行循环体，i＝3，S＝6满足条件i＜6，执行循环体，i＝5，S＝16满足条件i＜6，执行循环体，i＝7，S＝30不满足条件i＜6，退出循环，输出S的值为30．故答案为：30．10．（5分）若复数为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值为1．【解答】解：∵复数＝＝为纯虚数，故有a﹣1＝0，且a+1≠0，解得a＝1，故答案为：1．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B＝2C，2b＝3c，则cos C的值为．【解答】解：△ABC中，若B＝2C，则sin B＝sin2C，∴sin B＝2sin C cos C，由正弦定理得b＝2c cos C，∴cos C＝；又2b＝3c，∴b＝c，∴cos C＝＝．故答案为：．12．（5分）若点P（3，m）在以F为焦点的抛物线（t为参数）上，则|PF|等于4．【解答】解：∵抛物线（t为参数）上，∴y2＝4x，∵点P（3，m）在以点F为焦点的抛物线（t为参数）上，∴m2＝4×3＝12，∴P（3，2）∵F（1，0），∴|PF|＝＝4，故答案为4．13．（5分）由曲线y＝与直线y＝x﹣2及y轴所围成的封闭图形的面积是．【解答】解：如图所示：联立解得，∴M（4，2）．由曲线y＝，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积S＝＝＝．故答案为．14．（5分）在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，BC＝2，若P为线段CD上一点，且满足＝，＝5，则λ的值为．【解答】解：分别以边AD，AB所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（0，4），C（2，4），D（4，0）；设P（x，y），则：，；∵；∴（x﹣4，y）＝λ（﹣2，4）①，x2+y2﹣4y＝5②；∴由①得x＝4﹣2λ，y＝4λ，带入②得：（4﹣2λ）2+16λ2﹣16λ＝5；解得，或；据题意知0≤λ≤1；∴．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+）+2sin x cos x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+）+2sin x cos x＝sin2x cos+cos2x sin+cos2x cos﹣sin2x sin+sin2x＝＝sin2x+＝．∴T＝；（Ⅱ）∵x∈[0，]，∴[]．∵当，即0时，函数f（x）单调递增，当，即时，函数f（x）单调递减，且f（0）＝，f（）＝2，f（）＝﹣．∴函数f（x）的最大值和最小值分别为2，﹣．16．（13分）某地拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案；两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个问题中，甲公司可正确回答其中的4道题，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，且甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．（Ⅰ）求甲、乙两家公司共答对2道题的概率；（Ⅱ）设X为乙公司正确回答的题数，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（I）由题意可知甲公司至少能答案对1题．甲，乙公司各答对1题的概率为：•（）2•＝，甲公司答对2题，乙公司全答错的概率为：•（）3＝，∴甲、乙两家公司共答对2道题的概率为＝．（II）X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝（）3＝，P（X＝1）＝（）2•＝，P（X＝2）＝•（）2•＝，P（X＝3）＝（）3＝．∴X的分布列为：∴E（X）＝3×＝2．17．（13分）如图，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1和四棱锥D﹣BB1C1C构成的几何体中，∠BAC＝90°，AB＝1，BC＝BB1＝2，C1D＝CD＝，平面CC1D⊥平面ACC1A1．（Ⅰ）求证：AC⊥DC1；（Ⅱ）若M为DC1中点，求证：AM∥平面DBB1；（Ⅲ）在线段BC上（含端点）是否存在点P，使直线DP与平面DBB1所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，故AC ⊥CC1，由平面CC1D⊥平面ACC1A1，且平面CC1D∩平面ACC1A1＝CC1，所以AC⊥平面CC1D，又C1D⊂平面CC1D，所以AC⊥DC1．（Ⅱ）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，又∠BAC＝90°，所以，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，依据已知条件可得A（0，0，0），，，B（0，0，1），B1（2，0，1），，所以，，设平面DBB的法向量为，由即令y＝1，则，x＝0，于是，因为M为DC1中点，所以，所以，由，可得，所以AM与平面DBB1所成角为0，即AM∥平面DBB1．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面BB 1D的法向量为．设，λ∈[0，1]，则，．若直线DP与平面DBB1成角为，则，解得，故不存在这样的点．18．（13分）已知等差数列{a n}中，a1＝1，且a1，a2，a4+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前2n项和T2n．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的过程为d，∵a1＝1，且a1，a2，a4+2成等比数列．∴＝a1•（a4+2），即（1+d）2＝1×（1+3d+2），化为：d2﹣d﹣2＝0，解得d＝2或﹣1．其中d＝﹣1时，a2＝0，舍去．∴d＝2．a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，S n＝＝n2．（Ⅱ）设b n＝＝，∴n为偶数时，＝＝16，b2＝8；n为奇数时，＝＝，b1＝．∴数列{b n}的奇数项是首项为，公比为．数列{b n}的偶数项是首项为8，公比为16．∴数列{b n}的前2n项和T2n＝+＝．19．（14分）设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足F1为线段BF2的中点，且AB⊥AF2．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若过A、B、F2三点的圆与直线l：x﹣y﹣3＝0相切，求椭圆C的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线与椭圆C交于M，N 两点，在x轴上是否存在P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（0，b）∵F1为BF2的中点，AB⊥AF2，∴Rt△ABF2中，BF22＝AB2+AF22，（4c）2＝（）2+a2，又a2＝b2+c2，∴a＝2c，故椭圆的离心率e＝＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）知＝，得c＝a，于是F2（a，0），B（﹣a，0），Rt△ABF2的外接圆圆心为（﹣a，0），半径r＝a，所以＝a，解得a＝2，∴c＝1，b＝，所求椭圆方程为+＝1；（Ⅲ）由（Ⅱ）知F2（1，0），l：y＝k（x﹣1），设M（x1，y1），N（x2，y2），由y＝k（x﹣1）和3x2+4y2＝12，代入得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，则x1+x2＝，y1+y2＝k（x1+x2﹣2），+＝（x1+x2﹣2m，y1+y2），由于菱形对角线垂直，则（+）•＝0，故x1+x2﹣2m+k（y1+y2）＝0，即x1+x2﹣2m+k2（x1+x2﹣2）＝0，﹣2m+k2（﹣2）＝0，由已知条件知k≠0，∴m＝＝，∴0＜m＜，故m的取值范围是0＜m＜．20．（14分）已知函数f（x）＝﹣ax+（a﹣1）lnx，其中a＞2．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对于任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，恒有＞﹣1，求a的取值范围；（Ⅲ）设a∈（3，4），x n＝，n∈N*，求证：|f（x n+1）﹣f（x1）|＜．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为x∈（0，+∞），令f'（x）＝0，则x2﹣ax+a﹣1＝0，即（x﹣1）[x﹣（a﹣1）]＝0，x＝1或x＝a﹣1，因为a＞2，所以a﹣1＞1当x∈（0，1），f'（x）＞0，函数f（x）为增函数；当x∈（1，a﹣1），f'（x）＜0，函数f（x）为减函数当x∈（a﹣1，+∞），f'（x）＞0，函数f（x）为增函数（Ⅱ）设x1＞x2，则不等式等价于f（x1）﹣f（x2）＞x2﹣x1整理得到f（x1）+x1＞f（x2）+x2令即函数g（x）在x∈（0，+∞）上为增函数，，不等式恒成立．而，所以，因为a＞2，所以（Ⅲ）因为a∈（3，4），由（Ⅰ）可以知道当x∈（1，a﹣1）时，函数f（x）为减函数，而，x1＝2∈（1，a﹣1），那么x n+1＜x1所以f（x n+1）＞f（x1）所以|f（x n+1）﹣f（x1）|＝f（x n+1）﹣f（x1）由（Ⅱ）知道所以．。
2018—2019学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(二)(理科)数学 参考答案
D
y
A
M
x B
则 M(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，0，1)，A(0， 3 ，0)，C(–1，0，0)，
AC =(–1，– 3 ，0)， BD =(–1，0，1)．
………………………4 分
南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷参考答案（理工类）第 2 页（共 8 页）
（Ⅰ）因为 AE=2，所以 E(0， 3 ，2)， BE =(–1， 3 ，2)．
∵bn=2nan，∴bn=bn–1+1，即当 n≥2 时，bn–bn–1=1．…………………5 分
又 b1=2a1=1，
∴数列{bn}是首项和公差均为 1 的等差数列．
于是
bn=1+(n–1)·1=n=2nan，∴an=
n 2n
．
（Ⅱ）∵cn=
2n(n
n(n 1) an )(n 1
an1)
=
4 9
．
…………2 分
∴甲乙两人获奖的概率为
P=1– C30
(
4 9
)0(
5 9
)3– C31
(
4 9
)1(
5 9
)2=
304 729
．
…………5 分
（Ⅱ）由题意可知从 6 人中选 4 人，双胞胎的对数 X 取值为 0，1，2． …………6 分
P(X=0)=
C21
C21 C22 C64
=4 15
2018—2019 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(二)
数学试卷（理工类）参考答案
2019.05
一、选择题：
题 号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）
2018年天津市十二重点中学高考数学二模试卷(理科)
2018年天津市十二重点中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.1. 已知集合＝，＝，则为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】解不等式求得集合、，根据交集的定义写出．【解答】集合＝＝，＝＝，则＝＝．2. 已知，满足不等式组，则目标函数＝的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【考点】简单线性规划【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数求得最小值．【解答】由约束条件作出可行域如图，设可行域内一点，由图可知，直线＝经过点时取到最大值，经过点时取到最小值，联立，解得，∴的最小值为＝，3. 一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】负值＝，＝，＝，判断条件成立，执行＝＝，＝＝，＝；判断条件成立，执行＝＝，＝＝，；判断条件成立，执行＝＝，＝＝，；判断条件不成立，算法结束，输出．此时＝，不成立．故判断框中应填入的条件是．4. 已知为实数，直线＝，：＝，则“＝”是“”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据直线平行的等价条件，求出的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】当＝时，两直线方程分别为直线＝，＝满足，即充分性成立，当＝时，两直线方程分别为＝，和＝，不满足条件．当时，则，由得＝得＝或＝，由得，则＝，即“＝”是“”的充要条件，5. 已知函数＝的最小正周期为，将＝的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】根据函数的周期求，结合三角函数的图象平移关系，结合三角函数的奇偶性进行求解即可．【解答】∵函数＝的最小正周期为，∴，得＝，则＝，将＝的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则＝＝，∵图象关于轴对称，∴，则，，当＝时，，则或，即的一个值可能为，6. 已知定义在上的函数＝，则三个数＝，＝（），＝，则，，之间的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【考点】对数值大小的比较【解析】求出的导数，得到函数在上为单调增函数，再求出、的范围，则答案可求．【解答】定义在上的函数＝是偶函数，时，＝，＝，∴在时递增，∵，，又＝，＝（），＝，∴，故选：．7. 双曲线的左、右焦点分别为，，点，在双曲线上，且，，线段交双曲线于点，，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】运用双曲线的对称性由条件可设的坐标，由向量共线定理可得的坐标，再由，在双曲线上，满足双曲线的方程，即可得到双曲线的离心率．【解答】由＝，可得＝，由，可设，设，∴，∵，∴，解得，，∵，在双曲线上，∴，消去整理可得，∴．8. 已知函数定义在上的函数，则下列说法中正确的个数有（）①关于的方程，有个不同的零点②对于实数，不等式恒成立③在上，方程＝有个零点④当，时，函数的图象与轴围成的面积为A. B. C. D.【答案】B【考点】分段函数的应用【解析】根据函数的表达式，作出函数的图象，利用数形结合分别判断即可．【解答】作出函数的图象，如图：当＝时，方程等价为＝，∴对应方程根的个数为个，而＝个，∴ ①错误；由不等式等价为，在恒成立，作出函数的图象如图，则不等式恒成立，∴ ②正确；由函数表达式可知＝，＝，＝．由＝得，设，则＝，∴在上，方程＝有个零点，∴ ③错误；令＝得，＝，当时，函数的图象与轴围成的图形是一个三角形，其面积为：＝，∴ ④错误．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.________为虚数单位，设复数________满足________，则________的虚部是【答案】,,,,【考点】复数的运算【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】由，得．∴的虚部是．以直角坐标系的原点为极点，________轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线极坐标方程为，它与曲线，（为参数）相交于两点________、________，则________＝________．【答案】,,,,【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】把直线极坐标方程、曲线参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求得弦长．【解答】把直线极坐标方程化为普通方程是＝，曲线参数方程化为普通方程是＝，圆心为，半径为，圆心到直线＝的距离为，则弦长＝．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积________．【答案】由三视图求体积【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个半圆锥和一个四分之一球的组合体，分别计算它们的体积，相加可得答案．【解答】由已知中的三视图可得，该几何体是一个半圆锥和一个四分之一球的组合体，球的半径为圆锥的底面半径均为，圆锥的高为，故四分之一球的体积为：，半圆锥的体积为：，故组合体的体积；若________________＝（其中________），则________________的展开式中________的系数为________．【答案】,,,,,,【考点】微积分基本定理定积分二项式定理及相关概念【解析】由微积分基本定理求得，代入，写出二项展开式的通项，由的指数为求得值，则答案可求．【解答】由＝，如图，得＝，即＝．∴＝，．由＝，得＝．∴的展开式中的系数为．已知________________，二次三项式________________+________对于一切实数________恒成立，又________，使________________＝成立，则的最小值为________．【答案】,,,,,,,,,【考点】反证法与放缩法【解析】由条件求得，＝，由此把要求的式子化为，利用基本不等式即可求出答案．【解答】∵已知，二次三项式对于一切实数恒成立，∴，且＝，∴．再由，＝，可得＝，∴＝，即＝，∴，∵，当且仅当时取等号故的最小值为，已知直角梯形________中，________________，________＝，________＝，________＝，________＝，________是腰________上的动点，则的最小值为________．【答案】,,,,,,,,,【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】建立坐标系，设出的坐标，表示出，的坐标，结合二次函数的性质求出其最小值即可．【解答】分别以，为，轴，建立直角坐标系：如图示：，∵＝，＝，＝，是腰上的动点，∴，，，，则设，故，，故，故，而＝＝，故的最小值是，三、解答题：本大题6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）已知，的面积为，求边长的值．【答案】锐角中，，∴，由正弦定理得，∴，又＝，∴，又，∴；由，利用正弦定理得＝；又的面积为，∴，解得＝；由余弦定理＝＝，解得＝．【考点】三角形的面积公式【解析】（1）根据题意，利用正弦定理与三角形的内角和定理求得的值，从而求得的值；（2）由题意，利用正弦定理与三角形的面积公式求得的值，再由余弦定理求得的值．【解答】锐角中，，∴，由正弦定理得，∴，又＝，∴，又，∴；由，利用正弦定理得＝；又的面积为，∴，解得＝；由余弦定理＝＝，解得＝．某大学在一次公益活动中聘用了名志愿者，他们分别来自于、、三个不同的专业，其中专业人，专业人，专业人，现从这人中任意选取人参加一个访谈节目．（1）求个人来自两个不同专业的概率；（2）设表示取到专业的人数，求的分布列与数学期望．【答案】令事件表示“个来自于两个不同专业”，表示“个人平自于同一个专业”，表示“个人来自于三个不同专业”，，，∴个人来自两个不同专业的概率：＝＝．随机变量有取值为，，，，＝，＝，＝，＝，∴的分布列为：．【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）令事件表示“个来自于两个不同专业”，表示“个人平自于同一个专业”，表示“个人来自于三个不同专业”，利用列举法能求出个人来自两个不同专业的概率．（2）随机变量有取值为，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．【解答】令事件表示“个来自于两个不同专业”，表示“个人平自于同一个专业”，表示“个人来自于三个不同专业”，，，∴个人来自两个不同专业的概率：＝＝．随机变量有取值为，，，，＝，＝，＝，＝，∴的分布列为：．如图，四边形与均为菱形，＝，且＝＝．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）若为线段上的一点，满足直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．【答案】设与交于点，连结，∵四边形是菱形，∴，且为的中点，∵＝，∴，又＝，平面，平面，∴平面．连结，∵四边形是菱形，且＝，∴是等边三角形，∵为的中点，∴，又，平面，平面，∴平面，∵、、两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图，设＝，∵四边形为菱形，＝，∴＝，＝，∵为等边三角形，∴，∴，，，，∴，，，，设平面的法向量，则，取＝，得，∴，∵二面角的余弦值为．设，则＝，∴，化简，得＝，解得或（舍），∴线段的长为．【考点】二面角的平面角及求法【解析】（1）设与交于点，连结推导出，且为的中点，，由此能证明平面．（2）连结，由、、两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．（3）设，，则＝，利用向量法能求出线段的长．【解答】设与交于点，连结，∵四边形是菱形，∴，且为的中点，∵＝，∴，又＝，平面，平面，∴平面．连结，∵四边形是菱形，且＝，∴是等边三角形，∵为的中点，∴，又，平面，平面，∴平面，∵、、两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图，设＝，∵四边形为菱形，＝，∴＝，＝，∵为等边三角形，∴，∴，，，，∴，，，，设平面的法向量，则，取＝，得，∴，∵二面角的余弦值为．设，则＝，∴，化简，得＝，解得或（舍），∴线段的长为．已知数列的前项和满足＝，为常数，，（1）求的通项公式；（2）设＝，若数列为等比数列，求的值；（3）在满足条件（2）的情形下，，若数列的前项和为，且对任意的满足，求实数的取值范围．【答案】时，＝＝，化为：＝，为常数，，．＝时，＝，可得：＝．∴数列为等比数列，首项与公比为．则＝．＝，可得：＝，＝，＝，∵数列为等比数列，∴＝，可得：．由（2）可得：．，∴数列的前项和为，∵对任意的满足，∴，化为：，解得：或．∴实数的取值范围是：或．【考点】数列的求和【解析】（1）时，＝＝，化为：＝，为常数，，．＝时，＝，可得：＝．利用等比数列的通项公式可得．（2）＝，可得：＝，＝，＝，利用等比数列的性质可得．（3）由（2）可得：．，利用裂项求和方法、数列的单调性、不等式的解法即可得出．【解答】时，＝＝，化为：＝，为常数，，．＝时，＝，可得：＝．∴数列为等比数列，首项与公比为．则＝．＝，可得：＝，＝，＝，∵数列为等比数列，∴＝，可得：．由（2）可得：．，∴数列的前项和为，∵对任意的满足，∴，化为：，解得：或．∴实数的取值范围是：或．已知椭圆的两个焦点分别为和，过点的直线与椭圆相交于轴上方的，两点，且．（1）求椭圆的离心率；（2）求直线的斜率；设点与点关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值．【答案】由，可得，从而，整理可得＝，故，：由（1）得＝＝，所以椭圆的方程可写为＝设直线的方程为＝，即＝．由已知设，，则它们的坐标满足方程组消去整理，得＝．依题意，＝，而，①，②，由题设知，点为线段的中点，所以＝③联立①③解得，将，代入②中，解得．解法一：由可知＝，，当时，得，由已知得．线段的垂直平分线的方程为，直线与轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为＝．直线的方程为，于是点的坐标满足方程组，由，解得，故综上所述．解法二：由可知＝，，当时，得，由已知得．由椭圆的对称性可知，，三点共线，因为点在的外接圆上，且，所以四边形为等腰梯形．由直线的方程为，知点的坐标为．因为＝，所以＝，解得＝（舍），或．则，所以．【考点】椭圆的离心率【解析】（1）由，可得，从而，由此可以求出椭圆的离心率．由题意知椭圆的方程可写为＝，设直线的方程为＝，设，，则它们的坐标满足方程组，整理，得＝．再由根的判别式和根与系数的关系求解．解法一：当时，得，线段的垂直平分线的方程为直线与轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为＝．由此可以推导出值．解法二：由椭圆的对称性可知，，三点共线，由已知条件能够导出四边形为等腰梯形．由此入手可以推导出值．【解答】由，可得，从而，整理可得＝，故，：由（1）得＝＝，所以椭圆的方程可写为＝设直线的方程为＝，即＝．由已知设，，则它们的坐标满足方程组消去整理，得＝．依题意，＝，而，①，②，由题设知，点为线段的中点，所以＝③联立①③解得，将，代入②中，解得．解法一：由可知＝，，当时，得，由已知得．线段的垂直平分线的方程为，直线与轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为＝．直线的方程为，于是点的坐标满足方程组，由，解得，故综上所述．解法二：由可知＝，，当时，得，由已知得．由椭圆的对称性可知，，三点共线，因为点在的外接圆上，且，所以四边形为等腰梯形．由直线的方程为，知点的坐标为．因为＝，所以＝，解得＝（舍），或．则，所以．已知函数，＝的最大值为．（1）求实数的值；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）当＝时，令＝，是否存在区间，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】∵函数＝的最大值为，∴，＝，由＝＝，得，当时，，当时，，∴ x＝＝＝，解得＝．的定义域是，＝，①＝即＝时，，故在递增，②若，而，故，则当时，，，时，，故在递减，在，递增，③若，即时，同理在递减，在，递增；由（1）知＝，故＝，令＝＝，则＝对恒成立，故在区间内递增；故＝恒成立，故函数在区间递增，假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，则，问题转化为关于的方程＝在区间内是否存在两个不相等的实根，即方程在区间内是否存在两个不相等的实根，令，，则，令＝，则＝对恒成立，故函数在区间递增，故＝恒成立，故，在递增，故方程在区间内不存在两个不相等的实根，综上，不存在区间，使得函数在区间上的值域为．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于的方程，解出即可；（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（3）假设存在，问题转化为关于的方程＝在区间内是否存在两个不相等的实根，即方程在区间内是否存在两个不相等的实根，令，，根据函数的单调性判断即可．【解答】∵函数＝的最大值为，∴，＝，由＝＝，得，当时，，当时，，∴ x＝＝＝，解得＝．的定义域是，＝，①＝即＝时，，故在递增，②若，而，故，则当时，，，时，，故在递减，在，递增，③若，即时，同理在递减，在，递增；由（1）知＝，故＝，令＝＝，则＝对恒成立，故在区间内递增；故＝恒成立，故函数在区间递增，假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，则，问题转化为关于的方程＝在区间内是否存在两个不相等的实根，即方程在区间内是否存在两个不相等的实根，令，，则，令＝，则＝对恒成立，故函数在区间递增，故＝恒成立，故，在递增，故方程在区间内不存在两个不相等的实根，综上，不存在区间，使得函数在区间上的值域为．试卷第21页，总21页。
【百强名校】天津市南开区2019届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题(PDF版) 参考答案
……………………13 分 ……………………14 分
（20）解：（Ⅰ）由
f(x)=logax
+
1 lna
=0，解得
x=e–1，
当 x∈(0，e–1)时，f(x)＜0，f(x)单调递减；
当 x∈(e–1，+∞)时，f(x)＞0，f(x)单调递增．
∴函数 f(x)在点 x=e–1 处取得极小值，
Sn=–an–(
1 2
)n–1+2
中，令
n=1，
可得
S1=–a1–1+2，即
a1=
1 2
．
当
n≥2
时，Sn–1=–an–1–(
1 2
)n–2+2，
∴an=Sn–Sn–1=–an+an–1+(
1 2
)n–1，
∴2an=an–1+(
1 2
)n–1，即
2nan=2n–1an–1+1．
…………………1 分
…………………3 分 …………………4 分
ln
t，解得
x1=
t t
ln
1 t
．
x1x2
所以，x1+x2=x1+tx1=
t2 t ln
1 t
，x1+x2–2=
t
设(x)=x– 1 –2lnx，x＞1． x
∵(x)=1+
1 x2
–
2 x
=
(
x
1)2 x2
＞0，
1 2 ln t
t
．
ln t
∴(x)在(1，+∞)单调递增．
∴x＞1 时，(x)＞(1)=0，即 t– 1 –2lnt＞0． t
【精品高考数学试卷】2019天津市高考数学二模试卷(理科)+答案
2019年天津市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）已知全集U ＝{x ∈N |0≤x ≤4}，集合A ＝{﹣1，2，3}，B ＝{2，3}，则∁U （A ∩B ）＝（ ） A ．{0，4}B ．{0，1，4}C ．{1，4}D ．{0，1}2．（3分）设变量x ，y 满足约束条件{2x +y −2≥0x −y −1≤0x +2y −4≤0，则目标函数z ＝x +y 最小的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．（3分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为（ ）A ．3B ．1C ．0D ．﹣14．（3分）若a ＝﹣log 215，b ＝log 24.5，c ＝20.6，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．c ＞a ＞b5．（3分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3），则此双曲线的方程为（ ） A ．x 23−y 24=1 B ．x 24−y 23=1 C ．x 29−y 216=1D ．x 216−y 29=16．（3分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，则“sin A ＞sin B ”是“a ＞b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（3分）如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条直径，AE →=3EO →，则EC →⋅ED →的值是（ ）A ．−45B ．−1516C ．−14D ．−588．（3分）已知函数f （x ）={log 12(x +1)，−1＜x ＜0−x 2+2x ，x ≥0，若关于x 的方程f （x ）＝m （m ∈R ）恰有三个不同的实数根a ，b ，c ，则a +b +c 的取值范围是（ ） A ．（12，1）B ．（34，1）C ．（34，2）D ．（32，2）二、填空题．9．（3分）已知i 是虚数单位，则1−i 3+i= ．10．（3分）某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产量分别为400，800，600件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取90件进行检验，则应从C 种型号的产品中抽取 件．11．（3分）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为√6，则四棱锥的体积为 ． 12．（3分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为2x ﹣y +1＝0，在以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为 ．13．（3分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B =π3，b ＝2√3，则△ABC 周长的最大值是 ．14．（3分）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有两个空盒的不同放法共有 种．三、解答题（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知函数f （x ）＝cos x （sin x −√3cos x ），x ∈R ． （1）求f （x ）的最小正周期和最大值； （2）讨论f （x ）在区间[π3，2π3]上的单调性．16．某闯关游戏共有两关，游戏规则：先闯第一关，当第一关闯过后，才能进入第二关，两关都闯过，则闯关成功，且每关各有两次闯关机会．已知闯关者甲第一关每次闯过的概率均为12，第二关每次闯过的概率均为23．假设他不放弃每次闯关机会，且每次闯关互不影响．（1）求甲恰好闯关3次才闯关成功的概率；（2）记甲闯关的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．．17．如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝4，∠ACB ＝90°，P 、Q 分别为AE ，AB 的中点．（1）证明：PQ ∥平面ACD ．（2）求异面直线AB 与DE 所成角的余弦值； （3）求平面ACD 与平面ABE 所成锐二面角的大小．18．各项均为正数的等比数列{a n }满足a 2＝3，a 4﹣2a 3＝9． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝（2n ﹣1）•log 3a 2n +2（n ∈N *），数列{1b n}的前n 项和为T n ，证明：T n ＜12．19．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F 1（﹣1，0），上顶点为B 1，原点O 到直线B 1F 1的距离为√32． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点T 在圆x 2+y 2＝2上，点A 为椭圆的右顶点，是否存在过点A 的直线l 交椭圆C于点B （异于点A ），使得OT →=√147（OA →+OB →）成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．20．设a ∈R ，函数f （x ）＝lnx ﹣ax ．（1）若a ＝2，求曲线y ＝f （x ）在点P （1，﹣2）处的切线方程； （2）若f （x ）无零点，求a 的取值范围；（3）若f （x ）有两个相异零点x 1、x 2，求证：x 1+x 2＞2a ．2019年天津市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．【解答】解：U ＝{0，1，2，3，4}，A ∩B ＝{2，3}； ∴∁U （A ∩B ）＝{0，1，4}． 故选：B ．2．【解答】解：作变量x ，y 满足约束条件{2x +y −2≥0x −y −1≤0x +2y −4≤0的可行域，如图：由：{2x +y −2=0x −y −1=0解得A （1，0），则直线z ＝x +y 过点A （1，0）时，z 取最小值1， 故选：D ．3．【解答】解：经过第一次循环得到s ＝3，i ＝2，不满足i ＞4， 执行第二次循环得到s ＝4，i ＝3，不满足i ＞4， 执行第三次循环得到s ＝1，i ＝4，不满足i ＞4， 经过第四次循环得到s ＝0，i ＝5，满足判断框的条件 执行“是”输出S ＝0． 故选：C ．4．【解答】解：−log 215=log 25＞log 24.5＞log 24=2，20.6＜21＝2； ∴a ＞b ＞c ． 故选：A ．5．【解答】解：∵双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，∴以|F 1F 2|为直径的圆的方程为x 2+y 2＝c 2，∵以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3）， ∴{16+9=c 23=ba ×4，解得a ＝4，b ＝3，∴双曲线的方程为x 216−y 29=1．故选：D ．6．【解答】解：在三角形中，若a ＞b ，由正弦定理asinA=b sinB，得sin A ＞sin B ．若sin A ＞sin B ，则正弦定理a sinA=b sinB，得a ＞b ，则“sin A ＞sin B ”是“a ＞b ”的充要条件． 故选：C ．7．【解答】解：AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条直径，AE →=3EO →， 可得OD →=−OC →，EO →=14AO →，EC →⋅ED →=（EO →+OC →）•（EO →+OD →）＝（EO →+OC →）•（EO →−OC →） =EO →2−OC →2=116−1=−1516． 故选：B ．8．【解答】解：作图可得，a ∈(−12，0)，b +c ＝2，所以a +b +c ∈（32，2），故选：D ． 二、填空题． 9．【解答】解：1−i 3+i =(1−i)(3−i)(3+i)(3−i)=2−4i 10=15−25i ．故答案为：15−25i ．10．【解答】解：由题意得从C 种型号的产品中抽取90400+800+600×600＝30件．故填：30．11．【解答】解：正四棱锥的底面边长为2，底面面对角线的一半为√2，所以棱锥的高为h =√6−2=2，∴V =13Sh =13×22×2=83． 故答案为：83．12．【解答】解：因为圆C 的方程为ρ＝2sin θ，所以x 2+y 2＝2y ，x 2+（y ﹣1）2＝1， 因此圆心到直线距离为√5＜1，所以直线l 与圆C 相交．故答案为：相交13．【解答】解：因为b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos π3，B =π3，b ＝2√3，所以12＝a 2+c 2﹣ac ＝（a +c ）2﹣3ac ≥（a +c ）2﹣3（a+c2）2=(a+c)24，当且仅当a ＝c时取等号， 因此（a +c ）2≤48， 可得：a +c ≤4√3，可得：a +b +c ≤6√3，即△ABC 周长的最大值是6√3． 故答案为：6√3．14．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，在4个盒子中任选2个，作为“空盒”，有C 42＝6种不同的情况，②，将4个不同的小球放进剩下的2个盒子中，每个盒子中至少放一个，有24﹣2＝14种不同的放法，则恰有2个空盒的放法共6×14＝84种； 故答案为：84．三、解答题（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．【解答】解：（1）由题意，得f （x ）＝cos x sin x −√3cos 2x =12sin2x −√32（1+cos2x ）=12sin2x −√32cos2x −√32 ＝sin （2x −π3）−√32．所以f （x ）的最小正周期T =2π2=π，其最大值为1−√32． （2）令z ＝2x −π3则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是[−π2+2k π，π2+2k π]，k ∈Z ．由−π2+2k π≤2x −π3≤π2+2k π，得−π12+k π≤x ≤5π12+k π，k ∈Z 设A ＝[π3，2π3]，B ＝{x |−π12+k π≤x ≤512π+k π，k ∈Z }， 易知A ∩B ＝[π3，5π12]．所以，当x ∈[π3，2π3]时，f （x ）在区间[π3，5π12]上单调递增；在区间[5π12，2π3]上单调递减．16．【解答】解：（1）设事件A 为“甲恰好闯关3次才闯关成功的概率”，则有 ，P （A ）=12×（1−23）×23+（1−12）×12×23=518（2）由已知得：随机变量ξ的所有可能取值为2，3，4， 所以，P （ξ＝2）=12×23+12×12=712，P （ξ＝3）=12×（1−23）×23+（1−12）×12×23+12×13×13=13， ．P （ξ＝4）＝（1−12）×12×（1−23）=112 从而ξ2 3 4P71213112E （ξ）＝2×712+3×13+4×112=52．17．【解答】（1）证明：∵P 、Q 分别是AE 、AB 的中点， ∴PQ ∥BE ，PQ =12BE ， 又DC ∥BE ，DC =12BE ， ∴PQ ∥DC ，∵PQ ⊄平面ACD ，DC ⊂平面ACD ， ∴PQ ∥平面ACD ；（2）解：∵DC ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，以点C 为坐标原点，分别以CD →，CA →，CB →的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．则C （0，0，0），A （0，4，0），B （0，0，4），D （2，0，0），E （4，0，4）， AB →=(0，−4，4)，DE →=(2，0，4)， ∴cos ＜AB →，DE →＞=AB →⋅DE→|AB →|⋅|DE →|=√105，∴异面直线AB 与DE 所成角的余弦值√105； （3）解：由（Ⅱ）可知AB →=(0，−4，4)，AE →=(4，−4，4)， 设平面ABE 的法向量为n →=(x ，y ，z)．则{n →⋅AB →=−4y +4z =0n →⋅AE →=4x −4y +4z =0，取z ＝1，得n →=(0，1，1)． 由已知可得平面ACD 的法向量为CB →=（0，0，4）， ∴cos ＜n →，CB →＞=n →⋅CB →|n →|⋅|CB →|=√22． 故所求平面ACD 与平面ABE 所成锐二面角的大小为45°．18．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，q＞0，由a2＝3，a4﹣2a3＝9得3（q2﹣2q）＝9，解得q＝3或q＝﹣1．因为数列{a n}为正项数列，所以q＝3，所以，首项a1=a2q=1，故其通项公式为a n＝3n﹣1，n∈N*；（2）证明：由（1）得b n＝（2n﹣1）•log3a2n+2＝（2n﹣1）log332n+1＝（2n﹣1）（2n+1），所以1b n =1(2n−1)(2n+1)═12（12n−1−12n+1），即有前n项和S n=12（1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1）=12（1−12n+1）＜1 2．19．【解答】解：（1）由椭圆的一个焦点为F1（﹣1，0）知：c＝1，即a2﹣b2＝1．①．又因为直线B1F1的方程为bx﹣y+b＝0，即√b2+1=√32，所以b=√3．由①解得a2＝4．故所求椭圆C的标准方程为x24+y23=1．（2）假设存在过点A的直线l适合题意，则结合图形易判断知直线l的斜率必存在，于是可设直线l的方程为y＝k（x﹣2），由{x24+y23=1y=k(x−2)，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0．（*）因为点A是直线l与椭圆C的一个交点，且x A＝2．所以x A •x B =16k 2−123+4k 2，所以x B =8k 2−63+4k 2，即点B （8k 2−63+4k 2，−12k 3+4k 2）． 所以OA →+OB →=（16k 23+4k 2，−12k 3+4k 2），即OT →=√147（16k 23+4k 2，−12k 3+4k 2）． 因为点T 在圆x 2+y 2＝2上，所以27•[(16k 23+4k 2)2+(−12k3+4k 2)2]＝2，化简得48k 4﹣8k 2﹣21＝0，解得k 2=34，所以k ＝±√32． 经检验知，此时（*）对应的判别式△＞0，满足题意．故存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝±√32（x ﹣2）． 20．【解答】解：（1）当a ＝2时，f （x ）＝lnx ﹣2x ，所以f ′（x ）=1x −2． 故切线的斜率k ＝f ′（1）＝﹣1，则切线方程为y +2＝﹣（x ﹣1），即x +y +1＝0．（2）f ′（x ）=1x −a ，①当a ＝0时，f （x ）＝lnx 有唯一零点x ＝1，不合题意； ②当a ＜0时，则f ′（x ）＞0，f （x ）在区间（0，+∞）上的增函数，因为f （1）＝﹣a ＞0，f （e a ）＝a ﹣ae a ＝a （1﹣e a ）＜0，所以函数f （x ）在区间（0，+∞）有唯一零点，不合题意；③当a ＞0时，令f ′（x ）＝0得x =1a ，所以，当x ∈（0，1a ）时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）在（0，1a ）上是增函数； 当x ∈（1a ，+∞）时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）在（1a ，+∞）上是减函数． 所以在区间（0，+∞）上，函数f （x ）有极大值为f （1a ）＝ln 1a −1＝﹣lna ﹣1， ∵e a ＞a ＞0，故1e ＜1a，且e a ＞1， ∴f （1e ）＝﹣a −a e a =−a （1+1e a）＜0，且当x →+∞时，f （x ）→﹣∞， 若f （x ）无零点，则f （1a ）＜0，即﹣lna ﹣1＜0，解得a ＞1e ，故所求实数a 的取值范围是（1e ，+∞）． （3）设x 1＞x 2＞0，由f （x 1）＝f （x 2）＝0可得lnx 1﹣ax 1＝0，lnx 2﹣ax 2＝0，∴lnx 1﹣lnx 2＝a （x 1﹣x 2），即a =ln x 1x 2x 1−x 2， 要证：x 1+x 2＞2a ，只需证a （x 1+x 2）＞2，即证：lnx 1x 2＞2(x 1−x 2)x 1+x 2． 令t =x 1x 2＞1，于是ln x 1x 2＞2(x 1−x 2)x 1+x 2⇔lnt ＞2(t−1)t+1． 设函数h （t ）＝lnt −2(t−1)t+1（t ＞1），求导得h ′（t ）=1t −4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2＞0， 所以函数h （t ）在（1，+∞）上是增函数，所以h （t ）＞h （1）＝0，即不等式lnt ＞2(t−1)t+1在（1，+∞）上恒成立， 故所证不等式x 1+x 2＞2a 成立．。
2018—2019天津市河西区高三年级第二次模拟理科数学试卷(附答案)
2018—2019天津市河西区高三年级第二次模拟理科数学试卷（附答案）第Ⅰ卷本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件，互斥，那么·如果事件，相互独立，那么·柱体的体积公式·锥体的体积公式其中表示柱（锥）体的底面面积表示柱（锥）体的高一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设全集，，，则 （A ）（B ）（C ） （D ）（2）若变量 满足约束条件 则 的最小值等于（A ） （B ）（C ） （D ）（3）如图所示,程序框图的输出结果是（A ）A B ()()()P A B P A P B =+U A B )()()(B P A P AB P ⋅=Sh V=Sh V31=S h {}110U n N n =∈≤≤{}1,2,3,5,8A ={}1,3,5,7,9B =()U C A B =I {}6,9{}6,7,9{}7,9{}7,9,10,x y 20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩2z x y =-5-22-32-25（B ）（C ）（D ）（4）设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）设,，，则（A ） （B ）（C ） （D ）（6）已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是 （A ）（B ） （C ） （D ） 678{}n a q 1>q {}n a 5.043⎪⎭⎫ ⎝⎛=a 4.034⎪⎭⎫⎝⎛=b ()334log log 4c =c a b <<b a c <<a b c <<b c a <<()()ϕ+=x x f 2sin ϕ()⎪⎭⎫⎝⎛≤6πf x f R x ∈()ππf f >⎪⎭⎫⎝⎛2()x f ()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππ()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2,πππ()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++32,6ππππ()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ,2（7）已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，若直线（A（B ）（C（D（8）在平行四边形中，，，，分别是的中点，与交于，则的值（A ）（B ）（C ）（D ）二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设（是虚数单位），则. （10）在三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则. （11）的展开式中的系数为 .（用数字作答） (12）已知曲线的参数方程为 (为参数), 在点处的切线为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则的极坐标方程为_____________. (13）若，则的最小值为_____________.（14）已知函数满足，，其中，若函数有个零点，则实数的取值范围是 .()220y px p =>()222210,0x y a b a b-=>>F A AF 327+ABCD 2AD =uuu r 4CD =uu u r60=∠ABC F E ,CD BC ,DE AF H DE AH ⋅12161251651z i =-i 2z z+=ABC P -E D ,PC PB ,ABE D -1V ABC P -2V =21v v 523x ⎛ ⎝3x C ⎪⎩⎪⎨⎧==ty tx sin 2cos 2t C ()1,1l x l ()42log 34log a b +=a b +()x f ()⎩⎨⎧>≤+=0,ln 0,x x x k kx x f 0≥k ()()1+=x f f y 4k三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）在中，，，对应的边为，，. （Ⅰ）若，，且求和，的值； （Ⅱ）若是钝角，且，，求的值.（16）（本小题满分13分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙，丙做对的概率分别为， (＞)，且三位学生是否做对相互独立.记为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（Ⅰ）求至少有一位学生做对该题的概率； （Ⅱ）求，的值； （Ⅲ）求的数学期望.ABC ∆A B C a b c 2c =3C π=ABC △cos()A B +a b B 3cos 5A =12sin 13B =sinC 12m n m n ξm n ξ（17）（本小题满分13分）如图，平面平面，，四边形为平行四边形，，，为线段的中点，点满足.（Ⅰ）求证：直线平面；（Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.PAD ⊥ABCD PA PD =ABCD 45ABC ∠=2AB AC ==M AD N 2PN ND =//PB MNC MNC ⊥PAD PAB ⊥PCD BP PCDDB（18）（本小题满分13分）数列是等比数列，公比大于，前项和，是等差数列，已知，，，. （Ⅰ）求数列，的通项公式，； （Ⅱ）设的前项和为，（i ）求；（ii ）证明：.（19）（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的标准方程及离心率；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点，垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范{}n a 0n nS ()n N *∈{}nb 112a =32114a a =+3461a b b =+45712a b b =+{}n a {}n b n a n b {}n S n n T ()n N *∈n T ()21121311<⋅-∑=+++++ni i i i i i b b b b T xOy 13222=+y a x ()3>a F A 1=-OF OA O e e A l ()轴上不在x B B l l M y H HF BF ⊥MAO MOA ∠≤∠l围.（20）（本小题满分14分）已知函数，在点处的切线方程为． （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）已知，当时，恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）对于在中的任意一个常数，是否存在正数，使得,请说明理由．()ax x x f +=ln ()()t f t ,13-=x y a 2≤k 1>x ()1231-+⎪⎭⎫⎝⎛->x x k x f k ()1,0b 0x ()122023100<+--+x b e x x f数学试题（理工类）参考答案及评分标准一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.（1）C（2）A（3）C（4）D（5）B （6）C （7）B （8）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.（9）（10）（11）（12） （13） （14）三、解答题：本大题共6小题，共80分. （15）本小题满分13分.（Ⅰ）解：因为,,所以. 所以.由余弦定理及已知条件得，，又因为．22i +4127024sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ7+⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1e A B C π++=3C π=A B C π+=-1cos()cos()cos cos 32A B C C ππ+=-=-=-=-224a b ab +-=ABC △1sin 2ab C =4ab =联立方程组 解得，． ……………………7分（Ⅱ）解：因为是钝角，且，.所以所以……13分 （16）本小题满分13分.（Ⅰ）解：设“甲做对”为事件，“乙做对”为事件，“丙做对”为事件，由题意知，. 由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是. ……………4分 （Ⅱ）解：由题意知， ， 整理得 ，. 由，解得，. ……………8分 （Ⅲ）解：由题意知 ， =， 所以的数学期望为=. 2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，2a =2b =B 3cos 5A =12sin 13B=4sin 5A ===5cos 13B ===-[sin sin()sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+453121651351365⎛⎫=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭A B C ()()()12P A P B m P C n ,,===0ξ=()1310144P ξ-==-=()()()()1101124P P ABC m n ξ===--=()()113224P P ABC mn ξ====112mn =712m n +=m n >13m =14n =()()()()1a P P ABC P ABC P ABC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=(2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-=14ξ0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+=1312…………13分（17）本小题满分13分.（Ⅰ）证明：连接，交于点，连接 在平行四边形中，因为， 所以， 又因为，即， 所以，又因为平面，平面，所以直线平面. ……………4分（Ⅱ）证明：因为，为线段的中点，所以，又因为平面平面于，平面 所以平面在平行四边形中，因为，，所以 如图，以为原点，分别以所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为平面 设，则，， 所以， 所以，又因为所以平面，又因为平面所以平面平面. ……………8分（Ⅲ）解：因为，BD MC O NO ABCD 12MD BC =12OD OB =2PN ND =12ND PN =//ON PB ON ⊂MNC PB ⊄MNC //PB MNC PA PD =M AD PM AD ⊥PAD ⊥ABCD AD PM ⊂PAD PM ⊥ABCD ABCD 45ABC ∠=2AB AC ==AB AC ⊥A ,AB AC x y (2,0,0),(0,2,0)B C (2,2,0),(1,1,0)D M --PM ⊥ABCD (1,1,)P t -(0)t >(1,1,)AP t =-(1,1,0)CM =--(2,2,0)AD =-2200CM AD ⋅=-+=1100CM AP ⋅=-+=,CM AD CM AP ⊥⊥APAD A =CM ⊥PAD CM ⊂MNC MNC ⊥PAD (2,0,0)AB =(1,1,)AP t =-xyz设为平面的一个法向量 则 不妨设因为， 设为平面的一个法向量 则 不妨设因为平面平面，所以，所以以为 所以所以，， 所以 所以直线与平面. ……………13分 （18）本小题满分13分.（Ⅰ）解：设数列的公比为（），，（舍）或 ， 设数列的公差为，.……………6分 （Ⅱ）解： (,,)x y z =m ABP 0x x y tz =⎧⎨-++=⎩(0,,1)t =-m (2,0,0)DC =(1,1,)DP t =-(,,)x y z =n DCP 0x x y tz =⎧⎨-+=⎩(0,,1)t =n PAB ⊥PCD ⊥m n 210t ⋅=-=m n 0t >1t =(3,1,1)BP =-(0,1,1)=n sin cos ,11BP θ=<>==n BP PCD {}n a q 0q >121112114a a qa q ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩21120q q--==-1q =2q 12n n a ={}n b d 111182(4)1116316b d b d⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩114431616b d b d +=⎧⎨+=⎩101b d =⎧⎨=⎩1n b n =-112212(1)1112n n n S -==--211111(111)()(1)122222n n n nT n n =+++-+++=--=-+. ……………13分 （19）本小题满分14分.（Ⅰ）解：由已知得，即，解得，所以，得，椭圆方程为 . ……………………5分 （Ⅱ）解： 设直线的斜率为，则直线的方程为，设由方程组，消去，整理得 解得或，所以点坐标为.由（Ⅰ）知，，设，有，，由,则，所以，解得，因此直线的方程为，设，由方程组消去，解得， 在中，，即，化简得，即， 解得，或. 111132112()(2)()(2)(1)(1)2i i i i i i i i i i T b b i b b i i i i ++++++++-⋅+-⋅+==⋅⋅+⋅+⋅1112(1)2i i i i +=-⋅+⋅1132231112()111111()()()122222322(1)2ni i i n n i i i T b b b b n n ++++=++-⋅=-+-++-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅∑11112(1)22n n +=-<+⋅1=-c a 132=--a a 2=a 1=c 21==a c e 13422=+y x l ()0≠k k l ()2-=x k y ()B B y x B ,()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134222y x x k y y ()0121616342222=-+-+k x k x k 2=x 346822+-=k k x B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-3412,3468222k k k k ()0,1F ()H y H ,0()H y ,1-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=3412,3449222k k k k HF BF ⊥0=⋅034123494222=+++-k ky k k H kk y H 12492-=MH kk x k y 124912-+-=()M M y x M ,()⎪⎩⎪⎨⎧-+-=-=1249122k x k y x k y y ()11292022++=k k x M MAO ∆MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠()22222MMMM y x y x +≤+-1≥M x ()111292022≥++k k 46-≤k 46≥k所以，直线的斜率的取值范围为.………14分 （20）本小题满分13分.（Ⅰ）解：函数的导数为，在点处的切线 方程为，可得，所以函数的切线方程为，即，所以，解得. 3分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得，因为， 所以，即为， 可令，，由， 可得，即有，在递增，可得，所以，故的取值范围为； 7分（Ⅲ）解：对于在中的任意一个常数， 假设存在正数，使得：． 由成立， l ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,4646, ()ax x x f +=ln ()a xx f +='1()()t f t ,13-=x y ()a tt f +='1()()t x a t at t y -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-1ln 1ln 1-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t x a t y ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+11ln 31t a t 2=a ()x x x f 2ln +=()1231-+⎪⎭⎫⎝⎛->x x k x f 131ln -⎪⎭⎫⎝⎛->x k x ()03ln >--+x k x x x ()()3ln --+=x k x x x x g ()k x x g -+='ln 21>x 02,0ln ≥->k x ()0>'x g ()x g ()+∞,1()()0211≥+=>k g x g 221≤≤-k k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,21()1,0b 0x ()122023100<+--+x b e x x f ()()201ln 20231220000x b e x b e x x x x f +=+-+--+()1212000<+⋅+=-x b e x x从而存在正数，使得上式成立，只需上式的最小值小于即可． 令，令，解得，令，解得， 则为函数的极小值点，即为最小值点． 故的最小值为，再令0x 0()()1212-+⋅+=-x b e x x H x ()()()x x x e b x bx e x e x H ----=++-='1()0>'x H b x ln ->()0<'x H b x ln 0-<<b x ln -=()x H ()x H ()()1ln 21ln ln 2ln -+⋅+-=-b b e b b H b 1ln ln 22-+-=b b b b b()1ln ln 22-+-=x x x x x x G ()10<<x ()()()0ln 1ln 1ln 2ln 2122>=++-+='x x x x x G。
2018年天津市部分区高考数学二模试卷(理科)
2018年天津市部分区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．(★)已知集合A={1，2，3}，集合B={x∈N|x-1＞0}，则集合A∩B=（）A．{1，2}B．{1，3}C．{2，3}D．{1，2，3}2．(★)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S值为（）A．1364B．340C．84D．603．(★)设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x-4y的最小值为（）A．B．-3C．-4D．-64．(★)要得到函数y= sin（x- ）的图象，只需将函数y= sin（2x- ）图象上所有点的横坐标（）A．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度B．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度C．缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度D．缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度5．(★★)存在实数x，使|x-1|-|x-3|≤a成立的一个必要不充分条件是（）A．-2≤a≤2B．a≥2C．a≥-2D．a≥-66．(★★★)已知函数y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，且当x≤0时，f（x）=-x 3+ln （1-x）．记a=f（log 36），b=f（log 48），c=f（log 510），则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．b＞a＞c7．(★★)设F 1，F 2分别是双曲线- =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，过左焦点F 1作直线F 1P与圆x 2+y 2=a 2相切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足= （+ ），| |= ，则双曲线的方程为（）A．-=1B．-=1C．-=1D．-=18．(★★★)在平面直角坐标系内，如果两点P、Q满足条件：①P，Q都在函数y=f（x）的图象上；②P，Q关于原点对称，则称（P、Q）是函数y=f（x）的一对“奇点”（奇点（P、Q）与（Q、P）看作是同一奇点）．已知函数f（x）= ，恰有两对“奇点”，则实数a的取值范围是（）A．（-∞，0）B．（-∞，1）C．（0，1）D．（1，+∞）二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.9．(★★)已知a∈R，i是虚数单位，若复数z= ∈R，则复数z= ．10．(★★★)曲线y=ae x+2的切线方程为2x-y+6=0，则实数a的值为．11．(★★)已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为 cm 3．12．(★★★)天津大学某学院欲安排4名毕业生到某外资企业的三个部门A、B、C实习，要求每个部门至少安排1人，其中甲大学生不能安排到A部门工作的方法有种（用数字作答）．13．(★★★)在直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以该直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，则直线l被曲线C截得的弦的长为．14．(★★★)在△ABC中，AB=6 ，AC=6，∠BAC= ，点D满足= ，点E在线段AD上运动，若=λ+μ，则3λ+ 取最小值时，向量的模为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．(★★★)已知函数f（x）=cos 2ωx+ sin2ωx- （ω＞0）的图象上相邻的最高点间的距离是π．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）在锐角△ABC中，内角A，B，C满足sinAsinC-sin 2C=sin 2A-sin 2B，求f（A）的取值范围．16．(★★★)某大学数学学院拟从往年的智慧队和理想队中选拔4名大学生组成志愿者招募宣传队．往年的智慧队和理想队的构成数据如表所示，现要求被选出的4名大学生中两队中的大学生都要有．（Ⅰ）求选出的4名大学生仅有1名女生的概率；（Ⅱ）记选出的4名大学生中女生的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．男（名）17．(★★★)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD为长方形，且PD=CD=1，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（Ⅰ）证明：PB⊥平面DEF；（Ⅱ）若三棱锥A-BDP的体积为，求直线BD与平面DEF所成角的正弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角D-BP-C的余弦值．18．(★★★★★)已知抛物线x 2=4y的焦点与椭圆C：+ =1（a＞b＞0）的一个顶点重合，且这个顶点与椭圆C的两个焦点构成的三角形面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若椭圆C的上顶点为A，过A作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于另一点B，线段AB 的中点为M，O为坐标原点，连接OM并延长交椭圆于点N，△ABN的面积为k，求k的值．19．(★★★★)已知数列{a n}的奇数项依次成公比为2的等比数列，偶数项依次成公差为4的等差数列，数列{a n}的前n项和为S n，且a 6=2S 3，a 2+a 3=a 5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n= ，求数列{b n}的前n项和T n．20．(★★★★)已知函数f（x）=lnx-e x+2，h（x）=f（x）+e x-ax-2，若函数h（x）有两个零点x 1，x 2（x 1＞x 2），a∈R．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：当x＞0时，f（x）＜0；（Ⅲ）求证：x 1x 2＞e 2．。
2019年最新(统考)天津市高三第二次模拟考试数学试题(理)及答案解析
高二模考试 数学试卷(理工类)第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数i t z +=21,i z 212-=,若21z z 为实数,则实数t 的值是( ) A ．41-B ．-1C ．41D ．1 2. 设集合}01{2<-=x x A ,},2{A x y y B x∈==,则=B A ( )A ．(0,1)B ．(-1,2)C ．),1(+∞-D ．)1,21(3. 已知函数⎩⎨⎧<≥∙=-0,20,2)(x x a x f x x (R a ∈).若1)]1([=-f f ,则=a ( )A ．41 B ．21C ．2D ． 1 4. 若a ,R b ∈，直线l :b ax y +=,圆C :122=+y x .命题p :直线l 与圆C 相交；命题q ：12->b a .则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件5. 为丰富少儿文体活动，某学校从篮球，足球，排球，橄榄球中任选2种球给甲班学生使用，剩余的2种球给乙班学生使用，则篮球和足球不在同一班的概率是( ) A ．31 B ．21 C. 32 D ．656. 已知抛物线x y 82=的准线与双曲线116222=-y a x 相交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，ABF ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．12+ C.2 D ．37. 若数列}{n a ，}{n b 的通项公式分别为a a n n ∙-=+2016)1(，nb n n 2017)1(2+-+=，且n n b a <，对任意*∈N n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．)21,1[-B ．[-1,1） C.[-2,1) D ．)23,2[-8. 已知函数⎩⎨⎧≤++<+=a x x x ax x x f ,25,2)(2，若函数x x f x g 2)()(-=恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[-1,1)B ．[-1,2) C. [-2,2) D ．[0,2]第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间为 ．10.执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 值分别为0和9，则输出的i 值为 ．11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．12.已知0>a ，0>b ，且42=+b a ，则ab1的最小值是 ． 13.已知0>ω，在函数x y ωsin =与x y ωcos =的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为3，则ω值为 ．14.如图，已知ABC ∆中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上，且满足2==PBMPMC AM ，2=3=，︒=∠120BAC ，则∙的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知函数+-=)32cos()(πx x f )4sin()4sin(2ππ+-x x . （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）讨论函数)(x f 在区间]2,12[ππ-上单调性求出的值域. 16. 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与P ，且乙投球2次均未命中的概率为161. （Ⅰ）求乙投球的命中率P ；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 17. 如图，直三棱柱111C B A ABC -中，4=AC ，3=BC ，41=AA ，BC AC ⊥，点D 在线段AB 上.（Ⅰ）证明C B AC 1⊥；（Ⅱ）若D 是AB 中点，证明//1AC 平面CD B 1；（Ⅲ）当31=AB BD 时，求二面角1B CD B --的余弦值. 18. 已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 832+=，}{n b 是等差数列，且1++=n n n b b a . （Ⅰ）求数列}{n b 的通项公式；（Ⅱ）令nn n n n b a c )2()1(1++=+，求数列}{n c 的前n 项和n T . 19. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，直线x y =被椭圆C 截得的线段长为5104. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点），点D 在椭圆C 上，且AB AD ⊥.直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点.设直线BD ，AM 的斜率分别为1k ，2k ，证明存在常数λ使得21k k λ=，并求出λ的值.20.选修4-4：坐标系与参数方程 设函数xmx x f +=ln )(，R m ∈. （Ⅰ）当e m =时，求函数)(x f 的极小值； （Ⅱ）讨论函数3)()(xx f x g -'=零点的个数； （Ⅲ）若对任意的0>>a b ，1)()(<--ab b f a f 恒成立，求m 的取值范围.数学试卷（理工类）参考答案一、选择题1-5:ADABC 6-8:ADB二、填空题9. ),2(+∞ 10.3 11. 335 12. 21 13. π14.-2三、解答题15.解：（Ⅰ）+-=)32cos()(πx x f )4sin()4sin(2ππ+-x x++=x x 2sin 232cos 21 )cos )(sin cos (sin x x x x +- x x x x 22cos sin 2sin 232cos 21-++= x x x 2cos 2sin 232cos 21-+= )62sin(π-=x .∴周期ππ==22T . 由)(262Z k k x ∈+=-πππ，得)(32Z k k x ∈+=ππ. ∴函数图象的对称轴方程为)(32Z k k x ∈+=ππ. （Ⅱ）∵]2,12[ππ-∈x ，∴]65,3[62πππ-∈-x . )62sin()(π-=x x f 在区间]3,12[ππ-上单调递增，在区间]2,3[ππ上单调递减，当3π=x 时，)(x f 取最大值1.∵21)2(23)12(=<-=-ππf f . ∴12π-=x ，23)(max -=x f . 所以值域为]1,23[-. 16.解：（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B . 由题意得161)1())(1(22=-=-p B P ， 解得43=p 或45=p （舍去），所以乙投球的命中率为43.（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知21)(=A P ，21)(=A P ，43)(=B P ，41)(=B P . ξ可能的取值为0,1,2,3，故P A P P )()0(==ξ321)41(21)(2=⨯=∙B B ， )()()1(B B P A P P ∙==ξ)()()(12A P B P B P C +3272141432)41(212=⨯⨯⨯+⨯=， )()()3(B B P A P P ∙==ξ329)43(212=⨯=， 3215)3()0(1)2(==-=-==ξξξP P P . ξ分布列为：所以321320++⨯=ξE 2323322=⨯+⨯+. 17. 解：（Ⅰ）证明：如图，以C 为原点建立空间直角坐标系xyz C -.则)0,0,3(B ，)0,4,0(A ，)4,4,0(1A ，)4,0,3(1B ，)4,0,0(1C .)0,4,0(-=，)4,0,3(1--=B ，01=∙B ，所以C B AC 1⊥.（Ⅱ）解法一：)4,4,0(1-=设平面CD B 1的法向量),,(z y x =，由)4,0,3(1--=∙B 043),,(=--=∙y x z y x ， 且∙=∙)0,2,23(m CD 0223),,(=+=y x z y x ， 令4=x 得)3,3,4(--=m ，所以0)3,3,4()4,4,0(1=--∙-=∙m AC ， 又⊄1AC 平面CD B 1，所以//1AC 平面CD B 1； 解法二：证明：连接1BC ，交1BC 于E ，DE . 因为直三棱柱111C B A ABC -，D 是AB 中点， 所以侧面C C BB 11为矩形，DE 为1ABC ∆的中位线. 所以1//AC DE ，因为⊂DE 平面CD B 1，⊄1AC 平面CD B 1， 所以//1AC 平面CD B 1. （Ⅲ）由（Ⅰ）知BC AC ⊥， 设)0,0)(0,,(>>b a b a D ， 因为点D 在线段AB 上，且31=AB BD ，即=31. 所以2=a ，34=b ，=BD )0,34,1(-. 所以)4,0,3(1--=C B ，)0,34,2(=. 平面BCD 的法向量为)1,0,0(1=n . 设平面CD B 1的法向量为)1,,(2y x n =，由021=∙n C B ，02=∙n CD ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0342043y x x ，所以34-=x ，2=y ，=2n )1,2,34(-. 设二面角1B CD B --的大小为θ， 所以613cos ==θ. 所以二面角1B CD B --的余弦值为61613. 18. 解：（Ⅰ）由题知，当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ；当1=n 时，1111==S a ，符合上式.所以56+=n a n .设数列}{n b 的公差d ，由⎩⎨⎧+=+=,,322211b b a b b a 即为⎩⎨⎧+=+=,3217,21111d b d b ，解得41=b ，3=d ，所以13+=n b n .（Ⅱ）112)1(3)33()66(+++=++=n nn n n n n c ，n n c c c T +++=...21，则 +⨯+⨯⨯=322322[3n T ]2)1(...1+⨯++n n ，+⨯+⨯⨯=432322[32n T ]2)1(...2+⨯++n n ，两式作差，得+++⨯⨯=-4322222[3n T ]2)1(2...21++⨯+-+n n n]2)1(21)21(44[32+⨯+---+⨯=n n n223+∙-=n n .所以223+∙=n n n T .19. 解：（Ⅰ）∵23=e ，∴23=a c ，4322222=-=a b a a c ，∴224b a =.①设直线x y =与椭圆C 交于P ，Q 两点，不妨设点P 为第一象限内的交点.∴5104=PQ ，∴)552,552(P 代入椭圆方程可得222245b a b a =+.② 由①②知42=a ，12=b ，所以椭圆的方程为：1422=+y x . （Ⅱ）设)0)(,(1111≠y x y x A ),(22y x D ，则),(11y x B --，直线AB 的斜率为11x y k AB =，又AD AB ⊥，故直线AD 的斜率为11x y k -=.设直线AD 的方程为m kx y +=，由题知 0≠k ，0≠m 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y ，得mkx x k 8)41(22++0442=-+m . ∴221418k mk x x +=+，)(2121x x k y y +=+24122k m m +=+，由题意知021≠+x x ， ∴1121211441x y k x x y y k =-=++=，直线BD 的方程为)(41111x x x y y y +=+. 令0=y ，得13x x =，即)0,3(1x M ，可得=2k 112x y -，∴2121k k -=，即21-=λ. 因此存在常数21-=λ使得结论成立. 20. 解：（1）由题设，当e m =时，x e x x f +=ln )(，易得函数)(x f 的定义域为),0(+∞， 221)(xe x x e x xf -=-='.∴当),0(e x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 在),0(e 上单调递减； ∴当),(+∞∈e x 时，0)(>'x f ，)(x f 在),(+∞e 上单调递增；所以当e x =时，)(x f 取得极小值2ln )(=+=ee e ef ，所以)(x f 的极小值为2.（2）函数=-'=3)()(x x f x g 312x x m x --)0(>x ，令0)(=x g ，得x x m +-=231)0(>x . 设)0(31)(2≥+-=x x x x ϕ，则=+-='1)(2x x ϕ)1)(1(+--x x . ∴当)1,0(∈x 时，0)(>'x ϕ，)(x ϕ在（0,1）上单调递增；∴当),1(+∞∈x 时，0)(<'x ϕ，)(x ϕ在),1(+∞上单调递减；所以)(x ϕ的最大值为32131)1(=+-=ϕ，又0)0(=ϕ，可知： ①当32>m 时，函数)(x g 没有零点； ②当32=m 时，函数)(x g 有且仅有1个零点； ③当320<<m 时，函数)(x g 有2个零点； ④当0≤m 时，函数)(x g 有且只有1个零点.综上所述： 当32>m 时，函数)(x g 没有零点；当32=m 或0≤m 时，函数)(x g 有且仅有1个零点；当320<<m 时，函数)(x g 有2个零点. （3）对任意0>>a b ，1)()(<--ab a f b f 恒成立，等价于a a f b b f -<-)()(恒成立. )(*. 设=-=x x f x h )()()0(ln >-+x x x m x ，∴)(*等价于)(x h 在),0(+∞上单调递减. ∴011)(2≤--='xm x x h 在),0(+∞上恒成立， ∴=+-≥x x m 241)21(2+--x )0(>x 恒成立，∴41≥m （对41=m ，0)(='x h 仅在21=x 时成立）. ∴m 的取值范围是),41[+∞.。
天津市数学高考二模试卷(理科)
天津市数学高考二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018高二下·河池月考) 设为虚数单位，则复数（）A . 0B . 2C .D .2. （2分）已知全集U={1,2,3,4,5}，A={1,2,3},B={3,4,5}，则=（）A . {1,2,3}B . {1,4,5}C . {1.2}D . {3,5}3. （2分）对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是（）A . 所给命题为假B . 它的逆否命题为真C . 它的逆命题为真D . 它的否命题为真4. （2分） (2016高三上·厦门期中) 已知函数f（x）= sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与直线y=﹣2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则f（x）的单调递减区间是（）A . [kπ+ ，kπ+ ]，k∈zB . [kπ﹣，kπ+ ]，k∈zC . [2kπ+ ，2kπ+ ]，k∈zD . [2kπ﹣，2kπ+ ]，k∈z5. （2分）(2020·重庆模拟) 已知AB是圆的任意一条直径，点P在直线上运动，若的最小值为4，则实数a的值为（）A . 2B . 4C . 5D . 66. （2分） (2017高一下·淮北期末) 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲， m乙，则（）A . ，m甲＞m乙B . ，m甲＜m乙C . ，m甲＞m乙D . ，m甲＜m乙7. （2分）已知直线是圆C：的切线，且直线与直线平行，则直线的方程为（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高二下·凯里期末) 某几何体的三视图及尺寸大小如图所示，则该几何体的体积为（）A . 6B . 3C . 2D . 49. （2分） (2018高一上·台州月考) 若是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高一上·阜阳月考) 已知函数，方程，，则方程的根的个数是（）A . 2B . 3C . 4D . 5二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2016高二下·宜春期中) 如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则P（B|A）=________．12. （1分）(2017·沈阳模拟) 已知点，点A，B是圆x2+y2=2上的两个点，则∠APB 的最大值为________．13. （1分） 2015年12月26日，南昌地铁一号线开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁游览八一广场、滕王阁、秋水广场．每人只能去一个地方，八一广场一定要有人去．则不同的游览方案有________种．14. （1分） (2018高二上·江苏月考) 已知椭圆的左右焦点为，离心率为，过的直线交于两点．若的周长为，则的方程为________．15. （1分）(2017·东台模拟) 若函数f（x）= ，在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为________．三、解答题 (共6题；共55分)16. （10分）(2020·江西模拟) 的内角的对边分别为，已知 .（1）求；（2）若，求的面积.17. （5分）(2017·蔡甸模拟) 已知数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足，若n∈N*时，anbn+1﹣bn+1=nbn ．（Ⅰ）求{bn}的通项公式；（Ⅱ）设，求{Cn}的前n项和Sn ．18. （15分） (2019高二上·德惠期中) 如图，四棱锥中，平面，底面是正方形 ,为中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的余弦值.19. （10分）某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题．规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰．已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，，，且各阶段通过与否相互独立．（1）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；（2）设该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ，求ξ的分布列与均值．20. （5分）(2017·淄博模拟) 已知抛物线C：y2=4x，点M与抛物线C的焦点F关于原点对称，过点M且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同两点A，B，线段AB的中点为P，直线PF与抛物线C交于两点E，D．（Ⅰ）判断是否存在实数k使得四边形AEBD为平行四边形．若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（Ⅱ）求的取值范围．21. （10分） (2017高二下·平顶山期末) 已知函数f（x）=ax﹣（a+1）ln（x+1），其中a＞0．（1）求f（x）的单调区间；（2）设f（x）的最小值为g（a），求证：．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共55分) 16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、。
天津耀华中学2018-2019高三第二次模拟考试理科数学试卷及评分标准
天津耀华中学2018届高三年级第二次模拟考试数学试卷(理)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷 选择题(共40分)一、选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．在复平面内，复数－2＋3i3－4i (i 是虚数单位)所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－5，x ＋y ≥0x ≤3，，则z ＝2x ＋4y 的最小值是( )A ．38B ．5C ．－6D ．－103．“⎩⎨⎧x >1，y >2”是“x ＋y >3”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某程序框图如图所示，运行该程序输出的k 值是( )A ．8B ．7C ．6D ．55．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A. 3 B ．2 3 C. 5D ．2 56．对于任意x ∈R ，函数f (x )满足f (2－x )＝－f (x )，且当x ≥1时，函数f (x )＝ln x ，若a ＝f (2－0.3)，b ＝f (log 3π)，c ＝f (－e)，则a ，b ，c 大小关系是( )A ．b >a >cB ．b >c >aC ．c >a >bD ．c >b >a7．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，若在区间(0，π)上有三个不同的x 使得f (x )＝1，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，236B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，236 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，196 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1968．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＋x ，x ≥0，x 2＋2x ＋1，x <0，函数g (x )＝f (1－x )－kx ＋k －12恰有三个不同的零点，则k 的取值范围是( )A ．(－2－2，0]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫92B ．(－2＋2，0]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫92C ．(－2－2，0]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫12D ．(－2＋2，0]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫12第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在相应的横线上．)9．某校共有高一、高二、高三学生1 290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为________．10．已知集合A ＝{x |x 2＋2x －3≤0}，集合B ＝{x ||x －1|<1}，则A ∩B ＝________.11．已知极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的原点重合，极轴与x 的正半轴重合，点A 在圆ρ＝2cos θ＋2sin θ上，点B 在直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ，y ＝－1＋t(t 为参数)上，则|AB |的最小值为________．12．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为________．13．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，△ACD 是等边三角形，则AC →·BD→的值为________．14．6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有________种分配方案(用数字作答)．三、解答题(本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分13分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(2c －a )cos B ＝b cos A .(1)求∠B 的度数；(2)若△ABC 的面积为33，b ＝13，求a ＋c 的值．16．(本小题满分13分)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和期望．17．(本小题满分13分)如图，梯形ABCD 所在的平面与等腰梯形ABEF 所在的平面互相垂直，AB ∥CD ∥EF ，AB ⊥AD ，CD ＝DA ＝AF ＝FE ＝2，AB ＝4.(1)求证：DF ∥平面BCE ； (2)求二面角C —BF —A 的正弦值；(3)线段CE 上是否存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ？请说明理由．18．(本小题满分13分)已知非单调数列{a n }是公比为q 的等比数列，a 1＝32，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且满足S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式和前n 项和S n ；(2)b n ＝(－1)n n 2S n ＋n 2＋n 2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .19．(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长是2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的下顶点为D ，过点D 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，这两条直线与椭圆C 的另一个交点分别为M ，N .设l 1的斜率为k (k ≠0)，△DMN 的面积为S ，当S |k |>169，求k 的取值范围．20．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x －ln(x ＋a )在x ＝1处取得极值． (1)求实数a 的值；(2)若关于x 的方程f (x )＋2x ＝x 2＋b 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；(3)证明：∑k ＝2n1k －f (k )>3n 2－n －2n (n ＋1)(n ∈N ，n ≥2)．参考数据：ln2≈0.693 1.耀华中学2018届高三年级第二次模拟考试 数学(理)答案1．B [命题立意]本题主要考查复数的运算和几何意义，意在考查学生基本的计算能力．[解析]－2＋3i 3－4i＝(－2＋3i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝－1825＋125i ，在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1825，125，在第二象限，故选B. 2．C [命题立意]本题主要考查线性规划及应用，意在考查学生数形结合的能力．[解析]作出可行域，如图阴影部分所示，平移目标函数经过点A (3，－3)时，z ＝2x ＋4y 取得最小值－6，故选C.3．B [命题立意]本题主要考查不等式的性质和充要条件，意在考查学生的逻辑思维能力．[解析]若x >1，y >2，则x ＋y >3，故充分性成立，反之，若x ＝0，y ＝5满足x ＋y >3，显然不满足x >1且y >2，故必要性不成立，∴⎩⎨⎧x >1，y >2，是x ＋y >3的充分不必要条件，故选B.4．D [命题立意]本题主要考查程序框图中的循环结构，意在考查学生读图，识图能力．[解析]第1次循环：S ＝99，k ＝1；第2次循环：S ＝96，k ＝2；第3次循环：S ＝87，k ＝3，第4次循环：S ＝60，k ＝4；第5次循环：S ＝－21，k ＝5不满足条件，退出循环，输出k ＝5，故选D.5．D [命题立意]本题主要考查双曲线，抛物线的标准方程和几何性质，意在考查学生的运算求解能力．[解析]∵双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点(－2，－1)，∴－p 2＝－2，即p ＝4，∴抛物线焦点F (2,0)，又双曲线左顶点(－a,0)到抛物线焦点距离为4，∴a ＝2，又点(－2，－1)在双曲线的渐近线上，∴渐近线方程为y ＝12x ，∵a ＝2，b ＝1，∴c ＝a 2＋b 2＝5，∴双曲线的焦距为2c ＝25，故选D.6．A [命题立意]本题主要考查函数的对称性，单调性，意在考查学生的转化，化归能力．[解析]∵对∀x ∈R ，函数f (x )满足f (2－x )＝－f (x )，即f (x )＝－f (2－x )，∴a ＝f (2－0.3)＝－f (2－2－0.3)，c ＝f (－e)＝－f (2＋e)．∵当x ≥1时，f (x )＝ln x 为增函数，且1<2－20.3<2＋ e∴f (2＋e)>f (2－2－0.3)>0∴－f (2＋e)<－f (2－2－0.3)<0，即c <a <0，而b ＝f (log 3π)>f (1)＝0.∴b >a >c ，故选A.7．A [命题立意]本题主要考查三角函数的图象性质，意在考查学生的数形结合能力和运算能力．[解析]f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，∵x ∈(0，π)，∴ωx ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，ωπ＋π3，要使在(0，π)上有三个不同的x 使得f (x )＝1，即使得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＝12成立，需满足3π－π6<π3＋ωπ≤4π＋π6，解得52<ω≤236，故选A.8．D [命题立意]本题主要考查分段函数的图象，性质和函数零点，意在考查学生的数形结合能力和转化、化归能力．[解析]∵g (x )＝f (1－x )－kx ＋k －12恰有3个不同零点，∴方程f (1－x )＝k (x －1)＋12恰有3个不同实根，令1－x ＝t ，则方程f (t )＝－kt ＋12恰有三个不同实根，即函数y ＝f (x )与y ＝－kx ＋12的图象恰有3个不同交点，画出函数图象如下图：当－k ＝0即k ＝0时有三个交点，当y ＝－kx ＋12与f (x )＝x 2＋2x ＋1(x <0)相切时可求得k ＝－2＋2，当y ＝－kx ＋12与f (x )＝1－x 1＋x ，x ≥0相切时可求得k ＝12，故由图可得－2＋2<k ≤0或k ＝12时函数y ＝f (x )与y ＝－kx ＋12的图象恰有3个不同交点，即函数g (x )＝f (1－x )－kx ＋k －12恰有3个不同零点，故选D.9．78 [命题立意]本题主要考查分层抽样的应用，意在考查学生的基本运算能力．[解析]设学校有高三学生x 人，则高二学生x ＋30人，∴x ＋(x ＋30)＋480＝1 290，解得x ＝390人，该样本中的高三人数为96480×390＝78人．10．(0,1] [命题立意]本题主要考查集合的运算，意在考查学生基本的计算能力．[解析]A ＝{x |x 2＋2x －3≤0}＝{x |－3≤x ≤1} B ＝{x ||x －1|<1}＝{x |0<x <2}， ∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}．11.2 [命题立意]本题主要考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，意在考查学生数形结合的能力．[解析]由ρ＝2cos θ＋2sin θ得x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2，故圆心M (1,1)，半径r ＝2，由⎩⎨⎧x ＝3＋t ，y ＝－1＋t ，(t 为参数)得x －y －4＝0，∵A 在圆M上，B 在直线x －y －4＝0上，∴|AB |min ＝d M －r ＝|1－1－4|12＋(－1)2－2＝ 2.12.6423π [命题立意]本题主要考查三视图和空间几何体的体积，意在考查学生的空间想象能力．[解析]由三视图知该几何体是一个底面腰长为22的等腰直角三角形，高为4的直三棱柱截去一个以上底面为底面，下底面直角顶点为顶点的三棱锥得到的几何体，其外接球的半径r ＝22＋22＝22，∴该几何体外接球的体积为43π(22)3＝6423π.13．14 [命题立意]本题主要考查平面向量的坐标运算和数量积运算，意在考查学生数形结合的能力和计算能力．[解析]以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴建如图所示坐标系，则A (0,6)，B (0,0)，C (8,0)，|AC→|＝10＝|AD →|＝|CD →|，易得D (4＋33，43＋3)，AC →＝(8，－6)，∴AC →·BD→＝8(4＋33)－6(43＋3)＝14.14．114 [命题立意]本题主要考查有限制条件的排列、组合的综合应用，意在考查学生的逻辑思维能力．[解析]按题目要求可按4、1、1或3、2、1或2、2、2分配，若按4、1、1分配有(C 24－1)A 33＝30种；若按3、2、1分配有C 12A 33＋(C 14C 23－2)A 33＝72种；若按2、2、2分配有2·A 33＝12种，∴共有30＋72＋12＝114种分配方案．15．[解题思路](1)由正弦定理和三角形内角和定理可求得cos B ，结合角B 的范围求出B ；(2)由三角形面积公式，求出ac ，再由余弦定理，配方求出a ＋c 的值；[解]∵(2c －a )cos B ＝b cos A ，由正弦定理得(2sin C －sin A )cos B ＝sin B cos A (2分) ∴2sin C cos B －sin A cos B ＝sin B cos A ，又∵A ＋B ＋C ＝π ∴2sin C cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C (4分) 又∵0<C <π ∴cos B ＝12，(6分) 又∵0<B <π，∴B ＝π3(7分)(2)由(1)得B ＝π3，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac .(9分) 又S ＝12ac sin B ＝33，∴ac ＝12，(11分) 又∵b ＝13，∴a ＋c ＝7.(13分)16．[解题思路](1)根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论，(2)写出X 的所有可能取值，并求出相应的概率，即可得到X 的分布列和数学期望．[解](1)用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1,2,3,4,5，(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＝23×23＋13×23×23＋23×13×23×23＝5681.(5分)(2)X 的可能取值为2,3,4,5. P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59， P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 1B 2)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29， P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.(9分) 故X 的分布列为E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.(13分)17．[解题思路](1)由CD 綊EF 得到四边形CDFE 为平行四边形，从而DF ∥CE ，由线面平行的判定定理得证DF ∥平面BCE ；(2)在平面ABEF 内，过A 作Az ⊥AB ，以A 为原点，AD 、AB 、Az 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，写出相应的坐标，求出平面BCF 的一个法向量n 和平面ABF 的一个法向量v 的坐标，利用夹角公式求出二面角C —BF —A 的余弦值，进而用同角三角函数关系求出正弦值；(3)假设存在满足条件的点G ，设CG→＝λCE →，求出G 点坐标，从而得AG →的坐标，由AG →∥n 构造方程组，方程组无解，从而判断满足条件的点G 不存在．[解](1)证明：因为CD ∥EF ，且CD ＝EF ，所以四边形CDFE 为平行四边形，所以DF ∥CE ，因为DF ⊄平面BCE ，所以DF ∥平面BCE .(3分)(2)在平面ABEF 内，过A 作Az ⊥AB ，因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，又Az ⊂平面ABEF ，Az ⊥AB ，所以Az ⊥平面ABCD ，所以AD ⊥AB ，AD ⊥Az ，Az ⊥AB ，(4分) 如图建立空间直角坐标系A —xyz .由题意得，A (0,0,0)，B (0,4,0)，C (2,2,0)，E (0,3，3)，F (0,1，3)． 所以BC→＝(2，－2,0)，BF →＝(0，－3，3)． 设平面BCF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·BC→＝0，n ·BF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0，－3y ＋3z ＝0. 令y ＝1，则x ＝1，z ＝3，所以n ＝(1,1，3)． 平面ABF 的一个法向量为v ＝(1,0,0)，(6分) 则cos 〈n ，v 〉＝n ·v |n ||v |＝55，sin 〈n ，v 〉＝255.所以二面角C —BF —A 的正弦值为255.(8分)(3)线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下：假设线段CE 上存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，设CG →＝λCE →，其中λ∈[0,1]． 设G (x 2，y 2，z 2)，则有(x 2－2，y 2－2，z 2)＝(－2λ，λ，3λ)， 所以x 2＝2－2λ，y 2＝2＋λ，z 2＝3λ，从而G (2－2λ，2＋λ，3λ)， 所以AG→＝(2－2λ，2＋λ，3λ)．(11分) 因为AG ⊥平面BCF ，所以AG →∥n . 所以有2－2λ1＝2＋λ1＝3λ3，(12分)因为上述方程无解，所以假设不成立．所以线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF .(13分)18．[解题思路](1)由已知S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列构造方程解出公比q ，代入等比数列的通项公式和前n 项和公式可求出a n 与S n ；(2)由(1)求出b n ＝(－1)n n 2＋n2n ，前半部分利用分类法和等差数列求和公式求和，后半部分利用错位相减法和等比数列前n 项和公式求和．[解](1)∵S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， ∴2(S 5＋a 5)＝(S 3＋a 3)＋(S 4＋a 4) ∴a 3＝4a 5，q 2＝14，q ＝－12，a n ＝32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，(3分) ∴S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n.(4分)(2)b n ＝(－1)n n 2S n ＋n 2＋n 2n ＝(－1)n n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋n 2＋n 2n ＝(－1)n n 2＋n2n .(6分)设(－1)n n 2的前n 项和为H n ，n2n 的前n 项和为Q n ①当n 为偶数时，H n ＝－12＋22－32＋42＋…－(n －1)2＋n 2＝1＋2＋3＋4＋…＋n －1＋n ＝n 2＋n 2，Q n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ① 12Q n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1 ②①－②得，12Q n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，∴Q n ＝2－n ＋22n (8分)∴T n ＝H n ＋Q n ＝n 2＋n 2＋2－n ＋22n ＝n 2＋n ＋42－n ＋22n (9分) ②当n 为奇数时，H n ＝(n －1)2＋(n －1)2－n 2＝－n 2＋n 2， ∴Q n ＝2－n ＋22n (11分)∴T n ＝H n ＋Q n ＝－n 2＋n 2＋2－n ＋22n ＝－n 2＋n －42－n ＋22n (12分) 综合①②，∴T n＝⎩⎨⎧n 2＋n ＋42－n ＋22n ，n 为偶数，－n 2＋n －42－n ＋22n，n 为奇数.(13分)19．[解题思路](1)由e ＝32，2b ＝2，a 2＝b 2＋c 2构造方程组，解出a ，b 即可得椭圆方程；(2)设l 1的方程为y ＝kx －1代入椭圆方程，求出M 的坐标，可得|DM |，用1k 代替k ，可得|DN |，求出△DMN 的面积S ，可得S |k |，解不等式S |k |>169可得k 的取值范围．[解](1)设椭圆C 的半焦距为c ，则由题意得⎩⎨⎧c a ＝32，b ＝1，又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(4分)(2)由(1)知，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1， 所以椭圆C 与y 轴负半轴交点为D (0，－1)． 因为l 1的斜率存在，所以设l 1的方程为y ＝kx －1.代入x 24＋y 2＝1，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 1＋4k2，4k 2－11＋4k 2，(6分) 从而|DM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 1＋4k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－11＋4k 2＋12＝8|k |k 2＋11＋4k 2.(7分) 用－1k 代替k 得|DN |＝8k 2＋14＋k 2.所以△DMN 的面积S ＝12·8|k |k 2＋11＋4k ×8k 2＋14＋k ＝32(k 2＋1)|k |(1＋4k )(4＋k ).(9分)则S|k |＝32(k 2＋1)(1＋4k 2)(4＋k 2)，(10分) 因为S |k |>169，即32(k 2＋1)(1＋4k 2)(4＋k 2)>169，整理得4k 4－k 2－14<0，解得－74<k 2<2，(12分) 所以0<k 2<2，即－2<k <0或0<k < 2.从而k 的取值范围为(－2，0)∪(0，2)．(14分)20．[解题思路](1)求导，由f ′(1)＝0构造方程求出a ；(2)由(1)将方程f (x )＋2x ＝x 2＋b 化简，令g (x )＝x 2－3x ＋ln x ＋b (x >0)，求导，研究当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况，确定函数的最值，从而建立不等式组，即可求得结论；(3)设φ(x )＝ln x －14(x 2－1)，求导，根据函数的单调性得当x ≥2时，1ln x >2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －1－1x ＋1，从而累加可得结论．[解](1)f ′(x )＝1－1x ＋a ，∵x ＝1是f (x )的一个极值点，∴f ′(1)＝0，即1－11＋a ＝0，∴a ＝0.(3分)(2)由(1)得f (x )＝x －ln x ，∴f (x )＋2x ＝x 2＋b 即x －ln x ＋2x ＝x 2＋b ，∴x 2－3x ＋ln x ＋b ＝0，(5分)设g (x )＝x 2－3x ＋ln x ＋b (x >0)，则g ′(x )＝2x －3＋1x ＝2x 2－3x ＋1x＝(2x －1)(x －1)x.(6分) 由g ′(x )>0得0<x <12或x >1，由g ′(x )<0得12<x <1，∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(1，＋∞)时，函数g (x )单调递增，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，函数g (x )单调递减，(7分)当x ＝1时，g (x )极小值＝g (1)＝b －2，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝b －54－ln2，g (2)＝b －2＋ln2， ∵方程f (x )＋2x ＝x 2＋b 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恰有两个不相等的实数根， ∴⎩⎨⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0，g (1)<0，g (2)≥0.即⎩⎨⎧b －54－ln2≥0，b －2<0，b －2＋ln2≥0，解得54＋ln2≤b <2.(10分)(3)证明：∵k －f (k )＝ln k ，∴∑k ＝2n1k －f (k )>3n 2－n －2n (n ＋1).⇔1ln2＋1ln3＋1ln4＋…＋1ln n >3n 2－n －2n (n ＋1)(n ∈N ，n ≥2)设φ(x )＝ln x －14(x 2－1)，则φ′(x )＝1x －x 2＝2－x22x ＝－(x ＋2)(x －2)2x(11分) 当x ≥2时，φ′(x )<0，∴函数y ＝φ(x )在[2，＋∞)上是减函数， ∴φ(x )≤φ(2)＝ln2－34<0，∴ln x <14(x 2－1)．(12分) ∴当x ≥2时，1ln x >4x 2－1＝4(x ＋1)(x －1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1－1x ＋1， ∴1ln2＋1ln3＋1ln4＋…＋1ln n>2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－16＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n －1n ＋1＝3n 2－n －2n (n ＋1).∴原不等式成立．(14分)。
【精品高考数学试卷】2019年天津市高考数学二模试卷(理科)+答案
2019年天津市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．（5分）已知集合A ＝{﹣1，1}，B ={x||x +12|＜32，x ∈Z}，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1}B ．{﹣1，1}C ．{﹣1，0，1}D ．{﹣1，0，1，2}2．（5分）设变量x ，y 满足约束条件{x +2≥0x −y +3≥02x +y −3≤0，则目标函数z ＝3x +2y 的最大值为（ ）A ．﹣4B ．92C ．6D ．83．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入k 的值为9，则输出的结果S 为（ ）A ．109B ．48C ．19D ．64．（5分）设x ∈R ，则“x 3＜27”是“log 13x ＞−1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）已知△ABC 为直角三角形，AC ＝BC ＝2，点D 为斜边AB 的中点，点P 是线段CD 上的动点，则PA →⋅PB →的最小值为（ ） A ．﹣2B ．−14C ．−12D ．06．（5分）已知函数f （x ）＝e |x |，令a =f(sin 3π4)，b =f(2−3)，c =f(log 123)，则a ，b ，c的大小关系为（ ）A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c7．（5分）已知抛物线C 1：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 为双曲线C 2：x 2−y 23=1的顶点，过点F 的直线与抛物线C 1相交于M 、N 两点，点A 在x 轴上，且满足|MN |＝8，若|AM |＝|AN |，则△AMN 的面积为（ ） A ．3√6B ．6√3C ．6√2D ．8√28．（5分）已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象过点B(0，√3)，且在(π12，5π12)上单调，把f （x ）的图象向右平移π个单位之后与原来的图象重合，当x 1，x 2∈(2π3，4π3)且x 1≠x 2时，f （x 1）＝f （x 2），则f （x 1+x 2）＝（ ） A ．−√3 B ．√3 C ．﹣1 D ．1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．（5分）i 是虚数单位，复数−3+2i 1+i= ．10．（5分）在(√x 3−1x)n 的二项式展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式中常数项等于 ．11．（5分）已知圆锥的高为3，底面半径长为4，若某球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的体积为 ．12．（5分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =−1+√2cosαy =√2sinα（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin （θ+π4）＝2√2．设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，则|PQ |的最小值为 ．13．（5分）若log 4(a +4b)=log 22√ab ，则a +b 的最小值是 ．14．（5分）已知函数f(x)={xlnx −2x ，x ＞0x 2+32x ，x ≤0，函数g （x ）＝f （x ）﹣kx +1有四个零点，则实数k 的取值范围是 ．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且atanA=b 2sinB．（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a ＝6，b ＝2c ，求△ABC 的面积．16．（13分）为响应党中央号召，学校以“我们都是追梦人”为主题举行知识竞赛．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，王同学从中任取3道题解答． （Ⅰ）求王同学至少取到2道乙类题的概率；（Ⅱ）如果王同学答对每道甲类题的概率都是23，答对每道乙类题的概率都是35，且各题答对与否相互独立，已知王同学恰好选中2道甲类题，1道乙类题，用X 表示王同学答对题的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，平面ADE ⊥平面CDEF ，∠ADE ＝60°，DE ∥CF ，CD ⊥DE ，AD ＝2，DE ＝DC ＝3，CF ＝4，点G 是棱CF 上的动点．（Ⅰ）当CG ＝3时，求证EG ∥平面ABF ； （Ⅱ）求直线BE 与平面ABCD 所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角G ﹣AE ﹣D 所成角的余弦值为√2211，求线段CG 的长．18．（13分）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，满足a 2＝5，S 5＝35，T n 是数列{b n }的前n 项和，满足T n ＝2b n ﹣1（n ∈N *）． （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）令c n ={2S n ，n =2k −1a nb n ，n =2k(k ∈N ∗)，设数列{c n }的前n 项和P n ，求P 2n 的表达式．19．（14分）已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，离心率为√22，它的一个顶点恰好是抛物线x 2=−4√3y 的焦点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过动点M （0，m ）（0＜m ＜b ）的直线交x 轴的负半轴于点N ，交C 于点A ，B （A 在第一象限），且M 是线段AN 的中点，过点A 作x 轴的垂线交C 于另一点D ，延长线DM 交C 于点G ．（i ）设直线AM ，DM 的斜率分别为k ，k ′，证明：3k +k ′＝0；（ii）求直线BG的斜率的最小值．20．（14分）已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．2019年天津市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1．【解答】解：集合A ＝{﹣1，1}，B ={x||x +12|＜32，x ∈Z}={x |﹣2＜x ＜1，x ∈Z }＝{﹣1，0}， ∴A ∪B ＝{﹣1，0，1}． 故选：C ．2．【解答】解：由变量x ，y 满足约束条件{x +2≥0x −y +3≥02x +y −3≤0，作可行域如图．由z ＝3x +2y ，结合图形可知，当直线分别经过可行域内的点A ，B 时，目标函数取得最值， 由：{x −y +3=02x +y −3=0，可得A （0，3），分别为z max ＝3×0+2×3＝6， 目标函数的最大值为6． 故选：C ．3．【解答】解：模拟程序的运行，可得 k ＝9，n ＝1，S ＝1不满足判断框内的条件n ＞k ，执行循环体，n ＝4，S ＝6 不满足判断框内的条件n ＞k ，执行循环体，n ＝7，S ＝19 不满足判断框内的条件n ＞k ，执行循环体，n ＝10，S ＝48 此时，满足判断框内的条件n ＞k ，退出循环，输出S 的值为48．故选：B ．4．【解答】解：由x 3＜27得x ＜3， 由log 13x ＞−1得0＜x ＜3，则“x 3＜27”是“log 13x ＞−1”的必要不充分条件，故选：B ．5．【解答】解：根据题意，以C 为坐标原点，CB 为x 轴，CA 为y 轴建立坐标系，如图： 则B （2，0），A （0，2），D 为AB 的中点，则D （1，1）， 点P 是线段CD 上的动点，设P （m ，m ），（0≤m ≤1）； 则PA →=（﹣m ，2﹣m ），PB →=（2﹣m ，﹣m ），则PA →⋅PB →=（﹣m ）（2﹣m ）+（2﹣m ）（﹣m ）＝2m 2﹣4m ＝2（m ﹣1）2﹣2， 又由0≤m ≤1，则当m ＝1时，PA →⋅PB →取得最小值﹣2； 故选：A ．6．【解答】解：根据题意，函数f （x ）＝e |x |，有f （﹣x ）＝e |﹣x |＝e |x |＝f （x ），即函数f （x ）为偶函数，则有c ＝f （log 123）＝f （﹣log 23）＝f （log 23），又由当x ＞0时，f （x ）＝e x ，易得f （x ）为[0，+∞）上为增函数， 又由log 23＞1＞sin 3π4=√22＞12＞2﹣3，则有f （log 23）＞f （sin 3π4）＞f （2﹣3）， 则有b ＜a ＜c ； 故选：A ．7．【解答】解：由题意可知，抛物线C 1：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F （1，0），则p2=1，p ＝2．∴抛物线方程为y 2＝4x ． 如图，设MN 所在直线方程为y ＝k （x ﹣1），联立{y =k(x −1)y 2=4x ，得k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2＝0．设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）． 则x 1+x 2=2k 2+4k2，由|MN |＝x 1+x 2+2＝8，得2k 2+4k 2=6，解得k ＝±1．∴x 1+x 2＝6，则MN 的中点坐标为（3，2），不妨取k ＝1，可得MN 的垂直平分线方程为y ﹣2＝﹣1×（x ﹣3）， 即y ＝﹣x +5．取y ＝0，得A （5，0）．此时A 到直线x ﹣y ﹣1＝0的距离d =2=2√2． ∴△AMN 的面积S =12×8×2√2=8√2． 故选：D ．8．【解答】解：∵函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象过点B(0，√3)，∴2sin φ=√3，∴φ=π3．f （x ）在(π12，5π12)上单调，∴12•2πω≥5π12−π12，∴0＜ω≤3．把f （x ）的图象向右平移π个单位之后与原来的图象重合，∴k •2πω=π，k ∈Z ，∴ω＝2，f （x ）＝2sin （2x +π3）．当x 1，x 2∈(2π3，4π3)且x 1≠x 2时，2x +π3∈（5π3，3π），若 f （x 1）＝f （x 2），则x 1+x 2＝2•5π2=5π，f （x 1+x 2）＝2sin （10π+π3）＝2sin π3=√3，故选：B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．【解答】解：−3+2i 1+i =(−3+2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−1+5i 2=−12+52i ．故答案为：−12+52i ．10．【解答】解：由在(√x 3−1x)n 的二项式展开式中，所有项的二项式系数之和为256， 可得：2n ＝256，解得：n ＝8，又（√x 3−1x ）8的二项式展开式的通项为T r +1=C 8r （√x 3）8﹣r （−1x ）r ＝（﹣1）r C 8r x8−4r 3， 令8−4r 3=0，则r ＝2，即展开式中常数项等于（﹣1）2C 82=28，故答案为：28．11．【解答】解：∵圆锥的底面半径r ＝4，高h ＝3， ∴圆锥的母线l ＝5， ∴圆锥侧面积S ＝πrl ＝20π， 设球的半径为r ，则4πr 2＝20π， ∴r =√5，∴该球的体积为V =43•π•（√5）3=20√5π3． 故答案为：20√5π3．12．【解答】解：由C 1的参数方程消去参数α得曲线C 1的普通方程为：（x +1）2+y 2＝2， 由曲线C 2的极坐标方程以及互化公式可得C 2的普通方程为：x +y ﹣4＝0， 依题意可得|PQ |的最小值等于圆心到直线的距离减去半径， ∴|PQ |min =2−√2=32√2． 故答案为：32√2．13．【解答】解：∵log 4(a +4b)=log 22√ab =log 4（4ab ），∴a +4b ＝4ab ，{a +4b ＞04ab ＞0得{a ＞0b ＞0，得a+4b 4ab =1，即14b+1a=1，则a +b ＝（a +b ）（14b+1a）＝1+14+a 4b +b a ≥54+2√a 4b ⋅b a =54+1=94，当且仅当a4b=ba，即a ＝2b 时取等号，即a +b 的最小值为94， 故答案为：9414．【解答】解：由g （x ）＝f （x ）﹣kx +1＝0得kx ＝f （x ）+1， 当x ＝0时，0＝f （0）+1＝0+1不成立， 即x ≠0， 则k =f(x)+1x， 若g （x ）有四个零点，则等价为k =f(x)+1x有四个不同的根， 设h （x ）=f(x)+1x， 则当x ＞0时，h （x ）=xlnx−2x+1x =lnx +1x−2， h ′（x ）=1x −1x 2=x−1x 2，则当x ＞1时，h ′（x ）＞0，函数为增函数， 当0＜x ＜1时，h ′（x ）＜0，函数为减函数，即此时当x ＝1时，h （x ）取得极小值，极小值为h （1）＝﹣1， 当x →+∞，f （x ）→+∞，当x ≤0时，h （x ）=x 2+32x+1x =x +1x +32，h ′（x ）＝1−1x 2=x 2−1x2，由h ′（x ）＞0得x ＞1（舍）或x ＜﹣1，此时函数为增函数，由h ′（x ）＜0得﹣1＜x ＜0，此时h （x ）为减函数，即当x ＝﹣1时，h （x ）取得极大值，极大值为h （﹣1）＝﹣1﹣1+32=−12， 作出函数h （x ）的图象如图： 要使k =f(x)+1x有四个根，则满足﹣1＜k ＜−12，即实数k 的取值范围是（﹣1，−12）， 故答案为：（﹣1，−12）三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．【解答】（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知得acosA sinA=b 2sinB，…………（2分）∵a sinA=b sinB ，∴cosA =12，…………（4分） ∵A ∈（0，π），∴A =π3．…………（6分） （Ⅱ）∵a ＝6b ＝2c ，∴a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，…………（8分） 整理可得36＝4c 2+c 2﹣2c 2， ∴解得c =2√3，…………（10分）∴S △ABC =12bcsinA =12×4√3×2√3×√32=6√3．…………（13分） 16．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“王同学至少取到2道乙类题”为事件A ……（1分） P(A)=C 61C 42+C 43C 103=13⋯⋯（5分）（列式（2分），结果2分）（Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2，3 ……（6分）P(X =0)=C 20⋅(23)0⋅(13)2⋅(1−35)=245， P(X =1)=C 21⋅(23)⋅(13)⋅(1−35)+C 20⋅(23)0⋅(13)2⋅35=1145， P(X =2)=C 22⋅(23)2⋅(13)0⋅25+C 21⋅23⋅13⋅35=2045=49 P(X =3)=C 22⋅(23)2⋅(13)0⋅35=1245=415⋯⋯（10分）（每个结果一分） X 0123P245114549415E(X)=0×245+1×1145+2×49+3×415=2915⋯⋯（13分）（列式（1分），结果2分） 17．【解答】（Ⅰ）证明：由已知得CG ∥DE 且CG ＝DE ， 故四边形CDEG 为平行四边形，∴CD ∥EG ， ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴CD ∥AB ， ∴AB ∥EG ，又EG ⊄平面ABF ，AB ⊂平面ABF ， ∴EG ∥平面ABF ．（Ⅱ）过点A 作AO ⊥DE 交DE 于点O ，过点O 作OK ∥CD 交CF 于点K 由（1）知平面ADE ⊥平面CDEF ，平面ADE ∩平面CDEF ＝DE ，AO ⊂平面ADE ， ∴AO ⊥平面CDEF ， ∵CD ⊥DE ，∴OK ⊥DE ，以O 为原点建立如图的空间直角坐标系，则D （0，﹣1，0），E （0，2，0），C （3，﹣1，0），F （3，3，0），A(0，0，√3)，D （0，﹣1，0），∴DC →=(3，0，0)，DA →=(0，1，√3)，BE →=(−3，2，−√3)，设平面ABCD 的法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅DC →=0m →⋅DA →=0，即{x =0y +√3z =0， 令z ＝﹣1，则y =√3，m →=(0，√3，−1)， ∴cos ＜m →，BE →＞=m →⋅BE→|m →|⋅|BE →|=3√38，∴直线BE 与平面ABCD 所成角的正弦值为3√38， （Ⅲ）CG →=λCF →=λ(0，4，0)（0≤λ≤1）∴G （3，4λ﹣1，0）． ∴AE →=(0，2，−√3)，EG →=(3，4λ−3，0)，设平面AEG 的法向量为p →=(x ，y ，z)，则{p →⋅AE →=0p →⋅EG →=0，即{2y −√3z =03x +(4λ−3)y =0，令y ＝3，则z =2√3，x ＝3﹣4λ，∴p →=(3−4λ，3，2√3)，平面AED 的法向量为q →=(1，0，0)，|cos ＜p →，q →＞|=|p →⋅q →||p →|⋅|q →|=|4λ−3|√(4λ−3)+21=√2211，解得(4λ−3)2=143，∴4λ=3±√423，∴|CG |＝λ|CF |＝4λ=3±√423， ∵|CG |≤4，∴|CG|=3−√423．18．【解答】解：（Ⅰ）∵{a n }是等差数列S 5＝35 ∴S 5=5(a 1+a 5)2=35，a 3＝7， ∵a 2＝5， ∴d ＝2，∴a n ＝a 2+（n ﹣2）•2＝2n +1． 当n ＝1时 T 1＝2b 1﹣1， ∴b 1＝1．当n ≥2时 T n ﹣1＝2b n ﹣1﹣1 又∵T n ＝2b n ﹣1， ∴b n ＝2b n ﹣2b n ﹣1b n ＝2b n ﹣1∴{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列． ∴b n =2n−1． （Ⅱ）∵S n =n(a 1+a n )2=n(n +2)， ∴2S n=2n(n+2)=1n−1n+2设前2n 项中奇数项的和为A n ，偶数项的和为B n A n =1−13+13−15+15−⋯+12n−1−12n+1=1−12n+1=2n 2n+1．B n =a 2b 2+a 4b 4+⋯+a 2n b 2n =5×21+9×22+⋯+(4n +1)×22n−1①4B n =5×22+9×23+⋯+(4n +1)×22n+1②， ①﹣②得：−3B n =5×21+4×(23+25+⋯+22n−1)−(4n +1)×22n+1．−3B n =5×21+4×23−22n−1⋅41−4−(4n +1)×22n+1， −3B n =5×21+4×(−83+22n+13)−(4n +1)×22n+1−3B n =−23+(13−4n)⋅22n+1B n =(12n−1)⋅22n+19+29．∴P 2n=(12n−1)⋅22n+19+29+2n2n+1． 19．【解答】（Ⅰ）解：∵抛物线x 2=−4√3y 的焦点是(0，−√3)，∴b =√3⋯⋯（1分）． ∵ca =√22，a 2＝b 2+c 2∴a =√6，c =√3⋯⋯（2分）． ∴椭圆C 的方程x 26+y 23=1⋯⋯（3分）（Ⅱ）（i ）设A （x 0，y 0）那么D （x 0，﹣y 0）．∵M 是线段AN 的中点∴A （x 0，2m ）D （x 0，﹣2m ）……（4分）． ∴k =2m−m x 0=m x 0，k ′=−2m−m x 0=−3m x 0⋯⋯（5分）， ∴3k +k ′＝0……（6分）（ii ）根据题意得：直线AM 的斜率一定存在且k ＞0 设直线AM 为y ＝kx +m ，则直线DM 为y ＝k ′x +m ＝﹣3kx +m 由{y =kx +m x 26+y 23=1可得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣6＝0……（7分） 利用韦达定理可知：x 0⋅x B =2m 2−61+2k2，∴x B =2m 2−6(1+2k 2)x 0⋯⋯（8分），∵3k +k ′＝0，∴同理可得x G =2m 2−6(1+2k ′2)x 0=2m 2−6(1+2(−3k)2)x 0=2m 2−6(1+18k 2)x 0⋯⋯（9分），∴k BG =y B −y G x B −x G =kx B +m−(−3kx G +m)x B −x G =kx B +3kx Gx B −x G=k 2m 2−6(1+2k 2)x 0+3k 2m 2−6(1+18k 2)x 02m 2−6(1+2k 2)x 0−2m 2−6(1+18k 2)x 0=k 1+2k 2+3k 1+18k211+2k 2−11+18k2=k+18k 3+3k+6k 31+18k 2−1−2k 2#/DEL/#=4k+24k 316k 2=14k +32k#/DEL/#∵k ＞0，∴k BG =14k +32k ≥2√14k ⋅32k =√62 当且仅当14k=32k 时 即为k =√66时 等号成立 ……（14分）（不求出k 值，不扣分）20．【解答】解：（Ⅰ）当a ＝0时，f （x ）＝x •e ﹣x ， ∴f ′（x ）＝e ﹣x ﹣x •e ﹣x ＝e ﹣x （1﹣x ）……（1分）∴f ′（0）＝1，f （0）＝0，∴函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝x ．……（2分）（Ⅱ）由题意，f '（x ）＝（2ax +1）e ﹣x ﹣（ax 2+x +a ）e ﹣x ＝﹣e ﹣x [ax 2+（1﹣2a ）x +a ﹣1]＝﹣e ﹣x （x ﹣1）（ax +1﹣a ）．……（3分）（ⅰ）当a ＝0时，f '（x ）＝﹣e ﹣x （x ﹣1），令f '（x ）＞0，得x ＜1；f '（x ）＜0，得x ＞1，所以f （x ）在（﹣∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减；……（4分） （ⅱ）当a ＞0时，1−1a ＜1，令f '（x ）＞0，得1−1a ＜x ＜1；f '（x ）＜0，得x ＜1−1a 或x ＞1，……（5分） 所以f （x ）在(1−1a ，1)单调递增，在(−∞，1−1a )，（1，+∞）单调递减，………（6分）（Ⅲ）令g （a ）＝e ﹣x （x 2+1）a +xe ﹣x ，a ∈（﹣∞，0]，当x ∈[0，+∞）时，e ﹣x （x 2+1）≥0，g （a ）单调递增，则g(a)max =g(0)=xe −x ，………………（7分）则g （a ）≤bln （x +1）对∀a ∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln （x +1）≥g （a ）max ＝g （0），即xe ﹣x ≤bln （x +1），对x ∈[0，+∞）恒成立．………（8分）（ⅰ）当b ≤0时，∀x ∈（0，+∞），bln （x +1）＜0，xe ﹣x ＞0，此时xe ﹣x ＞bln （x +1），不合题意，舍去．…………（9分）（ⅱ）当b＞0时，令h（x）＝bln（x+1）﹣xe﹣x，x∈[0，+∞），则ℎ′(x)=bx+1−(e−x−xe−x)=bex+x2−1(x+1)e x，……（10分）其中（x+1）e x＞0，∀x∈[0，+∞），令p（x）＝be x+x2﹣1，x∈[0，+∞），则p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，……（11分）①当b≥1时，p（x）≥p（0）＝b﹣1≥0，所以对∀x∈[0，+∞），h'（x）≥0，则h（x）在[0，+∞）上单调递增，故对任意x∈[0，+∞），h（x）≥h（0）＝0，即不等式bln（x+1）≥xe﹣x在[0，+∞）上恒成立，满足题意．…………（12分）②当0＜b＜1时，由p（0）＝b﹣1＜0，p（1）＝be＞0及p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以存在唯一的x0∈（0，1）使得p（x0）＝0，且x∈（0，x0）时，p（x）＜0．即h'（x）＜0，所以h（x）在区间（0，x0）上单调递减，则x∈（0，x0）时，h（x）＜h （0）＝0，即bln（x+1）＜xe﹣x，不符合题意．……（13分）综上所述，b≥1．…………（14分）。
2018年天津市和平区高考数学二模试卷(理科)
2018年天津市和平区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．(★)已知全集U=R，A={x|x＜1}，B={x|x≥2}，则集合∁U（A∪B）等于（）A．{x|x＞1}B．{x|x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x＜2}2．(★)设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y-1的最大值为（）A．1B．2C．3D．43．(★)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输出的S=55，则判断框内可填入（）A．k≥6？B．k≥7？C．k≥8？D．k≥9？4．(★)设x∈R，则“x＜0”是“x-sinx＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．(★★)已知抛物线x 2=-4by的准线与双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右支分别交于B，C两点，A为双曲线的右顶点，O为坐标原点，若∠BOC=4∠AOC，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=x B．y=C．y=D．y=6．(★★)已知f（x）是定义在R上的函数，它的图象上任意一点P（x 0，y 0）处的切线方程为y=（x 02-x 0-2）x+（y 0-x 03+x 02+2x 0），那么函数f（x）的单调递减区间为（）A．（-1，2）B．（-2，1）C．（-∞，-1）D．（2，+∞）7．(★★★)如图，在平行四边形ABCD中，已知=，=2 ，G为线段EF上的一点，且= ，= ，则的值为（）A．B．C．D．8．(★★★)已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=，则关于x的方程6[f（x）] 2+f（x）=1的实根的个数为（）A．6B．7C．8D．9二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.9．(★★)设i是虚数单位，则复数的虚部为．10．(★★)在△ABC中，AB=3，cosA= ，△ABC的面积S= ，则BC边长为．11．(★★★)在极坐标系中，直线l：ρ（cosθ+sinθ）=6，M为圆ρ2=4ρcosθ-3上的任意一点，设点M到直线l的距离为d，则d的最大值为．12．(★★★)如图，已知正四面体A-BCD的棱长为6，则它的内切球的体积为．13．(★★★)已知ab＞0，a+b=3，则+ 的最小值为．14．(★★★)从0，1，2，3，4，5，6，7这八个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，则可组成的四位数中奇数的个数为（用数学作答）．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．(★★★)已知函数f（x）= sin（x+ ）sinx-sin（）cos（）- ．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，若g（α）=- ，且α∈（），求sin（）的值．16．(★★★)甲、乙、丙均两次参加英语高考，取两次成绩中较高的为最终成绩，三人第一次成绩不低于130分的概率依次为、．甲若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为；乙若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为；丙第二次成绩不受第一次成绩的影响，不低于130分的概率为．（Ⅰ）设A为事件“甲的英语高考最终成绩不低于130分”，B为事件“乙的英语高考最终成绩不低于130分”，C为事件“丙的英语高考最终成绩不低于130分”，分别求出事件A、事件B、事件C发生的概率；（Ⅱ）设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于130分的人数为X，求X的分布列与数学期望．17．(★★★★)如图，在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD是等腰梯形，AB=2CD=2，∠DAB=60°，M为AB的中点，CD 1⊥平面ABCD，且CD 1= ．（Ⅰ）求证：C 1M∥平面A 1ADD 1；（Ⅱ）求平面C 1D 1M与平面A 1D 1M所成角的正弦值；（Ⅲ）若N为CC 1的中点，求直线D 1M与平面A 1D 1N所成角的正弦值．18．(★★★★)已知数列{a n}满足条件a 1=1，a 2=3，且a n+2=（-1）n（a n-1）+2a n+1，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n= ，S n为数列{b n}的前n项和，求证：S n．19．(★★★★★)已知椭圆+ =1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成三角形的面积为，过椭圆的右焦点的动直线l与椭圆交于A、B两点．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线与x轴相交于点D，与直线l交于N，当＜＜时，求直线l的斜率的取值范围；（Ⅲ）在椭圆上是否存在定点M，使得对任意斜率等于且与椭圆交于P、Q两点的直线（P、Q两点均不在x轴上），都满足k PM+k QM=0（其中k PM为直线PM的斜率，k QM为直线QM的斜率）？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．(★★★★)已知函数f（x）=ln（x+a）- ，其中a∈R，且a≠0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）- ＜0恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若存在-a＜x 1＜0，x 2＞0，使得f（x 1）=f（x 2）=0，求证：x 1+x 2＞0．。
天津和平区2018-2019 数学(理)二模试卷答案解析(天津新东方精心整理)
和平区2018-2019学年度第二学期高三二模数学理参考公式：如果事件A,B 互斥，那么)()()(B P A P B A P += 如果事件A,B 相互独立，那么)()()(B P A P AB P = 一、选择题1.设全集R U =，集合}20|{)},1lg(|{2<<=-==x x N x y x M ，则=N M C R )( A.}12|{≤≤-x x B.}10|{≤<x x C.}11|{≤≤-x x D.}1|{<x x2.已知y x ,满足约束条件42421{≤+≤+≥≥y x y x x y ，则y x z -=2的最小值为： A.2 B.4 C.21 D.523.执行如图所示的程序框图，若输入的6=n ，则输出的=S A.145 B.31 C.5627 D.1034.下列结论错误的是A.命题：“若0232=+-x x ，则2=x ”的逆否命题是“若2≠x ，则0232≠+-x x ” B.“b a >”是“22bc ac >”的充分不必要条件C.命题：“0,2>-∈∃x x R x ”的否定是“0,2≤-∈∀x x R x ” D.若“q p ∨”为假命题，则q p ,均为假命题5.)2|)(|2sin()(πϕϕ<+=x x f 的图像向右平移12π个单位，所得到的图像关于y 轴对称，则ϕ的值为 A.3π- B.4π- C.3π D.6π-6.已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在]0,(-∞上是增函数，设)(ln πf a =，)2log (5-=f b ，)(21-=e f c ，则c b a ,,的大小关系是A.a c b <<B.c b a <<C.a b c <<D.b c a <<7.已知双曲线C ：)0,0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为)0,(c F ，直线ca x 2=与一条渐近线交于点P ，POF ∆的面积为2a （O 为原点），则抛物线x aby 22=的准线方程 为 A.21=y B.1=x C.1-=x D.2=x 8.在ABC ∆中，2,62BA BC BA AC AB =⋅==，点P 是ABC ∆所在平面内的一点，则当222PC PB PA ++取得最小值时，=⋅BC APA.53 B.9- C.7 D.52- 二、填空题 9.如果),(112表示虚数单位i R m mi i∈+=-，那么=m 10.若直线2+-=x y 与曲线θθcos 21sin 22{+-=+=x y （θ为参数）交于两点A,B ，则=||AB11.在一次治疗求助活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派方案共有 种（用数字作答）12.一个四棱柱的各个顶点都在一个直径为2 cm 的球面上，如果该四棱柱的底面是对角线长为2cm 的正方形，侧棱与底面垂直，则该四棱柱的表面积为13.若不等式ax x 312|2||2|-≤+--对任意实数x 都成立，则实数a 的最大值为14.已知函数=)(x f ]0,1(,311]1,0(,3{-∈-+∈x x x x ，且函数m mx x f x g --=)()(在]1,1(-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是三、解答题15.已知函数x x x x f cos sin 3sin )(2-=（1）求)(x f 在],0[π上的单调递增区间（2）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角A,B,C 的对边，A 为锐角，若1)62sin()(=-+πA A f 且ABC ∆的面积为32，求c b +的最小值。
2018年天津市河北区高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年天津市河北区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知全集为R，集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜1}，则集合（∁R A）∩B 等于（）A．{x|x＜0}B．{x|x≤0}C．{x|x＞1}D．{x|x≥1} 2．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．23．（5分）命题p：“∀x≥0，2x＞x2”的否定￢p为（）A．∃x0＜x02B．∀x≥0，2x＜x2C．∃x0≤x02D．∀x≥0，2x≤x24．（5分）二项式（x﹣）6的展开式的第二项为（）A．6x4B．﹣6x4C．12x4D．﹣12x4 5．（5分）若实数x，y满足条件，则z＝3x+y的最大值为（）A．7B．8C．9D．146．（5分）已知点A（﹣1，0）、B（1，0）分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右顶点，点M在双曲线上，且△ABM是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线的方程为（）A．x2﹣＝1B．x2﹣＝1C．x2﹣＝1D．x2﹣y2＝17．（5分）若正数a，b满足，的最小值为（）A．1B．6C．9D．168．（5分）已知函数f（x）＝，若存在互不相等的实数a，b，c，d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝m．则以下三个结论：①m∈[1，2）；②a+b+c+d∈[e﹣3+e﹣1﹣2，e﹣4﹣1），其中e为自然对数的底数；③关于x的方程f（x）＝x+m恰有三个不相等的实数解．正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值是．10．（5分）若复数为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值为．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B＝2C，2b＝3c，则cos C的值为．12．（5分）若点P（3，m）在以F为焦点的抛物线（t为参数）上，则|PF|等于．13．（5分）由曲线y＝与直线y＝x﹣2及y轴所围成的封闭图形的面积是．14．（5分）在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，BC＝2，若P为线段CD上一点，且满足＝，＝5，则λ的值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+）+2sin x cos x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．16．（13分）某地拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案；两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个问题中，甲公司可正确回答其中的4道题，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，且甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．（Ⅰ）求甲、乙两家公司共答对2道题的概率；（Ⅱ）设X为乙公司正确回答的题数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1和四棱锥D﹣BB1C1C构成的几何体中，∠BAC＝90°，AB＝1，BC＝BB1＝2，C1D＝CD＝，平面CC1D⊥平面ACC1A1．（Ⅰ）求证：AC⊥DC1；（Ⅱ）若M为DC1中点，求证：AM∥平面DBB1；（Ⅲ）在线段BC上（含端点）是否存在点P，使直线DP与平面DBB1所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．18．（13分）已知等差数列{a n}中，a1＝1，且a1，a2，a4+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前2n项和T2n．19．（14分）设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足F1为线段BF2的中点，且AB⊥AF2．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若过A、B、F2三点的圆与直线l：x﹣y﹣3＝0相切，求椭圆C的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线与椭圆C交于M，N 两点，在x轴上是否存在P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．20．（14分）已知函数f（x）＝﹣ax+（a﹣1）lnx，其中a＞2．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对于任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，恒有＞﹣1，求a的取值范围；（Ⅲ）设a∈（3，4），x n＝，n∈N*，求证：|f（x n+1）﹣f（x1）|＜．2018年天津市河北区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知全集为R，集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜1}，则集合（∁R A）∩B 等于（）A．{x|x＜0}B．{x|x≤0}C．{x|x＞1}D．{x|x≥1}【解答】解：∁R A＝{x|x≤0}；∴（∁R A）∩B＝{x|x≤0}．故选：B．2．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．2【解答】解：由三视图知：几何体为直三棱柱，其中侧棱长为1，底面时边长为2的正三角形，∴几何体的体积V＝＝．故选：A．3．（5分）命题p：“∀x≥0，2x＞x2”的否定￢p为（）A．∃x0＜x02B．∀x≥0，2x＜x2C．∃x0≤x02D．∀x≥0，2x≤x2【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：“∀x≥0，2x＞x2”的否定￢p为∃x0≤x02，故选：C．4．（5分）二项式（x﹣）6的展开式的第二项为（）A．6x4B．﹣6x4C．12x4D．﹣12x4【解答】解：二项式的展开式的第二项：＝﹣12x4．故选：D．5．（5分）若实数x，y满足条件，则z＝3x+y的最大值为（）A．7B．8C．9D．14【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝3x+y得y＝﹣3x+z，平移直线y＝﹣3x+z，由图象可知当直线y＝﹣3x+z经过点A时，直线y＝﹣3x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，3），代入目标函数z＝3x+y得z＝3×2+3＝9．即目标函数z＝3x+y的最大值为9．故选：C．6．（5分）已知点A（﹣1，0）、B（1，0）分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右顶点，点M在双曲线上，且△ABM是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线的方程为（）A．x2﹣＝1B．x2﹣＝1C．x2﹣＝1D．x2﹣y2＝1【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0），如图所示，|AB|＝|BM|，∠ABM＝120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，则∠MBN＝60°，在Rt△BMN中，|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，即有|BN|＝2a cos60°＝a，|MN|＝2a sin60°＝a，故点M的坐标为M（2a，a），代入双曲线方程得﹣＝1，即为a2＝b2，由A（﹣1，0），B（1，0）为双曲线的双曲线左右顶点，则a＝b＝1，∴双曲线的标准方程：x2﹣y2＝1，故选：D．7．（5分）若正数a，b满足，的最小值为（）A．1B．6C．9D．16【解答】解：∵正数a，b满足，∴a＞1，且b＞1；变形为＝1，∴ab＝a+b，∴ab﹣a﹣b＝0，∴（a﹣1）（b﹣1）＝1，∴a﹣1＝；∴a﹣1＞0，∴＝+9（a﹣1）≥2＝6，当且仅当＝9（a﹣1），即a＝1±时取“＝”（由于a＞1，故取a＝），∴的最小值为6；故选：B．8．（5分）已知函数f（x）＝，若存在互不相等的实数a，b，c，d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝m．则以下三个结论：①m∈[1，2）；②a+b+c+d∈[e﹣3+e﹣1﹣2，e﹣4﹣1），其中e为自然对数的底数；③关于x的方程f（x）＝x+m恰有三个不相等的实数解．正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：作出函数的图象如图，若直线y＝m与函数y＝f（x）的图象相交于四个不同的点，由图可知m∈[1，2），故（1）正确；设y＝m与函数y＝f（x）的交点自左至右依次为a，b，c，d，由﹣2﹣lnx＝1，得x＝e﹣3，由﹣2﹣lnx＝2，得x＝e﹣4，∴c∈（e﹣4，e﹣3]，又﹣2﹣lnc＝2+lnd，∴cd＝e﹣4，∴a+b+c+d＝﹣2+c+在（e﹣4，e﹣3]上是递减函数，∴a+b+c+d∈[e﹣3+e﹣1﹣2，e﹣4﹣1），故（2）正确；设斜率为1的直线与y＝lnx+2相切于（x0，lnx0+2），则由，可得x0＝1，则切点为（1，2），此时直线方程为y﹣2＝1×（x﹣1），即y＝x+1，∴当m＝1时，直线y＝x+m与函数y＝f（x）有4个不同交点，即关于x的方程f（x）＝x+m有四个不等实根，故（3）错误．∴正确结论的个数是2个．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值是30．【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝0，i＝1满足条件i＜6，执行循环体，i＝3，S＝6满足条件i＜6，执行循环体，i＝5，S＝16满足条件i＜6，执行循环体，i＝7，S＝30不满足条件i＜6，退出循环，输出S的值为30．故答案为：30．10．（5分）若复数为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值为1．【解答】解：∵复数＝＝为纯虚数，故有a﹣1＝0，且a+1≠0，解得a＝1，故答案为：1．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B＝2C，2b＝3c，则cos C的值为．【解答】解：△ABC中，若B＝2C，则sin B＝sin2C，∴sin B＝2sin C cos C，由正弦定理得b＝2c cos C，∴cos C＝；又2b＝3c，∴b＝c，∴cos C＝＝．故答案为：．12．（5分）若点P（3，m）在以F为焦点的抛物线（t为参数）上，则|PF|等于4．【解答】解：∵抛物线（t为参数）上，∴y2＝4x，∵点P（3，m）在以点F为焦点的抛物线（t为参数）上，∴m2＝4×3＝12，∴P（3，2）∵F（1，0），∴|PF|＝＝4，故答案为4．13．（5分）由曲线y＝与直线y＝x﹣2及y轴所围成的封闭图形的面积是．【解答】解：如图所示：联立解得，∴M（4，2）．由曲线y＝，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积S＝＝＝．故答案为．14．（5分）在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，BC＝2，若P为线段CD上一点，且满足＝，＝5，则λ的值为．【解答】解：分别以边AD，AB所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（0，4），C（2，4），D（4，0）；设P（x，y），则：，；∵；∴（x﹣4，y）＝λ（﹣2，4）①，x2+y2﹣4y＝5②；∴由①得x＝4﹣2λ，y＝4λ，带入②得：（4﹣2λ）2+16λ2﹣16λ＝5；解得，或；据题意知0≤λ≤1；∴．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+）+2sin x cos x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+）+2sin x cos x＝sin2x cos+cos2x sin+cos2x cos﹣sin2x sin+sin2x＝＝sin2x+＝．∴T＝；（Ⅱ）∵x∈[0，]，∴[]．∵当，即0时，函数f（x）单调递增，当，即时，函数f（x）单调递减，且f（0）＝，f（）＝2，f（）＝﹣．∴函数f（x）的最大值和最小值分别为2，﹣．16．（13分）某地拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案；两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个问题中，甲公司可正确回答其中的4道题，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，且甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．（Ⅰ）求甲、乙两家公司共答对2道题的概率；（Ⅱ）设X为乙公司正确回答的题数，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（I）由题意可知甲公司至少能答案对1题．甲，乙公司各答对1题的概率为：•（）2•＝，甲公司答对2题，乙公司全答错的概率为：•（）3＝，∴甲、乙两家公司共答对2道题的概率为＝．（II）X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝（）3＝，P（X＝1）＝（）2•＝，P（X＝2）＝•（）2•＝，P（X＝3）＝（）3＝．∴X的分布列为：∴E（X）＝3×＝2．17．（13分）如图，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1和四棱锥D﹣BB1C1C构成的几何体中，∠BAC＝90°，AB＝1，BC＝BB1＝2，C1D＝CD＝，平面CC1D⊥平面ACC1A1．（Ⅰ）求证：AC⊥DC1；（Ⅱ）若M为DC1中点，求证：AM∥平面DBB1；（Ⅲ）在线段BC上（含端点）是否存在点P，使直线DP与平面DBB1所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，故AC ⊥CC1，由平面CC1D⊥平面ACC1A1，且平面CC1D∩平面ACC1A1＝CC1，所以AC⊥平面CC1D，又C1D⊂平面CC1D，所以AC⊥DC1．（Ⅱ）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，又∠BAC＝90°，所以，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，依据已知条件可得A（0，0，0），，，B（0，0，1），B1（2，0，1），，所以，，设平面DBB的法向量为，由即令y＝1，则，x＝0，于是，因为M为DC1中点，所以，所以，由，可得，所以AM与平面DBB1所成角为0，即AM∥平面DBB1．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面BB 1D的法向量为．设，λ∈[0，1]，则，．若直线DP与平面DBB1成角为，则，解得，故不存在这样的点．18．（13分）已知等差数列{a n}中，a1＝1，且a1，a2，a4+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前2n项和T2n．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的过程为d，∵a1＝1，且a1，a2，a4+2成等比数列．∴＝a1•（a4+2），即（1+d）2＝1×（1+3d+2），化为：d2﹣d﹣2＝0，解得d＝2或﹣1．其中d＝﹣1时，a2＝0，舍去．∴d＝2．a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，S n＝＝n2．（Ⅱ）设b n＝＝，∴n为偶数时，＝＝16，b2＝8；n为奇数时，＝＝，b1＝．∴数列{b n}的奇数项是首项为，公比为．数列{b n}的偶数项是首项为8，公比为16．∴数列{b n}的前2n项和T2n＝+＝．19．（14分）设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足F1为线段BF2的中点，且AB⊥AF2．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若过A、B、F2三点的圆与直线l：x﹣y﹣3＝0相切，求椭圆C的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线与椭圆C交于M，N 两点，在x轴上是否存在P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（0，b）∵F1为BF2的中点，AB⊥AF2，∴Rt△ABF2中，BF22＝AB2+AF22，（4c）2＝（）2+a2，又a2＝b2+c2，∴a＝2c，故椭圆的离心率e＝＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）知＝，得c＝a，于是F2（a，0），B（﹣a，0），Rt△ABF2的外接圆圆心为（﹣a，0），半径r＝a，所以＝a，解得a＝2，∴c＝1，b＝，所求椭圆方程为+＝1；（Ⅲ）由（Ⅱ）知F2（1，0），l：y＝k（x﹣1），设M（x1，y1），N（x2，y2），由y＝k（x﹣1）和3x2+4y2＝12，代入得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，则x1+x2＝，y1+y2＝k（x1+x2﹣2），+＝（x1+x2﹣2m，y1+y2），由于菱形对角线垂直，则（+）•＝0，故x1+x2﹣2m+k（y1+y2）＝0，即x1+x2﹣2m+k2（x1+x2﹣2）＝0，﹣2m+k2（﹣2）＝0，由已知条件知k≠0，∴m＝＝，∴0＜m＜，故m的取值范围是0＜m＜．20．（14分）已知函数f（x）＝﹣ax+（a﹣1）lnx，其中a＞2．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对于任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，恒有＞﹣1，求a的取值范围；（Ⅲ）设a∈（3，4），x n＝，n∈N*，求证：|f（x n+1）﹣f（x1）|＜．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为x∈（0，+∞），令f'（x）＝0，则x2﹣ax+a﹣1＝0，即（x﹣1）[x﹣（a﹣1）]＝0，x＝1或x＝a﹣1，因为a＞2，所以a﹣1＞1当x∈（0，1），f'（x）＞0，函数f（x）为增函数；当x∈（1，a﹣1），f'（x）＜0，函数f（x）为减函数当x∈（a﹣1，+∞），f'（x）＞0，函数f（x）为增函数（Ⅱ）设x1＞x2，则不等式等价于f（x1）﹣f（x2）＞x2﹣x1整理得到f（x1）+x1＞f（x2）+x2令即函数g（x）在x∈（0，+∞）上为增函数，，不等式恒成立．而，所以，因为a＞2，所以（Ⅲ）因为a∈（3，4），由（Ⅰ）可以知道当x∈（1，a﹣1）时，函数f（x）为减函数，而，x1＝2∈（1，a﹣1），那么x n+1＜x1所以f（x n+1）＞f（x1）所以|f（x n+1）﹣f（x1）|＝f（x n+1）﹣f（x1）由（Ⅱ）知道所以．。
2018-2019年最新最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析
高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．765．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种C．18种D．19种10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=211．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．212．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.63520．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}，∵A={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵=，又复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=2﹣i．故选：B．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程组可得．}的公差为d，解答：解：设等差数列{an∵a7=8，前7项和S7=42，∴a1+6d=8，7a1+d=42，解得a1=4，d=故选：D点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．76考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c 的值，当b=0时满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=209，b=76c=57a=76，b=57，不满足条件b=0，c=19，a=57，b=19不满足条件b=0，c=0，a=19，b=0满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．故选：A．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模，本题属于基础知识的考查．5．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数与指数函数、三角函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=log3π＞1，0＜b=logπ3＜1，c=cos3＜0，∴a＞b＞c．故选：D．点评：本题考查了对数函数与指数函数、三角函数的单调性，属于基础题．6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：结合图象，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的图象可得==﹣，∴ω=．再根据五点法作图可得•+φ=0，求得φ=﹣，故选：C．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义为区域内的点到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象知AD的斜率最大，BD的斜率最小，由，解得，即A（，），此时z==，由，解得，即B（），此时z==，故z=的取值范围是[，]，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及直线斜率公式是解决本题的关键．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体．解答：解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V1=1×1=1；三棱锥的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V2=×1×1=；故该几何体的体积V=V1+V2=；故选：A．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种C．18种D．19种考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，即可得出结论．解答：解：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，所以球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有++1=19种，故选：D．点评：本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=2考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，再通过椭圆及双曲线的基本概念即可得到答案．解答：解：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，则A（﹣1，0），B（1，0），C（1+cosθ，sinθ），所以AC==，对于椭圆而言，2c=2，2a=AC+BC=+1，所以==；对于双曲线而言，2c=2，2a=AC﹣BC=﹣1，所以==；故﹣=﹣=1，故选：A．点评：本题考查椭圆、双曲线的概念，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．11．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．解答：解：由题意知，函数f（x）=﹣在[﹣3π，3π]是奇函数且是反比例函数，g（x）=xcosx﹣sinx在[﹣3π，3π]是奇函数；g′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx；故g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；故作函数f（x）与g（x）在[﹣3π，3π]上的图象如下，结合图象可知，有6个交点；故选：B．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．12．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]考点：椭圆的简单性质．专题：平面向量及应用．分析：通过确定A是MB的中点，利用圆x2+y2=1的直径是2，可得MA≤2，即点M到原点距离小于等于3，从而可得结论．解答：解：如图，连结OM交圆于点D．∵=，∴A是MB的中点，∵圆x2+y2=1的直径是2，∴MA=AB≤2，又∵MD≤MA，OD=1，∴OM≤3，即点M到原点距离小于等于3，∴t2+4≤9，∴≤t≤，故选：C．点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是150°．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件即可得到，所以根据进行数量积的运算即可得到3，所以求出cos＜＞=，从而便求出与的夹角．解答：解：∵；∴=；∴；∴与的夹角为150°．故答案为：150°．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的计算公式，向量夹角的范围．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：a n=4S n﹣3，当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵a n=4S n﹣3，∴当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1=1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，∴数列是等比数列，首项为，公比为﹣，∴=．令n=4，则S4=+=．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为20π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，求出x，可得r，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．解答：解：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，所以x=1，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πr2=20π．故答案为：20π．点评：本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：首先由题意，画出图象，然后利用定积分表示面积解答：解：曲线+=1，即y=（1﹣）2即图象与两坐标轴围成的图形如图阴影部分其面积为（1﹣）2dx=（1﹣2+x）dx=（+x）|=；故答案为：点评：本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后计算．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）由余弦定理可得2accosB=a2+c2﹣b2，代入已知等式整理得cosA=﹣，即可求得A．（Ⅱ）由已知可求∠DAC=，由正弦定理有=，又BD=3CD，可得3sinB=2sinC，由B=﹣C化简即可得解．解答：解：（Ⅰ）因为2accosB=a2+c2﹣b2，所以2（a2﹣b2）=a2+c2﹣b2+bc．…（2分）整理得a2=b2+c2+bc，所以cosA=﹣，即A=．…（4分）（Ⅱ）因为∠DAB=，所以AD=BD•sinB，∠DAC=．…（6分）在△ACD中，有=，又因为BD=3CD，所以3sinB=2sinC，…（9分）由B=﹣C得cosC﹣sinC=2sinC，…（11分）整理得tanC=．…（12分）点评：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，三角函数恒等变换的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）取PD边中点E，连接AE，EM，根据MN⊥CD 容易得到CD⊥AE，而根据已知条件可以说明PO⊥平面ABCD，从而得到CD⊥PO，这样CD就垂直于平面PAD内两条相交直线，由线面垂直的判定定理从而得到AD⊥CD；（Ⅱ）取BC中点F，连接OF，由（Ⅰ）便可知道OA，OF，OP三条直线两两垂直，从而可分别以这三条直线为x，y，z轴，可设AB=2，这样即可求得图形中一些点的坐标．从而求出向量的坐标，这时候设平面PBD的法向量为，根据即可求出的坐标，若设MN和平面PBD所成角为θ，从而根据sinθ=即可求得答案．解答：解：（Ⅰ）证明：如图，取PD中点E，连AE，EM，则EM∥AN，且EM=AN；∴四边形ANME是平行四边形，MN∥AE；∵MN⊥CD，∴AE⊥CD，即CD⊥AE；取AD中点O，连PO，△PAD是等边三角形，则PO⊥AD；又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD；∴PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，即CD⊥PO；故CD⊥平面PAD，AD⊂平面PAD；∴CD⊥AD，即AD⊥CD；（Ⅱ）由AB=AD，AD⊥CD，得▱ABCD是正方形；取BC边的中点F，连接OF，则分别以OA，OF，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；设AB=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，），E（﹣，0，）；=（2，2，0），=（1，0，）；设平面PBD的法向量，则：；∴；∴，取z=1，∴；==（，0，﹣）；设直线MN与平面PBD所成的角为θ，则：sinθ=|cos＜，＞|==．点评：考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用向量解决直线和平面所成角的问题，能求空间点的坐标，注意线面角和直线和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.635考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求K2的值，从临界值表中可以知道K2＞5.024，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；（Ⅱ）按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．X 的可能取值为90，130，170，210，求出相应的概率，即可求出X的分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）K2=≈5.657，因为5.657＞5.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1：3，按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m家和n家，则（m，n）可能为（0，9），（1，8），（2，7），（3，6）．与之对应，X的可能取值为90，130，170，210．…（6分）P（X=90）=，P（X=130）=，P（X=170）=，P（X=210）=，…（10分）分布列表如下：X 90 130 170 210P期望EX=90×+130×+170×+210×=180．…（12分）点评：本题考查独立性检验的应用，考查X的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题．20．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），代入抛物线方程，运用判别式等于0和大于0，解不等式即可得到k的范围；（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C（x1，y1），D（x2，y2），代入直线方程，由条件结合二次方程的韦达定理，再由判别式为0，即可判断．解答：解：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x ﹣a），分别代入x2=4y，得x2﹣4kx+4ka+4=0（1），x2+4kx﹣4ka+4=0（2），由△1=0得k2﹣ka﹣1=0，＞0得k2+ka﹣1＞0，由△2故有2k2﹣2＞0，得k2＞1，即k＜﹣1，或k＞1．（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C（x1，y1），D（x2，y2），则（y1+1）（y2+1）=λ（y0+1）2．将y1+1=﹣k（x1﹣a），y2+1=﹣k（x2﹣a），y0+1=k（x0﹣a）代入上式，得（x1﹣a）（x2﹣a）=λ（x0﹣a）2，即x1x2﹣a（x1+x2）+a2=λ（x0﹣a）2．由（2）得x1+x2=﹣4k，x1x2=﹣4ka+4，由（1）得x0=2k，代入上式，得4+a2=λ（4k2﹣4ka+a2）．又△1=0得k2﹣ka﹣1=0，即4k2﹣4ka=4，因此4+a2=λ（4+a2），λ=1．故存在常数λ=1，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用判别式和韦达定理，考查运算化简的能力，属于中档题．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用已知函数g（x）的解析式，分别计算g（），g（x），可得两者相等；再利用g′（x）求得最大值；（Ⅱ）利用f′（x）可得f（x）的最小值h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t），由（Ⅰ）可知g（）＜0，g（1）＞0，利用函数零点的判定定理即得结论．解答：解：（Ⅰ）∵g（）=+x+（x﹣）ln=x++（﹣x）lnx，∴g（x）=g（），则g′（x）=﹣（1+）lnx，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．所以g（x）的最大值为g（1）==2．（Ⅱ）∵f（x）=x++alnx，∴f′（x）=1﹣+=．令f′（x）=0，即x2+ax﹣1=0，则△=a2+4＞0，不妨取t=＞0，由此得：t2+at﹣1=0或写为：a=﹣t．当x∈（0，t）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．从而f（x）的最小值为f（t）=t++alnt=t++（﹣t）lnt，即h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t）（或h（a）=+aln）．由（Ⅰ）可知g（）=g（e2）=﹣e2＜0，g（1）=2＞0，分别存在唯一的c∈（0，1）和d∈（1，+∞），使得g（c）=g （d）=0，且cd=1，因为a=﹣t（t＞0）是t的减函数，所以y=h（a）有两个零点a1=﹣d和a2=﹣c，又﹣d+﹣c=﹣（c+d）=0，所以y=h（a）有两个零点且互为相反数．点评：本题考查利用导数判断函数的单调性及零点判定定理，考查转化与化归思想、运算求解能力、数据处理能力和推理论证能力．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．考点：与圆有关的比例线段；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用切割线定理，可得PB=PC，且PO平分∠BPC，可得PO⊥BC，又AC⊥BC，可得AC∥OP；（Ⅱ）由切割线定理得DC2=DA•DB，即可求出AB．解答：（Ⅰ）证明：因PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，所以PB=PC，且PO平分∠BPC，所以PO⊥BC，又AC⊥BC，即AC∥OP．…（4分）（Ⅱ）解：由PB=PC得PD=PB+CD=5，在Rt△PBD中，可得BD=4．则由切割线定理得DC2=DA•DB，得DA=1，因此AB=3．…（10分）点评：本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用切割线定理是关键．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacos θ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．点评：本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、极坐标方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．考点：绝对值不等式的解法；基本不等式．专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；（Ⅱ）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），运用重要不等式，可得最大值．解答：解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3+x≤2；当﹣1＜x＜1时，f（x）=﹣1﹣3x＜2；当x≥1时，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=2．（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），当且仅当a=b=c=时，等号成立．此时，ab+bc取得最大值=1．点评：本题考查绝对值不等式的解法和运用，主要考查分类讨论的思想方法和重要不等式的解法，属于中档题．。
2018—2019学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(二)(理科)
（Ⅱ）现从 6 人组成的代表队中选 4 人参加此游戏；这 6 人中有且仅有 2 对双胞胎，记 选出的 4 人中含有双胞胎的对数为 X，求 X 的分布列和期望．
南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷（理工类）第 5 页（共 9 页）
得 分 评卷人
（17）（本小题满分 13 分）
E
D A
C
B
南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷（理工类）第 6 页（共 9 页）
得 分 评卷人
（18）（本小题满分 13 分）
已知数列{an}的前
n
项和
Sn=–an–(
1 2
)n–1+2（n∈N*），数列{bn}满足
bn
=2nan．
（Ⅰ）求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（ ）．
（A）[3，+∞) （B）(1，3]
（C）(1，3) （D）(–2，+∞)
x y 5≥ 0，
（2）已知实数
x，y
满足约束条件
x
y
≥
0，
则 z=2x+4y 的最小值是（
）．
x ≤ 3，
（A）5
（B）–6
（C）10
（D）–10
（3）执行如图所示的程序框图，若输入 n 的值为 13，输出 S
（Ⅱ）设
cn=
2n(n
n(n 1) an )(n 1
an1)
，数列{cn}的前
n
项和为
Tn，求满足
Tn＜
124 63
（n∈N*）的 n 的最大值．
南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷（理工类）第 7 页（共 9 页）
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2018-2019年高考理科数学第二次模拟考试试题
班别 姓名 座号 成绩 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．已知集合A ＝{x |y ＝4x －x 2}，B ＝{x ||x |≤2}，则A ∪B ＝( ) A ．[－2,2] B ．[－2,4] C ．[0,2] D ．[0,4]
2．“a ＝1”是“复数z ＝(a 2－1)＋2(a ＋1)i(a ∈R )为纯虚数”的( )
A ．充要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 2
3
＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 向x 轴作垂线，若垂足恰
好为椭圆的两个焦点，则k 等于( ) A.32 B ．±32 C ．±12 D.1
2
4．如果圆x 2＋y 2＝n 2至少覆盖曲线f (x )＝3sin πx
n
(x ∈R )的一个最高点和一个最低点，则正
整数n 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为( )
A.29－129
B.29＋129
C.210－1210
D.210210＋1
6．函数g (x )＝2e x ＋x －3⎠⎛1
2t 2d t 的零点所在的区间是( )A ．(－3，－1) B ．(－1,1) C ．(1,2)
D ．(2,3)
7．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域
⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2≤0，x ＋y ≥0，
x －3y ＋4≥0
中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( ) A ．2 2 B ．4 C ．3 2 D ．6
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．24＋6π B ．12π C ．24＋12π D ．16π
9．已知四面体P －ABC 中，P A ＝4，AC ＝27，PB ＝BC ＝23，P A ⊥平面PBC ，则四面体P －ABC 的外接球半径为( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．4 2 D ．4 3
10．在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA →|＝|DB →|＝|DC →|，DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →
＝－2，
动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( ) A.434 B.49
4 C.37＋634
D.
37＋233
4
11．记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，若S 12－S
6S 6－7·S 6－S 3S 3－8＝0，且正整数m ，n 满足a 1a m a 2n
＝2a 35，则1
m ＋8
n 的最小值是( ) A.15
7 B.9
5 C.5
3 D.7
5
12．已知曲线f (x )＝k e
－2x
在点x ＝0处的切线与直线x －y －1＝0垂直，若x 1，x 2是函数g (x )
＝f (x )－|ln x |的两个零点，则( ) A ．1<x 1x 2< e B.1e <x 1x 2<1 C ．2<x 1x 2<2 e D.
2
e
13．一个煤气站有5个阀门控制对外输送煤气，使用这些阀门必须遵守以下操作规则：(ⅰ)如果开启1号阀门，那么必须同时开启2号阀门并且关闭5号阀门；(ⅱ)如果开启2号阀门或者5号阀门，那么要关闭4号阀门；(ⅲ)不能同时关闭3号阀门和4号阀门，现在要开启1号阀门，则同时开启的2个阀门是________．
14．若函数f (x )＝4sin5ax －43cos5ax 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π
3，则实数a
的值为________．
15．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c ，直线y
＝3
3
(x ＋c )与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为________． 16．已知函数f (x )＝⎩⎨
⎧
1－|x ＋1|，x <1，
x 2
－4x ＋2，x ≥1，
则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为________个．
三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． (本小题满分12分)如图，在一条海防警戒线上的点A 、B 、C 处各有一个水声监测点，B 、C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A 、C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B 、C 到P 的距离，并求x 的值；(2)求P 到海防警戒线AC 的距离．
18． (本小题满分12分)自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：(1)若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？(2)假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②
如果用ξ表示两种方案休假周数和，求随机变量ξ的分布列及期望．
19． (本小题满分12分)已知长方形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝ 2.现将长方形沿对角线BD 折起，使AC ＝a ，得到一个四面体A －BCD ，如图所示．(1)试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD ，AD 与BC 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 值；若不垂直，请说明理由．(2)当四面体A －BCD 体积最大时，求二面角A －CD －B 的余弦值．
20． (本小题满分12分)已知椭圆C 的焦点坐标是F 1(－1,0)、F 2(1,0)，过点F 2垂直于长轴的直线l 交椭圆C 于B 、D 两点，且|BD |＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的
直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，且满足PM →·PN →＝5
4
？若存在，求出直线l 1的方程；
若不存在，请说明理由．
21． (本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax －ln x －4(a ∈R )．(1)讨论f (x )的单调性；
(2)当a ＝2时，若存在区间[m ，n ]⊆⎣⎡⎭⎫1
2，＋∞，使f (x )在[m ，n ]上的值域是⎣⎡⎦⎤k m ＋1，k n ＋1，
求k 的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22． (本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝1，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρ(2cos θ－sin θ)＝6.(1)将曲线C 1上的所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C 2，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程；(2)设P 为曲线C 2上任意一点，求点P 到直线l 的最大距离．
23． (本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝x －2＋11－x 的最大值为
M.
(1)求实数M的值；(2)求关于x的不等式|x－2|＋|x＋22|≤M的解集．。